第三节

一、平面

二、直线

三、平面、直线间的夹角

平面与直线 第七章

四、点到平面的距离

z

yxo

0M

n

①

1 、平面的点法式方程),,( 0000 zyxM设一平面通过已知点 且垂直于非零向

0)()()( 000 zzCyyBxxA

M

称①式为平面的点法式方程 ,

求该平面的方程 .,),,( zyxM任取点

法向量.

量 ,),,( CBAn

nMM 0

00 nMM

则有

故

的为平面称 n

一、平面

例 1.求过三点

2 3 2

0 4 3

i j k

3 2 2 2 2 3

4 3 0 3 0 4

6 8

i j k

i j k

即

1M

2M

3M

解 : 取该平面 的法向量为

的平面 的方程 .

n

n 3121 MMMM

所以所求平面方程为

此平面的三点式方程也可写成

0

132

643

412 zyx

一般情况 :过三点 )3,2,1(),,( kzyxM kkkk

的平面方程为

说明 :

特别 ,当平面与三坐标轴的交点分别为

此式称为平面的截距式方程 .

1cz

by

ax

时 ,

)0,,( cba

bcax )( cay )( 0 baz

abcbzaacybcx

平面方程为

分析 :利用三点式

按第一行展开得 即

0ax y z

a b 0

a 0 c

2 、平面的一般方程设有三元一次方程

以上两式相减 , 得平面的点法式方程

此方程称为平面的一般

0 DzCyBxA

任取一组满足上述方程的数 ,,, 000 zyx 则0000 DzCyBxA

显然方程②与此点法式方程等价 ,

)0( 222 CBA ②

),,( CBAn 的平面 , 因此方程②的图形是

法向量为 方程 .

特殊情形• 当 D = 0 时 , A x + B y + C z = 0 表示

通过原点的平面 ;

• 当 A = 0 时 , B y + C z + D = 0 的法向量 平面平行于 x 轴 ;

• A x+C z+D = 0 表示• A x+B y+D = 0 表示• C z + D = 0 表示• A x + D =0 表示• B y + D =0 表示

0 DCzByAx )0( 222 CBA

平行于 y 轴的平面 ;

平行于 z 轴的平面 ;

平行于 xoy 面 的平面 ;平行于 yoz 面 的平面；平行于 zox 面 的平面 .

,),,0( iCBn

例 2. 求通过 x 轴和点 ( 4, – 3, – 1) 的平面方程 .解 :因平面通过 x 轴 , 0DA故

设所求平面方程为0 zCyB

代入已知点 )1,3,4( 得化简 ,得所求平面方程

xy

z

o

01111 DzCyBxA

1

2

L

因此其一般式方程1. 一般式方程

直线可视为两平面交线，

(不唯一 )

二、直线

),,( 0000 zyxM

2. 对称式方程

故有

说明 : 某些分母为零时 , 其分子也理解为零 .

m

xx 0

0

0yyxx

设直线上的动点为 则

),,( zyxM

n

yy 0

p

zz 0

此式称为直线的对称式方程 ( 也称为点向式方程 )

直线方程为

s

已知直线上一点 ),,( 0000 zyxM

),,( zyxM

例如 , 当

,0,0 时 pnm

和它的方向向量

3. 参数式方程

设

得参数式方程 :

tp

zz

n

yy

m

xx

000

tmxx 0

tnyy 0

tpzz 0

例 1. 用对称式及参数式表示直线

解 :先在直线上找一点 .

632

zyzy

再求直线的方向向量

2,0 zy令 x = 1, 解方程组

,得

交已知直线的两平面的法向量为

是直线上一点 .

.s

21 ns,ns 21 nns

三、平面、直线间的夹角

1 、两平面的夹角

设平面∏ 1 的法向量为

平面∏ 2 的法向量为则两平面夹角 的余弦为

cos

即212121 CCBBAA

22

22

22 CBA 2

12

12

1 CBA

两平面法向量的夹角 (常为锐角 )称为两平面的夹角 .

1

2

2n1n

),,( 1111 CBAn

),,( 2222 CBAn

21

21cosnn

nn

2

特别有下列结论：

21)1(

0212121 CCBBAA

21 //)2(

2

1

2

1

2

1

CC

BB

AA

),,(:

),,(:

22222

11111

CBAn

CBAn

1

1

2

21

21cosnn

nn

21 nn

21 // nn

2n

1n

2n

1n

当直线与平面垂直时 ,规定其夹角线所夹锐角 称为直线与平面间的夹角 ;

L

2. 直线与平面的夹角当直线与平面不垂直时 ,

设直线 L 的方向向量为 平面 的法向量为

则直线与平面夹角 满足

222222 CBApnm

pCnBmA

直线和它在平面上的投影直

),,( pnms

),,( CBAn

︿),cos(sin ns

ns

ns

sn

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特别有 :L)1(

//)2( L 0 pCnBmA

pC

nB

mA ns //

ns

解 : 取已知平面的法向量

421 zyx则直线的对称式方程为

直的直线方程 .

为所求直线的方向向量 .

132

垂

)1,3,2( n n

例 3. 求过点 (1, － 2 , 4) 且与平面

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2L

1L

3. 两直线的夹角

则两直线夹角 满足

21 , LL设直线

两直线的夹角指其方向向量间的夹角 (通常取锐角 )的方向向量分别为

212121 ppnnmm 2

12

12

1 pnm 22

22

22 pnm

21

21cosss

ss

1s

2s

特别有 :

21)1( LL

21 //)2( LL

0212121 ppnnmm

2

1

2

1

2

1

pp

nn

mm

21 ss

21 // ss

因此有

例 4. 一平面通过两点垂直于平面∏ : x + y + z = 0, 求其方程 .

解 : 设所求平面的法向量为

,020 CBA 即的法向量 ,0 CBA

)0(0)1()1()1(2 CzCyCxC

约去 C , 得 0)1()1()1(2 zyx

即 02 zyx

0)1()1()1( zCyBxA

)1,1,1(1M ,)1,1,0(2 M和

则所求平面

故

方程为

n21MMn

且

外一点 ,求

四、点到平面的距离

222101010 )()()(

CBA

zzCyyBxxA

222000

CBA

DzCyBxAd

解 :设平面法向量为 ),,( 1111 zyxP

在平面上取一点

是平面到平面的距离 d .0P

, 则 P0 到平面的距离为

01Prj PPd n

n

nPP 01

0P

1P

n

d

,),,( CBAn

内容小结

1. 平面基本方程 :

一般式

点法式

截距式

0 DCzByAx )0( 222 CBA

1cz

by

ax )0( abc

关健词：法向量、方向量

0212121 CCBBAA

2

1

2

1

2

1

CC

BB

AA

2. 平面与平面之间的关系平面

平面

垂直 :

平行 :

夹角公式 :21

21cosnn

nn

021 nn

,0: 22222 DzCyBxA ),,( 2222 CBAn

,0: 11111 DzCyBxA ),,( 1111 CBAn

3. 空间直线方程

一般式

点向式

参数式

0

0

2222

1111

DzCyBxA

DzCyBxA

tpzztnyytmxx

0

0

0

)0( 222 pnm

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,1

1

1

1

1

11 p

zzn

yym

xxL

：直线

,2

2

2

2

2

22 p

zzn

yym

xxL

：

2

1

2

1

2

1

pp

nn

mm

2. 线与线的关系

直线

夹角公式 :

021 ss21 LL

21 // LL 021 ss

21

21cosss

ss

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,0 DzCyBxA

Cp

Bn

Am

平面 :

L⊥

L //

夹角公式：

0 CpBnAm

sin

,p

zzn

yym

xx

3. 面与线间的关系

直线 L :

),,( CBAn

),,( pnms

0ns

0ns

ns

ns

L

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作业

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