问题：
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问题：. 利用 Picard 迭代法求初始值问题 y ’ =x^2+y^2, y(0)=0 近似解，且使近似解在区间 [0 ， 0.5] 内与精确解的误差不超过 0.05. 目的：. 解微分方程的问题大致可分为：初始值问题、边值问题和混合问题。那么如何利用 Maple 软件包来处理这一系列问题，从而获得方程的解析解或近似解显的尤为重要。我们通过观察函数多次迭代后的分布规律，根据初始条件，获得微分方程的近似解，由此掌握微分方程的数值迭代解法，熟悉 Maple 软件包的运行环境。. 我们定义函数. （ 其中. ） 称为初值问题 ：. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
问题：问题：利用利用 PicardPicard 迭代法求初始值问题 迭代法求初始值问题
y’=x^2+y^2, y(0)=0y’=x^2+y^2, y(0)=0 近似解，且使近似解在区间近似解，且使近似解在区间 [0[0 ，， 0.5]0.5] 内与精确解的误差不超过内与精确解的误差不超过 0.0.
0505
目的：目的：解微分方程的问题大致可分为：初始值问题、边值问题和混合问题。那么如何利用Maple 软件包来处理这一系列问题，从而获得方程的解析解或近似解显的尤为重要。我们通过观察函数多次迭代后的分布规律，根据初始条件，获得微分方程的近似解，由此掌握微分方程的数值迭代解法，熟悉 Maple 软件包的运行环境。
x
nn dsssfyx0 10 ))(,()( 我们定义函数
（其中 00 )( yx ）称为初值问题：),( yxf
dx
dy 00 )( yx
的第 n 次近似解从而有下列公式成立：
1
)1()()(
n
n
n hn
MLxx
！
此为区间 上，用 n 次近似 来逼近精确解 时的误差估计式，其中
hxx 0 )(xn
)(x
.),(max),,min(),(
yxfMM
bah
Ryx
L 为李普希兹常数事实上，由 及迭代列 ：
x
dsssfyx00 ))(,()(
00 )( yx x
nn dsssfyx0 10 ))(,()(
,2,1n
得：)())(,()()( 000 xxMdsssfxx
x
设 1
0)1()()(
kk
k xxk
MLxx
！
则
x
kk dsssfssfxx01 ))(,())(,()()(
x kk
dsxsk
ML0
1
0)1( ！
2
0
1
)2(
kk
xxk
ML
！
由归纳法可知，对任意 n 次近似解，估计式成立。 / 证毕！
主要思路：主要思路：首先判断出满足唯一性条件的 h 、 L 和 M ，由
判断出要进行的迭代次数 n ，应用 Picard迭代即可解决问题。由于运算量过大，在迭代时可利用 Maple 软件包进行。
下面根据条件推出 n 的值：
05.0)1(
)()( 1
nn
n hn
MLxx
！
2,4
1 ba
解 . 由题意知 x 满足： 4
1
4
1x
不妨假定 则：2y
从而：4
17
4
14 M
4
1h
yy
f2
2L可以取
05.0)1(
)()( 1
nn
n hn
MLxx
！
从而代入式：
可得：3n
所以求出第三次迭代式即可
下面运用 Maple 软件包来解决迭代问题
该问题等价的积分方程为 :
利用 Maple 去进行这些重复性的迭代 :y0:=1;y1:=1+int(x^2+y0^2,x=0..x);y2:=1+int(x^2+y1^2,x=0..x);y3:=1+int(x^2+y2^2,x=0..x);y4:=1+int(x^2+y3^2,x=0..x);
x
dssysxy0
22 ))(()(
:= y0 0
:= y11
3x
3
:= y2 1
3x
3 1
63x
7
:= y3 1
59535x
15 2
2079x
11 1
63x
7 1
3x
3
:= y4 1
109876902975x
31 4
3341878155x
27 662
10438212015x
23 82
37328445x
19 13
218295x
15 2
2079x
11 1
63x
7 1
3x
3
回车后 Maple 的输出结果为：
151173
59535
1
2079
2
63
1
3
1)( xxxxx
综上所述：原方程的近似解为：
误差不超过 0.05
结果分析结果分析 ::我们运用了简单的迭代函数解决了一我们运用了简单的迭代函数解决了一个比较复杂的问题，从中看到了迭代个比较复杂的问题，从中看到了迭代法的重要性。然而其结果将随着迭代法的重要性。然而其结果将随着迭代次数的逐步增加，从而逐渐趋向于精次数的逐步增加，从而逐渐趋向于精确值，但其只会无限靠近精确值，不确值，但其只会无限靠近精确值，不会相等。会相等。
小结：小结：我们用到了我们用到了 MapleMaple 很小的一部分。并且只很小的一部分。并且只解决了初始值的问题，那么对于边值问题解决了初始值的问题，那么对于边值问题和混合问题的处理，和混合问题的处理， MapleMaple 则发挥了更加则发挥了更加重要且有效的作用，这在我们今后的进一重要且有效的作用，这在我们今后的进一步学习中将涉及到。步学习中将涉及到。有了良好的数学基础再加上有了良好的数学基础再加上 MapleMaple 软件的软件的熟练运用，必定使我们如虎添翼，将使得熟练运用，必定使我们如虎添翼，将使得我们更有能力和信心去处理各种问题。我们更有能力和信心去处理各种问题。