多變函數之極限與連續
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多變函數之極限與連續. 大家好 ! 我們是第 九 組 組長 : 蔡岳廷 組員 : 林顯恆 謝孟修 林柏廷 康儷馨. 介紹報告的大鋼結構. 這段觀念補充建構. 這一 章主要 是介紹 多變數 函數，以便將先前針對 單變數 函數所獲得的 微分與 積分的結果推廣至多變數函數的情況作準備。首先，讓我們複習一下函數的 定義。 令 A 與 B 為兩非空集合。若對於集合 A 中的每一個元素 a 皆在集合 B 中 可以 找到”唯一的”元素 b 與 a 相對 應。 - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
大家好 ! 我們是第九組
組長 : 蔡岳廷 組員 : 林顯恆 謝孟修 林柏廷 康儷馨
多變函數之極限與連續
*介紹報告的大鋼結構
*這段觀念補充建構這一章主要是介紹多變數函數，以便將先前針對單變數函數所獲得的微分與積分的結果推廣至多變數函數的情況作準備。首先，讓我們複習一下函數的定義。令 A 與 B 為兩非空集合。若對於集合 A 中的每一個元素 a 皆在集合 B 中可以找到”唯一的”元素 b 與 a 相對應。我們經常以符號 f (a) 來表示與 a 相對應的元素 b ，而稱此對應關係為一由 A 映至 B 的函 (function) ，通常以符號 f :A->B 來表示 :
for example f(3)=2 代表是 a 集合帶入 3 會等於 b 的一個 ( 子集 )2 。
集合 A ( 或記作 D( f ) ) 稱為函數 f 的定義 (domain) ，而集合 B 就稱為函數的對應域 (codomain) ，我們特稱集合 R( f )= 為函數 f 的值域 (range) ，顯然值域 R( f ) 是對應域 B 的一個子集。
*多變函數的極限與連續 ( 簡述P.360)
回顧在探討一單變數函數 f 相關於微積分的問題時， A與 B 皆視為實數集合 ( 值域 ) R 的部分集合。若一函數 f 的定義域 省略未寫時，則 ：
多變數函數的概念只須將集合 A 視為集合( )D f ( )D f ( ) { ( ) | ( )}R f f x x D f
於科學、工程、商業及日常生活中，許多有序的現象或行為常常會涉及到多個相關因素。這些問題的描述就必須表示誠是成多變數的關係式。 例如：氣體的體積與溫度和壓力有關，商品的成本是原料價格、工資、運費、廣告費‧‧‧‧‧‧等因素的函數。這些例子可寫成多變數函數的關係式。 設 為所有實數的集合， 為所有二原有序實數所組成的集合，即：
{( , )} ,x y x y }
*由圖來解釋 Z=f(x,y)
雙變數函數 (Function of two variables):雙變數函數的實數值函數意指一函數 ，將一平面之某集合 內的每一序對 指定一個唯一實數集合 稱為這些函數 的定義域 (domain)表示為 : ，如下圖：
f( , )f x y
f( , )x y
{ ( , ) | ( , ) }f x y x y D
一函數的值域 (range) 就是所有 值的集合，若 ，則 、 稱為自變數 (independent variables) ， 稱為應變數 (dependent variables) 。
( , )f x y( , )z f x y
x yz
DD
*題目驗證1. 在 平面上，描述 的自然定義域。
解答： 為了使 有意義，
xy 1( , )
1
x yf x y
x
1( , )
1
x yf x y
x
(1) 分母不能為 0 ： 1 0x 1x
1x y (2) 根式 有意義： 1 0x y 因此定義域 ，如圖所示。{( , ) | 1 0 1}D x y x y x 且
1=0x y
2. Find the domain and range of
為了使 有意義，
2 2( , ) 9f x y x y
2 2( , ) 9f x y x y 2 29 x y 即使根式 有意義，
因此 2 2 2 29 0 9x y x y
定義域 ( Domain) ： 。 ( 如圖所示 )
值域 (range) ：
2 2{( , ) | 9}D x y x y
2 2{ | 9 , ( , ) }f f x y x y D 2 2 2 20 9 9 0 9 3x y x y
所以值域： { | 0 3} [0,3]f f y
x3 3
2 2 9x y
*當多了一個 Z 應變數3. 描繪 圖形2 2( , ) 9z f x y x y
解答：2 2( , ) 9z f x y x y
2 2 2
2 2 2
9 , 0
9, 0
z x y z
x y z z
唯一以原點為球心，半徑為 3 的上半部球面。 ( 如圖所示 )
x
z
y
0
(0,0,3)
(0,3,0)
(3,0,0)
*極限與連續 ( 課本P.365)
補充整理
定義 9.1 設 為函數 之定義域 內一固定點，若當 內之動點( , )o ox y f
( , )x y 趨近於 時，亦即( , )o ox y2 2(( , ), ( , )) ( ) ( )o o o od x y x y x x y y
趨近於 0 ，函能使得 趨近於一實數 ，亦即 之值( , )f x y L | ( , ) |f x y L
會趨近於 0 ，則稱當 趨近於 時，函數 的極限為( , )x y ( , )o ox y ( , )f x y L
記作：
( , ) ( , )lim ( , )
o ox y x yf x y L
並且我們說 在點 之極限存在時，其極限為f ( , )o ox y L
*用圖解釋說明( , ) ( , )
lim ( , )x y a b
f x y L
的定義：
( , ) ( , )lim ( , )
x y a bf x y L
意指任給 ，則必存在一個 ，0 0
使得若 ，則0 | ( , ) ( , ) |x y a b | ( , ) |f x y L
2 2| ( , ) ( , ) | ( ) ( )x y a b x a y b
0 | ( , ) ( , ) |x y a b 且滿足 的點是指除圓心 外，且在半徑為 之內的點。( , )a b
x
y
( , )a b
D0 L L L z
( , )x y
*題目應用Q1: 表示出 不存在 =?
( 提示 : 解題方法也如同求左極限又極限的算法 !)
Sol: 除了原點 (0.0) 之外 , 水平 x,y 解有定義 !!
因此 (x,y) 由 x 軸趨近 (0.0)
Sol next: ,
又由 y 趨近 (0.0)
由 sol and sol.next 我們可知 ~! 不存在
2 2
2 2( , )
x yf x y
x y
2
2
00 ( .0) 1
0
xy f x
x
，
2
2( , ) (0,0) ( , ) (0,0)
0lim ( ,0) lim 1
0x y x y
xf x
x
2
2
00 (0. ) 1
0
yx f y
y
，
2
2( , ) (0,0)
0lim (0. ) 1
0x y
yf y
y
*題目應用升級Q1: 判斷 是否有達到連續 ?
Sol:
沿著 x 軸方向 , 因此 f(x,y,z)->0 ok
But sol 在 x=y 的直線上也會趨近於 0 嗎 ? 我們繼續看下去 ! 由上面提出 x=y 直線上帶入公式後
答案卻趨近於 1/2
所以 (x,y,z) 在 x=y,z=0 的直線上 (x,y,z)1/2
Ans: 由 sol and but sol 可知道 0 不等於 1/2 因此答案為不連續
2 2
2 2 4( , , ) (0,0,0)lim
x y z
xy yz xz
x y z
2
0( ,0,0) 0, for x 0,f x
x
2
0( ,0,0) 0, for x 0,f x
x
2
2
1( , ,0) , for x 0,
2 2
xf x x
x
*報告構建整理
報 告 整 合
連 續 與 極 限 + 題 目 應 用
多 變 函 數 圖 解
多 變 函 數 介 紹 + 題 目
多 變 函 數 比 較
*參考文獻參考文獻1. 超強微積分課本
1. 桌圖一 : http://www.cyut.edu.tw/~ckhung/s/wall.php
2. 教學網 http://www.stat.nuk.edu.tw/cbme/math/calculus/cal2/c9_2/bud.htm
http://ctc.dyu.edu.tw/files/public/materials/cal-material_14.pdf
http://attachment.fbsbx.com/file_download.php?id=348447385276653&eid=AStWAnN7lc65At0gt5YiMjXNMDQvrUJ_JnEilNbraDsNmU7Vvggfdh_u9TraeH6ALy4&inline=1&ext=1363089051&hash=ASu_LW1AAOV4k_w6
*報告結束 !有不足的地方在此表達歉意 !
~ 感謝大家的聆聽參與 ~!