非齐次特征值问题解存在性研究
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非齐次特征值问题解存在性研究
任 力 伟 (清华大学应用数学系，北京 i00@84)
关键词 非齐次、特征值、不动点
一
、 引 言
给定 × 实矩阵 ，6 E R ， > 0，求 z E R 和 ∈R一，使得
— + 6， (1)
， 一 ， (2)
这类问题称为非齐次特征值问题．
非齐次特征值问题在数学和其他领域里有许多应用，如线性微分方程组解稳定性研究 ，
球面上二次函数的稳定点求解 及约束特征值问题 等．对其解的存在性，目前有两个结论：
定理 l 若 至少有一个实特征值，且 6不正交于 对应于该特征值的左特征向量，
则 (1)、(2)式至少有两个实解．
定理 2 设 为 阶非对称实矩阵 ，如果非齐次特征值 (1)、(2)式有置个 (包括重
数 )特征值，则
(i)K为偶数；
(ii)0≤ K≤ 2n；
(iii)如 的特征值均为实数，同时 K一2n，则最小的非齐次特征值小于 的最小特征
值 ，最大的非齐敬特征值大于 的最大特征值；
(iv)如果 的特征值全为虚数，则K可能为 0．
二、解存在性定理
在叙述并证明 (1)、(2)式解的存在性定理之前，先给出一个引理．
记 口一 {y! ER ，yTy≤ ，)．
引理 l 设函数 f：(-co，d)×口一 R 连续，Vy∈口，，(i， )关于 l严格单调增加，
且存在唯一的 l∈(一∞， )，使
本文 199O年 4月 29日收到．
‘国家自然科学基金资助项目．
第 6期 科 学 通 报
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则 口 口
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我们考虑任一点 Y。∈口 处的连续性．
V8> 0，因 l(Z(ya)，Y0)一 0及 ，(i，y。)关于 的严格单调增加性质，便有
及 ，( (y。)一 8，y0)< 0．
又由 ，(1，y)的连续性，故 j > 0，使 lly一 < 时，
．
，(i( )一 s，y)< 0，，( (y。)+s，y)> 0，
剥得到 Z∈(2(yo)一 B，l(y。)+8)，使 ，( ，y)一0，这个 ￡就是 ( )，因此
( )一 ( )0<e，
邵 l(y)为连续函数．证毕．
令 一 D + C，D— diag(d”⋯ ，d )为对角阵，d— df< d。，i一 2，．-．， ．
Vy E．。，考虑问题
(D — ，) 一 一c + 6，
一
的 求解，记 一 ～cy+b，则 (4)、(5)式的求解等价于方程
一 奎 一，一。 的求解．若 t 0，易知 妒(2)在 (-co， )上严格单调增加且
因此， ( )
定理 3
(-oo)一 ̂
(1)一 一 < 0， (1)一 十∞，
一 0存在唯一解 l(y)∈(一∞， )．
设 为 阶实阵 ，若 |i E{l，⋯ ， }，使
(4)
(5)
(6)
6 >，∑ }f， (7)
则问题 (1)、(2)至少有两解．
证 不妨设 i一 1． 我们取 D— diag( ，⋯ ， 。)， — d < ， 一 2，⋯ ， ，且
研>，∑ 4b+ ( 。。一 ) (只要l l足够小，这总可办到)． t· 2
令 一 口 + C，则有
>，∑ f‰ (8) 一 1
考虑(4)、(s)式的求解，则 一一∑ f，fy．十 ，Y∈口．点(o，0，⋯，0)到超平面 ⋯
∑ yJ一6。 ，-I
的距离为 一 ／√妻吐． 由 (8)式可知 ^> ，故 Vy∈口， 0。
将 ( )看成与 有关的函数，故可记 ( )为，( ，y)一 兰 一，- 易知，，( ，y)满足引理 l的条件．
404 科 学 通 报 I"1年
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由 (4)、(5)式定义了映射 ：0一 (～。。， )和映射
：口 口， ( )一 [D一 2( ) ] 0 一 c )，
由=F (y)连续，故 ( )也连续，而口为紧凸集，则由 Brouwer不动点定理 ，存在 Yo∈口，
使 一 ( )， 即 [D— a(y )】y。一 一Cy口+b， 立得 i 2( ) + ， ∈口 且
i(，。)< d，记 。一 (y口)，此即 (1)、(2)式之一解 ．
若取 D— diag(d ，·一， )，d—dI> d，，i一 2，⋯ ， ，同理可以证明，存在 > d为
(1)、(2)式之解，故 (1)、(2)式至少有两个解． r0
倒 一【l 时 ，则无解．
则 >1时两解；，一1时为一解(重根)； <1
参 考 文 献
f】] $~derlJad．G and Mstthclj，R．M．M． SIAM ，．Marh．~Ina1．，l6(198 69一I2．
[2】 For sythe，G．E．and Golub，G．H．．81dM ，． P ．Math．．19(I963)，1050-- 1068．
[3】 Gander，W．，Golub，G-H．et B1．，Lineer f ． P，f．，ll4／its(tgsg)，B1 一8鲫}．
¨ J Mattheij，R-M-M．and SSdetli~d，G．．Linear ，，，88，卯(1，0 )， 0，～，31．
5 1 Ortega，J．M．and Rhelnboldt，W ，C．，flFr “ f$oiu；ion 0，N口_f t ，5qua；ion in 8corral 0， t̂
^~ademic Press．1970．
第 ‘期 科 学 通 }艮
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