5章気液二相流takei/note/neturyuutai/5.pdf図5.4 内壁に液体が存在しない...
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熱流体工学5章 気液二相流
千葉大学工学部機械工学科担当者 武居昌宏
参考図書熱流体工学の基礎井口学, 武居昌宏, 松井剛一朝倉書店, 2008 ISBN 4254231210
液
気
固
固気気液
固液
固気液
ボイラー沸騰水型原子炉復水器・凝縮器
スラリー・高炉・流動床
医薬品・化粧品
粉塵・煤塵除去微粉炭・石炭ガス化メタンハイドレートCO2ハイドレート
ウォータジェット
宇宙・星間物質プラズマ加工
液晶スペーサ
化学プラントLNG
発電・コージェネ
化学・エネルギー
航空宇宙・加工
エネルギー・環境
医薬・化粧品・電子部品
金属加工製鉄・化学
バイオリアクター人工臓器
バイオ・農業
エアコン・加湿機・掃除機
氷蓄熱・エコアイス
電力負荷平準化
家電・空調・冷凍機
5.1 混相流の種類と特性
ヒートポンプ
エコキュートhttps://www.mitsubishielectric.co.jp/home/diahot/ecocute/product/p_series/
http://www.hptcj.or.jp/study/tabid/102/Default.aspx
エアコン、冷蔵庫、
圧縮機:圧力↑温度↑pv=RT
冷媒
0℃-10℃
15℃
25℃冷気体
-10℃0℃ 20℃
60℃熱気体
熱交換器凝縮熱を放熱
熱液体冷気液滴二相流
蒸発熱を放熱
膨張弁:圧力↓温度↓pv=RT高温高圧の冷媒液体をオリフィスから霧状噴射弁出口温度を検知しオリフィスの大きさを調節
https://ja.wikipedia.org/wiki/
http://panasonic.co.jp/ism/heat_pump/heatpump03.html#scroll
ボイラ
https://www.khi.co.jp/corp/kte/product/genri_boi_hainetsu.html
https://ja.wikipedia.org/wiki/
水管ボイラ:水管の伝熱部貫流ボイラ:水を循環させない循環ボイラ:循環ポンプや水温度の比重差により、水を循環させるボイラ
図5.4
内壁に液体が存在しない
液滴も存在しない
局所サブクール沸騰が発生
さらに下流では飽和状態の核沸騰が発生小気泡を含む気液二相流
全体が沸騰状態であるバルク沸騰となり気泡の合体が進み大気泡化
この間に管壁を蒸気（泡）が覆う状態(膜沸騰）。
管壁に液膜がなくなり、蒸気（液滴）流れ（噴霧流）に発展
過熱管路内における気液二相流の発達
IGCC(石炭ガス化複合発電)
https://ja.wikipedia.org/wiki/
高温石炭ガス（CO, H2）
SGC熱交換器（シンガスクーラー）
発電効率48～50%の高効率発電
http://www.joban-power.co.jp/nakoso_power_plant/
約600℃蒸気温度
蒸気タービン高温高圧蒸気が噴射圧力と温度が低下速度が増加
Channel box
Fuel rod
Bubbly flow
Fig. Fuel rodの周りの気泡
Control rod cluster
Upper nozzle
Fuel rod
Control rod guide pipe
Fuel rod
Lower nozzlehttp://www.fepc.or.jp/enterprise/hatsuden/nuclear/
原子炉
水平管路の流動様式
気泡流
プラグ流
→ 流れ方向 →
5.2 管内気液二相流の流動様式
気泡流 スラグ流 環状流フロス流
→流れ方向
→
垂直管路の流動様式
環状流
層状流
https://www.pakutaso.com/20130421114post-2664.html
http://www.aquaart.co.jp/index.html
アクア・アート
水平管内流における流動様式線図5.2.4 流動様式
摺動流
堆積流
https://www.toa-const.co.jp/techno/civileng/recycling/g07/
均質流
砂丘流(Dune)
プラグ流
閉塞
固液、気液二相流の流動様式(水平管路)
5.2.1 沸騰・凝縮現象と気液二相流の発生
図5.3 沸騰による気泡の発生
(a)プール沸騰
(b)サブクール沸騰 (c)飽和沸騰
核沸騰 膜沸騰
熱 熱
熱 熱 熱 熱
●相変化を伴う伝熱伝熱面境界層のかく乱⇒熱伝達率の増加
●プール沸騰 液体をためた容器内の沸騰自然対流によって流れが生じる
●強制対流沸騰 対流などの強制的な流れが存在する沸騰●サブクール沸騰 飽和温度より低い液体（サブクール状態）
局所的に飽和状態となり管壁から小気泡が発生離脱しても周りの液体が飽和温度より低いため消滅
●飽和沸騰 沸騰する液体温度が飽和温度に達している周囲液体が飽和状態になると全体が沸騰状態
●気泡流の運動力学気泡: 浮力、抗力、後流による静圧、重力などにより運動
気泡はジグザグ運動、らせん運動をする周囲液体: 気泡からのせん断力、温度差(マランゴニ力)などにより対流(Convection)が生じる
流束(Flux)の例
流れ 流束 ×[s-1]
(Flux)
流束密度 ×[m-2s-1]
(Flux density)
運動量[kg・m・s-1]
運動量流束[N]
=力運動量流束密度[Pa]
=圧力質量[kg] 質量流量
[kg・s-1]
質量流束密度[kg・m-2・s-1]
体積[m3] 体積流量[m3・s-1]
速度分布[m・s-1]
エネルギー[J] エネルギー流束[J/s]=[W]
エネルギー流束密度[J/(s・m2)]=[W・m-2]
熱[J] 熱流束[W] 熱流束密度[W・m-2]
電荷[C] 電流[A] 電流密度[A・m-2]
熱伝導(heat conduction)と熱伝達(heat transfer)熱の仕事当量⇒単位時間当たりの仕事 [J/s]=[W]
●熱伝導⇒温度を均一化する方向[m]に熱エネルギーが移動する現象
フーリエの式 Tkq 𝑞:熱流束密度 [W/m2]= [J/(s・m2)]
単位面積，単位時間当たりの熱移動量k:熱伝導率 [W/(m・K)]
)( fp TThq
h:熱伝達率 [W/(m2K)]
●熱伝達⇒固体表面[m2]と接触流体の間の熱移動
ニュートンの式
Tは同じ物質(連続体)なので勾配
Tは違う物質なので差
pT
fT
:粒子の表面温度[K]
:流体の表面温度[K]
x
x=0 x=1
連続体
固体粒子
流体
プラントルPr数●熱伝導方程式
Tc
k
t
T
ff
2
Tat
T 2
ρf:流体密度[kg/m3], 𝑐𝑓:流体の定圧比熱[J/kg・K]
𝑘:熱伝導率[W/(m・K)] = 熱量の拡散
:温度拡散率(熱拡散率) [m2/s] = 温度の拡散
●流体運動方程式 uu 2
v
t
k
c
k
vc
ck
v
a
v pp
p
/Pr
𝜇:粘度[Pa・s] = 力(運動量)の拡散
: 動粘度[m2/s] = 速度の拡散
●プラントル数:温度拡散率に対する速度拡散率の比
:体積あたり1K温度上げるのに必要なエネルギ[J/m3・K]
ff c
熱量[J]拡散⇒温度勾配があると熱量が拡散(フーリエ法則)⇒熱伝導率k力[N]拡散⇒速度勾配があると力が拡散(粘性法則)⇒粘度μ温度[T]拡散⇒温度変化を示す⇒温度拡散率a速度[m/s]拡散⇒速度変化を示す⇒動粘度ν
●4つの物理量の拡散
ff c
ka
熱伝導率・粘度と温度拡散率・動粘度水位(温度T)は次の関数①n水槽間穴数(熱伝導率k)②L奥行き(密度ρf×比熱cf)
ρ大の流体(ボーリング球)は、 τmによるapは小さい⇒減速しづらい⇒速度が拡散
同体積の密度ρ大とρ小の球を同
じ初速度で転がす。球にかかる抗力𝐹𝐷は同じ⇒しかし密度ρ大球は減速しずらい。⇒なぜか?
D
p
Fa
𝜏𝑚＝− μ𝑑𝑢
𝑑𝑦
粘度𝜇密度ρf
速度
uf
k
T
熱流束密度力の移動量(運動量流束密度)
q
水槽間穴数n
http://camellia.thyme.jp/files/html/others/ThermalDiffusivity20131127.html
水位(温度T)変化をn/L (温度拡散率α=k/(ρfcf))で表すと都合がよい。
●なぜボーリング球は重いのか?FD
FD
ρ大u
ρ小u
FDを粘性応力τmと考えれば
球の減速加速度apは、ρ大の球はapが小さい⇒減速しづらいτm
τm
気体
体積V[m3]、管断面積A[m2]、流体密度ρ[kg/m3]、体積流量Q[m3/s]、質量流量 [kg/s] 、流速（相速度）u、比エンタルピh [J/kg] 添字G:気体（相） 添字L:液体（相）
m
図5.6 ボイド率と流動形態
a 混合の割合
LG
GGG
VV
V
V
V
(5-1)LG VVV
(a)分離流 (b)分散流
5.2.3 重要なパラメ－タの定義と関係
●ボイド率αG[-]:気液混合体積Vに占める気相の体積VG
●管路内流れのボイド率αG: 管路断面積Aに占める気相の断面積AG
LG AAA LG
GGG
AA
A
A
A
●ホ－ルドアップαL[-]: αL = 1 - αG [-] :液相の占める体積割合αG + αL =1、 0 < αG, αL < 1 (5-3)
●クオリティx:気液混相流の質量流量に対する気相質量流量 割合Gm
)( LLLGGG
GGG
LG
GG
AuAu
Au
mm
m
m
mx
))1(( GLLGGG
GGG
uu
u
[-] (5-5)
●気液二相流全体の比エンタルピー(単位質量あたりのエンタルピ) :h [J/kg]
気相の比エンタルピー:hG、液体の比エンタルピー:hL
h=eU+pv [J/kg], eU :内部比エネルギ[J/kg], v:比体積[m3/kg]
LLGG mhmhmh )1(
xhxhm
mhmhh LG
LLGG
LG
L
hh
hhx
[-]
[J/kg][kg/s]=[J/s]
単位を確認すると
z
x
y
uGuL
AL
AG
GmLm
1
1)()(
e
LG
L
LG
Le x
h
hhx ，
●熱平衡クオリティxe :熱力学的平衡の系でのクオリティ
(5-6)
v:比体積[m3/kg], ρ:密度 [kg/m3] h:二相流のエンタルピ[J/kg]、hL:飽和液相のエンタルピ[J/kg]、hLG = hG – hL 気化の潜熱[J/kg]
●気体と液体が熱平衡状態クォリティx と熱平衡クオリティxeは一致
●熱平衡状態にないとき 両者は一致しない熱的に非平衡のとき気泡が発生
●クォリティは0（液体単相流）と1（気体単相流）の間の値熱平衡クオリティーは負の値（サブクール液）や1以上のクォリティ（過熱蒸気）も定義できる
h=eU+pvを代入してeU =一定とすると、
xeが比体積vで書ける
均質流のクオリティx式
定常の均質流では、 constx [-] …(5-9)
[-] …(5-7)))1(( GLGG
GGx
均質流:気液が一様に混合して気相速度と液相速度が等しい流れ:
●均質流のクオリティx
))1(( GLLGGG
GGG
uu
ux
[-] …(5-5)
uG = uLz
x
y
uGuL
AL
AG
GmLm
●すべり比（S） : 液相速度に対する気相速度の比
L
G
u
uS [-] …(5-10) 均質流では …(5-11)
●相対速度ur:液相速度に対する気相速度との差
[m/s] …(5-12)
1S
LGr uuu
d 各物理量と関係
(1) ボイド率－クオリティ式
…（5-10）
G
G
L
G Sx
x
11[-] …(5.13)
))1(())1(( GLGG
GG
GLLGLG
GLG
S
S
uSu
Sux
Suu LG
クオリティの式（5-5）に代入して変形
GG
GL
GG
GLGG
SS
S
x
)1(1
)1(1
GG
GL
Sx
)1(1
1
z
x
y
uGuL
AL
AG
GmLm
すべり比Sの定義より
(2) 相速度u 気相速度uG 液相速度uL
[m/s] …(5.14)
(3) 体積流束密度(見かけ速度) j
uA
AAu
A
AuAu
A
QQjjj LGLLGGLG
LG
)(
[m/s] (5.15)
全体積流束密度: j j = jG + jL [m/s] (5.16)
●均質流のjとαG
(5.17)
G
GG
A
Qu
L
LL
A
Qu
GLL
L uA
Qj 1GG
GG u
A
Qj
j
j
AQAQ
AQ
Q
VV
V G
LG
G
LG
G
LG
GG
//
/
体積流量:Q[m3/s] z
x
y
uGuL
AL
AG
GmLm
A
uG = uL = uとおくと、
(4) 断面平均量ボイド率や相速度には管路横断面上に分布があるボイド率で重みをかけて、断面平均量として扱うη:管断面積A上の局所変数(例えば温度、濃度、速度など)＜＞:断面平均を表す記号 ー:時間平均を表す記号ηの断面平均量は
A
dAA
1
(5.18)
局所ボイド率αGで重みをかけた断面平均量、
G
G
AG
AG
G
dAA
dAA
1
1
(5.19)
(5.18) と(5.19)は同じであるとは限らない!!ηが速度uのとき
uG1
αG1
uG2
αG2A
uuu GG 21
21
2211
GG
GGGG
G
uuu
Guu
A
z
x
y
uG1
AL
AG
GmuG2
●平均化したボイド率-クオリティ式断面平均記号を用いると、
G
G
L
G Sx
x
11…(5.20)
●質量流束密度とクオリティxの関係
x
u
x
u
xA
Au
A
m GLLGGGGGG
1
1
…(5.21)
クオリティの定義より、
m
mx G
Ax
m
A
m G
質量流束密度
質量流束密度をボイド率で表すと
[kg/(s･m2)]
x
mm G
z
x
y
uGuL
AL
AG
GmLm
A
…(5-5)
（5）平均ドリフト速度 VGj
●局所ドリフト速度: ボイド率と相速度の横断面分布を考慮した速度
[m/s] (5.22)
●平均ドリフト速度ＶGj:局所ドリフト速度にボイド率で重みをかけた断面平均量管内流れを1次元的に扱う場合に用いる。
G
GjG
G
GGGj
ujuV
(5.23)
表5.3に気液二相流の主要パラメータをまとめて示す。
juu GGj
j:体積流束密度(見かけ速度)
z
x
y
uGuL
AL
AG
GmLm
[m/s]
●浮力FG:密度ρLの液体中に体積VG、密度ρGの気体が占めたときの浮力と重力の差は、 (5.31) GGLG gVF
図5.9重力場に静止している気液二相流体
gz
p
d
d…(5.24) 積分すると、
…(5.25)
p0: z=0の圧力[Pa]A: 二相流体柱の底面積[m2]ρ: 二相流平均密度[kg/m3]dp: 上下面の圧力差[Pa]αG : ボイド率[-]<αG>:zの断面平均ボイド率
5.3 気液二相流の静力学
zgp d
●圧力pと高さzとの関係を表す基礎式
…(5.26)
…(5.27)
GGLG 1
zgzgpp GGLG 10
ZGGLL gzgzpp 0
<αG>z:zまでの空間平均ボイド率
…(5.28)z
zG
ZG
d
z
x
y
p
p0
AL
AG
p
p
A
dz
g
ρ
O
0pp z=0のとき
二相流に特有の項zが+⇒－
座標原点O:液面下z0
液面（z = z0）に働く圧力pz0
z =z0 - H を代入して 赤面の圧力pは?
⇒ここを液面圧力pz0とおく
1L
G
の場合には、
gH
pp
L
ZHG
)(1 0 …(5.30.2)
HGZGGLL HzgHzgpp
0000
0000 ZGGLLHGGLL gzgzgHgHp
zの代わりに距離Hで表すと
z
x
y
pz0
p0
AL
AGA
g
ρ
O
液面z0
z
H…(5.27)
ZGGLL gzgzpp 0
距離H間の圧力差からボイド率が求まる!!
HGGLL gHgH
00000 1 pgzgzZGGZGL
pz0
p0
21
11
RRp [N/m2]…(5.32)
楕円形（曲率半径R1 、R2）であれば
[N/m2] …(5.33)R
ppp LG
2
R1
σpL σ
pG
R2
VG
ρG
ρL
:表面をできるだけ小さくしようとする液体の力表面張力
rRRrRA d84d4d 22
rRAw d8dd
GL pRRpR 22 484
表面積変化時の仕事dw球気泡がdr大きくなるときの表面積変化:
●ラプラス圧δp[N/m2] 表面張力σ[N/m]
球表面張力ｘ距離
内向きと外向きの力が釣り合うので
※曲面内側の圧力は外側圧力よりも高い気液界面におけるラプラス圧δpは、気泡内圧力pG と液中圧力pLから
dr
半径0.10mmのビール泡のδpはおよそ1.5kPa
pL
p
図5.11 気泡内の圧力
[m2]
[N]
[Nm]
図5.12 気液二相流のモデリング
5.4.1 混合体モデル
均質二相流の基礎方程式（１次元）●質量(mass)保存
0
z
A
A
u
z
u
t
[kg/(s･m3)]…(5.35)
ρ:二相流体の密度、t:時間、u:速度、z:管路軸方向距離、A:管路の断面積、
※管横断面積が一定であれば、左辺第3項は0
●運動量(momentum)保存(運動方程式)
cosgzz
p
z
uu
t
u
[N/m3] …(5.36)
:せん断応力[N/m2], μ:粘度[Pa･s]:鉛直方向からの管路傾斜角
図 混合体の基礎方程式
θ
z鉛直方向
z
A
A
u
x
u
[N/m2]
●エネルギ(energy)保存 ※教科書はかなり特殊なときの式
[W/m3] …(5.37)
h:均質二相流の比エンタルピ[J/kg]cp:均質二相流の定圧比熱 [J/(kg･K)]k:均質二相流の熱伝導率[W/(m･K)]q :管路への単位体積単位時間当たりの熱伝達量[W/m3]
qz
h
c
k
zz
hu
t
h
p
pc
ka
𝑎:温度拡散率(熱拡散率)
[m2/s]
●3つの方程式系には4従属変数ρ, u, p, hと未知関数τ, qが含まれる⇒必要な式1)ひとつの従属変数に関する状態方程式2) τ, qに関する構成式（摩擦損失および熱伝達の関係）
●飽和状態の二相流状態方程式では、 ρG、ρL、hL、 hLGは圧力pの関数
)( pGsatG
(5.42)
)( phh LsatL
(5.43)添字sat は飽和状態
)( pLsatL )( phh LGsatLG
●均質二相流の状態方程式(ρとhとの関係)
…(5.38)
気化潜熱：
…(5.39)
均質流S=1の時のクオリティxとボイド率αGの関係
xx
LGGG
1
)1( …(5.40)
LGGG 1
LG hxxhh 1
LGLG hh h
G
G
L
G Sx
x
11
クオリティxをhで表すと
LG
LG
LG
L
h
hhx
…(5.13)
LG
L
G
LL
h
hh
11
…(5.41)
ボイド率αGを密度ρで表すと
LGL xh h
LGL hhxh
周りの流体と気泡との間の質量移動量、運動量移動量、エネルギー移動量を考える
Γhk:質量移動にともなうエネルギー移動量[W/m3]
Muk:運動量移動量にともなうエネルギー移動量[W/m3]
uL
二流体モデルの基本的な考え方
uG + Δ uGM
uL – Δ uLM
+M
+H
uG
+ΓuG
+ΓhG – ΓhL+MuG – MuL
Γ:気液境界における質量移動量[kg/(s･m3)]
M:気液境界における運動量移動量[N/m3]
H:気液境界におけるエネルギー移動量[W/m3]
Γuk:質量移動にともなう運動量移動量[N/m3]
気泡
+Γ
uG
– ΓuL
周囲の流体
uL
– Γ
– M
– H
液体気化により気泡質量が増加したら?質量移動
運動量移動運動量移動
エネルギ移動
エネルギ移動
二流体モデルの基礎方程式●質量(mass)保存 (単位体積・時間あたりの質量保存)
Γz
A
A
u
z
u
t
kkkkkkkk
)()([kg/(s･m3)] …(5.44)
(管路断面積A ＝constの場合 左辺第3項=0)
●運動量(momentum)保存(運動方程式)
cosg
zMΓu
z
p
z
uu
t
ukk
kk
kkkkkk
kkk
[N/m3] …(5.45)
Γ:気液境界の質量移動量[kg/(s･m3)]、Γの上側符号＋はk=G、下側－はk=L 気泡が液体から質量をもらうときをプラス
k:せん断応力[N/m2]M:気液境界における運動量移動量[N/m3]Γuk:質量移動にともなう運動量移動量[N/m3]
3323 m
N
m
1
s
mkg
s
m
ms
kgkΓu
H:気液境界におけるエネルギー移動量[W/m3] Γhk:質量移動にともなうエネルギー移動量
Muk:運動量移動量にともなうエネルギー移動量
●エネルギ(energy)保存 ※教科書はかなり特殊なときの式
kkk
kk
pk
k
kkkk
kkk
qHMuΓhz
h
c
k
z
z
hu
t
h
[W/m3] …(5.46)
hk:比エンタルピ[J/kg]、cpk:定圧比熱[J/(kgK)]、kk:熱伝導率[W/(mK)]q:管路への単位体積単位時間当たりの熱伝達量 [W/m3]
33 m
W
kg
J
ms
kg
33 m
W
s
m
m
N
h:比エンタルピ [J/kg] v:比体積[m3/kg]pveh U
●未知関数は τG , τL , qG , qL , Γ , M , Hの合計7個気液境界における（各保存則についての）移動則（Γ、M、H）3個の式壁における摩擦（損失）、熱伝達（係数）に対する関係（τG,τL,
qG, qL）4個の式
●基礎方程式7式: 気液相の保存則6式とボイド率の関係式●従属変数はαk , ρk , uk , hk , pk (k=G, L)の10個この方程式系を閉じさせるためには、10個の構成式が必要●（各相）の状態方程式2式
●相間相互作用1式：気液境界における圧力の跳び条件（例えば、pG=pL ）
LG
Lk
G
L
k
L
h
hh
11
…(5.41)参照
[Pa] …(5.34)参照LG ppp
1 LG …(5.47)●ボイド率の関係式
5.5.1均質気液二相流体の特徴
気体と液体が均一混合、気液間にすべりなし、どこでもボイド率αが同じ、平均密度ρをもつ仮想物質の単相流体
LGGG )1( …(5.48)
1L
G
LG )1( [kg/m3] …(5.50)
●均質二相流の圧縮率β
pp
v
v d
d1
d
d1
[1/Pa] …(5.51)
ρv
1 [m3/kg]
…(5.52)
のとき
空気の圧縮は容易水の圧縮は大きな力必要
混じったらどうなる?http://www.jst.go.jp/csc/virtual/find/sound/
混じったらどうなる?
●均質二相流体の密度ρ
※ρのときはマイナスなし
1
Eca
…(5.56)
GGG
G
Gp
d
d1…(5.55)
β =1/E:圧縮率 [1/Pa],βG:気体の圧縮率[1/Pa]E: 体積弾性率[Pa]αG : ボイド率（0<αG<1）
●均質二相流体中の音(微小振幅圧力波)の伝播速度ca[m/s]
GL
G
GGG
G
GLG
a
p
p
c
d
d
)1(
1
d
d1)1(
1
…(5.57)
ppp
LGGG
d
)1(d
d
d
d
d 0d
d
p
L
LG )1( [kg/m3] …(5.50)
sG
aG
pc
…(4.48)
均質気液二相流中の音速caはcaGとボイド率αGに依存
Ga
L
G
GG
a cc
)1(
11
●気体がポリトロープ変化(準断熱過程近似)過程のとき、均質二相流中の音速は、 ※教科書ミスプリ n -> -n
…(5.58)
n:ポリトロープ指数(n=1のとき等温変化，n=kのとき断熱変化）
constn
Gp
LGGGL
G
GG
ap
nppc
)1(d
d
)1(
1
式(5.57)に代入
0
d
d
d
d 1
G
n
G
n
G
G
n
G ppn
p
G
n
G
n
G
G
nppnp
1
d
d
caG:気体中の音速
ボイド率αG
密度
ρ, 圧縮率
β, 音速
a
音速ca
caG
ρL
ρGβL
βG
caL
0 1
図5.13 均質二相流体中の音速
●音速とボイド率
GG
G
G
Gdp
d
1
●圧縮率とボイド率
LG )1(
●密度とボイド率
G
L
G
GG
a ac
)1(
1
…(5.57)
…(5.55)
…(5.50)
0)1(d
d u
zLG
5.5.2定常一次元均質流(二相流のオイラーとベルヌーイ式)uuuT LGLLG ,const,const,1/ (5.59)
(5.60)
(5.61)
●液相の連続の式
●二相流のオイラー式
0)1(
d
)1(d
d
)1(d
g
z
p
z
uu LG
LGLG
const)1(
LG
GGx
(5.62)
●クオリティLGGG
GGx
)1(
式(5.59)よりここだけ0
z
p
z
pLG
d
d
d
)1(d
0)1(d
d
d
)1(d
g
z
p
z
uu LG
LG
dzをかけて整理すると、
(5.65)0d
)1(
dd
zg
puu
LG 二相流のオイラー式
g
z
p
z
uu
d
d
d
d式(5.36)で定常、τ=0、θ=0、1-αGを加味
)(lnddd
)1(
dp
Φp
p
ppp
LLGL
G
L
const1
G
G pΦ
(5.64)
●圧力pのボイド率比
constln2
1 2 gzpΦp
uLL
(5.67)
二相流のベルヌーイ式 第3項は二相流特有の項
積分して
pGL
G
L
d)1(
1
0d)(lndd
d2
1 2 zgpΦp
uLL
(5.66)
※Φはpが入っていてもconst
0d)1(
dd
zg
puu
LG
(5.65)二相流のオイラー式
5.6.1 ボイド率
Sx
Sxx
x
L
G
L
G
G
11
1
1
)1((5.68)
G
G
L
G Sx
x
11
●ボイド率-クオリティ式(5.13)の変形
L
G
L
G
G
xxx
x
11
1
1
)1( (5.70)
均質流S=1
111
1
GG
GL
G
x
Sx
G
L
G
x
xSx
11
機器設計でボイド率は重要
分母分子ひっくり返す
-1を右辺に移動
分母分子ひっくり返す
http://fccj.jp/jp/aboutfuelcell.html
●ボイド率を体積流束jと相対速度ur (非均質流)で表す。
G
LL
G
GG
ju
ju
1,
G
L
G
GLGr
jjuuu
1
011 LGGGrGG jju
αGの二次方程式なので、
●ボイド率と体積流束との関係j
jGG
Grrr
r
G juujuju
42
1 2 (5.69)
jになる点に注意 j=jG+jL
相対速度の式(5.12) 体積流束の式（5.15）
02
GLGGGGrGr jjjuu
02
GGrGr juju
αGでまとめると
表5.5 ボイド率の相関式 （式（5.72）の係数と指数の値）[10]
モデル A p q r
均質流 1 1 1 0
Zivi 1 1 0.67 0
Lockhart-Martinelli 0.28 0.64 0.36 0.07
Thom 1 1 0.89 0.18
Baroczy 1 0.74 0.65 0.13
●一般的な(非均質流の)ボイド率の相関式とその係数μ:粘度 1
11
r
G
L
q
L
G
p
Gx
xA
(5.72)
図5.14 気泡流の流速分布，ボイド率分布
5.6.2 相速度とスリップ比
y:管壁からの距離r:管中心からの距離uL :液体流速の半径分布uLC :最大流速uG:気泡速度の半径分布uGC :気泡の最大流速α :ボイド率の半径方向の分布αc :最大ボイド率
半径R円管内を流れる半径分
布をもった定常な気泡流のスリップ比を考える。
r
uL
uLC
α
αc
uGとuGCも定義しておく
http://www.aquaart.co.jp/index.html
アクア・アート
流速uL、ボイド率αの分布としてべき乗則を仮定すると、流速とボイド率は、※rのほうが一般的!!
m
Gc
m
LcR
ruu
R
ruu GL
11
,
(5.74)
n
cGR
r1
m、nは正の実数、各値を無次元化すると、
R
rr
R
yy
u
uu
u
uu
c
G
Gc
G
Lc
LGL
*,,,,
(5.75)
(5.73)式，(5.74)式の無次元化した式は、※rのほうが一般的!!
(5.73)
mm ruru GL
11
,
(5.76) nG r
1
(5.77)
●無次元化した流速とボイド率
座標変換 drdyry
Rry ,
1,1 **
(5.78)
Lu
r
dr
10
y
10:,0:, ** rRrRdrdr
●断面平均ボイド率
1
0
1
0
*
202
2
22
1
drr
RdrRrR
rdrR
Gc
GC
R
GG
(5.82)
)12(
22
1
0
1*
n
ndrr n
n
c
G
(5.84)
座標の無次元化式(5.75)と、ボイド率分布の無次元化べき乗則式(5.77)を、この断面平均ボイド率式に代入して整理すると、
水色部分の気泡の面積
座標変換 drdyry
Rry ,
1,1 **
(5.78)
液相と気相の質量流量は
1
0
2
0
12
21
drruuR
rdrum
LGCLCL
R
LGLL
(5.79)
(5.80)
●液相と気相の質量流量
水色dr*部分の気相の質量流量
Lu
r
dr
10
y
10:,0:, ** rRrRdrdr
1
0
****2
022 drruuRrdrum LGCGCG
R
GGGG
水色dr*部分の液相の質量流量
●断面平均クオリティxを定数mとnで表す
GL
G
mm
mx
(5.81)
1
2 2
mnnm
mnuRm CGCG
G
1
12
12
2
2
mnnmnm
nmmnmnnmmuR
mnnm
mn
nm
muRm
CLCL
CLCLL
流速とボイド率分布の無次元べき乗則式(5.76)と(5.77)を、液相と気相の質量流量式(5.79)と式(5.80)に代入すると、
(5.A1)
この式に、質量流量式(5.A1)を代入し、uLC=uGCする。
1
111
GG
L
Sx
x
G
G
L
G Sx
x
11
GG
L
Sx
11
11
1
まずはじめに、式(5.20)より、均質流のクオリティと断面ボイド率との関係は、
GG
L
x
111
1
<S>=1のとき、 今考えている流速分布とボイド率分布があるときでも、この式(5.A2)の形にする
(5.A2)
GG
L
cG
L
cG
L
nmn
mnnm
nmn
mnnm
mnnm
mnnm
m
x
)12(
12
11
111
1
111
)12(
22
1
0
1*
n
ndrr n
n
c
G
n
nG
c2
)12(
式(5.84)より
GL
G
mm
mx
(5.81)
一方、式(5.81)に、m,n,αCで表した質量流量式(5.A1)を代入して整理すると、
αCに代入する
流速分布とボイド率分布があるときでも、式(5.A2)の形になった!!!
G
f
G
LK
x
11
1(5.83)
)12)(1)(12)(1(
)2)((2
nnmm
mnnmmnnmK f 教科書の(5.85)
Kf :Bankoffの流れパラメータ定数m,nで表されたり、または、実験によって定められる
81045.171.0 pK f(p: 圧力[Pa]) (5.88)
nmn
mnnmK f
)12(
12(5.85)
下記の教科書の式(5.85)は、rの取り方が違う!!
式(5.83)は、式(5.A2)と比べてKfがついている
●すべり比Sを定数mとnで表す
G
G
G
L
x
xS
1
1(5.86)
ボイド率クオリティの関係式(5.13)より、すべり比Sは、
Gf
G
KS
1(5.87)
G
G
L
G Sx
x
11
式(5.83)を変形すると、
Gf
G
L
G
G
Gf
G
L
G
f
G
L
Kx
x
K
x
xK
x
1
111
1
この式を式(5.86)に代入すると 分布があるときの<S>はBankoffの流れパラメー
タとボイド率で表される!!!
5.6.3 ドリフトフラックスモデル
気相の局所ドリフト速度を断面平均化して扱う方法。気相のドリフト速度は、式(5.16)の体積流束jとして、式(5.22)より
uGj＝uG - j (5.89)
この式にボイド率αGで重みをかけて横断面平均化した平均ドリフト速度VGjは、
G
G
G
GG
G
GjG
Gj
juuV
(5.90)
C0を分布パラメータとすると、式(5.90)は、
jCj
VG
G
Gj 0
(5.91)
j
jC
G
G
0 （分布パラメータ） (5.93)
j体積流束(見かけ速度)とjGは、式(5.16)式(5.17)参照
Gj
式(5.90)より、気相の断面平均流速は、
(5.94)
G
GjGG
G
LG
LL
VjCuu
1
1
1
)1( 0
(5.95)
液相の断面平均流速は、
jCVu
u Gj
G
GG
GG 0
断面平均のすべり比は、式(5.94)と式(5.95)より、
GjGG
GjG
LL
GG
VjC
jCV
u
uS
0
0
1
1(5.96)
断面平均のすべり比は、平均ドリフト速度VGj 、分布パラメータC0、体積流束j、ボイド率αGで表される
GL jj 1
教科書よりもこちらが一般的
jCVu GGjGLG 01)1( と式(5.94)より
よって、
j
j
C
G
G
0
1
仮に均質流uG=uLを仮定すると、
平均ドリフト速度
j
jG
G (4.98)
10 C
(4.99)
なお、1/ C0はKf :Bankoffの流れパラメ-タに対応する。
の場合のC0と平均ボイド率との関係、
(4.97)10 j
jC
G
G
分布パラメータ
00 jCj
VG
G
Gj
平均ボイド率
5.6.4 圧力損失
定常二相流の単位流路長さ当りの全圧力損失Δptpは、
(5.100)
位置損失Δpp 、加速損失Δpa、摩擦損失Δpfから成る。摩擦損失Δpfは、
(5.101)
ΔppとΔpaが与えられると、摩擦損失を求めることができる。位置損失Δppは、
sin1 gp GGLGp (5.102)
ボイド率が与えられれば求まる。水平管では位置損失は省略できる。加速損失Δpaは、定常であり、かつ質量移動がなければ
0~Δ ap
faptp pppp
aptpf pppp
(a)単相流モデル滑らかな円管内の単相流の単位長さの摩擦損失式(ダルシーワイズバッハ式)
2
2
11u
dp f (5.103)
管直径d、液体密度ρ、液体速度u管摩擦係数λは、
Re
64λ (層流：0＜Re=ud/ν ＜2300) (5.104)
-0.250.3164Reλ
(乱流：ブラジウスの式 2300＜Re＜105) (5.105)
-0.2370.221Re0.0032
（乱流：ニクラーゼの式 105＜Re＜108） (5.106)
二相流でも式（5.103）と同様に、二相流の流速u、密度、管摩擦係数で表す。
GL jjju (5.107.1)
j
jj GL GL
(5.107.2)
tpλλ （実験から0.02～0.03） (5.107.3)
を代入すると、二相流の摩擦損失は、
)(2
11
)(2
11
LGL
2
LGL
GGLtp
GGL
tpf
jjjjd
jjj
jj
dp
(5.108)
LGLGGG ujuj 1,均質流を仮定すると、
2乗がない点に注意
GG GL 1
ρをjで表す点に注意
ΔpG 気相層状流部の摩擦損失、ΔpL 液相層状流部の摩擦損失、Δpf 二相流の摩擦損失
(b)層状分離流モデル(Lockhart-Martinelli法)
1次元層状分離水平流について、
LGf ppp (5.109)
G
G
G
GG
U
d
U
Ad
24
L
G
L
GL
U
d
U
Ad
2
)1()1(4
(5.112)
dG, dL 水力学的直径(相当直径)は、
管路内径d、管断面積A, ぬれ縁長さUG,UL
U
Ad
4一般的な水力学的直径(相当直径) は、
層状分離流
→ 流れ方向 →
気相
液相
教科書ミスプリ
fLG ppp ●式 (5.109A)の意味
UG過大評価⇒dG過小評価ΔpG 過大評価そのΔpGにΔpLが含まれる
液相のぬれ縁長さUL
気相のぬれ縁長さUGΔpG
ΔpL液相の面積αGA
気相の面積(1-αG)A
4
2dA
管断面積A
d
UL過大評価⇒dL過小評価ΔpL 過大評価そのΔpLにΔpGが含まれる
25.0
25.0 3164.0Re3164.0
L
LLLL
ν
duλ
(5.113)
式(5.113)を式(5.110)に代入してΔpGを求めると、
25.0
25.0 3164.0Re3164.0
G
GGGG
du
気相部、液相部の流れが乱流のとき、管摩擦係数はブラジウスの式より、
(5.114)
G
GGGG
d
up
2
2
L
LLLL
d
up
2
2(5.110) (5.111)
気相部と液相部の摩擦損失ΔpGとΔpLは、
75.125.1
0
75.125.12
25.0
2225.025.025.0
225.0
1
1
23164.0
1
2
13164.0
23164.0
GG
G
GG
GG
G
G
GG
GGG
GG
G
G
GG
G
GGG
d
dp
d
d
d
jdj
d
d
d
j
d
ddj
d
udup
G
GG
ju
(5.115)
uGではなくてjGを使うのがポイント!!ΔpG0は、気体のみが管路内全体にわたって流れたときの単相流の摩擦損失。 αG=1のとき速度uGはjGと同じ。
j:体積流束(見かけ速度)[m/s] 式(5.16)式(5.17)参照
75.1
75.4
0
G
G
GG kd
dpp (5.115)
1
22
1
G
GG
G
GGGG
kd
d
U
d
d
d
U
d
d
d
G
GG
d
Uk
ここで式(5.112)
を、式(5.115)に代入すると、
UG,ULぬれ縁長さ、dG, dL水力学的直径
(5.116)
同様に、式(5.114)を式(5.111)に代入すると、
75.1
75.4
0
75.125.1
01
1
L
L
L
GL
LL
kd
dp
d
dpp
G
G
G
GG
U
d
U
Ad
24
より、
補正係数
式(5.115)と式(5.116）より、単相流の摩擦損失に対する二相流の摩擦損失の比（二相摩擦乗数）をΦの2乗で表すと、
75.1
75.4
0
2
G
GG
GG k
d
d
p
pΦ
(5.117)
75.1
75.4
0
2
L
LL
LL k
d
d
p
pΦ (5.118)
ΔpL0は、液体のみが管路内全体にわたって流れたときの単
相流の摩擦損失。この式の導出過程で、次の関係を用いている。
G
LL
ju
1L
LL
d
Uk
L
LLLLG
d
U
d
d
d
U
d
d
2
)1(
※式(5.64)の二相流の圧力pのボイド率比Φとは違う物理量
● L-Mパラメータによる気液二相流の摩擦損失とボイド率
一方、単相流の場合のΔpG0 とΔpL0の比をダルシーワイズバッハ式を用い、Lockhart-MartinelliのパラメータＸの2乗で表すと、
0
02
G
L
p
pX
(5.119)
G
L
G
L
G
L
GG
G
G
LL
L
L
G
L
u
u
d
udu
d
udu
p
pX
25.075.1
0
0
2
0
25.0
0
2
0
25.0
0
0
02
23164.0
23164.0
(5.119)
uL0はjL、uG0はjGと同じ
図5.15 気液二相流の摩擦損失とボイド率
0
02
G
L
p
pX
0
2
G
GG
p
pΦ
0
2
L
LL
p
pΦ
⇒
気相の圧力損失大
ΔpG
ΔpL
⇒液相の圧力損失大
ΔpG
ΔpL
各相の流れが乱流(t)か層流(v)かによって関係が異なり、詳細なL-MパラメータXは表5.6に分類 両相ブラジウスの式(5.119)と(5.120)の場合と比較
表5.6 L-MのパラメータXとChisholm のパラメータc
1
22
d
dk
d
dk L
LG
G (5.121)
次にΦとＸの関係を解析的に考える。式(5.112)より、
UG,ULぬれ縁長さ、dG, dL水力学的直径
G
GG
d
Uk
G
GGGGG
d
U
d
d
d
U
d
d
2
L
LLLLG
d
U
d
d
d
U
d
d
2
)1(
αG+(1-αG)=1なので、
L
LL
d
Uk
ここで、
75.4
5.3375.2
1
2
21
G
G
G kΦd
d
これらを式(5.121)に代入して、dG/dとdL/dを消去すると、
式(5.117)より、
75.4
5.3375.2
1
2
21
L
L
L kΦd
d
kGとkLの値を1とおいて、式（5.122）を1/nの累乗で表すと、
111
1
2
1
2
n
L
n
G ΦΦ(5.123)
式（5.119）より、
nnG XΦ
22
1n
L XΦ
2
2 1
(5.124)
222 XΦΦ LG 222 XΦΦ GL
式（5.123）に代入
111 263.0
375.2
1
2
263.0375.2
1
2
L
L
G
G
kΦ
kΦ (5.122)
式(5.124)でn=2.375、実際には実験結果に合うようにする。Wallisは、n=4とおいて、
XXΦG 2
1
21 12
1
21
XXΦL(5.125)
Chisholmは次式とした。22 1 XcXΦG 2
2 11
XX
cΦL (5.126)
cの値は、表5.6
表5.6 L-MのパラメータxとChisholmのパラメータ
(C) 1次元釣合いモデル
沸騰ループ管路系気泡の浮力で循環が生じる。
浮力による駆動力と管路の全抵抗力が釣合っている定常1次元流を考え、圧力損失比Ψと摩擦損失比Ψfを求める。
gARgAH LGL )(
(5.127)
，
図5.16 沸騰ループ管路系A:管路横断面積、H:駆動水頭、R:管路の全圧力損失水頭
H:駆動水頭
[N]
R:管路の全圧力損失水頭=Rs+Rt
Rt:二相流部
(上昇管
)の圧力損失水頭
Rs:単相流部
(下降管
)の圧力損失水頭
ts
tf
fR
RΨ
ts
t
R
RΨ
駆動力と抵抗力の釣合いは、R
tf:二相流部の摩擦損失水頭
Rts
:二相流部の液単相時の圧力損失水頭
●圧力損失と摩擦損失は異なる!! 式(5.100)参照
定常二相流の単位流路長さ当りの全圧力損失Δptpは、
(5.100)
位置損失Δpp 、加速損失Δpa、摩擦損失Δpfから成る。
位置損失Δppは、
sin1 gp GGLGp (5.102)
ボイド率が与えられれば求まる。水平管では位置損失は省略できる。加速損失Δpaは、定常であり、かつ質量移動がなければ
0~Δ ap
faptp pppp
管路の全圧力損失水頭Rは、単相流部(下降管)の圧力損失水頭Rsと二相流部(上昇管)の圧力損失水頭Rtの和なので、
ts RRR
ここで、 ζsとζtは単相流部と二相流部の圧力損失係数、速度uは単相流部と二相流部とでは同じと仮定
2
2u
gR s
s
2
2u
g
ζR t
t
いま、仮に、二相流部で液体のみが流れている時(液単相時)の圧力損失水頭Rtsは、 2
2u
gR ts
ts
ζts :二相流部の液単相時の圧力損失係数液単相時の管路の全圧力損失係数ζは、
tss ζζζ (5.130)
※全圧力損失水頭Rは、位置損失水頭、加速損失水頭、および、摩擦損失水頭が含まれているが、 ζsとζtを用いてこの式で表される。
式（5.127）を変形して
g
uu
gu
gRR
A
AH
g
gR tts
tsts
L
GL
2)(
22
)( 222
(5.131)
gAH
uA
FGL
L
rT)(
2
2
2
(5.132)
と定義すると、FrTとζとの関係は、式(5.131)と式(5.132)より、
2
rTtst F (5.133)
二相流フルード数(慣性力と重力浮力との比)FrTを
↓式(5.130) tss ζζζ
ζt :二相流部の圧力損失係数ζts :二相流部の液単相時の圧力損失係数
ζ :管路中の液単相時の全圧力損失係数
2))(1(
2uAgAH LGL (5.134)
2)1(
rTF
2 rTtst F
211
rTts
ts
t
ts
t FR
RΨ
(5.135)
(5.136)
よって、圧力損失水頭比Ψは、式(5.136)の両辺をζtsで割
ると、(5.137)
よって、式(5.135)を式(5.133)に代入すると
tss ζζζ
Rts二相流部の液単相時の圧力損失水頭、Rt二相流部(上昇管)の圧力損失水頭、Rs単相流部(下降管)の圧力損失水頭
浮力による駆動をポンプ駆動とすると、駆動力は、(ρL-ρG)gAHであるが、二相流部の抵抗Rt-Rtsに相当する分だけポンプ効率は減少した。その減少分をηとすると、ポンプの有効駆動効率は1－ηである。よって、式(5.127)より、
次に、摩擦損失比Ψfを求める。二相流部における摩擦損失水頭Rtfは、 tattf RRR (5.138)
Rtは二相流部(上昇管)の圧力損失水頭、Rtaは二相流部における加速損失水頭。上昇部出口のボイド率αe、液相速度uLe、気相速度uGe、気体の発生速度uGBすると、
摩擦損失比Ψfは
2
22
1
211
u
uF
R
RΨ
e
GB
L
G
e
erT
ts
ts
tat
ts
f
ts
tf
f
(5.140)
実験によれば7.01 η すなわち 3.0η (5.141)
uuLee )1( GBGee uu (5.139)
tsrTt F 2
ta
ζts:二相流部の液単相時の圧力損失係数、ζtf:二相流部の摩擦損失係数、ζt:圧力損失係数、ζta:加速損失係数
式（5.135）
2
図5.17 一次元つり合いモデルによる摩擦損失相関式その1
2)1(
rTF
ζ:管路中を液体のみが流れて
いる時の管路の全圧力損失係数
図4.17 一次元釣合いモデルによる摩擦損失相関(式)
(b)
水n-ペンタン
強制循環自然循環
式（5.137）
図5.17 一次元つり合いモデルによる摩擦損失相関式その2
2
211
rTts
ts
t
ts
t FR
RΨ
圧力損失比Ψ
(c)
式（5.140）
図5.17 一次元つり合いモデルによる摩擦損失相関式その3
水n-ペンタン
強制循環自然循環
2
2
22
1
211
u
uFΨ
e
GB
L
G
e
erT
ts
f
摩擦損失比Ψf
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