【2009 2학기 미분방정식 시험 #1】 학과 학번 이름

문제 1(26점): 질량 1kg인 물체가 스프링 상수 9N/m인 스프링에 연결

되어 진동하고 있다. 이 진동자는 감쇠(damping)상수 N sec/m인유체 속에 있다(감쇠력은 속도에 비례한다). 다음 물음에 답하라.(a) Newton 법칙을 사용하여 운동방정식(미분방정식)을 구하라(3점). (b) 에서 질량이 진동의 평형위치를 통과하고( ), 그때 속

도는 아래 방향으로 1m/sec임이 관찰되었다. 이 감쇠진동의 해를 구하

라(8점). (c) 진동의 에너지가 초기( )값의 감소하는데

걸리는 시간을 구하라(2점). (d) 감쇠진동의 주기는 얼마인가? Undamped 진동자의 주기와의 차이를 구하라(3점). (e) 감쇠진동의 Q값을 구하라(2점). (f) 위 감쇠 진동자에 외부력 cos가 주어졌

을 때 안정적인 해(steady state solution)를 구하라(8점).

답: (a)

에서

이다.

(b) 를 대입하면 이다.

± 이다.

따라서 해는 cos sin이다. 그리고

cos sin

sin cos이

다. 여기서 로 두었다. 초기조건에서 ,

즉

를 얻는다. 따라서 해는

sin

를 얻는다.

(c) 에서

sec이다.

(d)

,

,

(e)

(f)

에서

cos특수 해를 cos sin로 두고, 이를 위 식에 대입하면

cos sin sin cos cos sin cos을 얻고, 위양변을 비교하면 을 얻는다. 따라서 이다. 결국 안정적인 해는

cos sin와 같이 구해진다.

문제 2(19점): 질량 인 육면체의 물체가 초속도 로 마찰이 없는 면으

로 미끄러져 간다고 하자. 공기의 저항력은 속도에 비례하고, 그 비례상수

는 라고 한다.

(a) 운동방정식(미분방정식)을 구하고 임의의 시간 에서의 물체의 속도를

구하라(7점). (b) 임의의 시간에서 물체의 위치를 구하라. 초기의 위치는

로 둔다(7점). (c) 물체가 이동하는 거리를 구하라. 공기저항이 없다

고 할 경우 물체의 운동은 어떠한가? (5점)

(답) (a) 물체에 작용하는 힘은 공기 저항력 밖에 없으므로 Newton의 제

2법칙에서

를 얻는다. 이는

와 같이 고쳐 쓸 수

있다. 이를 적분하면

에서

ln

⇒

을 얻는다.

(b) 위 식은

과 고쳐 쓸 수 있고 이를 다시 적분하면

에서

를 얻는다.

(c) 최종 이동거리는 →∞일 때이므로

이다. 공기 저항력이 없

다면 물체의 속도는 변함없이 이다.

문제 3 (17점): 질량 인 구(sphere)가 초기속도 에서 유체로 떨어

진다고 하자. 유체에 의해 속도에 비례하는 저항력이 작용한다. 그 비례상

수는 이다. (a) 이 물체의 운동방정식을 구하라(2점). (b) 종단속도

(terminal speed)의 표현을 구하라(3점). (c) 임의의 시간에서 물체의 속도

에 대한 표현을 구하라(7점).

(d) , · sec 일 경우 물체의 종단속도를 구하라.

그리고 종단속도의 90%에 도달하는데 걸리는 시간을 계산하라. 중력가속

도는 sec 을 사용하라(5점).

(답) (a)

(b) 종단속도에서 속도가 일정하게 되므로

이다. 따라서

이다. (c) 임의의 시간에서 속도를 구하기

위해서는 위 미분방정식을 풀어야 된다. 위 식을 정리하면

이다. 그리고 이를 적분하면

에서

을 구할 수 있다.

(d)

sec이다. 그리고 에서

sec이다.

문제 4(18점): 미분방정식 에 대해 다음을 답하

라.

(a) 위 미분방정식은 완전미분방정식이 아님을 보여라(5점). (b) 적분인자

를 구하라(5점). (c) 적분인자를 이용하여 위 미분방정식의 해를 구하라(8

점).

(답) (a) 완전미분방정식이 되기 위해서는

를 만족하여야 한다.

이므로 위 조건을 만족하지 않으므로 완전미분방정식이

아니다.

(b)

이므로 적분인자는

ln 이다.

(c) 미분방정식에 적분인자를 곱하면 을 얻는

다. 위 미분방정식이 완전미분방정식이 되려면 함수 가 존재하는데 이

함수는

를 만족한다. 이를 위 미분방정식과 비교하

면

이고 이를 적분하면

를 얻는다. 이를 에 대해 미

분하면

′가 되고 미분방정식과 비교하면

′ → ≡를 얻는다. 따라서 → 에서 해는

이다.

문제 5(20점): ″′ ′ 의 해를 구하라.

(답) Homogeneous 방정식의 해는 ″′ 에 를 대입하면

에서 를 얻는다. 따라서

이다.

우변 항의 형태에서 특수해를 라고 가정할 수 있고, 이를 미

분방정식에 대입하면 를 얻는다. 계수를 비교하면

를 얻을 수 있다. 따라서

이다. 위 미분방

정식의 일반해는

이다. 초기조건을

이용하여 계수 를 구한다. 에서 을 얻는다. 그

리고 ′ 에서

를 얻는다. 따라서

를 구할 수 있다. 결과적으로 해는

이다.

【2009 2학기 미분방정식 시험 #2】 학과 학번 이름

※ 모든 과정을 명확히 쓸 것. 요행히 답만 맞는 경우에는 0점 처리됨.

문제 1: (a) 아래 회로에서 matrix

가 만족하는 연립미분방정식

을 구하라. 그림에 주어진 회로성분 등으로 표현하라(5점).

(b) 라고 할 때 를 연

립미분방정식의 대각화법(diagonalized method)을 이용하여 구하라. 초기

조건은 이다(15점).(c) 를 구하라(5점). (d) →∞에서

위 전류들에 대해 물리적 해석을 하라. 가 최고점에 도달하는 시간을

구하라(5점).

답: (a) 두 폐회로에서 kirchhoff 법칙을 적용하면

를 얻는다.

정리하면

을 얻고, 이를

에 대

입하면

을 얻는다. 따라서 위 두식에서

을 구할 수 있다.

(b)

에서 matrix 를 대각화하면

에서 고유치는 과 같이 구해진다.

과 에 대응되는 고유 vector는 각각

,

와 같이 구해진다. 따라서 homogeneous 해는

와 같이 구해진다. 특이해

(particular solution)는

로 가정할 수 있다. 그리고

이

므로 원래의 미분방정식에 대입하면 을 얻는다. 따라서 일반

해는

이다. 초기조건을 사용

하면 을 얻을 수 있다. 따라서 이 문제의 최종적인 해는

이다. 그리고 각 전류는

, 이다.

(c) 이다.

(d) →∞에서 을 얻는다. 두 inductor 는 도선과 같이

행동한다. 의 최고점은 에서 m ax sec이다.

문제 2: ″ ′ ′ 의 해를 구하라. (20점)

(답) Homogeneous 해는 ″ ′ 의 결정식인 에서

(중근)이므로 와 같이 구해진다. 특수해는 방정식

의 우변에 있는 가 에 존재하고, 또한 도 에 존재하므로

와 같은 형태가 되어야 한다. 이를 미분방정식에 대

입하여 정리하면 을 얻고 좌우변

을 비교하여 계수를 구하면 을 얻는다. 따라서

특이해는

이다. 일반해는

이다. 초기조건을 적용하여

계수를 구하면 최종적인 해는

이다.

문제 3: ″ ′ sin ′ 의 해를 구하라.(20점)

(답) Homogeneous 해는 결정식 에서 ±

이므로

cos sin 이다. 특이해는

sin cos 와 같이 가정할 수 있고 이를 미분방정식에 대입하

면 sin cos sin을 얻고 좌우변의 계수

를 비교하면 을 얻는다. 따라서 일반해는

cos sin sin

cos이다. 초기조건을 적용하면 최종적인 해는

cos

sin sin

cos이다.

문제 4: (a) 연립미분방정식 ′′

에서 matrix

를

대각화(diagonalized)하는 변위 matrix 를 구하라(5점). (b) 이 변위

matrix 가 matrix 를 대각화함을 보여라(5점). (c) 위 미분방정식의

초기조건

일 때의 해를 구하라(5점).

(답) (a) 먼저 matrix 의 고유치를 구하면

에서

가 구해진다. 고유치 에 대응되는 고유 vector

는 각각

, 과 같이 구해진다. 따라서 변위 matrix는

이다. (b)

이므로

을 확인할 수 있다. 따라서 변위 matrix 가 matrix

를 대각화하여 고유치 1, 5가 주어진다는 것을 볼 수 있다. (c) 미분방정식

의 일반해는

로 주어진다. 초기조건을 적용하

면 가 구해지므로 최종적인 해는

이다.

문제 5: cos의 특이해를 연산자의 특성을 사용하여 구

하라(15점).

(답)

cos

cos

cos

cos

cos

cos sin

등 연산자 사용방법은 여러 가지 해법이 있을 수 있음.

【2009 2학기 미분방정식 시험 #3】 학과 학번 이름

※ 모든 과정을 명확히 쓸 것. 요행히 답만 맞는 경우에는 0점 처리됨.

문제 1. (a) 아래회로에서 축전기에 충전되는 전하량 에 대한 미분방정식

을 구하라. (b) 위 미분방정식을 Laplace 변환법으로 풀어서 를 구하

라. 회로요소의 값들은 , , , 이고, 초

기조건은 이다. (c) 회로를 흐르는 전류 의 시간에 따른

변화를 구하라. 시간이 오래 경과된 후의 전류에 대한 물리적 해석을 하

라.

(a)

에서

이므로

이다.

(b) 회로요소의 값들을 대입하면

″′ 을 얻는다. Laplace 변

환을 하면

″ ′ 이 되고, 이는

′ 이다.∴

에서

이 되므로

가 된다.

따라서 역 Laplace 변환을 하면

이 되고 cos,

sin를이용하면

cossin 를 얻는다.

(c) sin ⇒ lim

→∞

초기에는 inductor L의 방해에 의해 전

류가 흐르지 못하고 약간의 진동을 하다

가, 종래에 축전기에 충전이 끝나면 전

류는 0이 된다.

문제 2. (a) 아래 회로에서 전류 가 만족하는 미분방정식을 구하라.

(b) , 일 때 위 미분방정식을

Laplace 변환법으로 풀어서 를 구하라. 이다.

(c) 을 구하라. 시간이 많이 경과된 후의 각 전류의 값은 얼마인가?

(a)

(b)

,

정리하면

,

이 된다.

이를 Laplace 변환을 하면

, 이 된다.

두 번째 식에 을 곱하고 첫 번째 식에 400을 곱하여 빼 주면

을 얻는다. 따라서

이라

두면 를 얻을 수 있다.

에서

를 얻는다.

(c)

→∞인 경우

이다.

문제 3: 미분방정식 ″ ′ 에 대해 다음 물음에 답하라.

(a) 점 이 정칙특이점(regular singular point)임을 보여라.

(b) 근방에서의 멱급수해(series solution)를 구하라.

(답): (a) ″

′

에서

이다.

이므로 는 에서 정칙

이다. 따라서 점 는 정칙특이점이다.

(b)

′

″

∴

정리하면

이다.

∴

(i) 인 경우

← 에서

이 되어 성립되지 않음.

(ii) 인 경우

⋯ 즉 ⋯ 이다.

로 두면

⋯

다른 하나의 해는 을 이용하여 구하면 된다.

즉 ′

이다.

″

′

에서

이므로

ln

′ ln

이고 ′

ln

이다.

∴ ln이다. 결과적으로 일반해는 ln이다.

문제 4. 길이 인 현의 진동에서 아래와 같은 초기 및 경계조건에서 파동

방정식

의 해를 구하라.

경계조건: , 초기조건: sin

(답) 변수를 분리하면 ″

″

″ , 의 경우에만 해가 있다.

∴ cossin이다. 경계조건을 사용하면

→ →sin ∴ ∴ sin ⋯ 이므로 ″ → cossin∴

∞

cossinsin

초기조건을 적용하면 sin

∞

sin →∴

그리고

이므로 모든 이다.

따라서 최종적인 해는 cos sin이다.

문제 5. ≤ ≤ ≤ ≤ 의 열판이 열평형상태에 있다. 이는 Laplace 방

정식

로 표현된다. 아래 경계조건에 대한 해를 구하라.

경계조건: sin

(답) 변수분리를 하면 ″

″

이다.

″ 인 경우에만 해가 존재한다. 해는 sincos이다. → , sin →

∴ sin

이므로 ″

이다.

그리고 해는 cosh

sinh이다.

→ , ∴ sinh

따라서

∞

sinh sin

이다.

마지막 경계조건을 적용하면

sin

∞

sinh sin

이고,

양변을 비교하면 이 되어야 한다. 그리고 sinh

이다.

나머지 인 이므로 sinh

sinh sin

이다.

【2010 2학기 미분방정식 시험 #1】 학과 학번 비밀번호 이름

문제 1: 경계조건(boundary condition)이 주어진 아래의 미분방정

식을 풀어라(15점).

답:

적분인자는 ln 이다. 따라서 이를 미분방정식의 양변에

곱하면 ′ 이므로 적분하면

를 얻는다.

경계조건을 사용하면

가 구해진다. 따라서 최종적인 해는

이다.

문제2: 경계조건이 주어진 아래의 미분방정식을 풀어라(15점).

′

(답) 정리하면 이 되고

가 되므로 위 미분방정식은 완전미분이다.

에서

이므로 이를 적분하면

를 구한다.

′ 에서

′이므로 가 된다. 따라서 해는 → 에서

이다. 경계조건을 사용하면 로 구해지므로

최종적인 해는 이다.

문제3: 아래 미분방정식의 일반해(general solution)를 구하라(15점).

″′

(답) Homogeneous 미분방정식의 해는

이다.

에 위의 해인 가 포함되어 있으므로 Particular 해

는 의 형태를 가져야 된다.

′ , ″ 이므로 이를 원래

의 미분방정식에 대입하여 의 계수와 비교하면

이 구해진다. 따라서 일반해는

이다.

문제4: 2kg의 물체가 매달린 스프링이 있다. 이 스프링의 스프링 상수와

감쇠(damping)상수는 각각 12N/m와 14Kg/s이다. 이 스프링 계를 1m 아

래로 당긴 후 정지된(at rest) 상태에서 놓았을 때 임의의 시간 에서의

물체의 위치를 구하라. 그리고 위 스프링이 임계감쇠(critical damping)가

되기 위해서는 물체를 어떤 질량(값을 구하라)으로 바꾸어야 하는가(15

점)?

(답)

에서 값을 대입하면 ″′ 를 얻는

다. 그리고 초기조건은 ′ 이다. 위 미분방정식의 해는

이다. 초기조건을 적용하면 → .

′ 이다. 따라서

이다.

미분방정식의 auxiliary equation은

→

±이므로 임계감쇠의 경우는

→

kg이다.

문제5: (a) 가 직렬로 연결되어 있고 직류전원

12V가 회로에 걸려있다. 초기에 축전기의 전하(charge)와 회로를 흐르는

전류(current)가 0인 경우 임의의 시간 가 흐른 후의 전하와 전류를 구하

라. →∞에서 축전기의 전하의 량과 회로를 흐르는 전류를 구하라(20점).

(b) 위 회로에서 직류전원 대신에 교류전원 sin가 걸린다고

할 때 임의의 시간 가 흐른 후의 전하와 전류를 구하라. 초기에 축전기의

전하와 회로를 흐르는 전류가 0이라고 한다(20점).

(답) (a) 에서

를 이용하고 주어진 값을 대입하

면 ″′ 을 얻는다. 여기서 초기조건은 ′ 이다. →±이므로 homogeneous 방정식의 해

는 cossin이고 particular 해는 이다.

를 원래의 미분방정식에 대입하면 를 구할 수 있다. 따라서 일

반해는 cossin

이다. 초기조건을

적용하면

→

을 구할 수 있다.

′ cossin 이고,여기에 초기조건을 적용하면 ′ →

이다.

따라서 해는

cossin

,

sin이다. →∞에서 →

→으로 접근한다. 여기서

와 일치한다.

(b) ″′ sin이므로 particular 해는

cossin로 둘 수 있다. 이를 원래의 미분방정식에 대입하

면 를 구할 수 있다. 따라서 일반해는

cossin

cos sin

와 같이 구해진다. 초기조건 →

을 얻는다. 그리고

′ sin

cos cossin

에서 ′ → 이므로

을 얻는다. 따라

서 임의의 시간에서 전하와 전류는

cos sin

cos sin

sin cos

cos

sin이다.

【2010 2학기 미분방정식 시험 #2-1】 학과 학번 이름

문제1: 아래 스프링 시스템에서 m1=m2=1이고 k1=6, k2=4이다. 그리고 초

기조건은 x1(0)=0, x1'(0)=1, x2(0)=0, x2'(0)=-1이다. Matrix 대각화 방법으

로 x1(t), x2(t)를 구하라.

답)(a) ″ → ″″ →″

″″

→ ″

→

∴ ″″

→ sin cos sin cos

→

→ →

→

→ →

→

sin cos sin cos

sin cos sin cos sin cos sin cos ′ cos sin cos sin ′ cos sin cos sin 초기조건을 적용하면

∴

sin sin

sin sin

문제 2:아래 회로에 대해 와 를 Laplace 변환을 이용하여 구하

라. 이고 이다.

(Hint; ℒ

cosh ℒ

sinh )

(답) (a)

→′

′ →× ′

′ →

′ →

두 식을 연립하여 풀면

ℒ

cosh

sinh

∴

cosh

sinh

문제 3: 아래 초기조건 문제를 Matrix 대각화 방법을 이용하여 풀어라.

′′

(답)

→

에 대해서는

→

∴

에 대해서는

→

∴

←

∴

문제 4: 아래 초기조건 문제를 Laplace 변환을 이용하여 풀어라.

″ ′ ′

(답) ℒ″ ℒ′ ℒ ℒ

′

ℒ

【2010 2학기 미분방정식 시험 #1】 학과 학번 이름

문제1: 아래 스프링 시스템에서 m1=m2=1이고 k1=3, k2=2이다. 그리고 초

기조건은 x1(0)=0, x1'(0)=1, x2(0)=1, x2'(0)=0이다.

(a) Matrix 대각화 방법으로 x1(t), x2(t)를 구하라.

(b) Laplace 변환으로 미분방정식을 풀어 x1(t), x2(t)를 구하라.

(

답)(a) ″ → ″″ →″

″″

→ ″

→

∴ ″″

→ sincos sin cos

→

→ →

→

→ →

→

sin cos sin cos

sin cos sin cos cos sin cos sin ′cossin cos sin ′ sin cos sin cos 초기조건을 적용하면

∴

sin cos

sin cos

sin cos

sin cos

(b) ″

″

위 식에 Laplace 변환을 하면

′ →

′ →

두 식에서

∴ℒ

sin cos

sin cos

∴ℒ

cos sin

cos sin

문제 2:아래 회로에 대해 스윗치가 닫히는 순간(t=0) 전류와 전하가 0이

라고 한다. (a) t 시간 후의 전류 와 를 matrix 대각화 방법을 이

용하여 구하라. (b) 전류 와 를 Laplace 변환을 이용하여 구하라.

(답) (a) 회로 1:

→ ′

회로 2: →

회로 2의 식을 미분하면 ′ ′ →′ ′

회로 1의 식을 정리하면 ′

이를 위 식에 대입하여 정리하면 ′

위의 두식을 matrix 형태로 표현하면

′

Homogeneous 해는

→

인 경우

에서 →

∴

→

인 경우

→

∴

→

←

Homogeneous 해는

Particular 해는 가 상수이므로

→ ′

′ 에서

∴

초기조건

을 적용하면

←

∴

∴

(b) ′ →

′ →

두 식을 연립하여 풀면

∴ ℒ

ℒ

문제 3: 아래 초기조건 문제를 Matrix 대각화 방법을 이용하여 풀어라.

′′

(답)

→ ±

에 대해서는

→

∴

→

cos sin를 이용하면

cos sin

cos sin cos cos sin

sin

에 대해서는 동일한 결과가 나오므로 할 필요가 없음.

∴

cos sin cos

cos sin sin

초기조건을 이용하면

←

따라서

을 얻는다.

∴

cos sin

cos cos sin

sin

【2010 2학기 미분방정식 시험 #3】 학과 학번 이름

문제 1: 아래 미분방정식은 에서 정칙특이점을 가짐을 보이고

근방에서의 멱급수 해를 구하라. ″ ′

※ 최종답은 적분이 아닌 (long division을 통한) 급수해로주어져야 함.

(답) ″

′

lim→

lim→

따라서 미분방정식은 에서 정칙특이점을 가진다.

∞

′

∞

″

∞

∞

∞

∞

∞

∴

∞

∞

차수를 맞추면 (→로 바꾸고 뒤의 항에서 → 로 바꿈).

항은 비교 항이 없으므로 단독으로 정리한다.

∞

∞

결정방정식은 항은 0이 되어야 하는 조건에서

→ (중근)

그리고 나머지 항에서 을 구한다.

인 경우

⋯

∴

∞

∞

한 해를 이용하여 다른 해 구하기 (″′ )

′

″

′

ln

∴′

ln

⇒

⋯

⋯

ln

·

·

⋯

ln

·

·

⋯

따라서 일반해는

ln

·

·

⋯ 이다.

문제 2. 아래 초기조건의 미분방정식의 해를 멱급수 해법으로 구하라. ″ ′ ′

※ 위 미분방정식의 계수는 모두 x=0에서 이미 정칙이므로 Frobinius 정리를 사용하면 답이 나오지 않음.

(답)

∞

→ ′

∞

→″

∞

∴

∞

∞

∞

∞

항: →

항: →

항:

⋮

∞

⋯

초기조건 에서

′

∞

⋯

초기조건 ′ 에서

∴

⋯

⋯

문제 3. 긴 실린더 모양의 파이프가 z축과 평행한 방향으로 놓여있다.

에는 접지된 금속판이고 에는 포텐셜 로 유

지되어 있다. (a) 파이프 안 임의의 위치에서의 포텐셜에 대한 표현을 구

하라. (b) 인 경우 포텐셜을 구하라.

(답) (a)

경계조건

at

at

at

at

을 대입하면

″ ″

양변을 로 나누면

″

″

″

″

값에 대해 여러 가지로 시도해 볼 필요가 없다. 가 되어야 하는

조건에서 는 sin함수가 되어야 한다. 따라서 이 되어야 한다.

인 경우 ( )

(i) ″

→

이므로 함수는 이다. 따라서 sinh이다.

(ii) ″ 에 을 대입하면

″ → cos sin경계조건;

→ ∴ sin sin → ∴ ⋯

∴ sinh sin 따라서 일반해는

∞

sinh sin (1)

을 결정하기 위해 경계조건 를 이용하면

∞

sinhsin

sin함수의 직교조건을 이용하면

sin sin

≠

sinh

sin (2)

식 2를 1에 대입하면 해가 된다.

(b) 식 2에서 를 대입하면

짝수 sinh

홀수

이를 식 1에 대입하면

⋯

∞

sinh sinh sin

문제 4. 길이 인 진동하는 줄(vibrating string)에서 아래와 같은 초기 및

경계조건일 때의 해 를 구하라.

sin

(답)

을 대입하면 ′′ ″양변을 로 나누면

″

′′

∴ ″ ←

″ ← ′ sin 의 조건에서 이 되어야 한다.

즉 ″

→ cos sin경계조건에서 → sin

sin 에서 ⋯이 되어야 한다.

∴ sin ⋯

시간에 대한 함수는

′′ → ∴ cos sin초기조건 에서

따라서 sin sin 일반해는 중첩원리에 의해

∞

∞

sin sin

초기 속도의 조건

sin에서

∞

sin cos

∞

sin sin

에서 항만이 0이 아니다. 즉, sin sin →

따라서 해는 sin sin이다.

【2011 2학기 미분방정식 시험 #1】 학과 학번 비밀번호 이름

문제 1: 길이 , 질량 , 저항 인 도선이 저항을 무시할 수 있는 레일

(rail)위에 놓여있다. 그리고 균일한 자기장 가 그림과 같은 방향으로 걸

려 있다. 도선은 레일위에 자유롭게 움직일 수 있고 도선과 레일사이의 마

찰은 무시한다. 에서 도선이 오른쪽으로 초기 속도 로 움직인다고

하자.

(a) 순간속도 에 관련된 미분방정식을 구성하라.

(b) 위 미분방정식을 풀어서 임의의 시간 t에서의 속도를 구하라.

(c) 에서의 속도의 배 만큼 줄어들 때까지 걸린 시간을 구하라.

(답) (a) 도선이 이동하면 사각형의 도형을 통과하는 자속은 지면으로 들

어가는 방향으로 증가한다. 임의의 길이 에서의 자속은

이다. Faraday의 법칙에서 자속의 변화에 따라 유도되는 emf는

이다. 따라서 도선에 흐르는 전류의 세기

는 이다. 전류의 방향은 지면방향으로의 자속이 증가하

므로 이를 방해하기 위해서는 지면 반대방향으로 자기장이 형성되어야 한

다. 따라서 도선에 흐르는 전류의 방향은 위에서 아래 방향이어야 한다.

자기장 에서 도선을 흐르는 전류에 의해 작용하는 자기력은 ×

이다, 따라서 이 자기력의 방향은 왼쪽이다. 이 힘에 의해 도선은 왼쪽으

로 힘을 받아 속도가 감소하게 된다. 자기력의 크기는 에 대한 표현을 이

용하면 이다. 따라서 Newton의 제 2법칙에 의해

⇒∴

이다. 위 미분방정식은 변수분리형이다.

(b)

를 적분하면

를 얻는다.

(c) 위의 결과에서

에서

에서

을 구한다.

문제 2. 경계조건이 주어진 아래의 미분방정식을 풀어라.

sin

답: sin

적분인자는

ln

이다. 따라서 이를 미분방정식의 양

변에 곱하면 ′ sin이므로 적분하면

sin 를 얻는다. 따라서 적분하면

cos

sin

cos 을 얻는다.

경계조건을 사용하면

가 구해진다. 따라서 최종적인 해는

cos

sin

cos

이다.

(다른 방법) 미분방정식 ′ 의 해는

와 같이 주어진다.

따라서

sin 에서

이므로

∴

sin

sin

cos

sin

cos

문제3: 경계조건이 주어진 아래의 미분방정식을 풀어라.

′′′ cos ′

(답) 제차 미분방정식의 해는 이다. Particular 해는

cos이다. 여기서 하나의 항씩 구해보면

cos

cossin

≈ 이므로

cossin 이다. 따라서 일반해는

cossin

경계조건을 대입하여 를 구하면

이다.

따라서 최종적인 해는

cossin 이다.

문제4: (a) 질량 m=3kg인 물체가 스프링 상수 k=78N/kg인 스프링에 매달

려 있다. 그리고 이 스프링 계에는 감쇠상수 의 감쇠가 걸

려있다. 또한 cos의 외부력이 주어진다고 하자. t=0에서 물체를

평형위치에서 10cm 아래로 당겼다가 놓았다고 한다. 임의의 시간 t에서의

물체의 위치를 구하라. 그리고 시간이 아주 오래 경과되었을 경우 평형해

(steady state solution)는 어떻게 표현되나? 위 평형진동의 진폭과 위상

(외부력에 대한)을 구하라.

(b) 위 스프링 계의 고유진동수(natural frequency)를 구하라. 이 스프링계

의 고유진동수와 외부력의 진동수의 차이는 얼마인가? 이 스프링계에서는

공명이 일어나지 않음을 보여라.

(답) (a)

cos에서 값들을 대입하면 계의 미분방정

식은 ″′ cos로 표현된다. 이 미분방정식의 제차 해는

cossin 이다. Particular 해는 cossin의형태이다. 원래의 미분방정식에 대입하여 계수를 구하면

cos sin이다. 따라서 일반해는

cossincossin이다.

초기조건인 ′ 를 이용하여 계수 를 구한다.

이므로 최종적인 해는

cos sincossin이다.

평행해(→∞)는

cossin로 주어진다.

cossincos에서

coscoscossinsin이므로tan →∴ , 이다. 따라서 진폭은 9.7cm 이고 위상은

외부력에 76o 앞선다.

(b)

≃이다. 따라서 외부력과의 진동수 차이는 1.1Hz이

다. 이고

이다. 이에 따라

이므로 공명

은 일어나지 않는다.

【2011 2학기 미분방정식 시험 #2】 학과 학번 이름

문제 1: 아래 그림과 같은 회로에서 각 저항에 흐르는 전류를 구하라. 연립미분방정식을 푸는데 있어서 Laplace 변환을 이용하여야 한다. 초기에 각 저항에 흐르는 전류는 0이다. 구한 전류들이 →∞에서의 조건

을 만족하는지 확인하라(30점).

(답) 에 흐르는 전류를 , 을 흐르는 전류를 , 을 흐르는 전류

를 라고 두면 이다. 왼쪽과 오른쪽 loop에 대해 Kirchhoff 법칙

을 적용하면

⇒

을 얻는다. Laplace 변환을 하면

이다. 초기조건을 이용하고, 위식들을 정리하면

이다. 두 번째 식에서 를 얻고 이를 첫 번째 식에 사용하면

≡

에서

이다.

역 Laplace 변환을 하면

를 구할 수 있다. 그리고 이다.

→∞일 때 인덕터는 도선과 동일하다. 따라서 과 은 병렬연결이므

로 등가저항은

이고, 이 등가저항이 과 직렬연결이므로 전체적인

저항은

이다. 따라서 을 흐르는 전류는

이다. 그리고

과 을 흐르는 전류는 각각 와

이다.

문제 2. 그림과 같은 두 진자가 스프링상수 인 스프링에 의해 연결되

어 있다. 두 질량은 으로 동일하다. ≪ ≪ 인 경우 가

만족하는 운동방정식을 구하라. 이렇게 구한 연립미분방정식을

Laplace 변환을 이용하여 풀어라. 초기조건은 와

이다.

을 사용하라. 만약 스프

링이 없다면 각 해는 무엇인가? (30점)

(답) 운동방정식은

sin sin sin sin sin sin

이다. ≪ ≪ 인 경우

→

→

을 구할 수 있다. Laplace 변환을 하면

이다. 초기조건을 대입하여 정리하면

이다. 두 식을 더하고 빼면

→

→

이다. 역 Laplace 변환을 하면

cos cos 이다. 따라서 두식을 더하고 빼면 해는

cos

cos

cos cos

와 같이 구해진다. 스프링이 없을 경우 위식에서 으로 두면

cos cos이다.

문제3: 아래의 연립미분방정식을 대각화법을 이용하여 풀어라. 그리고

Laplace 변환을 이용하여서도 풀어라. 두 결과가 일치하는가? (40점)

초기조건은

이다.

(답) 대각화법에 의한 해를 위해서 위 미분방정식을 matrix형태로 쓰면

이다. Matrix를 대각화시키는 eigenvalue는

에서 이다. 대각화된 미분방정식에서 해는

이므로 cosh cos이다.

에서

→ → 이고

에서

→ →

이다.

따라서 해는

cosh

cos이다. cosh cos cosh cos이므로 초기조건을 대입하면 이다. 이 식을 풀면

이다. 따라서 해는

cos

cosh

cos cosh

이다.

다음에는 Laplace 방법으로 푸는 방법은 다음과 같다. 원래의 미분방정식

을 Laplace 변화를 하면

이다. 초기조건을 넣고 정리하면

이다. 위식에 2를 곱하고 아래 식에 를 곱하여 더하면

을 얻고 위식에서

이 구해진다. 위식을 역 Laplace 변환을

하면

cos

cosh

를 얻고

에서

cos cosh

를 구할 수 있다. 이 해들은 앞에서 대각화법을 이용하여 구한 결과와 일

치한다.

【2011 2학기 미분방정식 시험 #3】 학과 학번 이름

문제 1: ″ ′ (30점)

(a) 위 미분방정식은 에서 정칙특이점을 가짐을 보여라.

(b) 위 방정식의 해를 구하라.

(답) (a) 제차미방의 경우 ″

′

이다.

이므로

lim→

lim→

따라서 미분방정식은 에서 정칙특이점을 가진다.

(b) 먼저 제차미분방정식의 해를 구해보자

∞

, ′

∞

″

∞

∞

∞

∞

∞

∞

∴

∞

∞

차수를 맞추면 (→로 바꾸고 뒤의 항에서 → 로 바꿈).

항은 비교 항이 없으므로 단독으로 정리한다.

∞

∞

결정방정식은 항은 0이 되어야 하는 조건에서

→ (중근)

그리고 나머지 항에서 을 구한다.

⋯

∴ ⋯≡

∴

∞

∞

한 해를 이용하여 다른 해 구하기 (″′ )

′

″

′

ln ln ln

∴′

ln

⇒ ln

ln

따라서 제차미방의 해는

ln이다.

특수해를

∞

이라 두면

∞

∞

최소차수를 비교하면 ( )

→ ∴

∞

∞

그리고 나머지 항에서 을 구한다.

⋯

∴ ⋯≡

∞

⋯

⋯

ln

문제 2. 아래 그림과 같은 경계조건을 가진 정사각형의 hot plate에서의 온도분포를 구하라. (35점)

(답)

경계조건

※ 편미분방정식을 풀지 않더라도 이 문제의 해는 경계조건을 보면

∼ sinh sin가 되어야 함을 짐작할 수 있다.

을 대입하면

″ ″

양변을 로 나누면

″

″

″ ′

″

에 관련된 경계조건이 간단하므로 이를 먼저 푼다.

″ 에서 (경계조건; )

(i) 인 경우

″

→

경계조건에서

에서 이므로 해가 될 수 없다.

(ii) 인 경우 ( )

″

→ cos sin

경계조건;

sin 에서 →∴ 이다.

∴ sin (iii) 인 경우 ( )

″

→ cosh sinh

경계조건;

sinh≠ 이므로 해가 될 수 없다.

따라서 고유치와 고유함수는

cos ⋯

″ 에서 을 대입하면

″ 가 된다.

cosh sinh 경계조건; → ∴ sinh

에서

sinh sin ⋯

따라서 일반해는

∞

∞

sinh sin

마지막 경계조건 를 이용하면

∞

sinh sin양변에 sin를 곱하여 적분하면

sin

sinh sin sin이 된다.

sin sin for 을 이용하면

sinh cos

sinh

을 얻는다. 따라서 해는

∞

sinh sinh sin 이다.

문제3. 현의 진동에서 파의 전파속도는 라고 한다. 에서 그림과 같

은 초기조건과 초기 속도는 모든 위치에서 0이라고 한다. 그리고 양끝은

항상 고정되어 있다. 위의 현의 진동에 대한 해를 구하라. (35점)

(답)

; vibrating string (끝점 고정)

; 초기조건

; 경계조건 (끝점 고정)

을 대입하면

′′ ″

양변을 로 나누면

″

′′

∴ ″ ←

″ ← ′

끝점이 고정되어 있으므로 sin함수가 해가 되어야 하므로 인

경우만 가능하다.

인 경우 ( )

″

→ cos sin

경계조건에서 ∴ → sin sin

∴ →

⋯

따라서 고유치와 고유함수는

sin

⋯

시간에 대한 함수는

′′ → ∴ cos

sin

따라서 일반해는 중첩원리에 의해

∞

∞

cos

sin sin

(1)

⋯

위의 해는 초기조건을 만족하여야 한다.

에서 임을 알 수 있다. 따라서 해는

∞

cos sin

이다.

이 해의 양변에 sin

을 곱하여 초기조건

을 적용하면

∞

sin

에서

sin

sin

∞

sin sin

이 된다. 위식의 왼쪽 적분은 부분적분을 하면

sin를 얻을 수

있다. 그리고 오른쪽은 sin 함수의 직교 조건인

sin sin

for 을 이용하면 을 얻는다. 따라

서 sin

를 얻는다. 따라서 최종적인 해는

∞

sin

cos sin

sin

cos

sin

cos

sin

cos

⋯

※

sin

sin

sin

cos

cos

sin

cos

cos cos

sin

sin

sin

sin