303VOLUME V / STRUMENTI

6.1.1 Introduzione

Lo studio dei fenomeni di scambio termico si può ricondurrea due variabili: la temperatura e il flusso di calore. La tempe-ratura indica l’energia molecolare media di un sistema; il flus-so di calore indica lo scambio di energia termica da un corpoa un altro. Su scala microscopica l’energia termica è legataall’energia cinetica delle molecole; la temperatura di un mate-riale è tanto più alta, quanto più elevata è l’agitazione termicadelle molecole che lo costituiscono. In virtù del secondo prin-cipio della termodinamica i corpi che hanno una maggioreenergia cinetica molecolare media cedono spontaneamentequesta energia ai corpi che hanno un’energia cinetica moleco-lare media minore. I flussi di calore tra due regioni dipendonoda svariate proprietà materiali, tra cui conduttività termica,calore specifico, densità, emittività superficiale. Nel caso deltrasporto di calore in un fluido sono molto importanti la suavelocità di flusso e la sua viscosità. Il meccanismo di trasferi-mento di calore può essere di tre tipi: per conduzione, per con-vezione e per irraggiamento.

Il trasferimento per conduzione avviene nei solidi e neifluidi in quiete o in moto laminare. È definito come un pro-cesso di carattere molecolare nel quale parte dell’energia dellemolecole della porzione più calda di un mezzo materiale (lacui energia molecolare media è pertanto maggiore) si trasferi-sce alle molecole di una porzione più fredda, senza che abbialuogo trasporto di materia. Tale processo ha luogo per effettodi collisioni molecolari dirette, in seguito all’azione di vibra-zioni e urti. Nei metalli una porzione significativa dell’ener-gia termica viene trasferita grazie al movimento degli elettro-ni di conduzione.

La convezione è definita come il processo macroscopico,che ha luogo solo nei fluidi, nel quale il fluido più caldo si spo-sta (o viene fatto spostare) in zone del fluido a temperaturainferiore, rimescolandosi e cedendo parte della propria ener-gia termica. Se il moto del fluido è unicamente generato dalledifferenze di densità provocate dalle differenze di temperatu-ra, la convezione si dice naturale; se il moto del fluido è pro-dotto meccanicamente, la convezione viene detta forzata.

L’irraggiamento è il trasferimento di calore da un corpo aun altro che avviene per emissione e assorbimento di energiaraggiante. Tutti i corpi emettono energia raggiante in tutte ledirezioni, in quantità che dipendono dalla loro temperatura. In

questo caso l’energia è trasportata dai fotoni della radiazioneelettromagnetica appartenenti essenzialmente alla regione infra-rossa e visibile dello spettro elettromagnetico. Quando le tem-perature sono uniformi, il flusso radiativo tra oggetti è in con-dizioni di equilibrio e quindi non avviene alcun trasferimentonetto di energia termica. Quando le temperature non sono unifor-mi, il flusso radiativo provoca un trasporto dell’energia termi-ca dalle superfici più calde a quelle più fredde.

In molti casi i processi di scambio termico possono avveni-re grazie al contributo di tutti e tre i meccanismi sopra citati.

6.1.2 Conduzione

La legge fondamentale che regola il trasferimento di caloreper conduzione fu formulata nel 1822 da Jean-Baptiste-JosephFourier:

[1]

dove q rappresenta il calore trasferito per unità di tempo, A èl’area della sezione del corpo normale all’asse lungo cui flui-sce il calore, �dT�dx è il gradiente di temperatura nella dire-zione di flusso del calore, e k è un parametro fisico, detto con-ducibilità termica, che dipende dalle caratteristiche materialidel corpo e che solitamente varia con la temperatura.

La tab. 1 riporta i valori della conducibilità di alcuni soli-di e quello della temperatura a cui tali valori sono stati misu-rati. In molti casi si assume che k vari con la temperatura secon-do una relazione lineare del tipo:

[2]

Spesso conviene riferirsi a un suo valore medio relativoall’intervallo di temperatura in gioco.

Il coefficiente k ha, nel caso dei fluidi, valori molto piùpiccoli di quelli misurati per i solidi, come si può osservaredalla tab. 2. Nei casi in cui manchino dati sperimentali, la con-ducibilità termica può essere stimata con buona approssima-zione impiegando relazioni empiriche che correlano k con ilcalore specifico, il peso molecolare e la viscosità del fluido.

La [1] può essere utilizzata per derivare l’equazione tridi-mensionale non stazionaria per la trasmissione del calore neisolidi e nei fluidi in quiete:

k k T= +( )0 1 α

q kAdTdx

=−

6.1

Scambio termico

[3]

dove cp è il calore specifico a pressione costante del corpo, rè la sua densità, x, y e z rappresentano le coordinate rettan-golari e q� indica la velocità di generazione di calore – perunità di volume del corpo – dovuta a reazione chimica o nuclea-re, o provocata dal passaggio di corrente elettrica. È neces-sario specificare opportune condizioni iniziali e al contornoper poter ottenere la soluzione della [3], che fornisce la tem-peratura nel corpo in funzione del tempo e della posizione.La [3] può essere trasformata in coordinate sferiche o cilin-driche per adattarsi meglio alla geometria del problema allostudio. Si osservi che, se k deve essere considerata come unafunzione della temperatura, la [3] diventa non lineare, e quin-di non è più risolvibile analiticamente, a eccezione di pochicasi particolari.

Conduzione stazionariaQuando il flusso di calore è stazionario, q nella equazione

di Fourier è una costante. Allo stesso modo, �T��t nella [3] siannulla. Assumendo k costante, la [3] diventa:

[4]

In assenza di generazione di calore (q��0) è possibile inte-grare direttamente la [1], ottenendo:

[5]

Variando opportunamente le coordinate, si ottiene la solu-zione del problema della conduzione del calore in diverse situa-zioni di importanza pratica.

Per studiare il caso della conduzione radiale in un cilindrocavo, si indica con L la lunghezza del cilindro, con Ri e Re isuoi raggi interno ed esterno e con Ti e Te le temperature dellafaccia interna e di quella esterna. Il flusso di calore attraversouno strato elementare a distanza R dall’asse del cilindro e dispessore dR (fig. 1) è dato da:

[6]

Separando le variabili e integrando si ottiene:

[7]

È anche possibile esprimere il flusso radiale come se avve-nisse attraverso uno strato piano equivalente di spessore (Re�Ri)e area Aeq:

[8]

con

[9]

dove Rlm è il raggio medio logaritmico definito come

[10] RR RR Rlme i

e i

=−

( )ln

A LReq lm= 2p

qkA T TR Req i e

e i

=−( )−

qk L T T

RR

i e

e

i

=−( )2p

ln

q k RL dTdR

= − 2p

q kAT Tx x

= −−

1 2

1 2

∇ =−2T qk�

c Tt x

k Tx y

k Ty z

kpr∂∂= ∂∂

∂∂

+ ∂∂

∂∂

+ ∂∂

∂TTz

q∂

+ �

ASPETTI PROCESSISTICI

304 ENCICLOPEDIA DEGLI IDROCARBURI

tab. 1. Conducibilità termica di alcuni solidi

MaterialeTemperatura

(°C)Conducibilità

(kJ/h�m�°C)

Oro18 1.053,785

100 1.060,07

Ferro puro18 243,02

100 228,355

Acciaio (1% C)18 163,41

100 161,315

Magnesio 0-100 574,03

Sughero – 0,155

tab. 2. Conducibilità termica di alcuni fluidi

FluidoTemperatura

(°C)Conducibilità

(kJ/h�m�°C)

Ammoniaca liquida �15/�30 1,80

Benzene30 0,59

60 0,54

Glicerina 20 1,02

Alcol etilico 20 0,65

Alcol metilico 20 0,78

Acqua

0 2,14

38 2,26

93 2,45

Idrogeno�200 0,18

0 0,60

Biossido di carbonio 0 0,05

Ti

Ri

R

dR

Te

Re

L

fig. 1. Trasmissione del calore per conduzione in un cilindro cavo.

Per risolvere il problema relativo alla conduzione radialeattraverso uno strato sferico, si indicano con Ri e Re i raggiinterno ed esterno dello strato e con Ti e Te le temperature dellecorrispondenti superfici. Il calore trasmesso attraverso unostrato elementare a distanza R dal centro della sfera e di spes-sore dR è dato da:

[11]

Separando le variabili e integrando si ottiene:

[12]

Anche in questo caso si può esprimere il calore trasmessoattraverso uno strato piano equivalente di spessore (Re�Ri). Lasuperficie equivalente è data da:

[13]

cioè è la media geometrica delle superfici interna ed esternadello strato sferico.

Un altro caso di notevole interesse pratico è quello della tra-smissione attraverso una serie di conduttori di uguale superfi-cie; si faccia, per esempio, riferimento a tre pareti piane conse-cutive, aventi aree A1, A2, A3, spessori x1, x2, x3, conducibilitàk1, k2, k3, e siano DT1, DT2, DT3 i salti di temperatura tra lesuperfici che delimitano le pareti. Poiché il flusso di calore attra-verso ciascuna delle tre pareti deve essere il medesimo, si ha:

[14]

Definendo per ciascuna parete una resistenza termica:

[15]

si ottiene:

[16]

e sommando tra loro i singoli DTi si ottiene:

[17]

ovvero:

[18]

dove rT rappresenta la resistenza complessiva data dalla sommadelle singole resistenze:

[19]

La [17] è analoga alla legge di Ohm per un sistema di resi-stenze in serie.

Un esempio di trasmissione del calore attraverso una seriedi conduttori di sezione variabile è dato dal sistema formatoda due cilindri concentrici A e B di uguale lunghezza L e con-ducibilità k1 e k2, considerate costanti. La temperatura dellasuperficie più interna è Ti, quella della superficie in corri-spondenza della quale i due cilindri sono a contatto è Tn e quel-la della superficie più esterna è Te.

Per il cilindro A è:

[20]

ovvero

[21]

e per il cilindro B:

[22]

ovvero:

[23]

pertanto

[24]

Se invece si considera un sistema di due sfere cave si ricava:

[25]

Se la temperatura di un materiale è funzione di due coor-dinate spaziali, si ha il caso della conduzione di tipo bidimen-sionale e la relativa equazione, avendo assunto k costante, è:

[26]

Se q� è nullo, la [26] diventa l’equazione di Laplace, la cuisoluzione analitica è possibile soltanto per condizioni al con-torno e geometrie particolari (Carslaw e Jaeger, 1959). Quan-do non è possibile ottenere una soluzione analitica, si impie-gano soluzioni grafiche o numeriche, utilizzando per esempioi metodi alle differenze finite.

Conduzione non stazionariaQuando le temperature dei materiali sono funzioni dello

spazio e del tempo, sono necessarie equazioni più complessedi quelle introdotte in precedenza. L’equazione più generale èla [3], tridimensionale non stazionaria. Nella maggior parte deicasi le soluzioni ai problemi pratici che coinvolgono fenome-ni di conduzione non stazionaria richiedono l’impiego di solu-zioni numeriche da sviluppare al computer. È possibile recu-perare in letteratura un’ampia casistica per problemi corri-spondenti a svariate geometrie e condizioni al contorno.

I problemi monodimensionali si esprimono tramite leseguenti equazioni:

[27]

valida per coordinate rettangolari;

[28]

valida per coordinate cilindriche, e

[29]

valida per coordinate sferiche.

∂∂=

∂∂

∂∂

+

Tt R R

R TR

qcp

α2

2 �

r

∂∂=

∂∂

∂∂

+

Tt R R

R TR

qcp

α �

r

∂∂= ∂∂+T

tTx

qcp

α2

2

�

r

∂∂+∂∂=−

2

2

2

2

Tx

Ty

qk�

qT T

R Rk R R

R Rk R R

i e

n i

i n

e n

n e

=−( )

−+

−4

1 2

p

qL T T

kRR k

RR

i e

n

i

e

n

=−( )+

2

1 1

1 2

p

ln ln

T Tq

RR

k Li e

e

n− =ln

22p

qk L T T

RR

n e

e

n

=−( )2

2p

ln

T Tq

RR

k Li n

n

i− =ln

12p

qk L T T

RR

i n

n

i

=−( )1

2p

ln

r r r rT n= + + +1 2 ...

qT

rT Tr

i

T

i e

T

= = −∑∆

q r r r T T T T1 2 3 1 2 3+ +( )= + + =∆ ∆ ∆ ∆

∆ ∆ ∆T qr T qr T qr1 1 2 2 3 3= = =

r xkA=

q k A Tx

k A Tx

k A Tx

= = =1 1 1

1

2 2 2

2

3 3 3

3

∆ ∆ ∆

A R R A Aeq i e i e= =4p

qkR R T TR Ri e i e

e i

=−( )

−4p

q k R dTdR

= − 4 2p

SCAMBIO TERMICO

305VOLUME V / STRUMENTI

Nelle ultime tre equazioni è stato introdotto il parametroa, detto anche diffusività termica, definito come:

[30]

Queste equazioni sono state risolte nei casi della lastrapiana, del cilindro e della sfera immersi in un fluido. Le solu-zioni sono ottenute sotto forma di serie infinite e i risultati sonosolitamente riportati in grafico sotto forma di curve caratte-rizzate da quattro rapporti adimensionali che, nel caso in cuiq��0, sono (Gurney e Lurie, 1923):

[31]

[32]

dove T � è la temperatura dell’ambiente; T0 è la temperaturainiziale uniforme del corpo; T è la temperatura del corpo inun determinato punto, al tempo t, misurato dall’inizio del pro-cesso di raffreddamento o riscaldamento; k è la conducibilitàtermica del corpo che si assume uniforme e costante al varia-re della temperatura; r è la densità del corpo che si assumeuniforme; cp è il calore specifico del corpo; hT è il coefficienteglobale di trasferimento di calore tra l’ambiente e la superfi-cie del corpo, espresso come calore trasferito per unità ditempo, per unità di area della superficie e per unità di diffe-renza di temperatura tra la superficie e l’ambiente; R è ladistanza che intercorre, nella direzione in cui viene trasmes-so il calore, dal punto o dal piano a metà del corpo al puntoin esame; Rm è il raggio della sfera o del cilindro, metà dellospessore della lastra scaldata da entrambi i lati, spessore dellalastra scaldata da un lato e perfettamente isolata dall’altro; xè la distanza che intercorre, nella direzione lungo cui vienetrasmesso il calore, dalla superficie di un corpo seminfinitoal punto in esame.

Solitamente, nell’eseguire le integrazioni, cp, hT, k, R, Rm,T�, x e r sono assunti costanti.

In fig. 2 sono riportati i risultati nel caso di una lastra inde-finita; tali risultati vengono espressi riportando famiglie dicurve, corrispondenti a diversi valori di m e n, in cui Y è ripor-tato in scala logaritmica sull’asse delle ordinate e X in scalalineare sull’asse delle ascisse; risultati analoghi si ottengononel caso di un cilindro e di una sfera.

Il problema della conduzione attraverso una lastra immer-sa in un fluido si semplifica notevolmente se la lastra è cosìsottile e il materiale ha conducibilità termica così elevata chela temperatura, su tutto lo spessore della lastra, possa essereconsiderata costante. Si supponga che la lastra abbia volumeV, superficie totale A, temperatura iniziale T0, e sia in contat-to con aria più fredda a una temperatura uniforme T�; a ogniistante la quantità di calore dQ trasferita nel tempo dt è pro-porzionale alla superficie A, alla differenza tra la temperaturaT della lastra e quella dell’aria attraverso il coefficiente h:

[33]

Nelle condizioni poste il valore numerico di h è relativa-mente piccolo e la corrispondente velocità di trasferimento dicalore per area unitaria è quindi anch’essa piccola. Di conse-guenza, se il valore della conducibilità k è elevato e la lastra èsottile, la temperatura della lastra si può considerare uniforme,e sviluppando un bilancio termico si ottiene:

[34]

Assumendo hA�V rcp costante, la [34] può essere facil-mente integrata ottenendo:

[35]

6.1.3 Convezione

Il trasporto del calore nei fluidi è agevolato dalla possibilità dirimescolamento del fluido stesso. Nel caso della convezione

T TT T

ehAV c

tp−

−=

−�

�0

r

dQ hA T T dt V c dTp= −( ) = −� r

dQdt

hA T T= −( )�

m kh R

n RR

n xRT m m m

= = =����oppure����

Y T TT T

X ktc Rp m

= −−

=�

� 02����

r

α = kcpr

ASPETTI PROCESSISTICI

306 ENCICLOPEDIA DEGLI IDROCARBURI

(T'�

T)/

(T'�

T0)

0,002

0,003

0,005

0,007

0,01

0,02

0,03

0,05

0,07

0,1

0,2

0,3

0,5

0,7

1,0

0 5,04,03,02,01,0

m�0

n�0,8n�0,6n�0,4n�0,2

n�0

n�0,8n�0,6n�0,4n�0,2

n�0

n�1

n�0,8n�0,6

n�0,4n�0,2

n�0

n�1

n�0,8n�0,6

n�0,4n�0,2

n�0

n�1

m�6

m��

m�0,5

m�

1m

�2

a�t/R2m

fig. 2. Soluzione del problema della conduzione non stazionaria per una lastra indefinita di spessore 2Rm.

naturale tali movimenti di rimescolamento derivano dalle dif-ferenze di densità nella massa fluida, dovute alle diverse tem-perature presenti nei vari punti. I movimenti possono però ancheessere prodotti meccanicamente tramite agitazione, oppure tra-mite il moto di un fluido in un condotto: in questi due casi sidice che il calore viene trasmesso per convezione forzata. Que-st’ultima è la situazione più comune nelle industrie di proces-so, dove spesso un fluido caldo e uno freddo, separati da unaparete, vengono pompati attraverso l’apparecchiatura di scam-bio termico.

Nello studio dei meccanismi che controllano lo scambiodi calore in un’apparecchiatura di questo tipo bisogna tenereconto del fatto che nel moto di un fluido attorno a un solido,anche quando il cuore del fluido è in moto turbolento, si crea,nelle vicinanze immediate della superficie, un film in cui ilfluido è in flusso laminare. Nella zona del film laminare il calo-re viene trasferito prevalentemente tramite conduzione mole-colare. La resistenza dello strato laminare al flusso di calorevaria con il suo spessore, e può essere responsabile del 95%della resistenza totale per alcuni fluidi, o soltanto dell’1% peraltri. Il cuore turbolento del fluido e lo strato di transizionecompreso tra zona turbolenta e film laminare offrono una resi-stenza al trasferimento del calore che è funzione della turbo-lenza e delle proprietà termiche del fluido. È quindi possibileconcludere che in questo caso il flusso complessivo di caloreè in realtà l’effetto di diversi meccanismi, in cui la conduzio-ne agisce congiuntamente a effetti convettivi.

Lo studio dei problemi di convezione naturale richiedereb-be la soluzione simultanea delle equazioni accoppiate di bilan-cio della quantità di moto e dell’energia, ma questo approcciorigoroso è possibile solo per il problema geometricamente moltosemplice del piatto verticale. Si ricorre allora ai metodi dell’a-nalisi dimensionale che trovano in generale amplissima appli-cazione nello studio dei problemi di scambio termico. Essi per-mettono di determinare le espressioni per i coefficienti limina-ri di scambio, facendo ricorso a parametri adimensionali: iparametri geometrici del problema e le proprietà del fluido ven-gono raggruppati in grandezze adimensionali, che costituisco-no le variabili significative del problema, in modo tale che l’ef-fetto di ciascun fattore non debba essere determinato in manie-ra indipendente. Questo metodo opera solo sulle dimensioni, equindi non fornisce valori numerici, ma permette di stimare l’in-fluenza relativa dei vari parametri. Così facendo, si semplificanotevolmente l’indagine delle correlazioni sperimentali tra dati.

L’analisi dimensionale permette di dedurre che il parame-tro caratteristico dei problemi di convezione naturale è il nume-ro di Grashof, NGr, un rapporto adimensionale dato da:

[36]

dove l rappresenta una dimensione caratteristica del sistema,g è l’accelerazione di gravità, b è il coefficiente di espansionetermica del fluido, m la sua viscosità dinamica e DT è la diffe-renza tra la temperatura dell’interfaccia fluido-parete e quelladel cuore del fluido. Si ricava la seguente correlazione, dettaequazione di Nusselt:

[37]

(dove a è un parametro adimensionale) nella quale appaionoaltri due gruppi adimensionali, il numero di Nusselt

[38]

e il numero di Prandtl

[39]

Nelle [38] e [39] k rappresenta la conducibilità termica delfluido e cp il suo calore specifico a pressione costante.

Le proprietà del fluido vengono valutate a una temperatu-ra Tf che è la media aritmetica tra la temperatura nel cuore delfluido T� e la temperatura della parete Ts. Dalla relazione [37]può anche essere ricavata un’equazione dimensionale, nellaquale le proprietà del fluido sono riunite in un unico fattore b:

[40]

Anche nel caso della convezione forzata, le trattazioni rigo-rose si limitano a geometrie semplici e a situazioni di motolaminare, mentre le analisi di situazioni in flusso turbolentosolitamente si basano su modelli deterministici che però nonsono in grado di produrre correlazioni applicabili in fase diprogetto. Per lo studio di geometrie complicate si utilizzanoperlopiù correlazioni empiriche, che tuttavia hanno spesso vali-dità limitata. Nella convezione forzata i coefficienti di scam-bio sono fortemente influenzati dalle caratteristiche del flus-so, che a loro volta dipendono da svariati fattori, quali l’in-tensità della turbolenza, le condizioni di ingresso e le condizionipresso la parete. Anche in questo caso si fa pertanto largo usodei metodi dell’analisi dimensionale.

Per lo studio del problema dello scambio di calore verso oda fluidi che scorrono all’interno di tubi cilindrici, si distin-guono tre regimi di moto, a seconda del valore assunto dalnumero di Reynolds:

[41]

dove v è la velocità lineare del fluido all’interno del tubo e Dè il diametro del tubo stesso. Le proprietà del fluido vengonovalutate nel cuore della fase fluida. Se NRe�2.100 il regime dimoto è laminare: la velocità delle particelle di fluido si man-tiene parallela alle pareti del tubo e assume un profilo para-bolico, nulla alle pareti e massima in corrispondenza dell’as-se del tubo. Quando NRe10.000 il regime di moto è turbo-lento e corrisponde a una situazione in cui è presente anche lacomponente trasversale della velocità. Mentre nel regime lami-nare il moto del fluido si mantiene ordinato e le sue particellesi muovono senza rimescolamenti lungo linee di corrente facil-mente individuabili, nel regime turbolento esso è caratterizza-to da moti caotici (vortici) che provocano rimescolamento. Lapresenza di fluttuazioni provocate dall’irregolarità del motopotenzia il trasferimento di quantità di moto e di energia nelladirezione normale alle pareti del tubo, e ciò provoca un aumen-to dei coefficienti di scambio termico. Per 2.100�NRe�10.000si ha il cosiddetto regime di transizione, in cui i due moti lami-nare e turbolento sussistono contemporaneamente in modoinstabile e la situazione non è chiaramente determinata.

In letteratura sono state sviluppate svariate soluzioni teo-riche, per varie geometrie e condizioni al contorno, relative alproblema del trasferimento di calore per un fluido che scorrein un tubo in regime laminare, ipotizzando che esso sia in granparte dovuto alla conduzione. Tuttavia queste soluzioni perlo-più trascurano i fenomeni di convezione naturale, che nellapratica assumono spesso un’importanza rilevante; è quindi con-sigliabile fare invece ricorso a relazioni empiriche ricavate spe-rimentalmente. L’analisi dimensionale suggerisce di correlarei dati in termini di numero di Nusselt, NNu, oppure in termini

N vDRe =

r

µ

h b T lm m= ( ) −∆ 3 1

Nckp

Pr =µ

N hlkNu =

N a N NNu Gr

m= ( )Pr

N l g TGr =

3 2

2

r βµ∆

SCAMBIO TERMICO

307VOLUME V / STRUMENTI

di numero di Graetz:

[42]

mentre gli effetti della convezione naturale sono condensatinel numero di Grashof, NGr.

Per tubi circolari orizzontali, con NGr�100, la correlazio-ne raccomandata è quella di Hausen (1943):

[43]

nella quale si tiene approssimativamente conto della variazio-ne delle proprietà del fluido attraverso il fattore adimensiona-le (mbmw), dove mb è la viscosità alla temperatura media delfluido (alla quale sono valutate anche cp, r e k), mentre mw è laviscosità alla temperatura della parete.

Se NGr100 l’equazione consigliata, per DT e diametripiccoli, è quella di Sieder e Tate (1936):

[44]

Un’espressione più generale, valida per tutti i diametri etutti i DT, si ottiene inserendo un fattore 0,87[1�0,015(NGr)

1�3]nel secondo membro della [44]. Per i tubi verticali, invece, èconsigliabile usare i grafici derivati da Pigford (1955).

Il flusso attorno a un corpo immerso in un fluido è dettolaminare se lo strato limite è laminare su tutto il corpo, anchese il flusso della corrente principale è turbolento. In questocaso vale la correlazione generale:

[45]

nella quale i valori di Cr e m dipendono dalla geometria delcorpo e dal suo orientamento rispetto al flusso principale.

Per predire lo scambio termico per un fluido che scorrecon moto turbolento in un tubo sono state proposte svariatecorrelazioni. L’uso dell’analisi dimensionale permette di rica-vare la seguente relazione:

[46]

dove e e f sono coefficienti empirici e devono essere ricavatisperimentalmente.

La formula di Sieder e Tate per moto turbolento è:

[47]

dove, analogamente a quanto fatto nel caso del moto lamina-re, è stato introdotto il coefficiente adimensionale (mbmw).

Se si introduce il numero di Stanton, NSt, definito come:

[48]

le due formule di Sieder e Tate si possono anche scrivere

[49]

nel caso di regime laminare, e

[50]

nel caso di regime turbolento.Si può quindi tracciare un diagramma in scala logaritmica

(fig. 3) da cui è possibile derivare i coefficienti liminari per

tutte le regioni di moto, riportando (h�cpG)b(cpm�k)b2�3(mw �mb)

0,14

in ordinata e (NRe)b in ascissa; G è la velocità di massa, paria rv. L’equazione [49] è qui rappresentata da una serie dicurve che corrispondono a vari valori del rapporto (L/D) eche terminano in corrispondenza di NRe�2.100. Le porzio-ni di curve corrispondenti al regime di transizione sono trac-ciate a mano, in modo tale che esse partano da questi puntiterminali e vadano poi a raccordarsi tangenzialmente con lacurva che corrisponde al regime turbolento. Questo dia-gramma viene largamente applicato, anche se presenta leseguenti limitazioni:• in regime laminare, esso sottostima il coefficiente di tra-

sferimento quando il DT è piuttosto elevato e le correnti diconvezione naturali disturbano il profilo di velocità;

• in regime laminare, esso sottostima il coefficiente di tra-sferimento quando il DT è tanto elevato da far sì che latemperatura del film superi leggermente il punto di ebol-lizione del fluido, provocando la formazione di bolle divapore sulla superficie del tubo. Se la temperatura dellamassa fluida è al di sotto del punto di ebollizione questebolle condensano, ma la loro presenza provoca turbolenzache aumenta il valore del coefficiente di trasferimento;

• in regime turbolento, quando 10�L�D�400, gli effetti diingresso diventano rilevanti e una correlazione più ade-guata è:

[51]

• se il fluido è un metallo liquido, NPr assume valori bassirispetto a quelli degli altri fluidi; la resistenza al trasportodi calore dovuta al film in parete è bassa, a causa dell’ele-vata conduttività termica e quindi l’esponente 1/3 per NPrnon fornisce una stima corretta del coefficiente di trasfe-rimento termico. Sulla base di calcoli teorici e dati speri-mentali (Rohsenow e Hartnett, 1973) è consigliato l’usodella seguente correlazione:

[52]

Tutte le formule fin qui riportate si riferiscono a condotticilindrici ma possono facilmente essere estese a condotti disezione non circolare, sostituendo al diametro D il diametroequivalente Deq, definito dal rapporto:

[53] D APeq =

4

N N NNu = + ( )4 82 0 01850 827

, ,,

Re Pr

N N N LDNu =

−

0 036 0 8 1 3

0 054

, ( ) ( ),

,

Re Pr

N N NStb

wPr Re( )

= ( )−2 3

0 14

0 2

0 023µµ

,

,

,

N N DL

NStb

wPr Re( )

=

(2 3

0 14 1 3

1 86µµ

,

, ))−2 3

NN

N Nh

c vStNu

p

= =Pr Re r

N N NNub

w

= ( ) ( )

0 023

0 8 0 33

0 14

,, ,

,

Re Pr

µµ

N A N NNu

e f= ( ) ( )Re Pr

N C N NNu r

m= ( ) ( )Re Pr

1 3

N NNu Gzb

w

=

1 86 1 3

0 14

, ( )

,

µµ

NNNNuGz

Gz w

b= ++

3 66

0 085

1 0 047 2 3

0

,,

, ( ) /

µ

µ

,,14

N N N DLGz = Re Pr

ASPETTI PROCESSISTICI

308 ENCICLOPEDIA DEGLI IDROCARBURI

0,0005

0,001

0,01

0,05L/D�50

L/D�100L/D�200

L/D�400

(NRe)b

102 103 104 105 106 107(h/c

pG) b

�(c p

m/k

) b2/3 �

(mw

/mb)

0,14

fig. 3. Valutazione del coefficiente di trasferimento per il problema di convezione forzata nel caso di un fluido che scorre in un tubo.

dove A indica l’area della sezione del condotto e P il perime-tro bagnato, ossia il perimetro che il liquido tocca all’internodel condotto.

Talvolta i fluidi vengono riscaldati facendoli passare orto-gonalmente a uno strato di tubi e il calcolo di h può essere con-dotto utilizzando la formula proposta da McAdams (1954):

[54]

In questo caso le proprietà del fluido vengono stimate allatemperatura del film superficiale, calcolata come la media arit-metica di Tb e Tw; De è il diametro dei tubi e umax è la velocitàdel fluido attraverso l’area libera minima tra file di tubi; infi-ne il valore di D dipende dal numero di strati di tubi come ripor-tato in tab. 3.

Esistono anche dei grafici utilizzati per produrre stime ini-ziali dei coefficienti di scambio per liquidi e gas impiegati inoperazioni di riscaldamento e raffreddamento a un’unica fase,all’interno di tubi, oppure all’esterno di strati di tubi. I valoriforniti da questi grafici vanno però poi verificati con calcolipiù dettagliati, che tengano debitamente conto della velocitàdel fluido, della differenza di temperatura e della geometriadell’apparecchiatura.

6.1.4 Condensazione

I fenomeni di scambio che avvengono in un fluido che subi-sce un cambiamento di fase richiedono un trattamento spe-cifico. Il cambiamento di fase di un vapore saturo nel suostato liquido viene detto condensazione. Il trasferimento dicalore associato con la condensazione è solitamente classi-ficato come convettivo, ma spesso anche la conduzione for-nisce contributi non trascurabili. Il trasporto di calore da unvapore condensante è un fenomeno che si incontra moltospesso nelle applicazioni pratiche dell’industria chimica. Iriscaldatori a vapore e i condensatori di testa delle colonnedi distillazione sono soltanto gli esempi più noti. È possibi-le distinguere due tipi di condensazione: quella a film e quel-la a gocce. Nel primo caso il vapore che condensa forma sullasuperficie solida un film di liquido che fluisce verso il basso,bagnandola completamente. Il fluido condensante, quandoha una scarsa adesione alla superficie, forma gocce che nonla bagnano interamente, lasciandone una sostanziale porzio-ne in contatto diretto con il vapore. La condensazione a goccedà delle velocità di scambio molto più alte (da 6 a 18 volte)di quelle offerte dalla condensazione a film. Il film liquidoinfatti fornisce delle resistenze al trasporto di calore più ele-vate. Tuttavia, poiché la condensazione a gocce è molto insta-bile, essa viene impiegata raramente, anche se può esserefacilitata in linea di principio introducendo particolari sostan-ze nel vapore, e nei calcoli di progetto dell’apparecchiaturasi assume spesso che la condensazione abbia luogo con unmeccanismo a film.

Nello sviluppo delle formule di calcolo del coefficiente ditrasferimento termico per la condensazione su una parete ver-ticale si ipotizza che il film di liquido che si deposita fluiscaverso il basso con moto laminare, costituendo quindi la mag-giore resistenza al flusso del calore liberato dal vapore con-densante, e che lo spessore del film sia una funzione della lun-ghezza del flusso, da calcolare utilizzando leggi idrodinami-che appropriate. Nusselt (1916), integrando sull’intera lunghezzadel flusso, ricavò la seguente espressione per il calcolo di h:

[55]

Il rapporto 4G�m rappresenta il numero di Reynolds appli-cabile a questo tipo di flusso. Per pareti verticali G è definitocome il flusso di condensato per unità di perimetro bagnato(per i tubi) o larghezza bagnata (per i piatti).

Per i tubi:

[56]

dove Nt rappresenta il numero di tubi e WF è il flusso nel film,valutato sul fondo del tubo dove è massimo. Tuttavia è statodimostrato sperimentalmente che la [55] sottostima h, ed èquindi preferibile utilizzare un coefficiente pari a 1,85 invecedi 1,47 (McAdams, 1954). Questa discrepanza è probabilmentedovuta al fatto che delle discontinuità della superficie di scam-bio, oppure delle sollecitazioni esercitate dal vapore all’inter-faccia vapore-film, o altri tipi di disturbo, possono creare tur-bolenze nel film.

Le correlazioni riportate tuttavia trascurano l’influenza delnumero di Prandtl, che viceversa può essere rilevante, ed è perquesto motivo che Dukler (1959) propose un approccio miglio-rativo della classica teoria di Nusselt, ottenendo come risulta-to il grafico mostrato in fig. 4, che correla gli effetti del nu-mero di Prandtl e del numero di Reynolds sul coefficiente di

Γ =W N DF tπ

hk gµ

µ

2

3 2

1 3 1 3

1 474

r

=

−

,Γ

hDk

Du ck

e p

=

0 33

0 6 0

,

,

∆ maxr

µµ

,,33

SCAMBIO TERMICO

309VOLUME V / STRUMENTI

tab. 3. Valori di D da usare nell’equazione [54] in funzione del numero di strati di tubi

Numerodi strati

1 2 3 4 5 6 7 8 910

e oltre

D 0,7 0,72 0,83 0,87 0,92 0,94 0,96 0,97 0,99 1

h[m

2/k

3r

2g

]1/3

0,01

0,1

1,010

52

1

0,5

0,1Dukler

NPr�cpm/k

Nusselt

NRe, 4G/m0 100.00010.0001.000

fig. 4. Valutazione del coefficiente di trasferimento per la condensazione a film di un vapore puro su una parete verticale, calcolato con la teoria di Nusselt e con la teoria di Dukler.

trasferimento. È interessante osservare come esso non evidenziun ben determinato numero di Reynolds di transizione. Si notaaltresì che le deviazioni dai risultati della teoria di Nusselt dimi-nuiscono al diminuire del numero di Reynolds terminale. Inol-tre, quando NPr�0,4 si ricavano dei valori di h inferiori a quel-li che si calcolano con la teoria di Nusselt.

Per quanto riguarda invece la condensazione su un singo-lo tubo orizzontale, la teoria di Nusselt permette di derivare laseguente correlazione:

[57]

In questo caso è:

[58]

Quando si tratta il problema di un insieme di tubi in cui ilfluido gocciola dai tubi superiori sulle file più in basso, pro-vocando un aumento dello spessore via via che si va verso ilbasso, pur mantenendo il flusso laminare, è necessario ridefi-nire G. In questo caso il flusso totale condensato deve esserediviso per il numero di file verticali di tubi Nvtr su cui goccio-la il condensato:

[59]

Se i tubi sono circolari, il valore di Nvtr si può stimare come:

[60]

Il valore del fattore Fp1 dipende dalla sistemazione geome-trica dei tubi (tab. 4). In realtà il gocciolamento del condensa-to da fila a fila provoca l’insorgere di una certa turbolenza, e la[57] pertanto sottostima h. Per questo motivo spesso al secon-do membro si utilizza un fattore 1,85, oppure la correlazionedi Dukler (v. ancora fig. 4), sebbene questa sia stata origina-riamente sviluppata per pareti verticali. Quando i numeri diReynolds per i film cadono nel campo turbolento si usano, inassenza di correlazioni specifiche, l’equazione [57] o la fig. 4.

6.1.5 Ebollizione

Il cambiamento di fase di un liquido saturo al suo stato di vapo-re viene comunemente denominato ebollizione o vaporizza-zione. L’ebollizione viene spesso utilizzata per trasferire calo-re nei processi chimici. Per esempio, il calore necessario a ese-guire una distillazione viene perlopiù fornito mediante unribollitore. Lo scambio termico che ha luogo durante l’ebolli-zione viene classificato come convettivo, poiché le bolle pro-vocano lo sviluppo di una consistente turbolenza, ma in gene-rale vari meccanismi portano il loro contributo. Per esempio lavaporizzazione può avvenire per effetto dell’assorbimento del

calore, per radiazione e convezione, alla superficie di una massadi liquido, oppure per effetto dell’assorbimento di calore perconvezione naturale da una parete calda che si trovi al di sottodella superficie libera del liquido e, in quest’ultimo caso, lavaporizzazione avviene quando il liquido soprassaturo raggiungela superficie libera. La vaporizzazione può aver luogo anche dafilm in caduta (e in questo caso il processo è l’inverso della con-densazione descritta in precedenza), o per espansione di liqui-di surriscaldati via convezione forzata sotto pressione.

Quando una massa di liquido saturo viene riscaldata, nonsolo la velocità di flusso del calore, ma anche il coefficientedi trasferimento termico h variano al variare della differenzatra la temperatura dell’interfaccia fluido-parete Tw e quella delcuore del liquido Tb. Per acqua a pressione atmosferica, il coef-ficiente varia lentamente al crescere della differenza di tem-peratura, se Tw�Tb�DT�5 °C. Molto più rapido è l’aumentoper DT5 °C, finché si verifica un massimo stretto quando ladifferenza di temperatura è pari a un valore critico. Ulterioriaumenti della differenza di temperatura provocano diminuzio-ni del coefficiente.

La spiegazione è la seguente: quando DT�5 °C, il cambiodi fase avviene per evaporazione all’interfaccia vapore-liquido,ma quando DT5 °C numerose bolle si formano in corri-spondenza della superficie riscaldante, da cui successivamen-te si staccano. Quest’ultimo meccanismo di trasferimento delcalore si chiama ebollizione nucleata, e produce elevati coeffi-cienti di trasmissione. Quando però DT supera un valore criti-co DTc, le bolle di vapore tendono a formare uno strato conti-nuo intorno alla superficie, isolandola e peggiorando quindi lecondizioni di scambio termico. Questo meccanismo viene dettoebollizione a film. L’effetto del DT sul coefficiente di trasferi-mento per l’acqua a pressione atmosferica è mostrato in fig. 5.In generale il valore di DTc dipende dalla natura della superfi-cie solida e dal liquido, ma è perlopiù compreso tra 20 e 30 °C.

In corrispondenza della differenza di temperatura criticasi ottiene il massimo flusso di calore. Nella pratica si tende aoperare con valori di DT inferiori a DTc, per evitare di caderenelle condizioni di ebollizione a film, in corrispondenza della

N F Nvtr p t= 1( ) ,0 5

Γ =W N Lvtr

Γ =W LF

hk gµ

µ

2

3 2

1 3 1 3

1 51 4r

=

−

, Γ

ASPETTI PROCESSISTICI

310 ENCICLOPEDIA DEGLI IDROCARBURI

tab. 4. Valori del fattore Fpl al variare della disposizionegeometrica dei tubi

Disposizione dei tubi Fpl

Triangolare 2,10

Triangolare ruotata 1,21

A quadrato 1,05

A quadrato ruotato 1,49

coef

fici

ente

di t

rasf

erim

ento

(kW

/m2 �

K)

2

4

6

8

10

20

40

60

DT (K)1 2 4 6 8 10 20 40 60

fig. 5. Coefficiente di trasferimento per acquain ebollizione, all’esterno di un singolo tubo orizzontalesommerso nella massa d’acqua.

quale la superficie di scambio termico funziona in condizionidi scarsa efficienza. Oltretutto, poiché il film di vapore agisceda isolante, si rischia un surriscaldamento del tubo di metallodalla parte calda. Per progettare un ribollitore è quindi moltoimportante essere in possesso di una stima del massimo flus-so di calore, che dipende in maniera significativa dalla densitàdei vapori generati. Le operazioni a bassa pressione e sottovuoto possiedono maggiori potenzialità rispetto alla possibi-lità di operare in condizioni di ebollizione nucleata. Il massi-mo flusso di calore per una massa di fluido riscaldata da ununico tubo orizzontale può essere calcolato sulla base di unacorrelazione, espressa in termini di pressione operativa p e dipressione critica del fluido pc, applicabile alla maggior partedei fluidi, inclusi acqua e idrocarburi (Mostinski, 1963):

[61]

dove le pressioni sono espresse in kPa. Secondo la [61] il mas-simo flusso di calore cresce quando p aumenta partendo da 0,fino a raggiungere un massimo quando è pari al 28% di pc, perpoi decrescere a zero via via che p si avvicina a pc. La [61] valequando il riscaldamento viene impartito da un unico tubo oriz-zontale, ma quando esso viene fornito da un gruppo di tubi oriz-zontali il rilascio del vapore dagli elementi riscaldanti è menoimmediato a causa della prossimità dei tubi adiacenti. In gene-rale, aumentando il numero di tubi, e diminuendo la loro distan-za, diminuisce (q�A)max. In qualche caso (q�A)max si riduce addi-rittura al 10% del valore che si otterrebbe con un singolo tubo.

Il coefficiente di trasferimento termico in condizioni diebollizione nucleata si può calcolare utilizzando, tra le altre,la seguente correlazione (Mostinski, 1963):

[62]

Questa correlazione non tiene conto dell’effetto della natu-ra della superficie riscaldante e può essere considerata accet-tabile per tubi commerciali, laddove tubi estremamente liscioffrono un numero inferiore di siti per la nucleazione dellebolle e quindi forniscono valori del coefficiente di trasferi-mento inferiori. La turbolenza creata dall’ebollizione in grup-pi di tubi orizzontali può dare valori del coefficiente che sonoalmeno il doppio di quelli ottenuti per un singolo tubo.

Un’espressione è stata proposta anche per il coefficientedi trasferimento in condizioni di ebollizione a film:

[63]

6.1.6 Scambiatori di calore

Nella maggior parte dei dispositivi industriali per la trasmis-sione del calore, quest’ultimo viene trasferito da un fluido caldoa uno freddo attraverso una superficie solida. Il dispositivo piùsemplice usato a questo scopo è lo scambiatore a doppio tubo(o a fluidi coassiali), in cui uno dei fluidi percorre il condottoesterno, mentre l’altro passa nel tubo interno. Per gli scam-biatori a doppio tubo sono possibili due precise modalità discambio, definite in controcorrente quando i due flussi proce-dono in versi opposti, o in equicorrente quando i due flussi pro-cedono nello stesso verso.

Siano Tc e Th, rispettivamente, la temperatura del fluidofreddo e quella del fluido caldo, Tci e Tco le temperature iningresso e in uscita del fluido freddo e Thi e Tho le temperatu-re in ingresso e in uscita del fluido caldo. In equicorrente, latemperatura del fluido freddo in uscita non può mai superarela temperatura di uscita del fluido caldo (ThoTco). Tanto piùelevata è la superficie di scambio termico, quanto più Tco siavvicina a Tho. In controcorrente si può verificare che TcoTho,perché qui si verifica un maggior recupero termico. Mentre ilsalto di temperatura per lo scambio in controcorrente non subi-sce grosse variazioni, per quello in equicorrente, esso varia daun massimo nella sezione di ingresso fino a un minimo nellasezione di uscita (fig. 6).

Il trasferimento di calore tra due fluidi separati da una pare-te piana viene generalmente descritto usando l’equazione:

[64]

secondo la quale il calore q trasferito nell’unità di tempo dalfluido caldo al fluido freddo è uguale al prodotto tra un fatto-re di proporzionalità U, denominato coefficiente globale di tra-sferimento, l’area della superficie A attraverso cui fluisce ilcalore e la differenza tra le temperature dei due fluidi, Th �Tc.

L’equazione [64] si applica solo localmente, o quando le con-dizioni di scambio si mantengono costanti su tutta l’apparec-chiatura, altrimenti deve essere espressa in forma differenziale:

[65]

Il coefficiente globale di trasferimento tiene conto di unaserie di resistenze al flusso di calore che si presentano in unsistema di questo tipo e che includono i fluidi stessi (rh e rc), idepositi dovuti allo sporcamento sul lato caldo e sul lato fred-do della parete che separa i fluidi (rhs e rcs), e la stessa paretesolida (rw). Il coefficiente globale di trasferimento si può espri-mere come l’inverso della somma delle resistenze in serie:

[66]

L’inverso di ciascuna di queste resistenze si chiama con-duttanza e si indica con h. Le conduttanze dei due fluidi, hh ehc, sono i coefficienti di scambio liminare. Il flusso di calore(q/A) attraverso ognuna delle singole resistenze è il medesimo;il salto di temperatura attraverso ciascuna resistenza è inver-samente proporzionale al valore di h:

[67] ∆T qAr q

A hh hh

= = 1

Ur r r r rh hs w cs c

=+ + + +

1

dq U T T dAh c= −( )

q UA T Th c= −( )

hk g

D Tv l v v

v o=

−( )

0 6203

,r r r

µ ∆

h p qA

ppcc

=

+0 00441 1 80 69

0 7 0 17

, ,,

, ,

44 10

1 2 10

pp

ppc c

+

,

q A pp

pp

pc c

c( ) =

−

max367 1

0 35 0 90, ,

SCAMBIO TERMICO

311VOLUME V / STRUMENTI

A B

ThiThi

ThoTho

TciTci

TcoTco

Tc

Tc

T

uscitaingressoequicorrente

T

uscitaingressocontrocorrente

fig. 6. Andamento delle temperature dei due fluidi per uno scambiatore in equicorrente (A) e per uno scambiatorein controcorrente (B).

La differenza tra la temperatura del fluido caldo e quelladel fluido freddo è data dalla somma dei DT per le singole resi-stenze.

Solitamente la parete solida, di spessore y, è costituita daun materiale conduttore e la quantità di calore che lo attraver-sa è data da:

[68]

Molto spesso rw è trascurabile, sia perché lo spessore dellaparete è molto basso, sia perché il valore k della conducibilitàè molto elevato.

Per sporcamento si intende qualunque strato, o deposito,di materiale estraneo su una superficie che deve scambiarecalore. Questi materiali solitamente hanno una bassa con-duttività termica, e quindi manifestano un’elevata resistenzaallo scambio termico. Tali strati si possono creare per effet-to della deposizione di sostanze finemente suddivise even-tualmente presenti nei fluidi di processo, oppure per cristal-lizzazione di qualche sostanza la cui solubilità alla tempera-tura alla quale si trova la parete sia più bassa di quella allatemperatura del cuore del fluido. La formazione di strati piut-tosto spessi e duri di sporcamento alla parete è causata da rea-zioni di polimerizzazione e talvolta da prodotti di corrosio-ne delle pareti stesse.

Come detto, quando le condizioni di scambio variano lungol’apparecchiatura, è necessario usare la [65]. Un’espressionedel flusso di calore in funzione delle temperature di ingressoe uscita del fluido caldo (Thi e Tho) e del fluido freddo (Tci eTco) può essere ricavata con le seguenti ipotesi: a) il coeffi-ciente di trasferimento globale U è costante su tutta l’appa-recchiatura; b) lo scambiatore opera in condizioni staziona-rie; c) il calore specifico dei due fluidi è costante per tutta lalunghezza dello scambiatore; d ) non si verificano cambia-menti di stato nel sistema; e) le dispersioni di calore sono tra-scurabili.

In particolare, se i flussi dei fluidi avvengono in contro-corrente si ricava:

[69]

La differenza di temperatura efficace, detta differenza ditemperatura media logaritmica, è quindi data da:

[70]

Se invece i flussi dei due fluidi avvengono in equicorren-te si ricava:

[71]

In questo caso la differenza di temperatura media logarit-mica è data da:

[72]

Il coefficiente globale di trasferimento U può essere valu-tato direttamente tramite la [66] solo se l’area di scambio ècostante, come accade nel caso di trasferimenti attraverso pare-ti piane. Tuttavia la maggior parte delle apparecchiature pre-senta superfici di scambio tubolari, in cui l’area esterna Ao èsuperiore a quella interna Ai. La [66] deve quindi essere modi-ficata in modo da riferire tutte le resistenze alla stessa super-ficie, in particolare quella utilizzata per definire A. Solitamente,nel caso di apparecchiature tubolari ci si riferisce alla superfi-cie esterna e il coefficiente globale di trasferimento è quindidato da:

[73]

La resistenza della parete metallica del tubo viene molti-plicata per il rapporto tra la superficie esterna e una superfi-cie media, calcolata dal valore medio logaritmico del raggiodel tubo definito nella [10].

Infine bisogna prendere in considerazione il caso in cui Unon sia costante, ma vari con la temperatura dei due fluidi. Inquesto caso si ipotizza perlopiù che la dipendenza sia lineare,del tipo:

[74]

Integrando la [65] si ottiene l’espressione seguente:

[75]

dove Uc e Uh sono rispettivamente i valori del coefficiente ditrasferimento nel punto più freddo e nel punto più caldo delloscambiatore.

In pratica gli scambiatori di calore a tubi coassiali sonoraramente utilizzati, perché offrono una superficie di scambiolimitata. Gli scambiatori più largamente impiegati sono quellia fascio tubiero, che sono versatili e possono essere impiegatianche in presenza di cambiamenti di stato (per esempio, con-densazioni ed ebollizioni) con pressioni operative che vannoda valori vicini a condizioni di vuoto a valori dell’ordine di 40MPa. In pratica gli scambiatori a fascio tubiero sono costitui-ti da due piastre a cui sono connessi un certo numero di tubi(fascio tubiero), posti all’interno di un mantello. Con questadisposizione si riesce a compattare in poco spazio una grandesuperficie di scambio. In fig. 7 sono rappresentati due disegnischematici di scambiatori. Uno dei due fluidi percorre il fasciodei tubi: nel caso più semplice entrando da una testata e uscen-do da quella opposta, nel caso più generale percorrendo partedei tubi in un senso e invertendo poi la direzione di flusso eripercorrendo altri tubi in senso inverso, per poi tornare a inver-tire la direzione, e così via, fino a compiere n percorsi entro ilfascio tubero (n passi); lo scambiatore di fig. 7A è a 2 passi,quello di fig. 7B a 4 passi. L’altro fluido scorre nell’involucrocilindrico che contiene i tubi e investe i tubi stessi in modo piut-tosto complesso. Solitamente, infatti, per migliorare lo scam-bio termico vengono riposte all’interno dell’involucro delle para-tie, che chiudono parzialmente la sezione dell’involucro, lascian-dosi attraversare dai tubi: tali paratie sono fissate alternativamentesu lati opposti dell’involucro. Il fluido si muove quindi a zig-zag, investendo i tubi in direzione grosso modo perpendico-lare nello spazio compreso tra due paratie, e muovendosi inve-ce all’incirca parallelamente ai tubi in corrispondenza delle

q AU T T U T T

U T TU T

c hi co h ho ci

c hi co

h h

=−( ) − −( )

−( )ln

oo ciT−( )

U T= +α β∆

UAAr

AAr

AA

r r ro

ii

o

iis

o

lmw os o

=+ + + +

1

∆TT T T T

T TT T

lmhi ci ho co

hi ci

ho co

=−( ) − −( )

−−

ln

q UAT T T T

T TT T

hi ci ho co

hi ci

ho co

=−( ) − −( )

−−

ln

∆TT T T T

T TT T

lmhi co ho ci

hi co

ho ci

=−( ) − −( )

−−

ln

q UAT T T T

T TT T

hi co ho ci

hi co

ho ci

=−( ) − −( )

−−

ln

q ky A Tw= ∆

ASPETTI PROCESSISTICI

312 ENCICLOPEDIA DEGLI IDROCARBURI

finestre. La riduzione di sezione, che provoca un aumento divelocità, e il fatto che il fluido colpisca frontalmente, almenoin parte, il fascio tubiero causano un aumento della turbolen-za e quindi un miglioramento del coefficiente di trasferimen-to. Solitamente le aperture delle paratie corrispondono a circail 25% della sezione totale dell’involucro.

Il calcolo del coefficiente di trasferimento per il lato deltubo è immediato, poiché si possono utilizzare i criteri già vistiper il caso di flussi in condotti tubolari (v. ancora fig. 3). Menosemplice è il calcolo del coefficiente per il fluido che scorrenell’involucro, dato che il regime di moto in questo caso è piut-tosto complesso. Tuttavia sono state proposte alcune correla-zioni, come quella di Kern (1950):

[76]

simile alla [54]. Il diametro equivalente Deq è calcolato dalla [53]. Geq indi-

ca una velocità di massa equivalente. In corrispondenza del-l’apertura di una paratia, dove il flusso è parallelo ai tubi, sistima una velocità di massa Gw dal rapporto tra la portata inmassa del fluido e l’area della sezione libera, Sw, che è l’areatotale dell’apertura a cui deve essere sottratta la somma dellesezioni dei tubi che l’attraversano. D’altra parte nello spaziocompreso tra due paratie, dove il flusso è normale ai tubi, l’a-rea della sezione libera, Ss, può essere approssimativamentecalcolata dall’espressione yLxpDs�yT , dove Ds è il diametro del-l’involucro, yT è la distanza tra gli assi di due tubi vicini e chesi trovano sulla stessa fila orizzontale, yL è la distanza tra duetubi vicini sulla stessa fila orizzontale (yL�yT�De) e xp è ladistanza tra due paratie successive. Si noti che Ds�yT rappre-senta il valore approssimato del numero dei tubi e quindi anchedel numero degli spazi liberi in corrispondenza del diametrodell’involucro, mentre il prodotto yLxp fornisce l’area dello spa-zio libero tra due tubi vicini. Quindi nello spazio tra le paratiesi può stimare una velocità di massa Gs data dal rapporto trala portata in massa del fluido e Ss. La velocità di massa equi-valente Geq, introdotta nella [76], si può calcolare dalla mediageometrica di Gw e Gs:

[77]

Le formule tipo la [69], ricavate per sistemi a tubo coas-siale, valgono anche per gli scambiatori a fascio tubiero, purdi introdurre un fattore correttivo Y, in quanto in tali apparec-chiature i due flussi non sono né in controcorrente né in equi-corrente. Il valore di Y è sempre minore di 1 e dipende dal tipodi scambiatore e dalle temperature di ingresso e uscita dei duefluidi. I valori di Y sono stati calcolati (Kern, 1950) per unaserie di flussi di interesse comune, sempre sotto le assunzioniprima menzionate, che erano state introdotte per ricavare l’e-quazione [69]. In generale valori di Y minori di 0,8 sono con-siderati inaccettabili e la corrispondente configurazione delloscambiatore viene giudicata inefficiente.

Negli scambiatori si tende a mantenere elevate le velocità deifluidi in modo da ottenere dei coefficienti di scambio più alti pos-sibile, senza elevare oltre limiti ragionevoli le perdite di carico.

6.1.7 Irraggiamento

Un corpo riscaldato emette radiazioni elettromagnetiche diintensità e frequenze dipendenti dalla sua temperatura. Peresempio, se il filamento di una lampada a incandescenza vieneriscaldato elettricamente, sia la quantità di energia emessa nel-l’unità di tempo sia la porzione di radiazione visibile emessaaumentano all’aumentare della temperatura. A una tempera-tura inferiore a 400 °C la radiazione emessa dalla lampada nonè percepita dall’occhio umano, ma viene avvertita dall’epi-dermide come calore.

La descrizione quantitativa di questo fenomeno si basa sullameccanica quantistica, ma in termini qualitativi esso può esse-re spiegato osservando come, quando si fornisce energia a uncorpo solido, alcuni degli atomi e delle molecole che lo costi-tuiscono si portino su stati eccitati, tendendo però a tornarespontaneamente a stati di minore energia. Quando ciò accadel’energia viene emessa sotto forma di radiazioni elettromagne-tiche, che dipendono dalle variazioni subite dagli atomi e dallemolecole negli stati elettronico, vibrazionale e rotazionale equindi sono distribuite su diverse lunghezze d’onda. Il proces-so inverso, detto assorbimento, ha luogo quando, fornendo del-l’energia raggiante a un corpo, se ne provoca il passaggio a unostato di energia superiore. Questo è ciò che accade quando l’e-nergia raggiante colpisce una superficie solida.

L’energia raggiante che incide sulla superficie di un corpoè in parte assorbita, in parte riflessa e in parte trasmessa. Sipuò quindi scrivere:

[78]

dove a indica l’assorbività, ovvero la frazione di energia assor-bita dal corpo, r è la riflettività, ovvero la frazione riflessa, e tla trasmittività, ovvero la frazione trasmessa.

Per la maggior parte, i materiali di interesse pratico sonocostituiti da sostanze opache con trasmittività nulla. I corpi cheassorbono tutta l’energia incidente sono detti corpi neri. Nes-suna superficie reale si comporta in pratica come un corpo nero.Il miglior esempio di corpo nero è rappresentato da una cavitàvuota a pareti opache in comunicazione con l’ambiente permezzo di un foro di area trascurabile rispetto alla superficiedella cavità. Tutta l’energia raggiante che entra nella cavità virimane intrappolata e il foro si comporta come un corpo nero.

Due corpi di area A1 e A2 contenuti in una cavità isolataemettono esternamente le energie raggianti A1 e1 e A2 e2, dovee rappresenta il potere emissivo totale, cioè l’energia emessaper tempo unitario e superficie unitaria nell’emisfera situata

a r+ + =τ 1

G G Geq w s=

hdk

D G ck

e eq eq p

f

=

0 36

0 55 1 3

,,

µµ µ

µ

0 14,

SCAMBIO TERMICO

313VOLUME V / STRUMENTI

A

B

fig. 7. Scambiatori di calore a fascio tubiero: A, a 2 passi; B, a 4 passi.

sopra ciascuna superficie elementare. Si indichi poi con eB l’e-nergia incidente sull’unità di superficie dei due corpi prove-niente dalla superficie della cavità, e con a1 e a2 i poteri assor-benti dei due corpi, ovvero il rapporto tra la radiazione assor-bita e quella incidente. In condizioni di equilibrio termodinamicol’energia incidente e assorbita da ciascun corpo deve eguagliarequella emessa per cui è:

[79]

ovvero:

[80]

Questa relazione stabilisce che in condizioni di equilibrioil rapporto tra il potere assorbente e il potere emissivo è ugua-le per tutti i corpi (legge di Kirchhoff). Per un corpo nero a�1,quindi e�eB. Il potere emissivo del corpo nero dipende esclu-sivamente dalla temperatura.

Il rapporto tra il potere emissivo di una superficie generi-ca e quello del corpo nero è detto emissività della superficie eviene indicato come:

[81]

In condizioni di equilibrio termico l’emissività di un corpoeguaglia il suo potere assorbente.

Oltre al potere emissivo totale si definisce anche il potereemissivo specifico el, che rappresenta l’energia emessa in emi-spazio per unità di superficie, unità di tempo e in un interval-lo di lunghezza d’onda compreso tra l e l�dl. Il potere emis-sivo totale dipende, oltre che dalla temperatura termodinami-ca T, anche dalla lunghezza d’onda l. Per il corpo nero taledipendenza fu trovata da Planck nel 1900 (Planck, 1923):

[82]

dove c è la velocità della luce nel vuoto, pari a 2,9979�108 m/s,kB è la costante di Boltzmann, pari a 1,3807�10�23 J/K, hP èla costante di Planck pari a 6,6261�10�34 J�s, mentre c1 e c2sono le cosiddette prima e seconda costante della legge diPlanck che valgono, rispettivamente, 3,7403·10�16 J�m2/s e1,4387�10�2 m�K.

In fig. 8 è rappresentata la dipendenza di el dalla lunghez-za d’onda per diversi valori della temperatura. Ognuna dellecurve ottenute a una data temperatura presenta un massimo peruna lunghezza d’onda che varia al variare della temperaturastessa secondo la legge di Wien:

[83]

dove il valore della costante è espresso in cm·K.Il potere emissivo totale del corpo nero si ricava da quel-

lo specifico attraverso un’integrazione su tutto lo spettro dellelunghezze d’onda.

Utilizzando l’espressione di el fornita dalla legge di Plancke calcolando l’integrale, si ottiene la legge di Stefan-Boltz-mann: eB�c1T 4�c2

4�sT 4, dove s ha il valore di 5,67·10�8

W/(m2�K4).

Calcolo dell’energia raggiante trasmessa tra due superficiPer calcolare l’energia raggiante trasmessa tra due super-

fici, sarebbe necessario considerare lo scambio di radiazionimonocromatiche e integrare in tutto lo spettro di lunghezze

d’onda. Per semplicità però si preferisce calcolare l’energiache i due corpi scambierebbero se fossero neri, usando la leggedi Stefan, e moltiplicare il risultato ottenuto per l’emissivitàdella superficie in gioco. In generale le emissività dei corpisono funzioni della temperatura e della natura delle superfici.Superfici metalliche a bassa temperatura possono raggiunge-re valori dell’emissività intorno a 0,05, che ad alte temperatu-re crescono fino a 0,70. L’emissività di una superficie metal-lica ossidata può variare tra 0,65 e 0,95, a seconda della tem-peratura della superficie stessa. Mattoni, vetro, marmo e cartahanno emissività generalmente maggiori di 0,90.

L’assorbività di una superficie dipende, oltre che dalla natu-ra della superficie e dalla sua temperatura, anche dalla distri-buzione spettrale della radiazione incidente. Se il corpo chericeve la radiazione assorbe tutte le lunghezze d’onda con ugua-le assorbività, esso è chiamato grigio e la sua assorbività è indi-pendente dalla distribuzione energetica della radiazione inci-dente. In tal caso l’assorbività a è uguale all’emissività delcorpo nero alla sua temperatura.

A questo punto è possibile calcolare la trasmissione di ener-gia raggiante tra due superfici di solidi separati da un mezzonon assorbente. Se si tratta di due superfici parallele a esten-sione infinita, grigie, con emissività e1 ed e2 a temperaturaT1 e T2, il corpo 1 emette, per unità di tempo e di superficie,

λmax =0 2898,

T

eh c

ed

ce

Ph c k T c TP Bλ λ λ

π λλ

λ=

−=

−

− −2

1 1

2 5

1

5

2

ε= eei

B

e e eB1

1

2

2α α= =

e A A e e A A eB B1 1 1 1 2 2 2 2α α= =;

ASPETTI PROCESSISTICI

314 ENCICLOPEDIA DEGLI IDROCARBURI

2.040 °C

1.540 °C

1.200 °C

0

10

20

30

40

50

60

70

80

100

90

2 30 1 4 5l (mm)

el (u.a.)

fig. 8. Dipendenza del potere emissivo specifico dalla lunghezza d’onda per diversi valori della temperatura.

l’energia raggiante e1�e1sT14, della quale la frazione e2 è assor-

bita dal corpo 2 e la frazione (1�e2) è riflessa nuovamente.Questa a sua volta sarà in parte assorbita e in parte riflessa, ecosì via.

Si dimostra che l’energia assorbita dalla superficie 2, perunità di superficie emittente, è data da:

[84]

e analogamente:

[85]

Quindi l’energia complessivamente trasmessa da 1 a 2 è:

[86]

Se le due superfici sono nere, essendo e1�e2�1, la [86]diventa:

[87]

Se invece le due superfici non sono parallele e hanno esten-sione finita, è necessario introdurre un fattore geometrico F12,detto fattore di vista, definito come la frazione dell’energiaemessa dalla superficie A1 in tutte le direzioni che viene inter-cettata dalla superficie A2.Per cui è:

[88]

In presenza di diverse superfici che complessivamente rice-vono tutta l’energia raggiante emessa da un’unica superficieA1 è valida la seguente relazione:

[89]

Se A1 non vede nessuna parte di sé stessa, F11�0. I valoridei fattori geometrici che intervengono nella soluzione dei pro-blemi più comuni sono stati calcolati e riportati in diagrammi.Il calcolo pratico dei fattori di vista è comunque spesso piut-tosto complicato. I diagrammi ricavati da Hottel (1950, 1954)permettono di derivare i fattori di vista nel caso dell’irraggia-mento diretto tra due rettangoli adiacenti, disposti in piani per-pendicolari, e nel caso dell’irraggiamento diretto tra formeidentiche opposte in piani paralleli. Quando le due superficiparallele raggianti sono connesse da una superficie riflettente,l’energia non viene scambiata solo direttamente tra le due super-fici, ma in parte anche per riflessione attraverso la superficieriflettente. In questo caso la quantità di calore scambiato sipotrà quindi esprimere tramite la formula:

[90]

dove i valori del fattore geometrico F_

risultano sempre supe-riori a quelli di F in quanto la presenza di una superficie riflet-tente tra due superfici parallele aumenta la quantità di calorescambiato nell’unità di tempo.

Se si considera una cavità chiusa, come l’interno di unafornace, essa può essere suddivisa in un certo numero di super-fici radianti A1, A2, …, mentre il resto della cavità può essereconsiderato come un’unica superficie riflettente AR a tempe-ratura uniforme TR.

Se esistono due superfici radianti A1 e A2, indicando conF12 il loro fattore geometrico, F1R quello fra la prima superfi-cie e la superficie riflettente, FR2 quello fra la superficie riflet-tente e la seconda superficie e infine FRR quello della superfi-cie riflettente con sé stessa (se la superficie è piana FRR�0) sipuò dimostrare che:

[91]

infatti la frazione F12 dell’energia emessa dalla A1 è diretta-mente assorbita dalla A2, e quest’ultima riceve anche la frazio-ne FR2�(1�FRR) della radiazione inizialmente incidente su AR.

Le considerazioni svolte sopra sono valide, purché si ammet-ta che le superfici radianti in gioco siano nere. Un calcolo esat-to del calore trasmesso tra due superfici non nere risulta peròtroppo complesso, e viene quindi semplificato assumendo chele superfici siano grigie. Se si considerano in una cavità duesuperfici raggianti A1 e A2 con emissività e1 ed e2, si può dimo-strare che il calore scambiato, dovuto al meccanismo combi-nato di radiazione diretta, superficie riflettente e riflessione mul-tipla all’interno della cavità, si può esprimere con la formula:

[92]

dove il fattore F12 è dato da:

[93]

L’equazione [92], che è la più generale tra quelle presen-tate sopra per descrivere lo scambio termico, può essere uti-lizzata per derivare un coefficiente di trasferimento termico.Essa infatti può essere riscritta nella forma:

[94]

dalla quale si ottiene la seguente espressione per il coefficien-te di trasferimento:

[95]

Irraggiamento dei gasNello studio dell’irraggiamento di superfici solide si può

assumere con buona approssimazione che i corpi in esamesiano grigi, ovvero che l’emissività o l’assorbività siano indi-pendenti dalla frequenza della radiazione. Nello studio del-l’irraggiamento dei gas è invece necessario tener conto di taledipendenza. Infatti, se la radiazione di un corpo nero passaattraverso una massa di gas, l’assorbimento ha luogo solo inalcuni intervalli di frequenza dello spettro infrarosso. Analo-gamente, se il gas è riscaldato irradia energia nello stesso inter-vallo di frequenza. Tali frequenze infrarosse sono prodotte dalletransizioni delle molecole fra i livelli quantici rotazionali evibrazionali.

In pratica, fra i gas contenuti nei prodotti di combustione,mono- e biossido di carbonio, vapor d’acqua, biossido di zolfo,cloruro di idrogeno e idrocarburi posseggono un apprezzabilevalore dell’emissività. Viceversa, i gas aventi molecole biato-miche simmetriche quali l’azoto, l’ossigeno e l’idrogeno nonhanno un’emissività significativa. L’emissività e l’assorbivitàdi una miscela gassosa dipendono dai suoi componenti radian-ti e sono proporzionali alla loro concentrazione e allo spesso-re medio L della massa gassosa.

hT TT T

=−−

σΦ12

1

4

2

4

1 2

q AT TT T

T T=−−

−( )σ1 12

1

4

2

4

1 2

1 2Φ

Φ12

12 1

1

2 2

11 1 1 1 1

=+ −

+ −

F

AAε ε

q A T T A T T= −( ) = −( )σ σ1 12 14

24

2 21 14

24Φ Φ

F FF FF

R R

RR12 12

1 2

1= +

−

q F A T T F A T T= −( ) = −( )σ σ12 1 14

24

21 2 14

24

F F F F11 12 13 14 1+ + + + =...

A F A F1 12 2 21=

qA T T

114

24= −( )σ

qA T T

114

24

1 2

11 1 1

= −( )+ −

σ

ε ε

qA

T2 1 2

4

1 2

1 11

→ =+ −

σ

ε ε

qA

T1 2 1

4

1 2

1 11

→ =+ −

σ

ε ε

SCAMBIO TERMICO

315VOLUME V / STRUMENTI

I valori dell’emissività dei gas più importanti dipendonodalla temperatura, dalla loro pressione parziale e dallo spes-sore L della massa gassosa che, a sua volta, può essere calco-lato mediante la formula:

[96]

dove V è il volume del gas e S è la superficie totale.L’emissività totale, o assorbività, di una miscela di gas è

minore della somma di quelle dei componenti puri. Se, peresempio, si considera una miscela di CO2 e H2O, si ha:

[97]

dove eg è l’emissività del gas a una data temperatura, eCO2è

l’emissività del CO2 alla stessa temperatura, eH2O è l’emissi-vità dell’acqua, C è un termine correttivo che dipende da eCO2e da eH2O.

Forni Una delle applicazioni industriali più importanti del tra-

sferimento di calore via irraggiamento è rappresentata dai forni,che sono largamente impiegati nelle raffinerie petrolifere, perla distillazione del greggio a pressione atmosferica e sotto vuoto,nel cracking termico e in molte operazioni di servizio. I fornisono apparecchiature in cui la maggior parte del calore totaleviene trasferita mediante irraggiamento diretto da una fiammaverso superfici in grado di assorbire calore. Queste superfici,dato che la radiazione procede essenzialmente in linea retta,devono essere in grado di vedere la sorgente che emette la radia-zione. Abitualmente, nei forni industriali i corpi che ricevonoil calore sono dei tubi all’interno dei quali è contenuto il flui-do che deve essere riscaldato, e che a loro volta sono contenu-ti in pareti costituite da un materiale a elevata riflettività: nonè quindi facile determinare per via teorica i percorsi copertidalle radiazioni, e la velocità di scambio termico.

Generalmente per i forni il flusso di calore si può espri-mere con la formula:

[98] q �ℑsA�(T14�T2

4)

dove T1 è la temperatura della sorgente, T2 è la temperatura deitubi, A� è una superficie efficace dei tubi e ℑ è un fattore adi-mensionale di scambio.

Nella maggior parte dei forni i tubi sono collocati in unao due file, immediatamente davanti alle pareti. Parte della radia-zione colpisce direttamente i tubi, che la assorbono, mentre laporzione rimanente colpisce le pareti, che in parte la rifletto-no e in parte la disperdono nell’atmosfera. È possibile stima-re una superficie piana efficace, Acp, a cui viene attribuita emis-sività unitaria, per sostituire nei calcoli di progetto la superfi-cie totale dei tubi, moltiplicando il numero dei tubi per la lorolunghezza esposta alla radiazione e per la distanza tra i lorocentri. Poiché l’insieme dei tubi non assorbe però tutta l’ener-gia emessa dalla fiamma, è necessario calcolare anche un fat-tore di efficienza di assorbimento a. Un metodo di calcolo pera fu sviluppato da Hottel (1931). Il valore del fattore di scam-bio ℑ dipende soprattutto dall’emissività dei gas prodotti nellacombustione e dalla radiazione riflessa dalle pareti. Parametriimportanti, sulla base di quanto discusso poco sopra, sono quin-di la concentrazione di CO2 e H2O, la temperatura del gas e lospessore della massa gassosa. Poiché la gran parte dell’ener-gia che colpisce le pareti viene riflessa nella direzione dei tubi,i forni che hanno ampie parti di pareti esposte alla radiazionesono in grado di trasferire per radiazione più calore per unità

di superficie, di quelli in cui le pareti siano molto schermatedai tubi.

Bibliografia generale

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Elenco dei simboli

A area della sezione del corpo normale alla direzione diflusso del calore; sezione di un tubo

a assorbività di un corpoAe superficie esterna di uno strato sfericoAeq superficie equivalente per problemi di scambio

termico attraverso un cilindro cavo, o uno stratosferico

Ai superficie interna di uno strato sfericoc velocità della luce nel vuoto

ε ε εg C= + −CO H O2 2

L VS

=

0 85 4,

ASPETTI PROCESSISTICI

316 ENCICLOPEDIA DEGLI IDROCARBURI

cp calore specifico a pressione costanteD diametro di un tuboDeq diametro equivalente di un tuboDs diametro dell’involucro cilindrico di uno scambiatoree potere emissivo totale di un corpoel potere emissivo specifico di un corpoFi, j fattori di vistaFp1 parametro dell’equazione [60]g accelerazione di gravitàG velocità di massa di un fluido in uno scambiatoreh coefficiente di trasferimento di calorehT coefficiente globale di trasferimento di calore tra

l’ambiente e la superficie di un corpo, in un problemadi conduzione non stazionaria

k conducibilità termicakB costante di BoltzmannL lunghezza di un cilindro o di un tubo; spessore di una

massa gassosal dimensione caratteristica del sistema, in problemi di

conduzione naturaleNGr numero di GrashofNGz numero di GraetzNNu numero di NusseltNPr numero di PrandtlNRe numero di ReynoldsNSt numero di StantonNt numero dei tubiNvtr numero di file verticali di tubi su cui gocciola il

condensatop pressionepc pressione critica di un fluido q calore scambiato per unità di tempo q� velocità di generazione del calorer resistenza termica di una pareteR distanza che intercorre, in un problema di conduzione

non stazionaria, nella direzione in cui viene trasmessoil calore, dal punto o dal piano a metà del corpo alpunto in esame

r riflettività di un corporc resistenza allo scambio di calore offerta dal fluido

freddo, in uno scambiatorercs resistenza allo scambio di calore offerta dallo

sporcamento sul lato del fluido freddo, in unoscambiatore.

Re raggio esterno di un cilindro cavo, o di uno stratosferico

rh resistenza allo scambio di calore offerta dal fluidocaldo, in uno scambiatore

rhs resistenza allo scambio di calore offerta dallosporcamento sul lato del fluido caldo, in unoscambiatore.

Ri raggio interno di un cilindro cavo, o di uno stratosferico

Rlm raggio medio logaritmicoRm in problemi di conduzione non stazionaria: raggio

della sfera o del cilindro, oppure metà dello spessoredella lastra scaldata da entrambi i lati, oppurespessore della lastra scaldata da un lato eperfettamente isolata dall’altro

rw resistenza allo scambio di calore offerta dalla parete,in uno scambiatore

Ss area della sezione libera nello spazio compreso tradue paratie, in uno scambiatore

Sw area della sezione libera nell’involucro di unoscambiatore

T temperatura termodinamicat tempoT� temperatura dell’ambienteT0 temperatura iniziale di un corpo, in un problema di

conduzione non stazionariaTb temperatura nel cuore di un fluidoTc temperatura del fluido freddo, in uno scambiatoreTci temperatura di ingresso del fluido freddo, in uno

scambiatoreTco temperatura di uscita del fluido freddo, in uno

scambiatoreTe temperatura della faccia esterna di un cilindro cavo, o

della superficie esterna di uno strato sfericoTh temperatura del fluido caldo, in uno scambiatoreThi temperatura di ingresso del fluido caldo, in uno

scambiatoreTho temperatura di uscita del fluido caldo, in uno

scambiatoreTi temperatura della faccia interna di un cilindro cavo, o

della superficie interna di uno strato sfericoTn temperatura della superficie di contatto tra due

cilindri, o due sfere, concentriciTs temperatura di pareteU coefficiente globale di trasferimentoumax velocità di un fluido attraverso l’area libera minima

tra file di tubiV volume di un corpov velocità lineare di un fluido all’interno di un tuboWF flusso in un film condensantexp distanza tra due paratie successive di uno scambiatoreY fattore correttivo nel caso in cui i flussi non siano né

in equicorrente né in controcorrenteY rapporto adimensionale (eq. [31])yT distanza tra gli assi di due tubi vicini di uno

scambiatore

Lettere grecher densitàa diffusività termicab coefficiente di espansione termica di un fluidom viscosità dinamica di un fluidomb viscosità di un fluido alla sua temperatura mediamw viscosità di un fluido alla temperatura della pareteD parametro dell’equazione [54]G flusso di condensato per unità di perimetrot trasmettività di un corpoe emissività di una superficiel lunghezza d’ondas costante di Stefan-Boltzmann

Stefano Carrà

MAPEI

Milano, Italia

SCAMBIO TERMICO

317VOLUME V / STRUMENTI