63872200-elektrotehnika2-naizmjenicne-struje-zadaci.pdf

7/28/2019 63872200-Elektrotehnika2-Naizmjenicne-Struje-Zadaci.pdf

1/23

Primjer 1.U elektrinom kolu na Slici 1., primjenomprvog i drugog Kirchoffovog zakona odrediti struje u svim

granama elektrinog kola, snagu koja se razvija na impedansi i snagu koju izvor daje uelektrino kolo. Poznato je:

Rjeenje:Za dato elektrino kolo potrebno je proizvoljno odrediti smjerove struja u pojedinim granama, kao ismjerove obilaska kontura, kako je to uraeno na Slici 1a . U elektrinom kolu ima n=2 vora i m=3grane.

Kirchoffovi zakoni primjenjeni na elektrina kola prostoperiodinih struja u kompleksnom obliku su: Prvi Kirchoffov zakon:

Drugi Kirchoffov zakon:


2/23

Ove jednaine su formalno iste kao jednaine za elektrina kola sa jednosmjernim strujama. Razlika jejedino u tome to se umjesto intenziteta jednosmjerne struje, te elektromotorne sile E i otpomosti R,koriste njihove kompleksne efektivne vrijednosti, odnosno impedanse Z. Kompleksna efektivna vrijednost

ovih veliina sadri realnu efektivnu vrijednost i poetnu fazu. Na ovaj nain sistem jednaina ponovo sesvodi na sistem algebarskih jednaina, ali u kompleksnom obliku.Broj jednaina po prvom Kirchoffovom zakonu koji je potreban za rjeavanje elektrinog kola je:

Prvi Kirchoffov zakon mogue je napisati za bilo koji vor u elektrinom kolu. Odabran vor 1, tejednaina po prvom Kirchoffovom zakonu glasi:

(1)Broj jednaina po drugom Kirchoffovom zakonu koji je potreban za rjeavanje elektrinog kola je:n-(m-1)=3-(2-1)=2.Na Slici 1.a,proizvoljno su odabrani smjerovi obilaska kontura. Jednaine napisane na osnovu drugogKirchoffovog zakona su:

(2)(3)

Napisane jednaine po prvom i drugom Kirchoffovom zakonu (1), (2), (3) ine sistem od tri jednaine sa

tri nepoznate struje ( ). Rjeavanju sistema jednaina mogue je pristupiti na vie naina.

Jedan od naina je metod zamjene promjenljivih.Iz jednaine (1) struja jednaka je:

Ako se ova jednaina uvrsti u jednaine napisane pomou drugog Kirchoffovog zakona (2) i (3) dobija se:

Uvrtavanjem poznatih vrijednosti impedansi i napona, dobijeni sistem od dvije jednaine sa dvijenepoznate je:

Rjeenje sistema su kompleksne vrijednosti struja:


3/23

a koritenjem izraza za struju odreuje se i trea nepoznata struja:

Razvijena snaga na impedansi odreuje se kao:

Napon na impedansi je:

pa je snaga jednaka:

Snaga koju izvor napona daje u kolo, jednaka je:


4/23

Primjer 2.U elektrinom kolu na Slici 2., primjenom metode konturnih struja odrediti kompleksne efektivnevrijednosti struja u granama elektrinog kola, napon izmeu taaka A i B, aktivne gubitke u kolu kao isnage izvora napona. Poznato je:

,

Rjeenje:U opstem sluaju sistem jednaina napisan po metodi konturnih struja za sloeno elektrino kolo ukompleksnom obliku glasi:

Velicina predstavlja sumu kompleksnih impedansi svih elemenata duz i-te konture koja je pozitivnog

predznaka, predstavlja sumu kompleksnih impedansi svih elemenata grane koja je zajednika

za i-tu i j-tu konturu, iji predznak zavisi od smjera konturnih struja kroz tu granu i predstavlja sumusvih kompleksnih vrijednosti elektromotomih sila duz i-te konture. Elektromotome sile generatora iji sereferentni smjer poklapa sa smjerom konture uzimaju se sa pozitivnim predznakom, a u suprotnom

sluaju, sa negativnim predznakom.Metoda konturnih struja se moe primjeniti i za rjeavanje elektrinih kola, koja pored naponskih sadre istrujne generatore. U tom sluaju potrebno je strujne generatore transforrnisati u ekvivalentne naponskegeneratore (ako se ne radi o idealnim strujnim generatorima jer takva ekvivalencija ne postoji), ilidirektno primjeniti metodu konturnih struja, tako da prilikom izbora nezavisnih kontura, grana koja

sadri strujni generatormora pripadati samo jednoj konturi,to znai da ta grana morapredstavljati nezavisnu granu (spojnicu) konture. Struja strujnog generatora predstavlja konturnustruju te nezavisne grane.


5/23

Postupak rjeavanja elektrinog kola svodi se na:1. Grane u kojima su vezani strujni generatori ne raunaju se pri odreivanju broja n kkontura. Te

konture ne smiju da sadre grane sa strujnim generatorima.2. Vrijednosti struja strujnih generatora su poznate i za njih se ne piu jednaine po metodi konturnih

struja.3. Pie se nkjednaina konturnih struja, u koje konturne struje strujnih generatora ulaze na opisaninain preko impedansi grana zajednikih za posmatranu konturu i konture strujnih generatora.Broj nezavisnih kontura koji ujedno predstavlja i broj potrebnih jednaina pri rjeavanju elektrinog kolaprimjenom metode konturnih struja je:

U posmatranom elektrinom kolu broj vorova jen=4, a broj grana m=6, pa je broj nezavisnihkontura nk=3.U elektrinom kolu su odabrane tri nezavisne konture i u njima naznaeni smjerovi nepoznatih konturnihstruja, Slika 2.a.

Sistem jednaina potrebnih za rjeavanje datog elektrinog kola napisan po metodi konturnih struja je:

(1)Impedanse kontura su:


6/23

Impedanse u zajednikim granama su:

Elektromotorne sile kontura su:

Uvrtavanjem vrijednosti za impedanse kontura, impedanse zajednikih grana kontura i ekvivalentnihnapona kontura u sistem jednaina (1), dobija se:

(2)Rjeavanjem sistema jednaina (2) dobijaju se kompleksne vrijednosti konturnih struja:

Na Slici 2.a proizvoljno su pretpostavljeni smjerovi struja u pojedinim granama elektrinog kola.Koritenjem prethodno odreenih kompleksnih vrijednosti konturnih struja, kompleksne vrijednosti strujakroz pojedine grane u elektrinom kolu jednake su:


7/23

Napon izmeu taaka A i B se odreuje kao:

Aktivni gubici razvijaju se samo na impedansama koje imaju aktivnu otpornost i jednaki su:

Snage koje izvori napona daju u elektrino kolo su:


8/23

Primjer 3.Primjenom metode superpozicijeodrediti struje u svim granama elektrinog kola sa Slike 3. Poznato

je:

Rjeenje:Prema metodi superpozicije, kompleksna efektivna vrijednost struje u svakoj grani elektrinog kolajednaka je sumi kompleksnih efektivnih vrijednosti struja koje bi u toj grani stvarali naponski i strujnigeneratori pri pojedinanom djelovanju u elektrinom kolu.Iskljuenje naponskih generatora vri se tako to se anulira njihova elektromotorna sila, a njihovaunutranja otpornost ostaje ukljuena u datoj grani elektrinog kola. Ako je naponski generator idealan,nakon iskljuenja na njegovom mjestu ostaje kratka veza.Iskljuenje idealnog strujnog generatora je ekvivalentno anuliranju njegove struje i prekidanju, tj.odstranjivanju grane u kojoj se generator nalazi, jer je po definiciji unutranja otpornost idealnogstrujnog generatora beskonana.Na Slici 3.a prikazano je elektrino kolo kada u njemu djeluje samo izvor napona . Struje u takvom

elektrinom kolu se odreuju kao:


9/23

Na Slici 3.a prikazano je elektrino kolo kada u njemu djeluje samo izvor napona . Struje u takvomelektrinom kolu se odreuju kao:

Na osnovu struja koje su odreene pri pojedinanom djelovanju izvora napona i , superpozicijomstanja odreuju se struje u elektrinom kolu prikazanom na Slici 3.


10/23

Primjer 4.U elektrinom kolu prikazanom na Slici 4, potrebno je provjerititeoremu

reciprociteta ili uzajamnostiposmatrajui granu sa izvorom napona i granu sa

impedansom

Poznato je:

Rjeenje:Ako generator elektromotorne sile E, vezan u grani kprouzrokuje u grani mstruju jaine , taj isti

generator vezan u grani mprouzrokovao bi u grani kstruju iste jaine .Struja u grani sa impedansom prema Slici 4, odreuje se na slijedei nain:

gdje je :


11/23

Kada se izvor napona premjesti u granu sa impedansom (Slika 4.a), tada struja kroz granu

sa impedansom mora biti jednaka struji .

gdje je :

.Struje i su jednake, ime je teorema reciprociteta ili uzajamnosti dokazana.


12/23

Primjer 7.Primjenom Nortonove teoreme odrediti kompleksnu prividnu snagu koju razvija strujni generator uelektrinom kolu prikazanom na Slici 7. Poznate su komleksne vrijednosti elektromotornih sila naponskihgeneratora, struje strujnog generatora i impedansi potroaa:

Rjeenje:Elektrino kolo za odreivanje struje Nortonovog generatora prikazano je na Slici 7.a.

Odabirom nezavisnih kontura kao na Slici 7.a, mogue je napisati sljedee jednaine po metodi konturnihstruja:


13/23

Uvrtavanjem brojnih vrijednosti dobijaju se jednaine:

Rjeavanjem sistema jednaina po nepoznatoj konturnoj struji , odnosno struji Nortonovoggeneratora dobija se:

Na Slici 7.b, prikazano je kolo za odreivanje kompleksne impedanse Nortonovog generatora.


14/23

Da bi se odredila kompleksna impedansa Nortonovog generatora, potrebno je transfigurisati trougao sa

impedansama , , u ekvivalentnu zvijezdu impedansi , , , Slika 7.c. Impedanseekvivalentne zvijezde su:

Prema Slici 7.c , kompleksna impedansa Nortonovog generatora je:

Na Slici 7.d, prikazano je ekvivalentno elektrino kolo formirano od strujnog generatora struje iNortonovog generatora. Kompleksna vrijednost napona na krajevima strujnog generatora iznosi:


15/23

Kompleksna prividna snaga koju razvija strujni generator jednaka je:


16/23

Primjer 8.Primjenom Milmanove teoremeu elektrinom kolu prikazanom na Slici 8. odrediti aktivnu snagu

potroaa impedanse . Poznato je:

Rjeenje:Prema Milmanovoj teoremi elektrino kolo sa Slike 8. potrebno je predstaviti elektrinim kolom koje epored impedanse na kojoj se trai razvijena aktivna snaga, imati ekvivalentnu elektromotornu

silu i ekvivalentnu impedansu kao to je prikazano na Slici 8.a.S obzirom da u posmatranom kolu postoje tri paralelno vezane grane sa generatorima, mogue je pronai

njihovu ekvivalentnu elektromotornu silu i ekvivalentnu admitansu (impedansu ) na sljedeinain:

gdje n predstavlja broj paralelno vezanih grana.


17/23

Predznak lanova uzima se na osnovu usvojenog smjera djelovanja ekvivalentne elektromotorne

sile, tako to ako se smjer djelovanja elektromotorne sile poklapa sa smjerom djelovanja

elektromotorne sile onda je predznak lana pozitivan, u suprotnom, predznak je negativan.Ekvivalentna elektomotorna sila jednaka je:

Ekvivalentna admitansa je:

odavdje je ekvivalentna impedansa jednaka:

Struja u elektrinom kolu na Slici 8.a se dobije kao:

Razvijena aktivna snaga na impedansi je:


18/23

Primjer 9.Za elektrino kolo prikazano na Slici 9. poznato je:Koristei metodu potencijla vorova potrebno je odrediti napon .

Rjeenje:U optem sluaju sistem jednaina napisan po metodi potencijala vorova za sloeno elektrino koloprostoperiodine struje je oblika:

Veliina predstavlja sumu kompleksnih admitansi svih grana koje se stiu u i-ti vor i pozitivnog je

predznaka, predstavlja sumu kompleksnih admitansi svih grana koje se nalaze izmeu i-tog i j-

tog vora i negativnog je predznaka, a predstavlja sumu kompleksnih struja koje se stiu u i-ti vor.

Potreban broj jednana pri rjeavanju elektrinog kola primjenom metoda potencijala vorova je:

U posmatranom elektrinom kolu broj vorova je n=3 pa je broj potrebnih jednaina .


19/23

Sistem jednaina napisan po metodi potencijala vorova, za elektrino kolo sa definisanim vorovima naSlici 9:

(1)gdje su: admitanse

admitansa zajednike grane za dva vora

struje vorova

Rjeavanjem sistema jednaina (1), dobiju se potencijali vorova 1i 2:

Primjenom drugog Kirchoffovog zakona, napon jednak je:

Da bi se odredio napon potrebno je odrediti struju koja tee od vora 0 ka voru 1:

Odavde je napon jednak:


20/23


21/23

Primjer 10.U elektrinom kolu prikazanom na Slici 10. potrebno je provjeriti teoremu o odranju kompleksne snage ukolu. Poznate su kompleksne vrijednosti elektromotornih sila generatora i impedansi potroaa:

Rjeenje:Prema teoremi i odranju kompleksne snage, ukupna kompleksna snaga u elektrinom kolu jednaka jenuli:

Potrebno je odrediti u svim granama elektrinog kola kompleksne snage koje daju generatori, odnosnokoje se razvijaju na potroaima. Da bi se te snage izraunale neophodno je u granama odrediti struje.Za odreivanje struja moe se primjeniti bilo koja metoda, npr. metoda konturnih struja.


22/23

U datom elektrinom kolu, mogue je uoiti tri nezavisne konture. Na Slici 10.a prikazani su smjerovikonturnih struja, kao i struja u pojedinim granama. Jednaine napisane po metodi konturnih struja su:

Uvrtavanjem brojnih vrijednosti dobija se sistem jednaina:

Rjeavanjem ovog sistema jednaina dobijaju se kompleksne vrijednosti konturnih struja:

Prema naznaenim smjerovima struja u granama elektrinog kola na Slici 10.a kompleksne vrijednostiovih struja su:


23/23

Na osnovu poznatih struja u granama odreuju se kompleksne snage koje u elektrino kolo dajugeneratori i kompleksne snage koje se razvijaju na potroaima pri emu je referentni smjer, smjerkonturne struje:

Prema teoremi o odranju kompleksne snage slijedi da je:

Na osnovu ovoga teorema o odranju kompleksne snage u elektrinom kolu je potvrena.

63872200-elektrotehnika2-naizmjenicne-struje-zadaci.pdf

Documents