6979634-engenhariacivilapostilaconcretoarmado
TRANSCRIPT
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Julho - 2002
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexão Simples
2
ÍNDICE 1.1 - INTRODUÇÃO....................................................................................................3 1.2 – TIPOS DE ESTRUTURAS .................................................................................3 1.3 – ESFORÇO CORTANTE E MOMENTO FLETOR............................................4 1.4 – DIAGRAMAS DE ESFORÇO CORTANTE E MOMENTO FLETOR............5 1.5 – COEFICIENTE DE SEGURANÇA (k) ..............................................................6 1.6 – EQUAÇÃO GERAL DA FLEXÃO ....................................................................6 1.7 – TENSÃO ADMISSÍVEL ....................................................................................6 1.8 – MÓDULO DE RESISTÊNCIA À FLEXÃO ......................................................6 1.9 – DIMENSIONAMENTO DA SEÇÃO TRANSVERSAL...................................7 1.9.1 – INTRODUÇÃO ................................................................................................7 1.9.2 – TIPOS DE SEÇÃO TRANSVERSAL .............................................................8 1.9.2.1 – VIGAS DE SEÇÃO TRANSVERSAL QUADRADA .................................8 1.9.2.2 – VIGAS DE SEÇÃO TRANSVERSAL CIRCULAR....................................9 1.9.2.3 – VIGAS DE SEÇÃO TRANSVERSAL RETANGULAR.............................9 1.9.2.4 – VIGAS DE SEÇÃO TRANSVERSAL TUBULAR...................................11 1.9.2.5 – VIGAS DE SEÇÃO TRANSVERSAL CAIXÃO ......................................12 1.9.2.6 – VIGAS DE SÇÃO TRANSVERSAL FORMADAS POR PERFIS INDUSTRIAIS ...........................................................................................................14 1.10 – CÁLCULO DA MÁXIMA CARGA P QUE PODE SER APLICADA EM UMA ESTRUTURA SUJEITA À FLEXÃO .............................................................14 1.10.1 – INTRODUÇÃO ............................................................................................14 1.10.2 – CÁLCULO DO MÁXIMO VALOR DE P ..................................................15 1.10.2.1 – CÁLCULO DE P EM VIGAS DE SEÇÃO TRANSVERSAL QUADRADA .............................................................................................................15 1.10.2.2 – CÁLCULO DE P EM VIGAS DE SEÇÃO TRANSVERSAL CIRCULAR ................................................................................................................16 1.10.1.3 – CÁLCULO DE P EM VIGAS DE SEÇÃO TRANSVERSAL RETANGULAR .........................................................................................................16 1.10.2.4 – CÁLCULO DE P EM VIGAS DE SEÇÃO TRANSVERSAL TUBULAR .................................................................................................................17 1.10.2.5 – CÁLCULO DE P EM VIGAS DE SEÇÃO TRANSVERSAL CAIXÃO.....................................................................................................................17 1.10.2.6 – CÁLCULO DE P EM VIGAS DE SEÇÃO TRANSVERSAL TIPO PERFIL INDUSTRIAL ..............................................................................................18 1.11 – TABELAS PARA SELEÇÃO DE PERFIS INDUSTRIAIS ..........................20 1.12 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS........................................................................29 1.13 – EXERCÍCIOS PRÁTICOS DE PROJETO RESOLVIDOS ...........................39 1.14 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS ..........................................................................51 RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS.....................................................91 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .......................................................................92
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexão Simples
3
DIMENSIONAMENTO DE ESTRUTURAS SUJEITAS A ESFORÇOS DE FLEXÃO
1.1 -INTRODUÇÃO
Neste capítulo é estudado o dimensionamento de estruturas sujeitas a esforço de
flexão, considerando-se para tal estudo, diversos tipos de estruturas e seções transversais.
1.2 – TIPOS DE ESTRUTURAS
A) VIGAS ENGASTADAS: São vigas que possuem uma de suas extremidades
livre e a outra fixa.
Figura 1.1 – Exemplo de viga engastada.
B) VIGAS SIMPLESMENTE APOIADAS: Possuem apoios em suas extremidades,
sendo um dos apoios fixo e o outro móvel, para garantir a estaticidade da estrutura.
Figura 1.2 – Exemplo de viga simplesmente apoiada.
Equações da estática:
3 Equações - ∑ = 0VF , ∑ 0HF e ∑ = 0M .
3 Incógnitas – RAV, RAH e RB .
P
B A
P
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexão Simples
4
C) VIGAS SIMPLES COM BALANÇO NAS EXTREMIDADES: São vigas
simplesmente apoiadas, porém com suas extremidades deslocadas em relação aos apoios.
Figura 1.3 – Exemplo de viga simples com balanços.
1.3 – ESFORÇO CORTANTE E MOMENTO FLETOR
A) ESFORÇO CORTANTE: Carga que tende a provocar cisalhamento da
estrutura e conseqüente flexão da mesma pois o comprimento da barra não é desprezado. O
esforço cortante é representado neste curso por Q, e, pode ser, positivo ou negativo,
dependendo da convenção de sinais adotada.
Figura 1.4 – Convenção de sinais para o esforço cortante.
Quando a carga é aplicada de cima para baixo, o esforço cortante é negativo.
Quando a carga é aplicada de baixo para cima, o esforço cortante é positivo.
B) MOMENTO FLETOR: Pode ser definido como o momento resultante de todas
as forças que são aplicadas na estrutura. Quando se trata de flexão, é possível conhecer o
valor do momento fletor em cada ponto da estrutura. O momento fletor também pode ser
positivo ou negativo.
Q-
B A
Q+ Q-
Q+
Viga Horizontal Viga Vertical
P
B A
P P
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexão Simples
5
Figura 1.5 – momento fletor positivo ou negativo.
Quando as fibras inferiores da estrutura são comprimidas, o momento fletor é
negativo.
Quando as fibras inferiores da estrutura são tracionadas, o momento fletor é
positivo.
1.4 – DIAGRAMAS DE ESFORÇO CORTANTE E MOMENTO FLETOR
Os diagramas de esforço cortante e momento fletor permitem ao projetista analisar
qual é o ponto crítico da estrutura, ou seja, qual é a região que a viga pode se romper.
Figura 1.6 – Exemplo de diagramas de esforço cortante e momento fletor.
P
L
-P
0
0
-P.L
Ponto crítico
Tração Compressão
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexão Simples
6
1.5 – COEFICIENTE DE SEGURANÇA (k)
Fator de correção com a finalidade de aumentar as dimensões da estrutura
garantindo desse modo maior segurança ao projeto.
1.6 – EQUAÇÃO GERAL DA FLEXÃO
A equação matemática que dimensiona uma estrutura sujeita a esforço de flexão é
dada por:
x
Fmáx
wM
=σ . (1.1)
1.7 – TENSÃO ADMISSÍVEL
A tensão admissível é obtida dividindo-se a tensão de escoamento do material
utilizado no projeto pelo coeficiente de segurança empregado, pode ser calculada do
seguinte modo:
keσ
σ = . (1.2)
1.8 – MÓDULO DE RESISTÊNCIA À FLEXÃO (wX)
Representa em termos numéricos como determinado tipo de seção reage ao esforço,
ou seja, representa a resistência da seção em relação ao esforço de flexão. Para cada tipo de
seção transversal estudada tem-se uma equação diferente para se calcular o valor de wx.
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexão Simples
7
Tabela 1.1 – Módulo de resistência à flexão em relação ao eixo x.
TIPO DA SEÇÃO TRANSVERSAL MÓDULO DE RESISTÊNCIA (WX)
QUADRADA
6
3lwx = (1.3)
RETANGULAR
CIRCULAR
TUBULAR
BALCÃO OU CAIXÃO
1.9 – DIMENSIONAMENTO DA SEÇÃO TRANSVERSAL
1.9.1 – INTRODUÇÃO
O objetivo desta seção é apresentar a formulação matemática utilizada para o
dimensionamento da seção transversal de alguns tipos de vigas mais utilizadas na
construção de estruturas mecânicas.
b b
a
a
h
b
d
l
D
d
)4.1(6
2bhwX =
)5.1(32
3dwX
π=
)7.1(6
44
aba
wX−
=
)6.1(32
)( 44
DdD
wX−
=π
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexão Simples
8
1.9.2 – TIPOS DE SEÇÃO TRANSVERSAL
Os principais tipos de seção transversal estudadas na presente seção são: quadrada,
circular, retangular, tubular e caixão, também são estudados os perfis industriais tipo I, U,
L (abas iguais) e L (abas desiguais).
1.9.2.1 – VIGAS DE SEÇÃO TRANSVERSAL QUADRADA
A partir das Equações (1.1), (1.2) e (1.3), pode-se chegar a uma equação geral que
fornece como resultado o valor numérico do comprimento l que representa a dimensão do
lado da seção transversal quadrada.
Substituindo-se a Equação (1.2) na Equação (1.1), tem-se que:
wxMf
kmáxe =
σ. (1.8)
A Equação (1.8) é utilizada para todos os tipos de seção transversal utilizadas na
presente seção.
Para vigas de seção quadrada, basta substituir a Equação (1.3) na Equação (1.8),
chegando-se a:
6
3lMf
kmáxe =
σ. (1.9)
Rearranjando-se os termos, a Equação (1.9) pode ser escrita do seguinte modo:
3
6l
Mfk
máxe =σ
. (1.10)
Resolvendo-se a Equação (1.10) com relação a l, chega-se a uma solução geral
representada pela Equação (1.11), que pode ser aplicada sempre que a barra possuir seção
transversal quadrada.
36
e
máxkMfl
σ= . (1.11)
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexão Simples
9
1.9.2.2 – VIGAS DE SEÇÃO TRANSVERSAL CIRCULAR
A partir das Equações (1.4) e (1.8), pode-se chegar a uma equação geral que
fornece como resultado o valor numérico do comprimento d que representa a dimensão do
diâmetro da circunferência que forma a viga.
Substituindo-se a Equação (1.4) na Equação (1.8),pode-se escrever que:
32
3dMf
kmáxe
πσ
= . (1.12)
Rearranjando-se os termos, a Equação (1.12) pode ser escrita do seguinte modo:
3
32d
Mfk
máxe
πσ
= . (1.13)
Resolvendo-se a Equação (1.13) com relação a d, chega-se a uma solução geral
representada pela Equação (1.14), que pode ser aplicada sempre que a barra possuir seção
transversal circular.
332
e
máxkMfd
πσ= . (1.14)
1.9.2.3 – VIGAS DE SEÇÃO TRANSVERSAL RETANGULAR
A partir das Equações (1.5) e (1.8), pode-se chegar a uma equação geral que
fornece como resultado numérico os valores de b e h, que representam as dimensões de
base e altura da viga de seção retangular.
Substituindo-se a Equação (1.5) na Equação (1.8), pode-se escrever que:
6
2bhMf
kmáxe =
σ. (1.15)
Pode-se notar claramente na análise da Equação (1.15), que na solução de vigas de
seção transversal retangular, existem duas incógnitas, b e h, portanto, é interessante
assumir uma nova equação que forneça a relação entre b e h, fazendo desse modo com que
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexão Simples
10
uma das incógnitas seja camuflada em meio a solução do problema. Assim, define-se a
variável x como a relação entre h e b, como pode-se observar na Equação (1.16):
bh
x = . (1.16)
Daí pode-se escrever que:
xbh = . (1.17)
Substituindo-se a Equação (1.17) na Equação (1.15), tem-se que:
6)( 2xbb
Mfk
máxe =σ
. (1.18)
Rearranjando-se os termos, a Equação (1.18) pode ser escrita do seguinte modo:
22
6bbx
Mfk
máxe =σ
. (1.19)
Resolvendo-se a Equação (1.19) com relação a b, chega-se a uma solução geral
representada pela Equação (1.20), que pode ser aplicada sempre que a barra possuir seção
transversal retangular.
32
6
e
máx
xkMf
bσ
= , (1.20)
onde x representa a relação entre h e b fornecida no problema.
Uma vez conhecido o valor de b, o valor numérico de h pode ser calculado a partir
da Equação (1.17) como citado anteriormente.
Portanto, as Equações (1.20) e (1.17) são utilizadas para o dimensionamento de
vigas de seção transversal retangular.
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexão Simples
11
1.9.2.4 – VIGAS DE SEÇÃO TRANSVERSAL TUBULAR
A partir das Equações (1.6) e (1.8), pode-se chegar a uma equação geral que
fornece como resultado numérico os valores de D e d, que representam as dimensões de
diâmetro externo e diâmetro interno de uma viga de seção transversal tubular.
Substituindo-se a Equação (1.6) na Equação (1.8), pode-se escrever que:
DdD
Mfk
máxe
32)( 44 −
=π
σ. (1.21)
Novamente pode-se perceber que se tem na solução do problema duas incógnitas D
e d, portanto, a variável y é definida como a relação entre d e D, como pode-se observar na
Equação (1.22):
Dd
y = . (1.22)
Daí pode-se escrever que:
yDd = . (1.23)
Substituindo-se a Equação (1.23) na Equação (1.21), tem-se que:
DyDD
Mfk
máxe
32)( 4−
=π
σ. (1.24)
Rearranjando-se os termos, a Equação (1.24) pode ser escrita do seguinte modo:
444
32DyD
DMfk
máxe
ππσ
−= . (1.25)
Daí pode-se escrever que:
)1(32
44 yDDMf
kmáxe
−=
πσ
. (1.26)
Assim:
)1(32
43 yDMf
kmáxe
−=
πσ
. (1.27)
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexão Simples
12
Resolvendo-se a Equação (1.27) com relação a D, chega-se a uma solução geral
representada pela Equação (1.28), que pode ser aplicada sempre que a barra possuir seção
transversal tubular.
34 )1(
32ykMf
De
máx
−=
πσ, (1.28)
onde y representa a relação entre d e D fornecida no problema.
Uma vez conhecido o valor de D, o valor numérico de d pode ser calculado a partir
da Equação (1.23) como citado anteriormente.
Portanto, as Equações (1.28) e (1.23) são utilizadas para o dimensionamento de
vigas de seção transversal tubular.
1.9.2.5 – VIGAS DE SEÇÃO TRANSVERSAL CAIXÃO
A partir das Equações (1.7) e (1.8), pode-se chegar a uma equação geral que
fornece como resultado numérico os valores de a e b, que representam as dimensões de
diâmetro dos lados, externo e interno, de uma viga de seção transversal caixão.
Substituindo-se a Equação (1.7) na Equação (1.8), pode-se escrever que:
aba
Mfk
máxe
6
44 −=
σ. (1.29)
Novamente pode-se perceber que se tem na solução do problema duas incógnitas a
e b, portanto, a variável z é definida como a relação entre b e a, como pode-se observar na
Equação (1.30):
ab
z = . (1.30)
Daí pode-se escrever que:
zab = . (1.31)
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexão Simples
13
Substituindo-se a Equação (1.31) na Equação (1.29), tem-se que:
azaa
Mfk
máxe
6)( 44 −
=σ
. (1.32)
Rearranjando-se os termos, a Equação (1.32) pode ser escrita do seguinte modo:
44 )(6
zaaaMf
kmáxe
−=
σ. (1.33)
Daí pode-se escrever que:
)1(6
44 zaaMf
kmáxe
−=
σ. (1.34)
Assim:
)1(6
43 zaaMf
kmáxe
−=
σ. (1.35)
Resolvendo-se a Equação (1.35) com relação a a, chega-se a uma solução geral
representada pela Equação (1.36), que pode ser aplicada sempre que a barra possuir seção
transversal caixão.
34 )1(
6zkMf
ae
máx
−=
σ, (1.36)
onde z representa a relação entre b e a fornecida no problema.
Uma vez conhecido o valor de a, o valor numérico de b pode ser calculado a partir
da Equação (1.31) como citado anteriormente.
Portanto, as Equações (1.36) e (1.31) são utilizadas para o dimensionamento de
vigas de seção transversal caixão.
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexão Simples
14
1.9.2.6 – VIGAS DE SEÇÃO TRANSVERSAL FORMADAS POR PERFIS
INDUSTRIAIS
Ao contrário do se possa parecer, a solução de problemas de dimensionamento de
vigas com seção transversal formada por perfis industriais é mais simples que a solução
apresentada para os casos anteriores.
A partir da Equação (1.8), pode-se determinar o valor do módulo de resistência em
relação ao eixo x (wx), resultando em:
e
máxx
kMfw
σ= . (1.37)
A Equação (1.37) pode ser utilizada sempre que se necessitar selecionar um perfil
industrial.
Para perfis dos tipos I, U, L (abas iguais) e L (abas desiguais), uma vez calculado o
valor de (wx) através da Equação (1.37), o perfil pode ser selecionado na tabela
correspondente ao perfil desejado. Vale ressaltar que se não for utilizado fator de
segurança, ou seja, valor de k igual a 1 (k=1), a seleção do perfil deve ser realizada
considerando-se um valor maior que o (wx) que foi calculado, ou seja, na tabela seleciona-
se o valor de (wx) imediatamente superior ao calculado, uma vez que o mesmo representa a
condição limite para o dimensionamento da estrutura.
1.10– CÁLCULO DA MÁXIMA CARGA P QUE PODE SER APLICADA
EM UMA ESTRUTURA SUJEITA À FLEXÃO
1.10.1 – INTRODUÇÃO
O objetivo desta seção é apresentar a formulação matemática utilizada para o
cálculo da máxima carga P que pode ser aplicada em uma estrutura sujeita à flexão,
constituída por uma seção transversal equivalente às estudadas na seção anterior.
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexão Simples
15
1.10.2 – CÁLCULO DO MÁXIMO VALOR DE P
A seguir são apresentadas as equações gerais para o cálculo do máximo valor de P
para alguns tipos de seção transversal já estudadas.
1.10.2.1 – CÁLCULO DE P EM VIGAS DE SEÇÃO TRANSVERSAL
QUADRADA
A partir da Equação (1.10), isola-se a variável Mfmáx, resultando em:
kl
Mf emáx 6
3σ= . (1.38)
Como se desconhece o valor de P, não é possível se conhecer o valor numérico de
Mfmáx, portanto, é conveniente que para o valor de Mfmáx seja adotada a relação apresentada
na Equação (1.39):
PnMf máx= , (1.39)
onde n é o valor numérico obtido no diagrama de momento fletor para a estrutura.
Assim, substituindo-se a Equação (1.39) na Equação (1.38), tem-se:
kl
Pn e
6
3σ= . (1.40)
Resolvendo-se a Equação (1.40) com relação a P, chega-se a uma Equação geral
que pode ser utilizada para a determinação da carga máxima, sempre que a viga possuir
seção transversal quadrada.
knl
P e
6
3σ= . (1.41)
Portanto, a Equação (1.41) é geral para vigas de seção transversal quadrada.
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexão Simples
16
1.10.2.2 – CÁLCULO DE P EM VIGAS DE SEÇÃO TRANSVERSAL
CIRCULAR
A partir da Equação (1.13), isola-se a variável Mfmáx, resultando em:
kd
Mf emáx 32
3πσ= . (1.42)
Assim, substituindo-se a Equação (1.39) na Equação (1.42), tem-se:
kd
Pn e
32
3πσ= . (1.43)
Resolvendo-se a Equação (1.43) com relação a P, chega-se a uma Equação geral
que pode ser utilizada para a determinação da carga máxima, sempre que a viga possuir
seção transversal circular.
knd
P e
32
3πσ= . (1.44)
Portanto, a Equação (1.44) é geral para vigas de seção transversal circular.
1.10.2.3 – CÁLCULO DE P EM VIGAS DE SEÇÃO TRANSVERSAL
RETANGULAR
A partir da Equação (1.15), isola-se a variável Mfmáx, resultando em:
khb
Mf emáx 6
2σ= . (1.45)
Assim, substituindo-se a Equação (1.39) na Equação (1.45), tem-se:
khb
Pn e
6
2σ= . (1.46)
Resolvendo-se a Equação (1.46) com relação a P, chega-se a uma Equação geral
que pode ser utilizada para a determinação da carga máxima, sempre que a viga possuir
seção transversal retangular.
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexão Simples
17
knhb
P e
6
2σ= . (1.47)
Portanto, a Equação (1.47) é geral para vigas de seção transversal retangular.
1.10.2.4 – CÁLCULO DE P EM VIGAS DE SEÇÃO TRANSVERSAL
TUBULAR
A partir da Equação (1.21), isola-se a variável Mfmáx, resultando em:
DkdD
Mf emáx 32
)( 44 −=
πσ. (1.48)
Assim, substituindo-se a Equação (1.39) na Equação (1.48), tem-se:
DkdD
Pn e
32)( 44 −
=πσ
. (1.49)
Resolvendo-se a Equação (1.49) com relação a P, chega-se a uma Equação geral
que pode ser utilizada para a determinação da carga máxima, sempre que a viga possuir
seção transversal tubular.
DkndD
P e
32)( 44 −
=πσ
. (1.50)
Portanto, a Equação (1.50) é geral para vigas de seção transversal tubular.
1.10.2.5 – CÁLCULO DE P EM VIGAS DE SEÇÃO TRANSVERSAL
CAIXÃO
A partir da Equação (1.29), isola-se a variável Mfmáx, resultando em:
kaba
Mf emáx 6
)( 44 −=
σ. (1.51)
Assim, substituindo-se a Equação (1.39) na Equação (1.51), tem-se:
kaba
Pn e
6)( 44 −
=σ
. (1.52)
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexão Simples
18
Resolvendo-se a Equação (1.52) com relação a P, chega-se a uma Equação geral
que pode ser utilizada para a determinação da carga máxima, sempre que a viga possuir
seção transversal caixão.
nkaba
P e
6)( 44 −
=σ
. (1.53)
Portanto, a Equação (1.53) é geral para vigas de seção transversal caixão.
1.10.2.5 – CÁLCULO DE P EM VIGAS DE SEÇÃO TRANSVERSAL TIPO
PERFIL INDUSTRIAL
A partir da Equação (1.37), isola-se a variável Mfmáx, resultando em:
kW
Mf Xemáx
σ= . (1.54)
Assim, substituindo-se a Equação (1.39) na Equação (1.54), tem-se:
kW
Pn Xeσ= . (1.55)
Resolvendo-se a Equação (1.55) com relação a P, chega-se a uma Equação geral
que pode ser utilizada para a determinação da carga máxima, sempre que a viga possuir
seção transversal tipo perfil industrial.
nkw
P xeσ= . (1.56)
Portanto, a Equação (1.56) é utilizada para a determinação do valor de P em vigas
com seção de perfil industrial, lembrando-se que o valor de (wx) é obtido em tabelas, de
acordo com o perfil utilizado.
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexão Simples
19
Tabela 1.2 – Formulário para dimensionamento à flexão.
SEÇÃO DIMENSIONAMENTO CÁLCULO DE P
QUADRADA 3
6
e
máxkMfl
σ=
knl
P e
6
3σ=
CIRCULAR 3
32
e
máxkMfd
πσ=
knd
P e
32
3πσ=
RETANGULAR 3
2
6
e
máx
xkMf
bσ
=
xbh =
knhb
P e
6
2σ=
TUBULAR 3
4 )1(32
ykMf
De
máx
−=
πσ
yDd =
DkndD
P e
32)( 44 −
=πσ
CAIXÃO 3
4 )1(6
zkMf
ae
máx
−=
σ
zab =
nkaba
P e
6)( 44 −
=σ
PERFIL INDUSTRIAL
e
máxx
kMfw
σ=
nkw
P xeσ=
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexão Simples
20
1.11 - TABELAS PARA SELEÇÃO DE PERFIS INDUSTRIAIS
Tabela 1.3 – Perfis H – Padrão Americano.
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexão Simples
21
Tabela 1.4 – Perfis I – Padrão Americano.
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexão Simples
22
Tabela 1.5 – Perfis I – Padrão Americano.
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexão Simples
23
Tabela 1.6 – Perfis U Padrão Americano.
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexão Simples
24
Tabela 1.7 – Perfis U Padrão Americano.
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexão Simples
25
Tabela 1.8 – Perfis L (Abas Iguais) - Padrão Americano.
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexão Simples
26
Tabela 1.9 – Perfis L (Abas Desiguais) - Padrão Americano.
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexão Simples
27
Tabela 1.10 – Perfis L (Abas Desiguais).
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexão Simples
28
Tabela 1.11 – Propriedades dos Materiais.
TENSÕES
Material Tensão de Escoamento [MPa] Tensão de Ruptura
[MPa]
Aço Carbono
ABNT 1010 – L 220 320
ABNT 1010 – T 380 420
ABNT 1020 – L 280 360
ABNT 1020 – T 480 500
ABNT 1030 –L 300 480
ABNT 1030 – T 500 550
ABNT 1040 – L 360 600
ABNT 1040 – T 600 700
ABNT 1050 – L 400 650
ABNT 1050 – T 700 750
Aço Liga
ABNT 4140 – L 650 780
ABNT 4140 – T 700 1000
ABNT 8620 - L 440 700
ABNT 8620 – T 700 780
Materiais não Ferrosos
Alumínio 30-120 70-230
Duralumínio 14 100-420 200-500
Cobre Telúrio 60-320 230-350
Bronze de Níquel 120-650 300-750
Magnésio 140-200 210-300
Titânio 520 60
Zinco - 290
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexão Simples
29
3
220
=
=
k
MPaeσ
1.12 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1) Dimensionar a estrutura representada a seguir com relação à flexão,
considerando que a mesma possui seção transversal quadrada.
Dados:
4m
3kN
l
l
Mf
Q
-3 kN
-12 kNm
mm,lm,l
:totanPor
l
:Assim
kMfl
:queescreversepodeDaí
NmkNmMf
:MfdediagramaDo
m/NMPa
:Solução
e
máx
máx
e
3999099390
102203120006
6
1200012
10220220
36
3
26
==
⋅⋅⋅
=
=
−
==
⋅==
σ
σ
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexão Simples
30
2
360
=
=
k
MPaeσ
mm,dm,d
:totanPor
d
:Assim
kMfd
:queescreversepodeDaí
NmkNm,Mf
:MfdediagramaDo
m/NMPa
:Solução
e
máx
máx
e
0478078040
103602840032
32
840048
10360360
36
3
26
==
⋅⋅⋅
=
⋅=
−
==
⋅==
σπ
σ
2) Dimensionar a estrutura representada a seguir com relação à flexão,
considerando que a mesma possui seção transversal circular.
Dados:
1m
7kN
d
Mf
Q
4kN
0,7m 0,4m
5kN 6kN
-7,4 kNm
-8,4 kNm
-6,8 kNm
-2 kN
-7 kN
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexão Simples
31
3) Dimensionar a estrutura representada a seguir com relação à flexão,
considerando que a mesma possui seção transversal retangular.
Dados:
0,5m 1m
4kN 3kN
0,5m
b
h
Q
-3,75kN
0,25kN 3,25kN
Mf
1,875 kN.m 1,625 kN.m
mm,h,h
bxh:pordadoéhdevalorO
mm,bm,b
:totanPor
d
:Assim
xkMf
b
:queescreversepodeDaí
NmkNm,Mf
:MfdediagramaDo
m/NMPa
:Solução
e
máx
máx
e
265542183
4218018420
103603318756
6
18758751
10360360
362
32
26
=⋅=⋅=
==
⋅⋅⋅⋅
=
⋅=
−
==
⋅==
σ
σ
3
3360
==
==
bh
x
kMPaeσ
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexão Simples
32
80
3360
,Dd
y
kMPae
==
==σ
4) Dimensionar a estrutura representada a seguir com relação à flexão,
considerando que a mesma possui seção transversal tubular.
Dados:
2m
15kN/m
Q
-15kN
15kN
Mf
mm,D,,D
dyD:pordadoéDdevalorO
mm,dm,d
:totanPor
),(d
:Assim
)y(kMf
d
:queescreversepodeDaí
NmkNm,Mf
:MfdediagramaDo
m/NMPa
:Solução
e
máx
máx
e
03825410280
54102102540
801103603750032
132
750057
10360360
346
34
26
=⋅=
⋅=
==
−⋅⋅⋅⋅⋅
=
−⋅⋅=
−
==
⋅==
π
σπ
σ
D
d
,5kN.m
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexão Simples
33
5) Dimensionar a estrutura representada a seguir com relação à flexão,
considerando que a mesma possui seção transversal caixão.
Dados:
b b
a
a 1m
7kN
Q
-9,6kN
6,4kN
Mf
5kN/m 5kN/m
1m 1m 1m
5kNm
2,4kN
-4,6kN
11,7kNm
mm,b,,b
azb:pordadoébdevalorO
mm,am,a
:totanPor
),(a
:Assim
)z(kMf
a
:queescreversepodeDaí
NmkNm,Mf
:MfdediagramaDo
m/NMPa
:Solução
e
máx
máx
e
8555089360
0893093080
601103003117006
16
11700711
10300300
346
34
26
=⋅=
⋅=
==
−⋅⋅⋅⋅
=
−⋅=
−
==
⋅==
σ
σ
60
3300
,ab
z
kMPae
==
==σ
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexão Simples
34
mmx,I:oselecionadPerfil
cm,w
:assim,calculado
aoeriorsupnteimediatamewseescolhe
segurançadefatorutilizousenãoComo
adequadoperfiloseencontratabelaNa
cm,w
m,w
:totanPor
w
:Assim
Mfkw
:queescreversepodeDaí
NmkNm,Mf:MfdediagramaDo
m/NMPa
:Solução
x
x
x
x
x
e
máxx
máx
e
716101
958
8655
000055860
10180100561
1005605610
10180180
3
3
3
6
26
−
=
−
−
=
=
⋅⋅
=
⋅=
−
==
⋅==
σ
σ
6) Selecionar o perfil industrial tipo I adequado para atuar com segurança na
estrutura representada a seguir.
Dados:
MPae 180=σ
1,2m 0,9m 0,8m
3kNm 7kN
7kN
Mf
Q
-8,38kN
1,62kN
7kN
-10,056kNm -8,598kNm
-3kNm
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexão Simples
35
7) Selecionar o perfil industrial tipo U adequado para atuar com segurança na
estrutura representada a seguir.
Dados:
MPae 180=σ
mm,xU:oselecionadPerfil
cm,w
:assim,calculado
aoeriorsupnteimediatamewseescolhe
segurançadefatorutilizousenãoComo
adequadoperfiloseencontratabelaNa
cm,w
m,w
:totanPor
w
:Assim
Mfkw
:queescreversepodeDaí
NmkNm,Mf:MfdediagramaDo
m/NMPa
:Solução
x
x
x
x
x
e
máxx
máx
e
848152
771
443
00004340
1018078251
782581257
10180180
3
3
3
6
26
−
=
−
−
=
=
⋅⋅
=
⋅=
−
==
⋅==
σ
σ
0,75m 1,25m
5kNm
10kN
3,75kN
-6,25kN
Mf
Q
2,8125kNm
8,8125kNm
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexão Simples
36
8) Selecionar o perfil industrial tipo L de abas iguais adequado para atuar com
segurança na estrutura representada a seguir.
Dados:
MPae 180=σ
Q
Mf
7kN
2,5kNm
1m 0,5m 0,5m
4kN 8kN
3,5kNm
-1kN
-5kN
mm,x,L:oselecionadPerfil
cm,w
:assim,calculado
aoeriorsupnteimediatamewseescolhe
segurançadefatorutilizousenãoComo
adequadoperfiloseencontratabelaNa
cm,w
m,w
:totanPor
w
:Assim
Mfkw
:queescreversepodeDaí
NmkNm,Mf:MfdediagramaDo
m/NMPa
:Solução
x
x
x
x
x
e
máxx
máx
e
61016101
958
4419
000019440
1018035001
350053
10180180
3
3
3
6
26
−
=
−
−
=
=
⋅⋅
=
⋅=
−
==
⋅==
σ
σ
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexão Simples
37
9) Selecionar o perfil industrial tipo L de abas desiguais adequado para atuar com
segurança na estrutura representada a seguir.
Dados:
MPae 180=σ
Q
Mf
0,5m
-3kNm
23kN
15kNm
-8kN -3kN
13kN
1m 7kNm
8kN
3kN 10kN
0,5m 1m
8,5kNm
desiguaisabasmm,x,L
:oselecionadPerfil
cmw
:assim,calculado
aoeriorsupnteimediatamewseescolhe
segurançadefatorutilizousenãoComo
adequadoperfiloseencontratabelaNa
cm,w
m,w
:totanPor
w
:Assim
Mfkw
:queescreversepodeDaí
NmkNmMf:MfdediagramaDo
m/NMPa
:Solução
x
x
x
x
x
e
máxx
máx
e
61014152
102
3383
000083330
10180150001
1500015
10180180
3
3
3
6
26
−
=
−
−
=
=
⋅⋅
=
⋅=
−
==
⋅==
σ
σ
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexão Simples
38
10) Para a estrutura representada a seguir, determine qual é o máximo valor de P
que pode ser aplicado.
Dados:
3P
1,5m 1,5m
Q
Mf
1,5P
-1,5P
2,25P
mmdmmD
tubularSeção
,kMPae
85100
61280
==
==σ
N,P:totanPor
,,,),,(
P
:Assim
knD)dD(
P
:queescreversepodeDaí
P,Mf:MfdediagramaDo
m/NMPa
:Solução
e
máx
e
973649
61252103208501010280
32
252
10280280
446
44
26
=
⋅⋅⋅−⋅⋅⋅
=
⋅⋅⋅−⋅⋅
=
−
=
⋅==
π
πσ
σ
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexão Simples
39
mm,x,I:oselecionadPerfil
cm,w
:Assim,calculado
aoeriorsupnteimediatamewseescolhe
,segurançadefatorutilizousenãoComo
adequadoperfiloseencontratabelaNa
cm,w
m,w
:totanPor
w
:Assim
Mfkw
:queescreversepodeDaí
NmkNm,Mf
:MfdediagramaDo
m/NMPa
:Solução
x
x
x
x
x
e
máxx
máx
e
6676101
449
1136
000036110
1018065001
650056
10180180
3
3
3
6
26
−
=
−
−
=
⋅⋅
=
⋅=
−
==
⋅==
σ
σ
1.13 – EXERCÍCIOS PRÁTICOS DE PROJETO RESOLVIDOS
11) Para a estrutura representada abaixo, dimensionar a viga superior quanto a
flexão, sabendo-se que a mesma possui perfil industrial I com tensão de escoamento igual
a:
1,3m
1,3m
10KN
MPae 180=σ
10kN
Mf
Q
5kN
-5kN
6,5kNm
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexão Simples
40
12) Dimensionar a viga da empilhadeira para que suporte com segurança o
carregamento representado na figura.
Dados: Material Aço Liga ABNT 4140-L; MPae 650=σ ; k = 1,5; h = 0,2916b.
25KN
Q
Mf
9,375KN.m
12,5KN
8,33KN/m
Diagramas
Seção retangular
h
b
1,5m
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexão Simples
41
mm,h,,h
bxh:pordadoéhdevalorO
mm,bm,b:totanPor
,,
b
:Assim
xkMf
b
:queescreversepodeDaí
NmkNm,Mf
:MfdediagramaDo
m/NMPa
:Solução
e
máx
máx
e
5633111529160
111511510
10650291605193756
6
93753759
10650650
362
3 2
26
=⋅=
⋅=
==
⋅⋅⋅⋅
=
⋅=
−
==
⋅==
σ
σ
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexão Simples
42
13) Para a estrutura representada a seguir, dimensionar a viga superior quanto à
flexão, sabendo-se que a mesma possui seção transversal caixão.
Dados:
mm,b,,b
azb:pordadoébdevalorO
mm,am,a
:totanPor
),(,
a
:Assim
)z(kMf
a
:queescreversepodeDaí
NmkNmMf
:MfdediagramaDo
m/NMPa
:Solução
e
máx
máx
e
81874412570
44125125440
1030070152300006
16
3000030
10300300
364
34
26
=⋅=
⋅=
==
⋅⋅−⋅⋅
=
⋅−=
−
==
⋅==
σ
σ1,5m 2m
15kN
Cilindro hidráulico
-30kNm
15kN
1,5m 2m
15kN
-20kN
Mf
Q
70
52300
,ab
z
,kMPae
==
==σ
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexão Simples
43
14) O robô industrial mostrado na figura é mantido na posição estacionária
indicada, considerando que ele seja rotulado em A e conectado a um cilindro hidráulico
BD, dimensione a viga ABC admitindo que o braço e a garra tenham um peso uniforme
de 0,3 kN/m e suportam uma carga de 3 kN em C. Considerar seção tubular.
Dados:
mm,d,,d
Dyd:pordadoéddevalorO
mm,Dm,D
:totanPor
),(D
:Assim
)y(kMf
D
:queescreversepodeDaí
NmkNmMf
:MfdediagramaDo
m/NMPa
:Solução
e
máx
máx
e
390811280
811211280
101208012500032
132
50005
10120120
364
34
26
=⋅=
⋅=
==
⋅⋅−⋅⋅⋅
=
⋅−⋅=
−
==
⋅==
π
σπ
σ
80
2120
,Dd
y
kMPae
==
==σ
1,25m 0,25m 0,1m
4kN 0,48kN
0,8m 0,25m 0,1m 0,45m
-3kNm -5kNm
-20,86kN
4,48kN 4kN
Mf
Q
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexão Simples
44
15) A ferramenta representada a seguir é utilizada para a fixação de elementos
de cabeça sextavada. Dimensionar a haste da ferramenta considerando que a mesma
possui seção transversal circular.
Dados:
mm,dm,d
:totanPor
d
:Assim
kMfd
:queescreversepodeDaí
NmkNm,Mf
:MfdediagramaDo
m/NMPa
:Solução
e
máx
máx
e
2720020270
1022029032
32
90090
10220220
36
3
26
==
⋅⋅⋅⋅
=
⋅=
−
==
⋅==
π
σπ
σ
2
220
=
=
k
MPaeσ
0,3m
0,3kN
0,3m
0,3kN
Mf
Q
-0,09kN
-0,3kN
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexão Simples
45
16) A viga mostrada na figura é utilizada na linha de produção de uma fábrica
para elevação de carga da esteira inferior para a esteira superior. Selecionar o perfil tipo
I adequado para operar com segurança no sistema representado.
Dados:
MPae 180=σ
mmx,I:oselecionadPerfil
cm,w
:assim,calculado
aoeriorsupnteimediatamewseescolhe
,segurançadefatorutilizousenãoComo
adequadoperfiloseencontratabelaNa
cm,w
m,w
:totanPor
w
:Assim
Mfkw
:queescreversepodeDaí
NmkNm,Mf
:MfdediagramaDo
m/NMPa
:Solução
x
x
x
x
x
e
máxx
máx
e
716101
958
4154
000054410
1018099751
99759759
10180180
3
3
3
6
26
−
=
−
−
=
=
⋅⋅
=
⋅=
−
==
⋅==
σ
σ
1,5m 2 m 3,5m
4kN 4kN
3,5m 2 m 1,5m
4kN 4kN
2,85kN
-1,15kN
-5,15kN
Q
9,975kNm 7,675kNm
Mf
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexão Simples
46
17) Dimensionar o eixo representado na figura com relação à flexão,
considerando que o mesmo possui seção circular.
Dados:
mm,dm,d
:totanPor
d
:Assim
kMfd
:queescreversepodeDaí
NmkNmMf
:MfdediagramaDo
m/NMPa
:Solução
e
máx
máx
e
8575075850
102802600032
32
60006
10280280
36
3
26
==
⋅⋅⋅⋅
=
⋅=
−
==
⋅==
π
σπ
σ
2
280
=
=
k
MPaeσ
0,8m 0,25 m
24kN
24kN
0,25 m 0,8m d
Q
Mf
6kNm
7,5kN
-24kN
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexão Simples
47
18) Dimensionar o eixo representado na figura com relação à flexão,
considerando que o mesmo possui seção tubular.
Dados:
mm,d,,d
Dyd:pordadoéddevalorO
mm,Dm,D
:totanPor
),(,
D
:Assim
)y(kMf
D
:queescreversepodeDaí
NmkNm,Mf
:MfdediagramaDo
m/NMPa
:Solução
e
máx
máx
e
12211628750
1628028160
1030075015130032
132
30030
10300300
364
34
26
=⋅=
⋅=
==
⋅⋅−⋅⋅⋅
=
⋅−⋅=
−
==
⋅==
π
σπ
σ0,35m 0,35m 0,2m 0,6 m
0,35kN 0,5kN 0,15kN
0,3674kN
0,0174kN
-0,4826kN
0,15kN
0,13903kNm
-0,3kNm
Mf
Q
D
d 0,35m 0,35m 0,6 m 0,2m
0,35kN 0,5kN 0,15kN
0,1286kNm
750
51300
,Dd
y
,kMPae
==
==σ
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexão Simples
48
19) O mecanismo representado a seguir é acionado hidraulicamente e utilizado
para elevação de cargas em uma industria. Dimensionar a viga ABCD considerando que
a mesma possui seção transversal quadrada.
Dados:
52360,k
MPae
==σ
mm,lm,l
:totanPor
,l
:Assim
kMfl
:queescreversepodeDaí
NmkNm,Mf
:MfdediagramaDo
m/NMPa
:Solução
e
máx
máx
e
7442042740
103605218756
6
18758751
10360360
36
3
26
==
⋅⋅⋅
=
=
−
==
⋅==
σ
σ
Vista superior
Cilindro hidráulico 30kN
5kN/m
2m 0,5m 0,5m
-0,625kNm
1,875kNm
-2,5kN
2,5kN
-5kN
5kN
Q
Mf
-0,625kNm
A B C
D
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexão Simples
49
20) O eixo mostrado na figura a seguir é apoiado em mancais radiais lisos nos
pontos A e B. Devido à transmissão de potência para o eixo, as correias das polias estão
sujeitas às tensões indicadas. Determinar o diâmetro do eixo.
Dados:
52220,k
MPae
==σ
0,95kN
Mf
0,15m
Q
0,475kN
-0,475kN
0,075kNm
-0,5kN
0,15kN
0,25m 0,25m 0,5m 0,15m
0,5kN
Q
Mf
0,11875kNm
0,55kN 0,4kN 0,2kN
0,3kN
Plano vertical
Plano horizontal
A
B
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexão Simples
50
mm,dm,d
:totanPor
,,d
:Assim
kMfd
:queescreversepodeDaí
Nm,Mf
,Mf
:MftetanresulfletorMomento
m/NMPa
:Solução
e
máx
R
R
R
e
3325025330
10220524514032
32
145140
7575118
10220220
36
3
22
26
==
⋅⋅⋅⋅
=
⋅=
−
=
+=
⋅==
π
σπ
σ
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexão Simples
51
1.14 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1) Dimensionar a estrutura abaixo considerando que a mesma possui seção
transversal quadrada.
Dados:
5KN
1m
Mf
Q
-5KNm
-5KN
l
l ,
2
280
==
k
MPaeσ
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexão Simples
52
2) Dimensionar a estrutura abaixo considerando que a mesma possui seção
transversal quadrada.
Dados:
1m 1m
2KN 4KN
Q
-4KN -6KN
-6KNm
-10KNm
l
l
3
300
==
k
MPaeσ
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexão Simples
53
3) Dimensionar a estrutura abaixo considerando que a mesma possui seção
transversal quadrada.
Dados:
Mf
Q
l
2m
3KN
-3kN
-6kNm
l
3
360
==
k
MPaeσ
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexão Simples
54
4) Dimensionar a estrutura abaixo considerando que a mesma possui seção
transversal quadrada.
Dados:
8KN
5KN
1m 1m l
-2KNm
-5KNm
-5KN
3KN
Mf
Q
l
2
220
==
k
MPaeσ
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexão Simples
55
5) Dimensionar a estrutura abaixo considerando que a mesma possui seção
transversal circular.
Dados:
d
2130
==
kMPaeσ
1m
10kN/m
Q
Mf
-7,5kN
10,31kNm
7,5kN
1m
1,5m
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexão Simples
56
6) Dimensionar a estrutura abaixo considerando que a mesma possui seção
transversal circular.
Dados:
d
12kN
5110,k
MPae
==σ
10kN
4,66kN
-7,34kN
2,66kN
-2,66kNm
4,66kNm
Q
Mf
1m 1m 1m
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexão Simples
57
7) Dimensionar a estrutura abaixo considerando que a mesma possui seção
transversal circular.
Dados:
d 1m
15kN
2,8kNm
Mf
Q
3
650
==
k
MPaeσ
12,2kNm
-15kNm
10kN 20kN
-15kN
17,8kN
7,8kN
-12,2kN
1m 1m 1,2m
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexão Simples
58
8) Dimensionar a estrutura abaixo considerando que a mesma possui seção
transversal circular.
Dados:
d
1m
2kN
Mf
Q
2
50
==
k
MPaeσ
4kN 2kN
2kN 2kN
-2kN -2kN
-2kNm -2kNm
1m 1m 1m
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexão Simples
59
9) Dimensionar a estrutura abaixo considerando que a mesma possui seção
transversal retangular.
Dados:
h
b
0,5m
-2kN
Mf
Q
81
2360
,bh
x
kMPae
==
==σ
3kNm
6kN
8kN
1,5m
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexão Simples
60
10) Dimensionar a estrutura abaixo considerando que a mesma possui seção
transversal retangular.
Dados:
h
b
2,5m
8,75kN
5,46kNm
Mf
Q
2
31130
==
==
bh
x
,kMPaeσ
-8,75kN
7kN/m
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexão Simples
61
11) Dimensionar a estrutura abaixo considerando que a mesma possui seção
transversal retangular.
Dados:
h
b
1m
20kN/m
-7,5kNm
Mf
Q
2,635kNm
15kN
-9,73kN
10,27kN
15kN
0,8m 0,5m
3
5240
==
==
bh
x
,kMPaeσ
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexão Simples
62
12) Dimensionar a estrutura abaixo considerando que a mesma possui seção
transversal retangular.
Dados:
h
b
1m
15kNm
-7,5kNm
Mf
Q
42
2220
,bh
x
kMPae
==
==σ
-4kNm
8kN/m
-8kN
-1,75kN
15kN
1m 2m
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexão Simples
63
13) Dimensionar a estrutura abaixo considerando que a mesma possui seção
transversal tubular.
Dados:
D
d 1m
5kN
4,5kNm
Mf
Q
50
2250
,Dd
y
,kMPae
==
==σ
0,5kNm
4kNm
0,5kN
-4,5kN
1m
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexão Simples
64
14) Dimensionar a estrutura abaixo considerando que a mesma possui seção
transversal tubular.
Dados:
D
d 1m
6,428kN
2kNm
Mf
Q
550
3130
,Dd
y
kMPae
==
==σ
3kNm
6,57kNm 6,428kNm
-6,57kN
-0,572kN
7kN 6kN
1m 1,5m
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexão Simples
65
15) Dimensionar a estrutura abaixo considerando que a mesma possui seção
transversal tubular.
Dados:
D
d 1m
7kN
3kNm
Mf
Q
70
5280
,Dd
y
,kMPae
==
==σ
4,25kNm
-1,5kNm
1,25kN
-5,75kN
3kN
3kN/m
1m 1m
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexão Simples
66
16) Dimensionar a estrutura abaixo considerando que a mesma possui seção
transversal tubular.
Dados:
D
d 1m
-4kNm
Mf
Q
80
31360
,Dd
y
,kMPae
==
==σ
4kN/m
10kN 10kN
10kN
-10kN
4kN/m
-14kNm
1m 2m
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexão Simples
67
17) Dimensionar a estrutura abaixo considerando que a mesma possui seção
transversal caixão.
Dados:
b b
a
a
2m
20kN
20kNm
Mf
Q
70
51360
,ab
z
,kMPae
==
==σ
10kN
-10kN
2m
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexão Simples
68
18) Dimensionar a estrutura abaixo considerando que a mesma possui seção
transversal caixão.
Dados:
b b
a
a 1m
-7kN
-3,5kNm
Mf
Q
80
2450
,ab
z
kMPae
==
==σ
7kN/m
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexão Simples
69
19) Dimensionar a estrutura abaixo considerando que a mesma possui seção
transversal caixão.
Dados:
b b
a
a 2m
8kN/m
4kNm
Mf
Q
70
52360
,ab
z
,kMPae
==
==σ
8kN
-8kN
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexão Simples
70
20) Dimensionar a estrutura abaixo considerando que a mesma possui seção
transversal caixão.
Dados:
b b
a
a 1m
2kNm
Mf
Q
50
53280
,ab
z
,kMPae
==
==σ
4,5kNm
6,5kNm
-2kNm -2kNm
15kN 4kN/m
-4kN -6,5kN
8,5kN 4kN
4kN/m
1m 1m 1m
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexão Simples
71
21) Para a viga representada a seguir, selecione o perfil I adequado para que a
estrutura suporte o carregamento com segurança.
Dados:
1m
4kN/m
5,625kNm
Mf
Q
MPae 180=σ
5kN/m
-5kN
1kN
1,5m
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexão Simples
72
22) Para a viga representada a seguir, selecione o perfil U adequado para que a
estrutura suporte o carregamento com segurança.
Dados:
1m
8kN
-7kNm
Mf
Q
MPae 180=σ
7kN
1kN
-7kN
1m
-6kNm
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexão Simples
73
23) Para a viga representada a seguir, selecione o perfil L de abas iguais adequado
para que a estrutura suporte o carregamento com segurança.
Dados:
1m
3kN
4kNm
Mf
Q
MPae 180=σ
7kN 4kN
-4kN -0,25kN
-7,25kN
3kN
1m 0,4m 0,4m
-4,1kNm -3kNm
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexão Simples
74
24) Para a viga representada a seguir, selecione o perfil L de abas desiguais
adequado para que a estrutura suporte o carregamento com segurança.
Dados:
0,8m
8kN
5kNm
Mf
Q
MPae 180=σ
-5kNm -11,4kNm
0,12kNm
7kN/m
-8kN
12,7kN
-1,3kN
2m
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexão Simples
75
25) Para a estrutura representada a seguir, calcular o máximo valor de P que pode
ser aplicado.
Dados:
1m
4P
Mf
Q
mmlquadradaSeção
k
MPae
85
2
280
=
=
=σ
3P
-1,8P -0,8P
2,2P
1,8P
-0,4P
1m 0,5m
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexão Simples
76
26) Para a estrutura representada a seguir, calcular o máximo valor de P que pode
ser aplicado.
Dados:
1m
Mf
Q
mmdcircularSeção
k
MPae
70
2
300
=
=
=σ
-P
-P
P
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexão Simples
77
27) Para a estrutura representada a seguir, calcular o máximo valor de P que pode
ser aplicado.
Dados:
1m
Mf
Q
mmhmmb
gulartanreSeção
,kMPae
12090
52360
==
==σ
-3P
-4P
-P
-P
P 2P
1m
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexão Simples
78
28) Para a estrutura representada a seguir, calcular o máximo valor de P que pode
ser aplicado.
Dados:
1m
3P
Mf
Q
mmdmmDtubularSeção
,kMPae
6580
51280
==
==σ
3P
-3P
3P 3P
1m 3m
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexão Simples
79
29) Para a estrutura representada a seguir, calcular o máximo valor de P que pode
ser aplicado.
Dados:
1m
P
Mf
Q
mmbmmacaixãoSeção
kMPae
6080
3450
==
==σ
2P 3P
6P
P 3P
1,5P
4,5P
10,5P
1m 1,5m
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexão Simples
80
30) Para a estrutura representada a seguir, calcular o máximo valor de P que pode
ser aplicado.
Dados:
1m
2P
Mf
Q
3452
2180
cm,w
ItipoPerfil
kMPa
x
e
=
==σ
2P
2P
-2P
2P
1m 1m
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexão Simples
81
31) Para a estrutura representada a seguir, calcular o máximo valor de P que pode
ser aplicado.
Dados:
0,7m
1,3P
Mf
Q
3982
51180
cm,w
UtipoPerfil
,kMPa
x
e
=
==σ
2,1P
3P
-2P
-P
P
3P
0,8m 0,6m
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexão Simples
82
32) Para a estrutura representada a seguir, calcular o máximo valor de P que pode
ser aplicado.
Dados:
3P
Mf
Q
338
2180
cmw
desiguaisabasLtipoPerfil
kMPa
x
e
=
==σ
1m 1m 0,5m
4P
2,2P
-0,8P -1,8P
1,8P
-0,4P
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexão Simples
83
33) Dimensionar a viga representada a seguir, considerando que a mesma possui
seção transversal retangular.
Dados:
1,5m
3kN
4,5kNm
Mf
Q
2
300
==
k
MPaeσ
?materialmenosconsomeQual)C
,bh
x)B
bh
x)A
:Calcular
50
2
==
==
-3kN
6kN
1,5m
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexão Simples
84
MPae 180=σ
34) A viga mostra na figura é utilizada no pátio de uma estrada de ferro para
carregar e descarregar vagões. Se a carga máxima de elevação é P=15kN, selecione o perfil
I para suportar com segurança esta carga.
Dados:
5m
-7,5kN
37,5kNm
Mf
Q
7,5kN
15kN
5m
15kN
10m
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexão Simples
85
35) A viga de aço mostrada na figura tem uma tensão de flexão admissível
MPaadm 140=σ . Determine a carga máxima que a viga pode suportar com segurança.
Dados:
2m
P
Mf
Q
mmaquadradaSeção
60=
-2P
P
-P
2m
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexão Simples
86
36) Determine o menor diâmetro admissível para o eixo que está sujeito às forças
concentradas mostradas na figura. Os mancais A e B suportam apenas forças verticais, e a
tensão de escoamento é MPae 280=σ , com k=2.
0,1m
0,5kN
0,0033kNm
Mf
Q
-0,05kNm
0,3kN
0,033kN
-0,267kN
0,5kN
0,2m 0,1m
0,5kN
0,3kN
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexão Simples
87
37) Dimensionar a viga representada a seguir, considerando que a mesma possui
seção transversal tubular.
Dados:
1m
-5kN
7kNm
Mf
Q
80
52300
,Dd
y
,kMPae
==
==σ
7kN
7kN
12kN
-0,5kNm
1,5m
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexão Simples
88
38) Dimensionar a viga representada a seguir, considerando que a mesma possui
seção transversal circular.
Dados:
2m
12kN
-12kNm
Mf
Q
751360,k
MPae
==σ
6kN
-6kN
2m
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexão Simples
89
39) Dimensionar a viga representada a seguir, considerando que a mesma possui
seção transversal caixão.
Dados:
1m 8kN
-8kNm
Mf
Q
650
2280
,ab
z
kMPae
==
==σ
8kN
8kN
-8kN
1m 3m
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexão Simples
90
40) Dimensionar a viga representada a seguir, considerando que a mesma possui
seção transversal quadrada.
Dados:
1m
10kN
-7kNm
Mf
Q
3
450
==
k
MPaeσ
-41kNm
7kN
-17kN
-7kN
2m
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexão Simples
91
Respostas dos Exercícios Propostos
1) l = 59,84mm 2) l = 84,34mm 3) l = 66,94mm 4) l = 64,84mm 5) d = 117,36mm 6) d = 192,47mm 7) d = 89,02mm 8) d = 93,41mm 9) b = 31,36mm, h = 56,46mm 10) b = 43,42mm, h = 86,85mm 11) b = 67,86mm, h = 203,58mm 12) b = 41,41mm, h = 99,39mm 13) D = 129mm, d = 64,5mm 14) D = 119mm, d = 65,45mm 15) D = 121mm, d = 84,7mm 16) D = 95,54mm, d = 76,43mm 17) a = 89,97mm, b = 60,88mm 18) a = 54,07mm, b = 43,25mm 19) a = 60,30mm, b = 42,21mm 20) a = 80,41mm, b = 40,20mm 21) Perfil I – 101,6 x 67,6mm 22) Perfil U – 152,4 x 48,8mm 23) Perfil L abas iguais - 101,6 x 101,6mm 24) Perfil L abas desiguais – 152,4 x 101,6mm 25) P = 7960N 26) P = 5050N 27) P = 7776N 28) P = 1765N 29) P = 7960N 30) P = 833N 31) P = 2358N 32) P = 1900N 33) A) b = 35,56mm, h = 71,12mm; B) b = 44,81mm, h = 89,62mm; C) A 34) Perfil I – 203,2 x 101,6mm 35) P = 2520N 36) d = 15,37mm 37) D = 100,21mm, d = 80,17mm 38) d = 84,06mm 39) a = 74,73mm, b = 48,57mm 40) l = 117,92mm
Prof. Mestre Luiz Eduardo Miranda Flexão Simples
92
Referências Bibliográficas
1 – Beer. Ferdinand. P, Johnston. Russel. E, “Resistência dos Materiais” McGraw-
Hill – New York 1992.
2 – Hall. Allen. S, Holowenko. Alfred. R, “Machine Design” Shaum´s Outlines,
McGraw Hill – New York 1962.
3 – Hibbeler. R. C, “Resistência dos Materiais”, Livros Técnicos e Científicos
Editora S.A, Rio de Janeiro 1997.
4 – Hibbeler. R. C, “Mecânica Estática”, Livros Técnicos e Científicos Editora S.A,
Rio de Janeiro 1998.
5 – Jackson. J. J, Wirtz. H. G, “Statics and Strength of Materials ”, Shaum´s
Outlines, McGraw Hill – New York 1983.
6 – Meriam. J. L, Kraige. L. G, “Mecânica Estática”, Livros Técnicos e Científicos
Editora S.A, Rio de Janeiro 1997.
7 – Melconian. S, “Mecânica Técnica e Resistência dos materiais”, Editora Érica,
São Paulo 1999.