7 harmonic oscillator

Quantum Mechanics ระดบบณฑตศกษา 7 Harmonic Oscillator 7-1

Dr. Teepanis Chachiyo ภาควชาฟสกส มหาวทยาลยขอนแกน [email protected] Draft Oct 2009

7Harmonic Oscillator เนอหา 7.1 Introduction 7.2 Eigen Energy ของ Harmonic Potential 7.3 Eigenstate ใน Position Space 7.4 Quantum Model Versus Classical Model 7.5 Application - Einstein's Model of Specific Heat 7.6 บทสรป 7.7 ปญหาทายบท

7.1 Introduction

ในบททผานมา เราไดศกษาระบบใน 1 มตโดยใช quantum mechanics ซงกมลกษณะของพลงงานศกย ( )V x แตกตางกนออกไป อาทเชน free particle ( ( ) 0V x = ), บอพลงงานศกย, และ กาแพงศกย เปนตน ในบทท 7 น เราจะใชเวลาทงหมดกบการศกษาพลงงานศกยแบบ simple harmonic oscillator ใน 1 มตดงแสดงในภาพ (7.1)a ซงมรปแบบทางคณตศาสตรเปนฟงชนกแบบ parabola กลาวคอ

21( )2

V x kx= _____________________ สมการ (7.1)

ในวชา classical mechanics หรอ Newtonian mechanics บอพลงงานศกยรปทรง parabola ในสมการ (7.1) มกจะเปน model ทใชแทนการเคลอนทของมวลทผกตดอยกบสปรง โดยทคาคงท k ซงปรากฏอยในสมการดงกลาว สอความหมายถงความแขงของสปรงนนๆ แนนอนวาการเคลอนทของมวลเมอผกตดกบสปรงจะมลกษณะของการสน หรอทเรยกวา oscillation และการสนนเองโดยทวไปจะมความถเชงมมเทากบ ω rad/sec ซงมความสมพนธกบความแขงของสปรงและมวลทกาลงเคลอนทคอ k mω = ดวยเหตน ในบางครงเราอาจจะเขยนพลงงานศกย ( )V x ในสมการ (7.1) ใหอยในรปของ



2 21( ) ω

2V x m x= _____________________ สมการ (7.2)

การเคลอนท ทมลกษณะเปน oscillation มไดจากดอยแตเพยงระบบทมสปรงเปนองคประกอบ ยกตวอยางเชนการสนของ pendulum รอบๆจดสมดล เพราะฉะนน การเขยน harmonic potential ดงในสมการ (7.2) มประโยชนคอมนสอความหมายครอบคลมไดกวางขวางกวาในสมการ (7.1) ซงผกตดอยกบระบบทมสปรงเพยงเทานน

Harmonic Potential

21( )2

V x kx=

Harmonic Potential

21( )2

V x kx=

(a)

4 21 1( )V xx x

= −

0( ) 0V x =

1) ยกตวอยางเชน พลงงานศกย

2) ณ บรเวณรอบๆจดสมดล มรปทรงเปน parabola

3) เลอนจดกาเนด มาไวท equilibrium

4) เลอนหนวยในการวดพลงงานให

21 1( 2)2 4

x − −

0x

4 21 1( )V xx x

= −

0( ) 0V x =

1) ยกตวอยางเชน พลงงานศกย

2) ณ บรเวณรอบๆจดสมดล มรปทรงเปน parabola

3) เลอนจดกาเนด มาไวท equilibrium

4) เลอนหนวยในการวดพลงงานให

21 1( 2)2 4

x − −

0x

(b)

ภาพ (7.1) (a) harmonic potential ทมรปทรงแบบ parabola (b) พลงงานศกยทอยในรปแบบตางๆ โดยทวไปแลวเมอพจารณา ณ บรเวณรอบๆจดสมดล เราสามารถประมาณไดวา พลงงานศกยมลกษณะเปน harmonic potential อยางไรกตาม เราไดเกรนในบทท 1 แลววา quantum mechanics เปนเนอหาทมประโยชนในการอธบายพฤตกรรมของระบบทมขนาดเลกมากๆ ในระดบอะตอม คงเปนไปไมไดทเราจะผลตสปรงขนาดเลกเชนนน หรอ มลกตม pendulum ขนาดจว ทพอจะใหเรานา quantum mechanics มาศกษาไดอยางจรงจง และเพราะเหตใดเราจาเปนตองม harmonic oscillator เปนบทหนงของวชา quantum mechanics ? พลงงานศกยลกษณะดงกลาวนมความสาคญเพยงพอทจะเปนเนอหาของบท บทหนงในตวมนเองกเพราะวา เมอเราพจารณาพลงงานศกยในรปแบบ ( )V x ใดๆดงแสดงในภาพ (7.1)b เนองจากระบบในทางฟสกสทเรากาลงสนใจสวนใหญ จะอยในสภาพสมดล หรอเคลอนทอยภายในบรเวณใกลเคยง



กบตาแหนงสมดล ซงในทางคณตศาสตรนน หมายถงระบบจะอยภายในบรเวณท ( )V x มคาเปน minimum หรอจด 0x นอกจากน เราสามารถทใช Taylor expansion เพอเขยน

22

0 0 0 20 0

1 1( ) ( ) ( ) ( )1! 2!x x x x

dV d VV x V x x x x xdx dx= =

= + − + − + _____ สมการ (7.3)

โดยคานยามของ "จดสมดล" ความชนของกราฟพลงงานศกย ( )V x มคาเปนศนย ณ จดดงกลาว

เพราะฉะนนแลว 0

0x x

dVdx =

= ดงนน

21( )2

V x kx≅ เมอ 2

20x x

d Vkdx =

≡ _______________ สมการ (7.4)

ซงสมการขางตน ไดมาจาก 1) การเลอนจดกาเนดของกราฟ ( )V x ใหมาอย ณ ตาแหนงสมดล และ 2) การเลอนระดบพลงงานเพอให 0( ) 0V x = นอกจากน สมการ (7.4) ยงแสดงใหเหนวา ไมวาระบบทเรากาลงวเคราะห จะอยภายใตอทธพลของพลงงานศกย ( )V x ในรปแบบใดกตาม ตราบใดทเราสนใจพฤตกรรมของระบบนนๆ ขณะอยในบรเวณใกลเคยงกบจดสมดล ยอมสามารถประมาณไดวา ระบบดงกลาวอยภายใตอทธพลของบอพลงงานศกยแบบ parabola ดงในสมการ (7.1) หรอ (7.2) ดงนน ขอบเขตของการนา harmonic potential ไปประยกตใชงานจงมขนาดกวางขวางมาก เรมตงแตการสนของอะตอมทอยภายในโมเลกลหรอภายในผลก, การเปลงแสงของวตถเมอโดนเผาใหรอน, หรอ ความจความรอนของสสารตางๆ เปนตน แบบฝกหด 7.1 พลงงานศกยทเกดขนจากอนตรกรยาระหวางอะตอมของแกสเฉอยเชน helium atom สามารถ model ใหอยในรปของ Lennard-Jones potential ซงมรปแบบทางคณตศาสตรคอ

12 6( ) 2V x

x xσ σε

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

เมอ σ และ ε คอคาคงท



a) จงประมาณพลงงานศกยขางตนใหอยในรปของ harmonic potential b) วาดรปพลงงานศกย ( )V x และคานวณความลกของบอพลงงานศกย พรอมทงคานวณหาตาแหนงสมดล และอธบายวาปรมาณทงสอง (ความลก และ ตาแหนงสมดล) มความสมพนธกบ ε และ σ อยางไร

7.2 Eigen Energy ของ Harmonic Potential

เมอเราตองการทราบระดบพลงงานของ harmonic potential ในสมการ (7.2) โดยทวไปแลวมกจะเรมดวยการพจารณา time-independent Schrödinger equation ใน position space ซงกคอ

2 22 2

21( ) ( ) ( )

2 2n n n nx m x x E xm x

ψ ω ψ ψ∂− + =

∂ _______________ สมการ (7.5)

และการทไดจะมาซงเซตของ eigen energy { }nE กทาไดโดยการหาผลเฉลยของสมการอนพนธอนดบสอง ดงในสมการขางตน อยางไรกตาม ในป 1925 P.A.M. Dirac คดคนวธการคานวณ eigen energy { }nE ของ harmonic oscillator โดยอาศยกลไปของ operator และ state ซงจะไดขยายความในลาดบตอไปน พจารณา Hamiltonian ของระบบ harmonic potential

22 2ˆ 1ˆ ˆ

2 2xpH m xm

ω= + _____________________ สมการ (7.6)

ดวยความชาญฉลาดของ Dirac โดยอาศยคณสมบต [ ]ˆ ˆ, xx p i= เพยงประการเดยว เขาสามารถหา eigen value ของ operator ในสมการ (7.6) ขางตนไดสาเรจ เรมตนดวยการนยาม operator ขนมาสองตวคอ

ˆ ˆ ˆ2 xm ia x p

mω

ω⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

_____________________ สมการ (7.7)



เปนสทธทเราจะนยาม operator ในรปแบบใดๆขนมากได แต operator a ไดถกออกแบบขนมาใหมคณสมบตพเศษอยหลายประการ ทในโอกาสตอไป จะเปนประโยชนอยางยงในการหา eigen energy ดงจะไดกลาวถงคณสมบตทางคณตศาสตรใน 5 ประเดนของ operator นวา 1) adjoint ของ operator a กคอ

††

† †

ˆ ˆ ˆ2

ˆ ˆ2

x

x

m ia x pm

m ix pm

ωω

ωω

⎧ ⎫⎪ ⎪⎛ ⎞= +⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

สมการขางตนอาศยสมบตของ adjoint ดงทไดกลาวใน Section 3.6 ของบทท 3 และเนองจาก x และ ˆ xp ตางกเปน Hermitian operator กลาวคอ †ˆ ˆx x= และ †ˆ ˆx xp p= ดงนน

†ˆ ˆ ˆ2 xm ia x p

mω

ω⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

_____________________ สมการ (7.8)

2) พจารณา †ˆ ˆ,a a⎡ ⎤⎣ ⎦ โดยอาศยสมการ (7.7) และสมการ (7.8) จะไดวา

†ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ,2 2

ˆ ˆ ˆ ˆ,2

x x

x x

m i m ia a x p x pm m

m i ix p x pm m

ω ωω ω

ωω ω

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎡ ⎤ = + −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎡ ⎤= + −⎢ ⎥⎣ ⎦

และโดยอาศยสมบตการกระจายของ commutator ทาให

[ ]

†ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, , ,2 2

ˆ ˆ,2

x x xm i m i ia a x p x x p p

m m mm x x

ω ωω ω ω

ω

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ = + − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

= [ ] [ ] [ ]ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, , ,2 2 2x x x xm i i i ip x x p p p

m mω

ω ω+ − −

[ ]†ˆ ˆ ˆ ˆ, , xia a x p⎡ ⎤ = −⎣ ⎦

ซงเราทราบดวา [ ]ˆ ˆ, xx p i= เพราะฉะนนแลว



† † †ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, 1a a aa a a⎡ ⎤ = = −⎣ ⎦ _____________________ สมการ (7.9)

3) จากสมการ (7.7) และสมการ (7.8) เปนการเขยน operator a และ †a ใหอยในรปของ operator x และ ˆ xp ในทางตรงกนขาม เราสามารถเขยน

( )( )

†

†

ˆ ˆ ˆ2

ˆ ˆ ˆ2x

x a ammp i a a

ωω

= +

= − −

_____________________ สมการ (7.10)

แบบฝกหด 7.2 จงพสจนสมการ (7.10) และ (7.11) และเมอแทนความสมพนธขางตนเขาไปใน Hamiltonian ดงสมการ (7.6) จะไดวา

( )† †ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2

H a a aaω= + _____________________ สมการ (7.11)

แตจากสมการ (7.9) เมอเราแทน † †ˆ ˆ ˆ ˆ1aa a a= + เขาไปในสมการขางตน กจะได Hamiltonian ท

เขยนใหอยในรปของ operator a และ †a คอ

† 1ˆ ˆ ˆ2

H a aω⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

_____________________ สมการ (7.12)

4) operator a นอกจากจะมรปแบบทางคณตศาสตรดงในสมการ (7.7) แลว ยงมความหมายทางฟสกสทชดเจน กลาวคอมนทาหนาทเหมอน lowering operator ของระบบ harmonic potential ซงในหลายๆประเดนกคลายกบ operator J− ของระบบ angular momentum ดงจะไดขยายความในลาดบตอไป สมมตวาเราใชสญลกษณ n แทน eigenstate ของ Hamiltonian ดงทเขยนในสมการ (7.6) หรอ สมการ (7.12) ดวยความทเปน eigenstate

ˆ nH n E n= _____________________ สมการ (7.13)



จากสมการขางตน เราใชสญลกษณ nE แทนระดบพลงงานของ eigenstate นนๆ จะสงเกตวา eigenstate มไดมเพยงสภานะเดยว หากแตเปนเซตของ state ซงกากบดวยดชน n ดงนนแลว ระดบพลงงานในสมการ (7.13) จงอยในรปของเซต ( )0 1 2, , ,nE E E E= … ดงในภาพ 7.2

ระดบพลงงาน ของ harmonic potential

0E

vibration-rotation spectrum ของสาร HBr

จาก Krane, Kenneth, Modern Physics, 2nd Ed., Wiley, 1996

0n =

1n =

2n =

3n =

4n =

1E2E

3E4E

0E

ระดบพลงงาน ของ harmonic potential

0E

vibration-rotation spectrum ของสาร HBr

จาก Krane, Kenneth, Modern Physics, 2nd Ed., Wiley, 1996

0n =

1n =

2n =

3n =

4n =

1E2E

3E4E

0E

ภาพ (7.2) (ซาย) ระดบพลงงานของ harmonic potential จะสงเกตเหนวาเอกลกษณทชดเจนของระดบพลงงานแบบ harmonic potential จะม energy gap ทเทากน โดยท E ωΔ = (ขวา) energy spectrum ของการสนของโมเลกล HBr จะเหนวาเสน spectrum ม peak เกดขนทระยะหางเทาๆกน ซงกหมายความวา การสนของ HBr นนสอดคลองกบ model ของ harmonic potential ภาพ (7.2) แสดง eigenstate ของระบบ harmonic potential ในแตละ eigenstate n กจะม eigenvalue nE เปนของตวเอง ซงในทน เราเรมตนนบเลขดชน n จากศนยขนไป นอกจากน เรายงเขยน eigenstate ตางๆโดยเรยงจากขนาดของระดบพลงงาน จากขางลางซงมพลงงานตาทสด ขนไปหาสถานะทมระดบพลงงานสงขนเรอยๆ กลาวคอ 0 1 2E E E< < < พจารณา operator ˆ ˆHa ทกาลงกระทากบสถานะ n ใดๆ จะไดวา

†

†

1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ21ˆ ˆ ˆ ˆ2

Ha n a a a n

a aa a n

ω

ω

⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

_____________________ สมการ (7.14)

แบบฝกหด 7.3 เมอนาเอกลกษณในสมการ (7.9) เขามาวเคราะห จงพสจนวา

† †ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆa aa aa a a= − _____________________ สมการ (7.15)



ดงนนแลว จากแบบฝกหด 7.3 เราสามารถเปลยนรปของ operator ˆ ˆHa ในสมการ (7.14) ไดวา

( )

†

†

1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ21ˆ ˆ ˆ 12

ˆˆ

Ha n aa a a a n

a a a n

a H n

ω

ω

ω

⎛ ⎞= + −⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞= + −⎜ ⎟⎝ ⎠

= −

_____________________ สมการ (7.16)

ในสมการขางตน เราเปลยนรป operator ˆ ˆHa ใหกลายเปน ( )ˆa H ω− ซงเมอนา operator

ดงกลาวเขาไปกระทากบสถานะ n จะทาให

( )

ˆ ˆˆ ˆ ˆ

ˆ ˆˆ ˆ ˆ

n

n

Ha n aH n a n

aE n a n

Ha n E a n

ω

ω

ω

= −

= −

= −

หรอจดรปเสยใหมไดเปน

( ) ( )( )ˆ ˆ ˆnH a n E a nω= − _____________________ สมการ (7.17)

จากสมการ (7.17) ใหสงเกตวา

( )a n มสถานะภาพเปน eigenstate ของ

Hamiltonian H

n กมสถานะภาพเปน eigenstate ของ Hamiltonian H

ซงม eigenvalue เปน ( )nE ω− ซงม eigenvalue เปน nE

ตารางขางตนแสดงใหเหนวา ผลของ operator a ทกระทากบ eigenstate n นน สงผลใหเกดเปน eigenstate ตวใหมทมพลงงานลดลงมาเทากบ ω ของระดบพลงงานเดม และจากภาพ 7.2 เมอพลงงานลดลงมา กหมายถง eigenstate ทอยตาลงมา หรอ อกนยหนง ˆ 1a n n→ − ซงเขยนใหอยในรปของสมการไดวา

ˆ 1a n nξ−= − _____________________ สมการ (7.18)



เมอ ξ− คอคาคงท ทจาเปนจะตองคานวณหาคาทเหมาะสมในโอกาสตอไป สมการ (7.18) เปนทมาของชอทเราใชเรยก operator a วาเปน lowering operator หรอ annihilation operator เพราะมนทาใหสถานะของระบบภายใน harmonic potential เปลยนไปเปนสถานะทมระดบพลงงานลดลงมานนเอง นอกจากน สมการ (7.17) และสมการ (7.18) ยงแสดงใหเหนอกวา ระดบพลงงานของสถานะตางๆดงในภาพ 7.2 นน มผลตางของพลงงานคอ

1n nE E ω−− = _____________________ สมการ (7.19) ทเปนเชนนกเพราะวา ในการกระโดดของสถานะทเกดขน เนองจากโดนกระทาดวย lowering operator a หรอ raising operator †a นน ทาใหระดบพลงงานเปลยนไปเทากบ ω± นนเอง

5) โดยอาศยวธการพสจนทานองเดยวกนกบขอ 4) ขางตน เราบอกไดวา operator †a นนเปน raising operator หรอ creation operator เพราะมนทาใหสถานะของระบบ เปลยนไปเปนสถานะทมระดบพลงงานเพมขน หรออกนยหนง

†ˆ 1a n nξ+= + _____________________ สมการ (7.20) เมอ ξ+ คอคาคงท ทมคาเฉพาะซงเราจะตองคานวณหาในลาดบถดไป แบบฝกหด 7.4 จงอธบายทมาของสมการ (7.20) โดยอาศยตรรกะในทานองเดยวกนกบในขอ 4) ทผานมา ดวยคณสมบตทง 5 ประการทเกยวของกบ operator a และ operator †a ดงกลาวขางตนทาใหเราสามารถวเคราะหหาระดบพลงงานของ harmonic potential ไดอยางไมยากเยนนก จากคานยามทวา

0n = เปน ground state นนกคอ ไมมสถานะใดทตาลงไปกวานเองแลว เพราะฉะนน

ˆ 0 0a n = = _____________________ สมการ (7.21) นนหมายถง เมอ lowering operator a กระทากบสถานะ ground state ยอมตองเกดผลลพธเปนศนย นอกจากนจากสมการ (7.12) เราเขยนใหมไดวา



† ˆ 1ˆ ˆ2

Ha aω

= − _____________________ สมการ (7.22)

จากนนพจารณา †ˆ ˆ0 0n a a n= = โดยอาศยสมการ (7.21) เราบอกไดวา

†ˆ ˆ0 0 0n a a n= = = _____________________ สมการ (7.23) และโดยอาศยสมการ (7.22) เราบอกไดอกเชนกนวา

†

1

0

1

ˆ 1ˆ ˆ0 0 0 02

ˆ 10 0 0 02

10 02

Hn a a n n n

Hn n n n

En n

ω

ω

ω

=

=

= = = = − =

= = = − = =

= = = =

หรอ † 0 1ˆ ˆ0 0

2E

n a a nω

= = = − _____________________ สมการ (7.24)

ทงน เมอเรา set ใหสมการ (7.24) มคาเทากบสมการ (7.23) ทาใหเราสรปไดวา

0 2E ω

= __________________________ สมการ (7.25)

ในเมอเราทราบระดบพลงงาน 0E แลว จากการวเคราะหในสมการ (7.19) จะไดวา

1 032

E E ω ω= + = หรอ 2 152

E E ω ω= + = เปนเชนนเรอยไป ดงนนแลว ในระบบ

ของ harmonic potential

12nE nω ⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠ __________________________ สมการ (7.26)

แบบฝกหด 7.5 ใชรปแบบของ Hamiltonian ในสมการ (7.12) , และระดบพลงงานในสมการ (7.26) เพอพสจนวา



†ˆ â a n n n= _____________________ สมการ (7.27) มาถงขนน เรามความพรอมทจะคานวณคาคงท ξ− และ ξ+ ดงทปรากฏในสมการ (7.18) และ (7.20) ตามลาดบ ในกรณแรก พจารณา

( )† †ˆ ˆ ˆ ˆn a a n n a a n=

ทงน เราใสวงเลบครอมไวกเพอใหเปนการชดเจนวา operator †ˆ â a จะตองกระทากบสถานะ ket n

ในทางขวามอ แตจากหลกการของ adjoint operator จะไดวา operator †a สามารถทยายมากระทากบสถานะ bra n แตจะตองแปรสภาพใหเปน adjoint ของตวมนเองเสยกอน เนองจาก

( )††ˆ â a= ดงนน

( )( )( )

† †

† 2

1

ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ

ˆ ˆ

n a a n n a a n

n a a n

n a a n n nξ−=

=

=

=

___________________ สมการ (7.28)

นอกจากน เรายงสามารถคานวณผลของ operator †ˆ â a ทกระทากบสถานะ n โดยอาศยสมบตดงในสมการ (7.27) กลาวคอ

†

1†

ˆ ˆ

ˆ ˆ

n a a n n n n

n n n

n a a n n=

=

=

=

___________________ สมการ (7.29)

และเมอกาหนดใหสมการ (7.28) เทากบสมการ (7.29) จะไดวา nξ− = หรอ

ˆ 1a n n n= − ___________________ สมการ (7.30)



สมการขางตนเปนเอกลกษณทมความสาคญเพราะมนบงบอกอยางละเอยดถงผลของ lowering operator a ทกระทากบสถานะ n ของ simple harmonic oscillator และในทานองเดยวกนนนเราสามารถพสจนไดวา 1nξ+ = + โดยการเรมจากสมการ (7.20) ซงจะไดวา

†ˆ 1 1a n n n= + + ___________________ สมการ (7.31) แบบฝกหด 7.6 จงพสจนสมการ (7.31)

บอกใบ: เรมจากสมการ (7.20) จากนนพจารณาผลของ operator †ˆ ˆaa ทกระทากบสถานะ n นกศกษาอาจจะตองใชเอกลกษณทางคณตศาสตรในสมการ (7.9) เขาชวยในการคานวณ ระดบพลงงานของ simple harmonic oscillator ดงแสดงในสมการ (7.26) บงบอกใหเหนอยางชดเจนวาระดบพลงงานดงกลาวมลกษณะเปนเหมอนขนบนไดทมชองวาคงท ซงม ωEΔ = ผลการทานายทวาน สอดคลองกบผลการทดลองอยางเหนไดชดในภาพ (7.2)-(ขวา) ซงแสดง spectrum ของการสนของ HBr โมเลกล นอกจากระดบพลงงานทเกยวของกบการสนของโมเลกลดงกลาว สมการ (7.26) ยงสามารถนามาอธบายสมบตอนๆของสสารทเปนของแขง อาทเชน ความจความรอนของของแขง ณ อณหภมตา ทเรยกวา "Einstein's model of specific heat" ซงจะไดกลาวถงในลาดบตอไป

7.3 Eigenstate ใน Position Space

ในการวเคราะหสถานะ n ของระบบ harmonic oscillator นน เราอาจจะตองการทราบความนาจะเปนทอนภาคดงกลาวจะอย ณ ตาแหนงตางๆ ซงกจะตองเรมดวยการคานวณ wave function ใน position space

( )n x x nψ = ___________________ สมการ (7.32) เมอดชน n ทกากบ wave function นนกเพอบงบอกใหชดเจนวาเปนสถานะใดของระบบทเรากาลงพจารณาอย ทงนเราสามารถทจะใช เอกลกษณทางคณตศาสตรทไดกลาวมาแลวขางตนในการวเคราะห wave function ดงในสมการ (7.32)

Ground State Wave Function



โดยในขนตน เราจะทาการคานวณ ground state wave function ดวยการพจารณาผลของ lowering operator a ทกระทากบ ground state 0n =

ˆ 0 0a = ทงนเนองจาก โดยคานยามแลว ground state เปนสถานะสดทายทตาทสด เมอ lowering operator กระทากบมน ยอมตองไดผลลพธเปนศนย จากนนนาสถานะ bra x เขามากระทาทงสองขางของสมการ จะไดวา

ˆ ˆ ˆ0 02

ˆ ˆ 0

ˆ ˆ0 0 0

x

x

x

m ix a x x pm

ix x pm

ix x x pm

ωω

ω

ω

⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

= +

___________________ สมการ (7.33)

โดยทในสมการขางตนเราใชคานยามของ lowering operator a ในสมการ (7.7) ซงจะเหนวาทางขวามอของสมการดงกลาวนน ประกอบดวยสองเทอมทตองบวกกนแลวเทากบศนย คอ 1) เทอม ˆ 0x x เนองจาก x เปน Hermitian operator เราสามารถกาหนดใหมนกระทากบสถานะ bra x ได (แทนทจะตองกระทากบสถานะ ket 0 ) เพราะฉะนนแลว

ˆ 0 0x x x x= 2) เทอม ˆ 0xx p ใชตรรกะของความเปน Hermitian ในทานองเดยวกนกบกรณขางตน เราทราบวา

ˆ 0 0xx p xi x∂

=∂

และเมอแทนทงสองเทอมดงกลาวเขาไปในสมการ (7.33) โดยทเราเขยน 0( ) 0x xψ ≡ จะไดวา

0 00 ( ) ( )x x xm x

ψ ψω

∂= +

∂



สมการดงกลาวเปน 1st order differential equation ทมผลเฉลยหาไดโดยงาย ซงอยในรปทวไปคอ

2 20( )

m xx Ne ωψ −= โดยทคาคงท N สามารถหาไดจากขอกาหนดของ normalization ทวาความนาจะเปนทงหมดตองมคา

เปนหนง 20( ) 1dx xψ

+∞

−∞

=∫ ดงนน

1 4 2 2

0( )m xmx e ωωψ

π−⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ___________________ สมการ (7.34)

สมการ (7.34) เปนผลการทานายตามทฤษฏ quantum mechanics ซงเกยวของโดยตรงกบความนาจะเปนทจะพบอนภาคทกาลงเคลอนทภายใตอทธพลของ harmonic potential ในขณะทมนอยในสภาวะ ground state กลาวคอ

ความนาจะเปนทจะพบอนภาค ณ ตาแหนงระหวาง x x dx→ + มคาเปน 22

0( )m xmx dx e dxωωψ

π−=

20( )xψ

( )V x

x

probability density ทจะพบอนภาค ณ ตาแหนงตางๆ2

0( )xψ

( )V x

x

probability density ทจะพบอนภาค ณ ตาแหนงตางๆ

ภาพ (7.3) ความนาจะเปนทจะพบอนภาค ณ ตาแหนงตางๆ ของอนภาคทเคลอนทภายใตอทธพลของ simple harmonic potential ในขณะทมนอยในสภาวะ ground state ตามทฤษฏของ quantum mechanics



ดงแสดงใน ภาพ (7.3) จะเหนวาในสถานะ ground state ของระบบนน โดยเฉลยแลวเรามโอกาสทจะพบอนภาคท ณ จดกาเนดไดมากทสด อยางไรกตาม อนภาคมโอกาสทจะอยหางออกไปจากจดสมดลดงกลาว แตดวยความนาจะเปนทลดลงแบบ Gaussian decay

Excited State Wave Function

และเมอทราบ probability amplitude หรอทเรยกวา wave function ของระบบทอยในสถานะ ground state แลว เรากพรอมทจะวเคราะหหา ( )n xψ ใดๆในลาดบตอไป กลยทธทเราจะใชกคอ การนาเอกลกษณของ raising operator †a ดงแสดงในสมการ (7.31) ทสามารถนาสถานะ ground state 0n = ของระบบ ขนไปสสถานะ n ใดๆกได โดยการนา

operator †a มากระทาซากนหลายๆครง ทงนเราสามารถพสจนไดวา

†ˆ( ) 1n

ax x nn

ψ = − ___________________ สมการ (7.35)

แบบฝกหด 7.7 จงพสจนสมการ (7.35) (ใหสงเกตวาสถานะ ( )n xψ ดงในสมการ (7.35) นน normalize เปน 1) สมการขางตนจะเปนกลไกสาคญในการชวยใหเราวเคราะห wave function ของสถานะ n ใดๆ

โดยเรมจาก ground state wave function เพยงเทานน และเมอเราแทนคานยามของ †a ดงในสมการ (7.8) จะได

1 ˆ ˆ( ) 12n xm ix x x p n

mnωψ

ω⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎝ ⎠

หรอเขยนใหอยในรปของ position space ของ operator ไดวา

11( ) ( )

2n nmx x x

m xnωψ ψ

ω −∂⎛ ⎞= −⎜ ⎟∂⎝ ⎠

_______________ สมการ (7.36)

การนาสมการ (7.36) เพอมาใชในการคานวณ wave function ณ ระดบพลงงานตางๆนน ทาไดโดยงาย ยกตวอยางเชน ในระดบ 1st exited state หรอ 1n = จะไดวา



1 0

1 4 2 2

1 4 2 22 21

1( ) ( )21

2

( )2

m x

m x m x

mx x xm x

m mx em x

m mx xe xe

ω

ω ω

ωψ ψω

ω ωω π

ω ωψπ

−

− −

∂⎛ ⎞= −⎜ ⎟∂⎝ ⎠⎧ ⎫∂ ⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − ⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭

⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

หรอ

1 4 2 21( ) 2

2m xm mx xe ωω ωψ

π−⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠ _______________ สมการ (7.37)

หรออกตวอยางหนงในกรณของ 2nd excited state 2n = จะไดวา

2 1

1 4 2 2

1 4 2 2 22 2 2 2 22

1( ) ( )22

1 22 22

2( )22

m x

m x m x m x

mx x xm x

m m mx xem x

m mx x e e x em

ω

ω ω ω

ωψ ψω

ω ω ωω π

ω ωψπ ω

−

− − −

∂⎛ ⎞= −⎜ ⎟∂⎝ ⎠⎧ ⎫∂ ⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − ⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭

⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞= − +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

หรอ

1 4 22 22

1( ) 2 12

m xm mx x e ωω ωψπ

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

__________ สมการ (7.38)

ภาพ (7.4) แสดง wave function และ probability amplitude ของ harmonic potential ณ ระดบพลงงานตางๆกน จากภาพจะสงเกตเหนวา ยงระดบพลงงานสงขน อนภาคกมความนาจะเปนทจะอยหางออกไปจากจดสมดลมากขน ในทานองเดยวกนกบการสนของสปรงในระบบของ classical mechanics ท amplitude ของการสนมคามากขนถาพลงงานของมนมากขนนนเอง



wave function probability density

x

x

20( )xψ

21 ( )xψ

22( )xψ

wave function probability density

x

x

20( )xψ

21 ( )xψ

22( )xψ

ภาพ (7.4) แสดง wave function และ probability amplitude ของ harmonic potential ของระดบพลงงานตางๆกน อยางไรกตาม การอธบาย simple harmonic motion โดยใชภาษาของ quantum mechanics ซงอยในรปแบบของ ระดบพลงงานดงสมการ (7.26) หรอในรปแบบของ wave function ดงในสมการ (7.34) และ (7.36) นน นกศกษาอาจจะยงมองภาพเหตการณทเปนรปธรรมซงเกดขนไดลาบาก เมอเปรยบเทยบกบ simple harmonic motion ใน classical mechanics ทเราเหนภาพชดเจนถงการสนไปมาของสปรง หรอ การแกวงกลบไปกลบมาของลกตม สาเหตทเปรยบเทยบไดลาบากกเพราะวาการสนในระดบ quantum mechanics นนเปนปรากฏการณในระดบอะตอมหรอโมเลกลซงมขนาดเลก และอยนอกเหนอจากเหตการณในชวตประจาวนทมนษยสามารถสงเกตหรอทาความเขาใจไดโดยงาย แตถงแมจะทาไดดวยความลาบาก ไมไดหมายความวาเราจะละความพยายาม แททจรงแลว เราสามารถเรยนรกฎเกณฑทางฟสกสใหลกซงยงขน ดวยการวเคราะหเปรยบเทยบใหเหนชดเจนถงขอเหมอนและแตกตางระหวาง quantum mechanics และ classical mechanics ในการศกษาระบบทเรยกวา harmonic oscillation ดงจะไดกลาวถงในลาดบตอไป แบบฝกหด 7.8 จงคานวณ wave function ของ 3rd excited state wave function 3( )xψ และ plot graph ของ probability density

7.4 Quantum Model Versus Classical Model



ในมมมองของ classical mechanics ลกษณะการเคลอนทซงเปนเอกลกษณทสาคญของ harmonic motion กคอการสนไปมาของมวลในรปแบบของ sinusoidal motion และอาจจะเขยนสมการบงบอกถงตาแหนงของมวลดงกลาวไดวา

Time Evolution ของ Classical Model

classical ( ) cos(ω )x t A t= _____________ สมการ (7.39)

amplitude A

จดสมดล0x =

x

t

( ) cos(ω )x t A t=

(a)(a) (b)(b)

amplitude A

จดสมดล0x =

x

t

( ) cos(ω )x t A t=

(a)(a) (b)(b)

ภาพ (7.5) a) classical model ของ simple harmonic oscillation ซงประกอบดวยสปรงผกตดกบมวล m และถากาหนดให ณ เวลา t=0 เราดงเอามวลมาไวทจดหยดนง ซงหางจากจดสมดลเปนระยะ A b) จะไดวาตาแหนงของมวล m ณ เวลาใดๆมคาเทากบ classical cos(ω )x A t= ดงแสดงใน ภาพ (7.5) A คอ amplitude ของการสน ในขณะท ω คอความถเชงมมซงมคาเทากบ

k m เมอ k คอคาคงทของสปรง นอกจากนเราอาจจะยงเขยน amplitude A ใหอยในรปของ

พลงงานทงหมดของระบบไดวา 2 2total

1 ω2

E m A= เพราะฉะนนแลว

2

total2 ωA E m= และเมอแทน amplitude ดงกลาวเขาไปในสมการ (7.39) จะไดวา

totalclassical 2

2( ) cos(ω )ω

Ex t tm

= _____________ สมการ (7.40)



ดวยเอกลกษณเฉพาะตวของ simple harmonic motion ใน classical mechanics ดงกลาว เราอาจจะสมมตเอาอยางผดๆวา quantum mechanics มอง harmonic motion ในลกษณะทเหมอนกนเสยเลยทเดยว

Time Evolution ของ Quantum Model ในภาษาของ quantum mechanics เราอธบายการวดตาแหนงของอนภาคทกาลงศกษาดวยสงทเรยกวา expectation value ของ position operator x และ เราอธบายการเปลยนแปลงไปของอนภาคตามเวลาทผานไป ดวยสงทเรยกวา time evolution operator ˆ ( )U t เพราะฉะนนแลว การศกษาการเคลอนทของอนภาคในทาง quantum mechanics นน เราตองการทจะทราบ

quantum( )x t

ซงกคอตาแหนงของอนภาคโดยเฉลย เมอเวลาผานไป เพอเปนการเปรยบเทยบกบ classicalx ในสมการ (7.39) นนเอง สมมตวาเราเตรยมอนภาค ณ เวลา t=0 ใหเปนหนงใน eigenstate ของระบบภายใต harmonic potential หรอ

( 0)t nΨ = = เมอ n คอหนงใน eigenstate ดงในสมการ (7.13) และถาเราตองการทราบสถานะดงกลาวเมอเวลาผานไป กสามารถทาไดโดยนา time evolution operator เขามากระทา

( )

ˆ

1 2 ω

ˆ( ) ( )

( )

iHt

i n t

t U t n

e n

t e n

−

− +

Ψ =

=

Ψ =

ในสมการขางตน เราอาศยสมบตทวา n คอ eigenstate ของ Hamiltonian H ซงม eigenvalue

เทากบ 1 ω2nE n⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠ ทาใหสามารถแทน operator H ทปรากฏอยในเลขยกกาลงของฟงชนก

exponential ดวย eigenvalue ของมนได



และเมอเราทราบ ( )tΨ ซงแสดงถงสถานะของระบบ ณ เวลาใดๆแลว กสามารถคานวณตาแหนงโดยเฉลยของอนภาคไดวา

( )1 2 ωquantum ˆ ˆ( ) ( ) ( ) i n tx t x t x t n e+ += = Ψ Ψ = ( )1 2 ωˆ i n tx e− + ˆn n x n=

จากสมการขางตนจะพบวา expectation value ของตาแหนงนน กลบไมขนกบเวลา ซงกเสมอนวาโดยเฉลยแลว quantum mechanics มองวาอนภาคดเหมอนหยดนง ณ ตาแหนงสมดล แบบฝกหด 7.9 จงพสจนวา expectation value ของ position ˆ 0n x n = บอกใบ: เขยน x operator ใหอยในรปของ raising และ lowering operator ดงนนเราสรปไดวา

quantum( ) 0x t = ถา ( 0)t nΨ = = _____________ สมการ (7.41)

สมการ (7.41) แตกตางอยางสนเชงกบสมการ (7.39) ในแงทวา ถาเราทราบแนชดวาสถานะของระบบนน เปนหนงใน eigenstate ของระบบ quantum mechanics ทานายวาเมอเราทาการวดตาแหนงของอนภาคดงกลาว จะไมพบวามนมการเปลยนแปลงกบเวลาแตอยางใด เราจะอธบายขอขดแยงระหวาง classical mechanics และ quantum mechanics นวาอยางไร ? คราวนสมมตวา เราไมทราบแนชดวาระบบอยใน eigenstate อนใดอนหนง แตเปนสถานะผสมระหวางสอง eigenstate ดวยกนคอ

1 1( 0) 12 2

t n nΨ = = + + _________________ สมการ (7.42)

เพอความสะดวกเรากาหนดให สมประสทธของ linear superposition ของทงสองนนเทากน และดวยขอกาหนดตงตนเชนน เราสามารถคานวณหา state ณ เวลาใดๆไดวา



( ) ( )

ˆ

1 2 ω 3 2 ω

1 1ˆ( ) ( ) 12 21 1 12 21 1( ) 12 2

iHt

i n t i n t

t U t n n

e n n

t e n e n

−

− + − +

⎛ ⎞Ψ = + +⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎝ ⎠

Ψ = + +

ซงเมอเราทาการคานวณ expectation value ของตาแหนง เมอระบบอยในสถานะขางตน จะทาให

( ) ( )

( ) ( )

1 2 ω 3 2 ω

1 2 ω 3 2 ω

ω ω

0 0

ω ω

1 1ˆ( ) ( ) 12 21 1ˆ 12 2

1 1 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ1 1 1 12 2 2 2

1 1ˆ ˆ ˆ( ) ( ) 1 12 2

i n t i n t

i n t i n t

i t i t

i t i t

t x t e n e n

x e n e n

n x n e n x n e n x n n x n

t x t e n x n e n x n

+ + + +

− + − +

− +

= =

− +

⎧ ⎫Ψ Ψ = + +⎨ ⎬⎩ ⎭⎧ ⎫+ +⎨ ⎬⎩ ⎭

= + + + + + + +

Ψ Ψ = + + +

ถาแทนให ( )†ˆ ˆ ˆ2

x a amω

= + แลวจะพบวา ( )1ˆ ˆ1 12n

n x n n x nmω+

+ = = + ดงนน

( ) ( ) ( ) ( )ω ω1 11ˆ( ) ( ) cos ω2 2 2

i t i tn nt x t e e t

m mω ω− ++ +

Ψ Ψ = + =

เราสรปไดวา

( ) ( )quantum1

( ) cos ω2n

x t tmω+

= ถา 1 1( 0) 12 2

t n nΨ = = + +

_____________________ สมการ (7.43) ใหสงเกตสมการ (7.43) และสมการ (7.39) วามความคลายคลงกนอยมากทเดยว ทงสองสมการตางกแสดงถงการเคลอนทแบบ sinusoidal function รอบจดสมดลดวยความถเชงมมเทากบ ω และสาเหตททาใหผลการทานายของ quantum mechanics quantum( )x t มความคลายคลงกบการเคลอนท



แบบ classical mechanics classical ( )x t ไดนน กเนองมาจากการกาหนดให 1 1( 0) 12 2

t n nΨ = = + +

เราสามารถทจะตความไดวา ในครงแรกทเราตงขอสมมตฐานให ( 0)t nΨ = = นน กเทากบ

เราไปกาหนดใหระบบมพลงงานทแนนอนอยเพยงคาเดยวคอ 1ω(n+ )2

E = ซงในทางปฏบตแลว

ใน macroscopic system เชนลกบอลทผกตดอยกบสปรงนน ยอมเปนสมมตฐานทขดแยงกบความเปนจรง ลกบอกประกอบดวยอะตอมจานวนมหาศาลซงตางกสนและเคลอนทอยภายในโมเลกล ไมมทางทเราจะทราบพลงงานของมวลทงกอนไดแมนยาอยางสมบรณโดยไมมความคลาดเคลอนเลยแมแตนอย ดวยสมมตฐานทผดพลาดเชนน จงไมนาแปลกใจทผลทานายของ quantum mechanics ทวา quantum( ) 0x t = ในสมการ (7.41) ไมสอดคลองกบสงทเราพบเหนในระบบ classical

mechanics เชนลกตม หรอ มวลทผกตดกบสปรง

กตอเมอเรากาหนดให 1 1( 0) 12 2

t n nΨ = = + + ซงสอความหมายเปนนยวาเราไมทราบ

แนชดถงสถานะทแทจรงของระบบ หากแตเปน linear superposition ของสองสถานะดวยกนคอ n และ 1n + และเนองจาก probability amplitude มคาเทากน กแสดงวาระบบมโอกาส 50% ทจะม

พลงงาน 1ω(n+ )2

E = และอก 50% ทจะเปน 3ω(n+ )2

E = สวนจะมพลงงานเทาใดแนนน ไม

ปรากฏแนชด กตอเมอเราใสความไมแนนอนดงกลาวนเขาไปในสมมตฐานเบองตนแลวเทานน quantum mechanics จงจะใหคาทานายในสมการ (7.43) สอดคลองกบ classical mechanics แบบฝกหด 7.10 จากสมการ (7.43) จงพสจนวา

( )quantum 2( ) cos ω2

Ex t t

mω= ถา 1 1( 0) 1

2 2t n nΨ = = + +

_____________________ สมการ (7.44) เมอ E คอ expectation value ของพลงงานในระบบ

เปนทนาสงเกตวา ในกรณท 1 1( 0) 12 2

t n nΨ = = + + นน quantum( )x t ในสมการ

(7.44) ไมไดเหมอนกนกบ classical ( )x t ในสมการ (7.40) ไปเสยทงหมด จรงอยในแงของการเปลยนแปลงกบเวลา ทงคอยในรปของ cos(ω )t แตในแงของ amplitude แลว classical ( )x t มคามากกวา quantum( )x t ถง 2 เทา ขอแตกตางดงกลาวนอาจจะมทมาจากขอเทจจรงทวา สมมตฐาน



ของ wave function ดงในสมการ (7.42) นน อาจจะเปนรปแบบของ linear superposition ทไมเหมาะสมทจะนามาเปน model เพอจะนามาเปรยบเทยบกบ classical mechanics

General Form ของ Position Expectation Value

มาถงจดนเราเหนวา การกาหนดรปแบบของ wave function ในสมการ (7.42) อาจจะเปนรปแบบทเปนกรณเฉพาะจนเกนไป ซงไมแนนกวา ถาสถานะ ( 0)tΨ = ของระบบอยในรป linear supposition ในลกษณะอนๆแลวนน quantum( )x t จะยงคงสภาพเปน sinusoidal function อย

ดงเชนสมการ (7.44) อกหรอไม เพราะฉะนน เราจะเรมเขยนสถานะ ( 0)tΨ = ใหอยในรปทวไปมากขน แลวจะอาศยกระบวนการทางคณตศาสตรเพอเปนเครองมอในการวเคราะหคณสมบตของ quantum( )x t ในลาดบ

ตอไป กาหนดให

0( 0) n

nt c n

∞

=Ψ = = ∑ _____________________ สมการ (7.45)

เมอ { }nc คอเซตของสมประสทธทประกอบกนขนเปน linear superposition ของ eigenstate { }n

ซงในขนตนน { }nc จะเปนอะไรกไดไมจากด ทงนเมอเรานา time evolution operator เขาไปกระทากบ ( 0)tΨ = จะปรากฏวา

ˆ

0

( 1 2)

0

ˆ( ) ( 0)

( )

iHtn

n

i t nn

n

t U t

e c n

t c e nω

∞−

=∞

− +

=

Ψ = Ψ =

=

Ψ =

∑

∑

___________________ สมการ (7.46)

และเมอทาการคานวณ expectation value ของตาแหนง หรอ



( )

( )

( 1 2) † ( 1 2)

0 0

( ) †

0 0

ˆ ˆ( ) ( )

ˆ ˆ2

ˆ ˆ ˆ2

i t n i t nn n

n n

i t n nn n

n n

x t x t

c e n a a c e nm

x c c e n a a nm

ω ω

ω

ω

ω

∞ ∞′∗ + + − +

′′= =

∞ ∞′∗ + −

′′= =

= Ψ Ψ

⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪′= +⎨ ⎬⎨ ⎬⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎩ ⎭ ⎩ ⎭

′= +

∑ ∑

∑ ∑

โดยอาศยเอกลกษณของ a และ †a เราสามารถพสจนไดวา

( )† , 1 , 1ˆ ˆ 1n n n nn a a n n nδ δ′ ′− +′ + = + + เมอ ,i jδ คอ Kronecker delta function ดงนนเรา

สามารถเปลยน double summation ในสมการขางตน ใหกลายเปน summation เพยงอนเดยวไดวา

( )( ), 1 , 1

0 0

1 11 0

ˆ 12

12

i t n nn n n n n n

n n

i t i tn n n n

n n

x c c e n nm

e c c n e c c nm

ω

ω ω

δ δω

ω

∞ ∞′∗ + −

′ ′ ′− +′= =

∞ ∞− ∗ + ∗

− += =

= + +

⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

∑ ∑

∑ ∑ ____ สมการ (7.47)

ในการลดรปของ double summation ดงกลาว จะเหนวาในเทอมแรกนน n′ จะตองมคาเทากบ 1n − มเชนนน Kronecker delta function จะกลายเปนศนย ในขณะทเทอมทสองนน n′ จะตองม

คาเทากบ 1n +

นอกจากนถาสงเกตใหดจะเหนวา 11

n nn

c c n∞

∗−

=∑ นนเปน complex conjugate ของ

10

1n nn

c c n∞

∗+

=+∑ ซงขอเทจจรงขอนสามารถพสจนใหเหนไดหลายวธ ยกตวอยางเชนใชวธ

กระจายผล summation ของมาโดยตรงแลวเปรยบเทยบกน

1 0 1 1 2 2 31

1 2 3n nn

c c n c c c c c c∞

∗ ∗ ∗ ∗−

== + + +∑

ในขณะท

1 1 0 2 1 3 20

1 1 2 3n nn

c c n c c c c c c∞

∗ ∗ ∗ ∗+

=+ = + + +∑

เพอความสะดวกเรากาหนดให



11

ibn n

nc c n ae

∞∗ +−

==∑ _______________ สมการ (7.48)

เมอ a และ b คอจานวนจรงใดๆ เพราะฉะนนแลว

10

1 ibn n

nc c n ae

∞∗ −+

=+ =∑ _______________ สมการ (7.49)

หลงจากนนแทนสมการ (7.48) และ สมการ (7.49) เขาไปในสมการ (7.47) จะไดวา

( )( ) ( )( )

[ ]

ˆ2

cosω sinω cos sin cosω sinω cos sin2

ˆ 2 cos cosω sin sinω2

i t ib i t ibx e ae e aem

a t i t b i b t i t b i bm

x a b t b tm

ω ωω

ω

ω

− + + −⎡ ⎤= +⎣ ⎦

⎡ ⎤= − + + + −⎣ ⎦

= +

ใหสงเกตวา expectation value ของตาแหนงดงปรากฏในสมการขางตน มคาเปนจานวนจรง ทเปนเชนนเพราะสวนจตภาพหกลางกนหมดไป ซงการท expectation value มคาออกมาเปนจานวนจรงเสมอนน กทาใหเราสบายใจไปไดในระดบหนง นอกจากน โดยอาศยกฎของ cosine เราจะไดวา

( )22ˆ cos ωax t b

mω= − เมอ 1

1

ibn n

nc c n ae

∞∗ +−

==∑ _________ สมการ (7.50)

สมการ (7.50) มความสาคญมากทเชอมโยง quantum mechanics กบ classical mechanics เมอเราพจารณาการเคลอนทภายใต harmonic potential สมการดงกลาวแสดงใหเหนวาเมอใชภาษาของ quantum mechanics แลว expectation value ของตาแหนงจะมการสนไปมาดวยความถ ω เชนเดยวกนกบผลลพธจากการวเคราะหโดยอาศย classical mechanics นอกจากน สมการ (7.50) ยงอยในรปทวไปและเปนจรงในทกกรณ เพราะสถานะ Ψ ดงในสมการ (7.45) ของระบบนนจะเปนเชนใดกได มไดจากด ขนอยกบเซตของสมประสทธ { }nc วาเปนเชนใด



อาทเชน ตวอยาง 1) ถาเรากาหนดให สถานะ Ψ ของระบบเปนหนงใน eigenstate η หรอ ηΨ = เพราะฉะนนเซตของสมประสทธ { }nc จะมคาเปนศนยเกอบทกตว ยกเวนเมอ n η= หรอในรปของสมการ

{ } ,n nc ηδ=

แลวจะไดวา

1 1, ,1 1

0n n n nn n

c c n nη ηδ δ∞ ∞

∗− −

= == ⋅ =∑ ∑

ดงนน 0a = และเมอแทนเขาไปในสมการ (7.50) จะไดวา

ˆ 0x = ซงกสอดคลองกบกรณศกษาทเราไดทาเปนตวอยางมาแลวในสมการ (7.41)

ตวอยาง 2) ถาเรากาหนดให 1 1( 0) 12 2

t η ηΨ = = + + ดงนนเซตของสมประสทธ

{ }nc กจะมคาเปนศนยเกอบทงหมด ยกเวนในกรณท n η= และ 1n η= + ทมนจะมคาเปน 12

หรอเขยนในรปของสมการไดวา

{ }1 if or 120 otherwise

nn n

cη η⎧ ⎫= = +⎪ ⎪= ⎨ ⎬

⎪ ⎪⎩ ⎭

แลวจะไดวา

11

1 12n n

nc c n η

∞∗−

== +∑

ดงนน 1 12

a η= + และ 0b = ซงถาแทนคาลงไปในสมการ (7.50) จะทาให



( ) ( )1ˆ cos ω

2x t

mηω+

=

จะเหนวาสมการขางตนนน สอดคลองกบกรณศกษาทเราไดทาเปนตวอยางมาแลวในสมการ (7.43)

Gaussian Distribution ของ Eigen States

จากตวอยางทงสองทแสดงในขางตนจะพบวา amplitude ของ x นนขนอยกบเซตของสมประสทธ { }nc นนเอง ซงกปรากฏวามกรณทนาสนใจอยอนหนง กลาวคอถาเราสมมตวาระบบของ simple harmonic ทกาลงศกษาอยนมการกระจายตวของ linear superposition แบบ Gaussian distribution หรออกนยหนง

( )

2( )24

1 42

1

2

n n

nc e σ

πσ

−−= ______________ สมการ (7.51)

เมอ n และ σ คอคาคงท และถา n เปนคาคงท ซงมคาสงมากพอสมควรจะไดวา

2

0

1ω ω2n

nE c n n

∞

=

⎛ ⎞= + ≅⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ______________ สมการ (7.52)

เราสามารถพสจนสมการขางตนไดดวยการแทน summation ใหอยในรปของ integral ซงสามารถทา

ไดถา n มคาสง กลาวคอ

2( )22 2

20 0

1 1 1ω ω ω2 22

n n

nn

c n dn e n nσ

πσ

−∞ −∞

=

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ≅ + ≅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∑ ∫

แบบฝกหด 7.11 จงพสจนวาสมประสทธของ linear superposition ในสมการ (7.51) นน

normalize เปนหนง หรอ 2

01n

nc

∞

==∑ ถา n มคาสงพอสมควร

เซตของ { }nc ในสมการ (7.51) กด ตลอดจน expectation value ของพลงงานในสมการ (7.52) กด เปน model ในทาง quantum mechanics ทเหมาะสมในการศกษาการเคลอนทแบบ simple harmonic ของวตถในระดบ macroscopic ยกตวอยางเชนระบบของสปรงกบกลองใน ภาพ (7.5)a



เมอครงทเราใช quantum mechanics ในการศกษา harmonic potential eigenstate ของระบบมไดหลายสถานะ ซงเราใช quantum number n เปนตวกากบ อยางไรกตาม เรามกจะกลาวถงเพยงสถานะตนๆ โดยละเลยสถานะทมเลข quantum number n สงๆ ยกตวอยางเชน ground state, 1st excited state, หรอ 2nd excited state ดงแสดงใน ภาพ (7.4) ทเปนเชนนกเพราะ quantum mechanics โดยทวไปนนเปนทฤษฏทใชในการอธบายระบบขนาด microscopic ซงมพลงงานนอยมาก อยในระดบ electron volt (eV) หรอประมาณ 1910 Joules− ซงแตกตางโดยสนเชงกบระบบขนาด macroscopic ซงมพลงงานอยในระดบ 1Joules เพราะฉะนนแลว harmonic motion ของระบบทเปน macroscopic จะตองม quantum number n ทสงมาก และเปนทมาของคาคงท n ในสมการ (7.52) นนเอง

n คอ quantum number (โดยเฉลย) ของ harmonic motion ในระดบ macroscopic system

นอกจากน อาศย { }nc ในสมการ (7.51) เราสามารถคานวณ x โดยเรมดวย

2 2( 1 ) ( )241 21 0

1

2

n n n n

n nn

c c n dn e n nσ

πσ

− − + −∞ −∞∗−

=≅ ≅∑ ∫

ดงนน ωa n E= = และ 0b = ซงถาแทนคาลงไปในสมการ (7.50) จะทาให

( )22

ˆ cos ωω

Ex t b

m= − ถา

( )

2( )24

1 422

n n

nec

σ

πσ

−−

= _____________ สมการ (7.53)

เปนทนาสงเกตอยางยงวา amplitude ของการสนในสมการขางตน มความสมพนธระหวางพลงงานเฉลย E และ amplitude x ของการสน ทเทากนพอดกบการสนแบบ classical mechanics ในสมการ (7.40) ทาใหเราพอจะคาดเดาไดวา ในการสนแบบ simple harmonic ของระบบขนาดใหญเชนกลองทผกตดอยกบสปรง อาจจะม distribution ของสถานะเปนแบบ Gaussian distribution กเปนได



7.5 Application - Einstein's Model of Specific Heat

ระดบพลงงานของ harmonic potential ทไดจากการศกษาเชง quantum mechanics ทวา ( )1 2nE nω= + นน นอกจากจะมเอกลกษณทสาคญทม E ωΔ = ซงเปนคาคงท ดงทพสจน

ใหเหนไดจากการทดลองใน ภาพ (7.2) ยงม application ทสาคญเมอนามาใชอธบายคาความจความรอนของวสดทเปนของแขง ในเนอหาทเกยวของกบ thermodynamics เมอมความรอน dQ ถายเทเขาสของแขง อณหภมของมนจะเพมสงขน TΔ เรานยามอตราสวนของปรมาณทงสองตอหนง mole ของสสารวาเปน molar specific heat หรอ ความจความรอนจาเพาะ c ซงเขยนในรปของสมการไดวา

Q nc TΔ = Δ ________________ สมการ (7.54) เมอ n คอจานวน mole ของสสาร molar specific heat c เปนสมบตเฉพาะของเนอสาร และมคาแตกตางกนออกไปขนอยกบชนดของวสดนนๆ ดงแสดงในตาราง ตารางแสดง molar specific heat (at constant pressure) ณ อณหภมหอง [ Joules mole deg⋅ ] Solid pc Solid pc

Copper 24.5 Aluminum 24.4 Silver 25.5 Tin 26.4 Lead 26.4 Sulfur 22.4 Zinc 25.4 ขอมลจาก Reif, "Fundamental of Statistical and Thermal Physics"

อยางไรกตาม จากการทดลองพบวา molar specific heat มไดมคาคงท หากแตมการเปลยนแปลงขนกบอณหภม และจะมคาล 0c → เมออณหภมศนยองศาสมบรณ ดงแสดงใน ภาพ (7.6) Albert Einstein ไดเผยแพรผลงานของเขาในป 1907 ซงเปนคนแรกทสามารถอธบายเหตผลทางทฤษฏท molar specific heat มคาลดลง เมออณหภมตา โดยใชแนวคดของ quantum mechanics เขามาผสมผสานกบแนวคดของ thermodynamics ทเรยกวา canonical distribution ดงจะไดกลาวถงในลาดบตอไป



v3cR

E

TΘ

จากการทดลองพบวา เมออณหภมตา ความจความรอนจาเพาะ มคาลงลง

v3cR

E

TΘ

จากการทดลองพบวา เมออณหภมตา ความจความรอนจาเพาะ มคาลงลง

ภาพ (7.6) แสดงการเปลยนแปลงของ molar specific heat ขนกบอณหภม จดทปรากฏบนกราฟคอขอมลจาการทดลองของเพชร ในขณะทเสนทอยบนกราฟ เปนฟงชนกท plot จากทฤษฏของ Einstein เมอกาหนดให E 1320KΘ = [A. Einstein, Ann. Physik, vol. 22, p. 186 (1907)]

พลงงานเฉลย ในมมมองของ Thermodynamics ในมมมองของ thermodynamics นน ถาระบบมอณหภมคงทเทากบ T จะมผลทาใหเกดการแลกเปลยนพลงงานในรปของความรอนระหวางตวระบบเอง กบสงแวดลอมทอยโดยรอบ ทาใหพลงงานของระบบมคาไมคงทเสยทเดยว แตกระเพอมขนลงแบบ random ซงเรยกวา thermal fluctuation ในระบบทอาจจะมอยไดหลายสถานะ และแตละสถานะมระดบพลงงานทแตกตางกน "canonical distribution" เปนทฤษฏทาง thermodynamics ทบอกถง "ความนาจะเปน" ทเราจะพบระบบอยในสถานะหนงๆ

k Tr Br k Tr B

r

ePe

ε

ε

−

−=∑

________________ สมการ (7.55)

เมอ kB คอ Boltzmann constant และ summation ทปรากฏในสมการขางตน เปนการ sum ของสถานะทงหมดทระบบอาจจะมได ดวย thermal fluctuation ของนเอง ทาใหระบบอาจจะอยในสถานะใดกได แตดวยความนาจะเปนทแตกตางกน และจากสมการขางตน เราสามารถคานวณพลงงานของระบบโดยเฉลยไดวา



k Tr Brr

r r k Tr Brr

eE P

e

ε

ε

εε

−

−= =∑

∑∑

________________ สมการ (7.56)

นกศกษาจะตองไมลมวา พลงงานเฉลยขางตน เปนคาเฉลยในมมมองของ thermodynamics และแตกตางจาก expectation value ของ quantum mechanics อยางไรกตาม Einstein พจารณาอะตอมของ solid ทประกอบกนขนเปนผลกนน วามการสนแบบ harmonic อยรอบจด equilibrium และโดยอาศย quantum mechanics เขาทราบวาระดบพลงงานของของอะตอมดงกลาวกคอ

( )1 2nE nω= + และเมอแทนระดบพลงงานทไดเขาไปในสมการ (7.56) จะทาให

( ) ( )

( )

1 2

0

1 2

0

1 2 n k TB

n

n k TB

n

n eE

e

ω

ω

ω∞

− +

=∞

− +

=

+

=∑

∑ ________________ สมการ (7.57)

สมการขางตนไดมาจากการผสมผสานกนระหวาง quantum mechanics และ thermodynamics ในแงทวา สตรในการคานวณคาเฉลยของพลงงานดงในสมการ (7.56) นน เปนของ thermodynamics ในขณะทสตรในการคานวณระดบพลงงานตางๆทระบบจะมไดนน เปนของ quantum mechanics และในทสดสมการ (7.57) จะลดรปลงใหงายขนเหลอเพยง

( )2 1k TB

E Te ω

ω ω⎛ ⎞= +⎜ ⎟

−⎝ ⎠ ________________ สมการ (7.58)

การลดรปจากสมการ (7.57) มาเปนสมการ (7.58) สามารถพสจนไดโดยไมยากนก ซงทาไดโดยการเขยน

0

0

Ennn

En

n

E eE

e

β

β

∞−

=∞

−

=

=∑

∑

เมอ ( )1 2nE nω= + และ 1 Bk Tβ ≡ จากนนนยาม partition function



0

En

nZ e β

∞−

== ∑

ซงจะสงเกตเหนวา 0 0

E En nnn n

E e e Zβ ββ β

∞ ∞− −

= =

∂ ∂= − = −

∂ ∂∑ ∑ เพราะฉะนนแลว

1 lnE Z ZZ β β

∂ ∂= − = −

∂ ∂ ________________ สมการ (7.59)

และเมอพจารณา partition function Z ใหละเอยดแลวจะพบวา

( ) ( )1 2 2 2

0 01nEn

n nZ e e e e eω ββ ωβ ωβ ωβ

∞ ∞− +− − − −

= == = = + + +∑ ∑

เทอมทอยภายในวงเลบสามารถเขยนใหอยในรป close form โดยใชทฤษฏของอนกรมเรขาคณต

( )2 111

e ee

ωβ ωβωβ

− −−+ + + =

− ดงนน

2

1eZ

e

ωβ

ωβ

−

−=

− ซงจะทาให

( )1ln ln 12

Z e ωβωβ −= − − −

จากนนนาผลลพธของ ln Z เขาไปแทนในสมการ (7.59) กจะไดความสมพนธระหวางพลงงานโดยเฉลยของ simple harmonic oscillator กบอณหภมของระบบ ดงแสดงในสมการ (7.58) ดงกลาว

แบบฝกหด 7.12 a) จงแสดงใหเหนวาในชวงทอณหภมสง หรอ 1Bk Tω นน สมการ (7.58)

ลดรปลงอกเหลอเพยง

( ) BE T k T≅ ถา 1Bk Tω ________________ สมการ (7.60)

และในชวงทอณหภมตา 1( )2

k TBE T e ωω −⎛ ⎞≅ +⎜ ⎟⎝ ⎠

ถา 1Bk Tω ________________ สมการ (7.61)

Molar Specific Heat



ขนตอนตอไปกเปนเพยงการโยงพลงงานเฉลยทไดจากสมการ (7.58) เขากบ molar specific heat ซงทาไดโดยอาศยกฎขอท 1 ของ thermodynamics กฎขอท 1 ของ thermodynamics กลาววาพลงงานภายในของระบบ จะเปลยนแปลงไดในสองกรณคอ 1) ความรอนทถายเทเขาสระบบ หรอ 2) งานททาโดยระบบ หรอในรปของสมการ

dE dQ dW= − ________________ สมการ (7.62) แตเนองจากปรมาตรของ solid ขยายตวไดนอยมาก (เมอเปรยบเทยบกบปรมาตรของแกสในลกโปง) มนจงไมสญเสยพลงงานในรปของ "work" ทกระทากบสงแวดลอม ดงนน 0dW = หรอกลาวอกนยหนง ความรอนทถายเทเขาส solid จะถกกบเกบอยในรปพลงงานของการสนของอะตอมตางๆนนเอง จากคานยามของ molar specific heat ในสมการ (7.54) และพลงงานเฉลยในสมการ (7.58) ประกอบกบกฎขอ 1 ของ thermodynamics ในสมการ (7.62) เราบอกไดวา

v 32 1

a k TBc N

T e ωω ω⎛ ⎞∂

= +⎜ ⎟∂ −⎝ ⎠ ________________ สมการ (7.63)

สาเหตทตองคณดวย aN ซงกคอ Avogadro number กเพราะวาพลงงานในสมการ (7.58) นนเปนพลงงานเฉลยของหนงอะตอมเพยงเทานน ในขณะท molar specific heat นนนยามตอ 1 mole ซงมอยทงสน 236.02 10aN = × อะตอม สาเหตทตองคณดวยเลข 3 กเพราะวาพลงงานเฉลยทเราไดทาการวเคราะหมาโดยตลอดนน เปนเพยงการสนใน 1 มต ในขณะทอะตอมภายใน solid มการสนใน 3 มต กอนทจะทาการลดรปของสมการ (7.63) ใหอยในรปทเหมาะสมมากขน เราสามารถวเคราะหกรณ

เฉพาะทนาสนใจคอในกรณทอณหภมสง 1Bk Tω ในกรณดงกลาวน จากสมการ (7.60) จะพบวา

( ) BE T k T≅ เพราะฉะนนแลว

( )v 3 3 3a B a Bc N k T N k RT∂

= = =∂

เมอ อณหภมสง 1Bk Tω



ในทาง thermodynamics โดยทวไปแลวนกศกษาจะพบเหนวาเรานยามคาคงท a BR N k≡ วาเปน

"gas constant" ซงมคาเทากบ Joule8.314mol K

R = เพราะฉะนนแลวจากสมการขางตน เราสามารถ

ทานาย molar specific heat ของ solid ณ อณหภมสงไดวา

vJoule3 24.94mol K

c R= = เมออณหภมสง 1Bk Tω __________ สมการ (7.64)

ซงเมอเปรยบเทยบกบตารางในขางตน จะพบวาผลการคานวณเชงทฤษฏมความสอดคลองการผลการทดลองอยเปนทนาพอใจ ในกรณของอณหภม T ใดๆนน เราจะตองทาการคานวณสมการ (7.63) โดยตรง ซงกจะไดวา

( )

( )

( )

v

2

2 2

2

v 2

32 1

31

31

a k TB

k TBa

k TBB

k TBa B

k TB BR

c NT e

eNk T e

ec N kk T e

ω

ω

ω

ω

ω

ω ω

ω

ω

=

⎛ ⎞∂= +⎜ ⎟∂ −⎝ ⎠

=−

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠ −

หรอจดรปเสยใหม

( )2 EE

v 2E

31

T

T

ec RT e

Θ

Θ

Θ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠ −

__________ สมการ (7.65)

เมอเรานยาม EBkω

Θ ≡ ซงเรยกโดยทวไปวา "Einstein temperature" และเปนอณหภมทใชในการ

แบงแยกพฤตกรรมของ solid วา สมบตทเกยวของกบ molar specific heat นน อยในชวงทเปน classical mechanics หรอ อยในชวงทเปน quantum mechanics กลาวคอ ถา ET Θ ของแขงจะม molar specific heat เปน v 3c R→



ซงในกรณดงกลาวน สามารถใชทฤษฏของ classical mechanics รวมกบ equipartition theorem ในการทานายผลของการทดลอง (นกศกษาสามารถอานเพมเตมไดจาก Reif, "Fundamental of Statistical and Thermal Physics Section 7.6" ) โดยไมจาเปนตองอาศย quantum mechanics แตอยางใด

ถา ET Θ ของแขงจะม molar specific heat เปน 2

E Ev 3 Tc R eT

−ΘΘ⎛ ⎞→ ⎜ ⎟⎝ ⎠

ในกรณดงกลาวนจาเปนจะตองใชระดบพลงงานทคานวณไดจาก quantum mechanics จงจะไดผลทางทฤษฏทสอดคลองกบการทดลอง (อยางไรกตาม ถาจะวเคราะหกนให ละเอยดแลว สมการของ Einstein ยงมขอบกพรองอยบาง เพราะเราไปสมมตอยางหยาบๆ วาความถ ω ของการสนของทกๆอะตอมทอยในผลกนน มคาเทากน ซงในความเปนจรง แลวไมเปนเชนนน) กราฟทแสดงใน ภาพ (7.6) เปนการเปรยบเทยบผลของ molar specific heat ของเพชร และสมการ (7.65) โดยท Einstein temperature EΘ นนไดมาจาก fit เพอให curve ทไดจากทฤษฏนนใกลเคยงกบผลการทดลองมากทสด และจากภาพจะเหนวามความแมนยาอยพอสมควร

7.6 บทสรป

ในบทท 7 ทวาดวย harmonic oscillator เราไดศกษาการเคลอนทของอนภาคใน 1 มตภายใตพลงงานศกยทอยในรปของ

2 21( ) ω2

V x m x=

ซงมขอบเขตของการประยกตใชงานกบระบบทเคลอนทในบรเวณใกลเคยงกบจดสมดล อาทเชน อะตอมภายใน solid หรอโมเลกลทางเคม และอาศยกลไกของ lowering operator a และ raising

operator †a ซงมคานยามวา

ˆ ˆ ˆ2 xm ia x p

mω

ω⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

และ †ˆ ˆ ˆ2 xm ia x p

mω

ω⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠



โดยท operator ทงสองดงกลาว เมอกระทากบสถานะ eigen state จะทาใหระบบมการกระโดดลงมาอยชนตาลงกวา (lowering operator) หรอ กระโดดขนไปอยชนสงขน (raising operator) ตามลาดบ

ˆ 1a n n n= − และ †ˆ 1 1a n n n= + + ในป 1925 P.A.M. Dirac สามารถทจะคานวณ eigen energy และ ground state wave function ของ harmonic potential ไดวา

12nE nω⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠ และ

1 4 2 20( )

m xmx e ωωψπ

−⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

ในขณะท wave function ในสถานะ n ใดๆ สามารถทจะคานวณไดจากความสมพนธ

11( ) ( )

2n nmx x x

m xnωψ ψ

ω −∂⎛ ⎞= −⎜ ⎟∂⎝ ⎠

ในลาดบตอมาเราไดพยายามทจะเปรยบเทยบการเคลอนทแบบ harmonic motion ในแงของ classical mechanics และ ในแงของ quantum mechanics โดยทในแงของ classical mechanics นน เปนททราบดวามวลมการสนแบบ sinusoidal

classical ( ) cos(ω )x t A t b= + โดยท A คอ amplitude ของการสน, ω คอ ความถเชงมม, และ b คอ phase เรมตนของการเคลอนท สมการขางตนอาจจะเขยนในรปแบบของพลงงานไดวา

totalclassical 2

2( ) cos(ω )ω

Ex t t bm

= +

ทงน ในแงของ quantum mechanics ถาเราสมมตวาระบบ ณ เวลา t=0 นนอยในสถานะ

0( 0) n

nt c n

∞

=Ψ = = ∑ และพจารณา time evolution ของระบบดงกลาว จะพบวา expectation

value ของตาแหนงมการเปลยนแปลงในลกษณะ sinusoidal เชนเดยวกน กลาวคอ



( )22ˆ cos ωax t b

mω= − เมอ 1

1

ibn n

nc c n ae

∞∗ +−

==∑

อยางไรกตาม การเคลอนทแบบ sinusoidal จะเกดขนไดกตอเมอ ระบบอยในสถานะผสม หรอ เปน linear superposition ของ eigen states เทานน และในลาดบสดทาย เราไดศกษาถง application ของ harmonic potential ดวยการวเคราะห molar specific heat ของ solid ท Albert Einstein ไดทาการศกษาในป 1907 molar specific heat (ซงใชสญลกษณ vc ) เปนสมบตเฉพาะของสสารทบงบอกถงอตราการเพมขนของอณหภม เมอมความรอนถายเทเขาไปสตวมน โดยท Einstein นาระดบพลงงานทคานวณไดจาก quantum mechanics มาประกอบกบทฤษฏ canonical distribution ของ thermodynamics และพบวา

( )2 EE

v 2E

31

T

T

ec RT e

Θ

Θ

Θ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠ −

เมอเรานยาม EBkω

Θ ≡ ซงเรยกโดยทวไปวา "Einstein temperature" สมการของ molar specific

heat ในทางทฤษฏดงกลาว และสามารถอธบายการลดลงของ vc เมออณหภมตาไดสอดคลองกบผลการทดลองเปนทนาพอใจ

7.7 ปญหาทายบท

แบบฝกหด 7.13 จงพสจนวา ground state wave function ดงในสมการ (7.34) นน ทาใหเงอนไขของ normalization เปนจรง แบบฝกหด 7.14 จงคานวณ ground state wave function ใน momentum space 0( )pϕ โดย 2 วธดวยกนคอ a) ใชวธในทานองเดยวกนกบ Section 7.3: ground state wave function และ b) เรมจากสมการ (7.34) แลวใชวธ Fourier transform ใหมาอยใน momentum space

บอกใบ: a) ˆ ( )p x i ppϕ∂

Ψ =∂

และ ˆ ( )xp p p pϕΨ =



แบบฝกหด 7.15 จงพสจนวา

( )†ˆ0

!

na

nn

= ___________________ สมการ (7.66)

แบบฝกหด 7.16 จงหา expectation value ของ momentum ˆ xn p n บอกใบ: เขยน ˆ xp ใหอยในรปของ lowering operator และ raising operator จากนนใชเอกลกษณดงในสมการ (7.30) และ สมการ (7.31) เขาชวย แบบฝกหด 7.17 จงหา uncertainty ในการวดตาแหนง และ momentum ของอนภาคภายใต

harmonic potential ในขณะทมนอยในสถานะ nΨ = และพสจนวา 12xx p n⎛ ⎞Δ Δ = +⎜ ⎟

⎝ ⎠

จากนนเปรยบเทยบผลทไดกบ Heisenberg uncertainty principle

แบบฝกหด 7.18 จงพสจนวา 2

E Ev 3 Tc R eT

−ΘΘ⎛ ⎞→ ⎜ ⎟⎝ ⎠

เมอ ET Θ โดยเรมจากสมการ

(7.65)

7 harmonic oscillator

Documents