7 math-m... · 2016. 7. 13. · ˚ - % ˆ1" xy, + *˚5- gcd , a b ax by ˆ˙" ˜* : 1. gcd 758,242...

305

Upload: others

Post on 24-Jan-2021

2 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

  • ������

    �����

    ���� ���� ����������� 7

    ��������: ������ ��� ����� �.�.� ��� �� ������ �� �.�.� ������ �� � ����� �� � ��� ���� ������� !. � "�#$� � "����� �� �. ���� � � "���$ �.

    �������: ��� ������ �.�.� �%. !. �$���� � ������� �.

    ���&���'����: �. ��

    ���� ����� ����() �.�.�

    ��� �� ������ �� �.�.�

    ������*��� +%��: �*�� � �,*�� %$*�+ �$��������� �&�� (� ���$�

    �*�� � ����-� �� ��-�� �� ��. ���� �&�� % "���� ��

    �*�� ����� �������% �� ��. ���#�* ������ �&�� -/��� "����

    �*�� %+* ��0 �*����* � ��. ���( �&�� -/�������

    �*�� �. ������ ��

    �% �� ��. ���#�* ������ �&�� ����

    ������������� ��� ��� ��1�� ��� ����������������������

    2016

    ສ.ວ.ສ ສະຫງວນລຂິະສດິ

  • � "�� "�

    ��������������� �.7 �-/� ����� (�� �����������&�����+* ����0��-/ ���$&�������

    ���� ���� �������0����� ��� ���������� 2010. 5�& ���� ���� ����������� 7

    ���&��-/ ���$�� *�� � 10 ��� ��� 29 ��. ���#�� � �ax by c ; �����% "���� ���

    ���� "�5�; ��0!, ��0���� �� ��� ��������#��������; % "�������; ��10������;

    0 "���(0���; 0 "������������; 0 "������; ���#��%������� ��� ��&���������

    5����-��.

    ����������- �����(�� �����������&�����+* �5-�#$������������$� ��� � �����0 ��

    ���, � "����������$���������(�5�5�����% "�� �� ��� ������+* ��� +5��������$�

    ����� ��� ���+* �5��� ���$�&���(�. ��+��5���* ����5�����- ����� �������&"�� $�

    �+��1����+* �5-�� ����� ��� �$� "�5��&���5�������-���������* �� ���, �*�� ��� �$ ���

    � ���������

    ��-�&"�� $����* ��0��%���������0*��< ��+* �5-����)��� ����������

    - ���*��&�����5���%�� ��.

    ,*��5�"0���������������- ����� �"� ���"* ����%��&"�&�0 ��� ���*��(�, ��� ��� %�*�&"

    �����*��� +� "��*��#$���* � "�5�����-����� % �*�*����* �%�� ���*�� -/+ %�#�� ����� �*�� "��

    �-��&���*��(�� ����1�� ��� ����������������������. �������%�1+�*����� "���-��

    &���*������&"�� $���* � �����*� ��� �������*�������������������������������5-��$�

    &���.

    ��1�� ��� ����������������������

  • �������

    '��

    ����� 1 � ��# �� � �ax by c 1 � ��� 1 ���-��&� 1 � ��� 2 � ��# ������������ ����� � �ax by c 6

    ����� 2 � �� ��% "���� ��� ���� "�5� 13 � ��� 3 � �� ��% "���� 13 � ��� 4 � �� ��������� ��� � �� �������$� 17 � ��� 5 &���& ��� ���% ���&��� �� �� 33 � ��� 6 ���� "�5�� �� ��% "���� 39

    ����� 3 ��0!, ��0���� �� ��� ��� ��� ��# �������� 47 � ��� 7 ��0! ��� ���� ������&����0! 47 � ��� 8 ��0���� �� ��� ��0!��� 67 � ��� 9 ��� ��� ��# �������� 81 � ��� 10 ���# ���*�������� 96 � ��� 11 �������#������� 110

    ����� 4 % "����� �� 120 � ��� 12 �����$�� �*�(��*��� ��% "����� �� 120 � ��� 13 �$��*��(0�$�&��% "����� �� 134

    ����� 5 ��10������ 145 � ��� 14 ������� ���*� 145 � ��� 15 ��������� ����01�������10 156 � ��� 16 ��������1 �1�� ��� ��-����� ��� �� 175

    ����� 6 0 "���(0��� 189 � ��� 17 ���� ������ ��� ���������&��0 "���(0��� 189 � ��� 18 &���& ��� # ��0 "���&��0 "���(0��� 199

    ສ.ວ.ສ ສະຫງວນລຂິະສດິ

  • ����� 7 0 "������������ 207 � ��� 19 � �����&��0 "���(0��� 207 � ��� 20 ���������� ��� ���������&��0 "������������ 210 � ��� 21 &���& ��� # ��0 "���&��0 "������������ 217 � ��� 22 � �����&��0 "������������ 221

    ����� 8 0 "������� 224 � ��� 23 ���� ��� ���� ������&��0 "������� 224 � ��� 24 0 "�������&��0 "���(0��� 227 � ��� 25 0 "�������&��0 "������������ 243

    ����� 9 � ��# ��%������� 252 � ��� 26 � ��# ��%������& ���'�* � 254 � ��� 27 ���#��%�������������&��������* ��� "��������*� 261

    ����� 10 ��&���������5����-�� 270 � ��� 28 # ���$�� �� ��� # ���$���� ��&����������0� 270 � ��� 29 �����+* ��� �#*����5����-�� 278

    0�0�����*���10 293

  • 1�

    ����� 1 � ��# �� � �ax by c

    � ��# �� � �ax by c �� *�� ��# ��& ���'�* ���* � ����0 ��� ��; �* ����������� ��# �� �*�� *���*�:

    � ��# �������+* , � ��# ��������, ...

    � ��� 1 ���-��&� 1. ���-��&�

    � "�� �����% "����1���0��5% a ��� b . “ b -��&�5-� a ” �"0"* �� +*�� �% "�

    ���1��� c �* �0����'��5-� �b ac .

    ��* ��*�: 2 3 6� � �����*� 6 2 3� � “�*���*� 6 -��&�5-� 2 ” -/+ 6 3 2� �

    “�*���*� 6 -��&�5-� 3 ”.

    1.1 ���-��&�

    ����: % "����1��� b -��&�5-�% "����1��� a , &����� |a b “�*���*� a -��&�

    b ”. 1���*� �c � �* �0����'��5-� � �b a c .

    ����� �����������*� b �� *������$�&�� a ��� a ������*������$�&�� b . % "����

    1���0��5% a ��* � �� ����$�5-�*���� *� �a .

    ����5%5�*: �������&�� |a b 1���*� a -��&� b ��� &�� |a b 1���*� a �"*

    -��&� b .

    0 ��,*�� 1. �) 56 7 8� � )�������*� “7 -��&� 56 ”; -/+ &�� “7 | 56 ”.

    &) “3 | 15 ” �*���*� “3 -��&� 15 ”.

    ສ.ວ.ສ ສະຫງວນລຂິະສດິ

  • 2�

    �) 2 | 6 (2 -��&� 6 ) �����*� 6 2 3� � .

    �) 3 |15 ( 3 -��&� 15 ) �����*� � �� �15 3 5� .

    %) | 0a (a -��&� 0 ) � "�� �� �a � �����*� 0 0� �a .

    1.2 ���� ������&�����-��&�

    -/ ����� 1: � "�� �����< , , �a b c � , �������� �:

    1) |a a , 1| a ��� | 0a ;

    2) |a b ��� |a c �� *�� � � �| �a b c ;

    3) |a b �� *�� � | a b ;

    4) |a b ��� |b c �� *�� � |a c .

    5) 1���*� |a b ��� |b c �� *�� � � �| �a bx cy � "�� �� , �x y � .

    1.3 �����$��*��5-�*�� (Greatest Common Divisor -/+ gcd )

    ����: 0 ��-���*��5-�*��&�����% "����1��� a ��� b ( a , b �"* ���* ��$�����

    � ��) �� *�% "����1��� d ��* -��&� a ��� -��&� b . d ������*������$��*��

    5-�*��&�� a ��� b .

    � ����� �����: � �gcd , �a b d -/+ � �, �a b d .

    0 ��,*�� 2. �) � �gcd 8, 4 4 � .

    &) � �gcd 7,11 1� .

    �) � � �gcd 4, 9 1� .

  • 3�

    -/ ����� 2:

    �) 5-� � �,�d a b . %�� �% "����1��� ,x y �* ����*��5-� � �d ax by .

    &) ���

  • 4�

    � ����: � "�5����-���������"!

    D����(�:

    98 1 72 2672 2 26 2026 1 20 620 3 6 2

    6 3 2 0

    � � �� � �� � �� � �� � �

    ����(� � �gcd 98,72 2� .

    ��+* ���-� ,x y ��* ���5-� � �gcd 98,72 98 72� �x y . �������&����������*

    (���0� ���� ��������+� �*���*����:

    � �

    � �

    � �

    2 20 3 620 3 26 204 20 3 264 72 2 26 3 264 72 11 264 72 11 98 7215 72 11 98

    � �

    � �

    � � �

    � � � �

    � � �

    � � �

    � � �

    1��(� � � � �gcd 98,72 2 11 98 15 72� � � � � . ��� ��� 11, 15� �x y .

    �� +*����+�����(� � �11 98 15 72 1078 1080 2 � � � � � � .

    1.6 ���� ��� ��% "�����$�0"* � �� (Relatively Prime Integers)

    ����: ���% "����1��� , 0�m n ������*�����% "�����$�0"* � ��,

    1���*� � �gcd , 1�m n .

    0 ��,*�� 6. � �gcd 8,15 1� ��� ��� 8 ��� 15 ����% "�����$�0"* � ��.

  • 5�

    � ��E�- �

    % �*���-�% "����1��� , �x y � ��+* �5-� � �gcd , � �a b ax by &��� "������*����:

    1. � �gcd 758,242 758 242� �x y

    2. � �gcd 726,275 726 275� �x y

    3. � �gcd 237,81 237 81� �x y

    4. � �gcd 616,427 616 427� �x y

    5. � �gcd 936,666 936 666� �x y

    6. � �gcd 1137, 419 1137 419� �x y

    7. � �gcd 14,75 14 75� �x y

    8. � �gcd 49,60 49 60� �x y

    9. � �gcd 4147,10672 4147 10672� �x y

    10. � �gcd 180,252 180 251 � �x y

    11. � �gcd 143,252 143 252� �x y

    12. � �gcd 306,657 306 657� �x y

    ສ.ວ.ສ ສະຫງວນລຂິະສດິ

  • 6�

    � ��� 2 � ��# ������������ ����� ax by c� �

    (Linear Diophantine Equations)

    � ����: ���� �������� �% "���� 10000 ��� 5-��$����(�0�-/���+* �+�'������ ���

    )�����. �$�� *�����)�������� *�'*���� 2000 ��� ��� ����)�����

    '*���� 1000 ���. 1���*��$����&������ ��+�)������(�% ��)*�� ��� +�

    )�����(�% ��'*��5-��"�� ���� ��% "���� �*�� *��.

    ��+* ����� ��-����, 1���������5-�% "����)�������� *� x ��� ���5-�% "����)�����

    �� *� y .

    %���� +*��(&&��� ������������ �� ��# ��: 2000 1000 10000� �x y �* ��� *�� ��

    # ��& ���'�* ���* � ����0 ��� �� -/+ � ��# �������+* .

    �-���*�� ��# �������+* 2000 1000 10000 0 2 10 0� � � � �x y x y ,$*5�'�����

    %� 2� �� � � � �5%# ���"* �����, �*�,$*5� (�$� 1).

    )�������*�: ���

  • 7�

    ������% "������, )�������*����*� , �x y � ��+* �5-� 2000 1000 10000� �x y

    ����%�.

    �����-�5%# ��&��� ��%�0���� ��� +*��(&���5�* ��� 1�������$�5%# ��'�* �

    ���� 5%# ��� �*�(�&��� ��%����$��*�����5. ��+* �0��� "�1�� �*�� *��� ����������%�

    ���%������+ �*����:

    1. � ��# ������������ �����

    � ��# ������������ ������� *�� ��# ����* � ��$��*�� ax by c� � �* ������5%

    # ��&��� ��# ������� *�����%���5���*�% "����1���.

    2. �� +*��(&% "����� ��� ����"��+* �5-�� ��# �� ax by c� � ��5%# ��1���

    -/ ����� 1: 5-� , ,a b c �� *����% "����1���, �* � a ��� b �"* ���* ��$������ ��. � ��

    # ������������ ����� � �ax by c %���5%# ��:

    1. �� +*� � �gcd , |�d a b c .

    2. 1���*� 0 0,x y �� *�5%# ��'�* �&�� � �ax by c , �� *�5%# ��1�����*�(�&��� ��

    %����$��*��: 0 0;� � �

    b ax x t y y td d

    ��� �t � .

    -/ �������+*��: 5-� , , �a b c � . � ��# ������������ ����� � �ax by c %��"* � �5%# ��

    1���: 1���*� � �, |� d a b c .

    ສ.ວ.ສ ສະຫງວນລຂິະສດິ

  • 8�

    3. ���� ��# ��������� "�5����-��&�

    0 ��,*�� 1. ���� ��# �� 6 9 21� �x y

    � ����: ������-� � �gcd 6,9 3� ��� �-���*� 3 | 21 ��� ���� ��# ��� �5%# ��1���.

    ��+* ���5%# ��1��� , �x y � ����%���5%# ��1��� 0 0, �x y � '�* �&��� ��# ��.

    %�� 6 9 21� �x y �� +*�-����������� 3 ����(� 2 3 7� �x y .

    ������&��&�-����������"!

    D&�� 3 (� 3 2 1 1� � �

    � �� �

    2 1 3 12 1 3 1 1

    2 7 3 7 7

    � � �

    � � � �

    � � � �

    ��� ���: 0 07 ; 7� �x y �� *�5%# ��1���'�* �&��� ��# ��. ��� ���5%# ��� �*�(��� *�:

    3 7 , 2 7 ;� � � �x k y k k � .

    1�� 5�k ����%�(� 8 ; 3� � x y �"�� *�5%# ��1���'�* ����&��� ��# ��, ...

    0 ��,*�� 2. ���� ��# �� 6 9 5� �x y

    � ���� : ������-� � �gcd 6,9 3� ��� �-���*� 3 | 5 , ��� ���� ��# ���"* � �5%# ��.

    4. ���� ��# ������ �����D��������$���

    � ���� ��� ��������* ���$���

    ����: 5-� �m � �� *�% "����1������. ���� ��� �� “������* ���$��� m ” &��

    ���% "����1��� , �a b � %�� "�� �

    ��� mod�a b m �"0"* �� +*� � �| m a b .

    0 ��,*�� 3. �) 89 25 mod 4� �����*� � �4 | 89 25 .

  • 9�

    &) 89 1 mod 4� �����*� � �4 | 89 1 .

    �) 25 1 mod 4� �����*� � �4 | 25 1 .

    �) 153 7 mod 8� �����*� � �8 | 153 7� .

    %) 24 3 mod 5� �����*� � �3 | 24 3 .

    �) 243 167 mod 7� �����*� � �7 | 243 167 .

    � ���� �������+��1��&��������� ��������* ���$���

    �) mod�a a m .

    &) 1���*� mod�a b m �� *� mod�b a m .

    �) 1���*� mod�a b m , mod�b c m �� *� mod�a c m .

    �) 1���*� mod�a b m ��� �c � , �� *� � � � � mod� � �a c b c m ;

    mod�ac b c m .

    -/ ����� 22: 5-� , , �a b c � ��� �x � %����*��� ��� ������ ��� ��������* �������

    ��$��� mod�ax c b �"0"* �� +*�� � �y � ��� � �ax by c .

    -/ ����� 3: 5-� , , �a b c � ���� ��� ��������* ���������$��� (mod)�ax c b %�

    ��5%# �� �x � �"0"* �� +*� � �gcd ,�d a b -��&� c .

    0 ��,*�� 4. % �*���-�5%# ��1���&�� 14 18 12� �x y .

    � ���� : ������-� � �gcd 14, 18 2� ��� 2 |12 . ��� ���� ��# ��� �5%# ��1���.

    ����-��� ��# �� 14 18 12� �x y 5-� 2 (�: 7 9 6� �x y .

    ສ.ວ.ສ ສະຫງວນລຂິະສດິ

  • 10�

    ���� ��# �� 7 9 6� �x y ������* �5-�������� ��# �� � �7 6 mod9�x .

    � "����#*���������"!

    D �* �0 ������&�� 7mod 9 �� *� 4 , �*�� ����� +*��$�� ��

    ��������� 4 ����(� � �24 6 mod9� �x .

    ��� ��� 6 9 6 9 , � � � � �x t x t t � , ����*����5�*� ��# ������(� 4 7 ,� �y t t � .

    -/+ � � � �, 6 9 , 4 7 ;� � �x y t t t � .

    � ���� ��# ������ �����D���������0 ���*��5)*

    0 ��,*�� 5. % �*���-�5%# ��1�����*�(�&��� ��# �� 4 13 5� �x y .

    � ����:

    ��� 1: %�� 5 13 14 13 5 1 34 4

    � � � � � �

    y yx y x y .

    ��� 1 1 4 ,4

    � � � �y t y t t � .

    %�� � �11 3 1 3 1 4 2 13 ,4

    � � � � � � � �yx y t t t t � .

    ��� ���5%# ��1�����*�(�&��� ��# ���� *� � � � �, 2 13 ,1 4 ,� � �x y t t t � .

    ��� 2: ������-���������"!

    D, �������(� 13 3 4 1� � � , � ��# ��%��������

    � �4 3 4 1 5� � � �x y ��� �� +*�% �����+�5)*(� � �4 3 1 5� � �x y y .

    ���5-� 3� �u x y (�� ��# ��5)*�� *� 4 5 5 4� � � � u y y u , ����+�5�*

    3� �u x y (� � �3 3 5 4 15 13 ,� � � � �x u y u u u u � . ��� ���5%# ��� �*�(�&��

    � ��# ���� *�: � � � �, 15 13 ; 5 4 ,� � �x y u u u � .

  • 11�

    0 ��,*�� 66. % �*����� ��# �� 9 100 1� �x y .

    � ���� :

    ��� 1: %�� 1 100 19 100 1 119 9

    � � � � � �

    y yx y x y .

    ��� 1 1 9 ,9

    � � � �y t y t t � .

    %�� � �111 11 1 9 11 100 ,9

    � � � � � � �yx y t t t t � .

    ��� ���5%# ��1�����*�(�&��� ��# ���� *� � � � �, 11 100 ,1 9 ,� � �x y t t t � .

    ��� 2: �-���*� � �gcd 9,100 1� . ��� ���� ��# ��� �5%# ��1��� x ��� y ��* ���*��5-�

    � ��# �� 9 100 1� �x y . �� +*���+�������*�&�� , �x y � 0��5%�������� ��� ��# ��

    �*�� *��, ��* ��*�: � �9 11 100 1 1� � � � ��� � �9 89 100 8 1� � � � . � �5%# ��1����"* ���

    ��. � � � �, 11,1� x y �� *�'�* �5�5%# ��1���� ��# ��. ��� ���:

    � � � �100 9, 11 ,1 11 100 ,1 9 ,1 1

    � �� � � � �� �� �

    x y k k k k k � ; -/+

    � � � �� � � �, 89 100 ,1 8 89 100 ,1 9 ,� � � � � �x y k k k k k � .

    ສ.ວ.ສ ສະຫງວນລຂິະສດິ

  • 12�

    � ��E�- �

    % �*����� ��# ��0"* (����:

    1. 1215 2755 560 �x y 2. 24 9 33 �x y

    3. 172 20 1000� �x y 4. 578 832 14932 �x y

    5. 30 14 1 �x y 6. 16 83 1 �x y

    7. 355 113 1 �x y 8. 377 233 1 �x y

    9. 30 14 6 �x y 10. 1521 623 13293� �x y

    11. 123 360 99� �x y 12. 1215 2755 560 �x y

    13. 578 832 14932 �x y 14. 41 23mod101�x

    15. 13 4mod37�x 16. 43 4mod31�x

  • 13�

    ����� 2 � �� ��, # ����� ��� ���� "�5�

    � ��� 3 � �� ��% "����

    1. ����&��� �� ��% "����

    % "���� 1 2 3, , , ... , , ...na a a a ��* &���� ��0 "��'*��*��,$* ��* �:

    1, 3, 5, 7 ... 1 1 11, , , ...2 4 6

    � �1, 1, 1, 1, 1 , ...n

    1 2 3 4, , , , , ...na a a a a

    -/+ 0 "�����* � ��&� "�� ��� *���*�% "����1������ ��+* � *� � �� ��% "����, ����%�5�� ����� �� � �na ���� �� �� 1 2 3, , , ... , , ...na a a a ����%������ 1a �� *�� ��� 1

    &�� � �na , 2a �� *�� ��� 2 &�� � �na ,..., na �� *�� ��� n -/+ � �� �*�(�&��

    � �na .

    ���������'�� �� �����-/���$���� �*�0"* (����:

    - ������&����� -/+ ��* � �� "�� ��* �: 1 1 11, , , ...2 4 6

    - ������&��� �� �*�(� ��* �: � �� �� � �na �* � 2 1na n� - ������������ �* ��� *����������&��0 "����"* 0"* ��+*�� � �na f n� ��* �:

    11na n� �

    �� � � � �

    na

    n1 2 3 4 5 60

    1

    2

    3

    4ສ.ວ

    .ສ ສະຫງວນລຂິະສດິ

  • 14�

    2. �����-�� �0*��

  • 15�

    �*�� ���, 5 � �� "��&��� �� �� � �nb �� *� 7, 34, 79, 142, 223

    0 ��,*�� 3. % �*����'� 6 � �� "��&��� �� ����* � �� �� �*�(�0"* (���� ������������.

    �. 11na n� &.

    � �1 nna �

    � ����: �. 11na n

    &.

    � �1 nna �

    ��

    � �

    na

    n1 2 3 4 5 6 7

    1

    0,20,40,60,8

    na

    n1 2 3 4 5 6

    1

    1

    �ສ.ວ.ສ ສະຫງວນລຂິະສດິ

  • 16�

    � ��E�- � 1. % �*���-� 6 � �� "��&��� �� �� � �na ��* � "�� �5-� �*���*����:

    �. � � 11 2n nna �� � &. 12na n

    � �. 2 1nnan

    �. � � 12 nna n

    � � %. 2 1nna � �.

    2 11n

    nan

    2. % �*���-� 5 � �� "��&��� �� �� � �nb ��* � "�� �5-� �*�0"* (����.

    �. 2 11, 2n n na n b a �� � � &. � �2

    2, 1n n na n b a� � �

    �. 3, 4n n na n b a� � �. � �16 , 2n

    n n na n b a �� � �

    3. % �*����'� 6 � �� "��&��� �� ����* � �� �� �*�(�������������.

    �. 21n

    an

    ��

    &. � �11n

    na n

    � � �. 2na �

    �. 2 1na n� %. 12n n

    a � �. � � 11 nna�� �

  • 17�

    � ��� 4 � �� ��������� ��� � �� �������$�

    1. � �� ��������� (� �� ��������) ����. � �� �� � �na �� *�� �� ��������� 1���*�� �% "����� ���*� d ��* 0����

    '��5-� 1 , ( 1,2,3,...)n na a d n� � � �* � d � �+* � *� "0 ������" -/+ # ��0*���*��.

    0 ��,*�� 1. 2, 4, 6, 8,...�� *�� �� ��������������*�� �0 ���������* � 2 ���� 4 2 6 4 8 6 ... 2 � � � �

    0 ��,*�� 2. 3, 5, 8, 11,...�"* �� *�� �� ��������������*��"* ����

    ��-�0 ������

    ���� 5 3 8 5 �

    2. � �� �*�(� ��� # ����� n � �� "��&��� �� ���������

    1��� "�� �5-� 1a ����� ���'�* � ��� d ����0 ��������� ��������&��� ��+* �< &��� �� ���������5��$�&�� 1a ��� d (� �*����.

    ������������������� 1 1a a� ������������������ 2 1a a d� � ������������������� � �3 2 1 1 2a a d a d d a d� � � � � � � ������������������ � �4 3 1 12 3a a d a d d a d� � � � � � � ��������������������������������������������� �

    ��

    ������

    ��� � � � �1 1 12 1n na a d a n d d a n d� � � � � � � � � !

    �*�� ���, � �� �*�(�&��� �� ����������� *� � �1 1na a n d� � 0 ��,*�� 3. 5-� � �na ����� �� ���������, �* �� ��� 5 ���* �� �� 15 ��� � ��� 36 ���* �� �� 77. % �*���-�� ��� 1 ��� # ��0*���*��&�� � �na . � ����: %�� � �1 1na a n d� � %�(� � �5 1 5 1a a d� � 115 4a d� � � ...................(1)

    ��� � �36 1 36 1a a d� � 177 35a d� � � ..................(2) ���� � �(1) 2 %�(� 62 31 2d d� � �

    ສ.ວ.ສ ສະຫງວນລຂິະສດິ

  • 18�

    ���� 2d � ���5�* (1) (�: � �1 1 115 4 2 15 8 7a a a� � � � � � �

    �*�� ���, ����(� 1 7a � ��� 2d � .

    5-� nS ����# �����&�� n � �� "��&��� �� �����������* � � 1a ����� ���

    '�* � ��� d ����# ��0*���*�� %�(�: 1 2 3 ...n nS a a a a� � � � �

    � � � � � �1 1 1 1... 2 1nS a a d a n d a n d� � � � � � � � � � � � ! ! ...................(3)

    -/+ � � � � � �1 1 1 11 2 ...nS a n d a n d a d a� � � � � � � �� � � � ! ! ...................(4)

    ���� � �(3) 4� %�(�: � �12 2 1nS n a n d� � � � ! � �12 12nnS a n d� � � � � !

    ���� ���, �$# ����� n � �� "��&��� �� ����������� *�

    � �12 12nnS a n d� � � � ! � -/+ � �12n n

    nS a a� �

    0 ��,*�� 4. % �*���# �����&�� 25 � �� "��&��� �� ��������� 2, 8, 14, 20,... ��

    � ����: %��� �� ��������� 2, 8, 14, 20, ... ������ � 1 2a � ��� 6d �

    %���$ � �12 12nnS a n d� � � � !

    %�(� � � � �� �2525 2 2 25 1 62

    S � � � � ! � �25 2 24 3� �� � ! � �25 74 1850� �

    -/+ %���$ � �12n nnS a a� �

    %�(� � �25 1 25252

    S a a� � �0*�*� � �25 1 25 1 2 24(6) 146a a d� � � � �

    �����*� � � � �2525 2 146 25 74 18502

    S � � � � �*�� ���, 25 1850S �

    0 ��,*�� 5. % �*���-�# ����� n � �� "��&��� �� ��������� 3, 7, 11, 15, ... �

    � ����: %�� � �� ��������� 3, 7, 11, 15, ... ����� � 1 3a � ��� 4d �

    %��$ � �12 12nnS a n d� � � � !

    %�(� � � � �2 3 4 12nnS d� � � � ! " #6 4 42

    n n� " #4 22n n� � 22n n� �

  • 19�

    )���-: 1���*� , ,a b c ����� �� ��������� %�(�: 2a cb �� .

    0 ��,*�� 6. 5-� , ,a b c ����&���&���$�����%���, �* � .a b c� � % �*���-�

    � �0��*��� ��� �� : : .a b c

    � ����: %�� 2b a c� � ��� 2 2 2a b c� � (� 2

    2 2

    2a ca c�� �� �� �

    � �

    � �� �2 2 3 45 2 3 0 5 3 0 ,5 5

    a ac c a c a c a c b c� � � � � � � � �

    ��3 4: : : : 3 : 4 : 5.5 5

    a b c c c c� � �

    ����*�(���* �� ����� ��# ����������+* ��)�� $ ��� �*���*� ��� ��* �: 1 1 3

    1

    ...n

    k nka a a a a

    � � � � �$

    0 ��,*�� 7. 5

    11. 1 2 3 4 5 15

    kk

    � � � � � �$

    4

    1

    2. (2 1) 1 3 5 7 16k

    k�

    � � � � �$

    4

    1

    1 1 1 1 1 253.1 2 3 4 12k k�

    � � � � �$

    �$# ������+��1��:

    �. � �1

    1 2 3 ... 12

    n

    k

    nn k n�

    � � � � � � �$

    &. � �� �2 2 2 2 21

    1 2 3 ... 1 2 16

    n

    k

    nn k n n�

    � � � � � � � �$

    �. � �2

    3 3 3 3 3

    1

    1 2 3 ... 12

    n

    k

    nn k n�

    � �� � � � � � �% & !$

    ���� ������&�� $ �� �*�����+: �.

    1

    n

    kc nc

    �$ �� +*� c ����% "����� ���*�.

    &. 1 1

    n n

    k kk kca c a

    � �

    �$ $ �. � �1 1 1

    n n n

    k k k kk k ka b a b

    � � �

    � � �$ $ $

    ສ.ວ.ສ ສະຫງວນລຂິະສດິ

  • 20�

    0 ��,*�� 8. % �*�� "���� �. � �10

    2

    1

    6 4 5k

    k k�

    �$ &. � �10

    2

    1

    1kk k

    �$

    � ����: �. � �10 10 10 10

    2 2

    1 1 1 1

    6 4 5 6 4 5k k k k

    k k k k� � � �

    � � �$ $ $ $

    ��������������������������������������������������������� � �� � � �10 106 10 1 2(10) 1 4 10 1 5(10)2 2

    � � � �� � � � �% & % & ! !

    ��������������������������������������������������������� � �� �� � � �� �10 11 21 4 10 11 50 2140� � �

    &. � � � � � �210 10 10

    2 3

    1 1 1

    10 101 10 1 10 1 30802 2k k k

    k k k k� � �

    � �� � � � � � � �% & !$ $ $

    � ��E�- � 1

    1. 5-�� �� ���������, �* �� �� ��� 42 ���* �� �� 95 ��� 0 ������������* �� �� 52

    . % �*���-�� �� �*�(� ��� � ��� 54 &��� �� �����.

    2. 5-�� �� ���������, �* �� �� ��� 4 ���* �� �� 18 ��� � ��� 7 ���* �� �� 16 .

    % �*���-�0 ��������� ��� � ��� 1 &��� �� �����.

    3. 5-�� �� ����������+ 5, 12, 19, 26, ..., 670 % �*���-��*�� �� ������ �% ��� �

    ��� # ��������* �� �����* �5.

    4. ��� 3 % "�������� ������� �� ��������� 1��# �����&�����% "����������* �

    � �� 24 ��� # ������ "�� �����&���0*��� ����* �� �� 242 ���� # �����

    &��# ��� "�� ��� � ���������*�� �����* �5.

    5. % �*���-��*�&�� x ��+* �5-� 4 81, log 5, log x ����� �� ���������.

  • 21�

    6. 5-�� �� ���������, �* �� �# ����� 10 � �� "�����* �� �� 100 ��� # �����

    100 � �� "�����* �� �� 10 . % �*���-�# ����� 110 � �� "�����* �� �����* �5.

    7. 5-� 1 2 3 13, , , ...,a a a a ����� �� �����������* � �# ��0*���*�����* � 14 ���

    7 183a � . % �*���-� 1 2 3 13...a a a a� � � � ���* �� �����* �5.

    8. % �*���-�# �����&�� m n� � �� "��&��� �� ���������'�* �, �* �5�� ���

    � ��� m ���* �� �� n ��� � ��� n ���* �� �� m .

    9. % �*���$�*� 1��% "���� 1 1 1, ,b c c a b a� � �

    ���������� �� ���������'�* �,

    �� *�% "���� 2 2 2, ,a b c �"*����� �� �����������* �� ��.

    10. % �*�� "����

    �. 20

    1

    3k

    k�$ &. � �� �

    1

    2 1 1n

    kk k

    �$

    �. � �10

    3 2

    1

    9 18kk k k

    � �$ �. � �1

    2 1n

    kk

    $

    11. 5-� a ��� b � ���*� 1�� � �7

    1

    4 63kak b

    � � �$ ��� � �10

    1

    8 65kbk a

    � � � $

    �����*�&�� a ��� b ���* �� �����* �5.

    12. % �*�� �% ���# ������

    �. � �1

    11

    n

    k k k� �$ &.

    1

    11

    n

    k k k� � �$ �. � �� �1

    11 2

    n

    k k k k� � �$

    ສ.ວ.ສ ສະຫງວນລຂິະສດິ

  • 22�

    3. � �� �������$� (� �� ����&����) ����. � �� �� � �na �� *�� �� �������$� 1���*�� �% "����� ���*� r ��* 0����'��

    5-� 1 , ( 1,2,3,...)nn

    a r na

    � � � �* � r � �+* � *� "0 �������$�".

    0 ��,*�� 9. 3, 6, 12, ...�� *�� �� �������$������*�� �0 ���������* � 2 ����

    6 12 ... 23 6

    � � �

    0 ��,*�� 10. 2, 4, 12, ...�"* �� *�� �� �������$������*��"* ����

    ��-�0 ������

    ���� 4 122 4

    4. � �� �*�(� ��� # ����� n � �� "��&��� �� �������$�

    1��� "�� �5-� 1a ����� ���'�* � ��� r ����0 �������$� ��������&��� � �+* �< &��� �� ���������5��$�&�� 1a ��� r (� �*����

    %�� 1nn

    a ra

    � �

    1 1a a� 2 1a a r� � � 23 2 1 1a a r a r r a r� � � � �2 34 3 1 1a a r a r r a r� � � �

    ��

    � �2 1

    1 1 1n n

    n na a r a r r a r

    � � �

    �*�� ���, � �� �*�(�&��� �� �������$��� *� 11 nna a r �

    0 ��,*�� 11. % �*���-�� ��� n (� �� �*�(�) ��� � ��� 10 &��� �� ��0"* (����.

    �. 3, 9, 27, 81, ... &. 3 , 3, 12, 48, ...4

    � ����:

  • 23�

    �. %�� 3, 9, 27, 81, ... ����� � 1 3a � ��� 9 27 81 33 9 27

    � � �

    �����*������ �� �������$���* � � 3r � ��� 1 3a � �%���$ 11 nna a r � �%�(� � � � � � �

    1 13 3 3 3 3 3n n nna

    � � �

    �*�� ���, � �� �*�(��� *� 3nna � ��� � ��� 10 �� *� 1010 3 59049a � � .

    &. 3 , 3, 12, 48, ...4

    ����� � 134

    a � ��� 3 12 48 43 4 3 12

    � � �

    �����*������ �� �������$���* � � 4r �

    %���$ 11 nna a r � %�(� � � � � � � � �1 13 3 34 4 4 4

    4 4 16n n n

    na

    � � �

    �*�� ���, � �� �*�(��� *� � �3 416n

    na � ��� � ��� 10 �� *�

    � �10103 4 196608

    16a � � .

    0 ��,*�� 12. 5-� � �na �� *�� �� �������$�. % �*���-�� ��� 1 ��� 0 �������$�.

    �. 2 5165,27

    a a� � &. 1 4 2 37, 3a a a a� � � � �� +*� 1 1a �

    � ����:

    �. %���$$ 11 nna a r � ����� � 2

    5

    51627

    a

    a

    �'()

    �(*

    1

    41

    5 ........(5)16 .......(6)27

    a r

    a r

    �'(� )

    �(*

    ���� � � � �6 5� %�(� � �41

    1

    16 272

    a ra r

    � 3 38 8 227 27 3

    r r� � � � �

    ����*� r 5�* � �5 %�(� 12 53

    a � � �� �� �

    1152

    a� �

    �*�� ���, 0 �������� *� 23 ��� � ��� 1 �� *��� 3 .

    &. %���$$ 11 nna a r � ����� � 1 4

    2 3

    73

    a aa a

    � �') � �*

    31 1

    21 1

    7 ........(7)

    3 ........(8)

    a a ra r a r

    ' � �(� )� �(*

    ສ.ວ.ສ ສະຫງວນລຂິະສດິ

  • 24�

    ���� � � � �7 8� %�(� � �� �

    31

    1

    1 71 3

    a ra r r

    ��

    � �� �� �

    21 1 71 3

    r r rr r

    � �� �

    � �� �23 10 3 0 3 1 3 0r r r r � � � � 1 , 33

    r� �

    �� +*� 13

    r � ����*�5�* � �7 %�(� 1 11 271 727 4

    a a� �� � � �� �� �

    �� +*� 3r � ����*�5�* � �7 %�(� � �1 111 27 74

    a a� � � �

    �*�� ���, %�� 1 1a � 0 �������� *� 13 ��� � ��� 1 �� *�

    274

    .

    5-� nS ����# �����&�� n � �� "��&��� �� �������$���* � � 1a ����� �

    ��'�* � ��� r ����0 ������%�(�: 1 2 3 ...n nS a a a a� � � � �

    2 1

    1 1 1 1...n

    nS a a r a r a r

    � � � � � ...................(9)

    2 3

    1 1 1 1...n

    nrS a r a r a r a r� � � � � ...................(10)

    ���� � �(9) 10 %�(�: 1 1 nn nS rS a a r � � �1 11

    n

    n

    a rS

    r

    � �

    �� +*� 1r �

    ���� ���, �$# ����� n � �� "��&��� �� �������$��� *�

    � �1 11

    n

    n

    a rS

    r

    � -/+ 11

    nn

    a a rS

    r

    �� +*� 1r �

    0 ��,*�� 13. % �*���-�# �����&��� �� �������$�0"* (����.

    �. � ��� 1 ���* �� �� 4 ��� 0 ���������* �� �� 3

    &. � ��� 1 ���* �� �� 3 ��� 0 ���������* �� �� 12

    � ����:

    �. %���$ � � � �

    � �11 4 1 3

    2 3 2.1 1 3

    n nn

    n

    a rS

    r

    � � �

    &. %���$ � � � �� �1

    1

    3 1 1 21 1 36 1 6 .1 1 1 2 2 2

    nn

    n n n

    a rS

    r

    � �� � � � � � � �

  • 25�

    0 ��,*�� 14. 5-� � �na ����� �� �������$���* � �

    3 536, 324a a� � % �*���-� 1 ,a r ��� 5S .

    � ����: 35

    36324

    aa

    �') �*

    2

    14

    1

    36 ..................(11)

    324 ..................(12)

    a ra r

    ' �(� )�(*

    ���� (12) (11)� : 4

    212

    1

    324 9 336

    a rr r

    a r� � � � � �

    %�� (11) (� � �21 13 36 4a a� � �

    �� +*� � �4

    5

    4 1 33 244

    1 3r S

    � � !� � � �

    �� +*� � �4

    5

    4 1 33 484

    1 3r S

    � � � �

    0 ��,*�� 15. 5-� � �na ����� �� �������$���* � � 3 69 7S S� � . % �*���-� 1a ��� r

    � ����:

    %�� � � � � � �3 6

    1 1 3 63 6

    1 19 9 9 1 1

    1 1a r a r

    S S r rr r

    � � � � �

    � � � �� �3 3 3 39 1 1 1 1 9 2r r r r r � � � � � � �

    %�� � �31

    3 1

    1 2 19 7 9 7 .1 2 9

    aS a

    � � � � �

    5. # �����&��� �� �������$��"* ����� ��* � � 1r � .

    # �����&��� �� �������$��"* �����: 1 2 31

    ... ...k nk

    S a a a a a+

    +�

    � � � � � � �$

    %�� � �1 11

    n

    n

    a rS

    r

    ��� 1r � ����� ���� 3 �"���� �*����:

    1�� 1r � ��� n, + �� *� 0nr ,

    1�� 1r � ��� n, + �� *� nr , +

    1�� 1r � ��� n, + �"* ����

    ���*�&���� nr (�

    ສ.ວ.ສ ສະຫງວນລຂິະສດິ

  • 26�

    �*�� ���,�

    1

    1a

    Sr+

    � �� +*� 1r �

    0 ��,*�� 16. % �*���-�# �����&��� �� �������$��"* �����0"* (����.

    �. 14 8 16 22 ... 2 ...

    3 9 27 3

    n

    � �� � � � � �� �� �

    &. 19 27 38 6 ... 8 ...

    2 8 4

    n

    � �� � � � � �� �� �

    � ����:

    �. � �� ����* 5-�������� �� �������$��"* �������* � � 1 2a � ��� 23

    r �

    %���$ 11a

    Sr+

    � ��� 1r � %�(� 2 6

    213

    S+ � �

    �*�� ���, 14 8 16 22 ... 2 ... 6

    3 9 27 3

    n

    S

    +� �� � � � � � � �� �� �

    &. %��� ������* 5-����-���*������ �� �������$��"* �������* � � 1 8a � ��� 34

    r �

    %���$ 11a

    Sr+

    � ��� 1r � %�(� 8 32

    314

    S+ � �

    �*�� ���, 19 27 38 6 ... 8 ... 32

    2 8 4

    n

    S

    +� �� � � � � � � �� �� �

    1���*� 1 2 3, , ,..., ,...na a a a ����� �� ��������� ��� 1 2 3, , ,..., ,...nb b b b

    ����� �� �������$�. ��������

    ��# �����&��� �� ��5��$��*�� 31 2

    1 2 3

    ...aa aSb b b+

    � � � �

    5������-�# ����� �*�� *�����������0� �0��& ���0��0"* (����. �. � "�����0 ������ r &��� �� �������$�-����������+���&�� S+ .

    &. � "������ �� ����* (�%��&"� �. ��� ��5-�# �������* ������-� ����%�(�� ��

    �������$�.

  • 27�

    0 ��,*�� 17. % �*���-� 1 5 9 13 ...2 4 8 16� � � �

    � ����: ���

    1 5 9 13 ... ....................(1)2 4 8 16

    S � � � � �

    �$� 125�* (1)

    1 1 5 9 13 ... ....................(2)2 4 8 16 32S � � � � �

    ���� (1)–(2):

    1 1 4 4 4 1 1 1... 1 ...2 2 4 8 16 2 2 4S � � � � � � � � � �

    11 1 32

    12 2 212

    S � � �

    3S � )���-: 1���*� , ,a b c ����� �� �������$� %�(�: 2b ac� .

    0 ��,*�� 18. % �*���-� ,x y ��+* �5-� 2, ,x y ����� �� ��������� ���

    , , 9x y ����� �� �������$�

    � ����:

    %�� 2, ,x y ����� �� ����������� +*� 2 2x y� � .................(1)

    ��� , , 9x y ����� �� �������$��� +*� 2 9y x� .................(2)

    ���� (1) ���5� (2) (�: � �22 2 9x x � 24 17 4 0x x� � �

    1 , 44

    x� � �*�� ���, �� +*� 1 34 2

    x y� � � ��� 4 6x y� � � .

    ສ.ວ.ສ ສະຫງວນລຂິະສດິ

  • 28�

    � ��E�- � 2

    1. 5-�� �� �������$�, �* �� �� ��� 3 ���* �� �� 23 ��� 0 �������$����* �� �� 1

    3 % �*�

    ��-�� ��� 7 &��� �� �����.

    2. 5-�� �� �������$�, �* �� �� ��� 7 ���* �� �� 1

    1458 ��� � ��� 3 ���* �� �� 1

    18

    % �*���-�0 �������$�&��� �� �����. 3. % �*���-���* % "����� ��5�*-�*��% "����160��� 5 ��+* ����������� �� �������$�. 4. % �*���$�*� 1��� ����% "�������������� �� ��������� ��� ����� �� ������

    �$� �� *����% "����� ���0������* �� ��. 5. % �*���-��*�&�� , ,a b c ��+* �5-� , , 2, , 18a b c ����� �� �������$�.

    6. % �*��� ac ��+* �5-�

    1 2 1, ,a b c

    ����� �� �������$� ��� , , 3a b c ����� ��

    ���������.

    7. 5-���* % "��������� �� �������$�. 1���*�# ���$�&����* % "����������* � 1

    16 ��� � �

    ��������*����* �� �� 1. % �*���-���* % "���� �*�� *��.

    8. % �*���-�# �����&��� �� ���"* �����0"* (����.

    �. 10 20 405 ....3 9 27

    � � &. 0,14 0,014 0,0014 ....� � �

    �. 1 2 3 4 ....3 9 27 81� � � � �. 1 1 1 1lg 2 lg 4 lg8 lg16 ...

    4 8 16 32� � � �

    %. 2 3 45 12 22 351 ....3 3 3 3

    � � � � � �. 84ln ln ln ln ...a a a a� � � �

    9. 5-�� �� �������$�����"* ����� � ���������* �� �� 4 ��� � �# ��������* �� �� 16. % �*���-�# �����&������ �� "��.

    10. 5-�� �� �������$� 3, , 2a a a� ��* � �0 �������$� �� *� r .

    % �*��� 11

    n

    nar

    +

    �$ .

    11. 1���*� , , ,a b c d ���������� �� �������$�. % �*���$�*� � � � � � � � �

    2 2 2 2b c c a d b a d � � � .

  • 29�

    6. � �� ����* � �# ��� ������� �� ��������� -/+ � �� �������$�. 5-�� �� �� � � 1 2 3 1: , , , ..., , , .....n n na a a a a a � ��� � � 1 2 3 1: , , , ..., , , .....n n nb b b b b b �

    �* ��*�

    1 2 1b a a� 2 3 2b a a�

    3 4 3b a a�

    ���

    1 1n n nb a a � �� +*����G��0"* G���&���� ������(�:

    1 2 3 1 1.... n nb b b b a a� � � � � . �*�� ���, �� +*�� �nb ����� �� ��������� -/+ � �� ��

    �����$� �� *�����

    ��-� 1 2 3 1.... nb b b b � � � � ��� na (�.

    �* � 1

    11

    n

    n kk

    a a b

    � �$

    0 ��,*�� 19. ��� "�5� � �nb , �* � 1n n nb a a��

    % �*���-�� �� �*�(�&��� �� ����*����

    �. � � : 1, 2, 5, 10, 17, 26, ...na &.� � : 4, 5, 7, 11, 19, 35, ...na � ����: �. � � : 1, 2, 5, 10, 17, 26, ...na ����� �

    1 2 1 2 1 1b a a� � � 2 3 2 5 2 3b a a� � �

    3 4 3 10 5 5b a a� � �

    ���

    � � : 1, 3, 5, 7, 9, 11, ...nb �-���*� � � : 1, 3, 5, 7, 9, 11, ...nb ����� �� �����������* � �0 ���������* � 2

    ສ.ວ.ສ ສະຫງວນລຂິະສດິ

  • 30�

    %�(� � �1 2 1 2 1nb n n� � � ��� ���, 1 1

    11 1

    1 (2 1)n n

    n kk k

    a a b k

    � �

    � � � � $ $

    � �21 2 31 1 2 2.

    2nna n n n� � � � �

    &. � � : 4, 5, 7, 11, 19, 35, ...na

    ����� � 1 2 1 5 4 1b a a� � �

    2 3 2 7 5 2b a a� � �

    3 4 3 11 7 4b a a� � �

    ���

    � � : 1, 2, 4, 8, 16, ...nb �-���*� � � : 1, 2, 4, 8, 16, ...nb ����� �� �������$���* � �0 ���������* � 2

    %�(� 12nnb � ��� ���, 1 1

    11

    1 11 2

    n nk

    n kk k

    a a b

    � �

    � � � �$ $

    111 24 2 3.

    1 2

    nn

    na

    � � � �

    7. � �� �� 1 , 1nna pa q p� � � � .

    &�� 1 , 1n na pa q q� � � � 5��$��*�� � �1 ,n na p a- -� � � �* � 1qp

    - �

    ��� n nb a -� (��*� 1n nb pb� � �* ������ �� �������$�

    �*�� ���, 11 nnb b p � � ����+, � � 11 nna a p- -

    � .

    ����������� � � 11 , 1n

    nqa a pp

    - - -� � �

    0 ��,*�� 20. % �*���-�� �� �*�(�&��� �� ��0"* (����. �. 1 13, 2 5n na a a�� � &. 1 11, 2 1n na a a n�� � �

    �. 1 11, 3 2n

    nn

    aa a

    a�� �

  • 31�

    � ����:

    �. %�� 1 2 5n na a� � ����� � 2, 5p q� � (� 5 5

    1 1 2qp

    - � � �

    �*�� ��� %�� � � 1 11 (3 5)2 5 2 5n n nna a p- - � � � � � � &. %�� 1 2 1n na a n� � � ����� � 2 12n na a n� �� � .......................(1) ��������������������� 1 2 1n na a n� � � .......................(2)

    ���� (1) (2) (�: � �2 1 12 1n n n na a a a� � � � � ��� 1n n nb a a�� (� 1 1 2 1 1 1 12 1, 2 1n nb b b a a a a a� � � � � � �

    %�����(� 12, 1 1

    1 2p q -� � � � �

    (� � � 11 1 2 1 2 1n nnb � � �

    ��� ���, 1 2 1nn na a� �

    �*�� ���, � � � � � �11

    11

    2 2 12 1 1 1 2

    2 1

    nnk n

    nk

    a a n n

    � � � � �

    $

    �. %�� 1 3 2n

    nn

    aa

    a��

    1

    3 21 2 3nn n n

    aa a a�

    �� � � �

    ��� 1nn

    ba

    � (� 1 12 3, 1n nb b b� � � � %�����(� 2, 3p q� � �

    ��������3 3

    1 2-� � �

    ��� ���, � � 1 11 3 2 3 2 3n nnb �� � � (� 1

    1 2 3nna

    ��

    �*�� ���, 11

    2 3n na ��

    .

    ສ.ວ.ສ ສະຫງວນລຂິະສດິ

  • 32�

    � ��E�- � 3 1. % �*���-� � �nb , �* � 1 1n n nb a a� �� %��� �����-�� �� �*�(�&�� � �na

    ��* � "�� �5-� �*�0"* (����.

    �. � � : 1, 3, 6, 10, 15, ...na &. � � : 2, 8, 18, 32, 50, ...na �. � � : 1, 3, 14, 15, 23, ...na �. � � : 3, 5, 9, 17, 33, ...na %. � � : 7, 19, 37, 61, 91, ...na �. � � : 1, 3, 7, 15, 31, ...na

    2. % �*���-�� �� �*�(�&��� �� ���* � 1, 2, 3, ...n � .

    �. 1 13, 2 3n na a a�� � &. 1 13, 3 n na a a�� �

    �. � �1 11

    0, 12n n

    n na a a�

    �� � � �. 1

    1

    12 1 3,3 2n n

    a na a�

    � � �

    %. 1 17, 3 12n na a a�� � � �. 1 11, 5 3 2n na a a n�� � �

    . 1 11, 2 2nn na a a�� � � �. 21 15, 8n na a a�� �

    . 1 11 ,6 6 7

    nn

    n

    aa a

    a�� �

    � 0. 5 2n nS n a� � �

  • 33�

    � ��� 5 &���& ��� ���% ���&��� �� ��

    1. &���&&��� �� �� &���&&��� �� ��%�5���+* ��%������*�� ��� � �nn a &��� �� ���"* �����

    �� +*� n � ��*�5-�*&������"* � ������ � �n, + .

    1.1 1�� n, + �������5-��*� na &��� �� ���&���5� � -/+ ���* �� ��% "����%� L

    ���% "���������* �� ���, ��������� L �*� ""&���&&��� �� ��" �* �� ����� ��

    ��� lim nn a L,+ � .

    1.2 � �� ���"* ����� na ��* � �&���& ������*� ""� �� ��% ���".

    0 ��,*�� 1. � �� �� 1

    na n�

    ����� �� ��% ��� �����*�

    1lim lim 0nn na n,+ ,+� �

    1.3 � �� �� na ��* �"* � �&���& -/+ lim nn a,+ � + ������*� ""� �� ��-��".

    � � � �

    ��

    �na

    n

    L

    na

    n�

    ��

    ສ.ວ.ສ ສະຫງວນລຂິະສດິ

  • 34�

    0 ��,*�� 2.

    �. � �� �� � � 11 nna��

    ����� �� ��-�� �����*� � � 1lim lim 1 nnn na

    ,+ ,+� �"* � �&���&

    &. � �� �� 1na n� � ����� �� ��-�� �����*� � �lim lim 1nn na n,+ ,+� � � +

    -/ �����&��&���&&��� �� ����* % "�����0���%+*5-�(�.

    5-� c ����% "����� ���*�, ,k n�� , lim nn a L,+ � ��� lim nn b M,+ � %�(�:

    1. limnc c

    ,+�

    2. lim nn ca cL,+ �

    3. � �lim lim limn n n nn n na b a b L M,+ ,+ ,+� � � � �

    4. � �lim lim limn n n nn n na b a b L M,+ ,+ ,+� � � � �

    5. lim

    limlim

    nn n

    nn nn

    aa Lb b M

    ,+

    ,+,+

    � � �� +*� 0M �

    6. � � � �lim lim kk kn nn na a L,+ ,+� � 7. lim lim kk kn nn na a L,+ ,+� �

    8. lim limn nn na a L,+ ,+� �

    9. lim knn

    ,+� +

    10. lim 0kncn,+

    11. 1�� � �limn

    f n,+

    � + -/+ � �limn

    f n,+

    � + ���� � �lim 0n

    cf n,+

    12. 1�� � �lim 0n

    f n,+

    � ��� � �lim , 0ng n c c

    ,+� � ����

    � �� �

    limn

    g nf n,+

    �"* � �&���&

    13. 1�� 1c � ���� lim 0nnc

    ,+� , 1�� 1c � ���� lim n

    nc

    ,+ �"* � �&���& ��� 1��

    1c � ���� lim nnc

    ,+� + .

  • 35�

    0 ��,*�� 3. % �*�� "����&���&0"* (����.

    �. 5 3lim1 4nnn,+

    &. 24 3lim

    5 1nnn,+

    �. 1

    1

    2 3 4lim2 5 3

    n

    nn

    ,+

    �. � �2lim 1n n n,+ � � ����:

    �.

    3 15 lim5 3lim5 3 5 3(0) 5lim lim1 11 4 0 4 44 lim lim 4

    n n

    n n

    n n

    n n nn

    n n

    ,+ ,+

    ,+ ,+

    ,+ ,+

    � �� �� � � �

    &. 2 2 2

    3 14 lim 4 3lim 4 3(0)4 3 2lim lim .1 15 1 5 0 55 lim5 lim

    n n

    n n

    n n

    n n nn

    n n

    ,+ ,+

    ,+ ,+

    ,+ ,+

    � � ��� � � �

    �. 1

    1

    1 16 4 lim 6 4 lim2 3 4 6 3 4 3 3lim lim lim

    52 5 3 1 5 1 52 3 2 2 lim lim3 3 3 3 3

    n n

    n n n n

    n n nn n nn

    n n

    � ,+ ,+

    ,+ ,+ ,+

    ,+ ,+

    � � � � � � � �� � � � � �� � �

    � � � � � � � � � �

    � � � �

    �������������������������������������

    ��������

    6 4(0) 6 0 125 5 52(0) 02 2

    � � �

    �. � � � �� �� �2 2

    2 22

    22

    1 1 1lim 1 lim lim11n n n

    n n n n n nn nn nn n,+ ,+ ,+

    � � � �

    � � �

    � �� �

    ��������������������������������������2

    2

    11lim lim

    11 1 1n n

    nn n

    n

    ,+ ,+� �

    � � � � 2

    1lim

    1lim1 lim lim1

    n

    n n n

    n

    n

    ,+

    ,+ ,+ ,+

    �� �

    ��

    ����������������������������������������0 0

    1 0 1� �

    � �

    ສ.ວ.ສ ສະຫງວນລຂິະສດິ

  • 36�

    -/ �����: ���1+�'������ ���

    �� +*� n n na b c� � , 1�� lim nn a L,+ � ��� lim nn c L,+ � ����(� lim nn b L,+ �

    0 ��,*�� . % �*�� "���� �. � �1 1lim

    n

    n n,+�

    &. coslimn

    nn,+

    .

    � ����:

    �. � ���*� � �1 1 1n � � � �0 1 1 2n� � � � ��� � �1 10 2n

    n n n�

    � �

    ��+*��%�� 0lim 0n n,+

    � ��� 2lim 0n n,+

    � �����*� � �1 1

    lim 0n

    n n,+�

    &. � ���*� 1 cos 1n � � ��� 1 cos 1nn n n

    � �

    ��+*��%�� 1lim 0n n,+

    � ��� 1lim 0

    n n,+� �����*�

    coslim 0n

    nn,+

  • 37�

    � ��E�- �

    1. % �*���������% ���&��� �� ��0"* (����.

    �. � �3 0.5 nna � � &. 1 21 2n

    nan

    �. 21nna

    n�

    � �. 2 5na n n n� �

    %. 2 2 1

    1nn nan

    �. 3sin

    nnan

    . � �11n

    na n

    � � �. 2

    1

    1na

    n n�

    . 2cos

    2n nna �

    2. % �*�� "����&���&0"* (����.

    �. 23 5lim

    6 3 1nn

    n n,+

    &.

    2

    2 1lim8 2nnn,+�

    �. � �lim 1n

    n n,+

    � �.

    823

    2

    2 3lim5 3nn nn n,+�

    %. 2

    2

    3 5lim5 2 6nn nn n,+

    �. � �

    11 3

    243

    1 (3 )lim

    5n

    n n

    n n

    ,+

    . 15 3lim

    5 2

    n

    nn

    ,+

    �. 2 5lim5

    x

    xx,+

    . 1

    1

    5 2 4lim3 2 3

    n

    nn

    ,+

    � �

    0. sinlim 2n

    nn,+

    � ��� �� �

    1. � �1 2lim3

    n

    n n,+

    �. � � 1lim 1 sinnn n,+

    � � � �� �

    �. 7 3lim5 9

    n n

    nn,+

    �. 3 2 3 6 5lim5 3 7 3

    n n n

    n nn,+

    � � �� �

    ສ.ວ.ສ ສະຫງວນລຂິະສດິ

  • 38�

    �. coslim 4n

    nn,+

    � ��� �

    � �

    3. 1�� 4 3 95

    n

    na n� �� � � �� �

    , n �� % �*���-� lim nn a,+ .

    4. 1�� 2

    2

    2 4 34lnn

    n nan n

    , n �� % �*���-� lim nn a,+ .

    5. % �*���-� lim nn a,+ �* ��*�

    �. 2 2 2 21 2 3 ... .n

    nan n n n

    � � � � �

    &. � �2 2 2 21 2 3 ..

    1 2 3 ...nn n

    an

    � � � ��

    � � � �

    �. � �2 2 2 233 1 2 3 ...na nn

    � �� � � � �� �� �

  • 39�

    � ��� 6 ���� "�5�� �� ��% "����

    � �� ��������� ��� � �� �������$��* �����(����������5�� ��� 4 5�� ��������%�����1����� "�5��&���5�0 ��%�� *��� ��� �������0*��

  • 40�

    � ����:

    �. �$��*�&����+* ��% ���+* ��� ������ 150 000 ��� �*�� ���, %�*�(�� �� ���$��*�&��

    ��+* ��% ����� � � � �1 700 000 150 000, 1 700 000 2 150 000 , 1 700 000 3 150 000 , ...

    -/+ 1 550 000, 1 400 000, 1 250 000, ...

    � �� ���������� �� �����������* � � 1 1 550 000a � ��� 150 000d � . �*�� ���, � �

    � �*�(� -/+ �$��*�&����+* ��% ����� -/ ��%�����5�������� n �� �� *�:

    � � � �1 1 1 550 000 150 000 1 1 700 000 150 000nT a n d n n� � � �

    &. �� +*��"�� �&����+* ��% �����5����� 200 000 ��� �����*� 200 000nT �

    %��&"� �. 1 700 000 150 000nT n�

    1 700 000 150 000 200 000n �

    150 000 1 700 000 200 000 1 500 000 10n n� � � � .

    �*�� ���, ����&����+* ��% ������� *� 10 ��.

    2. ������

    �������� *� % "������ ���* (�� ��# ��0�����%�����5����-�%���� �� ��� 0��(���������* � "�� �.

    1. ������E����� "�� �

    � �������������� �% "���� P ��� (�E��������� 5�� �0������� %r

    0"* �� ��� ���, 5� 1 ��%�(������� 100rI P � �� � �

    � �. 1���*�����������"* ��������� �

    E�� -/+ E����� "�� � ������0"*

  • 41�

    0 ��,*�� 3. �� +*����������� �% "���� 3 000 000 ��� (�E��������������� "�� �

    ���� �0������� 12% 0"* ��. % �*�&���$�(�*% "������ �5�� ����� +*�E��

    (� n �� ��� �(�*% "������ �5�� ���-/ ��%��E��(� 10 ��.

    � ����: ����� � 3 000 000P � ��� 12%r � (� 123 000 000 360 000

    100I � �� �� �

    � �.

    �*�� ���, �$�(�*% "������ �5�� ��� n �� �� *�: 3 000 000 360 000nA n� �

    ��� % "������ �5�� ���-/ ��%��E��(� 10 �� *�:

    � �10 3 000 000 360 000 10 6 600 000A � � � ���.

    2. ������E����,�

    � �������������� �% "���� P ��� (�E��������� 5�� �0������� %r

    0"* �� ��� ��� 5� 1 ��%�(������� 100rI P � �� � �

    � �. 1���*������������������� �E��

    -/+ E����,� ������0"*

  • 42�

    0 ��,*�� 4. ��� "������� �(�E���������% "���� 4 000 000 ��� 5�� ����� �

    E����,�, � �0���������* (�� ��%��������� 6% 0"* �� �� +*�E��� �� 5

    �� ���%�(�� ���� �� ��) ����* �5?

    � ����: ����� � 4 000 000P � , 6% 0,06i � � 0"* ��, 5n � ��

    %�� � �1 nnA P i� � (� � �5

    5 4000000 1 0,06 4000000 1,3382 5352800A � � � � �

    ���. �*�� ���, ��� "�%�(�� ���� � 5 352 800 ��� �� +*�E��� �� 5 �� %���� �0 ���

    4 000 000 ���.

    1������(�*������5�'�* ���� �-/����*� 1 � �����* �: �

    ���������< 3 �+��

    -/+ �

    ���������< 6 �+�� ����0 ���. ����� "������5��$

    �*����.

    1mn

    niA Pm

    � �� �� �� �

    �* � m % "����� �����* �(�*������5�'�* ���, im ��������* (�� ��5��0*����.

    0 ��,*�� 5. ����������� �% "���� 4 000 000 ��� (�E����,� � "��������

    5�� �0���������,� 6% 0"* ��. �* �1���������(�*���������< 6

    �+��. 1���*��� +*�E��� �� 5 �� ���%�����5�� ����� �E�����* �5?

    � ����: ����� � 4 000 000P � , 6 0,06

    100i � � , 2m � � ��� 12

    6� �� �� �

    ��� 5n � ��

    %�� � �

    � �2 5

    50,061 , 4000000 1 4000000 1,3439 5375600

    2

    mn

    nrA P Am

    � � � �� � � � � �� � � �� � � �

    �*�� ���, ���%����� �5�� ��� 5 375 600 ��� �� +*�� �� 5 ��.

    3. �"���������� ��&���� ���E����,����

  • 43�

    �� �% "���� P ��� ��* ����� ���5����� 1 %�������� � � 11 nP i �

    �� �% "���� P ��� ��* ����� ���5����� 2 %�������� � � 21 nP i �

    �� �% "���� P ��� ��* ����� ���5����� 3 %�������� � � 31 nP i �

    � �� �% "���� P ��� ��* ����� ���5����� n �"*� �����* ����.

    �*�� ���, % "������ ����5�� ���E����,�� ��) ��� *�:

    � � � � � �� �� � � �

    1 21 1

    1 1 ... 1 1 11 1

    n

    n n nP i PS P i P i P i P i

    i i

    � � � ! � �� � � � � � � � � � � ! �

    0 ��,*�� 6. �0*���� �"* �1���������� �(��&���� ���E����,�&����� 1 000 000 ���,

    �* ��������5-������� 8% 0"* ��. 1���*��� +*���������� �(��&���� ���

    &�����5�0 ������� 11 5�� ���&�����%����� �� ��) ����* �5?

    � ����: ����� � 1 000 000P � , 8 0,08

    100i � � ��� 11n � . ����%�(�

    %�� � � � �111 000 0001 1 1,08 1 16 645 5000,08

    nPS ii� � � �� � � � ! ! ���.

    4. �$��*���%�� ��

    ��+* �����1���� �%��� ���E����,���* 5-������� i ������0"* ��5-�� ��

    1��� m �� ��� ���� P ��� 0���� ��� �5�� ���:

    � � � � � �1 21 2 ... 1 1 ... 1m

    mA A A A P i P i P i

    � � � � � � � � � � �

    � � � �� �

    � �1

    1

    1 1 11 1

    1 1

    m

    mP i i P i

    ii

    � �� � ! � �� � � ! �

    ��* ������ �*����� *� �$��*���%�� ��5������,� � "�� ��% *�� m �� ��� ��

    �� P ���. ���5�'�� -/+ ���% *��#*���"*����5��$�$��*���%�� �����(���* �� ��.

    0 ��,*�� 7. �� +*�����*���� � ����� 60 ��, ���0������1���� �%��� ���E����,���

    �� 5 000 000 ���, ���5� 10 �� �* ����1����+* ��� 1 �� +*������

    ສ.ວ.ສ ສະຫງວນລຂິະສດິ

  • 44�

    ���� 61 ��. ���E����,��������������5-������� 8% 0"* ��. 1��

    �*����0���� ��� �E����,�5�� �����+���0 ����� *����* �5?

    � ����: 5 000 000P � , 8 0,08

    100i � � ��� 10m �

    %�� � �1 1 mPA ii

    � �� � ! � �105 000 000 1 1,08 33 550 400

    0,08

    � �� � !

    �*�� ���, ����*����0���� ��� �5�� ���E����,���+���0 ��� 33 550 400 ��� ��+* �

    ����1������ 5 000 000 ��� ���5� 10 ��.

    0 ��,*�� 8. �����,+��� � 8 000 000 ��� ��������� 8% 0"* �� ��� 0���� �*�

    �+����

  • 45�

    � ��E�- �

    1. ����������� ����� 3 500 000 ��� �������������(������� 6% 0"* ��� ��

    0 �������� �� +*�� ��� "�� �%�(��� �������) ����* �5?.

    2. ����(�� ����� 4 500 000 ����������������(������� 6% 0"* �� ���

  • 46�

    9. � ���* -"� A � ��'�* �� �������+���0 ����� *� $25 600 �* �-/������ �� $90 0"* �+��.

    1���*�� ��%�5����� �����5�*����* ����%�0 ��� ����0"* ��*� $15 000?.

    10. �� +*������� ��&���� ���E����,� 3 000 000 ��� ��(������� 6% 0"* ������

    %�����1����% *���������* �5��+* �5-����� 8 ��?.

    11. ���� "� ������ �(��&���� ��� 2 000 000 ��� ��� (��������"* � ����� 10% 0"*

    ��. 1���*��� �5�� ���&����#$����� ����* �5? �� +*�:

    �. E��(� n �� &. E��(� 5 ��

    12. 1���*�� �'�� 5 000 000 ��� ��* 0���5��+�5-�) ����5� 18 �+�� ��� 0���5�

    �+�������* �5�� +*���������� *� 1% 0"* �+��?

    13. 1���*�0����� �(�E����,�� "�����������* �5?

    �. �0*����� "�� �� 6 �� ��+* �5-�(��� � 1 500 000 ����� +*��(�*������� �����

    �0*���� ���� 8%.

    &. �0*�� 3 �+�� ��+* �5-�(��� � 2 000 000 ���5��������� 4 �� +*��(�*��

    ����� ������0*�� 3 �+�� ��� ���������� 8%.

    14. 1���*�%����������������* �5 �� +*������� �(�E����,�� "������������

    1 000 000 ��� � +*��(�*������� ������0*���� ���� 6% ��+* �5-�(�

    54 864 500 ���.

    15. % �*���-��$��*���%�� �� 1���*�:

    �. 0������5��� ����� 5 000 000 ��� ���5� 10 �� ���� �0������� 7 % 0"* ��.

    &. 0������5��� ��0*�� 3 �+�� 7 500 000 ��� ���5� 3 �� ���� �0�

    ������ 8% 0"* �� ��� 0(�*�������0*�� 3 �+��.

  • 47�

    ����� 3 ��0!, ��0���� �� ��� ��� ��� ��# ��������

    � ��� 7 ��0! ��� ���� ������&����0!

    1. ����

    ����. ��0!�� *�0�0����% "���� �* �� �������&��� ��� �0 "��'*� -/+ � ������

    (� "�����)�1� ��� �����1 ��. 11 12 13

    21 22 23

    a a aA

    a a a� �

    � � �� �

    �* � 11 12 23, ,...a a a ������*�� �������&����0!, 0 �������* -��������1�

    0 "��'*�&��� ������� �*�� *����* �: 11a �� *�� ���������* ,$*�1���'�* �1 ����'�* �

    12a �� *�� ���������* ,$*�1���'�* �1 �������

    ��0!��* � � m �1� ��� n 1 �� ��&�� � �ij m nA a �� �� +*� 1, 2,3,...i m� , 1, 2,3,...j n�

    % "�����1� ��� % "����1 ���� *�%����&�'�&����0!

    0 ��,*�� 1. ���

    ����

    �35.03201

    A �� *� ��0!&�'� 2 3�

    2 13 1

    B

    � �

    � � �� �

    �� *� ��0!&�'� 2 2�

    ��0!� �����0*�1���������*���0!�1� ��* �: � �1 2 3 , � �1 0

    ��0!� �����0*1 ����������*���0!1 �� ��* � 031

    � �� �� �� �� �

    , 10

    � �� �� �

    ��0!��* � �% "�����1� ��� % "����1 �����* �� ��������*� ��0!%�0�� � ��* �

    0 2 1

    1 4, 1 3 2

    3 21 0 3

    � �� � � �� � � �� � � � � �

    ,a bc d

    � �� �� �

    ສ.ວ.ສ ສະຫງວນລຂິະສດິ

  • 48�

    ��0!��* � �� �������,$*��������* �%��-/ ��,*��'���'�* �0 ��0*���$����� ��������$�

    )�������*�: ��0!���* �%�� ��* �: 2 0 0 1 0 0

    1 0 1 0, , 0 5 0 , 0 0 0

    0 1 0 20 0 0 0 0 3

    � � � �

    � � � � � � � �

    � � � � � � � �� � � � � � � �� � � �

    ��0!��* � �� �������,$*�����������* �%�����0 �������$�)�������*�: ��0!���

    �%��+�����*� ��* �: 1