7 math-m... · 2016. 7. 13. · ˚ - % ˆ1" xy, + *˚5- gcd , a b ax by ˆ˙" ˜* : 1. gcd 758,242...
TRANSCRIPT
-
������
�����
���� ���� ����������� 7
��������: ������ ��� ����� �.�.� ��� �� ������ �� �.�.� ������ �� � ����� �� � ��� ���� ������� !. � "�#$� � "����� �� �. ���� � � "���$ �.
�������: ��� ������ �.�.� �%. !. �$���� � ������� �.
���&���'����: �. ��
���� ����� ����() �.�.�
��� �� ������ �� �.�.�
������*��� +%��: �*�� � �,*�� %$*�+ �$��������� �&�� (� ���$�
�*�� � ����-� �� ��-�� �� ��. ���� �&�� % "���� ��
�*�� ����� �������% �� ��. ���#�* ������ �&�� -/��� "����
�*�� %+* ��0 �*����* � ��. ���( �&�� -/�������
�*�� �. ������ ��
�% �� ��. ���#�* ������ �&�� ����
������������� ��� ��� ��1�� ��� ����������������������
2016
ສ.ວ.ສ ສະຫງວນລຂິະສດິ
-
� "�� "�
��������������� �.7 �-/� ����� (�� �����������&�����+* ����0��-/ ���$&�������
���� ���� �������0����� ��� ���������� 2010. 5�& ���� ���� ����������� 7
���&��-/ ���$�� *�� � 10 ��� ��� 29 ��. ���#�� � �ax by c ; �����% "���� ���
���� "�5�; ��0!, ��0���� �� ��� ��������#��������; % "�������; ��10������;
0 "���(0���; 0 "������������; 0 "������; ���#��%������� ��� ��&���������
5����-��.
����������- �����(�� �����������&�����+* �5-�#$������������$� ��� � �����0 ��
���, � "����������$���������(�5�5�����% "�� �� ��� ������+* ��� +5��������$�
����� ��� ���+* �5��� ���$�&���(�. ��+��5���* ����5�����- ����� �������&"�� $�
�+��1����+* �5-�� ����� ��� �$� "�5��&���5�������-���������* �� ���, �*�� ��� �$ ���
� ���������
��-�&"�� $����* ��0��%���������0*��< ��+* �5-����)��� ����������
- ���*��&�����5���%�� ��.
,*��5�"0���������������- ����� �"� ���"* ����%��&"�&�0 ��� ���*��(�, ��� ��� %�*�&"
�����*��� +� "��*��#$���* � "�5�����-����� % �*�*����* �%�� ���*�� -/+ %�#�� ����� �*�� "��
�-��&���*��(�� ����1�� ��� ����������������������. �������%�1+�*����� "���-��
&���*������&"�� $���* � �����*� ��� �������*�������������������������������5-��$�
&���.
��1�� ��� ����������������������
-
�������
'��
����� 1 � ��# �� � �ax by c 1 � ��� 1 ���-��&� 1 � ��� 2 � ��# ������������ ����� � �ax by c 6
����� 2 � �� ��% "���� ��� ���� "�5� 13 � ��� 3 � �� ��% "���� 13 � ��� 4 � �� ��������� ��� � �� �������$� 17 � ��� 5 &���& ��� ���% ���&��� �� �� 33 � ��� 6 ���� "�5�� �� ��% "���� 39
����� 3 ��0!, ��0���� �� ��� ��� ��� ��# �������� 47 � ��� 7 ��0! ��� ���� ������&����0! 47 � ��� 8 ��0���� �� ��� ��0!��� 67 � ��� 9 ��� ��� ��# �������� 81 � ��� 10 ���# ���*�������� 96 � ��� 11 �������#������� 110
����� 4 % "����� �� 120 � ��� 12 �����$�� �*�(��*��� ��% "����� �� 120 � ��� 13 �$��*��(0�$�&��% "����� �� 134
����� 5 ��10������ 145 � ��� 14 ������� ���*� 145 � ��� 15 ��������� ����01�������10 156 � ��� 16 ��������1 �1�� ��� ��-����� ��� �� 175
����� 6 0 "���(0��� 189 � ��� 17 ���� ������ ��� ���������&��0 "���(0��� 189 � ��� 18 &���& ��� # ��0 "���&��0 "���(0��� 199
ສ.ວ.ສ ສະຫງວນລຂິະສດິ
-
����� 7 0 "������������ 207 � ��� 19 � �����&��0 "���(0��� 207 � ��� 20 ���������� ��� ���������&��0 "������������ 210 � ��� 21 &���& ��� # ��0 "���&��0 "������������ 217 � ��� 22 � �����&��0 "������������ 221
����� 8 0 "������� 224 � ��� 23 ���� ��� ���� ������&��0 "������� 224 � ��� 24 0 "�������&��0 "���(0��� 227 � ��� 25 0 "�������&��0 "������������ 243
����� 9 � ��# ��%������� 252 � ��� 26 � ��# ��%������& ���'�* � 254 � ��� 27 ���#��%�������������&��������* ��� "��������*� 261
����� 10 ��&���������5����-�� 270 � ��� 28 # ���$�� �� ��� # ���$���� ��&����������0� 270 � ��� 29 �����+* ��� �#*����5����-�� 278
0�0�����*���10 293
-
1�
����� 1 � ��# �� � �ax by c
� ��# �� � �ax by c �� *�� ��# ��& ���'�* ���* � ����0 ��� ��; �* ����������� ��# �� �*�� *���*�:
� ��# �������+* , � ��# ��������, ...
� ��� 1 ���-��&� 1. ���-��&�
� "�� �����% "����1���0��5% a ��� b . “ b -��&�5-� a ” �"0"* �� +*�� �% "�
���1��� c �* �0����'��5-� �b ac .
��* ��*�: 2 3 6� � �����*� 6 2 3� � “�*���*� 6 -��&�5-� 2 ” -/+ 6 3 2� �
“�*���*� 6 -��&�5-� 3 ”.
1.1 ���-��&�
����: % "����1��� b -��&�5-�% "����1��� a , &����� |a b “�*���*� a -��&�
b ”. 1���*� �c � �* �0����'��5-� � �b a c .
����� �����������*� b �� *������$�&�� a ��� a ������*������$�&�� b . % "����
1���0��5% a ��* � �� ����$�5-�*���� *� �a .
����5%5�*: �������&�� |a b 1���*� a -��&� b ��� &�� |a b 1���*� a �"*
-��&� b .
0 ��,*�� 1. �) 56 7 8� � )�������*� “7 -��&� 56 ”; -/+ &�� “7 | 56 ”.
&) “3 | 15 ” �*���*� “3 -��&� 15 ”.
ສ.ວ.ສ ສະຫງວນລຂິະສດິ
-
2�
�) 2 | 6 (2 -��&� 6 ) �����*� 6 2 3� � .
�) 3 |15 ( 3 -��&� 15 ) �����*� � �� �15 3 5� .
%) | 0a (a -��&� 0 ) � "�� �� �a � �����*� 0 0� �a .
1.2 ���� ������&�����-��&�
-/ ����� 1: � "�� �����< , , �a b c � , �������� �:
1) |a a , 1| a ��� | 0a ;
2) |a b ��� |a c �� *�� � � �| �a b c ;
3) |a b �� *�� � | a b ;
4) |a b ��� |b c �� *�� � |a c .
5) 1���*� |a b ��� |b c �� *�� � � �| �a bx cy � "�� �� , �x y � .
1.3 �����$��*��5-�*�� (Greatest Common Divisor -/+ gcd )
����: 0 ��-���*��5-�*��&�����% "����1��� a ��� b ( a , b �"* ���* ��$�����
� ��) �� *�% "����1��� d ��* -��&� a ��� -��&� b . d ������*������$��*��
5-�*��&�� a ��� b .
� ����� �����: � �gcd , �a b d -/+ � �, �a b d .
0 ��,*�� 2. �) � �gcd 8, 4 4 � .
&) � �gcd 7,11 1� .
�) � � �gcd 4, 9 1� .
-
3�
-/ ����� 2:
�) 5-� � �,�d a b . %�� �% "����1��� ,x y �* ����*��5-� � �d ax by .
&) ���
-
4�
� ����: � "�5����-���������"!
D����(�:
98 1 72 2672 2 26 2026 1 20 620 3 6 2
6 3 2 0
� � �� � �� � �� � �� � �
����(� � �gcd 98,72 2� .
��+* ���-� ,x y ��* ���5-� � �gcd 98,72 98 72� �x y . �������&����������*
(���0� ���� ��������+� �*���*����:
� �
� �
� �
2 20 3 620 3 26 204 20 3 264 72 2 26 3 264 72 11 264 72 11 98 7215 72 11 98
� �
� �
� � �
� � � �
� � �
� � �
� � �
1��(� � � � �gcd 98,72 2 11 98 15 72� � � � � . ��� ��� 11, 15� �x y .
�� +*����+�����(� � �11 98 15 72 1078 1080 2 � � � � � � .
1.6 ���� ��� ��% "�����$�0"* � �� (Relatively Prime Integers)
����: ���% "����1��� , 0�m n ������*�����% "�����$�0"* � ��,
1���*� � �gcd , 1�m n .
0 ��,*�� 6. � �gcd 8,15 1� ��� ��� 8 ��� 15 ����% "�����$�0"* � ��.
-
5�
� ��E�- �
% �*���-�% "����1��� , �x y � ��+* �5-� � �gcd , � �a b ax by &��� "������*����:
1. � �gcd 758,242 758 242� �x y
2. � �gcd 726,275 726 275� �x y
3. � �gcd 237,81 237 81� �x y
4. � �gcd 616,427 616 427� �x y
5. � �gcd 936,666 936 666� �x y
6. � �gcd 1137, 419 1137 419� �x y
7. � �gcd 14,75 14 75� �x y
8. � �gcd 49,60 49 60� �x y
9. � �gcd 4147,10672 4147 10672� �x y
10. � �gcd 180,252 180 251 � �x y
11. � �gcd 143,252 143 252� �x y
12. � �gcd 306,657 306 657� �x y
ສ.ວ.ສ ສະຫງວນລຂິະສດິ
-
6�
� ��� 2 � ��# ������������ ����� ax by c� �
(Linear Diophantine Equations)
� ����: ���� �������� �% "���� 10000 ��� 5-��$����(�0�-/���+* �+�'������ ���
)�����. �$�� *�����)�������� *�'*���� 2000 ��� ��� ����)�����
'*���� 1000 ���. 1���*��$����&������ ��+�)������(�% ��)*�� ��� +�
)�����(�% ��'*��5-��"�� ���� ��% "���� �*�� *��.
��+* ����� ��-����, 1���������5-�% "����)�������� *� x ��� ���5-�% "����)�����
�� *� y .
%���� +*��(&&��� ������������ �� ��# ��: 2000 1000 10000� �x y �* ��� *�� ��
# ��& ���'�* ���* � ����0 ��� �� -/+ � ��# �������+* .
�-���*�� ��# �������+* 2000 1000 10000 0 2 10 0� � � � �x y x y ,$*5�'�����
%� 2� �� � � � �5%# ���"* �����, �*�,$*5� (�$� 1).
)�������*�: ���
-
7�
������% "������, )�������*����*� , �x y � ��+* �5-� 2000 1000 10000� �x y
����%�.
�����-�5%# ��&��� ��%�0���� ��� +*��(&���5�* ��� 1�������$�5%# ��'�* �
���� 5%# ��� �*�(�&��� ��%����$��*�����5. ��+* �0��� "�1�� �*�� *��� ����������%�
���%������+ �*����:
1. � ��# ������������ �����
� ��# ������������ ������� *�� ��# ����* � ��$��*�� ax by c� � �* ������5%
# ��&��� ��# ������� *�����%���5���*�% "����1���.
2. �� +*��(&% "����� ��� ����"��+* �5-�� ��# �� ax by c� � ��5%# ��1���
-/ ����� 1: 5-� , ,a b c �� *����% "����1���, �* � a ��� b �"* ���* ��$������ ��. � ��
# ������������ ����� � �ax by c %���5%# ��:
1. �� +*� � �gcd , |�d a b c .
2. 1���*� 0 0,x y �� *�5%# ��'�* �&�� � �ax by c , �� *�5%# ��1�����*�(�&��� ��
%����$��*��: 0 0;� � �
b ax x t y y td d
��� �t � .
-/ �������+*��: 5-� , , �a b c � . � ��# ������������ ����� � �ax by c %��"* � �5%# ��
1���: 1���*� � �, |� d a b c .
ສ.ວ.ສ ສະຫງວນລຂິະສດິ
-
8�
3. ���� ��# ��������� "�5����-��&�
0 ��,*�� 1. ���� ��# �� 6 9 21� �x y
� ����: ������-� � �gcd 6,9 3� ��� �-���*� 3 | 21 ��� ���� ��# ��� �5%# ��1���.
��+* ���5%# ��1��� , �x y � ����%���5%# ��1��� 0 0, �x y � '�* �&��� ��# ��.
%�� 6 9 21� �x y �� +*�-����������� 3 ����(� 2 3 7� �x y .
������&��&�-����������"!
D&�� 3 (� 3 2 1 1� � �
� �� �
2 1 3 12 1 3 1 1
2 7 3 7 7
� � �
� � � �
� � � �
��� ���: 0 07 ; 7� �x y �� *�5%# ��1���'�* �&��� ��# ��. ��� ���5%# ��� �*�(��� *�:
3 7 , 2 7 ;� � � �x k y k k � .
1�� 5�k ����%�(� 8 ; 3� � x y �"�� *�5%# ��1���'�* ����&��� ��# ��, ...
0 ��,*�� 2. ���� ��# �� 6 9 5� �x y
� ���� : ������-� � �gcd 6,9 3� ��� �-���*� 3 | 5 , ��� ���� ��# ���"* � �5%# ��.
4. ���� ��# ������ �����D��������$���
� ���� ��� ��������* ���$���
����: 5-� �m � �� *�% "����1������. ���� ��� �� “������* ���$��� m ” &��
���% "����1��� , �a b � %�� "�� �
��� mod�a b m �"0"* �� +*� � �| m a b .
0 ��,*�� 3. �) 89 25 mod 4� �����*� � �4 | 89 25 .
-
9�
&) 89 1 mod 4� �����*� � �4 | 89 1 .
�) 25 1 mod 4� �����*� � �4 | 25 1 .
�) 153 7 mod 8� �����*� � �8 | 153 7� .
%) 24 3 mod 5� �����*� � �3 | 24 3 .
�) 243 167 mod 7� �����*� � �7 | 243 167 .
� ���� �������+��1��&��������� ��������* ���$���
�) mod�a a m .
&) 1���*� mod�a b m �� *� mod�b a m .
�) 1���*� mod�a b m , mod�b c m �� *� mod�a c m .
�) 1���*� mod�a b m ��� �c � , �� *� � � � � mod� � �a c b c m ;
mod�ac b c m .
-/ ����� 22: 5-� , , �a b c � ��� �x � %����*��� ��� ������ ��� ��������* �������
��$��� mod�ax c b �"0"* �� +*�� � �y � ��� � �ax by c .
-/ ����� 3: 5-� , , �a b c � ���� ��� ��������* ���������$��� (mod)�ax c b %�
��5%# �� �x � �"0"* �� +*� � �gcd ,�d a b -��&� c .
0 ��,*�� 4. % �*���-�5%# ��1���&�� 14 18 12� �x y .
� ���� : ������-� � �gcd 14, 18 2� ��� 2 |12 . ��� ���� ��# ��� �5%# ��1���.
����-��� ��# �� 14 18 12� �x y 5-� 2 (�: 7 9 6� �x y .
ສ.ວ.ສ ສະຫງວນລຂິະສດິ
-
10�
���� ��# �� 7 9 6� �x y ������* �5-�������� ��# �� � �7 6 mod9�x .
� "����#*���������"!
D �* �0 ������&�� 7mod 9 �� *� 4 , �*�� ����� +*��$�� ��
��������� 4 ����(� � �24 6 mod9� �x .
��� ��� 6 9 6 9 , � � � � �x t x t t � , ����*����5�*� ��# ������(� 4 7 ,� �y t t � .
-/+ � � � �, 6 9 , 4 7 ;� � �x y t t t � .
� ���� ��# ������ �����D���������0 ���*��5)*
0 ��,*�� 5. % �*���-�5%# ��1�����*�(�&��� ��# �� 4 13 5� �x y .
� ����:
��� 1: %�� 5 13 14 13 5 1 34 4
� � � � � �
y yx y x y .
��� 1 1 4 ,4
� � � �y t y t t � .
%�� � �11 3 1 3 1 4 2 13 ,4
� � � � � � � �yx y t t t t � .
��� ���5%# ��1�����*�(�&��� ��# ���� *� � � � �, 2 13 ,1 4 ,� � �x y t t t � .
��� 2: ������-���������"!
D, �������(� 13 3 4 1� � � , � ��# ��%��������
� �4 3 4 1 5� � � �x y ��� �� +*�% �����+�5)*(� � �4 3 1 5� � �x y y .
���5-� 3� �u x y (�� ��# ��5)*�� *� 4 5 5 4� � � � u y y u , ����+�5�*
3� �u x y (� � �3 3 5 4 15 13 ,� � � � �x u y u u u u � . ��� ���5%# ��� �*�(�&��
� ��# ���� *�: � � � �, 15 13 ; 5 4 ,� � �x y u u u � .
-
11�
0 ��,*�� 66. % �*����� ��# �� 9 100 1� �x y .
� ���� :
��� 1: %�� 1 100 19 100 1 119 9
� � � � � �
y yx y x y .
��� 1 1 9 ,9
� � � �y t y t t � .
%�� � �111 11 1 9 11 100 ,9
� � � � � � �yx y t t t t � .
��� ���5%# ��1�����*�(�&��� ��# ���� *� � � � �, 11 100 ,1 9 ,� � �x y t t t � .
��� 2: �-���*� � �gcd 9,100 1� . ��� ���� ��# ��� �5%# ��1��� x ��� y ��* ���*��5-�
� ��# �� 9 100 1� �x y . �� +*���+�������*�&�� , �x y � 0��5%�������� ��� ��# ��
�*�� *��, ��* ��*�: � �9 11 100 1 1� � � � ��� � �9 89 100 8 1� � � � . � �5%# ��1����"* ���
��. � � � �, 11,1� x y �� *�'�* �5�5%# ��1���� ��# ��. ��� ���:
� � � �100 9, 11 ,1 11 100 ,1 9 ,1 1
� �� � � � �� �� �
x y k k k k k � ; -/+
� � � �� � � �, 89 100 ,1 8 89 100 ,1 9 ,� � � � � �x y k k k k k � .
ສ.ວ.ສ ສະຫງວນລຂິະສດິ
-
12�
� ��E�- �
% �*����� ��# ��0"* (����:
1. 1215 2755 560 �x y 2. 24 9 33 �x y
3. 172 20 1000� �x y 4. 578 832 14932 �x y
5. 30 14 1 �x y 6. 16 83 1 �x y
7. 355 113 1 �x y 8. 377 233 1 �x y
9. 30 14 6 �x y 10. 1521 623 13293� �x y
11. 123 360 99� �x y 12. 1215 2755 560 �x y
13. 578 832 14932 �x y 14. 41 23mod101�x
15. 13 4mod37�x 16. 43 4mod31�x
-
13�
����� 2 � �� ��, # ����� ��� ���� "�5�
� ��� 3 � �� ��% "����
1. ����&��� �� ��% "����
% "���� 1 2 3, , , ... , , ...na a a a ��* &���� ��0 "��'*��*��,$* ��* �:
1, 3, 5, 7 ... 1 1 11, , , ...2 4 6
� �1, 1, 1, 1, 1 , ...n
1 2 3 4, , , , , ...na a a a a
-/+ 0 "�����* � ��&� "�� ��� *���*�% "����1������ ��+* � *� � �� ��% "����, ����%�5�� ����� �� � �na ���� �� �� 1 2 3, , , ... , , ...na a a a ����%������ 1a �� *�� ��� 1
&�� � �na , 2a �� *�� ��� 2 &�� � �na ,..., na �� *�� ��� n -/+ � �� �*�(�&��
� �na .
���������'�� �� �����-/���$���� �*�0"* (����:
- ������&����� -/+ ��* � �� "�� ��* �: 1 1 11, , , ...2 4 6
- ������&��� �� �*�(� ��* �: � �� �� � �na �* � 2 1na n� - ������������ �* ��� *����������&��0 "����"* 0"* ��+*�� � �na f n� ��* �:
11na n� �
�
�
�
�
�� � � � �
na
n1 2 3 4 5 60
1
2
3
4ສ.ວ
.ສ ສະຫງວນລຂິະສດິ
-
14�
2. �����-�� �0*��
-
15�
�*�� ���, 5 � �� "��&��� �� �� � �nb �� *� 7, 34, 79, 142, 223
0 ��,*�� 3. % �*����'� 6 � �� "��&��� �� ����* � �� �� �*�(�0"* (���� ������������.
�. 11na n� &.
� �1 nna �
� ����: �. 11na n
�
&.
� �1 nna �
��
�
�
� �
na
n1 2 3 4 5 6 7
1
0,20,40,60,8
na
n1 2 3 4 5 6
1
1
�
�
�
�
�
�ສ.ວ.ສ ສະຫງວນລຂິະສດິ
-
16�
� ��E�- � 1. % �*���-� 6 � �� "��&��� �� �� � �na ��* � "�� �5-� �*���*����:
�. � � 11 2n nna �� � &. 12na n
� �. 2 1nnan
�
�. � � 12 nna n
� � %. 2 1nna � �.
2 11n
nan
�
�
2. % �*���-� 5 � �� "��&��� �� �� � �nb ��* � "�� �5-� �*�0"* (����.
�. 2 11, 2n n na n b a �� � � &. � �2
2, 1n n na n b a� � �
�. 3, 4n n na n b a� � �. � �16 , 2n
n n na n b a �� � �
3. % �*����'� 6 � �� "��&��� �� ����* � �� �� �*�(�������������.
�. 21n
an
��
&. � �11n
na n
� � �. 2na �
�. 2 1na n� %. 12n n
a � �. � � 11 nna�� �
-
17�
� ��� 4 � �� ��������� ��� � �� �������$�
1. � �� ��������� (� �� ��������) ����. � �� �� � �na �� *�� �� ��������� 1���*�� �% "����� ���*� d ��* 0����
'��5-� 1 , ( 1,2,3,...)n na a d n� � � �* � d � �+* � *� "0 ������" -/+ # ��0*���*��.
0 ��,*�� 1. 2, 4, 6, 8,...�� *�� �� ��������������*�� �0 ���������* � 2 ���� 4 2 6 4 8 6 ... 2 � � � �
0 ��,*�� 2. 3, 5, 8, 11,...�"* �� *�� �� ��������������*��"* ����
��-�0 ������
���� 5 3 8 5 �
2. � �� �*�(� ��� # ����� n � �� "��&��� �� ���������
1��� "�� �5-� 1a ����� ���'�* � ��� d ����0 ��������� ��������&��� ��+* �< &��� �� ���������5��$�&�� 1a ��� d (� �*����.
������������������� 1 1a a� ������������������ 2 1a a d� � ������������������� � �3 2 1 1 2a a d a d d a d� � � � � � � ������������������ � �4 3 1 12 3a a d a d d a d� � � � � � � ��������������������������������������������� �
��
������
��� � � � �1 1 12 1n na a d a n d d a n d� � � � � � � � � !
�*�� ���, � �� �*�(�&��� �� ����������� *� � �1 1na a n d� � 0 ��,*�� 3. 5-� � �na ����� �� ���������, �* �� ��� 5 ���* �� �� 15 ��� � ��� 36 ���* �� �� 77. % �*���-�� ��� 1 ��� # ��0*���*��&�� � �na . � ����: %�� � �1 1na a n d� � %�(� � �5 1 5 1a a d� � 115 4a d� � � ...................(1)
��� � �36 1 36 1a a d� � 177 35a d� � � ..................(2) ���� � �(1) 2 %�(� 62 31 2d d� � �
ສ.ວ.ສ ສະຫງວນລຂິະສດິ
-
18�
���� 2d � ���5�* (1) (�: � �1 1 115 4 2 15 8 7a a a� � � � � � �
�*�� ���, ����(� 1 7a � ��� 2d � .
5-� nS ����# �����&�� n � �� "��&��� �� �����������* � � 1a ����� ���
'�* � ��� d ����# ��0*���*�� %�(�: 1 2 3 ...n nS a a a a� � � � �
� � � � � �1 1 1 1... 2 1nS a a d a n d a n d� � � � � � � � � � � � ! ! ...................(3)
-/+ � � � � � �1 1 1 11 2 ...nS a n d a n d a d a� � � � � � � �� � � � ! ! ...................(4)
���� � �(3) 4� %�(�: � �12 2 1nS n a n d� � � � ! � �12 12nnS a n d� � � � � !
���� ���, �$# ����� n � �� "��&��� �� ����������� *�
� �12 12nnS a n d� � � � ! � -/+ � �12n n
nS a a� �
0 ��,*�� 4. % �*���# �����&�� 25 � �� "��&��� �� ��������� 2, 8, 14, 20,... ��
� ����: %��� �� ��������� 2, 8, 14, 20, ... ������ � 1 2a � ��� 6d �
%���$ � �12 12nnS a n d� � � � !
%�(� � � � �� �2525 2 2 25 1 62
S � � � � ! � �25 2 24 3� �� � ! � �25 74 1850� �
-/+ %���$ � �12n nnS a a� �
%�(� � �25 1 25252
S a a� � �0*�*� � �25 1 25 1 2 24(6) 146a a d� � � � �
�����*� � � � �2525 2 146 25 74 18502
S � � � � �*�� ���, 25 1850S �
0 ��,*�� 5. % �*���-�# ����� n � �� "��&��� �� ��������� 3, 7, 11, 15, ... �
� ����: %�� � �� ��������� 3, 7, 11, 15, ... ����� � 1 3a � ��� 4d �
%��$ � �12 12nnS a n d� � � � !
%�(� � � � �2 3 4 12nnS d� � � � ! " #6 4 42
n n� " #4 22n n� � 22n n� �
-
19�
)���-: 1���*� , ,a b c ����� �� ��������� %�(�: 2a cb �� .
0 ��,*�� 6. 5-� , ,a b c ����&���&���$�����%���, �* � .a b c� � % �*���-�
� �0��*��� ��� �� : : .a b c
� ����: %�� 2b a c� � ��� 2 2 2a b c� � (� 2
2 2
2a ca c�� �� �� �
� �
� �� �2 2 3 45 2 3 0 5 3 0 ,5 5
a ac c a c a c a c b c� � � � � � � � �
��3 4: : : : 3 : 4 : 5.5 5
a b c c c c� � �
����*�(���* �� ����� ��# ����������+* ��)�� $ ��� �*���*� ��� ��* �: 1 1 3
1
...n
k nka a a a a
�
� � � � �$
0 ��,*�� 7. 5
11. 1 2 3 4 5 15
kk
�
� � � � � �$
4
1
2. (2 1) 1 3 5 7 16k
k�
� � � � �$
4
1
1 1 1 1 1 253.1 2 3 4 12k k�
� � � � �$
�$# ������+��1��:
�. � �1
1 2 3 ... 12
n
k
nn k n�
� � � � � � �$
&. � �� �2 2 2 2 21
1 2 3 ... 1 2 16
n
k
nn k n n�
� � � � � � � �$
�. � �2
3 3 3 3 3
1
1 2 3 ... 12
n
k
nn k n�
� �� � � � � � �% & !$
���� ������&�� $ �� �*�����+: �.
1
n
kc nc
�
�$ �� +*� c ����% "����� ���*�.
&. 1 1
n n
k kk kca c a
� �
�$ $ �. � �1 1 1
n n n
k k k kk k ka b a b
� � �
� � �$ $ $
ສ.ວ.ສ ສະຫງວນລຂິະສດິ
-
20�
0 ��,*�� 8. % �*�� "���� �. � �10
2
1
6 4 5k
k k�
�$ &. � �10
2
1
1kk k
�
�$
� ����: �. � �10 10 10 10
2 2
1 1 1 1
6 4 5 6 4 5k k k k
k k k k� � � �
� � �$ $ $ $
��������������������������������������������������������� � �� � � �10 106 10 1 2(10) 1 4 10 1 5(10)2 2
� � � �� � � � �% & % & ! !
��������������������������������������������������������� � �� �� � � �� �10 11 21 4 10 11 50 2140� � �
&. � � � � � �210 10 10
2 3
1 1 1
10 101 10 1 10 1 30802 2k k k
k k k k� � �
� �� � � � � � � �% & !$ $ $
� ��E�- � 1
1. 5-�� �� ���������, �* �� �� ��� 42 ���* �� �� 95 ��� 0 ������������* �� �� 52
. % �*���-�� �� �*�(� ��� � ��� 54 &��� �� �����.
2. 5-�� �� ���������, �* �� �� ��� 4 ���* �� �� 18 ��� � ��� 7 ���* �� �� 16 .
% �*���-�0 ��������� ��� � ��� 1 &��� �� �����.
3. 5-�� �� ����������+ 5, 12, 19, 26, ..., 670 % �*���-��*�� �� ������ �% ��� �
��� # ��������* �� �����* �5.
4. ��� 3 % "�������� ������� �� ��������� 1��# �����&�����% "����������* �
� �� 24 ��� # ������ "�� �����&���0*��� ����* �� �� 242 ���� # �����
&��# ��� "�� ��� � ���������*�� �����* �5.
5. % �*���-��*�&�� x ��+* �5-� 4 81, log 5, log x ����� �� ���������.
-
21�
6. 5-�� �� ���������, �* �� �# ����� 10 � �� "�����* �� �� 100 ��� # �����
100 � �� "�����* �� �� 10 . % �*���-�# ����� 110 � �� "�����* �� �����* �5.
7. 5-� 1 2 3 13, , , ...,a a a a ����� �� �����������* � �# ��0*���*�����* � 14 ���
7 183a � . % �*���-� 1 2 3 13...a a a a� � � � ���* �� �����* �5.
8. % �*���-�# �����&�� m n� � �� "��&��� �� ���������'�* �, �* �5�� ���
� ��� m ���* �� �� n ��� � ��� n ���* �� �� m .
9. % �*���$�*� 1��% "���� 1 1 1, ,b c c a b a� � �
���������� �� ���������'�* �,
�� *�% "���� 2 2 2, ,a b c �"*����� �� �����������* �� ��.
10. % �*�� "����
�. 20
1
3k
k�$ &. � �� �
1
2 1 1n
kk k
�
�$
�. � �10
3 2
1
9 18kk k k
�
� �$ �. � �1
2 1n
kk
�
$
11. 5-� a ��� b � ���*� 1�� � �7
1
4 63kak b
�
� � �$ ��� � �10
1
8 65kbk a
�
� � � $
�����*�&�� a ��� b ���* �� �����* �5.
12. % �*�� �% ���# ������
�. � �1
11
n
k k k� �$ &.
1
11
n
k k k� � �$ �. � �� �1
11 2
n
k k k k� � �$
ສ.ວ.ສ ສະຫງວນລຂິະສດິ
-
22�
3. � �� �������$� (� �� ����&����) ����. � �� �� � �na �� *�� �� �������$� 1���*�� �% "����� ���*� r ��* 0����'��
5-� 1 , ( 1,2,3,...)nn
a r na
� � � �* � r � �+* � *� "0 �������$�".
0 ��,*�� 9. 3, 6, 12, ...�� *�� �� �������$������*�� �0 ���������* � 2 ����
6 12 ... 23 6
� � �
0 ��,*�� 10. 2, 4, 12, ...�"* �� *�� �� �������$������*��"* ����
��-�0 ������
���� 4 122 4
�
4. � �� �*�(� ��� # ����� n � �� "��&��� �� �������$�
1��� "�� �5-� 1a ����� ���'�* � ��� r ����0 �������$� ��������&��� � �+* �< &��� �� ���������5��$�&�� 1a ��� r (� �*����
%�� 1nn
a ra
� �
1 1a a� 2 1a a r� � � 23 2 1 1a a r a r r a r� � � � �2 34 3 1 1a a r a r r a r� � � �
��
� �2 1
1 1 1n n
n na a r a r r a r
� � �
�*�� ���, � �� �*�(�&��� �� �������$��� *� 11 nna a r �
0 ��,*�� 11. % �*���-�� ��� n (� �� �*�(�) ��� � ��� 10 &��� �� ��0"* (����.
�. 3, 9, 27, 81, ... &. 3 , 3, 12, 48, ...4
� ����:
-
23�
�. %�� 3, 9, 27, 81, ... ����� � 1 3a � ��� 9 27 81 33 9 27
� � �
�����*������ �� �������$���* � � 3r � ��� 1 3a � �%���$ 11 nna a r � �%�(� � � � � � �
1 13 3 3 3 3 3n n nna
� � �
�*�� ���, � �� �*�(��� *� 3nna � ��� � ��� 10 �� *� 1010 3 59049a � � .
&. 3 , 3, 12, 48, ...4
����� � 134
a � ��� 3 12 48 43 4 3 12
� � �
�����*������ �� �������$���* � � 4r �
%���$ 11 nna a r � %�(� � � � � � � � �1 13 3 34 4 4 4
4 4 16n n n
na
� � �
�*�� ���, � �� �*�(��� *� � �3 416n
na � ��� � ��� 10 �� *�
� �10103 4 196608
16a � � .
0 ��,*�� 12. 5-� � �na �� *�� �� �������$�. % �*���-�� ��� 1 ��� 0 �������$�.
�. 2 5165,27
a a� � &. 1 4 2 37, 3a a a a� � � � �� +*� 1 1a �
� ����:
�. %���$$ 11 nna a r � ����� � 2
5
51627
a
a
�'()
�(*
1
41
5 ........(5)16 .......(6)27
a r
a r
�'(� )
�(*
���� � � � �6 5� %�(� � �41
1
16 272
a ra r
� 3 38 8 227 27 3
r r� � � � �
����*� r 5�* � �5 %�(� 12 53
a � � �� �� �
1152
a� �
�*�� ���, 0 �������� *� 23 ��� � ��� 1 �� *��� 3 .
&. %���$$ 11 nna a r � ����� � 1 4
2 3
73
a aa a
� �') � �*
31 1
21 1
7 ........(7)
3 ........(8)
a a ra r a r
' � �(� )� �(*
ສ.ວ.ສ ສະຫງວນລຂິະສດິ
-
24�
���� � � � �7 8� %�(� � �� �
31
1
1 71 3
a ra r r
��
�
� �� �� �
21 1 71 3
r r rr r
� �� �
�
� �� �23 10 3 0 3 1 3 0r r r r � � � � 1 , 33
r� �
�� +*� 13
r � ����*�5�* � �7 %�(� 1 11 271 727 4
a a� �� � � �� �� �
�� +*� 3r � ����*�5�* � �7 %�(� � �1 111 27 74
a a� � � �
�*�� ���, %�� 1 1a � 0 �������� *� 13 ��� � ��� 1 �� *�
274
.
5-� nS ����# �����&�� n � �� "��&��� �� �������$���* � � 1a ����� �
��'�* � ��� r ����0 ������%�(�: 1 2 3 ...n nS a a a a� � � � �
2 1
1 1 1 1...n
nS a a r a r a r
� � � � � ...................(9)
2 3
1 1 1 1...n
nrS a r a r a r a r� � � � � ...................(10)
���� � �(9) 10 %�(�: 1 1 nn nS rS a a r � � �1 11
n
n
a rS
r
� �
�� +*� 1r �
���� ���, �$# ����� n � �� "��&��� �� �������$��� *�
� �1 11
n
n
a rS
r
�
� -/+ 11
nn
a a rS
r
�
�� +*� 1r �
0 ��,*�� 13. % �*���-�# �����&��� �� �������$�0"* (����.
�. � ��� 1 ���* �� �� 4 ��� 0 ���������* �� �� 3
&. � ��� 1 ���* �� �� 3 ��� 0 ���������* �� �� 12
� ����:
�. %���$ � � � �
� �11 4 1 3
2 3 2.1 1 3
n nn
n
a rS
r
� � �
&. %���$ � � � �� �1
1
3 1 1 21 1 36 1 6 .1 1 1 2 2 2
nn
n n n
a rS
r
� �� � � � � � � �
-
25�
0 ��,*�� 14. 5-� � �na ����� �� �������$���* � �
3 536, 324a a� � % �*���-� 1 ,a r ��� 5S .
� ����: 35
36324
aa
�') �*
2
14
1
36 ..................(11)
324 ..................(12)
a ra r
' �(� )�(*
���� (12) (11)� : 4
212
1
324 9 336
a rr r
a r� � � � � �
%�� (11) (� � �21 13 36 4a a� � �
�� +*� � �4
5
4 1 33 244
1 3r S
� � !� � � �
�� +*� � �4
5
4 1 33 484
1 3r S
� � � �
0 ��,*�� 15. 5-� � �na ����� �� �������$���* � � 3 69 7S S� � . % �*���-� 1a ��� r
� ����:
%�� � � � � � �3 6
1 1 3 63 6
1 19 9 9 1 1
1 1a r a r
S S r rr r
� � � � �
� � � �� �3 3 3 39 1 1 1 1 9 2r r r r r � � � � � � �
%�� � �31
3 1
1 2 19 7 9 7 .1 2 9
aS a
� � � � �
5. # �����&��� �� �������$��"* ����� ��* � � 1r � .
# �����&��� �� �������$��"* �����: 1 2 31
... ...k nk
S a a a a a+
+�
� � � � � � �$
%�� � �1 11
n
n
a rS
r
�
��� 1r � ����� ���� 3 �"���� �*����:
1�� 1r � ��� n, + �� *� 0nr ,
1�� 1r � ��� n, + �� *� nr , +
1�� 1r � ��� n, + �"* ����
���*�&���� nr (�
ສ.ວ.ສ ສະຫງວນລຂິະສດິ
-
26�
�*�� ���,�
1
1a
Sr+
�
� �� +*� 1r �
0 ��,*�� 16. % �*���-�# �����&��� �� �������$��"* �����0"* (����.
�. 14 8 16 22 ... 2 ...
3 9 27 3
n
� �� � � � � �� �� �
&. 19 27 38 6 ... 8 ...
2 8 4
n
� �� � � � � �� �� �
� ����:
�. � �� ����* 5-�������� �� �������$��"* �������* � � 1 2a � ��� 23
r �
%���$ 11a
Sr+
�
� ��� 1r � %�(� 2 6
213
S+ � �
�*�� ���, 14 8 16 22 ... 2 ... 6
3 9 27 3
n
S
+� �� � � � � � � �� �� �
&. %��� ������* 5-����-���*������ �� �������$��"* �������* � � 1 8a � ��� 34
r �
%���$ 11a
Sr+
�
� ��� 1r � %�(� 8 32
314
S+ � �
�*�� ���, 19 27 38 6 ... 8 ... 32
2 8 4
n
S
+� �� � � � � � � �� �� �
1���*� 1 2 3, , ,..., ,...na a a a ����� �� ��������� ��� 1 2 3, , ,..., ,...nb b b b
����� �� �������$�. ��������
��# �����&��� �� ��5��$��*�� 31 2
1 2 3
...aa aSb b b+
� � � �
5������-�# ����� �*�� *�����������0� �0��& ���0��0"* (����. �. � "�����0 ������ r &��� �� �������$�-����������+���&�� S+ .
&. � "������ �� ����* (�%��&"� �. ��� ��5-�# �������* ������-� ����%�(�� ��
�������$�.
-
27�
0 ��,*�� 17. % �*���-� 1 5 9 13 ...2 4 8 16� � � �
� ����: ���
1 5 9 13 ... ....................(1)2 4 8 16
S � � � � �
�$� 125�* (1)
1 1 5 9 13 ... ....................(2)2 4 8 16 32S � � � � �
���� (1)–(2):
1 1 4 4 4 1 1 1... 1 ...2 2 4 8 16 2 2 4S � � � � � � � � � �
11 1 32
12 2 212
S � � �
3S � )���-: 1���*� , ,a b c ����� �� �������$� %�(�: 2b ac� .
0 ��,*�� 18. % �*���-� ,x y ��+* �5-� 2, ,x y ����� �� ��������� ���
, , 9x y ����� �� �������$�
� ����:
%�� 2, ,x y ����� �� ����������� +*� 2 2x y� � .................(1)
��� , , 9x y ����� �� �������$��� +*� 2 9y x� .................(2)
���� (1) ���5� (2) (�: � �22 2 9x x � 24 17 4 0x x� � �
1 , 44
x� � �*�� ���, �� +*� 1 34 2
x y� � � ��� 4 6x y� � � .
ສ.ວ.ສ ສະຫງວນລຂິະສດິ
-
28�
� ��E�- � 2
1. 5-�� �� �������$�, �* �� �� ��� 3 ���* �� �� 23 ��� 0 �������$����* �� �� 1
3 % �*�
��-�� ��� 7 &��� �� �����.
2. 5-�� �� �������$�, �* �� �� ��� 7 ���* �� �� 1
1458 ��� � ��� 3 ���* �� �� 1
18
% �*���-�0 �������$�&��� �� �����. 3. % �*���-���* % "����� ��5�*-�*��% "����160��� 5 ��+* ����������� �� �������$�. 4. % �*���$�*� 1��� ����% "�������������� �� ��������� ��� ����� �� ������
�$� �� *����% "����� ���0������* �� ��. 5. % �*���-��*�&�� , ,a b c ��+* �5-� , , 2, , 18a b c ����� �� �������$�.
6. % �*��� ac ��+* �5-�
1 2 1, ,a b c
����� �� �������$� ��� , , 3a b c ����� ��
���������.
7. 5-���* % "��������� �� �������$�. 1���*�# ���$�&����* % "����������* � 1
16 ��� � �
��������*����* �� �� 1. % �*���-���* % "���� �*�� *��.
8. % �*���-�# �����&��� �� ���"* �����0"* (����.
�. 10 20 405 ....3 9 27
� � &. 0,14 0,014 0,0014 ....� � �
�. 1 2 3 4 ....3 9 27 81� � � � �. 1 1 1 1lg 2 lg 4 lg8 lg16 ...
4 8 16 32� � � �
%. 2 3 45 12 22 351 ....3 3 3 3
� � � � � �. 84ln ln ln ln ...a a a a� � � �
9. 5-�� �� �������$�����"* ����� � ���������* �� �� 4 ��� � �# ��������* �� �� 16. % �*���-�# �����&������ �� "��.
10. 5-�� �� �������$� 3, , 2a a a� ��* � �0 �������$� �� *� r .
% �*��� 11
n
nar
+
�$ .
11. 1���*� , , ,a b c d ���������� �� �������$�. % �*���$�*� � � � � � � � �
2 2 2 2b c c a d b a d � � � .
-
29�
6. � �� ����* � �# ��� ������� �� ��������� -/+ � �� �������$�. 5-�� �� �� � � 1 2 3 1: , , , ..., , , .....n n na a a a a a � ��� � � 1 2 3 1: , , , ..., , , .....n n nb b b b b b �
�* ��*�
1 2 1b a a� 2 3 2b a a�
3 4 3b a a�
���
1 1n n nb a a � �� +*����G��0"* G���&���� ������(�:
1 2 3 1 1.... n nb b b b a a� � � � � . �*�� ���, �� +*�� �nb ����� �� ��������� -/+ � �� ��
�����$� �� *�����
��-� 1 2 3 1.... nb b b b � � � � ��� na (�.
�* � 1
11
n
n kk
a a b
�
� �$
0 ��,*�� 19. ��� "�5� � �nb , �* � 1n n nb a a��
% �*���-�� �� �*�(�&��� �� ����*����
�. � � : 1, 2, 5, 10, 17, 26, ...na &.� � : 4, 5, 7, 11, 19, 35, ...na � ����: �. � � : 1, 2, 5, 10, 17, 26, ...na ����� �
1 2 1 2 1 1b a a� � � 2 3 2 5 2 3b a a� � �
3 4 3 10 5 5b a a� � �
���
� � : 1, 3, 5, 7, 9, 11, ...nb �-���*� � � : 1, 3, 5, 7, 9, 11, ...nb ����� �� �����������* � �0 ���������* � 2
ສ.ວ.ສ ສະຫງວນລຂິະສດິ
-
30�
%�(� � �1 2 1 2 1nb n n� � � ��� ���, 1 1
11 1
1 (2 1)n n
n kk k
a a b k
� �
� � � � $ $
� �21 2 31 1 2 2.
2nna n n n� � � � �
&. � � : 4, 5, 7, 11, 19, 35, ...na
����� � 1 2 1 5 4 1b a a� � �
2 3 2 7 5 2b a a� � �
3 4 3 11 7 4b a a� � �
���
� � : 1, 2, 4, 8, 16, ...nb �-���*� � � : 1, 2, 4, 8, 16, ...nb ����� �� �������$���* � �0 ���������* � 2
%�(� 12nnb � ��� ���, 1 1
11
1 11 2
n nk
n kk k
a a b
� �
� � � �$ $
111 24 2 3.
1 2
nn
na
� � � �
7. � �� �� 1 , 1nna pa q p� � � � .
&�� 1 , 1n na pa q q� � � � 5��$��*�� � �1 ,n na p a- -� � � �* � 1qp
- �
��� n nb a -� (��*� 1n nb pb� � �* ������ �� �������$�
�*�� ���, 11 nnb b p � � ����+, � � 11 nna a p- -
� .
����������� � � 11 , 1n
nqa a pp
- - -� � �
0 ��,*�� 20. % �*���-�� �� �*�(�&��� �� ��0"* (����. �. 1 13, 2 5n na a a�� � &. 1 11, 2 1n na a a n�� � �
�. 1 11, 3 2n
nn
aa a
a�� �
�
-
31�
� ����:
�. %�� 1 2 5n na a� � ����� � 2, 5p q� � (� 5 5
1 1 2qp
- � � �
�*�� ��� %�� � � 1 11 (3 5)2 5 2 5n n nna a p- - � � � � � � &. %�� 1 2 1n na a n� � � ����� � 2 12n na a n� �� � .......................(1) ��������������������� 1 2 1n na a n� � � .......................(2)
���� (1) (2) (�: � �2 1 12 1n n n na a a a� � � � � ��� 1n n nb a a�� (� 1 1 2 1 1 1 12 1, 2 1n nb b b a a a a a� � � � � � �
%�����(� 12, 1 1
1 2p q -� � � � �
(� � � 11 1 2 1 2 1n nnb � � �
��� ���, 1 2 1nn na a� �
�*�� ���, � � � � � �11
11
2 2 12 1 1 1 2
2 1
nnk n
nk
a a n n
�
� � � � �
$
�. %�� 1 3 2n
nn
aa
a��
�
1
3 21 2 3nn n n
aa a a�
�� � � �
��� 1nn
ba
� (� 1 12 3, 1n nb b b� � � � %�����(� 2, 3p q� � �
��������3 3
1 2-� � �
��� ���, � � 1 11 3 2 3 2 3n nnb �� � � (� 1
1 2 3nna
��
�*�� ���, 11
2 3n na ��
.
ສ.ວ.ສ ສະຫງວນລຂິະສດິ
-
32�
� ��E�- � 3 1. % �*���-� � �nb , �* � 1 1n n nb a a� �� %��� �����-�� �� �*�(�&�� � �na
��* � "�� �5-� �*�0"* (����.
�. � � : 1, 3, 6, 10, 15, ...na &. � � : 2, 8, 18, 32, 50, ...na �. � � : 1, 3, 14, 15, 23, ...na �. � � : 3, 5, 9, 17, 33, ...na %. � � : 7, 19, 37, 61, 91, ...na �. � � : 1, 3, 7, 15, 31, ...na
2. % �*���-�� �� �*�(�&��� �� ���* � 1, 2, 3, ...n � .
�. 1 13, 2 3n na a a�� � &. 1 13, 3 n na a a�� �
�. � �1 11
0, 12n n
n na a a�
�� � � �. 1
1
12 1 3,3 2n n
a na a�
� � �
%. 1 17, 3 12n na a a�� � � �. 1 11, 5 3 2n na a a n�� � �
. 1 11, 2 2nn na a a�� � � �. 21 15, 8n na a a�� �
. 1 11 ,6 6 7
nn
n
aa a
a�� �
� 0. 5 2n nS n a� � �
-
33�
� ��� 5 &���& ��� ���% ���&��� �� ��
1. &���&&��� �� �� &���&&��� �� ��%�5���+* ��%������*�� ��� � �nn a &��� �� ���"* �����
�� +*� n � ��*�5-�*&������"* � ������ � �n, + .
1.1 1�� n, + �������5-��*� na &��� �� ���&���5� � -/+ ���* �� ��% "����%� L
���% "���������* �� ���, ��������� L �*� ""&���&&��� �� ��" �* �� ����� ��
��� lim nn a L,+ � .
1.2 � �� ���"* ����� na ��* � �&���& ������*� ""� �� ��% ���".
0 ��,*�� 1. � �� �� 1
na n�
����� �� ��% ��� �����*�
1lim lim 0nn na n,+ ,+� �
1.3 � �� �� na ��* �"* � �&���& -/+ lim nn a,+ � + ������*� ""� �� ��-��".
� � � �
��
�na
n
L
na
n�
�
�
�
��
�
ສ.ວ.ສ ສະຫງວນລຂິະສດິ
-
34�
0 ��,*�� 2.
�. � �� �� � � 11 nna��
����� �� ��-�� �����*� � � 1lim lim 1 nnn na
�
,+ ,+� �"* � �&���&
&. � �� �� 1na n� � ����� �� ��-�� �����*� � �lim lim 1nn na n,+ ,+� � � +
-/ �����&��&���&&��� �� ����* % "�����0���%+*5-�(�.
5-� c ����% "����� ���*�, ,k n�� , lim nn a L,+ � ��� lim nn b M,+ � %�(�:
1. limnc c
,+�
2. lim nn ca cL,+ �
3. � �lim lim limn n n nn n na b a b L M,+ ,+ ,+� � � � �
4. � �lim lim limn n n nn n na b a b L M,+ ,+ ,+� � � � �
5. lim
limlim
nn n
nn nn
aa Lb b M
,+
,+,+
� � �� +*� 0M �
6. � � � �lim lim kk kn nn na a L,+ ,+� � 7. lim lim kk kn nn na a L,+ ,+� �
8. lim limn nn na a L,+ ,+� �
9. lim knn
,+� +
10. lim 0kncn,+
�
11. 1�� � �limn
f n,+
� + -/+ � �limn
f n,+
� + ���� � �lim 0n
cf n,+
�
12. 1�� � �lim 0n
f n,+
� ��� � �lim , 0ng n c c
,+� � ����
� �� �
limn
g nf n,+
�"* � �&���&
13. 1�� 1c � ���� lim 0nnc
,+� , 1�� 1c � ���� lim n
nc
,+ �"* � �&���& ��� 1��
1c � ���� lim nnc
,+� + .
-
35�
0 ��,*�� 3. % �*�� "����&���&0"* (����.
�. 5 3lim1 4nnn,+
�
&. 24 3lim
5 1nnn,+
�
�. 1
1
2 3 4lim2 5 3
n
nn
�
,+
�
�
�. � �2lim 1n n n,+ � � ����:
�.
3 15 lim5 3lim5 3 5 3(0) 5lim lim1 11 4 0 4 44 lim lim 4
n n
n n
n n
n n nn
n n
,+ ,+
,+ ,+
,+ ,+
� �� �� � � �
&. 2 2 2
3 14 lim 4 3lim 4 3(0)4 3 2lim lim .1 15 1 5 0 55 lim5 lim
n n
n n
n n
n n nn
n n
,+ ,+
,+ ,+
,+ ,+
� � ��� � � �
�. 1
1
1 16 4 lim 6 4 lim2 3 4 6 3 4 3 3lim lim lim
52 5 3 1 5 1 52 3 2 2 lim lim3 3 3 3 3
n n
n n n n
n n nn n nn
n n
� ,+ ,+
,+ ,+ ,+
,+ ,+
� � � � � � � �� � � � � �� � �
� � � � � � � � � �
� � � �
�������������������������������������
��������
6 4(0) 6 0 125 5 52(0) 02 2
� � �
�. � � � �� �� �2 2
2 22
22
1 1 1lim 1 lim lim11n n n
n n n n n nn nn nn n,+ ,+ ,+
� � � �
� � �
� �� �
��������������������������������������2
2
11lim lim
11 1 1n n
nn n
n
,+ ,+� �
� � � � 2
1lim
1lim1 lim lim1
n
n n n
n
n
,+
,+ ,+ ,+
�� �
��
����������������������������������������0 0
1 0 1� �
� �
ສ.ວ.ສ ສະຫງວນລຂິະສດິ
-
36�
-/ �����: ���1+�'������ ���
�� +*� n n na b c� � , 1�� lim nn a L,+ � ��� lim nn c L,+ � ����(� lim nn b L,+ �
0 ��,*�� . % �*�� "���� �. � �1 1lim
n
n n,+�
&. coslimn
nn,+
.
� ����:
�. � ���*� � �1 1 1n � � � �0 1 1 2n� � � � ��� � �1 10 2n
n n n�
� �
��+*��%�� 0lim 0n n,+
� ��� 2lim 0n n,+
� �����*� � �1 1
lim 0n
n n,+�
�
&. � ���*� 1 cos 1n � � ��� 1 cos 1nn n n
� �
��+*��%�� 1lim 0n n,+
� ��� 1lim 0
n n,+� �����*�
coslim 0n
nn,+
�
-
37�
� ��E�- �
1. % �*���������% ���&��� �� ��0"* (����.
�. � �3 0.5 nna � � &. 1 21 2n
nan
�
�
�. 21nna
n�
� �. 2 5na n n n� �
%. 2 2 1
1nn nan
�
�
�. 3sin
nnan
�
. � �11n
na n
� � �. 2
1
1na
n n�
�
. 2cos
2n nna �
2. % �*�� "����&���&0"* (����.
�. 23 5lim
6 3 1nn
n n,+
�
&.
2
2 1lim8 2nnn,+�
�
�. � �lim 1n
n n,+
� �.
823
2
2 3lim5 3nn nn n,+�
�
%. 2
2
3 5lim5 2 6nn nn n,+
�
�. � �
11 3
243
1 (3 )lim
5n
n n
n n
,+
�
�
. 15 3lim
5 2
n
nn
�
,+
�
�. 2 5lim5
x
xx,+
�
. 1
1
5 2 4lim3 2 3
n
nn
�
,+
�
� �
0. sinlim 2n
nn,+
� ��� �� �
1. � �1 2lim3
n
n n,+
�
�. � � 1lim 1 sinnn n,+
� � � �� �
�. 7 3lim5 9
n n
nn,+
�
�. 3 2 3 6 5lim5 3 7 3
n n n
n nn,+
� � �� �
ສ.ວ.ສ ສະຫງວນລຂິະສດິ
-
38�
�. coslim 4n
nn,+
� ��� �
� �
3. 1�� 4 3 95
n
na n� �� � � �� �
, n �� % �*���-� lim nn a,+ .
4. 1�� 2
2
2 4 34lnn
n nan n
�
�
, n �� % �*���-� lim nn a,+ .
5. % �*���-� lim nn a,+ �* ��*�
�. 2 2 2 21 2 3 ... .n
nan n n n
� � � � �
&. � �2 2 2 21 2 3 ..
1 2 3 ...nn n
an
� � � ��
� � � �
�. � �2 2 2 233 1 2 3 ...na nn
� �� � � � �� �� �
-
39�
� ��� 6 ���� "�5�� �� ��% "����
� �� ��������� ��� � �� �������$��* �����(����������5�� ��� 4 5�� ��������%�����1����� "�5��&���5�0 ��%�� *��� ��� �������0*��
-
40�
� ����:
�. �$��*�&����+* ��% ���+* ��� ������ 150 000 ��� �*�� ���, %�*�(�� �� ���$��*�&��
��+* ��% ����� � � � �1 700 000 150 000, 1 700 000 2 150 000 , 1 700 000 3 150 000 , ...
-/+ 1 550 000, 1 400 000, 1 250 000, ...
� �� ���������� �� �����������* � � 1 1 550 000a � ��� 150 000d � . �*�� ���, � �
� �*�(� -/+ �$��*�&����+* ��% ����� -/ ��%�����5�������� n �� �� *�:
� � � �1 1 1 550 000 150 000 1 1 700 000 150 000nT a n d n n� � � �
&. �� +*��"�� �&����+* ��% �����5����� 200 000 ��� �����*� 200 000nT �
%��&"� �. 1 700 000 150 000nT n�
1 700 000 150 000 200 000n �
150 000 1 700 000 200 000 1 500 000 10n n� � � � .
�*�� ���, ����&����+* ��% ������� *� 10 ��.
2. ������
�������� *� % "������ ���* (�� ��# ��0�����%�����5����-�%���� �� ��� 0��(���������* � "�� �.
1. ������E����� "�� �
� �������������� �% "���� P ��� (�E��������� 5�� �0������� %r
0"* �� ��� ���, 5� 1 ��%�(������� 100rI P � �� � �
� �. 1���*�����������"* ��������� �
E�� -/+ E����� "�� � ������0"*
-
41�
0 ��,*�� 3. �� +*����������� �% "���� 3 000 000 ��� (�E��������������� "�� �
���� �0������� 12% 0"* ��. % �*�&���$�(�*% "������ �5�� ����� +*�E��
(� n �� ��� �(�*% "������ �5�� ���-/ ��%��E��(� 10 ��.
� ����: ����� � 3 000 000P � ��� 12%r � (� 123 000 000 360 000
100I � �� �� �
� �.
�*�� ���, �$�(�*% "������ �5�� ��� n �� �� *�: 3 000 000 360 000nA n� �
��� % "������ �5�� ���-/ ��%��E��(� 10 �� *�:
� �10 3 000 000 360 000 10 6 600 000A � � � ���.
2. ������E����,�
� �������������� �% "���� P ��� (�E��������� 5�� �0������� %r
0"* �� ��� ��� 5� 1 ��%�(������� 100rI P � �� � �
� �. 1���*������������������� �E��
-/+ E����,� ������0"*
-
42�
0 ��,*�� 4. ��� "������� �(�E���������% "���� 4 000 000 ��� 5�� ����� �
E����,�, � �0���������* (�� ��%��������� 6% 0"* �� �� +*�E��� �� 5
�� ���%�(�� ���� �� ��) ����* �5?
� ����: ����� � 4 000 000P � , 6% 0,06i � � 0"* ��, 5n � ��
%�� � �1 nnA P i� � (� � �5
5 4000000 1 0,06 4000000 1,3382 5352800A � � � � �
���. �*�� ���, ��� "�%�(�� ���� � 5 352 800 ��� �� +*�E��� �� 5 �� %���� �0 ���
4 000 000 ���.
1������(�*������5�'�* ���� �-/����*� 1 � �����* �: �
���������< 3 �+��
-/+ �
���������< 6 �+�� ����0 ���. ����� "������5��$
�*����.
1mn
niA Pm
� �� �� �� �
�* � m % "����� �����* �(�*������5�'�* ���, im ��������* (�� ��5��0*����.
0 ��,*�� 5. ����������� �% "���� 4 000 000 ��� (�E����,� � "��������
5�� �0���������,� 6% 0"* ��. �* �1���������(�*���������< 6
�+��. 1���*��� +*�E��� �� 5 �� ���%�����5�� ����� �E�����* �5?
� ����: ����� � 4 000 000P � , 6 0,06
100i � � , 2m � � ��� 12
6� �� �� �
��� 5n � ��
%�� � �
� �2 5
50,061 , 4000000 1 4000000 1,3439 5375600
2
mn
nrA P Am
� � � �� � � � � �� � � �� � � �
�*�� ���, ���%����� �5�� ��� 5 375 600 ��� �� +*�� �� 5 ��.
3. �"���������� ��&���� ���E����,����
-
43�
�� �% "���� P ��� ��* ����� ���5����� 1 %�������� � � 11 nP i �
�� �% "���� P ��� ��* ����� ���5����� 2 %�������� � � 21 nP i �
�� �% "���� P ��� ��* ����� ���5����� 3 %�������� � � 31 nP i �
� �� �% "���� P ��� ��* ����� ���5����� n �"*� �����* ����.
�*�� ���, % "������ ����5�� ���E����,�� ��) ��� *�:
� � � � � �� �� � � �
1 21 1
1 1 ... 1 1 11 1
n
n n nP i PS P i P i P i P i
i i
� � � ! � �� � � � � � � � � � � ! �
0 ��,*�� 6. �0*���� �"* �1���������� �(��&���� ���E����,�&����� 1 000 000 ���,
�* ��������5-������� 8% 0"* ��. 1���*��� +*���������� �(��&���� ���
&�����5�0 ������� 11 5�� ���&�����%����� �� ��) ����* �5?
� ����: ����� � 1 000 000P � , 8 0,08
100i � � ��� 11n � . ����%�(�
%�� � � � �111 000 0001 1 1,08 1 16 645 5000,08
nPS ii� � � �� � � � ! ! ���.
4. �$��*���%�� ��
��+* �����1���� �%��� ���E����,���* 5-������� i ������0"* ��5-�� ��
1��� m �� ��� ���� P ��� 0���� ��� �5�� ���:
� � � � � �1 21 2 ... 1 1 ... 1m
mA A A A P i P i P i
� � � � � � � � � � �
� � � �� �
� �1
1
1 1 11 1
1 1
m
mP i i P i
ii
� �� � ! � �� � � ! �
��* ������ �*����� *� �$��*���%�� ��5������,� � "�� ��% *�� m �� ��� ��
�� P ���. ���5�'�� -/+ ���% *��#*���"*����5��$�$��*���%�� �����(���* �� ��.
0 ��,*�� 7. �� +*�����*���� � ����� 60 ��, ���0������1���� �%��� ���E����,���
�� 5 000 000 ���, ���5� 10 �� �* ����1����+* ��� 1 �� +*������
ສ.ວ.ສ ສະຫງວນລຂິະສດິ
-
44�
���� 61 ��. ���E����,��������������5-������� 8% 0"* ��. 1��
�*����0���� ��� �E����,�5�� �����+���0 ����� *����* �5?
� ����: 5 000 000P � , 8 0,08
100i � � ��� 10m �
%�� � �1 1 mPA ii
� �� � ! � �105 000 000 1 1,08 33 550 400
0,08
� �� � !
�*�� ���, ����*����0���� ��� �5�� ���E����,���+���0 ��� 33 550 400 ��� ��+* �
����1������ 5 000 000 ��� ���5� 10 ��.
0 ��,*�� 8. �����,+��� � 8 000 000 ��� ��������� 8% 0"* �� ��� 0���� �*�
�+����
-
45�
� ��E�- �
1. ����������� ����� 3 500 000 ��� �������������(������� 6% 0"* ��� ��
0 �������� �� +*�� ��� "�� �%�(��� �������) ����* �5?.
2. ����(�� ����� 4 500 000 ����������������(������� 6% 0"* �� ���
-
46�
9. � ���* -"� A � ��'�* �� �������+���0 ����� *� $25 600 �* �-/������ �� $90 0"* �+��.
1���*�� ��%�5����� �����5�*����* ����%�0 ��� ����0"* ��*� $15 000?.
10. �� +*������� ��&���� ���E����,� 3 000 000 ��� ��(������� 6% 0"* ������
%�����1����% *���������* �5��+* �5-����� 8 ��?.
11. ���� "� ������ �(��&���� ��� 2 000 000 ��� ��� (��������"* � ����� 10% 0"*
��. 1���*��� �5�� ���&����#$����� ����* �5? �� +*�:
�. E��(� n �� &. E��(� 5 ��
12. 1���*�� �'�� 5 000 000 ��� ��* 0���5��+�5-�) ����5� 18 �+�� ��� 0���5�
�+�������* �5�� +*���������� *� 1% 0"* �+��?
13. 1���*�0����� �(�E����,�� "�����������* �5?
�. �0*����� "�� �� 6 �� ��+* �5-�(��� � 1 500 000 ����� +*��(�*������� �����
�0*���� ���� 8%.
&. �0*�� 3 �+�� ��+* �5-�(��� � 2 000 000 ���5��������� 4 �� +*��(�*��
����� ������0*�� 3 �+�� ��� ���������� 8%.
14. 1���*�%����������������* �5 �� +*������� �(�E����,�� "������������
1 000 000 ��� � +*��(�*������� ������0*���� ���� 6% ��+* �5-�(�
54 864 500 ���.
15. % �*���-��$��*���%�� �� 1���*�:
�. 0������5��� ����� 5 000 000 ��� ���5� 10 �� ���� �0������� 7 % 0"* ��.
&. 0������5��� ��0*�� 3 �+�� 7 500 000 ��� ���5� 3 �� ���� �0�
������ 8% 0"* �� ��� 0(�*�������0*�� 3 �+��.
-
47�
����� 3 ��0!, ��0���� �� ��� ��� ��� ��# ��������
� ��� 7 ��0! ��� ���� ������&����0!
1. ����
����. ��0!�� *�0�0����% "���� �* �� �������&��� ��� �0 "��'*� -/+ � ������
(� "�����)�1� ��� �����1 ��. 11 12 13
21 22 23
a a aA
a a a� �
� � �� �
�* � 11 12 23, ,...a a a ������*�� �������&����0!, 0 �������* -��������1�
0 "��'*�&��� ������� �*�� *����* �: 11a �� *�� ���������* ,$*�1���'�* �1 ����'�* �
12a �� *�� ���������* ,$*�1���'�* �1 �������
��0!��* � � m �1� ��� n 1 �� ��&�� � �ij m nA a �� �� +*� 1, 2,3,...i m� , 1, 2,3,...j n�
% "�����1� ��� % "����1 ���� *�%����&�'�&����0!
0 ��,*�� 1. ���
����
�
�35.03201
A �� *� ��0!&�'� 2 3�
2 13 1
B
� �
� � �� �
�� *� ��0!&�'� 2 2�
��0!� �����0*�1���������*���0!�1� ��* �: � �1 2 3 , � �1 0
��0!� �����0*1 ����������*���0!1 �� ��* � 031
� �� �� �� �� �
, 10
� �� �� �
��0!��* � �% "�����1� ��� % "����1 �����* �� ��������*� ��0!%�0�� � ��* �
0 2 1
1 4, 1 3 2
3 21 0 3
� �� � � �� � � �� � � � � �
,a bc d
� �� �� �
ສ.ວ.ສ ສະຫງວນລຂິະສດິ
-
48�
��0!��* � �� �������,$*��������* �%��-/ ��,*��'���'�* �0 ��0*���$����� ��������$�
)�������*�: ��0!���* �%�� ��* �: 2 0 0 1 0 0
1 0 1 0, , 0 5 0 , 0 0 0
0 1 0 20 0 0 0 0 3
� � � �
� � � � � � � �
� � � � � � � �� � � � � � � �� � � �
��0!��* � �� �������,$*�����������* �%�����0 �������$�)�������*�: ��0!���
�%��+�����*� ��* �: 1