7 trigonometria - · pdf fileper saber-ne més resum autoavaluació activitats...
TRANSCRIPT
MATEMTIQUES B 113
Abans de comenar.
1.Els angles i la seva mesura.............pg. 74 Recorreguts en la circumferncia Radiants Graus sexagesimals De radiants a graus Mesurant angles 2.Raons trigonomtriques..................pg. 76 Raons trigonomtriques Sinus i cosinus en la circumferncia Tangent en la circumferncia Raons de 30, 45 i 60 3.Relacions trigonomtriques.............pg. 78 Relacions fonamentals 4.Resoldre triangles rectangles...........pg. 79 Amb un angle i la hipotenusa Donats un angle i un catet Coneguts dos costats 5.Raons d'angles qualssevol...............pg. 80 Sinus Cosinus Tangent 6.Aplicacions de la trigonometria........pg. 81 Resoldre problemes mtrics Exercicis per practicar
Per saber-ne ms
Resum
Autoavaluaci
Activitats per enviar al tutor
Objectius En aquesta quinzena aprendreu a:
Calcular les raons trigonomtriques d'un angle.
Trobar totes les raons trigonomtriques d'un angle a partir d'una d'aquestes.
Resoldre triangles rectangles quan es coneixen dos costats o un costat i un angle.
Resoldre situacions relacionades amb la geometria en les quals es necessiti calcular angles i distncies entre dos punts.
Utilitzar la calculadora per obtenir raons o angles.
Trigonometria 7
114 MATEMTIQUES B
MATEMTIQUES B 115
Abans de comenar
Investigueu Segurament deveu haver vist aquest senyal a les carreteres i sabeu qu indica: pendent prolongada. Tamb deveu recordar el concepte de pendent d'una recta. Segons aquest, el 10% significa que cada 100 m recorreguts en horitzontal, en pugem (o baixem) 10 en vertical. Per alguns interpreten els 100 m com el cam real recorregut. Qu n'opineu?, influeix gaire considerar-lo d'una o una altra forma?
Recordeu-ho Abans de seguir endavant us conv comprovar que recordeu la semblana de triangles i el teorema de Pitgores.
En el conjunt megaltic de Stonehenge (Gran Bretanya), construt entre 2200 i 1600 aC, l'alineaci de dues grans pedres indica el dia ms llarg de l'any.
El primer antecedent escrit de trigonometria es troba en el papir Rhind, escrit per Ahms al voltant del 1800 aC, transcrivint-ne un altre del 5000 aC.
La trigonometria neix amb l'observaci dels fenmens astronmics
A l'antiga Babilnia es va introduir la mesura de l'angle en graus. La divisi d'una circumferncia en 360 graus, probablement va unida a la divisi de l'any en 360 dies. Aix, com que el Sol recorre una circumferncia en un any, un grau seria el recorregut en un dia.
Amb la cultura grega la trigonometria va experimentar un impuls nou i definitiu. Aristarc de Samos (s. III aC), fams per haver proposat el primer sistema heliocntric, va mesurar la distncia al Sol i a la Lluna utilizant els triangles. Hiparc de Nicea (s. II aC) va millorar les observacions d'Aristarc i s considerat l' de la trigonometria. Claudi Ptolomeu el segle II va escriure l', que va influir al llarg de tota l'edat mitjana.
El desenvolupament de la trigonometria es deu sobretot a l'obra dels rabs, que van transmetre a Occident el llegat grec. Van ser els primers a utilitzar la tangent. Cap a l'any 833, Al-Kwuarizmi va construir la primera taula de sinos.
A Europa es va publicar, el 1533, el primer tractat de trigonometria: De trianguli omnia modi, libri V, escrit el 1464, a Kningsberg, per Johann Mller, conegut com el Regiomontanus.
Newton utilitza el 1671 les coordenades polars. La fsica dels fenomens ondulatoris, com el que es produeix en una corda que vibra, va fer que Leonhard Euler (1707-1783) estudis les funcions trigonomtriques.
Hoy, en nuestros das, las utilidades de la trigonometra abarcan los ms diversos campos: de la topografa a la acstica, la ptica y la electrnica.
Trigonometria
Avui, en els nostres dies, les utilitats de la trigonometria inclouen tot tipus de camps: de la topografia a l'acstica, l'ptica i l'electrnica.
116 MATEMTIQUES B
1. Els angles i la seva mesura
Trigonometria s una paraula que deriva del grec:', tri () tres, gono () angle, metria (') mesura, s a dir, "mesura de tres angles". Podeu consultar la definici de trigonometria que dna el diccionari del R A E. En aquest curs es tractar nicament la trigonometria plana. Per tal d'estudiar els angles i la seva mesura adoptarem la definici d'angle escenificada a l'esquerra en la qual un angle es veu com un recorregut en la circumferncia amb centre l'origen i de radi unitat o circumferncia goniomtrica. El punt de partida d'aquests recorreguts se situar en el punt de coordenades (1, 0) i la mesura d'un angle ser la mesura d'aquest recorregut.
Els angles poden tenir sentit positiu o negatiu, segons quin sigui el del seu recorregut; si s contrari al de les agulles del rellotge ser positiu i si s igual, negatiu.
Radiants Mesurar un angle s mesurar el seu recorregut en la circumferncia.
Com que la mesura de tota la circumferncia s 2radi, resulta convenient prendre com a unitat de mesura el radi. A les figures, els angles es van representar en una circumferncia de radi 1, aix no significa que el radi mesuri 1 cm o 1 peu o 1 m, sin que el radi s la unitat de mesura presa. Per raons evidents a aquesta unitat se l'anomena radiant.
Graus sexagesimals Ja coneixeu el sistema sexagesimal de mesura d'angles. En dividir la circumferncia en 360 parts iguals, obtenim un grau, al seu torn cada grau es compon de 60 minuts i cada minut de 60 segons.
Aix un angle es mesura en:
graus minuts' segons''
Trigonometria
Mide ngulos con el transportador
L'angle d'1 radiant s aquell que presenta un recorregut en la circumferncia igual al radi.
Sentit positiu Contrari a les agulles del rellotge
Sentit negatiu Com les agulles del rellotge
Mesureu angles amb el transportador
MATEMTIQUES B 117
EXERCICIS resolts
1. Dibuixeu a la circumferncia goniomtrica els angles de 120, -50 i 315. 2. Dibuixeur a la circumferncia goniomtrica langle de 5/6, 3/4, i 3/2 rad.
3. Passeu a radiants: a) 150, b) 210, c) 270, d) 60
a) rad 65
180150
150
=
= b) rad 67
180210
210
=
=
c) rad 23
180270
270
=
= d) rad 3180
6060
=
=
4. Passeu a graus: a) 11/6 rad, b) /4 rad, c) 5/4 rad, d) 2/3 rad
a) 330180
611
rad 6
11=
=
b) 45
1804
rad 4
=
=
c) 225180
45
rad 45
=
=
d) 120180
32
rad 32
=
=
De graus a radiants:
multipliquem per 180
De radiants a graus:
multipliquem per
180
De graus a radiants i de radiants a graus El semipermetre de la semicircumferncia s radi
radiants = 180 graus
s a dir, vegades un radiant= 180 vegades un grau 1 radiant = 180 1 grau
Si allem el grau resulta: 1 grau = /180 radiants ~ 0.0175 radiants Si allem el radiant resulta: 1 radiant = 180/ graus ~ 57.2957 graus
Trigonometria
grau
graus
radiants
radiant
118 MATEMTIQUES B
2. Raons trigonomtriques
En els triangles semblants els angles sn iguals i els costats homlegs sn proporcionals.La ra entre dos costats d'un triangle rectangle determina la seva forma. Donat un triangle rectangle, les raons trigonomtriques de l'angle agut es defineixen:
El sinus s el quocient entre el catet oposat i la hipotenusa.
El cosinus s el quocient entre el catet adjacent i la hipotenusa.
La tangent s el quocient entre el catet oposat i el catet adjacent.
Aquestes raons no depenen de la mida del triangle sin de langle.
El sinus i el cosinus en la circumferncia A la figura s'ha representat l'angle en la circumferncia goniomtrica o de radi unitat.
En el triangle rectangle que es forma com la hipotenusa s 1, el catet oposat s el sin i l'adjacent el cos .
s important recordar el segent triangle:
Observeu que (cos , sin ) sn les coordenades del punt final de l'angle en la circumferncia de radi unitat.
La tangent en la circumferncia A la figura es comprn perqu al quocient entre el catet oposat i el catet adjacent se l'anomena tangent, el seu valor queda definit sobre una recta tangent a la circumferncia en el punt (1,0).
Observeu a l'escena que quan el catet adjacent val 1, la hipotenusa s igual a la inversa del cos .
Al quocient:
adyacente catetohipotenusa
cos1
=
se l'anomena secant de i s'abreuja amb sec .
Trigonometria
adyacente catetoopuesto cateto
tg
hipotenusaadyacente cateto
cos
hipotenusaopuesto cateto
sen
=
=
=
tg sec
1
= sen
= cos
= tg
cateto adyacente
cate
to o
pu
est
o
90
ca t e t o p o s a t
catet adjacent
sin catet oposat
cateto adjacent
catet oposat catet adjacent
sin
catet adjacent
sin
cos
1
MATEMTIQUES B 119
Els angles d'un
triangle equilter fan 60
Amb el teorema de Pitgores es calcula
l'altura
Prenem un quadrat
de costat 1 Amb el teorema de Pitgores es calcula
la diagonal
Les raons de 30, 45 i 60 Els angles de 30, 45 i 60 apareixen freqentment, fixeu-vos com es calculen les seves raons a partir de la definici si busquem els triangles adequats.
sinus cosinus tangent
30 21
23
33
3
1=
45 22
22
1
60 23