1

8 MODELLI MATEMATICI PER SISTEMI LINEARI

8.1 Modellizzazioni di sistemi lineari

8.2 Modellizzazioni di ordine zero

8.2.1 Modellizzazione puramente proporzionale

8.2.2 Modellizzazione puramente derivativa e proporzionale-derivativa

8.3 Modellizzazioni di ordine uno

8.3.1 Modellizzazione puramente integrativa

8.3.2 Modellizzazione proporzionale a banda limitata (di ordine uno)

8.3.3 Modellizzazione derivativa reale

8.4 Modellizzazioni di ordine due

8.4.1 Modellizzazione proporzionale con banda limitata (di ordine due)

8.4.2 Modellizzazione a banda centrale

8.4.3 Modellizzazione risonante del secondo ordine

8.5 Approssimazione del polo dominante

8.6 Un esempio di modellizzazione: il motore a corrente continua

8.1 Modellizzazioni di sistemi lineari

Fin dal capitolo uno abbiamo visto come in generale un sistema lineare di ordine

n (cioè con n variabili di stato) può essere descritto per mezzo di diversi tipi di modelli

matematici1. Considerando per semplicità un sistema con un solo ingresso e una sola

uscita, le alternative possibili sono:

1) Modello di stato: n equazioni differenziali di stato (o n equazioni iterative di stato),

più eventualmente una equazione algebrica, se l'uscita non coincide con nessuna delle

variabili di stato ( par. 1.1 e 1.4).

2) Modello ingresso-uscita: un’unica equazione differenziale ingresso-uscita di ordine

n, cioè contenente fino alla derivata n-esima della variabile di uscita ( par. 1.2 e

1.4). In alternativa è possibile utilizzare il modello approssimato costituito dalla

equazione ingresso-uscita iterativa ( par. 1.3).

3) Funzioni di trasferimento: una funzione di trasferimento in j, espressa come il

rapporto fra due polinomi in j ( 2.7), oppure una funzione di trasferimento

generalizzata nella variabile complessa S ( 7.3).

1 In tutto il capitolo si farà riferimento sempre ed esclusivamente a sistemi di tipo

lineare. Per i sistemi non lineari ( cap. 8 vol. 1) dei modelli qui proposti è possibile

usare sia il modello di stato sia il modello ingresso-uscita, mentre le funzioni di

trasferimento possono essere definite solo per i sistemi lineari.

2

I diversi modelli matematici utilizzabili per descrivere un sistema lineare non

sono tutti equivalenti per quanto riguarda gli scopi e i risultati. In particolare osserviamo

che:

a) I modelli iterativi forniscono solo una conoscenza approssimata e per punti della

risposta totale (libera e forzata) del sistema: essi sono adatti per la simulazione su

calcolatore.

b) I modelli differenziali forniscono l'espressione analitica esatta (dal punto di vista

matematico) della risposta totale del sistema. Sono pertanto più completi e precisi dei

modelli iterativi. Tuttavia non risulta sempre agevole risolvere i modelli differenziali,

in particolare quando il sistema è di ordine superiore al secondo o quando il segnale

di ingresso ha un andamento "complicato".

c) La funzione di trasferimento in j consente di ricavare solo la risposta forzata in

regime sinusoidale permanente, cioè la risposta forzata quando in ingresso viene

applicato un segnale sinusoidale (o un segnale dato dalla somma di segnali

sinusoidali). Limitatamente ai pochi segnali di ingresso per i quali risulta semplice il

calcolo della trasformata di Fourier ( par. 6.6), la f. di t. in j consente di

determinare la risposta totale del sistema. In quest'ultimo caso dunque il calcolo

effettuato con F(j) è equivalente alla soluzione dell'equazione differenziale

ingresso-uscita. Occorre tuttavia tenere conto del fatto che l'antitrasformazione del

risultato finale non è un'operazione semplice nella maggior parte dei casi.

d) La funzione di trasferimento generalizzata in S consente di determinare la risposta

totale del sistema (risposta libera e risposta forzata) con qualsiasi ingresso che

ammetta la trasformata di Laplace, a condizione di essere in grado di antitrasformare

il risultato finale. Ciò in pratica risulta abbastanza agevole solo per i sistemi del

primo o del secondo ordine e limitatamente a segnali di ingresso non troppo

"complicati".

Vediamo ora un paio di esempi di sistemi lineari descritti per mezzo dei modelli

matematici precedentemente elencati. Si osservino attentamente le relazioni esistenti fra

i diversi modelli e si noti come da ogni modello sia possibile ricavare tutti gli altri.

a) Circuito RLC

Esaminiamo ora circuito RLC in figura 8.1

3

Figura 8.Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. - Circuito RLC

Allo scopo di determinare la funzione di trasferimento del circuito, calcoliamone

per prima cosa l'impedenza totale di ingresso:

ZV

I

R Z R SL Z R SL RSC

R

SL RSC

SL RSC

RS LR C SL

S LC SCR

S LCR SCR R R S LR C SL

S LC SCR

S LC R R S L CR R R

S LC SCR

tot

in

tot

p s

.

./ / / /1 1 1 2 1

2

2

1

2

2

2

2

2

1 2 1 1

2

2

2

2

2

1 2 1 2 1

2

2

1

1

1

1 1

1

A questo punto non è difficile ottenere la funzione di trasferimento generalizzata del

circuito:

F

V

V

R I

V

RV

Z

V

R

Z

S LC SCR

S LCR R

RS

L CR R

R

u

in

tot

in

in

tot

intot

(S)

.

.

.

.

.

.

1

1

1

2

2

2 1 2

1

1 2

1

1

1

Osserviamo che la funzione di trasferimento generalizzata così ottenuta ha due poli:

dunque l’ordine del sistema è due (come d’altra parte si può dedurre anche dalla

presenza nel circuito di due componenti reattivi, cioè in grado di accumulare energia). Si

noti che la f. di t. ha anche due zeri, ma ciò non influisce sull’ordine del sistema.

Dalla funzione di trasferimento possiamo ricavare la relazione differenziale

ingresso-uscita del sistema:

S LC

R R

RS

L CR R

RV S LC SCR Vu in

2 1 2

1

1 2

1

2

21 1

. .

da cui abbiamo infine

LC

R R

R

d v

dt

L CR R

R

dv

dtv LC

d v

dtCR

dv

dtvu u

u

in in

in

1 2

1

2

2

1 2

1

2

2 2

L'equazione differenziale così ottenuta è del secondo ordine. Si noti che l’ordine

dell'equazione differenziale è dovuto alla presenza della derivata seconda della incognita

vu: la presenza della derivata seconda del segnale di ingresso vin non influisce invece

sull’ordine dell’equazione differenziale.

4

E' possibile trasformare l'equazione differenziale ingresso-uscita in una coppia di

equazioni differenziali di stato (ciascuna del primo ordine), introducendo una nuova

variabile y uguale alla derivata prima di vu ( par. 3.5):

Di tale coppia di equazioni è poi anche possibile ottenere una versione approssimata ed

iterativa, adatta per la simulazione su calcolatore (si noti come le derivate del segnale

di ingresso vin non vengano approssimate, dal momento che è possibile eseguire il

calcolo esattamente):

y t t y t

t

LC R R

L CR R

LCd v t

dtCR

dv t

dtv t v t

L CR R

R

y t

v t t v t t y t

in in

in u

u u

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

1 2

1 2

2

2 2

1 2

1

Si osservi come, per studiare questo sistema, si sia partiti dalla funzione di

trasferimento per poi ricavare da questa gli altri modelli matematici del sistema. Questo

metodo di procedere è tipico dell’analisi dei sistemi di tipo circuitale, per i quali è facile

ricavare la funzione di trasferimento con il metodo delle impedenze complesse. Per i

sistemi non circuitali, come per esempio il sistema "molla + corpo" (vedi l'esempio

successivo), è generalmente più agevole ricavare prima il modello basato sulle

equazioni di stato o sull'equazione differenziale ingresso-uscita e quindi ottenere da

questi la funzione di trasferimento del sistema.

b) Sistema "molla + corpo"

Consideriamo un sistema2 costituito da una molla verticale e da un corpo ad essa

appeso (sottoposto dunque all’azione della forza di gravità, fig. 8.2). Supponiamo

inoltre inizialmente che sul corpo non agisca nessuna forza di attrito. L'uscita del

sistema è lo spostamento x del corpo.

2 Il sistema "molla+corpo" con attrito è stato già studiato nel paragrafo 7.4 del primo volume e, in una versione un po' modificata, nel paragrafo 3.2 del terzo volume.

LC

R R

R

dy

dt

L CR R

Ry LC

d v

dtCR

dv

dtv v

dv

dty

in in

in u

u

1 2

1

1 2

1

2

2 2

5

Figura 8.Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. - Sistema "molla + corpo"

Per determinare un modello matematico per il sistema scriviamo anzitutto la legge di

bilancio delle forze agenti sul corpo:

Ftot = m. g - Km. x

da cui in base alla seconda legge di Newton abbiamo:

m. a = Fg - Km. x

e sfruttando infine la relazione che lega l'accelerazione alla velocità:

mdv

dtm g K xm

L'equazione così trovata rappresenta una delle due equazioni di stato del sistema. La

seconda equazione di stato può essere ricavata immediatamente dalla relazione:

vdx

dt

Il modello differenziale di stato a due equazioni del sistema "molla + corpo" è dunque il

seguente:

mdv

dtm g K x

dx

dtv

m

Dal precedente non è difficile ricavare per sostituzione l'equazione differenziale

ingresso uscita del secondo ordine per il calcolo di x:

md x

dtK x m gm

2

2

Infine, considerando come ingresso la forza di gravità Fg = m. g, dall'equazione

differenziale ingresso-uscita possiamo ricavare la funzione di trasferimento

generalizzata:

6

FX

F m S Kg m

(S)

12

Lasciamo come esercizio per il lettore la determinazione degli altri modelli matematici

del sistema (equazioni iterative e funzione di trasferimento in j), che possono essere

ricavati senza eccessive difficoltà dai precedenti.

Vediamo invece in quale modo si modificano i modelli del sistema se si vuole

tenere conto della presenza di una forza di attrito viscoso con l'aria di valore:

Fa = - Kv. v

In questo caso la legge di bilancio delle forze diventa:

Ftot = m. g - Km. x - Kv

. v

Senza ripetere tutti i passaggi matematici, possiamo subito scrivere il modello

differenziale di stato del sistema (aggiungendo semplicemente il termine dovuto

all'attrito viscoso al modello ricavato precedentemente):

mdv

dtK v m g K x

dx

dtv

v m

Dal precedente possiamo ricavare subito l'equazione differenziale ingresso-uscita

md x

dtK

dx

dtK x m gv m

2

2

e la funzione di trasferimento in S

FX

F m S K S Kg v m

(S)

12

I modelli matematici ricavati considerando la presenza di attrito sono indubbiamente più

precisi (dal punto di vista fisico, cioè rispetto alle misure sperimentali) dei modelli che

non tengono conto dell'attrito. Il rovescio della medaglia è che tali modelli risultano

anche più complicati da calcolare.

Come risulta evidente dall'esempio del sistema "molla + corpo", uno stesso

sistema fisico può essere descritto per mezzo di modelli matematici differenti, a seconda

del grado di precisione che si vuole ottenere. In questo contesto ciò che importa non è

tanto il particolare tipo di modello utilizzato per la descrizione del sistema (equazione

differenziale, funzione di trasferimento ecc.), quanto le caratteristiche generali di tale

descrizione (ordine, tipo e numero di parametri ecc.).

Modelli e modellizzazioni

7

A questo proposito introduciamo il termine modellizzazione3 (di un sistema) per indicare un'intera classe di modelli, omogenei per quanto riguarda la descrizione fisica fornita e dipendenti l'uno dall'altro, nel senso che ogni modello appartenente a una data modellizzazione può essere ricavato matematicamente dagli altri modelli della stessa modellizzazione.

Così ad esempio per il sistema "molla + corpo" abbiamo individuato due possibili

modellizzazioni, a seconda che si tenga conto oppure no dell'attrito con l'aria. Le due

modellizzazioni comprendono ciascuna gli stessi tipi di modelli matematici (modello di

stato, modello ingresso-uscita, funzione di trasferimento) e si differenziano fra loro per

l'ordine e il grado di precisione.

In generale dunque "modellizzare un sistema" significa individuare una

modellizzazione che descriva il sistema con una precisione sufficiente rispetto agli scopi

dello studio. Una volta scelta una particolare modellizzazione, sarà possibile utilizzare

uno qualsiasi dei diversi modelli matematici disponibili, a seconda del tipo di calcoli

che si desiderano effettuare. Si osservi che in realtà, fino dai primi capitoli del primo

volume, il problema della "modellizzazione" è per noi sempre stato di fondamentale

importanza. L'approccio fin qui considerato consisteva nel partire da una descrizione

fisica del sistema (cioè dalle leggi che descrivono i fenomeni che avvengono nel

sistema) per arrivare quindi a costruire un modello matematico per il calcolo della

variabile di uscita4. Il metodo che verrà proposto nei prossimi paragrafi è invece

sensibilmente diverso. Il punto di partenza sarà in questo caso la modellizzazione del

sistema. Si cercherà quindi di stabilire a priori quali sistemi (e con quale precisione)

possano essere descritti per mezzo di una certa modellizzazione. In sostanza si darà la

precedenza agli aspetti matematici della descrizione, rispetto alla identificazione dei

fenomeni fisici che avvengono nel sistema (come si vedrà, in molti casi è possibile

"modellizzare" un sistema anche ignorando i dettagli fisici del comportamento del

sistema stesso). Per comodità di trattazione, suddivideremo le modellizzazioni in base

all'ordine, cioè, a seconda del particolare modello matematico considerato, in base:

a) al numero delle variabili di stato e delle equazioni di stato.

b) alla massima derivata dell'incognita presente nell'equazione

differenziale ingresso uscita.

c) al numero dei poli della funzione di trasferimento generalizzata.

E' più corretto affermare che l'ordine è una caratteristica del sistema o della sua modellizzazione?

Quali sono le differenze fra il concetto di "modello matematico" e quello di "modellizzazione"?

8.2 Modellizzazioni di ordine zero

3 Il termine modellizzazione non è certo molto elegante, ma dovrebbe rendere abbastanza bene l'idea di una generalizzazione del concetto di modello matematico. 4 Così abbiamo fatto ad esempio per il circuito RLC: utilizzando le leggi fisiche dei circuiti e dei componenti abbiamo ricavato i modelli matematici per il calcolo della tensione di uscita. Analogamente per il sistema "molla + corpo" siamo partiti da una descrizione fisica del sistema e da questa abbiamo ricavato le equazioni differenziali per il calcolo di x e di v.

?

8

Tutte le modellizzazioni di ordine zero, a seconda del particolare modello

matematico considerato, presentano le seguenti caratteristiche generali:

a) Non ci sono variabili di stato. b) L'equazione differenziale ingresso-uscita non contiene derivate

del segnale di uscita (non si tratta dunque di una "vera" equazione differenziale). Essa può tuttavia contenere derivate del segnale di ingresso.

c) La funzione di trasferimento generalizzata F(S) non contiene poli

(che dipendono dalla presenza di derivate del segnale di uscita nella relazione differenziale ingresso-uscita). Essa tuttavia può contenere degli zeri, dal momento che questi dipendono dalla presenza nell’equazione differenziale di eventuali derivate del segnale di ingresso (che non influiscono sull’ordine del sistema).

Dal punto di vista delle caratteristiche fisiche dei sistemi, le modellizzazioni di ordine

zero sono adatte per descrivere sistemi nei quali non è presente nessun accumulo di

energia, che non manifestano nessuna risposta libera e che hanno una banda passante in

frequenza illimitata. In pratica, come si vedrà meglio nel seguito, i sistemi reali possono

possedere tali caratteristiche solo in prima approssimazione, per cui sarebbe più corretto

affermare che le modellizzazioni di ordine zero si applicano a quei sistemi con

trascurabile accumulo di energia, con risposta libera di piccola ampiezza o che si

estingue rapidamente e con banda passante molto larga.

8.2.1 Modellizzazione puramente proporzionale

La più semplice modellizzazione di ordine zero è quella puramente

proporzionale (detta anche proporzionale ideale5). La ragione del nome risulta

immediatamente evidente dall'equazione ingresso-uscita, la quale assume la forma:

u(t) = K. i(t)

5 Qui e nel seguito con il termine "ideale" si intende una modellizzazione di un sistema,

la quale tiene conto soltanto delle caratteristiche principali del comportamento del

sistema stesso e che pertanto, in determinate condizioni, può fornire risultati in

disaccordo con gli esperimenti. Viceversa una modellizzazione "reale" è più precisa, dal

momento che riesce a prevedere correttamente anche quei comportamenti che sono

trascurati dalla modellizzazione "ideale". Occorre tuttavia osservare che, poiché nessun

modello matematico è mai in grado di prendere in considerazione la totalità dei

fenomeni fisici che avvengono in un sistema, ne consegue che anche le modellizzazioni

"reali" rappresentano sempre delle idealizzazioni, non potendo prevedere il

comportamento del sistema in ogni possibile condizione di funzionamento. In pratica i

due termini, "ideale" e "reale", sono utilizzati in contrapposizione fra loro, senza nessun

significato assoluto, per indicare due modellizzazioni affini aventi diverso grado di

precisione.

9

dove K è un opportuno parametro del sistema. La corrispondente funzione di

trasferimento generalizzata (ricavabile immediatamente dalla relazione precedente) è:

F SU

IK( )

In questo caso F(S) è una funzione costante (non dipende da S) e coincide con la

corrispondente f. di t. in j:

F jU

IK( )

Osserviamo che

|F(j)| = K

e

<F(j) = 0 rad (se K>0) oppure <F(j) = rad (se K<0).

Nonostante la sua notevole semplicità, la modellizzazione puramente proporzionale

consente di descrivere, in prima approssimazione, il comportamento di molti sistemi

lineari. Ad esempio essa rappresenta abbastanza bene il funzionamento di amplificatori,

trasduttori , attuatori6 e in generale tutti quei sistemi in cui l'uscita risulta direttamente

proporzionale all'ingresso.

Tuttavia la modellizzazione puramente proporzionale costituisce una

idealizzazione del comportamento di un sistema reale, dal momento che prevede una

risposta in frequenza piatta e quindi una banda passante infinita ( par. 4.3). Infatti,

come si è visto, modulo e fase di F(j) risultano costanti per tutti i valori di . Nei

sistemi reali invece la risposta in frequenza presenta pressoché invariabilmente un

"taglio" alle alte frequenze. Tale "taglio" è dovuto ad effetti parassiti (cioè indesiderati) ,

di cui la modellizzazione puramente proporzionale non tiene conto7. Ciò significa che in

generale un sistema potrà essere descritto con sufficiente precisione da una

modellizzazione proporzionale ideale, solo se le frequenze del segnale di ingresso8 si

mantengono al di sotto della frequenza di taglio del sistema. Se viene superato tale

limite in frequenza, il valore della costante di proporzionalità decresce e il sistema

comincia ad introdurre uno sfasamento fra il segnale di uscita e il segnale di ingresso

( fig. 8.3). In questo caso, per descrivere il comportamento del sistema, occorre una

modellizzazione di ordine superiore ( par. 8.3.2).

6 I trasduttori (o sensori) sono sistemi che forniscono in uscita una grandezza (di solito una tensione o una corrente) direttamente proporzionale ad un'altra grandezza fisica. Servono per effettuare misure automatiche: ad esempio un trasduttore di temperatura fornisce in uscita una

tensione direttamente proporzionale alla temperatura misurata. Gli attuatori invece convertono una grandezza (di solito di tipo elettrico) in un'altra grandezza fisica proporzionale. Ad esempio un attuatore potrebbe trasformare la tensione di comando di una valvola nell'apertura o nella chiusura della valvola stessa. Sui trasduttori e sugli attuatori vedi le schede di approfondimento 10.2 e 10.3. 7 Sarebbe possibile dimostrare, in base a considerazioni più approfondite, che un sistema a banda infinita è fisicamente impossibile. 8 Le frequenze del segnale di ingresso sono quelle appartenenti allo spettro del segnale ( par. 6.3).

Limiti di validità della

modellizzazione puramente

proporzionale

10

Figura 8.Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. - Risposta in frequenza di un

sistema "reale" e limiti di validità della modellizzazione puramente proporzionale

8.2.2 Modellizzazione puramente derivativa e proporzionale-

derivativa

Quella puramente proporzionale è solo la più semplice fra tutte le

modellizzazioni di ordine zero. Come si è già detto, sono infatti di ordine zero tutti

quelle modellizzazioni in cui funzione di trasferimento non contiene poli: non vi è però

nessuna limitazione sul numero degli zeri. Ad esempio è di ordine zero anche la

modellizzazione puramente derivativa (detta anche derivativa ideale), nella quale

l'equazione ingresso-uscita9 assume la forma:

u t Kdi t

dt( )

( )

Il nome è giustificato evidentemente dal fatto che un sistema descritto da questa

modellizzazione fornisce in uscita un segnale direttamente proporzionale alle derivata

del segnale di ingresso. La corrispondente funzione di trasferimento generalizzata in S

FU

IK S(S)

contiene solo uno zero nell’origine. Per quanto riguarda la funzione di trasferimento in

j abbiamo:

9 Attenzione, nonostante la presenza della derivata, non si tratta di un'equazione

differenziale. In un'equazione differenziale devono comparire le derivate dell'incognita

(le derivate dell'ingresso non hanno alcuna importanza).

11

F(j) = K. j

da cui

F j K F j( ) ( )

2

Come si può subito osservare, la risposta in frequenza della modellizzazione

puramente derivativa è ancora meno realistica di quella della modellizzazione

puramente proporzionale, in quanto prevede che il modulo cresca indefinitamente

all’aumentare della frequenza del segnale di ingresso ( fig. 8.4). Anche in questo caso

la validità della modellizzazione è in pratica sempre limitata alle basse frequenze (si

veda anche la trattazione della modellizzazione derivativa non ideale al paragrafo 8.3.3).

Figura 8.Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. -

Grafico bilogaritmico della risposta in frequenza della

modellizzazione puramente derivativa

Altre modellizzazioni di ordine zero10, caratterizzate tutte da un andamento del

modulo di F(j) crescente con la frequenza, possono essere ottenute aumentando il

numero degli zeri in F(S). A titolo di esempio citiamo solo la modellizzazione

proporzionale-derivativa, caratterizzata dalla seguente funzione di trasferimento

F K S(S) 1

e dalla corrispondente relazione differenziale ingresso-uscita

10 Poiché l'ordine della modellizzazione non dipende dal numero di zeri della funzione di trasferimento (ovvero il numero di derivate dell'ingresso nella relazione differenziale ingresso-uscita), ne consegue che è possibile "inventare" infinite modellizzazioni di ordine zero, semplicemente aggiungendo derivate dell'ingresso nella equazione differenziale e zeri nella funzione di trasferimento generalizzata. La maggior parte di tali modellizzazioni presenta però un interesse puramente teorico, non essendo in pratica quasi mai utilizzate.

Limiti di validità della

modellizzazione puramente derivativa

Modellizzazione proporzionale-

derivativa

12

u t Kdi t

dtK i t( )

( )( )

Come si può notare il nome di questa modellizzazione ha origine dalla presenza, nella

relazione differenziale ingresso uscita, di una parte direttamente proporzionale al

segnale di ingresso e di una parte proporzionale alla derivata del segnale di ingresso.

Incontreremo ancora questo tipo di modelli nel paragrafo 10.4, parlando del regolatore

proporzionale-derivativo.

Per quale ragione con un modello di ordine zero è possibile rappresentare un comportamento derivativo

e non un comportamento integrativo? Spiegare.

8.3 Modellizzazioni di ordine uno

Tutte le modellizzazioni di ordine uno, a seconda del particolare modello

matematico considerato, presentano le seguenti caratteristiche generali:

a) C'è una sola variabile di stato. b) L'equazione differenziale ingresso-uscita contiene solo la

derivata prima del segnale di uscita (non c'è invece alcun limite al numero di derivate del segnale di ingresso).

c) La corrispondente funzione di trasferimento generalizzata F(S)

contiene solo un polo. Come già visto nel caso delle modellizzazioni di ordine zero, non vi è invece nessuna limitazione sul numero degli zeri (gli zeri infatti non influiscono sull’ordine del sistema).

Dal punto di vista delle caratteristiche fisiche dei sistemi, le modellizzazioni di ordine

uno sono adatte per descrivere sistemi nei quali è presente un unico serbatoio di energia

e che manifestano una risposta libera di tipo esponenziale decrescente11. Per quanto

riguarda la risposta in frequenza, come si vedrà meglio nel seguito, le modellizzazioni di

ordine uno presentano una banda passante limitata alle alte frequenze se la f. di t.

generalizzata non contiene zeri; viceversa, in presenza di zeri, la banda passante risulta

illimitata.

8.3.1 Modellizzazione puramente integrativa

La più semplice modellizzazione di ordine uno (modellizzazione puramente

integrativa o integrativa ideale) è caratterizzata dalla presenza in F(S) di un solo polo

nella origine. La funzione di trasferimento generalizzata assume dunque la seguente

forma

11 L'unica eccezione è rappresentata dalla risposta libera della modellizzazione puramente

integrativa, che è costituita da un termine costante ( par. 8.3.1).

?

13

FK

S(S)

e la corrispondente equazione differenziale ingresso-uscita è la seguente

du t

dtK i t

( )( )

Non è difficile osservare come la precedente equazione differenziale corrisponda ad una

equazione iterativa in forma degenere ( par. 6.6 vol. 1). Approssimando infatti la

derivata con il rapporto incrementale, abbiamo subito

u t t u t t K i t( ) ( ) ( )

E' interessante osservare che, data la relazione generale esistente fra i poli p di una

funzione di trasferimento generalizzata e le costanti di tempo dei termini esponenziali

della risposta libera ( par. 7.9)

1

p

ad un polo nullo corrisponde una costante di tempo di valore infinito. Ciò si accorda

perfettamente col fatto già noto che le equazioni iterative in forma degenere presentano

una costante di tempo infinitamente grande.

Abbiamo già incontrato questo tipo di modellizzazione nei paragrafi 4.4 e 5.4.2

trattando del circuito integratore invertente con operazionale. Integrando ambo i membri

dell'equazione differenziale ingresso-uscita si ottiene infatti:

du t

dtdt K i t dt

u t u K i t dt

t t

t

( ' )

'' ( ' ) '

( ) ( ) ( ' ) '

0 0

0

0

da cui infine

u t u K i t dt

t

( ) ( ) ( ' ) ' 00

In conclusione12, con questa modellizzazione l'uscita risulta proporzionale all'integrale

dell'ingresso (questa è la ragione del nome). Si noti che, oltre il termine proporzionale,

c'è anche un termine costante u(0), pari al valore iniziale dell'uscita stessa. Ciò è dovuto

al fatto che l'integrale definito

12 Sebbene l'uscita sia stata ricavata in questo caso integrando direttamente l'equazione differenziale, volendo, sarebbe possibile applicare il metodo risolutivo basato sulla trasformata di Laplace illustrato nel capitolo 7. Va da sé che i risultati ottenuti sarebbero gli stessi. Bisogna però osservare che, per poter usare il metodo della trasformata di Laplace, occorre specificare il segnale di ingresso considerato.

14

du t

dtdt

t( ' )

''

0

ha come primitiva13 u(t) e tale primitiva dev'essere calcolata nei due estremi di

integrazione 0 e t.

Non è difficile vedere che il termine costante u(0) rappresenta la risposta libera

della modellizzazione puramente integrativa. Infatti in generale la risposta libera di un

sistema di ordine uno ha un andamento esponenziale decrescente del tipo

e

t

In questo caso tuttavia la costante assume un valore infinito e ciò corrisponde

intuitivamente a una risposta libera esponenziale che "non decresce mai", cioè in pratica

a una risposta libera costante.

Il comportamento previsto dalla modellizzazione puramente integrativa è poco

realistico14 (per questo motivo viene anche detta integrativa ideale) in quanto,

applicando in ingresso al sistema un segnale costante, l’uscita del sistema dovrebbe

crescere all'infinito: infatti l'integrale di un termine costante è una retta crescente. Tale

comportamento può anche essere facilmente dedotto dalla risposta in frequenza, come

mostra la figura 8.5. Infatti un segnale costante equivale a una sinusoide degenere con

= 0 ( par. 4.1) e in corrispondenza di = 0 il modulo della risposta in frequenza (cioè

il guadagno subito dal segnale di ingresso) tende all'infinito (a causa della presenza del

polo nullo).

13 La variabile di integrazione è stata indicata con t' per distinguerla dall'estremo di integrazione t. Si tratta di un semplice formalismo matematico, di cui lo studente non deve preoccuparsi troppo. 14 Questo comportamento poco realistico è comune anche alle modellizzazioni di ordine uno che, oltre al polo nell’origine, presentano uno o più zeri (non nell’origine). A causa della presenza del polo in S = 0, il sistema manifesta sempre un’uscita crescente nel tempo con segnali di ingresso costanti. Un esempio di sistema descritto da un modello di questo tipo è rappresentato dal regolatore proporzionale-integrale, di cui si parlerà nel paragrafo 11.5.

Risposta libera della

modellizzazione puramente integrativa

15

Figura 8.Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. - Diagramma di Bode del

modulo della risposta in frequenza di una modellizzazione integrativa ideale

Poiché, come si è detto, nessun sistema può mai produrre un'uscita sempre

crescente, è dunque ovvio che la modellizzazione puramente integrativa può costituire

solo una approssimazione del comportamento di un sistema reale. Per esempio, in un

circuito integratore con operazionale, in presenza di un segnale continuo di ingresso,

normalmente l'uscita cresce fintantoché l'operazionale non entra in saturazione15. E'

interessante osservare come ciò corrisponde al manifestarsi nel sistema di un

comportamento di tipo non lineare.

8.3.2 Modellizzazione proporzionale a banda limitata (di ordine uno)

Un'altra modellizzazione di ordine uno è quella detta proporzionale con banda

limitata o proporzionale reale, caratterizzata dalla seguente funzione di trasferimento

generalizzata in S:

FK

S(S)

1

e dalla seguente equazione differenziale ingresso-uscita

du t

dtu t K i t

( )( ) ( )

15 In un integratore con operazionale, segnali di ingresso costanti sono spesso presenti (anche se non desiderati) a causa delle tensioni e delle correnti di "offset". Per questa ragione, i circuiti puramente integrativi (o integratori ideali) sono scarsamente usati nella pratica. Normalmente si preferisce ricorrere a circuiti pseudo-integrativi (o integratori reali), i quali presentano un comportamento integrativo solo per segnali di ingresso variabili nel tempo. Un integratore reale

può essere descritto per mezzo di una modellizzazione proporzionale a banda limitata ( par. 8.3.2).

16

In questo caso F(S) presenta un solo polo di valore -1/. La risposta libera del sistema è

costituita da un esponenziale decrescente con costante di tempo . Dal punto di vista del

comportamento in frequenza, un sistema di questo tipo ha una risposta di tipo “filtro

passa-basso”, con guadagno in banda passante uguale a K e pulsazione di taglio16 pari a

1/. Per valori di frequenza superiori alla pulsazione di taglio, il modulo della risposta in

frequenza ha (su un grafico bilogaritmico) un andamento rettilineo decrescente, con

pendenza -20dB/decade ( fig. 8.6).

Figura 8.Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. - Risposta in frequenza della

modellizzazione proporzionale con banda limitata e confronto con le

modellizzazioni puramente proporzionale e puramente integrativa

Si osservi che, in banda passante (cioè per pulsazioni inferiori a 1/), la risposta

in frequenza della modellizzazione coincide in pratica con quella di una

modellizzazione puramente proporzionale ( par. 8.2.1). Pertanto questa

modellizzazione si presta bene a descrivere il fenomeno di attenuazione alle alte

frequenze presente in tutti i sistemi proporzionali reali (per questo motivo viene anche

detta proporzionale reale).Pertanto, dato un sistema di tipo proporzionale (per esempio

un amplificatore), se la sua banda passante risulta sufficientemente ampia (rispetto alle

frequenze delle armoniche del segnale di ingresso), allora, come abbiamo già osservato

nel paragrafo 8.2.1, è possibile descriverlo con una modellizzazione puramente

proporzionale (di ordine zero). Viceversa, se il segnale applicato in ingresso ha

armoniche con frequenze superiori alla frequenza di taglio del sistema, è necessario

utilizzare una modellizzazione proporzionale a banda limitata17. In base alle

16 Per questo tipo di sistema già sappiamo che il valore della pulsazione di taglio coincide

esattamente col valore dell’unica break-frequency del diagramma di Bode ( par. 5.3.3). 17 In realtà anche la modellizzazione proporzionale con banda limitata di ordine uno rappresenta una approssimazione del comportamento dei sistemi reali, i quali presentano di solito più di un polo e quindi più di una break-frequency. In tali casi, per descrivere il sistema è necessario ricorrere a modelli di ordine superiore (si veda la modellizzazione proporzionale con banda limitata di ordine due nel paragrafo 8.4.1).

Comportamento proporzionale

17

considerazioni svolte nel paragrafo 6.3 sul legame esistente fra banda di un segnale e

rapidità di variazione del segnale stesso, possiamo dunque affermare che

in pratica la modellizzazione proporzionale di ordine zero si applica in presenza di segnali di ingresso costanti o lentamente variabili nel tempo; per segnali a rapida variazione risulta invece indispensabile usare una modellizzazione di ordine uno (o superiore).

Dal punto di vista delle caratteristiche fisiche del sistema modellizzato, si può

facilmente vedere come il taglio alle alte frequenze possa essere in generale ricondotto

alla presenza di un qualche tipo di fenomeno inerziale18. Ad esempio consideriamo un

trasduttore di temperatura, cioè un dispositivo che fornisce in uscita una tensione

direttamente proporzionale alla temperatura ambientale. Affinché esso possa misurare

correttamente la temperatura esterna, è necessario che il corpo del trasduttore sia in

equilibrio termico con l’ambiente, cioè occorre che la temperatura del dispositivo sia

uguale alla temperatura dell’ambiente. Se quest'ultima cambia, la temperatura del

trasduttore deve adeguarsi a tale cambiamento, affinché esso possa fornire una misura

corretta. Tale processo richiede comunque un certo tempo, legato alla costante di tempo

del sistema. In presenza di variazioni di temperatura troppo rapide, il trasduttore

potrebbe non essere in grado di seguirle fedelmente, a causa della propria inerzia

termica. Questo fenomeno può essere immediatamente messo in relazione con una

limitazione di banda del sistema. Infatti, come si è detto, un segnale a rapida variazione

è un segnale a banda larga, cioè contenente armoniche con frequenze elevate: se la

banda del sistema è limitata, tali armoniche vengono attenuate e sfasate ed il sistema

introduce una distorsione in frequenza sul segnale ( 6.5). Ciò significa che l’uscita

non può essere esattamente proporzionale al segnale di ingresso.

D'altra parte la relazione fra la larghezza di banda e la costante di tempo del

sistema risulta anche evidente dalla formula che esprime la pulsazione di taglio ( par.

5.3.3):

t 1

L'espressione precedente mette in evidenza il fatto che, al crescere della costante di

tempo del sistema, diminuisce la frequenza di taglio e dunque anche la larghezza di

banda (e viceversa). Dunque19 ad una banda passante "larga" corrisponde un sistema

18 Per "inerzia" di un sistema si intende qui la proprietà di ogni sistema fisico di

mostrare resistenza nei confronti di brusche variazioni degli ingressi. Ad esempio

l'inerzia di un oggetto sottoposto improvvisamente all'azione di una forza esterna fa sì

che il corpo acceleri gradatamente, con accelerazione tanto più bassa quanto maggiore è

la massa dell'oggetto. Allo stesso modo un corpo tende ad opporsi a brusche variazioni

della propria temperatura (inerzia termica). In generale i fenomeni inerziali sono legati

alla costante di tempo del sistema, nel senso che sistemi con una grande costante di

tempo presentano una inerzia maggiore e viceversa. 19 Bisogna fare attenzione per evitare confusioni: un sistema "veloce" ha una banda

larga, cioè una frequenza di taglio elevata; un segnale "a rapida variazione" ha una

banda (di segnale) larga, cioè presenta armoniche con frequenze elevate. Per evitare che

Inerzia, costante di

tempo e limitazione di

banda

18

“veloce” (piccola costante di tempo), mentre ad una banda "stretta" corrisponde un

sistema “lento” (costante di tempo elevata). I sistemi di ordine zero, che hanno banda

passante infinitamente larga (non c'è alcuna frequenza di taglio) sono anche

infinitamente veloci, nel senso che rispondono istantaneamente alla applicazione di un

segnale di ingresso (non presentano infatti alcuna risposta libera).

Osserviamo ancora dalla figura 8.6 che, per frequenze superiori alla frequenza di

taglio, la risposta in frequenza della modellizzazione proporziona con banda limitata

coincide con quella del modella modellizzazione integrativa ideale: si tratta infatti di

una retta decrescente con pendenza -20 dB/dec sul grafico bilogaritmico. Ciò significa

che il sistema si comporta da integratore nei confronti dei segnali di ingresso con

frequenza superiore20 a quella di taglio del sistema. Per questo motivo la

modellizzazione proporzionale con banda limitata viene anche detta modellizzazione

integrativa reale: a differenza della modellizzazione integrativa ideale, in questo caso

infatti il sistema non si comporta da integratore nei confronti dei segnali di ingresso

costanti o lentamente variabili. La figura 8.7 mostra i diversi comportamenti di un

sistema proporzionale con banda limitata nei confronti di un onde quadre di ingresso

con diverse frequenze.

un segnale "a rapida variazione" subisca una distorsione in frequenza occorre che il

sistema sia "veloce". 20 Se il segnale contiene più armoniche, si ha un effetto integrativo se l'armonica fondamentale (quella a frequenza più bassa) ha una frequenza superiore alla frequenza di taglio del sistema.

Comportamento integrativo

19

Figura 8.Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. - Risposta di

una modellizzazione proporzionale a banda limitata a onde

quadre di ingresso con diverse frequenze

Si osservi come, per segnali di ingresso a bassa frequenza, il segnale di uscita conserva

ancora una forma d'onda simile a quella dell'ingresso (assomigli ancora a un'onda

quadra, a parte un leggero "arrotondamento" dovuto alla risposta libera). All'aumentare

della frequenza però il segnale di uscita si modifica: la sua ampiezza diminuisce e la sua

forma d'onda si avvicina sempre di più a quella di un'onda triangolare21. Ma l'onda

21 Dalla figura 8.7 si può osservare come l'onda triangolare venga a formarsi,

all'aumentare della frequenza dell'onda quadra di ingresso, a causa del raccordo di due

tratti con andamento esponenziale (in corrispondenza del fronte di salita e del fronte di

discesa dell'ingresso). Poiché il tratto iniziale di una curva esponenziale presenta un

andamento praticamente rettilineo, ne consegue che, quando la frequenza dell'onda

quadra di ingresso diventa molto elevata, il segnale di uscita viene ad essere costituito

dall'unione fra due segmenti di retta e dunque assume una forma di tipo triangolare.

20

triangolare può essere ottenuta calcolando l'integrale di un'onda quadra: ciò significa,

come già osservato, che il sistema, alle alte frequenze, si comporta da integratore nei

confronti del segnale di ingresso. E' interessante notare come tale comportamento di tipo

integrativo si possa osservare non solo nei circuiti integratori, ma anche in altri casi,

come per esempio negli amplificatori o nei filtri passa-basso del primo ordine (quando

le frequenze del segnale di ingresso sono superiori alla frequenza di taglio). In sostanza

non esiste nessuna differenza fra le modellizzazioni di un integratore reale (cioè in

grado di integrare solo i segnali variabili nel tempo), di un filtro passa-basso del primo

ordine o di un amplificatore. Tutti i precedenti sistemi (e molti altri) possono essere

descritti per mezzo della stessa modellizzazione proporzionale a banda limitata.

8.3.3 Modellizzazione derivativa reale

Un'altra semplice modellizzazione del primo ordine è la modellizzazione

derivativa reale, caratterizzata da una funzione di trasferimento che presenta un polo

non nullo e uno zero nella origine:

FK S

S(S)

1

La corrispondente equazione differenziale ingresso-uscita è la seguente

du t

dtu t K

di t

dt

( )( )

( )

La risposta libera è di tipo esponenziale decrescente come nella modellizzazione

proporzionale a banda limitata (la risposta libera dipende infatti solo dai poli e cioè dal

denominatore della funzione di trasferimento).

Si noti che, in questo caso, se il segnale di ingresso è costante, l’uscita del

sistema è nulla, a causa della presenza della derivata dell’ingresso (la derivata di una

costante è infatti sempre uguale a zero). Il sistema non risponde dunque all'applicazione

di un ingresso costante e ciò può essere osservato anche dal grafico della risposta in

frequenza ( fig. 8.8). Infatti il modulo22 tende a zero per tendente a zero (cioè

quando il segnale di ingresso è continuo). L'andamento del grafico della risposta in

frequenza è quello di un filtro passa-alto (del primo ordine).

22 Anche se la modellizzazione derivativa viene detta reale, la sua risposta in frequenza non trova riscontro nei sistemi reali, in quanto essa non presenta nessuna limitazione alle alte frequenze. Il termine "reale" viene dunque usato per distinguerla dalla modellizzazione derivativa

"ideale" (la cui risposta in frequenza cresce addirittura all'aumentare di ) presentata nel paragrafo 8.2.2

21

Figura 8.Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. - Modulo della

risposta in frequenza di una modellizzazione derivativa reale e

confronto con la modellizzazione puramente proporzionale e la

modellizzazione puramente derivativa

Il valore del guadagno in banda passante può essere ricavato dalla espressione analitica

del modulo calcolando il limite per tendente all'infinito:

F j

K K( )

12

Anche in questo caso il valore della pulsazione di taglio coincide con la break-frequency

del diagramma di Bode (b = 1/).

Il comportamento derivativo della modellizzazione viene messo in evidenza dal

grafico della risposta in frequenza. Infatti il modulo, alle basse frequenze, presenta lo

stesso andamento rettilineo e crescente con pendenza +20 dB/dec già incontrato nel caso

della modellizzazione puramente derivativa ( par. 8.2.2). Un filtro passa-alto del

primo ordine può dunque essere usato come derivatore (alle basse frequenze). In effetti

ciò risulta generalmente preferibile per le applicazioni pratiche (rispetto ad un derivatore

"ideale"), in quanto in questo modo non si ha un guadagno crescente al crescere della

frequenza. Per frequenze di ingresso superiori alla frequenza di taglio invece la

modellizzazione derivativa reale presenta un comportamento di tipo proporzionale.

A conclusione del paragrafo, sulla base delle osservazioni precedenti, possiamo

enunciare la seguente regola generale:

se il grafico bilogaritmico del modulo della risposta in frequenza presenta un tratto con prolungata pendenza -20 dB/dec, ciò implica che per la banda di frequenze corrispondente il sistema si comporta da integratore; se invece il grafico presenta un tratto con prolungata

Comportamento derivativo e

proporzionale

22

pendenza +20 dB/dec, per la banda di frequenze corrispondente il sistema si comporta da derivatore.

La modellizzazione puramente integrativa presenta una risposta libera con andamento costante. Questo

significa che il sistema non deve dissipare energia verso l'esterno? Può aversi una risposta libera che non

si estingue in presenza di dissipazione?

La modellizzazione puramente integrativa prevede che il guadagno del sistema sia infinitamente elevato

per segnali di ingresso continui ( = 0). Ciò, come si è detto, non avviene in pratica a causa del fenomeno

della saturazione, che limita l'ampiezza del segnale di uscita. Come sarebbe dunque possibile

rappresentare l'andamento della risposta in frequenza di un integratore con saturazione? La domanda ha

senso?

E' corretto affermare che la larghezza di banda di un sistema dipende dal valore delle sue costanti di

tempo? Spiegare.

Inventare una modellizzazione di ordine uno diversa da quelle presentate nel paragrafo 8.3. Per tale

modellizzazione scrivere la funzione di trasferimento generalizzata e l'equazione differenziale ingresso-

uscita e discutere il comportamento nel tempo e in frequenza.

8.4 Modellizzazioni di ordine due

Tutte le modellizzazioni di ordine due, a seconda del particolare modello matematico

considerato, presentano le seguenti caratteristiche generali:

a) Ci sono due variabili di stato. b) L'equazione differenziale ingresso-uscita contiene la derivata

seconda del segnale di uscita. c) La corrispondente funzione di trasferimento generalizzata in F(S)

contiene due poli. Come già visto nei paragrafi precedenti, non vi è invece nessuna limitazione sul numero degli zeri in F(S) (gli zeri infatti non influiscono sull’ordine del sistema).

Dal punto di vista delle caratteristiche fisiche dei sistemi, le modellizzazioni di

ordine due sono adatte per descrivere sistemi nei quali sono presenti due serbatoi di

energia e la cui risposta libera può essere formata, a seconda dei casi, da una

combinazione lineare di due esponenziali decrescenti oppure da un'oscillazione

sinusoidale smorzata. Per quanto riguarda la risposta in frequenza, la banda risulta

limitata se il numero dei poli risulta superiore a quello degli zeri23, cioè se F(S) contiene

al massimo un solo zero.

23 Questa regola vale in generale anche per sistemi di ordine superiore: se il numero dei

poli supera il numero degli zeri, allora certamente

F j( )

0

Se invece il numero degli zeri è uguale al numero dei poli

F j C( )

dove C è un valore costante reale. Se infine il numero degli zeri è maggiore del numero

dei poli

?

23

8.4.1 Modellizzazione proporzionale con banda limitata (di ordine due)

La prima modellizzazione del secondo ordine che prendiamo in considerazione è

caratterizzata dalla presenza di due poli reali nella funzione di trasferimento:

F

K

S S(S)

1 11 2

La corrispondente equazione differenziale ingresso-uscita è la seguente:

1 2

2

2 1 2

d u t

dt

du t

dtu t K i t

( )( )

( )( ) ( )

La modellizzazione presenta la seguente risposta libera (che si può calcolare in base al

valore dei poli della f. di t.):

u t C e

t

C e

t

L ( )

11

22

Supponendo che si abbia ‘1>2’, il diagramma di Bode del modulo della risposta in

frequenza è quello mostrato in figura 8.9

Figura 8.Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. -

Modulo della risposta in frequenza di una

modellizzazione proporzionale con banda limitata del

secondo ordine

F j( )

Le ultime due condizioni, come è stato più volte ricordato, sono fisicamente impossibili,

dal momento che la risposta in frequenza deve sempre presentare un taglio alle alte

frequenze.

24

La risposta in frequenza è evidentemente quella di un filtro passa-basso: rispetto

al filtro passa-basso del primo ordine studiato nel paragrafo 8.3.2, questo presenta un

tratto della curva del modulo a pendenza -40 dB/decade. La modellizzazione presenta

un comportamento di tipo proporzionale per pulsazioni di ingresso di valore inferiore

alla prima break-frequency. Anche questa modellizzazione può dunque essere utilizzata

per descrivere sistemi proporzionali: rispetto alla modellizzazione proporzionale a

banda limitata di ordine uno, quella di ordine due consente di rappresentare sistemi con

due diverse costanti di tempo ( par. 8.6). La banda integrativa della modellizzazione è

in questo caso limitata alla zona in cui il grafico del modulo ha una pendenza di -20

dB/dec (tra le due break-frequency).

8.4.2 Modellizzazione a banda centrale

Un altra modellizzazione del secondo ordine cui vale la pena di accennare è

quella caratterizzata dalla seguente funzione di trasferimento:

F S

K S

S S( )

1 11 2

In questo caso oltre a due poli reali, si ha anche la presenza di uno zero nella origine. La

corrispondente equazione differenziale ingresso-uscita è la seguente:

1 2

2

2 1 2

d u t

dt

du t

dtu t K

di t

dt

( )( )

( )( )

( )

L’unica differenza24 rispetto alla precedente modellizzazione è la presenza della derivata

dell’ingresso: a causa di tale derivata il sistema non è in grado di rispondere a segnali di

ingresso di tipo costante ( par. 8.2.2). Il diagramma di Bode del modulo della risposta

in frequenza è quello mostrato in figura 8.10

24 Per quanto riguarda la risposta libera, poiché essa non dipende dal segnale di ingresso e dalle sue derivate, essa è sempre data dalla somma di due esponenziali decrescenti.

Comportamento proporzionale e

integrativo

25

Figura 8.Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. - Modulo

della risposta in frequenza della modellizzazione a banda centrale

Come si può osservare la risposta in frequenza di questo sistema ha un andamento del

tipo filtro passa-banda con una banda passante centrale compresa fra le due break-

frequency (per questo motivo la modellizzazione viene detta a banda centrale).

Poiché il guadagno in banda passante è costante25, ne consegue che, per le

frequenze intermedie, questa modellizzazione presenta un comportamento di tipo

proporzionale. Per pulsazioni inferiori alla prima break-frequency invece il

comportamento è di tipo derivativo (pendenza + 20 dB/dec sul diagramma di Bode),

mentre per pulsazioni superiori alla seconda break-frequency il comportamento è di tipo

integrativo (pendenza - 20 dB/dec sul diagramma di Bode).

8.4.3 Modellizzazione risonante del secondo ordine

Consideriamo adesso un ultimo tipo di modellizzazione del secondo ordine,

caratterizzata dalla presenza in F(S) di due poli complessi e coniugati:

FK

A S B S(S)

2 1

Questo tipo di f. di t. è stato già studiato nei paragrafi 5.8 e 7.8. I poli sono complessi e

coniugati se

QA

B

1

2

Come noto, in presenza di poli complessi e coniugati la risposta libera del sistema è di

tipo oscillante. Inoltre il diagramma di Bode del modulo della risposta in frequenza

25 Il valore del guadagno in banda passante può essere ricavato osservando che il modulo vale

K per =1 e cresce nel primo tratto come una retta con pendenza unitaria: infatti, se non

intervenissero poli, esso raggiungerebbe il valore 10.K in =10. Dunque M=K nel primo tratto a

pendenza rettilinea: pertanto in =1/1 si ha M=K.1/1=K.1.

Comportamento proporzionale,

derivativo e integrativo

26

presenta un caratteristico "picco" in corrispondenza della pulsazione naturale ( fig.

8.11)

nA

1

Come sappiamo, questa particolare risposta in frequenza indica che il sistema entra in

risonanza per valori di pulsazione26 del segnale di ingresso prossimi a n. Questa

modellizzazione si presta dunque bene per descrivere sistemi risonanti. Osserviamo

infine che per pulsazioni inferiori a n la risposta in frequenza presenta una banda di

comportamento proporzionale.

Figura 8.Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. -

Modulo della risposta in frequenza della

modellizzazione del secondo ordine risonante

8.5 Approssimazione del polo dominante

Nei paragrafi precedenti abbiamo passato in rassegna alcune modellizzazioni di

ordine zero, uno e due. Aumentando ulteriormente il numero di poli della funzione di

trasferimento generalizzata, si possono ottenere modellizzazioni di ordine superiore.

Tuttavia in genere i modelli di ordine superiore al secondo sono piuttosto complicati da

studiare e difficili da calcolare, per cui non si è ritenuto opportuno includerli nella nostra

trattazione. Vedremo però adesso come, in certe condizioni, sia possibile approssimare

un modello di ordine superiore per mezzo di un modello più semplice di ordine

inferiore, mantenendo un grado di precisione accettabile.

Consideriamo nuovamente la modellizzazione proporzionale con banda limitata

del secondo ordine ( par. 8.4.1). La corrispondente funzione di trasferimento

generalizzata in forma standard (scritta anche in modo da mettere in evidenza le break-

frequency) è la seguente:

26 Sulla distinzione fra pulsazione naturale n, pulsazione di risonanza r e pulsazione libera L, si veda la scheda di approfondimento 7.1

27

F S K

S SK

S S

b b

( )

1

1 1

1

1 11 2

1 2

dove

b b1

1

2

2

1 1

I due poli reali hanno valore

p1 = - b1 p2 = - b2

Supponiamo adesso che uno dei due poli sia molto più piccolo (in valore

assoluto) dell'altro. Senza perdere in generalità, possiamo ad esempio porre

| p1 | << | p2 |

Di solito un polo può essere considerato "molto più piccolo" di un altro se esiste almeno

un fattore dieci (cioè una decade) di differenza. Dalla relazione precedente si ha come

conseguenza che

b1 << b2 e 1 >> 2

Applichiamo ora a F(S) la scomposizione in fratti semplici ( par. 7.6.1):

F K

S S

A

S

B

S

b b

b b

(S)

1

1 11 2

1 2

Calcolando il valore dei residui si ricava

AK

B A

b b

b b

1 2

2 1

da cui

F

A

S

B

S

K

S

K

Sb b

b b

b b

b

b b

b b

b

(S)

1 2

1 2

2 1

1

1 2

2 1

2

Nella ipotesi che b2 sia molto più grande di b1, si ha che

b2 >> b1 b2 - b1 b2

Pertanto, sostituendo la precedente approssimazione nell'espressione di F(S), abbiamo

28

F

K

S

K

S

K

S

K

S

K

S

K

S

b b

b b

b

b b

b b

b

b b

b

b

b b

b

b

b

b

b

b

(S)

1 2

2 1

1

1 2

2 1

2

1 2

2

1

1 2

2

2

1

1

1

2

Osserviamo che il denominatore della seconda frazione risulta certamente più grande del

denominatore della prima, a causa del fatto che b2 >> b1. Pertanto la seconda frazione

risulta certamente più piccola della prima (i due numeratori sono infatti uguali) e può

dunque essere trascurata. Abbiamo quindi

F

K

S

K

S

K

S

K

S

b

b

b

b

b

b

b

(S)

1

1

1

2

1

1

1

1

Abbiamo così dimostrato che

F KS S

KS

b b b

(S)

1

1 1

1

11 2 1

Osserviamo che, se uno dei due poli risulta molto più piccolo dell'altro, la

funzione di trasferimento può essere approssimata trascurando il termine dovuto al polo

più grande. In pratica il sistema sembra comportarsi come se in esso fosse presente

soltanto il polo più piccolo (detto polo dominante). Ciò risulta anche evidente

confrontando gli andamenti del modulo della risposta in frequenza nei due casi ( fig.

8.12).

Figura 8.Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. - Confronto fra la risposta in

frequenza della modellizzazione del secondo ordine e quella del primo ordine

approssimata col polo dominante

Polo dominante: risposta in frequenza

29

Si piò facilmente osservare che, per frequenze sufficientemente inferiori a b2, la

risposta in frequenza della modellizzazione del secondo ordine è praticamente identica a

quella della modellizzazione del primo ordine.

L'effetto del polo dominante può anche essere osservato nella risposta libera del

sistema. Infatti, in generale, la risposta libera di un modellizzazione di ordine due con

poli reali e negativi27, è data dalla somma di due esponenziali decrescenti ( par. 7.8):

u t C e

t

C e

t

L ( )

11

22

Si noti che, fra le due esponenziali, la più "importante" è quella con costante di tempo

maggiore: infatti essa si estingue più lentamente e dunque permane più a lungo nella

risposta del sistema. In pratica, se una delle due costanti di tempo risulta molto

maggiore dell’altra, allora la costante di tempo più piccola può essere trascurata. Cioè,

in prima approssimazione, la risposta libera è sostanzialmente formata solo

dall’esponenziale che decresce più lentamente. Ad esempio, se 1>>2 allora, in prima

approssimazione:

u t C e

t

L ( )

11

Si osservi come in questo caso la risposta libera sia praticamente uguale a quella di un

sistema di ordine uno ( fig. 8.13). La condizione 1>>2 implica che b1 << b2, cioè

la presenza di un polo dominante.

Figura 8.Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. - Confronto fra la

risposta libera del secondo ordine e quella del primo ordine

approssimata col polo dominante

Possiamo estendere le considerazioni precedenti anche a modelli di ordine superiore al

secondo.

27 Nella maggior parte dei casi di interesse pratico i poli reali sono sempre negativi. Della possibile presenza di poli reali positivi discuteremo ancora nel successivo capitolo 9.

Polo dominante: risposta libera

30

In generale possiamo affermare che, se in un sistema è presente un polo dominante (cioè un polo di valore assoluto molto più piccolo28 rispetto a tutti gli altri poli), allora il sistema si comporta in prima approssimazione come un sistema del primo ordine che abbia come unico polo il polo dominante del sistema.

Questa approssimazione, laddove è applicabile, consente di semplificare notevolmente

la trattazione dei sistemi di ordine superiore. E' anche importante osservare che, per

poter applicare correttamente l'approssimazione del polo dominante, occorre scrivere

F(S) in forma standard ed eliminare quindi da tale scrittura tutti i termini tranne quello

corrispondente al polo dominante (si veda l'esercizio risolto in fondo al paragrafo).

Vediamo in conclusione quali condizioni devono essere verificate affinché un

sistema presenti un polo dominante rispetto a tutti gli altri. Come sappiamo, le costanti

di tempo di un sistema sono tante quante i poli e rappresentano fenomeni inerziali

presenti nel sistema stesso ( par. 8.3.2). Un sistema con più costanti di tempo è

dunque un sistema il quale manifesta differenti comportamenti inerziali (rappresentati

dai termini esponenziali decrescenti nella risposta libera). Tali comportamenti possono

essere dovuti a fenomeni fisici dello stesso tipo, come avviene ad esempio in un circuito

in cui siano presenti due gruppi RC oppure in un sistema termico con più capacità e

resistenze termiche; in altri sistemi i fenomeni inerziali in gioco sono di tipo differente,

come avviene per esempio in un motore elettrico ( par. 8.6), il quale è solitamente

caratterizzato da un’inerzia di tipo elettrico (dovuta alle resistenze ed alle capacità

interne al motore) e da un’inerzia di tipo meccanico (dovuta alla massa ed agli attriti

nell’elemento rotante). In questo secondo caso, a causa della natura fisica differente dei

fenomeni fisici presenti nel sistema, l’approssimazione del polo dominante risulta

sovente applicabile: ad esempio in un motore elettrico di solito la costante di tempo

elettrica risulta di valore notevolmente inferiore alla costante di tempo meccanica del

sistema (e dunque è presente un polo dominante). Se i invece fenomeni inerziali sono

dello stesso tipo, spesso l’approssimazione del polo dominante non può essere applicata

(e bisogna dunque utilizzare il modello completo29).

ESERCIZIO SVOLTO Sia dato il seguente circuito:

28 Lo studente presti attenzione al fatto che il polo dominante è quello di valore assoluto

più piccolo (al quale corrisponde la costante di tempo più grande). 29 L'approssimazione del polo dominante non può essere applicata in particolare quando i poli del sistema sono complessi e coniugati con coefficiente di qualità Q elevato. Talvolta, quando non è possibile individuare nessun polo dominante, si può sostituire una coppia di poli molto vicini (cioè con una distanza inferiore ad una decade) con un unico polo di molteplicità due e di valore pari alla media fra i due poli: questa approssimazione fornisce risultati abbastanza accettabili e semplifica il tracciamento dei diagrammi di Bode.

31

L = 16 H R1 = 10 k R2 = 100 k C1 = C2 = 1 F

a) Ricavare la F(S) e la corrispondente equazione differenziale ingresso-uscita.

b) Calcolare i poli e verificare se esiste un polo dominante.

c) Se è possibile, applicare l'approssimazione del polo dominante a F(S) scritta in forma standard.

d) Ricavare l'equazione differenziale ingresso-uscita approssimata col polo dominante.

SOLUZIONE:

a) Ricaviamo la funzione di trasferimento applicando il metodo delle impedenze complesse:

F S

RSC

RSC

SL RSC

R

SC

SC R

SC

S LC SC R

SC

R

SC R

SC

S LC SC R

SC R

SC R S LC SC R

( )

2

2

2

2

1

1

2

2

2 2

2

2

1 1 1

1

2

2 2

1

2

1 1 1

1 2

2 2

2

1 1 1

1

1

1

1

1 1 1

1 1

L'espressione così ottenuta risulta particolarmente utile per il calcolo dei poli (si veda il successivo punto

b). Per ricavare l'equazione differenziale ingresso-uscita occorre invece svolgere il prodotto fra i due

termini a denominatore:

F SSC R

SC R S LC SC R

SC R

S LC C R S LC C R C R S C R C R

( )

1 2

2 2

2

1 1 1

1 2

3

1 2 2

2

1 2 2 1 1 2 2 1 1

1 1

1

La corrispondente equazione differenziale ingresso-uscita è infine la seguente:

LC C Rd v

dtLC C R C R

d v

dtC R C R

dv

dtv C R

dv

dt

u u u

u

in

1 2 2

3

3 1 2 2 1 1

2

2 2 2 1 1 1 2

b) Calcoliamo i poli, utilizzando l'espressione di F(S) con il prodotto di due termini a denominatore.

Abbiamo dunque:

pC R

pC R C R LC

LC

1

2 2

2 3

1 1 1

2

1

1

110

4

2125 500

,

\,

Come si può osservare, p1 risulta più di dieci volte inferiore (in valore assoluto) degli altri due poli e

costituisce pertanto il polo dominante.

c) Per applicare l'approssimazione del polo dominante occorre per prima cosa scrivere F(S) in forma

standard. Dal momento che già conosciamo i valori dei poli e che F(S) ha evidentemente un solo zero

nullo, per ricavare la forma standard è sufficiente calcolare il valore della costante moltiplicativa K (

par. 7.9):

32

K

F S

S

C R

C R LC C RC R

S

( ),

0

1 2

2 2

2

1 1 1

1 20 1 0 0 1

0 1

Abbiamo dunque infine:

F S

SC R

SC R S LC SC R

S

S S S( ) ,

1 2

2 2

2

1 1 11 10 1

110

1125

1500

A questo punto possiamo approssimare F(S) eliminando i termini non dipendenti dal polo dominante:

F SS

S( ) ,

0 1

110

d) Dalla espressione di F(S) approssimata col polo dominante possiamo ricavare subito la corrispondente

equazione differenziale ingresso-uscita approssimata:

1

100 1

dv

dtv

dv

dt

u

u

in,

8.6 Un esempio di modellizzazione: il motore a corrente continua

I dettagli sul funzionamento del motore a corrente continua sono esposti nella

scheda di approfondimento 8.1 In questo paragrafo vogliamo studiare il sistema come

esempio di modellizzazione, prescindendo, per quanto è possibile, dalla sua conoscenza

fisica. Basterà a tale scopo sapere che il motore a corrente continua è un sistema di tipo

elettromeccanico, nel quale sono presenti una parte circuitale di comando e una parte

meccanica ruotante. La variabile di ingresso è rappresentata da una tensione, detta

tensione di armatura del motore (va). La variabile di uscita è la velocità angolare di

rotazione dell'albero del motore. Il modello ingressi-uscite è mostrato in figura 8.14

Figura 8.Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. - Modello ingressi-uscite del

motore a corrente continua

Una prima semplice ipotesi sul funzionamento del motore consiste nel supporre

un legame di proporzionalità diretta fra l'uscita e l'ingresso:

= K. va

dove K rappresenta un parametro del motore. In questo modo abbiamo applicato al

sistema una modellizzazione puramente proporzionale ( par. 8.2.1). Tale

modellizzazione presuppone che il motore abbia una banda passante illimitata e sia

Modellizzazione puramente

proporzionale

33

totalmente privo di inerzia. In un sistema reale, come sappiamo, ciò può essere vero solo

nel caso di segnali di ingresso costanti o a lenta variazione ( par. 8.3.2).

Se la tensione di armatura va varia rapidamente nel tempo, occorre utilizzare una

modellizzazione di ordine superiore, la quale tenga conto del comportamento inerziale

del sistema. Possiamo dunque descrivere il motore con una modellizzazione a banda

limitata di ordine uno ( par. 8.3.2). La funzione di trasferimento generalizzata è quindi

la seguente:

F SK

S( )

1

Nella precedente la costante di tempo rappresenta appunto i fenomeni inerziali

presenti nel motore. Si osservi anche che la costante di proporzionalità K che compare

in quest'ultima modellizzazione è la stessa (cioè assume lo stesso valore per un dato

motore a corrente continua) della K che compare nella modellizzazione puramente

proporzionale.

Poiché, come è stato detto, il motore a corrente continua è un sistema misto (di

tipo elettromeccanico) si può anche ipotizzare la presenza di due differenti fenomeni

inerziali, dovuti rispettivamente alla parte elettrica e alla parte meccanica del motore. In

questo caso occorre utilizzare due costanti di tempo30 1 e 2. Descrivendo pertanto il

sistema con una modellizzazione a banda limitata del secondo ordine ( par. 8.4.1),

abbiamo la seguente funzione di trasferimento generalizzata:

F S

K

S S( )

1 11 2

Delle tre modellizzazioni considerate, l'ultima è certamente la più completa e

precisa, anche se presenta maggiori difficoltà di calcolo e richiede la conoscenza di un

numero maggiore di parametri. La modellizzazione puramente proporzionale viceversa

è la più semplice e di conseguenza anche la meno precisa. Come si è visto è stato

possibile "costruire" le modellizzazioni del motore a corrente continua senza dover

studiare i fenomeni fisici che avvengono nel motore. Questo però non significa che sia

possibile scegliere una modellizzazione prescindendo dalla realtà concreta del sistema

studiato. Infatti la scelta della descrizione più adatta può essere effettuata soltanto

confrontando i risultati del calcolo dei modelli teorici con i risultati delle misure

sperimentali eseguite sul motore. La modellizzazione migliore è in generale la più

semplice, fra tutte quelle che, entro margini di errore ritenuti accettabili, forniscono

valori in accordo con i dati sperimentali.

30 Si osservi che i valori di 1 e di 2 non coincidono necessariamente con le costanti di tempo

elettrica e e meccanica m di cui si parla nella scheda di approfondimento 8.1 Infatti queste ultime sono le costanti di tempo del modello di stato e, come visto nel paragrafo 8.4.1, esse possono differire dalle costanti di tempo della funzione di trasferimento in forma standard.

Modellizzazione proporzionale a

banda limitata (di ordine uno)

Modellizzazione proporzionale a

banda limitata (di ordine due)

Confronto fra le modellizzazioni

34

SCHEDA DI APPROFONDIMENTO :

MOTORE A CORRENTE CONTINUA

Il motore a corrente continua è molto usato nell'ambito del controllo automatico, grazie alla

relativa facilità con cui è possibile regolare la sua velocità di rotazione. Prima di affrontare il problema

della modellizzazione del sistema, è necessario richiamare alcune nozioni fondamentali sul moto di corpi

in rotazione. La Meccanica, la branca della Fisica che studia il movimento dei corpi, si suddivide in

Meccanica Traslazionale, la quale si occupa del moto traslatorio ovvero dello spostamento di un corpo, e

in Meccanica Rotazionale, la quale si occupa del moto rotatorio, cioè della rotazione di un corpo intorno

ad un asse fisso (ad esempio una ruota). Della Meccanica Traslazionale ci siamo interessati ampiamente

fin dal primo capitolo del primo volume, trattando ad esempio di oggetti in caduta o di sistemi costituiti da

una molla e da un corpo attaccato. Lo studio della Meccanica Rotazionale invece non è stato finora

affrontato, ma è possibile accennarne ora rapidamente ed in modo semplice, dal momento che tutte le

grandezze e le leggi fisiche usate nella Meccanica Traslazionale hanno un corrispondente nella Meccanica

Rotazionale. La tabella 8.1 ha lo scopo di evidenziare le principali corrispondenze. Per ogni grandezza

viene indicato il nome, il simbolo normalmente usato, le unità di misura e le eventuali relazioni esistenti

con le altre grandezze del moto.

MECCANICA TRASLAZIONALE MECCANICA ROTAZIONALE

spostamento x [m] spostamento angolare [rad]

velocità v [m/s]

vdx

dt

velocità angolare [rad/s]

d

dt

accelerazione a [m/s2]

adv

dt

d x

dt

2

2

accelerazione angolare [rad/s2]

d

dt

d

dt

2

2

massa m [kg] momento di inerzia J [kg m]

forza F [N] coppia C [N m]

seconda legge di Newton Ftot = m.a legge del moto rotatorio Ctot = J.

energia cinetica Ec = ½ m.v2 energia cinetica Ec = ½ I.2

forza di attrito viscoso Fa = - Ka.v coppia di attrito viscoso Ca = -Ka

.

Tabella 8.Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. - Confronto fra Meccanica Traslazionale e

Meccanica Rotazionale

Lo spostamento angolare rappresenta l'angolo di rotazione del corpo intorno ad un asse (per

esempio di una ruota intorno all'asse di rotazione), rispetto ad una posizione di riferimento. Si noti che

spostamento, velocità ed accelerazione angolari sono tra loro legate dalle stesse relazioni esistenti fra

spostamento, velocità ed accelerazione lineari. Osserviamo poi che il concetto di "forza" nella meccanica

traslazionale, corrisponde al concetto di "coppia" nella meccanica rotazionale. La coppia (detta anche

momento meccanico) è data dal prodotto di una forza31 per il suo braccio di applicazione, dove il braccio

della forza è la distanza fra il punto di applicazione della forza e l'asse di rotazione. Questa è la ragione

per la quale le unità di misura della coppia sono "newton metro". La figura 8.15 illustra il fatto che la

stessa forza F, applicata in due diversi punti di una ruota, esercita una diversa coppia sulla ruota stessa, a

causa del diverso braccio di applicazione. Per questa ragione, per fare girare una ruota, risulta più

conveniente applicare una forza in corrispondenza del bordo esterno, piuttosto che in prossimità dell'asse

di rotazione.

31 In realtà la coppia è una grandezza vettoriale (come la forza) e pertanto una trattazione completa e rigorosa richiederebbe la definizione anche del verso e della direzione della coppia.

35

Figura 8.Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. -

La forza con braccio di applicazione più lungo

corrisponde ad una coppia maggiore

Una considerazione analoga può essere effettuata a proposito del momento di inerzia J, il quale

risulta dato dal prodotto di una massa per una lunghezza (come appare evidente dalle unità di misura "kg

m"). Come la massa m rappresenta la proprietà per cui un corpo si oppone alle variazioni del proprio

stato di quiete o di moto rettilineo uniforme, allo stesso modo il momento di inerzia J rappresenta la

proprietà per cui un corpo in rotazione si oppone alle variazioni della propria velocità angolare. Così ad

esempio possiamo osservare che occorre un certo "sforzo" per mettere in rotazione una ruota. Tale sforzo

dipende dalla massa della ruota (ad esempio è più facile fare ruotare una ruota "leggera" piuttosto che una

ruota "pesante"), ma anche da come tale massa è distribuita intorno all'asse di rotazione. Infatti il

momento di inerzia dipende non solo dalla massa del corpo, ma anche dalla sua distribuzione, ovvero,

intuitivamente, da quanto è "lontana" la massa dall'asse di rotazione. Per esempio, a parità di massa, una

ruota piena (in cui la massa è concentrata più vicino all'asse) ha un momento di inerzia inferiore ad una

ruota con raggi (in cui la maggior parte della massa si trova lontano dall'asse di rotazione, fig. 8.16).

Figura 8.Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. - A parità di massa,

una ruota "piena" ha un momento di inerzia inferiore rispetto ad una ruota

con i raggi

Possiamo a questo punto affrontare lo studio di un motore a corrente continua. Come in tutti i

motori elettrici, abbiamo una parte fissa, detta statore, ed una parte in rotazione, detta rotore. Nel motore

a corrente continua lo statore è costituito da un magnete permanente32 (in pratica una grossa calamita),

all'interno del quale, tra i due poli magnetici, è posto il rotore. Sul rotore cilindrico sono avvolte un certo

numero di spire conduttrici33, connesse al circuito esterno di alimentazione del motore per mezzo di un

contatto strisciante, costituito dal collettore (che ruota insieme al rotore) e da alcune spazzole fisse. Per

semplicità nella figura 8.17 è stata rappresentata una sola spira ed inoltre non è stato disegnato il cilindro

del rotore, attorno al quale la spira è avvolta.

32 Per semplicità di trattazione verrà qui affrontato lo studio solo del motore a corrente continua a magnete permanente. Vi sono infatti altri motori a corrente continua nei quali il campo magnetico dello statore viene generato per mezzo del passaggio di una corrente all'interno di conduttori. 33 Si dice spira un circuito filiforme circolare concatenato ad un campo magnetico esterno.

36

Figura 8.Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. - Modello figurativo del motore a corrente

continua

La spira è percorsa da una corrente ia (detta corrente di armatura), prodotta da un circuito

esterno di cui parleremo più avanti. Si osservi che il collettore risulta suddiviso in due semicilindri, isolati

elettricamente l'uno dall'altro, ciascuno dei quali collegato con uno dei capi della spira. A causa della

rotazione del rotore sul quale la spira è avvolta, ad ogni mezzo giro i contatti fra spazzole (fisse) e

collettore (mobile) si invertono, in modo tale che la corrente nella spira cambia di verso34. Sarebbe

possibile dimostrare che una spira percorsa da corrente e posta in un campo magnetico esterno subisce

una coppia, di intensità proporzionale alla corrente che percorre la spira. Dunque nel nostro caso:

Cm = Km.ia

dove Cm è detta coppia motrice prodotta dal motore, Km è un parametro del sistema (detto costante di

macchina del motore35) e ia è la corrente di armatura. A causa di tale coppia la spira tende naturalmente

ad allinearsi col campo magnetico esterno ed in tale modo provoca la rotazione del rotore sul quale è

avvolta. Tuttavia tale allineamento perfetto non è possibile poiché, non appena esso si verifica, i due

contatti del collettore si scambiano di posizione e la corrente nella spira si inverte: in questo modo la spira

è nuovamente costretta a ruotare, senza potersi fermare mai.

La coppia motrice Cm rappresenta in pratica la "forza" prodotta dal motore. Tale coppia viene

utilizzata per mettere in rotazione il motore e l'eventuale carico36 ad esso collegato. Se Jtot rappresenta il

momento di inerzia totale del rotore più quello del carico, dalla legge generale del moto rotatorio

34 Si tenga presente che, in un motore a corrente continua reale, intorno al rotore sono avvolte molte spire ed il collettore risulta pertanto suddiviso in tanti "spicchi", ad ogni coppia dei quali è collegata una spira. In questo modo, durante la rotazione del rotore, il contatto delle spazzole commuta fra le diverse spire. 35 Se L è la lunghezza di un lato della spira, D è il diametro del rotore su cui è avvolta la spira, B è il valore del campo magnetico esterno (detto induzione magnetica) e n è il numero delle spire avvolte sul rotore, la costante di macchina è data da

Kn B L D

m

4

36 Il carico o utilizzatore rappresenta l'apparato che viene messo in rotazione dal motore. Ad esempio, se il motore viene utilizzato per muovere le pale di un ventilatore, le pale del ventilatore costituiscono il carico.

37

Ctot = J.

nel caso del motore a corrente continua diventa

Cm = Jtot.

dove è l'accelerazione angolare del motore. L'equazione precedente non tiene tuttavia conto della

presenza dell'attrito viscoso con l'aria, il quale ostacola la rotazione. La coppia di attrito Ca si oppone

naturalmente alla coppia motrice Cm e dunque l'equazione del moto con attrito viscoso diventa

Cm - Ca = Jtot. Cm - Ka

. = Jtot.

dove Ka è il coefficiente di attrito viscoso rotazionale del sistema.

Poiché l'accelerazione angolare è legata alla velocità angolare da una semplice derivazione,

la legge del moto può essere scritta in funzione di nel seguente modo:

C K Jd

dtm a tot

Si tratta evidentemente di una equazione differenziale del primo ordine nell'incognita . Riordinandola e

sostituendo al posto di Cm la sua espressione in funzione della corrente di armatura ia, abbiamo:

Jd

dtK K itot a m a

Nella equazione precedente la corrente di armatura ia rappresenta l'ingresso. Modificando il

valore di ia, cambia anche la velocità di rotazione del motore. Studiamo adesso il circuito esterno che

produce la corrente di armatura. Tale circuito è costituito banalmente da un generatore di tensione di

armatura va collegato con le spazzole, le quali, a loro volta, sono collegate, attraverso il collettore, alla

spira. Un semplice modello figurativo del circuito di alimentazione è quello mostrato in figura 8.18

Figura 8.Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. - Modello figurativo del circuito di

alimentazione del motore

Quello in figura non costituisce un vero modello circuitale, dal momento che non sono

rappresentate le caratteristiche elettriche della spira. A questo proposito possiamo osservare che i

conduttori con cui è realizzata la spira sono certamente dotati di una resistività elettrica non nulla; inoltre

anche il contatto strisciante fra spazzole e collettore è sede di fenomeni resistivi. Possiamo dunque

rappresentare tutto ciò per mezzo di una resistenza equivalente di armatura Ra (mediante Ra è anche

possibile tenere conto della resistenza interna del generatore va). Inoltre la spira è un avvolgimento

percorso da corrente e come tale è sede di un effetto induttivo, il quale può essere rappresentato per

mezzo di un'induttanza equivalente di armatura La. Infine ai capi di un circuito conduttore in

movimento entro un campo magnetico esterno si localizza una caduta di potenziale, detta forza

elettromotrice. Si osservi che, nonostante il nome, la forza elettromotrice non è altro che una tensione v,

indotta ai capi del circuito in movimento. Sarebbe possibile dimostrare che, nel caso della spira in

rotazione, l'intensità di tale forza elettromotrice è direttamente proporzionale alla velocità di rotazione

38

della spira e che la costante di proporzionalità è la stessa costante di macchina Km incontrata

precedentemente a proposito della coppia motrice:

v = Km.

La tensione v, che, come detto, si localizza ai capi della spira a causa della rotazione nel campo magnetico

prodotto dallo statore, ha sempre un verso opposto a quello della tensione di armatura applicata

dall'esterno va. Possiamo quindi disegnare il modello circuitale equivalente del circuito di alimentazione

del motore ( fig. 8.19).

Figura 8.Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. - Modello circuitale del circuito di

alimentazione del motore

Analizziamo il circuito. Applicando la legge di Kirchhoff alle tensioni della maglia otteniamo

subito

va = vR + vL + v

da cui, sostituendo alle singole tensioni il modello matematico del componente corrispondente, abbiamo

v R i Ldi

dtKa a a a

am

Si tratta evidentemente di una equazione differenziale del primo ordine nell'incognita ia. Riordinandola

abbiamo:

Ldi

dtR i v Ka

aa a a m

L'ingresso (termine noto) della precedente equazione è costituito dalla tensione di armatura va applicata

dall'esterno e da un termine che dipende dalla velocità angolare di rotazione del motore. Per calcolare

è necessario ricorrere alla prima equazione differenziale, quella ricavata analizzando il moto rotatorio

della spira.

Possiamo dunque facilmente concludere che il sistema risulta descritto da un modello matematico

composto dalle seguenti due equazioni differenziali del primo ordine:

Jd

dtK K i

Ldi

dtR i v K

tot a m a

aa

a a a m

Si tratta dunque di un modello del secondo ordine, nelle due variabili di stato e ia. Ciò è perfettamente

ragionevole, dal momento che rappresenta il livello dell'energia cinetica rotazionale accumulata dal

rotore, mentre ia rappresenta il livello dell'energia elettromagnetica accumulata nell'induttanza equivalente

La.

39

Sostituendo al posto delle derivate i rapporti incrementali, il precedente modello può essere

facilmente discretizzato nel seguente modo:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( )

t t tt K

Ki t t

i t t i tt v K t

Ri t

JK

m

aa

a a LR

a m

aa

tot

a

a

a

Le equazioni precedenti consentono di mettere in evidenza le due costanti di tempo del sistema: 1=Jtot/Ka

, detta costante di tempo meccanica (in quanto dipende dai parametri meccanici del motore), e 2=La/Ra ,

detta costante di tempo elettrica (in quanto dipende dai parametri elettrici del circuito di alimentazione del

motore).

Combinando insieme le due equazioni di stato differenziali è possibile ricavare un'unica

relazione differenziale ingresso-uscita per il calcolo della velocità di rotazione del motore. Ricavando

infatti ia dalla prima equazione di stato differenziale

Jd

dtK K i i

J

K

d

dt

K

Ktot a m a a

tot

m

a

m

e sostituendola nella prima, abbiamo:

Ldi

dtR i v K

L

dJ

K

d

dt

K

K

dtR

J

K

d

dt

K

Kv K

L J

K

d

dt

L K

K

d

dt

R J

K

d

dt

R K

Kv K

aa

a a a m

a

tot

m

a

ma

tot

m

a

ma m

a tot

m

a a

m

a tot

m

a a

ma m

2

2

da cui, riordinando l'equazione e raggruppando insieme i termini con uguale ordine di derivazione,

abbiamo:

L J

K

d

dt

L K R J

K

d

dt

R K

KK va tot

m

a a a tot

m

a a

mm a

2

2

L'equazione differenziale del secondo ordine così ottenuta rappresenta la relazione ingresso-uscita

differenziale del motore in corrente continua con uscita ed ingresso va.

Dalla precedente equazione differenziale possiamo infine ricavarci, senza particolari difficoltà, la

funzione di trasferimento generalizzata fra l'uscita e l'ingresso va:

F SS

v S L J

KS

L K R J

KS

R K

KK

a a tot

m

a a a tot

m

a a

mm

( )( )

( )

1

2

Scrivendo F(S) in forma standard otteniamo

F SS

v S

K

R K K L J

R K KS

L K R J

R K KSa

m

a a m a tot

a a m

a a a tot

a a m

( )( )

( )

2

2

2

2

1

1

40

La funzione di trasferimento presenta due poli, come era ragionevole attendersi, essendo il sistema del

secondo ordine. Tali poli sono dati da

p

L K R J

R K K

L K R J

R K K

L J

R K K

L J

R K K

a a a tot

a a m

a a a tot

a a m

a tot

a a m

a tot

a a m

1 2

2 2

2

2

2

4

2,

Si osservi che i poli non coincidono semplicemente con l'opposto del reciproco delle due costanti

di tempo e e m delle equazioni di stato, ma hanno un'espresione più complessa ( par. 8.4.1). Se il

discriminante dell'equazione di secondo grado è positivo, i due poli sono reali e negativi; se invece <0

i due poli sono complessi e coniugati ed il sistema presenta un comportamento di tipo oscillatorio

smorzato. Se assume un valore positivo ed elevato, i due poli reali hanno valori notevolmente diversi. In

questo caso è talvolta possibile applicare al sistema l'approssimazione del polo dominante.

41

PAROLE CHIAVE

Derivativo, sistema: Sistema la cui uscita, entro una determinata banda di frequenze (banda di

derivazione), è proporzionale alla derivata del segnale di ingresso. Nella banda di derivazione il grafico

bilogaritmico del modulo della risposta in frequenza ha una pendenza pari a +20 dB/dec

Integrativo, sistema: Sistema la cui uscita, entro una determinata banda di frequenze (banda di

integrazione), è proporzionale all'integrale del segnale di ingresso. Nella banda di integrazione il grafico

bilogaritmico del modulo della risposta in frequenza ha una pendenza pari a -20 dB/dec

Inerzia: Caratteristica di un sistema per cui l'uscita non riesce a "seguire" ingressi che variano troppo

rapidamente nel tempo.

Modellizzazione: Classe di modelli matematici, omogenei fra loro per quanto concerne la descrizione

fisica del sistema, ciascuno dei quali può essere ricavato matematicamente dagli altri.

Ordine di un sistema: Numero di variabili di stato del sistema. Coincide col numero di poli della

funzione di trasferimento generalizzata e con il grado massimo della equazione differenziale ingresso-

uscita.

Polo dominante, approssimazione del: Approssimazione mediante la quale è possibile trascurare il

contributo in una funzione di trasferimento dei poli molto maggiori del polo di valore inferiore, detto

"polo dominante".

Proporzionale, sistema: Sistema la cui uscita, entro una determinata banda di frequenze (banda di

proporzionalità), è direttamente proporzionale al segnale di ingresso. Nella banda di proporzionalità il

grafico del modulo della risposta in frequenza ha un andamento costante.

42

MAPPA DEGLI ARGOMENTI

MODELLIZZAZIONI

Equazioni

di stato

Equazione

ingresso-uscita

Funzione di

trasferimento

Ordine

Di ordine

zero

Di ordine

unoDi ordine

due

Polo

dominante

Puramente

proporzionale

Inerzia

Puramente

derivativa

Proporzionale

con banda

limitata

Proporzionale

con banda

limitata

Puramente

integrativa

43

DOMANDE ED ESERCIZI

1) Si abbia un trasduttore di temperatura che fornisce in uscita una tensione variabile fra 0 e 10 V per

temperature compre fra 0 e 60 gradi. Si supponga inoltre che il trasduttore abbia una costante di tempo

dell'ordine di un secondo. Determinare una modellizzazione adatta a descrivere il sistema (funzione di

trasferimento ed equazione differenziale ingresso-uscita).

2) Si abbia un motore a corrente continua in cui la velocità angolare di rotazione può essere variata fra 0

e 100 rad/sec applicando una tensione di armatura compresa fra 0 e 5V. Si supponga inoltre che il sistema

presenti due costanti di tempo = 1ms e = 0,2 s. Determinare una modellizzazione adatta a descrivere

il sistema (funzione di trasferimento ed equazione differenziale ingresso-uscita). Verificare se esiste un

polo dominante e, in tale caso, approssimare il comportamento del sistema con una modellizzazione di

ordine uno.

3) Per i sistemi degli esercizi 1 e 2, determinare due modelli matematici iterativi adatti alla simulazione su

calcolatore.

4) Per ciascuna delle seguenti funzioni di trasferimento generalizzate, determinare se è possibile applicare

l'approssimazione del polo dominante. In tale caso trovare la funzione di trasferimento approssimata e

l'equazione ingresso-uscita approssimata.

FS S

F SS S

F SS S

S S1 2 2 2 3

2

4 2

100

100 1 100 1000 2

100 10

10 10 1(S)

( )=

3 S +1 ( )=

5) Per ciascuno dei seguenti circuiti determinare la funzione di trasferimento e l'equazione differenziale

ingresso-uscita. Con i valori riportati nel testo verificare se si può applicare l'approssimazione del polo

dominante. In tale caso trovare la funzione di trasferimento approssimata.