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7장 해석의 삼각법

1

7777777777777777777777777777장 장 장 장 장 장 장 장 장 장 장 장 장 장 장 장 장 장 장 장 장 장 장 장 장 장 장 장 해석의 해석의 해석의 해석의 해석의 해석의 해석의 해석의 해석의 해석의 해석의 해석의 해석의 해석의 해석의 해석의 해석의 해석의 해석의 해석의 해석의 해석의 해석의 해석의 해석의 해석의 해석의 해석의 삼각법삼각법삼각법삼각법삼각법삼각법삼각법삼각법삼각법삼각법삼각법삼각법삼각법삼각법삼각법삼각법삼각법삼각법삼각법삼각법삼각법삼각법삼각법삼각법삼각법삼각법삼각법삼각법7장 해석의 삼각법

개요

7.1 합과 차의 공식

7.2 배각과 반각공식

7.3 곱-합과 합-곱 공식

7장 복습 연습문제와 해답

7장 해석의 삼각법 7.1 합과 차의 공식

2

7.1 7.1 7.1 7.1 7.1 7.1 7.1 7.1 7.1 7.1 7.1 7.1 7.1 7.1 7.1 7.1 7.1 7.1 7.1 7.1 7.1 7.1 7.1 7.1 7.1 7.1 7.1 7.1 합과 합과 합과 합과 합과 합과 합과 합과 합과 합과 합과 합과 합과 합과 합과 합과 합과 합과 합과 합과 합과 합과 합과 합과 합과 합과 합과 합과 차의 차의 차의 차의 차의 차의 차의 차의 차의 차의 차의 차의 차의 차의 차의 차의 차의 차의 차의 차의 차의 차의 차의 차의 차의 차의 차의 차의 공식공식공식공식공식공식공식공식공식공식공식공식공식공식공식공식공식공식공식공식공식공식공식공식공식공식공식공식7.1 합과 차의 공식

목표 7.1.1 정확한 값을 구하기 위한 합과 차 공식의 사용

7.1.2 항등식을 증명하기 위한 합과 차의 공식의 사용

7.1.3 역 삼각함수를 포함하는 합과 차 공식의 사용


3

이 절에서, 우리는, cos cos, 또는 sin 와 같은, 두 각의

합 또는 차를 포함하는 공식을 얻음으로써 삼각항등식을 계속하여 유도한다. 이

와 같은 공식을 합과 차의 공식(sum and difference formula)이라 한다. 우리는

cos와 cos에 대한 공식부터 시작한다.

정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 7.1.17.1.17.1.17.1.17.1.17.1.17.1.17.1.17.1.17.1.17.1.17.1.17.1.17.1.17.1.17.1.17.1.17.1.1정리 7.1.1 코사인에 대한 합과 차 공식

cos cos cossin sin . (7.1.1)

cos cos cossin sin . (7.1.2)

증명증명증명증명증명증명증명증명증명증명증명증명증명증명증명증명증명증명증명 먼저 우리는 공식 (7.1.2)를 증명할 것이다. 비록 이 공식은 모든 실수 와

에 대하여 성립할지라도, 여기에서 우리는 라고 가정

할 것이다. 우리는, 그림 7.1.1(a)에서 보이는 것처럼, 단위원에서 시작하여 두 각


4

와 를 표준 위치의 상태에 둔다. 점 과 는 각각 와 의 끝 변 위에 있다

고 하자. 그러면 cos sin 이고 cos sin .

그림 7.1.1


5

이제, 그림 7.1.1(b)에서 보이듯이, 각 를 표준 위치의 상태에 놓는다. 점

는 각 의 끝 변위의 점이라 하자. 그러면, cos

sin . 라 하자.

그림 7.1.1(a)에서 삼각형 와 그림 7.1.1(b)에서 삼각형 를 살펴보

면, 이 두 삼각형은 합동이다. (여러분은 그 이유를 아는가? 두 변과 그 사잇각

가 같다.) 그래서

.

그러므로, 거리공식을 사용하면,

cos sin coscossin sin

cossin coscos sin sin 양변 제곱한다.


6

coscossin 제곱된 항들을 전개한다.

coscos coscossinsin sin sincos cos cossin sin 피타고라스 항등식(3번)을 적용한다.

cos cos cossin sin 양변에서 2를 뺀다.

cos cos cossin sin . 양변을 -2로 나눈다.

이것은 공식 (7.1.2)다.

공식(7.1.1)의 증명은 공식 (7.1.2)와 짝․홀 항등식으로부터 얻어진다.

즉,

cos cos

cos cossin sin 공식 (7.1.2)를 사용한다.

cos cossin sin . 짝․홀 항등식 ▣


7

정확한 값을 구하기 위한 합과 차 공식의 사용

7.1.1 사인과 코사인이 정확하게 알려진 각들의 합 또는 차로 표시될 수 있는 각

의 코사인의 정확한 값을 얻기 위하여 우리는 공식 (7.1.1)과 (7.1.2)중의 어느 하

나를 사용한다.

보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 7.1.17.1.17.1.17.1.17.1.17.1.17.1.17.1.17.1.17.1.17.1.17.1.17.1.17.1.17.1.17.1.17.1.17.1.1보기 7.1.1 정확한 값을 구하기 위한 합 공식의 사용

cos˚의 정확한 값을 구하라.

풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이 ˚ ˚˚이므로, 우리는 공식 (7.1.1)을 사용한다. 그러면cos˚ cos˚˚ cos˚cos˚sin˚sin˚

↑공식

⋅

⋅

. ▣


8

보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 7.1.27.1.27.1.27.1.27.1.27.1.27.1.27.1.27.1.27.1.27.1.27.1.27.1.27.1.27.1.27.1.27.1.27.1.2보기 7.1.2 정확한 값을 구하기 위한 차 공식의 사용

cos정확한 값을 구하라.

풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이 cos

cos

cos

cos

cossin

sin

공식 (7.1.2)를 사용한다.

⋅

⋅

. ▣


9

항등식을 증명하기 위하여 합과 차 공식을 사용

7.1.2 다음은 정리 7.1.1의 직접적인 결과다.

따름정리 따름정리 따름정리 따름정리 따름정리 따름정리 따름정리 따름정리 따름정리 따름정리 따름정리 따름정리 따름정리 따름정리 따름정리 따름정리 따름정리 따름정리 7.1.27.1.27.1.27.1.27.1.27.1.27.1.27.1.27.1.27.1.27.1.27.1.27.1.27.1.27.1.27.1.27.1.27.1.2따름정리 7.1.2

cos sin . (7.1.3a)

sin cos . (7.1.3b)

다음은 공식 (7.1.3a)의 직접적인 결과다.

따름정리 따름정리 따름정리 따름정리 따름정리 따름정리 따름정리 따름정리 따름정리 따름정리 따름정리 따름정리 따름정리 따름정리 따름정리 따름정리 따름정리 따름정리 7.1.37.1.37.1.37.1.37.1.37.1.37.1.37.1.37.1.37.1.37.1.37.1.37.1.37.1.37.1.37.1.37.1.37.1.3따름정리 7.1.3

cos sin .


10

더욱이 우리는 공식 (7.1.3a)와 (7.1.3b)로부터 사인에 대한 합과 차 공식을 얻

을 수 있다.

따름정리 따름정리 따름정리 따름정리 따름정리 따름정리 따름정리 따름정리 따름정리 따름정리 따름정리 따름정리 따름정리 따름정리 따름정리 따름정리 따름정리 따름정리 7.1.47.1.47.1.47.1.47.1.47.1.47.1.47.1.47.1.47.1.47.1.47.1.47.1.47.1.47.1.47.1.47.1.47.1.4따름정리 7.1.4 사인에 대한 합과 차 공식

sin sin coscos sin . (7.1.4)

sin sin coscos sin . (7.1.5)


11

보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 7.1.37.1.37.1.37.1.37.1.37.1.37.1.37.1.37.1.37.1.37.1.37.1.37.1.37.1.37.1.37.1.37.1.37.1.3보기 7.1.3 정확한 값을 구하기 위한 합 공식의 사용

sin의 정확한 값을 구하라.

풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이 sin

sin

sin

sin

coscos

sin

공식 (7.1.4)

⋅

⋅

▣


12

보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 7.1.4 7.1.4 7.1.4 7.1.4 7.1.4 7.1.4 7.1.4 7.1.4 7.1.4 7.1.4 7.1.4 7.1.4 7.1.4 7.1.4 7.1.4 7.1.4 7.1.4 7.1.4 보기 7.1.4 정확한 값을 구하기 위한 차 공식의 사용

sin˚cos˚cos˚sin˚의 정확한 값을 구하라.

풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이 주어진 식의 꼴은, ˚와 ˚를 갖는, sin 대한 공식 (7.1.5)

의 오른쪽변의 식이다. 그러므로,

sin˚cos˚cos˚sin˚ sin ˚˚ sin˚

. ▣


13

보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 7.1.57.1.57.1.57.1.57.1.57.1.57.1.57.1.57.1.57.1.57.1.57.1.57.1.57.1.57.1.57.1.57.1.57.1.5보기 7.1.5 정확한 값을 구하기

sin

이고 sin

라 하자.다음 각각의 정확한 값을 구하라.

(a) cos (b) cos (c) cos (d) sin .

풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이

(a) sin

이므로, 이고 라 하자. 또한 점

는 반지름 5인 원 위의 점이라 하자.

이므로, 는 사분면

II에 있고 <. 그림 7.1.2를 보라. 그러면


14

그림 7.1.2

.

그래서

cos

.

다음과 같이 항등식을 사용하여 cos를 구할

수 있다 :

cos sin

↑는사분면 II에 있으므로 cos


15

그림 7.1.3

(b) sin

이므로, 이고 라 하자. 또한 점

는 반지름 인 원 위의 점이라 하자.

이므로, 는 사분면 III에 있고 <. 그림 7.1.3을 보라. 그러면

.

그래서

cos


16

다음과 같이 항등식을 사용하여 cos를 구할 수 있다 :cos sin

(c) 공식 (7.1.1)과 (a)와 (b)에 의하여,

cos cos cossin sin

(d) sin sin coscos sin

▣


17

보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 7.1.67.1.67.1.67.1.67.1.67.1.67.1.67.1.67.1.67.1.67.1.67.1.67.1.67.1.67.1.67.1.67.1.67.1.6보기 7.1.6 항등식의 증명

항등식을 증명하라 :sin sin cos

cot cot.

풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이sin sin cos

sin sin cos cossin sin

sin sin cos cos

sin sin sin sin

sin sin cos cos

cot cot. ▣


18

따름정리 따름정리 따름정리 따름정리 따름정리 따름정리 따름정리 따름정리 따름정리 따름정리 따름정리 따름정리 따름정리 따름정리 따름정리 따름정리 따름정리 따름정리 7.1.57.1.57.1.57.1.57.1.57.1.57.1.57.1.57.1.57.1.57.1.57.1.57.1.57.1.57.1.57.1.57.1.57.1.5따름정리 7.1.5 탄젠트에 대한 합과 차 공식

tan tan tan tan tan

. (7.1.6)

tan tan tan tan tan

. (7.1.7)


19


항등식을 증명하라 : tan tan .풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이 tan tan tan

tan tan tan ⋅

tan tan ▣

보기 7.1.7에서 얻은 결과는, 더 일찍이 우리가 언급했던 사실인, 탄젠트 함수

가 주기 인 주기함수임을 실증한 셈이다.

주목주목주목주목주목주목주목주목주목주목주목주목주목주목주목주목주목주목주목 공식 (7.1.6)과 (7.1.7)을 사용할 때는 주의하라. 이 공식들은,

의 홀수배

수를 제외한 모든 각, 즉, tan 와 tan 가 정의되는 각 와 에 대해서만 사용

될 수 있다.


20


항등식을 증명하라 : tan cot

풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이 tan는 정의되지 않으므로, 공식 (7.1.6)을 사용할 수 없다. 대신에, 우리

는 다음과 같이 진행한다 :

tan cos

sin

cos cossin sin

sin coscos sin

cossin sin cos

sin cos

cot ▣


21

7.1.3

보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 7.1.97.1.97.1.97.1.97.1.97.1.97.1.97.1.97.1.97.1.97.1.97.1.97.1.97.1.97.1.97.1.97.1.97.1.9보기 7.1.9 역삼각함수를 포함하는 식의 정확한 값

sin cos

sin

의 정확한 값을 구하라.

풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이 cos

이고 sin

이라 하자. 그러면, 역 코사인 함수와 역 사

인 함수의 정의에 의하여,

cos

≤≤이고 sin

≤≤

.

더욱이, ≤

이고 ≤

(여러분은 그 이유를 아는가?).

이제 sin와 cos를 얻기 위하여, 피타고라스 항등식을 사용한다. sin 이


22

고 cos (여러분은 그 이유를 아는가?)이므로,

sin cos

cos sin

따라서,

sincos

sin

sin sin coscos sin

⋅

⋅

▣


23

보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 7.1.107.1.107.1.107.1.107.1.107.1.107.1.107.1.107.1.107.1.107.1.107.1.107.1.107.1.107.1.107.1.107.1.107.1.10보기 7.1.10 삼각식을 대수식으로 쓰기

sin sincos를 와 를 포함하는 대수식(즉, 어떠한 삼각함수도 없는

식)으로 써라.

풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이 sin이고 cos라 하자. 그러면

sin

≤≤

이고 cos ≤≤.

≤≤

이므로, cos≥ . 그래서

cos sin .

비슷하게 ≤≤이므로, sin≥ . 그래서

sin cos .


24

따라서

sin sincos sin

sincoscossin ▣

요약요약요약요약요약요약요약요약요약요약요약요약요약요약요약요약요약요약요약

합과 차 공식

cos cos cossin sin, cos cos cos sin sin ,sin sin cos cos sin, sin sin coscos sin ,tan tan tan

tan tan , tan tan tan

tan tan.

7장 해석의 삼각법 7.2 배각과 반각공식

25

7.2 7.2 7.2 7.2 7.2 7.2 7.2 7.2 7.2 7.2 7.2 7.2 7.2 7.2 7.2 7.2 7.2 7.2 7.2 7.2 7.2 7.2 7.2 7.2 7.2 7.2 7.2 7.2 배각과 배각과 배각과 배각과 배각과 배각과 배각과 배각과 배각과 배각과 배각과 배각과 배각과 배각과 배각과 배각과 배각과 배각과 배각과 배각과 배각과 배각과 배각과 배각과 배각과 배각과 배각과 배각과 반각공식반각공식반각공식반각공식반각공식반각공식반각공식반각공식반각공식반각공식반각공식반각공식반각공식반각공식반각공식반각공식반각공식반각공식반각공식반각공식반각공식반각공식반각공식반각공식반각공식반각공식반각공식반각공식7.2 배각과 반각공식

목표 7.2.1 정확한 값을 구하기 위한 배각공식의 사용

7.2.2 항등식을 증명하기위한 배각과 반각공식의 사용

7.2.3 정확한 값을 구하기 위한 반각공식의 사용


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정리정리정리정리정리정리정리정리정리정리정리정리정리정리정리정리정리정리정리 7.2.1 7.2.1 7.2.1 7.2.1 7.2.1 7.2.1 7.2.1 7.2.1 7.2.1 7.2.1 7.2.1 7.2.1 7.2.1 7.2.1 7.2.1 7.2.1 7.2.1 7.2.1 7.2.1 배각공식

sin sin cos. (7.2.1)

cos cossin. (7.2.2a)

cos sin. (7.2.2b)

cos cos. (7.2.2c)


27

그림 7.2.1

보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 7.2.17.2.17.2.17.2.17.2.17.2.17.2.17.2.17.2.17.2.17.2.17.2.17.2.17.2.17.2.17.2.17.2.17.2.1보기 7.2.1 배각공식을 사용한 정확한 값

sin

이고

일 때, 다음 각각의 정확한 값을 구하라 :

(a) sin (b) cos풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이

(a) sin

이고 sin sin cos이므로, 우리는

cos만 구하면 된다. sin

이므로, 이고

라 하자. 또한 은 반지름 5인 원

위의 점이라 하자.

이므로, 는

사분면 II에 있다. 그러면 . 그림 7.2.1을 보라. 그래


28

서

그러므로 cos

. 따라서, 공식 (7.2.1)에 의하여,

sin sin cos

.

(b) sin

이 주어져 있으므로, 공식 (7.2.2b)를 사용한다. 그러면

cos sin

▣


29

주목주목주목주목주목주목주목주목주목주목주목주목주목주목주목주목주목주목주목 보기 7.2.1(b)에서 cos를 구하는데 있어서, 우리는 배각공식 (7.2.2a)의

변형인 공식 (7.2.2b)를 선택하여 사용했다. 우리는 sin

인 피타고라

스 항등식 cos ±sin를 사용할 수 없음에 주목하라. 왜냐면 우리는 어떤 부호를 선택해야할지를 아는 방법이 없기 때문이다.


30

보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 7.2.27.2.27.2.27.2.27.2.27.2.27.2.27.2.27.2.27.2.27.2.27.2.27.2.27.2.27.2.27.2.27.2.27.2.2보기 7.2.2 항등식의 확인

(a) tan 를 tan 에 의하여 나타내라.(b) sin 를 sin 와 cos에 의하여 나타내라.풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이

(a) tan 에 대한 합 공식에서, 라 하자. 그러면

tan tan tan tan tan tan

tantan

(b) 먼저 sin 에 대한 공식을 사용하면,

sin sin sin coscossin 따라서, 배각공식에 의하여,

sin sin coscoscossinsin sin cossin cossin sin cossin (7.2.3) ▣


31

(7.2.3)을 우리는 다음과 같이 다시 쓸 수 있다 :

sin sin cossin sin sinsin sin sin

보기 7.2.2로부터 우리는 다음의 공식을 얻는다.

정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 7.2.27.2.27.2.27.2.27.2.27.2.27.2.27.2.27.2.27.2.27.2.27.2.27.2.27.2.27.2.27.2.27.2.27.2.2정리 7.2.2

tan tantan

. (7.2.4)

sin sin sin. (7.2.5)


32

배각공식의 다른 변형

배각공식 (7.2.2b)와 (7.2.2c)를 다시 정돈함으로써, 우리는 이 절의 뒤에서 사

용할 다른 공식들을 얻는다.

공식 (7.2.2b)에서 시작하여 sin에 대하여 풀면,cos sinsin cos.

sin

cos. (7.2.6)

비슷하게, 공식 (7.2.2c)를 사용하여, cos에 대하여 풀면,cos cos

cos cos


33

cos

cos. (7.2.7)

공식 (7.2.6)과 (7.2.7)은 tan에 대한 공식을 유도하는데 사용될 수 있다.

tan cossin

cos

cos.

tan coscos

. (7.2.8)

공식 (7.2.6)-(7.2.7)을 기억할 필요는 없다. 잊으면 배각공식에서 유도하면 된

다.

공식 (7.2.6)과 (7.2.7)은 미분적분학에서 중요하다. 다음의 보기는 공식 (7.2.7)

의 사용이 필요한 미분적분학에서 생기는 문제를 설명한다.


34


1보다 더 큰 sine 또는 cosine의 어떠한 지수도 포함하지 않는 식으로 cos를 변형시켜라.

풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이 cos cos

cos

공식 (7.2.7)

coscos

cos cos

cos

cos 공식(7.2.7)

cos cos

cos cos ▣


35

배각공식과 같은 항등식은 더 적합한 꼴로 식을 다시 쓰는데 사용될 수 있다.

보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 7.2.47.2.47.2.47.2.47.2.47.2.47.2.47.2.47.2.47.2.47.2.47.2.47.2.47.2.47.2.47.2.47.2.47.2.4보기 7.2.4 발사체 운동

어떤 물체가 1초에 피트의 처음속도를 갖고 수평선과 각 를 이루면서 위쪽방

향으로 나아가게 된다. 그림 7.2.2를 보라. 공기저항이 무시되면, 이 물체가 움직

인 수평거리 은 다음과 같이 주어진다.

sin cos.

그림 7.2.2


36

(a)

sin 임을 보여라.

(b) 이 최대가 되는 각 를 구하라.


(a) sin sin cos이므로,

sin cos

sin cos

sin

(b) 결과(a)에서, sin 일 때, 은 최대값을 갖는다. 그러면

˚ ˚.

따라서 ˚일 때 은 최대값을 갖는다. ▣


37

반각공식

공식 (7.2.6)-(7.2.7)에서,

라 하면, 다음의 결과를 쉽게 얻는다.

sin

cos

cos

cos (7.2.9)

tancos

cos

주목주목주목주목주목주목주목주목주목주목주목주목주목주목주목주목주목주목주목 공식 (7.2.9)는 미분적분학의 적분법에서 유용하게 사용됨을 알게 될 것이

다.


38

공식 (7.2.9)에서, 각 왼쪽 변에 대하여 풀면, 반각공식(half-angle form-

ula)이라 부르는 다음의 결과를 얻는다 :

정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 7.2.37.2.37.2.37.2.37.2.37.2.37.2.37.2.37.2.37.2.37.2.37.2.37.2.37.2.37.2.37.2.37.2.37.2.3정리 7.2.3 반각공식

sin ±

cos. (7.2.10a)

cos±

cos. (7.2.10b)

tan ±coscos

. (7.2.10c)

여기서 + 또는 - 부호는 각

의 사분면에 의하여 결정된다.


39

7.2.3

보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 7.2.57.2.57.2.57.2.57.2.57.2.57.2.57.2.57.2.57.2.57.2.57.2.57.2.57.2.57.2.57.2.57.2.57.2.5보기 7.2.5 반각공식을 사용한 정확한 값

각각의 정확한 값을 구하라 :

(a) cos˚ (b) sin ˚풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이

(a) ˚˚이므로, ˚인 cos

에 대한 반각공식을 사용할 수 있다. 그런

데 ˚는 사분면 I에 있으므로, cos˚. 그래서 공식 (7.2.10a)를 사용하는데

있어서 + 부호를 택한다. 따라서

cos˚ cos˚

cos˚


40

(b) sin ˚ sin˚인 사실과 공식 (7.2.10b)를 사용한다. 그러면sin ˚ sin

˚

cos˚

▣

보기 7.2.5(a)에서 구한 답과 보기 7.1.2에서 구한 답을 비교하는 것은 흥미가

있다. 보기 7.1.2에서 구한 답은


41

cos

cos˚

.

이 사실과 보기 7.2.5(a)의 결과에 근거하여

.

(각 식이 양이므로, 각 식을 제곱함으로써 여러분은 이 등식을 증명할 수 있다.)

두 개의 값이 매우 다르게 보이지만, 여전히 옳다. 문제를 풀기 위하여 선택하는

접근에 따라서, 답이 얻어질 수 있다.

보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 7.2.67.2.67.2.67.2.67.2.67.2.67.2.67.2.67.2.67.2.67.2.67.2.67.2.67.2.67.2.67.2.67.2.67.2.6보기 7.2.6 반각공식을 사용한 정확한 값

cos

일 때, 다음 각각의 정확한 값을 구하라 :


42

(a) sin

(b) cos

(c) tan


이므로,

. 그래서

는 사분면 II에 있다.

(a)

가 사분면 II에 있으므로, sin

. 그러므로 우리는 공식(7.2.10a)

에서 + 부호를 사용한다. 따라서

sin

cos

(b)

가 사분면 II에 있으므로, cos

. 그러므로 우리는 공식(7.2.10b)에서 -


43

부호를 사용한다. 따라서

cos

cos

(c)

가 사분면 II에 있으므로, tan

. 그러므로 우리는 공식(7.2.10c)에서 -

부호를 사용한다. 따라서

tancoscos

. ▣


44

보기 7.2.6(c)를 푸는데 다른 방법은 (a)와 (b)에서 구한 해를 사용하는 것이다.

tancos

sin

.

공식 (7.2.10c)보다 더욱 유용하게 사용되는, +와 -부호를 포함하지 않는

tan에 대한 공식이 있다.

cos sin

공식(7.2.9)

이고

sin sin

sin cos

배각공식


45

이므로,

sincos

sin

cos

sin

cos

sin

tan.

또한 다음의 항등식이 성립한다.

sin cos

cossin

.

따라서 우리는 다음의 결과를 얻는다 :

정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 7.2.47.2.47.2.47.2.47.2.47.2.47.2.47.2.47.2.47.2.47.2.47.2.47.2.47.2.47.2.47.2.47.2.47.2.4정리 7.2.4 tan

에 대한 반각공식


46

tan sin

coscossin

. (7.2.11)

이 공식을 사용하여, 보기 7.2.6(c)를 다른 방법으로 해결할 수 있다 :

cos

,

이므로,

sin cos

따라서, 방정식 (7.2.11)에 의하여,

tansin

cos

.

7장 해석의 삼각법 7.3 곱-합과 합-곱 공식

47

7.3 .3 .3 .3 .3 .3 .3 .3 .3 .3 .3 .3 .3 .3 .3 .3 .3 .3 .3 .3 .3 .3 .3 .3 .3 .3 .3 .3 곱곱곱곱곱곱곱곱곱곱곱곱곱곱곱곱곱곱곱곱곱곱곱곱곱곱곱곱----------------------------합과 합과 합과 합과 합과 합과 합과 합과 합과 합과 합과 합과 합과 합과 합과 합과 합과 합과 합과 합과 합과 합과 합과 합과 합과 합과 합과 합과 합합합합합합합합합합합합합합합합합합합합합합합합합합합합----------------------------곱 곱 곱 곱 곱 곱 곱 곱 곱 곱 곱 곱 곱 곱 곱 곱 곱 곱 곱 곱 곱 곱 곱 곱 곱 곱 곱 곱 공식공식공식공식공식공식공식공식공식공식공식공식공식공식공식공식공식공식공식공식공식공식공식공식공식공식공식공식.3 곱-합과 합-곱 공식

목표 7.3.1 곱을 합으로 나타내기

7.3.2 합을 곱으로 나타내기


48

곱-합 공식

7.3.1 합과 차 공식은 사인 및 또는 코사인의 곱을 합 또는 차로 나타내는 공식

을 유도하는데 사용될 수 있다. 이와 같은 항등식을 일반적으로 곱-합 공식

(product-to-sum formular)이라 한다.

정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 7.3.17.3.17.3.17.3.17.3.17.3.17.3.17.3.17.3.17.3.17.3.17.3.17.3.17.3.17.3.17.3.17.3.17.3.1정리 7.3.1 곱-합 공식

sin sin

coscos. (7.3.1)

cos cos

coscos. (7.3.2)

sin cos

sin sin . (7.3.3)


49

주목주목주목주목주목주목주목주목주목주목주목주목주목주목주목주목주목주목주목 정리 7.3.1에 있는 세 개의 항등식을 기억하려할 필요는 없다. 언제나 사인

과 코사인의 합과 곱 공식에서 유도되기 때문이다.

보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 7.3.17.3.17.3.17.3.17.3.17.3.17.3.17.3.17.3.17.3.17.3.17.3.17.3.17.3.17.3.17.3.17.3.17.3.1보기 7.3.1 곱을 합으로 나타내기

다음의 각 곱을 사인 또는 코사인만을 포함하는 합으로 나타내라.

(a) sin sin (b) cos cos (c) sin cos


(a) 공식 (7.3.1)을 사용한다. 그러면

sin sin

coscos

coscos.


50

(b) 공식 (7.3.2)을 사용한다. 그러면

cos cos

coscos

coscos.

(c) 공식 (7.3.3)을 사용한다. 그러면

sin cos

sin sin

sin sin

sin sin . ▣


51

다음은 합-곱 공식(sum-to-product formula)이다.

정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 7.3.27.3.27.3.27.3.27.3.27.3.27.3.27.3.27.3.27.3.27.3.27.3.27.3.27.3.27.3.27.3.27.3.27.3.2정리 7.3.2 합-곱 공식

sinsin sin cos

. (7.3.4)

sinsin sin cos

. (7.3.5)

coscos cos cos

. (7.3.6)

coscos sin sin

. (7.3.7)


52

여기에서 우리는 공식(7.3.4)만을 유도할 것이다. 나머지는 연습문제 18-20으로

남겨둔다.

증명증명증명증명증명증명증명증명증명증명증명증명증명증명증명증명증명증명증명

sin cos

⋅

sin

sin

↑공식

sin

sin

sin sin . ▣


53

보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 7.3.27.3.27.3.27.3.27.3.27.3.27.3.27.3.27.3.27.3.27.3.27.3.27.3.27.3.27.3.27.3.27.3.27.3.2보기 7.3.2 합(또는 차)을 곱으로 나타내기

각 합 또는 차를 사인 및 또는 코사인의 곱으로 나타내라.

(a) sin sin (b) coscos


(a) 공식 (7.3.7)을 사용한다. 그러면

sin sin sin

cos

sin cos.(b) coscos cos

cos

공식 (7.3.6)

cos cos

. ▣

77장 장 해석의 해석의 삼각법삼각법 - wkurg.wonkwang.ac.kr/teaching/chapter07.pdf ·...

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