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부정정구조해석 7.부정정구조물의 개요

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7. 부정정 구조물의 개요

7.1. 개설

7.1.1. 부정정구조물

■ 구조물을 구성하고 있는 부재 혹은 그들의 접합부 및 지점에 의한 구속조건이 붕괴의 방지

를 위해 필요한 수보다 많은 경우 정역학적 부정정구조물이라 한다. 과잉부재 및 과잉구속

조건에 의해 발생하는 힘을 부정정력, 여용력 혹은 과잉력이라 하며 부정정력수는 부정정

차수로 표현되고 이는 구조물이 보유하고 있는 구조형식으로 인한 안정성의 여유 정도를

나타낸다.

■ 정정구조물의 해석: 해제조건을 고려한 평형방정식에 의해 미지 반력을 구하고 이를 이용

해 부재 내부력을 해석

■ 부정정구조물의 해석: 미지력의 수가 평형조건식 수보다 많아 추가적인 조건식이 필요하므

로 변형의 적합조건(Compatibility Condition)을 이용, 변형과 힘의 관계는 재료의 물성과

부재단면특성에 의해 표현

7.1.2. 부정정구조물의 기본개념

■ 응력법(Force Method) : 부정정력을 미지변량으로 취하여 방정식을 세운다.

예) 변위일치법, 3연 모멘트법, 최소일의 방법

■ 변위법(Displacement Method) : 변위를 미지변량으로 취하여 방정식을 세운다.

예) 처짐각법, 모멘트 분배법

■ 부정정 차수()의 판별

￭ 판별식 방법 1

- 구조물을 구성하고 있는 부재들을 절단하여 양단에 절점을 갖는 열린 부재들로 구성

- 지점 반력과 각 부재에 나타나는 미지 단면력이 미지력

- 각 절점에 세워지는 평형방정식과 부재 내부의 해제조건식이 사용 가능한 방정식 수

· · (7.1.1)

부재수 해제조건수

반력수 절점수

단면력성분수 절점별 평형방정식 수

미지력수 방정식수


- 160 -

￭ 판별식 적용 예

아래 구조물의 지점 A, B에 절점을 정의하여 2개의 절점과 한 개의 부재로 고려

- 미지반력 4개

- 부재수는 한 개 이며 부재 절점에 나타나는 미지 내부력 , , 는 , , 와

각각 종속되어 미지력은 3개, 즉 양단에 6개의 미지 단면력을 갖고 한 개의 자유물체도에

평형방정식 3개를 고려하면 3개 단면력만이 미지력

- 절점 A, B에는 위에 언급한 7개의 미지력 (반력 4, 부재력 3) 외에 추가적인 미지력이 나

타나지 않으며, 두 절점에서 각각 3개의 평형방정식이 세워짐

- 부재 내부의 모멘트 힌지로부터 추가 조건식

- 따라서, 부정정 차수 = 반력수 + 부재수 당 3개의 미지력 – 절점 당 3개의 평형방정식 –

해제조건식 수 = 4 + 1×3 – 2×3 – 1 = 0 : 정정

￭ 부재 단면에 발생하는 미지력 수와 평형 방정식 수는 구조형식에 따라 아래 표와 같다.

구조 차수 평면 구조물 입체 구조물

구조 형식 들보 보, 라멘 트러스 들보 보, 라멘 트러스

절점 평형방정식 수 2 3 2 4 6 3

부재 단면력 수 2 3 1 2 6 1

￭ 판별식 방법 2 (Cut-Tree 방법)

- 구조물을 구성하고 있는 부재들을 절단하여 절점을 정의하고, 각각의 절단된 부재(강체)

의 절점에 미지 내부력을 표시하여 자유물체도를 구성

- 절단된 부재는 강체이어야 하므로 힌지에서 절단

- 각 자유물체도는 평형을 이루므로 각 각 세 개의 평형조건식이 주어지며 반력을 포함한

절점 미지 내부력 수는 구하여야 할 미지력의 수


- 161 -

×

부정정차수 절점 미지력수 평형방정식수

반력수 절점수

미지력수 방정식수

￭ Cut-Tree 방법 적용 예

위의 예를 Cut-Tree 방법으로 분석하면 모멘트 힌지C에 절점을 정의하고 2개의 자유물체

도를 고려

- 반력 4개

- 절점C의 미지력 2개

- 부재수 (자유물체도 수) 2개

- 부정정 차수 = 반력 + 절점 미지력 – 자유물체도 수×평형방정식 수 (=3)

= 4 + 2 – 2×3 = 0 : 정정


- 162 -

￭ 부정정 판별 예

- 판별식 방법 1: · · - 판별식 방법 2: ×

예1) 예2)

1. = 4, = 3, = 2, = 2 1. = 9, = 14, = 9, = 19

= 4 + 3×3 – 3×2 – 2 = 5 = 9 + 14×3 – 3×9 – 19 = 5

2. = 4, = 7, = 2 2. = 9, = 38, = 14

= 4 + 7 – 2×3 = 5 = 9 + 38 – 14×3 = 5

예3)예4)

1. 1.

2. 2.

예5) 예6)

1. 1.

2. 2.

부정정구조해석 8.변위일치법

- 163 -

8.변위일치법

n 기본개념

￭ 대상 구조물에 부정정력 발생시키는 구속들을 선택하고 해제하여 정정구조물로 만들어

이를 기본 시스템 (Fundamental system)으로 취한다.

￭ 기본시스템에 실제 하중을 가하여 구속이 해제된 위치에서의 변위를 구한다.

￭ 부정정력 ⋯ 등을 기본 시스템에 하중으로 가하여 구속이 해제된 위치에서의

변위를 구한다.

￭ 이때 기본시스템의 구속이 해제된 위치에 실제하중에 의해 발생하는 변위를 원상복구

시켜, 구속이 해제되기 전의 실제시스템의 변형조건과 일치하게 하는 힘들을 찾으면 그

힘들이 부정정력이다.

￭ 정정인 기본시스템에 실제하중과 앞에서 찾은 부정정력들을 하중으로 가하여 실제 시

스템을 해석한다.

￭ 이때 부정정력의 선택에 따라 해석이 간단해 질 수 있으며, 각각의 변위는 단위하중법

으로 구할 수 있다.

예) 1차 부정정보: 반력을 부정정력으로 선택

1) 부정정력 선택

￭ 지점 의 수직 변위에 대한 구속을 해제하고 이에 대응하는 반력 를 부정정력으로

선택한다.


- 164 -

2) 기본시스템

￭ 선택한 정정시스템에 실제하중을 가한다.

￭ 실제 하중 에 의해 점에는 의 처짐이 발생한다.

⊖

3) 단위하중 시스템

￭ 선택한 정정시스템이 부정정력을 단위하중 로 가한다.

￭ 에 의해 점에는 의 처짐이 발생한다.

⊕

4) 각각의 처짐 와 은 단위하중법으로 구한다.

이때 사용되는 가상의 힘에 의한 모멘트도는 단위하중시스템에서의 모멘트도와

동일하다.

5) 에 배한 힘 에 의한 변위 · 이 와 같다면, 지점 에서의 처짐은 “”

이 되어 지점 에서의 실제보의 경계조건을 만족하고 이때의 는 실제보의 점 반력

이다.

6) 부정정력 와 실제하중 를 기본시스템에 가하여 나머지 반력과 보의 부재력을 정정

해석법에 의해 구한다. 이때 기본시스템에서 구한 모멘트도와 반력은 단위하중시스템

에서 구한 모멘트도 및 반력을 배하여 중첩할 수 있다. 전단력도 또한 동일한 방법으

로 구하거나 모멘트와 전단력의 관계를 이용하여 구할 수 있다.

여기서 Q는 부정정력으로 고차 부정정구조물의 경우 여러개의 부정정력이 나타나며

이를 단위하중 와 동일하게 표시한다. 구하고자 하는 실제 시스템의 응답(반력, 단면

력도, 변형, etc.)은 실제하중과 부정정력 에 대한 기본시스템의 응답 와 을

중첩하여 구한다.

(8.2.1)

: 부정정 차수 : 부정정력, · · · : 기본시스템의 응답 : 단위하중 시스템의 응답


- 165 -

■ 앞에 기술한 내용은 다음과 같이 체계화 된다.


2) 기본시스템

￭ : 실제하중 에 의해 이 작용하는 위치에 발생하는 변위

￭ 이때 이 힘이므로 는 이에 대응하는 변위 즉, 처짐이다.

⊖


⊕


- 166 -

￭ : 에 의해 이 작용하는 위치에 발생하는 변위, 즉 처짐

￭ 여기서 구한 값들은 수동적 일이므로 이들의 단위도 일의 단위 · 이어야 하나 적

용된 힘이 단위 없이 “” 로 고려되어 계산결과의 단위는 일의 단위와 일치하지 않는

다. 단지 일의 계산에 단위하중 “”이 사용되어 계산된 일의 양은 구하고자 하는 변위

의 양과 동일하다.

4) 처짐계수

￭ · · 가 음수인 것은 와 가상의 단위하중 의 방향이 반대이므로 이들에

의한 일의양이 음의 값을 가짐을 나타낸다.

￭ 한편 , 즉 는 항상 양의 값을 갖는데 이는 와 는 항상 같은 방향을 나타내

기 때문이다.

5) 부정정력

6) 내부력 계산

￭ 반력


- 167 -

￭ 모멘트 및 반력

⊖

⊕

⊕

￭ 전단력


- 168 -

예) 1차 부정정보 : 단면 모멘트를 부정정력으로 선택

￭ 보의 임의의 한점에 회전 구속을 해제하는 모멘트 힌지를 설정하고 실제보의 그 단면

에 발생할 단면 모멘트를 부정정력으로 선택한다. 이때 실제보의 처짐곡선에서 해당점

좌우의 회전각은 같다. 즉, 그 점에서의 상대회전각은 “”인 조건을 적용한다.


2) 기본시스템

⊖

￭

: 실제하중에 의해 작용위치에 발생하는 변위

이때, 변위는 부정정력 이 모멘트이므로 이에 대응하는

회전각이다(상대회전각).


- 169 -


⊕

￭

: 부정정력 에 의해, 이 작용하는 위치에 발생하는 변위

즉, 회전각(상대회전각)

4) 처짐계수

·· ··

·

·

·

·

·

· · ··

·

· ··

￭ 위에서 와 의 계산이 각각 수행되지 않았다. 과 은 각각 힌지 좌우측의 을

개별적으로 계산하여 구해진다.

￭ 여기서 · · 이 음수인 것은, 과이 과 각각 반대 방향임에 기인한

다.

+

1

1+

1

1

+

1

1

+

1

1+

1

1

+

1

1


- 170 -

5) 부정정력

·

6) 내부력 계산

⊖

⊕

·

·

⊕


- 171 -

예) 1차 부정정보 : 모멘트 반력을 부정정력으로 선택

￭ 고정단에 모멘트 힌지를 설정하고 실제보의 고정단에 발생할 모멘트 반력을 부정정으

로 선택한다. 이때, 고정단에 (상대)회전각은 발생하지 않는 조건을 고려한다.


2) 기본시스템

⊕


⊕


- 172 -

4) 처짐계수

· ·

·

· · ·

· ·

· · · ·

5) 부정정력

·

6) 내부력 계산

·

·

·

·


- 173 -

예) 탄성지점을 갖는 1차 부정정보

￭ 탄성지점에 전단 힌지를 설정하고 그 점에 발생할 전단력을 부정정력으로 선택한다. 이

때 구한 부정정력은 지점에서의 전단력 즉, 반력이다.

￭ 탄성지점에서 변위는 발생하나 그 점의 좌·우 상대변위는 발생하지 않는 조건을 적용

한다.

￭ 계산의 편의상 아래 계산에서 지점강성

로 가정한다.

: 지점 강성계수


2) 기본시스템

￭ 은 실제하중에 의해 기본시스템의 지점 에 발생하는 상대변위

⊖


⊕


- 174 -

￭ 에 의한 지점 변위

이다.

￭

은 단위하중 시스템의 지점 에 발생하는 상대변위이다. 은 내부일

로 계산되며 지점 의 변위 은 가상의 힘 에 대하여 외부일 · 로 계산

된다. 이는 가상의 힘 에 대한 방향을 고려한 반력 을 이용하여 · 로도

표현된다. 즉, · ·

· · ·

· ·

4) 처짐계수

· ·

·

· ·

·· ·· ··

··

· ··

5) 부정정력

6) 내부력 계산

·

·

·

·


- 175 -

예) 탄성지점을 갖는 1차 부정정보

￭ 고정단의 지점에 힌지를 설정하고 그 점에 발생할 모멘트 반력을 부정정력으로 선택하

여 지점의 모멘트 반력을 구한다.

￭ 고정단에서 (상대)회전각은 발생하지 않는 조건을 고려한다.


2) 기본시스템

⊕

·

￭ 는 탄성지점을 고려하지 않고, 하중에 의한 처짐각 와 탄성지점 변위로 인한 처짐

각 의 합이다

· · · ·


⊕

·

￭ · · · ·


- 176 -

4) 처짐계수

· ·

· ·

· · ·

· · ·

· ·

· ·

· ·

· · · ·

· · · ·

· ·

5) 부정정력

6) 내부력 계산

·

·

·

·


- 177 -

■ 처짐계수 의 일반식

·

여기서,

= 탄성지점 수

= 에 대한 번째 탄성지점 반력

= 실제하중 또는 에 대한 번째 탄성지점 변위

= 이동지점 수

= 에 대한 번째 이동지점 반력

= 번째 이동지점 변위

온도하중과 지점이동의 경우 단지 에만 고려된다.

예)

············

············

············


- 178 -

예) 등분포하중을 받는 1차 부정정보

￭ 일반적으로 반력을 부정정력으로 선택하는 것이 간편할 수 있으나, 다음에서는 부재의

임의의 점에 전단힌지를 설정하고 단면 전단력을 부정정력으로 선택한다. 이때, 실제보

에서 전단힌지 위치에서 좌우 상대처짐은 발생하지 않는 조건을 만족시키는 부정정력

의 크기가 실제보의 단면에 작용하는 전단력이다.


2) 기본시스템



- 179 -

·· ··

·

· · ·

4) 처짐계수

·· ··

·

· ·

5) 부정정력

6) 내부력 계산

·

·

·

·

7) 모멘트도


- 180 -

예) 구배온도하중을 받는 양단 고정보

￭ 양 고정단에 힌지를 설정하고 모멘트 반력을 부정정력으로 선택한다.

￭ 양 고정단에서 (상대)회전각이 발생하지 않는 조건을 적용하여 부정정력을 계산한다.

×


2) 기본시스템


⊕


⊕


- 181 -

5) 처짐계수

· ·

·

··

··

··

··

··

·· ( Maxwell의 정리. )

6) 부정정력

·

·

·

·

7) 내부력도

⊖

(BMD) (SFD)

￭ BMD에서 나타내듯이 온도변화가 음(-)인 측에 인장응력이 발생한다.

￭ 이 예의 경우, 양 고정단에서 동일한 모멘트 반력이 발생함을 고려하면 단지

1개의 부정정력 을 양쪽 고정단에 적용할 수 있다.


- 182 -

예) 지점변위가 주어진 1차 부정정보의 내부력

￭ 지점변위는 처짐계산에 포함시키지 않고 처짐 방정식의 우변에 고려할 수 있다.

·


2) 기본시스템

⊕

·

￭

￭ 지점 변위 는 단위하중 시스템 에 대하여 외부일을 발생, · ·


⊖


- 183 -

4) 처짐계수

··

· ·

·

·

· ·

··

· ·

· ·

·

· · ·

5) 부정정력

(는 방향과 반대)

6) 내부력계산

·

·

· · · ·

n 지점변위는 처짐계산에 포함시키지 않고 처짐 방정식의 우변에 고려할 수도 있다.


- 184 -

예) 온도변화와 지점변위를 갖는 구조물 (과제)

· · · ·

· ·

·


2) 기본시스템



- 185 -

4) 처짐계수

·

· ·

· · ·

· ·

5) 부정정력

· ·

··

6) 모멘트도


- 186 -

예) 2개의 내부지점을 갖는 연속보


2) 기본시스템


⊖


- 187 -


⊕

5) 처짐계수

··

·

· ·

·

··

··

·

·

· · ·

· · ·

··

·

·

·

··

·

·

· ·

··

·

· ·


- 188 -

6) 부정정력

· · · ·

7) 내부력 계산

·· · ··

· · · ·

· · ·

· · · ·

·

8) 내부력도

·

··

· ·

§ 본 예는 대칭 시스템이므로 대칭되는 부정정력 2개를 선택하여 일차 부정정 구조물로

해석하는 것이 효율적이다.


- 189 -

예) 아래 부정정보에서 점의 모멘트를 구하시오.

￭ 보의 중앙에 모멘트 힌지와 전단힌지를 설정하고 실제보의 처짐곡선에서 해당점 좌우

의 상대회전각과 상대변위는 발생하지 않는 조건을 적용


2) 기본시스템

⊖

⊖


⊕

⊖


- 190 -


⊕

⊕

5) 처짐계수

··

·

· ·

·

· ·

·

··

·

· ·

· ··

·

··

·

··

··

· ··

··

·

··

6) 부정정력


- 191 -

7) 내부력 계산

· ·

· ·

· · ·

· · ·

·

8) 부재력도

·

·

·


- 192 -

예) 아래 부정정구조물의 부재력도를 구하시오.


2) 기본시스템

·

·

⊖ ⊖

·


- 193 -


⊕

⊕⊕

⊖


⊕

⊖

⊕

⊕

⊕

⊖

5) 처짐계수

·

·

■ ·

이 매우 작은 경우 ( ≈ )

≈ 이므로

축력의 영향을 무시할 수 있다.


- 194 -

예) 아래 부정정 트러스의 처짐계수 를 구하시오.


2) 기본시스템 3) 단위하중 시스템

⊖

⊖

⊖

⊖ ⊕

⊖⊖⊕

⊕ ⊕

⊖

4) 처짐계수

· ·

, 부재수

· ·


- 195 -

예제 8-1 아래 라멘 구조물의 모멘트도를 변위일치법에 의해 구하시오. ( )

≈

×

×

(1) 정정판별

반력: 7, 미지력: 2, 자유물체도: 2, × ∴3차 부정정

(2) 부정정력 선택

(3) 기본 시스템

↑


- 196 -

· ·

·

·

· ·

§ 절점모멘트

(4) 단위하중 시스템

↑


- 197 -


↓


↑


- 198 -

(7) 처짐계수

· ×· ··

· ·

· ·

· ·

· · ·

· · ·


- 199 -

· · ·

· ·

· ·

· ·

(8) 부정정력 산정


- 200 -

(9) 모멘트도

·

·

·

·

· ·

§ 절점모멘트

전산해석 결과 ( ≈ )

· · · · · ·


- 201 -

8.2. 최소일의 방법(Castigliano)

￭ 정정구조물에서 다룬 Castigliano 제2법칙은 부정정구조물에서도 동일하게 적용된다.

예)

⊖

⊕

· ·

￭ 구조물에 발생한 내부일은

·

·

·

￭ 은 Castigliano 제2법칙에 의해 작용점에서의 처짐이다. 이때 처짐은 발생하지 않

음으로

→ ․

￭ 부정정 구조물에서 Castigliano 제2법칙은 변위일치법의 적합방정식과 동일하다.


- 202 -

￭ Castigliano 제2법칙의 의미

: 내부에너지 가 극값을 갖는다.

: 내부에너지가 갖는 극값은 최소값이다.

￭ Castigliano의 원리 : 부정정력들은 구조물의 내부 에너지가 최소가 되도록 한다.

→ 최소일의 방법

￭ 축력이 작용하지 않는 차 부정정 구조물의 경우, 개의 부정정력 ···에 대하

여 개의 연립식을 세우고 해를 구함으로 ···을 결정

⋮

￭ 축력만이 작용하는 트러스의 경우

⋮

￭ 축력과 모멘트가 동시에 작용하는 라멘의 경우, 위 두 경우를 함께 고려한다.

￭ 최소일의 방법은 능동적 일에서 정의됨으로 온도변화, 지점처짐 등의 경우 적용할 수 없

다.


- 203 -

예) 최소일의 방법에 의해 구조물의 해석

·

·


2) 기본시스템 3) 부정정력 에 의해

· · ·

· ·

⊖⊖

⊕

4) 부정정력 산정

, 이므로

5)

· ·⊕

· ·⊖⊖

⊕


- 204 -

8.3. 3연 모멘트법

￭ 변위일치법을 사용하는 특수한 경우로 연속보의 해석에 적용

￭ 경간내 모든 지점에 모멘트 힌지를 설정하여 의 계산을 정식화

■ 3연 모멘트의 일반식

￭ 개의 지점을 갖는 차 부정정 연속보를 변위일치법으로 해석하면

1) 부정정력 선택 : 개의 부정정 모멘트를 내부 지점에 설정

⋯ ⋯

⋯ ⋯

2) 기본시스템

⋯ ⋯


⋯ ⋯


⋯ ⋯


- 205 -

⋯ ⋯

⋯

⋯

5) ··· 단위하중 시스템

6) 처짐계수

￭ 번째 내부 지점에 대하여 , , , 을 제외한 모든 처짐계수는 ‘’의 값

을 갖는다. 따라서 의 일반식은 ··· 번째 내부지점에 대하여

￭ 는 주어진 하중에 의해 결정되나, 나머지 , , 은 하중과 무관하게

단면 특성 와 경간폭 , 에 의해서만 결정된다.


- 206 -

=

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

7) 적합방정식

․

: ․ + ․ + ․

: · + ․ + ․ + ․

⋮ : · + + + +

⋮ : ․ + +

￭ 3연모멘트의 일반식

․ ․ ․ , ···

· ․ ․

· ․

․ ․ ․


- 207 -

■ Table을 이용한 의 계산

￭ Table의 하중별 , 값을 읽어 , 를 간편하게 계산

￭

의 부호는 작용하중방향과 부정정력의 방향에 의해 정해지므로,

Table의 처짐각 부호를 적절하게 수정해야 한다.

￭ Table 이용 예 : 등분포하중을 받는 연속보

· ·


- 208 -

예) 2경간 보

1) 기본시스템 + 단위하중 시스템

2) 3연 모멘트 방정식

￭ 내부 지점이 하나이므로 , 및 , 은 존재하지 않음

2) 반력 및 모멘트도

⊕

⊕

⊖

⊕ ⊕⊖

￭ 내부지점 부모멘트의 크기는 기본시스템의 최대 모멘트의 크기와 같으며, 내부지점 반력

은 기본시스템 반력보다 25% 증가


- 209 -

■ 고정단과 캔틸리버를 갖는 보

￭ 고정단을 갖는 연속보의 고정단은 휨강성이 무한대인 경간으로 취급. 이때, 해당경간의

회전각은 ""이다.

∞

∞

,

,

￭ 켄틸레버를 갖는 연속보의 켄틸레버에 의한 지점모멘트를 모멘트 하중으로 취급

■ 단면형상이 경간별로 일정하지 않은 경우 3연 모멘트의 일반식

⇒

⇒ ′ ′ ′ ′ , ′

(Table 이용)

·

′ ′ , ′ , ′


- 210 -

경간지점

′ ′ ′

0-1

′ ×

1 2(3+4)=14

1-2

′

2 2(4+2)=12

2-3 4

×

3 2(2+4)=12

3-4 4 1 4

4 2(4+3)=14

4-5 6

×

예제 8-2 경간별 단면특성이 다른 연속보

·

,

1) 기본시스템 + 단위하중 시스템

·

2) 3연 모멘트 방정식

′ ′ ′ ′ ′ ′ ′

, ,


- 211 -

14 4 0 0

=

-32

4 12 2 0 -32

0 2 12 4 0

0 0 4 14 60

3) 적합 방정식

: ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′· ′·

: ′ ′ ′ ′ ′·

′· : ′ ′ ′ ′ ′· ′· : ′ ′ ′ ′ ′· ′ · (모멘트 하중고려)

Table row 28

4)

⊖ ⊖ ⊖

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⊖⊖⊖

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7.부정정 구조물의 개요 - kocwcontents.kocw.net/kocw/document/2015/hanyang_erica/noh... ·...

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