8° básico - matemáticas - 2011
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Programa e EsuioOcavo Ao Bsico
Ministerio de Educacin
Maemica
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IMPORTANTE
En el presente documento, se utilizan de manera inclusiva los trminos como el
docente, el estudiante, el profesor, el alumno, el compaero y sus respectivos
plurales (as como otras palabras equivalentes en el contexto educativo); es decir, se
refieren a hombres y mujeres.
Esta opcin obedece a que no existe acuerdo universal respecto de cmo evitar la
discriminacin de gneros en el idioma espaol, salvo usando o/a, los/las y otras
similares para referirse a ambos sexos en conjunto, y ese tipo de frmulas supone una
saturacin grfica que puede dificultar la comprensin de la lectura.
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Maemica
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Estimados profesores y profesoras:
La entrega de nuevos programas es una buena ocasin para reflexionar acerca de los desafos que enfrentamos hoy
como educadores en nuestro pas.
La escuela tiene por objeto permitir a todos los nios de Chile acceder a una vida plena, ayudndolos a alcanzar un
desarrollo integral que comprende los aspectos espiritual, tico, moral, afectivo, intelectual, artstico y fsico. Es decir,
se aspira a lograr un conjunto de aprendizajes cognitivos y no cognitivos que permitan a los alumnos enfrentar su vida
de la mejor forma posible.
Los presentes Programas de Estudio, aprobados por el Consejo Nacional de Educacin, buscan efectivamente abrir
el mundo a nuestros nios, con un fuerte nfasis en las herramientas clave, como la lectura, la escritura y el razona-
miento matemtico. El manejo de estas habilidades de forma transversal a todos los mbitos, escolares y no escolares,
contribuye directamente a disminuir las brechas existentes y garantizan a los alumnos una trayectoria de aprendizaje
continuo ms all de la escuela.
Asimismo, el acceso a la comprensin de su pasado y su presente, y del mundo que los rodea, constituye el fundamento
para reafirmar la confianza en s mismos, actuar de acuerdo a valores y normas de convivencia cvica, conocer y respetar
deberes y derechos, asumir compromisos y disear proyectos de vida que impliquen actuar responsablemente sobre
su entorno social y natural. Los presentes Programas de Estudio son la concrecin de estas ideas y se enfocan a su logro.
Sabemos que incrementar el aprendizaje de todos nuestros alumnos requiere mucho trabajo; llamamos a nuestros
profesores a renovar su compromiso con esta tarea y tambin a ensear a sus estudiantes que el esfuerzo personal,
realizado en forma sostenida y persistente, es la mejor garanta para lograr xito en lo que nos proponemos. Pedimos
a los alumnos que estudien con intensidad, dedicacin, ganas de aprender y de formarse hacia el futuro. A los padres
y apoderados los animamos a acompaar a sus hijos en las actividades escolares, a comprometerse con su estableci-
miento educacional y a exigir un buen nivel de enseaza. Estamos convencidos de que una educacin de verdad se
juega en la sala de clases y con el compromiso de todos los actores del sistema escolar.
A todos los invitamos a estudiar y conocer en profundidad estos Programas de Estudio, y a involucrarse de forma opti-
mista en las tareas que estos proponen. Con el apoyo de ustedes, estamos seguros de lograr una educacin de mayor
calidad y equidad para todos nuestros nios.
Felipe Bulnes Serrano
Ministro de Educacin de Chile
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Matemtica
Programa de Estudio para Octavo Ao Bsico
Unidad de Currculum y Evaluacin
ISBN 978-956-292-342-2
Ministerio de Educacin, Repblica de Chile
Alameda 1371, Santiago
Primera Edicin: 2011
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nice
Presenacin 6
Nociones Bsicas 8 Aprendizajes como integracin de conocimientos,habilidades y actitudes
10 Objetivos Fundamentales Transversales
11 Mapas de Progreso
Consieraciones Generaespara Impemenar e Programa 13
16 Orientaciones para planificar
19 Orientaciones para evaluar
Maemicas 24 Propsitos
25 Habilidades
26 Orientaciones didcticas
Visin Goba e Ao 28 Aprendizajes Esperados por semestre y unidad
Uniaes 33
Semesre 1 35 Unidad 1 Nmeros y lgebra
45 Unidad 2 Geometra
Semesre 2 59 Unidad 3 Datos y azar
73 Unidad 4 lgebra
Bibiografa 83
Anexos 89
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Presenacin
El programa de estudio ofrece una propuesta para organizar y orientar el trabajo
pedaggico del ao escolar. Esta propuesta pretende promover el logro de los
Objetivos Fundamentales (OF) y el desarrollo de los Contenidos Mnimos Obliga-
torios (CMO) que define el Marco Curricular1.
La ley dispone que cada establecimiento puede elaborar sus propios programasde estudio, previa aprobacin de los mismos por parte del Mineduc. El presen-
te programa constituye una propuesta para aquellos establecimientos que no
cuentan con programas propios.
Los principales componentes que conforman la propuesta del programa son:
una especificacin de los aprendizajes que se deben lograr para alcanzar los
OF y los CMO del Marco Curricular, lo que se expresa a travs de los Aprendi-
zajes Esperados2
una organizacin temporal de estos aprendizajes en semestres y unidades
una propuesta de actividades de aprendizaje y de evaluacin, a modo
de sugerencia
Adems, se presenta un conjunto de elementos para orientar el trabajo pedag-
gico que se realiza a partir del programa y para promover el logro de los objetivos
que este propone.
Este programa de estudio incluye:
Nociones bsicas. Esta seccin presenta conceptos fundamentales que es-
tn en la base del Marco Curricular y, a la vez, ofrece una visin general acerca
de la funcin de los Mapas de Progreso
Consideraciones generales para implementar el programa. Consisten
en orientaciones relevantes para trabajar con el programa y organizar el tra-
bajo en torno a l
El programa es una
propuesta para lograr los
Objetivos Fundamentales
y los Contenidos
Mnimos Obligatorios
1 Decretos supremos 254 y 256 de 2009
2 En algunos casos, estos aprendizajes estn formulados en los mismos trminos que al-
gunos de los OF del Marco Curricular. Esto ocurre cuando esos OF se pueden desarrollar
ntegramente en una misma unidad de tiempo, sin que sea necesario su desglose en
definiciones ms especficas.
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7Ocavo Ao Bsico / MaemicaPresentacin
Propsitos, habilidades y orientaciones didcticas. Esta seccin presenta
sintticamente los propsitos y sentidos sobre los que se articulan los aprendi-
zajes del sector y las habilidades a desarrollar. Tambin entrega algunas orien-
taciones pedaggicas importantes para implementar el programa en el sector
Visin global del ao. Presenta todos los Aprendizajes Esperados que sedebe desarrollar durante el ao, organizados de acuerdo a unidades
Unidades. Junto con especificar los Aprendizajes Esperados propios de la
unidad, incluyen indicadores de evaluacin y sugerencias de actividades que
apoyan y orientan el trabajo destinado a promover estos aprendizajes3
Instrumentos y ejemplos de evaluacin. Ilustran formas de apreciar el lo-
gro de los Aprendizajes Esperados y presentan diversas estrategias que pue-
den usarse para este fin
Material de apoyo sugerido. Se trata de recursos bibliogrficos y electr-
nicos que pueden emplearse para promover los aprendizajes del sector; se
distingue entre los que sirven al docente y los destinados a los estudiantes
3 Relaciones interdisciplinarias. En algunos casos las actividades relacionan dos o ms
sectores y se simbolizan con
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Nociones Bsicas
Aprendizajes como integracin de conocimientos,habilidades y actitudes
Los aprendizajes que promueven el Marco Curricular y los programas de estu-
dio apuntan a un desarrollo integral de los estudiantes. Para tales efectos, esos
aprendizajes involucran tanto los conocimientos propios de la disciplina comolas habilidades y actitudes.
Se busca que los estudiantes pongan en juego estos conocimientos, habilidades
y actitudes para enfrentar diversos desafos, tanto en el contexto del sector de
aprendizaje como al desenvolverse en su entorno. Esto supone orientarlos hacia
el logro de competencias, entendidas como la movilizacin de dichos elementos
para realizar de manera efectiva una accin determinada.
Se trata una nocin de aprendizaje de acuerdo con la cual los conocimientos,
las habilidades y las actitudes se desarrollan de manera integrada y, a la vez, se
enriquecen y potencian de forma recproca.
Las habilidades, los conocimientos y las actitudes no se adquieren espontnea-
mente al estudiar las disciplinas. Necesitan promoverse de manera metdica y
estar explcitas en los propsitos que articulan el trabajo de los docentes.
Habilidades
Son importantes, porque
el aprendizaje involucra no solo el saber, sino tambin el saber hacer. Por otraparte, la continua expansin y la creciente complejidad del conocimiento de-
mandan cada vez ms capacidades de pensamiento que permitan, entre otros
aspectos, usar la informacin de manera apropiada y rigurosa, examinar crti-
camente las diversas fuentes de informacin disponibles y adquirir y generar
nuevos conocimientos.
Esta situacin hace relevante la promocin de diversas habilidades, como resol-
ver problemas, formular conjeturas, realizar clculos en forma mental y escrita y
verificar proposiciones simples, entre otras.
Se deben desarrollar de manera integrada, porque
sin esas habilidades, los conocimientos y conceptos que puedan adquirir los alum-
nos resultan elementos inertes; es decir, elementos que no pueden poner en juego
para comprender y enfrentar las diversas situaciones a las que se ven expuestos.
Habilidades,
conocimientos
y actitudes
movilizados para
enfrentar diversas
situaciones y desafos
y que se desarrollan
de manera integrada
Deben promoverse de
manera sistemtica
Son fundamentales enel actual contexto social
Permiten poner en juego
los conocimientos
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9Ocavo Ao Bsico / MaemicaNociones Bsicas
ConoCimientos
Son importantes, porque
los conceptos de las disciplinas o sectores de aprendizaje enriquecen la com-
prensin de los estudiantes sobre los fenmenos que les toca enfrentar. Les per-miten relacionarse con el entorno, utilizando nociones complejas y profundas
que complementan, de manera crucial, el saber que han obtenido por medio del
sentido comn y la experiencia cotidiana. Adems, estos conceptos son funda-
mentales para que los alumnos construyan nuevos aprendizajes.
Por ejemplo, si se observa una informacin en un diario que contenga datos re-
presentados en tablas o grficos, el estudiante utiliza sus conocimientos sobre
estadstica para interpretar a esa informacin. Los conocimientos previos lo capa-
citan para predecir sobre lo que va a leer para luego verificar sus predicciones en
la medida que entiende la informacin y as construir este nuevo conocimiento.
Se deben desarrollar de manera integrada, porque
son una condicin para el progreso de las habilidades. Ellas no se desarrollan en
un vaco, sino sobre la base de ciertos conceptos o conocimientos.
aCtitudes
Son importantes, porque
los aprendizajes no involucran nicamente la dimensin cognitiva. Siempreestn asociados con las actitudes y disposiciones de los alumnos. Entre los pro-
psitos establecidos para la educacin, se contempla el desarrollo en los mbitos
personal, social, tico y ciudadano. Ellos incluyen aspectos de carcter afectivo y,
a la vez, ciertas disposiciones.
A modo de ejemplo, los aprendizajes de Matemtica involucran actitudes como
perseverancia, rigor, flexibilidad y originalidad al resolver problemas matem-
ticos, trabajo en equipo e iniciativa personal en la resolucin de problemas en
contextos diversos y respeto por ideas distintas a las propias.
Se deben ensear de manera integrada, porque
en muchos casos requieren de los conocimientos y las habilidades para su de-
sarrollo. Esos conocimientos y habilidades entregan herramientas para elaborar
juicios informados, analizar crticamente diversas circunstancias y contrastar cri-
terios y decisiones, entre otros aspectos involucrados en este proceso.
Enriquecen la
comprensin y la
relacin con el entorno
Son una base para el
desarrollo de habilidades
Estn involucradas enlos propsitos formativos
de la educacin
Son enriquecidas por
los conocimientos
y las habilidades
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A la vez, las actitudes orientan el sentido y el uso que cada alumno otorgue a los
conocimientos y las habilidades adquiridos. Son, por lo tanto, un antecedente
necesario para usar constructivamente estos elementos.
Objetivos Fundamentales Transversales (oFt)
Son aprendizajes que tienen un carcter comprensivo y general, y apuntan al
desarrollo personal, tico, social e intelectual de los estudiantes. Forman parte
constitutiva del currculum nacional y, por lo tanto, los establecimientos deben
asumir la tarea de promover su logro.
Los OFT no se logran a travs de un sector de aprendizaje en particular; conse-
guirlos depende del conjunto del currculum. Deben promoverse a travs de las
diversas disciplinas y en las distintas dimensiones del quehacer educativo (por
ejemplo, por medio del proyecto educativo institucional, la prctica docente, el
clima organizacional, la disciplina o las ceremonias escolares).
No se trata de objetivos que incluyan nicamente actitudes y valores. Supone
integrar esos aspectos con el desarrollo de conocimientos y habilidades.
A partir de la actualizacin al Marco Curricular realizada el ao 2009, estos ob-
jetivos se organizaron bajo un esquema comn para la Educacin Bsica y la
Educacin Media. De acuerdo con este esquema, los Objetivos Fundamentales
Transversales se agrupan en cinco mbitos: crecimiento y autoafirmacin per-
sonal, desarrollo del pensamiento, formacin tica, la persona y su entorno y
tecnologas de la informacin y la comunicacin.
Orientan la forma de
usar los conocimientos
y las habilidades
Son propsitos
generales definidos
en el currculum
que deben
promoverse en toda la
experiencia escolar
Integran conocimientos,
habilidades y actitudes
Se organizan en
una matriz comn
para educacin
bsica y media
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11Ocavo Ao Bsico / MaemicaNociones Bsicas
Mapas de Progreso
Son descripciones generales que sealan cmo progresan habitualmente los
aprendizajes en las reas clave de un sector determinado. Se trata de formu-
laciones sintticas que se centran en los aspectos esenciales de cada sector. A
partir de esto, ofrecen una visin panormica sobre la progresin del aprendizajeen los doce aos de escolaridad4.
Los Mapas de Progreso no establecen aprendizajes adicionales a los definidos en
el Marco Curricular y los programas de estudio. El avance que describen expresa
de manera ms gruesa y sinttica los aprendizajes que esos dos instrumentos
establecen y, por lo tanto, se inscribe dentro de lo que se plantea en ellos. Su
particularidad consiste en que entregan una visin de conjunto sobre la progre-
sin esperada en todo el sector de aprendizaje.
Qu utilidad tienen los Mapas de Progreso para el trabajo de los docentes?
Pueden ser un apoyo importante para definir objetivos adecuados y para evaluar
(ver las Orientaciones para Planificar y las Orientaciones para Evaluar que se
presentan en el programa).
Adems, son un referente til para atender a la diversidad de estudiantes dentro
del aula:
permiten ms que simplemente constatar que existen distintos niveles de
aprendizaje dentro de un mismo curso. Si se usan para analizar los desempe-
os de los estudiantes, ayudan a caracterizar e identificar con mayor precisin
en qu consisten esas diferencias la progresin que describen permite reconocer cmo orientar los aprendiza-
jes de los distintos grupos del mismo curso; es decir, de aquellos que no han
conseguido el nivel esperado y de aquellos que ya lo alcanzaron o lo superaron
expresan el progreso del aprendizaje en un rea clave del sector, de manera
sinttica y alineada con el Marco Curricular
Describen
sintticamente
cmo progresa el
aprendizaje
de manera
congruente con el
Marco Curricular y los
programas de estudio
Sirven de apoyo para
planificar y evaluar
y para atender
la diversidad al
interior del curso
4 Los Mapas de Progreso describen en siete niveles el crecimiento habitual del apren-
dizaje de los estudiantes en un mbito o eje del sector. Cada uno de estos nivelespresenta una expectativa de aprendizaje correspondiente a dos aos de escolaridad.
Por ejemplo, el Nivel 1 corresponde al logro que se espera para la mayora de los nios
y nias al trmino de 2 bsico; el Nivel 2 corresponde al trmino de 4 bsico, y as
sucesivamente. El Nivel 7 describe el aprendizaje de un alumno o alumna que, al egresar
de la Educacin Media, es sobresaliente, es decir, va ms all de la expectativa para IV
medio que describe el Nivel 6 en cada mapa.
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mapa de progresoEntrega una visin sinttica del progreso del aprendizaje
en un rea clave del sector, y se ajusta a las expectativas del
Marco Curricular.
Ejemplo:
Mapa de Progreso Nmeros y Operaciones
Nivel 7 Comprende los diferentes conjuntos numricos.
Nivel 6 Reconoce los nmeros complejos como
Nivel 5 Reconoce a los nmeros racionales como
Nivel 4 Reconoce los nmeros enteros como un conjunto
numrico en donde se pueden resolver problemas que no
admiten solucin en los nmeros naturales; reconoce sus
propiedades y los utiliza para ordenar, comparar y cuan-
tificar magnitudes. Establece proporciones y las usa para
resolver diversas situaciones de variacin proporcional.
Comprende y realiza las cuatro operaciones con nmeros
enteros. Utiliza races cuadradas de nmeros enteros
positivos y potencias de base fraccionaria positiva, decimal
positivo o entero y exponente natural en la solucin de
diversos desafos. Resuelve problemas y formula conjeturas
en diversos contextos en los que se deben establecer rela-
ciones entre conceptos. Justifica la estrategia utilizada, las
conjeturas formuladas y los resultados obtenidos, utilizan-
do conceptos, procedimientos y relaciones matemticas.Nivel 3 Reconoce que los nmeros naturales
Nivel 2 Utiliza los nmeros naturales hasta 1.000
Nivel 1 Utiliza los nmeros naturales hasta 1.000
programa de estudioOrienta la labor pedaggica, esta-
bleciendo Aprendizajes Esperados
que dan cuenta de los Objetivos
Fundamentales y Contenidos
Mnimos, y los organiza temporal-
mente a travs de unidades.
Ejemplo:
Aprendizaje Esperado 8 bsico
Resolver problemas que involu-
cren las operaciones bsicas con
nmeros enteros.
marCo CurriCularPrescribe los Objetivos Fundamentales y los Contenidos Mnimos Obligatorios que todos
los estudiantes deben lograr.
Ejemplo:
Objetivo Fundamental 8 bsico
Establecer estrategias para calcular multiplicaciones y divisiones de nmeros enteros.
Contenido Mnimo Obligatorio
Empleo de procedimientos de clculo para multiplicar un nmero natural por un nmero
entero negativo y extensin de dichos procedimientos a la multiplicacin
de nmeros enteros.
Relacin entre Mapa de Progreso, Programa de Estudio y Marco Curricular
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13Ocavo Ao Bsico / Maemica
Consieraciones Generaespara Impemenar
e Programa
Consideraciones Generales para Implementar el Programa
Las orientaciones que se presentan a continuacin destacan algunos elementos
relevantes al momento de implementar el programa. Algunas de estas orien-
taciones se vinculan estrechamente con algunos de los OFT contemplados en
el currculum.
Uso del lenguaje
Los docentes deben promover el ejercicio de la comunicacin oral, la lectura y
la escritura como parte constitutiva del trabajo pedaggico correspondiente a
cada sector de aprendizaje.
Esto se justifica, porque las habilidades de comunicacin son herramientas fun-
damentales que los estudiantes deben emplear para alcanzar los aprendizajes
propios de cada sector. Se trata de habilidades que no se desarrollan nicamente
en el contexto del sector Lenguaje y Comunicacin, sino que se consolidan a tra-
vs del ejercicio en diversos espacios y en torno a distintos temas y, por lo tanto,
involucran los otros sectores de aprendizaje del currculum.
Al momento de recurrir a la lectura, la escritura y la comunicacin oral, los do-
centes deben procurar:
leCtura
la lectura de distintos tipos de textos relevantes para el sector (textos informa-
tivos propios del sector, textos periodsticos y narrativos, tablas y grficos)
la lectura de textos de creciente complejidad en los que se utilicen conceptosespecializados del sector
la identificacin de las ideas principales y la localizacin de informacin relevante
la realizacin de resmenes y la sntesis de las ideas y argumentos presenta-
dos en los textos
la bsqueda de informacin en fuentes escritas, discriminndola y seleccio-
nndola de acuerdo a su pertinencia
la comprensin y el dominio de nuevos conceptos y palabras
esCritura
la escritura de textos de diversa extensin y complejidad (por ejemplo, repor-tes, ensayos, descripciones, respuestas breves)
la organizacin y presentacin de informacin a travs de esquemas o tablas
la presentacin de las ideas de una manera coherente y clara
el uso apropiado del vocabulario en los textos escritos
el uso correcto de la gramtica y de la ortografa
La lectura, la escritura
y la comunicacin oral
deben promoverse en
los distintos sectores
de aprendizaje
Estas habilidades se
pueden promover
de diversas formas
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ComuniCaCin oral
la capacidad de exponer ante otras personas
la expresin de ideas y conocimientos de manera organizada
el desarrollo de la argumentacin al formular ideas y opiniones
el uso del lenguaje con niveles crecientes de precisin, incorporando losconceptos propios del sector
el planteamiento de preguntas para expresar dudas e inquietudes y para
superar dificultades de comprensin
la disposicin para escuchar informacin de manera oral, manteniendo la
atencin durante el tiempo requerido
la interaccin con otras personas para intercambiar ideas, analizar informa-
cin y elaborar conexiones en relacin con un tema en particular, compartir
puntos de vista y lograr acuerdos
Uso de las Tecnologas de la Informacin y laComunicacin (tiC)
El desarrollo de las capacidades para utilizar las Tecnologas de la Informacin
y la Comunicacin (TICs) est contemplado de manera explcita como uno de
los Objetivos Fundamentales Transversales del Marco Curricular. Esto demanda
que el dominio y uso de estas tecnologas se promueva de manera integrada al
trabajo que se realiza al interior de los sectores de aprendizaje. Para esto, se debe
procurar que la labor de los estudiantes incluya el uso de las TICs para:
buscar, acceder y recolectar informacin en pginas web u otras fuentes, y
seleccionar esta informacin, examinando crticamente su relevancia y calidad procesar y organizar datos, utilizando plantillas de clculo, y manipular la in-
formacin sistematizada en ellas para identificar tendencias, regularidades y
patrones relativos a los fenmenos estudiados en el sector
desarrollar y presentar informacin a travs del uso de procesadores de texto,
plantillas de presentacin (power point) y herramientas y aplicaciones de ima-
gen, audio y video
intercambiar informacin a travs de las herramientas que ofrece internet,
como correo electrnico, chat, espacios interactivos en sitios web o comuni-
dades virtuales
respetar y asumir consideraciones ticas en el uso de las TICs, como el
cuidado personal y el respeto por el otro, sealar las fuentes de donde seobtiene la informacin y respetar las normas de uso y de seguridad de los
espacios virtuales
Debe impulsarse
el uso de las TICs a
travs de los sectores
de aprendizaje
Se puede recurrir
a diversas formasde utilizacin de
estas tecnologas
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15Ocavo Ao Bsico / MaemicaConsideraciones Generales para Implementar el Programa
Atencin a la diversidad
En el trabajo pedaggico, el docente debe tomar en cuenta la diversidad entre
los estudiantes en trminos culturales, sociales, tnicos o religiosos, y respecto
de estilos de aprendizaje y niveles de conocimiento.
Esa diversidad conlleva desafos que los profesores tienen que contemplar. Entre
ellos, cabe sealar:
promover el respeto a cada uno de los estudiantes, en un contexto de toleran-
cia y apertura, evitando las distintas formas de discriminacin
procurar que los aprendizajes se desarrollen en relacin con el contexto y la
realidad de los estudiantes
intentar que todos los alumnos logren los objetivos de aprendizaje sealados
en el currculum, pese a la diversidad que se manifiesta entre ellos
Atencin a la diversidad y promocin de aprendizajes
Se debe tener en cuenta que atender a la diversidad de estilos y ritmos de
aprendizaje no implica expectativas ms bajas para algunos estudiantes. Por
el contrario, la necesidad de educar en forma diferenciada aparece al constatar
que hay que reconocer los requerimientos didcticos personales de los alumnos,
para que todos alcancen altas expectativas. Se aspira a que todos los estudiantes
alcancen los aprendizajes dispuestos para su nivel o grado.
En atencin a lo anterior, es conveniente que, al momento de disear el traba-
jo en una unidad, el docente considere que precisarn ms tiempo o mtodos
diferentes para que algunos estudiantes logren estos aprendizajes. Para esto,debe desarrollar una planificacin inteligente que genere las condiciones que
le permitan:
conocer los diferentes niveles de aprendizaje y conocimientos previos de
los estudiantes
evaluar y diagnosticar en forma permanente para reconocer las necesidades
de aprendizaje
definir la excelencia, considerando el progreso individual como punto de partida
incluir combinaciones didcticas (agrupamientos, trabajo grupal, rincones) y
materiales diversos (visuales, objetos manipulables)
evaluar de distintas maneras a los alumnos y dar tareas con mltiples opciones
promover la confianza de los alumnos en s mismos promover un trabajo sistemtico por parte de los estudiantes y ejercitacin
abundante
La diversidad
entre estudiantes
establece desafos
que deben tomarse
en consideracin
Es necesario atender
a la diversidad para
que todos logrenlos aprendizajes
Esto demanda conocer
qu saben y, sobre
esa base, definir con
flexibilidad las diversas
medidas pertinentes
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Orientaciones para planificar
La planificacin es un elemento central en el esfuerzo por promover y garantizar los
aprendizajes de los estudiantes. Permite maximizar el uso del tiempo y definir los
procesos y recursos necesarios para lograr los aprendizajes que se debe alcanzar.
Los programas de estudio del Ministerio de Educacin constituyen una herra-
mienta de apoyo al proceso de planificacin. Para estos efectos, han sido elabo-
rados como un material flexible que los profesores pueden adaptar a su realidad
en los distintos contextos educativos del pas.
El principal referente que entrega el programa de estudio para planificar son
los Aprendizajes Esperados. De manera adicional, el programa apoya la pla-
nificacin a travs de la propuesta de unidades, de la estimacin del tiempo
cronolgico requerido en cada una y de la sugerencia de actividades para de-
sarrollar los aprendizajes.
ConsideraCiones generales para realizar la planiFiCaCin
La planificacin es un proceso que se recomienda realizar, considerando los
siguientes aspectos:
la diversidad de niveles de aprendizaje que han alcanzado los estudiantes
del curso, lo que implica planificar considerando desafos para los distintos
grupos de alumnos
el tiempo real con que se cuenta, de manera de optimizar el tiempo disponible
las prcticas pedaggicas que han dado resultados satisfactorios
los recursos para el aprendizaje con que se cuenta: textos escolares, materia-les didcticos, recursos elaborados por la escuela o aquellos que es necesa-
rio disear; laboratorio y materiales disponibles en el Centro de Recursos de
Aprendizaje (CRA), entre otros
sugerenCias para el proCeso de planiFiCaCin
Para que la planificacin efectivamente ayude al logro de los aprendizajes, debe
estar centrada en torno a ellos y desarrollarse a partir de una visin clara de lo
que los alumnos deben aprender. Para alcanzar este objetivo, se recomienda
elaborar la planificacin en los siguientes trminos:
comenzar por una especificacin de los Aprendizajes Esperados que no selimite a listarlos. Una vez identificados, es necesario desarrollar una idea lo
ms clara posible de las expresiones concretas que puedan tener. Esto im-
plica reconocer qu desempeos de los estudiantes demuestran el logro de
los aprendizajes. Se deben poder responder preguntas como qu deberan
La planificacin
favorece el logro de
los aprendizajes
El programa sirve de
apoyo a la planificacin
a travs de un conjunto
de elementos elaborados
para este fin
Se debe planificar
tomando en cuenta la
diversidad, el tiempo real,
las prcticas anteriores y
los recursos disponibles
Lograr una visin lo ms
clara y concreta posible
sobre los desempeos
que dan cuenta de
los aprendizajes
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17Ocavo Ao Bsico / MaemicaConsideraciones Generales para Implementar el Programa
ser capaces de demostrar los estudiantes que han logrado un determinado
Aprendizaje Esperado?, qu habra que observar para saber que un aprendi-
zaje ha sido logrado?
a partir de las respuestas a esas preguntas, decidir las evaluaciones a realizar
y las estrategias de enseanza. Especficamente, se requiere identificar qu
tarea de evaluacin es ms pertinente para observar el desempeo espera-do y qu modalidades de enseanza facilitarn alcanzar este desempeo. De
acuerdo a este proceso, se debe definir las evaluaciones formativas y sumati-
vas, las actividades de enseanza y las instancias de retroalimentacin
Los docentes pueden complementar los programas con los Mapas de Progreso,
que entregan elementos tiles para reconocer el tipo de desempeo asociado
a los aprendizajes.
Se sugiere que la forma de plantear la planificacin arriba propuesta se use
tanto en la planificacin anual como en la correspondiente a cada unidad y al
plan de cada clase.
La planificacin anual
En este proceso, el docente debe distribuir los Aprendizajes Esperados a lo largo
del ao escolar, considerando su organizacin por unidades; estimar el tiempo
que se requerir para cada unidad y priorizar las acciones que conducirn a lo-
gros acadmicos significativos.
Para esto, el docente tiene que:
alcanzar una visin sinttica del conjunto de aprendizajes a lograr duran-te el ao, dimensionando el tipo de cambio que se debe observar en los
estudiantes. Esto debe desarrollarse a partir de los Aprendizajes Esperados
especificados en los programas. Los Mapas de Progreso pueden resultar un
apoyo importante
identificar, en trminos generales, el tipo de evaluacin que se requerir para
verificar el logro de los aprendizajes. Esto permitir desarrollar una idea de las
demandas y los requerimientos a considerar para cada unidad
sobre la base de esta visin, asignar los tiempos a destinar a cada unidad. Para
que esta distribucin resulte lo ms realista posible, se recomienda:
- listar das del ao y horas de clase por semana para estimar el tiempo disponible
- elaborar una calendarizacin tentativa de los Aprendizajes Esperados para elao completo, considerando los feriados, los das de prueba y de repaso, y la
realizacin de evaluaciones formativas y retroalimentacin
- hacer una planificacin gruesa de las actividades a partir de la calendarizacin
- ajustar permanentemente la calendarizacin o las actividades planificadas
y, sobre esa base,
decidir las evaluaciones,
las estrategias de
enseanza y la
distribucin temporal
Realizar esteproceso con una
visin realista de los
tiempos disponibles
durante el ao
-
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18
La planificacin de la unidad
Implica tomar decisiones ms precisas sobre qu ensear y cmo ensear, con-
siderando la necesidad de ajustarlas a los tiempos asignados a la unidad.
La planificacin de la unidad debiera seguir los siguientes pasos: especificar la meta de la unidad. Al igual que la planificacin anual, esta visin
debe sustentarse en los Aprendizajes Esperados de la unidad y se recomienda
complementarla con los Mapas de Progreso
crear una evaluacin sumativa para la unidad
idear una herramienta de diagnstico de comienzos de la unidad
calendarizar los Aprendizajes Esperados por semana
establecer las actividades de enseanza que se desarrollarn
generar un sistema de seguimiento de los Aprendizajes Esperados, especifi-
cando los tiempos y las herramientas para realizar evaluaciones formativas y
retroalimentacin
ajustar el plan continuamente ante los requerimientos de los estudiantes
La planificacin de clase
Es imprescindible que cada clase sea diseada considerando que todas sus par-
tes estn alineadas con los Aprendizajes Esperados que se busca promover y con
la evaluacin que se utilizar.
Adicionalmente, se recomienda que cada clase sea diseada distinguiendo su
inicio, desarrollo y cierre y especificando claramente qu elementos se con-
siderarn en cada una de estas partes. Se requiere considerar aspectos comolos siguientes:
inicio: en esta fase, se debe procurar que los estudiantes conozcan el prop-
sito de la clase; es decir, qu se espera que aprendan. A la vez, se debe buscar
captar el inters de los estudiantes y que visualicen cmo se relaciona lo que
aprendern con lo que ya saben y con las clases anteriores
desarrollo: en esta etapa, el docente lleva a cabo la actividad contemplada
para la clase
cierre: este momento puede ser breve (5 a 10 minutos), pero es central. En
l se debe procurar que los estudiantes se formen una visin acerca de qu
aprendieron y cul es la utilidad de las estrategias y experiencias desarrolladas
para promover su aprendizaje.
Realizar este proceso
sin perder de vista la
meta de aprendizaje
de la unidad
Procurar que los
estudiantes sepan qu y
por qu van a aprender,
qu aprendieron y
de qu manera
-
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19Ocavo Ao Bsico / MaemicaConsideraciones Generales para Implementar el Programa
Orientaciones para evaluar
La evaluacin forma parte constitutiva del proceso de enseanza. No se debe
usar solo como un medio para controlar qu saben los estudiantes, sino que
cumple un rol central en la promocin y el desarrollo del aprendizaje. Para que
cumpla efectivamente con esta funcin, debe tener como objetivos: ser un recurso para medir progreso en el logro de los aprendizajes
proporcionar informacin que permita conocer fortalezas y debilidades de los
alumnos y, sobre esa base, retroalimentar la enseanza y potenciar los logros
esperados dentro del sector
ser una herramienta til para la planificacin
Cmo promover el aprendizaje a travs de la evaluaCin?
Las evaluaciones adquieren su mayor potencial para promover el aprendizaje si
se llevan a cabo considerando lo siguiente:
informar a los alumnos sobre los aprendizajes que se evaluarn. Esto facilita que
puedan orientar su actividad hacia conseguir los aprendizajes que deben lograr
elaborar juicios sobre el grado en que se logran los aprendizajes que se bus-
ca alcanzar, fundados en el anlisis de los desempeos de los estudiantes. Las
evaluaciones entregan informacin para conocer sus fortalezas y debilidades. El
anlisis de esta informacin permite tomar decisiones para mejorar los resulta-
dos alcanzados
retroalimentar a los alumnos sobre sus fortalezas y debilidades. Compartir esta
informacin con los estudiantes permite orientarlos acerca de los pasos que
debe seguir para avanzar. Tambin da la posibilidad de desarrollar procesos
metacognitivos y reflexivos destinados a favorecer sus propios aprendizajes; asu vez, esto facilita involucrarse y comprometerse con ellos
Cmo se pueden artiCular los mapas de progreso del
aprendizaje Con la evaluaCin?
Los Mapas de Progreso ponen a disposicin de las escuelas de todo el pas un
mismo referente para observar el desarrollo del aprendizaje de los alumnos y
los ubican en un continuo de progreso. Los Mapas de Progreso apoyan el segui-
miento de los aprendizajes, en tanto permiten:
reconocer aquellos aspectos y dimensiones esenciales de evaluar
aclarar la expectativa de aprendizaje nacional, al conocer la descripcin decada nivel, sus ejemplos de desempeo y el trabajo concreto de estudiantes
que ilustran esta expectativa
Apoya el proceso
de aprendizaje al
permitir su monitoreo,
retroalimentar a los
estudiantes y sustentar
la planificacin
Explicitar qu se evaluar
Identificar logros
y debilidades
Ofrecer retroalimentacin
Los mapas apoyan
diversos aspectos del
proceso de evaluacin
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observar el desarrollo, la progresin o el crecimiento de las competencias de
un alumno, al constatar cmo sus desempeos se van desplazando en el mapa
contar con modelos de tareas y preguntas que permitan a cada alumno evi-
denciar sus aprendizajes
Cmo disear la evaluaCin?
La evaluacin debe disearse a partir de los Aprendizajes Esperados, con el obje-
to de observar en qu grado se alcanzan. Para lograrlo, se recomienda disear la
evaluacin junto a la planificacin y considerar las siguientes preguntas:
Cules son los Aprendizajes Esperados del programa que abarcar la
evaluacin?
Si debe priorizar, considere aquellos aprendizajes que sern duraderos y pre-
rrequisitos para desarrollar otros aprendizajes. Para esto, los Mapas de Progre-
so pueden ser de especial utilidad
Qu evidencia necesitaran exhibir sus estudiantes para demostrar
que dominan los Aprendizajes Esperados?
Se recomienda utilizar como apoyo los Indicadores de Evaluacin sugeridos
que presenta el programa.
Qu mtodo emplear para evaluar?
Es recomendable utilizar instrumentos y estrategias de diverso tipo (pruebas
escritas, guas de trabajo, informes, ensayos, entrevistas, debates, mapas con-
ceptuales, informes de laboratorio e investigaciones, entre otros).
En lo posible, se deben presentar situaciones que pueden resolverse de distintas
maneras y con diferente grado de complejidad, para que los diversos estudiantes
puedan solucionarlas y muestren sus distintos niveles y estilos de aprendizaje.
Qu preguntas se incluir en la evaluacin?
Se deben formular preguntas rigurosas y alineadas con los Aprendizajes Espe-
rados, que permitan demostrar la real comprensin del contenido evaluado
Cules son los criterios de xito?, cules son las caractersticas de
una respuesta de alta calidad?
Esto se puede responder con distintas estrategias. Por ejemplo:- comparar las respuestas de sus estudiantes con las mejores respuestas de
otros alumnos de edad similar. Se pueden usar los ejemplos presentados en
los Mapas de Progreso
Partir estableciendo
los Aprendizajes
Esperados a evaluar
y luego decidir qu
se requiere para su
evaluacin en trminos
de evidencias, mtodos,
preguntas y criterios
-
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21Ocavo Ao Bsico / MaemicaConsideraciones Generales para Implementar el Programa
- identificar respuestas de evaluaciones previamente realizadas que expresen
el nivel de desempeo esperado, y utilizarlas como modelo para otras eva-
luaciones realizadas en torno al mismo aprendizaje
- desarrollar rbricas5 que indiquen los resultados explcitos para un des-
empeo especfico y que muestren los diferentes niveles de calidad para
dicho desempeo
5 Rbrica: tabla o pauta para evaluar
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MaemicaPrograma e Esuio
Ocavo Ao Bsico
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PropsiosEl aprendizaje de la matemtica ayuda a comprender
la realidad y proporciona herramientas para desenvol-
verse en la vida cotidiana. Entre ellas se encuentran el
clculo, el anlisis de la informacin proveniente de
diversas fuentes, la capacidad de generalizar situacio-
nes, formular conjeturas, evaluar la validez de resultados
y seleccionar estrategias para resolver problemas. Todo
esto contribuye a desarrollar un pensamiento lgico,ordenado, crtico y autnomo, y a generar actitudes
como precisin, rigurosidad, perseverancia y confianza
en s mismo, que se valoran no solo en la ciencia y la
tecnologa, sino tambin en la vida cotidiana.
Aprender matemticas acrecienta tambin las habilida-
des relativas a la comunicacin; por una parte, ensea a
Maemica
presentar informacin con precisin y rigurosidad y, por
otra, a demandar exactitud y rigor en las informaciones
y argumentos que se recibe.
El conocimiento matemtico y la capacidad para
usarlo provocan importantes consecuencias en el
desarrollo, el desempeo y la vida de las personas. El
entorno social valora el conocimiento matemtico ylo asocia a logros, beneficios y capacidades de orden
superior. Aprender matemtica influye en el concep-
to que nios, jvenes y adultos construyen sobre s
mismos y sus capacidades; por lo tanto, contribuye a
que la persona se sienta un ser autnomo y valioso. En
consecuencia, la calidad, la pertinencia y la amplitud
de ese conocimiento afectan las posibilidades y la
HABIlIdAdES dE PENSAMIENtO MAtEMtICO
4 bsico 5 bsico 6 bsico
Resolver problemas en contextos
significativos que requieren el uso
de los contenidos del nivel
Resolver problemas en contextos
diversos y significativos
Resolver problemas en contextos
significativos
Formular conjeturas y verificarlas,
para algunos casos particulares
Formular y verificar conjeturas, en
casos particulares
Ordenar nmeros y ubicarlos en la
recta numrica
Ordenar nmeros y ubicarlos en la
recta numrica
Realizar clculos en forma mentaly escrita
Realizar clculos en forma mentaly escrita
Realizar clculos en forma mental yescrita
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Ocavo Ao Bsico / Maemica 25
HabiiaesAl estudiar matemticas, el estudiante adquiere el razo-
namiento lgico, la visualizacin espacial, el pensamien-
to analtico, el clculo, el modelamiento y las destrezas
para resolver problemas. La tabla siguiente puede
resultar til para:
observar transversalmente las habilidades que se
desarrollan en el sector
focalizarse en un nivel y disear actividades y evalua-ciones que enfaticen dichas habilidades
situarse en el nivel, observar las habilidades que se
pretendi ensear en los aos anteriores y las que se
trabajarn ms adelante
advertir diferencias y similitudes en los nfasis por
ciclos de enseanza
7 bsico 8 bsico I medio
Resolver problemas en contextos
diversos y significativos, utilizando
los contenidos del nivel
Resolver problemas en contextos
diversos y significativos
Analizar estrategias de resolucin de
problemas de acuerdo con criterios
definidos
Analizar la validez de los
procedimientos utilizados y de los
resultados obtenidos
Evaluar la validez de los resultados
obtenidos y el empleo de dichos
resultados para fundamentaropiniones y tomar decisiones
Fundamentar opiniones y tomar
decisiones
Ordenar nmeros y ubicarlos en la
recta numrica
Realizar clculos en forma mentaly escrita
Realizar clculos en forma mentaly escrita
Emplear formas simples de
modelamiento matemtico
Emplear formas simples de
modelamiento matemtico
Aplicar modelos lineales que repre-
sentan la relacin entre variables
Verificar proposiciones simples,
para casos particulares
Diferenciar entre verificacin y
demostracin de propiedades
calidad de vida de las personas y afecta el potencial
de desarrollo del pas.
La matemtica ofrece tambin la posibilidad de tra-
bajar con entes abstractos y sus relaciones y prepara a
los estudiantes para que entiendan el medio y las ml-
tiples relaciones que se dan en un espacio simblico
y fsico de complejidad creciente. Se trata de espa-cios en los que la cultura, la tecnologa y las ciencias
se redefinen en forma permanente y se hacen ms
difciles, y las finanzas, los sistemas de comunicacin
y los vnculos entre naciones y culturas se relacionan y
se globalizan.
Matemtica
-
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Se ha concebido este sector como una oportunidad
para que los estudiantes adquieran aprendizajes de vida.
La matemtica es un rea poderosa de la cultura, pues
permite comprender, explicar y predecir situaciones
y fenmenos del entorno. Por eso, es importante que
los docentes se esfuercen para que todos los alumnos
del pas aprendan los conocimientos y desarrollen las
capacidades propias de esta disciplina. Estos programasentregan algunas orientaciones que ayudarn a los
profesores a cumplir con este objetivo por medio de la
planificacin y en el transcurso de las clases.
los ConCeptos matemtiCos: proFundidad
e integraCin
Los estudiantes deben explorar en las ideas matem-
ticas y entender que ellas constituyen un todo y no
fragmentos aislados del saber. Tienen que enfrentar
variadas experiencias para que comprendan en pro-
fundidad los conceptos matemticos, sus conexionesy sus aplicaciones. De esta manera, podrn participar
activamente y adquirir mayor confianza para investigar
y aplicar las matemticas. Se recomienda que usen
materiales concretos, realicen trabajos prcticos y se
apoyen en la tecnologa, en especial en el ciclo bsico.
el uso del Contexto
Es importante que el docente aclare que esta disciplina
est enraizada en la cultura y en la historia; asimismo,
que impacta en otras reas del conocimiento cientfico,
crea consecuencias y permite aplicaciones. Preguntarse
cmo se originaron los conceptos y modelos matemti-
cos, en qu perodos de la historia y cmo se enlazaron
con la evolucin del pensamiento, es un ancla impor-
tante para el aprendizaje. Se recomienda usar analogas
y representaciones cercanas a los estudiantes, en es-
pecial en las etapas de exploracin. Tambin se sugiere
aplicar las matemticas a otras reas del saber y en la
vida diaria como un modo de apoyar la construccin del
conocimiento matemtico.
razonamiento matemtiCo y resoluCin
de problemas
Esta disciplina se construye a partir de regularidades que
subyacen a situaciones aparentemente diversas y ayuda
a razonar en vez de actuar de modo mecnico. Por eso
es importante invitar a los estudiantes a buscar regu-
laridades. Tambin se pretende desarrollar y explicar la
nocin de estrategia, comparar diversas formas de abor-
dar problemas y justificar y demostrar las proposiciones
matemticas. El docente debe procurar, asimismo, que
los alumnos conjeturen y verifiquen cmo se comportan
los elementos y las relaciones con que se trabaja. Tienen
que analizar los procedimientos para resolver un proble-
ma y comprobar resultados, propiedades y relaciones.
Aunque deben ser competentes en diversas habilidadesmatemticas, el profesor tiene que evitar que pongan
demasiado nfasis en los procedimientos si no com-
prenden los principios matemticos correspondientes.
uso del error
Usar adecuadamente el error ayuda a crear un ambiente
de bsqueda y creacin. Un educador puede aprove-
char la equivocacin para inducir aprendizajes especial-
mente significativos, si lo hace de manera constructiva.
Se debe considerar el error como un elemento concreto
para trabajar la diversidad en clases y permitir que todoslos alumnos alcancen los aprendizajes propuestos.
aprendizaje matemtiCo y desarrollo
personal
La clase de matemtica ofrece abundantes ocasiones
para el autoconocimiento y las interacciones sociales.
Es una oportunidad para la metacognicin6: cmo
lo hice?, cmo lo hicieron?, de qu otra manera es
posible? Adems, la percepcin que cada cual tiene de
su propia capacidad para aprender y hacer matemtica,
surge de la retroalimentacin que le ha dado la propia
experiencia. En ese sentido, el docente tiene en sus ma-
nos un poderoso instrumento: reconocer los esfuerzos y
los logros de los alumnos. Otros aspectos que tambin
ayudan a que cada estudiante aumente la confianza en
s mismo son valorar las diferencias, aceptar los xitos o
las acciones de sus pares, crear un clima de confianza y
distinguir de qu modo enfrenta cada uno el triunfo o el
fracaso, sea propio o de los dems.
teCnologas digitales y aprendizajematemtiCo
El presente programa propone usar software para am-
pliar las oportunidades de aprendizaje de los estudian-
tes. Estas tecnologas permiten representar nociones
abstractas a travs de modelos en los que se puede
experimentar con ideas matemticas; tambin se puede
crear situaciones para que los alumnos exploren las ca-
ractersticas, los lmites y las posibilidades de conceptos,
Orienaciones icicas
-
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Ocavo Ao Bsico / Maemica 27
relaciones o procedimientos matemticos. Los procesa-
dores geomtricos, simblicos y de estadstica son labo-
ratorios para investigar relaciones y ponerlas a prueba.
Con un procesador simblico, se puede analizar y en-
tender nmeros grandes o muy pequeos. Y se puede
estudiar el comportamiento de funciones, incluso las de
alta complejidad. Internet ofrece mltiples ambientes
con representaciones dinmicas de una gran cantidad
de objetos matemticos. Los procesadores geomtricos
permiten experimentar con nociones y relaciones de lageometra euclidiana, cartesiana o vectorial. Se trata de
un espacio muy atractivo para los estudiantes y que los
ayudar mucho a formarse para una vida cada vez ms
influida por las tecnologas digitales.
Clima y motivaCin
Se debe propiciar un ambiente creativo para que los
alumnos formulen, verifiquen o refuten conjeturas
respecto de los problemas que abordan. Ese ambiente
debe admitir que el error, la duda y la pregunta son
importantes y valiosos para construir conocimiento;
asimismo, tiene que valorar los aportes de todos y
aprovecharlos para crear una bsqueda y una cons-
truccin colectiva. En ese espacio ser natural analizar
acciones y procedimientos y explorar caminos alter-nativos de una bsqueda y construccin colectivas.
Debe constituirse en un espacio en el que es natural el
anlisis de las acciones y procedimientos, de modo de
comparar diversas alternativas.
6 Metacongicin: manera de aprender a razonar sobre el propio razonamiento
Matemtica
-
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Visin Goba e AoApreniaes Esperaos por semesre y unia
Unia 1Nmeros y gebra
AE 01
Establecer estrategias para calcular multiplicaciones
y divisiones de nmeros enteros
AE 02
Utilizar estrategias para determinar el valor de potencias
de base entera y exponente natural
AE 03
Determinar propiedades de multiplicacin y divisin
de potencias de base entera y exponente natural
AE 04
Verificar qu propiedades de potencias de base entera
y exponente natural se cumplen en potencias de base
fraccionaria positiva, decimal positiva y exponentenatural
AE 05
Resolver problemas que involucren las operaciones con
nmeros enteros y las potencias de base entera, fraccio-
naria o decimal positiva y exponente natural
Semesre 1
Tiempo estimado
55 horas pedaggicas
-
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Ocavo Ao Bsico / Maemica 29
Unia 2Geomera
AE 01
Caracterizar transformaciones isomtricas de figu-
ras planas y reconocerlas en diversas situaciones y
contextos
AE 02
Reconocer algunas propiedades de las transformaciones
isomtricas
AE 03
Construir transformaciones isomtricas de figuras
geomtricas planas, utilizando regla y comps o proce-
sadores geomtricos
AE 04Teselar7 el plano con polgonos regulares, utilizando
regla y comps o procesadores geomtricos
AE 05
Utilizar las transformaciones isomtricas como herra-
mienta para realizar teselaciones regulares y semirre-
gulares
AE 06
Caracterizar la circunferencia y el crculo como lugares
geomtricos
AE 07
Calcular el permetro de circunferencias y de arcos
de ellas
AE 08
Calcular el rea del crculo y de sectores de l
AE 09
Calcular medidas de superficies de cilindros, conos
y pirmides, utilizando frmulas
AE 10
Calcular volmenes de cilindros y conos, utilizando
frmulas
AE 011
Resolver problemas en contextos diversos relativos
a clculos de:
permetros de circunferencias y reas de crculos
reas de superficies de cilindros, conos y pirmides
volmenes de cilindros y conos
Tiempo estimado
75 horas pedaggicas
Visin Global del Ao
7 Teselar: pavimentar una superficie con figuras regulares o irregulares, sin que queden espacios entre ellas ni se superpongan
-
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Unia 3daos y aar
AE 01
Interpretar informacin a partir de tablas de frecuencia,
cuyos datos estn agrupados en intervalos
AE 02
Representar datos, provenientes de diversas fuentes, en
tablas de frecuencias con datos agrupados en intervalos
AE 03
Interpretar y producir informacin, en contextos diver-
sos, mediante el uso de medidas de tendencia central,
extendiendo al caso de datos agrupados en intervalos
AE 04
Comprender el concepto de aleatoriedad en el uso de
muestras y su importancia para realizar inferencias
AE 05
Asignar probabilidades tericas a la ocurrencia de
eventos en experimentos aleatorios con resultados
finitos y equiprobables8, y contrastarlas con resultados
experimentales
Semesre 2
Tiempo estimado
65 horas pedaggicas
8 Equiprobable: que tiene la misma probabilidad
-
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Ocavo Ao Bsico / Maemica 31
Unia 4gebra
AE 01
Plantear ecuaciones que representan la relacin entre
dos variables en diversos contextos
AE 02
Reconocer funciones en diversos contextos, identificar
sus elementos y representar diversas situaciones a
travs de ellas
AE 03
Identificar variables relacionadas en forma proporcional
y no proporcional
AE 04
Analizar, mediante el uso de softwares grficos, situa-
ciones de proporcionalidad
AE 05
Resolver problemas en diversos contextos que impli-
can proporcionalidad directa y problemas que implican
proporcionalidad inversa
Tiempo estimado45 horas pedaggicas
Visin Global del Ao
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33
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Uniaes
Semesre 1
Semesre 2
Unia 1Nmeros y gebra
Unia 2Geomera
Unia 3daos y aar
Unia 4gebra
-
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Unia 1Nmeros y gebra
propsito
Esta unidad permite que los estudiantes apliquen
sus conocimientos sobre multiplicacin y divisin de
nmeros naturales y sobre adiciones y sustracciones
de nmeros enteros, a la multiplicacin y la divisin
de nmeros enteros en casos particulares.
Adems, se extiende el trabajo con potencias de
bases naturales, fraccionarias y decimales positi-
vas, a bases enteras con exponentes naturales. Para
lograrlo, se realizan actividades orientadas a verificar
las propiedades de estas potencias en casos particu-
lares y a resolver problemas en contextos numricos
donde ellas intervienen.
ConoCimientos previos
Adicin y sustraccin de nmeros enteros
Potencias de base natural, fraccionaria y decimal
positiva con exponente natural
palabras Clave
Potencias de base entera y exponente natural, pro-
piedades de las potencias.
Contenidos
Multiplicacin y divisin de nmeros enteros
Propiedades de la multiplicacin y la divisin de
nmeros enteros
Potencias de base entera, fraccionaria y decimal
positiva con exponente natural
Propiedades de las potencias de base entera, frac-
cionaria y decimal positiva con exponente natural
Habilidades
Argumentar acerca de la validez de las propieda-
des de la multiplicacin y la divisin de nmeros
enteros
Establecer estrategias para resolver divisiones de
nmeros enteros Estimar mentalmente el valor de algunas potencias
Interpretar informacin expresada en potencias
Conjeturar, argumentar, verificar y aplicar propie-
dades de las potencias
aCtitudes
Trabajo en equipo y mostrar iniciativa personal
para resolver problemas en contextos diversos
-
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ApreniaesEsperaos
Se espera que los estudiantes sean
capaces de:
c c Cuando los estudiantes han logrado este aprendizaje:
AE 01Esabecer esraegias para
cacuar muipicaciones y
ivisiones e nmeros eneros
Calculan multiplicaciones de enteros utilizando la estrategia establecida
Calculan divisiones de enteros utilizando la estrategia establecida
AE 02Uiiar esraegias para e-
erminar e vaor e poencias
e base enera y exponene
naura
Utilizan estrategias para determina el signo de expresiones del tipo (-1)n
cuando n es un nmero natural
Utilizan estrategias para determinar el valor de expresiones del tipo (-a )n
cuando a , n son nmeros naturales
Estiman mentalmente potencias de base entera de un dgito y exponente
natural menor de 5. Por ejemplo, estiman (-7)4 como 49 49, obteniendoun nmero menor a 2.500
AE 03deerminar propieaes e
muipicacin y ivisin e
poencias e base enera y
exponene naura
Explican los pasos realizados para determinar las propiedades de poten-
cias de base entera y exponente natural
Calculan potencias de base entera y exponente natural utilizando las
propiedades determinadas
-
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Ocavo Ao Bsico / Maemica 37Unidad 1
Se espera que los estudiantes sean
capaces de:
c c Cuando los estudiantes han logrado este aprendizaje:
AE 04Vericar qu propiedades de
poencias e base enera y
exponene naura se cumpenen poencias e base fraccio-
naria posiiva, ecima posiiva
y exponene naura
Calculan multiplicaciones de potencias de base fraccionaria positiva y
exponente natural, utilizando la propiedad relativa a multiplicacin de
potencias de igual base entera y exponente natural Verifican qu propiedades relativas a la divisin de potencias de base entera
y exponente natural se cumplen en potencias de base fraccionaria positiva
Explican de manera escrita los pasos realizados en la verificacin de po-
tencias de potencias de base decimal positiva y exponentes naturales
AE 05Resolver problemas que invo-
ucren as operaciones con n-meros eneros y as poencias
e base enera, fraccionaria o
ecima posiiva y exponene
naura
Resuelven problemas relativos a multiplicaciones de enteros
Aplican correctamente la regla de los signos y la prioridad de las ope-raciones en la resolucin de problemas de operatoria combinada con
nmeros enteros
Resuelven problemas en contextos cotidianos que involucren potencias
de base entera y exponente natural
Verifican los resultados obtenidos en funcin del contexto del problema
Analizan los procedimientos utilizados en trminos de los resultados
obtenidos
-
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que estudien su comportamiento para distintos valores
numricos. Las actividades deben permitir que com-
prendan expresiones como (-a )n (-b )n, con a , b , n en
los naturales; multiplicaciones de potencias expresadas
como (-a )n (-b )mo (-a )n (-a )m; potencias de base
fraccionaria de la forma -a
b
ncon a , b en los natura-
les; multiplicaciones de potencias con base fracciona-
ria de la forma -a
b
n -
c
d
n -
a
b
n -
a
b
mcon
a , b , n en los naturales y, por ltimo, con potencias
elevadas a otra potencias (-a )n m , con a , n en los
naturales.
Es habitual que los alumnos presenten ritmos de com-
prensin muy variados cuando tengan que establecer
generalizaciones. Por lo tanto, se recomienda disear
actividades que contemplen el trabajo en equipo. Ah
puedan aflorar naturalmente lderes intelectuales que
apoyen la labor docente al interior de cada grupo y per-
mitan diversificar los ritmos de produccin; eso ayuda a
dar tiempos diferenciados a cada estudiante y, adems,
posibilita el dilogo y la discusin.
Orientaciones didcticas para la unidad
Esta unidad ampla las operaciones con nmeros
enteros, pues incorpora la multiplicacin y la divisin.
Al respecto, se recomienda al docente ensearlas de un
modo similar a las operaciones de adicin y sustraccin.
Las reglas para operar con nmeros enteros no son muy
fciles de comprender, pero s de memorizar; por eso,
se debe buscar que los alumnos entiendan y evitar que
solo aprendan de memoria los procedimientos. Se reco-mienda que el profesor use metforas o analogas para
ayudarlos a comprender los procedimientos involucra-
dos, en vez de limitarse a la ejercitacin rutinaria.
En el tema de las potencias, se pueden aplicar expresio-
nes del tipo (-1)npara calcular potencias del tipo (-a )n,
donde a pertenece a los naturales.
Como estrategia, en las operaciones con potencias se
sugiere partir de lo particular y llegar a lo general (es
decir, ejemplificar y trabajar con nmeros para luego
generalizar) y realizar tambin el proceso inverso. Con-
viene recomendar a los estudiantes que, cada vez que
una expresin algebraica carezca de sentido y sea difcil
de entender, la lleven a un terreno familiar; es decir,
Aprendizajes Esperados en relacin con los OFT
Trabajo en equipo e iniciativa personal para resolver problemas en contextos diversos
Participa activamente en actividades grupales
Es responsable en la tarea asignada
Toma la iniciativa en actividades de carcter grupal
Propone alternativas de solucin a problemas matemticos en actividades grupales
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Ocavo Ao Bsico / Maemica 39Unidad 1
Eempos eAciviaes
AE 01Esabecer esraegias para
cacuar muipicaciones y i-
visiones e nmeros eneros.
1Formulan estrategias para multiplicar nmeros enteros y las aplican para
calcular multiplicaciones en las que intervienen estos nmeros. Al respec-
to, formulan estrategias para:
multiplicar nmeros de la forma a (-b )
multiplicar nmeros de la forma (-a ) (-b )
! Observaciones al docente: El profesor puede sugerirles que usen la repre-
sentacin de los nmeros enteros en la recta numrica.
Es importante que no ensee las reglas de los signos a los alumnos antes de
que elaboren las estrategias; deben establecer juntos dichas reglas a travs de
estas actividades.
Aplican estas estrategias para realizar clculos del tipo:
--(-a )
[ (-a ) (-b )+c (-d) ] [a + (-b ) ]
2Formulan estrategias para dividir nmeros enteros y las aplican para
calcular divisiones en este contexto numrico. Por ejemplo, formulan
estrategias para:
realizar divisiones de la forma a : (-b )
! Observaciones al docente: Puede sugerir a los estudiantes que expresen la
divisin anterior en la forma -a : b .
divisiones de la forma (-a ) : (-b )
A continuacin la utilizan para realizar clculos del tipo:
-- (-a) : (-b )
[(-a ) (-b ) + c (-d)] : [a (-b )]
3Resuelven divisiones de nmeros enteros, utilizando las propiedades de la
multiplicacin. Por ejemplo, para calculara : (-b ), expresan este cociente
en la forma a -1
b.
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AE 03deerminar propieaes e
muipicacin y ivisin e
poencias e base enera y
exponene naura.
Los estudiantes utilizan resultados acerca de potencias del tipo (-a )n y:
1resultados obtenidos en 7 bsico respecto de multiplicaciones de
potencias de igual base natural y exponentes naturales, para determinar
propiedades respecto de multiplicaciones del tipo a n am , donde la base
es entera y los exponentes son nmeros naturales.
2resultados obtenidos en 7 bsico respecto de potencias de potencias (es
decir, acerca de expresiones del tipo (a n)m donde la base y los exponen-
tes son nmeros naturales) para determinar propiedades respecto demultiplicaciones del tipo (a n)m , donde la base es entera y los exponentes
son nmeros naturales.
1Comprueban que las propiedades de multiplicaciones de potencias de
base entera y exponente natural se verifican en multiplicaciones de po-
tencias de base fraccionaria o decimal positiva y exponente natural;
es decir, quea
b
n
a
b
m =
a
b
n +m
2Comprueban que las propiedades de potencias de potencias de enteros
de base entera y exponentes naturales se verifican en potencias de po-
tencias de nmeros de base fraccionaria o decimal positiva y exponentes
naturales; es decir, quea
b
m
n= anm
bnm
AE 04Vericar qu propiedades de
poencias e base enera y
exponene naura se cumpen
en poencias e base fraccio-
naria posiiva, ecima posiivay exponene naura.
1Usan estrategias para calcular expresiones del tipo (-a ) + (-a ) + (-a ) + ... +
(-a ), donde se ha sumado a veces -a y convierten esta suma en formade potencias.
2Utilizan estrategias para estimar potencias de base entera de un dgito y
exponente natural. Por ejemplo, estiman (-3)2 (-7)2.
3Verifican en casos particulares que (-1)2n=1 y (-1)2n+ 1=-1 cuando n N,
y lo utilizan para realizar clculos del tipo (-a )n y clculos del tipo b (-a )n,
cuando n N. Por ejemplo: 2 (-3)5
4Emplean estos resultados para resolver clculos asociados a expresiones
donde intervienen potencias del tipo b (-a )n. Por ejemplo: 2 (-5) (-5)
(-5) + 3 (-5) (-5) (-5)
AE 02Uiiar esraegias para e-
erminar e vaor e poencias
e base enera y exponenenaura.
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Ocavo Ao Bsico / Maemica 41Unidad 1
1Resuelven problemas en contextos geomtricos que involucren potencias
de base fraccionaria positiva y exponente natural. Por ejemplo, en un
cuadrado de lado 10 cm. se unen los puntos medios de sus lados, y en
este nuevo cuadriltero se vuelven a unir los puntos medios de sus lados,
y as sucesivamente. Se pide:
determinar el tipo de cuadrilteros que se forman
calcular el rea de cualquiera de esos cuadrilteros, por ejemplo, delquinto cuadriltero formado
2Analizan los procedimientos utilizados y verifican, usando un software
geomtrico, los resultados obtenidos. En el caso de la actividad anterior,
analizan los procedimientos utilizados para determinar el tipo de cuadri-
lteros que se forman, y verifican los resultados obtenidos, utilizando un
software geomtrico.
3Usan las operaciones bsicas de los nmeros enteros para responder
preguntas del tipo:
la temperatura ha aumentado 2 Celsius cada hora durante 4 horas.
Cunto ha aumentado la temperatura en ese tiempo?
la temperatura ha disminuido 4 Celsius cada hora durante 5 horas.
Cuntos grados ha disminuido la temperatura en ese tiempo?
4Resuelven problemas sencillos que requieren operatoria con nmeros
enteros, del tipo:
un buzo profesional desciende a 10 metros de profundidad pararealizar un experimento, luego sube 27 metros y despus desciende 4
veces el descenso inicial. A qu profundidad qued?
5Inventan problemas que se resuelven con las operaciones:
(-5) (-4)
(-10) : 2 + 5 (-6)
AE 05Resolver problemas que invo-
ucren as operaciones con n-
meros eneros y as poencias
e base enera, fraccionaria o
ecima posiiva y exponene
naura.
3Verifican que las propiedades de divisiones de potencias de base entera
y exponente natural se cumplen en divisiones de potencias de igual basefraccionaria o decimal positiva y exponente natural; es decir, que
a
b
n:
a
b
m =
a
b
n -m
4Comprueban que las propiedades de divisiones de potencias de bases
enteras y exponente natural se verifican en divisiones de potencias de
nmeros de base fraccionaria o decimal positiva e igual exponente
natural; es decir, quea
b
n:
c
d
n= a
b :
c
d
n
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6Aplican las propiedades de las potencias de base fraccionaria y decimal
positiva con exponente natural en situaciones reales. (Ciencias Naturales)
Por ejemplo:
En la fisin binaria hay una duplicacin idntica del material gentico y
de sus mutaciones. Esta reproduccin requiere solo un progenitor, que
dar lugar a dos clulas hijas idnticas, lo que sucede cuando la clula
est lista para reproducirse; entonces aumenta su contenido celular y
su tamao en forma alargada. Luego comienza la biparticin, cuando
se forma un tabique que se encargar de producir un estrangulamien-
to en la clula. En las bacterias, este proceso puede ocurrir cada 20
minutos. (Fuente: http://infobiol.com/fisionbinaria).- Si se tiene inicialmente una clula, cuntas habr despus de 6
divisiones?
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Ocavo Ao Bsico / Maemica 43Unidad 1
Eempo eEvauacin
aCtividad
Lea cuidadosamente la situacin dada. Responda las preguntas propuestas.
Estime mentalmente el valor de la expresin (-2)2n+1 + 22n+1 para distintos valores de n,
sabiendo que npuede tomar solo valores naturales. Escriba su estimacin en el recuadro:
D un argumento que apoye la validez de la propiedad de la divisin de potencias de igual
base aplicada en el ejercicio(-3)5
(-3)3
= (-3)2
Escriba, en trminos de potencias, la diferencia entre la octava parte de 2n+3 y la mitad de
2n+1. Si la expresin anterior se representa porA , calcule el valor numrico de ( A-1)npara
distintos valores numricos de n, considerando que npuede tomar solo valores naturales.
Criterios de evaluaCin
Se sugiere considerar los siguientes aspectos:
Estiman el valor de potencias de base un dgito entero.
Expresan como potencias productos en que los factores son potencias de base entera.
Argumentan acerca de la validez de la propiedad del cuociente de potencias de igual
exponente.
Aplican las propiedades de las operaciones de las potencias para resolver problemas
matemticos.
AE 02
Utilizar estrategias para
determinar el valor de
potencias de base entera y
exponente natural.
indiCadores de evaluaCin sugeridos
Utilizan estrategias para determinar el signo de expresio-
nes del tipo (-1)n cuando nes un nmero natural.
Utilizan estrategias para determinar el valor de expresio-
nes del tipo (-a )n cuando a , nson nmeros naturales.
Estiman mentalmente potencias de base entera de un
dgito y exponente natural menor de 5. Por ejemplo, esti-man (-7)4 como 49 49, obteniendo un nmero menor a
2.500.
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Unia 2Geomera
propsito
En esta unidad, los estudiantes estudiarn las trans-
formaciones isomtricas, conocern el concepto de
lugar geomtrico y calcularn reas en el crculo,
permetros en la circunferencia y reas y volmenes
en figuras tridimensionales.
Esta unidad les permite aplicar los conocimientos
trabajados acerca de reas en 5 bsico, ngulos en
6 bsico y construcciones geomtricas en 7 bsico.
Pueden integrar la geometra con otras disciplinas,
especficamente con el arte plstico, pues aprende-
rn a construir teselaciones, conocern el nmero pi,
profundizarn sus conocimientos acerca de figuras
tridimensionales (como el cono, el cilindro y la pir-
mide) y ampliarn su lenguaje geomtrico mediante
el trabajo con lugares geomtricos.
ConoCimientos previos ngulos en polgonos
Construcciones de polgonos
reas en tringulos y cuadrilteros
Caractersticas de conos, cilindros y pirmides
palabras Clave
Traslaciones, rotaciones, reflexiones, lugares geom-
tricos, teselaciones, reas de superficies y volmenes.
Contenidos
Vectores en el plano
Ejes de simetra
Traslaciones, rotaciones y reflexiones
Teselaciones
Circunferencia y crculo como lugares geomtricos
Permetro de la circunferencia
rea del crculo
reas de la superficie de conos, cilindros y pirmides
Volmenes de conos, cilindros y pirmides
Habilidades
Construir transformaciones isomtricas
Realizar teselaciones
Caracterizar la circunferencia y el crculo como
lugares geomtricos
Comprender el nmeropi
Calcular el permetro de la circunferencia
Calcular reas del crculo y de la superficie deconos, cilindros y pirmides
Calcular el volumen de conos, cilindros y pirmides
aCtitudes
Perseverancia, rigor, flexibilidad y originalidad al
resolver problemas matemticos
Trabajo en equipo e iniciativa personal para resol-
ver problemas en contextos diversos
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ApreniaesEsperaos
Se espera que los estudiantes sean
capaces de:
c c Cuando los estudiantes han logrado este aprendizaje:
AE 01Caraceriar ransformaciones
isomtricas de guras planas
y reconoceras en iversassiuaciones y conexos
Caracterizan vectores en el plano y los reconocen en contextos diversos
Caracterizan la traslacin de figuras en el plano
Identifican ngulos y puntos respecto de los que se han efectuadorotaciones
Caracterizan los ejes de simetra de una reflexin de figuras en el plano
AE 02Reconocer agunas propiea-
es e as ransformaciones
isomtricas
Reconocen propiedades de la traslacin en traslaciones de figuras del plano
Explican propiedades reconocidas de la rotacin en figuras que han sido
rotadas en el plano
AE 03Consruir ransformaciones
isomtricas de guras geom-
ricas panas, uiiano rega
y comps o procesaores
geomtricos
Rotan figuras en el plano, utilizando regla y comps o un procesador
geomtrico
Trasladan polgonos y luego los reflejan, utilizando regla y comps o un
procesador geomtrico
Describen patrones que se observan al aplicar reflexiones a figuras del
plano
AE 04tesear e pano con pogonos
reguares, uiiano rega
y comps o procesaores
geomtricos
Determinan las condiciones que deben satisfacer los elementos de los
polgonos que participan de una teselacin en el plano
Determinan las posibles combinaciones de polgonos regulares con las
que se puede realizar una teselacin
Teselan el plano solamente con polgonos regulares de un tipo, utilizando
regla y comps o procesadores geomtricos Por ejemplo, teselan el plano
con hexgonos regulares por medio de regla y comps
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Ocavo Ao Bsico / Maemica 47Unidad 2
Se espera que los estudiantes sean
capaces de:
c c Cuando los estudiantes han logrado este aprendizaje:
AE 05Uiiar as ransformaciones
isomtricas como herramien-
a para reaiar eseacionesreguares y eseaciones semi-
rreguares
Teselan el plano con un solo polgono regular, utilizando traslaciones y
reflexiones
Construyen la configuracin base de una teselacin con ms de un pol-gono regular, utilizando transformaciones isomtricas
AE 06Caraceriar a circunferen-
cia y e crcuo como ugares
geomtricos
Explican el concepto de lugar geomtrico
Explican las diferencias entre crculo y circunferencia, utilizando el con-
cepto de lugar geomtrico
AE 07Cacuar e permero e cir-
cunferencias y e arcos
e eas
Aproximan valores del nmero , utilizando longitudes y dimetros de
circunferencias
Calculan permetros aproximados con valores aproximados del nmero .
Por ejemplo, calculan el permetro de una circunferencia de radio 3 cm
con = 3,14
Calculan permetros de arcos de circunferencias
AE 08Cacuar e rea e crcuo y
de sectores de l
Calculan valores aproximados del rea de crculos con valores aproxima-
dos de
Calculan reas de sectores de crculos
Calculan la suma de reas de crculos y la expresan en un solo trmino
AE 09Cacuar meias e super-cies de cilindros, conos y
pirmies, uiiano frmuas
Comparan reas de superficies de conos y pirmides Aproximan reas de cilindros, conos y pirmides de acuerdo a valores
distintos de
Calculan radios y alturas de conos en trminos del rea de su superficie
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Ocavo Ao Bsico / Maemica 49Unidad 2
ambos. En este contexto, surge de manera natural la
necesidad de establecer que, en el caso de los teseladosregulares o semirregulares, los polgonos que permiten
teselar el plano corresponden a aquellos cuyos ngulos
interiores que concurren en un vrtice, suman 360.
Cuando los estudiantes construyen teselados, la ma-
temtica se torna artstica; es un buen momento para
observar y fomentar la originalidad en las producciones
y el rigor y la perseverancia en el trabajo.
En cuanto al clculo de reas de las superficies de las
caras de figuras 3D, es importante que el docente
disee actividades que estimulen a los alumnos a
deducir las frmulas para determinar dichas reas.
Resulta de gran ayuda usar algn software que permita
manipular y estudiar las distintas figuras generadas.
Se puede hacer de dos maneras. La primera consiste
en que el profesor maneje el programa computacio-
nal, lo presente mediante un proyector y pida que los
estudiantes participen activamente. La otra opcin
es que trabajen solos, en parejas o pequeos grupos
frente a un computador; en este caso, se recomiendaconstruir material de trabajo que sirva para orientar
y monitorear el trabajo de los alumnos, pues los de
este nivel suelen ser dispersos, les cuesta concentrarse
por perodos prolongados y asocian la utilizacin del
computador al ocio y las comunicaciones ms que al
trabajo guiado.
Orientaciones didcticas para la unidad
La introduccin de transformaciones isomtricas en
8 bsico permite a los alumnos estudiar la geometraeuclidiana en movimiento. De hecho, es recomenda-
ble estimularlos para que entiendan que las transfor-
maciones isomtricas mantienen inalterables los lados
y los ngulos de los polgonos transformados. De esta
manera, dos figuras son congruentes cuando existe una
transformacin isomtrica que lleva a una en la otra.
En este nivel se proponen transformaciones solo en el
plano euclidiano. Las transformaciones en el plano car-
tesiano se vern en I medio. Por ello, se debe poner el
nfasis en las construcciones con regla y comps (o con
un procesador geomtrico). Las traslaciones, las rotacio-
nes y las reflexiones se trabajan en el plano euclidiano,
utilizando instrumentos como la regla y el comps, o
procesadores geomtricos.
Otro ejercicio que resulta desafiante para los estudian-
tes es trabajar con los procesos inversos de las transfor-
maciones isomtricas. Es decir, se les entrega algunas
figuras trasladadas, rotadas y reflejadas y se les pide
que deduzcan los vectores, puntos, ngulos y ejes desimetra respecto de los que se realizaron las transfor-
maciones en cuestin. Se sugiere disear actividades
que posibiliten el trabajo en equipo o en parejas.
Los teselados permiten aplicar transformaciones isomtri-
cas y resulta interesante establecer las conexiones entre
Aprendizajes Esperados en relacin con los OFT
Actitudes de perseverancia, rigor, flexibilidad y originalidad al resolver problemas matemticos
Muestra un mtodo para realizar las transformaciones isomtricas
Persevera en la realizacin de teselaciones
Termina las tareas iniciadas, relativas a los temas tratados
Desarrolla tenacidad frente a obstculos o dudas que se les presenten en problemas propuestos
Trabajo en equipo e iniciativa personal para resolver problemas en contextos diversos
Participa activamente en actividades grupales Es responsable en la tarea asignada
Toma iniciativa en actividades de carcter grupal
Propone alternativas de solucin a problemas matemticos en actividades grupales
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Eempos eAciviaes
AE 01Caraceriar ransformaciones
isomtricas de guras planas
y reconoceras en iversas
siuaciones y conexos.
AE 02Reconocer agunas propiea-
es e as ransformaciones
isomtricas.
1Caracterizan traslaciones de figuras en el plano y las reconocen en diver-
sas situaciones. Al respecto:
caracterizan vectores en el plano
caracterizan traslaciones en el plano, en trminos de los vectores res-
pecto de los cuales ellas se realizan
reconocen traslaciones de figuras en contextos diversos; por ejemplo,en el arte
2Caracterizan reflexiones de figuras en el plano y las reconocen en contex-
tos diversos. Al respecto:
caracterizan los ejes de simetra
comprenden que las reflexiones de figuras del plano se realizan res-
pecto de ejes de simetra
reconocen reflexiones de figuras del plano en contextos diversos; por
ejemplo, en el mundo de los insectos
3Caracterizan rotaciones de figuras en el plano y las reconocen en diversos
contextos. Al respecto:
comprenden que ellas se realizan respecto de un punto y en un
ngulo dado
reconocen rotaciones de figuras en contextos diversos; por ejemplo,
en fsica
4Reconocen transformaciones isomtricas en contextos diversos; por
ejemplo, en diferentes teselaciones de M. C. Escher (www.mcescher.com).
(Artes Plsticas)
1Reconocen propiedades de la traslacin.
! Observaciones al docente: El docente p