80hhgtp
TRANSCRIPT
-
80 BI TON HNH HC GII TCH PHNG BI
Bi 1. Trong mt phng Oxy, cho hnh thoi ABCD c tm I (3; 3) v AC = 2BD. im M(2; 4
3
)thuc ng thng AB, im N
(3; 13
3
)thuc ng thng CD. Vit phng trnh ng cho BD
bit nh B c honh nh hn 3.
Bi 2. Trong mt phng Oxy, cho im A (1; 2) v ng thng (d) : x 2y + 3 = 0. Tm trnng thng (d) hai im B,C sao cho tam gic ABC vung ti C v AC = 3BC.
Bi 3. Cho im A (1; 3) v ng thng c phng trnh x 2y + 2 = 0. Dng hnh vungABCD sao cho hai nh B,C nm trn v cc ta nh C u dng. Tm ta cc nhB,C,D.
Bi 4. Trn mt phng ta Oxy, hy vit phng trnh cc ng thng cha cc cnh catam gic ABC bit A (1; 6) v hai ng trung tuyn nm trn hai ng thng c phng trnh lx 2y + 1 = 0, 3x y 2 = 0.Bi 5. Trong mt phng Oxy, cho tam gic ABC vung ti A. Bit A (1; 4) , B (1;4) v ngthng BC i qua im I
(2;
1
2
). Tm ta nh C.
Bi 6. Trong mt phng Oxy, cho tam gic ABC c ng phn gic trong (AD) : xy = 0, ngcao (CH) : 2x + y + 3 = 0, cnh AC qua M (0;1), AB = 2AM . Vit phng trnh ba cnh catam gic ABC.
Bi 7. Trong mt phng Oxy, cho tam gic ABC c cc nh A (1; 2). Trung tuyn CM : 5x +7y 20 = 0 v ng cao BH : 5x 2y 4 = 0. Vit phng trnh cc cnh AC v BC.Bi 8. Trong mt phng Oxy, cho hnh ch nht ABCD c din tch bng 12, I
(92; 3
2
)l tm ca
hnh ch nht v M (3; 0) l trung im ca cnh AD. Tm ta cc nh ca hnh ch nht.
Bi 9. Trong mt phng Oxy, cho tam gic ABC vi A (2;4) , B (0;2) v trng tm G thucng thng 3x y + 1 = 0. Hy tm ta ca C bit rng tam gic ABC c din tch bng 3.Bi 10. Trong mt phng Oxy, cho im A (0; 2) v ng thng (d) : x 2y + 2 = 0.Tm trn ng thng (d) hai im B,C sao cho tam gic ABC vung B v AB = 2BC.
Bi 11. Trong mt phng Oxy, cho im M (1;1) v hai ng thng d1 : x y 1 = 0,d2 : 2x+ y 5 = 0 Gi A l giao im ca d1, d2. Vit phng trnh ng thng i qua im Mct d1, d2 ln lt B v C sao cho ba im A,B,C to thnh tam gic c BC = 3AB.
Bi 12. Cho hnh thang ABCD vung ti A v D c y ln l CD, BCD = 45o, ng thngAD c phng trnh 3x y = 0 v ng thng BD c phng trnh x 2y = 0. Vit phng trnhng thng BC bit din tch hnh thang bng 15 v im B c honh dng.
Bi 13. Trong mt phng to Oxy, cho hnh ch nht ABCD bit ng thng AB c phngtrnh x 2y 1 = 0, ng thng BD c phng trnh x 7y + 14 = 0 v ng thng AC i quaimM(2; 1) .Tm to cc nh ca hnh ch nht.
Bi 14. Trong mt phng ta Oxy, cho im A(3; 2), ng thng 1 : x+ y 3 = 0 v ngthng 2 : x+ y 9 = 0. Bit im B thuc 1 v im C thuc 2 sao cho tam gic ABC vungcn ti A. Tm ta im B v C.
1
-
Bi 15. Trong mt phng to Oxy cho im C(2;5)v ng thng : 3x 4y + 4 = 0. Tmtrn ng thng hai im A v B i xng nhau qua im I
(2;
5
2
)sao cho din tch tam gic
ABC bng 15.
Bi 16. Trong mt phng to Oxy, cho ba ng thng d1 : 2x+ y+ 3 = 0; d2 : 3x 2y 1 = 0; : 7x y + 8 = 0. Tm im P d1 v Q d2 sao cho l ng trung trc ca on thng PQ.
Bi 17. Trong mt phng ta Oxy, cho tam gic ABC c trng tm G
(4
3; 1
), trung im BC
l M(1; 1), phng trnh ng thng cha ng cao k t B l x+ y 7 = 0. Tm ta A,B,C.Bi 18. Trong mt phng ta Oxy, cho tam gic ABC. ng cao k t A,trung tuyn k t B,trung tuyn k t C ln lt nm trn cc ng thng c phng trnh x+y6 = 0, x2y+1 = 0,x 1 = 0. Tm ta A, B, C.Bi 19. Trong mt phng ta Oxy, cho tam gic ABC vung cn ti A, phng trnh BC : 2xy7 = 0, ng thng AC i qua imM(1; 1), im A nm trn ng thng : x4y+6 = 0.Tm ta cc nh ca tam gic ABC bit rng nh A c honh dng.
Bi 20. Trong mt phng ta Oxy, cho tam gicABC, phng trnh cc ng thng cha ngcao v ng trung tuyn k t nh A ln lt l x 2y 13 = 0 v 13x 6y 9 = 0. Tm ta cc nh B v C bit tm ng trn ngoi tip tam gic ABC l I(5 ; 1).Bi 21. Trong mt phng vi h trc Oxy, cho hai ng thng d1 : 3xy5 = 0, d2 : x+y4 = 0.v im M(1; 1). Vit phng trnh tng qut ca ng thng d i qua M v ct d1, d2 ln ltti A, B sao cho 2MA 3MB = 0.Bi 22. Trong mt phng vi h trc Oxy, cho cc im A(1; 2), B(4; 3). Tm ta im M sao
cho MAB = 135o v khong cch t M n ng thng AB bng
10
2.
Bi 23. Trong mt phng ta Oxy, cho tam gic ABC c trng tm G(1; 1); ng cao t nhA c phng trnh 2x y + 1 = 0 v cc nh B,C thuc ng thng : x+ 2y 1 = 0. Tm ta cc nh A,B,C bit din tch tam gic ABC bng 6.
Bi 24. Trong mt phng Oxy cho tam gic ABC cn ti A.ng thng AB v BC ln lt cphng trnh: 7x+ 6y 24 = 0;x 2y 2 = 0. Vit phng trnh ng cao k t B ca tam gicABC.
Bi 25. Trong mt phng Oxy cho tam gic ABC vung ti B, c phng trnh ng cao qua C: 2x + y + 4 = 0, ng phn gic trong gc A c phng trnh dA : x y 1 = 0. Gi M(0;2)nm trn cnh AC . Tm ta cc nh A,B,C ca tam gic .
Bi 26. Trong mt phng to Oxy , cho 3 im A(3; 4) , B(1; 2) ,C(5; 0) . Vit phng trnhng thng d i qua A(3; 4) sao cho : d = 2d(B; d) + d(C; d) t gi tr ln nht .
Bi 27. Tam gic ABC c trung tuyn BM : 2x + y 3 = 0; phn gic trong BN : x + y 2 = 0. im P (2; 1) thuc AB ,bn knh ng trn ngoi tip tam gic ABC l R =
5. Xc nh ta
cc nh ca tam gic .
Bi 28. Cho tam gic ABC c 3 gc u nhn. Vit phng trnh ng thng cha cnh AC catam gic , bit ta chn ng cao h t nh A;B;C tng ng l:M(1;2);N(2; 2);P (1; 2).Bi 29. Trong mt phng Oxy, cho hnh vung ABCD c nh, bit A(2; 1), I(3; 2) (I l giao imca AC v BD). Mt ng thng d i qua C ct cc tia AB,AD ln lt ti M v N . Vit phngtrnh ng thng d sao cho di MN l nh nht.
2
-
Bi 30. Trong mt phng h ta Oxy cho tam gic ABC cn ti A c nh A(1; 4) v ccnh B,C thuc ng thng : x y 4 = 0. Xc nh ta cc im B,C bit tam gic ABCc din tch bng 18.
Bi 31. Trong mt phng ta Oxy vit phng trnh 4 cnh ca hnh vung khng song songvi cc trc ta , c tm O v 2 cnh k ln lt i qua M(1; 2);N(3;1).Bi 32. Trong mt phng Oxy cho ABC c A (d) : 2x y + 6 = 0, ng trung tuyn(BM) : x+ y + 3 = 0, trung im cnh BC l N(1; 2). Tnh SABC bit BC(d).Bi 33. Trong mt phng Oxy cho tam gic ABC c din tch bng 24 v phng trnh cc ngtrung tuyn k t cc nh A, B, C ln lt l
Bi 34. Xc nh m khong cch t im A(3, 1) n ng thng () : x+ (m 1)y +m = 0l ln nht.Tm gi tr ln nht .
Bi 35. Trong mt phng Oxy cho tam gic ABC c din tch bng 2 , AB c phng trnh xy = 0,I(2, 1) l trung im ca BC. Tm ta trung im K ca AC.
Bi 36. Trong mt phng Oxy cho tam gic ABC c cnh AB = 4
2 v nh C(1; 5). ng thngAB c phng trnh x y + 2 = 0, ng thng (d) : x+ 3y 16 = 0 i qua trng tm G ca tamgic. Tm ta cc nh A,B.
Bi 37. Trong mt phng Oxy cho tam gic ABC bit B(4;1), C(3;2), din tch tam gicABC bng
51
2v trng tm G thuc ng thng (d) : x y + 2 = 0. Hy tm ta nh A.
Bi 38. Trong mt phng Oxy cho tam gic ABC . ng phn gic gc A c phng trnhx+ y 3 = 0, ng trung tuyn t B c phng trnh x y + 1 = 0 ng cao k t C c phngtrnh 2x+ y + 1 = 0. Tm ta cc nh ca tam gic ABC.
Bi 39. Trong mt phng Oxy cho im A(1; 1). Hy tm im B trn ng thng y = 3 v imC trn trc honh sao cho ABC u.
Bi 40. Trong mt phng Oxy cho hnh thoi ABCD bit phng trnh ca mt ng chol: 3x + y 7 = 0 v im B(0;3). Tm ta cc nh cn li ca hnh thoi bit din tch cahnh thoi bng 20.
Bi 41. Trong mt phng Oxy cho tam gic ABC c nh B(1
2; 1). ng trn ni tip tam gic
ABC tip xc vi cnh BC,AC,AB tng ng ti cc im D,E, F . Cho D(3; 1) v ng thngEF c phng trnh y 3 = 0. Tm ta nh A bit A c tung dng.Bi 42. Trong mt phng Oxy cho ba ng thng d1 : 4x + y 9 = 0, d2 : 2x y + 6 = 0, d3 :x y + 2 = 0. Tm ta cc nh ca hnh thoi ABCD, bit hnh thoi ABCD c din tch bng15, cc nh A,C thuc d3, B thuc d1 v D thuc d2 .
Bi 43. Trong mt phng Oxy cho tam gic ABC cn ti A , cnh BC : x y + 1 = 0, ng caoh t nh B l: x + 3y + 5 = 0. ng cao h t nh C i qua M(3; 0). Tm ta cc nh catam gic ABC.
Bi 44. Trong mt phng Oxy cho tam gic ABC c trc tm H(2; 0), phng trnh ng trungtuyn CM : 3x + 7y 8 = 0, phng trnh ng trung trc ca BC : x 3 = 0. Tm ta canh A.
Bi 45. Trong mt phng Oxy cho (d) : xy = 0 v M(2, 1). Tm phng trnh (d1) ct trc hongti A v ct (d) ti B sao cho tam gic AMB vung cn ti M.
3
-
Bi 46. Trong mt phng Oxy cho tam gic ABC c B(1, 2) phn gic trong AK : 2x+y1 = 0.Khong cch t C n AK bng 2 ln khong cch t B n AK . Tm ta nh A, C bitC thuc trc tung.
Bi 47. Trong mt phng Oxy cho tam gic ABC vi ng cao k t nh B v phn gic trongca gc A c phng trnh ln lt l x 2y 2 = 0 v x y 1 = 0. im M(0; 2) thuc ngthng AB v AB = 2AC. Tm ta cc nh ca ABC.
Bi 48. Trong mt phng Oxy, cho tam gic ABC c trc tm H(1; 3), tm ng trn ngoi tiptam gic ABC l I(2; 0) v A(3; 4). Vit phng trnh ca ng thng BC.
Bi 49. Trong mt phng Oxy cho im A(3; 5) v hai ng phn gic trong ca ABC ln ltl (d1) : x+ y 2 = 0, (d2) : x 3y 6 = 0. Vit phng trnh ng thng BC.Bi 50. Trong mt phng Oxy, vit phng trnh ng thng (d) i qua im A(1; 3) v ct trcOx,Oy ln lt ti M,N sao cho
2
OM2+
1
ON2nh nht.
Bi 51. Trong mt phng Oxy cho 2 ng thng: (L1) : 4x 2y+ 5 = 0, (L2) : 4x+ 6y 13 = 0ng thng ct (L1), (L2) ln lt ti T1, T2. Bit rng (L1) l phn gic gc to bi OT1 v ,(L2) l phn gic gc to bi OT2 v . Tm ta giao im ca v trc tung?
Bi 52. Trong mt phng Oxy cho tam gic ABC vung ti A v im B(1, 1). Phng trnh ngthng AC : 4x + 3y 32 = 0. Tia BC ly M sao cho BM.BC = 75. Tm C bit bn knh ngtrn ngoi tip tam gic AMC l
5
5
2.
Bi 53. Trong mt phng Oxy cho tam gic ABC c: A(0; 2);B(2; 6) v C thuc ng thng(d) : x 3y + 1 = 0. Tm ta nh C sao cho phn gic trong xut pht t nh A song song ving thng d.
Bi 54. Trong mt phng Oxy cho ABC cn ti A. Bit phng trnh cc ng thng AB;BCc phng trnh ln lt l x + 2y 1 = 0; 3x y + 5 = 0. Vit phng trnh cnh AC bit rngM(1;3) thuc cnh AC.
Bi 55. Trong mt phng Oxy cho hnh thoi ABCD c tm I(2; 1) v AC = 2BD. im M
(0;
1
3
)thuc ng thng AB; im N(0; 7) thuc ng thng CD. Tm ta nh B bit B c honh dng.
Bi 56. Trong mt phng Oxy cho tam gic ABC c phng trnh cc ng cao AH, phn gictrong BD, trung tuyn CM ln lt l 2x+y12 = 0, y = x2, x5y3 = 0. Tm ta A,B,C.Bi 57. Trong mt phng Oxy cho hnh vung c AB : 4x 3y 4 = 0, CD : 4x 3y 18 = 0 vtm I thuc d : x+ y 1 = 0, vit phng trnh ng thng cha hai canh cn li ca hnh vung
Bi 58. Trong mt phng Oxy cho ABC cn nh A. Canh bn AB v canh y BC c phngtrnh ln lt l x+ 2y 1 = 0 v 3x y+ 5 = 0 . Lp phng trnh cnh AC bit ng thng ACi qua im M(1;3).Bi 59. Trong mt phng Oxy, tm ta cc dnh cn li ca tam gic ABC bit A(5; 2), phngtrnh ng trung trc ca BC, ng trung tuyn CD ln lt c phng trnh l : x+ y 6 = 0v 2x y + 3 = 0.Bi 60. Trong mt phng Oxy cho ng phn gic t A , trung tuyn t B, ng cao t C cphng trnh ln lt l: x+ y 3 = 0, x y + 1 = 0, 2x+ y + 1 = 0. Tm ta cc nh ca tamgic.
4
-
Bi 61. Trong mt phng Oxy cho hnh bnh hnh ABCD c din tch bng 4. Bit A(1; 0), B(0; 2)v giao im I ca hai ng cho nm trn ng thng y = x. Tm ta nh C v D.
Bi 62. Trong mt phng Oxy cho cc im A(0; 1), B(2;1) v hai ng thng d1 : (m 1)x +(m 2)y + 2m = 0, d2 : (2m)x+ (m 1)y + 3m 5 = 0. Chng minh d1 v d2 lun ct nhau,Gi P l giao im ca d1 v d2, Tm m sao cho PA+ PB ln nht.
Bi 63. Trong mt phng Oxy cho tam gic ABC vung cn ti A. Bit rng cnh huyn nm trn
ng thng d : x+ 7y 31 = 0. im N(1; 52
) thuc ng thng AC, im M(2;3) thuc ngthng AB. Xc nh ta cc nh ca tam gic ABC.
Bi 64. Trong mt phng Oxy cho tam gic ABC bit B(4;1), C(3;2), din tich tam gicABC bng
51
2v trng tm G thuc ng thng d : x y + 2 = 0. Hy tm ta nh A.
Bi 65. Trong mt phng Oxy cho tam gic ABC c S =3
2, hai nh l A(2;3), B(3;2) v trng
tm G ca tam gic thuc ng thng 3x y 8 = 0. Tm ta inh CBi 66. Trong mt phng Oxy cho im A(1; 1) trn mt phng ta . hy tm im B trn ngthng y = 3 v im C trn trc honh sao cho tam gic ABC l tam giac u.
Bi 67. Trong mt phng Oxy, cho hnh vung c nh A(0; 5) v mt ng cho nm trn ngthng c phng trnh y 2x = 0. Tm ta hnh vung
Bi 68. Trong mt phng Oxy cho tam gic ABC vi A(1; 3), ng cao BH nm trn ngthng y = x, phn gic trong ca gc C nm trn ng thng x + 3y + 2 = 0. Vit phng trnhcnh BC.
Bi 69. Trong mt phng Oxy cho tam gic ABC cn A. im M(1;1) l trung im ca BC,trng tm G
(2
3; 0
). Tm ta cc nh B,C.
Bi 70. Trong mt phng Oxy hy vit phng trnh cc cnh ca tam gic ABC bit trc tmH(1; 0) , chn ng cao h t nh B l K(0; 2) , trung im cnh AB l M(3; 1) .
Bi 71. Trong mt phng Oxy cho hnh ch nht ABCD c phng trnh ng thng AB :x 2y + 1 = 0, phng trnh ng thng BD : x 7y + 14 = 0, ng thng AC i qua M(2; 1).Tm to cc nh ca hnh ch nht.
Bi 72. Trong mt phngOxy cho hnh bnh hnhABCD c din tch bng 4, cc nhA(2; 2), B(2; 1).Tm ta nh C v D bit rng giao im ca AC v BD thuc ng thng x 3y + 2 = 0Bi 73. Trong mt phng Oxy cho A(10; 5), B(15;5), D(20; 0) l cc nh ca hnh thang cnABCD trong AB song song vi CD. Tm ta im C.
Bi 74. Trong mt phng Oxy cho tam gic ABC c M(2; 2) l trung im ca cnh BC. CnhAB c phng trnh l x 2y 2 = 0, cnh AC c phng trnh l :2x+ 5y + 3 = 0 . Hy xc nhta cc nh ca tam gic d.
Bi 75. Trong mt phng Oxy cho nh A(1;3) bit hai ng cao BH : 5x+ 3y 25 = 0, CK :3x+ 8y 12 = 0 Hy xc nh ta cc nh B v C.Bi 76. Trong mt phng Oxy cho hai ng thng d1 : x + 2y 3 = 0, d2 : 3x + y 4 = 0 ctnhau ti M(1, 1). Lp phng trnh ng thng d3 i qua im : A(2,1) ct d1, d2 ti cc imP,Q sao cho : MP =
2MQ.
5
-
Bi 77. Trong mt phng Oxy cho hai ng thng 1 : 2x 3y + 4 = 0,2 : 3x + 2y + 5 = 0v im M(1; 1). Lp phng trnh ng thng i qua M v cng vi cc ng thng 1,2 tothnh mt tam gic cn.
Bi 78. Trong mt phng Oxy cho 3 im A(3; 4) , B(1; 2) ,C(5; 0) .vit phng trnh ng thngd i qua A(3; 4) sao cho : d = 2d(B; d) + d(C; d) t gi tr ln nht.
Bi 79. Trong mt phng Oxy cho im I(2; 4) v 2 ng thng d1 : 2xy2 = 0, d2 : 2x+y2 = 0.Vit phng trnh ng trn tm I , ct d1 ti 2 im A,B v ct ng thng d2 ti 2 im C,D
tho mn AB + CD =16
5
Bi 80. Trong mt phng Oxy cho tam gic ABC c A(8; 4), B(7;1), C(4; 6). Gi (C) l ngtrn ngoi tip tam gic ABC. Xc nh M thuc ng trn (C) sao cho
NANB min
6
-
LI GII
Bi 1
Trong mt phng Oxy, cho hnh thoi ABCD c tm I (3; 3) v AC = 2BD. im M(2; 4
3
)thuc
ng thng AB, im N(3; 13
3
)thuc ng thng CD. Vit phng trnh ng cho BD bit
nh B c honh nh hn 3.
Gii:
I
M
N
N B
D
A
C
Ta im N i xng vi im N qua I l N (
3;5
3
)ng thng AB i qua M,N c phng trnh: x 3y + 2 = 0Suy ra: IH = d (I, AB) =
|3 9 + 2|10
=410
Do AC = 2BD nn IA = 2IB.
t IB = x > 0, ta c phng trnh1
x2+
1
4x2=
5
8 x2 = 2 x = 2
t B (x, y). Do IB =
2 v B AB nn ta B l nghim ca h:{(x 3)2 + (y 3)2 = 2x 3y + 2 = 0
{5y2 18y + 16 = 0x = 3y 2
x =
14
5< 3
y =8
5
hoc
{x = 4 > 3
y = 2
Do B c honh nh hn 3 nn ta chn B
(14
5;8
5
)Vy, phng trnh ng cho BD l: 7x y 18 = 0. Bi 2
Trong mt phng Oxy, cho im A (1; 2) v ng thng (d) : x 2y + 3 = 0. Tm trn ngthng (d) hai im B,C sao cho tam gic ABC vung ti C v AC = 3BC.
Gii:T yu cu ca bi ton ta suy ra C l hnh chiu vung gc ca A trn (d).Phng trnh ng thng () qua A v vung gc vi (d) l: 2x+ y +m = 0A (1; 2) () 2 + 2 +m = 0 m = 0 Suy ra: () : 2x+ y = 0.
Ta C l nghim ca h phng trnh:
{2x+ y = 0
x 2y = 3
x = 3
5
y =6
5
C(3
5;6
5
)t B (2t 3; t) (d), theo gi thit ta c: AC = 3BC AC2 = 9BC2
425
+16
25= 9
[(2t 12
5
)2+
(t 6
5
)2] 45t2 108t+ 64 = 0
t =16
15
t =4
3
.
-
Vi t =16
15 B
(13
15;16
15
)Vi t =
4
3 B
(1
3;4
3
)Vy, c hai im tha bi l: B
(13
15;16
15
)hoc B
(1
3;4
3
).
A
C
B1
B2
Bi 3
Cho im A (1; 3) v ng thng c phng trnh x 2y + 2 = 0. Dng hnh vung ABCDsao cho hai nh B,C nm trn v cc ta nh C u dng. Tm ta cc nh B,C,D.
Gii:
A
B
C
D
ng thng (d) i qua A v vung gc vi c phng trnh: 2x+ y +m = 0A (1; 3) 2 + 3 +m = 0 m = 1 Suy ra: (d) : 2x+ y 1 = 0Ta B l nghim ca h phng trnh:
{x 2y = 22x+ y = 1
{x = 0
y = 1 B (0; 1)
Suy ra: BC = AB =
1 + 4 =
5 t C (x0; y0) vi x0, y0 > 0, ta c:{C BC =
5{x0 2y0 + 2 = 0x20 + (y0 1)2 = 5
{x0 = 2y0 2x20 + (y0 1)2 = 5
Gii h ny ta c:
{x0 = 2
y0 = 2hoc
{x0 = 2y0 = 0
(loi). Suy ra: C (2; 2)
Do ABCD l hnh vung nn:CD =
BA
{xD 2 = 1 0yD 2 = 3 1
{xD = 1
yD = 4 D (1; 4)
Vy B (0; 1) , C (2; 2) , D (1; 4)
Bi 4
Trn mt phng ta Oxy, hy vit phng trnh cc ng thng cha cc cnh ca tamgic ABC bit A (1; 6) v hai ng trung tuyn nm trn hai ng thng c phng trnh lx 2y + 1 = 0, 3x y 2 = 0.
8
-
Gii:
A
B
C
Do ta im A khng nghim ng cc phng trnh cho nn ta c th gi s rng:Phng trnh trung tuyn BM l: x 2y + 1 = 0 Phng trnh trung tuyn CN l: 3x y 2 = 0t B (2b 1; b), do N l trung im AB nn : N
(b;b+ 6
2
)N
(b;b+ 6
2
) CN 3b b+ 6
2 2 = 0 b = 2 Suy ra: B (3; 2)
t C (c; 3c 2), do M l trung im AC nn : M(c+ 1
2;3c+ 4
2
)M
(c+ 1
2;3c+ 4
2
) BM c+ 1
2 2.3c+ 4
2+ 1 = 0 c = 1 Suy ra: C (1;5)
Vy phng trnh ba cnh l: AB : 11x 2y+ 1 = 0, BC : 7x 4y 13 = 0, AC : 2x+ y 8 = 0 Bi 5
Trong mt phng Oxy, cho tam gic ABC vung ti A. Bit A (1; 4) , B (1;4) v ng thngBC i qua im I
(2;
1
2
). Tm ta nh C.
Gii:
A
B
I
C
Phng trnh ng thng BC : 9x 2y 17 = 0 Do C BC nn ta c th t C(c;
9c 172
),
ta cAB = (2;8) AC =
(c+ 1;
9c 252
). Theo gi thit tam gic ABC vung ti A nn:
AB.AC = 0 c+ 1 4.9c 25
2= 0 c = 3
Vy C (3; 5)
Bi 6
9
-
Trong mt phng Oxy, cho tam gic ABC c ng phn gic trong (AD) : x y = 0, ng cao(CH) : 2x + y + 3 = 0, cnh AC qua M (0;1), AB = 2AM . Vit phng trnh ba cnh ca tamgic ABC.
Gii:
M
A
B
C
H
D
Gi N l im i xng ca M qua AD. Suy ra: N tia ABMt khc ta c: AN = AM AB = 2AN N l trung im ca AB.Do MNAD nn phng trnh MN l: x+ y +m1 = 0M (0;1) MN 1 +m1 = 0 m1 = 1 Suy ra: (MN) : x+ y + 1 = 0Gi K = MN
AD, ta K l nghim ca h pt:{
x+ y = 1x y = 0
x = 1
2
y = 12
K(1
2;1
2
)
V K l trung im ca MN nn:
{xN = 2xK xM = 1yN = 2yK yM = 0
N (1; 0)
Do ABCH nn phng trnh AB l: x 2y +m2 = 0N (1; 0) AB 1 +m2 = 0 m2 = 1 Suy ra: (AB) : x 2y + 1 = 0V A = AB
AD nn ta A l nghim ca h pt:
{x 2y = 1x y = 0
{x = 1
y = 1 A (1; 1)
Suy ra: (AC) : 2x y 1 = 0 V C = ACCH nn ta C l nghim ca h pt:{2x y = 12x+ y = 3
x = 1
2y = 2
C(1
2;2
)
Do N l trung im ca AB {xB = 2xN xA = 3yB = 2yN yA = 1
B (3;1)
Phng trnh cnh BC: 2x+ 5y + 11 = 0
Bi 7
Trong mt phng Oxy, cho tam gic ABC c cc nh A (1; 2). Trung tuyn CM : 5x+7y20 = 0v ng cao BH : 5x 2y 4 = 0. Vit phng trnh cc cnh AC v BC.
Gii:Do ACBH nn phng trnh AC l: 2x+5y+m = 0 A (1; 2) AC 2+10+m = 0 m = 8Suy ra: (AC) : 2x+ 5y 8 = 0 Do C = ACCM nn ta C l nghim ca h pt:{
2x+ 5y = 8
5x+ 7y = 20{x = 4
y = 0 C (4; 0)
t B (a; b), do B BH nn: 5a 2b 4 = 0V M l trung im ca AB nn ta M l : M
(1 + a2
;2 + b
2
)
10
-
Do M
(1 + a2
;2 + b
2
) CM 5.1 + a
2+ 7.
2 + b
2 20 = 0 5a+ 7b 31 = 0
Ta M l nghim ca h: {5a 2b = 45a+ 7b = 31
{a = 2
b = 3 B (2; 3)
Phng trnh cnh BC l: (BC) : 3x+ 2y 12 = 0
A
C
B
M
H
Bi 8
Trong mt phng Oxy, cho hnh ch nht ABCD c din tch bng 12, I(
92; 3
2
)l tm ca hnh
ch nht v M (3; 0) l trung im ca cnh AD. Tm ta cc nh ca hnh ch nht.
Gii:
I
M
A
B
C
D
Do MI l ng trung bnh ca tam gic ABD nn AB = 2MI = 2
9
4+
9
4= 3
2
V SABCD = AB.AD = 12 nn AD =12
AB= 2
2MA = MD = 2
ng thng AD qua M (3; 0) v nhnIM =
(3
2;3
2
)lm VTPT c phng trnh l:
3
2(x 3) + 3
2(y 0) = 0 x+ y 3 = 0
Phng trnh ng trn tm M bn knh R =
2 l: (x 3)2 + y2 = 2Ta A v D l nghim ca h phng trnh:{
x+ y 3 = 0(x 3)2 + y2 = 2
{y = 3 x(x 3)2 + (3 x)2 = 2
{x = 2
y = 1{x = 4
y = 1Suy ra: ta chn A (2; 1) , D (4;1)V I l trung im ca AC nn:
{xC = 2xI xA = 9 2 = 7yC = 2yI yA = 3 1 = 2
C (7; 2)
11
-
V I l trung im ca BD nn:
{xB = 2xI xD = 5yB = 2yI yD = 4
B (5; 4)
Vy ta cc nh ca hnh ch nht l A (2; 1) , B (5; 4) , C (7; 2) , D (4;1).
Bi 9
Trong mt phng Oxy, cho tam gic ABC vi A (2;4) , B (0;2) v trng tm G thuc ngthng 3x y + 1 = 0. Hy tm ta ca C bit rng tam gic ABC c din tch bng 3.
Gii:
A
B
C
C
G
G
Do G l trng tm ca tam gic ABC nn: SGAB =1
3SABC =
1
3.3 = 1
Phng trnh ng thng AB l:x 22 =
y + 4
2 x+ y + 2 = 0
t G (a; b), do G (d) : 3x y + 1 = 0 nn 3a b+ 1 = 0, ta c:SGAB = 1 1
2.AB.d (G,AB) = 1 1
2.2
2.d (G,AB) = 1
d (G,AB) = 12
|a+ b+ 2|2
=12
a+ b+ 2 = 1
Ta G l nghim ca h:
{3a b = 1a+ b = 1
{3a b = 1a+ b = 3
a = 1
2
b = 12
{a = 1b = 2
Suy ra: G
(1
2;1
2
)hoc G (1;2)
Vi G
(1
2;1
2
)th
xC = 3xG (xA + xB) = 7
2
yC = 3yG (yA + yB) = 92
C(7
2;9
2
)
Vi G (1;2) th{xC = 3xG (xA + xB) = 5yC = 3yG (yA + yB) = 0
C (5; 0)
12
-
Vy c hai im C tha bi l : C (5; 0) v C(7
2;9
2
)
Bi 10
Trong mt phng Oxy, cho im A (0; 2) v ng thng (d) : x 2y + 2 = 0.Tm trn ng thng (d) hai im B,C sao cho tam gic ABC vung B v AB = 2BC.
Gii:
A
B
C
C
T yu cu ca bi ton ta suy ra B l hnh chiu vung gc ca A trn (d) Phng trnh ngthng () qua A v vung gc vi (d) l: 2x+ y +m = 0A (0; 2) () 2 +m = 0 m = 2 Suy ra: () : 2x+ y 2 = 0Ta B l nghim ca h phng trnh:{
2x+ y = 2
x 2y = 2
x =
2
5
y =6
5
B(
2
5;6
5
)t C (2t 2; t) (d), theo gi thit ta c:
AB = 2BC AB2 = 4BC2
(
2
5 0)2
+
(6
5 2)2
= 4
[(2t 12
5
)2+
(t 6
5
)2] 2t2 12t+ 7 = 0
t = 1 C (0; 1)t =
7
5 C
(4
5;7
5
)Vy cc im cn tm l: B
(2
5;6
5
), C (0; 1) hoc B
(2
5;6
5
), C
(4
5;7
5
)
Bi 11
Trong mt phng Oxy, cho im M (1;1) v hai ng thng d1 : x y 1 = 0,d2 : 2x + y 5 = 0 Gi A l giao im ca d1, d2. Vit phng trnh ng thng i qua imM ct d1, d2 ln lt B v C sao cho ba im A,B,C to thnh tam gic c BC = 3AB.
Gii:
Ta A l nghim ca h:
{x y = 12x+ y = 5
{x = 2
y = 1 A (2; 1)
Ly im E (3; 2) d1 (E 6= A). Ta tm trn d2 im F sao cho EF = 3AE.t F (m; 5 2m). Khi :
13
-
EF = 3AE (m 3)2 + (3 2m)2 = 18 5m2 18 = 0m = 0m =
18
5
F (0; 5)F
(18
5;11
5
)V BC = 3AB v EF = 3AE EF
BC=AE
AB BC//EF //EF
Vi F (0; 5) EF = (3; 3) : x+ y = 0Vi F
(18
5;11
5
) EF =
(3
5;21
5
) : 7x+ y 6 = 0
Vy c hai ng thng cn tm l: x+ y = 0 hoc 7x+ y 6 = 0.
M
A
E
F
F
B
C
B
C
Bi 12
Cho hnh thang ABCD vung ti A v D c y ln l CD, BCD = 45o, ng thng AD cphng trnh 3x y = 0 v ng thng BD c phng trnh x 2y = 0. Vit phng trnh ngthng BC bit din tch hnh thang bng 15 v im B c honh dng.
Gii:
D = (AD) (BD) D(0; 0) cos (AD,BD) = |nAD.nBD||nAD.| . |.nBD| =
12 ADB = 45o
Suy ra tam gic ABD,BCD vung cn AB = AD = CD2
SABCD =1
2(AB + CD)AD =
3
2AB2 = 15 AB = 10 BD = 25
Ta c B
(b;
b
2
) d : x 2y = 0 vi b > 0
BD =
b2 +
(b
2
)2= 2
5 B(4; 2). (BC) : 2(x 4) + 1(y 2) = 0Vy phng trnh ng thng BC : 2x+ y 10 = 0
14
-
BA
D
C
Bi 13
Trong mt phng to Oxy, cho hnh ch nht ABCD bit ng thng AB c phng trnhx 2y 1 = 0, ng thng BD c phng trnh x 7y + 14 = 0 v ng thng AC i quaimM(2; 1) .Tm to cc nh ca hnh ch nht.
Gii:
M
B
C
D
A
I
Ta c . B = (AB)(BD) B(7; 3) ng thng BC i qua B v vung gc AB nn c phng trnh2(x 7) + 1(y 3) = 0 2x+ y 17 = 0
Ta c A AB A(2a+ 1; a), C BC C(c; 17 2c), a 6= 3, c 6= 7,Suy ra tm I ca hnh ch nht I
(2a+ 1 + c
2;a+ 17 2c
2
).
Ta c I BD 3c a 18 = 0 a = 3c 18 A(6c 35; 3c 18)V M,A,C thng hng MA,MC cng phng
[c = 7 (loai)
c = 6
Vy : A(1; 0), C(6; 5), D(0; 2), B(7; 3)
Bi 14
Trong mt phng ta Oxy, cho im A(3; 2), ng thng 1 : x + y 3 = 0 v ng thng2 : x + y 9 = 0. Bit im B thuc 1 v im C thuc 2 sao cho tam gic ABC vung cnti A. Tm ta im B v C.
Gii:
15
-
Ta c B 1 B(a; 3 a) , C 2 C(b; 9 b)Theo gi thit ta c
{AB.AC = 0
AB = AC{
(a 3)(b 3) + (1 a)(7 b) = 0(a 3)2 + (b 3)2 = a2 + (7 b)2
{
2ab 10a 4b+ 16 = 02a2 8a = 2b2 20b+ 48 a = 2 khng l nghim ca h trn.
(1) b = 5a 8a 2 , thay vo phng trnh (2) a = 0, a = 4
Vy ta im
[B(0; 3) , C(4; 5)B(4; 1) , C(6; 3)
A
B
C
B
C
Bi 15
Trong mt phng to Oxy cho im C(2;5)v ng thng : 3x 4y + 4 = 0. Tm trnng thng hai im A v B i xng nhau qua im I
(2;
5
2
)sao cho din tch tam gic ABC
bng 15.
Gii:
I
C
A
B
Gi A
(a;
3a+ 4
4
) B
(4 a; 16 3a
4
).
Khi din tch tam gic ABC l SABC =1
2AB.d(C,) = 3AB.
Theo gi thit ta c AB = 5 (4 2a)2 +(
6 3a2
)2= 25
[a = 4
a = 0
Vy hai im cn tm l A(0; 1), B(4; 4) hoc A(4; 4), B(0; 1) .
Bi 16
16
-
Trong mt phng to Oxy, cho ba ng thng d1 : 2x + y + 3 = 0; d2 : 3x 2y 1 = 0; : 7x y+ 8 = 0. Tm im P d1 v Q d2 sao cho l ng trung trc ca on thng PQ.
Gii:
P d1 : 2x+ y + 3 = 0 P (x1 ; 2x1 3). Q d2 : 3x 2y 1 = 0 Q(x2 ;
3x2 12
).
Suy ra trung im PQ l I
(x1 + x2
2;4x1 + 3x2 7
4
)vPQ
(x2 x1 ; 3x2 + 4x1 + 5
2
).
Yu cu bi ton P v Q i xng nhau qua {I u.PQ = 0
7.x1 + x2
2 4x1 + 3x2 + 5
2= 0
1.(x2 x1) + 7.3x2 + 4x1 + 52
= 0{
18x1 + 11x2 + 39 = 0
26x1 + 23x2 + 35 = 0{x1 = 4x2 = 3
Suy ra P (4 ; 5), Q(3 ; 4).
P
Q
I
Bi 17
Trong mt phng ta Oxy, cho tam gic ABC c trng tm G
(4
3; 1
), trung im BC l
M(1; 1), phng trnh ng thng cha ng cao k t B l x+ y 7 = 0. Tm ta A,B,C.
Gii:
GMA
B
C
T tnh cht trng tm ta cMA = 3
MG A(2; 1).
B BH : y = x+ 7 B(b, b+ 7).V M(1; 1) l trung im BC nn C(2 b; b 5). Suy ra AC = (b; b 6).BHAC nn uBH .AC = 0 b+ (b 6) = 0 b = 3. Suy ra B(3; 4), C(1; 2).
17
-
Vy A(2; 1), B(3; 4), C(1; 2). Bi 18
Trong mt phng ta Oxy, cho tam gic ABC. ng cao k t A,trung tuyn k t B, trungtuyn k t C ln lt nm trn cc ng thng c phng trnh x + y 6 = 0, x 2y + 1 = 0,x 1 = 0. Tm ta A, B, C.
Gii:
T h
{x 2y + 1 = 0x 1 = 0 suy ra trng tm G(1; 1).
A AH, B BM, C CN A(a; 6 a), B(2b 1; b), C(1; c).Do G(1; 1) l trng tm nn
{a+ (2b 1) + 1 = 3(6 a) + b+ c = 3
{a+ 2b = 3
a+ b+ c = 3 (1)
Ta c uAH = (1; 1), BC = (2 2b; c b). V AHBC nnuAH .BC = 0 2 2b c+ b = 0 b+ c = 2 (2)T (1) v (2) suy ra a = 5, b = 1, c = 3. Vy A(5; 1), B(3; 1), C(1; 3).
A
B
C
G
Bi 19
Trong mt phng ta Oxy, cho tam gic ABC vung cn ti A, phng trnh BC : 2xy7 = 0,ng thng AC i qua im M(1; 1), im A nm trn ng thng : x 4y + 6 = 0. Tmta cc nh ca tam gic ABC bit rng nh A c honh dng.
Gii:
M
A
B
C
V A : x 4y + 6 = 0 A(4a 6; a) MA(4a 5; a 1).V tam gic ABC vung cn ti A nn ACB = 45o.
Do cos(MA, uBC) = 1
2 |(4a 5) + 2(a 1)|
(4a 5)2 + (a 1)2.5=
12
18
-
13a2 42a+ 32 = 0 a = 2a =
16
13
A(2; 2)A
(14
13;
16
13
)(khng tha mn)
Vy A(2; 2). Suy ra AC : x 3y + 4 = 0, AB : 3x+ y 8 = 0. T ta c B(3; 1), C(5; 3).
Bi 20
Trong mt phng ta Oxy, cho tam gicABC, phng trnh cc ng thng cha ng caov ng trung tuyn k t nh A ln lt l x 2y 13 = 0 v 13x 6y 9 = 0. Tm ta ccnh B v C bit tm ng trn ngoi tip tam gic ABC l I(5 ; 1).
Gii:Ta c A(3; 8). Gi M l trung im BC IMAH. Ta suy ra pt IM : x 2y + 7 = 0.Nn ta M tha mn
{x 2y + 7 = 013x 6y 9 = 0 M(3; 5).
Pt ng thng BC : 2(x 3) + y 5 = 0 2x+ y 11 = 0. B BC B(a; 11 2a).Khi IA = IB a2 6a+ 8 = 0
[a = 4
a = 2.
T suy ra B(4; 3), C(2; 7) hoc B(2; 7), C(4; 3).
I
B
C
A
Bi 21
Trong mt phng vi h trc Oxy, cho hai ng thng d1 : 3x y 5 = 0, d2 : x + y 4 = 0. vim M(1; 1). Vit phng trnh tng qut ca ng thng d i qua M v ct d1, d2 ln lt tiA, B sao cho 2MA 3MB = 0.
Gii:A d1 A(x1; 3x1 5), B d2 B(x2; 4 x2).V A,B,M thng hng v 2MA = 3MB
[2MA = 3
MB (1)
2MA = 3MB (2)
Ta cMA = (x1 1; 3x1 6), MB = (x2 1; 3 x2).
(1) 2(x1 1; 3x1 6) = 3(x2 1; 3 x2)x1 =
5
2x2 = 2
Suy ra A
(5
2;
5
2
), B(2; 2).
19
-
Suy ra phng trnh d : x y = 0. (2) 2(x1 1; 3x1 6) = 3(x2 1; 3 x2){x1 = 1
x2 = 1
Suy ra A(1; 2), B(1; 3). Nn phng trnh d : x 1 = 0.
M
A
B
Bi 22
Trong mt phng vi h trc Oxy, cho cc im A(1; 2), B(4; 3). Tm ta im M sao cho
MAB = 135o v khong cch t M n ng thng AB bng
10
2.
Gii:
A
BM
O
Gi s M(x; y). K MHAB. T gi thit suy ra MH =
10
2v MAH vung cn.
Suy ra AM = MH
2 =
5.
Yu cu bi ton {
(AB,
AM) = 1350
AM =
5
3(x 1) + 1(y 2)
10.
(x 1)2 + (y 2)2= cos 1350 = 1
2
(x 1)2 + (y 2)2 = 5t u = x 1, v = y 2. Khi ta c{
3u+ v = 5u2 + v2 = 5
[u = 1, v = 2u = 2, v = 1
Vy M(0; 0) hoc M(1; 3)
Bi 23
Trong mt phng ta Oxy, cho tam gic ABC c trng tm G(1; 1); ng cao t nh A cphng trnh 2x y + 1 = 0 v cc nh B,C thuc ng thng : x + 2y 1 = 0. Tm ta cc nh A,B,C bit din tch tam gic ABC bng 6.
20
-
Gii:
G
H
I
A
B
C
Ta chn ng caoH
(1
5;
3
5
).ng thng d i quaG v song songBC c pt d : x+2y3 = 0.
d AH = I I(
1
5;
7
5
). Ta c
HA = 3
HI A(1; 3). d(A, BC) = 6
5.
Suy ra BC =2SABC
d(A, BC)= 2
5. Gi M l trung im BC. Khi MA = 3
MGM(1; 0).
Gi B
(x1;x1 + 1
2
). Khi MB =
5 (x1 1)2 = 4
[x1 = 3
x1 = 1.+) Vi x1 = 3 B(3; 1) C(1; 1).+) Vi x1 = 1 B(1; 1) C(3; 1).Suy ra A(1; 3), B(3; 1), C(1; 1) hoc A(1; 3), B(1; 1), C(3; 1).
Bi 24
Trong mt phng Oxy cho tam gic ABC cn ti A.ng thng AB v BC ln lt c phngtrnh: 7x+ 6y 24 = 0; x 2y 2 = 0. Vit phng trnh ng cao k t B ca tam gic ABC.
Gii:
2 4
2
2
4
0
B
A
E
H
C
Ta c ta B(3; 12)
Gi vecto php tuyn ca phng trnh AC l ~n(a; b) Do tam gic ABC cn ti A nn ta c:
cosB = cosC | 7 12 |72 + 62.
12 + 22
=| a 2b |
a2 + b2.
12 + 22 85. | a 2b |= 5a2 + b2
a = 9b2
hoc a =7b
6(loi v song song vi AB)
Vi a =9b
2chn a = 9; b = 2 ta c phng trnh ng cao k t B l: (qua B v nhn n l vecto
ch phng)
21
-
x 39
=y 1
2
2 4x 18y 3 = 0
Kt lun: Vy phng trnh ng cao k t B l: 4x 18y 3 = 0
Bi 25
Trong mt phng Oxy cho tam gic ABC vung ti B, c phng trnh ng cao qua C :2x + y + 4 = 0, ng phn gic trong gc A c phng trnh dA : x y 1 = 0. Gi M(0;2)nm trn cnh AC . Tm ta cc nh A,B,C ca tam gic .
Gii:- Gi N l im i xng vi M qua phn gic dA.Theo tnh cht phn gic trong th N thuc ng thng BA.* Xc nh ta N :Ta c phng trnh ng thng MN : x+ y + 2 = 0Nn ta giao im ca ng thng MN v AD l I(1
2; 3
2). Do ta N(1;1).
* Phng trnh ng thng AB:x+ 1
2=y + 1
1 x 2y 1 = 0
Do ta A l nghim ca h
{x 2y 1 = 0x y 1 = 0 Nn A(1; 0)
Suy ra ta c phng trnh ng thng AC :x 1
1= y
2 2x y 2 = 0
Nn ta C tho mn h:
{2x+ y + 4 = 02x y 2 = 0 . Suy ra C(
12
;3)V AB = 2AM nn AB = 2AN ( do AM = AN) nn N l trung im ca AB . suy ra B(3 : 2)Kt lun: Vy ta cc nh l: A(1; 0);B(3 : 2);C(1
2;3)
4 2 2
4
2
0
A
B
C
D
E
M
N
Bi 26
Trong mt phng to Oxy , cho 3 im A(3; 4) , B(1; 2) ,C(5; 0) . Vit phng trnh ngthng d i qua A(3; 4) sao cho : d = 2d(B; d) + d(C; d) t gi tr ln nht .
Gii:Gi phng trnh ng thng qua A cn tm l : a(x 3) + b(y 4) = 0, (a2 + b2 6= 0) ()Ta c:
2.d(B,) =| 4a 4b |
a2 + b2
d(C;) =| 2a 4b |a2 + b2
Do :
A = 2d(B;) + d(C;) =| 4a 4b | + | 2a 4b |
a2 + b2
Xt TH 1:
22
-
B v C cng pha vi () (4a 4b)(2a 4b) 0 ()Ta c: A =
| 2a 8 |a2 + b2
217 (1). Du = xy ra a2 =b
8 a
1=b
4.
Chn (a = 1; b = 4) tha mn ()Vy phng trnh ng thng: x+ 4y 19 = 0.Xt TH 2:B v C khc pha vi () (4a 4b)(2a 4b) 0 ()Ta c: A =
| 6a |a2 + b2
= d(I;) (vi I(2 : 4))
Ta thy rng ng thng () qua A v chy t C n B (do B v C khc pha vi () )Do d(I;) max () qua A v vung gc vi Ox . Khi () : x = 3. v A = 1 (2)T (1) v (2) ta c Amax = 2
17.
Kt lun: Phng trnh ng thng: x+ 4y 19 = 0.
2 4 6
2
2
4
0
A
B
C
D
E
F
Bi 27
Tam gic ABC c trung tuyn BM : 2x + y 3 = 0; phn gic trong BN : x + y 2 = 0 . imP (2; 1) thuc AB ,bn knh ng trn ngoi tip tam gic ABC l R =
5. Xc nh ta cc
nh ca tam gic .
Gii:T phng trnh trung tuyn BM v phn gic BN ta suy ra ta im B(1; 1)V P (2; 1) thuc AB nn ta suy ra phng trnh AB ( i qua B v P ) l: y = 1. t A(a; 1).Ta vit phng trnh ng thng i qua A v vung gc vi BN.x y + 1 a = 0.Cho ng ny giao vi BN ta tm c to ca H(a+1
2; 3a
2) im D l im i xng ca A
qua H v D BC. D(1; 2 a).T c :
BD = (0; 1 a) v AB = (1 a; 0) suy ra BD AB suy ra tam gic ABC vung ti B.
t M(m; 3 2m) th ta c : BM = AM (trung tuyn thuc cnh huyn ca tam gic vung) (m a)2 + (2 2m)2 = (m 1)2 + (2 2m)2 m = a+ 1
2(v a1)
+Th m v ch rng BM = AM =
5
(1 a)2 + (1 a)2
4= 5 (1 a)2 = 4 a = 3 hoc a = 1
Vi a = 3 th A(3; 0);C(1;8)Vi a = 1 th A(1; 1);C(1; 8)Kt lun: Vy bi ton c hai h nghim: A(3; 1);B(1; 1);C(1;8) v A(1; 1);B(1; 1);C(1; 8)
23
-
2 2 4
2
2
4
6
8
0
B A
C
M
N
H
D
Bi 28
Cho tam gic ABC c 3 gc u nhn. Vit phng trnh ng thng cha cnh AC ca tam gic, bit ta chn ng cao h t nh A;B;C tng ng l: M(1;2);N(2; 2);P (1; 2).
Gii:
4 3 2 1 1 2 3 4 5
4
3
2
1
1
2
3
4
0
A1
B1C1
D
E
F
H
A
M
B
N
C
P
Gi H l trc tm ca tam gic ABC. Mt h qu quen thuc, nu H l trc tm ca tam gicABC th H cng l tm ca ng trn ni tip tam gic MNP vi M,N,P ln lt l chn ccng cao h t cc nh A,B,C (Ta d dng chng minh h qu ny bng t gic ni tip )Theo ta 3 im M,N,P bit ta d dng vit c phng trnh cc ng thng:
MN : 4x 3y 2 = 0, NP : y 2 = 0, MP : x+ 1 = 0Ti y ta c th lm theo hai cch tm ta im HCch 1:V H l tm ng trn ni tip tam gic MNP nn : d(H;MP ) = d(H;PN) = d(H,MN).
Gi H(x; y) ta c:|x+ 1|
1=|y 2|
1=|4x 3y 2|
5Gii ra ta c H(0; 1)Cch 2:D dng ta vit c phng trnh ng phn gic trong ca cc gc:PNM ; MPN
24
-
Phn gic gc: PNM : 4x 8y + 8 = 0. Phn gic gc: MPN : x+ y 1 = 0.Ta im H l giao im ca 2 phng trnh ng thng trn H(0; 1)Phng trnh ng thng AB qua P (1; 2) nhn HP lm php tuyn:x y + 3 = 0Phng trnh ng thng BC qua M(1;2) nhn HM lm php tuyn:x+ 3y + 7 = 0Phng trnh ng thng AC qua N(2; 2) nhn
HN lm php tuyn:2x+ y 6 = 0
Kt lun: Vy phng trnh cc cnh ca tam gic ABC l:AB : x y + 3 = 0;BC : x+ 3y + 7 = 0;AC : 2x+ y 6 = 0
Bi 29
Trong mt phng Oxy, cho hnh vung ABCD c nh, bit A(2; 1), I(3; 2) (I l giao im ca ACv BD). Mt ng thng d i qua C ct cc tia AB,AD ln lt ti M v N . Vit phng trnhng thng d sao cho di MN l nh nht.
Gii:
1 1 2 3 4 5 6 71
1
2
3
4
5
0
A
C
I
B
D
E
N
M
Cch 1:V I l trung im AC nn ta suy ra c ta im C(4; 3)Cc cnh AB,AD c phng trnh:x 2 = 0 v y 1 = 0Chuyn h trc to Oxy sang h trc JXY qua php tnh tin theo
OJ vi J(2; 1).
Cng thc i trc:
{x = X + 2y = Y + 1
hay
{X = x 2Y = y 1
Trong h JXY ta c A(0; 0);C(2; 2) v 2 cnh AB,AD trng vi 2 trc to X = 0 v Y = 0Khng mt tnh tng qut gi s M(m; 0);N(0, n) (m > 0;n > 0). MN = m2 + n2Phng trnh ng thng MN :
X
m+Y
n= 1 ()
Do C(2; 2) () 1m
+1
n=
1
2
Ta c1
m+
1
n 4m+ n
m+ n 8 MN = 12
2(m2 + n2) m+ n
2 42
MN nh nht bng 42 khi v ch khi m = n = 4Khi () : X + Y 4 = 0. Trong h Oxy phng trnh ng thng () : x+ y 7 = 0Kt lun:Vy ng thng x+ y 7 = 0 tho mn iu kin bi ton
Cch 2:t CMB=NCD = x. Gi di cnh hnh vung l aTam gic CMB vung ti B v tam gic CDN vung ti D
C MN = MC + CN =a
sinx+
a
cosx= a
(1
sinx+
1
cosx
)Dng AM-GM cho 2 s khng m
1
sinx,
1
cosx
25
-
Ta c1
sinx+
1
cosx 2
sinx.cosx=
2
2sin2x
M sin2x 1 nn x = 45VyMN AC. Phng trnh ng thngMN qua C(4; 3) nhn AC lm php tuyn: x+y7 = 0Kt lun: Vy ng thng x+ y 7 = 0 tho mn iu kin bi ton
Bi 30
Trong mt phng h ta Oxy cho tam gic ABC cn ti A c nh A(1; 4) v cc nh B,Cthuc ng thng : x y 4 = 0. Xc nh ta cc im B,C bit tam gic ABC c dintch bng 18.
Gii:
2 1 1 2 3 4 5 6
3
2
1
1
2
3
4
0
A
B
C
H
Gi H l trung im BC th AH BC AH : x+ y 3 = 0 H(
7
2,1
2
).
Gi B(x, x 4) ( V B BC) C(7 x, 3 x)(V H l trung im BC)V tam gic ABC c din tch bng 18. SABC = 12 .d(A,).BC = 18 BC = 4.
2
Nn ta c : (x 7 + x)2 + (x 4 3 + x)2 = 32 x = 112
hoc x =3
2
Do B
(11
2,3
2
)hoc B
(3
2,5
2
) C
(3
2,5
2
)hoc C
(11
2,3
2
)Kt lun: Vy: B
(11
2;3
2
);C
(3
2,5
2
)hoc B
(3
2,5
2
);C
(11
2,3
2
)
Bi 31
Trong mt phng ta Oxy vit phng trnh 4 cnh ca hnh vung khng song song vi cctrc ta , c tm O v 2 cnh k ln lt i qua M(1; 2);N(3;1).
Gii:Khng mt tnh tng qut, gi s AB i qua M(1; 2) v AD i qua N(3;1).Gi vc t php tuyn ca ng thng AB l n = (a; b) vi a, b ng thi khc 0 (iu ny do 4cnh ca hnh vung khng song song vi cc trc ta ).Khi : AB : a(x+ 1) + b(y 2) = 0 v AD : b(x 3) a(y + 1) = 0 .Ta c d(O;AB) = d(O;AD) |a 2b|
a2 + b2=| 3b a|a2 + b2
T ta c 2a = b (loi o trng hp b = 0), chon a = 1, b = 2.Ta c phng trnh ca AB : x 2y + 5 = 0, ca AD : 2x+ y 5 = 0.T tm im A(1; 3) l giao ca AB,AD. im C i xng A qua O nn C(1;3).
26
-
T phng trnh ca CD : x 2y 5 = 0, ca CB : 2x+ y + 5 = 0.Kt lun: Phng trnh cc cnh l:AB : x 2y + 5 = 0, AD : 2x+ y 5 = 0 CD : x 2y 5 = 0, CB : 2x+ y + 5 = 0.
4 2 2 4
2
2
4
0
A
C
F
D1
E
S
D
B
Bi 32
Trong mt phng Oxy cho ABC c A (d) : 2xy+6 = 0, ng trung tuyn (BM) : x+y+3 =0, trung im cnh BC l N(1; 2). Tnh SABC bit BC(d).
Gii:
6 4 2 2 4
8
6
4
2
2
4
6
0
A
B
C
M
D
E
V: BC//(d) v BC qua N nn BC : 2x y = 0Ta c: N l giao im ca BC v BM B(1,2) C(3, 6) (V N l trung im BC).M BM M(m,m 3) A(2m 3,2m 12)Mt khc A d m = 2 A(7,8). Ta c: SABC = 1
2d(A,BC).BC =
3
20
Kt lun: Vy din tch tam gic l: SABC =3
20
Bi 33
27
-
Trong mt phng Oxy cho tam gic ABC c din tch bng 24 v phng trnh cc ng trungtuyn k t cc nh A, B, C ln lt l
1 : x y + 2 = 0, 2 : 5x y 2 = 0, 3 : x+ 3y 10 = 0.Tm to cc nh ca tam gic ABC.
Gii:
Gi ta im B(a; 5a 2);C(b;
10 b3
).
Gi M l trung im ca AB th ta M
(a+ b
2;15a b+ 4
6
)V im M thuc trung tuyn qua A, nn thay ta trn v rt gn ta c: b = 3a 1.Thay vo trn ta c: C(3a 2; 4 a) Suy ra: BC = (2a 2; 6 6a)Ta d dng tm c: SABC = 3SGBC = 24 SGBC = 8
2 2 4 6
2
2
4
6
0
A
B
C
D
E
F
Ta vit c phng trnh ng thng BC l: (x a)(6a 6) + (y 5a+ 2)(2a 2) = 0T y suy ra: a 6= 1, v ta rt gn li thnh: 6(x a) + 2(y 5a+ 2) = 0.Thay vo cng thc din tch l: SGBC = 8 1
2d(G,BC).BC = 8.
Suy ra: |a 1| = 1 a = 0 hoc a = 2Vi: a = 0, suy ra ta cc im l: B(0;2);C(2; 4), A(5; 7)Vi: a = 2, suy ra ta cc im l: B(2; 8);C(4; 2);A(3;1)Kt lun: Bi ton c hai kt qu l: B(0;2);C(2; 4), A(5; 7) hoc B(2; 8);C(4; 2);A(3;1)
Bi 34
Xc nh m khong cch t im A(3, 1) n ng thng () : x + (m 1)y + m = 0 l lnnht.Tm gi tr ln nht .
Gii:
2 1 1 2 3
2
1
1
0
A
H
Ta c: d(M ; ) =2 |m+ 1|
(m 1)2 + 1 =2
5 |m+ 1|[(m 1)2 + 12)(12 + 22)
2
5 |m+ 1|(m+ 1)2
= 2
5
28
-
Du = xy ra khi v ch khi:m 1
1=
1
2 m = 3
2
Kt lun: Vy m =3
2
Bi 35
Trong mt phng Oxy cho tam gic ABC c din tch bng 2 , AB c phng trnh x y = 0,I(2, 1) l trung im ca BC. Tm ta trung im K ca AC.
Gii:
Ta c d(I, AB) =2 1
2=
12.
V I l trung im ca BC d(C,AB) = 2; d(I, AB) = 2
1 1 2 3
2
1
1
2
3
0
K1
K2
A
ID
T din tch tam gic ABC = 2 nn ta suy ra c cnh AB = 2
2.
KI l ng trung bnh ca tam gic ABC KI = 12AB =
2
Phng trnh ng thng KI song song vi AB l: x y +m = 0M I(2; 1) m = 1. Suy ra phng trnh KI : x y 1 = 0Gi s K(a, a 1). KI2 = 2 (a 2)2 + (a 2)2 = 2 a = 3 hoc a = 1. Suy ra K(3; 2) hoc K(1; 0)Kt lun:Vy trung im K ca AC c ta l: K(3; 2);K(1; 0)
Bi 36
Trong mt phng Oxy cho tam gic ABC c cnh AB = 4
2 v nh C(1; 5). ng thng ABc phng trnh x y+ 2 = 0, ng thng (d) : x+ 3y 16 = 0 i qua trng tm G ca tam gic.Tm ta cc nh A,B.
Gii:
1 1 2 3 4 51
1
2
3
4
5
6
7
0
CA
B
I
Thay ta im C(1; 5) vo phng trnh (d) : x+ 3y 16 = 0 thy tha mn.Suy ra (d) l ng trung tuyn xut pht t nh C
29
-
Gi I l trung im AB I l giao im ca (d) v (AB) I(
5
2,9
2
)Gi ta im A(xo, xo+2) B(5xo, 7xo) AB2 = 2(2xo5)2 = 32 xo = 9
2hoc xo =
1
2
A(
9
2;13
2
);B
(1
2;5
2
). Hoc ngc li (V A v B c vai tr nh nhau).
Kt lun:Vy A
(9
2;13
2
);B
(1
2;5
2
)hoc B
(9
2;13
2
);A
(1
2;5
2
)
Bi 37
Trong mt phng Oxy cho tam gic ABC bit B(4;1), C(3;2), din tch tam gic ABC bng51
2v trng tm G thuc ng thng (d) : x y + 2 = 0. Hy tm ta nh A.
Gii:
5 5 10 15
5
5
0
A1
BC
A2
Gi G(t; t+ 2) (d). Gi M l trung im ca BC, ta c M(1
2;32
).
BC i qua B,C nn BC : x+ 7y + 11 = 0
SGMC =1
2GK.MC =
1
2 1
3AH
1
2BC =
1
6 1
2AH.BC =
1
6SABC =
1
6 51
2=
17
4
12GK.MC =
17
4 GK = 17
2.MC=
17
25
22
=17
5
2.
Nn: GK = d(G,BC) =t+ 7(t+ 2) + 11
5
2=
17
5
2 |8t+ 25| = 17 t = 1 hoc t = 21
4.
Suy ra G1(1; 1), G2(21
4;13
4
)Tip tc s dng ng thc :
AG = 2.
GM suy ra im A1(2;6), A2
(594
;27
4
).
Kt lun:Vy c 2 ta nh A tha mn iu kin bi l: A1(2;6), A2(59
4;27
4
)
Bi 38
Trong mt phng Oxy cho tam gic ABC . ng phn gic gc A c phng trnh x+ y 3 = 0,ng trung tuyn t B c phng trnh x y + 1 = 0 ng cao k t C c phng trnh2x+ y + 1 = 0. Tm ta cc nh ca tam gic ABC.
Gii:Gi cc ng thng cho ln lt l: AD;BM ;CH, v gi ta cc im nh sau:
A AD A(a; 3 a); B BM B(b; b+ 1); C CH C(c;2c 1)Khi ta c ta im M l trung im ca AC l: M
(a+ c
2;2 a 2c
2
)M M BM , nn
thay M vo phng trnh BM , ta c: 2a+ 3c = 0 (1)
30
-
Ta c:AB = (b a; a+ b 2). Do CH l ng cao c u = (1;2),
nn ta c:AB.u = 0 3a+ b = 4 (2)
Ta rng: AD BM = I, nn I chnh l trung im ca BM .Ta I
(a+ 2b+ c
4;a+ 2b 2c+ 4
4
). Ta c: I AD 4b c = 8(3).
Kt hp (1); (2); (3) ta thu c h 3 phng trnh 3 n, gii ra ta c: a =12
17; b =
32
17; c = 8
17
Kt lun: Vy ta 3 nh ca ABC l: A
(12
17;39
17
);B
(32
17;49
17
);C
(817
;117
)
1 1 2
1
1
2
3
0
A
B
C
DM
H
Bi 39
Trong mt phng Oxy cho im A(1; 1). Hy tm im B trn ng thng y = 3 v im C trntrc honh sao cho ABC u.
Gii:
2 1 1 2 3 41
1
2
3
0
A
C
B
C1
B1
Ta c: B thuc ng thng y = 3 B(a; 3), v C thuc Ox C(b; 0)
V ABC u nn:
{AB = AC
(AB;AC) =
pi
3
(a 1)
2 (b 1)2 = 3(a 1)(b 1) 2
(a 1)2 + 4 =12
Coi y l h phng trnh hai n l a 1 v b 1 (d thy h a v h ng cp)t b 1 = k(a 1) , thay vo ta c: k1 = 5
4v k2 =
12
+ Vi k1 =5
4th b 1 = 5
4(a 1), thay vo h thy v nghim.
+ Vi k2 =12
, thay vo h ta c: a 1 = 43hoc a 1 = 4
3Kt lun:Vy tn ti hai cp im B,C ABC u:
B
(3 + 4
3
3; 3
);C
(3 + 5
3
3; 0
)v B
(3 43
3; 3);C(
3 533
; 0
)
31
-
Bi 40
Trong mt phng Oxy cho hnh thoi ABCD bit phng trnh ca mt ng cho l: 3x+y7 = 0v im B(0;3). Tm ta cc nh cn li ca hnh thoi bit din tch ca hnh thoi bng 20.
Gii:R rng B khng thuc ng cho cho nn ta c AC : 3x+ y 7 = 0.V BD i qua B ng thi vung gc vi AC nn phng trnh ca BD l : x 3y 9 = 0Ta tm I ca hnh thoi l nghim ca h phng trnh :{
x 3y 9 = 03x+ y 7 = 0
{x = 3
y = 2T : I(3,2), li do D i xng vi B qua I nn tm c : D(6,1).T : SABCD = 20 = 2.IB.IA, ch vi : IB =
10 ta c c : IA =
10.
Gi s A c ta : A(a, 7 3a). Khi : IA = (a 3)2 + (9 3a)2 = 10Gii phng trnh ta c: a = 4 hoc a = 2Nh vy, ta c : A(4,5), A(2; 1), do C i xng vi A qua I nn tm c : C(2, 1), C(4,5).Kt lun:Vy ta 3 nh cn li ca hnh thoi l:A(4,5);D(6,1);C(2, 1) hoc A(2; 1);C(4;5);D(6;1)
1 1 2 3 4 5 6
5
4
3
2
1
1
0
B
D
I
C
A
Bi 41
Trong mt phng Oxy cho tam gic ABC c nh B(1
2; 1). ng trn ni tip tam gic ABC
tip xc vi cnh BC,AC,AB tng ng ti cc im D,E, F . Cho D(3; 1) v ng thng EFc phng trnh y 3 = 0. Tm ta nh A bit A c tung dng.
Gii:
1 1 2 3 4 5 61
1
2
3
4
5
0
B D
F
A
C
E
V BC i qua B(12; 1) v D(3; 1) nn phng trnh c thng BC c dng:
5
2(y1) = 0 y1 = 0
M ng thng EF c phng trnh y 3 = 0. EF BC
32
-
Vy ABC cn ti A AD BC AD c phng trnh: 52
(x 3) = 0 x 3 = 0Gi F (x, 3) .(V F EF ). D thy BF = BD = 5
2 F (2, 3) hoc F (1, 3) ( loi v khc pha
vi C,D so vi B) BF c dng: 4x 3y + 1 = 0M A l giao im ca BF v AD A(3, 13
3) (nhn)
Kt lun: Vy ta nh A tha mn iu kin l: A(3, 153
) Ch :L gii ti sao BF = BD;AF = AE;CD = CETa c: AFI = AEI v: AI chung v IF = IE = r () (cnh huyn- cnh gc vung) AE = AF (1). V EF song song BD AF
AB=AE
ACkt hp vi (1) AB = AC tam gic ABC li cn ti A.Ta cng ln lt xt cc tam gic ging () c: BF = BD v CD = CE
2 1 1 2
1
2
3
4
5
0
I
D
A
B C
EF
Bi 42
Trong mt phng Oxy cho ba ng thng d1 : 4x+y9 = 0, d2 : 2xy+6 = 0, d3 : xy+2 = 0.Tm ta cc nh ca hnh thoi ABCD, bit hnh thoi ABCD c din tch bng 15, cc nhA,C thuc d3, B thuc d1 v D thuc d2 .
Gii:
2 1 1 2 3 41
1
2
3
4
5
0
A
B
D
C
O
Do B,D ln lt thuc d1, d2 nn ta c ta ca B,D ln lt l : B(b, 9 4b);D(d, 2d+ 6).Gi O l tm ca hnh thoi, hin nhin O l trung im ca BD v O thuc AC.T ta d dng thit lp c phng trnh :
b+ d
2 15 4b+ 2d
2+ 2 = 0 5b d = 11
By gi s dng AC BD thu c phng trnh :d b
1=
4b+ 2d 31 b+ d = 1
33
-
T y gii h tm c ngay b, d suy ra : B(2, 1), D(1, 4).By gi gi s : A(a, a+ 2), C(c, c+ 2).Trung im O ca BD cng chnh l trung im ca AC nn d dng suy ra : a+ c = 1.Ta tnh c : BD = 3
2, AC = |a c|2 = |2a 1|2 ng thi ta c :
SABCD =1
2AC.BD = 3|2a 1| = 15
T y d dng c c : a = 3, a = 2. Suy ra ta : A(3; 5);C(2; 0)Kt lun: Vy ta cc nh ca hnh thoi l: A(3; 5);B(2, 1);C(2; 0);D(1, 4)
Bi 43
Trong mt phng Oxy cho tam gic ABC cn ti A , cnh BC : x y + 1 = 0, ng cao h tnh B l: x + 3y + 5 = 0. ng cao h t nh C i qua M(3; 0). Tm ta cc nh ca tamgic ABC.
Gii:
2 1 1 2 3
2
1
1
2
3
0 A
B
C
K
H
M
Gi BH : x+ 3y + 5 = 0.Do B = BC BH nn ta im B l nghim ca h phng trnh :{
x+ 3y + 5 = 0
x y + 1 = 0 {x = 2y = 1 B(2;1)
Gi CK l ng thng i qua M v vung gc vi AB c vecto php tuyn n = (a; b).Lc ta c phng trnh CK :
a(x 3) + by = 0 ax+ by 3a = 0 (a2 + b2 6= 0)
Mt khc ta c BHC = CKB ( cnh huyn ; gc nhn) HBC = KCB.T y ta c
cos HBC = cos KCB cos (BH,BC) = cos (CK,BC) (1)Mt khc ta c vecto php tuyn nBC = (1;1), vecto php tuyn nBH = (1; 3).T (1) ta c :
|nBH .nBC ||nBH |.|nBH | =
|n .nBC ||n |.|nBC |
22.
10=
|a b|2.a2 + b2
2a2 + b2 =
10|a b|
4(a2 + b2) = 10(a2 2ab+ b2) 3a2 10ab+ 3b2 = 0[a = 3b
a =1
3b
34
-
Vi a = 3b ta chn a = 3; b = 1. Lc phng trnh CK : 3x+ y 9 = 0 (nhn)Vi a =
1
3b ta chn a = 1; b = 3. Lc phng trnh CK : x+ 3y 3 = 0 (loi v BH||CK)
Mt khc ta c C = BC CK nn ta im C l nghim ca h phng trnh :{3x+ y 9 = 0x y + 1 = 0
{x = 0
y = 1 C(2; 3)
Li c ABCK. Suy ra vecto ch phng uAB = nCK = (3; 1).M B AB nn ta c phng trnh AB :
x+ 2
3=y + 1
1 x 3y 1 = 0
Do ACBH. Suy ra vecto ch phng uAC = nBH = (1; 3).Li c C AC nn ta c phng trnh AC :
x 21
=y 3
3 3x y 3 = 0
V A = AB AC nn ta c ta im A l nghim ca h phng trnh :{x 3y 1 = 03x y 3 = 0
{x = 1
y = 0 A(1; 0)
Kt lun:Vy ta cc nh ca tam gic ABC l: A(1; 0);B(2;1);C(2; 3) Bi 44
Trong mt phng Oxy cho tam gic ABC c trc tm H(2; 0), phng trnh ng trung tuynCM : 3x+ 7y 8 = 0, phng trnh ng trung trc ca BC : x 3 = 0. Tm ta ca nh A.
Gii:
H
A
E
F
G
PQ l trung trc BC (P thuc BC).Ta c: CM : 3x+ 7y 8 = 0, PQ : x 3 = 0, AH : x 2 = 0 (do AHPQ v H(2; 0) )Gi E,F ln lt l giao ca CM vi AH,PQ. Suy ra tm c E
(2;
2
7
)v F
(3,1
7
)Ni AP ct CM ti G l trng tm tam gic ABC.
thy EG = 2GF do tam gic AEG ng dng tam gic PFG. Suy ra G
(8
3; 0
)Nu gi I l tm ng trn ngoi tip tam gic ABC th 2GI = HG( ng thng euler).Suy ra I(3; 0). Biu din A,P cn 1 n theo pt ng thng: A(2; yA);P (3; yP )
C yA + yB + yC = 2.yP + yA = 3yG v AE = 2EF ta c h pt :
yA + 2yP = 012yA yE = 1
7
Suy ra yA =1
7
Kt lun: Vy ta im A
(2;
1
7
)
35
-
Bi 45
Trong mt phng Oxy cho (d) : x y = 0 v M(2, 1). Tm phng trnh (d1) ct trc hong ti Av ct (d) ti B sao cho tam gic AMB vung cn ti M.
Gii:
1 1 2
1
1
2
0
MB
A
Gi A(a; 0) thuc trc honh, B(b; b) thuc d. Tam gic AMB vung cn ti M nn ta c:{MA = MBMA.
MB = 0
{a2 4a = 2b2 6bab 2a 3b+ 5 = 0
a =3b 5b 2
(3b a)2 4(3b 5)(b 2) = 2b(b 3)(b 2)2
a =
3b 5b 2
(b 1)(b 2)(b2 2b+ 4) = 0 b = 1; a = 2
Suy ra A(2; 0) v B(1; 1) Phng trnh d1 :x+ y 2 = 0Kt lun: Vy phng trnh d1 : x+ y 2 = 0
Bi 46
Trong mt phng Oxy cho tam gic ABC c B(1, 2) phn gic trong AK : 2x+y1 = 0. Khongcch t C n AK bng 2 ln khong cch t B n AK . Tm ta nh A, C bit C thuctrc tung.
Gii:Ta c:
d(B,AK) =|2.1 + 2 1|
22 + 12=
35
V C Oy C(0, y) Theo gi thit ta c: Khong cch t C n AK bng 2 ln khong cch tB n AK nn ta c:
d(C,AK) = 2dB(AK) |2.0 + y 1|22 + 12
=65. |y 1| = 6.
[y = 7y = 5 (loi)
Vy: C(0, 7) Gi C i xng vi C qua AK th C(24
5,23
5
)v C BA
T y ta d dng vit c phng trnh ng thng BA : 13x+ 29y 71 = 0V A AK,A AB A
(14
15,43
15
)Kt lun:Vy ta nh A l:A
(14
15,43
15
)
36
-
Bi 47
Trong mt phng Oxy cho tam gic ABC vi ng cao k t nh B v phn gic trong ca gcA c phng trnh ln lt l x 2y 2 = 0 v x y 1 = 0. im M(0; 2) thuc ng thngAB v AB = 2AC. Tm ta cc nh ca ABC.
Gii:
B
M
A
CP
M
K
t (AP ) : x y 1 = 0; (BK) : x 2y 2 = 0Gi H l hnh chiu ca M trn AP.Ta c M(0; 2) MH v n MH = u AP = (1; 1) (MH) : x+ y 2 = 0.H l giao im ca AP v MH , ta ca n l nghim ca h:{
x+ y 2 = 0x y 1 = 0 H
(3
2;1
2
)Gi M l im i xng vi M qua AP , H l trung im ca MM .Suy ra M (3;1), m M (3;1) AM v n AM = u BK = (2; 1) (AM ) : 2x+ y 5 = 0.Ta c A AM A(2; 1) (AM) : x+ 2y 2 = 0, B AM B(2; 0)Gi C(c; 5 2c) AM .Theo gi thit AB = 2AC C
(2 1
5; 1 +
25
)hoc C
(2 +
15
; 1 25
)
Bi 48
Trong mt phng Oxy, cho tam gic ABC c trc tm H(1; 3), tm ng trn ngoi tip tamgic ABC l I(2; 0) v A(3; 4). Vit phng trnh ca ng thng BC.
Gii:A
B C
H
M
I
A
Nhn xt: Hn khng t ngi khi c ta ln s ngh ngay n cng thc Euler trong tam gic p dng trong bi ny. Nhng trn thc t cng thc ny mun s dng trong khi thi i hc-Cao
37
-
ng th phi chng minh n trc. Nh vy, ta phi la chn con ng khc lm bi ny. ChnghnDng ng trn (C)ngoi tip ABC. Gi A l im i xng ca im A qua I, suy ra A (C)v I l trung im ca AA. Do A(1;4).D dng chng minh c ABHC l hnh bnh hnh (BH AC,HC AB).Gi M l giao im ca BC v AH, suy ra M l trung im ca AH M
(1;1
2
).
Nh vy ta c M(1;12
) BC v BC AH PT ca BC : 4x+ 2y 3 = 0 .
Bi 49
Trong mt phng Oxy cho im A(3; 5) v hai ng phn gic trong ca ABC ln lt l(d1) : x+ y 2 = 0, (d2) : x 3y 6 = 0. Vit phng trnh ng thng BC.
Gii:
B C
A
A2 A1
D dng kim tra c rng im A khng thuc d1 v d2 nn d1, d2 l hai phn gic trong xutpht t hai nh B,C.Gi A1 v A2 ln lt l hai im i xng ca im A qua d1 v d2.Ta tin hnh tm ta A1, A2 nh sau:Gi H l hnh chiu ca A trn d1. Khi
A(3; 5) AHn AH = u d1 = (1; 1)} PT ca AH : x+ y 8 = 0.
Ta ca H l nghim ca h{x+ y 2 = 0x+ y 8 = 0 H(5;3)
Mt khc H l trung im ca AA1 nn A1(13;11)Tng t ta cng tm c A2
(3
5;11
5
).
Nh vy, theo tnh cht ng phn gic trong ca tam gic suy ra A1, A2 thuc ng thng BC,nn phng trnh ng thng BC cng chnh l phng trnh ca A1A2.Kt lun: BC : 11x+ 17y + 220 = 0 . Nhn xt: Qua cc bi ton trn, chng ta thy rng khi bi ton cho phng trnh ng phn gicthng th ta s ngh ti hng lm nh th no? Tht may mn, ng phn gic n c mt tnhcht c bn l mi im nm trn n lun cch u hai cnh k, hay ni cch khc l tnh ixng ca cc cp im trn hai cnh k qua ng phn gic. C th, nu l ng phn gic cagc xOy th vi mi im M Ox c im i xng ca n thuc tia Oy.
Bi 50
Trong mt phng Oxy, vit phng trnh ng thng (d) i qua im A(1; 3) v ct trc Ox,Oyln lt ti M,N sao cho
2
OM2+
1
ON2nh nht.
Gii:
38
-
Gi phng trnh ng thng d c dng: y = kx+ b, k 6= 0Do d i qua A(1; 3) nn ta c k + b = 3 k = b 3.(d) ct Ox ti M M
( bk
; 0
)(d) ct Oy ti N N(0; b)
Khi
2
OM2+
1
ON2=
2k2
b2+
1
b2
=2(b 3)2 + 1
b2=
(19
b 6
19
)2+
2
19 2
19
Do
(2
OM2+
1
ON2
)min
=2
19khi b =
19
6 k = 1
6.
Tm li, (d) : y = x6
+19
6.
Bi 51
(Trch thi th THPT Quc gc Hu-2012).Trong mt phng Oxy cho 2 ng thng: (L1) : 4x 2y + 5 = 0, (L2) : 4x+ 6y 13 = 0ng thng ct (L1), (L2) ln lt ti T1, T2. Bit rng (L1) l phn gic gc to bi OT1 v, (L2) l phn gic gc to bi OT2 v . Tm ta giao im ca v trc tung?
Gii:
2 1 1 2 31
1
2
3
0
L2L1
T2
T1
F
E
Gi E v F l im i xng ca O qua (L1) v (L2) , I, J theo th t l trung im ca OE,OFTa d dng chng minh c E,F thuc Gi I(a; b) E(2a; 2b)I thuc (L1) v OI (L1) , suy ra I(1; 12) E(2; 1)Tng t ta cng tm c J(1; 3
2) F (2; 3)
Phng trnh i qua E v F : : x 2y + 4 = 0Kt lun, giao im ca vi trc tung l M(0; 2) .
Bi 52
Trong mt phng Oxy cho tam gic ABC vung ti A v im B(1, 1). Phng trnh ng thngAC : 4x + 3y 32 = 0. Tia BC ly M sao cho BM.BC = 75. Tm C bit bn knh ng trnngoi tip tam gic AMC l
5
5
2.
Gii:
39
-
B C
A
M
N
I
Cch 1:I l tm ng trn ngoi tip tam gic AMC.
Ta c: P(B/(I)) =BM.
BC = BI2 R2 vi R = 5
5
2
V B nm ngoi ng trn (I) nn ta c:BM.
BC = BM.BC = 75 BI2R2 = 75 BI2 = 425
4Vit c phng trnh AB : 3x 4y + 1 = 0 v tm c A(5; 4)
Gi I(x; y) ta c:
IA2 =
125
4
IB2 =425
4
Tnh c: I
(13
2; 2
)hoc I
(7
2; 6
)Vit phng trnh ng trung trc IN ca AC. Tm c N = AC IN .Dng tnh cht trung im suy ra: C(8; 0) hoc C(2; 8) .
Cch 2(HD cch lm:)
V BA AC nn tm c ta im A.K MKBC ct AB ti K.Khi gi I l trung im ca CK ta d dng suy ra I l tm ng trn ngoi tip tam gic AMC
Do BMK v BAC BMBA
=BK
BC. T tnh c BK.
Do A nm gia B v K nn ta s c: AK = BK BAT ta tnh c di cnh AC =
4R2 AK2
V suy ra ta im C.
Bi 53
Trong mt phng Oxy cho tam gic ABC c: A(0; 2);B(2; 6) v C thuc ng thng (d) : x 3y + 1 = 0. Tm ta nh C sao cho phn gic trong xut pht t nh A song song vi ngthng d.
Gii:
d
B C
A
D
M
I
V ng phn gic trong gc A song song vi ng thng d nn phng trnh ng phn gic c
40
-
dng x 3y +m = 0.V qua A(0; 2) nn phn gic trong gc A c phng trnh d1 : x 3y + 6 = 0.Gi M l im i xng vi B qua ng phn gic d1, khi ta c: M AC.Ta vit c phng trnh ng thng BM l: 3x+ y 12 = 0.T , giao im I ca d1 v BM c ta l: I(3; 3). Suy ra ta im M(4; 0).T suy ra phng trnh ng thng AC l: x+ 2y = 4.Ta im C l nghim ca h phng trnh:{
x+ 2y = 4
x 3y + 1 = 0 {x = 2
y = 1
Kt lun: C(2; 1) .
Bi 54
Trong mt phng Oxy cho ABC cn ti A. Bit phng trnh cc ng thng AB;BC cphng trnh ln lt l x + 2y 1 = 0; 3x y + 5 = 0. Vit phng trnh cnh AC bit rngM(1;3) thuc cnh AC.
Gii:
C B
A
M
NI
H
Xt phng trnh ng thng qua M song song vi BC.Phng trnh ng thng ny c dng (d) : 3x y 6 = 0Gi N l giao im ca (d) v AB. Tnh c N
(13
7
3
7
)Trung im I ca MN l: I
(10
7;12
7
).
ng thng AI c dng (AI) : x+ 3y 467
= 0
Ta tnh c H
(59
70;173
70
)l giao im ca AI v BC.
Hn na, B l giao im ca BC v AB, suy ra B
(9
7;8
7
)V H l trung im ca BC. Suy ra c ta im C
(2
5;19
5
)Nh vy ng thng AC i qua 2 im C v M c phng trnh tng qut l34x+ 7y 13 = 0
Bi 55
Trong mt phng Oxy cho hnh thoi ABCD c tm I(2; 1) v AC = 2BD. im M
(0;
1
3
)thuc
ng thng AB; im N(0; 7) thuc ng thng CD. Tm ta nh B bit B c honh dng.
41
-
Gii:
A
BD
C
I
M
N
N H
bi ton ny trc tin chng ta hy ti v tr ca ba im M, I,N trn hnh thoi ABCD tathy ngay c nu ta gi N l im i xng ca N qua tm I th ta c N thuc cnh AB. Vyphng trnh AB hon ton xc nh c.C th ta c ta im N (x; y) c xc nh bi cng thc:{
x = 2xI xN = 4y = 2yI yN = 5
N (4;5)
Lc ta c ng thng AB l ng thng i qua hai im M ;N nn:N ABu AB =
(4;16
3
)nn phng trnh AB :
x 44
=3(x+ 5)
16 4x+ 3y 1 = 0
By gi ta quan st n d kin gi thit AC = 2BD. iu quan tm ca chng ta l qua d kinny bi ton mun cho bit iu g?Ta rng BD = 2BI;AC = 2AI. Vy t iu kin AC = 2BD ta c ngay c AI = 2BI.Ch vo tam gic ABI vung ti I ta khng c d kin cnh c th no c nn ta t BI = x thta c AI = 2x. di ng cao trong tam gic ABI vung ti I chnh l khong cch t tm I n ng thngAB nn ta c:
IH = d(I,AB) =|4.2 + 3.1 1|
32 + 45= 2 vi IHAB
Xt trong ABI vung ti I ta c :
1
IH2=
1
AI2+
1
BI2 1
4=
1
x2+
1
4x2 x =
5 hay BI =
5 (1)
(1) cho chng ta lin tng im B thuc ng trn tm I v bn knh bng
5. Do ta im B l nghim ca h :{
4x+ 3y 1 = 0(x 2)2 + (y 1)2 = 5 B(1;1) (v B c honh dng)
Kt lun: B(1;1)
Bi 56
Trong mt phng Oxy cho tam gic ABC c phng trnh cc ng cao AH, phn gic trongBD, trung tuyn CM ln lt l 2x+ y 12 = 0, y = x 2, x 5y 3 = 0. Tm ta A,B,C.
Gii:
42
-
AB CH
M
D
EF
G
IK
Hng dn gii:
Trn AH ly 1 im E bt k v ti E dng ng thng d AH.Dng ng thng d i xng vi d qua phn gic BD. ng thng ny ct BD ti F , ct AHti G.Gi K l trung im ca FG. Ta cn chng minh IK CM = M (Vi I l giao im ca AH vBD).T ta d dng tm c ta A,B,C.
Bi 57
Trong mt phng Oxy cho hnh vung c AB : 4x 3y 4 = 0, CD : 4x 3y 18 = 0 v tm Ithuc d : x+ y 1 = 0, vit phng trnh ng thng cha hai canh cn li ca hnh vung
Gii:
0
A
B
C
D
d
I
I d : x+ y 1 = 0 nn I = (x0; 1 x0). V I l tm hnh vung nnd(I, AB) = d(I, CD) 4x0 3(1 x0) 4
42 + (3)2|4x0 3(1 x0) 18|
42 + (3)2 |7x0 7| = |7x0 21|
[
7x0 7 = 7x0 = 7x0 21 V l7x0 7 = 21 7x0 x0 = 2
Nn im I(2;1). Phng trnh cnh BC : 3x+ 4y + c = 0C d(I, AB) = d(I, BC) |4.2 3.(1) 4|
42 + (3)2 =|3.2 + 4(1) + c|
32 + 42 7 = |2 + c|
[c = 5c = 9
Kt lun: Vy phng trnh cc cnh
{BC : 3x+ 4y + 5 = 0
AD : 3x+ 4y 9 = 0 hoc{BC : 3x+ 4y 9 = 0AD : 3x 4y + 5 = 0
Bi 58
Trong mt phng Oxy cho ABC cn nh A. Canh bn AB v canh y BC c phng trnh lnlt l x+ 2y 1 = 0 v 3x y + 5 = 0 . Lp phng trnh cnh AC bit ng thng AC i quaim M(1;3).
Gii:
43
-
0M
B
A
C
Gi n = (a; b)vi a2 + b2 6= 0 l vect php tuyn ca ng thng AC,Khi phng trnh cnh AC i qua M(1;3) c dng AC : a(x 1) + b(y + 3) = 0T phng trnh cnh AB suy ra ng thng AB nhn n1(1; 2) lm mt vect php tuyn.T phng trnh cnh BC suy ra ng thng BC nhn n2(3;1) lm mt vect php tuyn.V tam gic ABC cn ti A nn ta c:
| cos(n1,n2)| = | cos(n ,n2)| 1
5=|3a b|a2 + b2
a2 + b2 = 5(3a b)2 44a2 30ab+ 4b2 = 0(1)
+ Nu b = 0 thay vo (1) a = 0 (Loi)
+ Nu b 6= 0 chn b = 1 thay vo (1) ta c 44a2 30a+ 4 = 0
a = 12a =
2
11
* Vi a =1
2th phng trnh cnh AC : x+ 2y + 5 = 0( Loi v khi ACsong song vi AB)
* Vi a =2
11th phng trnh cnh AC : 2x+ 11y + 31 = 0
Kt lun: Phng trnh cnh AC : 2x+ 11y + 31 = 0
Bi 59
Trong mt phng Oxy, tm ta cc dnh cn li ca tam gic ABC bit A(5; 2), phng trnhng trung trc ca BC, ng trung tuyn CD ln lt c phng trnh l : x + y 6 = 0 v2x y + 3 = 0.
Gii:
5 5
5
10
0
A
M
B
C
D
44
-
Gi G(xG; yG) l trng tm tam gic ABC , M l trung im ca BC.nn M thuc ng trung trc ca BC suy ra M(a; 6 a)Ta c
AG = (xG 5; yG 2), AM = (a 5; 4 a)
Theo tnh cht trng tm ta c
AG =
2
3
AM
xG 5 = 2
3(a 5)
yG 2 = 23
(4 a)
xG =
2a
3 5
3
yG =2a
3+
14
3M G thuc trung tuyn CD nn
2
(2a
3 5
3
)(2a
3+
14
3
)+ 3 = 0 a = 5
6
suy ra M
(56
;41
6
)Phng trnh ng thng BC : 1
(x 5
6
)(y 41
6
)= 0 x y + 23
3= 0
Nn ta im Cl nghim ca h
x y +23
3= 0
2x y + 3 = 0
x =
14
3
y =37
3
hay C
(14
3;37
3
)
M M l trung im ca BC nn B
(193
;4
3
)Kt lun: B
(193
;4
3
), C
(14
3;37
3
)
Bi 60
Trong mt phng Oxy cho ng phn gic t A , trung tuyn t B, ng cao t C c phngtrnh ln lt l: x+ y 3 = 0, x y + 1 = 0, 2x+ y + 1 = 0. Tm ta cc nh ca tam gic.
Gii:
2 1 1 2
1
1
2
3
0
A
B
C
M
D
H
Gi ng phn gic AD : x+ y 3 = 0, ng trung tuyn BM : x y + 1 = 0v ng cao CH : 2x+ y + 1 = 0M A AD A(a; 3 a);B BM B(b; b+ 1);C CH C(c;2c 1)C M l trung im ca AC nn M
(a+ c
2;2 a 2c
2
).
MM BM nn thay vo phng trnh BM , ta c: a+ c2 2 a 2c
2+1 = 0 2a+3c = 0 (1)
Ta cAB = (b a; a+ b 2). DO ABCH AB.u CH = 0 3a+ b = 4 (2)
Trong u CH = (1;2) l mt vect ch phng ca ng cao CH.Gi I = BM AD Nhn thy ADBM = I , nn I l trung im ca BM.Do I =
(a+ 2b+ c
4;a+ 2b 2c+ 4
4
)m I AD 4b c = 8 (3)
45
-
T (1), (2) v (3) ta c a =12
17, b =
32
17, c =
817
Kt lun: A
(12
17;39
17
), B
(32
17;48
17
), C
(817,117
)
Bi 61
Trong mt phng Oxy cho hnh bnh hnh ABCD c din tch bng 4. Bit A(1; 0), B(0; 2) v giaoim I ca hai ng cho nm trn ng thng y = x. Tm ta nh C v D.
Gii:
2 2
2
2
0
A
B
C
D
V I thuc ng thng y = x nn I = (a; a)Suy ra C(2a 1; 2a), D(2a; 2a 2)C AB =
12 + 22 =
5
Phng trnh ng thng AB : 2(x 1) + y = 0 hay 2x+ y 2 = 0Theo bi ra th din tch hnh binh hnh ABCD bng 4.
Nn SABC = 2 12.AB.d(C,AB) = 2 |3a 2| = 2
[a = 0
a =4
3+ Vi a = 0 th C = (1; 0), D = (0;2)+ Vi a =
4
3th C
(5
3;8
3
), D
(8
3;2
3
)Kt lun: C = (1; 0), D = (0;2) hoc C
(5
3;8
3
), D
(8
3;2
3
)
Bi 62
Trong mt phng Oxy cho cc im A(0; 1), B(2;1) v hai ng thng d1 : (m 1)x + (m 2)y + 2m = 0, d2 : (2m)x+ (m 1)y + 3m 5 = 0. Chng minh d1 v d2 lun ct nhau, GiP l giao im ca d1 v d2, Tm m sao cho PA+ PB ln nht.
Gii:
1 1 2 3
1
1
2
0
A
BP
I
P
46
-
Ta cn1 = (m 1;m 2) l mt vect php tuyn ca d1n2 = (2m;m 1) l mt vect php tuyn ca d2d thy n1.n2 = 0 vi mi m hay d1d2 nn hin nhin d1 ct d2 vi mi mKt hp vi A d1;B d2 P thuc ng trn ng knh AB (x 1)2 + y2 = 2(C).Ta c PA+ PB 2(PA2 + PB2) = 2AB2 = 4ng thc xy ra khi PA = PBHay tam gic ABC vung cn ti P , tc P l im chnh gia ca cung ABCGi (d) l ng thng i qua tm I(1; 0) ca ng trn (C) v vung gc vi AB.Ta c : d : x y 1 = 0V P = d (C) Khi ta ca P l nghim ca h phng trnh{
(x 1)2 + y2 = 2x y 1 = 0
[x = 2; y = 1x = 0, y = 1
T d dng tnh c P (2; 1) hoc P (0;1)+ Vi P (0;1) thay vo (d1) ta thu c m = 2+ Vi P (2; 1) thay vo d1 ta c m = 1Kt lun: Vy vi m = 1 hoc m = 2 th PA+ PB ln nht.
Bi 63
Trong mt phng Oxy cho tam gic ABC vung cn ti A. Bit rng cnh huyn nm trn ng
thng d : x+7y31 = 0. im N(1; 52
) thuc ng thng AC, imM(2;3) thuc ng thngAB. Xc nh ta cc nh ca tam gic ABC.
Gii:
4 3 2 1 1 2 3 4
321
1
2
3
4
5
0
N
M
A
B
C
Gi nAC = (a; b), a2 + b2 6= 0 l vect php tuyn ca ng thng AC.Nn vect php tuyn ca ng thng AB l nAB = (b;a)Phng trnh cnh AB i qua M(2;3) l:bx ay 3a 2b = 0V tam gic ABC cn ti A nn
| cos(n AC ,n BC)| = | cos(n AB,n BC)| |a+ 7b| = |b 7a|()+ Nu a = 0 thay vo (*) suy ra b = 0 (trng hp ny loi v a2 + b2 6= 0)+ Nu a 6= 0 chn a = 3 thay vo (*) ta c b = 4 hay b = 9
4- Vi a=3 v b=4 ta c phng trnh AC : 3x 4y + 7 = 0 v AB : 4x+ 3y + 1 = 0Nn ta im A(1; 1), B(4; 5), C(3; 4)
47
-
- Vi a = 3v b =9
4ta thu c phng trnh AC : 3x+
9
4y 69
8= 0, AB :
9
4x 3y 27
2= 0
Nn ta A(4;32
), B(10; 3), C
(1
2;9
2
)Kt lun: Vy A(1; 1), B(4; 5), C(3; 4) hoc A
(4;32
), B(10; 3), C
(1
2;9
2
)
Bi 64
Trong mt phng Oxy cho tam gic ABC bit B(4;1), C(3;2), din tich tam gic ABC bng51
2v trng tm G thuc ng thng d : x y + 2 = 0. Hy tm ta nh A.
Gii:
4 2 2
2
2
4
6
0
C
B
A
G
Ta c BC = 5
2. Phng trnh BC : x+ 7y + 11 = 0. M G thuc d nn G(a; a+ 2)Theo bi ra
S =1
2.BC.d(A,BC) d(A,BC) = 51
5
2 d(G,BC) = 51
15
2
|a+ 7(a+ 2) + 11|72 + 12
=51
15
2
|8a+ 25| = 17[
8a+ 25 = 178a+ 25 = 17
[a = 1a =21
4
Vi a = 1 th G(1; 1) nn ta im A(2; 6)Vi a = 21
4th G
(214
;13
4
) A
(59
4;27
4
)Kt lun: Vy A(2; 6) hoc A
(59
4;27
4
)
Bi 65
Trong mt phng Oxy cho tam gic ABC c S =3
2, hai nh l A(2;3), B(3;2) v trng tm
G ca tam gic thuc ng thng 3x y 8 = 0. Tm ta inh C
Gii:Gi C(x0; y0) l im cn tm.
48
-
G l trng tm tam gic ABC nn G
(5 + x0
3;5 + y0
3
)M G thuc ng thng : 3x y 8 = 0 nn
3.5 + x0
3 5 + y0
3 8 = 0 3x0 y0 4 = 0 (1)
Phng trnh cnh AB:x y 5 = 0Din tch tam gic ABC l :
S =1
2.AB.d(C,AB) d(C,AB) = 2S
AB |x0 y0 5| = 3
[x0 y0 8 = 0 (2)x0 y0 2 = 0 (3)
T (1) v (2) C(2;10)T (1) v (3) C(1;1)Kt lun: Vy C(2;10) hoc C(1;1)
1 2 3
3
2
10
A
B
C
G
Bi 66
Trong mt phng Oxy cho im A(1; 1) trn mt phng ta . hy tm im B trn ng thngy = 3 v im C trn trc honh sao cho tam gic ABC l tam giac u.
Gii:
1 2 3 4 5
1
2
3
4
0
A
B
C
Gi B(b; 3) l im nm trn ng thng y = 3 v C(c; 0) Ox l nhng im cn tm.Tam gic ABC u nn{
AB = BC
BC = AC{
(b 1)2 + 4 = (c b)2 + 9(c b)2 + 9 = (c 1)2 + 1
{
(b 1)2 = (c b)2 + 5(c b)2 = (c 1)2 8
{(b 1)2 = (c b)2 + 5(1)2(b 1)c = b2 + 7(2)
49
-
T (2) ta thy b 6= 1 .Do (2) c = b
2 + 7
2(b 1) c b =8 (b 1)2
2(b 1)Thay c b = 8 (b 1)
2
2(b 1) vo (1) ta c
(b 1)2 =[
8 (b 1)22(b 1)
]2+ 5
3(b 1)4 4(b 1)2 64 = 0
(b 1)2 = 163
b = 3 + 4
3
3
b =3 43
3
-Vi b =3 + 4
3
3 C = 5
3 + 3
3
-Vi b =3 43
3 C = 5
3 33
Kt lun: Vy B
(3 + 4
3
3; 3
), C =
(5
3 33
; 0
)hoc B
(3 43
3; 3
), C =
(3 53
3; 0
)
Bi 67
Trong mt phng Oxy, cho hnh vung c nh A(0; 5) v mt ng cho nm trn ng thngc phng trnh y 2x = 0. Tm ta hnh vung
Gii:
1 1 2 3
1
2
3
4
5
6
0
A
I
Gi I l tm ca hnh vung ABCD cho th I l giao im ca hai ng cho AC v BD.D thy phng trnh ng cho BD : y 2x = 0Ta c ACBD ti INn phng trnh ng cho AC c dng : x+ 2y + c = 0M AC i qua im A(0; 5) do phng trnh AC : x+ 2y 10 = 0Ta tm hnh vung l nghim ca h{
x+ 2y 10 = 0y 2x = 0 I(2; 4)
Kt lun: Vy I(2; 4)
50
-
Bi 68
Trong mt phng Oxy cho tam gic ABC vi A(1; 3), ng cao BH nm trn ng thngy = x, phn gic trong ca gc C nm trn ng thng x + 3y + 2 = 0. Vit phng trnh cnhBC.
Gii:
2 2 4
2
2
4
0
A
B
C
H
F I
Ta c ACBH nn phng trnh AC c dng : x+y+c=0(1)AC i qua A(1; 3) nn thay vo (1) ta c: c = 2Do phng trnh cnh AC l : x+ y 2 = 0Ta ca C l nghim ca h phng trnh
{x+ y 2 = 0x+ 3y + 2 = 0
C(4;2)
Dng AI vung gc vi ng phn gic CF : x+ 3y + 2 = 0 ti im ISuy ra, phng trnh AI c dng: 3x y + d = 0M A AI nn : 3.(1) 3 + d = 0 d = 6Do vy phng trnh ca AI : 3x y + 6 = 0Ta ca I l nghim ca h {
3x y + 6 = 0x+ 3y + 2 = 0
I(2; 0)
Gi A l im i xng vi A qua phn gic CF , suy ra I l trung im ca AA
Ta c: {xA = 2xI xA = 3yA = 2yI yA = 3
A(3;3)
m A BCDo phng trinh canh BC l : x 7y 18 = 0Kt lun:Vy phng trinh canh BC l : x 7y 18 = 0
Bi 69
Trong mt phng Oxy cho tam gic ABC cn A. im M(1;1) l trung im ca BC, trngtm G
(2
3; 0
). Tm ta cc nh B,C.
Gii:
Ta cMA = 3
MG
{xA xM = 3(xG xM)yA yM = 3(yG yM)
{xA = 0
yA = 2 A(0; 2)
V tam gic ABC vung cn A nn BC nhnAM = (1;3) lm mt vect php tuyn.
51
-
Vy phng trnh BC l: x 3y 4 = 0Mt khc MB = MA = MC =
10
Nn A,B,C thuc ng trn tm M bn kinh R =
10 c phng trnh (x 1)2 + (y + 1)2 = 10Do ta cc im B,C l nghim ca h :{
x 3y 4 = 0(x 1)2 + (y + 1)2 = 10
{x = 3y + 4
(3y + 3)2 + (y + 1)2 = 10
[y = 0 x = 4y = 2 x = 2
Kt lun: Vy B(4; 0), C(2;2)
2 2 4
2
2
0M
G
C
B
A
Bi 70
Trong mt phng Oxy hy vit phng trnh cc cnh ca tam gic ABC bit trc tm H(1; 0) ,chn ng cao h t nh B l K(0; 2) , trung im cnh AB l M(3; 1) .
Gii:
2 1 1 2 3 4
2
1
1
2
3
4
0
H
k
M
A
B
C
ng thng AC vung gc vi HK nn nhnHK = (1; 2) lm mt vect php tuyn v AC i
qua K nn phng trnh ng thng AC : x 2y + 4 = 0Ta cng phng trnh ng thng BK i qua K v nhn
HK = (1; 2) lm vect ch phng nn
BK : 2x+ y 2 = 0Do A AC A(2a 4; a)B BK B(b; 2 2b)Mt khc M(3; 1) l trung im ca AB, nnxM =
xA + xB2
yM =yA + yB
2
{
2a 4 + b = 6a+ 2 2b = 2
{2a+ b = 10a 2b = 0
{a = 4b = 2
.
52
-
Do A(4; 4), B(2;2)T ta c
AB = (2;6) nn phng trnh canh AB : 3x y 8 = 0
ng thng BC qua B vung gc vi AH nn nhnHA = (3; 4) l php vect suy ra phng trinh
: BC : 3x+ 4y + 2 = 0Kt lun: AB : 3x y 8 = 0, BC : 3x+ 4y + 2 = 0, AC : x 2y + 4 = 0 Bi 71
Trong mt phng Oxy cho hnh ch nht ABCD c phng trnh ng thng AB : x2y+1 = 0,phng trnh ng thng BD : x 7y + 14 = 0, ng thng AC i qua M(2; 1). Tm to ccnh ca hnh ch nht.
Gii:
M
A
B
D
C
I
Ta ca B l nghim ca h :
{x 2y + 1 = 0x 7y + 14 = 0
x =
21
5
y =13
5
B(
21
5;13
5
)Mt khc, ABCD l hnh ch nht nn gc gia AC v AB bng gc gia AB v BD.Gi nAB(1;2); nBD(1;7); nAC(a; b) vi a2 + b2 > 0 ln lt l vect php tuyn ca cc ngthng AB,BD,AC.Khi : |cos (nAB,nBD)| = |cos (nAC ,nAB)|
|a 2b| = 32
a2 + b2 7a2 + 8ab+ b2 = 0
[a = ba = b
7
+ Vi a = b cho a = 1 th b = 1 khi phng trnh cnh AC : xy1 = 0 m A = ABACnn ta im A l nghim ca h:{
x y 1 = 0x 2y + 1 = 0
{x = 3y = 2
A(3; 2)
Gi I l giao im hai ng cho nn ta ca I l nghim h:{x y 1 = 0x 7y + 14 = 0
{x = 7
2
y = 52
I(
7
2;5
2
)m I l trung im ca AC v BD nn C(4; 3), D
(14
5;12
5
)+ Vi b = 7a cho a = 1 b = 7 khi phng trnh cnh AC : x 7y+ 5 = 0, d thy ACBDnn trng hp ny loi.
Kt lun: Vy A(3; 2), B
(21
5;13
5
), C(4; 3), D
(14
5;12
5
)
53
-
Bi 72
Trong mt phng Oxy cho hnh bnh hnh ABCD c din tch bng 4, cc nh A(2; 2), B(2; 1).Tm ta nh C v D bit rng giao im ca AC v BD thuc ng thng x 3y + 2 = 0
Gii:
2 2 4 6 8 10
2
0
A
B
C
D
E
F
C AB =
17 gi I = AC BD ,Ta c SIAB =
1
4.SABCD = 1 12AB.d(I;AB) = 1 d(I;AB) =
217
Phng trnh ng thng AB : x 4y + 6 = 0M I thuc ng thng: x 3y + 2 = 0 I(3t 2; t)T :
d(I;AB) =217 |3t 2 4t+ 6|
17=
217 |4 t| = 2
[t = 2 I(4; 2) C(6; 2), D(10; 3)t = 6 I(16; 6) C(30; 10), D(34; 11)
Kt lun: C(6; 2), D(10; 3) hoc C(30; 10), D(34; 11)
Bi 73
Trong mt phng Oxy cho A(10; 5), B(15;5), D(20; 0) l cc nh ca hnh thang cn ABCDtrong AB song song vi CD. Tm ta im C.
Gii:
20 10 10
30
20
10
0
A
B
C
D
E
F
Ta c CDAB suy ra, ng thng CD qua D(20; 0) v nhn AB = (5;10) .Phng trnh ca CD l : 2x+ y + 40 = 0
Gi I, J ln lt l trung im ca AB v CD. Ta c I
(25
2; 0
)v IJCD
54
-
Phng trnh ng thng IJ : 2x 4y 25 = 0M J = IJ CD nn ta ca J l nghim ca h{
2x+ y + 40 = 0
2x 4y 25 = 0 x =
272
y = 13 J
(272
;13)
Theo tnh cht hnh thang cn th J l trung im ca CD nn theo cng thc trung im{xC + yD = 2xJ
yC + yD = 2yJ{xC = 7yC = 26
Kt lun: Vy im C(7;26) l im cn tm
Bi 74
Trong mt phng Oxy cho tam gic ABC c M(2; 2) l trung im ca cnh BC. Cnh AB cphng trnh l x 2y 2 = 0, cnh AC c phng trnh l :2x + 5y + 3 = 0 . Hy xc nh ta cc nh ca tam gic d.
Gii:
10 8 6 4 2 2 4
2
0
M
B
C
A
Ta ca A l nghim ca h :{x 2y 2 = 02x+ 5y + 3 = 0
A(
4
9;7
9
)
V B AB B(2b+ 2; b), C AC C(c;2c 3
5
)M M l trung im ca BC nn theo cng thc trung im ta c2b+ 2 + c = 4b+ 2c 3
5= 4
b =
11
9
c =76
9
suy ra B
(40
9;11
9
), C
(769
;25
9
)Kt lun: VyA
(4
9;7
9
), B
(40
9;11
9
), C
(769
;25
9
)
Bi 75
Trong mt phng Oxy cho nh A(1;3) bit hai ng cao BH : 5x + 3y 25 = 0, CK :3x+ 8y 12 = 0 Hy xc nh ta cc nh B v C.
Gii:
55
-
2 2 4
4
2
2
4
6
0
A
B
C
Ta c ABCK Phng trnh cnh AB c dng: 8x 3y + c = 0V AB i qua A(1;3) nn 8 + 9 + c = 0 c = 1Do phng trnh AB : 8x 3y 1 = 0Ta ca B l nghim ca h phng trnh:{
8x 3y 1 = 05x+ 3y 25 = 0 B(2; 5)
Ta c ACBH nn phng trnh ca AC : 3x 5y +m = 0M AC i qua A(1;3) m = 12do phng trnh AC : 3x 5y 12 = 0 C(4; 0)Kt lun: B(2; 5), C(4; 0)
Bi 76
Trong mt phng Oxy cho hai ng thng d1 : x + 2y 3 = 0, d2 : 3x + y 4 = 0 ct nhau tiM(1, 1). Lp phng trnh ng thng d3 i qua im : A(2,1) ct d1, d2 ti cc im P,Q saocho : MP =
2MQ.
Gii:Trc tin ta xt im T (3; 0) d1 vi T 6= M.Xt im N(x1; 4 3x1) d2vi N 6= M.Trong T,N phi tha iu kin MT =
2MN.
T iu kin ny ta c c
MT 2 = 2MN2 5 = 2(10x21 20x1 + 10)
x1 = 12 y1 = 52x1 =
3
2 y1 = 7
2Mt khc ta c {
MT =
2MN
MP =
2MQ MT
MP=MN
MQ TN PQ (L Talet.)
Do d3 i qua A v song song vi TN .
Vy ta tm c 2 ng thng (d3) l x+ y + 3 = 0 hoc 7x+ 3y 11 = 0
56
-
MA
P
Q
Bi 77
Trong mt phng Oxy cho hai ng thng 1 : 2x 3y + 4 = 0,2 : 3x + 2y + 5 = 0 v imM(1; 1). Lp phng trnh ng thng i qua M v cng vi cc ng thng 1,2 to thnhmt tam gic cn.
Nhn xt: xt mt tam gic cn th ta phi ln lt xt 3 trng hp cn ti 3 nh. Nhng nunh th th bi ton s c th di v mt thi gian. V th ta hy c k bi xem c g c bit.
Gii:Ta nhn thy 1 2, do nu gi ng thng cn lp phng trnh l , A l giao im cang thng 1 v 2, B, C ln lt l giao im ca ng thng vi 1,2 th tam gic ABCvung cn ti A. Ni cch khc, ng thng l ng thng qua M(1; 1) v to vi 1 mt gcpi
4.
: y =2
3x+
4
3.
Gii s k l h s gc ca . Khi k 231 + 23k
= tan pi4 3k 23 + 2k
= 1[k1 = 5
k2 = 15
Vy c hai ng thng qua cn tm l: : y = 5x 4; : y = 15x+
6
5.
M
Bi 78
Trong mt phng Oxy cho 3 im A(3; 4) , B(1; 2) ,C(5; 0) .vit phng trnh ng thng d iqua A(3; 4) sao cho : d = 2d(B; d) + d(C; d) t gi tr ln nht.
Gii:
57
-
AB
C
d
Gi phng trnh ng thng qua A cn tm l : a(x 3) + b(y 4) = 0 (a2 + b2 6= 0) ()Ta c: d(B; ) =
| 2a 2b|a2 + b2
, d(C; ) =|2a 4b|a2 + b2
Do : A = 2d(B; ) + d(C; ) =| 4a 4b|
a2 + b2+|2a 4b|a2 + b2
=| 4a 4b|+ |2a 4b|
a2 + b2
Xt TH1: B v C cng pha vi () (4a 4b)(2a 4b) 0()Ta c:A =
| 2a 8b|a2 + b2
217 (1)
Du = xy ra a2 =b
8 a
1=b
4. Chn (a = 1; b = 4) tha mn ()
Vy phng trnh ng thng: x+ 4y 19 = 0.Xt TH2: B v C khc pha vi () (4a 4b)(2a 4b) 0 ():
Ta c: A =| 6a|a2 + b2
= d(I;) ( vi I(2 : 4))
Ta thy rng ng thng () qua A v chy t C n B ( do B v C khc pha vi () ) do d(I; ) max () qua A v vung gc vi Ox . Khi () : x = 3. v A = 1 (2)T (1) v (2) ta c Amax = 2
17.
Kt lun: Phng trnh ng thng: x+ 4y 19 = 0.
P/s: Cn nh |a|+ |b| = |a+ b| ab 0
Bi 79
Trong mt phng Oxy cho im I(2; 4) v 2 ng thng d1 : 2x y 2 = 0, d2 : 2x + y 2 = 0.Vit phng trnh ng trn tm I , ct d1 ti 2 im A,B v ct ng thng d2 ti 2 im C,D
tho mn AB + CD =16
5
Gii:
IH = d (I, d1) =25
; IK = d(I, d2) =65
; ID = IA = R;
KD + AH =85R2 4
5+
R2 36
5=
85
5R2 4 +
5R2 36 = 8 5R2 = 40 R = 2
2
(C) : (x 2)2 + (y 4)2 = 8Kt lun: Phng trnh ng trn (C):(x 2)2 + (y 4)2 = 8
58
-
Id1
d2
A
B
C
D
Bi 80
Trong mt phng Oxy cho tam gic ABC c A(8; 4), B(7;1), C(4; 6). Gi (C) l ng trnngoi tip tam gic ABC. Xc nh M thuc ng trn (C) sao cho
NANB min
Gii:*Nhn xt:V ta A,B,C xc nh nn AB, ACB l cc hng s bit.
(+) Trc ht ta xt N khc A,B. Ta cNANB = NA.NB. cos ANB (1)
M SNAB =1
2NA.NB. sin NAB =
1
2NA.NB. sin ACB NA.NB = 2SNAB
sin ACB(2)
Dy cung AB chia ng trn thnh 2 cung. Ta tnh c cosACB < 0 nn ACB l gc t. Khi :
+ Nu N thuc cung cha im C th cos ANB = cos ACB < 0 (3)
+ Nu N khng thuc cung cha im C th cos ANB = cos ACB > 0 (4)T (1), (2), (3), (4) ta c,
NANB min th
{cos ANB = cos ACB < 0
NA.NB max
Hay im N thuc cung AB cha im C sao cho SNAB max. Mt khc SNAB =1
2.d(N,AB).AB
Nn ta s tm im N thuc cung AB cha im C sao cho d(N,AB) max.
Tm li im N nm chnh gia cung AB cha im C. T tm c N
(2 +
17
2;3 3
17
2
).
(+) Trng hp N trng A hoc B thNANB > 0 nn b loi.
Kt lun: N
(2 +
17
2;3 3
17
2
)
59