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8/16/2019 8647-Módulo PMA N° 2, Algebra 2016 - SA-7%.pdf

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MÓDULO N° 2ÁLGEBRA

EVALUACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Evaluar una expresión algebraica consiste en sustituir las letras por los valores numéricosdados para luego realizar las operaciones indicadas. Esta sustitución va siempre entreparéntesis.

TÉRMINOS SEMEJANTES

Son aquellos que tienen idéntico factor literal, es decir tienen las mismas letras, y losmismos exponentes, sólo pueden diferir en el coeficiente numérico.

REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES

Para reducir términos semejantes basta sumar o restar sus coeficientes numéricos ymantener su factor literal.

USO DE PARÉNTESIS

En Álgebra los paréntesis se usan para agrupar términos y separar operaciones. Losparéntesis se pueden eliminar de acuerdo a las siguientes reglas:

Si un paréntesis es precedido de un signo +, este se puede eliminar sin variar lossignos de los términos que están dentro del paréntesis.

Si un paréntesis es precedido por un signo –, este se puede eliminar cambiando lossignos de cada uno de los términos que están al interior del paréntesis.

Si una expresión algebraica tiene términos agrupados entre paréntesis y ellos a su vez seencuentran dentro de otros paréntesis, se deben resolver las operaciones que anteceden alos paréntesis desde adentro hacia fuera.

EJEMPLOS

1. x – 4y – 2z + 4 – 2x + 3y – z – 3 =

A) -x + y – 3z – 1B) -x – y + 3z – 1C) -x – y – 3z + 1D) x – y + 3z + 1E) x – y – 3z + 1

C u r s o : Matemática

Material PMA N° 02-MOD


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2

2. a2b – 13

ab2 – 14

a2b + 23

ab2 – 1 =

A) 3

4ab2 +

1

3a2b – 1

B) 34

a4b2 + 13

a4b – 1

C) 34

ab2 – 13

a2b – 1

D) 3

4a2b + 1

3ab2 – 1

E) -3

4ab2 + 1

3a2b – 1

3. 3x – 2y – {x – [2x + (y – 3x) + 2x] – y} =

A) 5x – 2yB) 5xC) 3x + 4yD)

3x – 4yE) 3x


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OPERATORIA ALGEBRAICA

ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE POLINOMIOSPara sumar y/o restar polinomios se aplican todas las reglas de reducción de términossemejantes y uso de paréntesis.

MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS

MONOMIO POR MONOMIO:

Se multiplican los coeficientes numéricos entre sí y los factores literales entre sí, usandopropiedades de potencias. Al multiplicar tres o más monomios, se agrupan todos loscoeficientes numéricos y se multiplican entre sí; y los factores literales también seagrupan y se multiplican entre sí.

MONOMIO POR POLINOMIO:

Se multiplica el monomio por cada término del polinomio.

Es decir: a(b + c + d) = ab + ac + ad

POLINOMIO POR POLINOMIO:

Se multiplica cada término del primer polinomio por cada término del segundo polinomioy se reducen los términos semejantes, si los hay.

EJEMPLOS

1. Si A = 3m2 – m + 4 y B = -m2 + 3m – 5, entonces -2(A – B) =

A)

2m2 + 2m – 1

B) -4m2

– 4m + 2C) 4m2 – 4m + 9D) -8m2 + 8m – 18E)

8m2 – 8m + 18

2. (a + 1) (an – an + 1 + an + 2) =

A) an + a3n B) an – 2a2n C) an + an + 3 D) an – an + 3 E) -an + an + 3

3. (m – n) (m2 + mn + n2)

A) m3 + 2m2n – 2mn2 – n3 B) m3 + 2m2n + 2mn2 – n3 C)

m3 – 2mn2 – n3 D) m3 + 2m2n – n3 E) m3 – n3


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PRODUCTOS NOTABLES

CUADRADO DE BINOMIO

El cuadrado de un binomio es igual al cuadrado del primer término, más o menos eldoble producto del primero por el segundo término, más el cuadrado del segundotérmino.

EJEMPLOS

1. (1 + 3x)2 =

A) 1 + 9x2 B) 6x + 1 + 3x2 C) 6x + 1 + 9x2 D) 1 + 3x + 9x2 E) 1 + 3x + 3x2

2. (3 – 2i)2 =

A) 13 – 12iB) 5 – 12iC) 9 – 8iD)

9 – 4iE) 5 – 6i

3. (a2n – a-2n)2 =

A) 2a4n B) a4n + a-4n

C)

2 24n -4na + a 2

D) a4n

+ a-4n

– 2E) a4n – a-4n – 2

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2


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5

SUMA POR DIFERENCIA

El producto de la suma por la diferencia entre dos términos es igual al cuadrado del primertérmino menos el cuadrado del segundo término.

BINOMIOS CON TÉRMINO COMÚN

El producto de dos binomios con un término común es igual al cuadrado del término común,más el producto del término común con la suma algebraica de los otros dos términos, más elproducto de los términos no comunes.

EJEMPLOS

1. (5a2 – b)(5a2 + b) =

A)

25a4 – bB) 25a4 – b2 C) 25a2 – b2 D) 5a4 – b2 E) 25a4 – 10a2b – b2

2. (5m – 2n)(5m + 2n) =

A) 52m – 42n B) 252m – 42n C) 52m – 2n D) 252m – 22n E) 25m – 22n

3. Si P =

23x + 12

y Q =

23

- x + 12

, entonces P – Q =

A) - 2x2

9

B) -6xC) 6xD) 0E) 2

(x + y)(x – y) = x2 – y2

(x + a) (x + b) = x2 + (a + b)x + ab


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CUADRADO DE TRINOMIO

CUBO DE BINOMIO

EJEMPLOS

1. (x + y – 2)2 =

A) x2 + y2 – 4B) x2 + y2 + 4C) x2 + y2 + 4 + 2xy + 4x + 4yD) x2 + y2 + 4 + 2xy + 4x – 4yE)

x2 + y2 + 4 + 2xy – 4x – 4y

2. (x + 1)3 =

A)

x3 + 1B) x3 + x2 + 1C) x3 + x2 + x + 1D) x3 + 3x2 + 3x + 1E) x3 + 3x2 + x + 1

3. (x2 – y2)3 =

A) x6

– y6

B) x6 – x4y2 + x2y4 – y6 C) x6 – 3x4y2 + 3x2y4 – y6 D) x5 – 3x4y2 + 3x2y4 – y5 E) x6 – 3x2y + 3xy2 – y6

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc

(a b)3 = a3 3a2b + 3ab2 b3


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FACTORIZACIÓN

FACTORIZAR

Es el proceso de escribir un polinomio como producto de sus factores.

FACTOR COMÚN

MONOMIO:

BINOMIO:

EJEMPLOS

1. a – 2 – x(a – 2) =

A) -xB) -x(a – 2)C) -2x(a – 2)D) (1 – x)(a – 2)E) (1 + x)(a – 2)

2. c(1 – x) + c2x(1 – x) =

A) c(c + x)(1 – x)B) c(1 – x)(1 + cx)C) 2c3x(1 – x)D) c3x(1 – x)E) c2x(1 – x)

3. Al factorizar la expresión 4a – ab – 8a2 + 2a2b se obtiene

A) 2a(2 – b – 2a + ab)B) a(4 – b)(8a + 2b)C) a(4 – b – 8a – 2ab)D) a(4 – b)(1 – 2a)E) a(4 – b)(1 + 2a)

ac + ad = a(c + d)

(a + b)c + (a + b)d = (a + b)(c + d)


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DIFERENCIA DE CUADRADOS:

DIFERENCIA DE CUBOS:

SUMA DE CUBOS:

EJEMPLOS

1. a3 + 1 =

A) (1 – a)(1 – a + a2)B) (1 + a)(1 + a + a2)C) (1 + a)(a2 – a + 1)D)

(1 – a)(1 + a + a2)E) (a +1)(a2 – 2a + 1)

2. x2 – 2

1

w =

A) 2

1x

w

B) 1 1x + xw w

C) 1 1x + x +w w

D) 1 1x xw w

E) 1 1

x x +w w

3. Si a b = 2a – b y a b = 2a + b, entonces (p q)2 – (p q) · (p q) =

A) 2q2 – 2pqB) 2q2 – 4pqC) -4pqD) -2pqE) 0

a2 – b2 = (a + b) (a – b)

a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2)

a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2)


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9

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO:

TRINOMIO DE LA FORMA:

TRINOMIO DE LA FORMA:

EJEMPLOS

1. Al factorizar x2 – x – 12 se obtiene

A) (x + 6) (x – 2)B) (x – 4) (x – 3)C)

(x – 6) (x + 2)D) (x + 4) (x – 3)E) (x + 3) (x – 4)

2. 2x2 + 5x + 2 =

A) (2x + 1)(2x + 4)B) (2x + 1)(x + 4)C)

(x + 1)(2x + 4)D) (2x + 1)(x + 2)E) (x + 1)(2x + 2)

3. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es (son) equivalente(s) a 6x2 – 5x – 6?

I) (3 – 2x)(-2 + 3x)II) (2x – 3)(3x + 2)

III) (3 – 2x)(-3x – 2)

A) Solo IB) Solo IIC) Solo IIID) Solo II y IIIE) I, II y III

a2 2ab + b2 = (a b)2

x2 + px + q = (x + a) (x + b) con p = a + b, q = ab

ax2 + bx + c =(ax+p)(ax +q)

a con b = p + q, ac = pq


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FACTORIZACIÓN POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS

Para factorizar polinomios de cuatro o más términos, éstos se deben agruparconvenientemente de manera de hacer factorizaciones parciales y llegar a una factorizaciónfinal.

OBSERVACIÓN: Los casos anteriores de factorización nos conducen a la siguiente estrategiageneral para factorizar un polinomio.

1. Intente factor común.2. Cuente los términos del polinomio.2.1. Si tiene 2 términos, intente: suma por diferencia, suma de cubos o restas de cubos.2.2. Si tiene 3 términos, intente cuadrado de binomio inicialmente, si no, aplique trinomios

que no son cuadrados.2.3. Si tiene más de 3 términos agrupe convenientemente.

EJEMPLOS

1. ax + ay + bx + by =

A) ab(x + y)B)

xy(a + b)C) (2a + 2b)(x + y)D) (2x + 2y)(a + b)E) (a + b)(x + y)

2. a2 + 3a + ac + 3c =

A) (3 + a)(c + a)B) (a – 3)(a – c)C) (a + 3)(a – c)D) (c – a)(c – 3)E) (c – 3)(c + a)

3. a2 – b2 – c2 + 2bc =

A) b(a + 1) + a(b + c)B) a(b + c) – b(a – c)C) (a + b – c)(a – b + c)D) (a + b + c)(a – b – c)E) (a – b – c)(a – b + c)


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FRACCIÓN ALGEBRAICA

Se llama fracción algebraica a toda expresión de la forma P(x)Q(x)

, donde P(x) y Q(x) son

polinomios. La variable x puede tomar cualquier valor real, siempre que no anule al

denominador.SIMPLIFICACIÓN DE UNA FRACCIÓN ALGEBRAICA

Para ello se debe considerar lo siguiente:

Si el numerador y el denominador son monomios, se cancelan los factores comunes. Si el numerador y/o denominador no son monomios, se factoriza el numerador y/o el

denominador y se cancelan los factores comunes.

EJEMPLOS

1.2

2

x 9

x 7x + 12

=

A) -9-7x + 12

B)

x 3

x 4

C)

x 9

x 5

D) x + 3x 4

E) x 3x + 4

2.2

2

3x x 2

x + 2x 3

=

A) 3x 2x + 3

B) 3x 2x 3

C)

x 3

x + 3

D)

3x + 2

x 3

E) 3x + 2x + 3


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12

3.3 3

2 2

x y

5x + 5xy + 5y

=

A) x y

5

B) x – y

C) x + y5

D) x + y5xy + 10

E) x2 + y2


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MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS

SiA

B y

C

D son fracciones algebraicas, donde B 0 y D 0, entonces:

La multiplicación

A

B .

C

D =

A · C

B · D

La divisiónA

B :

C

D=

A · D

B · C (C 0)

EJEMPLOS

1.2 2

2 2

x + x 2 x x 12 .

x 2x 8 x + 5x + 6

=

A) x + 1x 2

B) x + 2x 4

C) x 1x + 2

D) x 4x + 2

E) x 1x + 3

2.2

2

6x 5x 6 3x + 2 :

x 1 1 x

=

A) (2x – 3)(x + 1)B) (3 – 2x)(x + 1)C) (2x – 3)(-1+ x)D) (-2x – 3)(x + 1)E) (2x + 3)(x + 1)

3. La expresión3 3a b

a + b

: (a2 + ab + b2) es equivalente a

A) a ba + b

B) 2 2

2 2

a + b

a ab + b

C) 2 2

2 2

a b

a ab + b

D) a + ba b

E) a2 – b2


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ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS

En la adición o sustracción de fracciones algebraicas, tal como en las fracciones numéricas,pueden ocurrir dos casos:

Fracciones de igual denominador

SiB

A y

B

C son fracciones algebraicas, donde B 0, entonces

B

A

B

C =

B

CA

Fracciones de distinto denominador

SiB

A y

D

C son fracciones algebraicas, donde B 0 y D 0, entonces

B

A

C

D =

AD BC

BD

EJEMPLOS

1. Para p 0,2

3 5

1 1 + p

p p =

A) 2

5

2p 1

p

B) 5

1

p

C) 3

1

p

D) 0

E) -5

1

p

2. Al sumar nn + 1

y n + 1n

, con n entero positivo, se obtiene

A) 22n + 2n + 1

n(n + 1)

B)

2

n + 2n + 1n + 1

C) 2n + 2n + 1

n(n + 1)

D) 22n + 1

n(n + 1)

E) 2n + 1

n + 1


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15

3. Para x 5,2

x + 3 8x + 40

x 5 x 25

=

A) 2

2

x 8x 25

x 25

B) 2

-7x 37

-x + x + 20

C) 2

2

x + 55

x 25

D) x + 5x 5

E) 1

RESPUESTAS EJEMPLOS

EjemplosPágs. 1 2 3

1 y 2 C D E

3 D C E

4 C B D

5 B E C

6 E D C

7 D B D

8 C E B

9 E D D

10 E A C

11 y 12 D E A

13 C B A

14 y 15 E A E


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EJERCICIOS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE

1. Si t – 7 = 8, entonces la diferencia entre t2 y 42, en ese orden, es igual a

A) -15

B) 209C) 22D) 121E)

217(Fuente: DEMRE P.S.U. 2012)

2. Si T = 2m – 6n, entonces, -2T es igual a

A) -4m + 12nB) 4m – 12nC) -4m – 12nD) m – 3n

E) -m + 3n(Fuente DEMRE: P.S.U. 2012)

3. Si x 0, ¿cuál de las siguientes expresiones es equivalentes a x – x-1?

A) x 1x

B) 0C) x2 – 1

D) 2x 1

x

E) 2x(Fuente: DEMRE: P.S.U. 2012)

4. Si m y n pertenecen a los números enteros positivos, donde m < n, ¿cuál de las

siguientes expresiones es mayor quem

n?

I) m n

n

II) m + n

n

III) nn + 1

A) Solo IB) Solo IIC) Solo IIID) Solo I y IIE) Solo II y III

(Fuente DEMRE: P.S.U. 2012)


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17

5. Si 6 – 2x = 14, entonces x – x2 es igual a

A) -20B) -10C) -30D) 10

E) 30 (Fuente DEMRE: P.S.U. 2009)

6. Si 3,6x = 36 y 4,8 · 100 = w, entonces x · w es igual a

A) 48B) 480C) 4.800D) 48.000E) ninguno de los valores anteriores.

(Fuente: DEMRE P.S.U. 2012)

7. Si x e y son dos números reales positivos, tal que x2 + y2 = 6xy con x mayor que y,

¿cuál es el valor de la expresión x + yx y

?

A) 2 2

B) 2

C) 2 2 D) 2E) Ninguno de los anteriores

(Fuente: DEMRE P.S.U. 2012)

8. La figura 1 está formada por dos rectángulos. ¿Cuál(es) de las siguientes expresionesrepresenta(n) el perímetro de la región achurada?

I) 2x + 2(x +z)II) 2x + 2z + 2w

III) x + y + 2(z + w)

A) Solo IB) Solo IIC)

Solo IIID) Solo I y IIE) I, II y III

y

z

x

w

fig. 1


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18

9. Si 15x2 + 14x – 8 = (5x + a)(3x + b), entonces los valores de a y b son,respectivamente,

A) -1 8B) 8 -1

C) 2 4D) -2 4E) 2 -4

10. x4 – 20x2 + 64 =

A) (x + 4)(x + 4)(x + 2)(x + 2)B) (x – 4)(x – 4)(x – 2)(x – 2)C) (x – 4)(x + 4)(x – 2)(x – 2)D) (x – 4)(x + 4)(x + 2)(x + 2)

E) (x – 4)(x + 4)(x – 2)(x + 2)

11. Al factorizar m2 – n2 – m – n se obtiene

A) (m – n) (m2 + n2)B) (m + n) (m – n – 1)C) (m – n) (m – n – 1)D) (m + n) (m – n + 1)E) (m – n) (m – n + 1)

12. 1012 + 1002 – 992=

A) 1022 B) 1042 C) 10.004D) 10.400E) 30.600

13. Si x = 2 , entonces el valor de la expresión (x – 2)2(x – 1)2(x + 1)2(x + 2)2 es

A) 6B) 5C) 4D) 3E) 2


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19

14. 2

1

(x 1):

2

1

(1 x) =

A) 2 2

1

(x 1)

B) 2

1

1 x

C) -1D) 1E) no se puede determinar.

15. Al efectuar la suma c b a + +ab ac bc

, con abc 0, se obtiene

A) a + b + cab + ac + bc

B) a + b + cabc

C) 2 2 2

a + b + c

a b c

D) 2 2 2a + b + c

abc

E) 2 2 2

2 2 2

a + b + c

a b c

16. Si i es la unidad imaginaria entonces la expresión 2 2a + ba bi

es equivalente con

A) a – biB) a + biC) -a + biD) -a – biE) a + b

17. Sean a y b números reales, se puede determinar que las expresiones (a + b) 2 y(a – b)2 representan números reales iguales, si se sabe que:

(1) a = 0

(2) ab = 0

A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional


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20

18. Si p es un número entero, la expresión (p + 1)2 representa un número par positivo, si:

(1) p ≠ -1(2) p es impar.

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E)

Se requiere información adicional

19. Si a y b son números enteros positivos, la expresión2a + b

a representa a un número

entero, si:

(1) a2 + b es número entero.

(2) a

b es un número entero.

A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC)

Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional

20. Se puede calcular el valor numérico de,2 2

2 2 2

a 2ab + b

(a b )

, con a b, si se conoce el valor

de:

(1) a + b(2) a – b

A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional

RESPUESTASEJERCICIOS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE

DMDS-PMA-M02

1. B 6. C 11. B 16. B2. A 7. B 12. D 17. D3. D 8. B 13. C 18. C4.

E 9. D 14. D 19. B5. A 10. E 15. D 20. A

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