TEXTO UNIVERSITARIO LA PRUEBA DE FRIEDMAN PARA K MUESTRAS

(MUESTRAS APAREADAS)

UNIVERSIDAD NACIONAL AGRARIA DE LA SELVA

FACULTAD DE CIENCIAS ECONMICAS Y ADMINISTRATIVAS

DEPARTAMENTO ACADMICO DE CIENCIAS ECONMICAS

LA PRUEBA DE FRIEDMAN PARA K MUESTRAS (MUESTRAS APAREADAS) Estadstica No Paramtrica

Daniel Guzmn Rojas

1

LA PRUEBA DE FRIEDMAN PARA K MUESTRAS

(MUESTRAS APAREADAS)

Esta prueba puede considerarse como una extensin de la prueba de Wilcoxon para el

caso de ms de dos muestras. La prueba de Friedman, propuesta por el ganador del

premio Nobel, el economista Milton Friedman, es una prueba no parametrica para com-

parar las distribuciones de las mediciones de k tratamientos apareados, dispuestos en n bloques, utilizando un diseo de bloques aleatorizados.

Cuando el nmero de k de tratamientos o el nmero n de bloques es mayor que 5, la distribucin muestral de coeficiente calculado de la prueba de la prueba de Friedman puede aproximarse mediante la distribucin Chi Cuadrada con (k-1) grados de libertad.

PROCEDIMIENTO

1. El primer procedimiento es ordenar las k observaciones de los tratamientos dentro de cada bloque.

2. Asignar el rango de 1 a la observacin ms pequea de cada bloque. Cuando las

observaciones son iguales, se asigna el rango promedio a cada una de ellas.

3. Se obtiene por separado la suma de los rangos C1, C2,, Ck para cada una de las

muestras.

4. Se calcula el estadstico de prueba 2cX :

3

1 1

21

1

n K

ik ik

i k

t t

Lnk k

2

12

123 1

1

k

i

i

c

C n knk k

XL

5. Calcular los rangos de libertad: 1 kgl .

6. Comparar el estadstico 2 1;kX , de acuerdo con los grados de libertad, en la ta-

bla de distribucin de Chi-cuadrada en razn de distribuirse de forma similar.

ESTABLECIENDO LAS HIPTESIS

Las hiptesis nula y alternativa pueden designar pruebas de uno o de dos criterios de

calificacin. Utilizando 1Med para representar la mediana 1, 2Med para representar la

mediana 2, , kMed para representar la mediana k.

Las hiptesis nula y alternativa para la prueba son:

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Daniel Guzmn Rojas

2

H0: kMedMedMed 21

Ha: kMedMedMed 21

EJEMPLO

Suponga que se quiere comparar las clasificaciones de los consumidores de seis dife-

rentes anuncios televisivos. Cuatro consumidores clasificaron cada anuncio en una es-

cala de 1 (malo) a 10 (excelente). El objetivo del experimento es determinar si existen

diferencias en los niveles de clasificacin para los seis anuncios. Se presentan los da-

tos en la tabla. Utilice la prueba de Friedman para determinar si los datos presentan

suficiente evidencia para indicar diferencias en las clasificaciones de los seis anuncios

televisivos, utilizando un nivel de significancia del 5%.

Clasificaciones para los anuncios

SUJETO ANUNCIO

A B C D E F

1 5 8 7 6 4 5

2 6 10 6 7 4 4

3 8 10 9 9 6 7

4 4 6 7 5 3 5

Rangos

SUJETO

ANUNCIO

A B C D E F

1 2.5 6 5 4 1 2.5

2 3.5 6 3.5 5 1.5 1.5

3 3 6 4.5 4.5 1 2

4 2 5 6 3.5 1 3.5

Rk= 11 23 19 17 4.5 9.5

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1) HIPOTESIS:

H0: A B C D E FMed Med Med Med Med Med

Ha: A B C D E FMed Med Med Med Med Med

2) NIVEL DE SIGNIFICANCIA: =0.05.

3) REGIN DE RECHAZO:

4) DETERMINACIN DE 2cX :

3 3 3 3 3

2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 0.964286

4 6 6 1L

2 2 2 2 2 2

2

1211 23 19 17 4.5 9.5 3 4 6 1

4 6 6 117.3704

0.964286cX

5) CONCLUSION: Como 2cX es mayor que 2

5;0.05X (17.3711.07), entonces se acepta

la Ha, es decir, los seis anuncios tienen diferencias en las clasificaciones, a un

nivel de significancia del 5%.

2

5;0.05 11.07X

0.950.95

0.05

Se

acepta

Ha

Se

acepta

H0

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METODO DE PROBABILIDAD

1) HIPOTESIS:

H0: A B C D E FMed Med Med Med Med Med

Ha: A B C D E FMed Med Med Med Med Med

2) NIVEL DE SIGNIFICANCIA: =0.05.

3) REGIN DE RECHAZO:

4) DETERMINACIN DE 2cX :

3 3 3 3 3

2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 0.964286

4 6 6 1L

2 2 2 2 2 2

2

1211 23 19 17 4.5 9.5 3 4 6 1

4 6 6 117.3704

0.964286cX

2 17.3704 0.003848P X

5) CONCLUSION: Como 2 17.3704 0.003848P X es menor que 05.0 , en-

tonces se acepta la Ha, es decir, los seis anuncios tienen diferencias en las cla-

sificaciones, a un nivel de significancia del 5%.

2

5;0.05 11.07X

0.950.95

0.05

Se

acepta

Ha

Se

acepta

H0

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Daniel Guzmn Rojas

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PRUEBA DE WILCOXON PARA COMPARACIONES MLTIPLES (POR PARES)

Clasificaciones anuncios,

ordenado la mediana de mayor a menor

SUJETO ANUNCIO

B C D A F E

1 8 7 6 5 5 4

2 10 6 7 6 4 4

3 10 9 9 8 7 6

4 6 7 5 4 5 3

MEDIANA 9.00 7.00 6.50 5.50 5.00 4.00

MEDIANAi MEDIANAj MEDi - MEDj zc z0.05 P[z>zc]

B C 2.00 1.1339 1.645 0.1284

B D 2.50 1.8411 1.645 0.0328

B A 3.50 1.8411 1.645 0.0328

B F 4.00 1.8411 1.645 0.0328

B E 5.00 1.8411 1.645 0.0328

C D 0.50 -0.1841 1.645 0.5730

C A 1.50 0.3651 1.645 0.3575

C F 2.00 2.0000 1.645 0.0228

C E 3.00 1.8411 1.645 0.0328

D A 1.00 2.0000 1.645 0.0228

D F 1.50 0.3651 1.645 0.3575

D E 2.50 1.8570 1.645 0.0317

A F 0.50 -0.1841 1.645 0.5730

A E 1.50 1.8570 1.645 0.0317

F E 1.00 0.3682 1.645 0.3564

Se puede concluir que los anuncios B y C son mejores, por cuanto la

0.1284 0.05cP z z (las medianas son iguales para B y C) y las comparaciones del

anuncio B con los anuncios A, F y E respectivamente, sus 0.05cP z z (sus medianas

son diferentes); pero se puede observar que la comparacin de C con D y C con A res-

pectivamente, sus 0.05cP z z (sus medianas son iguales), por lo tanto, el anuncio B

es mejor que el resto de anuncios.