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TEXTO UNIVERSITARIO LA PRUEBA DE FRIEDMAN PARA K MUESTRAS
(MUESTRAS APAREADAS)
UNIVERSIDAD NACIONAL AGRARIA DE LA SELVA
FACULTAD DE CIENCIAS ECONMICAS Y ADMINISTRATIVAS
DEPARTAMENTO ACADMICO DE CIENCIAS ECONMICAS
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LA PRUEBA DE FRIEDMAN PARA K MUESTRAS (MUESTRAS APAREADAS) Estadstica No Paramtrica
Daniel Guzmn Rojas
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LA PRUEBA DE FRIEDMAN PARA K MUESTRAS
(MUESTRAS APAREADAS)
Esta prueba puede considerarse como una extensin de la prueba de Wilcoxon para el
caso de ms de dos muestras. La prueba de Friedman, propuesta por el ganador del
premio Nobel, el economista Milton Friedman, es una prueba no parametrica para com-
parar las distribuciones de las mediciones de k tratamientos apareados, dispuestos en n bloques, utilizando un diseo de bloques aleatorizados.
Cuando el nmero de k de tratamientos o el nmero n de bloques es mayor que 5, la distribucin muestral de coeficiente calculado de la prueba de la prueba de Friedman puede aproximarse mediante la distribucin Chi Cuadrada con (k-1) grados de libertad.
PROCEDIMIENTO
1. El primer procedimiento es ordenar las k observaciones de los tratamientos dentro de cada bloque.
2. Asignar el rango de 1 a la observacin ms pequea de cada bloque. Cuando las
observaciones son iguales, se asigna el rango promedio a cada una de ellas.
3. Se obtiene por separado la suma de los rangos C1, C2,, Ck para cada una de las
muestras.
4. Se calcula el estadstico de prueba 2cX :
3
1 1
21
1
n K
ik ik
i k
t t
Lnk k
2
12
123 1
1
k
i
i
c
C n knk k
XL
5. Calcular los rangos de libertad: 1 kgl .
6. Comparar el estadstico 2 1;kX , de acuerdo con los grados de libertad, en la ta-
bla de distribucin de Chi-cuadrada en razn de distribuirse de forma similar.
ESTABLECIENDO LAS HIPTESIS
Las hiptesis nula y alternativa pueden designar pruebas de uno o de dos criterios de
calificacin. Utilizando 1Med para representar la mediana 1, 2Med para representar la
mediana 2, , kMed para representar la mediana k.
Las hiptesis nula y alternativa para la prueba son:
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LA PRUEBA DE FRIEDMAN PARA K MUESTRAS (MUESTRAS APAREADAS) Estadstica No Paramtrica
Daniel Guzmn Rojas
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H0: kMedMedMed 21
Ha: kMedMedMed 21
EJEMPLO
Suponga que se quiere comparar las clasificaciones de los consumidores de seis dife-
rentes anuncios televisivos. Cuatro consumidores clasificaron cada anuncio en una es-
cala de 1 (malo) a 10 (excelente). El objetivo del experimento es determinar si existen
diferencias en los niveles de clasificacin para los seis anuncios. Se presentan los da-
tos en la tabla. Utilice la prueba de Friedman para determinar si los datos presentan
suficiente evidencia para indicar diferencias en las clasificaciones de los seis anuncios
televisivos, utilizando un nivel de significancia del 5%.
Clasificaciones para los anuncios
SUJETO ANUNCIO
A B C D E F
1 5 8 7 6 4 5
2 6 10 6 7 4 4
3 8 10 9 9 6 7
4 4 6 7 5 3 5
Rangos
SUJETO
ANUNCIO
A B C D E F
1 2.5 6 5 4 1 2.5
2 3.5 6 3.5 5 1.5 1.5
3 3 6 4.5 4.5 1 2
4 2 5 6 3.5 1 3.5
Rk= 11 23 19 17 4.5 9.5
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LA PRUEBA DE FRIEDMAN PARA K MUESTRAS (MUESTRAS APAREADAS) Estadstica No Paramtrica
Daniel Guzmn Rojas
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1) HIPOTESIS:
H0: A B C D E FMed Med Med Med Med Med
Ha: A B C D E FMed Med Med Med Med Med
2) NIVEL DE SIGNIFICANCIA: =0.05.
3) REGIN DE RECHAZO:
4) DETERMINACIN DE 2cX :
3 3 3 3 3
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 0.964286
4 6 6 1L
2 2 2 2 2 2
2
1211 23 19 17 4.5 9.5 3 4 6 1
4 6 6 117.3704
0.964286cX
5) CONCLUSION: Como 2cX es mayor que 2
5;0.05X (17.3711.07), entonces se acepta
la Ha, es decir, los seis anuncios tienen diferencias en las clasificaciones, a un
nivel de significancia del 5%.
2
5;0.05 11.07X
0.950.95
0.05
Se
acepta
Ha
Se
acepta
H0
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Daniel Guzmn Rojas
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METODO DE PROBABILIDAD
1) HIPOTESIS:
H0: A B C D E FMed Med Med Med Med Med
Ha: A B C D E FMed Med Med Med Med Med
2) NIVEL DE SIGNIFICANCIA: =0.05.
3) REGIN DE RECHAZO:
4) DETERMINACIN DE 2cX :
3 3 3 3 3
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 0.964286
4 6 6 1L
2 2 2 2 2 2
2
1211 23 19 17 4.5 9.5 3 4 6 1
4 6 6 117.3704
0.964286cX
2 17.3704 0.003848P X
5) CONCLUSION: Como 2 17.3704 0.003848P X es menor que 05.0 , en-
tonces se acepta la Ha, es decir, los seis anuncios tienen diferencias en las cla-
sificaciones, a un nivel de significancia del 5%.
2
5;0.05 11.07X
0.950.95
0.05
Se
acepta
Ha
Se
acepta
H0
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LA PRUEBA DE FRIEDMAN PARA K MUESTRAS (MUESTRAS APAREADAS) Estadstica No Paramtrica
Daniel Guzmn Rojas
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PRUEBA DE WILCOXON PARA COMPARACIONES MLTIPLES (POR PARES)
Clasificaciones anuncios,
ordenado la mediana de mayor a menor
SUJETO ANUNCIO
B C D A F E
1 8 7 6 5 5 4
2 10 6 7 6 4 4
3 10 9 9 8 7 6
4 6 7 5 4 5 3
MEDIANA 9.00 7.00 6.50 5.50 5.00 4.00
MEDIANAi MEDIANAj MEDi - MEDj zc z0.05 P[z>zc]
B C 2.00 1.1339 1.645 0.1284
B D 2.50 1.8411 1.645 0.0328
B A 3.50 1.8411 1.645 0.0328
B F 4.00 1.8411 1.645 0.0328
B E 5.00 1.8411 1.645 0.0328
C D 0.50 -0.1841 1.645 0.5730
C A 1.50 0.3651 1.645 0.3575
C F 2.00 2.0000 1.645 0.0228
C E 3.00 1.8411 1.645 0.0328
D A 1.00 2.0000 1.645 0.0228
D F 1.50 0.3651 1.645 0.3575
D E 2.50 1.8570 1.645 0.0317
A F 0.50 -0.1841 1.645 0.5730
A E 1.50 1.8570 1.645 0.0317
F E 1.00 0.3682 1.645 0.3564
Se puede concluir que los anuncios B y C son mejores, por cuanto la
0.1284 0.05cP z z (las medianas son iguales para B y C) y las comparaciones del
anuncio B con los anuncios A, F y E respectivamente, sus 0.05cP z z (sus medianas
son diferentes); pero se puede observar que la comparacin de C con D y C con A res-
pectivamente, sus 0.05cP z z (sus medianas son iguales), por lo tanto, el anuncio B
es mejor que el resto de anuncios.