9-aplikasi flow analysis(1)
DESCRIPTION
materi kuliah tentang aplikasi analisis aliran dalam dinamika fluidaTRANSCRIPT
APLIKASI FLOW ANALYSIS
Begin
Boundary layer
calculation
Pressure
Outer flow
streamlines
Surface
pressure
distribution
Potential
flow calculation
Surface shear
stress distribution
Useful flow
solution
Boundary layer
thickness
Review potential flow
Velocity potential & stream function
External flow
Φ Φ Φ Φ Φ Φ
Φ Φ Φ Φ Φ
ψ ψ ψ ψ
Internal flow
ψ ψ ψ ψ
Φ Φ Φ Φ Φ
Streamline
• Sebuah garis/kurva dalam fluida yang nilai
tangen-nya paralel dengan pada
sembarang waktu t.
• Group streamline pada waktu t adalah solusi
dari
• Dimana adalah komponen
kecepatan pada arah yang bersesuaian.
u
),(),(),( tru
dz
tru
dy
tru
dx
zyx
zyx uuu
dan,,
• Steady flow : streamline tetap dalam ruang
sepanjang waktu.
• Unsteady flow : streamline berubah dari waktu ke
waktu.
• Streamline : curve dimana di
setiap titik nilai tangen-nya
sejajar terhadap vektor
kecepatan lokal.
• Perhatikan busur:
• harus parallel dengan local
velocity vector
• Akan menghasilkan
persamaan untuk streamline
dr dxi dyj dzk
V ui vj wk
dr dx dy dz
V u v w
dr
Contoh:
Untuk medan kecepatan yang sama di
atas, plot beberapa streamline dalam
separo kanan aliran (x > 0) dan
bandingkan dengan velocity vector.
dimana C adalah constanta
dari integrasi yang dapat diset
untuk nilai yang berbeda-beda
untuk mendapatkan streamline.
NASCAR surface pressure contours
and streamlines
Airplane surface pressure contours,
volume streamlines, and surface
streamlines
Potential flow
xu
yv
v
u
y
x
dx
dy
/
/
0
y
v
x
u0
2
2
2
2
yx
Stream function
yu
xv
0
y
u
x
v0
2
2
2
2
yx
u
v
u
v
y
x
dx
dy
/
/
Untuk menyelesaikan Φ dan ψ diperlukan boundary condition.
y or r
x
u = V∞
u = V∞
u = V∞ = konstan
n
s
nsVn
snVs
xu
)( plane
y
)(
1icaxisymmetr
rr
s
tetapV
Vorticity dan Rotationality
• Vorticity vector didefinisikan sebagai curl dari velocity vector , a measure of rotation of a fluid particle.
• Vorticity sama dengan dua kali angular velocity sebuah partikel fluida. Cartesian coordinate
Cylindrical coordinate
• Di daerah dimana z = 0, flow dikatakan irrotational.
• Kondisi yang lain, flow disebut rotational.
Vz
w v u w v ui j k
y z z x x yz
1 z r z rr z
ruuu u u ue e e
r z z r r
z
Contour plot dari vorticity field zz
Daerah yang gelap
menunjukkan large
negative vorticity, dan
daerah yang terang
menunjukkan large
positive vorticity.
Perbandingan Dua Circular Flow Kasus khusus: lihat dua flow dengan circular streamline
2
0,
1 10 2
r
rz z z
u u r
rru ue e e
r r r r
z
0,
1 10 0
r
rz z z
Ku u
r
ru Kue e e
r r r r
z
Contoh soal:
Tunjukkan bahwa velocity potential Φ dan stream
function ψ berikut memenuhi persamaan kontinuitas
dan kondisi irrotational.
cos2
r
RrV Rr
sin2
r
RrV Rr
Buktikan juga akan berlaku untuk boundary conditions:
0rV Rr
cosVVrr
sin VV r
pada
pada
pada
Penyelesaian:
Pada koordinat polar, karena digunakan r dan θ
aliran dua dimensi.
(Terbukti)
Substitusi Φ ke persamaan di atas didapat:
01
2
2
rrr
r
0cos1
cos12
2
2
r
RrV
rr
RrV
r
0cos1cos12
2
2
2
r
RV
r
RV
00
Untuk ψ persamaan kontinuitas:
01
2
2
rrr
r
0sin1
sin12
2
2
r
RrV
rr
RrV
r
Substitusi ψ ke persamaan di atas didapat:
0sin1sin12
2
2
2
r
RV
r
RV
(Terbukti) 00
Kondisi irrotational untuk bidang datar pada koordinat
polar:
01
rz VrV
rr z
cos12
2
r
RV
rVr
sin
1 2
r
Rr
r
V
rV
z cos1
1sin
12
2
2
2
r
RV
rr
RrV
rrz
sin1
1sin1
12
2
2
2
r
RV
rr
RV
r
0zz (Terbukti)
Hasil yang sama untuk Vr dan Vθ dicari dari ψ:
cos12
2
r
RV
cos
112
2
r
RrV
rrVr
sin12
2
r
RV
rV
rVr
rVr
1
rV
1
rV
Pada boundary condition :
Pada r = R:
RrRr
rr
RV
rV
cos1
2
2
0rV
RrRr
rr
Rr
r
V
rV
cos
1 2
0rV
cosVVrcosVVr
rr
rr
RV
rV
cos1
2
2
Pada r ∞:
rr
rr
Rr
r
V
rV
cos
1 2
rrr
Rr
r
V
rV
sin
1 2
sin VV
rr
RV
rV
sin1
2
2
sin VV
Plane potential flow dari Singularitas Singularitas sebuah titik di mana persamaan atur
tidak terpenuhi.
Pada titik ini fluida mempunyai vortisitas tak
terhingga. Massa dapat diciptakan atau dimusnahkan.
Ini merupakan cara matematis untuk menghasilkan
aliran yang realistis.
Sebagi contoh singularitas adalah: source dan sink
serta line vortex.
+ x
y
r
θ Source terletak
pada titik asal.
Source menghasilkan volume rate konstan, λ (source
strength). Fluida mengalir secara radial keluar dari
source seragam ke segala arah. Streamline searah garis
radial. Arah kecepatan juga radial, bervariasi terhadap
radius.
Untuk menghitung kecepatan persamaan integral
kontinuitas:
rVr
2
2
0
rdVQ r
rrV2
0V
Vr tidak tergantung pada θ
Plane source
02
10
11
rrV
rrV
rrr
rrrVr
2
1
0 r
Dari persamaan kontinuitas:
kecuali
0
11
z r
z
V
rr
rV
r
Irrotationalitas:
Untuk memperoleh velocity potential
dan stream function:
Mengitegralkan:
Cr ln2
C
2
Pada umumnya nilai C = 0
222cos
yx
xVu r
sourcek sin
Plane source
Sink negative source.
Dalam koordinat rectangular:
Jika source/sink tidak terletak pada titik asal
(pada (a,b)):
x
y1tan2
222 byax
axu
22ln4
yx
222sin
yx
yVv r
Line vortex karena Φ dan ψ diset dalam garis
ortogonal, potential flow yang baru diperoleh dengan cara
menukar posisi Φdan ψ.
2
rln2
Line vortex
Equipotential & streamlines free vortex:
+ Φ ψ ψ ψ
Φ
Φ
Kecepatan:
Substiusi kecepatan pada persamaan
kontinuitas:
011
V
rrV
rrr
01
rrVr
rrrV
2
1
Line vortex
Persamaan vorticity:
z
2
111
rr
V
rr
rV
r
rz
Aliran adalah irotational kecuali di titik asal, di mana
vorticity adalah tak terhingga. Γ sirkulasi.
Jika diambil sirkulasi terhadap titik asal:
drdVsdV
2
0
2
02
Free vortex
Sirkulasi untuk semua lintasan yang mengitari titik asal
Γ, sedang yang tidak 0.
Free vortex dalam koordinat rectangular untuk vortex
yang terletak di sembarang titik (a,b):
222 byax
byu
222 byax
axv
ax
by1tan2
22ln
4byax
sinVv
cosVu
sincos yVxV
Uniform flow & parallel flow
Untuk aliran yang membentuk sudut α terhadap sumbu
x:
Velocity potential:
Stream function:
sincos xVyV