FISIKA STATISTIK

PERHITUNGAN FUNGSI PARTISI

Agar supaya energi-dalam dapat di hitung, perlu menghitung lebih dahulu fungsi partisi

𝑧𝑓 = ∑ 𝑒−𝑤𝑖𝑘𝑇

~

𝑖=1

Dengan 𝑤𝑖 = (𝑖 − 1

2)hf, maka

𝑧𝑓 = 𝑒 −1

2 ℎ𝑓

𝑘𝑇 + 𝑒−11

2 ℎ𝑓

𝑘𝑇 + … … . 𝑒−(𝑖−

12

) ℎ𝑓

𝑘𝑇 + … . . 𝑒−(𝑛−

12

) ℎ𝑓

𝑘𝑇 .... (2.61)

Persamaan ini disederhanakan dengan mengeluarkan 𝑒−ℎ𝑓

2𝑘𝑇 dari tanda kurung, didapat

𝑧𝑓 = 𝑒−ℎ𝑓𝑘𝑇 (1 + 𝑒−

ℎ𝑓𝑘𝑇 + 𝑒−

2ℎ𝑓𝑘𝑇 + ⋯ )

Suku-suku dalam kurung disederhanakan, misalnya 𝑥 = 𝑒−ℎ𝑓

𝑘𝑇, maka suku-suku dalam kurung

= 1 + 𝑥 + 𝑥2 + 𝑥3 + ⋯ . 𝑥𝑛

Untuk x kecil, persamaan tersebut dapat disedrhanakan menjadi = 1

1−𝑥

Maka 𝑧𝑓 = 𝑒

−ℎ𝑓

2𝑘𝑇

1− 𝑒−

ℎ𝑓2𝑘𝑇

ln 𝑧𝑓 = −ℎ𝑓

2𝑘𝑇− ln (1 − 𝑒−

ℎ𝑓

𝑘𝑇)...... (2.62)

Dideferensialkan terhadap T :

𝑑

𝑑𝑇ln 𝑧𝑓 = −

ℎ𝑓

2𝑘𝑇2 − 𝑑 (1 − 𝑒−

ℎ𝑓𝑘𝑇)

1 − 𝑒−ℎ𝑓𝑘𝑇

𝑑 (−ℎ𝑓

2𝑘𝑇)

= −ℎ𝑓

2𝑘(𝑑 𝑇−1)

= −ℎ𝑓

2𝑘− 1 𝑇−2

= ℎ𝑓

2𝑘𝑇2

ln (1 − 𝑒−ℎ𝑓𝑘𝑇)

Misal :

(1 − 𝑒−ℎ𝑓

𝑘𝑇) = 𝑢

𝑒−ℎ𝑓𝑘𝑇 = 𝑣

−ℎ𝑓

𝑘𝑇= 𝑤

𝑓 (𝑥, 𝑦) = 𝑑𝑓

𝑑𝑢.𝑑𝑓

𝑑𝑣.𝑑𝑓

𝑑𝑤

= 1

𝑢 . 𝑣 ′. 𝑤 ′

= (1

1 − 𝑒 −ℎ𝑓𝑘𝑇

) . 𝑒−ℎ𝑓𝑘𝑇 .

ℎ𝑓

𝑘𝑇2

= 𝑒−

ℎ𝑓𝑘𝑇

1 − 𝑒−ℎ𝑓𝑘𝑇

.ℎ𝑓

𝑘𝑇2

Maka

𝑑

𝑑𝑇ln 𝑧𝑓 = +

ℎ𝑓

2𝑘𝑇2 − 𝑑 (1 − 𝑒 −

ℎ𝑓𝑘𝑇)

1 − 𝑒−ℎ𝑓𝑘𝑇

=ℎ𝑓

2𝑘𝑇2 + ℎ𝑓

𝑘𝑇2 𝑒−

ℎ𝑓𝑘𝑇

1 − 𝑒−ℎ𝑓𝑘𝑇

Energi dalam 𝑈𝑓 = 𝑁𝑘𝑇2 𝑑 ln 𝑍𝑓

𝑑𝑇

= 𝑁𝑓 𝑘𝑇2 {ℎ𝑓

2𝑘𝑇2 + ℎ𝑓

𝑘𝑇2 𝑒−

ℎ𝑓𝑘𝑇

1 − 𝑒−ℎ𝑓𝑘𝑇

}

𝑘𝑇2 dimasukkan diantara suku-suku dalam kurung didapat

𝑈𝑓 = 𝑁𝑓 (ℎ𝑓

2+

ℎ𝑓

𝑒+ℎ𝑓𝑘𝑇 − 1

) … . . (2.63)

Persamaan (2.63) menyatakan :

Energi-dalam 𝑁𝑓 osilator yang frekuensinya masing-masing f, sama untuk seluruh osilator.

Kristal telah dimodelkan sebagai osilator sederhana bebas terbedakan. Masalahnya berapakah

benyaknya osilator yang dapat memerikan kristal tersebut ?

Untuk menjawab pertanyaan ini, kita tinjau kristal yang titik kisinya berjumlah N, dalam ruang titik

kisi mempunyai 3 koordinat (x,y,z). Jika setiap titik kisi mengalami pergeseran sangat kecil, maka

koordinat yang terlibat pada pergeseran sel sejumlah 3 N. Energi potensial sebanding dengan

koordinat kuadrat, energi kinetik sebanding dengan momentum kuadrat, sedang momentum

merupakan perkalian massa dengan kecepatan, untuk setiap koordinat bertaut dangan 1 kecepatan.

Jadi untuk memodelkan kristal yang terbangun oleh N titik kisi diperlukan 3N osilator harmonis

sederhana bebas terbedakan.

Selanjutnya, kita tinjau osilator-osilator yang frekuensinya tak sama, yang distribusinya dapat

diperkirakan oleh persamaan.

𝑑𝑁𝑓 = 𝑛𝑓𝑑𝑓 .............(2.64)

Dengan 𝑛𝑓 fungsi frekuensi, ditulis 𝑛𝑓 = 𝑛𝑓 (𝑣), menyatakan jumlah osilator ...... persatuan rentang

frekuensi.

Jika diintegralkan untuk seluruh frekuensi, maka didapatkan harga sejumlah osilator yang memerikan

watak kristal tersebut.

∫ 𝑑𝑁𝑓 = ∫ 𝑛𝑓𝑑𝑓 = 3𝑁 ................(2.65)

Energi isolator yang freuensinya antara f dan d =df adalah

𝑤𝑓 = 𝑈𝑓

𝑁𝑓= (

1

2 ℎ𝑓 +

ℎ𝑓

𝑒ℎ𝑓𝑘𝑇 − 1

)

Jika diintegralkan untuk seluruh osilator didapatkan

𝑈 = ∫ 𝑤𝑓𝑑𝑁𝑓 = ∫ (1

2ℎ𝑓 +

ℎ𝑓

𝑒ℎ𝑓𝑘𝑇−1

) 𝑛𝑓𝑑𝑓 ...................... (2.66)

Jika 3N osilator memberikan kristal dengan N titik kisi, sedang kristal yang mempunyai N titik kisi

tersebut sebanyak 1 “mole”, maka seluruh energi yang diberikan oleh persamaan 2.66 adalah energi

per “mole”, sedang N adalah jumlah titik kisi untuk 1 “mole”, kristal = 𝑁𝐴 (𝑁𝐴 =

𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝐴𝑣𝑜𝑔𝑎𝑑𝑟𝑜).

Pendekatan yang dilakukan Einstein adalah 3N osilatoryang memberikan watak getaran kristal

masing-masing mempunyai frekuensi = fE = frekuensi osilator Einstein

𝑈 = ∫ 𝑤𝑓𝑑𝑁𝑓

= ∫ {1

2 ℎ𝑓𝐸 +

ℎ𝑓𝐸

𝑒ℎ𝑓𝐸𝑘𝑇 − 1

} 𝑑𝑁𝑓

𝑈 = {1

2ℎ𝑓𝐸 +

ℎ𝑓𝐸

𝑒ℎ𝑓𝐸𝑘𝑇 − 1

} 3𝑁

Kapasitas panas pada colume tetap Cv

𝐶𝑣 = (𝜕𝑈

𝜕𝑇)

𝑣=

𝑑

𝑑𝑇 {

1

2 ℎ𝑓𝐸 . 3𝑁 +

ℎ𝑓𝐸 . 3𝑁

𝑒ℎ𝑓𝐸𝑘𝑇 − 1

}

= −ℎ𝑓𝐸 .3𝑁.{𝑒

ℎ𝑓𝐸𝑘𝑇 (−

ℎ𝑓𝐸

𝑘𝑇2)}

𝑒ℎ𝑓𝐸𝑘𝑇 − 1

𝐶𝑣 = −1

𝑘 (

ℎ𝑓𝐸𝑘𝑇

) 2.3𝑁 𝑒ℎ𝑓𝐸𝑘𝑇

𝑒ℎ𝑓𝐸𝑘𝑇 −1

= 𝑘(

ℎ𝑓𝐸𝑘𝑇

)2

.3𝑁 𝑒ℎ𝑓𝐸𝑘𝑇

𝑒ℎ𝑓𝐸𝑘𝑇 −1

..................(2.68)

𝑑𝑖 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑠𝑖𝑘𝑎𝑛 ℎ𝑓𝐸

𝑘= 𝜃𝐸 .................(2.69)

𝜃𝐸 = temperatur karakteristik Einstein

Maka 𝐶𝑣 = 𝑘 (

𝜃𝐸𝑇

)2

𝑒𝜃𝐸𝑇 .3𝑁

𝑒𝜃𝐸𝑇 −1

Untuk “mole” N menjadi 𝑁𝐴, 𝐶𝑣 menjadi 𝐶𝑣 dan 𝑁𝐴𝑘 = R = tetapan gas alam

𝐶𝑣∗ =

3𝑘 𝑁𝐴 (𝜃𝐸

𝑇)

2

𝑒𝜃𝐸𝑇

𝑒𝜃𝐸𝑇 − 1

𝐶𝑣∗ =

3𝑅 (𝜃𝐸𝑇

)2

𝑒𝜃𝐸𝑇

𝑒𝜃𝐸𝑇 −1

.........................(2.70)

Atau 𝐶𝑣

∗

3𝑅=

(𝜃𝐸)2 𝑒𝜃𝐸𝑇

𝑒𝜃𝐸𝑇 −1

Jika digambarkan 𝐶𝑣

∗

3𝑅 sebagai sangsi T, maka untuk T harga

𝐶𝑣∗

3𝑅= 1, sesuai kaedah Dulong Petit,

sedang untuk T 0 harga 𝐶𝑣

∗

3𝑅 0 mendekati hasil percobaan,tetapi mendekati nol, terlalu cepat jika

dibandingkan hasil percobaan.