96404575 modul statistika
TRANSCRIPT
STATISTIKA
Penyusun:
Amalia Izzati
NPM 11310158
PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU
PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS IKIP PGRI SEMARANG
2012
S t a t i s t i k a
2
KATA PENGANTAR
Puji syukur ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa atas terselesaikannya
penyusunan modul `STATISTIKA` ini. Modul ini penulis buat untuk media
pembelajaran yang praktis agar siswa mampu memahaminya. Secara keseluruhan,
modul ini berdasarkan kompetensi dasar Matematika sesuai standart yang ada.
Setiap bab dalam modul ini dimulai dengan memberi gambaran mengenai
materi yang akan dipelajari. Setelah itu, materi ini disajikan dengan contoh – contoh
soal yang ditujukan untuk semua pembaca agar mampu memahami materi yang
akan dipelajari. Pendekatan pemecahan dalam masalah ini menjadi bagian
terpenting dalam materi yang dipelajari sehingga dapat meningkatkan kemampuan
dan ketrampilan peserta didik dalam memahami masalah, membuat model
matematika, dan menyelesaikan masalah. Selain itu, diberikan pula latihan ulangan
yang dapat membantu peserta didik dalam menguasai materi ini.
Pada akhirnya, penulis menyadari sepenuhnya bahwa modul ini masih jauh
dari kata sempurna. Oleh karena itu, kritik dan saran yang ada relevansinya dengan
penyempurnaan modul ini sangat penulis harapkan. Kritik dan saran sekecil apapun
akan penulis perhatikan dan pertimbangkan guna penyempurnaan modul lainnya.
Semoga modul tentang STATISTIKA ini mampu memberikan manfaat dan
mampu memberikan segi positif bagi pembaca.
Semarang, Juni 2012
Penulis
S t a t i s t i k a
3
Daftar Isi
Kata Pengantar.............................................................................................. 2
Daftar Isi......................................................................................................... 3
BAB 1 STATISTIKA
A. Pengertian Dasar Statistika.......................................................................... 5
1. Statistik dan Statistika............................................................................. 7
2. Jenis-jenis Data...................................................................................... 8
B. Pengumpulan Data....................................................................................... 9
C. Penyajian Data Tunggal............................................................................... 10
1. Diagram Batang...................................................................................... 10
2. Diagram Garis......................................................................................... 12
3. Diagram Batang Daun............................................................................. 13
4. Diagram Lingkaran.................................................................................. 13
D. Penyajian Data Berkelompok........................................................................ 15
1. Pengertian Tabel Distribusi Frekuensi.................................................... 15
2. Jenis-jenis Tabel Distribusi Frekuensi..................................................... 19
a. Tabel Frekuensi Relatif...................................................................... 19
b. Tabel Frekuensi Kumulatif................................................................. 20
3. Menggambar Tabel Distribusi................................................................. 21
a. Histogram dan Poligon Frekuensi..................................................... 21
b. Ogive................................................................................................. 22
E. Ukuran Statistik Data.................................................................................... 23
1. Ukuran Pemusatan Data........................................................................ 23
a. Rata-rata.......................................................................................... 23
b. Median.............................................................................................. 29
c. Modus............................................................................................... 31
d. Hubungan Antara Rata-rata, Median, dan Modus ........................... 32
2. Ukuran Letak........................................................................................... 33
a. Kuartil................................................................................................ 34
b. Statistik Lima Serangkai.................................................................... 38
c. Rataan Kuartil dan Rataan Tiga........................................................ 38
d. Desil................................................................................................... 39
S t a t i s t i k a
4
e. Persentil............................................................................................. 41
3. Ukuran Penyebaran Data........................................................................ 43
a. Jangkauan......................................................................................... 43
b. Simpangan Rata-rata......................................................................... 44
c. Simpangan Baku............................................................................... 46
d. Simpangan Kuartil............................................................................. 48
RANGKUMAN ............................................................................................... 51
LATIHAN ULANGAN...................................................................................... 54
DAFTAR PUSTAKA....................................................................................... 57
S t a t i s t i k a
5
put mer mer kun bi hi bi hi kun tam cok bi ung bi hi cok pu mer kun hi bi kun hi bi bi mer cok bi bi tam put ung kun mer hi bi ung mer tam bi Ket: bi = biru, hi = hijau,
kun = kuning, mer = merah, cok = coklat, tam = hitam, put = putih, ung = ungu
A. Pengertian Dasar Statistika
Perhatikan situasi sederhana berikut!
David diminta Bu Guru mencatat tinggi badan semua siswa dikelasnya. Dia lalu
mengedarkan secarik kertas dan meminta teman-temannya menuliskan warna favorit
mereka di kertas tersebut.
a. David mengumpulkan semua informasi yang diperoleh ke dalam sebuah daftar.
b. David mengelompokkan informasi dan membuat sebuah tabel.
Warna favorit Banyak siswa Putih 3 Merah 6 Kuning 5 Biru 10 Hijau 6 Ungu 4 Hitam 3 Coklat 3 Total 40
S t a t i s t i k a
6
c. David menyajikan informasi yang diperolehnya dengan menggunakan diagram.
d. David membuat tafsiran atas hasil yang diperoleh dan membuat kesimpulan
sebagai berikut
Warna-warna yang menunjukkan informasi yang diperoleh disebut data statistik,
atau secara singkat disebut data.
Kita dapat melihat bahwa statistika berhubungan dengan empat hal, yaitu:
a. Pengumpulan data
b. Pengorganisasian data
c. Penyajian data
d. Penafsiran data
0
2
4
6
8
10
12
Putih Merah Kuning Biru hijau ungu hitam coklat
Ada 40 siswa di kelas. Kebanyakan siswa menyukai warna biru. Secara umu selera warna siswa cukup
beragam
S t a t i s t i k a
7
1. Statistik dan statistika
1. Statistik Perhatikan contoh data berikut ini!
a. Produksi beras suatu desa pada tahun 2005-2007
1) Tahun 2005 : 162 kuintal
2) Tahun 2006 : 140 kuintal
3) Tahun 2007 : 175 kuintal
b. Suhu badan pasien setiap 6 jam
1) Jam 06.00 : 380 C
2) Jam 12.00 : 390 C
3) Jam 18.00 : 37,50 C
4) Jam 24.00 : 400 C
c. Data siswa suatu SMA adalah
1) Rata-rata nilai ulangan matematika siswa kelas X A adalah 8,0.
2) Siswa kelas XII yang lulus dan diterima di perguruan tinggi negri favorit
adalah 40%.
Dari contoh di atas maka statistik dapat diartikan sebagai berikut.
a. Kumpulan angka-angka dari suatu permasalahan, sehingga dapat
memberikan gambaran mengenai masalah tersebut.
b. Ukuran yang dihitung dari sekumpulan data dan merupakan wakil dari
kumpulan data tersebut.
Berdasarkan kebutuhan terhadap pengolahan data, statistik dibagi dua, yaitu:
a. Statistik Deskriptif adalah statistik yang tingkat pekerjaannya mencakup
cara-cara menghimpun, menyusun atau mengatur,mengolah,menyajikan,dan
menganalisa data angka agar dapat memberikan gambaran yang teratur,
ringkas, dan jelas,mengesuatu gejala, peristiwa,atau keadaan.
b. Statistik Inferensial adalah statistik yang dapat dipergunakan sebagai
alat dalam rangka mencoba menarik kesimpulan yang bersifat umum,dari
sekumpulan data yang telah disusun dan diolah.
2. Statistika Statistika adalah cara ilmiah yang mempelajari pengumpulan, pengaturan,
perhitungan, penggambaran, dan penganalisaan data, serta penarikan
kesimpulan yang valid berdasarkan penganalisisan yang dilakukan, dan
pembuatan kesimpulan yang rasional.
Contoh:
Nilai rata-rata matematika siswa kelas XI IPA SMA angkasa adalah 41%.
SMA Angkasa disebut populasi.
Kelas XI IPA disebut sampel.
Nilai matematika disebut variabel.
S t a t i s t i k a
8
Jadi dapat disimpulkan sebagai berikut.
Taksiran yang salah terhadap populasi disebut sampel bias.
Ada beberapa sebab sempel bias, yaitu :
1. Pertanyaan yang diajukan membingungkan, menyesatkan, atau kurang jelas.
2. Sampel tidak representatif. Misalnya : menyimpulkan tinggi anak SMA di
Indonesia rata-rata 160 cm, dengan mengambil sampel hanya dari satu SMA.
3. Pertanyaan diajukan kepada orang yang salah.
Variabel digolongkan ke dalam salah satu dari 2 jenis berikut.
a. Variabel diskrit, yaitu variabel yang dapat dihitung atau pada variabel
tersebut terdapat sekumpulan nilai yang pasti.
Contoh: banyaknya siswa yang ada di tiap kelas di suatu SMA.
b. Variabel kontinu, yaitu variabel yang dapat diukur dengan menggunakan
suatu skala yang kontinu. Hasilnya tergantung pada ketelitian alat ukur dan
keakuratan pengamat.
Contoh: suhu udara dalam sehari berubah-ubah.
2. Jenis-jenis data Menurut jenisnya, data dibagi menjadi dua, yaitu
a. Data kuantitatif adalah data yang diperoleh dari hasil mengukur atau
menghitung.
Contoh: data tinggi badan, umur dan sebagainya.
b. Data kualitatif adalah data yang menyatakan keadaan atau karakteristik
yang dimiliki objek yang diteliti. Biasanya data kualitatif tidak dapat dituliskan
dalam bentuk bilangan.
Contoh: data jenis kelamin, status perkawinan, warna dan sebagainya.
Variabel adalah suatu yang akan diselidiki dan memiliki sejumlah
nilai.
Sampel adalah kelompok kecil yang memiliki keseluruhan subyek
yang diselidiki.
Populasi adalah keseluruhan obyek yang akan diteliti.
S t a t i s t i k a
9
B. Pengumpulan Data
Berbagai keterangan (informasi) mengenai suatu hal yang mungkin berbentuk
angka, lambang atau sifat disebut datum. Kumpulan datum disebut data. Data
yang baru dikumpulkan disebut data mentah, yaitu data yang belum mengalami
pengolahan apapun.
Berdasarkan cara pengumpulannya, pengumpulan data dibagi atas emapt cara,
yaitu:
1. Pengamatan (observasi), yaitu cara pengumpulan data dengan mengamati
secara langsung subjek yang diteliti.
2. Penelusuran literatur, yaitu cara pengumpulan data dengan menggunakan
sebagian atau seluruh data yang telah ada dari peneliti sebelumnya.
Penelusuran literatur disebut juga pengamatan tak langsung.
3. Survey, yaitu cara pengumpulan data dengan daftar pertanyaan dengan pilihan
jawaban yang telah ditentukan atau terbuka yang diberikan kepada responden
(objek yang diteliti). Survey dapat dilakukan secra tertulis (dinamakan
kuesioner).
4. Wawancara (interviu), yaitu cara pengumpulan data dengan langsung
mengadakan tanya jawab kepada subyek yang diteliti.
Berdasarkan banyaknya data yang diambil, cara pengumpulan data dibagi atas dua
cara, yaitu:
1. Sensus, yaitu cara pengumpulan data, dimana data diperoleh dari setiap anggota
populasi.
2. Sampling, yaitu cara pengumpulan data, dimana hanya sebagian anggota
populasi (sampel) saja yang diteliti. Akan tetapi, dari sebagian anggota populasi
ini diharapkan dapat menggambarkan keadaan sebenarnya.
Agar data kuantitatif dapat disajikan dalam bentuk yang paling sederhana maka
digunakan aturan pembulatan berikut ini.
1. Aturan umum (pembulatan ke satuan terdekat)
Apabila angka di belakang koma kurang dari 0,5 dihilangkan dan apabila lebih
atau sama dengan 0,5 dibulatkan menjadi 1.
3,49 dibulatkan menjadi 3
4,5 dibulatkan menjadi 5
16,24539 dibulatkan menjadi 16,25 (sampai dua tempat desimal)
S t a t i s t i k a
10
2. Aturan genap terdekat
Apabila angka di belakang koma kurang dari 0,5 dihilangkan, lebih dari 0,5
dibulatkan sama dengan 1, dan sama dengan 0,5 dihilangkan asal angaka yang
mendahului merupakan bilangan genap atau dibulatkan menjadi 1 asalkan angka
yang mendahului merupakan bilangan ganjil.
8,738 dibulatkan menjadi 8,7 (sampai satu tempat desimal)
23,52 dibulatkan menjadi 24,00
34,50 dibulatkan menjadi 34,00
75,50 dibulatkan menjadi 76,00
C. Penyajian Data Tunggal
Sebelum membuat diagram data, data terlebih dahulu ditampilkan dalam bentuk
tabel. Dari data tabel dapat dibuat diagram data dan grafik, di antaranya adalah
diagram batang, diagram garis, diagram batang daun, dan diagram
lingkaran.
1. Diagram Batang
Diagram batang merupakan bentuk penyajian data dengan menggunakan batang-
batang berbentuk persegi panjang dan dilengkapi dengan skala tertentu untuk
menyatakan banyaknya tiap jenis data. Jenis datanya ditempatkan pada sumbu
mendatar, sedangkan pada sumbu tegak disajikan angka untuk menyatakan
kuantitas atau jumlah data yang bersangkutan.
Contoh Soal :
Produksi baja yang dihasilkan negara-negara penghasil baja pada tahun 2003 dan
2005 (dalam jutaan ton) sebagai berikut:
Negara
Banyak Baja (dalam jutaan ton)
2003 2004
Amerika Serikat 28 89
Rusia 17 76
Jerman 22 36
Inggris 10 21
Prancis 6 17
Belgia 2 7
S t a t i s t i k a
11
Penyelesaian:
Langkah-langkah penyajian data ke dalam bentuk diagram batang adalah sebagai
berikut.
1. Membuat sumbu datar dan tegak yang berpotongan tegak lurus. Sumbu datar
dibagi menjadi beberapa skala bagian yang sama, demikian juga dengan sumbu
tegaknya.
2. Menampilkan nama variabel data pada sumbu datar dan menuliskan angka-
angka dengan skala tertentu pada sumbu tegak. Sumbu datar digunakan untuk
menyatakan nama variabel data. Untuk contoh ini variabel datanya adalah
negara yang terdiri dari Amerika Serikat, Jerman, Inggris, Prancis, Belgia.
3. Menuliskan angka-angka yang menunjukkan produksi baja yang dihasilkan
denagn skala 10 pada sumbu tegak, dimulai dengan angka nol pada
perpotongan sumbu tegak dan sumbu datar. Jadi, diperoleh sumbu datar dan
sumbu tegak dengan tampilan jenis data dan kuantitasnya.
4. Membuat grafik data berbentuk persegi panjang dengan lebar skala sama.dalam
contoh ini dibuat dua persegi panjang yang berdekatan untuk masing-masing
negara sebagai representasi dari banyaknya baja yang dihasilkan pada tahun
2003 dan 2007, dan diarsir agar berbeda.
Data pada tabel dapat disajikan dalam bentuk diagram batang seperti berikut.
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
AmerikaSerikat
Rusia Jerman Inggris Prancis Belgia
2003
2004
S t a t i s t i k a
12
2. Diagram Garis
Diagram garis merupakan bentuk penyajian data pada bidang Cartesius dengan
menghubungkan titik-titik data pada bidang Cartesius (sumbu x dan sumbu y),
sehingga diperoleh suatu grafik berupa garis. Diagram garis biasanya digunakan
untuk melihat perkembangan data yang berkesinambungan, seperti suhu badan
pasien rumah sakit, curah hujan, tinggi permukaan air laut, dan populasi penduduk.
Contoh soal:
Berat badan seorang bayi dicatat setiap 3 minggu selama 21 minggu semenjak
dilahirkan dan hasilnya sebagai berikut.
Umur (Minggu) 0 3 6 9 12 15 18 21
Berat (Kg) 2,8 3 3,5 3,6 4 4,2 3,9 4,3
Penyelesaian:
Data tersebut dapat disajikan dalam bentuk diagram garis seperti gambar di bawah
ini.
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
0 3 6 9 12 15 18 21
Berat (Kg)
S t a t i s t i k a
13
3. Diagram Batang Daun
Diagram batang daun (stem and leaf plot) adalah suatu metode penyajian
daat statistik dalam kelompok batang dan kelompok daun dari suatu data.
Contoh Soal :
Sajikan data berikut ini dalam diagram batang daun.
1, 1, 2, 2, 3, 6, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 12, 14, 15, 15, 21, 22, 28.
Penyelesaian :
Batang Daun
0 1 1 2 2 3 6 6 7 8 9
1 0 2 2 4 5 5
2 1 2 8
Keterangan :
Lajur Batang menyatakan angka puluhan, lajur Daun menyatakan angka satuan.
Diagram batang daun di atas merupakan contoh pengelompokkan data dalam
interval (skala) 10, yaitu; 0 – 9; 10 – 19; dan seterusnya.
Berikut ini, contoh pengelompokkan data dalam skala 5.
Batang Daun
0(0) 1 1 2 2 3
0(5) 6 6 7 8 9
1(0) 0 2 2 4
1(5) 5 5
2(0) 1 2
2(5) 8
Keterangan :
0(0) ≡ 0 – 4
0(5) ≡ 5 – 9
1(0) ≡ 10 – 14 dan seterusnya
4. Diagram Lingkaran
Diagram lingkaran merupakan bentuk penyajian data berupa daerah lingkaran
yang telah dibagi menjadi juring-juring sesuai dengan data yang bersangkutan.
Diagram lingkaran sangat baik untuk menunjukkan perbandinagn antara dua objek
yang satu dengan yang lain serta terhadap keseluruhan dalam suatu penyelidikan.
S t a t i s t i k a
14
Contoh soal :
Data berikut menunjukkan jumlah atlet beberapa cabang olahraga di SMA Sukajaya.
Jenis Olahraga Jumlah Atlet (orang)
Sepak bola 60
Basket 45
Voli 50
Bulu tangkis 25
Tenis meja 20
Penyelesaian:
Data ini akan disajikan dalam diagram lingkaran. Untuk membuat diagram lingkaran
ini, dilakukan langkah-langkah sebagai berikut.
1. Menentukan besarnya presentase tiap-tiap objek terhadap keseluruhan
data. Dalam contoh ini misalnya jumlah untuk jenis olahraga sepak bola:
Dengan cara yang sama dapat ditentukan presentase untuk jenis olahraga yang
lain.
2. Menentukan besarnya sudut pusat sektor lingkaran. Besarnya sudut
pusat sektor lingkaran pada contoh soal ini ditentukan dengan membagi besar
presentase tiap jenis olahraga dengan 100%, lalu mengalikannya dengan
besarnya sudut satu putaran lingkaran (3600).
Misalnya jenis olahraga sepak bola:
Dengan cara yang sama dapat ditentukan besar sudut pusat sektor lingkaran
untuk jenis olahraga yang lain.
3. Mempresentasikan hasil-hasil yang diperoleh pada langkah 1 dan 2
kedalam daerah lingkaran.
Gambarkan sebuah lingkaran, kemudian daerahnya dibagi-bagi menjadi
beberapa sektor dengan besar sudut pusat sesuai dengan yang telah diperoleh
pada langkah 2. Tiap sektor melukiskan kategori data untuk rubik-rubik yang ada.
Dari langkah-langkah di atas diperoleh data, jumlah data, presentase data, dan besar
sudut pusat untuk masing-masing objek sebagai berikut
Jenis Olahraga Jumlah Atlet (orang) Persen Sudut Pusat
Sepak bola 60 30% 1080
Basket 45 22,5% 810
Voli 50 25% 900
Bulu tangkis 25 12,5% 450
Tenis meja 20 10% 360
Total 200
S t a t i s t i k a
15
Diagram lingkaran jumlah atlet beberapa cabang olahraga
D. Penyajian Data Berkelompok
1. Pengertian Tabel Distribusi Frekuensi
Apabila data cukup banyak maka data dikelompokkan dalam beberapa kelompok.
Kelompok-kelompok data disebut dengan kelas dan banyaknya data pada setiap
kelas disebut frekuensi kelas. Selang yang memisahkan kelas yang satu dengan
yang lain disebut interval kelas. Besarnya interval kelas untuk semua kelas harus
sama. Jika datanya sedikit maka tidak perlu dikelompokkan dalam kelas-kelas. Suatu
tabel yang menyajikan data yang telah dikelompokkan pada kelas-kelas beserta
frekuensi kelasnya disebut tabel distribusi frekuensi.
Ada beberapa hal yang perlu diperhatikan agar suatu tabel distribusi frekuensi
dapat memberikan informasi yang baik, antara lain sebagai berikut.
1. Jumlah kelas pada suatu tabel distribusi frekuensi jangan terlalu banyak atau
jangan terlalu sedikit.
2. Hindari adanya suatu kelas yang tidak dapat menampung data (frekuensi kelas
nol).
3. Semua data harus dapat ditampungke dalam tabel distribusi frekuensi tersebut,
dan tiap kelas frekuensinya tidak boleh memuat data yang ada pada kelas
frekuensi lain.
30%
22%
25%
13%
10%
Sepak bola
Basket
Voli
Bulu tangkis
Tenis meja
S t a t i s t i k a
16
Langkah-langkah yang dilakukan untuk membuat tabel distribusi frekuensi
adalah sebagai berikut.
1. Urutkan data dari data terkecil ke data yang terbesar.
2. Tentukan banyak kelas pada tabel distribusi frekuensi. Dapat digunakan metode
Sturges:
keterangan :
k : banyak kelas
n : banyak data
3. Tentukan interval kelas dengan rumus :
keterangan :
I : interval kelas
R : range : jangkauan
: data terbesar – data terkecil
k : banyak kelas
4. Tentukan batas atas dan batas bawah kelas.
Contoh soal
Nilai ujian nasional bidang studi matematika pada suatu sekolah sebanyak 40 orang
peserta tercatat sebagai berikut.
60 62 59 62 58 59 59 58 40 62
59 58 40 60 40 44 54 59 60 58
48 60 59 54 62 48 63 54 44 59
58 63 59 50 35 48 60 60 59 48
Penyelesaian :
a. Langkah-langkah membuat tabel distribusi frekuensi adalah sebagai berikut.
1) Urutkan data dari data-data terkecil ke data terbesar.
35 40 40 40 44 44 48 48 48 48
50 54 54 54 58 58 58 58 58 59
59 59 59 59 59 59 59 59 60 60
60 60 60 60 62 62 62 62 63 63
2) Tentukan banyak kelas pada tabel distribusi frekuensi.
Kita gunakan metode Sturges :
k = 1 + 3,3 log n
= 1 + 3,3 log 40
= 1 + 5,29
= 6,29
3) Tentukann interval kelas (I) dengan rumus :
(dibulatkan menjadi 5)
k = 1 + 3,3 log n
S t a t i s t i k a
17
4) Tetapkan batas bawah kelas pertama (diambil angka 35 untuk memudahkan
menghitung interval kelas dan data terdekat dengan data terkecil).
Jadi, tabel distribusi frekuensinya adalah sebagai berikut.
Nilai Frekuensi
35 – 39 1
40– 44 5
45– 49 4
50 – 54 4
55 – 59 14
60 – 64 12
b. Dari tabel distribusi frekuensi diperoleh informasi tentang jumlah anak yang
memperoleh nilai antara 55 sampai dengan 59 sebanyak 14 anak.
c. Dari tabel diperoleh informasi nilai tertinggi adalah antara 60 sampai dengan 65,
yaitu sebanyak 14 anak.
Pada suatu tabel distribusi frekuensi terdapat beberapa istilah atau beberapa nilai
yang perlu diketahui, antara lain sebagai berikut.
1) Kelas (k)
Setiap kelompok data disebut kelas.
Kelas ke-1 : 35 – 39
Kelas ke-2 : 40 – 44, dan seterusnya
2) Batas Kelas (Class Limit)
Batas kelas adalah nilai-nilai yang membatasi kelas yang satu dengan yang
lainnya.
Batas kelas ada dua macam, yaitu
a. Batas bawah kelas (Bb) adalah nilai ujung bawah (nilai terkecil dari kelas)
pada suatu kelas. Pada tabel, batas bawah kelasnya : 35, 40, 45, 50, 55, dan
60. Batas bawah kelas adalah kelipatan dari interval kelas (I). Pada contoh
soal di atas, 35, 40 adalah kelipatan 5 (interval kelas).
b. Batas atas kelas (Ba) adalah nilai ujung atas (nilai terbesar dari kelas) pada
suatu kelas. Pada tabel, batas atas kelasnya : 39, 44, 49, 54, 59, 64.
3) Tepi Kelas (Class Boundary)
Tepi kelas disebut juga batas nyata kelas, yaitu batas kelas yang tidak
mempunyai lubang untuk angka tertentu antara kelas yang satu dengan kelas
yang lain.
Tepi kelas ada dua macam, yaitu
S t a t i s t i k a
18
a. Tepi bawah kelas (Tb) adalah batas bawah kelas dikurangi
satuan
ukuran.
Contoh : untuk kelas ke-1 :
b. Tepi atas kelas (Ta) adalah batas atas kelas ditambah
satuan ukuran.
Contoh : untuk kelas ke-1 :
4) Interval Kelas = Lebar Kelas = Panjang Kelas (I)
Interval kelas adalah selang yang memisahkan kelas yang satu dengan kelas
yang lainnya.
Lebar kelas yang dilambangkan dengan I dirumuskan dengan :
Perlu diingat bahwa lebar kelas pada distribusi frekuensi untuk semua kelas
adalah sama. Pada contoh tabel, lebar kelasnya adalah
(
) (
) (
)
5) Tititk Tengah Kelas (Mid Point atau Class Mark)
Titik tengah kelas adalah nilai yang mewakili kelas tersebut dan merupakan
nilai tengah kelas atau rataan kelas, dirumuskan dengan :
Titik tengah kelas ke-1 adalah
(
)
I = tepi atas kelas – tepi bawah kelas
(tepi bawah kelas + tepi atas kelas)
S t a t i s t i k a
19
2. Jenis-jenis Tabel Distribusi Frekuensi
Tabel distribusi frekuensi dapat dibedakan menjadi tabel distribusi frekuensi
relatif dan tabel distribusi frekuensi kumulatif.
a. Tabel Distribusi Frekuensi Relatif Dari suatu tabel distribusi frekuensi dapat dibuat tabel baru yang disebut tabel
distribusi frekuensi relatif. Tabel distribusi frekuensi relatif mempunyai
frekuensi relatif dalam bentuk presentase (%). Besarnya frekuensi relatif dapat
ditentukan dengan rumus :
Keterangan :
: frekuensi relatif
: banyaknya frekuensi
∑ : jumlah seluruh frekuensi
Dari rumus tersebut, dapat dilihat bahwa tabel distribusi relatif merupakan tabel
distribusi frekuensi yang berisikan nilai-nilai hasil bagi antara frekuensi kelas dan
jumlah pengamatan yang terkandung dalam kumpulan data yang berdistribusi
tertentu.
Contoh Soal :
Nilai Frekuensi (f) Frekuensi relatif (fr)
persen rasio
20 – 29 1 2% 1/50
30 – 39 2 4% 1/25
40 – 49 4 8% 2/25
50 – 59 18 36% 9/25
60 – 69 14 28% 7/25
70 – 79 8 16% 4/25
80 – 89 3 6% 3/50
jumlah ∑ = 50
Dari tabel tersebut dapat dibuat suatu tabel distribusi frekuensi yang
mencantumkan frekuensi relatif masing-masing kelasnya.
Frekuensi relatif kelas ke-1 :
Frekuensi relatif kelas ke-2 :
dan seterusnya
∑
S t a t i s t i k a
20
b. Tabel Distribusi Frekuensi Kumulatif Frekuensi kumulatif adalah frekuensi yang dijumlahkan, yaitu frekuensi suatu
kelas dijumlahkan dengan frekuensi kelas sebelumnya.
Frekuensi kumulatif ada dua macam, yaitu frekuensi kumulatif kurang dari
dan frekuensi kumulatif lebih dari.
a. Tabel Distribusi Kumulatif Kurang Dari Tabel ini dibuat dengan cara menjumlahkan frekuensi secara berurutan dari
frekuensi pada kelas yang memuat data terkecil ke kelas yang memuat data
terbesar.
kelas ke-1 = 1
kelas ke-2 = 1 + 2 = 3
kelas ke-7 = 47 + 3 = 50
Nilai Frekuensi (f) Frekuensi kumulatif (fk)
20 – 29 1 1
30 – 39 2 3
40 – 49 4 7
50 – 59 18 25
60 – 69 14 39
70 – 79 8 47
80 – 89 3 50
Jumlah ∑ = 50
b. Tabel Distribusi Frekuensi Kumulatif Lebih Dari Tabel ini dibuat dengan cara mengurangkan frekuensi secara berurutan,
mulai dengan mengurangkan total frekuensi dengan kelas yang memuat
data terkecil dan seretusnya.
kelas ke-1 = 50
kelas ke-2 = 50 + 1 = 49
kelas ke-7 = 11 + 8 = 3
Frekuensi kumulatif kurang dari untuk suatu kelas adalah jumlah
frekuensi kelas itu dengan frekuensi kumulatif kelas sebelumnya.
Frekuensi kumulatif lebih dari untuk suatu kelas adalah jumlah
frekuensi kelas itu dengan frekuensi kumulatif kelas sesudahnya.
S t a t i s t i k a
21
Nilai Frekuensi (f) Frekuensi kumulatif (fk)
20 – 29 1 50
30 – 39 2 49
40 – 49 4 47
50 – 59 18 43
60 – 69 14 25
70 – 79 8 11
80 – 89 3 3
Jumlah ∑ = 50
3. Menggambar Tabel Distribusi Frekuensi Data pada tabel distribusi frekuensi dapat digambarkan dalam bentuk grafik, yaitu
histogram dan poligon. Sedangkan untuk tabel distribusi frekuensi kumulatif
digambarkan dengan grafik dinamakan ogive.
a. Histogram dan Poligon Frekuensi Histogram merupakan diagram kotak yang lebarnya menunjukkan interval
kelas, sedangkan batas-batas tepi kotak merupakan tepi bawah dan tepi atas
kelas, dan tingginya menunjukkan frekuensi pada kelas tersebut. Denagn kata
lain, histogram adalah penyajian data yang dikelompokkan menurut distribusi
frekuensi dapat dinyatakan dengan grafik.
Apabila titik-titik tengah dari tiap kotak bagian atas pada histogram saling
dihubungkan satu sama lain oleh ruas-ruas garis menyerupai poligon (segi
banyak), sehingga diagram yang dihasilkan dinamakan poligon frekuensi.
Contoh Soal:
Dari tabel sebelumnya dapat dibuat histogram dan poligon frekuensi seperti pada
gambar. Langkah-langkah dalam membuat histogram dan poligon frekuensi
adalah sebagai berikut.
1) Membuat sumbu datar dan sumbu tegak yang saling berpotongan.
Sumbu datar digunakan untuk menyatakan interval kelas, sedangkan sumbu
tegak menyatakan frekuensi.
2) Menyajikan frekuensi pada tabel ke dalam bentuk diagram.
Bentuk diagramnya seperti kotrak (digram batang) dengan sisi-sisi dengan
batang-batang yang berdekatan harus berhimpitan. Pada tepi masing-masing
kotak atau batang ditulis nilai tepi kelas yang diurutkan dari tepi bawah ke tepi
atas kelas. (perhatikan bahwa tepi kelas terbawah adalah 19,5 dan 29,5).
3) Membuat poligon frekuensi
S t a t i s t i k a
22
Titik tengah setiap sisi atas yang berdekatan dihubungkan dengan suatu
garis. Untuk batang pertama dan terakhir, titik tengah dihubungkan dengan
setengah jarak interval kelas pada sumbu datar. Bentuk yang diperoleh
dinamakan poligon frekuensi (poligon tertutup).
b. Ogive
Ogive adalah grafik yang digambarkan berdasarkan data yang sudah disusun
dalam bentuk tabel distribusi frekuensi kumulatif. Ogive terbagi atas dua macam.
1) Ogive positif untuk data yang disusun dalam bentuk tabel distribusi
frekuensi kumulatif kurang dari.
2) Ogive negatif untuk data yang disusun dalam bentuk tabel distribusi
frekuensi kumulatif lebih dari.
9,5 19,5 29,5 39,5 49,5 59,5 69,5 79,5 89,5 99,5
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
S t a t i s t i k a
23
E. Ukuran Statistik Data
Untuk memperoleh gambaran atau informasi yang lebih lengkap dari sekumpulan
data yang kita miliki, diantaranya ukuran pemusatan, ukuran letak, dan ukura
penyebaran data (dispersi).
1. Ukuran Pemusatan Data (Ukuran Tendensi Sentral)
Ukuran pemusatan data (ukuran tendensi sentral) adalah suatu ukuran atau
nilai yang diperoleh dari sekumpulan data dan mempunyai kecendurungan
berada di tengah-tengah dari sekumpulan data tersebut. Oleh karena itu, nilai
rataan (average) sering disebut ukuran kecenderungan memusat. Ukuran
pemusatan data disebut juga ukuran gejala pusat atau ukuran tendensi sentral.
Ada tiga macam ukuran tendensi sentral, yaitu rata-rata (mean), median,
dan modus.
a. Rata- Rata (Mean) Rata-rata merupakan salah satu dari ukuran gejala pusat yang sering dan
banyak dipakai. Rata-rata merupakan wakil dari kumpulan data yang dapat
memberikan gambaran yang jelas dan singkat.
Secara umum,
0
10
20
30
40
50
60
19.5 29.5 39.5 49.5 59.5 69.5 79.5
ogive positif ogive negatif
S t a t i s t i k a
24
1) Rata-rata untuk data tunggal (tidak berkelompok) Misal adalah data dari nilai rataan hitung.
Rata-ratanya ditentukan dengan rumus :
keterangan :
(eksbar) : rataan hitung (mean)
: nilai data ke-i, i = 1, 2, 3, ..., n
n : jumlah data
2) Rata-rata untuk data yang diboboti Misal adalah n buah data, dengan masing-masing
data diberi bobot . Rata-ratanya ditentukan dengan rumus :
Keterangan :
(eksbar) : rata-rata data
: nilai data ke-i, i = 1, 2, 3, ..., n
: bobot untuk nilai-nilai
∑ : jumlah semua bobot data
Contoh Soal :
a. Dalam suatu pekan olahraga nasional, tim suatu provinsi memperoleh
9 medali emas, 7 medali perak, dan 20 medali perunggu. Jika tiap
medali emas bernilai 3, medali perak bernilai 2 dan medali perunggu
bernilai 1, tentukan nilai rata-rata dan tim provinsi itu.
Penyelesaian :
Misal : medali emas
medali perak
medali perunggu
Jadi, nilai rata-rata provinsi tersebut adalah 10,17.
Rata-rata dari sekumpulan data adalah
jumlah seluruh nilai-nilai data dibagi dengan banyaknya data.
∑
∑
∑
S t a t i s t i k a
25
b. Tentukan rata-rata dari data pada tabel berikut
Nilai Frekuensi
4 3
5 8
6 12
7 15
8 7
9 3
10 2
Penyelesaian :
Langkah-langkah penyelesaiannya adalah sebagai berikut
a. Nyatakan nilai-nilai data ke dalam notasi dan untuk i = 1, 2,
..., n.
b. Tabel ditambahkan dengan sebuah kolom yang menyatakan hasil
kali antara frekuensi ( ) dan nilai data ( ).
c. Tentukan jumlah frekuensi dan jumlah hasil kali antara dan .
Nilai ( ) frekuensi ( )
4 3 12
5 8 40
6 12 72
7 15 105
8 7 56
9 3 27
10 2 20
∑ = 50 ∑ = 332
d. Tentukan rata-rata ( )
∑
∑
Jadi, rata-ratanya adalah 6,4.
3) Rata-rata untuk data berkelompok Untuk data yang telah dikelompokkan ke dalam kelas-kelas interval, rata-
ratanya dapat ditentukan dengan rumus :
keterangan : : titik tengah kelas ke-i
∑
∑
S t a t i s t i k a
26
Contoh Soal :
Tentukan rata-rata dari data berikut.
Nilai Frekuensi
20 – 29 1
30 – 39 2
40 – 49 4
50 – 59 18
60 – 69 14
70 – 79 8
80 – 89 3
Jumlah ∑ = 50
Penyelesaian :
Langkah-langkah penyelesaiannya adalah sebagai berikut.
a. Tentukan titik tengah kelas untuk i = 1, 2, ..., n
Dari soal banyaknya kelas interval adalah 7
Titik tengah kelas adalah
(batas bawah kelas – batas atas kelas) pada kelas ke-i
Jadi,
b. Hasil kali antara frekuensi ( ) dan titik tengah ( ), dimasukkan ke
dalam tabel. Tentukan juga hasil kali antara dan .
Nilai Frekuensi (fi) Titik tengah (xi) (fixi)
20 – 29 1 24,5 24,5
30 – 39 2 34,5 69
40 – 49 4 44,5 178
50 – 59 18 54,5 981
60 – 69 14 64,5 903
70 – 79 8 74,5 596
80 – 89 3 84,5 253,5
Jumlah ∑ = 50 ∑ = 3005
S t a t i s t i k a
27
c. Tentukan rata-rata ( )
∑
∑
Jadi, rata-ratanya adalah 60,1.
4) Menghitung rata-rata dengan menggunakan rata-rata
sementara Kesulitan dalam menghitung rata-rata adalah apabila dijumpai bilangan
yang besar atau tidak bulat. Untuk mengatasi hal ini, kita
menyederhanakan data, yaitu dengan cara memperkirakan nilai rata-rata
yang disebut rata-rata sementara. Caranya adalah sebagai berikut.
(1) Tetapkan rata- rata sementara ( ), dipilih pada kelas yang
mempunyai frekuensi tertinggi dan letaknya ditengah.
(2) Tentukan simpangan (deviasi) terhadap rata-rata sementara, dengan
rumus:
(3) Tentukan rata-rata sesungguhnya, dengan rumus :
= rata-rata sementara
d : simpangan ke-i
(4) Atau jika dengan memfaktorkan interval kelasnya maka rumusnya
menjadi :
Keterangan :
u :
: faktor interval
p : panjang interval (intreval kelas)
Contoh Soal
Tentukan rata-rata dari data berikut
Tinggi Frekuensi
150 – 154 3
155 – 159 5
160 – 164 10
165 – 169 13
170 – 174 7
175 – 179 2
∑
∑
(∑
∑
)
S t a t i s t i k a
28
Penyelesaian :
Langkah-langkah penyelesaian adalah sebagai berikut
a) Tabel di atas harus dilengkapi dahulu dengan nilai yang diperlukan
sehingga menjadi tabel seperti berikut.
Tinggi Frekuensi (fi)
Titik Tengah (xi)
Simpangan
( )
150 – 154 3 152 -15 -45 -3 -9
155 – 159 5 157 -10 -50 -2 -10
160 – 164 10 162 -5 -50 -1 -10
165 – 169 13 167 0 0 0 0
170 – 174 7 172 5 35 1 7
175 – 179 2 177 10 20 2 4
∑ = 40 ∑ = -90 ∑ = -18
b) Tentukan rata-rata ( )
∑
∑
(
)
Atau (∑
∑
)
(
)
Jadi, rata-ratanya adalah 164,75.
Sifat rataan sebagai tingkat kecenderungan memusat
Kelebihan Kekurangan
Mudah dihitung Perhitungannya melibatkan
seluruh data
Sangat peka terhadap nilai data yang ekstrim (terlalu besar atau terlalu kecil)
S t a t i s t i k a
29
b. Median (Me) Median dari sekelompok data adalah nilai yang terletak di tengah deretan
data setelah diurutkan dari yang terkecil ke yang terbesar. Median
merupakan wakil dari kumpulan data apabila ditinjau dari segi kedudukannya
dalam urutan data.
Contoh soal :
Tentukan median dari data :
4, 7, 4, 8, 10, 12, 4, 5
Penyelesaian :
Data diurutkan lebih dahulu, yaitu : 4, 4, 4, 5, 7, 8, 10, 12
Jadi mediannya adalah 6.
Apabila banyaknya data besar, setelah data-data itu diurutkan maka untuk
menentukan mediannya digunakan formula :
Jika setelah menentukan urutan tempat median, ternyata nomor urut tersebut
bukan bilangan cacah maka harus digunakan interpolasi.
Contoh soal :
Tentukan median dari data berikut.
Nilai Frekuensi
4 3
5 8
6 12
7 15
8 7
9 3
10 2
Letak median (Md) adalah pada data urutan ke
(n + 1)
S t a t i s t i k a
30
Penyelesaian :
Langkah-langkah penyelesaiannya sebagai berikut.
a. Tabel di atas dilengkapi dengan nilai yang diperlukan sehingga menjadi
tabel berikut.
Nilai Frekuensi (f) Frekuensi Kumulatif (fk)
4 3 3
5 8 11
6 12 23
7 15 38
8 7 45
9 3 48
10 2 50
∑ = 50
b. Tentukan letak median, yaitu pada data urutan ke
(kerena 25,5 bukan bilangan cacah maka digunakan interpolasi).
Jadi, mediannya
(Md) = Y25 + 0,5 (Y26 - Y25)
= 7 + 0,5 (7 – 7)
= 7
Y25 adalah data ke-25 dan Y26 adalah data ke-26, yaitu 7.
Untuk data yang disajikan dalam tabel berkelompok distribusi frekuensi,
median dapat dicari dengan rumus:
Keterangan :
Tb : tepi bawah kelas yang memuat median
p : panjang kelas
n : jumlah seluruh frekuensi
fk : frekuensi kumulatif kurang dari bawah kelas yang memuat median
f : frekuensi kelas median
Contoh soal :
Tentukanlah median berikut
Tinggi Frekuensi (f)
150 – 154 3
155 – 159 5
160 – 164 10
165 – 169 13
170 – 174 7
175 – 179 2
(
)
Beberapa cara untuk
menentukan median dari data
berkelpmpok
1) Menggunakan ogive
2) Menggunakan
histogram
3) Menggunakan rumus
S t a t i s t i k a
31
Penyelesaian :
Langkah-langkah penyelesaiannya sebagai berikut.
a) Tabel tersebut dilengkapi dengan nilai yang diperlukan sehingga
menjadi seperti tabel berikut.
Tinggi Frekuensi (fi) Frekuensi Kumulatif (fk)
150 – 154 3 3
155 – 159 5 8
160 – 164 10 18
165 – 169 13 31
170 – 174 7 38
175 – 179 2 40
∑ = 40
b) Tentukan kelas yang memuat median, yaitu dngan menghitung nilai
.
Berarti, kelas median terletak pada kelas 165-169
Tb = 164,5 (
)
p = 5 (
)
fk = 18
f = 13
c. Modus (Mo) Modus sekumpulan data adalah data yang paling sering muncul atau
yang mempunyai frekuensi terbanyak. Kemungkinan adanya modus dari
sekumpulan data tunggal adalah tidak ada, data yang mempunyai satu
modus (unimodal), yang mempunyai dua modus (bimodal), dan yang
mempunyai lebih dari dua modus (multimodal). Menyusun data menurut
urutannya, memang baik dan sangat membantu dalam menentukan
modusnya.
Menentukan modus pada tunggal dapat dilakukan secara langsung,
menyusun data menurut urutannya. Namaun, untuk menentukan modus
data berkelompok digunakan rumus :
Keterangan :
Tb : tepi bawah kelas yang memuat modus.
Kelas yang memuat modus adalah kelas
yang mempunyai frekuensi terbanyak.
p : panjang kelas (interval kelas)
(
)
S t a t i s t i k a
32
d1 : selisih antara frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas
sebelumnya.
d2 : selisih antara frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas
sesudahnya.
Contoh Soal :
Tentukan modus (Mo) data berikut.
Tinggi Frekuensi (f)
150 – 154 3
155 – 159 5
160 – 164 10
165 – 169 13
170 – 174 7
175 – 179 2
Penyelesaian :
Kelas yang memuat modus adalah kelas 165-169 (karena mempunyai
frekuensi yang terbanyak).
Tb = 164,5 (
)
p = 5 (
)
d1 = 13 – 10 = 3
d2 = 13 – 7 = 6
Jadi, modusnya adalah 166,2
Kelebihan dan kelemahan sifat modus sebagai suatu ukuran kecenderungan
memusat adalah sebagai berikut
Kelebihan Kekurangan
Dapat memberi nilai data yang paling sering berulang atau muncul
Mudah diketahui dari data tanpa membuat perhitungan
Kadang kala mempunyai lebih dari satu modus
d. Hubungan Antara Rata-Rata ( ), Median (Md), dan Modus (Mo)
Terdapat hubungan empiris antara , Md, dan Mo, yaitu
atau
S t a t i s t i k a
33
Contoh Soal:
Dari beberapa kali ujian pelajaran Matematika, Bahasa Inggris, dan
Kimia, seorang siswa mendapat nilai dalam bentuk distribusi seperti tabel
berikut. Pada mata pelajaran apa siswa itu mendapatkan hasil yang
terbaik?
Pelajaran Median Modus
Matematika 7,5 6,0
Bahasa Inggris 7,5 7,0
Kimia 6,5 7,5
Penyelesaian :
Hasil terbaik dilihat dari rata-rata hasil ujian.
Pelajaran Matematika
6,0 = 3 (7,5) - 2
6,0 = 22,5 - 2
2 = 22,5 – 6,0 = 16,5
= 8,25
Pelajaran Bahasa Inggris
7,0 = 3 (7,5) - 2
7,0 = 22,5 - 2
2 = 22,5 – 7,0 = 15,5
= 7,75
Pelajaran Kimia
7,5 = 3 (6,5) - 2
7,5 = 19,5 – 2
2 = 19,5 – 7,5 = 12
= 6
Rata-rata teringgi terdapat mata pelajaran Matematika.
Jadi, nilai terbaik terdapat pada pelajaran Matematika.
2. Ukuran Letak Sekumpulan data akan berarti apabila mengenal juga sifat-sifat dari data itu.
Ukuran letak suatu data dapat dinyatakan dalam bentuk fraktil. Fraktil adalah
nilai-nilai yang membagi seperangkat data yang telah berurutan menjadi
beberapa bagian yang sama, yaitu kuartil, statistik lima serangkai, rataan
kuartil dan rataan tiga, desil, dan persentil.
Setelah data dikumpulkan, maka langkah awal yang harus dilakukan adalah
menyusun data itu dari datum terkecil ke datum terbesar. Data yang telah
S t a t i s t i k a
34
tersusun dari yang terkecil ke yang terbesar disebut statistik peringkat.
Banyak datum pada pengamatan disebut ukuran data atau banyak data (n).
Datum terkecil dan datum terbesar dalam statistik peringkat disebut statistik
ekstrim.
Contoh Soal :
Tentukan statistik peringkat dan statistik ekstrim dari data berikut ini:
10, 4, 3, 2, 1, 9, 7, 2, 8, 4, 9, 6, 5, 5, 8, 4, 3, 9, 12.
Penyelesaian :
Statistik peringkat dari data di atas adalah :
1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 7, 8, 8, 9, 9, 9, 10, 12.
Statistik minimum (datum terkecil) = 1
Statistik maksimum (datum terbesar) = 12
Banyak data (n) = 19
a. Kuartil Ukuran letak yang membagi sekumpulan data tersebut menjadi 4 bagian
yang sama dinamakan kuartil. Oleh karena itu, masing-masing bagian
mengandung 25% data.
Pada sekumpulan data mempunyai 3 buah kuartil, yaitu kuartil bawah atau
kuartil ke-1 (Q1), kuartil tengah atau kuartil ke-2 (Q2), dan kuartil atas atau
kuartil ke3 (Q3).
Untuk menentukan nilai kuartil dari sekumpulan data yang tidak
dikelompokkan, ditempuh langkah-langkah sebagai berikut.
Xmin Q1 Q2 Q3 Xmax
S t a t i s t i k a
35
1) Urutkan data dari data terkecil ke data terbesar.
2) Tentukan letak kuartil-kuartilnya dengan rumus berikut.
a) Q1 pada data urutan ke
b) Q2 pada data urutan ke
c) Q3 pada data urutan ke
Jika nomor urutan tersebut bukan bilangan cacah maka harus digunakan
interpolasi.
Contoh Soal :
1. Tentukan kuartil bawah (Q1), kuartil tengah (Q2), dan kuartil atas (Q3) dari
sekumpulan data berikut:
70, 50, 50, 70, 40, 80, 50, 90, 60, 50, 40.
Penyelesaian :
Data diurutkan dari data terkecil ke data yang terbesar.
Tampak bahwa :
Kuartil bawah (Q1) = 50, kuarti tengah (Q2) = 50, dan kuartil atas (Q3) =
70 membagi kelompok data ini atas 4 bagian yang sama. Amatilah bahwa
Q2 membagi data atas 2 bagian, masing-masing memuat 5 data.
Begitupun Q1 membagi lima data yang pertama atas dua bagian yang
lain, masing-masing memuat dua data, demikian juga Q3.
2. Tentukan kuartil bawah, kuartil tengah, dan kuartil atas dari data berikut.
Nilai Frekuensi (f) Frekuensi Kumulatif (fk)
4 3 3
5 8 11
6 12 23
7 15 38
8 7 45
9 3 48
10 2 50
∑ = 50
40 40 50 50 50 50 60 70 70 80 90
Q1 Q3 Q2
S t a t i s t i k a
36
Penyelesaian:
Letakkan kuartil bawah (Q1) pada data urutan
ke
ke
ke
Karena nomor urutan bukan bilangan cacah maka digunakan interpolasi.
Sehingga diperoleh:
Q1 = Y12 + 0,75(Y13 – Y12) = 5 + 0,75(6 – 5) = 5,75
Q2 = Y25 + 0,50(Y26 – Y25) = 6 + 0,50(7 – 6) = 6,5
Q3 = Y38 + 0,25(Y37 – Y38) = 7 + 0,25(8 – 7) = 7,25
Selanjutnya, untuk menentukan nilai kuartil data yang sudah
dikelompokkan ke dalam distribusi frekuensi diunakan rumus :
Keterangan :
Qj = kuartil ke-j (j = 1, 2, 3)
TbQj = tepi bawah kelas yang memuat Qj
p = panjang kelas
n = jumlah seluruh frekuensi
fkQj = frekuensi kumulatif kurang dari di bawah kelas yang memuat Qj
fQj = frekuensi kelas yang memuat Qj
Contoh Soal :
Nilai pelajaran Matematika dari 40 orang siswa dikelompokkan seperti
berikut.
Nilai Frekuensi (fi)
42 – 46 1
47 – 51 5
52 – 56 5
57 – 61 15
62 – 66 8
67 – 71 4
72 – 76 2
∑ = 40
Tentukan :
a) Kuartil bawah
b) Kuartil tengah
c) Kuartil atas
Y12 adalah data pada
urutan ke-12 setelah data
disusun dari terkecil ke
terbesar
(
)
S t a t i s t i k a
37
Penyelesaian :
Tabel diatas dilengkapi ddengan nilai yang diperlukan sehingga menjadi
seperti berikut.
Nilai Frekuensi (fi) Frekuensi Kumulatif (fk)
42 – 46 1 1
47 – 51 5 6
52 – 56 5 11
57 – 61 15 26
62 – 66 8 34
67 – 71 4 38
72 – 76 2 40
∑ = 40
a) Kuartil bawah atau kuartil ke-1 (Q1)
Untuk menentukan Q1 maka kita cari dulu kelas yang memuat Q1,
yaitu dengan menghitung nilai dari
Berarti, kelas yang memuat Q1, adalah 52 – 56, (fk = 11)
maka diperoleh = 51,5;
=6; = 5; p = 5
Sehingga kuartil bawahnya :
(
) (
)
= 51,5 + 4 = 55,5
Jadi, kuartil bawahnya adalah 55,5
b) Kuartil tengah atau kuartil ke-2 (Q2)
Untuk menentukan Q2 maka kita cari dulu kelas yang memuat Q2,
yaitu dengan menghitung nilai dari
Berarti, kelas yang memuat Q1, adalah 57 – 61, (fk = 15)
maka diperoleh = 56,5;
=11; = 15; p = 5
Sehingga kuartil bawahnya :
(
) (
)
= 56,5 + 3 = 59,5
Jadi, kuartil tengahnya adalah 59,5
S t a t i s t i k a
38
c) Kuartil atas atau kuartil ke-3 (Q3)
Untuk menentukan Q3 maka kita cari dulu kelas yang memuat Q3,
yaitu dengan menghitung nilai dari
Berarti, kelas yang memuat Q3, adalah 62 – 66, (fk = 34)
maka diperoleh = 61,5;
=26; = 8; p = 5
Sehingga kuartil bawahnya :
(
) (
)
= 61,5 + 2,5 = 64
Jadi, kuartil atasnya adalah 64
b. Statistik Lima Serangkai Dari suatu data terurut x1, x2, x3, ..., xn dapat ditentukan: a. Data yang nilainya terkecil = xmin = x1, disebut juga statistik minimum.
b. Data yang nilainya terbesar = xmax = xn, disebut juga statistik
maximum.
c. Median = Q2
d. Kuartil pertama = Q1
e. Kuartil ketiga = Q3
Gabungan dari kelima statistik diatas disebut statistik lima serangkai, yang
biasa ditampilkan dalam tabel seperti berikut.
c. Rataan Kuartil dan Rataan Tiga Apabila kuartil bawah (Q1), kuartil tengah atau median (Q2), dan kuartil atas
(Q3) dari statistik peringkat telah ditentukan, maka rataan kuartil dan rataan
tiga dapat ditentukan dengan rumus berikut ini.
Contoh Soal :
Sebuah perusahaan mengadakan tes terhadap 14 orang yang melamar
sebagai sekretaris perusahaan. Penilaian tes ini dilakukan dalam kemahiran
mengetik. Kecepatan mengetik dihitung dari banyaknya kata per menit sebgai
berikut :
36, 41, 58, 45, 47, 51, 42, 43, 41, 40, 43, 42, 48, 45.
Q2
Q1 Q3
xmin xmax
Rataan kuartil (RK) = ½ (Q1 + Q3)
Rataan tiga (RT) = ¼ (Q1 + 2 Q2 + Q3)
S t a t i s t i k a
39
Hitunglah :
a. Statistik lima serangkai
b. Rataan kuartil (RK)
c. Rataan tiga (RT)
Penyelesaian :
Statistik peringkat : 36, 40, 41, 41, 42, 42, 43, 43, 45, 45, 47, 48, 51, 58
Statistik minimum = 36 dan statistik maksimum = 58.
a. Jadi statistik 5 serangkai :
b. Rataan kuartil (RK) = ½ (41 + 47) = 44
c. Rataan tiga (RT) = ¼ (41 + 2 . 43 + 47) = 43,5
d. Desil Sekumpulan data yang sudah diurutkan dari data terkecil ke data terbesar
dapat dibagi menjadi sepuluh bagian. Ukuran letak yang membagi
sekumpulan data tersebut dinamakan desil. Masing-masing data
mengandung 10% data. Dengan demikian suatu kumpulan data mempunyai
9 buah desil, yaitu D1, D2, D3, ... D9.
Untuk menentukan desil dari data yang berkelompok, dilakukan langkah-
langkah berikut.
1) Urutkan data dari data terkecil ke data terbesar. 2) Tentukan letak D1, D2, D3, ... D9 dengan rumus sebagai berikut.
Q2 =43
Q1 = 41 Q3 = 47
xmin = 36 xmax = 58
D1 letaknya pada data urutan ke
D2 letaknya pada data urutan ke
D3 letaknya pada data urutan ke
D9 letaknya pada data urutan ke
S t a t i s t i k a
40
Jika nomor urutan suatu desil bukan bilangan cacah maka gunakan interpolasi.
Untuk menentukan nilai desil data yang sudah dikelompokkan ke dalam
distribusi frekuensi, digunakan rumus :
Keterangan :
Dj = desil ke-j (j = 1, 2, 3)
TbDj = tepi bawah kelas yang memuat Dj
p = panjang kelas
n = jumlah seluruh frekuensi
fkDj = frekuensi kumulatif kurang dari di bawah kelas yang memuat Dj
fDj = frekuensi kelas yang memuat Dj
Contoh Soal :
Skor test 1000 siswa dari suatu uji coba tercatat seperti pada tabel berikut.
Skor (x) Frekuensi (fi)
0 – 9 3
10 – 19 67
20 – 29 205
30 – 39 245
40 – 49 213
50 – 59 147
60 – 69 77
70 – 79 34
80 – 89 8
90 – 99 1
Tentukan:
a) Desil ke-3 (D3)
b) Desil ke-6 (D6)
Penyelesaian :
Tabel di atas dilengkapi dengan nilai yang diperlukan sehingga menjadi tabel
berikut.
Skor (x) Frekuensi (fi) Frekuensi Kumulatif (fk)
0 – 9 3 3
10 – 19 67 70
20 – 29 205 275
30 – 39 245 520
40 – 49 213 733
50 – 59 147 880
60 – 69 77 957
70 – 79 34 991
80 – 89 8 999
90 – 99 1 1000
∑ = 1.000
(
)
S t a t i s t i k a
41
a) Desil ke-3 (D3)
Kita cari dulu kelas yang memuat D3, yaitu dengan menghitung nilai dari
Berarti, kelas yang memuat D3 terletak pada kelas 30 – 39 maka diperoleh
= 29,5;
=275; = 245; p = 10
Sehingga desil ke-3 adalah
(
) (
)
= 29,5 + 1 = 30,5
Jadi, desil ke-3 adalah 30,5.
b) Desil ke-6 (D6)
Kita cari dulu kelas yang memuat D6, yaitu dengan menghitung nilai dari
Berarti, kelas yang memuat D6 terletak pada kelas 40 – 49 maka diperoleh
= 39,5;
=520; = 213; p = 10
Sehingga desil ke-6 adalah
(
) (
)
= 39,5 + 3,7 = 43,2
Jadi, desil ke-6 adalah 43,2.
e. Persentil Sekumpulan data yang sudah diurutkan dari data terkecil ke data terbesar
dapat dibagi menjadi seartus bagian. Ukuran letak yang membagi
sekumpulan data tersebut dinamakan persentil. Masing-masing data
mengandung 1% data. Pada suatu kumpulan data mempunyai 99 buah
persentil, yaitu P1, P2, P3, ... P99.
Untuk menentukan persentil dari data yang tidak berkelompok adalah berikut.
1) Urutkan data dari data terkecil ke data terbesar. 2) Tentukan letak P1, P2, P3, ... P99 dengan rumus sebagai berikut.
P1 letaknya pada data urutan ke
P2 letaknya pada data urutan ke
P3 letaknya pada data urutan ke
P99 letaknya pada data urutan ke
S t a t i s t i k a
42
Gunakan interpolasi jika urutan desil bukan bilangan cacah. Untuk
menentukan nilai persentil data berkelompok yang sudah dikelompokkan
ke dalam distribusi frekuensi, digunakan rumus :
Keterangan :
Pj = persentil ke-j (j = 1, 2, 3)
TbPj = tepi bawah kelas yang memuat Pj
p = panjang kelas
n = jumlah seluruh frekuensi
fkPj = frekuensi kumulatif kurang dari di bawah kelas yang memuat Pj
fPj = frekuensi kelas yang memuat Pj
Contoh Soal :
Tentukan persentil ke-10 dan persentil ke-84 dari distribusi frekuensi
berikut.
Skor (x) Frekuensi (fi) Frekuensi Kumulatif (fk)
0 – 9 3 3
10 – 19 67 70
20 – 29 205 275
30 – 39 245 520
40 – 49 213 733
50 – 59 147 880
60 – 69 77 957
70 – 79 34 991
80 – 89 8 999
90 – 99 1 1000
∑ = 1.000
Penyelesaian :
Tabel di atas dilengkapi dengan nilai yang diperlukan sehingga menjadi tabel
berikut.
a. Persentil ke-10 (P10), j = 10
Kita cari dulu kelas yang memuat P10, yaitu dengan menghitung nilai dari
Berarti, kelas yang memuat P10 terletak pada kelas 20 – 29 maka diperoleh
= 19,5;
= 70; = 205; p = 10
Sehingga persentil ke-10 adalah
(
) (
)
= 19,5 + 1,5 = 21,0
Jadi, persentil ke-10 adalah 21,0
(
),
S t a t i s t i k a
43
b. Persentil ke-84 (P84)
Kita cari dulu kelas yang memuat P84, yaitu dengan menghitung nilai dari
Berarti, kelas yang memuat P84 terletak pada kelas 50 – 59 maka diperoleh
= 49,5;
= 733; = 147; p = 10
Sehingga persentil ke-84 adalah
(
) (
)
= 49,5 + 7,3 = 56,8
Jadi, persentil ke-84 adalah 56,8
3. Ukuran Penyebaran Data (Dispersi)
Ukuran penyebaran data (dispersi) adalah suatu ukuran yang menyatakan
seberapa jauh penyimpangan nilai-nilai data dari nilai-nilai pusatnya atau ukuran
yang menyatakan seberapa banyak nilai-nilai data yang berbeda dengan
pusatnya.
Ada empat macam ukuran penyebaran data, yaitu
a. Jangakauan (range)
b. Simpangan rata-rata (deviasi rata-rata)
c. Simpangan baku (standar deviasi atau deviasi standar)
d. Simpangan kuartil (jangakauan semi interkuartil)
Pengembangan dari jangkauan dan jangkauan antarkuartil dapat berupa
pengertian tentang jangkauan semi interkuartil, langkah, pagar dalam, dan pagar
luar.
a. Jangakauan (range) Range merupakan ukuran penyebaran data yang paling sederhana. Range
adalah selisih antara data yang terbesar dan data yang terkecil dan dirumuskan
dengan :
Untuk menentukan jangakauan (range) dari data berkelompok, dapat dilakukan
dengan dua cara berikut.
1. Selisih titik tengah kelas tertinggi dengan tititk tengah kelas terendah.
2. Selisih tepi atas kelas tertinggi dengan tepi atas kelas terendah.
R = Xmax - Xmin
S t a t i s t i k a
44
Sifat jangkauan :
Mudah ditentukan
Hanya melibatkan nilai data terbesar dan terkecil
Peka terhadap satu nilai data ekstrim
Contoh Soal :
1. Tentukanlah range dari data berikut.
2, 4, 3, 1, 5, 1, 9, 8, 5
Penyelesaian :
Xmax = 9
Xmin = 1
Jadi, range (R) = 9 – 1 = 8
2. Tentukanlah range (jangkauan) dari data distribusi berikut.
Nilai Frekuensi (fi)
40 – 49 4
50 – 59 6
60 – 69 10
70 – 79 4
80 – 89 4
90 – 99 2
Penyelesaian :
Titik tengah kelas terendah = ½ (40 + 49)
= 44,5
Titik tengah kelas tertinggi = ½ (90 + 99)
= 94,5
R – I = 94,5 – 44,5 = 50
Jadi, range dari data tersebut adalah 50.
b. Simpangan Rata-Rata (SR) Simpangan rata-rata atau disebut juga deviasi rata-rata adalah suatu
ukuran yang menunjukkan rata-rata dari harga mutlak deviasi tiap data terhadap
nilai rata-ratanya yang merupakan harga mutlak simpangan-simpangannya.
Untuk data yang tidak berkelompok simpangan rata-rata dapat dihitung dengan
rumus :
∑ | |
S t a t i s t i k a
45
Simpangan rata-rata untuk data yang berkelompok, dapat dihitung dengan
rumus:
Keterangan :
SR : simpangan rata-rata (deviasi rata-rata)
xi : nilai pengamatan ke-i
: nilai rata-rata pengamatan
n : banyaknya seluruh data pengamatan
fi : frekuensi kelas ke-i
Contoh Soal :
1. Tentukan simpangan rata-rata dari data : 2, 1, 4, 2, 6.
Penyelesaian :
x | |
1 -2 2
2 -1 1
2 -1 1
4 1 1
6 3 3
∑| | = 8
∑ | |
Jadi, simpangan rata-ratanya adalah 1,6.
2. Tentukan simpangan rata-rata dari distribusi frekuensi berikut.
Nilai Frekuensi (fi)
40 – 49 4
50 – 59 6
60 – 69 10
70 – 79 4
80 – 89 4
90 – 99 2
Penyelesaian :
Tabel diatas dilengkapi dahulu dengan nilai yang diperlukan sehingga
menjadi seperti berikut.
Rata-rata data ini telah dihitung, yaitu = 65,67.
∑ | |
∑
Deviasi dari tiap nilai terhadap rata-
ratanya dijumlahkan maka hasilnya
0 (nol). Oleh karena itu, simpangan
rata-rata dihitung dengan
menggunakan nilai mutlak terhadap
deviasi
S t a t i s t i k a
46
Nilai Frekuensi (fi) Titik Tengah (xi) | | f| |
40 – 49 4 44,5 21,17 84,68
50 – 59 6 54,5 11,17 67,02
60 – 69 10 64,5 1,17 11,70
70 – 79 4 74,5 8,83 35,32
80 – 89 4 84,5 18,83 75,32
90 – 99 2 94,5 28,83 57,66
∑ = 30 = n ∑ | | = 331,70
∑ | |
∑
Jadi, simpangan rata-ratanya adalah 11,06.
c. Simpangan Baku (SD) Simpangan baku atau disebut juga deviasi standar adalah suatu ukuran yang
menunjukkan deviasi standar data pengamatan terhadap rata-ratanya.
Dibandingkan dengan simpangan rata-rata maka deviasi standar merupakan
ukuran penyebaran yang lebih baik karena ukuran ini tidak menggunakan asumsi
nilai mutlak terhadap deviasi, melainkan dengan asumsi kuadrat dari deviasi.
Deviasi standar untuk data yang tidak berkelompok dapat dihitung dengan
menggunakan rumus :
1) Sampel yang berukuran besar (n > 30)
√∑
2) Sampel yang berukuran kecil (n ≤ 30)
√∑
Deviasi standar untuk data yang berkelompok dihitung dengan menggunakan
rumus berikut :
1) Sampel yang berukuran besar (n > 30)
√∑
2) Sampel yang berukuran kecil (n ≤ 30)
√∑
Keterangan :
k : banyak kelas interval
n : banyaknya data
xi : nilai data pengamatan ke-i
: nilai rata-rata pengamatan
S t a t i s t i k a
47
Apabila nilai standar deviasi dikuadratkan, akan didapatkan suatu nilai yang
disebut ragam atau varians. Jadi, ragam dapat dirumuskan sebagai berikut.
Contoh Soal :
1. Tentukanlah besarnya standar deviasi dari data : 2, 1, 4, 2, 6.
Penyelesaian :
x
1 -2 4
2 -1 1
2 -1 1
4 1 1
6 3 9
∑ = 16
√∑
√
√
Jadi, standar deviasinya adalah 2.
2. Tentukanlah besarnya standar deviasi dari distribusi frekuensi berikut.
Berat Frekuensi (fi)
35 – 39 1
40 – 44 5
45 – 49 4
50 – 54 7
55 – 59 19
60 – 64 14
∑ = 50
Ragam = (SD)2
S t a t i s t i k a
48
Penyelesaian :
Tabel dilengkapi dengan nilai yang diperlukan sehingga menjadi seperti
berikut.
Berat Frekuensi (fi)
Titik Tengah
(xi)
fixi fi
35 – 39 1 37 37 -18 324 324
40 – 44 5 42 210 -13 169 845
45 – 49 4 47 188 -8 64 256
50 – 54 7 52 364 -3 9 63
55 – 59 19 57 1083 2 4 76
60 – 64 14 62 868 7 49 686
∑ = n = 50
∑ = 2750
∑ = 2.250
∑
∑
Sampel yang berukuran besar (n > 30)
√∑
√
√
Jadi, standar deviasi adalah 6,71.
d. Simpangan Kuartil (Jangkauan Semi Interkuartil) Seperti halnya dengan range (jangkauan), simpangan kuartil merupakan ukuran
penyebaran dan ditentukan sebagai jarak antara nilai tertinggi dan nilai terendah
dari sekumpulan data. Bedanya kalau range hanya dapat digunakan untuk
mengukur jarak antara nilai tertinggi dan nilai terendah dari sekumpulan data
saja, sedangkan simpangan kuartil dapat digunakan unutk mengukur jarak antara
nilai tertinggi dengan nilai terendah dari setengah (50%) data.
Simpangan kuartil adalah setengah selisih antara kuartil atas (Q3) dan kuartil
bawah (Q1) yang dirumuskan sebagai berikut:
Keterangan :
Qd : simpangan kuartil
Q3 : simpanagn atas
Q1 : simpangan bawah
Selisih antara kuartil atas (Q3) dan kuartil bawah (Q1) disebut jangkauan
antar-kuartil atau hamparan (H), dan dirumuskan sebagai berikut.
Sifat jangakauan antar-kuartil :
Tidak peka terhadap nilai data yang ekstrim
Hanya melibatkan dua kuartil saja
H = Q3 – Q1
S t a t i s t i k a
49
Contoh Soal :
Tentukan simpangan kuartil dari data berikut.
Data Frekuensi (fi)
1 – 5 4
6 – 10 15
11 – 15 7
16 – 20 3
21 – 25 1
∑ = 30
Penyelesaian :
Tabel diatas dilengkapi dahulu dengan nilai-nilai yang diperlukan sehingga
menjadi seperti tabel berikut.
Data Frekuensi (fi) Frekuensi Kumulatif
(fk)
1 – 5 4 4
6 – 10 15 19
11 – 15 7 26
16 – 20 3 29
21 – 25 1 30
∑ = 30
Kita tentukan besarnya kuartil pertama (Q1), yaitu
¼ n = ¼ (30) = 7,5
(
)
(
)
Kita tentukan besarnya kuartil pertama (Q3), yaitu
¾ n = ¾ (30) = 22,5
(
)
(
)
Satu langkah (step) didefinisikan sebagai satu setengah kali panjang satu
hamparan dan ditulis sebagai :
L = 1½ H = 1½ (Q3 – Q1) atau L = 3Qd
S t a t i s t i k a
50
Nilai satu langkah di bawah kuartil bawah disebut pagar dalam (PD) atau
terkadang disebut batas pencilan bawah (BPB) dasn nilai satu langkah diatas
kuartil atas disebut pagar luar (PL) atau terkadang disebut batas pencilan
atas (BPA). Hal ini dapat ditulis sebagai berikut :
Semua nilai data yang terletak di antara batas pencilan bawah (BPB) dan batas
pencilan atas (BPA) merupakan data normal, yaitu nilai data yang mempunyai
median sebagai ukuran pemusatannya. Sedangkan semua nilai yang kurang dari
BPB atau lebih dari BPA merupakan nilai data tak normal dan sering disebut
pencilan. Dengan adanya pencilan ini merupakan petunjuk bagi pengamat
bahwa data itu patut diamati lebih lanjut.
Contoh Soal :
Data ujian Matematika dari 25 siswa adalah sebagai berikut :
4,23 4,95 6,23 7,27 8,87
4,50 5,30 6,40 7,50 8,95
4,65 5,40 6,67 8,23 9,23
4,72 5,57 6,95 8,27 9,40
4,90 6,00 7,04 8,55 9,65
Hitunglah :
a. Jangkauan semi antar kuartil
b. Langkah
c. Pagar dalam
d. Pagar luar
Penyelesaian :
a. Jangkauan semi antar-kuartil
dan
Jadi, Qd = ½ (8,41 – 5,125) = 1,6425
b. Langkah (L) = 3Qd = 3.1,6425 = 4,9275
Pagar dalam (PD) = Q1 – L
= 5,125 – 4,9275 = 0,1975
c. Pagar luar (PL) = Q3 + L
= 8,41 + 4,9275 = 13,3375
PD = BPB = Q1 – L dan PL = BPA = Q3 + L
S t a t i s t i k a
51
Rangkuman
1. Statistika adalah cabang ilmu matematika yang mempelajari metode pengumpulan,
pengolahan, penafsiran, dan penarikan kesimpulan dari data yang berupa angka-
angka.
Statistik adalah hasil analisis dari pengolahan suatu data.
2. Langkah-langkah membuat tabel distribusi frekuensi adalas sebagai berikut.
a. Urutkan data dari data terkecil ke data terbesar.
b. Tentukan jumlah kelas yang akan digunakan, ddengan rumus : k = 1 + 3,3 log n
c. Tetapkan interval kelas, dengan rumus :
dengan R = range
d. Tetapkan batas bawah kelas pertama
3. Frekuensi relatif
∑
4. Ukuran pemusatan data
a. Rata-rata (Mean)
1) Rumus rata-rata data tunggal adalah ∑
2) Rumus rata-rata untuk data yang diboboti adalah ∑
∑
3) Rumus rata-rata dengan rata-rata sementara adalah ∑
∑
4) Rumus rata-rata dengan rata-rata semenstep-deviasi adalah
(∑
∑
)
b. Median (Md)
Median adalah data yang letaknya di tengah-tengah setelah data itu diurutkan.
Rumus median data kelompok adalah (
)
c. Modus (Mo)
Modus adalah data yang paling sering muncul atau yang mempunyai frekuensi
terbanyak.
Rumus modus data kelompok adalah (
)
5. Hubungan empiris antara mean, median, modus.
atau
6. Statistik peringkat adalah data yang telah tersusun dari yang terkecil ke yang
terbesar. Ukuran data atau banyak data (n) adalah banyak datum pada pengamatan.
Datum terkecil dan datum terbesar dalam statistika peringkat disebut statistik
ekstrim.
7. Ukuran letak
a. Kuartil
Kuartil adalah letak yang membagi sekumpulan data yang telah diurutkan
menjadi empat bagian yang sama.
Terdapat tiga buah kuartil, yaitu
1) kuartil bawah (Q1).
S t a t i s t i k a
52
2) kuartil tengah/median (Q2).
3) dan kuartil atas (Q3).
Rumus umum kuartil data kelompok : (
), untuk j = 1, 2, 3
b. Statistik lima serangkai
Merupakan lima buah nilai datum yang memberikan gambaran tentang
kecenderungan pemusatan data (tredensi sentral).
c. Rataan kuartil (RK) = ½ (Q1 + Q3)
Rataan tiga (RT) = ¼ (Q1 + 2 Q2 + Q3)
d. Desil
Desil adalah ukuran letak yang membagi sekumpulan data yang telah diurutkan
menjadi 10 bagian yang sama. Ada 9 buah desil, yaitu D1, D2, D3, ..., D9.
Rumus umum desil untuk data kelompok adalah
(
), untuk j = 1, 2, 3, ..., 9
e. Persentil
Persentil adalah ukuran letak yang membagi sekumpulan data yang telah
diurutkan menjadi 100 bagian yang sama. Ada 99 buah persentil, yaitu P1, P2, P3,
..., P99.
Rumus umum persentil untuk data kelompok adalah
(
), untuk j = 1, 2, 3
8. Ukuran penyebaran (dispersi)
Ada empat macam dispersi, yaitu
1) Jangkauan.
2) simpangan rata-rata.
3) simpangan baku (standar deviasi).
4) simpangan kuartil.
Rumus-rumus ukuran penyebaran.
a. Jangkauan (R)
R = Xmax - Xmin
b. Simpangan rata-rata (SR)
∑ | |
atau
∑ | |
∑
c. Simpangan baku (SD)
3) Sampel yang berukuran besar (n > 30)
√∑
4) Sampel yang berukuran kecil (n ≤ 30)
√∑
d. Simpangan kuartil (Qd)
Q2
Q1 Q3
xmin xmax
S t a t i s t i k a
53
Hamparan (H)
H = Q3 – Q1
Langkah (L)
L = 1½ H = 1½ (Q3 – Q1) atau L = 3Qd
Pagar Dalam (PD)
PD = BPB = Q1 – L
Pagar Luar (PL)
PL = BPA = Q3 + L
9. Ragam (varians) ditentukan dengan rumus:
Ragam = (SD)2
S t a t i s t i k a
54
Latihan Soal
1. Kelompokkan kedua set data berikut ini dengan menggunakan diagram batang daun.
a. 22, 17, 18, 35, 50 dan 56
b. 32, 35, 8, 24, 49, dan 41
2. Diberikan data dari hasil pengukuran tinggi badan 50 siswa SMA. Pengukuran
dicatat dalam satuan centimeter.
155 162 147 170 154 155 160 159 149 173
165 157 156 161 168 150 147 154 167 165
153 151 153 162 158 167 158 164 153 159
156 160 163 166 150 154 160 155 151 163
146 143 155 163 158 174 144 157 162 157
3. Hitunglah rataan hitung pada masing-masing data berikut ini.
a. 11, 13, 16, 19, 15, 10
b. 8, 3, 5, 12, 10
4. Rata-rata nilai matematika dari 19 siswa adalah 6,5. Kemudian ditambahkan nilai
seorang siswa sehingga rata-rata menjadi 6,6. Berapa nilai matematika siswa yang
ditambahkan.
5. Perhatikan tabel berikut ini.
Tinggi (cm) Frekuensi
140 – 144 2
145 – 149 4
150 – 154 10
155 – 159 14
160 – 164 12
165 – 169 5
170 – 174 3
Tentukan:
a. Rataan
b. Rataan sementara
c. Rataan step-deviasi
S t a t i s t i k a
55
6. Hitunglah modus dari tabel distribusi frekuensi berikut ini.
Nilai Banyak siswa
1 – 20 66
21 – 40 130
41 – 60 33
61 – 80 15
81 – 100 4
7. Diberikan data dalam tabel frekuensi di bawah ini.
Hitunglah:
a. Kuartil bawah
b. Kuartil tengah
c. Kuartil atas
Kelas Frekuensi
20 – 29 3
30 – 39 7
40 – 49 8
50 – 59 12
60 – 69 9
70 – 79 6
80 – 89 3
8. Nilai ulangan matematika dari lima belas orang siswa adalah sebagai berikut:
9, 7, 6, 8, 9, 7, 4, 6, 5, 6, 8, 7, 7, 8, 5.
Tentukan:
a. Satistik lima serangkai
b. Rataan kuartil (RK)
c. Rataan tiga (RT)
9. Hitunglah nilai D2 dan D4 dari kelompok data berikut ini
a. 3, 1, 2, 8, 6, 6, 2, 3, 7, 10, 1
b. 10, 11, 18, 19, 11, 17, 15, 14, 10, 11, 18, 19, 14, 18
10. Sekelompok data diberikan dalam tabel distribusi frekuensi berikut ini.
Hitunglah desil keenam.
S t a t i s t i k a
56
Nilai Frekuensi
31 – 40 3
41 – 50 5
51 – 60 5
61 – 70 7
71 – 80 8
81 – 90 9
91 – 100 3
11. Tentukan simpangan rata-rata untuk data 3, 2, 1, 2, 2, 1, 4, 5.
12. Hitunglah nilai rataan simpangan dari tabel berikut
xi fi
61 5
64 18
67 42
70 27
73 8
∑ = 100
13. Tentukan ragam dari data 4, 5, 6, 7, 8, 6.
14. Hitunglah simpangan baku dari tabel berikut.
xi fi
51 5
54 42
57 18
60 27
63 8
∑ = 100
15. Tentukan nilai jangkauan, jangkauan antar kuartil, dan simpangan kuartil dari data
dibawah ini.
27 28 31 31 36 37 37 39 39
40 41 41 43 44 46 46 51 68
S t a t i s t i k a
57
DAFTAR PUSTAKA
Sulistiyono dkk. 2005. Matematika: untuk SMA dan MA Kelas XI. Jakarta: Gelora
Aksara Pratama
Sabandar, Jozua. 2009. Matematika SMA/MA. Jakarta: Bailmu
Sukino. 2007. Matematika: untuk SMA kelas XI. Jakarta: penerbit Erlangga
Noormandiri, B.K. 2007. Matematika: untuk SMA kelas XI. Jakarta: penerbit Erlangga