9b calcolo delle linee segnalatrici di possibilità pluviometrica con r

C. W

hit

e, P

art

of

“ D

rop

s of

Rai

n”,

19

67

Riccardo Rigon, Matteo Dall’Amico

Finding the LSPP with R

Tuesday, March 6, 12

Le precipitazioni Estreme

Riccardo Rigon

Obbiettivi:

2

•Calcolare le curve di possibilità pluviometrica con assegnato tempo di ritorno con R



Riccardo Rigon

Consideriamo le precipitazioni massime annualiQueste si trovano negli annali idrologici registrate per certe durate caratteristiche:

1h, 3h, 6h,12h 24 h e rappresentano il massimo di precipitazione cumulato sulla

prefissata durata.

3

anno 1h 3h 6h 12h 24h1 1925 50.0 NA NA NA NA2 1928 35.0 47.0 50.0 50.4 67.6

......................................

......................................

46 1979 38.6 52.8 54.8 70.2 84.247 1980 28.2 42.4 71.4 97.4 107.451 1987 32.6 40.6 64.6 77.2 81.252 1988 89.2 102.0 102.0 102.0 104.2



Riccardo Rigon

> read.table("PluviometriaPaperopoli_2.txt",header=TRUE) -> data1> rep(c(1,3,6,12,24),each=50) -> h> c(data1[[2]],data1[[3]],data1[[4]],data1[[5]],data1[[6]]) -> hh> plot(hh ~ h,xlab="durata",ylab="Precipitazione (mm)",main="Precipitazioni Massime a Paperopoli")

4



Riccardo Rigon

1 3 6 12 24

50

100

150

Precipitazioni Massime a Paperopoli

durata

Pre

cip

itazio

ne (

mm

)

Mediana

>boxplot(hh ~ h,xlab="durata",ylab="Precipitazione (mm)",main="Precipitazioni Massime a Paperopoli") 5



Riccardo Rigon

1 ora

Precipitazion in mm

Frequenza

20 40 60 80

05

10

15

20

25

3 ore

Precipitazion in mm

Frequenza

20 40 60 80 100

05

10

15

6 ore

Precipitazion in mm

Frequenza

40 60 80 1000

510

15

6



Riccardo Rigon

> par(mfrow=c(1,3))

> hist(data1[[2]], breaks=8,xlab="Precipitazion in mm", ylab="Frequenza",main="Precipitazioni massime di 1 ore a Paperopoli")



7



Riccardo Rigon

Il primo problema da risolvere con l’ausilio della teoria delle probabilità e dell’analisi statistica

E’ dunque quello di determinare, per ogni durata, la corrispondenza tra

quantili (assegnati tempi di ritorno) e altezza di precipitazione.

Per ogni durata si cercherà dunque di interpolare i dati ad una distribuzione di probabilità. La famiglia di curve candidata per questo scopo è la Curva dei valori estremi di tipo I, o curva di Gumbel

b è un parametro di forma, a un parametro di posizione (in effetti la moda)

P [H < h; a, b] = e�e�h�a

b �⇥ < h <⇥



Riccardo Rigon

Distribuzione di Gumbel

La media della distribuzione e data da:

E[X] = b� + a

dove:

è la costante di Eulero-Mascheroni:

� � 0.57721566490153228606



Riccardo Rigon

Distribuzione di Gumbel

La mediana:

La varianza :

a� b log(log(2))

V ar(X) = b2 �2

6



Riccardo Rigon

Metodi di adattamento dei parametrirelativi alla distribuzione di Gumbel ma con validità generale

Il metodo dei momenti applicato alla curva di Gumbel consiste allora nel

porre:

o:

�b� + a = µH

b2 �2

6 = ⇤2H

�MH [1; a, b] = µH

MH [2; a, b] = ⇥2H



Riccardo Rigon

Il metodo della massima verosimiglianza(maximum likelihood)

relativi alla distribuzione di Gumbel ma con validità generale

Il metodo si fonda sulla valutazione della probabilità (composta) di ottenere la

serie temporale registrata:

P [{h1, · · ·, hN}; a, b]

Nella ipotesi di indipendenza delle osservazioni, tale probabilità diviene:

P [{h1, · · ·, hN}; a, b] =N�

i=1

P [hi; a, b]



Riccardo Rigon

La precedente probabilità si chiama anche funzione di verosimiglianza

rappresenta ed è, evidentemente una funzione dei parametri. Per

semplificare i calcoli si definisce anche la funzione detta di log-

verosimiglianza:

13



P [{h1, · · ·, hN}; a, b] =N�

i=1

P [hi; a, b]

log(P [{h1, · · ·, hN}; a, b]) =N�

i=1

log(P [hi; a, b])



Riccardo Rigon

14



Se la serie osservata è sufficientemente lunga, si ritiene che essa debba essere

tale per cui la probabilità della sua osservazione è massima. Allora, i parametri

della curva, che ne descrive la popolazione si possono ottenere da:

�⇥ log(P [{h1,···,hN};a,b])

⇥a = 0⇥ log(P [{h1,···,hN};a,b])

⇥b = 0

Che produce un sistema di due equazioni non-lineari in due incognite.



Riccardo Rigon

Metodo dei minimi quadrati

Consiste nel definire lo scarto quadratico tra le misure, di ECDF, e la probabilità

di non superamento:

�2(⇥) =n�

i=1

(Fi � P [H < hi; ⇥])2

e nel minimizzarlo

15



Riccardo Rigon

scarto quadratico



di non superamento:

�2(⇥) =n�

i=1

(Fi � P [H < hi; ⇥])2

e nel minimizzarlo

15



Riccardo Rigon

ECDFscarto quadratico



di non superamento:

�2(⇥) =n�

i=1

(Fi � P [H < hi; ⇥])2

e nel minimizzarlo

15



Riccardo Rigon

ProbabilitàECDFscarto quadratico



di non superamento:

�2(⇥) =n�

i=1

(Fi � P [H < hi; ⇥])2

e nel minimizzarlo

15



Riccardo Rigon

⇤�2(⇥j)⇤⇥j

= 0 j = 1 · · · m

Tale minimizzazione si ottiene derivando l’espressione dello scarto rispetto

agli m parametri

Ottenendo così le m equazioni in m incognite necessarie.

16



Riccardo Rigon

Istogramma precipitazioni massime 1 h

Precipitazioni Orarie

Freq

uenz

a

20 40 60 80

02

46

810

1214

17



Riccardo Rigon

Un altro comando, che sarà riusato in seguito, è quello che fornisce la frequenza di non superamento empirica (in inglese: empirical cumulative distribution function)

> ecdf(data1h) -> x> plot(x,xlab="h[mm]",ylab="P[H<h]",main="Frequenza di non superamento")

18



Riccardo Rigon

20 40 60 80

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Frequenza di non superamento

h[mm]

P[H<h]

●

●

●●●●●

●●●●●

●●●●●

●●●●●●●

●●●●●●

●●●●●●●

●●●●

●●

●●

19



Riccardo Rigon

Tra le analisi preliminari che si possono effettuare, verifichiamo se i dati orari hanno distribuzione normale. Prima bisogna standardizzare i dati, ovvero ridurli a media nulla e deviazione standard unitaria.

>h.norm=(data1h - mean(data1h))/sd(data1h)

In R esiste poi il comando qqnorm che esegue l'operazione desiderata

>qqnorm(h.norm)>abline(0,1)

il secondo comando aggiunge una linea al grafico, che, nel caso in esame, corrisponde alla distribuzione gaussiana normalizzata.

20



Riccardo Rigon

●

●●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

● ●●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●●

●●

●

●

●

●●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

−2 −1 0 1 2

−10

12

34

Normal Q−Q Plot

Theoretical Quantiles

Sam

ple

Qua

ntile

s

21



Riccardo Rigon

Per esercizio, il lettore potrebbe ingegnarsi a verificare l'adattamento dei

dati ad una curva di Gumbel.

Veniamo ora dunque all'argomento centrale di queste slides, la stima dei

parametri della curva di Gumbel con il metodo dei momenti. Tale metodo

consiste nel fare coincidere con i momenti della popolazione, determinati

analiticamente o numericamente generando un campione (numerico)

sufficientemente numeroso di quella popolazione, con i momenti del

campione empirico. Nel caso della curva di Gumbel sono note le

espressioni analitiche dei momenti.

22



Riccardo Rigon

Innanzitutto, determiniamo la media e la varianza del campione:

> m1h=mean(data1h)> m1h> v1h=var(data1h)> v1h

23



Riccardo Rigon

Ricordando le espressioni analitiche che legano momenti e parametri della curva di Gumbel, calcoliamo dapprima il fattore di scala:

>b1.gumbel = sqrt(6*v1h)/pi

e, il fattore di localizzazione (la moda), dopo aver definito una conveniente approssimazione del numero irrazionale di Eulero

> eulergamma= 0.577216> a1.gumbel = (m1h-b1.gumbel *eulergamma)

24



Riccardo Rigon

I due valori cosi' ottenuti rappresentano una prima approssimazione dei

parametri (che possiamo usare, per esempio per tracciare un qqplot() non

normalizzato^1).

In possesso dei valori dei parametri, possiamo tracciare la curva di Gumbel e

sovrapporla alla curva di non superamento empirica.

25



Riccardo Rigon

Per disegnare la curva di Gumbel si può procedere per due strade. Una è

quella di definire una funzione in R^2. Una seconda è quella di usare una

funzione già preparata da un esperto. Il pacchetto evd (extreme value

distributions) contiene predefinita la funzione di Gumbel. Per poterlo

caricare, si usa il comando

>load(edv)

P.S. - Il pacchetto edv non e’ distribuito con R, bisogna scaricarselo dal sito e

istallarlo. A questo proposito le interfacce di R mettono a disposizione

alcune utilities, per esempio il Package manager ...

26



Riccardo Rigon

Per disegnare la curva di Gumbel, si scriva allora:

> z= sort(data1h) > plot(z,pgumbel(z,loc=a1.gumbel,scale=b1.gumbel), xlab="h[mm]",ylab="P[H<h]",col="red",type="l")

27



Riccardo Rigon

Alla quale si vuole aggiungere, eventualmente la curva cumulata, per osservare,

per confronto visivo, se il metodo dei momenti ha lavorato correttamente.

> plot(ecdf(data1h),xlab="h [mm]",main="Frequenza di non

superamento",add=T)

cruciale la parola chiave "add=T" che permette di sovrapporre i grafici.

28



Riccardo Rigon

Ora, oltre al metodo dei momenti, si vuole applicare il metodo dei minimi quadrati, effettuando, alla fine una regressione lineare. Il metodo, nella versione qui applicato consiste

1-nel valutare la frequenza empirica di superamento associata a cisacuno dei dati (ad ogni hi, si associa un Fi)

2-calcolare Y_i := -\log(-\log(F_i))

3- osservare che, in un piano (h,Y), i dati, se seguissero la distribuzione di Gumbel dovrebbero disporsi su di una retta

4- interpolare linearmente questa retta

R offre numerosi strumenti per effettuare, verificare e visualizzare, queste operazioni (il già citato qqplot() è uno di questi). Una possibilità è quella di fare le operazioni ad una ad una, tuttavia le funzioni già implementate in R consentono alcune scorciatoie.

29



Riccardo Rigon

Si può usare, per esempio, la funzione ecdf(), finora usata solo per scopi visivi.Una sua analisi appena un po' più attenta mostra che ecdf() restituisce una sorta di funzione interpolata. Infatti, posto

> ec=ecdf(data1h)

risulta che, per esempio

> ec(25.5)

restituisce la probabilità del valore h=25.5

dunque

Fi = ec(sort(data1h))

restituisce la probabilità di non superamento empirica dei dati orari.

30



Riccardo Rigon

L'operazione 1 è dunque risolta con ecdf(). L'operazione 2 tradotta nel linguaggio di R è:

Y = -(log(-log(Fi)))

Questa operazione comporta un problema, poichè l'ultimo data ha, relativamente ai dati presenti Fi =1, il cui doppio logaritmo è Infinito

31



Riccardo Rigon

Osservate come è stato eliminato l’ultimo valore che avrebbe dato in -infinito

32



Riccardo Rigon

Si tratta ora di interpolare linearmente i dati con y=Yb e x = data1hb. Gli strumenti per la regressione lineare in R sono molteplici. In questo caso si userà il comando

> lsfit(X,Y) -> fts

Successivamente i vari campi prodotti da lsfit possono essere interrogati nel modo seguente:

> fts$coefficients

ovvero posponendo a fts la parola chiave $coefficients. Per gli altri "attributi" prodotti dalla regressione lineare si veda l'aiuto di lsfit() con ?lsfit()

33



Riccardo Rigon

Il coefficiente b2.gumbel è l'inverso del coefficiente angolare della regressione:

> b2.gumbel = fts$coefficients[[2]]^-1

Il coefficiente

> a2.gumbel = -fts$coefficients[[1]]*b2.gumbel

Analogamente a quanto fatto in precedenza, anche questi due valori permettono di graficare una curva di Gumbel e di sovrapporla alla curva cumulata di probabilità empirica.

34



Riccardo Rigon

Passiamo ora ad affrontare il problema della determinazione dei parametri della curva di Gumbel con il metodo della massima verosimiglianza. Sotto un esempio della funzione di massima verosimiglianza per i dati orari di precipitazione.

Out[1180]= 9-„-a H50-uL - a H50 - uL + Log@aD, -„-a H35-uL - a H35 - uL + Log@aD,-„-a H35.4-uL - a H35.4 - uL + Log@aD, -„-a H67.2-uL - a H67.2 - uL + Log@aD,-„-a H25.2-uL - a H25.2 - uL + Log@aD, -„-a H35.2-uL - a H35.2 - uL + Log@aD,-„-a H48.6-uL - a H48.6 - uL + Log@aD, -„-a H36.4-uL - a H36.4 - uL + Log@aD,-„-a H47.8-uL - a H47.8 - uL + Log@aD, -„-a H39.4-uL - a H39.4 - uL + Log@aD,-„-a H21.4-uL - a H21.4 - uL + Log@aD, -„-a H33-uL - a H33 - uL + Log@aD,-„-a H42-uL - a H42 - uL + Log@aD, -„-a H39.6-uL - a H39.6 - uL + Log@aD,-„-a H28-uL - a H28 - uL + Log@aD, -„-a H42.4-uL - a H42.4 - uL + Log@aD,-„-a H21.2-uL - a H21.2 - uL + Log@aD, -„-a H21.2-uL - a H21.2 - uL + Log@aD,-„-a H19.6-uL - a H19.6 - uL + Log@aD, -„-a H41.6-uL - a H41.6 - uL + Log@aD,-„-a H51-uL - a H51 - uL + Log@aD, -„-a H32-uL - a H32 - uL + Log@aD,-„-a H27.4-uL - a H27.4 - uL + Log@aD, -„-a H35-uL - a H35 - uL + Log@aD,-„-a H21.6-uL - a H21.6 - uL + Log@aD, -„-a H36.8-uL - a H36.8 - uL + Log@aD,-„-a H54.2-uL - a H54.2 - uL + Log@aD, -„-a H39.4-uL - a H39.4 - uL + Log@aD,-„-a H30.6-uL - a H30.6 - uL + Log@aD, -„-a H30.6-uL - a H30.6 - uL + Log@aD,-„-a H33-uL - a H33 - uL + Log@aD, -„-a H32.2-uL - a H32.2 - uL + Log@aD,-„-a H38.4-uL - a H38.4 - uL + Log@aD, -„-a H33.4-uL - a H33.4 - uL + Log@aD,-„-a H31-uL - a H31 - uL + Log@aD, -„-a H37.4-uL - a H37.4 - uL + Log@aD,-„-a H36.8-uL - a H36.8 - uL + Log@aD, -„-a H39.2-uL - a H39.2 - uL + Log@aD,-„-a H29.4-uL - a H29.4 - uL + Log@aD, -„-a H40.4-uL - a H40.4 - uL + Log@aD,-„-a H37.6-uL - a H37.6 - uL + Log@aD, -„-a H30.4-uL - a H30.4 - uL + Log@aD,-„-a H44-uL - a H44 - uL + Log@aD, -„-a H38.6-uL - a H38.6 - uL + Log@aD,-„-a H28.2-uL - a H28.2 - uL + Log@aD, -„-a H61.2-uL - a H61.2 - uL + Log@aD,-„-a H23.6-uL - a H23.6 - uL + Log@aD, -„-a H20.2-uL - a H20.2 - uL + Log@aD,-„-a H32.6-uL - a H32.6 - uL + Log@aD, -„-a H89.2-uL - a H89.2 - uL + Log@aD= 35



Riccardo Rigon

In R l'operazione è molto semplice. Infatti R provvede per questo il comando,

fitdistr() contenuto nel pacchetto MASS (che va caricato con load(MASS). N.B. il

pacchetto evd provvede un comando alternativo: gumbelfit())

>fitdistr(data1h,densfun=dgumbel,start=list(loc=a1.gumbel,scale=b1

.gumbel)) -> mlab

Il comando precedente dice che: i dati da interpolare sono data1h, la densità di

probabilità da usare è dgumbel (fornita dal pacchetto evd). La parola chiave

"start" è seguita dai valori iniziali dai quali parte la ricerca dei parametri

ottimali. Nel caso descritto, come valori iniziali si sono scelti quelli forniti dal

metodo dei momenti (è una pratica consolidata). 36



Riccardo Rigon

Come risultato abbiamo 3 coppie di parametri, tutti in un verto senso ottimi. Per distinguere quali tra questi insiemi di parametri è migliore, dobbiamo usare un criterio di confronto (un test non parametrico). Useremo test di Pearson.

37

Dopo l’applicazione dei vari metodi di adattamento ...



Riccardo Rigon

Il test di Pearson è un test NON parametrico e consiste:

1 - Nel suddividere il campo di probabilità in k parti, per esempio uguali

38

Il Test di Pearson



Riccardo Rigon


2 - derivarne una suddivisione del dominio

39

Il Test di Pearson



Riccardo Rigon


3 - Contare il numero di dati in ciascun intervallo (tra i cinque della figura)

40

Il Test di Pearson



Riccardo Rigon

Le operazioni richieste sono le seguenti (mostrate per il caso del metodo dei momenti):

1- sudddividere l'intervallo della probabilità in un numero sufficiente di intervalli (per esempio 5: {[0,0.2),[0.2,0.4),[0.4,0.6),[0.6,0.8),[0.8,1)})

> q=c(0.2,0.4,0.6,0.8)

2 - calcolare i valori dei quantili della distribuzione di Gumbel per i valori superiori degli intervalli (0.2,0.4,0.6,0.8)

> qgumbel(q,loc=a1.gumbel,scale=b1.gumbel) -> qi

3 - Contare il numero di elementi del campione compresi negli intervalli di h: [0,h_0.2), [h_0.2,h_0.4) e cosi' via.

> c(0,ec(qi)*51) -> no1> c(ec(qi)*51,51) -> no2> no2-no1 ->no

4 - Calcolare il numero di elementi previsti nell'intervallo prescritto dalla curva interpolante. E' facile: N * \delta p, dove, nel caso in esame, \delta p =0.2 ed N è il numero totale di elementi presenti nel campione (51)

> 0.2*length(data1h) -> deltapi> deltapi

5 - Calcolare il \Chi^2

>X1=sum((no-deltapi)^2/deltapi) 41



Riccardo Rigon

42



Riccardo Rigon

Naturalmente la procedura va ripetuta per ciascuna curva interpolante.

Per la massima verosimiglianza:

> qgumbel(q,loc=a3.gumbel,scale=b3.gumbel) -> qi

> c(0,ec(qi)*51) -> no1

> c(ec(qi)*51,51) -> no2

> no2-no1

> 0.2*length(data1h) -> deltapi

> deltapi

> X3=sum((no-deltapi)^2/deltapi)

43



Riccardo Rigon

0 50 100 150

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

Precipitazione [mm]

P[h]

1h

3h

6h

12h

24h

La procedura va anche ripetuta per ogni durata, ovvero oltre che per la durata

oraria, per le 3, 6, 12 e 24 ore.

44

Dopo aver applicato Pearson



Riccardo Rigon

0 50 100 150

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Precipitazione [mm]

P[h]

1h

3h

6h

12h

24h

45




Riccardo Rigon

> seq(from=1, to=150,by=0.1) -> x> plot(x,pgumbel(x,loc=loc.1.gumbel,scale=scale.1.gumbel),type="l",col="red",xlab="Precipitazione [mm]",ylab="P[h]")> lines(x,pgumbel(x,loc=loc.3.gumbel,scale=scale.3.gumbel),col="blue")> lines(x,pgumbel(x,loc=loc.6.gumbel,scale=scale.6.gumbel),col="dark green")> lines(x,pgumbel(x,loc=loc.12.gumbel,scale=scale.12.gumbel),col="dark red")> lines(x,pgumbel(x,loc=loc.24.gumbel,scale=scale.24.gumbel),col="dark blue")> text(30,0.6,"1h",cex=0.8)> text(40,0.55,"3h",cex=0.8)> text(48,0.50,"6h",cex=0.8)> text(60,0.45,"12h",cex=0.8)> text(70,0.40,"24h",cex=0.8)

Ecco i comandi di R per disegnare più curve di probabilità di Gumbel sullo

stesso grafico

46



Riccardo Rigon

> plot(x,pgumbel(x,loc=loc.1.gumbel,scale=scale.1.gumbel),type="l",col="red",xlab="Precipitazione [mm]",ylab="P[h]")

plot( ) disegna la prima curva, con un linea continua (type=”l”) di colore

rosso (col=”red”) con gli assi, i tickmarks e le legende degli assi

> seq(from=1, to=150,by=0.1) -> x

seq( ) produce un vettore di punti del dominio

47



Riccardo Rigon

> text(30,0.6,"1h",cex=0.8)> text(40,0.55,"3h",cex=0.8)> text(48,0.50,"6h",cex=0.8)> text(60,0.45,"12h",cex=0.8)> text(70,0.40,"24h",cex=0.8)

text(x,y,”testo”) scrive il testo tra apice nella posizione “x” e “y”.

cex=0.8 riduce ul carattere di default di 2 decimi

lines( ) disegna le curve successive che si aggiungono alla prima.

> lines(x,pgumbel(x,loc=loc.3.gumbel,scale=scale.3.gumbel),col="blue")> lines(x,pgumbel(x,loc=loc.6.gumbel,scale=scale.6.gumbel),col="dark green")> lines(x,pgumbel(x,loc=loc.12.gumbel,scale=scale.12.gumbel),col="dark red")> lines(x,pgumbel(x,loc=loc.24.gumbel,scale=scale.24.gumbel),col="dark blue")

48



Riccardo Rigon

0 50 100 150

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Precipitazione [mm]

P[h]

1h

3h

6h

12h

24h

Tr = 10 anni

h1 h3 h6 h12 h24

49




Riccardo Rigon

>c(qgumbel(0.9,loc=loc.1.gumbel,scale=scale.1.gumbel),qgumbel(0.9,loc=loc.3.gumbel,scale=scale.3.gumbel),qgumbel(0.9,loc=loc.6.gumbel,scale=scale.6.gumbel),qgumbel(0.9,loc=loc.12.gumbel,scale=scale.12.gumbel),qgumbel(0.9,loc=loc.24.gumbel,scale=scale.24.gumbel))-> h10

Ecco come calcolare il valore del quantile desiderato, in questo caso relativo a 10 anni di tempo di ritorno (P[H <h] =0.9.

50



Riccardo Rigon

Questi punti vengono successivamente interpolati in campo logaritmico per

ottenere, attraverso interpolazione lineare coefficiente ed esponente delle

curve di possibilità pluviometrica.

d = c(1,3,6,12,24)> lsfit(log(d),log(h10)) ->ft10>ft10$coefficientsIntercept X 3.8647304 0.3289624

Vista il logaritmo, per ottenere i veri coefficiente, l’intercetta va esponenziata

> exp(ft10$coefficients[[1]])[1] 47.69042

51



Riccardo Rigon

0 5 10 15 20 25 30 35

40

60

80

100

120

140

160

180

Linee Segnalitrici di Possibilita' Pluviometrica

h [mm]

t [o

re]

52

Si ottengono infine per interpolazione le



Riccardo Rigon

0.5 1.0 2.0 5.0 10.0 20.0

60

80

100

120

140

160

Linee Segnalitrici di Possibilita' Pluviometrica

t [ore]

h [

mm

]

53

Si ottengono infine per interpolazione le



Riccardo Rigon

>plot(dd,exp(ft20$coefficients[[1]])*dd^ft20$coefficients[[2]],type="l",xlab="t [ore]",ylab="h [mm]",main="Linee Segnalitrici di Possibilita' Pluviometrica")>lines(dd,exp(ft05$coefficients[[1]])*dd^ft05$coefficients[[2]],type="l",col="blue")>lines(dd,exp(ft10$coefficients[[1]])*dd^ft10$coefficients[[2]],type="l",col="red")> points(d,h10,pch=0)> points(d,h20,pch=1)> points(d,h05,pch=2)

Infine ecco come disegnare le curve di possibilità pluviometrica

54



Riccardo Rigon

Nel secondo grafico è stato creato un grafico bi-logaritmico usando l’opzione di plottaggio log=”xy” indicante che entrambi gli assi sono

in scala logaritmica.

> plot(dd,exp(ft20$coefficients[[1]])*dd^ft20$coefficients[[2]], type="l",xlab="t [ore]",ylab="h [mm]",main="Linee Segnalitrici di Possibilita' Pluviometrica",log="xy")

55


Le precipitazioni Estreme - Addendum

Riccardo Rigon - Universita’ degli studi di Trento

R:

Il �2

dchisq(x, df, ncp=0, log = FALSE)pchisq(q, df, ncp=0, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)qchisq(p, df, ncp=0, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)rchisq(n, df, ncp=0)

x, q vector of quantiles.p vector of probabilities.n number of observations. If length(n) > 1, the length is taken to be the number required.df degrees of freedom (non-negative, but can be non-integer).ncp non-centrality parameter (non-negative).log, log.plogical; if TRUE, probabilities p are given as log(p).lower.taillogical; if TRUE (default), probabilities are P[X <= x], otherwise, P[X > x].

56


9b calcolo delle linee segnalatrici di possibilità pluviometrica con r

Education