9f174dcf.pdf
DESCRIPTION
.TRANSCRIPT
-
aparine nu aparine inclus include
-mulimea (nu are niciun element)
unei mulimi=cte elemente are acea mulime.
Mulimi care nu au element
vid
Cardinalul
disjuncte =
Mulimi
*
e comune
naturale : 0,1, 2,3,... naturale fr 0 (nenule) : 1, 2,3,...
ntregi: 4, 0, 9, 12
3 3raionale: ; 4; 3; 6,2; 3,(4) reale: 7; ; 4; 3; 3,(4)
5 5
Iraionale: ( ) 7; 2; .
+
N N
Z
Q R
R Q ...
Operaii cu mulimi {2; 4; 7}, {7; 9}
{2; 4; 7; 9} {7}
{2; 4}
A B
A B A B
A B A B
= =
= =
= =
N Z Q R
reuniunea intersecia
diferena produs cartezian
{(2;7), (2;9), (4;7), (4;9), (7;7), (7;9)}
( )
( )
Numere = unul dup altul Ex. 4;5
Numr cu so 0,2,4,6,8,10, ; are forma 2k
Numr fr so 1,3,5,7,9,11, ; are forma 2k+1
10 100 10xy x y abc a b c ab
= + = + +
consecutive
par
impar
Numere naturale
2 3
1000 100 10
lui 7 este 7 49; lui 2 este 2 8
este egal cu ptratul unui numr natural : 0,1, 4,9,16, 25,...
Un ptrat perfect nu poate avea ultima cifr 2, 3,
cd a b c d= + + +
= =
Ptratul cubul
Ptrat perfect
7 sau 8
este egal cu cubul unui num r natural : 0,1, 8, 27,
D=I C+R, R num r to ru l. E x. ;9 2014
7 19- ; au num itorul < num r torul. Ex . ;
4 18
- ; au num itorul = num r torul. E x
numrtor num itor
subunitare
supraunitare
echiunitare
Fracii
( 3
5 341. ;5 3419 16
- , care nu se pot sim plifica. E x. ;14 25
15 5- , care se po t sim plifica. E x.
18 62 8
- ; se recunosc astfel: 2 12 3 83 12
=
= =
ireductibile
reductibile
echivalente
7 207 3450,7 ; 0, 207 ; 3, 45
10 1000 10073 5 23
0, (73) ; 2, (5) 299 9 9135 13 122
,13(5)900 900
= = =
= = =
0 = =
-Finite
-Periodice simple
-Periodice mixte
Transformarea fraciilor zecimale
77% din 300 300 21
1003
raportul numerelor 3 i 5 este5
2 4o egalitate de dou rapoarte (ex. )
3 62,3, 4,6 se numesc proporiei
3 i 4s
= =
=
Procente
Raport
Proporie
termenii
unt ; 2 i 6 sunt .
Proprietatea fundamental a unei proporii:
Numerele , , sunt cu 3, 5, 9 dacx y z
produsul mezilor este egal cu produsul extremilor
mezii extremii
direct proporionale 3 5 9
Numerele , , sunt cu 2, 4, 7dac1 1 1
2 4 7nr.cazuri favorabile
nr.cazuri posibile
x y z
x y zx y z
= =
= =
=
invers proporionale
Probabilitateaunui eveniment
( )( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
3 3 2 2
3 3 2 2
3 3 2 2 3
3 3 2 2 3
a b a b a b
a b a 2ab b
a b a 2ab b
a b c a b c 2ab 2bc 2ac
a b a b (a ab b )
a b a b (a ab b )
a b a 3a b 3ab b
a b a 3a b 3ab b
+ =
+ = + +
= +
+ + = + + + + +
+ = + +
= + +
+ = + + +
= +
Formule de calcul
1 2 .... ; n cazul a dou numere:
2
2
a numerelor 10; 12; 9 , avnd
ponderile 3;
na
a g h
x x xm
n
x y xym m xy m
x y
+ + + =
+= = =
+
Aritmetic
Aritmetic Geometric Armonic
Media aritmetic ponderat
Medii
10 3 12 6 9 56; 5 este =
3 6 5ap
h g a
m
m m m
+ +
+ +
Inegalitatea mediilor
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
5 4 43 2 2
22 2
3 2 2 2
2
x 5x x x 5 ; n 4 n 4 n 4 n 4 1
y 25= y 5 y+5 ; 9x 6x+1= 3x 1
2 2 7 7 2 1 7 1 1 ( 2 7)
6 8
n n n n n n n n
x x
= + = +
+ + + = + + + = + +
+ + =
Prin factor comun
Prin formule
Prin grupri de termeni
Descompunerea expresiilor n factori
( ) ( ) ( )( )2 4 2 8 4 2 4 4 2x x x x x x x x+ + + = + + + = + +
7 4 9 9 2; ; 1
5 5 2 7 99 7 ; 5 2 ; 2 3 0
2 , 4 2 , 3 9 ; 4 , 1 3 , 8 2
3 1; 6 1 0
> > >
C o m p a r r i
Ox- axa
Oy- axa
Punctul M(5;3)
5 i 3 sunt punctului M.
Numrul 5 este , iar 3 este lui M.
absciselor
ordonatelor
coordonatele
abscisa ordonata
Sistem de axe
( )
1 2,2 2
2Forma general 0.
2Rezolvare: calculm , b 4ac.
Dac 0, soluiile sunt: b bx xa a
ax bx c
+ = =
+ + =
=
Ecuaia de gradul doi
deltaSpunem c am definit o funcie pe mulimea A cu valori n mulimea Bdac facem
ca element din A s-i corespund un element n B.
f : A B (citim funcia f definit pe A cu v
fiecrui singur
Funcii
( ) ( )
( )
( )
alori n B")
A - , B -
este o funcie de forma f : , .
Ex. 3 5
Reprezentare grafic. Fie f : , 3 5
Calcular
f x ax b
f x x
f x x
= +
=
=
domeniul de definiie domeniul de valori
Funcie liniar de gradul I R R
R R
( )
( )
ea coordonatelor punctelor de
intersecie a graficului cu axele:
5 5-cu axa se rezolv ecuaia 0 ;3 5 0 ( ;0)
3 3
-cu axa secalculeaz f 0 ; (0) 5 (0; 5)
Calcularea coordonatelor
Ox f x x x A
Oy f B
= = =
=
( )
punctului de intersecie a graficelor a dou funcii f i :
se rezolv ecuaia ( )
g
f x g x
=
3 m=30 dm 7
Lungime Arie Volum Capacitate Mas Timp
Uniti de msur
m=700 dm 5 m=5000 dm 1 l=1 dm 4 kg=4000 g 1 or=60 minute
0,7 m=70 cm 0,05m=500 cm 0,03 cm=30 mm 3 l=3000
ml 0,5 dag=5 g 1 minut=60 secunde
2 km=2000 m 2 km=200 hm 0,05 km=50 hm 0,3 dal=3 l 7 cg=70 mg 1 deceniu=10 ani
3,5 cm=3
9
5 mm 1 ar=1dam=100 m 1 dm=1000 cm 0,2 hl=20 l 2 hg=200 g 1 secol=100 ani
2,7 dam=0,27 hm 1 ha=1hm=100 ari 1 m=10 mm 12
5 ml=0,125 l 6,23 g=62,3 dg 1 mileniu=1000 ani
1,3 mm=0,13 cm 0,02 ha =2 ari= 200 m 3 mm=0,003 cm 0,07 kl=70 l 3 t=3000 kg ore=15minute
5,7 hm=570 m
m=400 cm 0,25 dam=250 m 3 cl=0,3 dl 34 dg=0,34 g ore=30 minute 0,04
-Rezolvare prin metoda
4 4 4 4 5
2 11 2(4 ) 11 8 3 11 3 3 1
-Rezolvare prin metoda
4 2
3 2 2
x y x y x y x y x
x y y y y y y
a b
a b
= = + = + = + =
+ = + + = + = = =
=
+ =
substituiei
reducerii
Sisteme de ecuaii
2 2 8(se adun ecuaiile)
3 2 222
5 / 30 6 4
a b
a b
a a b
=
+ =
= = =
http://sorinborodi.ro/
, dac 06 6; 3 3. n general,
, dac 0
Ex. 3 2 3 2, deoarece 3 2 0
1 2 (1 2) 2 1, deoarece 2 0
x xx
x x
= = =