9_schematizzazione delle azioni applicate alle strutture

7/25/2019 9_schematizzazione Delle Azioni Applicate Alle Strutture

1/26

2007 Universit degli studi e-Campus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (CO) - C.F. 08549051004Tel: 031/7942500-7942505 Fax: 031/7942501 [email protected]

Pagina 1/26

Corso di Laurea: INGEGNERIA CIVILE EAMBIENTALEInsegnamento: Meccanica delle strutturen Lezione: 9Titolo: Schematizzazione delle azioni applicate alle strutture

FACOLT DI INGEGNERIA

LEZIONE 9 Schematizzazione delle azioni applicate alle

strutture.

Nucleotematico

Lez. Contenuto

4 9Schematizzazione delle azioni applicate alle strutture: carichiconcentrati, carichi distribuiti, variazioni termiche,spostamenti impressi.

Come introdotto nella prima lezione, nella meccanica delle strutture siaffronta il problema della determinazione degli effetti sulle strutturedella azioni applicate ad esse. Le azioni pi frequenti sono:

- forze applicate e carichi distribuiti;- variazioni termiche;- spostamenti impressi;- accelerazioni.

La determinazione delle azioni da considerare agenti su una struttura,o meglio sullo schema (sul modello) di una struttura e della loro entit,nelle diverse circostanze sar oggetto di ampie trattazioni nei corsisuccessivi e coinvolge, oltre ad aspetti meccanici, ancheconsiderazioni sulla sicurezza attesa, nonch considerazioni sociali edeconomiche. In questo corso vengono unicamente presentati alcuni

tipi di azioni e viene descritto il modo con cui queste vengonoschematizzate.Si prescinde quindi dallentit e dalle cause delle azioni e sipresentano unicamente le relative schematizzazioni.

Forze applicate o carichi concentrati

Per schematizzare la presenza di forze applicate in porzioni dilimitata estensione di una struttura si considerano applicate in alcunipunti di questa forze o coppie, talvolta dette anche carichi concentrati.Questi carichi hanno evidentemente la dimensione di una forza nelcaso delle forze e di una forza per una lunghezza nel caso delle

coppie e solitamente si misurno in kN ed in kNm, rispettivamente. Unesempio tipico dellutilizzo di questa schematizzazione quello delletravi dei ponti che sono soggette ai pesi dei veicoli che ne percorronolimpalcato (figura 9.1).

Figura 9.1.

A B

P

F1+ F2= P

A B

F1 F2

P: peso del mezzo
mailto:[email protected]:[email protected]


2/26


Pagina 2/26



Si osserva che lapplicazione di una forza costituisce in ogni caso unaschematizzazione delle condizioni reali in quanto il caricoeffettivamente applicato sempre distribuito su una porzione finitadella struttura. La rappresentazione di un carico come una forzaagente in un punto conduce a risultati che sono evidentemente tantopi attendibili quanto pi la porzione caricata piccola rispetto alledimensioni della struttura. poi evidente che la forza che si consideraper schematizzare un carico applicato su una piccola porzione distruttura deve essere equivalente al carico effettivamente applicato,cio deve avere la stessa risultante e lo stesso momento risultante diquesto rispetto a qualunque punto.Nellesempio di figura 9.1 i pesi dei veicoli sono effettivamenteapplicati in corrispondenza di una porzione di struttura (larea diimpronta dei pneumatici) che piccola rispetto alle dimensioni dellastruttura.

Un altro esempio frequente dellutilizzo di questaschematizzazione relativo alle strutture che sono soggette allereazioni vincolari di altre strutture collegate (figura 9.2).

Figura 9.2.

Anche in questo caso le forze nono sono realmente concentrate in unsolo punto ma distribuite in una zona dipendente dalle dimensionidegli elementi collegati e dal tipo di collegamento.

Carichi distribuiti

Per schematizzare la presenza di forze ripartite in ampie zonedi una struttura si considerano ad essa applicati i carichi distribuiti. Per

definire un carico distribuito su un elemento trave necessariodefinire preliminarmente unascissa curvilinea s in modo che ad ognivalore di s resti associato un punto dellasse della trave, e quindi una

P

F

A

P

F

A

A

Nodo A


3/26


Pagina 3/26



sua sezione trasversale. Nel caso di travi rettilinee la scelta pi ovvia

quella di considerare un asse z lungo lasse (figura 9.3)in modo chaad ogni z resti associato un punto dellasse. Un carico distribuito poidescritto analiticamente da una funzione

( )zqq zz = (9.1)

che associa alla generica ascissa z il carico per unit di lunghezzaqz(z) agente nel punto identificato da z.

Figura 9.3.

Questo carico ha quindi la dimensione del rapporto tra una forza eduna lunghezza e solitamente si misura in kN/m.

Con riferimento allafigura 9.3,la risultante un carico distribuitoqz(z) applicato tra le ascisse z1e z2ha risultante di modulo

( )=2

1

z

z

z dzzqR (9.2)

e retta di azione parallela alla direzione del carico e passante perlascissa

( ) =2

1

z

z

zR dzzzq

R

1z (9.3)

In altre parole, il sistema costituito dalle infinite forze infinitesimeqz(z)dz equivalente (nel senso che ha la stessa risultante e lostesso momento risultante rispetto a qualunque punto del piano) alsistema costituito dalla sola forza R avente modulo R, retta di azionepassante per lascissa zRe parallela alla direzione del carico e versouguale a quello del carico. Evidentemente il modulo R della risultante rappresentato dallarea sottesa dal grafico di qz(z) tra le ascisse z1ez2. Si osserva che la(9.3) equivalente alla

( ) =2

1

z

z

zR dzzzqzR (9.4)

z

z = z1 z = z2z = 0 z

qz(z)

z

z = z1 z = z2z = 0 zR

R

qz(z)


4/26


Pagina 4/26



ed chiaro che impone luguaglianza tra il momento di R ed il

momento risultante delle infinite forze infinitesime qz(z)dz rispettoallorigine del riferimento assunto (z = 0).

Le forme pi utilizzate per il carico distribuito qz(z) sono leseguenti.

Carico costante

In questo caso la funzione qz(z) costante: ad ogni ascissa z applicato lo stesso carico per unit di lunghezza (figura 9.4a). Insimboli

( ) qzqz

= (9.5)

essendo q costante; in questo caso chiaro che la risultante delcarico tra le ascisse z1e z2 data dal prodotto dellintensit del caricoper lestensione della zona caricata:

( )12 zzqR = (9.6)

ed ha retta di azione passante per il punto medio della zona caricata(figura 9.4a):

2

zzz 21R

+= (9.7)

Carico variabile linearmente

In questo caso (figura 9.4b) la funzione qz(z) rappresentatada una retta che ha equazione del tipo:

( ) ( )112

121z zz

zz

qqqzq

+= (9.8)

essendo q1e q2i valori del carico alle ascisse z1e z2, rispettivamente.Ovviamente la risultante del carico tra le ascisse z1e z2 data da

( ) ( )2

zzqqR 1221 += (9.9)

ed ha retta di azione passante per il punto di ascissa (figura 9.4b)

( )

+

+

+=

3

qq

2

q

qq

zz2zz 121

21

121R (9.10)

Come caso particolare di carico variabile linearmente ha una certaimportanza il caso di carico triangolare, le cui caratteristiche siottengono dalle(9.8) -(9.10) ponendo q1= 0, cio (figura 9.4c)


5/26


Pagina 5/26



( ) ( )112

fz zzzz

qzq =

( )2

zzqR 12f

=

( )121R zz3

2zz +=

(9.11)

avendo posto q2= qf.

Figura 9.4.

La schematizzazione con carico uniformemente distribuitoviene utilizzata in moltissime circostanze, ad esempio per il pesoproprio delle travi a sezione costante, per i carichi permanenti evariabili sulle travi degli edifici, per i carichi permanenti sugli impalcati

dei ponti, per lazione del vento nel caso di per strutture non molto altee per lazione della neve sulle coperture (figura 9.5a). Ad esempio glieffetti del peso proprio di una trave di materiale il cui peso specifico e la cui sezione trasversale ha area A si valutano applicando il caricouniforme:

Aq = (9.12)

essendo q il peso di un tratto di trave di lunghezza unitaria.

La schematizzazione con carico variabile linearmente vieneutilizzata soprattutto per le spinte del terreno sulle opere di sostegno e

per la pressione esercitata dai liquidi sulle pareti che li contengono(figura 9.5b), ma anche per le travi cantonali nelle coperture apadiglione.

z

z = z1 z = z2z = 0 z

qz(z)

zR

R

z

z = z1 z = z2z = 0 z

qz(z)

zR

R

q1

q1

q

(z2- z1)/2 (z2- z1)/2

z

z = z1 z = z2z = 0 z

qz(z)

zR

R

qf

2(z2- z1)/3 (z2- z1)/3

(a)

(b)

(c)


6/26


Pagina 6/26



Figura 9.5.

Si osserva che anche nel caso di travi rettilinee nonnecessariamente lascissa z giace sullasse della trave. tipico il casodelle travi di copertura inclinate soggette a carichi verticali (pesi deglielementi strutturali e carichi gravitazionali in genere). Per

rappresentare questa circostanza si usa di solito una delle dueschematizzazioni difigura 9.6 che sono del tutto equivalenti. Nel primo(figura 9.6a) il carico riferito allunit di lunghezza della trave; nelsecondo (figura 9.6b e c) il carico riferito allunit di lunghezza dellaproiezione sullorizzontale.

Figura 9.6.

Ovviamente le due rappresentazioni sono equivalenti a patto che sia

=cos

qq 12 (9.13)

Sar mostrato nelle sessioni di studio un esempio relativo aduna trave con asse non rettilineo.

L

Lcos

q2

L

Lcos

q1

z

qz(z) = q2qz(z) = q1

z(b)(a)

R = qL

q = bh

L/2 L/2

b

h

Sezione A-A

A

A

q

vento

R = qH

H/2

H/2

(a)

qf

H/3

2H/3

R = qH/2

q1

q2

H R = (q1+q2)H/2

(b) (c)


7/26


Pagina 7/26



Si ricorda infine che le Equazioni Cardinali della Statica

coinvolgono solo la risultante delle forze applicate e quindi ai fini dellascrittura di queste equazioni non ha alcuna influenza la forma delladistribuzione di carico, ma solo lentit e la posizione della risultante.Sar pi chiaro nel seguito che la forma della distribuzione di caricoinfluenza invece le sollecitazioni e gli spostamenti degli elementistrutturali cui applicato.

Variazioni termiche

noto che le variazioni di temperatura producono variazioni divolume dei materiali. quindi chiaro che in una struttura soggetta ad

una variazione di temperatura si hanno spostamenti di alcuni punti.Nel caso in cui la struttura vincolata in modo da impedire o limitarequesti spostamenti si producono reazioni vincolari e conseguenti statidi sollecitazione negli elementi strutturali. Relativamente alle travi siconsiderano, in genere, variazioni di temperatura lineari del tiporappresentato infigura 9.7a.

Figura 9.7.

La simbologia di figura 9.7a significa che rispetto al tempo dellacostruzione della struttura la temperatura di un lembo della trave aumentata di T1, la temperatura dellaltro lembo aumentata di T2,mentre la temperatura del generico punto P aumentata di TPvalutabile considerando un andamento lineare tra T1e T2.

Si osserva che una variazione lineare di temperatura tipo quelladi figura 9.7a pu sempre essere considerata come la somma di unavariazione uniforme di temperatura (figura 9.7b)

T1

A

A

(a)

T2

G

T1

T2

P TP

Tm

L

Tm

L+L

(b)

GTm

Tm- T1

T2- Tm

R

G

Tm- T1

T2- Tm

(c)

sezione trasversale

y

y

y


8/26


Pagina 8/26



yh

TT

TT 12

1m

+= (9.14)di entit pari al valore che la variazione assegnata assume nelbaricentro e di una variazione lineare con valore nullo nel baricentrodella sezione, talvolta detta a farfalla (figura 9.7c). Nella (9.14) indicata con y la distanza del baricentro G della sezione dal lembosuperiore.

Per la valutazione degli effetti delle variazioni di temperatura necessario conoscere il coefficiente di dilatazione termica linearedelmateriale di cui lelemento soggetto alla variazione di temperatura costituito. Questo parametro il rapporto tra lallungamento di unabarra e la lunghezza iniziale della stessa per effetto di una variazionedi temperatura unitaria. Il coefficiente di dilatazione termica lineare hala dimensione dellinverso della temperatura e di solito si misura inC-1. Frequentemente il coefficiente di dilatazione termica lineare siindica con .

Per una trave non vincolata la variazione di temperaturauniforme Tmproduce la variazione di lunghezza

LTL m= (9.15)

rimanendo la trave rettilinea (figura 9.7.b). Nella (9.15) il

coefficiente di dilatazione termica lineare del materiale di cui la trave costituita ed L la lunghezza iniziale della trave.

Per la stessa trave una variazione di temperatura a farfallaproduce una deformazione che vede lasse della trave assumereforma circolare con raggio

( )12 TT

hR

= (9.16)

essendo h laltezza della sezione della trave (figura 9.7.b).

Al denominatore della (9.16) presente la differenza di

temperatura tra i due lembi. Chiamando T questa differenza ditemperatura la(9.17) pu riscriversi come

T

hR

= (9.17)

Questo giustifica il fatto che per indicare una variazione termica afarfalla (con valore nullo in corrispondenza del baricentro) si usasovente anche la simbologia difigura 9.8.

Figura 9.8.

T R


9/26


Pagina 9/26



Spostamenti impressi

A partire da una configurazione iniziale, pu accadere che adalcuni punti di una struttura siano assegnati certi spostamenti.Dipendentemente dalla configurazione dei vincoli cui la struttura soggetta questi spostamenti possono produrre reazioni vincolari eduno stato di sollecitazione negli elementi strutturali. Sono tipici i casi difigura 9.9 in cui (ad esempio a causa di spostamenti del terreno) unpunto di contatto con il terreno subisce uno spostamento assegnato.In alcuni casi (come ad esempio quelli di figura 9.9)questo producedeformazioni ed uno stato di sollecitazione degli elementi strutturali.

Figura 9.9.

Un altro caso frequente relativo allassemblaggio degli elementistrutturali. Ad esempio nel caso difigura 9.10 gli estremi A e B delleaste 1 e 2 sono posti a distanza d; lelemento di collegamento 3 halunghezza L < d. In questo caso per realizzare il collegamento necessario imprimere lo spostamento relativo

Ld= (9.18)

tra gli estremi A e B, il che produce deformazioni e sollecitazioni nelleaste.

Figura 9.10.

1

2

A

B

d L

1

2

1+ 2= = d - L

1

2

3


10/26


Pagina 10/26



LEZIONE 9 Sessione di studio 1

Schematizzazione delle azioni applicate alle strutture.

descritto nel seguito un esempio relativo ai carichi distribuiti.

Esempio 9.1

Sulla trave rettilinea di figura 9.11 avente sezione di area A =0.15 m2sono applicati, oltre al peso proprio, il carico uniforme qned ilcarico uniforme qw. Siano = 25 kN/m

3il peso specifico del materialedi cui la trave costituita, qn= 0.8 kN/m e qw= 0.2 kN/m. Si determiniil carico distribuito orizzontale ed il carico distribuito verticale applicati

in totale.

Figura 9.11.

La risultante del carico qn verticale ed ha modulo

kN759.3cosLqR nn == (e.1.1)

essendo qndistribuito uniformemente sulla lunghezza LcosIl peso della trave una forza verticale di modulo

kN750.18LAR tr == (e.1.2)

essendo AL il volume della trave.La risultante del carico qw inclinata di rispetto alla verticale ed hamodulo

kN000.1LqR ww == (e.1.3)

Le sue componenti in direzione verticale ed orizzontale sono (figura

9.12)kN940.0cosRR wwv == kN342.0sinRR wwh == (e.1.4)

L

qw

qn

Lcos


11/26


Pagina 11/26



La forza totale applicata alla struttura in direzione verticale quindi

kN448.23RRRR whntrv =++= (e.1.5)

mentre la forza totale applicata alla trave in direzione orizzontale

kN342.0RR whh == (e.1.6)

Figura 9.12.

Questi risultati saranno utili per controllo di quelli ottenuti nel seguito.

Il carico uniformemente distribuito dovuto al peso proprio dellatrave si determina applicando la (9.12) ed

m

kN75.3Aqtr == (e.1.7)

Questo carico riferito allunit di lunghezza di trave e pertanto deveessere rappresentato riferendolo ad unascissa s coincidente conlasse della trave (figura 9.13). Il carico qn invece riferito allunit dilunghezza della proiezione orizzontale della trave e quindi allasse z difigura 9.13. Per determinare il carico distribuito totale non quindi

possibile sommare i valori numerici di qtre qn in quanto questi sonodistribuiti su lunghezze diverse (il carico qw non pu evidentementeessere sommato a questi in quanto ha anche diversa direzione).

Scegliendo di riferire tutti i carichi allunit di lunghezza dellaproiezione sullorizzontale si considera lascissa z difigura 9.13.Coerentemente il carico dovuto al peso proprio si determina con lacon la (9.13) ed

m

kN991.3

cos

qq trtrz =

= (e.1.8)

L

qw

Lcos

qwLcos

qwLsin

qwL


12/26


Pagina 12/26



Figura 9.13.

Si noti come questo valore numerico sia superiore a q tr dato dalla(e.1.7) in quanto quello rappresenta il carico relativo ad un metro ditrave mentre questo rappresenta il carico relativo ad un metro diproiezione di trave (figura 9.14), al quale corrisponde evidentementeun lunghezza di trave superiore.

Figura 9.14.

Il carico qwha direzione ortogonale allasse della trave e quindi ha unacomponente in direzione verticale ed una componente in direzioneorizzontale che sono

m

kN188.0cosqq wwv ==

m

kN068.0sinqq wwh == (e.1.9)

qtr

s

zL

s

qtrz

z

qtr

s

zL


13/26


Pagina 13/26



Questi carichi sono riferiti allunit di lunghezza della trave e possono

rappresentarsi come infigura 9.15.

Figura 9.15.

Riferendo questi carichi allunit di lunghezza della proiezione dellatrave, e quindi allasse z si ha:

m

kN200.0

cos

qq wvwvz =

=

m

kN073.0

cos

qq whwhz =

= (e.1.10)

Questi carichi possono rappresentarsi come infigura 9.16.A questo punto possibile determinare il totale carico distribuitoverticale sommando i contributi del peso proprio, di qne di qw, e cioqtrz, qwvz e qn avendo tutti questi carichi la direzione verticale ed

essendo calcolati rispetto allo stesso riferimento (figura 9.17). Si ha

m

kN991.4qqqq nwvztrzvtz =++= (e.1.11)

Il carico distribuito orizzontale, riferito allunit di lunghezza dellaproiezione invece qwhzgi determinato.Le risultanti dei carichi verticali ed orizzontali devono essere calcolateconsiderando la lunghezza della proiezione sullorizzontale della travee valgono (figura 9.17)

kN448.23cosLqR vtv == kN342.0cosLqR whzh == (e.1.12)

Questo risultato lo stesso determinato preliminarmente con la(e.1.5)e con la(e.1.6).

z

s

qw

L

z

s

qw1 m

qwv1m

qh1 m

qwv

qwh


14/26


Pagina 14/26



Figura 9.16.

Figura 9.17.

Scegliendo invece unascissa s coincidente con lasse dellatrave necessario, prima di sommare i carichi, che siano tutti riferiti aquesta e quindi tutti espressi considerando lunit di lunghezza ditrave. Relativamente al carico qnsi ha (figura 9.18)

z

s

L

qwz

qwz

qn

qtrz

Lcos

z

s

L

z

s

qwv

qwh

qwhzqwvz


15/26


Pagina 15/26



m

kN752.0cosqq nns == (e.1.13)

mentre i carichi qwe qtrsono gi riferiti allascissa s.

Figura 9.18.

Con questo riferimento il totale carico distribuito verticale quindi(figura 9.19)

m

kN690.4qqqq nswvtrvts =++= (e.1.14)

mentre il carico distribuito orizzontale riferito allunit di lunghezza ditrave il valore qwhgi determinato.In questo caso le risultanti dei carichi verticali ed orizzontali devonoessere calcolate considerando la lunghezza effettiva della trave evalgono (figura 9.19)

kN448.23LqR vstv == kN342.0LqR whh == (e.1.15)

Anche questo risultato lo stesso determinato preliminarmente con la(e.1.5) e con la(e.1.6).

z

sqns

qn

z

s

L


16/26


Pagina 16/26



Figura 9.19.

z

s

L

Lcos

qtr

qwv

qwh

qns


17/26


Pagina 17/26





descritto nel seguito un ulteriore esempio relativo ai carichidistribuiti.

Esempio 9.2

Si consideri larco semicircolare avente sezione rettangolare difigura 9.20.

Figura 9.20.

Larco soggetto al peso proprio ed al peso del rinfianco, ciodel materiale posto tra lestradosso ed un piano orizzontale passanteper la sezione di chiave. Siano

b = 0.5 m la larghezza della sezione;h = 0.2 m laltezza della sezione;= 25 kN/m3 il peso specifico del materiale che costituisce

larco;r= 18 kN/m

3 il peso specifico del materiale che costituisce il

rinfianco;R = 3 m il raggio dellasse dellarco.

Si determini il carico totale distribuito sulla struttura.

La risultante dei carichi applicati, che verticale, pu esseredeterminata sommando il peso totale della trave e quello del materialedi rinfianco. Il peso totale della trave

m

kN562.23RbhR tr == (e.2.1)

essendo Rbh il volume della trave.Il peso del rinfianco

2R

h

b

h

Sezionetrasversale

r


18/26


Pagina 18/26



mkN756.34b

2RR2R r

2

2r =

= (e.2.2)

essendo

b2

RR2

22

(e.2.3)

il volume del rinfianco, calcolato in via approssimata supponendo chequesto sia esteso fino allasse della trave semicircolare invece chefino al suo estradosso; questa approssimazione sar ritenuta

applicabile anche nel seguito. La forza totale applicata alla struttura quindi

kN327.58RRR rtrt =+= (e.2.4)

Questo risultato sar utile per controllo di quelli ottenuti nel seguito.

Il carico per unit di lunghezza della trave semicircolare sidetermina con la (9.12) ed

m

kN50.2Aqtr == (e.2.5)

essendo2

m1.0hbA == (e.2.6)

larea della sezione trasversale.Questo carico relativo alla lunghezza unitaria dellasse dellarco epertanto deve essere considerato riferito ad unascissa curvilinea scoincidente con lasse della trave semicircolare, come rappresentatoin figura 9.21.Si pone lorigine dellascissa curvilinea s nel baricentrodella sezione di chiave.

Figura 9.21.

2R

s

s = 0

qtr


19/26


Pagina 19/26



Relativamente al carico distribuito costituito dal rinfianco conviene

invece riferirsi allo schema difigura 9.22 in cui si considera un asse diriferimento z orizzontale passante per il centro dellasse semicircolaredella trave; si pone lorigine dellasse z nel centro dellasse della trave.In questo modo ad ogni ascissa z resta associata una sezione dellatrave come mostrato infigura 9.22.

Figura 9.22.

Sulla sezione z presente unaltezza di rinfianco data da

( ) 22

zRRzh = (e.2.7)il cui peso per unit di lunghezza dellasse z

( ) ( )

== 22rrrz zRRbzhbzq (e.2.8)

in cui il pedice z ricorda che questa espressione riferita allunit dilunghezza dellasse z. Questo carico pu rappresentarsi in uno deidue modi equivalenti di figura 9.23 (nelle rappresentazioni a e b difigura 9.23 il carico rappresentato con un diverso fattore di scala).Prima di sommare i carichi qr e qtr necessario riferirli alla stessa

ascissa. Ad ogni z resta associato un punto dellasse della trave comemostrato in figura 9.22; la stessa sezione pu essere identificata daun opportuno valore dellascissa curvilinea s. Le considerazionigeometriche di figura 9.22 mostrano che s e z identificano la stessasezione se soddisfano

( )R

ssinRsz = (e.2.9)

cio ad ogni ascissa curvilinea s resta associata unascissa z = z(s) inmodo che s e z identifichino la stessa sezione. Relativamente alla(e.2.9) si osservi che vale la relazione

=Rs quindiR

s= (e.2.10)

2R

s

z

z

z = 0

s = 0

h(z)


20/26


Pagina 20/26



essendo langolo rappresentato infigura 9.22.

Figura 9.23.

Equivalentemente ad ogni ascissa z resta associata unascissacurvilinea s = s(z) in modo che s e z identifichino la stessa sezione. La

funzione s(z) si ottiene evidentemente invertendo la(e.2.9),cio

( )

=

R

zsinaRzs (e.2.11)

Chiamando qrs(s) la funzione che descrive il carico del rinfiancorispetto allascissa curvilinea s ed avendo chiamato qrz(z) quella chedescrive lo stesso carico rispetto allasse z la risultante del carico q rapplicato tra un certo punto P ed un punto generico identificatoequivalentemente da unascissa curvilinea s o da unascissa z(s) ,applicando la (9.2)

( ) ( )( )

=sz

z

rz

s

s

rs

PP

dzzqdssq (e.2.12)

z

z

z = 0

2R

z

z

z = 0

qr(z)

qr(z)

(a)

(b)


21/26


Pagina 21/26



essendo sPe zPi valori di s e di z che identificano il punto P dellasse.

Derivando ambo i membri della(e.2.12) rispetto ad s si ha (si ricordinoil teorema fondamentale del calcolo integrale e la regola diderivazione delle funzioni composte)

( ) ( )( )

( )( )

( )szds

ddzzq

dz

ddzzq

ds

dsq

sz

z

rz

sz

z

rzrs

PP

=

= (e.2.13)

e cio

( ) ( )( ) ( )szds

dszqsq rzrs = (e.2.14)

Derivando la(e.2.9) si ha

( )R

scossz

dz

d= (e.2.15)

Tenendo conto della (e.2.8) e della (e.2.15) il carico del rinfianco siesprime rispetto ad s con la funzione

( ) ( )R

scosszRRbsq

22

rrs

= (e.2.16)

tenendo conto poi della(e.2.9) si ha

( )R

scos

R

ssinRRRbsq

2

2

rrs

= (e.2.17)

che dopo semplici passaggi diventa

( )R

scos

R

scos1Rbsq rrs

= (e.2.18)

Il carico qrs(s) si rappresenta come in figura 9.24. Si osservi chequesto carico ha valore nullo per s = 0, come giusto che sia nonessendo presente rinfianco sulla sezione di chiave.

Figura 9.24.

2R

s = 0

s

qrs(s)


22/26


Pagina 22/26



Riferiti allascissa curvilinea s i carichi distribuiti sono rappresentati infigura 9.25a.

Figura 9.25.

Il carico totale

( ) ( ) AR

scos

R

scos1Rbqsqsq rtrrsts +

=+= (e.2.19)

e pu rappresentarsi come infigura 9.25b.La risultante di questo carico

+

=

2

R

2

R

rt dsAR

scos

R

scos1RbR (e.2.20)

essendo s0= -R/2 ed s

f= R/2 i valori di s che identificano le sezioni

terminali della trave semicircolare considerata. Sviluppando i calcoli siha

s = 0

s

qrs(s)

2R

qtr

s = 0

s

qts(s)

(a)

(b)


23/26


Pagina 23/26



kN327.58562.23765.34RA

22RbR 2rt

=+=+

+ = (e.2.21)

Si ottiene quindi lo stesso valore determinato con la(e.2.4).La (e.2.17) avrebbe potuto ottenersi considerando la risultante delcarico qrz relativa ad un tratto infinitesimo dz, cio qrz(z)dz. Questadeve essere uguale alla risultante qrs(s)ds del carico qrs nel trattoinfinitesimo di ascissa curvilinea ds corrispondente al tratto dz (figura9.26.).

Figura 9.26.

Deve cio aversi

( ) ( )dssqdzzq rsrz = (e.2.22)

Essendo dz e ds infinitesimi il tratto ds pu considerarsi sulla tangenteallasse nel punto identificato da s. Risulta quindi (figura 9.26)

dsR

scosdscosdz == (e.2.23)

da cui

( ) ( )dssqdsR

scoszq rsrz = (e.2.24)

dalla quale si ottiene la(e.2.17).

Volendo invece riferire tutti i carichi distribuiti allasse z necessario esprimere il peso proprio rispetto allasse z. Sia q trz(z) lafunzione che descrive il carico qtrrispetto allascissa z.Anche in questo caso si pu imporre che la risultante del carico q trtraun certo punto P dellasse ed un punto generico identificatoequivalentemente da unascissa z o da unaascissa curvilinea s(z) sia

la stessa considerando qtre qtrz(z), cio

s = 0

s

2R

z

dz

ds

dz

ds

qrzdz = qrsds


24/26


Pagina 24/26



( )( ) ( )=z

z

trzPtr

P

dzzqszsq (e.2.25)

essendo ancora sPe zP i valori di s e di z che identificano il punto Pdellasse. Derivando ambo i membri della (e.2.25) rispetto a z siottiene

( )( )[ ] ( )zqszsqdz

dtrzPtr = (e.2.26)

e quindi

( ) ( )( )[ ] ( )zsdzdszsdsdqzq Ptrtrz = (e.2.27)

infine, sviluppando i calcoli

( )22trtrz zR

Rqzq

= (e.2.28)

Questo carico rappresentato, insieme a qr(z) dato dalla (e.2.8), infigura 9.27.

Figura 9.27.

Naturalmente anche in questo caso la risultante del carico applicato

dzzRRb

zR

RqR 22r

R

R

22trt

+

=

(e.2.29)

che sviluppando i calcoli conduce allo stesso risultato ottenuto con la(e.2.4).

2R

z

z

z = 0

qtr(z)

qr(z)


25/26


Pagina 25/26





Sono proposti due esercizi la cui soluzione lasciata al lettore.

Esercizio 9.1

Relativamente alla trave di figura 9.28 si determini il caricodistribuito in direzione ortogonale allasse ed il carico distribuito nelladirezione delasse. Si riferiscano questi carichi ad unascissa z

coincidente con lasse della trave.Sia L = 2 m; qb= 5 kN/m; qa= 2.5 kN/m,

Figura 9.28.

Esercizio 9.2

Relativamente allarco semicircolare avente sezionerettangolare difigura 9.29 soggetto al peso proprio ed al carico qasidetermini il carico distribuito totale e lo si riferisca ad unascissacurvilinea s coincidente con lasse della trave semicircolare.Siano

b = 0.4 m la larghezza della sezione;h = 0.3 m laltezza della sezione;= 18 kN/m3 il peso specifico del materiale che costituisce

larco;qa= 50 kN/m il carico applicato;

R = 2 m il raggio dellasse dellarco.

L

3L

qa

qb


26/26



Figura 9.29.

2R

h

b

h

Sezionetrasversale

qa

9_schematizzazione delle azioni applicate alle strutture

Documents