importanza relativa di interazione cinematica ed inerziale ... · le azioni di progetto di un...
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Importanza relativa di interazione cinematica ed inerziale nell’analisi dei pali di fondazione sotto azioni sismiche
R.M.S. Maiorano, S. Aversa
Università di Napoli Parthenope, Napoli, Italy
Sommario Le azioni di progetto di un terremoto applicate alla fondazione derivano dalle forze d’inerzia sviluppate dalla sovrastruttura e dalle deformazioni del terreno, causate dal passaggio delle onde sismiche. Questi due fenomeni sono indicati in letteratura con il nome di interazione inerziale e interazione cinematica. L’importanza relativa di tali due fattori dipende dalle caratteristiche della struttura, della fondazione, del sottosuolo e dalla natura delle onde sismiche. Spesso il progetto delle strutture in zona sismica tiene conto solo dell’interazione inerziale, trascurando quella cinematica. Questo dipende dal fatto che: (i) l’interazione cinematica in molti casi può effettivamente essere trascurata; (ii) le norme antisismiche, fatta eccezione di pochi codici tra cui l’eurocodice 8, non le considerano; (iii) gli effetti dell’interazione cinematica sono molto più difficili da valutare in maniera rigorosa rispetto a quelli dell’interazione inerziale. Nella presente nota vengono analizzate diverse situazioni tipo di sottosuolo e di condizioni di vincolo in testa al palo al fine di valutare l’importanza relativa dei due meccanismi di interazione. 1. Introduzione Il comportamento dei pali di fondazione sotto l’azione delle onde di taglio che si propagano verticalmente è stato studiato da diversi autori (Flores-Berrones e Whitman, 1982, Kaynia e Kausel, 1982, Dobry e O’Rourke, 1983, Mamoon e Banerjee, 1990, Novak, 1991, Makris e Gazetas, 1992, Kavvadas e Gazetas, 1993, Pender, 1993, Nikolaou et. al., 1995, Gazetas e Mylonakis, 1998). Nonostante i significativi progressi fatti, alcuni aspetti restano ancora poco indagati, soprattutto quelli relativi all’interazione dinamica con la struttura in elevazione. Le azioni di progetto di un terremoto applicate alla fondazione derivano infatti sia dalle forze d’inerzia sviluppate dalla sovrastruttura sia dall’interazione tra i pali ed il terreno che si deforma al passaggio delle onde sismiche. Questi due fenomeni sono indicati in letteratura con il nome di interazione inerziale e interazione cinematica. L’importanza relativa di tali fenomeni dipende dalle caratteristiche della struttura, della fondazione, del sottosuolo e dalla natura delle onde sismiche. In letteratura sono stati pubblicati molti studi parametrici sull’interazione cinematica e sugli effetti di tale interazione sui momenti flettenti nel palo (Gazetas, 1984, Kavvadas e Gazetas, 1993, Nikolaou et. al, 1995 e 2001, Nikolau e Gazetas, 1997). L’interazione inerziale invece è stata studiata prevalentemente per determinare la rigidezza del palo sotto azioni dinamiche piuttosto che per valutare i suoi effetti sul
palo. Nel presente lavoro sono illustrati i risultati di uno studio parametrico condotto con un codice agli elementi finiti dinamico quasi-3D (Wu e Finn, 1997a, 1997b) su pali singoli liberi o impediti di ruotare in testa, immersi in sottosuoli costituiti da due strati elastici lineari di rigidezza diversa, in presenza o in assenza di massa in testa. 2. Interazione dinamica terreno-fondazione struttura 2.1 Considerazioni generali Durante un terremoto, il terreno si deforma per effetto del passaggio delle onde sismiche e trascina nel suo moto la fondazione e la struttura in elevazione. Di contro il moto indotto nella sovrastruttura genera delle forze di inerzia che determinano a loro volta delle sollecitazioni e deformazioni nella fondazione e nel sottosuolo con la generazione di ulteriori onde al contatto palo-terreno. In risposta a ciò fondazione e struttura in elevazione subiscono ulteriori spostamenti dinamici, che a loro volta generano ulteriori forze d’inerzia, e così via. Tali fenomeni sono simultanei e costituiscono nel loro insieme l’interazione dinamica terreno-fondazione-struttura. In molti casi risulta conveniente, sia dal punto di vista concettuale sia da quello computazionale, separare tale interazione in due fenomeni separati e consecutivi, noti con i nomi di “interazione cinematica” ed “interazione inerziale” e ricavare la risposta del sistema terreno-fondazione-struttura dalla loro sovrapposizione (Flores-Berrones e Whitman, 1982, Dobry e O’Rourke, 1983, Kausel e Roesset, 1974). In particolare l’interazione cinematica considera gli effetti delle onde incidenti su uno schema semplificato (fig.1b) in cui sono presenti la struttura di fondazione (con i pali) e il terreno, mentre la massa della struttura in elevazione è posta uguale a zero, al duplice scopo di determinare: l’azione sismica trasmessa alla sovrastruttura e l’aliquota delle caratteristiche della sollecitazioni nei pali, prodotta esclusivamente da tale interazione. L’interazione inerziale (fig.1b), invece, si riferisce alla risposta del sistema completo terreno-fondazione-struttura all’eccitazione delle forze di d’Alembert associate alle accelerazioni della struttura in elevazione dovute all’interazione cinematica. L’analisi dell’interazione inerziale è a sua volta suddivisa in due fasi (fig 1c): calcolo dell’impedenza dinamica, schematizzata con molle e smorzatori, della fondazione associata a ciascun modo di vibrare e determinazione della risposta sismica della struttura in elevazione poggiante su tali molle e smorzatori e soggetta all’accelerazione cinematica alla base. Scopo dello studio dell’interazione inerziale è quello di determinare le caratteristiche della sollecitazione nella struttura in elevazione e l’altra aliquota delle caratteristiche delle sollecitazioni nei pali di fondazione. La risposta del sistema completo terreno-fondazione-struttura è ottenuta, quindi, dalla sovrapposizione degli effetti, anche se, a rigore, la validità
del principio di sovrapposizione degli effetti è legata all’ipotesi di comportamento lineare di tutti i componenti (Kausel e Roesset, 1974; Gazetas e Mylonakis,1998). Nonostante ciò, tale sovrapposizione è ritenuta applicabile in via approssimata anche a sistemi moderatamente non lineari (Milonakis et. al, 1997).
Figura 1 – Metodo delle sottostrutture per l’analisi dell’interazione dinamica terreno-
struttura (da Gazetas e Mylonakis, 1998) La decomposizione degli effetti cinematici ed inerziali, il cosiddetto “metodo delle sottostrutture”, è conveniente anche dal punto di vista computazionale e permette di effettuare studi parametrici e di analizzare i singoli meccanismi dell’interazione tereno-palo-struttura.
aff
ar
onde P, S
onde R, L
(a)
(b)
ar
ast
m⋅acin
(c)
Interazione cinematica Interazione inerziale
m⋅acin
Per ognuna delle singole fasi esistono formulazioni e metodi di analisi diversi, tra i quali metodi agli elementi finiti, agli elementi di contorno, soluzioni analitiche e semianalitiche, ed una varietà di metodi semplificati (Margason e Holloway, 1977, Dobry e O’Rourke, 1983, NEHRP, 1997, Nikolaou e Gazetas, 1997, Dente 1999) Nel paragrafi che seguono si affronteranno separatamente l’interazione cinematica e quella inerziale, con particolare attenzione alla trattazione dei metodi utilizzati come riferimento e confronto della sperimentazione numerica descritta nella presente nota. Per quanto riguarda gli altri metodi si rinvia a Dente (2005) e ad Aversa et al. (2005). 2.2 Interazione cinematica Gli effetti dell’interazione cinematica sui profili di spostamento nel palo e sui relativi momenti flettenti sono stati studiati da Nikolaou et al. (1995) con la teoria della propagazione monodimensionale delle onde in combinazione con il modello “Beam on Dynamic Winkler Foundation” (Makris e Gazetas, 1992; Kavvadas e Gazetas, 1993). I risultati di tali studi indicano che, per terreni omogenei, il momento flettente stazionario dovuto ad un input armonico attinge il suo valore massimo in una sezione posta a circa metà della lunghezza del palo, nel caso di pali liberi di ruotare in testa ed in corrispondenza dell’incastro, invece, nel caso di pali impediti di ruotare in testa. In terreni stratificati il momento flettente si incrementa in corrispondenza dell’interfaccia tra due strati di rigidezza diversa. Tale incremento è tanto maggiore quanto più elevato è il contrasto di rigidezza fra gli strati; in alcuni casi, il valore del momento può anche superare quello che insorge in testa al palo, quando questo è impedito di ruotare. Lo studio parametrico di Nikolaou et al. (1995) ha permesso di ricavare un’equazione semplificata per il calcolo del massimo momento flettente stazionario (generato da un input armonico) all’interfaccia tra due strati:
25.11
3.0
1s
2s7.0
1
p30.1
r3p
7max L
HVV
EE
dL
ga
dE107.2M ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅= − (1)
in cui Ep è il modulo di Young del palo, L/d la snellezza del palo, Vs2/Vs1 il rapporto tra le velocità delle onde di taglio nei due strati di terreno, E1 il modulo di Young del terreno dello strato superiore, H1 la profondità del primo strato ed ar è l’accelerazione massima al limite superiore del substrato. La formula è valida a rigore solo quando l’interfaccia tra gli strati si trovi ad una profondità superiore alla lunghezza attiva del palo La, che in prima approssimazione può essere valutata tramite la relazione di Randolph (1981), basata sull’assunzione di comportamento elastico lineare del palo e del terreno:
r*G
E2L
72
pa ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= (2)
dove G*=G(1+3ν/4) ed r è il raggio del palo.
La (1) fornisce il massimo tra tutti i momenti stazionari che si ottengono nel palo per sollecitazioni armoniche sinusoidali al variare della frequenza. Per terremoti reali di natura transitoria la risposta è sostanzialmente meno gravosa di quella derivante da un’eccitazione armonica stazionaria. Nikolaou et al. (1995, 2000), sulla base dei risultati di analisi tipo BDWF nel dominio del tempo effettuate con accelerogrammi di numerosi terremoti reali su sottosuoli reali suggeriscono di utilizzare un’espressione approssimata:
( ) ( )ω⋅η= MmaxtMmax (3) in cui max M(t) è il massimo momento flettente per un’azione sismica reale; max M(ω) è il massimo momento flettente stazionario; η è un fattore di riduzione, che assume valori compresi tra 0 e 1 e può essere valutato con le espressioni:
23.0N04.0 c +⋅=η (4)
17.0N015.0 c +⋅=η (5) valide, rispettivamente, nei casi in cui il periodo naturale del deposito è prossimo o si discosta dai periodi predominanti dell’eccitazione sismica, dove Nc pari è il numero di cicli equivalenti dell’accelerogramma. Dobry & O’Rourke (1983) forniscono un modello semplice per la valutazione dei momenti flettenti cinematici all’interfaccia tra due strati di rigidezza diversa, nell’ipotesi che: • il palo sia infinitamente lungo e i due strati di terreno siano di spessore infinito; • palo e terreno si deformino in campo elastico; • entrambi gli strati di terreno siano soggetti a tensioni di taglio uniformi γ, e
quindi γ1/ γ2= G1/G2; • il palo, di diametro d, possa essere analizzato come una trave su un letto di
molle alla Winkler con i coefficienti delle molle nei due strati pari a k1 = 3G1/d e k2=3G2/d rispettivamente.
Basandosi su tali assunzioni, gli Autori hanno ricavato una soluzione esplicita del momento nel palo all’interfaccia tra due strati:
( ) ( ) FGIE86.1M 14
11
43
pp ⋅γ⋅⋅= (6) con
( )( )( )( )21
34
CC1CC1C1C1F
+++++−
=−
−
(7)
4
1
1
2
GG
C ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= (8)
e γ1 ricavabile dalla relazione:
11 G
τ=γ (9)
in cui τ è la massima tensione di taglio deducibile da un’analisi di free-field monodimensionale. In alternativa, Dente (2005) suggerisce di ricavare γ1 dalla massima accelerazione amax,s al piano campagna per le condizioni di terreno di free-field:
smax,1
111 a
GHρ
=γ (10)
in cui ρ1 è la densità dello strato superiore e H1 è lo spessore dello strato superiore. Il metodo semplificato di Dobry e O’Rourke, al contrario di quello di Nikolaou et al. (1995) richiede l’esecuzione di un’analisi free-field monodimensionale. 2.3 Interazione inerziale Come già detto, lo studio dell’interazione inerziale può essere suddiviso a sua volta in due fasi distinte e sequenziali: la prima finalizzata alla determinazione delle caratteristiche della sollecitazione nella struttura in elevazione sotto le azioni sismiche trasmesse dalla fondazione, la seconda relativa all’analisi della fondazione sotto le azioni inerziali trasmesse dalla sovrastruttura. La parte geotecnica dello studio dell’interazione inerziale è finalizzata sia alla determinazione dell’impedenza del complesso terreno fondazione, da utilizzare nell’analisi della struttura in elevazione sotto le forze inerziali, sia alla valutazione delle caratteristiche della sollecitazione prodotte nei pali di fondazione per effetto delle sollecitazioni trasmesse dalla sovrastruttura. Diversi autori (Blaney et al., 1976, Gazetas, 1984) hanno derivato espressioni più o meno complesse per il calcolo delle impedenze dinamiche del complesso terreno-fondazione KHH, KMM, KHM, associate all’oscillazione traslazionale, rotazionale, accoppiata rotazionale (si veda Dente, 2005). 3. Definizione del problema Nel presente lavoro si è analizzato il problema del palo singolo immerso in sottosuolo costituito da due strati di terreno di rigidezza diversa poggianti su una formazione di base infinitamente rigida (bed-rock), in presenza ed in assenza di massa in testa. L’eccitazione alla base è costituita da 2 accelerogrammi di terremoti reali (Tolmezzo - Friuli, 1976 ed Arienza - Irpinia, 1980), scalati ad 1m/s2, il palo è considerato come una trave elastica avente sezione circolare di diametro d=0.60m, lunghezza L=12 m, modulo di Young, Ep=30000 MPa, momento di inerzia Ip, densità ρp e fattore di smorzamento β=3%. I due strati di terreno sono modellati come continui elastici lineari viscosi, con modulo di Young E1 o E2, fattore di
smorzamento β1 = β2 = 10%, coefficiente di Poisson ν1 = ν2 = 0.4, densità apparente ρ1 =1.63 kN*s2/m4 o ρ2. Lo schema di palo e sottosuolo è riportato in fig. 2, mentre in tabella 1 sono riportati i parametri adimensionali dei casi studiati, e cioè la snellezza del palo L/d, la rigidezza relativa Ep/E1 tra il modulo di elasticità del palo e quello dello strato di terreno superiore, la rigidezza relativa tra i due strati di terreno espressa dal rapporto delle velocità di propagazione delle onde di taglio Vs2/Vs1 e dal rapporto ρ1/ρ2, la profondità relativa del primo strato di terreno rispetto alla lunghezza del palo, H1/L e la distanza relativa fra la punta del palo ed il substrato rigido, rispetto alla lunghezza del palo.
H1
H2
H3
L
d
Ep, IpV1,ρ 1
V2,ρ 2
ar
Figura 2 – Schema di sottosuolo considerato nello studio parametrico
Lo studio parametrico si basa su quello di Nikolaou et al. (1995) al fine di confrontare i risultati delle analisi nel dominio del tempo con quelli dello studio sviluppato dagli Autori nel dominio delle frequenze.
tabella 1 – Parametri adimensionali dello studio parametrico
caso Ep/E1 Vs2/Vs1 ρ1/ρ2 L/d H1/L H3/L A1 1000 1 1 20 0.67 1 A2 1000 2 0.8 20 0.67 1 A3 1000 4 0.7 20 0.67 1 B1 5000 1 1 20 0.50 1 B2 5000 2 0.8 20 0.50 1 B3 5000 4 0.7 20 0.50 1
Il codice di calcolo agli elementi finiti utilizzato, VERSAT-P3D group (Wu e Finn, 1997a, 1997b), si basa su una formulazione semplificata delle equazioni tridimensionali della propagazione delle onde, che considera la risposta dinamica governata solo dalle onde di taglio nei piani xy e yz e dalle onde di compressione nella direzione dello scuotimento y (vedi fig. 3). Benché il codice di calcolo contenga anche un modello costitutivo lineare equivalente con modulo di taglio e fattore di smorzamento variabile con il livello di deformazione (Seed e Idriss, 1970), nel presente studio il terreno è stato modellato come elastico lineare e con fattore di smorzamento costante. Il codice di calcolo utilizzato consente di studiare l’interazione dinamica terreno-pali-struttura in un’unica fase: la struttura può, infatti, essere schematizzata come un sistema ad un grado di libertà costituito da un oscillatore semplice collegato alla testa del palo, con massa pari alla porzione di massa della sovrastruttura gravante sul singolo palo e rigidezza tale che il sistema assuma lo stesso periodo proprio di vibrazione della struttura in elevazione.
x
z
y
direzione dell'eccitazione
elementi finiti 3D l t
massa della struttura
compressione
taglio
taglio
palo
terreno
Figura 3 – Modello quasi-3D utilizzato dal programma versat-P3D (Wu e Finn, 1994a)
Nello studio parametrico effettuato lo schema è stato ulteriormente semplificato e la sovrastruttura è stata modellata con una massa rigidamente collegata alla testa del palo, trascurando gli effetti del rapporto tra la frequenza propria di vibrazione del terreno e quella della sovrastruttura. Per un palo in calcestruzzo armato con modulo di Young Ep pari a 30000 MPa, per ogni sottosuolo esaminato, ne derivano i moduli E1 e, in considerazione dei valori
di ν, ρ1 e ρ1/ρ2 assegnati, i moduli G1 e G2, le velocità Vs1 e Vs2 e la velocità equivalente Vs,30 (definita nell’EN 1998-1) riportati nella tab 2. Si nota che tutti i sottosuoli ricadono nella classe D, prevista dall’EN 1998-1, con la sola eccezione del sottosuolo A3 che ricade nella classe C.
tabella 2 – Parametri dimensionali dello studio parametrico
caso E1 (kPa)
G1 (kPa)
G2 (kPa)
ρ1(kN* s2/m4)
ρ2(kN* s2/m4)
Vs1(m/s)
Vs2(m/s)
Vs,30 (m/s) sottosuolo
A1 30000 10714 10714 1.63 1.63 81.05 81.05 98.81 D A2 30000 10714 53571 1.63 2.04 81.05 162.10 146.41 D A3 30000 10714 244898 1.63 2.33 80.05 324.20 192.86 C B1 6000 2143 2143 1.63 1.63 36.25 36.25 44.79 D B2 6000 2143 10714 1.63 2.04 36.25 72.49 71.20 D B3 6000 2143 48980 1.63 2.33 36.25 144.99 100.91 D
4. Momenti flettenti cinematici Lo schema di fig. 2, in assenza di massa in testa al palo ha consentito di studiare gli effetti della sola interazione cinematica sul palo. Nelle figure 4 e 5 sono riportati per i diversi casi studiati gli andamenti degli inviluppi dei momenti flettenti adimensionalizzati secondo l’espressione M/(Ep*d3*ar/g). Con le linee tratteggiata e continua sono riportati gli andamenti dei momenti flettenti stazionari ricavati da Nikolaou et al. (1995) con la teoria della trave su molle elastiche lineari e smorzatori (BDWF) per palo libero ed impedito di ruotare in testa; con le linee con simboli vuoti e pieni sono riportati gli andamenti degli inviluppi dei momenti per i due accelerogrammi reali e per i due tipi di vincolo in testa al palo, mentre con il cerchietto pieno il valore del momento flettente stazionario ricavato con la formula semplificata (1). Come si evidenzia nelle figure i momenti flettenti prodotti da terremoti reali sono molto più bassi di quelli massimi stazionari prodotti da eccitazioni armoniche pur presentando lo stesso andamento con la profondità in funzione del rapporto di rigidezza tra gli strati, della rigidezza relativa palo terreno, della profondità dello strato superiore. Le diverse formule semplificate esistenti in letteratura per il calcolo del momento flettente cinematico all’interfaccia tra due strati di rigidezza diversa non possono quindi essere utilizzate per scopi progettuali qualora siano state ricavate per input armonici di durata infinita.
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 0.5 1 1.5Madim
z/L
2
BDWFFriuli 1976 -TolmezzoIrpinia 1980 - Arienzaequazione sempl.
Caso A2palo incastrato
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 0.5 1 1.5 2Madim
z/L
BDWFriuli 1976 - TolmezzoIrpinia 1980 - Arienzaequazione sempl.
Caso A3palo libero
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 0.5 1 1.5 2Madim
z/L
BDWFFriuli 1976 - TolmezzoIrpinia 1980 - Arienzaequazione sempl.
Caso A3palo incastrato
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1Madim
z/L
BDWFFriuli 1976 -TolmezzoIrpinia 1980 - Arienza
Caso A1 palo libero
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1Madim
z/L
BDWFFriuli 1976 -TolmezzoIrpinia 1980 - Arienza
Caso A1palo incastrato
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 0.5 1 1.5 2Madim
z/L
BDWFriuli 1976 -TolmezzoIrpinia 1980 - Arienzaequazione sempl.
Caso A2palo libero
Figura 4 – Momenti flettenti adimensionalizzati – casi A1, A2 ed A3
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4Madim
z/L
BDWF
Friuli 1976 -TolmezzoIrpinia 1980 - Arienza
Caso B1palo libero
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4Madim
z/L
BDWF
Friuli 1976 -Tolmezzo
Irpinia 1980 - Arienza
Caso B1palo incastrato
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4Madim
z/L
BDWFriuli 1976 -TolmezzoIrpinia 1980 - Arienzaequazione sempl.
Caso B2palo libero
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4Madim
z/L
BDWFFriuli 1976 -TolmezzoIrpinia 1980 - Arienzaequazione sempl.
Caso B2palo incastrato
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 1 2 3 4 5Madim
z/L
BDWFFriuli 1976 - TolmezzoIrpinia 1980 - Arienzaequazione sempl.
Caso B3palo libero
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 1 2 3 4 5Madim
z/L
BDWFFriuli 1976 - TolmezzoIrpinia 1980 - Arienzaequazione sempl.
Caso B3palo incastrato
Figura 5 – Momenti flettenti adimensionalizzati – casi B1, B2 ed B3
Per un palo di fissate caratteristiche geometriche ed elastiche al variare dei parametri adimensionali L/d, Ep/E1, Vs2/Vs1, H1/L è facile verificare che in alcuni casi il momento flettente massimo stazionario calcolato ad esempio con la (1) eccede di gran lunga i possibili momenti di plasticizzazione del palo stesso. Le formule semplificate, inoltre, forniscono solo il momento massimo all’interfaccia tra due strati, senza tener conto che per pali impediti di ruotare in testa il momento in corrispondenza del vincolo è, quasi sempre, dello stesso ordine di grandezza e, talvolta, maggiore di quello in corrispondenza del passaggio di strato. In tabella 3 sono riportati i valori del rapporto tra il momento in testa al palo, per pali impediti di ruotare in testa ed il momento all’interfaccia tra i due strati, che, almeno nei casi esaminati, non sembra essere influenzato dalle condizioni di vincolo in testa. Nella stessa tabella è riportato anche il parametro η1, calcolato con la (3), come rapporto tra il momento massimo all’interfaccia tra i due strati calcolato con VERSAT-P3D e quello massimo calcolato con sollecitazione armonica da Nikolaou et al. (1995) utilizzando il metodo BDWF. Nella stessa tabella è anche riportato il rapporto η2, nel quale il denominatore è il momento massimo valutato con la (1).
tabella 3 – Risultati dello studio parametrico sul palo impedito di ruotare in testa, in
assenza di massa
caso Accelerogramma La/H1 Mtesta/Mint η1 η2
A2 Arienza 1980 0.63 0.62 0.14 0.13 A2 Tolmezzo 1976 0.63 0.71 0.07 0.06 A3 Arienza 1980 0.63 0.46 0.20 0.21 A3 Tolmezzo 1976 0.63 0.56 0.10 0.11 B2 Arienza 1980 1.26 1.69 0.11 0.07 B2 Tolmezzo1976 1.26 1.57 0.04 0.02 B3 Arienza 1980 1.26 0.95 0.12 0.16 B3 Tolmezzo 1976 1.26 0.99 0.05 0.06
Si nota che η varia tra 0.1 e 0.2 per l’accelerogramma del terremoto irpino, mentre è addirittura più basso per quello del Friuli. Per completezza è stato effettuato anche un confronto con la soluzione semplificata suggerita da Dobry e O’Rourke (1983) che, come altri autori (Milonakis, 2001), forniscono il massimo momento flettente all’interfaccia tra due strati nel dominio del tempo, a partire cioè da un’analisi di propagazione delle onde di taglio in direzione verticale ed in condizioni di free-field.
L’analisi di propagazione monodimensionale in condizioni di free-field è stata effettuata con il programma EERA (Bardet et al., 2000) per gli stessi casi considerati nello studio parametrico ed ha consentito di determinare le accelerazioni massime a piano campagna e quindi, tramite le (6-10) i momenti flettenti riportati in tabella 4:
tabella 4 – Confronti con la soluzione semplificata di Dobry e O’Rourke
caso Accelerogramma aff/g (EERA)
Mmax (kNm) (VERSAT)
Mmax (kNm) (Dobry e O’Rourke)
A2 Arienza 1980 0.247 102 131 A2 Tolmezzo 1976 0.080 46 43 A3 Arienza 1980 0.355 194 299 A3 Tolmezzo 1976 0.207 87 174 B2 Arienza 1980 0.173 127 231 B2 Tolmezzo1976 0.059 36 79 B3 Arienza 1980 0.263 332 555 B3 Tolmezzo 1976 0.080 116 169
In Fig. 6 è riportato un confronto tra i momenti all’interfaccia ottenuti con il metodo di Dobry e O’Rourke (6-10) e quelli ricavati dall’analisi agli elementi finiti. Si nota che i risultati non sono molto dissimili, anche se, solitamente, il metodo di Dobry e O’Rourke sovrastima il valore del momento massimo all’interfaccia.
y = 1.6314xR2 = 0.9715
0
100
200
300
400
500
600
0 100 200 300 400 500 600
M (kNm) VERSAT-P3d
M (k
Nm
) Dob
ry e
O'R
ourk
Figura 6 – Confronto con la formula di Dobry e O’Rourke (1983)
Anche per il metodo di Dobry e O’Rourke (1983) valgono le stesse limitazioni delle altre formule semplificate già descritte in precedenza; inoltre la (6) non è immediatamente applicabile, ma richiede la preventiva esecuzione di un’analisi free-field monodimensionale. 5. Interazione dinamica completa Lo studio parametrico è stato ripetuto considerando una massa vincolata alla testa al palo. Le analisi sono state effettuate solo sullo schema di palo impedito di ruotare in testa, più significativo ai fini progettuali. La massa in testa al palo è stata assunta pari a 60.000 kg per tutti i casi studiati; solo per uno di essi la massa è stata fatta variare da 30.000 kg a 100.000 kg. In figura 7 sono riportati gli inviluppi dei momenti per i casi A2 ed A3 in presenza ed in assenza di massa in testa. Le analisi effettuate con lo schema di palo senza massa in testa forniscono solo l’aliquota di momento flettente nel palo dovuto alla sola interazione cinematica, mentre quelle dello schema di palo con massa in testa forniscono il momento flettente dovuto all’interazione dinamica completa. Nella stessa figura sono riportati anche i momenti ottenuti sottraendo da quelli dell’interazione completa quelli della sola interazione cinematica. Anche se tale operazione di sottrazione non è a rigore corretta, trattandosi di un’operazione fatta su inviluppi di momenti, i momenti ottenuti possono essere ritenuti rappresentativi della sola interazione inerziale nella logica del metodo delle sottostrutture. Come era logico attendersi, tali momenti sono molto elevati in testa al palo e decrescono rapidamente con la profondità; in particolare, alla profondità H1 quasi non si risente più dell’effetto della massa in testa al palo. Risultati analoghi sono stati ottenuti per i casi B2 e B3, con la differenza che, essendo la profondità del primo strato minore della lunghezza attiva del palo, l’effetto dell’interazione inerziale si risente anche nello strato più profondo. In tabella 5 sono riportati per tutti i casi studiati i momenti massimi in testa al palo dovuti all’interazione cinematica, a quella totale ed a quella inerziale, insieme con i rapporti dei momenti inerziale e cinematico rispetto al momento totale. Come era da attendersi, il momento inerziale, valutato nel sottosuolo A2 con l’accelerogramma di Arienza, si incrementa al crescere della massa in testa al palo. A parità di massa il momento dovuto all’interazione inerziale è più rilevante nel caso dei sottosuoli tipo A, con una percentuale su quello totale pressocchè costante e pari a circa il 70%. Nei sottosuoli tipo B prevale, invece, il momento dovuto all’interazione cinematica, con una percentuale pari a circa il 60% del totale. In tabella 6 sono riportati i valori massimi delle accelerazioni e degli spostamenti di free-field, calcolati ad una distanza tale che non si risenta più dell’influenza del palo, e delle accelerazioni e degli spostamenti della testa del palo con e senza massa.
0
2
4
6
8
10
12
0 100 200 300 400Inviluppo momenti massimi (kNm)
z (m
)
Arienza - int. cinematicaTolmezzo - int. cinematicaArienza - int.completaTolmezzo - int. completa
caso A2
0
2
4
6
8
10
12
-100 0 100 200 300Inviluppo momenti massimi (kNm)
z (m
)
Tolmezzo - int. inerziale
Arienza - int. inerziale
caso A2
0
2
4
6
8
10
12
0 100 200 300 400Inviluppo momenti massimi (kNm)
z (m
)
Tolmezzo - int. completaTolmezzo - int.cinematicaArienza - int. completaArienza - int.cinematica
caso A3
0
2
4
6
8
10
12
-100 0 100 200 300Inviluppo momenti massimi (kNm)
z (m
)
Tolmezzo - int. inerziale
Arienza - int. inerziale
caso A3
Figura 7 – Inviluppi dei momenti dell’interazione cinematica, totale e inerziale per palo
impedito di ruotare (casi A2 ed A3) Dall’esame dei dati in tabella 6, si nota innanzitutto che, in quasi tutti i casi esaminati (con la sola eccezione del sottosuolo B2 con l’accelerogramma di Tolmezzo), le accelerazioni di free-field e della testa del palo sono sensibilmente maggiori di quelle al bed-rock (ar,max = 0.102 g). In assenza di massa, nei sottosuoli tipo A, non si nota una sostanziale differenza tra accelerazioni e spostamenti di free-field e quelli di testa palo; la presenza della massa in testa al palo, invece, incrementa accelerazioni e spostamenti massimi. Per i sottosuoli indicati con la lettera B, in assenza di massa accelerazioni e spostamenti della testa del palo sono
sempre minori di quelli di free-field, tendendo ad eguagliarli in presenza della massa.
tabella 5 – Momenti massimi in testa al palo (palo impedito di ruotare)
Caso accelerogramma m (kg)
Mcin (kNm)
Mtot (kNm)
Miner (kNm) Miner/Mtot Mcin/Mtot
A2 Arienza 1980 60000 65 198 133 0.674 0.326 A2 Arienza 1980 100000 65 296 231 0.781 0.219 A2 Arienza 1980 30000 65 126 62 0.488 0.512 A2 Tolmezzo 1976 60000 37 131 94 0.721 0.279 A3 Arienza 1980 60000 98 337 239 0.710 0.290 A3 Tolmezzo 1976 60000 62 238 176 0.738 0.262 B2 Arienza 1980 60000 208 349 141 0.403 0.597 B2 Tolmezzo 1976 60000 54 91 36 0.403 0.597 B3 Arienza 1980 60000 321 534 213 0.398 0.602 B3 Tolmezzo 1976 60000 120 213 94 0.438 0.562
tabella 6 – Valori massimi degli spostamenti massimi e delle accelerazioni a piano campagna ed in testa al palo (per palo impedito di ruotare)
Caso accelerogramma m (kg) uff (m) aff/g
up (m)senza massa
ap/g senza massa
up (m) con
massa
ap/g con
massa
A2 Arienza 1980 60000 0.018 0.208 0.018 0.205 0.020 0.246 A2 Arienza 1980 100000 0.018 0.208 0.018 0.205 0.021 0.258 A2 Arienza 1980 30000 0.018 0.208 0.018 0.205 0.019 0.227 A2 Tolmezzo 1976 60000 0.006 0.122 0.006 0.119 0.007 0.174 A3 Arienza 1980 60000 0.012 0.327 0.012 0.315 0.014 0.441 A3 Tolmezzo 1976 60000 0.005 0.212 0.005 0.205 0.006 0.326 B2 Arienza 1980 60000 0.034 0.146 0.033 0.134 0.036 0.157 B2 Tolmezzo 1976 60000 0.008 0.046 0.008 0.038 0.008 0.043 B3 Arienza 1980 60000 0.028 0.241 0.023 0.183 0.028 0.233 B3 Tolmezzo 1976 60000 0.007 0.118 0.006 0.071 0.007 0.107
Nella figura 8 sono riportati gli andamenti degli spostamenti massimi e delle accelerazioni massime del palo per i casi B2 e B3, insieme agli analoghi andamenti di free-field. Si nota che, mentre gli andamenti degli spostamenti del terreno presentano una discontinuità in corrispondenza dell’interfaccia tra i due strati, quelli del palo sono continui.
0
2
4
6
8
10
12
0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04spostamenti max (m)
z (m
)
free field
palo libero
palo impedito di ruotare
palo impedito di ruotarecon massa
caso B2 - Arienza 1980 d = 60 cm, Ep =30000 Mpa
0
2
4
6
8
10
12
0.05 0.1 0.15 0.2accelerazioni max/g
z (m
)
free field
palo libero
palo impedito di ruotare
palo impedito di ruotarecon massa
caso B2 - Arienza 1980 d = 60 cm, Ep =30000 Mpa
0
2
4
6
8
10
12
0 0.01 0.02 0.03spostamenti max (m)
z (m
)
free fieldpalo liberopalo impedito di ruotarepalo impedito di ruotare con massa
caso B3 - Arienza 1980 d = 60 cm, Ep =30000 Mpa
0
2
4
6
8
10
12
0.1 0.15 0.2 0.25 0.3accelerazioni max/g
z (m
)
free fieldpalo liberopalo impedito di ruotarepalo impedito di ruotare con massa
caso B3 - Arienza 1980 d = 60 cm, Ep =30000 Mpa
Figura 8 – Inviluppo degli spostamenti e delle accelerazioni (casi B2 e B3)
Il momento dovuto alla sola interazione inerziale dipende non solo dall’input sismico considerato e dalle caratteristiche elastiche dello strato superiore, ma anche dalle caratteristiche elastiche dello strato più profondo. Il caso A2 ed il caso A3 (vedi fig. 7) si differenziano, infatti, solo per il rapporto di rigidezza Vs2/Vs1, e, in particolare, per il caso A2 lo strato inferiore ha una velocità di propagazione delle onde di taglio doppia di quella dello strato superiore, mentre per il caso A3 tale rapporto è di 1 a 4, fermo restando le caratteristiche elastiche del primo strato. Il corrispondente momento dovuto all’interazione inerziale quasi si raddoppia al passare di Vs2/Vs1 da 2 a 4.
In un’analisi pseudostatica di tipo tradizionale, il momento inerziale del palo sembrerebbe, invece, influenzato dalle sole caratteristiche elastiche dello strato superiore, tenendo conto del fatto che lo strato inferiore si trova ad una profondità maggiore della lunghezza attiva del palo. In realtà occorre anche tener conto del fatto che l’accelerazione che sollecita la massa in testa al palo è influenzata anche dallo strato più profondo ed è diversa nei due schemi di sottosuolo. Per analizzare in dettaglio i calcoli effettuati, in figura 8 è riportato il confronto tra il momento inerziale ottenuto nei vari schemi con il codice VERSAT-P3D e quello ricavato con il metodo pseudostatico per palo impedito di ruotare in testa e terreno omogeneo, con la relazione di Randolph (1981):
2L
H375.0M aps ⋅⋅−= (11)
in cui la forza H è stata assunta pari al prodotto tra la massa in testa al palo e l’accelerazione massima in testa al palo (fig.8a) e quella di free-field a piano campagna in un caso (fig.8b).
y = 1.0863xR2 = 0.8973
0
50
100
150
200
250
300
0 50 100 150 200 250 300M calcolato con VERSAT-P3D (kNm)
M p
s1 (k
Nm
)
caso A2
caso A3
caso B2
caso B3
b)
y = 1.2146xR2 = 0.9577
0
50
100
150
200
250
300
0 50 100 150 200 250 300M calcolato con VERSAT-P3D (kNm)
Mps
2 (kN
m)
caso A2
caso A3
caso B2
caso B3
a)
Figura 9 – Confronto tra momenti inerziali in testa al palo calcolati con il codice VERSAT-
P3D e il metodo pseudostatico Si nota, innanzitutto, che il metodo pseudostatico applicato utilizzando come accelerazione di input quella massima agente alla testa del palo sovrastima di circa il 20% i momenti dovuti all’interazione inerziale ricavati a partire dalla simulazione numerica (vedi fig. 8a). La differenza tra i due momenti può essere attribuita sia alla procedura di valutazione del momento a partire dai risultati dell’analisi numerica sia alle differenti condizioni del palo nelle due schematizzazioni. Con la simulazione numerica, infatti, il momento inerziale massimo in testa al palo è stato determinato sottraendo al massimo dell’interazione completa quello dovuto alla sola interazione cinematica; poiché non è detto che tali
massimi si attingano allo stesso istante, la determinazione effettuata potrebbe aver sottostimato il massimo del momento inerziale. Inoltre, il momento determinato con l’approccio pseudostatico è stato calcolato ipotizzando che il palo caricato sia immerso in un continuo elastico non soggetto ad alcun campo di accelerazione. Nella realtà, ed anche nella simulazione numerica, invece, il continuo è soggetto ad un campo di accelerazione che lo pone in movimento insieme con il palo, anche se non necessariamente in sincronia con esso, e ciò potrebbe modificare l’interazione terreno-palo e le caratteristiche della sollecitazione in quest’ultimo. Il confronto riportato nella fig.8b mostra invece che, almeno per i casi esaminati, il momento pseudostatico calcolato con l’accelerazione di free-field a piano campagna è in buon accordo con i risultati delle analisi agli elementi finiti effettuate con VERSAT-P3D. Tale osservazione sembrerebbe giustificare l’uso di tale accelerazione (e dell’accelerogramma o dello spettro ad essa legati) nell’analisi dell’interazione inerziale. 5. Conclusioni Lo studio parametrico effettuato con un codice di calcolo agli elementi finiti quasi-3D nel dominio del tempo ha consentito di ricavare i momenti flettenti nel palo singolo dovuti all’interazione cinematica e all’interazione inerziale, e di valutarne l’importanza relativa, per situazioni di sottosuolo semplificate e nell’ipotesi di palo e terreno elastici lineari, con fattore di smorzamento costante. I momenti dovuti all’interazione cinematica sono stati confrontati con quelli ottenuti da altri autori con modellazioni differenti (tipo Winkler) e con formulazioni semplificate. I momenti massimi dovuti all’interazione inerziale sono stati raffrontati a quelli ricavati con un approccio pseudostatico. Lo studio effettuato, pur nella limitazione degli input accelerometrici e dei tipi di sottosuolo, permette di trarre le seguenti conclusioni: • le formulazioni presenti in letteratura per la determinazione del momento
massimo dell’interazione cinematica all’interfaccia tra strati di terreno di rigidezza diversa, basate su input armonici di durata infinita, sovrastimano di molto tale momento;
• il metodo di Dobry e O’Rourke (1983) permette di ottenere, nei casi esaminati, momenti flettenti massimi cinematici in corrispondenza dell’interfaccia tra due strati orizzontali di diversa rigidezza prossimi a quelli ricavati con l’analisi agli elementi finiti; tale metodo richiede, però, una preventiva analisi della propagazione delle onde di taglio in condizioni di free-field;
• nel caso di palo impedito di ruotare il momento cinematico in corrispondenza del vincolo è dello stesso ordine di grandezza di quello all’interfaccia tra due strati e si somma quindi a quello dell’interazione inerziale;
• il momento cinematico in testa al palo è sempre un’aliquota significativa (dal 20 al 60%) di quello totale, almeno per le geometrie, le masse e le condizioni di sottosuolo (per pali in calcestruzzo, sulla base delle definizioni dell’EN 1998-1, si tratta di sottosuoli di tipo D e, raramente, C) considerate;
• i momenti flettenti inerziali dipendono non solo dalla massa in testa al palo e dalle caratteristiche elastiche dello strato di terreno superiore, ma anche dalla presenza di stratificazioni profonde che influenzano fortemente l’accelerazione della testa del palo;
• i momenti inerziali possono essere valutati con buona approssimazione utilizzando l’approccio pseudostatico con un’accelerazione sulla massa pari a quella di free-field.
Ringraziamenti Gli autori ringraziano il dr. Wu Guoxi, autore del programma VERSAT-P3D, per i preziosi consigli dati durante lo svolgimento delle analisi numeriche e gli amici, Alessandro Mandolini, Armando L. Simonelli e Stefania Sica, per le stimolanti discussioni sul comportamento statico e dinamico dei pali di fondazione. Gli autori ringraziano, altresì, l’anonimo revisore che li ha spinti ad effettuare un confronto con il metodo di Dobry e O’Rourke (1983) che nella versione iniziale del lavoro era stato solo citato ma non utilizzato come riferimento. Bibliografia Aversa S., Maiorano R.M.S, Mandolini A., 2005. La progettazione delle fondazioni su pali
alla luce degli Eurocodici. Atti delle Conferenze di geotecnica di Torino, XX Ciclo. Torino pp.1-52.
Bardet J.P., Ichii K., Lin C.H., 2000. EERA - A Computer Program for Equivalent-linear Earthquake site Response Analyses of Layered Soil Deposits. University of Southern California, Department of Civil Engineering.
Dente G., 1999. La risposta sismica dei pali di fondazione. Hevelius edizioni. Benevento. Dente G., 2005. Fondazioni su pali. Linee guida sugli aspetti geotecnici della progettazione
in zona sismica. Patron Editore. Bologna. Edizione provvisoria, pp.147-160. Dobry R., O’Rourke M.J., 1983. Discussion on ‘Seismic response of end-bearing piles’ by
Flores-Berrones R., Whitman R.V. J. Geotech. Engng Div., ASCE, 109, pp. 778-781.
Flores-Berrones R., Whitman R.V., 1982. Seismic response of end-bearing piles. J. Geotech. Engng Div., ASCE, 108, n. 4, pp. 554-569.
Gazetas G., 1984. Seismic response of end-bearing single piles. Soil Dynamics and Earthquake Engineering, vol. 3, n° 2, pp. 82-93.
Gazetas G., Mylonakis G., 1998. Seismis soil-structure interaction: new evidence and emerging issue. Proc. 3rd Conf Geotechnical Earthquake Engineering and Soil Dynamics, ASCE, Seattle, pp.1119-1174.
Kausel E., Roesset J.M., 1974. Soil Structure Interaction for Nuclear Containment Structures. Proc. ASCE, Power Division Specialty Conference, Boulder, Colorado.
Kavvadas M., Gazetas G., 1993. Kinematic seismic response and bending of free-head piles in layered soil.Géotechnique, 43, N.2, 207-222.
Kaynia A. M., Kausel E., 1982. Dynamic stiffness and seismic response of pile groups. Research Report R82-03. Massachusset Institute of Technology.
Makris N., Gazetas G., 1992. Dynamic pile-soil-pile interaction. Part II: Lateral and seismic response. Earthquake Engng & Struct. Dynamics, 21, n°2.
Mamoon S. M., Banerjee P. K., 1990. Response of piles and pile groups to travelling SH-waves. Earthquake Engng & Struct. Dynamics, 19, n°4, pp. 597-610.
Margason E., Holloway D. M., 1977. Pile design during earthquakes. Proc. 6th Wld Conf. Earthq. Engng, New Delhi, pp. 237-243.
Milonakis G., 2001. Simplified model for seismic pile bending at soil layer interfaces. Soils and Foundations, vol. 41 n°4, pp.47-58.
NEHRP, 1997. Recommended provisions for seismic regulations for new buildings and other structures. Building Seismic Safety Council, Washington D.C.
Nikolaou A. S., Gazetas G., 1997. Seismic design procedure for kinematically loaded piles. Proc. 14th Int. Conf. Soil Mech. Found. Engng, Hamburg, Special volume, ISSMFE TC4 Earthquake geotechnical engineering, 253-260.
Nikolaou A. S., Mylonakis G., Gazetas G., 1995. Kinematic bending moments in seismically stressed piles. Report NCEER-95-0022, National Center for Earthquake Engineering Research. Buffalo: State University of New York.
Nikolaou A. S., Mylonakis G., Gazetas G., Tazoh T., 2001. Kinematic pile bending during earthquakes analysis and field measurements. Géotecnique 51, n° 5, 425-440.
Pender M., 1993. Aseismic pile foundation design analysis. Bull. NZ Nat. Soc. Earthquake Engng,26, n°1, pp. 49-160.
Randolph M.F., 1981. Response of flexible piles to lateral loading. Géotechnique, 31(2), 247-259.
Seed H.B., Idriss I.M., 1970. Soil moduli and damping factors for dynamics response analysis. Earthquake Engineering Research Center, University of California, Berkeley, Report N° ERRC 70-10.
Wu G., Finn W., 1997. Dynamic Elastic Analysis of pile foundations using finite element method in the frequency domain. Can. Geotech. J. , 34(1), 34-43.
Wu G., Finn W., 1997. Dynamic Elastic Analysis of pile foundations using finite element method in the time domain. Can. Geotech. J. , 34(1), 44-52.