準備：粒子生成の具体例（１） • 古典的外場𝐽(𝑡)の下での調和振動子の量子力学をHeisenberg描

像で考える：

𝐻 =12𝑝2 +

12𝜔2𝑞2 − 𝐽 𝑡 𝑞

• 𝑎 𝑡 ≡ 𝜔2𝑞 𝑡 + 𝑖

𝜔𝑝 𝑡 , 𝑎 𝑡 ,𝑎† 𝑡 = 1

⇒ 𝐻 = 𝜔 𝑎†𝑎 +12

−𝐽(𝑡)2𝜔

(𝑎 + 𝑎†)

• 𝑑𝑙𝑑𝑡

= −𝑖𝜔𝑎 + 𝑖2𝜔𝐽 𝑡

⇒ 𝑎 𝑡 = 𝑎0 +𝑖2𝜔

�𝑑𝑡′𝑡

0

𝐽 𝑡′ 𝑒𝑖𝜔𝑡′ 𝑒−𝑖𝜔𝑡

準備：粒子生成の具体例（２） • 古典的外場𝐽(𝑡)として次のものを考える：

𝑎𝑙𝑜𝑡 ≡ 𝑎0 +𝑖2𝜔

�𝑑𝑡′𝑇

0

𝐽 𝑡′ 𝑒𝑖𝜔𝑡′ ≡ 𝑎𝑖𝑖 + 𝐽0

• Heisenberg描像として状態は変わらないが、その解釈が変わる：

|𝜓 > = |0𝑖𝑖 >

𝑡

𝐽(𝑡)

0 𝑇 In-region out-region

𝑎 𝑡 = 𝑎𝑖𝑖𝑒−𝑖𝜔𝑡 |0𝑖𝑖 >

𝑎 𝑡 = 𝑎𝑙𝑜𝑡𝑒−𝑖𝜔𝑡 |0𝑙𝑜𝑡 >

準備：粒子生成の具体例（３）

• 粒子数演算子

• out-regionでは粒子が生成されている：

• 実際に外場により、多粒子状態になっている：

|0𝑖𝑖 > = exp −12𝐽0 2 + 𝐽0𝑎𝑙𝑜𝑡

† |0𝑙𝑜𝑡 >

𝑁 𝑡 ≡ 𝑎† 𝑡 𝑎 𝑡 = 𝑎𝑖𝑖† 𝑎𝑖𝑖 for t<0 𝑎𝑙𝑜𝑡† 𝑎𝑙𝑜𝑡 for T<t

< 0𝑖𝑖 𝑁 𝑡 0𝑖𝑖 >= 0 for t<0 𝐽0 2 for T<t

粒子生成のポイント

• In,out-regionで明確に粒子が定義できること

• （非断熱的に）時間変化する外場が作用する

• 外場も含めた系全体でエネルギーは保存する （⇒back reactionの問題へ）

Hawkingの考えたこと

• 時間変化する重力崩壊中の時空上で、真空状態の量子場の時間発展を解いた

⇒遠くの観測者は粒子生成をみる

𝑟 = 𝑎

𝜏

𝑟

event horizon

BH領域

崩壊物質 平坦時空

ＢＨ時空

←崩壊物質 ＝外場としてエネルギー注入

Minkowski真空：|0 >𝐺

Hawkingの考えたこと

• 時間変化する重力崩壊中の時空上で、真空状態の量子場の時間発展を解いた

⇒遠くの観測者は粒子生成をみる

𝑟 = 𝑎

𝜏

𝑟

event horizon

BH領域

崩壊物質 平坦時空

ＢＨ時空

←崩壊物質 ＝外場としてエネルギー注入

Minkowski真空：|0 >𝐺

情報喪失問題

• 情報の流れ≠エネルギーの流れ ⇒情報喪失

𝑟 = 𝑎

𝜏

𝑟 特異点に入った 星の情報はどうなる?

崩壊物質としての星のエネルギー ⇒ＢＨのエネルギーになる ⇒輻射のエネルギーとして戻ってくる しかし 輻射自体は真空|0 >𝐺から出発したので、 星の情報は持たないように見える

|0 >𝐺