8/17/2019 A Inversa1

1/13

A Inversa de uma Matriz

• Nem toda matriz quadrada possui inversa.

• Se a inversa existir, podemos achá-la usando o método de

e m naç o e auss- or an.

• Se a matriz dos coeficientes de uma sistema de n equações e

n incógnitas tem uma inversa, podemos usá-la para achar a

única solução do sistema.

8/17/2019 A Inversa1

2/13

DefiniçãoSe A é uma matriz quadrada e se existe uma matriz

B satisfazendo

 A B = B A = I 

então dizemos  A é invertível e a matriz B é

chamada a inversa de A .

Se não for possível achar uma tal matriz B, então

dizemos que A é singular .

Notação:

1 A B

8/17/2019 A Inversa1

3/13

Exemplo 1

A matriz

é a inversa de

 desde que

e também

8/17/2019 A Inversa1

4/13

Exemplo 2

Uma matriz sem inversaA matriz

é singular; para ver por que considere a

matriz B

como sendo uma matriz qualquer 3x3

a terceira coluna de  BA é:

assim temos que:

8/17/2019 A Inversa1

5/13

Propriedades da matriz inversa• Se B e C são inversas da matriz A, então

 B=C .

• Se A e B são invertíveis e igual dimensão,

então AB é invertível e

• Se A é invertível, então também é

invertível e

111    A B AB

T 

T   A A 11

T 

8/17/2019 A Inversa1

6/13

Um método para inverter matrizes

Para achar a inversa de uma matriz não-singular A, devemos obter 

uma sequência de operações elementares por linhas que leva a A

à identidade e então aplicar a mesma sequência de operações

sobre a matriz identidade I  para obter 1 A

8/17/2019 A Inversa1

7/13

Exemplo 3Usando operações elementares por linhas para achar 

1 A

801

352

321

 A

 Achar a inversa de

 

1   A I 

Formamos uma matriz aumentada, desta vez adjuntando a

matriz identidade no lado direito da matriz A, para produzir umamatriz da forma

aplicaremos operações elementares na matriz aumentada até

obter I no lugar de A ; estas operações converterão o lado direitoem da forma:

 I  A  

1

8/17/2019 A Inversa1

8/13

Exemplo 3

Somamos -2 vezes a primeira linha

à segunda e -1 vezes a primeira à

terceira

Somamos 2 vezes a segunda linha

à terceira

8/17/2019 A Inversa1

9/13

Exemplo 3 (cont.)

Multiplicamos a terceira linha por -1

Somamos 3 vezes a terceira linha àsegunda e -3 vezes a terceira à

 primeira

Somamos -2 vezes a segunda linha à

 primeira

assim

8/17/2019 A Inversa1

10/13

Exemplo 4

Mostrando que uma matriz não é invertívelConsidere a matriz

A licando o rocedimento anterior temos: 

Temos uma linha nula e então  A não é invertível

8/17/2019 A Inversa1

11/13

Uma conseqüência da

invertibilidadeSe for uma matriz invertível,

então para cada matriz ,

nxn A

b

o sistema de equações A x =b  possui exatamente

uma única solução da forma:

x = b .1 A

8/17/2019 A Inversa1

12/13

Exemplo 5

Solução de um sistema linear usando

  1

 A

Considere o sistema de equações lineares

Que pode ser escrito na forma matricial como

Em um exemplo anterior encontramos

E assim temos

Ou seja

8/17/2019 A Inversa1

13/13

As seguintes afirmativas são equivalentes

•Existe

• O sistema homogêneo A x = 0 tem a solução trivial como

única solução .

•  p ( A ) = n

  1

• A forma reduzida por linhas de A é a identidade

• O sistema A x = b tem uma única solução para cada  b

•  A pode ser escrita como o produto de matrizes elementares

•  A é não singular