a pitagorasz tétel

A Pitagorasz tétel

Készítette:Mgr. Csikós Pajor Gizella

Szabadkai Műszaki Szakfőiskola, SzabadkaBolyai Tehetséggondozó Gimnázium és Kollégium, Zenta

A Pitagorasz tételrőlA Pitagorasz tétel az euklideszi geometria egyik legismertebb állítása.Nevét nem szabályos átírással az i.e. VI. században élt matematikusról és filozófusról, Püthagoraszról kapta, bár a tételt jóval előtte babiloni, egyiptomi, görög, indiai és kínai matematikusok már ismerték, sőt a kínaiak bizonyítást is adtak rá.

Püthagorasz életéről

Püthagorasz, i.e VI. század

görögül: Πυθαγόραςlatinosan: Pythagoras

ión származású filozófus és matematikus

a püthagoreus iskola megalapítója


Püthagorasz mellszobra a Vatikánban


Püthagorasz mellszobra, Rómában található a Capitolium Múzeumban


Püthagorasz középkori ábrázolása a nürnbergi krónikában


Püthagorasz ábrázolása egy

III. századbeli pénzérmén


Raphael festménye

Püthagoraszról


Püthagorasz ión származású, a Kis-Ázsiához közel eső Samos szigeten született, a különböző források alapján valamikor i.e. 586 és 570 között.

Édesapja ékszer- és dísztárgy-készítő volt.


Samos szigete az Égei-tengerben


Ifjúkorában Püthagorasz annyira szerette a tudományokat, hogy fiatalon elhagyta hazáját, és Egyiptomba ment, ahol megtanulta az egyiptomiak nyelvét, és tanulmányozta azok titkos írásait.

Egyiptomból visszatért Samosra, majd körülbelül i.e.530-ban a dél-itáliai Krotón városba költözött.

A pitagoreus iskoláról

Itt alapította meg filozófiai és vallási iskoláját, a pitagoreus-iskolát.

Ez az idealista, arisztokrata beállítottságú társulat misztikus és titokzatos szövetséggé vált, amely a maga korában jelentős befolyással bírt, nemcsak Krotón városában, hanem a görög városállamok laza szövetségében, a Magna Graeciában is.


A pitagoreusok hittek a lélekvándorlásban, vegetariánusok voltak, és hosszú hajat, fehér gyapjúköntöst viseltek.

Szigorúan előírt életmóddal és zenével tisztították meg lelküket, majd különböző próbák után léphettek a szövetségbe.

A pitagoreus iskolárólEzután avatták be őket a számok és a

harmónia misztériumába, amelyben való elmélyülés biztosította számukra az örök igazság megismerését és az istenhez való felemelkedést.

Hittek abban, hogy egy isten van, aki a világot a számok közötti kapcsolatoknak, törvényeknek megfelelően teremtette.


A pitagoreusok nevéhez kötődik:a számelméleti kutatások

megindítása, a szabályos sokszögek és a szabályos

testek tanulmányozása, az irracionális számok felfedezése, a számtani illetve mértani

középarányos fogalmának bevezetése.


Püthagorasz Krotóni házigazdájának lányát vette feleségül, életrajza két gyermeküket említi, egy leány és egy fiú gyermeket.

Iskolájának növekvő befolyása miatt szervezkedni kezdtek a pitagoreus ellenesek is, akik végül felgyújtották az iskola központját, egy Milón nevű atléta házát.


Egyes hagyományok szerint a gyújtogatók elfogták és megölték Püthagoraszt, más töredékek szerint Metapontiumba száműzték, ahol hamarosan meghalt (a hagyományok szerint bánatában halálra éheztette magát).

Ez körülbelül i.e. 500 illetve 496 körül történhetett.


Tanítványainak egy részét lemészárolták, a többieket száműzték, az iskola termeit porig égették.

Püthagorasz írásos művet nem hagyott maga után. Tanításait írásos formában tanítványai őrizték meg.

Tudományos eredményei

Bár a róla elnevezett tételt nem ő találta fel, sőt nem is ő bizonyította először, és nem tudni mi az amire valóban ő jött rá, és mi az, amire tanítványai, bizonyosnak látszik, hogy személyesen fedezte fel a rezonancia alaptörvényét, mely szerint a hang magassága a rezgő húr hosszának függvénye.


Felismerte, hogy az akkordok hangközeit a húrhosszak számarányaival fejezhetjük ki.

A 2:1 arány az oktávnak, a 3:2 arány a kvintnek, a 4:3 arány pedig a kvartnak felel meg.


Középkori fametszet mutatja ahogyan Püthagorasz hangolja a harangokat

Püthagorászról

A hagyományok szerint Püthagorasz minden egyes beszédét, előadását függöny mögött tartotta. Ő maga nem volt látható, csak hallható.

Önmagát félistennek tartotta, és állítólag a következő kijelentést tette: ”Vannak emberek és istenek s olyan lények mint Püthagorasz.”

Püthagoraszról

Püthagorasz emlékmű Samos szigetén.

A Pitagorasz-tétel

A Pitagorasz tételt már jóval Püthagorasz előtt is ismerték, sőt ismert volt a bizonyítása is.

Az ókori egyiptomiak mindenesetre ismerték, hogy a 3,4 és 5 oldalú háromszög derékszögű, és ezt igen ügyesen használták ki a földterületek mérésében és a piramisok építésében, a következőképpen:

A Pitagorasz-tétel

Vettek egy hosszú kötelet, arra egyforma közönként 3+4+5=12 csomót kötöttek, összefogták 3, 4 és 5 oldalú háromszöggé és ezzel mérték a derékszöget.

A Pitagorasz-tétel

A Pitagorasz-tétel

A Pitagorasz-tételt kétféle megfogalmazásban ismerjük.

1.TÉTEL: Tetszőleges derékszögű

háromszögben a befogók fölé írt négyzetek területeinek összege megegyezik az átfogóra rajzolt négyzet területével.

2.TÉTEL: Bármely derékszögű háromszög

leghosszabb oldalának (átfogójának) négyzete megegyezik a másik két oldal (a befogók) négyzetösszegével.

A szokásos jelölésekkel: .2 2 2b ca

A Pitagorasz-tétel

Egyes források szerint a Pitagorasz-tételnek közel száz bizonyítása található különböző munkákban.

Ezek közül a két legismertebb, a tétel kétféle megfogalmazására vonatkozó bizonyítás a következő:

A Pitagorasz-tétel

1.Bizonyítás: az a+b oldalú négyzetek

területeinek darabolása alapján

A Pitagorasz-tétel

2. Bizonyítás: a befogótétel alapján

Pitagorasz-tételének megfodítása

TÉTEL:Ha egy háromszög két oldalának

négyzetösszege egyenlő a harmadik oldal négyzetével, akkor a háromszög derékszögű.

Pitagoraszi számhármasok

Szóljunk még néhány szót a pitagoraszi számhármasokról is.

Pitagoraszi-számhármasoknak nevezzük azokat a pozitív egész (a,b,c) számokból álló hármasokat, melyekre teljesül.

Ekkor Pitagorasz-tételének értelmében a, b és c egy derékszögű háromszög oldalai.

2 2 2a b c

Pitagoraszi számhármasokA pitagoraszi számhármasok

előállításának módját a pitagoreusok találták meg.

Írjuk fel két sorban felül a négyzetszámokat, és alul a páratlan számokat.

Az alsó sorban található négyzetszám a felső sorban felette lévő két négyzetszámmal együtt pitagoraszi számhármast alkot. Valóban:


1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 1961 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27

Az alsó sorban az első négyzetszám a 9, felette van a 16 és a 25, következik, hogy 3, 4 és 5 pitagoraszi számhármas.

Ugyanígy a következő négyzetszám a 25, felette 144 és 169 található, tehát az 5, 12 és 13 pitagoraszi számhármas.


Azt, hogy számtalan sok ilyen pitagoraszi számhármas létezik, Euklidész bizonyította be.

Ha n természetes számot jelöl, akkor pitagoraszi számhármasok például a következők:

3n,4n,5n 5n,12n,13n 7n,24n,25n8n,15n,17n 9n,40n,41n 11n,60n,61n12n,35n,37n stb.

A pitagorasz-tétel alkalmazása

Pitagorasz tételének számtalan sok alkalmazása van úgy a geometriában mint az analitikus mértanban.

Legyen az elkövetkezendő matematikaóráitok tananyaga ezen széleskörű alkalmazások megismerése.

IrodalomjegyzékSain Márton: Matematikatörténeti ABC, Tankönyvkiadó, Budapest,1977

Breznai Gyula: Pitagorasz tétele, Tankönyvkiadó Budapest, 1971-1972

K. A. Ribnyikov: A matematika története,Tankönyvkiadó, Budapest, 1968

Sain Márton: Nincs királyi út! ,Gondolat, Budapest, 1986

www.wikipedia.comwww.wikimedia.org

http://www.wikipedia.com/

http://www.wikimedia.org/

a pitagorasz tétel

Documents