a. stefanel - m: cinematica1 cinematica. a. stefanel - m: cinematica2 la posizione della lucetta
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A. Stefanel - M: cinematica 1
Cinematica
A. Stefanel - M: cinematica 2
La posizione della lucetta
A. Stefanel - M: cinematica 3
La posizione della lucettaP
A. Stefanel - M: cinematica 4
La posizione della lucetta
nel sistema di riferimento scelto
x
y
z
O
1
11
P (t)
A. Stefanel - M: cinematica 5
La posizione della lucetta
nel sistema di riferimento scelto
espressa in coordinate cartesiane
x
yO
x1
y1
z1
z
P(t)(x1(t);y1(t);z1(t))P(t)
A. Stefanel - M: cinematica 6
La posizione della lucetta
nel sistema di riferimento scelto
espressa in coordinate sferiche
x
yO
z
(r(t);(t);(t)
)
r
P(t)
A. Stefanel - M: cinematica 7
La posizione della lucetta
nel sistema di riferimento scelto
individuata dal vettore posizione
espresso per mezzo delle sue componenti
x
yO
z
P
i j
k
r(t) = x1 (t) i + y1(t) j + z1 (t) k
x1
y1
z1
r(t)= tOPtr
A. Stefanel - M: cinematica 8
La traiettoria del corpo (il sistema)
nel sistema di riferimento scelto
x
yO
z
P(t=0)
A. Stefanel - M: cinematica 9
x
yO
z
P(t=0)
P(t1)
P(t2)P(t3) P(t4)
P(t5)
La traiettoria del corpo (il sistema)
nel sistema di riferimento scelto
A. Stefanel - M: cinematica 10
x
yO
z
P (t)P (t+t)
r (t) r (t+t)
r
Il vettore spostamento
r = r(t+t) – r(t)
Il vettore velocità media
r r(t+t) – r(t)
t (t+t)-(t)v = ----- = -------------------
A. Stefanel - M: cinematica 11
x
yO
z
P (t)P (t+t)
r(t)r (t+t)
r+
Come si determina il vettore velocità istantanea?
Vettore velocità media tra t-t e t
r- r(t) – r(t-t)
t (t)-(t-t)v- = ----- = -------------------r (t-t)
r-
P (t-t)
Vettore velocità media tra t e t+t
r+ r(t +t) – r(t)
t (t+t)-(t)v+ = ----- = -------------------
A. Stefanel - M: cinematica 12
x
yO
z
Il vettore velocità istantanea
r- r+
t t v(t) = lim ------ = lim -------
t 0 t 0
O
P (t)P (t+t)
r(t)r (t+t)
r+
r (t-t)
r-
P (t-t)
A. Stefanel - M: cinematica 13
x
yO
z
P (t)P (t+t)
r(t) r (t+t)
Il vettore velocità istantanea
r (t-t)
P (t-t)
r- r+
t t v(t) = lim ------ = lim -------
t 0 t 0
A. Stefanel - M: cinematica 14
x
yO
z
P (t) P (t+t)
r(t)
r (t+t)
Il vettore velocità istantanea
r (t-t)
P (t-t)r- r+
t t v(t) = lim ------ = lim -------
t 0 t 0
A. Stefanel - M: cinematica 15
x
yO
z
La direzione del
vettore velocità istantanea
r- r+
t t v(t) = lim ------ = lim -------
t 0 t 0
O
P (t)P (t+t)r+
r-P (t-t)
A. Stefanel - M: cinematica 16
x
yO
z
P (t)P (t+t)
P (t-t)
r- r+
t t v(t) = lim ------ = lim -------
t 0 t 0
La direzione del
vettore velocità istantanea
r-
r+
A. Stefanel - M: cinematica 17
x
yO
z
P (t)P (t+t)
P (t-t)
r- r+
t t v(t) = lim ------ = lim -------
t 0 t 0
La direzione del
vettore velocità istantanea
A. Stefanel - M: cinematica 18
x
yO
z
P (t) r- r+
t t v(t) = lim ------ = lim -------
t 0 t 0
La direzione del
vettore velocità istantanea
è quella della retta tangente alla traiettoria nel punto P(t)
r(t)
v(t)
In generale r(t) e v(t):non sono perpendicolari
non sono paralleli
A. Stefanel - M: cinematica 19
x
yO
z
P (t)
r(t)
v(t)
v(t) = vr (t) + vt (t)
vt
vr
velocità radiale
vr // r
velocità tangenziale
vt r
Si può proiettare il vettore velocità in direzione parallela a r e in direzione perpendicolare a r.
A. Stefanel - M: cinematica 20
y
xO
Il moto nel piano
P (t)
r (t) = OP (t)= x(t) i + y(t) j =
= r (cos ) i + r (sen ) j
i
j
x (t) = r(t) cos (t)
y (t) = r(t) sen (t)
A. Stefanel - M: cinematica 21
y
xO
Il moto circolare
P (t)
r (t) = OP (t)= x(t) i + y(t) j =
= r (cos (t)) i + r (sen (t)) ji
j
x (t) = r cos[(t)]
y (t) = r sen[(t)]
v(t)
r(t)
vt = v(t)
v(t) rvr= 0
A. Stefanel - M: cinematica 22
y
xO
Il moto circolare uniforme
v(t)
r(t)
r(t+t)
v(t+t)|v(t+t)| = | v(t)| = v= (2 r/T) =(2 /T) r= r
T periodo (s)
1/T = frequenza (s-1 =Hz)
=(2/T) velocità angolare (rad s-1)
v velocità lineare (m s-1)
A. Stefanel - M: cinematica 23
y
xO
Il moto circolare uniforme
v(t)
r(t)
r(t+t)
v(t+t)v = (2 r/T) =(2 /T) r= r
v(t)
A. Stefanel - M: cinematica 24
y
xO
Il moto circolare uniforme
v(t)
r(t)
r(t+t)
v(t+t)v = (2 r/T) =(2 /T) r= r
v(t)v(t+t)
A. Stefanel - M: cinematica 25
y
xO
Il moto circolare uniforme
v(t)
r(t)
r(t+t)
v(t+t)
a(t) = lim -----------------t
v(t+t) - v(t)
t 0
v = (2 r/T) =(2 /T) r= r
v/v =r/r
v = (v/r) r
t t r ta(t) = lim ------- = lim ---------- = lim [--- -----]=
v (v/r) r v r
t 0 t 0 t 0
= ----- v = ----- = 2 rv
r
v2
r
v(t+t) v(t)
v
r
A. Stefanel - M: cinematica 26
y
xO
Il moto circolare uniforme
v(t)
r(t)
r(t+t)
v(t+t)
a(t) = lim ----------------t
v(t+t) - v(t)
t 0
Il vettore accelerazione istantanea a(t):
- ha modulo a = v2/r = 2r
-ha la stessa direzione del vettore r(t)
-ha verso opposto a quello del vettore r(t)
a = - 2 r
v = (2 r/T) =(2 /T) r= r
a = ----- = 2 rv2
r
v(t+t) v(t)
v
A. Stefanel - M: cinematica 27
y
xO
Principio di indipendenza dei moti
P (t)
r (t) = OP (t)= x(t) i + y(t) j =
i
j
x= x (t)
y = y (t)
Ogni moto in due o tre dimensioni può essere sempre scomposto rispettivamente in due o tre moti rettilinei indipendenti
A. Stefanel - M: cinematica 28
Il moto rettilineo
x (m)O 1
x (m)O 1
x (m)O 1
P(t=0 s)
xo
P(t=0 s)
xo
P(t=0 s)
xo
t=0 s
P(t1)
x1
P(t1)
x1
P(t1)
x1
t1
P(t3)
x3
x3
P(t3)
=x3
=P(t3)
t3
P(t2)
x2
x2
P(t2)
x2
P(t2)
t2
P(t4)
x4
P(t4)
x4
=P(t4)
=x4
t4
A. Stefanel - M: cinematica 29
Il moto rettilineo
x (m)O 1
P(t=0 s)
xo
t=0 s
P(t1)
x1
t1
P(t3)
x3
t3
P(t2)
x2
t2
P(t4)
x4
t4
Moto vario
La velocità del sistema cambia da istante a istante
A. Stefanel - M: cinematica 30
Il moto rettilineo
x (m)O 1
P(t=0 s)
xo
t=0 s
P(t1)
x1
t1
x3
P(t3)t3
x2
P(t2)
t2
P(t4)
x4
(x1-xo) (x2-x1) (x3-x2) (x4-x3)
(t1-0) (t2-t1) (t3-t2) (t4-t3)v = vx = --------- = --------- = -------- = --------
Moto uniforme:
v = vo =cost
v = vO iMoto rettilineo uniforme:
A. Stefanel - M: cinematica 31
Il moto rettilineo
x (m)O 1
P(t=0 s)
xo
t=0 s
P(t1)
x1
t1
x3
P(t3)
t3
x2
P(t2)t2
P(t4)
x4
t4
Moto periodico
P(t5)
x5x6
P(t6)
x (m)O
t (s)
t12
t10
t8
t6
t4
t2
0
A. Stefanel - M: cinematica 32
Il moto rettilineot=0 s
t1
t3
t2
t4
Moto periodico
x (m
)O
1
P(t
=0
s)
x o
P(t
1)
x 1x 3P(t
3)
x 2P(t
2)P
(t4)
x 4
P(t
5)
x 5x 6P(t
6)x (m)
O
t (s)0 t 2 t 4 t 6 t 8 t 10 t 12
A. Stefanel - M: cinematica 33
Evoluzione temporale della posizione di una massa in oscillazione armonica rispetto a un sensore di moto