a torokgerendás fedélszerkezet erőjátékáról – 1. rész ... torokgerendas... · a...
TRANSCRIPT
A torokgerendás fedélszerkezet erőjátékáról – 1. rész Bevezetés Az idő múlik, a kívánalmak és a lehetőségek változnak. Tegnap még logarléccel számoltunk, ma már elektronikus számoló - és számítógéppel. Sok teendőnk mellett folyamatosan követni kell(ene) a haladást, még ha némi késéssel is. Ehhez, persze, jó állapotú és hozzáférhető szakirodalom szükséges. Szétnézve az interneten – a címbeli témában is – elég sok leíró jellegű segédanyagot találtunk, melyek azonban nem ritkán mellőzik a számításokat, legfeljebb csak a végeredményeket adják meg. Ez a helyzet [ 1 ] - nél is, ahol mérnöki kézikönyvből vett képleteket közölnek, azok levezetése nélkül. Ilyenkor könnyű téveszteni, akár csak sajtóhibák miatt is. Továbbá a számító -gépi programok alkalmazásával mintegy kiment a divatból az elvégzendő számítások részletes ismertetése. Az pedig már a vég kezdete, amikor azt mondják / gondolják, hogy ezt mindenki úgyis ismeri. De durva…! Na, ez a helyzet a torokgerendás / fogópáros tetőszerkezetek statikai számításaival is. Persze, van magyar nyelvű szakirodalom, többféle is. Az ismert [ 2 ] - ben mintapéldán keresztül mutatják meg a teendőket, az akkori idők kívánalmainak megfelelően. Minthogy ez egy igen régi munka, azóta többszöri szakmai irányváltás is történhetett. Hogy ez követhető legyen, ahhoz szakirodalom is kell – már másodszor hozom ezt elő. Nagyon vártuk [ 3 ] - at, de ebben is éppen csak említést tesznek a hagyományos fedél -székek méretezéséről, majd a szakirodalomra utalnak. Ez azonban akkor is eléggé nehe -zen volt elérhető, így ott voltunk és vagyunk, ahol a part szakad. Nem sokkal jobb a helyzet a mai, korszerűnek mondott szakkönyvek esetében sem. Egy példa: [ 4 ] - ben a torokgerendás fedélhez nem adnak meg képleteket; amihez ad -nak, annál is egy szinte hozzáférhetetlen bécsi diplomamunkára hivatkoznak. Hát szabad ilyet tenni? De jöjjön már a felmentő sereg! Nahát, hogy ez egy ősz szakállas könyv alakját öltötte fel – [ 5 ]! Elképesztő, hogy egy 62 évvel ezelőtt kiadott, ma már antikváriumban is csak ritkán fel -lelhető munkáról van szó. Nem győzöm hangsúlyozni, hogy azóta nálunk szinte semmi nem változott, a mondott értelemben. Ez lenne a haladás és a szakmai fejlődés…? Persze – szinte hallom azokat, akiknek ez inge – , hogy ez már másik világ, másfajta követelményekkel, bla - bla. De akkor miért nincsenek meg már régen a rendes szak -könyvek? Generációk jöttek és mentek korszerű, szakszerű, érthető, tanulható, elérhető, magyar nyelvű faszerkezetes szakirodalom nélkül. Miért beszélek erről ennyit? Mert akárhányszor egy kicsit is „spéci” anyag után kutakodom, mindig ugyanaz van: ez! Szóval: ha a torokgerendás / fogópáros fedélszék statikai kérdéseiben ma itt el kívánunk mélyedni, akkor tanácsos az [ 5 ] munkát alaposabban tanulmányozni. Igaz, megkísérel -hetjük levezetni saját képleteinket. Ez azonban nélkülözni fogja az értő szakmai közön -ség kontrollját és jóváhagyását; ami ugyan oly gyakran nem tántorít el minket, de még -sem igazán szerencsés. Így aztán olyat teszünk, ami talán furcsának tűnhet: elővesszük és közzétesszük a nehezen hozzáférhető, viszont elég jól érthető [ 5 ] - beli tudásanyagot. Azoknak, akik szeretnének elmélyedni a szerkezet vizsgálatának részleteiben, gyalog is.
2
Tárgyalás Az 1. és a 2. ábrán a torokgerendás tető szemlélhető.
1. ábra – forrása: http://baubid.hu/baubid/portal/iodisp?nev=a_teto_a_haz_koronaja
2. ábra – forrása: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/de/c/c7/Kehlbalkendach.jpg Itt nincs minden szerkezeti elem feltüntetve, csak a kötőgerendás megoldást mutatja.
Részei: 1 Ellenléc 2 Alátéthéjazat (alátétfólia) 3 Ereszdeszkázat szellőző nyílásokkal 4 Talpszelemen 5 Talpszelement lekötő csavar 6 Szarufa 7 Torokgerenda 8 Taréjszelemen 9 Kakasüllő 10 Padlásfödém 11 Ereszcsatorna
3
3. ábra – forrása: http://www.s-jarosch.de/media/Dachtragwerke.pdf
4. ábra – forrása: http://www.s-jarosch.de/media/Dachtragwerke.pdf
A 3. ábrán egy üres szarufafedél és hosszirányú merevítése látható. A 4. ábrán egy to -rokgerendás tetőszerkezet merevítése látható, a szokásos – a 3. ábrán is feltüntetett – vihardeszkázat ábrázolása nélkül. A torokgerendák síkjában kialakított andráskereszt - merevítés jelentősen csökkenti a torokgerendák külső terhek hatására történő elmozdu -lását, miáltal a torokgerendák a szarufákat közel fixen támasztják meg. Az andrásolás ( Kehlverband ) helyett síkjában viszonylag merev falemezzel – tárcsával – való borítás, illetve erősítés ( Kehlscheibe ) is szóba jöhet, mint korszerű szerkezeti megoldás.
4
Ezeket szemlélteti az 5. ábra is.
5. ábra – forrása: http://www.holzbau.tu-darmstadt.de/Lehre/vertieferfach/tragwerke-der-hausdaecher- b1.pdf Látjuk, hogy ezek a megoldások arra irányulnak, hogy a szerkezet általános merevségét növeljék, amivel egyúttal az erőtani modellezést és - számítást is megkönnyítik. Kétségtelen, hogy ha jogos a torokgerenda mint fix támasz feltevése, akkor a szarufa méretezése fix támaszokon nyugvó folytatólagos tartóként jóval egyszerűbb lehet. A ha -zai gyakorlatban nem nagyon látni e megoldásokat, így akár a régi tetők felújítása, akár újak építése során is leginkább a hagyományos, azaz elmozduló torokgerendás szerkezet sajátosságaira kell figyelnünk. Ennek közelítő vizsgálata [ 5 ] szerint az alábbi. Az általában egyforma torokgerendás szaruállások úgy tekinthetők, mint egy három -csuklós tartó, melyet a torokgerenda merevít. Mivel a háromcsuklós tartó külsőleg és belsőleg is statikailag határozott, a torokgerendával történő kimerevítés hatására belső -leg egyszeresen határozatlanná válik. A statikailag határozatlan mennyiségnek a torok -gerendában működő X rúderő - nagyságot választjuk. A tárgyalás alapjául az általános vonalozású alakot vesszük, mert a gyakorlatban ez is előfordulhat – 6./ d ábra. Megjegyezzük, hogy az alábbiakban a torokgerendában működő rúderő X értékére levezetendő eredmények minden esetben csakis a bal oldali terhelésből származó rúderőt adják. Eszerint: ha a szerkezet jobb oldala is terhelve van, akkor az ebből származó rúd -erőt a bal oldali terhelésből származó rúderővel algebrailag összegezni kell. A folytatólagos szarufák alsó részei és a torokgerenda egy négycsuklós rúdláncot képez - nek – 7. ábra. Itt csak a szarufák tengelyére merőleges elmozdulásokkal foglalkozunk, ezért a 4 és 5 csuklók elmozdulására merőleges egyenesek metszéspontja – a pólus – a 2 csuklópontban van.
5
6. ábra – forrása: [ 5 ]
7. ábra A 7. ábra alapján:
1 2
2 2
f a ,f b ;
( 1 )
6
innen:
1 2
2 2
f a .f b
( 2 )
Az erősen nagyított 7. ábrán a bal oldali terhekből származó bal oldali behajlást pozitív, a jobb oldali felhajlást negatív előjellel vettük számításba. Minthogy a szerkezet belsőleg egyszeresen határozatlan, a X rúderő - nagyság megha -tározására további feltételi egyenleteket kell felírni; az ( 1 ) egyenlet már az egyik ilyen. Ezek az alakváltozásokkal kapcsolatosak. Ha X már ismert, akkor a további számítás úgy folytatódik, mintha a statikailag határozott háromcsuklós tartót a többi külső erő mellett még az X erők is terhelnék. Az fi behajlások meghatározásához szükségünk lesz az adott terheléshez tartozó rugal -mas vonal egyenletére. Ezt a Szilárdságtan tankönyveiből vehetjük ki – ld. pl.: [ 6 ]!
A ) terhelési eset: a P erő az 12 rúd alsó darabját terheli: a2 < x2 – 6. / a ábra. Ehhez tekintsük a 8. ábrát is! Itt az [ 5 ] és [ 6 ] szerinti jelöléseket alkalmaztuk, hogy a [ 6 ] - ban levezetett egyenlet - alakból előálljon az [ 5 ] szerinti.
8. ábra Kiindulunk a behajlásra felírt [ 6 ] szerinti egyenlet - alakból:
2 2 2F a xy(x) l a x ,6 E I l
0 x b .
( 3 )
[ 6 ] szerint [ 5 ] szerint
7
A behajlás az x = x* helyen, ahol y( x* ) = y*:
2 2 2F a x *y* l a x * .6 E I l
( 4 )
Most elvégezzük az alábbi betűcseréket:
1 2
10
F P , a x , x* a ,l a , y* f .
( 5 )
Majd ( 4 ) és ( 5 ) szerint:
2 2 21 210 1 2
P x af a x a .6 E I a
( 6 )
Ezután azonos átalakítással:
2 21 1 1a x a x a x ; ( 7 )
figyelembe véve, hogy
2 1x a x , ( 8 ) ( 7 ) és ( 8 ) - cal: 2 2
1 2 1a x x a x ; ( 9 ) most ( 6 ) és ( 9 ) - cel:
22 110 2 1 2
P a xf x a x a .6 E I a ( 10 )
A ( 10 ) képlet adja az 12 rúd behajlását a kötőgerenda becsatlakozási keresztmetszeté -ben, a P erő hatására. Ez megegyezik az [ 5 ] - ben – levezetés nélkül közölt – megfelelő képlettel. ( A nyomtatásban közölt képletek ellenőrizendők. Van olyan, hogy sajtóhiba. ) Most tekintsük a 9. ábrát! Itt azt az esetet vettük, hogy a torokgerendában X = 1 nagysá –gú húzóerő működik. Ekkor a szarufákat a 4 és 5 csuklókon keresztül 1 sin és 1 sin nagyságú erők hajlítják, és az általuk előidézett behajlás nagysága f ’1 és f ’2. Most állapítsuk meg ezek nagyságát! Ez a ( 10 ) képlet kis átalakításával történhet. Ekkor az ábrák szerint:
1 1 2 2
1 2
x a , x a ,P ' 1 sin , P ' 1 sin ;
( 11 )
8
9. ábra Most ( 10 ) és ( 11 ) szerint:
2 21 2 1 2 11 2 1 2 2 1 2
P ' a a sin a af ' a a a a a a a a ;6 E I a 6 E I a
1
( 12 )
most átalakításokkal:
2 22 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 1 1
1 2
a a a a a a a a a a a a a a a a a a2 a a ,
tehát: 2
2 1 2 1 2a a a a 2 a a . ( 13 ) Majd ( 12 ) és ( 13 ) - mal:
2 22 1 1 2
1 1 2sin a a sin a af ' 2 a a ,6 E I a 3 E I a
1 1
tehát:
2 21 2
1sin a af ' .
3 E I a
1 ( 14 )
Most index és betűcserével, ( 14 ) - ből:
9
2 21 2
2sin b bf ' .3 E I b
1
( 15 )
A 4 és 5 pontok tényleges behajlása a P erő és az X rúderő hatására:
1 10 1f f X f ' , ( 16 ) és
2 2f X f ' . ( 17 ) Most ( 10 ), ( 14 ), ( 16 ) - tal:
2 2
22 1 1 21 2 1 2
P a x X sin a af x a x a , 6 E I a 3 E I a ( 18 )
majd ( 15 ) és ( 17 ) - tel:
2 21 2
2X sin b bf .
3 E I b
( 19 )
Ezután ( 2 ), ( 18 ) és ( 19 ) - cel:
2 2
22 1 1 22 1 2
22 2
1 2 2
P a x X sin a ax a x a a6 E I a 3 E I a ;X sin b b b
3 E I b
a rendezést részletezve:
2 2 2 222 1 1 2 2 1 2
2 1 22
2 2 222 1 1 2 2 2 1
2 1 2
22 12 1 2
P a x X sin a a a X sin b bx a x a ;6 E I a 3 E I a b 3 E I b
P a x sin a a sin a b bx a x a X X ;6 E I a 3 E I a 3 E I bP a x Xx a x a6 E I a 3 E
2 2 21 2 2 2 1
2 2 222 1 1 2 2 2 1
2 1 2
2 2 2 22 1 2 1 2 1 2 2 2 1
1 2 1
sin a a sin a b b ;I a b
P a x sin a a sin a b bx a x a 2 X ;a a b
P a b x x a x a 2 X sin b a a sin a a b b ;
P b x x a x
2 2 2
2 1 2 2 1a 2 X sin b a a sin a b b ;
10
folytatva:
2 21 2 1 2 1 2 1 2 2
2 22 21 2 1 21 2 1 2
b x x a x a b x a x x x aPX P ,2 a a b sin b b a sin2 a a b sin b b a sin
tehát:
21 2 1 2 2
A 2 21 2 1 2
b x a x x x aPX .2 a a b sin b b a sin
( 20 )
A ( 20 ) képlet adja meg az általános vonalozású kimerevített háromcsuklós tartó mere -vítő rúdjában működő X rúderő nagyságát, az A ) terhelési esetre. Most nézzünk néhány speciális esetet! A / S1.) A torokgerenda párhuzamos a kötőgerendával – 10. ábra
10. ábra Ekkor:
22 2
2
a a aa b .b b b
( 21 )
11
2 2 2 2
21 2 1 2 2
A1 A a a2 2a b a b1 2 1 2b b
2 21 2 1 2 2 1 2 1 2 2
2 22 2 1 2 1 2
1 2 1 2
2
b x a x x x aPX X2 a a b sin b b a sin
b x a x x x a b x a x x x aP P a2 2 a b a sin b b a sina b b sin b b a sinb
xP b 2 a b
21 2 1 2 2
2 21 1
a x x x a ,
a sin b sin
21 2 1 2 2
A1 2 22 1 1
x a x x x aP bX .2 a b a sin b sin
( 22 )
A / S2.) A torokgerenda párhuzamos a kötőgerendával és a magasság felében van – 11. ábra
11. ábra Ekkor:
1 2
1 2
aa a ,2bb b , .2
h a sin b sin
( 23 )
Most ( 20 ) és ( 23 ) - mal:
12
1 2 1 2
1 2 1 2
21 2 1 2 2
A2 A a a2 2a a , a a ,1 2 1 22 2
b bb b , b b ,2 2
h a sin b sin h a sin b sin
2
1 2 1 2
2 2
b x a x x x aPX X2 a a b sin b b a sin
ab x a x x x4P 4 P
a a b b2 b sin a sin4 2 4 2
2
1 2 1 2
2 2
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
2
2
1 2 1 2
ax a x x x4
a a sin b a sin
a ax a x x x x a x x x4 44 P 4 P
a a sin a b b sin a a a sin b b sin
ax a x x x44 P
a
2
1 2 1 2
2
1 2 1 2
ax a x x x44 P
a h b h a a b h
ax a x x x4
4 P ,a h a b
tehát:
2
1 2 1 2
A2
ax a x x x4
X 4 P .a h a b
( 24 )
A / S3.) A tető szimmetrikus és a torokgerenda párhuzamos a kötőgerendával – 12. ábra Ekkor:
1 1
2 2
,a b ,a b ,a b .
( 25 )
13
12. ábra Most ( 20 ), ( 23 / 3 ), ( 25 ) szerint:
1 1 1 12 2 2 2
21 2 1 2 2
A3 A , ,2 2a b , a b ,1 2 1 2a b , a b ,a b a b
2 21 2 1 2 2 1 2 1 2 2
2 2 2 21 2 1 2 1 2 1
b x a x x x aPX X2 a a b sin b b a sin
a x a x x x a x a x x x aP P 2 a a a sin a a a sin 2 a a sin a
2
2 21 2 1 2 2 1 2 1 2 2
2 21 2 1 2
21 2 1 2 2
21 2
a sin
x a x x x a x a x x x aP P 2 2 a a sin 4 a a sin
a x a x x x aP ,4 h a a
tehát:
21 2 1 2 2
A3 21 2
a x a x x x aPX .4 h a a
( 26 )
14
A / S4.) A tető szimmetrikus, a torokgerenda párhuzamos a kötőgerendával és a magasság felezőjében van – 13. ábra
13. ábra Ekkor fennáll, hogy
1 1
2 2
,a b ,
a ba b = ,2 2a ba b = . 2 2
( 27 )
Most ( 20 ) és ( 27 ) - tel:
1 1
2 2
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
A4 A , 2 2a b ,
a ba b = ,2 2a ba b = 2 2
2
1 2 1 2 1 2
2
a aa x a x x x a x a x x x4 4PX X 2P
a a2 a a a sin2 a sin4 2
ax a x x x x a x4
2P 2Pa a sin
2
1 2
2
ax x4
,h a
tehát:
15
2
1 2 1 2
A4 2
ax a x x x4
X 2 P .h a
( 30 )
A / S5.) A tető szimmetrikus, a torokgerenda párhuzamos a kötőgerendával és a magasság felezőjében van, a P erő pedig éppen a torokgerenda végén terhel – 14. ábra
14. ábra Ekkor:
1 1
2 2
1 2
,a b ,
a ba b = ,2 2a ba b = ,2 2
a x x .2
( 31 )
Most ( 20 ) és ( 31 ) - gyel:
16
1 2
1 1
2 2
1 2
2
1 2 1 2
A5 A , a2 x xa b , 2a ba b = ,2 2a ba b = ,2 2
a x x 2
2
2 2
ax a x x x4
X X 2Ph a
a a a a a a aa a2 2 2 2 4 P a P2 2 2P 2P ,h a h a 2 h 2 sin
tehát:
A5PX .
2 sin
( 32 )
A ( 32 ) képlet értelmezéséhez tekintsük a 15. ábrát is!
15. ábra
A ( 32 ) képlet azt jelenti, hogy ekkor a torokgerenda rúderőjének a szarufára merőleges komponense egyenlő a szelemenre ható erő felével. A 15. ábra kapcsán jól elmagyaráz -ható a torokgerenda szerepe: együttdolgoztatja a szarufákat, azáltal, hogy a terhelt szarufa terhének egy részét – itt: a felét – áthárítja a terheletlen szarufára.
17
Ha pedig a szarufára merőleges P erő helyett egy függőleges P’ erő működik, akkor ennek a tetőre merőleges P P' cos ( 33 ) komponense hatására ( 32 ) így alakul:
A5P' cos P 'X .2 sin 2 tg
( 34 )
Az utóbbi eset azért is érdekelhet bennünket, mert szelemenes tetőnél a torokgerendát, illetve a fogópárt célszerű a magasság felében elhelyezni, a középszelement ( Mittel -pfette ) pedig a torokgerenda / fogópár ( Zange ) végére helyezzük – 16. ábra.
16. ábra Bár a dolgozat címében csak torokgerendás tetőkről van szó, látjuk, hogy az összetettebb szelemenes tetőknél is hasznát vehetjük az itt talált némely összefüggésnek. Ezzel végeztünk az A ) terhelési eset bemutatásával. További terhelési eseteket a 2. részben vizsgálunk, szintén [ 5 ] alapján.
18
Megjegyzések: M1. A 4. és 5. ábrán szemléltetett merevítési megoldások nem új keletűek: a már 6 - 7 évtizede forgalomban lévő [ 7 ] munka is tárgyalja ezeket. M2. Különös, de az itteni – a torokgerendában általában ébredő erőre vonatkozó – leve -zetések nem szerepelnek [ 7 ] - ben. M3. A torokgerenda / fogópár rúderőjére korlátozás, hogy nagysága legyen kisebb a rúdra megengedett nyomóerőnél, tekintettel a kihajlásra, illetve a nyomás + hajlításra is. M4. A számítások során feltettük, hogy a normálerők és a nyíróerők okozta alakváltozá - sok elhanyagolhatóan kicsinyek a hajlításból származóakhoz képest. M5. A ( 20 ) képletre vezető számítás során feltettük, hogy a két szarufa egyforma anya -gú és keresztmetszetű. M6. Az ( 1 ) képletet úgy is értelmezhetjük, hogy a torokgerenda t hossza állandó. E kijelentés belátásához tekintsük az alábbi 7. / 1 ábrát is!
7. / 1 ábra Az f1 elmozdulás rúdirányú összetevője:
1,r 1 1f f cos 90 f sin ; ( a )
majd ( 1 / 1 ) - gyel is:
1,r 2f a sin ; ( b )
19
hasonlóan az f2 elmozdulás rúdirányú összetevője:
2,r 2 2f f cos 90 f sin ; ( c )
majd ( 1 / 2 ) - vel is, az előjeltől eltekintve:
2,r 2f b sin . ( d ) Ha fennáll az
1,r 2,rf f ( e ) összefüggés, az azt jelenti, hogy a 45 rúd elejének és végének rúdirányú elmozdulása ugyanaz, vagyis a torokgerenda elmozdulása merevtestszerű. Valóban: a rúd igen kis elmozdulású síkmozgását felfoghatjuk egy rf m nagyságú rúdtengely - irányú haladó, valamint egy szögelfordulású forgó mozgás kombinációjának – 7. / 2 ábra.
7. / 2 ábra Ezt könnyű áttekinteni, ha pl. úgy képzeljük, hogy a rúd a T talppontban mereven hozzá lett erősítve a rúdra merőleges 2T karhoz, majd azt δφ - vel elforgatjuk a 2 pólus körül. Ennek során a T pont fr elmozdulással T’- be kerül, a 4’5’ rúd pedig T’ körül elfordul δφ szöggel. Ekkor természetesen a rúd megnyúlása zérus. Ha ( e ) fennáll, akkor ( b ) és ( d ) miatt fennáll az is, hogy
2 2a sin b sin , azaz
2 2a sin b sin . ( f ) De ( f ) valóban fennáll, mert a ( 7 / 1 ) ábra szerint
2 2m a sin b sin . ( g )
20
Most már mondhatjuk – visszafelé haladva – , hogy ( g ) miatt igaz ( e ), emiatt pedig fennáll, hogy t konst . ( h ) Minthogy az egész vizsgálat során eltekintünk a rúdtengely - irányú deformációktól, ezért a ( h ) feltételnek teljesülnie kell. Mivel a 7. ábra szerinti modell ezt teljesíti, így annak választása megengedett e közelítő számítás során. Ezzel megválaszoltuk azt az eddig ki nem mondott kérdést is, hogy vajon jogos - e az X - re vonatkozó, az ( 1 ) kép -leten alapuló számítás. A 7. / 1 , 7. / 2 ábrával kapcsolatban mondottakra nézve ld. a [ 8 ] művet is! Irodalom: [ 1 ] – http://www.epito.bme.hu/hsz/oktatas/feltoltesek/BMEEOHSAT19/ffk_fedelszek_bsc_jav.pdf [ 2 ] – Hilvert Elek: Faszerkezetek Tankönyvkiadó, Budapest, 1956. [ 3 ] – Rónai Ferenc ~ Somfalvi György: Fa tartószerkezetek Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1982. [ 4 ] – Anton Pech ~ Karlheinz Hollinsky: Dachstühle Springer Verlag, Wien - New York, 2005. [ 5 ] – Szerk.: Palotás László: A fa mint építőanyag Benne: Tobiás László: Faszerkezetek a magasépítésben A Budapesti Építőmesterek Ipartestülete, Budapest, 1949. [ 6 ] – Muttnyánszky Ádám: Szilárdságtan Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1981. [ 7 ] – Anton Gattnar ~ Franz Trysna: Hölzerne Dach - und Hallenbauten ( korábban: Gesteschi, Hölzerne Dachkonstruktionen )
6. Auflage, Verlag von Wilhelm Ernst und Sohn, Berlin, 1954. [ 8 ] – Muttnyánszky Ádám: Kinematika és kinetika 5. kiadás, Tankönyvkiadó, Budapest, 1966.
Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár Sződliget, 2011. augusztus 18.