เอกสารประกอบการบรรยาย

คณตศาสตรเสรม หลกสตร EP ◙ โรงเรยนสตรศกษา จงหวดรอยเอด

◙ ภาควชาคณตศาสตร

มหาวทยาลยขอนแกน

อ.วฒนา เถาวทพย

7 ระดบมธยมศกษาตอนปลาย ประกอบสาระการเรยนร เพมเตม

(Analytic Geometry)

เรขาคณตวเคราะห

คณตศาสตรเสรม หลกสตร EP โรงเรยนสตรศกษา จงหวดรอยเอด ระดบมธยมศกษาปท 4 หนา 1

เรอง Analytic Geometry ดร.วฒนา เถาวทพย คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยขอนแกน 1

◙True or False ?

1. 2a a 2. 3.99999… is an integer

3. 27

9 is an integer.

4. 121 is an integer.

5. 1.21 is a rational

number.

6. 12 is a rational

number.

7. 2 is an irrational

number.

8. 3.99999... 2

☼ How to prove that

3.9999... 4

…………………………

…………………………

……………………………………………………

…………………………

…………………………

…………………………

…………………………

………………………

………………………

………………………

………………………

………………

7 เรขาคณตวเคราะห (Analytic Geometry)

เรขาคณตวเคราะห (Analytic Geometry) เปนการเชอมโยงความรระหวาง พชคณต (Algebra) และ เรขาคณต (Geometry

3.1 ความรพนฐาน (Basic Background)

ให 1 1 1( , )P x y และ

2 2 2( , )P x y เปนจดสองจดในระบบพกดฉาก (Rectangular

coordinate) ระนาบ XY (XY-Plane) จะไดวา

●ระยะทางระหวางจดสองจดสองจด

2 2

1 2 1 2 1 2( ) ( )PP x x y y

Ex. จงหาระยะหวางจด ( 1,2) กบ (3,5) Ex. จงหา จด P ทอยบนแกน Y และอยหางจากจด ( 1,2) กบ (3,5) เทากน

●จดกงกลางระหวางจดสองจดสองจด

1 2 1 2( , ) ( , )2 2

x x y yP x y

Ex. จงหาระยะหวางจด ( 2,3) กบ (6,5)

●ความชนของเสนตรง ความชนของเสนตรงใด หมายถง tan เมอ เปนมมทวดจากแกน X แบบทวนเขมนาฬกาให m เปนความชนของเสนตรงทผาน 1 1( , )x y และ 2 2( , )x y

1 2

1 2

y ym

x x

เมอ 1 2x x

หมายเหต เสนตรงทขนานกบแกน Y จะหาคาความชนไมได ●เสนขนาน เสนตรงสองเสนทไมขนานแกน Y จะขนานกน กตอเมอ เสนตรงสองเสนนนมคาความชนเทากน ●เสนตงฉาก เสนตรงสองเสนทไมขนานแกน Y จะตงฉาก กตอเมอ ผลคณของความชนของเสนตรงทงสองเทากบ -1

What is Analytic

Geometry?

…………………

…………………

…………………

…………………

…………………

…………………

…………………

คณตศาสตรเสรม หลกสตร EP โรงเรยนสตรศกษา จงหวดรอยเอด ระดบมธยมศกษาปท 4 หนา 2

เรอง Analytic Geometry ดร.วฒนา เถาวทพย คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยขอนแกน 2

True or False?

(1) 1,2,3 3,2,1

(2) 1,2,3 1,2,3,1

(3) 1,2,3 1,2,1

(4) 1,2,3 1,2,2,3

(5) 1,2,3 1,1,2,2,3,3

(6) , , ,a a b a b

(7) , , ,a a b a b

(8) , , ,b a b a b

(9) , , ,b a b a b

(10) , , , ,b a b b a b

(11) , , , ,a b a b a b

(12) , , ,a a b a b

◙ Names of set of

number:

I : Positive Integer

I : Negative Integer

I : Integer

N : Natural Number

P : Prime Number

Q : Rational Number

R : Positive Integer

True or False?

(1) N I

(2) I R

(3) 9 I

(4) 2 Q

(5) 2.9999... Q (6) Q R

●ความสมพนธทมกราฟเปนเสนตรง

1) เสนตรงทขนานแกน X

ความสมพนธคอ {( , ) }x y R R y b สมการเสนตรงคอ y b เมอ b เปนจดตดแกน Y

2) เสนตรงทขนานแกน Y

ความสมพนธคอ {( , ) }x y R R x a สมการเสนตรงคอ x a เมอ a เปนจดตดแกน X

3) เสนตรงทไมขนานแกน X และ แกน Y สมการเสนตรง มหลายรแบบดงตอไปน

Two-point Form: 1 21 1

1 2

( )y y

y y x xx x

Point-Slope Form: 1 1( )y y m x x

Slope-Intercept Form: y mx b

Intercept Form: 1x y

a b

General Form: 0Ax By C

Ex. จงหาสมการเสนตรงทผานจด ( 2,3) กบ (6,5)

Ex. จงหาสมการเสนตรงทผานจด ( 2,3) และมความชน เทากบ 5 Ex. จงหาสมการเสนตรงทตดแกน Y ท (0,3) และ ตดแกน X ทจด (6,0)

●ระยะทางระหวางจดกบเสนตรง

ระยะหางระหวางจด 1 1( , )x y กบเสนตรง 0Ax By C เทากบ d โดยท

1 1

2 2

Ax By Cd

A B

ระยะหางระหวางเสนตรง 1 0Ax By C กบเสนตรง

2 0Ax By C เทากบ d โดยท

1 2

2 2

C Cd

A B

คณตศาสตรเสรม หลกสตร EP โรงเรยนสตรศกษา จงหวดรอยเอด ระดบมธยมศกษาปท 4 หนา 3

เรอง Analytic Geometry ดร.วฒนา เถาวทพย คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยขอนแกน 3

Who is Venn?

Who is Euler?

……………………..

……………………..

◙ Which is empty set ?

(1) 2 2x x

(2) 2x x x

(3) 2x x x

(4) 2x x x

(5) 2x x x

(6) 2x x x

◙ Which is finite set ?

(1) 2 2x x

(2) 2x x x

(3) 2x x x

(4) 2x x x

(5) 2x x x

(6) 2x x x

◙ Which is infinite set ?

(1) 2 2x x

(2) 2x x x

(3) 2x x x

(4) 2x x x

(5) 2x x x

(6) 2x x x

3.2 ภาคตดกรวย (Conicsection)

● วงกลม (Circles) บทนยาม วงกลม คอเซตของจดทงหมดในระนาบ ทหางจากจดๆหนงทตรงอยกบท เปนระยะทางคงตว

การหาสมการของวงกลม ให ( , )h k เปนจดศนยกลางของวงกลมทมรศม r ดงรป

Ex.1 จงหาสมการของวงกลมทม (2, 3) เปนจดศนยกลาง รศม 6 หนวย

Ex.2 จงหาจดศนยกลาง และ รศมของวงกลม 2 2 10 4 13 0x y x y

เรยกจดตรงวา ....... จดศนยกลาง (Center)

เรยกระยะคววา ....... รศม (Radius)

สมการในรปมาตรฐาน ของวงกลมทม ( , )h k เปนจดศนยกลาง และ รศม r คอ

2 2 2( ) ( )x h y k r

ถา ( , )P x y เปนจดๆบนวงกลม ทม ( , )O h k เปน จดศนยกลาง) และม

รศม เทากบ r จะไดวา ...........................................

สมการในรปทวไป ของวงกลม คอ

2 2 0x y ax by c

สมการในรปทวไป สามารถจดใหอยในรปมาตรฐานไดโดยการใชก าลงสองสมบรณ

คณตศาสตรเสรม หลกสตร EP โรงเรยนสตรศกษา จงหวดรอยเอด ระดบมธยมศกษาปท 4 หนา 4

เรอง Analytic Geometry ดร.วฒนา เถาวทพย คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยขอนแกน 4

?

●วงร (Ellipses) บทนยาม วงร คอเซตของจดทงหมดในระนาบ ทผลบวกของระยะทางจากจดใดๆ ไปยงจดตรง สองจด มคาคงตว

การหาสมการของวงร ทม 1( ,0)F c และ 2 ( ,0)F c เปนจดโฟกส และ ใหผลบวกของระยะจากจดใดๆ ไปยงโฟกสทงสองเทากบ 2a ถา ( , )P x y เปนจดใดๆบนวงร จะไดวา ..............................

Ex.3 จงหาสมาการของวงรทม 1( 2,0)F และ 2 (2,0)F เปนโฟกส และม

1( 3,0)V และ 2 (3,0)V เปนจดยอด

ในท านองเดยวกนสมการในรปมาตรฐานทมโฟกสบนแกน Y จะไดวา

The vertex of a parabola

2y ax bx c

is 2 4

( , )2 2

b b ac

a a

True or False?

จดตรงสองจด เรยก...จดโฟกส (Focus)

จดกงกลางของโฟกส เรยก...จดศนยกลาง(Center)

แกนทผานจดโฟกสทงสองเรยก... แกนเอก (Major Axis)

แกนทผานจดศนยกลาง และตงฉากแกนเอกเรยก... แกนโท (Minor Axis)

จดปลายของแกนเอกเรยก จดยอด (Vertex)

สมการในรปมาตรฐาน ของวงรทม 1( ,0)F c และ 2 ( ,0)F c เปนโฟกส ม (0,0) เปนจดศนยกลาง และ ผลบวกของระยะจากจดใดๆไปยงโฟกสเทากบ 2a คอ

2 2

2 21

x y

a b เมอ 2 2 2b a c

สมการในรปมาตรฐาน ของวงรทม 1(0, )F c และ 2 (0, )F c เปนโฟกส ม (0,0) เปนจดศนยกลาง และ ผลบวกของระยะจากจดใดๆไปยงโฟกสเทากบ 2a คอ

2 2

2 21

x y

b a เมอ 2 2 2b a c

คณตศาสตรเสรม หลกสตร EP โรงเรยนสตรศกษา จงหวดรอยเอด ระดบมธยมศกษาปท 4 หนา 5

เรอง Analytic Geometry ดร.วฒนา เถาวทพย คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยขอนแกน 5

◙ Some of the most

beautiful mathematical

formulas:

9 The roots of a

quadratic equation :

If 2 0ax bx c

where 0a , then

2 4

2

b b acx

a

.

10 The golden ratio:

1 5

2

11 Imaginary numbers:

1i

Ex.4 จงหาสมการของวงรทม 1(0, 3)F และ

2 (0,3)F เปนโฟกส และม 1(0, 5)V และ

2 (0,5)V เปนจดยอด

Ex.5 จงเขยนกราฟของสมการตอไปน 1) 2 2 2 4 13 0x y x y 2) 2 24 9 0x y 3) 2 24 9 36 0x y 4) 2 24 9 36 0x y 5) 2 29 4 36 0x y

Ex.6 จงหาสมาการของวงรทมโฟกส (0, 4) และมความเยองศนยกลาง

เทากบ 8

15

● การเลอนกราฟ (Translation of Graphs)

ส าหรบสมการวงร 2 2

2 21

x y

a b หรอ

2 2

2 21

x y

b a เมอ 2 2 2b a c

ความเยองศนยกลาง (Eccentricity) ของวงร แทนดวย e โดยท

ce

a

เนองจาก 0a c ดงนน 0 1e

คณตศาสตรเสรม หลกสตร EP โรงเรยนสตรศกษา จงหวดรอยเอด ระดบมธยมศกษาปท 4 หนา 6

เรอง Analytic Geometry ดร.วฒนา เถาวทพย คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยขอนแกน 6

Who is Venn?

Who is Euler?

……………………..

……………………..

◙ Which is empty set ?

(1) 2 2x x

(2) 2x x x

(3) 2x x x

(4) 2x x x

(5) 2x x x

(6) 2x x x

◙ Which is finite set ?

(1) 2 2x x

(2) 2x x x

(3) 2x x x

(4) 2x x x

(5) 2x x x

(6) 2x x x

◙ Which is infinite set ?

(1) 2 2x x

(2) 2x x x

(3) 2x x x

(4) 2x x x

(5) 2x x x

(6) 2x x x

● พาราโบลา (Parabolas)

บทนยาม วงร คอเซตของจดทงหมดในระนาบซงหางจากจด F ทตรงอยกบทจดหนง และ เสนตรง l ทตรงอยกบทเสนหนง เปนระยะทางเทากน

การหาสมการของพาราโบลา ทม (0, )F p เปนจดโฟกส และม y p เปน ไดเรกตรกซ ถา ( , )P x y เปนจดใดๆบนพาราโบลาดงกลาว จะไดวา ..............................

Ex.7 จงหาสมาการของพาราโบลาทมโฟกส (0,4)F และ จดยอด (0,0)V

การหาสมการของพาราโบลา ทม (0, )F p เปนจดโฟกส และม y p เปน ไดเรกตรกซ ถา ( , )P x y เปนจดใดๆบนพาราโบลาดงกลาว จะไดวา ..............................

Ex.7 จงหาสมาการของพาราโบลาทมโฟกส (0, 4)F และ จดยอด (0,4)V

จดตรง F เรยก...จดโฟกส (Focus)

เสนตรง l เรยก...ไดเรกตรกซ (Directrix)

จดกงกลางเสนตงฉากระหวาง โฟกส และ ไดเรกตรกซ เรยก ....จดยอด (Vertex)

แกนทผานจดยอด และ โฟกสเรยก... แกนสมมาตร (Axis of Symmetry)

คณตศาสตรเสรม หลกสตร EP โรงเรยนสตรศกษา จงหวดรอยเอด ระดบมธยมศกษาปท 4 หนา 7

เรอง Analytic Geometry ดร.วฒนา เถาวทพย คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยขอนแกน 7

Who is Venn?

Who is Euler?

……………………..

……………………..

◙ Which is empty set ?

(1) 2 2x x

(2) 2x x x

(3) 2x x x

(4) 2x x x

(5) 2x x x

(6) 2x x x

◙ Which is finite set ?

(1) 2 2x x

(2) 2x x x

(3) 2x x x

(4) 2x x x

(5) 2x x x

(6) 2x x x

◙ Which is infinite set ?

(1) 2 2x x

(2) 2x x x

(3) 2x x x

(4) 2x x x

(5) 2x x x

(6) 2x x x

...ในท านองเดยวกน โดยการเปลยน พกดจาก x เปน y และจาก y เปน x เราจะไดพาราโบลาทมแกนสมมาตรอยในแนวนอน ดงน ...

Ex.8 จงเขยนกราฟของสมการตอไปน 1) 2 8x y 2) 2 9 0x y 3) 2 10 0x y 4) 2 11 0y x 5) 24 12 0y x

Ex.9 จงหาความยาวของลาตสเรกตม และ เขยนกราฟของพาราโบลาใน Ex.8

สมการในรปมาตรฐาน ของพาราโบลา ในแนวตง ทม (0, )F p เปนจดโฟกส และม y p เปน เสนไดเรกตรกซ คอ 2 4x py

สมการในรปมาตรฐาน ของพาราโบลา ในแนวตง ทม ( ,0)F p เปนจดโฟกส และม x p เปน เสนไดเรกตรกซ คอ 2 4y px

ลาตสเรกตม (Latus rectum) คอ คอรดทผานโฟกส และ ตงฉากกบแกนพาราโบลา ความยาวของลาตสเรกตม ใชวดความกวางของพาราโบลา จากรปจะเหนไดชดวา ความยาวของลาตสเรกตมเทากบ 4 p

คณตศาสตรเสรม หลกสตร EP โรงเรยนสตรศกษา จงหวดรอยเอด ระดบมธยมศกษาปท 4 หนา 8

เรอง Analytic Geometry ดร.วฒนา เถาวทพย คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยขอนแกน 8

Who is Venn?

Who is Euler?

……………………..

……………………..

◙ Which is empty set ?

(1) 2 2x x

(2) 2x x x

(3) 2x x x

(4) 2x x x

(5) 2x x x

(6) 2x x x

◙ Which is finite set ?

(1) 2 2x x

(2) 2x x x

(3) 2x x x

(4) 2x x x

(5) 2x x x

(6) 2x x x

◙ Which is infinite set ?

(1) 2 2x x

(2) 2x x x

(3) 2x x x

(4) 2x x x

(5) 2x x x

(6) 2x x x

●ไฮเพอโบลา (Hyperbolas) บทนยาม ไฮเพอโบลา คอเซตของจดทงหมดในระนาบ ทผลตางของระยะทางจากจดใดๆ ไปยงจดตรง สองจด มคาคงตว

การหาสมการของไฮเพอโบลา ทม 1( ,0)F c และ 2 ( ,0)F c เปนจดโฟกส และ ใหผลตางของระยะจากจดใดๆ ไปยงโฟกสทงสองเทากบ 2a ถา ( , )P x y เปนจดใดๆบนไฮเพอโบลา จะไดวา ..............................

Ex.10 จงหาสมาการของไฮเพอโบลาทม 1( 3,0)F และ 2 (3,0)F เปนโฟกส และม 1( 2,0)V และ 2 (2,0)V เปนจดยอด

ในท านองเดยวกนสมการในรปมาตรฐานทมโฟกสบนแกน Y จะไดวา

จดตรงสองจด เรยก...จดโฟกส (Focus)

จดกงกลางของโฟกส เรยก...จดศนยกลาง(Center)

แกนทผานจดโฟกสทงสองเรยก... แกนตามขวาง (Transverse Axis)

แกนทผานจดศนยกลาง และตงฉากแกนเอกเรยก

แกนสงยค (Conjugate Axis)

จดปลายของแกนเอกเรยก จดยอด (Vertices)

สมการในรปมาตรฐาน ของไฮเพอโบลาทม 1( ,0)F c และ 2 ( ,0)F c เปนโฟกส ม (0,0) เปนจดศนยกลาง และ ผลตางของระยะจากจดใดๆไปยงโฟกสเทากบ 2a คอ

2 2

2 21

x y

a b เมอ 2 2 2b c a

สมการในรปมาตรฐาน ของไฮเพอโบลาทม 1(0, )F c และ 2 (0, )F c เปนโฟกส ม (0,0) เปนจดศนยกลาง และ ผลตางของระยะจากจดใดๆไปยงโฟกสเทากบ 2a คอ

2 2

2 21

x y

a b เมอ 2 2 2b c a

คณตศาสตรเสรม หลกสตร EP โรงเรยนสตรศกษา จงหวดรอยเอด ระดบมธยมศกษาปท 4 หนา 9

เรอง Analytic Geometry ดร.วฒนา เถาวทพย คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยขอนแกน 9

Who is Venn?

Who is Euler?

……………………..

……………………..

◙ Which is empty set ?

(1) 2 2x x

(2) 2x x x

(3) 2x x x

(4) 2x x x

(5) 2x x x

(6) 2x x x

◙ Which is finite set ?

(1) 2 2x x

(2) 2x x x

(3) 2x x x

(4) 2x x x

(5) 2x x x

(6) 2x x x

◙ Which is infinite set ?

(1) 2 2x x

(2) 2x x x

(3) 2x x x

(4) 2x x x

(5) 2x x x

(6) 2x x x

Ex.11 จงหาสมการของไฮเพอโบลาทม 1(0, 3)F และ

2 (0,3)F เปนโฟกส และม 1(0, 5)V และ

2 (0,5)V เปนจดยอด สวนประกอบส าคญในการเขยนกราฟของไฮเพอโบลา คอ เสนก ากบ (Asymptote) และ รปสเหลยมมมฉากศนยกลาง (Central rectangle)

Ex.12 จงเขยนกราฟของสมการตอไปน 1) 2 2 2 4 13 0x y x y 2) 2 24 9 0x y 3) 2 24 9 36 0x y 4) 2 24 9 36 0x y 5) 2 29 4 36 0x y Ex.13 จงหาสมาการของไฮเพอโบลาทมโฟกส (0, 4) และมความเยอง

ศนยกลาง เทากบ 53

ความเยองศนยกลาง (Eccentricity) ของไฮเพอบา แทนดวย e โดยท ce

a

เนองจาก 0c a ดงนน 0 1e

คณตศาสตรเสรม หลกสตร EP โรงเรยนสตรศกษา จงหวดรอยเอด ระดบมธยมศกษาปท 4 หนา 10

เรอง Analytic Geometry ดร.วฒนา เถาวทพย คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยขอนแกน 10

Who is Venn?

Who is Euler?

……………………..

……………………..

◙ Which is empty set ?

(1) 2 2x x

(2) 2x x x

(3) 2x x x

(4) 2x x x

(5) 2x x x

(6) 2x x x

◙ Which is finite set ?

(1) 2 2x x

(2) 2x x x

(3) 2x x x

(4) 2x x x

(5) 2x x x

(6) 2x x x

◙ Which is infinite set ?

(1) 2 2x x

(2) 2x x x

(3) 2x x x

(4) 2x x x

(5) 2x x x

(6) 2x x x

●การเลอนกราฟ (Translation of Graph)

พจารณาการเปลยนพกด ในระนาบ XY ทม (0,0) เปนจดก าเนด และระนาบ X Y ทม ( , )h k เปนจดก าเนด จากรป ...........

Ex.14 จงหาสมาการของวงกลมทม (3,2)C เปนจดศนยกลางรศม 5r Ex.15 จงหาสมาการของวงร ทม (3,2)C เปนจดศนยกลาง 1(1,2)F และ

2 (5,2)F เปนโฟกส และม 1(0,2)V และ 2 (6,2)V เปนจดยอด

Ex.16 จงหาสมาการของพาราโบลาทมโฟกส (2,5)F และ จดยอด (2,1)V

Ex.17 จงบอกลกษณะ และ เขยนกราฟของสมการตอไปน 1) 2 24 9 36 0x y y 2) 2 29 18 6 0y x y x 3) 2 24 2 8 6 0x y x y 4) 22 6 5 10 0x x y 5) 2 22 12 6 26 0x x y y

ให ( , )x y เปนพกดในระนาบ XY

และ ( , )x y เปนพกดในระนาบ X Y จะเหนวา

x x h

y y k

คณตศาสตรเสรม หลกสตร EP โรงเรยนสตรศกษา จงหวดรอยเอด ระดบมธยมศกษาปท 4 หนา 11

เรอง Analytic Geometry ดร.วฒนา เถาวทพย คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยขอนแกน 11

◙ ตวอยางขอสอบททาทายเรองเรขาคณตวเคราะห

เสนตรง

1. ให S เปนเซตของจ านวนจรง m ทงหมดทท าใหเสนตรง y = mx ตดวงกลม

22 yx – 10x + 16 = 0 ขอบเขตบนคานอยสดของ S คอจ านวนในขอใดตอไปน

1. 21

2. 32

3. 43

4. 54

2. ก าหนดใหเสนตรง 3x – 4y – 5 = 0 ขนานกบเสนตรง x + ky + 5 = 0 เมอ k เปนจ านวน

จรง ถาวงกลมซงมเสนตรงทงสองนเปนเสนสมผส มจดศนยกลางอยบนแกน Y และผานจด

(a , 41

) แลว | a | เทากบเทาใดตอไปน

1. 26

2. 27

3. 2 4. 3

3. ก าหนดวงกลม C มจดศนยกลางท (–1 , 2) และสมผสแกน X ทจด P เสนตรง L ผานจด

ศนยกลางของวงกลม C และมความชนเปน 1 ถา Q เปนจดตดของ C และ L ทอยในควอด

รนตท 2 แลว ก าลงสองของระยะ PQ เทากบขอใดตอไปน

1. 6 – 24 2. 7 – 24

3. 8 – 24 4. 9 – 24

4. ก าหนดให L เปนเสนตรงทผานจด (1 , 4) และมความชนเทากบ 43

ถาเสนตรง L สมผส

วงกลม C ซงมจดศนยกลางทจด (1 , 2) แลวจดใดตอไปนเปนจดบนวงกลม C

1. )52 , 1( 2. )5

16 , 1(

3. )2 ,513 (

4. )2 , 53(

5. วงกลมวงหนงมจดศนยกลาง (h , k) อยบนเสนตรง 2x + 3y = 6 โดยท h , k เปนจ านวน

เตม ถาวงกลมนมเสนตรง 2x – y = 1 และเสนตรง 2x + y = –3 เปนเสนสมผสแลว ความยาวรศมของวงกลมนอยในชวงใดตอไปน

1. [2 , 4] 2. [4 , 5]

3. [5 , 6] 4. [6 , 7]

คณตศาสตรเสรม หลกสตร EP โรงเรยนสตรศกษา จงหวดรอยเอด ระดบมธยมศกษาปท 4 หนา 12

เรอง Analytic Geometry ดร.วฒนา เถาวทพย คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยขอนแกน 12

6. ก าหนดให a เปนจ านวนจรง และ A(a, 1), B(–5,–4), C(1, –2) และ D(2, 3) เปนจดยอดของ รปสเหลยมดานขนาน ABCD ถา L เปนเสนตรงทตงฉากกบ AC และผานจดกงกลางของ ดาน AC แลวสมการของเสนตรง L คอสมการในขอใดตอไปน

1. 5x – 3y + 6 = 0 2. 5x – 3y – 6 = 0

3. 5x + 3y + 9 = 0 4. 5x + 3y – 9 = 0

7. ก าหนดให L เปนเสนตรงทผานจด (2, 1) และมระยะหางระหวางจดก าเนดและเสนตรง L เทากบ 1 หนวยถา L ตงฉากกบเสนสมผสพาราโบลา y = 2ax – 4a + 1 ทจด (2, 1) แลว a มคาเทากบ ขอใดตอไปน

1. –163 2. –16

1

3. – 83 4. – 8

1

8. ขอใดตอไปน ผด 1. เสนตรง y = 3x + 2 ขนานกบเสนตรง y = 3x – y – 4 = 0

2. เสนตรง y + 5x + 8 = 0 ตงฉากกบเสนตรง 5y = x + 3

3. ระยะหางระหวางจด (0, 0) กบเสนตรง 3x + 4y – 10 เทากบ 2 4. ระยะหางระหวางเสนตรง x – 2y + 5 = 0 กบเสนตรง x – 2y – 5 = 0 เทากบ 2

ภาคตดกรวย

1. ก าหนดให P เปนพาราโบลา y = 2x และ L เปนเสนตรง x – y – 2 = 0 ระยะทางทสนท

สดระหวาง P และ L มคาเทากบเทาใดในขอตอไปน

1. 827

2. 87

3. 1627

4. 167

2. ก าหนดวงกลม C มจดศนยกลางท (–1 , 2) และสมผสแกน X ทจด P เสนตรง L ผานจด

ศนยกลางของวงกลม C และมความชนเปน 1 ถา Q เปนจดตดของ C และ L ทอยในควอด

รนตท 2 แลว ก าลงสองของระยะ PQ เทากบขอใดตอไปน

1. 6 – 24 2. 7 – 24

3. 8 – 24 4. 9 – 24

3. ก าหนดให L เปนเสนตรงทผานจด (1 , 4) และมความชนเทากบ 43

ถาเสนตรง L สมผส

วงกลม C ซงมจดศนยกลางทจด (1 , 2) แลวจดใดตอไปนเปนจดบนวงกลม C

1. ) 52 , (1 2. ) 5

16 , (1

3. ) 2 ,513 ( 4. ) 2 , 5

3 (

คณตศาสตรเสรม หลกสตร EP โรงเรยนสตรศกษา จงหวดรอยเอด ระดบมธยมศกษาปท 4 หนา 13

เรอง Analytic Geometry ดร.วฒนา เถาวทพย คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยขอนแกน 13

4. ก าหนดให A และ B เปนจดโฟกสของวงร 0 2y4x4y2x 22 และวงรนตด

แกน X ทจด C และ D โดยท าให ABCD เปนรปสเหลยม พจารณาขอความตอไปน

ก. ABCD เปนรปสเหลยมผนผา ข. พนทของรปสเหลยม ABCD เทากบ 24 ตารางหนวย ขอใดตอไปนเปนจรง 1. ก ถก และ ข ถก 2. ก ถก และ ข ผด

3. ก ผด และ ข ถก 4. ก ผด และ ข ผด

5. ให C เปนวงกลมทมจดศนยกลางอยทจดศนยกลางของวงร 2x + 2y2 + 4x – 4y + 2 = 0

และผานจดโฟกสทงสองของวงรน ถาวงกลม C ตดเสนตรง y = – x ทจด A และ B

แลว ระยะ AB ยาวเทากบขอใดตอไปน

1. 3 2. 5

3. 6 4. 8

6. ก าหนดให P เปนพาราโบลา 2y – 2y – 8x – 7 = 0 ซงม L เปนเสนไดเรกตรกซ สมการวงกลมซงมจดศนยกลางอยทจดโฟกสของ P และม L เปนเสนสมผสคอขอใดตอไปน

1. 2x + 2y + 2x – 2y – 14 = 0 2. 2x + 2y + 2x – 2y – 2 = 0

3. 2x + 2y + 2x + 2y – 2 = 0 4. 2x + 2y – 2x – 2y – 14 = 0

7. ก าหนดให 1F และ 2F เปนโฟกสของไฮเพอรโบลา 2x + 6x – 2y – 14y – 41 = 0 ถา ) y, 0(P 11 และ ) y, 0(P 22 เปนจดสองจดทท าใหพนทของรปสามเหลยม 211 FFP และพนท ของรปสามเหลยม 212 FFP ตางกเทากบ 22 ตารางหนวย แลว | yy | 2

221 มคาเทา

กบขอใดตอไปน 1. 28 2. 56 3. 84 4. 120 8. ถาไฮเพอรโบลา H มจดศนยกลางอยทจดศนยกลางของวงร 0 4y36x8y9x4 22

จดยอดอยทจดโฟกสทงสองจดของวงรน และผานจด (5, 5) แลวจดโฟกสของไฮเพอรโบลา H คอจดในขอใดตอไปน

1. ) 2 , 1171 ( และ ) 2 , 11

71 ( 2. ) 2 , 1181 ( และ ) 2 , 11

81 (

3. ) 2 , 1191 ( และ ) 2 , 11

91 ( 4. ) 2 , 11101 ( และ ) 2 , 11

101 (

คณตศาสตรเสรม หลกสตร EP โรงเรยนสตรศกษา จงหวดรอยเอด ระดบมธยมศกษาปท 4 หนา 14

เรอง Analytic Geometry ดร.วฒนา เถาวทพย คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยขอนแกน 14

9. ก าหนดให )x(f1 = 23

2x เมอ x 1 และ )x(f2 = 3x – 2 เมอ x 1 ถา P(a, b)

เปนจดศนยกลางของวงกลมทมรศมยาว 57 หนวย และสมผสกราฟของ 1f และ 2f แลว

a + b เทากบขอใดตอไปน 1. 22 2. 22 3. 26 4. 26 10. ให E เปนวงรซงผลบวกของระยะทางจากจดใดๆบนวงร E ไปยงจด (–3, 2) และ (5, 2) เทา กบ 12 หนวย ถา A และ B เปนจดยอดของวงร E และวงร E ตดแกน Y ทจด C และ D แลวพนทของรปสเหลยม ABCD เทากบขอใดตอไปน 1. 510 ตารางหนวย 2. 520 ตารางหนวย 3. 710 ตารางหนวย 4. 720 ตารางหนวย 11. ให H เปนไฮเพอรโบลา 44x16y72x4y12 22 = 0 ซงมจดโฟกสคอ 1F และ 2F ให E เปนวงรซงมจดศนยกลางรวมกบ H โดยม 1F และ 2F เปนจดยอดและสมผสกบแกน Y ถา E ตดแกน X ทจด A และ B แลว AB ยาวเทากบขอใดตอไปน 1. 8 หนวย 2. 7 หนวย 3. 6 หนวย 4. 5 หนวย 12. ก าหนดให วงกลม C มจดศนยกลางอยทจดโฟกสของพาราโบลา y = 1 – 8 2)2x( ถาเสน ตรง 3x – 4y + 5 = 0 เปนเสนสมผสวงกลม C แลว จดในขอใดตอไปนอยบนวงกลม C 1. (0, 1+ 5 ) 2. (1 – 22 , 0) 3. (–1, –1) 3. (2, –2) 13. ก าหนดให P คอ พาราโบลา 2x + 8y + 2x+ a = 0 , โดยท a 0 และมเสนตรง y = 4 เปนไดเรกตรกซ ถา P ตดแกน X ทางลบทจด A แลวเสนตรงทผานจด A และจดยอดของ P มความชนเทากบเทาใด 14. ให A เปนจดในควอดรนตทหนง และเปนจดศนยกลางของวงกลม C ซงมรศม 3 หนวย ถา C ผานโฟกสทงสองของไฮเพอรโบลา 9x6x3y12y2 22 = 0 แลว ระยะทางจากจด ก าเนดไปยงจด A มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 15 2. 18 3. 20 4. 24 ==============================