บทที่ 1

สมการเชิงอนพุันธสามัญ

Ordinary Differential Equations

ปญหาในทางวิศวกรรมและวิทยาศาสตรตางๆ สวนใหญสามารถเขียนใหอยูในรูปของ

สมการทางคณิตศาตร โดยท่ัวไปสมการท่ีสรางข้ึนจะอยูในรูปความสัมพันธระหวางฟงกชันและ

อนุพันธ (derivatives) ของฟงกชันนัน้ๆ เราจึงเรียกสมกาประเภทน้ีวา “สมการเชิงอนุพันธ”

(Differential Equations) ตัวอยางของสมการเชิงอนุพนัธท่ีเราอาจคุนเคยก็คือสมการการเคล่ือนท่ี

ของวัตถุในหนึ่งมิติ ซ่ึงอธิบายไดจากกฏขอท่ีสองของนิวตันและแสดงไดเปน

)(2

2

tFdt

xdm = (1.1)

โดยท่ี คือมวลของวัตถุ คือระยะการเคล่ือนท่ีของวัตถุ คือเวลา และ คือ แรงกระทํา

บนวัตถุซ่ึงอาจเปนฟงกชันของเวลา หากสมมติใหแรงท่ีกระทําบนวัตถุมีคาคงท่ี ผล

เฉลยของสมการ (1.1) สามารถหาไดโดยการอินทิเกรทเทียบกับตัวแปรเวลาสองคร้ังดังนี้

m x t )(tF

F 0)( Ft =

∫ dt : AtFdtdxm += 0 (1.2)

∫ dt : BAttF

mx ++=2

20 (1.3)

หรือ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++= BAt

tFm

tx2

1)(2

0 (1.4)

โดยท่ี และ คือคาคงท่ีจากการอินทิเกรทซ่ึงจะข้ึนอยูกับเง่ือนไขในการเคล่ือนท่ีของวัตถุ

ตัวอยางเชนถาวัตถุเร่ิมเคล่ือนท่ีจากจดุหยดุนิ่ง ท่ีตําแหนงเร่ิมตน คาคงท่ีท้ัง

สองสามารถหาไดดังนี ้

A B

00

==tdt

dx 0)0( =x

002

01)0(2

0 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅+

⋅= BA

Fm

x 0=B

( ) 0010

0

=+⋅==

AFmdt

dx

x

0=A

ดังนั้นสมการสําหรับคํานวณหาระยะการเคล่ือนท่ีของวัตถุจากจุดหยดุนิ่งสามารถคํานวณไดจาก

mtF

tx2

)(2

0= (1.5)

จากตัวอยางดงักลาวขางตนสมการเชิงอนุพันธบางสมการอาจไมอยูรูปท่ีสามารถหาผลเฉลยโดยตรง

จากการอินทริเกรท ตัวอยางเชน

)(2

2

tFkxdt

xdm +−= (1.6)

ซ่ึงจะเหน็วาเม่ืออินทริเกรทสมการ (1.6) เราจะไมสามารถหาผลของการอินทิเกรทของเทอม

ไดเนื่องจาก เปนฟงกชันทีย่งัไมทราบ ดังนั้นในการหาผลเฉลยของสมการในลักษณะดังกลาว

จําเปนตองใชเทคนิคพิเศษในการแกปญหาโดยเทคนิคตางๆ เหลานี้จะถูกกลาวในบทตอๆ ไป

kx

)(tx

สมการเชิงอนพุันธสามัญและอนุพันธยอย

สมการเชิงอนุพันธสามารถแยกออกเปนสองประเภทตามลักษณะของเทอมอนุพันธใน

สมการ โดยสมการท่ีมีเทอมอนุพันธของฟงกชันซ่ึงมีตัวแปรอิสระเพียงแคหนึ่งตัวแปรเราจะเรียก

สมการประเภทน้ีวา “สมการเชิงอนุพันธสามัญ” (Ordinary Differential Equation, ODE)

ในขณะท่ีสมการของฟงกชันซ่ึงมีตัวแปรอิสระมากกวาหนึ่งตัวแปรและมีเทอมอนุพันธเทียบกับตัว

แปรอิสระมากกวาหนึ่งตัวแปร เราจะเรียกสมการประเภทนีว้า “สมการเชิงอนุพันธยอย” (Partial

Differential Equation, PDE) ตัวอยางของสมการท้ังสองแบบซ่ึงอาจพบในปญหาทาง

วิศวกรรมศาสตรสามารถแสดงดังตาราท่ี 1.1

2

ตารางท่ี 1.1 ตัวอยางสมการเชิงอนุพันธสามัญและอนุพนัธยอย

Ordinary Differential Equations Partial Differential Equations

)(tFkx =+2

2

dtxdm

tuu∂∂

=x∂∂

2

22α

dtdEi =

CdtidL +

12

2

02

2

2

2

2

2

=∂∂

+∂∂

+∂∂

zu

yu

xu

0=θsin2

2

+θ

lg

dtd 2

2

2

2

2

22

tu

yu

xuc

∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

)xy−= (2

4

wdxdEI 02 4

4

22

4

4

4

=∂∂

+∂∂

∂+

∂∂

yu

yxu

xu

อันดับของสมการอนุพันธ: โดยท่ัวไปอันดับของสมการอนุพันธจะถูกกําหนดโดยอันดับของเทอม

อนุพันธท่ีมีอันดับสูงท่ีสุดดงัจะเห็นไดในตารางท่ี 1.1 ตัวอยางสมการในสามแถวแรกจะเปน

สมการเชิงอนุพันธอันดับท่ีสอง ในขณะท่ีสมการในแถวสุดทายจะเปนสมการเชิงอนุพันธอันดับท่ีส่ี

สมการเชิงเสนและไมเชิงเสน (Linear and Nonlinear equations)

สมการเชิงอนุพันธอันดับท่ี n ใดๆ จะถูกเรียกวาเปน สมการเชิงเสน (linear equation)

ถาสามารถเขียนในอยูในรูปของสมการตอไปนี ้

)()()(...)()()()( )1(1

)(0 xfxyxaxyxaxyxa n

nn =+++ − (1.7)

ในขณะท่ีสมการเชิงอนุพันธใดๆ ท่ีไมสามารถเขียนใหอยูในรูปของสมการ (1.7) จะถูกเรียกวา

สมการแบบไมเชิงเสน (nonlinear equation) และในกรณีท่ี สมการ (1.7) จะถูก

เรียกวา สมการเอกพันธ (homogeneous equation) ถา เราจะเรียกสมการดังกลาววา

สมการไมเอกพันธ (nonhomogeneous equation)

0)( =xf

0)( ≠xf

3

โดยท่ัวไปการหาผลเฉลยของสมการแบบไมเชิงเสนจะทําไดยากหรือในทางคร้ังไมสามารถหาได

ตรงกันขามกบัการหาผลเฉลยของสมการเชิงเสน ท่ีมีทฏษฎีและเทคนิคตางๆ มากมายท่ีสามารถ

นํามาใชในการหาคําตอบของปญหา วิธีหนึ่งท่ีสามารถนํามาใชในการผลเฉลยโดยประมาณของ

สมการแบบไมเชิงเสนก็คือเทคนิคการประมาณเชิงเสน หลักการของเทคนิคชนิดนี้ก็คือการ

ประมาณคาฟงกชันหรือเทอมท่ีกอใหเกิดความไมเปนเชิงเสนในสมการใหอยูในรูปแบบเชิงเสน

ตัวอยางเชน สมการการเคล่ือนท่ีของของเพนดูลัม

0sin2

2

=+ θθlg

dtd (1.8)

เราจะเห็นวาสมการ (1.8) เปนสมการแบบไมเชิงเสนเนือ่งจากเทอม ทําใหไมสามารถเขียน

สมการใหอยูในรูปของสมการ (1.7) อยางไรก็ตามหากเขียนฟงกชัน ใหอยูในรูปอนุกรม

อนันต

θsin

θsin

...!5

1!3

1sin 53 −+−= θθθθ (1.9)

และหากมุมการแกวงของเพนดูลัมเล็กมากๆ ฟงกชัน จะสามารถประมาณไดโดย

ดังนั้นสมการแบบไมเชิงเสน (1.8) สามารถประมาณใหอยูในรูปเชิงเสนไดจาก

1<<θ θsin

θθ ≈sin

02

2

=+ θθlg

dtd (1.10)

ซ่ึงสามารถหาผลเฉลยไดงายข้ึน อีกวิธีหนึ่งในการแกปญหาแบบไมเชิงเสนก็คือการใชเทคนิคเชิง

ตัวเลข (numerical method) ซ่ึงจะกลาวถึงตอไปในบทท่ี…

4

สมการเชิงอนพุันธสามัญแบบเชิงเสน

ในการแกปญหาสมการเชิงอนุพันธสามัญแบบเชิงเสนซ่ึงสามารถเขียนอยูในรูปท่ัวไปดัง

สมการ (1.7) สามารถทําไดหลายวิธีข้ึนอยูกับลักษณะของสมการท่ีตองการหาผลเฉลย ลอง

พิจารณาลักษณะของปญหาและเทคนิคในการหาผลเฉลยตอไปนี ้

1. สมการเชิงอนุพันธสามัญแบบเอกพนัธท่ีมีสัมประสิทธ์ิคงท่ี

พิจารณาสมการ (1.7) โดยท่ีสัมประสิทธ์ิ เปนคาคงท่ี และ

(homogeneous)

)(),...,(),( 10 xaxaxa n

0)( =xf

ตัวอยางท่ี 1.1 0)(2)(3)( =+′+′′ xyxyxy

จะเห็นวา และ มีคาเทากบั 1 3 และ 2 ตามลําดับ จากการพจิารณาสมการขางตนจะ

พบวา ฟงกชัน มีคาเปนสัดสวนโดยตรงกบัอนุพันธของตัวมันเอง ดังนั้นเราสมมติใหผลเฉลย

ของสมการสามารถเขียนใหอยูในรูปของฟงกชันเลขช้ีกาํลัง (exponential function)

0a 1a

(y

2a

)x

mxexy =)(

โดยท่ี m คือคาคงที่ท่ียังไมทราบคา จากนั้นแทนผลเฉลยสมมติกลับเขาในสมการไดเปน

0232 =++ mxmxmx emeem

หรือ

0232 =++ mm

เราจะเรียกสมการนี้วาสมการลักษณะเฉพาะ(characteristic equation) และจากสมการควอดรา

ติกค (quadratic equation) รากของสมการสามารถหาไดเปน

2−=m และ 1−

ดังนั้นเราจะไดคําตอบของสมการเชิงอนุพันธสามัญขางตนซ่ึงอิสระตอกันสองคําตอบ (linearly

independent solutions) คือ

5

xey 21

−= และ xey −=2

ผลเฉลยท่ัวไปสามารถเขียนใหอยูในรูปของผลรวมเชิงเสน (linear combination) ดังนี ้

xxh eCeCxy −− += 2

21)(

โดย และ คือคาคงท่ีท่ียังไมทราบคา ซ่ึงจะข้ึนอยูกับเง่ือนไขและลักษณะของปญหา 1C 2C

ตัวอยางท่ี 1.2 0)(5)(11)(17)(3 =+′−′′−′′′ xyxyxyxy

ดวยวิธีเดยีวกนัเราสามารถหาผลเฉลยสําหรับสมการเชิงอนุพันธอันดบัท่ีสามไดดังนี้

สมการลักษณะเฉพาะ

0511173 23 =+−− mmm

รากของสมการโพลิโนเมียมอันดับท่ีสามสามารถหาไดจาก

0)5)(1)(13( =−−+ mmm

31

−=m , 1, และ 5

ดังนั้นผลดเฉลยท่ัวไปสามารถเขียนไดเปน

xxx

h eCeCeCxy 532

31

1)( ++=−

จากตัวอยางท้ังสองขางตน เราจะเห็นวารากของสมการลักษณะเฉพาะมีคาไมซํ้ากัน ดังนั้นผลเฉลย

ท่ัวไปสามารถเขียนใหอยูในรูปผลรวมเชิงเสนของคําตอบท่ีไดจากรากของสมการลักษณะเฉพาะ

นั้นๆ อยางไรก็ตามในกรณท่ีีรากท่ีไดมีคาซํ้ากันเราจะไมสามารถเขียนผลเฉลยในรูปของผลรวมเชิง

เสนได ลองพิจารณาตวัอยางตอไปนี ้

6

ตัวอยางท่ี 1.3 พิจารณาสมการ 0)(9)(6)( =+′+′′ xyxyxy

สมการลักษณะเฉพาะ

0962 =++ mm

รากของสมการโพลิโนเมียมอันดับท่ีสองสามารถหาไดจาก

0)3)(3( =++ mm

3−=m และ (รากซํ้า repeated roots) 3−

จะเห็นไดวาเราไมสามารถเขียนผลเฉลยใหอยูในรูปของผลรวมเชิงเสนไดเนื่องจากมีคําตอบเพียง

แคคําตอบเดียวคือ อยางไรก็ตามเนื่องจากเปนสมการเชิงอนุพันธสามัญอันดับท่ีสอง

ดังนั้นเราตองการคําตอบซ่ึงเปนอิสระตอกนัสองคําตอบ ในการหาคําตอบท่ีสองเราสมมติให

xey 31

−=

)()()( 12 xyxfxy =

อนุพันธของอันดับท่ีหนึ่งและสองของ สามารถเขียนไดเปน )(2 xy

)()()()()( 112 xyxfxyxfxy ′+′=′

)()()()(2)()()( 1112 xyxfxyxfxyxfxy ′′+′′+′′=′′

ดังนั้นสมการเชิงอนุพันธสามารถเขียนใหมในรูปของฟงกชัน ดังนี้ )(xf

( ) 0)(9)()(36)()(6)(9 333333 =+′+−+′′+′− −−−−−− xxxxxx exfexfexfexfexfexf

หรือ

0)( 3 =′′ − xexf

อินทริเกรทสมการขางตนสองคร้ัง สามารถหา ไดเปน )(xf

*2

*1)( CxCxf +=

ดังนั้น xx eCxeCxy 3*2

3*12 )( −− +=

โดยท่ีผลเฉลยท่ัวไปสามารถเขียนใหอยูในรูปผลรวมเชิงเสนของคําตอบท้ังสองไดเปน

xxh eCxeCxy 3

23

1)( −− +=

7

ตัวอยางท่ี 1.4 พิจารณาสมการ 0)()(3)(3)( =+′+′′+′′′ xyxyxyxy

สมการลักษณะเฉพาะ

0133 23 =+++ mmm

รากของสมการโพลิโนเมียมอันดับท่ีสามสามารถหาไดจาก

0)1)(1)(1( =+++ mmm

1−=m , 1− และ (รากซํ้า repeated roots) 1−

ดังนั้น ซ่ึงหากใชเทคนิคซ่ึงแสดงดังตัวอยางท่ี 1.3 ฟงกชัน จะสามารถหาได

จาก

xexy −=)(1 )(xf

0)( =′′′ −xexf

ดังนั้น

*3

*2

2*1)( CxCxCxf ++=

และผลเฉลยท่ัวไปสามารถเขียนใหอยูในรูปผลรวมเชิงเสนไดเปน

( ) xh eCxCxCxy −++= 32

21)(

ในบางคร้ังรากของสมการอาจไมใชคาจํานวนจริงแตเปนคาจํานวนเชิงซอนซ่ึงจะทําใหผลเฉลยของ

สมการเชิงอนุพันธชนิดนีไ้มอยูในรูปของฟงกชันเลขช้ีกาํลัง ลองพิจารณาตัวอยางตอไปนี ้

ตัวอยางท่ี 1.5 พิจารณาสมการ 0)()( =+′′ xyxy

สมการลักษณะเฉพาะ

012 =+m

รากของสมการโพลิโนเมียมอันดับท่ีสองสามารถหาจากสมการควอดราติกคไดเปน

im ±=

8

ดังนั้นจะได

ixey =1 และ ixey −=2

ผลเฉลยท่ัวไปสามารถเขียนไดเปน

ixixh eCeCxy −+= *

2*1)(

จากสูตรของ De Moivre, ดังนั้นผลเฉลยท่ัวไปสามารถเขียนใหมไดเปน θθθ cossin iei +=

( ) ( )xixCxixCxyh cossincossin)( *2

*1 −++=

( ) xiCCxCCxyh cos)(sin)( *2

*1

*2

*1 −++=

หรือเขียนไดเปน

xCxCxyh cossin)( 21 +=

โดยท่ี และ อาจมีคาเปนจํานวนจริงหรือจํานวนเชิงซอนก็ได 1C 1C

ตัวอยางท่ี 1.6 พิจารณาสมการ 0)(10)(12)(3)( =−′+′′−′′′ xyxyxyxy

สมการลักษณะเฉพาะ

010123 23 =−+− mmm

รากของสมการโพลิโนเมียมอันดับท่ีสามสามารถหาไดเปน

0)31)(31)(1( =−+++− imimm

และ 1=m i31±−

ดังนั้นจะได

และ ixey =1 xiey )31(2

+−= xiey )31(3

−−=

ผลเฉลยท่ัวไปสามารถเขียนไดเปน

( )ixixxh eCeCeeCxy 3*

33*

21

1)( −− ++=

หรือเขียนใหอยูในรูปของฟงกชันซายนและโคซายนไดเปน

( )xCxCeeCxy xxh 3cos3sin)( 321 ++= −

9

แบบฝกหัด 1.1

1) จงหาผลเฉลยท่ัวไปของปญหาตอไปนี ้

1.1 1.6 023 =+′−′′ yyy 0134 =+′+′′ yyy 1.2 1.7 04013 =+′+′′ yyy 016 =+′′ yy

1.3 1.8 02 =′+′′−′′′ yyy 012 =−′+′′ yyy 1.4 1.9 04 =′+′′′ yy 0214 =−′−′′ yyy 1.5 0=+′−′′−′′′ yyyy 1.10 0595 =−′+′′−′′′ yyyy

2. สมการเชิงอนุพันธสามัญแบบไมเอกพนัธท่ีมีสัมประสิทธ์ิคงท่ี

ในกรณีท่ี (nonhomogeneous) ซ่ึงในท่ีนี้เราจะเรียกวา “ฟงกชันบังคับ”

forcing function และสมการท่ี (1.7) จะถูกเรียกวาสมการเชิงอนุพันธสามัญแบบไมเอกพันธ ผล

เฉลยท่ัวไปของสมการชนิดนึ้สามารถเขียนใหอยูในรูป

0)( ≠xf

)()()( xyxyxy ph +=

โดย คือผลเฉลยของสมการเม่ือพิจารณาให ซ่ึงจะถูกเรียกวา ผลเฉลยเอกพันธ

(homogeneous solution) ในขณะท่ี คือผลเฉลยเฉพาะ (particular solution) ซ่ึงจะ

ข้ึนอยูกับฟงกชัน และตองทําใหสมการเปนจริง เทคนิคในการหาผลเฉลยเฉพาะของสมการมี

หลายวิธีซ่ึงสามารถแสดงไดดังตอไปนี ้

)(xyh 0)( =xf

)(xy p

)(xf

ระเบียบวิธีสัมประสิทธ์ิไมทราบคา

ในกรณีท่ีฟงกชัน เปนฟงกชันเลชช้ีกําลัง โพลิโนเมียล ไฮปอรบอลิค ซายน/โค

ซายน หรือผลคูณของฟงกชันเหลานี้ (ดูตารางท่ี 1.1) เราสามารถหาผลเฉลยเฉพาะของสมการเชิง

อนุพันธแบบไมเอกพันธไดโดย ระเบียบวธีิสัมประสิทธ์ิไมทราบคา (Method of undetermined

coefficients) แนวคิดของระเบียบวิธีนี้ไดมาจากการสังเกตสมการเชิงอนุพันธสามัญท่ีตองการหา

)(xf

10

{ }),...(),(),()( xfxfxfxf ′′′→

{ }0,1,10,55 22 xxx →

{ },...xcos10,sin10,cos10,sin10sin10 xxxx −−→

จะสังเกตเห็นวาเซ็ทของอนพุันธดังกลาวจะประกอบดวยเบสิคฟงกชันซ่ึงสามารถแสดงไดเปน

{ }1,,5 22 xxx →

{ }xxx cos,sinsin10 →

และสมมติใหผลเฉลยเฉพาะสามารถเขียนอยูรูปของผลรวมเชิงเสนของเบสิคฟงกชันของเซ็ทของ

อนุพันธดังนี ้

CBxAxx ++→ 225

xBxAx cossinsin10 +→

โดยสัมประสิทธ์ิไมทราบคา และ สามารถหาไดโดยการแทนผลเฉลยเฉพาะสมมตลิงใน

สมการเชิงอนุพันธ ซ่ึงจะกอใหเกิดสมการใหมท่ีสามารถใชหาคาของสัมประสิทธ์ิไมทราบคานี้ได

A B C

ฟงกชันสมมติสําหรับฟงกชันบังคับอ่ืนๆ ดวยระเบียบวิธีสัมประสิทธ์ิไมทราบคาสามารถแสดงใน

ตารางท่ี 1.1

ตารางท่ี 1.1 การสรางฟงกชันสมมติโดย ระเบียบวิธีสัมประสิทธ์ิไมทราบคา

)(xy p)(xf

012

2 axaxa ++ CBxAx ++2 axke axAe

xa sin หรือ xb cos xBxA sincos +

xa sinh หรือ xb cosh xBxA sinhcosh +

เพื่อความเขาใจถึงระเบียบวธีินี้ยิ่งข้ึนลองพิจารณาตวัอยางตอไปนี ้

11

ตัวอยางท่ี 1.7 xexyxyxy 2)(2)(3)( =+′+′′

จากตัวอยางท่ี 1.1 ผลเฉลยเอกพันธของสมการขางตนสามารถเขียนไดเปน

xxh eCeCxy −− += 2

21)(

โดยระเบียบวธีิสัมประสิทธ์ิไมทราบคาผลเฉลยเฉพาะสามารถเขียนใหอยูในรูปของฟงกชันเลขช้ี

กําลังซ่ึงเปนสัดสวนโดยตรงกับฟงกชันบังคับไดเปน x

p Aexy =)(

คาสัมประสิทธ์ิไมทราบคา สามารถหาไดโดยการแทนฟงกชันสมมติลงในสมการเชิงอนุพันธ

สามัญดังตอไปนี้

A

xxxx eAeAeAe 223 =++ xx eAe −= 26

31

=A

ดังนั้นผลเฉลยทั่วไปสามารถเขียนไดเปน

xxx eeCeCxy31)( 2

21 ++= −−

ตัวอยางท่ี 1.8 พิจารณาสมการ 2)()( xxyxy =+′′

จากตัวอยางท่ี 1.5 ผลเฉลยเอกพันธของสมการขางตนสามารถเขียนไดเปน

xCxCxyh cossin)( 21 +=

โดยระเบียบวธีิสัมประสิทธ์ิไมทราบคาผลเฉลยเฉพาะสามารถเขียนใหอยูในรูปของฟงกชันโพลิโน

เมียลซ่ึงเปนสัดสวนโดยตรงกับฟงกชันบังคับไดเปน

CBxAxxy p ++= 2)(

คาสัมประสิทธ์ิไมทราบคา และ สามารถหาไดโดยการแทนฟงกชันสมมติลงในสมการ

เชิงอนุพันธสามัญดังตอไปนี ้

A B C

222 xCBxAxA =+++

12

22 )2( xACBxAx =+++

สมการขางตนจะเปนจริงไดถา

1=A 0=B และ 2−=C

ดังนั้นผลเฉลยทั่วไปสามารถเขียนไดเปน

2cossin)( 221 −++= xxCxCxy

ตัวอยางท่ี 1.9 พิจารณาสมการ xxyxy sin)()( =+′

สมการลักษณะเฉพาะ

01 =+m

ดังนั้น

1−=m

ผลเฉลยเอกพันธสามารถเขียนไดเปน

xh Cexy −=)(

โดยระเบียบวธีิสัมประสิทธ์ิไมทราบคาผลเฉลยเฉพาะสามารถเขียนใหอยูในรูปของฟงกชันซายน

และโคซายนซ่ึงเปนสัดสวนโดยตรงกับฟงกชันบังคับไดเปน

xBxAxy p cossin)( +=

คาสัมประสิทธ์ิไมทราบคา และ สามารถหาไดโดยการแทนฟงกชันสมมติลงในสมการเชิง

อนุพันธสามัญดังตอไปนี ้

A B

xxBxAxBxA sincossinsincos =++− xxBAxBA sinsin)(cos)( =−++

สมการขางตนจะเปนจริงไดถา

0=+ BA และ 1=− BA

ดังนั้น และ 21

=A21

−=B

13

ผลเฉลยท่ัวไปสามารถเขียนไดเปน

xxCexy x cos21sin

21)( −+= −

ในบางปญหาฟงกชันบังคับอาจเปนสัดสวนโดยตรงกับคําตอบท่ีไดจากการหาผลเฉลยเอกพันธของ

สมการเชิงอนุพันธสามัญ ซ่ึงในกรณนีี้เทคนิคซ่ึงแสดงในตัวอยางขางตนจะไมสามารถนํามาใชได

โดยตรง วิธีแกไขก็คือการคูณฟงกชันสมมติท่ีซํ้ากับคําตอบจากผลเฉลยเอกพันธดวย ในลักษณะ

เดียวกันกับปญหาในตัวอยางท่ี 1.3 และ 1.4 ลองดูตัวอยางตอไปนี ้

x

ตัวอยางท่ี 1.10 พิจารณาสมการ xexyxyxy −=+′+′′ 2)(2)(3)(

จากตัวอยางท่ี 1.1 ผลเฉลยเอกพันธของสมการขางตนสามารถเขียนไดเปน

xxh eCeCxy −− += 2

21)(

เม่ือพิจารณาฟงกชันบังคับ จะเห็นไดวาฟงกชันบังคับเปนสัดสวนโดยตรงกับเทอมท่ีสองของผล

เฉลยเอกพันธ ดังนั้นสมมติใหผลเฉลยเฉพาะสมมติสามารถเขียนอยูรูป x

p Axexy −=)(

แทน ลงในสมการเชิงอนุพนัธสามัญขางตน จะได )(xy p

( ) ( ) xxxxxxx eAxeexeAeexeA −−−−−−− =++−+−− 223

xx eAe −− = 2

2=A

ดังนั้นผลเฉลยทั่วไปสามารถเขียนไดเปน xxx xeeCeCxy −−− ++= 2)( 2

21

14

ตัวอยางท่ี 1.11 พิจารณาสมการ xexxyxyxy 2)(3)(2)( =−′+′′

สมการลักษณะเฉพาะ

0322 =−+ mm

รากของสมการโพลิโนเมียมอันดับท่ีสองสามารถหาจากสมการควอดราติกคไดเปน

1=m และ 3

ผลเฉลยเอกพันธสามารถเขียนไดเปน

xxh eCeCxy 3

21)( −+=

พิจารณาฟงกชันบังคับของปญหาซ่ึงเปนผลคูณของฟงกชันโพลิโนเมียลและฟงกชันชี้กําลัง ดงันั้น

ผลเฉลยบังคับอาจเขียนอยูในรูป x

p eCBxAxxy )()( 2 ++=

อยางไรก็ตามจะเห็นวาเทอมท่ีสามของผลเฉลยบังคับเปนสัดสวนโดยตรงกับเทอมที่หนึ่งของผล

เฉลยเอกพันธ ดังนั้นเพื่อแกปญหาการซํ้ากันของเทอมท้ังสองผลเฉลยบังคับตองเขียนใหมเปน x

p eCxBxAxxy )()( 23 ++=

แทน ลงในสมการเชิงอนุพนัธสามัญขางตน จะได )(xy p

( ) ( ) ( ){ ]22466[ 23 CBxCBAxBAAx +++++++

( ) ( ) ]23[2 23 CxCBxBAAx ++++++

} xx exeCxBxAx 223 ][3 =++−

หรือ ( ) ( ) 22 ]428612[ xCBxBAAx =++++

คาสัมประสิทธ์ิสามารถหาไดเปน

121

=A 161

−=B และ 321

=C

ดังนั้นผลเฉลยทั่วไปสามารถเขียนไดเปน

xxx exxxeCeCxy ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−++= −

321

161

121)( 233

21

15

ในกรณีท่ีฟงกชันบังคับไมอยูรูปของฟงกชันซ่ึงแสดงในตารางท่ี 1.1 หรืออยูในรูปของผลคูณของ

ฟงกชันเหลานี ้เราจําเปนจะตองใชเทคนิคท่ีเรียกวา Variation of parameters ซ่ึงเปนวิธีท่ีสามารถ

ใชไดอยางกวางขวางข้ึนซ่ึงจะอธิบายในหัวขอตอไป

แบบฝกหัด 1.2

จงหาผลเฉลยท่ัวไปของปญหาตอไปนี ้1)

1.1 1.6 xeyyy =−′−′′ 65 xxxyyy sin65 2 +=−′+′′

1.2 1.7 xeyyy 5152 =−′+′′ xexyyy 22107 =+′−′′

1.3 xyyy 2sin12 =−′+′′ 1.8 xexyyy −++=−′+′′ 431211 2

1.4 1.9 xxyyy 4149 2 +=′+′−′′ xxyyy sin54 2=+′+′′

1.5 xxyyy 3cos2sin67 +=+′−′′ 1.10 xxeyyy x 2sin136 3=+′−′′

3. ระเบีบวิธี variation of parameters

สําหรับสมการเชิงอนุพันธเชิงสามัญอันดับท่ีสองในกรณีท่ัวๆไป ซ่ึงอาจเขียนอยูไดเปน

)()()()()()()( 210 xfxyxaxyxaxyxa =+′+′′ (1.11)

โดย สัมประสิทธ และ คือฟงกชันของตัวแปรอิสระ และฟงกชัน

บังคับ คือ ฟงกชันใดๆ ในท่ีนี้สมมติใหผลเฉลยเอกพันธของ (1.11) สามารถเขียนไดเปน

)(0 xa )(1 xa )(2 xa x

)(xf

(1.12) )()()( 2211 xyCxyCxyh +=

โดยท่ี และ คือคําตอบอิสระเชิงเสนของผลเฉลยเอกพันธของ (1.11) หากสมมติ

ใหผลเฉลยท่ัวไปสามารถเขียนในรูป

)(1 xy )(2 xy

(1.13) )()()()()( 2211 xyxvxyxvxy +=

แทน (1.13) ในสมการ (1.11) ฟงกชันไมทราบคา และ สามารถหาไดจาก )(1 xv )(2 xv

∫−=x

c

dW

Fyxv

1)(

)()()( 2

1 ξξξξ (1.14)

16

∫=x

c

dW

Fyxv

2)(

)()()( 1

2 ξξξξ (1.15)

โดย และ คือคารอนสเคียนดเีทอรมิแนนท (Wronskian

determinant) ซ่ึงนิยามโดย

)(/)()( 0 xaxfxF = )(xW

)()()()(

)(21

21

xyxyxyxy

xW′′

= (1.16)

ดังนั้นผลเฉลยทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธสามัญอันดับท่ีสองสามารถเขียนไดเปน

ξξξξ

ξξξξ

dW

Fyxyd

WFy

xyxyx

c

x

c∫∫ +−=21

)()()(

)()(

)()()()( 1

22

1 (1.17)

ตัวอยางท่ี 1.12 พิจารณาสมการดังตัวอยางท่ี 1.11

คําตอบอิสระเชิงเสนของผลเฉลยเอกพันธของสมการจากตัวอยางท่ี 1.11 คือ

xexy =)(1 และ xexy 32 )( −=

คารอนสเคียนดีเทอรมิแนนทสามารถหาไดดังนี้

xxxxx

xx

eeeee

eexW 222

3

3

433

)( −−−−

−

−=−−=−

=

และฟงกชันไมทราบคา และ สามารถหาไดจาก )(1 xv )(2 xv

∫ −

−

−−=

x

c

de

eexv*1

2

23

1 4)( ξξ

ξ

ξξ

∫=x

c

d*1

2

41 ξξ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= *

1

3

341 Cx

1

3

12Cx

+=

17

∫ −−=

x

c

de

eexv*2

2

2

2 4)( ξξ

ξ

ξξ

∫−=x

c

de*2

42

41 ξξ ξ

x

C

xxx exeex

*2

421

161 4

442⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−−=

224

1281

321

161 Cxxe x +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+−=

ดังนั้นผลเฉลยทั่วไปสามารถเขียนไดเปน

xxx eCxxeeCxxy 32

241

3

1281

321

161

12)( −

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

xxx exxxeCeCxy ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−++= −

321

161

121)( 233

21

ซ่ึงผลเฉลยท่ีไดสอดคลองกับผลเฉลยท่ีไดจากระเบียบวธีิสัมประประสิทธ์ิไมทราบคา

ตัวอยางท่ี 1.12 พิจารณาสมการ xxyxy tan)(4)( =+′′

สมการลักษณะเฉพาะ

042 =+m

รากของสมการโพลิโนเมียมอันดับท่ีสองสามารถหาจากสมการควอดราติกคไดเปน

im 2±=

คําตอบอิสระเชิงเสนของผลเฉลยเอกพันธของสมการขางตน คือ

xxy 2sin)(1 = และ xxy 2cos)(2 =

คารอนสเคียนดีเทอรมิแนนทสามารถหาไดดังนี้

22sin22cos2

2cos2sin)( −=

−=

xxxx

xW

18

และฟงกชันไมทราบคา และ สามารถหาไดจาก )(1 xv )(2 xv

∫ −−=

x

c

dxv*1

2tan2cos)(1 ξξξ

∫ −=

x

c

dxv*2

2tan2sin)(2 ξξξ

ดังนั้นผลเฉลยทั่วไปสามารถเขียนไดเปน

( )( )xxxxxCxCxy 2sincosln2cos212cos2sin)( 21 −−+=

แบบฝกหัด 1.3

จงหาผลเฉลยท่ัวไปของปญหาตอไปนีโ้ดยระเบียบวธีิ variation of parameters 1)

1.1 xeyyy =−′−′′ 65

1.2 xeyyy 5152 =−′+′′

1.3 22xeyyy

x

=+′−′′

1.4 x

yysinh

1=−′′

1.5 xyy 2sec4 =+′′

4. ตัวอยางปญหาการส่ันสะเทือนแบบฮารมอนิค

จากการศึกษาเทคนิคและระเบียบวิธีตางๆ ของการแกสมการเชิงอนุพันธเชิงเสนขางตน ลองศึกษา

ตัวอยางตอไปนี้ซ่ึงเปนปญหาพ้ืนฐานทางวศิวกรรมท่ีนาสนใจ พิจารณาการส่ันสะเทือนทางกลของ

วัตถุซ่ึงยึดติดกับสปริงดังรูปท่ี 1

รูปท่ี 1 ระบบส่ันสะเทือนทางกล

m m

x(t)

f(t)

19

สมการการเคล่ือนท่ีของระบบสามารถแสดงไดโดย

)(tfkxxm =+′′ (1.18)

สมมติให คือแรงกระทําจากภายนอกซ่ึงเปนฟงกชัน )(tf tFtf Ω= cos)( 0

ถามวล และคาคงท่ีของสปริง เปนคาคงท่ี ผลเฉลยเอกพันธของสมการ (1.18) สามารถเขียน

ไดเปน

m k

tCtCtxh ωω sincos)( 21 += (1.19)

โดยท่ี คือคาความถ่ีธรรมชาติของระบบ mk /=ω

จากระเบียบวธีิสัมประสิทธ์ิไมทราบคา ผลเฉลยเฉพาะสามารถเขียนอยูในรูป

(1.20) tBtAtx p Ω+Ω= sincos)(

แทน (1.20) ใน (1.18) สัมประสิทธ์ิ และ สามารถหาไดเปน A B

220 /Ω−

=ω

mFA และ 0=B

ดังนั้นผลเฉลยทั่วไปของ (1.18) สามารถเขียนไดเปน

tmF

tCtCtx ΩΩ−

++= cos/

sincos)( 220

21 ωωω (1.21)

หรือ

( ) tmF

tCtx ΩΩ−

++= cos/

sin)( 220

ωφω (1.21)

โดย คือมุมเฟสของการเคล่ือนท่ีซ่ึงข้ึนอยูกับเง่ือนไขการเคล่ือนท่ี φ

ผลเฉลยขางตนแสดงการส่ันสะเทือนแบบฮารมอนิคของระบบเน่ืองจากฟงกชันการเคล่ือนท่ีท่ี

เกิดข้ึนเปนฟงกชันฮารมอนคิซ่ึงไดจากผลรวมของฟงกชันฮารมอนิคสองฟงกชันซ่ึงมีขนาด

(amplitude) ความถ่ี(frequency) และเฟส (phase) ท่ีแตกตางกัน

20

รีโซแนนท (Resonance)

ในกรณีท่ี ผลเฉลยเฉพาะใน (1.20) จะเปนสัดสวนโดยตรงกับ (1.19) ดังนั้นผลเฉลย

เฉพาะสมมติจะตองเขียนใหมใหอยูในรูป (ดูตัวอยางท่ี 1.10)

=Ω ω

( )tBtAttx p Ω+Ω⋅= sincos)( (1.22)

แทน (1.22) ใน (1.18) สัมประสิทธ์ิ และ สามารถหาใหมไดเปน A B

0=A และ ωm

FB

20=

ดังนั้นผลเฉลยทั่วไปสามารถเขียนไดเปน

( ) ttmF

tCtx ωω

φω sin2

sin)( 0++= (1.23)

จะเห็นไดวาเทอมท่ีสองของ (1.23) ไมใชฟงกชันฮารมอนิค แตเปนผลคูณของฟงกชันฮารมอนิค

กับเวลา ดังนัน้จะเห็นวาขนาดของการส่ันสะเทือนจะเพ่ิมข้ึนไปพรอมกับเวลา และจะมีขนาดเขาสู

อนันตเม่ือ ซ่ึงปรากฏการที่เกิดข้ึนนึ้เรียกวา รีโซแนนท ∞→t

x (t) pF 0t/ (2m ω )

- F 0t/ (2m ω )

t

รูปท่ี 2 รีโซแนนท

21

แบบฝกหัด 1.4

1) จากผลเฉลยสําหรับการส่ันสะเทือนแบบฮารมอนิค (1.21) หาก จงแสดงใหเห็นวาถา

ผลเฉลยสามารถเขียนใหมใหอยูในรูป

ω→Ω

0)0()0( == xx &

ttmF

tx ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Ω−

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Ω+

Ω−=

2sin

2sin

/2)( 22

0 ωωω

พล็อตกราฟเม่ือ และ และอธิบายปรากฏการณท่ีเกิดขึน้ ωω 9.0,2.0=Ω ω98.0

22