บทที่ 4...
TRANSCRIPT
![Page 1: บทที่ 4 ลิมิตและความตอเนื่องnfile.snru.ac.th/download.aspx?NFILE=TEACHER_169...ว เคราะห˜ท ให*ระบบการให*เหต](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041810/5e57778e4919b65f3a5dceb1/html5/thumbnails/1.jpg)
เอกสารประกอบการสอน อ.สมจตร บญเทยม 1
บทท 4 ลมตและความตอเนอง
แคลคลส เปนคณตศาสตรแขนงหนงทมพนฐานมาจากการศกษาการเปลยนแปลงและการเคลอนททางกลศาสตร การสรางรากฐานวชาใหรดกมจาเปนตองอาศยความรทางคณตศาสตรทซบซอน การพฒนาความรจงตองละบรบททางวทยาศาสตรทไมจาเปนออกไป เพอใหไดระบบภาษาสญลกษณทมความกระชบ ชดเจน และสามารถขยายความรตอยอดออกไปเรอย ๆ ดวยเหตผลนสวนหนงทาใหแคลคลสพฒนาแยกตวออกมาจากวทยาศาสตรและเขาใกลคณตศาสตรบรสทธมากขน การพฒนาแคลคลสในแงมมวาเปนคณตศาสตรแขนงหนง เรมเหนชดในครสตศตวรรษท 17 จากผลงานของนวตน (Isaac Newton, 1643 – 1727, England) และไลบนต (Gottfried Wilhelm van Leibniz, 1646 – 1716, Germany) แคลคลสเรมพฒนาตวเองไปสคณตศาสตรวเคราะหทใหระบบการใหเหตผลทมความรดกมมากกวาเดม เมอ โคช (Augustin Louis Cauchy, 1789 – 1857, France) ไดเสนอใหใชแนวคดของลมตของฟงกชนเพอเปนรากฐานความรของแคลคลส เกดการแสวงหาความรตอยอดตาง ๆ ทางคณตศาสตร และสะทอนกลบนาไปใชประโยชนในการแสวงหาความรทางวทยาศาสตรและวศวกรรมศาสตร และแนนอนวามนษยยงแสวงหาวทยาการเพอสรางเทคโนโลยตอบสนองความตองการของตวเองตลอดเวลา นนหมายถงจะมหลายปญหาทยงแกไมไดดวยความรทมในปจจบน การแสวงหาความรใหม ๆ จะยอนกลบไปผลกดนใหแตละวชาไมหยดทจะพฒนาความรของตวเอง แคลคลสกเปนหนงแขนงวชา ดงนนการทราบทมาของการพฒนาและความรพนฐานของแคลคลส จะทาใหเหนแนวทางในการพฒนาความรตอไป
รปท 4.1 สามบคคลทมสวนสาคญในการพฒนาแนวคดของแคลคลสยคใหม [wikipedia.org] สาหรบการศกษาในบทน ผสนใจจะไดทาความเขาในเนอหาของแคลคลสเบองตน ประกอบดวย ลมตและความตอเนองของฟงกชน อนพนธของฟงกชน และการอนทเกรต
![Page 2: บทที่ 4 ลิมิตและความตอเนื่องnfile.snru.ac.th/download.aspx?NFILE=TEACHER_169...ว เคราะห˜ท ให*ระบบการให*เหต](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041810/5e57778e4919b65f3a5dceb1/html5/thumbnails/2.jpg)
เอกสารประกอบการสอน อ.สมจตร บญเทยม 2
4.1 ลมตและความตอเนอง
ตวอยาง 4.1.1 จงใชนยามของลมต แสดงวา ( )
3lim 3 2 7x
x→
− =
วธทา ให 0ε > เปนจานวนจรงบวกใดๆ เลอก 3
εδ = ททาให 0 3x δ< − <
แลวจะไดวา ( ) ( )3 2 7f x L x ε− = − − <
3 9 x ε= − <
( )3 3 x ε= − <
3 3 x ε= − <
3 δ ε< <
3
εδ= <
นนคอ ( )3
lim 3 2 7x
x→
− =
ตวอยาง 4.1.2 จงใชนยามของลมตแสดงวา 2
2lim 4x
x→
=
วธทา เพอความสะดวก เราสมมตให 1δ = ทาใหไดวา 2 1x − <
ให 0ε > เปนจานวนจรงบวกใดๆ จะไดวา
2 4x ε− <
2 2x x ε− + <
นยาม 4.1.1 (นยามของลมต) ให เปนฟงกชนทนยามบนชวงเปด ทบรรจ (คาของ ไมนยาม)
จานวนจรง จะเรยกวาเปนลมตของฟงกชน ขณะท เขาใกล กตอเมอ
สาหรบแตละจานวนจรง จะมจานวนจรง ซงทาให
นนคอ
เขยนแทนดวยสญลกษณ
![Page 3: บทที่ 4 ลิมิตและความตอเนื่องnfile.snru.ac.th/download.aspx?NFILE=TEACHER_169...ว เคราะห˜ท ให*ระบบการให*เหต](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041810/5e57778e4919b65f3a5dceb1/html5/thumbnails/3.jpg)
เอกสารประกอบการสอน อ.สมจตร บญเทยม 3
( )2 2x x ε− + <
เนองจากคาสงสดของ x คอ 3 (ทสมมต) จะไดวา 5 2x ε− <
25
xε
− <
ดงนนสาหรบแตละ 0ε > เราสามารถเลอกจานวน 0δ > ซง
,15
εδ =
นนคอ 2
2lim 4x
x→
=
ทฤษฎบท 4.1.1 (Uniqueness of Limit) กาหนดฟงกชน และสมมตให และ
จะไดวา (แสดงวาลมตของฟงกชน (ถาม) จะมไดเพยงคาเดยวเทานน)
ทฤษฎบท 4.1.2 ถา เปนคาคงท และกาหนดให สาหรบทก ๆ
ดงนนสาหรบจานวนจรง ใด ๆ จะไดวา
ทฤษฎบท 4.1.3 ถากาหนดให สาหรบทก ๆ และ ทเปนคาคงทใด ๆ จะไดวา
![Page 4: บทที่ 4 ลิมิตและความตอเนื่องnfile.snru.ac.th/download.aspx?NFILE=TEACHER_169...ว เคราะห˜ท ให*ระบบการให*เหต](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041810/5e57778e4919b65f3a5dceb1/html5/thumbnails/4.jpg)
เอกสารประกอบการสอน อ.สมจตร บญเทยม 4
ทฤษฎบท 4.1.4 (ลมตของฟงกชนทเทากน) สมมตใหมจานวน ซงทาให สาหรบทก ๆ ท
และสมมตให จะไดวา
ทฤษฎบท 4.1.5 (ลมตของผลบวก) ถา f และ g เปนฟงกชน ซงม และ จะได
บทแทรก 4.1.6 ถา เปนฟงกชน ซงม
จะไดวา
ทฤษฎบท 4.1.7 (ลมตของผลคณ) ถา f และ g เปนฟงกชน ซงม และ จะได
![Page 5: บทที่ 4 ลิมิตและความตอเนื่องnfile.snru.ac.th/download.aspx?NFILE=TEACHER_169...ว เคราะห˜ท ให*ระบบการให*เหต](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041810/5e57778e4919b65f3a5dceb1/html5/thumbnails/5.jpg)
เอกสารประกอบการสอน อ.สมจตร บญเทยม 5
บทแทรก 4.1.8 กาหนดฟงกชน ซงม
จะไดวา
บทแทรก 4.1.9 ถา f เปนฟงกชน ซงม และ k เปนคาคงทใด ๆ จะไดวา
บทแทรก 4.1.10 ถา f และ g เปนฟงกชน ซงม และ จะไดวา
ทฤษฎบท 4.1.11 ถา และ จะไดวาจะตองมจานวนจรงบวก
ซงทาให สาหรบทก ๆ x ท
บทแทรก 4.1.12
ถา และ จะไดวาจะตองมจานวน ซงทาให
สาหรบทก ๆ x ท
![Page 6: บทที่ 4 ลิมิตและความตอเนื่องnfile.snru.ac.th/download.aspx?NFILE=TEACHER_169...ว เคราะห˜ท ให*ระบบการให*เหต](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041810/5e57778e4919b65f3a5dceb1/html5/thumbnails/6.jpg)
เอกสารประกอบการสอน อ.สมจตร บญเทยม 6
ตวอยาง 4.1.3 จงหา ( )3 2
3lim 2 5x
x x→
+ +
วธทา จากโจทย จะไดวา
( )( )
3 2 3 2
3 3 3 3
3 2
lim 2 5 lim 2 lim lim 5
3 2 3 5
27 18 5
50
x x x xx x x x
→ → → →+ + = + +
= + +
= + +
=
ตวอยาง 4.1.4 จงหา 3 2
3
2 5lim
3 1x
x x
x→
+ ++
วธทา จากโจทย จะไดวา
( )( )
3 23 2
3
33
lim 2 52 5lim
3 1 lim 3 1
50
10
x
xx
x xx x
x x→
→→
+ ++ +=
+ +
=
ทฤษฎบท 4.1.13 ถา โดยท จะไดวา
บทแทรก 4.1.14 ถา และ โดยท จะไดวา
![Page 7: บทที่ 4 ลิมิตและความตอเนื่องnfile.snru.ac.th/download.aspx?NFILE=TEACHER_169...ว เคราะห˜ท ให*ระบบการให*เหต](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041810/5e57778e4919b65f3a5dceb1/html5/thumbnails/7.jpg)
เอกสารประกอบการสอน อ.สมจตร บญเทยม 7
ตวอยาง 4.1.5 ถา f และ g เปนฟงกชน โดยกาหนดวา ( ) ( )2 , 2 1f x x g x x= = +
ในทนจะพบวา ( )2
lim 4x
f x→
= และ ( ) ( )4
lim 9 4x
g x g→
= =
ทงนเพราะ ( )( ) ( )( ) ( )2 22 1g f x g f x g x x= = = +�
เพราะฉะนน ( )( )lim 9x a
g f x→
=�
ทฤษฎบท 4.1.15 ถา และ และถามจานวนจรงบวก
ซงทาให สาหรบทก ๆ t ท จะไดวา
ทฤษฎบท 4.1.16 สมมตให f และ g เปนฟงกชน a และ b เปนจานวนจรงทหาคา ได
และถา และ จะไดวา
ทฤษฎบท 4.1.17 สมมตให f และ g เปนฟงกชน a และ b เปนจานวนจรงทหาคา ได
และถา และ จะไดวา
![Page 8: บทที่ 4 ลิมิตและความตอเนื่องnfile.snru.ac.th/download.aspx?NFILE=TEACHER_169...ว เคราะห˜ท ให*ระบบการให*เหต](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041810/5e57778e4919b65f3a5dceb1/html5/thumbnails/8.jpg)
เอกสารประกอบการสอน อ.สมจตร บญเทยม 8
ตวอยาง 4.1.6 จงหา 3 3
2
1lim
1x
x
x→
+
+
วธทา จากโจทย จะไดวา
3333
2
22
lim 11lim
1 lim 1x
xx
xx
x x→
→→
++=
+ +
( )( )
33
2
2
lim 1
lim 1x
x
x
x
→
→
+=
+
33 3
2
1 9 lim
1 3x
x
x→
+=
+
ทฤษฎบท 4.1.18 ให f เปนฟงกชน เพราะฉะนน กตอเมอ ถา เปนชวงเปดใด ๆ
ทม แลวจะตองมชวงเปด ทม และทาใหเมอไรกตามท
และ แลวจะไดวา
ทฤษฎบท 4.1.19 ถา n เปนจานวนเตมบวก และ จะไดวา
ทฤษฎบท 4.1.20 ถา n เปนจานวนเตมบวก และ และ จะไดวา
![Page 9: บทที่ 4 ลิมิตและความตอเนื่องnfile.snru.ac.th/download.aspx?NFILE=TEACHER_169...ว เคราะห˜ท ให*ระบบการให*เหต](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041810/5e57778e4919b65f3a5dceb1/html5/thumbnails/9.jpg)
เอกสารประกอบการสอน อ.สมจตร บญเทยม 9
ตวอยาง 4.1.7 จงหา ( )2 2
0limh
x h x
h→
+ −
วธทา จากโจทย จะเหนวาถาแทน 0h= จะทาใหลมตนหาคาไมได
เราจะพจารณาฟงกชน ( )2 2x h x
h
+ − วาสามารถเปลยนรปอนไดหรอไม
ซงเราไดวา ( ) 2 2 2 22 2x h x x hx h x
h h
+ − + + −=
( )
22
2
2
hx h
h
h x h
h
x h
+=
+=
= +
ดงนน เรากจะไดวา ( ) ( )
2 2
0 0lim lim 2 2h h
x h xx h x
h→ →
+ −= + =
นนคอ ( )2 2
0lim 2h
x h xx
h→
+ −=
4.1.1 ลมตดานเดยว (One-Side Limits)
พจาณาฟงกชน ( )f x ทกาหนดโดย ( ) 2
2 1 ; 1 1
13 ; 1 4
2
x x
f xx x
+ ≤ ≤
= − < <
จะพบวา ทจด 1x = จะได ( )1 3f = แต ( )1
limx
f x→
ไมม ดงนน ฟงกชน f จงไมตอเนองทจด 1x =
ถาให ( ) 2 1g x x= + และ ( ) 213
2h x x= − และใหโดเมนของ g และ h คอเซตของจานวนจรงทงหมด
( )ℝ จะพบวา ( ) ( )f x g x= สาหรบทก ๆ [ ]1,1x∈ − เพราะฉะนนในขณะท x เขาใกล 1 ทางดาน
ซายมอ (หมายถง x เขาใกล 1 ทางดานทมคานอยกวา 1) ซงเขยนแทนดวยสญลกษณ 1x −→ จะไดวา ( ) ( )
1 1lim 3 limx x
f x g x− −→ →
= =
ในทานองเดยวกน เพราะวา ( ) ( )f x h x= สาหรบทก ๆ ( )1,4x∈ ในขณะท x เขาใกล 1
ทางดานทมคามากกวา 1) ซงเขยนแทนดวยสญลกษณ 1x +→ จะไดวา
![Page 10: บทที่ 4 ลิมิตและความตอเนื่องnfile.snru.ac.th/download.aspx?NFILE=TEACHER_169...ว เคราะห˜ท ให*ระบบการให*เหต](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041810/5e57778e4919b65f3a5dceb1/html5/thumbnails/10.jpg)
เอกสารประกอบการสอน อ.สมจตร บญเทยม 10
( ) ( )1 1
5lim lim
2x xf x h x
+ +→ →= − =
เพราะฉะนน ( ) ( )1 1
lim limx x
f x f x− +→ →
≠
ตวอยาง 4.1.8 กาหนดให
( )
3 1 ;
2 21 1
; 2
x x
f x
xx
− + <= ≥
จงหาคาของ ( )1
2
limx
f x−
→
และ ( )1
2
limx
f x+
→
วธทา จากโจทย สามารถเขยนกราฟ ของ ( )f x ไดดงน
นยาม 4.1.3 ลมตขวามอ (Right-hand limit) กาหนดฟงกชน f และจานวนจรง a, L เราจะกลาววา มคาเขาใกล L ในขณะท x
มคาเขาใกล a ทางดานขวามอ (เขยนแทนดวย )
ถามสมบตวา สาหรบแตละจานวนจรงบวก จะตองมจานวนจรงบวก ซงทาให สาหรบทก ๆ x ท
นยาม 4.1.4 ลมตทางซาย (Left-hand limit) กาหนดฟงกชน f และจานวนจรง a, L เราจะกลาววา มคาเขาใกล L ในขณะท x
มคาเขาใกล a ทางดานซายมอ (เขยนแทนดวย )
ถามสมบตวา สาหรบแตละจานวนจรงบวก จะตองมจานวนจรงบวก ซงทาให สาหรบทก ๆ x ท
![Page 11: บทที่ 4 ลิมิตและความตอเนื่องnfile.snru.ac.th/download.aspx?NFILE=TEACHER_169...ว เคราะห˜ท ให*ระบบการให*เหต](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041810/5e57778e4919b65f3a5dceb1/html5/thumbnails/11.jpg)
เอกสารประกอบการสอน อ.สมจตร บญเทยม 11
จะพบวา f ไมตอเนองทจด 1
2x = ในขณะท x เขาใกล
1
2 ทางดานซายมอ
จะไดวา ( )f x เขาใกล 1 3
12 2− + =
นนคอ ( )1
2
lim 1x
f x−
→
= ในขณะเดยวกน จะไดวา ( )1
2
lim 2x
f x+
→
=
ดงนน ( ) ( )1 1
2 2
lim limx x
f x f x− +
→ →
≠
หมายเหต ในกรณท ( ) ( )lim lim
x a x af x f x
− +→ →≠ เราจะกลาววา ( )lim
x af x
→ ไมม
ตวอยาง 4.1.9 จงหา ( )lim
x af x
→ โดยกาหนดให
ทฤษฎบท 4.1.21 ถา f เปนฟงกชน และ a, L เปนจานวนจรง จะไดวา
กตอเมอ
![Page 12: บทที่ 4 ลิมิตและความตอเนื่องnfile.snru.ac.th/download.aspx?NFILE=TEACHER_169...ว เคราะห˜ท ให*ระบบการให*เหต](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041810/5e57778e4919b65f3a5dceb1/html5/thumbnails/12.jpg)
เอกสารประกอบการสอน อ.สมจตร บญเทยม 12
( )
11 ; 0
21
; 01
x x
f x
xx
+ <= ≥ +
วธทา เราไดวา ( )0 0
1lim lim 1 1
2x xf x x
− −→ →
= + =
และ ( ) 1lim lim 1
1x a x af x
x+ +→ →
= = +
เนองจากเราพบวา ( ) ( )lim lim 1x a x a
f x f x− +→ →
= =
นนคอ ( )lim 1x a
f x→
=
ตวอยางท 4.1.10 จงหาคาของ 2
23
9lim
3 2x
x
x x−→
−
+ −
วธทา กาหนดให ( ) ( )( )( )( )
2
2
3 39
1 33 2
x xxf x
x xx x
− +−= =
+ −+ −
เพราะฉะนน สาหรบ x ท 1 3x− < < จะไดวา
( ) ( )3 3
1
x xf x
x
− +=
+
เพราะวา ( )3 3 3
lim 3 lim 3 lim 3 3 6x x x
x x− − −→ → →+ = + = + =
( )3 3 3
lim 1 lim 1 lim 1 3 4x x x
x x− − −→ → →+ = + = + =
( )3 3 3
lim 3 lim 3 lim 3 3 0x x x
x x− − −→ → →− = − = − =
เพราะฉะนน 3
lim 1 4 2x
x−→
+ = =
และ 3
lim 3 0 0x
x−→
− = =
เพราะฉะนน ( )
3
3 3 6 0lim 0
21x
x x
x−→
− + ⋅= =
+
![Page 13: บทที่ 4 ลิมิตและความตอเนื่องnfile.snru.ac.th/download.aspx?NFILE=TEACHER_169...ว เคราะห˜ท ให*ระบบการให*เหต](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041810/5e57778e4919b65f3a5dceb1/html5/thumbnails/13.jpg)
เอกสารประกอบการสอน อ.สมจตร บญเทยม 13
นนคอ ( )3
lim 0x
f x−→
=
4.1.2 ความตอเนอง (Continuity)
ตามทไดกลาวมาแลว ถงความหมายของ ( )lim
x af x L
→= ถงแมในบางฟงกชนเราไมสามารถหาคา
ของฟงกชนนนๆ ทจด x a= กตาม แตในสวนทจะกลาวตอไปนเราจะพดถงแตเฉพาะในกรณท f เปนฟงกชนซงหาคาของ ( )f a ได นอกจากนน ( )lim
x af x L
→= โดยท ( )L f a= ฟงกชน f ทมลกษณะดงกลาวเรา
เรยกวาเปนฟงกชนตอเนอง (Continuous Function) ทจด x a=
ตวอยาง 4.1.11 กาหนดให ( ) 22 3 4f x x x= + − จงแสดงวาฟงกชน f เปนฟงกชนตอเนองท
1x = หรอไม
วธทา กาหนดให ( ) 22 3 4f x x x= + − ถาฟงกชน f เปนฟงกชนตอเนองท 1x =
ฟงกชน f จะตองมคณสมบตครบทง 3 ขอตอไปน
1) ( ) ( ) ( )21 2 1 3 1 4 2 3 4 1f = + − = + − =
2) ( ) ( )2
1 1lim lim 2 3 4x x
f x x x→ →
= + −
2 3 4
1
= + −
=
3) ( ) ( )1
lim 1 1x
f x f→
= =
จาก 1) - 3) สรปไดวา ฟงกชน f เปนฟงกชนตอเนองท 1x =
นยาม 4.1.5 ฟงกชน f จะเปนฟงกชนทตอเนองทจด กตอเมอ
1) หาคาของ ได
2) หาคาของ ได
3)
นยาม 4.1.6 ฟงกชน f จะเปนฟงกชนตอเนองในเซต S กตอเมอ f เปนฟงกชนทตอเนองททกจดในเซต S
![Page 14: บทที่ 4 ลิมิตและความตอเนื่องnfile.snru.ac.th/download.aspx?NFILE=TEACHER_169...ว เคราะห˜ท ให*ระบบการให*เหต](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041810/5e57778e4919b65f3a5dceb1/html5/thumbnails/14.jpg)
เอกสารประกอบการสอน อ.สมจตร บญเทยม 14
นยาม 4.1.7 เราจะเรยกฟงกชน f วาเปนฟงกชนโพลโนเมยล (Polynomial Function) กตอเมอ
โดยท ทกตวเปนจานวนจรง
ทฤษฎบท 4.1.22 ฟงกชนโพลโนเมยลจะเปนฟงกชนทตอเนองในเซต (โดยกาหนดวา เปนเซตของจานวนจรงทงหมด)
ทฤษฎบท 4.1.23 ถา f และ g เปนฟงกชนทตอเนองทจด จะไดวา ฟงกชนตอไปนจะ ตอเนองทจด เชนกน 1) 2)
3)
4) โดยท k เปนจานวนจรงใด ๆ
ทฤษฎบท 4.1.24 ถา f เปนฟงกชนตอเนองทจด a และ g เปนฟงกชนทตอเนองทจด
จะไดวา จะเปนฟงกชนทตอเนอง ทจด
นยาม 4.1.8 เราจะกลาววาฟงกชน f เปนฟงกชนทมความตอเนองทางขวามอ (right-hand continuity) ทจด a ถา และเรยก f วาเปนฟงกชนทม
ความตอเนองทางซาย (left-hand continuity) ทจด b ถา
![Page 15: บทที่ 4 ลิมิตและความตอเนื่องnfile.snru.ac.th/download.aspx?NFILE=TEACHER_169...ว เคราะห˜ท ให*ระบบการให*เหต](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041810/5e57778e4919b65f3a5dceb1/html5/thumbnails/15.jpg)
เอกสารประกอบการสอน อ.สมจตร บญเทยม 15
สมมตให a b< และให 1 2,f f เปนฟงกชนโดยกาหนดวา
( )1
0 ,
1 ,
0 ,
x a
f x a x b
x b
<
= ≤ ≤ >
และ
( )2
0 ,
1 ,
0 ,
x a
f x a x b
x b
≤
= < < ≥
ดงรป
จะพบวาฟงกชน 1f และ 2f จะตอเนองทจดทกจดยกเวนทจด x a= และ x b= นอกจากนน 1f จะตอเนองทางขวามอทจด x a= และตอเนองทางซายมอทจด x b= ทงนเพราะ
( ) ( )1lim 1x a
f x f a+→
= = และ ( ) ( )1lim 1x b
f x f b−→
= = ในทานองเดยวกน 2f จะตอเนองทางซายมอ
ทจด x a= และตอเนองทางขวามอทจด x b=
จากตวอยางขางตน พบวา 1f เปนฟงกชนทตอเนองบนชวงปด [ ],a b แต 2f ไมตอเนองบนชวงปด
[ ],a b
นยาม 4.1.9 ฟงกชน f จะเปนฟงกชนทตอเนองบนชวงปด กตอเมอ
(i) f เปนฟงกชนทตอเนองททกจดในชวงเปด
(ii) f เปนฟงกชนทตอเนองทางขวามอทจด และตอเนองทางซายมอทจด นนคอ และ
![Page 16: บทที่ 4 ลิมิตและความตอเนื่องnfile.snru.ac.th/download.aspx?NFILE=TEACHER_169...ว เคราะห˜ท ให*ระบบการให*เหต](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041810/5e57778e4919b65f3a5dceb1/html5/thumbnails/16.jpg)
เอกสารประกอบการสอน อ.สมจตร บญเทยม 16
นยาม 4.1.10 ให f เปนฟงกชนทหาคาไดบนชวง (ซงอาจจะเปนชวงเปด ชวงปด หรอไมเปนทง สองอยางกได) ถามจานวน M ซงทาให สาหรบทก ๆ
จะกลาววา f เปนฟงกชนทมขอบเขต (bounded) บนชวง
ทฤษฎบท 4.1.25 ถา f เปนฟงกชนทตอเนองบนชวงปด จะไดวา f เปนฟงกชนทม
ขอบเขตบนชวง
ทฤษฎบท 4.1.26 ถา f เปนฟงกชนทตอเนองบนชวงปด แลวจะตองมจด
ททาให สาหรบทก ๆ
บทแทรก 4.1.27 ถา f เปนฟงกชนทตอเนองบนชวงปด แลวจะตองมจด
ททาให ท
ทฤษฎบท 4.1.28 (Intermediate Value Theorem) ให f เปนฟงกชนทตอเนองบนชวงปด และให
ถา C เปนจานวนจรงใด ๆ ทอยระหวาง A และ B จะไดวา จะตองมจด
ททาให
บทแทรก 4.1.29 ถา f เปนฟงกชนทตอเนองบนชวงปด และ ถา
จะตองมจานวน ททาให
![Page 17: บทที่ 4 ลิมิตและความตอเนื่องnfile.snru.ac.th/download.aspx?NFILE=TEACHER_169...ว เคราะห˜ท ให*ระบบการให*เหต](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041810/5e57778e4919b65f3a5dceb1/html5/thumbnails/17.jpg)
เอกสารประกอบการสอน อ.สมจตร บญเทยม 17
4.1.3 ลมตเกยวกบอนนต (Limits Involving Infinity) กอนจะกลาวถงความหมายของลมตทเกยวกบคาอนนต ขอใหพจารณาฟงกชนตอไปน
( )1
xf x
x=+
จะพบวา f เปนฟงกชนทตอเนองทจดทกจดยกเวนทจด 1x = − ดงรป
สาหรบ 1x > − จะไดวา ( ) 11 1
1 1
xf x
x x
−= = + <+ +
และ สาหรบ 1x < − จะได ( ) 1f x >
กอนอนขอใหพจารณาเฉพาะทางดาน 1x > − โดยดจากคาของฟงกชนตอไปน
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 10 100 10001, 0 0, 1 , 10 , 100 , 1000 ,
2 2 11 101 1001f f f f f f − = − = = = = =
…
ทฤษฎบท 4.1.30 ถา f เปนฟงกชนทตอเนองบนชวงปด และเรนจของ f อยในชวง
จะไดวา จะตองมจด อยางนอย 1 จด ททาให
จด ทมสมบตวา เราเรยกวา จดคงท (fixed point)
![Page 18: บทที่ 4 ลิมิตและความตอเนื่องnfile.snru.ac.th/download.aspx?NFILE=TEACHER_169...ว เคราะห˜ท ให*ระบบการให*เหต](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041810/5e57778e4919b65f3a5dceb1/html5/thumbnails/18.jpg)
เอกสารประกอบการสอน อ.สมจตร บญเทยม 18
จะเหนวา ถา x มคาเพมขนเรอย ๆ คาของฟงกชนกจะเพมขน แตอยางไรกตาม คาของฟงกชนจะตองนอยกวา 1 เสมอ ลกษณะเชนนเราจะกลาววา ถา x มคาเขาใกลคาอนนต (infinity) ทางดานบวก ( )x→+∞
( )f x จะมคาเขาใกล 1 ( )( )1f x → ซงเขยนแทนดวยสญลกษณ
( )lim 1x
f x→+∞
=
ในทานองเดยวกน ถาพจารณาทางดาน 1x < − จะพบวา ถา x มคาลดลงเรอย ๆ คาของฟงกชนกจะมคาลดลงเชนเดยวกนแตยงคงมคามากกวา 1 เสมอ นนคอ ถา x มคาเขาสคาอนนตทางดานลบ ( )x→−∞
( )f x จะมคาเขาส 1 ( )( )1f x → ซงเขยนแทนดวยสญลกษณ
( )lim 1x
f x→−∞
=
หมายเหต สญลกษณ x→∞ หมายถง x มคาเพมขนโดยไมมขอบเขต
นนคอ x→∞ กตอเมอ x→+∞ และ x→−∞ จากตวอยางขางตน เราจะกลาววา ( )lim 1
xf x
→∞=
นยาม 4.1.11 เราจะกลาววา กตอเมอ ถากาหนดจานวนบวก ใด ๆ จะตองม
จานวนจรง ซงทาให สาหรบทก ๆ x ท
นยาม 4.1.12 เราจะกลาววา กตอเมอ ถากาหนดจานวนบวก ใด ๆ จะตองม
จานวนจรง ซงทาให สาหรบทก ๆ x ท
นยาม 4.1.13 เราจะกลาววา กตอเมอ ถากาหนดจานวนบวก ใด ๆ จะตองม
จานวนจรง ซงทาให สาหรบทก ๆ x ท
![Page 19: บทที่ 4 ลิมิตและความตอเนื่องnfile.snru.ac.th/download.aspx?NFILE=TEACHER_169...ว เคราะห˜ท ให*ระบบการให*เหต](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041810/5e57778e4919b65f3a5dceb1/html5/thumbnails/19.jpg)
เอกสารประกอบการสอน อ.สมจตร บญเทยม 19
ตวอยาง 4.1.12 จงหาคาของ 5 3
lim3 1x
x
x→∞
+−
วธทา กาหนดให ( ) 5 3
3 1
xf x
x
+=
− ถา 0x ≠ เอา x หารทงเศษและสวนของ f จะไดวา
( )3
5 1 ; 0,
1 33
xf x x x
x
+= ≠ ≠−
จากทฤษฎบท 4.1.31 จะได
3 3
lim 5 lim 5 limx x xx x→∞ →∞ →∞
+ = +
ทฤษฎบท 4.1.31
ถา จะไดวา
(i)
(ii)
(iii)
ทฤษฎบท 4.1.32 ถา และ โดยท และ เปนจานวนจรง
จะไดวา (i)
(ii)
(iii)
(iv) ถา
![Page 20: บทที่ 4 ลิมิตและความตอเนื่องnfile.snru.ac.th/download.aspx?NFILE=TEACHER_169...ว เคราะห˜ท ให*ระบบการให*เหต](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041810/5e57778e4919b65f3a5dceb1/html5/thumbnails/20.jpg)
เอกสารประกอบการสอน อ.สมจตร บญเทยม 20
3
lim 5 5 3 0
5x x→∞
+ = + ⋅
=
และ 1 1
lim 3 lim 3 limx x xx x→∞ →∞ →∞
− = −
3 0
3
= −
=
ดงนน
33 lim 55 5lim =
1 1 33 lim 3
x
x
x
xx
x x
→∞
→∞
→∞
++ = − −
นนคอ 5 3 5
lim3 1 3x
x
x→∞
+=
−
ถาพจารณาดกราฟของฟงกชน ( )1
xf x
x=+
ทกลาวมาแลว โดยสงเกตดคาของ ( )f x เมอ x เขา
ใกลจด 1− จากตารางตอไปน
x 1 0 -0.5 -0.9 -0.99 -0.999 ...
( )f x 1
2
0 -1 -9 -99 -999 ...
x -2 -1.5 -1.1 -1.01 -1.001 -1.0001 ...
( )f x -2 3 11 101 1001 10001 ...
จากตารางขางบน จะพบวา ในขณะท x มคาเขาใกล 1− ทางดานบวก คาของฟงกชน จะลดลงไปเรอย ๆ อยางไมมขอบเขต หรอ
( )f x →−∞ ในขณะท 1x +→−
ในทานองเดยวกน ในตารางทสองจะพบวา ถา x มคาเขาส 1− ทางดานลบ คาของ ( )f x จะเพมขน
เรอย ๆ อยางไมมขอบเขต หรอ
( )f x →+∞ ในขณะท 1x −→−
1 :x +→−
1 :x −→−
![Page 21: บทที่ 4 ลิมิตและความตอเนื่องnfile.snru.ac.th/download.aspx?NFILE=TEACHER_169...ว เคราะห˜ท ให*ระบบการให*เหต](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041810/5e57778e4919b65f3a5dceb1/html5/thumbnails/21.jpg)
เอกสารประกอบการสอน อ.สมจตร บญเทยม 21
ตวอยางท 4.1.13 จงพสจนวา (i) 0
1limx x+→
= +∞ และ
(ii) 0
1limx x−→
= −∞
พสจน (i) กาหนดจานวนจรงบวก N และเลอก 1
Nδ =
นยาม 4.1.14 เราจะกลาววา กตอเมอ ถากาหนดจานวน จะตองมจานวน
ซงทาให สาหรบทก ๆ x ท
นยาม 4.1.15 เราจะกลาววา กตอเมอ ถากาหนดจานวน จะตองมจานวน
ซงทาให สาหรบทก ๆ x ท
นยาม 4.1.16 เราจะกลาววา กตอเมอ ถากาหนดจานวน จะตองมจานวน
ซงทาให สาหรบทก ๆ x ท
นยาม 4.1.17 เราจะกลาววา กตอเมอ ถากาหนดจานวน จะตองมจานวน
ซงทาให สาหรบทก ๆ x ท
นยาม 4.1.18 เราจะกลาววา กตอเมอ ถากาหนดจานวน จะตองมจานวน
ซงทาให สาหรบทก ๆ x ท หรอ
![Page 22: บทที่ 4 ลิมิตและความตอเนื่องnfile.snru.ac.th/download.aspx?NFILE=TEACHER_169...ว เคราะห˜ท ให*ระบบการให*เหต](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041810/5e57778e4919b65f3a5dceb1/html5/thumbnails/22.jpg)
เอกสารประกอบการสอน อ.สมจตร บญเทยม 22
เพราะฉะนน สาหรบทก ๆ x ท 0 x δ< < จะไดวา
1 1
Nx δ> =
จากนยาม 13 จะไดวา 0
1limx x+→
= +∞
(ii) กาหนดจานวนจรงบวก N และเลอก 1
Nδ =
เพราะฉะนน สาหรบทก ๆ x ท 0xδ− < < จะไดวา
1 1
Nx δ< − = −
จากนยาม 16 จะไดวา
0
1limx x−→
= −∞
ทฤษฎบท 4.1.33 ถา n เปนจานวนเตมบวก จะไดวา
(i)
(ii)
ทฤษฎบท 4.1.34 ถา หรอ และ โดยท c เปนจานวน
จรงใด ๆ จะไดวา (i)
(ii) ถา จะไดวา
ถา n เปนจานวนค
ถา n เปนจานวนค
![Page 23: บทที่ 4 ลิมิตและความตอเนื่องnfile.snru.ac.th/download.aspx?NFILE=TEACHER_169...ว เคราะห˜ท ให*ระบบการให*เหต](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041810/5e57778e4919b65f3a5dceb1/html5/thumbnails/23.jpg)
เอกสารประกอบการสอน อ.สมจตร บญเทยม 23
ตวอยางท 4.1.14 กาหนดให ( )( )2
1
5f x
x=
− และ ( ) ( )25g x x= −
จงหา ( ) ( )5
limx
f x g x→
⋅
วธทา จากทฤษฎบท 23 ในกรณท 2n = จะไดวา
( )25
1lim
5x x+→
= +∞−
และ ( )25
1lim
5x x−→
= +∞−
เพราะฉะนน ( )25
1lim
5x x→= +∞
−
และเพราะวา ( ) ( )25 5
lim lim 5 0x x
g x x→ →
= − =
นอกจากนนจะพบวา ( ) ( ) 1f x g x⋅ = สาหรบทก ๆ 5x ≠
เพราะฉะนน ( ) ( )5
lim 1x
f x g x→
⋅ =
ตวอยางท 4.1.15 จงหาคาของ 22
lim4x
x
x+→ −
วธทา ถา 2x > จะไดวา 2
1
2 24
x x
x xx= ⋅+ −−
ให ( ) 122 1
xf x
x
x
= =+ +
และ ( )( )
1 1
2 2g x
x x
−= =− −
จากทฤษฎบท 23 จะไดวา ( )2
limx
g x+→
= −∞
นอกจากนนยงไดวา ( )2
1lim
2xf x
+→=
ดงนน ( ) ( )[ ]22 2lim lim
4x x
xf x g x
x+ +→ →= ⋅
−
( )2
limx
g x+→
=
= −∞
![Page 24: บทที่ 4 ลิมิตและความตอเนื่องnfile.snru.ac.th/download.aspx?NFILE=TEACHER_169...ว เคราะห˜ท ให*ระบบการให*เหต](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041810/5e57778e4919b65f3a5dceb1/html5/thumbnails/24.jpg)
เอกสารประกอบการสอน อ.สมจตร บญเทยม 24
4.2 อนพนธของฟงกชน (Derivative of Function)
การหาอนพนธของฟงกชนมความสาคญมากในวชาแคลคลส ซงถอวาเปนหวใจของวชาน และเปนความรทนาไปสการเกดความรอกหลายสาขา อนพนธมประโยชนกวางขวางในการพสจนทฤษฎบทตางๆ อกทงสามารถประยกตใชในเรองความชน ความเรว ความเรง การหาคาสงสด การหาคาตาสด หรอในเรองเกยวกบเศรษฐกจ
การหาอนพนธของฟงกชนจาแนกฟงกชนออกเปน 2 ลกษณะ คอ การหาอนพนธของฟงกชนพชคณต และการหาอนพนธของฟงกชนอดศย ในทนจะกลาวถงการหาอนพนธของฟงกชนพชคณตอยางละเอยดเพอนาไปใชตอยอดในเนอหาตอไป
4.2.1 การหาอนพนธของฟงกชนพชคณต (Differentiation of Algebraic function)
ฟงกชนพชคณต คอ ฟงกชนทคาของฟงกชน เขยนอยในรปสญลกษณพชคณต ซงประกอบดวย คาคงตว ตวแปร และเครองหมาย บวก ลบ คณ หาร รากทสอง กาลง เปนตน เชน
3 2( ) 2 3 12f x x x= + + , 3 25 2 1y x x= + + , ( )( )( ) 2 1f x x x= + − เปนตน
กอนทจะศกษานยามและทฤษฎเกยวกบการหาอนพนธของฟงกชน เรามาทาความรจกอนพนธของฟงกชนในความหมายทางเรขาคณตเสยกอน ถากาหนดฟงกชน ( )y f x= และใหจด ( , )P x y เปนจดบนกราฟของฟงกชนดงกลาว และสมมตใหวา ถา x เปลยนเปน x x+△ แลวคา y จะเปลยนเปน y y+△ (สญลกษณ x△ และ y△ เรยกวาสวนเพมเตมของ x (Increment of x ) และสวนเพมเตมของ y
(Increment of y ) ตามลาดบ ซงอาจจะเปนบวกหรอลบกได) และใหจด P′ เปนจดบนกราฟทมพกดเปน
( ),x x y y+ +△ △ ดงรป
จากรป ในทน ( )y y f x x+ = +△ △ และ ( )y f x=
เพราะฉะนน ( ) ( )y f x x f x= + −△ △
![Page 25: บทที่ 4 ลิมิตและความตอเนื่องnfile.snru.ac.th/download.aspx?NFILE=TEACHER_169...ว เคราะห˜ท ให*ระบบการให*เหต](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041810/5e57778e4919b65f3a5dceb1/html5/thumbnails/25.jpg)
เอกสารประกอบการสอน อ.สมจตร บญเทยม 25
ถา 0x≠△ จะได ( ) ( )y f x x f x
x x
+ −=
△ △
△ △
จากรปพบวาอตราสวน y
x
△
△
คอความชนของเสนตรงทผานจด P และ P′ ในขณะท x 0→△ จะ
พบวาจด P′ จะเขาใกลจด P หรอเสนตรง PP′ จะเขาใกลเสนตรง PT ซงเปนเสนสมผสกราฟทจด P
ทฤษฎบทเกยวกบอนพนธของฟงกชน (Theorems on Derivative)
ทฤษฎบทตอไปนจะทาใหเราสามารถคานวณหาอนพนธของฟงกชนพชคณตได
นยาม 4.2.1 ให เปนฟงกชน และถา หา
คาไดและเปนจานวนจรง เราจะเรยกลมตนวา อนพนธของฟงกชน f หรอ อนพนธของ y ตอตวแปร x
(Derivative of with respect to x) และเขยนแทนดวยสญลกษณ หรอ
นนคอ (ถาลมตนหาคาได) ในกรณเชนน เราเรยก f วา
เปนฟงกชนทมอนพนธทจด x (Differentiable at x)
นยาม 4.2.2 ถาฟงกชน f เปนฟงกชนทมอนพนธทจด x แลวอนพนธ ความชนของ
เสนสมผสกราฟของ f ทจด
นยาม 4.2.3 ถา f เปนฟงกชนทมอนพนธทจด x ความชนของกราฟของ f ทจด คอ ความชน
ของเสนสมผสกราฟของ f ทสมผสทจด
นนคอ ความชนของกราฟของ f ทจด
ทฤษฎบท 4.2.1 อนพนธของคาคงตวมคาเทากบศนย
![Page 26: บทที่ 4 ลิมิตและความตอเนื่องnfile.snru.ac.th/download.aspx?NFILE=TEACHER_169...ว เคราะห˜ท ให*ระบบการให*เหต](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041810/5e57778e4919b65f3a5dceb1/html5/thumbnails/26.jpg)
เอกสารประกอบการสอน อ.สมจตร บญเทยม 26
ทฤษฎบท 4.2.2 ถา n เปนจานวนเตมบวก และ จะไดวา
ทฤษฎบท 4.2.3 ถา เปนฟงกชนทมอนพนธทจด x และ c เปนคาคงตวใดๆ จะไดวา
ทฤษฎบท 4.2.4 ถา n เปนจานวนเตมบวก และ c เปนคาคงตวใดๆ เพราะฉะนนฟงกชน จะเปน
ฟงกชนทมอนพนธ สาหรบทกๆ x และ
ทฤษฎบท 4.2.4 ถา f และ g เปนฟงกชนทมอนพนธทจด x และ จะไดวา S จะเปน
ฟงกชนทมอนพนธทจด x และ
บทแทรก 4.2.5 ถา โดยท เปนฟงกชนทมอนพนธทจด x
จะไดวา S จะเปนฟงกชนทมอนพนธทจด x และ
บทแทรก 4.2.6 ถา f เปนฟงกชนโพลโนเมยล โดยท n เปนจานวนเตมบวกหรอศนย และ เปนจานวนใดๆ จะไดวา
![Page 27: บทที่ 4 ลิมิตและความตอเนื่องnfile.snru.ac.th/download.aspx?NFILE=TEACHER_169...ว เคราะห˜ท ให*ระบบการให*เหต](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041810/5e57778e4919b65f3a5dceb1/html5/thumbnails/27.jpg)
เอกสารประกอบการสอน อ.สมจตร บญเทยม 27
ตวอยาง 4.2.1 จงหา dy
dx เมอ 5 3 23 2 3 10y x x x= + − +
วธทา เนองจาก 5 3 23 2 3 10y x x x= + − +
จะไดวา 5 3 23 2 3 10dy d d d d
x x xdx dx dx dx dx= + − +
( ) ( ) ( )4 23 5 2 3 3 2 0dy
x x xdx= + − +
4 215 6 6dy
x x xdx= + −
เพราะฉะนน 4 215 6 6dy
x x xdx= + −
ตวอยาง 4.2.2 กาหนดให ( )( )22 3 1y x x x= − + จงหา dy
dx
วธทา เนองจาก y เปนผลคณของสองฟงกชน จากทฤษฎบทจะไดวา
( ) ( ) ( ) ( )2 22 3 1 3 1 2dy d d
x x x x x xdx dx dx= − + + + −
( )( ) ( )( )22 3 3 1 4 1x x x x= − + + −
( ) ( )2 26 3 12 1x x x x= − + + −
218 2 1x x= − −
ดงนน 218 2 1dy
x xdx= − −
ทฤษฎบท 4.2.7 ถา u และ v เปนฟงกชนทมอนพนธทจด x จะไดวาผลคณ จะเปนฟงกชนทม
อนพนธทจด x และ
![Page 28: บทที่ 4 ลิมิตและความตอเนื่องnfile.snru.ac.th/download.aspx?NFILE=TEACHER_169...ว เคราะห˜ท ให*ระบบการให*เหต](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041810/5e57778e4919b65f3a5dceb1/html5/thumbnails/28.jpg)
เอกสารประกอบการสอน อ.สมจตร บญเทยม 28
ตวอยาง 4.2.3 กาหนดให ( )( )
3 22 1
1
x xy
x
− +=
− จงหา
dy
dx
วธทา เนองจาก y เปนฟงกชนผลหาร จากทฤษฎบท จะไดวา
( ) ( ) ( ) ( )
[ ]
3 2 3 2
2
1 2 1 2 1 1
1
d dx x x x x x
dy dx dxdx x
− − + − − + −=
−
( )( ) ( )( )
[ ]
2 3 2
2
1 3 4 2 1 1
1
x x x x x
x
− − − − +=
−
[ ]
3 2 3 2
2
3 7 4 2 1
1
x x x x x
x
− + − + −=
−
[ ]
3 2
2
2 5 4 1
1
x x x
x
− + −=
−
( ) ( )
[ ]
− −=
−
2
21 2 1
1
x x
x
2 1x= −
ดงนน 2 1dy
xdx= −
ทฤษฎบท 4.2.8 ถา และ เปนฟงกชนทมอนพนธ และถา โดยท
จะไดวา
ทฤษฎบท 4.2.9 ให n เปนจานวนเตมบวก และ โดยท จะไดวา
![Page 29: บทที่ 4 ลิมิตและความตอเนื่องnfile.snru.ac.th/download.aspx?NFILE=TEACHER_169...ว เคราะห˜ท ให*ระบบการให*เหต](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041810/5e57778e4919b65f3a5dceb1/html5/thumbnails/29.jpg)
เอกสารประกอบการสอน อ.สมจตร บญเทยม 29
ตวอยาง 4.2.4 กาหนดให 3 2
2 1 3( )f x
xx x= + + โดยท 0x≠ จงหา ( )f x′
วธทา เนองจาก 3 2
2 1 3( )f x
xx x= + + เปลยนรป จะได
3 2 1( ) 2 3f x x x x− − −= + + จากทฤษฎบท จะไดวา
( )( ) ( )( ) ( )( )3 1 2 1 1 1( ) 2 3 2 3 1f x x x x− − − − − −′ = − + − + −
4 3 2( ) 6 2 3f x x x x− − −′ =− − −
ดงนน 4 3 2
6 2 3( )f x
x x x
−′ = − −
หมายเหต จากกฎลกโซ เราอาจจะกลาววาถา ( )y f u= และ ( )u g x= จะไดวา dy dy du
dx du dx= ⋅
ตวอยาง 4.2.5 กาหนดให 63 2( ) 5 4 1f x x x x = − + − จงหา ( )f x′
วธทา จากทฤษฎบท และโจทยทกาหนดให ในทน ( )6
( )f x u x = และ 3 25 4 1u x x x= − + −
จะไดวา ( ) ( ) ( )5
6f x u x u x ′ ′= ⋅
( )53 2 3 26 5 4 1 5 4 1d
x x x x x xdx
= − + − ⋅ − + −
( ) ( )53 2 26 5 4 1 3 10 4x x x x x= − + − ⋅ − +
ทฤษฎบท 4.2.10 [กฎลกโซ (Chain Rule)] สมมตให f, g และ u เปนฟงกชนโดยท และสมมตให g และ u เปนฟงกชนทมอนพนธ จะไดวา f จะเปนฟงกชนทมอนพนธ และ
หรอ
บทแทรก 4.2.11 ถา โดยท n เปนจานวนเตมจะไดวา
![Page 30: บทที่ 4 ลิมิตและความตอเนื่องnfile.snru.ac.th/download.aspx?NFILE=TEACHER_169...ว เคราะห˜ท ให*ระบบการให*เหต](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041810/5e57778e4919b65f3a5dceb1/html5/thumbnails/30.jpg)
เอกสารประกอบการสอน อ.สมจตร บญเทยม 30
ดงนน ( ) ( ) ( )53 2 26 5 4 1 3 10 4f x x x x x x′ = − + − ⋅ − +
แบบฝกหด
1. กาหนดให ( )2 4
2
xf x
x
−=
− จงพสจนวา ( )
2lim 4x
f x→
=
2. จงหาคาของลมตตอไปน
2.1 ( )1
lim 4 1x
x+→
− 2.3 ( )2
2lim 3 1x
x x→
− +
2.2 3
31
1lim
1x
x
x−→
−
− 2.4
( )2 2
limh
x h x
h→∞
− −
3. จงพสจนวา 2
2 5 1lim
6 4x
x
x→
−=
−
4. จงอาศยทฤษฎบทเกยวกบลมตหาคาของลมตตอไปน
4.1 ( )2
2lim 4 3x
x x→
+ − 4.3 2
22
2lim
4x
x x
x→
+ −
−
4.2 2
2 5lim
3 2x
x
x→
+−
4.4 5
2
32lim
2x
x
x→
−−
5. จงตรวจสอบดวาฟงกชนทกาหนดใหตอไปนตอเนองทจดทกาหนดใหหรอไม เพราะเหตใด
5.1 ( ) 3 2 ; 1,0f x x x= + = 5.3 ( ) 2 ; 2f x x x= = −
5.2 ( ) ; 0
1 ; 0
x xf x
x x
− ≥=
− < 5.4 ( ) 3 ; 3f x x x= − =
6. จงหาลมตดานเดยวของฟงกชนตอไปน
6.1 1
1lim
1x
x
x+→
−
− 6.3
20
1lim 1x x+→
+
6.2 2
22
4lim
2h
x
x x−→
−
+ − 6.4
1lim 1x
x+→−
7. จงหาลมตของฟงกชนทกาหนดให (ถาม) และวาดกราฟของฟงกชนนนๆ ในกรณทไมมลมต จงหาลมตทางซายและทางขวา (ถาม)
![Page 31: บทที่ 4 ลิมิตและความตอเนื่องnfile.snru.ac.th/download.aspx?NFILE=TEACHER_169...ว เคราะห˜ท ให*ระบบการให*เหต](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041810/5e57778e4919b65f3a5dceb1/html5/thumbnails/31.jpg)
เอกสารประกอบการสอน อ.สมจตร บญเทยม 31
7.1 ( )6 ; 3
; 3
x xf x
x x
− + ≤=
> จงหา ( )
3 lim x
f x→
และ ( )1
limx
f x→
7.2 ( ) ; 0
1 ; 0
x x
g xx
x
<
= >
จงหา ( )0
lim x
g x→
8. จงหาลมตดานเดยวของฟงกชนตอไปน
8.1 2 4
lim3 1x
x
x→∞
++
8.3 2
2
2 1lim
1x
x
x→+∞
−
+
8.2 0
1limx
x
x+→
+ 8.4
2
2
4lim
2x
x
x+→
−−
8.5 2 4
lim2x
x
x→−∞
++