บทที่...

บทที่ 8

ค่าเฉพาะและเวกเตอร์เฉพาะ

บทนีจ้ะศกึษา การแปลงเชิงเส้นเม่ือก าหนดให้ :T V V และต้องการหาคา่คงท่ี และ v ท่ีท าให้สมการ T v v โดยท่ีเวกเตอร์ v ไมเ่ป็นเวกเตอร์ศนูย์นัน่คือ 0v หรือเม่ือก าหนดให้ A เป็นเมทริกซ์จตัรัุสมิต ิ n แล้วต้องการหาคา่คงท่ี ทัง้หมดและเวกเตอร์ v ท่ีไมเ่ป็นเวกเตอร์ศนูย์ซึง่ Av v ซึง่ในบทนีจ้ะศกึษาการหาคา่ของ และ v นัน่เอง

8.1 ค่าเฉพาะและเวกเตอร์เฉพาะ

จากปัญหา ก าหนดให้ A เป็นเมทริกซ์จตัรัุสมิต ิ n แล้วต้องการหาคา่คงท่ี ทัง้หมดและเวกเตอร์ v ท่ีไมเ่ป็นเวกเตอร์ศนูย์ซึง่ Av v จะเร่ิมจากนิยามตอ่ไปนี ้

บทนิยามที่ 8.1 ก าหนดให้ A เป็นเมทริกซ์จัตุรัสมิติ n แล้วค่าคงท่ี เรียกว่าเป็นค่าเฉพาะ (Eigenvalue) ของ A เม่ือเวกเตอร์ v ไมเ่ป็นเวกเตอร์ศนูย์ท่ีท าให้ Av v

เรียก v วา่เป็นเวกเตอร์เฉพาะ (Eigenvector) ของ A ท่ีสมนยักบั

ตัวอย่างที่ 8.1 ก าหนดให้ 4 0

4 2A

จงแสดงวา่ 3

2v

เป็นเวกเตอร์เฉพาะของ

A ท่ี สมนยักบัคา่เฉพาะ 4

วิธีท า จาก Av 4 0 3

4 2 2

12

8

34

2

v

ดงันัน้ 3

2v

เป็นเวกเตอร์เฉพาะของ A ท่ีสมนยักบัคา่เฉพาะ 4

264

บทนิยามที่ 8.2 ก าหนดให้ A เป็นเมทริกซ์จตัรัุสมิต ิ n det nA I เรียกฟังก์ชันพหุนามลักษณะเฉพาะ (Characteristic Polynomial)

และสมการ det 0nA I เรียกสมการลักษณะเฉพาะ (Characteristic Equation)

ถ้า A เป็นเมทริกซ์จตัรัุสมิติ n สมการลกัษณะเฉพาะ จะเป็นสมการพหนุามระดบัขัน้ n และคา่เฉพาะ เป็นรากของพหนุามซึง่มีอยา่งมาก n ราก

ตัวอย่างที่ 8.2 จงหาคา่เฉพาะของเมทริกซ์ 1 4

7 4A

วิธีท า คา่เฉพาะของเมทริกซ์ A คือคา่ ท่ีสอดคล้องกบัสมการ det 0A I จะได้

1 4

7 4

0

1 4 28 0 จะได้สมการลกัษณะเฉพาะของเมทริกซ์ A คือ

2 5 24 0 8 3 0 คา่เฉพาะของเมทริกซ์ A เป็นจ านวนจริงท่ีแตกตา่งกนั 2 คา่ คือ 1 8 และ 2 3


1 4A


2 1

1 4

0


2 6 9 0

23 0

คา่เฉพาะของเมทริกซ์ A เป็นจ านวนจริงท่ีซ า้กนั 2 คา่ คือ 1 2 3

265


4 6A


7 3

4 6

0


2 13 54 0

คา่ หาได้จาก

213 13 4 1 54

2 1

13 47

2

13 47

2

i

คา่เฉพาะของเมทริกซ์ A เป็นจ านวนเชิงซ้อนท่ีไมซ่ า้กนั 2 คา่ คือ 1

13 47

2

i

และ

2

13 47

2

i

คา่เฉพาะแตล่ะคา่จะหาเวกเตอร์เฉพาะท่ีสอดคล้องกนัได้อยา่งน้อย 1 เวกเตอร์ คา่เฉพาะของเมทริกซ์ใดๆ เป็นคา่รากของสมการพหนุามระดบัขัน้ n ซึง่สามารถสรุปได้ดงันี ้

1. คา่เฉพาะเป็นจ านวนจริงท่ีแตกตา่งกนั (Distinct Eigenvalue) 2. คา่เฉพาะเป็นจ านวนจริงท่ีซ า้กนั (Repeated Eigenvalue) 3. คา่เฉพาะเป็นจ านวนเชิงซ้อน (Complex Eigenvalue)

ในเนือ้หาท่ีศกึษากนันี ้จะศกึษาคา่เฉพาะท่ีเป็นจ านวนจริงเทา่นัน้ ตัวอย่างที่ 8.5 จงหาคา่เฉพาะของเมทริกซ์

1 0 5

0 2 0

0 0 3

A


266

1 0 5

0 2 0

0 0 3

0

เน่ืองจาก A เป็นเมทริกซ์สามเหล่ียมบน det A หาได้จากผลคณูของสมาชิกในแนวเส้นทแยงมมุหลกั ดงันัน้จะได้สมการลกัษณะเฉพาะของเมทริกซ์ A คือ

1 2 3 0 คา่เฉพาะของเมทริกซ์ A คือ 1 21, 2 และ 3 3 หมายเหตุ จะสงัเกตได้วา่คา่เฉพาะของเมทริกซ์ A ท่ีเป็นเมทริกซ์สามเหล่ียมบน เมทริกซ์สามเหล่ียมลา่ง เมทริกซ์เฉียง คา่เฉพาะของเมทริกซ์ A คือ สมาชิกบนเส้นทแยงมมุหลกัของ เมทริกซ์

ทฤษฎีบทที่ 8.1 ก าหนดให้ A เป็นเมทริกซ์จตัรัุสมิติ n และ เป็นจ านวนจริง ข้อความตอ่ไปนีส้มมลูกนั

1. เป็นคา่เฉพาะของ A

2. ระบบสมการ 0nA I v มีผลเฉลยไมเ่ป็นศนูย์

3. มีเวกเตอร์ v ท่ีไมเ่ป็นศนูย์ใน nR ท่ีท าให้ Av v

4. เป็นผลเฉลยท่ีเป็นจ านวนจริงของสมการลกัษณเฉพาะ det 0nA I

พสูิจน์ จาก 1 2 สมมตใิห้ เป็นคา่เฉพาะของ A ซึง่ Av v มีผลเฉลยไมเ่ป็นศนูย์ ให้ 0v เป็นผลเฉลยท่ีไมเ่ป็นศนูย์ของสมการ ดงันัน้ 0Av 0v

จะได้ 0 0Av v 0

หรือ 0nA I v 0

นัน่คือ 0v เป็นผลเฉลยของสมการ nA I v 0

จาก 2 3 สมมตใิห้ระบบสมการ nA I v 0 มีผลเฉลยไมเ่ป็นศนูย์ จะมีเวกเตอร์ 0v ท่ีไมเ่ป็นศนูย์ใน nR ท่ีท าให้ nA I v 0

จะได้ 0 0nAv I v 0

267

หรือ 0 0Av v 0

0Av 0v

ดงันัน้จะมีเวกเตอร์ 0v v ท่ีไมเ่ป็นศนูย์ของสมการท่ีท าให้ 0Av 0v

จาก 3 4 สมมตใิห้มีเวกเตอร์ 0v ท่ีไมเ่ป็นศนูย์ใน nR ท่ีท าให้ 0Av 0v

จะได้ 0 0Av v 0

หรือ 0 0nAv I v 0

0nA I v 0

0nA I v 0 เป็นระบบสมการเอกพนัธุ์ ท่ีมีผลเฉลย 0 0v ดงันัน้ det 0nA I นัน่คือ เป็นผลเฉลยท่ีเป็นจ านวนจริงของสมการลกัษณเฉพาะ

det 0nA I จาก 4 1 สมมตใิห้ det 0nA I ดงันัน้ระบบสมการเอกพนัธุ์ nA I v 0

มีผลเฉลยท่ีไมเ่ป็นศนูย์ใน nR

ก าหนดให้ 0v เป็นผลเฉลยของ ระบบสมการเอกพนัธุ์ nA I v 0 และ 0 0v

จะได้ 0nA I v 0

หรือ 0 0nAv I v 0

0 0Av v 0

0Av 0v

ดงันัน้ เป็นคา่เฉพาะของ A

จาก เป็นคา่เฉพาะของเมทริกซ์ A ท่ีท าให้ระบบสมการ nA I v 0 มีผลเฉลยท่ีไมเ่ป็นเวกเตอร์ศนูย์ ผลท่ีได้คือ ทกุผลเฉลยท่ีไมเ่ป็นเวกเตอร์ศนูย์ของระบบสมการจะเป็นเวกเตอร์เฉพาะท่ีสมนยักบัคา่เฉพาะของ

เม่ือก าหนดให้ เป็นคา่เฉพาะของ A และ / 0n

nE v R A I v ดงันัน้

E เป็นเซตของเวกเตอร์เฉพาะของ A ท่ีสมนยักบั รวมเวกเตอร์ศนูย์

ทฤษฎีบทที่ 8.2 ก าหนดให้ เป็นค่าเฉพาะของเมทริกซ์จตัรัุส A มิติ n จะได้ว่า E เป็นปริภมูิยอ่ยของ nR

268

พสูิจน์ จาก 0 E จะได้ E จะแสดงว่า E เป็นปริภูมิย่อยของ nR ก าหนดให้ 1 2,v v E และ k เป็นจ านวนจริงใดๆ 1. 1nA I v 0

2nA I v 0

1 2n nA I v A I v 0 1 2nA I v v 0

ดงันัน้ 1 2v v E 2. 1nA I v 0

1nk A I v 0

1nA I kv 0

ดงันัน้ 1kv E สรุปได้วา่ E เป็นปริภมูิย่อยของ nR

บทนิยามที่ 8.3 ก าหนดให้ เป็นคา่เฉพาะของเมทริกซ์จตัรัุส A มิต ิ n E เรียกปริภูมิเวกเตอร์เฉพาะของ Aที่สมนัยกับ (Eigenspace of A

Corresponding to )

ตัวอย่างที่ 8.6 จงหาคา่เฉพาะและเวกเตอร์เฉพาะของเมทริกซ์

1 4

7 4A


1 4

7 4

0

1 4 28 0

2 5 4 28 0 2 5 24 0

8 3 0

คา่เฉพาะของเมทริกซ์ A คือ 1 8 และ 2 3

269

- ส าหรับคา่เฉพาะ 1 8

หา 8E ก าหนดให้ 1v เป็นเวกเตอร์ใน 8E และ 1

1

2

xv

x

เป็นเวกเตอร์ท่ีไมใ่ชเ่วกเตอร์

ศนูย์ และสอดคล้องกบัสมการ 1 1 0A I v

1

2

1 8 4

7 4 8

x

x

0

0

จะได้ระบบสมการ

1 27 4x x 0

จะได้ 2 1

7

4x x

สมมตใิห้ 1x s เม่ือ s เป็นจ านวนจริงใดๆท่ีไม่ใชศ่นูย์ จะได้เวกเตอร์เฉพาะท่ีสมนยักบัคา่

เฉพาะ 1 8 คือ 1

1

7

4

v s

ดงันัน้ 8 /7

4

s

E s Rs

นัน่คือ 1

7

4

เป็นฐาน

หลกัของ 8E - ส าหรับคา่เฉพาะ 2 3

หา 3E ก าหนดให้ 2v เป็นเวกเตอร์ใน 3E และ 1

2

2

xv

x

เป็นเวกเตอร์ท่ีไมใ่ช่

เวกเตอร์ศนูย์ และสอดคล้องกบัสมการ 2 2 0A I v

1

2

1 3 4

7 4 3

x

x

0

0


1 24 4x x 0

1 27 7x x 0 ดงันัน้ 1 2x x สมมตใิห้ 1x s เม่ือ s เป็นจ านวนจริงใดๆท่ีไม่ใชศ่นูย์ จะได้เวกเตอร์เฉพาะท่ีสมนยักบัคา่


1

1v s

ดงันัน้ 3 /

sE s R

s


1

เป็นฐานหลกัของ

3E

270

ตัวอย่างที่ 8.7 จงหาคา่เฉพาะและเวกเตอร์เฉพาะของเมทริกซ์

3 0 1

3 2 0

42 0 2

A


3 0 1

3 2 0

42 0 2

0

2 0 3 2

30 2 42 0

0

2 3 2 42 0 22 5 36 0

2 9 4 0

คา่เฉพาะของเมทริกซ์ A คือ 1 22, 9 และ 3 4 - ส าหรับคา่เฉพาะ 1 2

หา 2E ก าหนดให้ 1v เป็นเวกเตอร์ใน 2E สมมตใิห้ 1

1 2

3

x

v x

x



1

2

3

1 0 1

3 0 0

42 0 0

x

x

x

0

0

0


1 3x x 0

13x 0

142x 0 ดงันัน้ 1 3 0x x สมมตใิห้ 2x s เม่ือ s เป็นจ านวนจริงใดๆท่ีไม่ใชศ่นูย์ จะได้เวกเตอร์เฉพาะท่ีสมนยักบัคา่

271


0

1

0

v s

ดงันัน้

0

2 /

0

E s s R


1

0

เป็นฐานหลกัของ

2E - ส าหรับคา่เฉพาะ 2 9


2 2

3

x

v x

x



1

2

3

6 0 1

3 7 0

42 0 7

x

x

x

0

0

0


1 36x x 0

1 23 7x x 0

1 342 7x x 0

ดงันัน้ 3 16x x และ 2 1

3

7x x

สมมตใิห้ 1x s เม่ือ s เป็นจ านวนจริงใดๆท่ีไม่ใชศ่นูย์ จะได้เวกเตอร์เฉพาะท่ีสมนยักบัคา่


1

3

7

6

v s


9 /7

6

s

E s s R

s

นัน่คือ

1

3

7

6

เป็นฐาน

หลกัของ 9E - ส าหรับคา่เฉพาะ 3 4


3 2

3

x

v x

x



272

1

2

3

7 0 1

3 6 0

42 0 6

x

x

x

0

0

0


1 37x x 0

1 23 6x x 0

1 342 6x x 0

ดงันัน้ 3 17x x และ 2 1

1

2x x

สมมตใิห้ 1x s เม่ือ s เป็นจ านวนจริงใดๆท่ีไม่ใชศ่นูย์ จะได้เวกเตอร์เฉพาะท่ีสมนยักบัคา่ เฉพาะ

3 4 คือ 3

1

1

2

7

v s


4 /2

7

s

E s s R

s

นัน่คือ

1

1

2

7

เป็นฐานหลกั

ของ 4E

ทฤษฎีบทที่ 8.3 ก าหนดให้ k เป็นจ านวนเต็มบวกใดๆ เป็นคา่เฉพาะของเมทริกซ์จตัรัุส A มิติ n และ v เป็นเวกเตอร์เฉพาะท่ีสอดคล้องกับ แล้ว k จะเป็นค่าเฉพาะของ kA และ v เป็นเวกเตอร์เฉพาะท่ีสอดคล้องกบั k นัน้ (พิสจูน์เป็นแบบฝึกหดั)

ตัวอย่างที่ 8.8 จากตวัอยา่งท่ี 8.7 3 0 1

3 2 0

42 0 2

A

จงหาคา่เฉพาะของเมทริกซ์ 5A

วิธีท า คา่เฉพาะของเมทริกซ์ A คือ 1 22, 9 และ 3 4

จากทฤษฎีบทท่ี 8.3 ได้ 5 5

1 22 , 9 และ 5

3 4 เป็นคา่เฉพาะของเมทริกซ์ 5A

และ 0

1

0

เป็นเวกเตอร์เฉพาะของ 5A ท่ีสอดคล้องกบัคา่เฉพาะ 5

1 2

273

1

3

7

6


2 9

1

1

2

7


3 4

บทนิยามที่ 8.4 ก าหนดให้ :T V V เป็นการแปลงเชิงเส้นจ านวนจริง จะเรียกว่าคา่เฉพาะของการแปลงเชิงเส้น T (Eigenvalue of Linear Transformation T ) เม่ือมีเวกเตอร์ 0v ท่ีท าให้ T V v และเรียกเวกเตอร์ v ว่า เวกเตอร์เฉพาะของ T ท่ีสมนยักบัคา่เฉพาะ (Eigenvector of Linear Transformation T Corresponding

to )

8.2 การท าให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุม

ในหวัข้อนี ้จะศกึษาวา่ถ้าก าหนดการแปลงเชิงเส้น :T V V บนปริภมูิเวกเตอร์ V ท่ีมีมิตจิ ากดัแล้ว จะมีฐานของ V ท่ีท าให้เกิดเมทริกซ์ของ T เป็นเมทริกซ์ทแยงมมุ

(Diagonalization) หรือไม่ ถ้า A เป็นเมทริกซ์ของ :T V V ท่ีสอดคล้องกบัฐานของฐานแล้ว จะมีเมทริกซ์

ใหม ่ 1P AP เม่ือ P เป็นเมทริกซ์มิใชเ่อกฐาน เป็นเมทริกซ์ทแยงมมุหรือไม่

บทนิยามที่ 8.5 เมทริกซ์จตุรัส A จะเรียกว่า เมทริกซ์ท่ีท าให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมได้ (Diagonalizable) ถ้ามีเมทริกซ์มิใชเ่อกฐาน P ซึง่ 1P AP เป็นเมทริกซ์ทแยงมมุ


2 4A

คล้ายกบั 2 0

0 3D

แล้วจะได้ว่า A สามารถ

ท าให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมมุได้ วิธีท า จะต้องหาเมทริกซ์มิใชเ่อกฐาน P ซึง่ 1P AP D คณูทัง้สองข้างด้วย P AP PD

274

1 1

2 4

a b

c d

2 0

0 3

a b

c d

2 4 2 4

a c b d

a c b d

2 3

2 3

a b

c d

จะได้ a c 2a

b d 3b 2 4a c 2c 2 4b d 3d

2, 1, 2a b c และ 2d ดงันัน้ 2 1

2 2P

และ 1

11

2

1 1

P

ตรวจสอบ 1P AP 1

1 1 2 112

2 4 2 21 1

2 1 2 1

3 3 2 2

2 0

0 3

ทฤษฎีบทที่ 8.4 ถ้า A เป็นเมทริกซ์จตัรัุส มิต ิ n แล้วข้อความตอ่ไปนีส้มมลูกนั 1. A สามารถท าให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมมุได้ 2. A มีเวกเตอร์เฉพาะท่ีเป็นอิสระเชิงเส้นอยู ่ n เวกเตอร์

พสูิจน์ 1 2 ก าหนดให้ A สามารถท าให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมมุได้

ดงันัน้จะมีเมทริกซ์มิใชเ่อกฐาน 11 12 1

21 22 2

1 2

...

...

: : : :

...

n

n

n n nn

p p p

p p pP

p p p

ซึง่ 1P AP อยูใ่นรูปเมทริกซ์

ทแยงมมุ

ให้ 1P AP D โดยท่ี 1

2

0 ... 0

0 ... 0

: : : :

0 0 ... n

D

275

ดงันัน้ AP PD นัน่คือ AP 11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

... 0 ... 0

... 0 ... 0

: : : : : : : :

... 0 0 ...

n

n

n n nn n

p p p

p p p

p p p

1 11 2 12 1

1 21 2 22 2

1 1 2 2

...

...

: : : :

...

n n

n n

n n n nn

p p p

p p p

p p p

(1)

ถ้าให้ 1 2, ,..., np p p แทนเวกเตอร์หลกัของ P แล้ว จากสมการ (1) หลกัของ AP ซึง่เขียนจากซ้ายไปขวาคือ 1 1 2 2, ,..., n np p p มีผลท าให้หลกัของ AP ท่ีเขียนตามล าดบัจากซ้ายไปขวาเป็น 1 2, ,..., nAp Ap Ap

จะได้วา่ 1 1 1 2 2 2, , ..., n n nAp p Ap p Ap p (2)

จาก P เป็นเมทริกซ์มิใชเ่อกฐาน ดงันัน้เวกเตอร์หลกัของ P จะไมเ่ป็นเวกเตอร์ศนูย์ และจาก (2) จะได้วา่ 1 2, ,..., n เป็นคา่เฉพาะของ A สว่น 1 2, ,..., np p p เป็นเวกเตอร์เฉพาะ ท่ีสอดคล้องกบัคา่เฉพาะดงักลา่วตามล าดบั และจาก P เป็นเมทริกซ์มิใชเ่อกฐาน ท่ีท าให้ 1 2, ,..., np p p เป็นอิสระเชิงเส้น ดงันัน้ A จะมีเวกเตอร์เฉพาะท่ีเป็นอิสระเชิงเส้นอยู ่ n เวกเตอร์ 2 1 ก าหนดให้ A มีเวกเตอร์เฉพาะท่ีเป็นอิสระเชิงเส้นอยู่ n เวกเตอร์ คือ

1 2, ,..., np p p ซึง่สอดคล้องกบัคา่เฉพาะ 1 2, ,..., n และให้ 11 12 1

21 22 2

1 2

...

...

: : : :

...

n

n

n n nn

p p p

p p pP

p p p

เป็นเมทริกซ์ท่ีมีเวกเตอร์หลกัเป็น 1 2, ,..., np p p

ดงันัน้ผลคณู AP จะเป็น 1 2, ,..., nAp Ap Ap ซึง่ 1 1 1 2 2 2, , ..., n n nAp p Ap p Ap p

ดงันัน้ AP 1 11 2 12 1

1 21 2 22 2

1 1 2 2

...

...

: : : :

...

n n

n n

n n n nn

p p p

p p p

p p p

276

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

... 0 ... 0

... 0 ... 0

: : : : : : : :

... 0 0 ...

n

n

n n nn n

p p p

p p p

p p p

PD (3)

โดยท่ี D เป็นเมทริกซ์ทแยงมมุ โดยมี 1 2, ,..., n เป็นสมาชิกในแนวทแยงมมุหลกั P เป็น

อิสระเชิงเส้น ดงันัน้ P เป็นเมทริกซ์มิใชเ่อกฐาน และสามารถเขียน (3) เป็น 1P AP D แสดงวา่ Aสามารถท าให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมมุได้

จากการพิสจูน์ด้านบนสามารถสรุปขัน้ตอนท่ีทก าให้เมทริกซ์จตัรัุส A มิต ิ n ให้อยู่ในรูปเมทริกซ์ทแยงมมุได้ ดงันี ้

1. หาเวกเตอร์เฉพาะของ A ท่ีเป็นอิสระเชิงเส้น n เวกเตอร์ สมมตวิา่เป็น

1 2, ,..., np p p 2. เขียนเมทริกซ์ P ท่ีมี 1 2, ,..., np p p เป็นเวกเตอร์หลกั 3. เมทริกซ์ 1P AP จะเป็นเมทริกซ์ทแยงมมุ ท่ีมี 1 2, ,..., n เป็นสมาชิกในแนวทแยงมมุหลกั โดยท่ี i เป็นคา่เฉพาะท่ีสอดคล้องกบั , 1,2,...,ip i n

ตัวอย่างที่ 8.10 จงหาเมทริกซ์ P ท่ีท าให้เมทริกซ์ 3 1

2 0A

สามารถท าให้เป็นเมทริกซ์

ทแยงมมุได้ วิธีท า คา่เฉพาะของ A

จาก 2det A I 3 1

2

3 2

2 3 2 2 1 0

1,2 ดงันัน้คา่เฉพาะของ A คือ 1 และ 2 เม่ือ 1 21A I x 0

1

2

2 1

2 1

x

x

0

0

277

จะได้ 1 22x x 0

2x 12x

ก าหนดให้ s เป็นสเกลาร์ใดๆ นัน่คือ 1

2 2

ss

s

เป็นเวกเตอร์เฉพาะส าหรับ 1

เม่ือ 2 22A I x 0

1

2

1 1

2 2

x

x

0

0


1 22 2x x 0 ได้

2x 1x


1

ss

s


สามารถตรวจสอบได้ว่า 1 1,

2 1

เป็นอิสระเชิงเส้น ดงันัน้ 1 1

2 1P

สามารถท า

ให้ A เป็นเมทริกซ์ทแยงมมุได้

นัน่คือ 1P AP 1 1 3 1 1 1

2 1 2 0 2 1

1 0

0 2

ตัวอย่างที่ 8.11 จงพิจารณาวา่เมทริกซ์ท่ีก าหนดให้ตอ่ไปนีส้ามารถท าให้เป็นเมทริกซ์ทแยง

มมุได้หรือไม ่ 3 2

1 2A

วิธีท า คา่เฉพาะของ A


1 2

3 2 2

2 5 4 4 1 0

1,4 ดงันัน้คา่เฉพาะของ A คือ 1 และ 2

278


1

2

2 2

1 1

x

x

0

0


1 2x x 0 ได้ 1x 0 และ 2x 0


0



1

2

1 1

2 2

x

x

0

0

จะได้ 1 22x x 0 ได้ 1x 22x


2 2

ss

s


สามารถตรวจสอบได้ว่า 0 1,

0 2

ไมเ่ป็นอิสระเชิงเส้น ดงันัน้ ไมส่ามารถท าให้ A เป็น

เมทริกซ์ทแยงมมุได้

ตัวอย่างที่ 8.12 จงพิจารณาวา่เมทริกซ์ท่ีก าหนดให้ตอ่ไปนีส้ามารถท าให้เป็นเมทริกซ์ทแยง

มมุได้หรือไม ่0 2 4

3 1 3

1 1 5

A

วิธีท า คา่เฉพาะของ A


3 1 3

1 1 5

3 26 32 4 4 2 0

4,4, 2 ดงันัน้คา่เฉพาะของ A คือ 4,4 และ -2

279


1

2

3

4 2 4

3 3 3

1 1 1

x

x

x

0

0

0

สมมลูกบั

1

2

3

1 0 1

0 1 0

0 0 0

x

x

x

0

0

0

จะได้ 1x 3x และ 2x 0


0 0

1

s

s

s



1

2

3

2 2 4

3 3 3

1 1 7

x

x

x

0

0

0

สมมลูกบั

1

2

3

1 1 0

0 0 1

0 0 0

x

x

x

0

0

0

จะได้ 1x 2x และ 3x 0


1

0 0

s

s s


แตเ่น่ืองจาก 4 เป็นคา่เฉพาะซ า้ ดงันัน้จะต้องเลือกเวกเตอร์เฉพาะท่ีสมนยักบั 4 จ านวน 2 เวกเตอร์ ซึง่ไมว่า่จะเลือกสองเวกเตอร์ใด สองเวกเตอร์ท่ีเลือกมานัน้ ไมเ่ป็นอิสระเชิงเส้น ดงันัน้ ไมมี่เวกเตอร์เฉพาะ 3 เวกเตอร์ท่ีเป็นอิสระเชิงเส้นกนั จะได้วา่ A ไมเ่ป็นเมทริกซ์ท่ีท าให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมมุได้

280

ตัวอย่างที่ 8.13 จงแสดงวา่การแปลงเชิงเส้น 2 2:T R R นิยามโดย 1 1

2 2

2

5

x xT

x x

ท าให้เมทริกซ์ของ T อยูใ่นรูปเมทริกซ์ทแยงมมุได้ พร้อมทัง้หาเมทริกซ์ A ท่ีเป็นตวัแทนของ

T เทียบกบัฐานมาตรฐาน 1 0,

0 1B

วิธีท า จาก 1

0T

2

0

1 2

1 0

0 1k k

จะได้ 1 2k และ 2 0k

จาก 0

1T

0

5

1 2

1 0

0 1k k

จะได้ 1 0k และ 2 5k

ดงันัน้ 2 0

0 5A

เน่ืองจาก A เป็นตวัแทนการแปลงเชิงเส้น T ท่ีเป็นเมทริกซ์ทแยงมมุ

ดงันัน้ A สามารถท าให้เป็นเมทริกซ์เฉียงได้

ทฤษฎีบทที่ 8.5 ถ้า 1 2, ,..., kv v v เป็นเวกเตอร์เฉพาะของ A ท่ีสมนยักบัคา่เฉพาะท่ีแตกตา่งกนั 1 2, ,..., k ตามล าดบั แล้ว 1 2, ,..., kv v v เป็นเซตท่ีเป็นอิสระเชิงเส้น

พสูิจน์ ก าหนดให้ A เป็นเมทริกซ์จตัรัุสมิต ิ n ซึง่ 1 2, ,..., kv v v เป็นเวกเตอร์เฉพาะของ A ท่ีสมนยักบัคา่เฉพาะท่ีแตกตา่งกนั 1 2, ,..., k ตามล าดบั สมมตใิห้ 1 2, ,..., kv v v เป็นเซตไมอิ่สระเชิงเส้น เพราะวา่เวกเตอร์เฉพาะต้องไมเ่ป็นเวกเตอร์ศนูย์ดงันัน้ 0iv ทกุคา่ 1,2,...,i k ซึง่ iv เป็นเซตอิสระเชิงเส้น ก าหนดให้ r เป็นจ านวนเตม็บวกท่ีมากท่ีสดุท่ีท าให้ 1 2, ,..., rv v v เป็นเซตอิสระเชิงเส้นดงันัน้1 r เพราะวา่สมมตใิห้ 1 2, ,..., kv v v เป็นเซตไมอิ่สระเชิงเส้น เพราะฉะนัน้ r k ดงันัน้ 1 r k เพราะวา่ r เป็นจ านวนเตม็บวกท่ีใหญ่ท่ีสดุท่ีท าให้ 1 2, ,..., rv v v เป็นเซตอิสระเชิงเส้น เพราะฉะนัน้ 1 2 1, ,..., ,r rv v v v เป็นเซตไมอิ่สระเชิงเส้น

281

ก าหนดให้ 1 2 1, ,..., ,r rc c c c เป็นจ านวนจริงท่ีไมเ่ป็นศนูย์พร้อมกนัท่ีท าให้ 1 1 2 2 1 1... 0r rc v c v c v (1) เพราะวา่ i i iAv v และ i i i i i i iA c v c Av c v ทกุคา่ 1,2,..., 1i r ดงันัน้ 1 1 2 2 1 1... 0r rA c v c v c v A หรือ 1 1 1 2 2 2 1 1 1... 0r r rc v c v c v (2)

(1) r+1 จะได้ 1 1 1 2 1 2 1 1 1... 0r r r r rc v c v c v (3) สมการ (1) – (3) ได้ 1 1 1 1 2 2 1 2 1 1 1 1... 0r r r r r rc v c v c v

1 1 1 1 2 2 1 2 1... 0r r r r r rc v c v c v จาก 1 2, ,..., rv v v เป็นเซตอิสระเชิงเส้นจะได้

1 1 1 2 2 1 1... 0r r r r rc c c เพราะวา่ 1 2 1, ,..., ,r r มีคา่แตกตา่งกนัหมด เพราะฉะนัน้ 1 0i r ทกุคา่ 1,2,...,i r ดงันัน้ 1 2 ... 0rc c c แทนคา่ 1 2 ... 0rc c c ในสมการ (1) ได้ 1 1 0r rc v แต ่ 1 0rv เพราะฉะนัน้ 1 0rc ซึง่เป็นข้อขดัแย้งกบัท่ี 1 2 1, ,..., ,r rc c c c ไมเ่ป็นศนูย์พร้อมกนั สรุปเกิดข้อขดัแย้งท่ีสมมตวิา่ 1 2, ,..., kv v v เป็นเซตไมอิ่สระเชิงเส้น ดงันัน้ 1 2, ,..., kv v v เป็นเซตอิสระเชิงเส้น ทฤษฎีบทที่ 8.6 ก าหนดให้ A เป็นเมทริกซ์จตัรัุส มิต ิ n ถ้า A มีคา่เฉพาะ n ตวัท่ีคา่แตกตา่งกนัทกุตวัแล้ว A สามารถแปลงเป็นเมทริกซ์เฉียงได้

พสูิจน์ สมมตใิห้ 1 2, ,..., n เป็นคา่เฉพาะ n ตวัของ A ท่ีแตกตา่งกนัหมดทกุตวั และ 1 2, ,..., nv v v เป็นเวกเตอร์เฉพาะของ A ท่ีสมนยักบั 1 2, ,..., n ตามล าดบั

โดยทฤษฎีบทท่ี 8.5 1 2, ,..., nv v v เป็นเวกเตอร์เฉพาะ n ตวัท่ีเป็นอิสระเชิงเส้น ดงันัน้ โดยทฤษฎีบท 8.4 จะได้วา่เมทริกซ์ A สามารถเป็นเมทริกซ์เฉียงได้

282

ตัวอย่างที่ 8.14 เมทริกซ์ 1 2 0

0 3 0

0 0 5

A

สามารถแปลงเป็นเมทริกซ์เฉียงได้หรือไม่


1 2 0

0 det 0 3 0

0 0 5

A I

1 3 5 เพราะฉะนัน้ คา่เฉพาะของ A คือ 1,3,5 นัน่คือ A มีคา่ลกัษณะเฉพาะ 3 ตวัท่ีแตกตา่งกนั หมดทกุตวั จากทฤษฏีบทท่ี 8.6 จะได้ A สามารถแปลงเป็นเมทริกซ์เฉียงได้

พิจาณาบทกลบัของทฤษฎี 8.6 จะเป็นจริงหรือไม ่ นัน่คือได้ A สามารถแปลงเป็นเมทริกซ์เฉียงได้แล้ว A มีคา่ลกัษณะเฉพาะท่ีแตกตา่งกนัทัง้ n ตวัหรือไม ่ โดยพิจารณาตวัอยา่งตอ่ไปนี ้


1 1A

จงหาคา่ลกัษณะเฉพาะของ Aและ A

สามารถแปลงเป็นเมทริกซ์เฉียงได้หรือไม่


1 00 det

1 1A I

เพราะฉะนัน้ คา่เฉพาะของ A คือ 1 (มีคา่ซ า้กนั) นัน่คือเมทริกซ์ A ไมส่ามารถแปลงเป็นเมทริกซ์เฉียงได้ ดงันัน้ทฤษฎีบท 8.6 ไมมี่บทกลบั


0 5A

จงหาคา่ลกัษณะเฉพาะของ A

วิธีท า เน่ืองจาก 2

5 00 det

0 5A I

ดงันัน้ คา่เฉพาะของ A คือ 5 (มีคา่ซ า้กนั) แต ่ เมทริกซ์ A เป็นเมทริกซ์เฉียง อยูแ่ล้ว

หมายเหตุ จากตวัอยา่งข้างบน พบวา่ A เป็นเมทริกซ์เฉียงอยู่แล้ว นัน่คือ A สามารถแปลงเป็นเมทริกซ์เฉียงได้ เพราะฉะนัน้สรุปได้ว่า ถึงแม้ A จะสามารถแปลงเป็น เมทริกซ์เฉียงได้ แต ่ A ไมจ่ าเป็นต้องมีคา่เฉพาะ 2 ตวัท่ีแตกตา่งกนั

283

บทสรุป

คา่เฉพาะของเมทริกซ์จตัรัุส Aมิต ิ n คือคา่สเกลาร์ ท่ีท าให้ Av v เม่ือ vไมเ่ป็นเวกเตอร์ศนูย์ และเรียก v วา่เป็นเวกเตอร์เฉพาะของ A ท่ีสมนยักบัสเกลาร์ เรียกพหนุาม det nA I วา่พหนุามลกัษณะเฉพาะของ A เรียกสมการ det 0nA I วา่สมการลกัษณะเฉพาะของ A และถ้ามีเมทริกซ์ไมใ่ชเ่อกฐาน P ท่ีท าให้ 1P AP เป็นเมทริกซ์ทแยงมมุจะเรียกเมทริกซ์ A มิต ิ n วา่เป็นเมทริกซ์ท่ีท าให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมมุได้

แบบฝึกหัด

1. จงตรวจสอบวา่ v ท่ีก าหนดให้ในแตล่ะข้อตอ่ไปนี ้ วา่เป็นเวกเตอร์เฉพาะของเมทริกซ์ A ท่ีก าหนดให้ในแตล่ะข้อหรือไม ่ถ้าเป็นจงหาคา่เฉพาะท่ีสมนยักบัเวกเตอร์เฉพาะ v

1.1 5 4

8 7A

และ 1

2v

1.2 12 14

7 9A

และ 1

1v

1.3

2 6 6

1 9 6

2 16 13

A

และ 1

1

2

v

1.4

3 14 10

2 5 2

2 10 7

A

และ 3

1

2

v

2. ก าหนดการแปลงเชิงเส้น T และเวกเตอร์ v จงแสดงวา่ v เป็นเวกเตอร์เฉพาะของ T

พร้อมทัง้หาคา่เฉพาะของ T ท่ีสมนยักบั v

2.1 1 1 2

2 1 2

8 2

6

x x xT

x x x

และ 1

2v

2.2

1 1 2 3

2 1 2 3

3 1 2 3

4 9 8

2 2

2 3 2

x x x x

T x x x x

x x x x

และ 1

0

1

v

2.3

1 1 2 3

2 1 2 3

3 1 2 3

2 3

3 4 9

2

x x x x

T x x x x

x x x x

และ 1

3

1

v

284

3. จงหาสมการลกัษณะเฉพาะของเมทริกซ์ A ท่ีก าหนดให้ตอ่ไปนี ้

3.1 2 1

2 5A

3.2 7 11

1 3A

3.3

1 0 0

3 2 0

1 2 3

A

3.4 0 1 0

0 0 1

4 17 8

A

3.5 1 2 2

0 4 3

0 3 2

A

3.6

0 0 2 0

1 0 1 0

0 1 2 0

0 0 0 1

A

3.7

10 9 0 0

4 2 0 0

0 0 2 7

0 0 1 2

A

4. จากข้อ 3. จงหาคา่เฉพาะของเมทริกซ์ A

5. จงหาคา่เฉพาะของเมทริกซ์ 9A ของ

1 3 7 11

0 1/ 2 3 8

0 0 0 4

0 0 0 2

A

6. ก าหนดเมทริกซ์ Aและ สเกลาร์ จงแสดงวา่ เป็นคา่เฉพาะของ A หาเวกเตอร์เฉพาะของ A ท่ีสมนยักบั พร้อมทัง้หาฐานหลกัของปริภมูิเฉพาะ E

6.1 10 7

, 314 11

A

6.2 11 18, 5

3 4A

6.3 6 9 10

6 3 4 , 5

7 7 9

A

3.4 4 3 3

3 4 3 , 1

3 3 2

A

7. จงหาคา่เฉพาะของเมทริกซ์ A ท่ีก าหนดให้และหาฐานหลกัของปริภมูิเฉพาะของ A แต่ละปริภมูิ

7.1 2 2

5 1A

7.2 3 2

0 3A

285

7.3 5 4 2

4 5 2

2 2 2

A

7.4 0 1 0

0 0 1

1 3 3

A

7.5

2 1 1 4

0 2 0 0

1 2 0 1

0 0 0 2

A

8. จงแสดงวา่เมทริกซ์ A ท่ีก าหนดให้เป็นเมทริกซ์ท่ีท าให้เป็นเมทริกซ์เฉียงได้หรือไมถ้่าได้ จงหาเมทริกซ์ D และเมทริกซ์ท่ีหาตวัผกผนัได้ P ท่ีท าให้ 1P AP D

8.1 1 0

6 1A

8.2 7 6

1 2A

8.3 6 6

2 1A

8.4

2 6 3

2 8 2

4 6 1

A

8.5 3 7 5

2 4 3

1 2 2

A

9. จงหาจ านวนจริง k ท่ีท าให้เมทริกซ์ A ท่ีก าหนดให้ไมเ่ป็นเมทริกซ์ท่ีท าให้เป็นเมทริกซ์เฉียงได้

9.1 1 0 1

2 2

2 0 4

A k

9.2 1 1 0

6 6 0

0 0

A

k

9.3

9 3 15

0 7 0 6

0 7 2 13

0 4 0 3

k

A

บทที่...

Documents