ติวสบายคณิต เล่ม 6 บทท ี่ 16 ล าดับและ...

ติวสบายคณิต เล่ม 6 http://www.pec9.com บทที่ 16 ล าดับและอนุกรม

1

บทที ่ 16 ล ำดบัและอนุกรม

16.1 ล ำดับ

16.1.1 ควำมหมำยของล ำดับ ล ำดับ คือฟังกช์นัท่ีมีโดเมนเป็นเซตของจ ำนวนเตม็บวกตั้งแต่ 1 เรียงกนัไป เช่น f = { (1 , 5) , (2 , 7) , (3 , 9) , (4 , 11) , … } ฟังก์ชันน้ีถือว่ำเป็นล ำดับได้เพรำะโดเมน ( สมำชิกตวัหน้ำ ) เป็นจ ำนวนเต็มบวกตั้งแต่ 1 คือ 1 , 2 , 3 , 4 , ……… เรียงกนัไป

ล ำดบัท่ีมีจ ำนวนสมำชิกจ ำกดั เรียกล ำดับจ ำกดั ล ำดบัท่ีมีจ ำนวนสมำชิกมำกมำยไม่มีท่ีส้ินสุด เรียกล ำดับอนันต์

1. ควำมสัมพนัธ์ขอ้ใดต่อไปน้ีเป็นล ำดบั 1. { (1 , 1) , (3 , 2) , (5 , 3) , (7 , 4) , ……… } 2. { (1 , 1) , (2 , 3) , (3 , 5) , (4 , 7) , ……… } 3. { (1 , 1) , (1 , 2) , (1 , 3) , (1 , 4) , ……… } 4. { (1 , 1) , (5 , 2) , (7 , 3) , (9 , 4) , ……… }

16.1.2 รูปแบบกำรก ำหนดล ำดับ โดยทัว่ไปแลว้กำรเขียนล ำดบัจะเขียนแสดงเฉพำะเรนจ ์( สมำชิกตวัหลงั ) เท่ำนั้น

เช่น { (1 , 5) , (2 , 7) , (3 , 9) , (4 , 11) , … } สำมำรถเขียนเป็น 5 , 7 , 9 , 11 , ……

สมำชิกตวัแรกของล ำดบัจะเรียกเป็นพจน์ท่ี 1 ( a1) ถดัไปจะเรียกเป็นพจน์ท่ี 2 ( a2 ) , พจน์ท่ี 3 ( a3 ) , ….. ไปถึงสมำชิกตวัท่ี n จะเรียกพจน์ทัว่ไป ( an )

5 , 7 , 9 , 11 , …… ?

พจน์ท่ี 1 พจน์ท่ี 2 พจน์ท่ี 3 พนจท่ี์ 4 พจน์ท่ี n a1 a2 a3 a4 (พจน์ทัว่ไป , an)


2

ฝึกท ำ. พิจำรณำล ำดบั 5 , 7 , 9 , 11 , 13 , 15 , 17 , ........ เลข 5 เรียกวำ่เป็นพจน์ท่ี ......... ... ... ... เขียนสัญลกัษณ์เป็น ............ เลข 7 เรียกวำ่เป็นพจน์ท่ี ......... ... ... .. เขียนสัญลกัษณ์เป็น ............ พจน์ท่ี n ของล ำดบัเรียก..................... เขียนสัญลกัษณ์เป็น ............ ฝึกท ำ. จงเขียนแจกแจงสมำชิก 5 ตวัแรกของล ำดบัต่อไปน้ี 1. an = 2n + 1 2. an = n3 3. an = 1 2n

3n 4. an = (–1)n 2(n–1)

ฝึกท ำ. จงหำพจน์ทัว่ไปของล ำดบัต่อไปน้ี 1. 1 , 4 , 9 , 16 , 25 , …… 2. 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , …… 3. 3 , 5 , 7 , 9 , 11 , …… 4. 3

2 , 94 , 27

6 , 818 , 243

10 , ….. 5. –1 , 1 , –1 , 1 , –1 , …. 6. 1 , –1 , 1 , –1 , 1 , –1

16.1.3 ล ำดับเลขคณติ ล ำดับเลขคณติ คือล ำดบัซ่ึงเม่ือน ำพจน์ขวำมือตั้งแลว้ลบออกดว้ยพจน์ซำ้ยมือท่ีอยูติ่ดกนัแลว้ผลจำกกำรลบจะมีค่ำคงท่ีเสมอ ค่ำคงท่ีน้ีเรียกวำ่ “ ผลต่ำงร่วม ( d ) ” เช่น 5 , 7 , 9 , 11 , …… เม่ือน ำพจน์ขวำมือตั้งแลว้ลบออกดว้ยพจน์ซำ้ยมือท่ีอยูติ่ดกนัจะไดด้งัน้ี 7 – 5 = 2 9 – 7 = 2 11 – 9 = 2


3

จะเห็นวำ่ผลลบของพจน์ขวำกบัพจน์ซ้ำยท่ีอยูติ่ดกนัจะมีค่ำคงท่ีทุกช่วง ล ำดบัน้ีจึงเป็นล ำดบัเลขคณิต ผลลบท่ีไดน้ั้นเรียกผลต่ำงร่วม ( d ) ส ำหรับตวัอยำ่งน้ี d = 2 ส ำหรับพจน์ทัว่ไป ( an) ของล ำดบัเลขคณิตใดๆ จะหำไดจ้ำกสมกำร an = a1 + (n – 1) d หรือ an = d n + (a1 – d) หรือ an = am + k d

เม่ือ an คือพจน์ทัว่ไป a1 คือพจน์ท่ี 1 n คือล ำดบัท่ีของพจน์ท่ีจะหำ d คือผลต่ำงร่วม k = n – m

2. พจน์ท่ี 11 ของล ำดบัเลขคณิต 2 , 6 , 10 , 14 , …… มีค่ำเท่ำกบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 36 2. 42 3. 108 4. 118 3. พจน์ท่ี 30 ของล ำดบัเลขคณิต –2 , 4 , 10 , …. มีค่ำเท่ำกบัเท่ำใด


4

4. พจน์ทัว่ไปของล ำดบัเลขคณิต 5 , 7 , 9 , 11 , …… มีค่ำเท่ำกบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. n + 1 2. n + 3 3. 2n + 1 4. 2n + 3 5. ก ำหนดพจน์ท่ี 4 และพจน์ท่ี 7 ของล ำดบัเลขคณิตเท่ำกบั 18 และ 36 ตำมล ำดบั ผลต่ำง ร่วม ( d) และพจน์ท่ี 1 ( a1 ) ของล ำดบัน้ีมีค่ำเท่ำกบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. d = 3 , a1 = 0 2. d = 3 , a1 = 3 3. d = 6 , a1 = 0 4. d = 6 , a1 = 3 6(แนว O–Net) ถำ้ a1 , a2 , a3 , … เป็นล ำดบัเลขคณิต ซ่ึง a30 – a10 = 40 แลว้ ผลต่ำงร่วมของ ล ำดบัเลขคณิตน้ีมีค่ำเท่ำกบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 1.25 2. 1.5 3. 1.75 4. 2.0


5

7. ก ำหนดให ้ 5 , a , b , c , d , 25 เป็นล ำดบัเลขคณิต แลว้ a + b + c – d มีค่ำเท่ำใด 1. 9 2. 18 3. 36 4. 60 8. –176 เป็นพจน์ท่ีเท่ำใดของล ำดบัเลขคณิต –1 , –6 , –11 , ….

1. 36 2. 37 3. 38 4. 39

9. ระหวำ่ง 100 และ 500 มีจ ำนวนเตม็บวกท่ี 9 หำรลงตวักี่จ ำนวน 1. 42 2. 44 3. 468 4. 48


6

10. ระหวำ่ง 100 และ 500 มีจ ำนวนเตม็บวกท่ี 3 หำรลงตวักี่จ ำนวน 1. 130 2. 131 3. 132 4. 133

11. จ ำนวนท่ีอยูร่ะหวำ่ง 6 และ 10 ท่ีท ำใหจ้ ำนวนทั้งสำมเป็นพจน์เรียงกนัในล ำดบัเลขคณิต มีค่ำ เท่ำกบัเท่ำใด 12. ถำ้ผลบวกของ 3 พจน์แรกของล ำดบัเลขคณิตเป็น 12 และผลบวกของก ำลงัสองของแต่ละ จ ำนวนเป็น 66 แลว้ผลคูณของเลขสำมจ ำนวนน้ีมีค่ำเท่ำกบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 14 2. 21 3. 25 4. 28


7

13. เลข 4 จ ำนวนเรียงกนัเป็นล ำดบัเลขคณิต ถำ้ผลบวกของเลข 4 จ ำนวนน้ีเป็น 28 และผลบวก ของก ำลงัสองของแต่ละจ ำนวนเป็น 216 แลว้ผลคูณของเลขทั้ง 4 จ ำนวนน้ีมีค่ำเท่ำใด 1. 960 2. 1920 3. 550 4. 1100

16.1.4 ล ำดับเรขำคณติ ล ำดับเรขำคณิต คือล ำดบัซ่ึงเม่ือน ำพจน์ขวำมือตั้งแลว้หำรด้วยพจน์ซ้ำยมือท่ีอยู่ติดกนัแล้ว ผลจำกกำรหำรจะมีค่ำคงท่ีเสมอ ค่ำคงท่ีน้ีเรียกวำ่ “อตัรำส่วนร่วม ( r )” เช่น 2 , 4 , 8 , 16 , …… เม่ือพจน์ขวำมือตั้งแลว้หำรดว้ยพจน์ซำ้ยมือท่ีอยูติ่ดกนัจะไดด้งัน้ี 4 2 = 2 8 4 = 2 16 8 = 2 จะเห็นวำ่ผลหำรของพจน์ขวำกบัพจน์ซำ้ยท่ีอยูติ่ดกนัจะมีค่ำคงท่ีทุกช่วง ล ำดบัน้ีจึงเป็นล ำดบัเรขำคณิต และผลลบท่ีไดน้ี้เรียกอตัรำส่วนร่วม ( r ) ซ่ึงในตวัอยำ่งน้ี r = 2 ส ำหรับพจน์ทัว่ไป ( an) ของล ำดบัเลขคณิตใดๆ จะหำไดจ้ำกสมกำร

an = a1 r(n – 1) หรือ an = r1a

( rn ) หรือ an = am rk

เม่ือ an คือพจน์ทัว่ไป a1 คือพจน์ท่ี 1 n คือล ำดบัท่ีของพจน์ท่ีจะหำ r คืออตัรำส่วนร่วม k = n – m


8

14. พจน์ท่ี 10 ของล ำดบัเรขำคณิต 3 , 6 , 12 , …. มีค่ำเท่ำกบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 384 2. 768 3. 1536 4. 3072 15. พจน์ท่ี 8 ของล ำดบัเรขำคณิต 3 , 6 , 12 , …. มีค่ำเท่ำกบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 384 2. 768 3. 1536 4. 3072 16. พจน์ทัว่ไปของล ำดบัเรขำคณิต 1 , 3 , 9 , 27 , …… มีค่ำเท่ำกบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. an = 3n 2. an = 3(n – 1) 3. an = 2 (3n) 4. an = 2 . 3(n – 1)


9

17. ก ำหนดล ำดบัเรขำคณิตมี a1 = 91 และ a6 = 27 แลว้ อตัรำส่วนร่วมจะมีค่ำเท่ำกบัขอ้ใด

1. 2 2. 3 3. 6 4. 8 18. ก ำหนดล ำดบัเรขำคณิตมี a3 = 9

4 และ a6 = 24332 แลว้ a8 มีค่ำเท่ำกบัขอ้ใด

1. 6)23( 2. 7)2

3( 3. 6)32( 4. 7)3

2(

19. 162 เป็นพจน์ท่ีเท่ำใดของล ำดบัเรขำคณิต 2 , –6 , 18 , ….


10

20. ถำ้ 5 , a , 20 เป็นล ำดบัเรขำคณิต ผลรวมของ a ท่ีเป็นไปไดท้ั้งหมดมีค่ำเท่ำกบัขอ้ใด 1. 5 2. 10 3. 15 4. 20 21. เม่ือน ำจ ำนวนหน่ึงไปบวกกบัแต่ละจ ำนวนต่อไปน้ีคือ 3 , 20 , 105 ตำมล ำดบั แลว้ผลบวกท่ี ไดจ้ะเป็น 3 พจน์ เรียงกนัในล ำดบัเรขำคณิต จงหำจ ำนวนท่ีน ำไปบวกนั้น

1. 5845 2. 58

75 3. 6885 4. 68

91


11

22. ผลบวกของ 3 พจน์แรกของล ำดบัเรขำคณิตชุดหน่ึงมีค่ำเท่ำกบั 221 และผลคูณของพจน์ทั้ง

สำมมีค่ำเทำ่กบั 27 แลว้พจน์ท่ีมีค่ำมำกท่ีสุดมีค่ำเท่ำใด 23. เลข 4 จ ำนวนเรียงกนัเป็นล ำดบัเลขคณิต ถำ้ผลบวกของ 4 จ ำนวนน้ีเป็น 28 และผลบวกของ ก ำลงัสองของแต่ละจ ำนวนเป็น 216 แลว้ ผลบวกของพจน์แรกและพจน์ท่ี 4 มีค่ำเท่ำกบัขอ้ใด 1. 12 2. 14 3. 18 4. 24


12

16.1.5 ลมิิตของล ำดับ ลมิิตของล ำดับ คือค่ำซ่ึง an เขำ้ใกลห้รือเท่ำกบั เม่ือ n มีค่ำมำกมำยไม่ส้ินสุด เช่น ล ำดบั 1 , 21 , 31 , 41 , …… ล ำดบัน้ีเม่ือ n เพิ่มข้ึนมำกมำยจนเขำ้ใกล ้ แลว้ an จะเขำ้ใกล ้ 0 ดงันั้นลิมิตของล ำดบัน้ีเท่ำกบั 0 เขียนเป็นสัญลกัษณ์จะได้

nlim an = 2 อ่ำนวำ่ “ ลิมิต an เม่ือ n เขำ้ใกล ้

เท่ำกบั 2 ”

ล ำดบั 1 , 1 , 1 , 1 , …… ล ำดบัน้ีเม่ือ n เพิ่มข้ึนมำกมำยจนเขำ้ใกล้ แล้ว an จะเท่ำกบั 1 ดงันั้นลิมิตของล ำดบัน้ีเท่ำกบั 1 เขียนเป็นสัญลกัษณ์จะได ้

nlim an = 1 อ่ำนวำ่ “ ลิมิต an เม่ือ n เขำ้ใกล ้

เท่ำกบั 1 ”

ล ำดบั 1 , 2 , 3 , 4 , …… ล ำดบัน้ีเม่ือ n เพิ่มข้ึนมำกมำยจนเขำ้ใกล ้ แลว้ an จะมีค่ำมำกมำย ลิมิตของล ำดบัน้ีจึงหำค่ำไม่ได ้

ล ำดบั 1 , –1 , 1 , –1 , …… ล ำดบัน้ีเม่ือ n เพิ่มข้ึนมำกมำยจนเขำ้ใกล ้ แลว้ จะไม่สำมำรถบอกค่ำท่ีแน่นอนของ an ได ้ ลิมิตของล ำดบัน้ีจึงหำค่ำไม่ได ้

ล ำดบัอนนัตท่ี์มีลิมิต เรียกวำ่ล ำดับลู่เข้ำ (convergent sequence) ล ำดบัอนนัตท่ี์ไม่มีลิมิต เรียกวำ่ล ำดับลู่ออก (divergent sequence) 24. จงพิจำรณำขอ้ควำมต่อไปน้ี ก. 1 , 10

1 , 1001 , 1000

1 , … เป็นล ำดบัลู่เขำ้ ข. –1 , –2 , –3 , –4 , …… เป็นล ำดบัลู่เขำ้ ขอ้ควำมใดเป็นจริง 1. ก. เท่ำนั้น 2. ข. เท่ำนั้น 3. ก. และ ข. 4. ไม่มีขอ้ใดเป็นจริง


13

สมบัติของลมิิตของล ำดับ 1) cnlim

= c เม่ือ c เป็นค่ำคงท่ี

2) nlim (an bn) =

nlim an nlim bn

3) nlim (an bn) =

nlim an . nlim bn

4) nlim nbna = nblimn

nalimn

5) nlim (an)k = knanlim

6) nlim

kna = k

nanlim

7) nlim an =

nlim

8) nlim (log an ) = log (

nlim an )

9) nlim (sin an ) = sin (

nlim an )

10) nlimn

ba

=

| b| | a | เม่ือ

| b| | a | เม่ือ 0

11) nlim [ kn

1 ] = 0 เม่ือ k R+

12) nlim [ nb

1 ] = 0 เม่ือ b 0

ฝึกท ำ. จงเติมค ำลงในช่องวำ่งต่อไปน้ี 1) cnlim

=

2) nlim (an bn) =

3) nlim (an bn) =

4) nlim nbna =

5) nlim (an)k =

6) nlim

kna =

7) nlim an =


14

8) nlim (log an ) =

9) nlim (sin an ) =

ฝึกท ำ. จงเติมค ำลงในช่องวำ่งต่อไปน้ี

1) nlimn

ba

=

..........................................

..........................................

2) nlim [ kn

1 ] = ..................................

3) nlim [ nb

1 ] = ..................................

กำรหำค่ำค ำนวณหำค่ำลมิิตของล ำดับ ขั้นที ่1 น ำ n ตวัท่ีมีก ำลงัสูงสุดหำรทุกเทอมในพจน์ทัว่ไปนั้น ขั้นที ่2 ใชส้มบติัของลิมิตดงักล่ำวขำ้งตน้เขำ้ช่วย

ตัวอย่ำง จงหำลิมิตของล ำดบั an = ) 1 2n3() 1 2n 2n6(

แนวคิด จำก nlim an =

nlim

1 2n3

1 2n 2n6

= nlim

2n1 2n

23n

2n1 2n

2n 2n

26n

= nlim

2n1 3

2n1 n2 6

= 2n

1nlim 3nlim

2n1

nlim n2 nlim 6nlim

= 0 3 0 0 6

nlim an = 2


15

25. ลิมิตของล ำดบั an = ) 2 2(4n) 1 5n 2(8n

มีค่ำเท่ำกบัขอ้ใดต่อไปน้ี

1. 0 2 2 3. 4 4. หำค่ำไม่ได ้

26. ลิมิตของล ำดบั an = ) 2 4(5n) 1 5n 2(8n


1. 0 2 2 3. 4 4. หำค่ำไม่ได ้


16

27. ลิมิตของล ำดบั an = 1) (n ) 1 2n 2(5n


1. 0 2 2 3. 4 4. หำค่ำไม่ได ้

กำรหำค่ำลมิิตของฟังก์ช่ันพหุนำมโดยวธีิลดั กำรหำค่ำลิมิตของฟังกช์ัน่พหุนำมโดยวธีิลดั ใหพ้ิจำรณำเฉพำะเทอมของ n ท่ีมีก ำลงัสูงสุดของเศษและส่วน โดยแบ่งคิดเป็น 3 กรณียอ่ยดงัน้ี กรณีที ่1 หำกก ำลงัสูงสุดของเศษ < ก ำลงัสูงสุดของส่วน จะไดค้ ำตอบของลิมิตนั้นคือ 0 เช่น

nlim

1 33n1 2n 2n6

= 0

กรณีที ่2 หำกก ำลงัสูงสุดของเศษ > ก ำลงัสูงสุดของส่วน จะไดว้ำ่ ค ำตอบของลิมิตนั้น จะหำค่ำไม่ได ้ เช่น

nlim

1 3n 1 2n 2n6

= หำค่ำไม่ได ้

กรณีที ่3 หำกก ำลงัสูงสุดของเศษ = ก ำลงัสูงสุดของส่วน

จะไดว้ำ่ ค ำตอบของลิมิตนั้น = ธ์ิส่วน สมัประสิทธ์ิเศษ สมัประสิท

เช่น

nlim

1 33n1 22n 3n5

= 35

ก ำลงัสงูสดุคือ 3

( เพรำะ ก ำลงัสงูสดุของเศษ น้อยกวำ่ก ำลงัสงูสดุของสว่น )

ก ำลงัสูงสุดคือ

ก ำลงัสูงสุดคือ 1

( เพรำะ ก ำลงัสงูสดุของเศษ มำกกวำ่ก ำลงัสงูสดุของสว่น )




( เพรำะ ก ำลงัสงูสดุของเศษ เท่ำกบัก ำลงัสงูสดุของสว่น )


17

ฝึกท ำ. จงหำลิมิตของล ำดบัท่ีมีพจน์ทัว่ไปดงัต่อไปน้ี

1. an = 1 23n4 27n

2. an = 9 8n 23n

8 5n 22n 3. an = 5 3n 2n

n

4. an = 1 2n 8 5n 2n

5. an = 1 32n

1 35n

28. ลิมิตของล ำดบั an = 3n2 + 4n มีค่ำเท่ำกบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 0 2. 1 3. 3 4. หำค่ำไม่ได ้

29. ลิมิตของล ำดบั an = 2n3 4 n 5

1 3 n n


1. 51 2. 231 3. 0 4. 1


18

30. ลิมิตของล ำดบั an = 1 2n 2n – 1 2n

2n มีค่ำเท่ำกบัขอ้ใดต่อไปน้ี

1. – 21 2. 0 3. 1 4. 2

1

31. ลิมิตของล ำดบั an = 3 5 4n 1 3n


1. 43 2. 16

9 3. 6427 4. 256

81


19

32. ลิมิตของล ำดบั an = 5

3n232n4n2n


1. 21 2. 4

1 3. 161 4. 32

1

กำรหำค่ำลมิิตของฟังก์ช่ันเอก็โพแนนเซียลโดยวธีิลดั กำรหำค่ำลิมิตของฟังกช์ัน่เอ็กโพแนนเซียลโดยวธีิลดั ใหพ้ิจำรณำเฉพำะเทอมท่ีมีฐำนสูงสุดของเศษและส่วน โดยแบ่งคิดเป็น 3 กรณียอ่ยดงัน้ี กรณีที ่1 หำกฐำนสูงสุดของเศษ < ฐำนสูงสุดของส่วน จะไดค้ ำตอบของลิมิตนั้นคือ 0 เช่น

n lim

1 )n7(5

n2 )n2(3

= 0

กรณีที ่2 หำกฐำนสูงสุดของเศษ > ฐำนสูงสุดของส่วน จะไดว้ำ่ ค ำตอบของลิมิตนั้น จะหำค่ำไม่ได ้ เช่น

n lim

1 n7(4

n2 )n2(5

= หำค่ำไม่ได ้

ฐำนสงูสดุคือ 4



( เพรำะ ฐำนสงูสดุของเศษ น้อยกวำ่ฐำนสงูสดุของสว่น )


( เพรำะ ฐำนสงูสดุของเศษ มำกกวำ่ฐำนสงูสดุของสว่น )


20

กรณีที ่3 หำกฐำนสูงสุดของเศษ = ฐำนสูงสุดของส่วน

จะไดว้ำ่ ค ำตอบของลิมิตนั้น = ธ์ิส่วน สมัประสิทธ์ิเศษ สมัประสิท

เช่น

n lim

1 )n7(3

n2 )n2(3

= 72

ฝึกท ำ. จงหำลิมิตของล ำดบัท่ีมีพจน์ทัว่ไปดงัต่อไปน้ี

1. nlim

1 )n7(5

n2 )n2(3

2. nlim

1 )n7(3

n2 )n2(3

3. nlim

1 n7(4

n2 )n2(5

33(แนว En) nlim 1 n 7 1 n 3 1 n 5 1 n 7

มีค่ำเท่ำกบัเท่ำใด

34(แนว มช) nlim n3 1) (n )n3 (15n


1. –5 2. 0 3. 1 4. 5



( เพรำะ ฐำนสงูสดุของเศษ เท่ำกบัฐำนสงูสดุของสว่น )


21

35. ก ำหนดให ้

1n5

n31n21n1)(na แลว้ nanlim เท่ำกบัขอ้ใดต่อไปน้ี

1. 0 2. –2 3. 2 4. ไม่มีค่ำลิมิต


2n71n7 5n3 21n1)(na แลว้ nanlim เท่ำกบัขอ้ใดต่อไปน้ี

1. 0 2. –2 3. 2 4. ไม่มีค่ำลิมิต 37. ลิมิตของล ำดบั 4

2 , 74 , 106 , 13

8 , .... มีค่ำเท่ำกบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 2

5 2. 35 3. 2

1 4. 32


22

16.2 อนุกรม

อนุกรม (S) คือผลบวกของสมำชิกของล ำดบั เรำใชส้ัญลกัษณ์ Sn แทนผลบวกของสมำชิก n ตวัแรกของล ำดบั

เช่น S5 = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 S4 = a1 + a2 + a3 + a4 S3 = a1 + a2 + a3 อนุกรมจ ำกดั S2 = a1 + a2 S1 = a1

S = So = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + …. อนุกรมอนนัต์

อนุกรมท่ีสำมำรถบอกจ ำนวนพจน์ท่ีบวกกนัไดว้ำ่มีก่ีพจน์เรียกเป็นอนุกรมจ ำกดั อนุกรมท่ีมีจ ำนวนพจน์ท่ีบวกกนัอยูม่ำกมำยจนนบัจ ำนวนพจน์ไม่ไดเ้รียกเป็นอนุกรมอนันต์ อนุกรม

อนุกรมจ ำกดั อนุกรมอนนัต์

อนุกรมจ ำกดัเลขคณิต อนุกรมจ ำกดัเรขำคณิต อนุกรมอนนัตเ์ลขคณิต อนุกรมอนนัตเ์รขำคณิต

16.2.1 ผลบวกของอนุกรมจ ำกดั 16.2.1.1 อนุกรมจ ำกดัเลขคณติ อนุกรมจ ำกดัเลขคณิต คืออนุกรมท่ีไดจ้ำกล ำดบัเลขคณิตจ ำกดั เรำสำมำรถหำผลบวกของสมำชิก n ตวัแรกของอนุกรมจ ำกดัเลขคณิต ไดจ้ำก

Sn = 2n [ a1 + an ] หรือ Sn = 2

n [ 2 a1 + (n – 1) d ]

เม่ือ Sn คือผลบวก n พจน์แรก n คือจ ำนวนพจน์ท่ีบวก

d คือผลต่ำงร่วม a1 คือพจน์แรกของอนุกรม an คือพจน์สุดทำ้ยของอนุกรม


23

38. ผลบวก 10 พจน์แรกของอนุกรม 3 + 7 + 11 + 15 + 19 + …… มีค่ำเท่ำกบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 195 2. 210 3. 288 4. 320 39(แนว มช) ผลบวก 20 พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต –3 + 2 + 7 + 12 + ... มีค่ำเท่ำกบัขอ้ใด 1. 890 2. 980 3. 1010 4. 1100 40. อนุกรมเลขคณิตท่ีมีพจน์แรกและพจน์ท่ี 20 เป็น 4 และ 42 ตำมล ำดับ จะมีผลบวก 20 พจน์แรกเท่ำกบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 230 2. 350 3. 380 4. 460


24

41. ผลบวกของอนุกรม 12 + 9 + 6 + ... + (–60) มีค่ำเท่ำกบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 300 2. 120 3. –250 4. –600 42. อนุกรม 4 + 10 + 16 + …. + (6n–2) + ….. แลว้ ผลบวกยอ่ย n พจน์แรก (Sn) คือขอ้ใด 1. 3 (n – 1) 2. (n – 1) 3. (3n + 1) 4. n (3n + 1) 43(แนว En) นำยแดงน ำเงินไปฝำกธนำคำรออมสินโดยฝำกเดือนแรก 500 บำท เดือนต่อไปฝำก เพิ่มข้ึนเดือนละ 50 บำท ทุกเดือน เม่ือครบ 2 ปี นำยแดงน ำเงินไปฝำกทั้งหมดเท่ำใด


25

44. อนุกรม 399 + 33 + 27 + ... ตอ้งบวกกนัก่ีพจน์จึงจะท ำใหไ้ดผ้ลบวกเท่ำกบั 144 1. 6 2. 8 3. 10 4. 6 , 8 45. ชำยคนหน่ึงตอ้งเดินทำงทั้งส้ิน 162 ไมล ์ วนัแรกเขำเดินทำงได ้ 30 ไมล ์ วนัท่ีสองเขำเดินทำง ได้ 27 ไมล์ วนัท่ีสำมเดินทำงได้ 24 ไมล์ เป็นเช่นน้ีเร่ือยๆ ไป นำนก่ีวนัเขำจึงจะเดินถึง ปลำยทำง 1. 9 2. 10 3. 12 4. 9 , 12 46. ผลบวกตั้งแต่พจน์ท่ี 10 ถึงพจน์ 20 ของอนุกรม 1 + 3 + 5 + 7 + ... มีค่ำเท่ำกบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 237 2. 255 3. 319 4. 339


26

47. ถำ้ผลบวก 22 พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิตมีค่ำเท่ำกบั 198 และพจน์ท่ี 10 ของอนุกรมน้ีมี ค่ำเท่ำกบั 8 แลว้ผลบวก 13 พจน์แรกของอนุกรมน้ีมีค่ำตรงกบัขอ้ใด

1. 84 2. 78 3. 72 4. 68 16.2.1.2 อนุกรมจ ำกดัเรขำคณติ

อนุกรมจ ำกดัเรขำคณิต คืออนุกรมท่ีไดจ้ำกล ำดบัเรขำคณิตจ ำกดั เรำสำมำรถหำผลบวกของสมำชิก n ตวัแรกของอนุกรมจ ำกดัเรขำคณิต ไดจ้ำก

Sn = 1 r )1n(r 1a

หรือ Sn = 1 r 1a r na

เม่ือ Sn คือผลบวก n พจน์แรก n คือจ ำนวนพจน์ท่ีบวก r คืออตัรำส่วนร่วม a1 คือพจน์แรกของอนุกรม an คือพจน์สุดทำ้ยของอนุกรม

48. ผลบวก 7 พจน์แรกของอนุกรม 1 + 3 + 9 + 27 + 81 + …. มีค่ำเท่ำกบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 997 2. 1097 3. 1175 4. 1215


27

49. ผลบวก 6 พจน์แรกของอนุกรมเรขำคณิต 1 + 2 + 4 + 8 + … มีค่ำเท่ำกบัเท่ำใด 50. ก ำหนดอนุกรม 2

1 + 41 + 8

1 + …+ n21 + ….. แลว้ผลบวกยอ่ย n พจน์แรก (Sn) ของอนุกรม

น้ี คือขอ้ใด 1. (1 – n2

1 ) 2. (1 + n21 ) 3. 2

1 (1 – n21 ) 4. 2

1 (1 + n21 )

51. อนุกรม 3 + 6 + 12 + ... มีก่ีพจน์ จึงจะมีผลบวกเป็น 765


28

52. ถำ้ผลบวก 6 พจน์แรกของอนุกรมเรขำคณิตชุดหน่ึงมีค่ำเป็น 9 เท่ำของผลบวก 3 พจน์แรก แลว้อตัรำส่วนร่วมของอนุกรมชุดน้ีมีค่ำเท่ำกบัเท่ำใด 16.2.2 ผลบวกของอนุกรมอนันต์ ส ำหรับอนุกรมอนนัตชุ์ดหน่ึงๆ ใด หำกก ำหนดให ้ Sn เป็นผลบวกยอ่ย n พจน์แรก และ S เป็นตั้งแต่พจน์ท่ี 1 ถึงพจน์ท่ี แลว้จะไดว้ำ่ S = nlim Sn

หำก S หำค่ำไดจ้ะเรียกอนุกรมนั้นเป็น “ อนุกรมลู่เข้ำ (convergent series) ” หำก S หำค่ำไม่ไดจ้ะเรียกอนุกรมนั้นเป็น “ อนุกรมลู่ออก (divergent series) ” .

53. อนุกรมชุดหน่ึงมีผลบวกย่อย n พจน์แรกเป็น 322n

3n 5nS

แล้ว ผลบวกถึงอนันต์ (s)

ของอนุกรมน้ีมีค่ำเท่ำกบัขอ้ใด 1. 0 2. – 2

3 3. 25 4. หำค่ำไม่ได ้


29

54. อนุกรมชุดหน่ึงมีผลบวกย่อย n พจน์แรกเป็น 726n

1 3n 25nnS

แล้ว ผลบวกถึงอนันต ์

(s) ของอนุกรมน้ีมีค่ำเท่ำกบัขอ้ใด 1. 0 2. – 2

3 3. 65 4. หำค่ำไม่ได ้

55. อนุกรมชุดหน่ึงมีผลบวกยอ่ย n พจน์แรกเป็น 1n5 2n31n5nS

แลว้ ผลบวกถึงอนนัต ์(s)

ของอนุกรมน้ีมีค่ำเท่ำกบัขอ้ใด 1. 0 2. 2

1 3. 25 4. หำค่ำไม่ได ้

16.2.2.1 อนุกรมอนันต์เลขคณติ อนุกรมอนันต์เลขคณิต คืออนุกรมท่ีเกิดจำกล ำดบัเลขคณิตอนนัต ์ เช่น 3 + 7 + 11 + 15 + 19 + ... จะไดว้ำ่ S = nlim Sn = nlim 2

n [ 2 a1 + (n – 1) d ]

อนุกรมแบบน้ีจะไม่สำมำรถหำผลบวกได ้ เพรำะยิง่บวกยิง่ไดค้่ำเขำ้ใกล ้ หรือ –

( ยกเวน้อนุกรม 0 + 0 + 0 + 0 + ...... จะไดว้ำ่ S = 0 )


30

16.2.2.2 อนุกรมอนันต์เรขำคณติ อนุกรมอนันต์เรขำคณติ คืออนุกรมท่ีเกิดจำกล ำดบัเรขำคณิตอนนัต ์ กำรหำค่ำอนุกรมอนนัตเ์รขำคณิต ตอ้งแบ่งคิดเป็น 2 กรณีดงัน้ี

กรณีที ่1 หำก r 1 กรณีน้ี จะไม่สำมำรถหำผลบวกได ้ เพรำะยิง่บวกยิง่ไดค้่ำเขำ้ใกล ้ หรือ – เช่น 1 – 4 + 16 – 64 + 256 – ..... ตวัอยำ่งน้ี r = – 4 = 4 ซ่ึงมีค่ำมำกกวำ่ 1 จึงหำค่ำผลบวกอนนัตไ์ม่ได ้

กรณีที ่2 หำก r < 1 กรณีน้ี จะสำมำรถหำผลบวกได ้ โดยใชสู้ตร เช่น 1 + 3

1 + 91 + 27

1 + …

S = nlim Sn = nlim 1 r 1) n(r1a

S = r 11a

เม่ือ S คือผลบวกตั้งแต่พจน์แรกถึงพจน์ท่ี n คือจ ำนวนพจน์ท่ีบวก r คืออตัรำส่วนร่วม a1 คือพจน์แรก an คือพจน์สุดทำ้ย 56. ค่ำของ 4 + 2 + 1 + …….. เท่ำกบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. –8 2. 0 3. 8 4. หำค่ำไม่ได ้


31

57. ผลบวกอนนัตข์องอนุกรม 1 + 31 + 9

1 + 271 + … มีค่ำเท่ำกบัขอ้ใดต่อไปน้ี

1. 25 2. 3

5 3. 21 4. 2

3

58. ผลบวกอนนัตข์องอนุกรม 1 + 2

1 + 41 + 8

1 + ... มีค่ำเท่ำกบัเท่ำใด


32

59(แนว มช) ก ำหนดให้ a1 + a2 + … + an + … เป็นอนุกรมเรขำคณิตซ่ึงมี a2 = 59 และ

a3 = 2527 ผลบวกของอนุกรมน้ีมีค่ำเท่ำกบัเท่ำใด

60. ค่ำของ x ท่ีท ำให ้ 1 – x + x2 – x3 + …. = 54 ตรงกบัค่ำในขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 2

1 2. 54 3. – 41 4. 4

1


33

61. ค่ำของ 4.999 ... มีค่ำเท่ำกบัค่ำในขอ้ใด 1. 5 2. นอ้ยกวำ่ 5 3. มำกกวำ่ 5 4. หำค่ำไม่ได ้ 62(แนว En) ก ำหนดให้สำมเหล่ียมดำ้นเท่ำรูปท่ี n + 1 เกิดจำกกำรลำกเส้นต่อจุดก่ึงกลำงดำ้นทั้ง สำมของสำมเหล่ียมดำ้นเท่ำรูปท่ี n ถำ้ขบวนกำรสร้ำงรูปสำมเหล่ียมดำ้นเท่ำน้ีไม่ส้ินสุด และ ผลบวกของเส้นรอบรูปของสำมเหล่ียมดำ้นเท่ำรูปท่ี 1 เป็น p พจน์ในขอ้ใดต่อไปน้ีเป็นผลบวก ของเส้นรอบรูปทั้งหมดของสำมเหล่ียมเหล่ำน้ี 1. 2

3 p 2. 2p 3. 3p 4. 4p


34

16.2.3 สัญลกัษณ์แทนกำรบวก พจิำรณำตัวอย่ำงต่อไปนี้

ตัวอย่ำง จงหำค่ำของ

51i

3)(i

แนวคิด 1. แทนค่ำ i ดว้ยจ ำนวนเต็มตั้ง 1 ถึง 5 ลงใน ( i + 3 ) ทีละตวั 2. น ำผลลพัธ์ท่ีไดจ้ำกกำรแทน i ทุกตวัมำบวกกนั

จะได ้

51i

3)(i = (1 + 3) + (2 + 3) + (3 + 3) + (4 + 3) + ( 5 + 3)

= 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 30


41i

)2(i

แนวคิด 1. แทนค่ำ i ดว้ยจ ำนวนเต็มตั้ง 1 ถึง 4 ลงใน i2 ทีละตวั 2. น ำผลลพัธ์ท่ีไดจ้ำกกำรแทน i ทุกตวัมำบวกกนั

จะได้

41i

)2(i = 12 + 22 + 32 + 42

= 1 + 4 + 9 + 16 = 30


53i

1) (2i

แนวคิด 1. แทนค่ำ i ดว้ยจ ำนวนเต็มตั้ง 3 ถึง 5 ลงใน ( 2i – 1 ) ทีละตวั 2. น ำผลลพัธ์ท่ีไดจ้ำกกำรแทน i ทุกตวัมำบวกกนั

จะได ้

53i

1) (2i = ( 2[3] – 1) + (2 [4] – 1) + (2 [5] – 1)

= 5 + 7 + 9 = 20

63. ก ำหนดให ้ A =

4

1 i 3i

และ B =

3

1 i1) (2i แลว้ A + B มีค่ำเท่ำใด

1. 16 2. 39 3. 65 4. 97


35

สูตรส ำหรับหำค่ำ

1 )

n1i

C = n C เม่ือ C เป็นค่ำคงตวั เช่น

101i

5 = 10 (5) = 50

2)

n1i

i = 21)(nn เช่น

91i

i = 21)(9 9 = 45

3)

n1i

2i = 61) (2n 1)(nn เช่น

61i

2i = 61) (2[6] 1) (6 6 = 91

4)

n1i

3i = 221)(n n เช่น

81i

i = 221) (8 8 = 1296

5)

n1i

C ai = C

n1i ia เช่น

n1i

2i 5 = 5

n1i

2i

6)

n

1i )

ib

i(a =

n1i

i bn1i

ia


1 )

n1i

C = ........ ........ ........ ........ .. เช่น

101i

5 = ........ ........ ........ ........

2)

n1i

C ai = ........ ........ ........ ........ เช่น

n1i

2i 5 = ........ ........ ........ ..

3)

n

1i )

ib

i(a = ........ ........ ........ ..


1)

n1i

i = ........ ........ ........ ........ เช่น

91i

i = ........ ........ ........ ........ ......…

2)

n1i

2i = ........ ........ ........ ...... เช่น

61i

2i = ..........................................

3)

n1i

3i = ........ ........ ........ ...... เช่น

8

1i 3i = ........ ........ ........ ........ ........


36

64.

101 i

25i


1. 1550 2. 1720 3. 1925 4. 2200

65.

10

1 i 8)3(i


1. 1620 2. 2520 3. 2800 4. 3105

66.

105 i

5) (3i มีค่ำเท่ำกบัขอ้ใดต่อไปน้ี

1. 120 2. 165 3. 320 4. 355


37

67. ถำ้

71n

2)(An = 74 แลว้ A มีค่ำเท่ำกบัขอ้ใดต่อไปน้ี

1. 215 2. 7

15 3. 21 4. 3

2

16.2.4 กำรหำอนุกรมลกัษณะพเิศษ 16.2.4.1 กำรหำอนุกรมทีต้่องใช้ เข้ำมำช่วยหำ

68. ค่ำของ 350 ...333231 ตรงกบัค่ำในขอ้ใด 1. 2550 2. 1940 3. 1525 4. 1275


38

69. ผลบวกของ 112 + 122 + 132 + … + 502 มีค่ำเท่ำกบัค่ำในขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 35480 2. 37280 3. 39440 4. 42540 70(แนว En) อนุกรม 1 . 2 + 2 . 3 + 3 . 4 + ….. + 19 . 20 มีค่ำเท่ำกบัขอ้ใดต่อไปน้ี

1. 1200 2. 1330 3. 2400 4. 2660

71(แนว En) ส ำหรับแต่ละจ ำนวนเตม็ n 4 ให ้ an = 3n... 33 32 311 43n

ล ำดบั an

เป็นจริงตำมขอ้ใด 1. มีลิมิตเป็น 3 2. มีลิมิตเป็น 4 3. มีลิมิตเป็น 12 4. เป็นล ำดบัไดเวอร์เจนต์


39

72. ผลบวก n พจน์แรกของอนุกรม 1.4 + 2.5 + 3.6 +… + n (n+3) เท่ำกบัขอ้ใด 1. 3

n (n + 1)2(n + 5) 2. 3n (n + 1) (n + 5)

3. n (n + 1)2(n + 5) 4. n (n + 1) (n + 5) 73. ผลบวก 10 พจน์ของอนุกรม ...4

43213

3212211 เท่ำกบัขอ้ใด

1. 28.0 2. 32.5 3. 37 4. 41.5 74. ผลบวก 9 พจน์แรกของอนุกรม 1 + (1 + 2) + (1 + 2 + 22) + … + (1 + 2 + 22 + … + 2n) เท่ำกบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 498 2. 896 3. 1013 4. 2011


40

16.2.4.2 กำรหำอนุกรม Telescopic อนุกรม Telescopic จะมีรูปแบบทัว่ไปเป็น

ra ...3a 2a 1a 1 + 1ra ... 4a 3a 2a 1

+ …………

อนุกรมแบบน้ีจะไดว้ำ่ Sn =

1a ra k (

1ra ...3a 2a 1a k

– 1 rn3n2n1n a ... a a a k )

S = 1a ra k

(1ra ...3a 2a 1a k

)

75. ผลบวก n พจน์แรกของอนุกรม ...3)(2n 1)(2n 1...7.9

15.71

3.51

เท่ำกบัขอ้ใด

1. 0 2. 1 3. 9 6n n 4. 9 6n

n2

76. จำกขอ้ท่ีผำ่นมำ ผลบวกถึงอนนัต ์(S) ของอนุกรมดงักล่ำว มีค่ำเท่ำกบัขอ้ใด 1. 2 2. 3

1 3. 61 4. หำค่ำไม่ได ้


41

77. ผลบวก n พจน์แรกของอนุกรม

n

1i2) (i 1) (i i


1. ) 23n 2(n

3n 2n

2. ) 23n 2(n

3n) 22(n

3. )3n 2(n 2 23n 2n

4.

) 23n 2(n 23n 2n

78. จำกขอ้ท่ีผำ่นมำ ผลบวก 6 พจน์แรกของอนุกรมดงักล่ำว มีค่ำเท่ำกบัขอ้ใด 1. 112

33 2. 11227 3. 112

52 4. 11254


42

79. จำกขอ้ท่ีผำ่นมำ ผลบวกถึงอนนัต ์(S) ของอนุกรมดงักล่ำว มีค่ำเท่ำกบัขอ้ใด 1. 1 2. 2 3. 4

1 4. หำค่ำไม่ได ้

16.4.2.3 กำรหำอนุกรมผสมเลขคณติผสมกบัเรขำคณติ 80. ผลบวกถึงอนนัตข์องอนุกรม 3

1 + 94 + 27

7 + 8110 + … มีค่ำตรงกบัค่ำในขอ้ใด

1. 45 2. 2

7 3. 4 4. 5


43

81. ผลบวกของอนุกรมอนนัต ์ 3 + 45 + 16

9 + 6417 + ... มีค่ำตรงกบัค่ำในขอ้ใด

1. 316 2. 4

18 3. 4 4. 6

82. ผลบวก 10 พจน์แรกของอนุกรม 1 . 3 + 2 . 32 + 3 . 33 + + 4 . 34 …. + n . 3n + … เท่ำกบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 4

3 + 311 2. 419 + 311 3. 4

3 + 419 . 311 4. 4

19 + 43 . 311


44



84. อนุกรมต่อไปน้ี ขอ้ใดเป็นอนุกรมลู่ออก

1.

1 n 1) (n e 2.

1 n 1) (n 21) (n 1)(

3.

1 n n1009 4.

1 n 1) n(n 5


45

เฉลยบทที ่ 16 ล ำดบัและอนุกรม

1. ตอบข้อ 2. 2. ตอบข้อ 2. 3. ตอบ 172 4. ตอบข้อ 4. 5. ตอบข้อ 3. 6. ตอบข้อ 4. 7. ตอบข้อ 2. 8. ตอบข้อ 1. 9. ตอบข้อ 2. 10. ตอบข้อ 4. 11. ตอบ 8 12. ตอบข้อ 4. 13. ตอบข้อ 2. 14. ตอบข้อ 3. 15. ตอบข้อ 1. 16. ตอบข้อ 2. 17. ตอบข้อ 2. 18. ตอบข้อ 4. 19. ตอบ 5 20. ตอบข้อ 4. 21. ตอบข้อ 3. 22. ตอบ 6 23. ตอบข้อ 2. 24. ตอบข้อ 1. 25. ตอบข้อ 2. 26. ตอบข้อ 1. 27. ตอบข้อ 4. 28. ตอบข้อ 4. 29. ตอบข้อ 2. 30. ตอบข้อ 1. 31. ตอบข้อ 3. 32. ตอบข้อ 1. 33. ตอบ 49 34. ตอบข้อ 1. 35. ตอบข้อ 1. 36. ตอบข้อ 4. 37. ตอบข้อ 4. 38. ตอบข้อ 2. 39. ตอบข้อ 1. 40. ตอบข้อ 4. 41. ตอบข้อ 4. 42. ตอบข้อ 4. 43. ตอบ 25800 44. ตอบข้อ 4. 45. ตอบข้อ 4. 46. ตอบข้อ 3. 47. ตอบข้อ 2. 48. ตอบข้อ 2. 49. ตอบ 63 50. ตอบข้อ 1. 51. ตอบ 8 52. ตอบ 2 53. ตอบข้อ 1. 54. ตอบข้อ 3. 55. ตอบข้อ 2. 56. ตอบข้อ 3. 57. ตอบข้อ 4. 58. ตอบ 2 59. ตอบ 7.5 60. ตอบข้อ 4. 61. ตอบข้อ 1. 62. ตอบข้อ 2. 63. ตอบข้อ 2. 64. ตอบข้อ 3. 65. ตอบข้อ 4. 66. ตอบข้อ 2. 67. ตอบข้อ 2. 68. ตอบข้อ 4. 69. ตอบข้อ 4. 70. ตอบข้อ 4. 71. ตอบข้อ 3. 72. ตอบข้อ 2. 73. ตอบข้อ 2. 74. ตอบข้อ 3. 75. ตอบข้อ 3. 76. ตอบข้อ 6. 77. ตอบข้อ 4. 78. ตอบข้อ 4. 79. ตอบข้อ 3. 80. ตอบข้อ 1. 81. ตอบข้อ 1. 82. ตอบข้อ 3. 83. ตอบข้อ 4. 84. ตอบข้อ 2.


46

ตะลุยโจทย์ท ั่วไป บทที ่ 16 ล ำดบัและอนุกรม

16.1 ล ำดับ 16.1.1 ควำมหมำยของล ำดับ 1. ความสัมพนัธ์ขอ้ใดต่อไปน้ีไม่เป็นล าดบั 1. { (1 , 2) , (2 , 4) , (3 , 6) , (4 , 8) , ……… } 2. { (1 , 1) , (2 , 3) , (3 , 5) , (4 , 7) , ……… } 3. { (1 , 1) , (2 , 2) , (3 , 3) , (4 , 4) , ……… } 4. { (1 , 1) , (5 , 2) , (7 , 3) , (9 , 4) , ……… }

16.1.2 รูปแบบกำรก ำหนดล ำดับ 2. ล ำดบัหน่ึงมีพจน์ทัว่ไปเป็น an = 4n – 2 แลว้ แลว้ a3 + a7 มีค่ำเท่ำกบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 10 2. 26 3. 36 4. 42

3. ขอ้ใดต่อไปน้ีไม่ถูกตอ้ง 1. ถำ้ an = (–1)n แลว้ 3 พจน์แรกของล ำดบัคือ –1 , 1 , –1 2. ถำ้ an = n11 แลว้ 3 พจน์แรกของล ำดบัคือ 2 , 34 , 2

3 3. ถำ้ an = 1 + (0.1)n แลว้ 3 พจน์แรกของล ำดบัคือ 1.1 , 1.01 , 1.001 4. ถำ้ an = 2 แลว้ 3 พจน์แรกของล ำดบัคือ 2 , 4 , 6

4. ถำ้ล ำดบัชุดหน่ึงมี an = 3 (5)m แลว้ค่ำของ ma 1ma เท่ำกบัขอ้ใดต่อไปน้ี

1. 5 2. 5 3. 15 4. 25

5. พจน์ทัว่ไปของล ำดบั 215 3 x , 22

7 5 x , 239 7 x , …... มีค่ำเท่ำกบัขอ้ใดต่อไปน้ี

1. n 322n 2. n 38n24n 3. 2n322n 4. 2n

38n24n

16.1.3 ล ำดับเลขคณติ 6. ล ำดบัต่อไปน้ี มีก่ีขอ้ท่ีเป็นล ำดบัเลขคณิต a. 1 , 3 , 5 , 7 , 9 ,… b. 2 , 4 , 8 , 16 , … c. ,....811 ,271 , 91 , 31 d. 18 , 15 , 12 , 9 , … e. ,.... 2 , 2

3 , 1 , 21 f. .... , 81 , 6

1 , 41 , 2

1

1. 2 ขอ้ 2. 3 ขอ้ 3. 4 ขอ้ 4. 5 ขอ้


47

7. พจน์ท่ี 10 ของล ำดบัเลขคณิต 4 , 9 , 14 , … มีค่ำเท่ำกบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 43 2. 46 3. 49 4. 52

8. พจน์ท่ี 100 ของล ำดบัเลขคณิต x , –2x , –5x , …. มีค่ำเท่ำกบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. – 255 x 2. – 278 x 3. –296 x 4. – 303 x

9. พจน์ทัว่ไป (an) ของล ำดบัเลขคณิต 4 , 7 , 10 , …. มีค่ำเท่ำกบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. n + 1 2. n + 3 3. 3n + 1 4. 3n + 3

10. พจน์ทัว่ไป (an) ของล ำดบัเลขคณิต 5 , 9 , 13 , … มีค่ำเท่ำกบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. n + 1 2. n + 3 3. 4n + 1 4. 4n + 3

11. ก ำหนดล ำดบัเลขคณิตมีพจน์ท่ี 10 เป็น 28 และผลต่ำงร่วมเป็น 27 แลว้พจน์ท่ี 1 มีค่ำเท่ำ

กบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. –28 2. – 2

7 3. 27 4. 28

12. ก ำหนดใหพ้จน์ท่ี 5 และพจน์ท่ี 3 ของล ำดบัเลขคณิตเท่ำกบั 16 และ 6 ตำมล ำดบั แลว้ 2a1 + d มีค่ำเท่ำกบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. –8 2. –3 3. 3 4. 8

13. ล ำดบัเลขคณิตชุดหน่ึงมีพจน์ท่ี 5 เท่ำกบั 15 และพจน์ท่ี 36 เท่ำกบั 77 แลว้ 2a1 + d มีค่ำ เท่ำกบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 9 2. 16 3. 18 4. 24

14. ในล ำดบัเลขคณิตชุดหน่ึง ถำ้พจน์ท่ี 7 เท่ำกบั 7b + 5c และพจน์ท่ี 11 เท่ำกบั 11b + 9c แลว้ ค่ำของ a1 + d มีค่ำเท่ำกบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. b 2. 2b 3. c 4. 2c

15. ถำ้พจน์ท่ี 2 และพจน์ท่ี 10 ของล ำดบัเลขคณิตเป็น b – a และ 9b – a ตำมล ำดบั แลว้ผลต่ำง ของพจน์แรกและผลต่ำงร่วม (a1 – d) คือขอ้ใดต่อไปน้ี 1. a + b 2. a – b 3. –a – b 4. 2a – b


48

16. ก ำหนดใหพ้จน์ท่ี 10 และพจน์ท่ี 15 ของล ำดบัเลขคณิตมีค่ำเท่ำกบั –19 และ –34 ตำมล ำดบั แลว้พจน์ท่ี 50 มีค่ำเท่ำกบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. –121 2. –127 3. –139 4. –141

17. ถำ้พจน์ท่ี 3 ของล ำดบัเลขคณิตเป็น 14 และพจน์ท่ี 9 เป็น –1 แลว้พจน์ท่ี n ของล ำดบัน้ี มี ค่ำเท่ำกบัขอ้ใด 1. 2

1 [41 – 5n] 2. 21 [43 – 5n] 3. 2

1 [41 – 3n] 4. 21 [43 – 3n]

18. ก ำหนด 1 , a , b , 13 เป็นล ำดบัเลขคณิต แลว้ค่ำของ a.b คือขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 42 2. 43 3. 44 4. 45

19. ถำ้ –1 , a , b , c , 27 เป็นพจน์ 5 พจน์ท่ีเรียงกนัในล ำดบัเลขคณิต แลว้ค่ำของ a (c – b) คือขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 42 2. 43 3. 44 4. 45

20. ก ำหนดล ำดบัเลขคณิตมีพจน์ท่ี 1 เป็น 3 และควำมแตกต่ำงร่วมเป็น –3 ถำ้ an = –15 แลว้ ค่ำของ n มีค่ำเท่ำกบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 7 2. 8 3. 9 4. 10

21. ล ำดบัเลขคณิต 5 , 14 , 33 , … , 239 มีทั้งหมดก่ีพจน์ 1. 27 2. 28 3. 29 4. 30

22. ล ำดบั 15 , 12 , 9 , 6 , … , –72 มีทั้งหมดก่ีพจน์ 1. 27 2. 28 3. 29 4. 30

23. ล ำดบั 16 , 12 , 8 , … , –96 มีทั้งหมดก่ีพจน์ 1. 27 2. 28 3. 29 4. 30

24. ไมก้องหน่ึงวำงซ้อนกนัในแนวระดบัเป็นชั้นๆ แต่ละชั้นมีจ ำนวนไมม้ำกกวำ่ชั้นถดัข้ึนไปอยู ่ 3 ท่อน ถำ้ชั้นบนสุดมีไม ้70 ท่อน ชั้นติดพื้นดินมี 376 ท่อน แลว้ไมก้องน้ีมีทั้งหมดก่ีชั้น

1. 100 ชั้น 2. 101 ชั้น 3. 102 ชั้น 4. 103 ชั้น


49

25. ถำ้พจน์ท่ี n ของล ำดบัเลขคณิต 3b + 2c , 5b + c , 7b , … เป็น 17b – 5c แลว้ค่ำของ n คือขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 7 2. 8 3. 9 4. 10

26(แนว O–Net) ล ำดบัเลขคณิต –43 , –34 , –25 , … มีพจน์ท่ีมีค่ำนอ้ยกวำ่ 210 อยูก่ี่พจน์

27. ก ำหนดให ้ 8 , A , 26 เป็น 3 พจน์ต่อเน่ืองกนัในล ำดบัเลขคณิต แลว้ A มีค่ำเท่ำกบัขอ้ ใดต่อไปน้ี 1. 15 2. 16 3. 17 4. 18

28. ถำ้ p , 5p , 6p + 9 เป็นล ำดบัเลขคณิต แลว้ค่ำของ p ตรงกบัค่ำในขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 3 2. 4 3. 5 4. 6

29. ถำ้ k , 3k , 6k + 2 เป็นสำมพจน์ท่ีเรียงกนัในล ำดบัเลขคณิต มีพจน์แรกเป็น –7k แลว้ พจน์ท่ี 50 มีค่ำเท่ำกบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. –148 2. –168 3. –182 4. –198

30. ถำ้ 2a – 5 , a2 – 1 , 2a + 3 เป็นสำมพจน์เรียงกนัในล ำดบัเลขคณิต แลว้ผลคูณของค่ำ a ทั้งหมดท่ีเป็นไปไดมี้ค่ำเท่ำกบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 0 2. 2 3. 4 4. 8

31. ถำ้ a , b , c เป็นล ำดบัเลขคณิตแลว้ a – b + c มีค่ำตรงกบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. a 2. b 3. a – b 4. b2

32. ก ำหนด 13 , a , b , 30 เป็นล ำดบัเลขคณิต แลว้ค่ำของ a + b คือขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 39 2. 41 3. 43 4. 45

33. พจน์ท่ี 15 ของล ำดบัของจ ำนวนท่ีหำรดว้ย 9 ลงตวัและอยูร่ะหวำ่ง 200 ถึง 500 มีค่ำเท่ำกบั ขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 221 2. 222 3. 331 4. 333

34. ระหวำ่ง 100 และ 600 มีจ ำนวนก่ีจ ำนวนท่ีหำรดว้ย 6 แลว้เหลือเศษ 3 1. 81 2. 82 3. 83 4. 84


50

35. ตั้งแต่ 200 ถึง 600 มีจ ำนวนซ่ึงหำรดว้ย 7 ลงตวัทั้งหมดก่ีจ ำนวน 1. 57 2. 98 3. 135 4. 344

36. จำกขอ้ท่ีผำ่นมำ ตั้งแต่ 200 ถึง 600 มีจ ำนวนซ่ึงหำรดว้ย 7 ไม่ลงตวัทั้งหมดก่ีจ ำนวน 1. 57 2. 98 3. 135 4. 344

37. จ ำนวนเตม็บวกตั้งแต่ 150 ถึง 900 มีก่ีจ ำนวนท่ีหำรดว้ย 7 ลงตวั 1. 84 2. 98 3. 107 4. 179

38. จำกขอ้ท่ีผำ่นมำ มีก่ีจ ำนวนท่ีหำรดว้ย 9 ลงตวั 1. 84 2. 98 3. 107 4. 179

39. จำกขอ้ท่ีผำ่นมำ มีก่ีจ ำนวนท่ีหำรดว้ย 7 และ 9 ลงตวั 1. 8 2. 10 3. 12 4. 15

40. จำกขอ้ท่ีผำ่นมำ มีก่ีจ ำนวนท่ีหำรดว้ย 7 หรือ 9 ลงตวั 1. 84 2. 98 3. 107 4. 179

41. สมำชิกในเซต { 100 , 101 , 102 , … , 600} ซ่ึงหำรดว้ย 8 หรือ 12 ลงตวั มีกี่จ ำนวน 1. 84 2. 92 3. 100 4. 125

42. ในล ำดบัเลขคณิตชุดหน่ึง ถำ้ a4 = 3 a1 และ a7 = 15 แลว้ผลบวกของ a1 + a2 + a3 มีค่ำ ตรงกบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 10 2. 12 3. 15 4. 21

43. ในล ำดบัเลขคณิตชุดหน่ึง ถำ้ a2 + a3 = 0 และ a4 + a8 = 12 แลว้ค่ำของ a1 + a5 มีค่ำ ตรงกบัค่ำในขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 28 2. 30 3. 32 4. 36

44. ในล ำดบัเลขคณิตชุดหน่ึง ถำ้ a2 – a6 + a4 = –7 และ a8 – a7 = 2a4 แลว้ค่ำของ a3 + a10 มีค่ำตรงกบัค่ำในขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 10 2. 12 3. 14 4. 16


51

45. เลข 3 จ ำนวนเรียงกนัเป็นล ำดบัเลขคณิตมีค่ำผลบวกเป็น 12 และถำ้ผลบวกของก ำลงัสำม ของแต่ละพจน์เป็น 408 แลว้ผลบวกของพจน์แรกและพจน์สุดทำ้ยเป็นเท่ำใด 1. 7 2. 8 3. 9 4. 10

46. เลข 3 จ ำนวนเรียงกนัเป็นล ำดบัเลขคณิต โดยมีผลบวกของพจน์แรกและพจน์ท่ี 3 เป็น 12 และผลคูณของพจน์แรกและพจน์ท่ี 2 เป็น 24 แลว้ ค่ำเฉล่ียเลขคณิตของเลข 3 จ ำนวนน้ีคือ ขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 3 2. 4 3. 5 4. 6

47. ล ำดบัเลขคณิต 4 จ ำนวนเรียงกนั มีผลบวกเท่ำกบั 40 และผลบวกของผลคูณระหวำ่งจ ำนวน ท่ีน้อยท่ีสุดกบัจ ำนวนท่ีมำกท่ีสุดรวมกบัผลคูณของพจน์สองพจน์ท่ีเหลือมีค่ำเท่ำกบั 160 แลว้ ผลบวกของ 2 พจน์กลำงมีค่ำเท่ำกบัเท่ำใด 1. 13 2. 16 3. 18 4. 20

16.1.4 ล ำดับเรขำคณติ 48. พจน์ท่ี 7 ของล ำดบั –3 , –6 , –12 , … มีค่ำเท่ำกบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. –96 2. –192 3. –384 4. –768

49. พจน์ท่ี 9 ของล ำดบัเรขำคณิต 1 , 2 , 4 , 8 , …… มีค่ำเท่ำกบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 64 2. 128 3. 256 4. 512

50. ก ำหนดล ำดบัเรขำคณิตมีพจน์ท่ี 1 เป็น 5 และอตัรำส่วนร่วมเป็น –2 แลว้ a5 + a8 มีค่ำ เท่ำกบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. –280 2. –480 3. –560 4. –640

51. พจน์ทัว่ไปของล ำดบัเรขำคณิต 121 , 61 , 31 , … เท่ำกบัขอ้ใดต่อไปน้ี

1. 2n 2. 12n2 3. 24

n2 4. 32n2

52. ก ำหนดเรขำคณิตมีอตัรำส่วนร่วมเท่ำกบั – 31 และ a10 = 93

2 แลว้ พจน์ท่ี 1 จะมีค่ำเท่ำใด

1. 2 2. 3 3. 6 4. 8


52

53. ก ำหนด 32 , a , b , 4 เป็นล ำดบัเรขำคณิต แลว้ค่ำ a – b มีค่ำเท่ำกบัขอ้ใด 1. 2 2. 3 3. 6 4. 8

54. ถำ้ 15 , a2 , a3 , a4 , 1215 เป็นล ำดบัเลขคณิตแลว้ ค่ำของ a4 มีค่ำเท่ำกบัขอ้ใด 1. 300 2. 715 3. 830 4. 915

55. ในล ำดบัเรขำคณิตชุดหน่ึงถำ้พจน์ท่ี 7 และพจน์ท่ี 10 มีค่ำเท่ำกบั 16 และ 1024 ตำมล ำดบั แลว้พจน์ท่ี 5 มีค่ำตรงกบัขอ้ใด 1. 41 2. 1 3. 4 4. 8

56. ถำ้พจน์ท่ี m และอตัรำส่วนของล ำดบัเรขำคณิตเป็น b และ c ตำมล ำดบัแลว้ พจน์ทัว่ไป ของล ำดบัน้ีคือขอ้ใด 1. b.cn+m 2. b.cm–n 3. b.cn–m 4. b.cn–m–1

57. ล ำดบั – 32 , 2 , –6 , 18 , … , 162 มีทั้งหมดก่ีพจน์ 1. 5 2. 6 3. 7 4. 8

58. ถำ้พจน์ท่ี n ของล ำดบัเรขำคณิต 2 , –6 , 18 , ….. เท่ำกบั 162 แลว้ n มีค่ำเท่ำใด 1. 5 2. 6 3. 7 4. 8

59. ก ำหนดล ำดบัเรขำคณิตมีพจน์ท่ี 1 เป็น 32 และอตัรำส่วนร่วมเป็น 2

1 ถำ้ an = 481 แลว้ ค่ำ

ของ n มีค่ำเท่ำกบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 5 2. 6 3. 7 4. 8

60. ถำ้ 150 – a , 20 – a , 3 – a เป็นล ำดบัเรขำคณิตแลว้ ค่ำของ n มีค่ำเท่ำกบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 113

47 2. 11350 3. 147

47 4. 14750

61. ล ำดบัเรขำคณิตชุดหน่ึง มีพจน์ท่ี 3 มำกกวำ่พจน์ท่ี 2 อยู ่ 1.5 และพจน์ท่ี 2 มีค่ำมำกกวำ่พจน์ แรกอยู ่ 1 แลว้จงหำพจน์แรกและอตัรำส่วนร่วม (ตอบตำมล ำดบั) 1. 2 , 2

3 2. –1 , – 23 3. 1 , 32 4. 2

3 , 1


53

62. ถำ้ x , a , y เป็นล ำดบัเลขคณิตแลว้ a มีค่ำเท่ำกบั 15 แต่ถำ้ x , a , y เป็นล ำดบั เรขำคณิตแลว้ a จะมีค่ำเท่ำกบั 9 ดงันั้น x และ y มีค่ำแตกต่ำงกนัเท่ำกบัเท่ำใด 1. 20 2. 22 3. 24 4. 26

63. ผลบวกของล ำดบัเลขคณิต 3 จ ำนวนท่ีเรียงจำกนอ้ยไปมำกมีค่ำเท่ำกบั 21 และผลคูณของเลข สำมจ ำนวนมีค่ำเท่ำกบั 280 แลว้ พจน์สุดทำ้ยของเลขชุดน้ีคือขอ้ใดต่อไปน้ี

1. 9 2. 10 3. 11 4. 12

64. ผลบวกของเลข 3 จ ำนวนท่ีเรียงกนัเป็นล ำดบัเรขำคณิตมีค่ำเท่ำกบั 19 และผลคูณของเลข สำม จ ำนวนน้ีเป็น 216 แลว้ จ ำนวนท่ีมีค่ำนอ้ยท่ีสุดคือขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 2 2. 3 3. 4 4. 5

65. ผลบวกของล ำดบัเรขำคณิต 3 จ ำนวนมีค่ำเท่ำกบั 60 และผลคูณของเลข 3 จ ำนวนมีค่ำเท่ำกบั 324 แลว้ พจน์ท่ีมีค่ำมำกท่ีสุดมีค่ำเท่ำใด 1. 140 2. 150 3. 158 4. 162

66. ผลบวกของล ำดับเลขคณิต 3 จ ำนวนมีค่ำเท่ำกับ 27 และผลบวกของก ำลังสองของแต่ละ จ ำนวนเท่ำกบั 293 แลว้ จ ำนวนท่ีมีค่ำนอ้ยท่ีสุดมีค่ำเท่ำกบัขอ้ใดต่อไปน้ี

1. 2 2. 4 3. 6 4. 8 2.

67. ผลบวกของเลข 5 จ ำนวนท่ีเรียงกนัเป็นล ำดบัเลขคณิตมีค่ำเท่ำกบั 10 และผลบวกของก ำลงั สองของแต่ละจ ำนวนมีค่ำเท่ำกบั 60 แลว้พิสัยของเลข 5 จ ำนวนมีค่ำตรงกบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 8 2. 12 3. 16 4. 17

68. ล ำดบัเลขคณิต 4 จ ำนวนเรียงกนั มีผลบวกเท่ำกบั 40 และผลบวกของผลคูณระหวำ่งจ ำนวนท่ี น้อยท่ีสุดกบัจ ำนวนท่ีมำกท่ีสุดรวมกบัผลคูณของพจน์สองพจน์ท่ีเหลือมีค่ำเท่ำกบั 160 แล้ว ผลบวกของ 2 พจน์กลำงมีค่ำเท่ำกบัเท่ำใด 1. 13 2. 16 3. 18 4. 20

16.1.5 ลมิิตของล ำดับ

69. ถำ้ x > 0 แลว้ ถำ้ A = x...xxx แลว้ A มีค่ำเท่ำกบัขอ้ใดต่อไปน้ี

1. A = x 2. A = x 3. A = x2 4. A = 23

x


54

70. ลิมิตของล ำดบัอนนัต ์ ... ,3333 , 333 , 33 , 3 มีค่ำเท่ำกบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 3 2. 6 3. 9 4. ไม่มีค่ำลิมิต

71. ลิมิตของล ำดบั ..... , 2222 , 222 , 22 , 2 มีค่ำเท่ำกบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 2 2. 4 3. 16 4. ไม่มีค่ำลิมิต

72. ก ำหนดให ้ an = 32n 625n n

แลว้ nanlim เท่ำกบัขอ้ใดต่อไปน้ี

1. 0 2. 1 3. 2 4. ไม่มีค่ำลิมิต

73. ก ำหนดให ้ an = 4 2n 23n


1. 0 2. 1 3. 2 4. ไม่มีค่ำลิมิต

74. ก ำหนดให ้ an = 4n 32 n5n 2


1. 0 2. 1 3. 2 4. ไม่มีค่ำลิมิต

75. ก ำหนดให ้ an = 2 2n2 2n


1. 0 2. 1 3. 2 4. ไม่มีค่ำลิมิต

76. ก ำหนดให ้ an = 3n 2n


1. 0 2. 1 3. 2 4. ไม่มีค่ำลิมิต

77. จงพิจำรณำล ำดบัอนนัตท่ี์มีพจน์ทัว่ไปเป็น 4 2

310n 2

55n

1 2n 23n

1. เป็นล ำดบัไดเวอร์เจนต์ 2. เป็นล ำดบัคอนเวอร์เจนต ์ มีลิมิตเท่ำกบั 0 3. เป็นล ำดบัคอนเวอร์เจนต ์ มีลิมิตเท่ำกบั 53 4. เป็นล ำดบัคอนเวอร์เจนต ์ มีลิมิตเท่ำกบั 41

78. ก ำหนดให ้ an = 1 2n

1


1. 0 2. 1 3. 2 4. ไม่มีค่ำลิมิต


55


4 3n 22n


1. 0 2. 1 3. 2 4. ไม่มีค่ำลิมิต

80. ก ำหนดให ้ an = 4 nn 3nn12n


1. –2 2. –1 3. 1 4. ไม่มีค่ำลิมิต

81. ลิมิตของล ำดบั an = n 6 1 7n

4 1 32n 5 37n


1. 0 2. 1 3. 3 4. หำค่ำไม่ได ้

82. ก ำหนดให ้ an = 1n 2n

– 2n1 n แลว้ nanlim เท่ำกบัขอ้ใดต่อไปน้ี

1. 0 2. 2 3. 23 4. ไม่มีค่ำลิมิต


3n

– 2 2n3n


1. 0 2. 1 3. 23 4. ไม่มีค่ำลิมิต

84. ก ำหนดให ้ A =

12n 2n

12n 2n nlim

และ B =

12n

2n1 22n

3nn lim

แลว้ค่ำของ A + B มีค่ำเท่ำกบัค่ำในขอ้ใด 1. – 41 2. 0 3. 2 4. 5

85. ก ำหนดให ้ 21)(n2)42n(2nna


1. 0 2. 1 3. 4 4. 5

86. ลิมิตของล ำดบั 4n32n 5

)31n )(31n (1na

คือค่ำในขอ้ใดต่อไปน้ี

1. 0 2. –1 3. 1 4. หำลิมิตไม่ได ้


56

87. ลิมิตของล ำดบัท่ีมีพจน์ทัว่ไปเป็น an = 24n21)(n 1n1 มีค่ำเท่ำกบัเท่ำใด

1. 0 2. 41 3. 1 4. ไม่มีลิติต

88. ค่ำของ 2 n43 nlim

π มีค่ำเท่ำกบัขอ้ใดต่อไปน้ี

1. 0 2. 3. 2 4. ไม่มีลิมิต

89. ก ำหนดให ้ 22n 31 24n

)31( na


1. 31 2. 3 3. 9 4. ไม่มีค่ำลิมิต

90. ให ้ A =

8n24n123n

nlim ; B =

318n 2n

22nnlim แลว้ ค่ำของ A.B3 คือขอ้ใด

1. 418 2. 35

9 3. 6427 4. 32

27

91. ให ้ A = nlim n 3 และ B = )1 2n 1 n (9nlim

แลว้ ค่ำของ A2 B คือขอ้ใด

1. 0 2. 1 3. 2 4. 3

92. ก ำหนดล ำดบั an = 1 3n 1 22n

ลิมิตของล ำดบั an คือค่ำในขอ้ใดต่อไปน้ี

1. 32 2. – 3

2 3. 0 4. ไม่มีลิมิต

93. ก ำหนดล ำดบั an = log

2n1 2n แลว้ nlim an มีค่ำเท่ำกบัขอ้ใดต่อไปน้ี

1. 0 2. 1 3. 21 4. ไม่มีลิมิต

94. ก ำหนดให ้ A = nlim 1 4n n sin π และ B = nlim

23n 1) 2(n cos π แลว้

ค่ำของ A2 + B คือค่ำในขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 4

1 2. 161 3. 2

1 4. 1


21)(2n9n1n1)(na แลว้ nanlim เท่ำกบัขอ้ใดต่อไปน้ี

1. 0 2. –2 3. 2 4. ไม่มีค่ำลิมิต


57

96. ก ำหนดให ้ 1 3n 1 6n 1n1)(na


1. 0 2. –2 3. 2 4. ไม่มีค่ำลิมิต

97. ก ำหนดให ้ 1)(2n)(2nn1) (na


1. 0 2. –2 3. 2 4. ไม่มีค่ำลิมิต

Lim Expo

98. ล ำดบัท่ีมี an = n51n2 มีลิมิตตรงกบัค่ำในขอ้ใด

1. 0 2. 52 3. 1 4. ไม่มีลิมิต

99. ก ำหนดให ้ an = 1 n5n3 5


1. 0 2. 1 3. 2 4. ไม่มีค่ำลิมิต

100. ล ำดบัอนนัตท่ี์มี an = 1n4n3n5

มีลิมิตตรงกบัค่ำในขอ้ใด

1. 0 2. 45 3. 4

3 4. ไม่มีลิมิต

101. ก ำหนดให ้ an = 2 n3n7 5


1. 0 2. 1 3. 2 4. ไม่มีค่ำลิมิต

102. ล ำดบัอนนัตท่ี์มี an = 1n341n3

มีลิมิตตรงกบัค่ำในขอ้ใดต่อไปน้ี

1. 0 2. 1 3. 3 4. ไม่มีลิมิต

103. ก ำหนดให ้ 1)(n2n2 3na

แลว้ nanlim เ ท่ำกบัขอ้ใดต่อไปน้ี

1. 0 2. 21 3. 1 4. ไม่มีค่ำลิมิต

104. ก ำหนดให ้ 4 n 2 3 1n7 32n3 2n5 21n7 na


1. 0 2. 37 3. 3

49 4. ไม่มีค่ำลิมิต

105. ก ำหนดให ้ 1n25 2 1n912n2 31n25 na


1. 0 2. – 21 3. –25 4. ไม่มีค่ำลิมิต


58

106. ก ำหนดให ้ 1)(n3 2)cos(n 1)(n3na


1. 0 2. 21 3. 2

9 4. ไม่มีค่ำลิมิต

107. ก ำหนดล ำดบั an = 5 + 1n2 . 33n21n2

แลว้ ล ำดบัน้ีมีลิมิตตรงกบัค่ำในขอ้ใดต่อไปน้ี

1. 5 2. 7 3. 9 4. 215

108. ก ำหนดให ้ n31n3 927 n31n3 na

และ 2n 12n

2n 12nnb

แลว้ )nbn(anlim

มีค่ำเท่ำกบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 7 2. 9 3. 11 4. 13

109. พิจำรณำล ำดบัอนนัต ์ ...... , 6 114 16 , 5 9

3 13 , 4 72 10 , 3 5

7 , 0

ขอ้ใดต่อไปน้ีถูกตอ้ง 1. เป็นล ำดบัคอนเวอร์เจนต ์ มีลิมิตเท่ำกบั 0 2. เป็นล ำดบัคอนเวอร์เจนต ์ มีลิมิตเท่ำกบั 1 3. เป็นล ำดบัคอนเวอร์เจนต ์ มีลิมิตเท่ำกบั 1.5 4. เป็นล ำดบัไดเวอร์เจนต์

16.2 อนุกรม

16.2.1 ผลบวกของอนุกรมจ ำกดั 16.2.1.1 อนุกรมจ ำกดัเลขคณติ 110. ก ำหนดพจน์ท่ี 1 และพจน์ท่ี 17 ของล ำดบัเลขคณิตเป็น 55 และ 231 ตำมล ำดบั แล้ว ผลบวก 17 พจน์แรกของล ำดบัน้ีมีค่ำเท่ำกบัขอ้ใด 1. 2246 2. 2358 3. 2431 4. 2540

111. ผลบวก 15 พจน์แรกของอนุกรม 1 + 4 + 7 + 10 + … มีค่ำเท่ำกบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 310 2. 318 3. 324 4. 330

112. ผลบวกของอนุกรม 27 + 23 + 19 + 15 + …. – 49 มีค่ำเท่ำกบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. –220 2. –120 3. –78 4. 0

113. ผลบวกของจ ำนวนเตม็ค่ีตั้งแต่ 1 ถึง 207 มีค่ำเท่ำกบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 9612 2. 10040 3. 10816 4. 12000


59

114. ระหวำ่ง 100 ถึง 400 ค่ำทุกค่ำท่ีหำรดว้ย 3 ลงตวั รวมกนัมีค่ำตรงกบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 25050 2. 25450 3. 26000 4. 26450

115. ผลบวกของจ ำนวนท่ีหำรดว้ย 9 ไม่ลงตวัตั้งแต่ 100 ถึง 500 มีค่ำตรงกบัขอ้ใด 1. 13266 2. 46300 3. 107034 4. 120300

116. อนุกรม 1 + 5 + 9 + 13 + … มีผลบวก n พจน์แรกเท่ำกบั 190 แลว้ อนุกรมน้ีมีทั้งหมดก่ีพจน์ 1. 10 2. 9 3. 8 4. 7

117. อนุกรม 39 + 33 + 27 + … ตอ้งบวกกนัถึงก่ีพจน์จึงจะท ำใหผ้ลบวกของอนุกรมเป็น 144 1. 6 พจน์ 2. 7 พจน์ 3. 8 พจน์ 4. 6 หรือ 8 พจน์

118. เด็กคนหน่ึงเรียงลูกหินเป็นแถวๆ เพื่อประกอบรูปสำมเหล่ียม โดยจดัลูกหินในแถวบนใหน้อ้ย กว่ำลูกหินในแถวล่ำงท่ีอยู่ติดกนัหน่ึงลูกเสมอ ถ้ำแถวบนสุดมีลูกหินเพียงลูกเดียว ซ่ึงอยู่ใน แหน่งของจุดยอดของสำมเหล่ียมดว้ย และเขำมีลูกหินอยูท่ ั้งหมด 109 ลูก จงหำว่ำจะมีลูกหิน ในแถวล่ำงสุดของรูปสำมเหล่ียมกี่ลูก 1. 17 2. 18 3. 19 4. 20

119. ชำยคนหน่ึงเดินทำงจำกเมือง A ไปเมือง B ซ่ึงห่ำงกนั 162 ไมล์ ถำ้วนัแรกเดินทำงได้ 30 ไมล์ วนัท่ีสองเดินทำงได ้ 27 ไมล์ วนัท่ีสำมเดินทำงได้ 24 ไมล์ เช่นน้ีเร่ือยๆ ไปแล้วเขำใช้ เวลำเดินทำงก่ีวนัจึงจะถึงเมือง B 1. 8 วนั 2. 9 วนั 3. 10 วนั 4. 12 วนั

120. นำย ก และนำย ข อยูห่่ำงกนั 255 กิโลเมตร และตั้งใจจะเดินทำงมำพบกนั โดยเร่ิมเดินทำง พร้อมกนั นำย ก เดินทำงวนัแรก 1 กิโลเมตร วนัท่ีสอง 3 กิโลเมตร วนัท่ีสำม 5 กิโลเมตร เช่นน้ีเร่ือยๆ ไป ส่วน นำย ข เดินทำงวนัแรก 20 กิโลเมตร วนัท่ีสอง 19 กิโลเมตร วนัท่ีสำม 18 กิโลเมตร เช่นน้ีไปเร่ือยๆไป จงหำวำ่ในเวลำก่ีวนัเขำทั้งสองจึงจะพบกนั

1. 9 วนั 2. 10 วนั 3. 11 วนั 4. 12 วนั 2.

121. ในอนุกรมเลขคณิตชุดหน่ึง ถำ้ a3 + a7 = 13 และผลบวก 13 พจน์แรกมีค่ำเท่ำกบั 104 แลว้ พจน์แรกและผลต่ำงร่วมของอนุกรมน้ีคือขอ้ใดต่อไปน้ี 1. –7 , 3 2. 2 , 3 3. 2

3 , 47 4. 4

3 , 27


60

122. อนุกรมเลขคณิตมี a1 = 4 และ S15 = 480 แลว้ S3 มีค่ำเท่ำกบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 12 2. 18 3. 24 4. 30

123. อนุกรมเลขคณิตหน่ึงมี 10 พจน์ ผลบวกของ 5 พจน์แรกเท่ำกบั 7 และผลบวกของ 5 พจน์ หลงัเป็น 12 แลว้พจน์แรกของอนุกรมน้ีมีค่ำเท่ำกบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. –1 2. 0 3. 1 4. 2

124. อนุกรมเลขคณิตชุดหน่ึง ถำ้ผลบวก 5 พจน์แรกมีค่ำเท่ำกบั 7 และผลบวก 5 พจน์ถดัไปมี ค่ำเท่ำกบั 12 แลว้พจน์ท่ี 11 ของอนุกรมมีค่ำตรงกบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 3 2. 588 3. 22 4. 5251

125. ถ้ำผลบวก 14 พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิตเท่ำกบั 301 และพจน์ท่ี 14 เท่ำกบั 41 แล้ว ผลบวก 3 พจน์แรกของอนุกรมน้ีมีค่ำเท่ำกบัขอ้ใด 1. 8 2. 9 3. 11 4. 15

126. ผลบวก 10 พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิตอนุกรมหน่ึงเท่ำกับ 430 ถ้ำพจน์ท่ี 10 ของ อนุกรม น้ีคือ 79 แลว้ผลบวก 3 พจน์แรกมีค่ำเท่ำกบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 44 2. 45 3. 46 4. 47

127. อนุกรมเลขคณิตชุดหน่ึง ผลบวก 3 พจน์แรกมีค่ำเท่ำกบั 6 และ ผลบวก 5 พจน์แรกมีค่ำเท่ำ กบั 25 แลว้ ผลบวกของ n พจน์แรกมีค่ำเท่ำกบัขอ้ใด 1. 5)(n)(3n 21 2. 7)(n)(3n 21 3. 1)(n)(3n 21 4. 1)(n)(3n 21

128. จำกอนุกรมเลขคณิต 13 + 11 + 9 + … จงหำวำ่จ ำนวนเตม็บวก n ท่ีนอ้ยท่ีสุดท่ีท ำให้ Sn < 0 มีค่ำเท่ำกบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 8 2. 9 3. 11 4. 15

16.2.1.2 อนุกรมจ ำกดัเรขำคณติ

129. ก ำหนดล ำดบัเรขำคณิต 3 , –9 , 27 , …… จงหำวำ่ S5 มีค่ำเท่ำกบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. –165 2. –84 3. 183 4. 270


61

130. ก ำหนดล ำดบัเรขำคณิต 241 , 12

1 , 61 , ….. จงหำวำ่ S10 มีค่ำเท่ำกบัขอ้ใดต่อไปน้ี

1. 3 2. 887 3. 8

271 4. 8341

131. ก ำหนดล ำดบัเรขำคณิต 1 , –x3 , x6 , … จงหำวำ่ S8 มีค่ำเท่ำกบัขอ้ใดต่อไปน้ี

1. 3x 124x 1

2. 3x 1

24x 1 3. 3x 1

24x 1 4. 3x 1

24x 1

132. อนุกรม 2 + 10 + 50 + … ตอ้งบวกกนัก่ีพจน์จึงจะไดผ้ลบวกเป็น 312 1. 4 พจน์ 2. 5 พจน์ 3. 6 พจน์ 4. 7 พจน์

133. อนุกรมเรขำคณิต 4 + 12 + 36 + ….. มีกี่พจน์ จึงจะท ำใหผ้ลบวกเป็น 13120 1. 6 พจน์ 2. 7 พจน์ 3. 8 พจน์ 4. 9 พจน์

134. ก ำหนดอนุกรม 31 + 9

1 + 271 + …+ n3

1 + ….. แลว้ผลบวกยอ่ย n พจน์แรก (Sn) ของอนุกรม

น้ี คือขอ้ใด 1. (1 – n3

1 ) 2. (1 + n31 ) 3. 2

1 (1 – n31 ) 4. 2

1 (1 + n31 )

135. ในอนุกรมเรขำคณิตชุดหน่ึง มีผลบวก 8 พจน์แรกมีค่ำเท่ำกบั 5 เท่ำของผลบวก 4 พจน์แรก และถำ้พจน์แรกมีค่ำเท่ำกบั 3 แลว้ พจน์ท่ี 3 มีค่ำตรงกบัค่ำในขอ้ใดต่อไปน้ี

1. 23 2. 6 3. 26 4. 12

136. ในอนุกรมเรขำคณิตชุดหน่ึง มีพจน์แรกมีค่ำเท่ำกบั 9 พจน์ท่ี n เท่ำกบั 576 และผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมน้ีเท่ำกบั 1143 แลว้อตัรำส่วนรวมของอนุกรมน้ีมีค่ำเท่ำกบัขอ้ใด 1. 2 2. 3 3. 2

3 4. 4

137. แบคทีเรียกลุ่มหน่ึงขยำยพนัธ์ุโดยเพิ่มข้ึน 20% ในแต่ละชัว่โมง ถำ้เดิมมีแบคทีเรีย 100 ตวั เม่ือเวลำผำ่นไป 10 ชัว่โมง จะมีแบคทีเรียทั้งหมดเท่ำกบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 100 9)100

120( 2. 100 10)100120( 3. 100 11)100

120( 4. 100 12)100120(

138. นำยธนำน ำเงินไปฝำกธนำคำรเป็นเงิน 1,000,000 บำท โดยได้รับดอกเบ้ียร้อยละ 8 ต่อปี อยำกทรำบวำ่ถำ้ครบก ำหนด 5 ปี นำยธนำไปถอนเงินคืนทั้งหมดจะไดเ้งินทั้งส้ินก่ีบำท 1. 1,000,000 4)100

8( 2. 1,000,000 5)1008(

3. 1,000,000 4)100108( 4. 1,000,000 5)100

108(


62

16.2.2 ผลบวกของอนุกรมอนันต์

139. อนุกรมชุดหน่ึงมีผลบวกยอ่ย n พจน์แรกเป็น 322n23n 5nS

แลว้ ผลบวกถึงอนนัต์ (s)

ของอนุกรมน้ีมีค่ำเท่ำกบัขอ้ใด 1. 0 2. – 2

3 3. 25 4. หำค่ำไม่ได ้

140. อนุกรมชุดหน่ึงมีผลบวกย่อย n พจน์แรกเป็น 7 6n1 3n 25nnS

แลว้ ผลบวกถึงอนันต ์ (s) ของอนุกรมน้ีมีค่ำเท่ำกบัขอ้ใด 1. 0 2. – 2

3 3. 25 4. หำค่ำไม่ได ้

141. อนุกรมชุดหน่ึงมีผลบวกยอ่ย n พจน์แรกเป็น 2 2n1 n nS แลว้ ผลบวกถึงอนนัต ์ (s) ของอนุกรมน้ีมีค่ำเท่ำกบัขอ้ใด 1. 0 2. – 2

3 3. 25 4. หำค่ำไม่ได ้

142. อนุกรมชุดหน่ึงมีผลบวกยอ่ย n พจน์แรกเป็น 15n 4

23 5nS แลว้ ผลบวกถึงอนนัต ์

(s) ของอนุกรมน้ีมีค่ำเท่ำกบัขอ้ใด 1. 0 2. –1 3. 2


143. อนุกรมชุดหน่ึงมีผลบวกยอ่ย n พจน์แรกเป็น n74 n3 1n7 nS

แลว้ ผลบวกถึงอนนัต ์(s)

ของอนุกรมน้ีมีค่ำเท่ำกบัขอ้ใด 1. 0 2. 2

3 3. 47 4. หำค่ำไม่ได ้

144. อนุกรมชุดหน่ึงมีผลบวกยอ่ย n พจน์แรกเป็น Sn = 3(5n – 1) แลว้ ผลบวกถึงอนนัต ์(s) ของอนุกรมน้ีมีค่ำเท่ำกบัขอ้ใด 1. 0 2. 2

3 3. 47 4. หำค่ำไม่ได ้

145. ค่ำของ 9 + 3 + 1 + …….. เท่ำกบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 2

25 2. 227 3. 2


146. ค่ำของ 53 – 3

1 + 275 + …….. เท่ำกบัขอ้ใดต่อไปน้ี

1. 7025 2. 70

27 3. 7037 4. หำค่ำไม่ได ้


63

147. ค่ำของ 21 + 18 + 15 + …….. เท่ำกบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 70

25 2. 7027 3. 70


148. จำกอนุกรม ...3n21...32

122121 116 9 เม่ือ n > 3

ก. เป็นอนุกรมเรขำคณิต ข. เป็นอนุกรมคอนเวอร์เจนต ์ ท่ีมีลิมิตของล ำดบัผลบวกยอ่ยเท่ำกบั 27 ค. เป็นอนุกรมไดเวอร์เจนต ์ ท่ีหำผลบวกไม่ได ้

ขอ้ใด ก. ถึง ค. มีถูกตอ้งก่ีขอ้ 1. 1 ขอ้ 2. 2 ขอ้ 3. 3 ขอ้ 4. ผดิทุกขอ้

149. ค่ำของ

n1i

ienlim เท่ำกบัขอ้ใดต่อไปน้ี

1. e 2. e –1 3. e1 4. 1 e 1

150. ค่ำของ 3 + 2 + 1 + 0.011 + 0.0011 + 0.000011 + … เท่ำกบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 13

79 2. 1067 3. 9

55 4. 745

151. ค่ำของ .60. เท่ำกบัขอ้ใดต่อไปน้ี

1. 53 2. 3

2 3. 5533 4. ไม่มีขอ้ท่ีถูก

152. ค่ำของ ..530.2 เท่ำกบัขอ้ใดต่อไปน้ี

1. 1000235 2. 99

23 3. 990233 4. ไม่มีขอ้ท่ีถูก

153. จ ำนวน .51.234 เม่ือเขียนเป็นรูปเศษส่วนไดเ้ท่ำกบัขอ้ใด

1. 900012345 2. 900

1011 3. 9001111 4. 900011111

154. ปล่อยลูกบอลใหต้กจำกท่ีสูง 6 เมตร ลูกบอลกระดอนข้ึนมำได ้ 43 ของควำมสูงเดิมใน

แต่ละคร้ัง ระยะท่ีเคล่ือนท่ีไดท้ั้งหมดในแนวตั้งของลูกบอลมีค่ำเท่ำกบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 24 2. 42 4. 48 4. 54


64

155. ลูกบอลลูกหน่ึงตกลงจำกท่ีสูง 16 เมตร ในแนวดิ่ง ถำ้ทุกคร้ังท่ีลูกบอลกระทบพื้นจะกระดอน ข้ึนไปไดเ้ป็นระยะ 4

3 ของระยะทำงท่ีมนัตกลงมำ เช่นน้ีเร่ือยๆ ไปแลว้ ระยะทำงทั้งหมดท่ีลูก บอลเคล่ือนท่ีไดใ้นแนวด่ิงก่อนลูกบอลจะหยดุน่ิงมีค่ำเท่ำกบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 102 2. 112 3. 122 4. 132

156. ก ำหนดให ้ c เป็นค่ำคงตวั และถำ้ .. .n21...4

121 1 31)(n

5c 23n35cnnlim

แลว้ c มีค่ำเท่ำกบัค่ำในขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 0 2. 52 3. 1 4. 2

16.2.3 สัญลกัษณ์แทนกำรบวก

157.

10

1i3)(i เท่ำกบัขอ้ใดต่อไปน้ี

1. 85 2. 93 3. 107 4. 126

158.

61i

1)i2(i เท่ำกบัขอ้ใดต่อไปน้ี

1. 100 2. 106 3. 110 4. 124

159.

20

1i(2i 25) เท่ำกบัขอ้ใดต่อไปน้ี

1. 11480 2. 13688 3. 14898 4. 16180

160.

41i

3(2i )1 เท่ำกบัขอ้ใดต่อไปน้ี

1. 196 2. 204 3. 210 4. 224

161.

105i

1)2i 2(i เท่ำกบัขอ้ใดต่อไปน้ี

1. 240 2. 248 3. 259 4. 264

162.

20

10n1)2n2(n เท่ำกบัขอ้ใดต่อไปน้ี

1. 2030 2. 2074 3. 2140 4. 2266


65

163.

24

12n2)2n(n เท่ำกบัขอ้ใดต่อไปน้ี

1. 86112 2. 88800 3. 89254 4. 90240

16.2.4 กำรหำอนุกรมลกัษณะพเิศษ 16.2.4.1 กำรหำอนุกรมทีต้่องใช้ เข้ำมำช่วยหำ

164. ถ้ำน ำเอำลูกหินมำเรียงเป็นรูปกรวยเหล่ียม โดยมีฐำนเป็นรูปส่ีเหล่ียมจตุัรัส แต่ละชั้นท่ีเป็น ฐำนกรวยเหล่ียมดำ้นหน่ึงมีลูกหิน 15 ลูก ชั้นถดัข้ึนมำมี 14 ลูก 13 ลูก เร่ือยๆ มำจนถึงชั้น ยอดสุดมีลูกเดียว จงหำวำ่มีลูกหินทั้งหมดก่ีลูก 1. 1024 2. 1240 3. 1420 4. 1042

165. ค่ำของ 1 + 4 + 9 + 16 + … + 400 มีค่ำตรงกบัค่ำในขอ้ใด 1. 2640 2. 2750 3. 2870 4. 2990






171. ผลบวกของ 12 + 32 + 52 + 72 + … + 192 มีคำ่เท่ำค่ำในขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 1,330 2. 1,730 3. 2,130 4. 2,330


66

172. ค่ำของ 12 – 22 + 32 – 42 + 52 – 62 + …202 มีค่ำตรงกบัค่ำในขอ้ใด 1. 210 2. –210 3. –20 4. 20

173. ค่ำของ 13 + 24 + 35 + … + 2022 มีค่ำตรงกบัค่ำในขอ้ใด 1. 2988 2. 3020 3. 3128 4. 3290

174. ค่ำของ 12 + 43 + 94 + …+ 22516 มีค่ำตรงกบัค่ำในขอ้ใด 1. 12988 2. 14688 3. 15640 4. 15880

175. ผลบวก n พจน์แรกของอนุกรม 1.4.7 + 2.5.8 + 3.6.9 +… + n (n+3)(n+6) เท่ำกบัขอ้ใด 1. 4

n n (n + 3) (n + 6) 2. 4n (n + 1) (n + 6) (n + 7)

3. n (n + 3) (n + 6) 4. (n + 1) (n + 6) (n + 7)

176. ถำ้พจน์ท่ี n ของอนุกรมเป็น n2 + 2n แลว้ ผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมน้ีเท่ำกบัขอ้ใด 1. 2

1) 1)(2n n(n 2. 61) 1)(2n n(n

3. 1) n2(2 21) 1)(2n n(n 4. 1) n2(2 6

1) 1)(2n n(n

177. ผลบวก n พจน์แรกของอนุกรม 1 + (1 + 2) + (1 + 2 + 22) + … + (1 + 2 + 22 + … + 2n) เท่ำกบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 2n+1 – 2 – n 2. 2n–1 – 2 – n 3. 2n+1 – 2 4. 2n–1 – n

178. ผลบวก n พจน์ของอนุกรม ...44321

3321

2211 เท่ำกบัขอ้ใด 1. 28.0 2. 32.5 3. 37 4. 41.5

179. ผลบวก n พจน์ของอนุกรม ...4 3 2 124232221

3 2 1232221

2 122211

เท่ำกบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. n2 + 2n 2. n2 – 2n 3. 3

1 (n2 + 2n) 4. 31 (n2 – 2n)

180. ค่ำของ 3

... n(3n)(9n)... 27 9 3 18 6 2 9 3 1... n(2n)(4n)... 12 6 3 84 24 2 1

เท่ำกบัขอ้ใดต่อไปน้ี

1. 32 2. 94 3. 278 4. ไม่มีขอ้ถูก


67

181.

0n n6n2n3 มีค่ำตรงกบัค่ำในขอ้ใด

1. 0.5 2. 1 3. 1.5 4. หำค่ำไม่ได ้

182. nlim

2n.....232221

n).....32(1n มีค่ำตรงกบัค่ำในขอ้ใด

1. 1 2. 23 3. 2 4. 2

5

183. nlim

)2n.....23222(13n

3 มีค่ำตรงกบัค่ำในขอ้ใด

1. 1 2. 23 3. 2 4. 2

5

16.2.4.2 กำรหำอนุกรม Telescopic

184. ผลบวก n พจน์แรกของอนุกรม ...1)(n n 1...3.4

12.31

1.21

มีค่ำเท่ำกบัขอ้ใด

1. 0 2. 1 3. 1 n 1 4. 1 n

n

185. จำกขอ้ท่ีผำ่นมำ ผลบวกถึงอนนัต ์(S) ของอนุกรมดงักล่ำว มีค่ำเท่ำกบัขอ้ใด 1. 0 2. 1 3. 3 4. หำค่ำไม่ได ้

186. ผลบวก n พจน์แรกของอนุกรม 1)2)(3n (3n 5...7.10

54.75

1.45


1. 0 2. 5 3. 1 3n 5 4. 1 3n

n5



188. ผลบวก n พจน์แรกของอนุกรม

n

1i1) (2i 1) (2i


1. 1 4n n2 2. 1 2n

n 3. 1 n

2n 4. 1 n

4n

189. จำกขอ้ท่ีผำ่นมำ ผลบวก 6 พจน์แรกของอนุกรมดงักล่ำว มีค่ำเท่ำกบัขอ้ใด 1. 13

6 2. 2512 3. 7

12 4. 724


68

190. ผลบวกของอนุกรม .........3.4.51

2.3.41

1.2.31 มีค่ำเท่ำกบัขอ้ใด

1. 0 2. 41 3. 2

1 4. 1

191. ผลบวกของอนุกรม

1i3) (i 2) (i 1) (i i


1. 0 2. 61 3. 18


192. ผลบวก n พจน์แรกของอนุกรม 21)(n 2n12n ...9.16

74.95

1.43


1. 1) (n n 2. 1) (n

2) (n 3. 21) (n

n

4. 21) (n 2) (n n

193. ผลบวกของอนุกรมอนนัต ์ ....1n.nn1n...

4.334

3.223

2.112

มีค่ำเท่ำกบัขอ้ใด 1. 0 2. 1 3. 2 4. หำค่ำไม่ได ้

16.4.2.3 กำรหำอนุกรมผสมเลขคณติผสมกบัเรขำคณติ 194. ผลบวกถึงอนนัตข์องอนุกรม ... 81

10277

94


1. 45 2. 2

7 3. 4 4. 5

195. ผลบวกของอนุกรมอนนัตน้ี์ 1n41n2...64

17169

453

มีค่ำตรงกบัค่ำในขอ้ใด

1. 316 2. 4

18 3. 5 4. 5

196. ผลบวกถึงอนนัตข์องอนุกรม ... 6.2515

12510

256


1. 64120 2. 64

125 3. 64130 4. 64

135

197. ผลบวกของอนุกรมอนนัต ์ ... 1645

828

415

261 มีค่ำเท่ำกบัขอ้ใด

1. 3 2. 6 3. 20 4. หำผลบวกไม่ได ้

198. ผลบวกถึงอนนัตข์องอนุกรม ... 102463

25631

6415

167

431 มีค่ำเท่ำกบัขอ้ใด

1. 38 2. 15

8 3. 2 4. 32


69

199. ผลบวกของอนุกรม ...3n272n...16

785

43

21 024

เม่ือ n 4 คือขอ้ใด

1. 6 2. 425 3. 7 4. 9

200. ผลบวก 10 พจน์แรกของอนุกรม 1 + 2 . 2 + 3 . 22 + 4 . 23 + …. + n . 2n–1 + … เท่ำกบัขอ้ ใดต่อไปน้ี 1. 9217 2. 9879 3. 10240 4. 14380



202. อนุกรมต่อไปน้ี ขอ้ใดเป็นอนุกรมลู่ออก

1.

1 n 21) (n 2n1 2n 2.

1 n 1n1

n1

3.

1 n n51 n 4 4. ไม่มีขอ้ใดเป็นอนุกรมลู่ออก


70

เฉลยตะลุยโจทย์ท ั่วไป บทที ่ 16 ล ำดบัและอนุกรม

1. ตอบข้อ 4. 2. ตอบข้อ 3. 3. ตอบข้อ 4. 4. ตอบข้อ 3. 5. ตอบข้อ 4. 6. ตอบข้อ 2. 7. ตอบข้อ 3. 8. ตอบข้อ 3. 9. ตอบข้อ 3. 10. ตอบข้อ 3. 11. ตอบข้อ 2. 12. ตอบข้อ 2. 13. ตอบข้อ 2. 14. ตอบข้อ 2. 15. ตอบข้อ 3. 16. ตอบข้อ 3. 17. ตอบข้อ 2. 18. ตอบข้อ 4. 19. ตอบข้อ 1. 20. ตอบข้อ 1. 21. ตอบข้อ 1. 22. ตอบข้อ 4. 23. ตอบข้อ 3. 24. ตอบข้อ 4. 25. ตอบข้อ 2. 26. ตอบ 329 27. ตอบข้อ 3. 28. ตอบข้อ 1. 29. ตอบข้อ 3. 30. ตอบข้อ 1. 31. ตอบข้อ 2 32. ตอบข้อ 3. 33. ตอบข้อ 4. 34. ตอบข้อ 3. 35. ตอบข้อ 4. 36. ตอบข้อ 4. 37. ตอบข้อ 3. 38. ตอบข้อ 2. 39. ตอบข้อ 3. 40. ตอบข้อ 4. 41. ตอบข้อ 1. 42. ตอบข้อ 3. 43. ตอบข้อ 4. 44. ตอบข้อ 2. 45. ตอบข้อ 2. 46. ตอบข้อ 4. 47. ตอบข้อ 4. 48. ตอบข้อ 2. 49. ตอบข้อ 3. 50. ตอบข้อ 3. 51. ตอบข้อ 3. 52. ตอบข้อ 1. 53. ตอบข้อ 4. 54. ตอบข้อ 4. 55. ตอบข้อ 2. 56. ตอบข้อ 3. 57. ตอบข้อ 2. 58. ตอบข้อ 1. 59. ตอบข้อ 2. 60. ตอบข้อ 2. 61. ตอบข้อ 1. 62. ตอบข้อ 3. 63. ตอบข้อ 2. 64. ตอบข้อ 3. 65. ตอบข้อ 4. 66. ตอบข้อ 2. 67. ตอบข้อ 1. 68. ตอบข้อ 4. 69. ตอบข้อ 2. 70. ตอบข้อ 3. 71. ตอบข้อ 2. 72. ตอบข้อ 1. 73. ตอบข้อ 4. 74. ตอบข้อ 4. 75. ตอบข้อ 2. 76. ตอบข้อ 3. 77. ตอบข้อ 2. 78. ตอบข้อ 1. 79. ตอบข้อ 3. 80. ตอบข้อ 2. 81. ตอบข้อ 4. 82. ตอบข้อ 3. 83. ตอบข้อ 1. 84. ตอบข้อ 1. 85. ตอบข้อ 2 86. ตอบข้อ 1. 87. ตอบข้อ 2. 88. ตอบข้อ 3. 89. ตอบข้อ 3. 90. ตอบข้อ 4. 91. ตอบข้อ 4. 92. ตอบข้อ 1. 93. ตอบข้อ 1. 94. ตอบข้อ 4. 95. ตอบข้อ 1. 96. ตอบข้อ 4. 97. ตอบข้อ 1. 98. ตอบข้อ 1. 99. ตอบข้อ 1. 100. ตอบข้อ 4. 101. ตอบข้อ 4. 102. ตอบข้อ 3. 103. ตอบข้อ 2. 104. ตอบข้อ 3. 105. ตอบข้อ 2. 106. ตอบข้อ 3. 107. ตอบข้อ 2. 108. ตอบข้อ 1.


71

109. ตอบข้อ 3. 110. ตอบข้อ 3. 111. ตอบข้อ 4. 112. ตอบข้อ 1. 113. ตอบข้อ 3. 114. ตอบข้อ 1. 115. ตอบข้อ 3. 116. ตอบข้อ 1. 117. ตอบข้อ 4. 118. ตอบข้อ 3. 119. ตอบข้อ 2. 120. ตอบข้อ 2. 121. ตอบข้อ 4. 122. ตอบข้อ 3. 123. ตอบข้อ 3. 124. ตอบข้อ 1. 125. ตอบข้อ 4. 126. ตอบข้อ 2. 127. ตอบข้อ 1. 128. ตอบข้อ 4. 129. ตอบข้อ 3. 130. ตอบข้อ 4. 131. ตอบข้อ 1. 132. ตอบข้อ 1. 133. ตอบข้อ 3. 134. ตอบข้อ 3. 135. ตอบข้อ 2. 136. ตอบข้อ 1. 137. ตอบข้อ 2. 138. ตอบข้อ 4. 139. ตอบข้อ 2. 140. ตอบข้อ 4. 141. ตอบข้อ 2. 142. ตอบข้อ 3. 143. ตอบข้อ 3. 144. ตอบข้อ 4. 145. ตอบข้อ 2. 146. ตอบข้อ 2. 147. ตอบข้อ 4. 148. ตอบข้อ 1. 149. ตอบข้อ 4. 150. ตอบข้อ 3. 151. ตอบข้อ 2. 152. ตอบข้อ 3. 153. ตอบข้อ 4. 154. ตอบข้อ 2. 155. ตอบข้อ 2. 156. ตอบข้อ 2. 157. ตอบข้อ 1. 158. ตอบข้อ 2. 159. ตอบข้อ 4. 160. ตอบข้อ 2. 161. ตอบข้อ 3. 162. ตอบข้อ 4. 163. ตอบข้อ 1. 164. ตอบข้อ 2. 165. ตอบข้อ 3. 166. ตอบข้อ 2. 167. ตอบข้อ 1. 168. ตอบข้อ 2. 169. ตอบข้อ 2. 170. ตอบข้อ 3. 171. ตอบข้อ 1. 172. ตอบข้อ 2. 173. ตอบข้อ 4. 174. ตอบข้อ 3. 175. ตอบข้อ 2. 176. ตอบข้อ 4. 177. ตอบข้อ 1. 178. ตอบข้อ 2. 179. ตอบข้อ 3. 180. ตอบข้อ 1. 181. ตอบข้อ 1. 182. ตอบข้อ 2. 183. ตอบข้อ 1. 184. ตอบข้อ 4. 185. ตอบข้อ 2. 186. ตอบข้อ 4. 187. ตอบข้อ 3. 188. ตอบข้อ 2. 189. ตอบข้อ 1. 190. ตอบข้อ 3. 191. ตอบข้อ 3. 192. ตอบข้อ 4. 193. ตอบข้อ 2. 194. ตอบข้อ 1. 195. ตอบข้อ 1. 196. ตอบข้อ 2. 197. ตอบข้อ 198. ตอบข้อ 199. ตอบข้อ 4. 200. ตอบข้อ 1. 201. ตอบข้อ 4. 202. ตอบข้อ 4.

ติวสบายคณิต เล่ม 6 http://www.pec9.com บทที่ 17 แคลคูลัสเบือ้งต้น

1

บทที ่ 17 แคลคลูสัเบื้องตน้

17.1 ลมิติของฟังก์ชัน

ถา้ x เขา้ใกล ้ a ทางดา้นซ้าย ( x มีค่าน้อยกวา่ a ) และฟังก์ชนั f (x) มีค่าเขา้ใกลจ้ านวนจริง L แล้ว เรียกจ านวนจริง L ว่าเป็น " ลิมิตทางซ้ายของ f (x) ท่ี a " และเขียนแทนด้วยสัญลกัษณ์ f(x)

a x lim

= L ( อ่านวา่ ลิมิต f (x) เม่ือ x เขา้ใกล ้ a ทางซา้ยเท่ากบั L )

ถา้ x เขา้ใกล ้ a ทางดา้นขวา ( x มีค่ามากกว่า a ) และฟังก์ชนั f (x) มีค่าเขา้ใกลจ้ านวนจริง L แล้ว เรียกจ านวนจริง L ว่าเป็น " ลิมิตทางขวาของ f (x) ท่ี a " และเขียนแทนด้วยสัญลกัษณ์ f(x)

a x lim

= L ( อ่านวา่ ลิมิต f (x) เม่ือ x เขา้ใกล ้ a ทางขวาเท่ากบั L )

ถา้ลิมิตทางซ้ายของ f (x) ท่ี a กบัลิมิตทางขวาของ f (x) ท่ี a มีค่าเท่ากนั อาจเรียกรวมกนัเป็นลิมิตของ f (x) ท่ี a เขียนแทนดว้ยสัญลกัษณ์ f(x)a x lim ( อ่านวา่ลิมิต f (x) เม่ือ x เขา้ใกล ้ a

เท่ากบั L ) แต่ตอ้งระวงัวา่ f(x)a x lim จะหาค่าไดก้็ต่อเม่ือ f(x)a x

lim

= f(x)a x

lim

เท่านั้น

ตัวอย่าง จากกราฟของฟังก์ชนั f (x) ท่ีก าหนด ต่อไปน้ี จงหาค่าของ 1. f(x)

6 x lim

2. f(x)6 x

lim

3. f(x)6 x lim

แนวคิด 1. f(x)6 x

lim

อ่านวา่ลิมิต f(x)

เม่ือ x เขา้ใกล ้ 6 ทางซา้ย พิจารณาลูกศรดา้นซา้ยของจุดท่ี x เป็น 6 บนเส้นกราฟจะไดว้า่ เม่ือ x เขา้ ใกล ้ 6 โดย x มีค่านอ้ยกวา่ 6 แลว้ f (x) จะมีค่าเขา้ใกล ้ 8 ดงันั้น f(x)

6 x lim

= 8

2 4 6 8 10 12 X

f(x)

12 10 8 6 4 2

2 4 6 8 10 12 X

f(x)

12 10 8 6 4 2


2

2. f(x)6 x

lim

อ่านวา่ลิมิต f(x) เม่ือ x เขา้ใกล ้ 6 ทางขวา

พิจารณาลูกศรดา้นขวาของจุดท่ี x เป็น 6 บนเส้นกราฟจะไดว้า่ เม่ือ x เขา้ใกล ้ 6 โดย x มีค่ามากกวา่ 6 แลว้ f (x) จะมีค่าเขา้ใกล ้ 8 ดงันั้น

f(x)6 x

lim

= 8

3. เน่ืองจาก f(x)6 x

lim

= f(x)6 x

lim

= 8

ดงันั้น f(x)6 x lim = 8 ( อ่านวา่ลิมิต f(x) เม่ือ x เขา้ใกล้ 6 )

ตัวอย่าง จากกราฟของฟังก์ชนั f (x) ท่ีก าหนด ต่อไปน้ี จงหาค่าของ 1. f(x)

3 x lim

2. f(x)3 x

lim

3. f(x)3 x lim

แนวคิด 1. พิจารณาลูกศรดา้นซา้ยของจุดท่ี x เป็น 3 บนเส้นกราฟจะไดว้า่ เม่ือ x เขา้ ใกล ้ 3 โดย x มีค่านอ้ยกวา่ 3 แลว้ f (x) จะมีค่าเขา้ใกล ้ 4 ดงันั้น f(x)

3 x lim

= 4

2. พิจารณาลูกศรดา้นขวาของจุดท่ี x เป็น 3 บนเส้นกราฟจะไดว้า่ เม่ือ x เขา้ ใกล ้ 3 โดย x มีค่ามากกวา่ 3 แลว้ f (x) จะมีค่าเขา้ใกล ้ 1 ดงันั้น f(x)

3 x lim

= 1

3. เน่ืองจาก f(x)3 x

lim

f(x)3 x

lim

ดงันั้น f(x)3 x lim หาค่าไม่ได ้

1 2 3 4 5 6 X

f(x)

6 5 4 3 2 1

1 2 3 4 5 6 X

f(x)

6 5 4 3 2 1


3

1. จากรูป จงหาค่าต่อไปน้ี ก. 5xLim f (x)

ข. 5xLim f (x)

ค. 5xLim

f (x)

1. ก. 8 , ข. 8 , ค. 8 2. ก. 8 , ข. 0 , ค. หาไม่ได ้ 3. ก. 0 , ข. 8 , ค. หาไม่ได ้ 4. ก. 8 , ข. 8 , ค. 0 2. จากรูป จงหาค่าต่อไปน้ี ก. 4x Lim f (x) ข. 4x

Lim f (x)

ค. 4xLim

f (x) ง. f (–4)

1. ก. 9.5 , ข. –2 , ค. 0 ง. 0 2. ก. 9.5 , ข. –2 , ค. หาไม่ได ้ ง. 8 3. ก. 9.5 , ข. 9.5 , ค. 9.5 ง. 9.5 4. ก. –2 , ข. –2 , ค. –2 ง. –2

f(x)

9.5 8

–4 5

–2 x


4

สมบัติเบือ้งต้นของลมิิต (1) a x lim C = C เม่ือ C เป็นค่าคงตวัใดๆ

(2) a x lim [ f (x) g(x) ] = a x lim f (x) a x lim g(x)

(3) a x lim [ f (x) . g(x) ] = a x lim f (x) . a x lim g(x)

(4) a x lim

g(x)f(x) = g(x) a x lim

f(x) a x lim

(5) a x lim [ f (x) ]n = [ a x lim f (x) ]n

(6) a x lim n

f(x) = n

f(x) axLim

(7) ถา้ f (x) เป็นฟังกช์นัโพลิโนเมียล แลว้จะได ้ a x lim f (x) = f(a)

( คือถ้าผลการแทน x = a ลงใน f (x) ได้เป็นจ านวนจริงใดแล้ว ค่าน้ันคือค่าของ a x lim f (x) )

ฝึกท า. จงเติมขอ้ความลงในช่องวา่งต่อไปน้ีใหถู้กตอ้ง (1) a x lim C = ………… เม่ือ C เป็นค่าคงตวัใดๆ

(2) a x lim [ f (x) g(x) ] = ………………………….

(3) a x lim [ f (x) . g(x) ] = ………………………….

(4) a x lim

g(x)f(x) = ………………………….

(5) a x lim [ f (x) ]n = ………………………….

(6) a x lim n

f(x) = ………………………….

(7) a x lim f (x) = ………………………….

การค านวณหาค่าลมิิต โจทย์แบบที ่1 โจทยซ่ึ์งแทน x = a ลงใน f (x) แลว้ไดจ้ านวนจริง จะไดว้า่ a x lim f (x) = จ านวนจริงท่ีไดจ้ากการแทนค่านั้น

เช่น 1xLim (3x2 + 5) = 3(1)2 + 5 = 8

2xLim x2 + 1 = 22 + 1 = 5

49xLim x + 1 = 49 + 1 = 7 + 1 = 8


5

โจทย์แบบที ่2 โจทยซ่ึ์งแทน x = a ลงใน f (x) แลว้ไดผ้ลอยูใ่นรูป 0ตวัเลข

จะไดว้า่ a x lim f (x) หาค่าไม่ได ้

เช่น 3xLim

3 x 4 25x = 3 3

425(3)

= 049 = หาค่าไม่ได ้

โจทย์แบบที่ 3 โจทยซ่ึ์งแทน x = a ลงใน f (x) แลว้ไดผ้ลอยูใ่นรูป 00 หรือ

การหาค่าลิมิตของโจทยแ์บบน้ี อาจหาไดโ้ดยใชเ้ทคนิคต่อไปน้ี 1) แยกตวัประกอบแลว้ตดั 2) ใชต้วัคลา้ยสังยคุคูณทั้งเศษและส่วน 3) ใชอ้นุพนัธ์ของฟังกช์นัเขา้ช่วย

โจทย์แบบที่ 4 โจทยซ่ึ์งการหาลิมิตซ้ายและลิมิตขวา ใชฟั้งก์ชนัไม่เหมือนกนั โจทยแ์บบน้ีตอ้งแยกคิดเป็นลิมิตซ้าย และลิมิตขวา หากลิมิตซ้ายและลิมิตขวามีค่าเท่ากนั ให้ใชค้่าลิมิตนั้นเป็นค าตอบของลิมิตรวมไดเ้ลย แต่ถา้ลิมิตซา้ยและลิมิตขวา มีค่าไม่เท่ากนั ลิมิตรวมจะหาค าตอบไม่ได ้

3. จงหาค่าต่อไปน้ี

ก. 0xLim (–2) ข. 1xLim (x2 – 3x + 5) ค. 2xLim 3 x 4 35x

1. ก. 0 ข. 3 ค. –44 2. ก. –2 ข. 3 ค. –44 3. ก. 0 ข. 3 ค. 0 4. ก. –2 ข. 3 ค. 0 4. ก าหนดให ้ f (x) = x2 – 4 แลว้ f(x)

2xlim

+ f(x)

2xlim

มีค่าเท่ากบัขอ้ใด

1. 0 2. 1 3. 3 4. 3


6

5. ก าหนด f (x) = x 4 2x แลว้ 0xlim f (x) มีค่าตรงกบัค่าในขอ้ใด

1. 0 2. 1 3. –1 4. ไม่มีลิมิต

6. ค่าของ 2 2x 3x 22x

1xlim

เท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี

1. 0 2. 1 3. –1 4. ไม่มีลิมิต

7. ค่าของ 2xLim

2 x 4 2x เท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี

1. 0 2. 2 3. 4 4. ไม่มีลิมิต


7

8. 3xLim

3 x 9 2x เท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี

1. 0 2. 3 3. 6 4. ไม่มีลิมิต

9. 2xLim

6 x 2x4 2x เท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี

1. 0 2. 54 3. 32 4. ไม่มีลิมิต

10. 0xLim

x 7x 2x เท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี

1. 0 2. 1 3. 7 4. ไม่มีลิมิต


8

11. 4xLim

4 x

6 x3


1. 0 2. 32 3. 4


12.

x 9x 3

9xlim เท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี

1. 0 2. 61 3. 6


13. )65x2x

273x( 3xLim


1. 0 2. 9 3. 27 4. ไม่มีลิมิต


9

14. 0xLim

2x x 5 5 เท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี

1. 0 2. 51 3. 54


15. 0 xLim x1 1 x เท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี

1. 0 2. 31 3. 2


16. ก าหนดให ้ f (x) = 3x 9 2x

ขอ้ใดต่อไปน้ีถูก

1. 3 x Lim f (x) = 0 และ 3 xLim f (x) หาค่าไม่ได ้

2. 3 x Lim f (x) = 0 และ 3 xLim f (x) = 6

3. 3 x Lim f (x) = 0 และ 3 xLim f (x) = –6

4. 3 x Lim f (x) หาค่าไม่ได ้ และ 3 xLim f (x) = 0


10

17. ก าหนดให ้ f (x) =

2 x เม่ือ 23x

2 x เม่ือ x 33 x

แลว้ 2xlim f (x) เท่ากบัขอ้ใด

1. 0 2. 5 3. 25 4. ไม่มีลิมิต



11 x เม่ือ 0

แลว้ 1xlim f (x) เท่ากบัขอ้ใด

1. 0 2. –1 3. 1 4. ไม่มีลิมิต

19. ก าหนดให ้ f (x) = xx – x แลว้ f(x)

0xlim


1. 0 2. –1 3. 1 4. ไม่มีลิมิต


11

20. จากขอ้ท่ีผา่นมา f(x)0x

lim


1. 0 2. –1 3. 1 4. ไม่มีลิมิต 21. จากขอ้ท่ีผา่นมา 0xlim f (x) เท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี

1. 0 2. –1 3. 1 4. ไม่มีลิมิต

22. 4 x 4 x

4x lim


1. 0 2. –1 3. 1 4. ไม่มีลิมิต


12

17.2 ความต่อเน่ืองของฟังก์ชัน

นิยาม ฟังกช์นั f (x) ใดๆ จะมีความต่อเน่ืองท่ีจุด x = a ไดก้็ต่อเม่ือ 1) สามารถหาค่า f(a) โดยตรงได ้ ( คือเม่ือแทนค่า x = a ลงใน f (x) ตรงๆ แลว้ ตอ้งหาค่าเป็นจ านวนจริงออกมาได ้) 2) สามารถหา axLim f (x) ได ้

3) axLim f (x) = f(a)


3 x เม่ือ 3 2x

3 x เม่ือ 2x ฟังกช์ัน่น้ีต่อเน่ืองท่ี x = 3 หรือไม่

1. f ต่อเน่ือง 2. f ไม่ต่อเน่ือง เพราะ f(x) 3xlim หาค่าไม่ได ้

3. f ไม่ต่อเน่ือง เพราะ f (3) หาค่าไม่ได ้ 4. f ไม่ต่อเน่ือง เพราะ f(x) 3xlim ≠ f (3)



3 x เม่ือ 27 3x ฟังกช์ัน่น้ีต่อเน่ืองท่ี x = 3 หรือไม่




13


2 x เม่ือ 23 x

2 x 0 เม่ือ x 33 x


ฟังกช์ัน่น้ีมีความต่อเน่ืองท่ีจุด x = 0 หรือไม่ 1. f ต่อเน่ือง 2. f ไม่ต่อเน่ือง เพราะ f(x) 0xlim

หาค่าไม่ได ้

3. f ไม่ต่อเน่ือง เพราะ f (0) หาค่าไม่ได ้ 4. f ไม่ต่อเน่ือง เพราะ f(x) 0xlim

≠ f (0)


2 x เม่ือ 23 x

2 x 0 เม่ือ x 33 x


ฟังกช์ัน่น้ีมีความต่อเน่ืองท่ีจุด x = 2 หรือไม่ 1. f ต่อเน่ือง 2. f ไม่ต่อเน่ือง เพราะ f(x) 2xlim หาค่าไม่ได ้



14

27(แนว มช) ก าหนด f (x) =

2 x เม่ือ k 10x

2 x เม่ือ 65x2x

จงหาค่า k ท่ีท าให ้ f เป็นฟังกช์ัน่ต่อเน่ืองท่ี x = 2

28. ก าหนด f (x) =

0x เม่ือk

0 x เม่ือ 2xx2x

ค่า k ท่ีท าใหฟั้งกช์ัน่น้ีต่อเน่ืองท่ีจุด x = 0 เท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี

1. 0 2. – 21 3. 2

1 4. 1

17.3 อตัราการเปลีย่นแปลง

อตัราการเปลี่ยนแปลงเฉลีย่ในช่วงหน่ึงๆ ใดๆ พิจารณาฟังกช์นั y = f (x)

อตัราการเปล่ียนแปลงของ y เทียบกบั x คืออตัราส่วนของค่า y ท่ีเปล่ียนต่อค่า x ท่ีเปล่ียน นัน่คือ อตัราการเปล่ียนแปลงของ y เทียบกบั x = x

y ΔΔ

อตัราการเปล่ียนแปลงของ y เทียบกบั x = 1x2x 1y2y


15

ถา้ก าหนดให ้ x1 = x จะได ้ y1 = f (x) x2 = x + h จะได ้ y2 = f (x + h) และ x = x2 – x1 = (x + h) – x = h y = y2 – y1 = f(x + h) – f (x)

ดงันั้น อตัราการเปล่ียนแปลงของ y เทียบกบั x = hf(x) h)(x f

เม่ือ x คือค่าของ x ท่ีจุดเร่ิมตน้ h คือค่าของ x ท่ีเปล่ียนไป

อตัราการเปลี่ยนแปลง ณ จุดหน่ึงๆ ใดๆ อตัราการเปล่ียนแปลง ณ จุด x หน่ึงๆ ใดๆ หาไดจ้าก

อตัราการเปล่ียนแปลงของ y เทียบกบั x ณ จุดใดๆ = hf(x) h)(x f เม่ือ h 0

อตัราการเปล่ียนแปลงของ y เทียบกบั x ณ จุดใดๆ = 0hLim hf(x) h)(x f

29. ก าหนดให้ x1 y อตัราการเปล่ียนแปลงเฉล่ียของ y เทียบกบั x เม่ือ x เปล่ียนจาก 4 ไปเป็น 5 มีค่าเท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. – 20 2. –0.05 3. 0.05 4. 20 30. ก าหนดให ้ y = 3x2 – 7 อตัราการเปล่ียนแปลงของ y เทียบกบั x เม่ือ x เปล่ียนจาก 4 ไป เป็น 4.1 มีค่าเท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 24.0 2. 24.1 3. 24.3 4. 24.5


16

31. ก าหนดให้ y = 2x2 – 3 อตัราการเปล่ียนแปลงของ y เทียบกบั x เม่ือ x เปล่ียนจาก 2 ไป เป็น 2.2 มีค่าเท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 8.0 2. 8.2 3. 8.4 4. 8.8 32. จากขอ้ท่ีผา่นมา อตัราการเปล่ียนแปลงของ y เทียบกบั x เม่ือ x = 2 มีค่าเท่ากบัขอ้ใด 1. 8.0 2. 8.2 3. 8.4 4. 8.8 33. ก าหนดปริมาณของควนัพิษในอากาศ N เปล่ียนแปลงไปตามเวลา t ตามสมการ N = t2 + 5 อตัราการเปล่ียนแปลงของควนัพิษในอากาศ ( N ) ขณะ t = 3 มีค่าเท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 0 2. 6 3. 14 4. 30


17

34. วตัถุช้ินหน่ึงเคล่ือนท่ีในแนวเส้นตรงโดยมีสมการเคล่ือนท่ีเป็น s = t2 + 6 โดย s เป็น ระยะทางมีหน่วยเป็นเมตร และ t เป็นเวลาท่ีใชใ้นการเคล่ือนท่ีมีหน่วยเป็นวินาที แลว้ความ เร็วของวตัถุขณะเวลาเป็น 1 วนิาที มีค่าเท่ากบัก่ีเมตรต่อวนิาที 1. 2 2. 9 3. 11 4. 17 35. จากขอ้ท่ีผา่นมา ความเร็วเฉล่ียของวตัถุจากเวลา 1 ถึง 3 วนิาที มีค่าเท่ากบัก่ีเมตรต่อวนิาที 1. 2 2. 4 3. 11 4. 17 36. อตัราการเปล่ียนแปลงของพื้นท่ีรูปส่ีเหล่ียมจตุัรัสเทียบกบัความยาวดา้น ขณะท่ีความยาวดา้น มีขนาดเท่ากบั 10 เซนติเมตร มีค่าเท่ากบัก่ีตารางเซนติเมตรต่อเซนติเมตร 1. 20 2. 22 3. 24 4. 25


18

37. จากขอ้ท่ีผา่นมา อตัราการเปล่ียนแปลงเฉล่ียของพื้นท่ีรูปส่ีเหล่ียมจตุัรัสเทียบกบัความยาวดา้น ช่วงท่ีความยาวด้านเปล่ียนจาก 10 ไปเป็น 12 เซนติเมตร มีค่าเท่ากบัก่ีตารางเซนติเมตรต่อ- เซนติเมตร 1. 20 2. 22 3. 24 4. 25

17.4 อนุพนัธ์ของฟังก์ชัน

อนุพนัธ์ของฟังกช์นั คืออตัราการเปล่ียนแปลง ณ จุดใดๆ นัน่คือ อนุพนัธ์ของฟังกช์นั = อตัราการเปล่ียนแปลง ณ. จุดใดๆ อนุพนัธ์ของฟังกช์นั = h

f(x) h)(x f เม่ือ h 0

อนุพนัธ์ของฟังกช์นั = 0hLim hf(x) h)(x f

อนุพนัธ์ของฟังกช์นั อาจเขียนแทนดว้ยสัญลกัษณ์ dxdy , dx

f(x)d , f (x) , y

หมายเหตุ : วธีิการหาอนุพนัธ์ของฟังกช์นัเรียก differentiation

17.5 การหาอนุพนัธ์ของฟังก์ชันพชีคณติโดยใช้สูตร

สูตรส าหรับหาอนุพนัธ์ สูตรที ่1 xd

cd = 0 เม่ือ c เป็นค่าคงตวั

สูตรที ่2 xd xd = 1

สูตรที ่3 xd nxd = n xn – 1

สูตรที ่4 xd f(x) cd = c xd

f(x)d เม่ือ c เป็นค่าคตวั


19

สูตรที ่5 dxg(x)) d(f(x) = xd

f(x)d xd g(x)d

สูตรที ่6 xd nd u n un–1 xd

d u

สูตรที ่7 xd v).(u d = xd

d uv + xd d vu

สูตรที ่8 dxvud

= 2vxd

d v u xd d uv

เม่ือ u = f (x) , v = g (x)

38. ก าหนดให ้ y = 2x5 + 10x4 – 7x3 – 9x2 + 3x + 6 แลว้ dxdy เท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี

1. 2x4 + 10x3 – 7x2 – 9x + 3 2. 10x4 + 40x3 – 21x2 – 18x + 3 3. 10x5 + 40x4 – 21x3 – 18x2 + 3x 4. 10x6 + 40x5 – 21x4 – 18x3 + 3x2

39. ก าหนดให ้ y = 7x5 – 10x3 – 3x2 – 9x + 6 + 4x–2 –2x–3 แลว้ dxdy เท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี

1. 7x6 – 10x4 – 3x3 – 9x2 + 6x + 4x–1 –2x–2 2. 35x6 – 30x4 – 6x3 – 9x2 + 6x – 8x–1 + 6x–2 3. 35x4 – 30x2 – 6x – 9 – 8x–3 + 6x–4 4. 7x4 – 10x2 – 3x – 9 + 4x–3 – 2x–4


20

40. ก าหนดให ้ f (x) = 2x20 + 10x13 – 2x7 – 4 แลว้ f (x) เท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 20x21 + 13x14 – 7x8 2. 40x19 + 130x12 – 14x6 3. 20x21 + 13x14 – 7x8 4. 40x19 + 130x12 – 14x6 41. ก าหนดให ้ f (x) = x–3 –4x–5 –3x–7 แลว้ f (x) เท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. –3x–2 + 20x–4 + 21x–6 2. –3x–4 + 20x–6 + 21x–8 3. –3x–2 – 5x–4 – 7 x–6 4. –3x–4 – 5x–6 – 7x–8 42. ก าหนดให ้ f (x) = 6x

7 4x3 2x

1 แลว้ f (x) เท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี

1. –2x–2 – 12x–4 – 42 x–6 2. –x–2 + 3x–4 + 7 x–6 3. –2x–3 – 12x–5 – 42 x–7 4. –x–3 + 3x–5 + 7 x–7


21

43. ก าหนดให ้ f (x) = 35

x + 32

x แลว้ f (x) เท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี

1. 35

x35 + 3

2x3

2 2. 32

x35 + 3

1x3

2

3. 38

x35 + 3

5x3

2 4. 32

x + 31

x

44. ก าหนดให ้ f (x) = x แลว้ f (x) เท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี

1. x21 2.

3x2

1 3. 3x2

1 4. x2

1

45. ก าหนดให ้ f (x) = 6 x แลว้ f (x) เท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี

1. 3 x 2. 3 3

x 3. 3x 2

3 4. x

3


22

46. ก าหนดให ้ f (x) = )x3x3x( แลว้ f (x) เท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี

1. 3x + 1 2. 2x + 1 3. 3x 4. 2x

47. ก าหนดให ้ y = (x2 + 4)2 แลว้ dxdy เท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี

1. 2x 2. 4x2 3. 4x3 4. 4x3 + 16x

48. ก าหนด f (x) = xx ค่าของ f (–2) + f (3) เป็นเท่าใด 1. 10 2. –2 3. 2 4. 6


23

49. ก าหนดให ้ f (x) = (4x2 – 5)7 แลว้ f (x) เท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. (4x2 – 5)6 2. 7(4x2 – 5)6 3. 8x (4x2 – 5)6 4. 56x (4x2 – 5)6

50. ก าหนดให ้ f (x) = (2x – 3)8 แลว้ f (x) เท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 8 x7 2. 16 x7 3. 8 (2x – 3)7 4. 16 (2x – 3)7

51. ก าหนดให ้ f (x) = 84x แลว้ f ( 3 ) เท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 4

1 2. 21 3. 1 4. 2


24

52. ก าหนดให ้ f (x) = (4x2 – 3) ( 3x + 5) แลว้ f (x) เท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 8 2. 36x + 1 3. 36x2 + 40x – 9 4. 8x2 + 12x – 9

53. ก าหนดให ้ f (x) = ( 2x – 3) (3x2 + 5) แลว้ f (x) เท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 18x2 – 18x + 10 2. 18x3 – 18x2 + 10x 3. 6x2 – 12x + 10 4. 6x3 – 12x2 + 10x

54. ก าหนดให ้ f (x) = (2x + 1) (x – 3)3 แลว้ f (0) เท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. –18 2. –27 3. –54 4. –81


25

55. ก าหนด f (x) = x . h (x) และ h (0) = 2 , h (0) = 1 แลว้ค่าของ f (0) มีค่าเท่ากบั 1. 0 2. 2 3. 3 4. หาค่าไม่ได ้

56. ก าหนดให ้ f (x) = 2x 11 2x

แลว้ f (x) เท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี

1. 42x) (1 2. 4

22x) (1 3. 2x) (14

4. 22x) (14

57. ก าหนดให ้ f (x) = 4 x x แลว้ f (x) เท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี

1. 44)(x 2. 4

24)(x 3. 24)(x 4

4. 4)(x 4


26

58(แนว En) ให ้ u และ v เป็นฟังกช์นัของ x โดยท่ี v (x) = 2x2 – 17 ถา้ f (x) = (x)v (x)u

และ u (3) = 1 , u (3) = 0 แลว้ค่าของ f ( 3 ) เท่ากบัเท่าใด 1. –12 2. –5 3. 5 4. 12

59(แนว En) ให ้ u เป็นฟังกช์นัท่ีหาอนุพนัธ์ได ้ และ u (1) = –2 , u (1) = 0 ถา้ f (x) =

2 2xx) (u

แลว้ f (1) มีค่าเท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี

1. – 94 2. 9

4 3. 32 4. หาค่าไม่ได ้

17.6 อนุพนัธ์ของฟังก์ชันประกอบ

ถา้ y = (gof) (x) = g[f (x)] แลว้ จะไดว้า่ dx

dy = dxf(x)d f(x)d

[f(x)]g d

หรือ (gof) (x) = g ( f (x) ) . f(x)

และหากก าหนดให ้ u = f (x) และ y = g (u) แลว้ จะไดว้า่ dx

dy = dxd u d u

d y

สูตรน้ีเรียก “กฎลูกโซ่ (chain rule) ”


27

60. ก าหนดให ้ y = u2 + 3u + 2 และ u = 5x แลว้ ค่า dxdy ท่ีจุด x = 51 เท่ากบัขอ้ใด

1. 10 2. 15 3. 20 4. 25 61. ก าหนดให ้ y = t2 + 2 และ t = 3

1 (x – 2) แลว้ ค่า dxdy เม่ือ x = –1 เท่ากบัขอ้ใด

1. 31 2. 3

2 3. 31 4. 3

2

62. ก าหนดให ้ g (x) = 3x2 และ f (x) = x + 2 แลว้ (g o f)(x) เท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 6x + 12 2. 6x 3. 6x2 + 12 4. 6x2


28

63. ก าหนดให ้ g (x) = 2x2 และ f (x) = 3x2 + 1 แลว้ (g o f)(1) เท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 0 2. 12 3. 72 4. 96

64. ก าหนดให ้ f (x) = 1 2x 1 7x

, g(2) = 2 , g(3) = 4 , g(2) = 2 , g(3) = 1.5

แลว้ (g o f) (2) มีค่าเท่ากบัเท่าใด 65(แนว En) ก าหนดให้ f (x) = 3x + 1 และ (f o g)(x) = 3x2 + 3 แล้ว g ( 0 ) มีค่า เท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 0 2. 1 3. 3 4. 13


29

17.7 อนุพนัธ์อนัดับสูง

พจิารณาตัวอย่าง ให ้ f (x) = 5x3 – 6x2 + 2x – 3 จะได ้ f (x) = dx

dy = 15x2 – 12x + 2 เรียกอนุพนัธ์อนัดบั 1

f (x) = 2xd y2d = xd

2) 12x 2(15xd = 30x – 12 เรียกอนุพนัธ์อนัดบั 2

f (x) = 3xd y3d = xd

12) (30x d = 30 เรียกอนุพนัธ์อนัดบั 3

f(4) (x) = 4xd y4d = xd

30d = 0 เรียกอนุพนัธ์อนัดบั 4

: f (n) (x) = ndx

ynd เรียกอนุพนัธ์อนัดบั n

66. ก าหนดให ้ f (x) = x4 – 2x3 + x2 – 5x + 4 แลว้ f (1) มีค่าเท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 6 2. 12 3. 18 4. 24

67. ก าหนดให ้ f (x) = (3– 2x)4 ค่าของ f (1) เท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. –12 2. 12 3. 24 4. 48


30

68. ก าหนดสมการการเคล่ือนท่ีของวตัถุชิ้นหน่ึงเป็น s = t3 + 2t – 1 เม่ือ s แทนระยะทางเป็นเมตร และ t แทนเวลาเป็นวนิาที จงหา ก. ความเร็วของวตัถุในวนิาทีท่ี 3 ในหน่วย เมตร/วนิาที ข. ความเร่งของวตัถุในวนิาทีท่ี 3 ในหน่วย เมตร/วนิาที2 1. ก. 29 ข. 15 2. ก. 30 ข. 15 3. ก. 29 ข. 18 4. ก. 30 ข. 18 69. วตัถุช้ินหน่ึงเคล่ือนท่ีในแนวเส้นตรง โดยมีสมการเคล่ือนท่ี s = 3t2 – 4t + 6 โดย s เป็น ระยะทางมีหน่วยเป็นเมตร และ t เป็นเวลาท่ีใช้ในการเคล่ือนท่ีมีหน่วยเป็นวินาที ความเร็ว ขณะเวลาเท่ากบั 1 วนิาที มีค่าเท่ากบัก่ีเมตรต่อวนิาที 1. 2 2. 3 3. 4 4. 5 70. จากขอ้ท่ีผา่นมา ความเร็วเฉล่ียของวตัถุจากเวลา 1 ถึง 2 วนิาที มีค่าเท่ากบัก่ีเมตรต่อวินาที 1. 2 2. 3 3. 4 4. 5


31

17.8 การประยุกต์ของอนุพนัธ์

17.8.1 การหาลมิิตของฟังก์ชันโดยใช้อนุพนัธ์

71. 42x83x

2xlim

มีค่าเท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี

1. 0 2. 1 3. 3 4. 4

72. ค่าของ 1x23x

1xlim

เท่ากบัค่าในขอ้ใดต่อไปน้ี

1. –2 2. 41 3. 0 4. ไม่มีลิมิตท่ี 1

17.8.2 การหาความชันเส้นโค้ง ถา้ y = f (x) เป็นสมการเส้นโคง้ แลว้จะไดว้า่ 1. ความชนัของเส้นโคง้ท่ีจุด (x , y) ใดๆ จะเท่า กบัความชนัของเส้นสัมผสัเส้นโคง้ ณ. จุดนั้นๆ เสมอ 2. ความชนัของเส้นโคง้ท่ีจุด (x , y) ใดๆ = dx

dy = f (x)

ขั้นตอนการหาความชันเส้นโค้ง ณ จุด (x , y) ใดๆ

ขั้นที ่1 หา f (x) ของฟังกช์นัเส้นโคง้นั้น ขั้นที่ 2 แทนค่า x และ y ของจุด (x , y) นั้นลงใน f (x) แลว้ผลลพัธ์ท่ีได้จะเท่ากบัความชนัเส้นโคง้ท่ีตอ้งการ


32

73. ก าหนดเส้นโคง้หน่ึงมีสมการเป็น y = x2 + 2x + 3 ค่าความชนัของเส้นโคง้ท่ีจุด (1 , 6) มี ค่าตรงกบัค่าในขอ้ใด 1. –4 2. 0 3. 4 4. 6

74(แนว มช) ความชนัของเส้นสัมผสัเส้นโคง้ y = 3x4x 1 ณ จุด (1 , 0 ) มีค่าเท่ากบัขอ้ใด

1. –4 2. –2 3. 2 4. 4

75. ถา้เส้นตรงซ่ึงผา่นจุด (–1 , 12) สัมผสักราฟของ f (x) = k (x – 2)2 ท่ีจุด (1 , k) แลว้ k มี ค่าเท่ากบัเท่าใด


33

76. จุดบนเส้นโคง้ y = x2 – 3x – 4 ท่ีมีความชนัของเส้นสัมผสัเท่ากบั 1 คือขอ้ใดต่อไปน้ี 1. ( 2

3 , 0 ) 2. (2 , 0) 3. ( 23 , 4

25 ) 4. (2 , –6)

77(แนว มช) สมการของเส้นสัมผสัเส้นโคง้ y = x3 + x3 ท่ีจุด (1 , 4) คือขอ้ใดต่อไปน้ี 1. x + y – 5 = 0 2. y = 4 3. 2x + y – 6 = 0 4. x – y +3 = 0


34

78. ก าหนดเส้นโคง้มีสมการเป็น y = 2x3 – 3x2 + x – 5 สมการของเส้นตรงซ่ึงตั้งฉากกบัเส้น สัมผสัท่ีจุดสัมผสั (3 , 25) คือขอ้ใดต่อไปน้ี

1. y – 25 = – 371 (x – 3) 2. (y – 25) = –37 (x – 3)

3. y – 25 = 371 (x – 3) 4. (y – 25) = 37 (x – 3)

17.8.3 การตรวจสอบความเป็นฟังก์ชันเพิม่และฟังก์ชันลด ฟังกช์นั f จะเป็นฟังกช์นัเพิ่มในช่วงใดๆ ได ้ก็ต่อเม่ือ ถา้โดเมน ( x ) มีค่าเพิ่มข้ึนแลว้เรนจ ์( y ) เพิ่มข้ึนเช่นกนั กราฟของฟังกช์นัแบบน้ีจะมี ลกัษณะสูงข้ึนไปทางดา้นขวามือ ความชนัเส้น กราฟจะมีค่าเป็นบวก ฟังกช์นั f จะเป็นฟังกช์นัลดในช่วงใดๆ ได ้ก็ต่อเม่ือ ถา้โดเมน ( x ) มีค่าเพิ่มข้ึนแลว้เรนจ ์( y ) จะตอ้งมีค่าลดลง กราฟของฟังกช์นัแบบน้ีจะมี ลกัษณะต ่าลงไปทางดา้นขวามือ ความชนัเส้น กราฟจะมีค่าเป็นลบ

X

Y

X

Y


35

ขั้นตอนการตรวจสอบความเป็นฟังก์ชันเพิม่หรือลดของฟังก์ชัน ณ.จุด (x , y) ใดๆ ขั้นที ่1 หา f (x) ของฟังก์ชนัเส้นโคง้นั้น ขั้นที ่2 แทนค่า x และ y ของจุด (x , y) นั้นลงใน f (x) ขั้นที ่3 ถา้ f (x) > 0 จะสรุปไดว้า่เป็นฟังกช์นัเพิ่ม ณ.จุด (x , y) นั้น ถา้ f (x) < 0 จะสรุปไดว้า่เป็นฟังกช์นัลด ณ.จุด (x , y) นั้น

หมายเหตุ : หากค่า f (x) = 0 แสดงวา่ ณ.จุด (x , y) นั้น ฟังก์ชนัจะไม่เพิ่มไม่ลด เรียกจุดนั้นวา่เป็นจุดวิกฤติของฟังก์ชัน ซ่ึงอาจเป็นจุดสูงสุด หรือจุดต ่าสุดของฟังก์ชนัก็ได ้ ดงัแสดงในรูป และค่า x ณ.ท่ีจุดวกิฤติ เรียกวา่ค่าวกิฤติ 79. ท่ีจุด x = –2 ฟังกช์นัต่อไปน้ีจะเป็นฟังกช์นัเพิ่มหรือลด ก. f (x) = x3 + 2x2 + x – 5 ข. f (x) = 2x4 + x – 6 1. ก. เพิ่ม ข. เพิ่ม 2. ก. เพิ่ม ข . ลด 3. ก. ลด ข. เพิ่ม 4. ก. ลด ข . ลด


36

80(แนว Pat1) ก าหนดให ้ f (x) = x4 – 3x2 + 7 แลว้ f เป็นฟังกช์นัเพิ่มบนเซตในขอ้ใดต่อไปน้ี 1. (–3 , –2) (2 , 3) 2. (–5 , –2) (1 , 2) 3. (–5 , –4) (4 , 5) 4. (–1 , 0) (4 , 5) 17.8.4 การหาค่าต ่าสุดและค่าสูงสุด บทนิยาม ฟังกช์นั f มีค่าสูงสุดสัมพทัธ์ท่ี x = c ถา้มีช่วง (a , b) Df และ

c (a , b) โดยท่ี f ( c) > f (x) ส าหรับทุก x ในช่วง (a , b) ท่ี x c ฟังกช์นั f มีค่าต ่าสุดสัมพทัธ์ท่ี x = c ถา้มีช่วง (a , b) Df และ c (a , b) โดยท่ี f ( c) < f (x) ส าหรับทุก x ในช่วง (a , b) ท่ี x c

บทนิยาม ฟังกช์นั f มีค่าสูงสุดสัมบูรณ์ท่ี x = c ท่ี f(c) > f (x) ส าหรับทุก x ในโดเมนของ f ท่ี x c

ฟังกช์นั f มีค่าต ่าสุดสัมบูรณ์ท่ี x = c ท่ี f(c) < f (x) ส าหรับทุก x ในโดเมนของ f ท่ี x c

หรือจะกล่าวง่ายๆอีกอยา่งก็คือ ค่าสูงสุดสัมพัทธ์ คือค่าสูงสุดของเส้นโคง้ของกราฟของฟังก์ชนัซ่ึงอาจมีหลายค่าก็ได ้ หากกราฟมีเส้นโคง้หลายช่วง ค่าต ่าสุดสัมพัทธ์ คือค่าลึกสุดของเส้นโคง้ของกราฟของฟังก์ชนัซ่ึงอาจมีหลายค่าก็ได ้ หากกราฟมีเส้นโคง้หลายช่วง ค่าสูงสุดสัมบูรณ์ คือค่าท่ีสูงท่ีสุดของกราฟของฟังกช์นัตลอดช่วงท่ีพิจารณา ซ่ึงจะมีค่าเดียว ค่าต ่าสุดสัมบูรณ์ คือค่าท่ีต ่าท่ีสุดของกราฟของฟังกช์นัตลอดช่วงท่ีพิจารณา ซ่ึงจะมีค่าเดียว


37

ตัวอย่างเช่น จากกราฟของฟังกช์นัต่อไปน้ีจะไดว้า่

จากรูป 1 f(x2) และ f(x4) เป็นค่าต ่าสุดสัมพทัธ์ จากรูป 2 f(x2) เป็นค่าสูงสุดสัมพทัธ์ f(x3) และ f(x5) เป็นค่าสูงสุดสัมพทัธ์ f(x3) เป็นค่าต ่าสุดสัมพทัธ์ f(x1) เป็นค่าสูงสุดสัมบูรณ์ f(x4) เป็นค่าสูงสุดสัมบูรณ์ f(x6) เป็นค่าต ่าสุดสัมบูรณ์ f(x3) เป็นค่าต ่าสุดสัมบูรณ์

ขั้นตอนการหาค่าสูงสุดและค่าต ่าสุดสัมพทัธ์ ขั้นที ่1 หา f (x) ของฟังกช์นัเส้นโคง้ ขั้นที ่2 ก าหนดให ้ f (x) = 0 แลว้แกส้มการหาค่า x ขั้นที่ 3 แทนค่า x ลงในฟังก์ชนัเส้นโคง้ จะได้ f (x) อนัเป็นค่าสูงสุดสัมพทัธ์ หรือต ่าสุดสัมพทัธ์ หรือจุดเปล่ียนเวา้เส้นโคง้ ฝึกท า จากกราฟท่ีก าหนดให ้ จงหาค่าต ่าสุด สูงสุด สัมพทัธ์และสัมบูรณ์

ค่าต ่าสุดสัมพทัธ์คือ ......... ค่าต ่าสุดสัมพทัธ์คือ ......... ค่าสูงสุดสัมพทัธ์คือ ......... ค่าสูงสุดสัมพทัธ์คือ ......... ค่าต ่าสุดสัมบูรณ์คือ ......... ค่าต ่าสุดสัมบูรณ์คือ ......... ค่าสูงสุดสัมบูรณ์คือ ......... ค่าสูงสุดสัมบูรณ์คือ .........


38

81. ฟังกช์ัน่ f (x) = x2 + 4x + 8 มีค่าต ่าสุดสัมพทัธ์หรือสูงสุดสัมพทัธ์เท่ากบัเท่าใด 1. มีค่าต ่าสุดสัมพทัธ์ เท่ากบั –6 2. มีค่าต ่าสุดสัมพทัธ์ เท่ากบั 4 3. มีค่าสูงสุดสัมพทัธ์ เท่ากบั –6 4. มีค่าสูงสุดสัมพทัธ์ เท่ากบั 4

82. ฟังกช์ัน่ f (x) = –x2 + 4x – 10 มีค่าต ่าสุดสัมพทัธ์หรือสูงสุดสัมพทัธ์เท่ากบัเท่าใด 1. มีค่าต ่าสุดสัมพทัธ์ เท่ากบั –6 2. มีค่าต ่าสุดสัมพทัธ์ เท่ากบั 4 3. มีค่าสูงสุดสัมพทัธ์ เท่ากบั –6 4. มีค่าสูงสุดสัมพทัธ์ เท่ากบั 4


39

83. ก าหนดสมการเส้นโคง้เป็น f (x) = x3 – 6x2 + 9x – 8 ถ้า a และ b เป็นค่าสูงสุดสัมพทัธ์ และค่าต ่าสุดสัมพทัธ์ตามล าดบัแลว้ค่าของ a + b ตรงกบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. –12 2. –10 3. 2 4. 8

84(แนว มช) ถา้ x เป็นค่าท่ีท าให ้ y = 12x – x3 มีค่าต ่าสุด แลว้ x มีค่าเท่าใด


40

85. ก าหนด f (x) = x3 ขอ้ความใดถูกตอ้ง 1. f มีทั้งค่าสูงสุดสัมพทัธ์และ ค่าต ่าสุดสัมพทัธ์ 2. f มีค่าสูงสุดสัมพทัธ์ แต่ ไม่มีค่าต ่าสุดสัมพทัธ์ 3. f มีค่าต ่าสุดสัมพทัธ์ แต่ไม่มีค่าสูงสุดสัมพทัธ์ 4. f ไม่มีทั้งค่าสูงสุดสัมพทัธ์ และค่าต ่าสุดสัมพทัธ์ การหาค่าสูงสุดและค่าต ่าสุดสัมบูรณ์ ขั้นที ่1 หาค่าต ่าสุดและค่าสุดสัมพทัธ์ก่อน ขั้นที ่2 หาค่า f (x) ณ จุดตรงปลายเส้นโคง้ ขั้นที ่3 เปรียบเทียบค าตอบของขั้น 1 และขั้น 2 f (x) ท่ีสูงท่ีสุดจากการเปรียบเทียบจะเป็น ค่าสูงสุดสัมบูรณ์ f (x) ท่ีต ่าท่ีสุดจากการเปรียบเทียบจะเป็น ค่าต ่าสุดสัมบูรณ์


41

86. ก าหนดให ้ f (x) = x4 –8x2 + 16 ผลบวกของค่าสูงสุด และค่าต ่าสุดสัมบูรณ์ของ f ในช่วง [–3 , 4] มีค่าเท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 12 2. 24 3. 144 4. 256 87. ก าหนดให้ f (x) = 2x3 – x2 – 4x –1 ค่าสูงสุดสุดสัมบูรณ์ของ f ในช่ว ง [–1 , 2] มีค่า เท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 0 2. 3 3. 4 4. 5


42

หลกัการทัว่ๆ ไป ของการท าโจทย์ประยุกต์หาค่าสูงสุดหรือค่าต ่าสุด 1. ก าหนดส่ิงท่ีมีค่ามากท่ีสุดหรือนอ้ยท่ีสุดเป็น y และส่ิงท่ีมีการแปรเปล่ียนในโจทยเ์ป็น x 2. น าขอ้มูลของโจทยม์าสร้างสมการแสดงความสัมพนัธ์ระหวา่ง y กบั x ใหไ้ดแ้ละสมการน้ี จะตอ้งมีแต่ตวัแปร x และ y เพียง 2 ตวัแปรเท่านั้น 3. หา dx

dy

4. ให ้ dxdy = 0 แกส้มการหาค่า x

5. แทนค่า x ลงใน f (x) จะไดค้่าสูงสุดหรือต ่าสุดท่ีตอ้งการ

88. มีเส้นลวดยาว 100 ม. จะน าไปลอ้มสวนผกัริม แม่น ้า ตอ้งลอ้มร้ัวรูปส่ีเหล่ียมผนืผา้รอบสวนผกั ริมแม่น ้าใหมี้ความกวา้งก่ีเมตร จึงจะท าใหส้วน ผกัมีพื้นท่ีมากท่ีสุด โดยใชแ้นวแม่น ้าเป็นดา้นๆ หน่ึงของร้ัว ( ถือวา่แนวแม่น ้ าตรงท่ีจะลอ้มร้ัวเป็นเส้นตรง และไม่ตอ้งลอ้มร้ัวดา้นน้ี )

89. จากขอ้ท่ีผา่นมา พื้นท่ีมากท่ีสุดท่ีลอ้มไดมี้ค่าก่ีตารางเมตร

แมน่ ำ้


43

90(แนว En) นายแดงตอ้งการจะกั้นร้ัวรอบท่ีดินรูปส่ีเหล่ียมผืนผา้ไวป้ลูกส้ม โดยใช้ร้ัวบา้นเป็นร้ัว ด้านหน่ึงของท่ีดินแปลงน้ี ถ้าเขามีลวดหนามยาว 400 เมตร เขาจะล้อมได้พื้นท่ีมากท่ีสุดก่ี ตารางเมตร 1. 10000 2. 15000 3. 20000 4. 40000 91. กล่องฐานส่ีเหล่ียมจตุัรัสท่ีสร้างจากกระดาษรูปส่ีเหล่ียมจตุัรัสซ่ึงมีดา้นยาว 18 นิ้ว ถา้การตดั มุมทั้ง 4 ออกเป็นส่ีเหล่ียมจตุัรัสเท่าๆ กนั และพบัข้ึนเป็นกล่อง ปริมาตรท่ีมากท่ีสุดของกล่องท่ี เป็นไปได ้ มีค่าเท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 430 ลบ . น 2. 432 ลบ . น

3. 433 ลบ . น 4. 444 ลบ . น


44

92. ช่างรองเท้าคนหน่ึงผลิตรองเท้าแล้วขายได้ x คู่ต่อสัปดาห์ ถ้าเขาขายไปคู่ละ 200 – 0.01x บาท และทุนท่ีใชผ้ลิตรองเทา้เท่ากบั 50x + 20000 บาท ถามวา่เขาจะตอ้งผลิตรองเทา้ออก ขาย สัปดาห์ละก่ีคู่จึงจะไดก้ าไรมากท่ีสุด 1. 6500 คู่ 2. 6900 คู่ 3. 7200 คู่ 4. 7500 คู่ 93. ในการประมาณการปลูกมันส าปะหลัง พบว่าถ้าขุดมันขณะน้ีจะได้มันส าปะหลัง 100 กิโลกรัม และขายไดกิ้โลกรัมละ 1.50 บาท ถา้ยงัไม่ขดุและรอต่อไปจะไดม้นัส าปะหลงั เพิ่มข้ึน สัปดาห์ละ 10 กิโลกรัม แต่ราคาขายจะลดลงไปสัปดาห์ละ 0.05 บาทต่อกิโลกรัม ดงันั้นควร ขายมนัส าปะหลงัเม่ือใดจึงจะมีรายไดจ้ากการขายมากท่ีสุด 1. ขายทนัที 2. ขายเม่ือสัปดาห์ท่ี 5 3. ขายเม่ือส้ินสัปดาห์ท่ี 10 4. ขายเม่ือส้ินสัปดาห์ท่ี 15


45

17.9 ปฏยิานุพนัธ์

การหาปริพนัธ์ (integration) คือการกระท าตรงกนัขา้มกบัการหาอนุพนัธ์ของฟังกช์นั ผลลพัธ์ท่ีไดจ้ากการหาปริพนัธ์ เรียกปฏิยานุพนัธ์ (Antiderivative)

ตัวอย่าง ถา้ dxdy = f (x)

จะไดว้า่ y + c = dx f(x)

ถา้ F (x) = f (x) จะไดว้า่ F (x) + c = dx f(x) dx f(x) อ่านวา่ “ ปริพนัธ์ (integral) ไม่จ ากดัเขตของ f (x) เทียบกบั x ”

17.10 ปริพนัธ์ไม่จ ากดัเขต สูตรส าหรับการหาปริพนัธ์ (integration) ไม่จ ากดัเขต สูตรที ่1 c x k dx k เม่ือ k , c คือค่าคงตวั

สูตรที ่2 dx nx = 1n1nx

+ c เม่ือ c คือค่าคงตวั

สูตรที ่3 dx f(x) k = dx f(x)k + c เม่ือ k , c คือค่าคงตวั สูตรที ่4 dx g(x) f(x) = dx g(x) dx f(x)

94. ก าหนดให ้ dxdy = 8 x3 – 6 x2 + 10x + 5 แลว้ y เท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี

1. y = 2 x4 – 2 x3 + 5 x2 + 5x 2. y = 2 x4 – 2 x3 + 5 x2 + 5x + c 3. y = 24 x3 – 12 x2 + 10 4. y = 24 x3 – 12 x2 + 10 + c

เคร่ืองหมำยปริพนัธ์ ผลตำ่งเชิงอนพุนัธ์

ปริพทัธ์ ปฏิยำนพุนัธ์


46

95. ก าหนดให ้ dxdy = 10x – 7 แลว้ y เท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี

1. y = 5x2 – 7x 2. y = 5x2 – 7x + c 3. y = 10 + c 4. y = 10

96. ก าหนดให ้ f (x) = )3x1 10(x แลว้ f (x) เท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี

1. f (x) = x11 + x–2 + c 2. f (x) = 111x

1 + 2

2x + c

3. f (x) = x11 + x–4 + c 4. f (x) = 111x

1 + 2

4x + c

97. ก าหนดให ้ f (x) = x2

1 2x1 แลว้ f (x) เท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี

1. f (x) = – 3x 31 + x + c 2. f (x) = – x1 + x + c

3. f (x) = – 3x 31 +

x1 + c 4. f (x) = – x1 +

x1 + c


47

โปรดสังเกต dxdy อินทิเกรตแลว้จะได ้ y

ดงันั้น f (x) อินทิเกรตแลว้จะได ้ f (x) f (x) อินทิเกรตแลว้จะได ้ f (x)

98. เส้นโคง้ y = f (x) มีความชนัของเส้นตรงสัมผสัเส้นโคง้ท่ีจุด (x , y) ใดๆ ท่ีเส้นโคง้ผา่น เป็น 2x + 1 และเส้นโคง้ผา่นจุด (2 , 1) แลว้สมการเส้นโคง้น้ีคือขอ้ใด 1. y = x2 + x 2. y = x2 + x – 6 3. y = x2 + x – 5 4. y = x2 + x + 1 99. เส้นโคง้ y = f (x) มีความชนัของเส้นตรงสัมผสัเส้นโคง้ท่ีจุด (x , y) ใดๆ ท่ีเส้นโคง้ผา่นเป็น 2x3 + 4x และเส้นโคง้ผา่นจุด (0 , 5) แลว้สมการเส้นโคง้น้ีคือขอ้ใด 1. y = 6x + 4 2. y = 6x + 5 + C

3. y = 24x + 2x 4. y = 2

4x + 2x + 5


48

100. ถา้ f (x) = 4x3 + 2 x และ f (0) = 2 แลว้ f (x) เท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. f (x) = 12 x2 + 2 2. f (x) = 12 x2 + 2 + C 3. f (x) = x4 + x2 4. f (x) = x4 + x2 + 2

101(แนว En) ก าหนดให ้ f เป็นฟังกช์นัซ่ึง f (2) = –1 แลว้ f(1) = –3 และ f (x) = 3 ทุกค่า x แลว้ f (4) มีค่าเท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. –5 2. –1 3. 1 4. 5


49

102(แนว En) ถา้อตัราการเปล่ียนแปลงของความชนัของเส้นโคง้ y = f (x) ณ.จุดใดๆ มีค่าเป็น x – 1 และเส้นโคง้มีความชนัเป็น 1 ณ.จุด (–1 , 0) แลว้สมการของเส้นโคง้น้ีคือขอ้ใด

1. y = 22x – x – 2

1 2. y = 22x – x + 2

3

3. y = 63x – 2

2x – 2x + 6

1 4. y = x3 – 22x – 2

3x – 613

103. อนุภาคหน่ึงเคล่ือนท่ีจากจุดๆ หน่ึง เม่ือเวลาผา่นไป t วนิาที ดว้ยความเร็ว v = 4t3 + 2t – 1 เมตรต่อวินาที ขณะเร่ิมต้นจับเวลาอนุภาคเคล่ือนท่ีไปได้ระยะทาง 4 เมตร ระยะทางท่ี อนุภาคเคล่ือนท่ีไปไดใ้นวนิาทีท่ี 3 มีค่าเท่ากบัก่ีเมตร 1. 83 2. 87 3. 91 4. 97


50

104(แนว มช) ถา้ความเร่ง a = 18 – 4t2 และความเร็ว v = 0 เม่ือ t = 0 แลว้ความเร็ว v เม่ือ t = 3 มีค่าเท่ากบัเท่าใด

105(แนว มช) ถา้ dx 32x

1 = F (x) + C แลว้ F (x) จะเท่ากบัขอ้ใด

1. 32x 2. 32x1

3. 2

33)(2x 4. 3

23

3)(2x


51

17.11 ปริพนัธ์จ ากดัเขต

ปริพนัธ์ (integral) จ ากดัเขตของฟังก์ชนั f บนช่วง [a , b] เขียนแทนด้วย dx f(x)ba

อ่านวา่ “ ปริพนัธ์ (integral) จ ากดัเขตของ f จาก x = a ถึง x = b ” ทฤษฎบีทหลกัมูลของแคลคูลสั ให ้ f เป็นฟังกช์นัต่อเน่ืองบนช่วง [a , b] F (x) เป็นผลท่ีไดจ้ากการอินทิเกรต f (x) แลว้

dx f(x)ba = b

a F(x) = F(b) – F(a)

106. 4

1dx23x มีค่าเท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี

1. 45 2. 55 3. 60 4. 63

107. 4

2dx3x มีค่าเท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี

1. 45 2. 55 3. 60 4. 63


52

108(แนว Pat1) ถา้ความชนัของเส้นโคง้ y = f (x) ท่ีจุด (x , y) ใดๆ เท่ากบั 12x + 8 และ

10 xd f(x) = 8 แลว้ f (0) มีค่าเท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี

1. –1 2. 0 3. 1 4. 2

17.12 พืน้ทีท่ีปิ่ดล้อมด้วยเส้นโค้ง ก าหนด f เป็นฟังก์ชนัต่อเน่ืองบนช่วง [a , b] และ A เป็นพื้นท่ี ท่ีปิดลอ้มดว้ยเส้นโคง้ f กบัแกน x จาก x = a ถึง x = b แลว้ 1. ถา้ f (x) 0 ส าหรับทุกค่าของ x ท่ีอยูใ่นช่วง [a , b] และ A คือพื้นท่ีท่ีอยูเ่หนือ แกน X

จะได ้ A = b

adx f(x)

2. ถา้ f (x) 0 ส าหรับทุกค่าของ x ท่ีอยูใ่นช่วง [a , b] และ A คือพื้นท่ีท่ีอยูใ่ต ้แกน x

จะได ้ A = – b

adxf(x)

3. ให ้ f และ g เป็นฟังกช์นัต่อ เน่ืองบนช่วง [a , b] และ f (x) g(x) ส าหรับทุกๆ x [a , b] และ A คือ พื้นท่ี ท่ีปิดลอ้มดว้ยเส้นโคง้ f และ g จาก x = a ถึง x = b แลว้จะได ้

A = b

af(x) [ – g(x) ] dx


53

109. พื้นท่ีท่ีปิดลอ้มดว้ยเส้นโคง้ในรูปภาพ มีค่าเท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 3 2. 6 3. 9 4. 10 110. พื้นท่ีท่ีปิดลอ้มดว้ยเส้นโคง้ในรูปภาพ มีค่าเท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 30 2. 48 3. 66 4. 80

Y y = x2

–3 0 X

Y X

y = x2 – 25

0 3


54

111. พื้นท่ีของอาณาบริเวณท่ีลอ้มรอบโดยกราฟ ของ f (x) = 4 – x2 , x = 0 , x = 3 และ แกน X มีค่าเท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 3

23 2. 3

86 3. 30 4. 3

97

112. พื้นท่ีท่ีปิดลอ้มดว้ยเส้นโคง้ f (x) = 4x – x2 กบัแกน X มีค่าเท่ากบัก่ีตารางหน่วย 1. 3

17 2. 332 3. 3

38 4. 342

Y

X R1

R2 0 2 3

f(x) = 4 – x2


55

113. พื้นท่ีท่ีปิดล้อมด้วยเส้นโคง้ y = x2 – 6x กบัแกน X จาก x = –1 ถึง x = 4 มีค่า เท่ากบัก่ีตารางหน่วย 1. 3

70 2. 30 3. 22 4. 16

114. พื้นท่ีท่ีปิดลอ้มดว้ยเส้นโคง้ f (x) = x2 และเส้นตรง g(x) = x + 2 จาก x = 1 ถึง x = 2 มีค่าเท่ากบัก่ีตารางหน่วย 1. 6

8 2. 67

3. 65 4. 6

4

115. พื้นท่ีท่ีปิดลอ้มดว้ยเส้นกราฟ f (x) = 5x – x2 กบั g (x) = x มีค่าเท่ากบัก่ีตารางหน่วย 1. 8.33 2. 10.67 3. 21.33 4. 32.67

f(x) = x2

g(x) = x + 2

(2 , 4)

0 1 X

Y


56

เฉลยบทที ่ 17 แคลคลูสัเบื้องตน้

1. ตอบข้อ 1. 2. ตอบข้อ 2. 3. ตอบข้อ 2. 4. ตอบข้อ 1. 5. ตอบข้อ 4. 6. ตอบข้อ 4. 7. ตอบข้อ 3. 8. ตอบข้อ 3. 9. ตอบข้อ 2. 10. ตอบข้อ 3. 11. ตอบข้อ 3. 12. ตอบข้อ 2. 13. ตอบข้อ 3. 14. ตอบข้อ 3. 15. ตอบข้อ 3. 16. ตอบข้อ 2. 17. ตอบข้อ 2. 18. ตอบข้อ 4. 19. ตอบข้อ 2. 20. ตอบข้อ 3. 21. ตอบข้อ 4. 22. ตอบข้อ 2. 23. ตอบข้อ 1. 24. ตอบข้อ 4. 25. ตอบข้อ 2. 26. ตอบข้อ 1. 27. ตอบ 8.00 28. ตอบข้อ 2. 29. ตอบข้อ 2. 30. ตอบข้อ 3. 31. ตอบข้อ 3. 32. ตอบข้อ 1. 33. ตอบข้อ 2. 34. ตอบข้อ 1. 35. ตอบข้อ 2. 36. ตอบข้อ 1. 37. ตอบข้อ 2. 38. ตอบข้อ 2. 39. ตอบข้อ 3. 40. ตอบข้อ 4. 41. ตอบข้อ 2. 42. ตอบข้อ 3. 43. ตอบข้อ 2. 44. ตอบข้อ 4. 45. ตอบข้อ 4. 46. ตอบข้อ 4. 47. ตอบข้อ 4. 48. ตอบข้อ 1. 49. ตอบข้อ 4. 50. ตอบข้อ 4. 51. ตอบข้อ 3. 52. ตอบข้อ 3. 53. ตอบข้อ 1. 54. ตอบข้อ 2. 55. ตอบข้อ 2. 56. ตอบข้อ 4. 57. ตอบข้อ 3. 58. ตอบข้อ 1. 59. ตอบข้อ 2. 60. ตอบข้อ 4. 61. ตอบข้อ 2. 62. ตอบข้อ 1. 63. ตอบข้อ 4. 64. ตอบ 0.3 65. ตอบข้อ 2. 66. ตอบข้อ 2. 67. ตอบข้อ 4. 68. ตอบข้อ 3. 69. ตอบข้อ 1. 70. ตอบข้อ 4. 71. ตอบข้อ 3. 72. ตอบข้อ 2. 73. ตอบข้อ 3. 74. ตอบข้อ 1. 75. ตอบ 2.4 76. ตอบข้อ 4. 77. ตอบข้อ 2. 78. ตอบข้อ 3. 79. ตอบข้อ 2. 80. ตอบข้อ 4. 81. ตอบข้อ 2. 82. ตอบข้อ 3. 83. ตอบข้อ 1. 84. ตอบ 2. 85. ตอบข้อ 4. 86. ตอบข้อ 3. 87. ตอบข้อ 2. 88. ตอบ 25 89. ตอบ 1250 90. ตอบข้อ 3. 91. ตอบข้อ 2. 92. ตอบข้อ 4. 93. ตอบข้อ 3. 94. ตอบข้อ 2. 95. ตอบข้อ 2. 96. ตอบข้อ 2. 97. ตอบข้อ 2. 98. ตอบข้อ 3. 99. ตอบข้อ 4. 100. ตอบข้อ 4. 101. ตอบข้อ 4. 102. ตอบข้อ 3. 103. ตอบข้อ 3. 104. ตอบ 18. 105. ตอบข้อ 2. 106. ตอบข้อ 4. 107. ตอบข้อ 3. 108. ตอบข้อ 4.


57

109. ตอบข้อ 3. 110. ตอบข้อ 3. 111. ตอบข้อ 1. 112. ตอบข้อ 2. 113. ตอบข้อ 2 114. ตอบข้อ 2. 115. ตอบข้อ 2.


58

ตะลุยโจทย์ท ั่วไป บทที ่ 17 แคลคลูสัเบื้องตน้

17.1 ลมิติของฟังก์ชัน

1. จากกราฟท่ีก าหนดให ้ (x) f0x

lim

มีค่าเท่ากบัขอ้ใด ต่อไปน้ี 1. 0

2. 1 3. 2 4. หาค่าไม่ได ้

2. จากขอ้ท่ีผา่นมา (x) f0x

lim


1. 0 2. 1 3. 2 4. ไม่มีลิมิต

3. จากขอ้ท่ีผา่นมา (x) f0xlim


1. 0 2. 1 3. 2 4. ไม่มีลิมิต

4. จากขอ้ท่ีผา่นมา f (0) มีค่าเท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 0 2. 1 3. 2 4. ไม่มีลิมิต

5. จากกราฟท่ีก าหนดให ้ f(x)2x

lim

มีค่าเท่ากบัขอ้ใด ต่อไปน้ี 1. 0 2. 1 3. 2 4. หาค่าไม่ได ้

y = f (x)

y = f (x) Y

X 0 1

1

2

2 4 6 8 –2 X

Y

2

–2


59

6. จากขอ้ท่ีผา่นมา f(x)2x

lim


1. 0 2. 1 3. 2 4. หาค่าไม่ได ้

7. จากขอ้ท่ีผา่นมา f(x)2x lim


1. 0 2. 1 3. 2 4. ไม่มีลิมิต

8. จากขอ้ท่ีผา่นมา f(x)4xlim


1. 0 2. 1 3. 2 4. ไม่มีลิมิต

9. จากขอ้ท่ีผา่นมา f (4) มีค่าเท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 0 2. 1 3. 2 4. ไม่มีลิมิต

10. ก าหนดให ้ f (x) = 3x + 2x แลว้ f(x)2xlim


1. 0 2. 4 3. 6 4. 8

11. ก าหนดให ้ f (x) = 1x 13x 2x

แลว้ f(x)2xlim มีค่าเท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี

1. 0 2. 1 3. 2 4. 3

12. ก าหนดให ้ f (x) = x2 – 9 แลว้ f(x)3x

lim

+ f(x)3x

lim


1. 0 2. 1 3. 2 4. 3

13. ก าหนดให ้ f(x) = x1 แลว้ f(x)0xlim มีค่าตรงกบัค่าในขอ้ใดต่อไปน้ี

1. 0 2. 1 3. –1 4. ไม่มีลิมิต

14. ค่าของ 1x 53x 22x

1xlim

มีค่าเท่ากบัค่าในขอ้ใดต่อไปน้ี

1. 0 2. 2 3. 7 4. ไม่มีลิมิต

15. h 22hh 2 2hlim


1. 3 2. 2 3. 0 4.


60

16. ก าหนดให ้ A = 2x4 2x

2xlim

และ B = 3x3 2x

xlim

3

แลว้ค่าของ 2BA มีค่าเท่ากบัค่าในขอ้ใดต่อไปน้ี

1. 0 2. 31 3. 21 4. 3 2.

17. พิจารณาขอ้ความต่อไปน้ี

ก. 1 22)(x 2x 2x

2xlim

ข. 41

4 2x2x

2xlim

ขอ้ใดต่อไปน้ี 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผดิ 3. ก. ผดิ และ ข. ถูก 4. ก. ผดิ และ ข. ผดิ

18. ค่าของ 21)(x 2 x 2x 1xlim


1. 1 2. 2 3. 0 4. ไม่มีลิมิต

19. ค่าของ 4x 64 3x

4xlim


1. 4 2. 16 3. 48 4. ไม่มีลิมิต

20. ค่าของ x 283x

2xlim


1. –12 2. –10 3. 4 4. ไม่มีลิมิต

21. ค่าของ 65x 2x

27 3x3xlim


1. 1 2. 18 3. 27 4. ไม่มีลิมิต

22. ค่าของ 2yLim

y 2y1 2

1


1. –1 2. – 41 3. 41 4. 1

23. ค่าของ x1x x1x 0xlim


1. 0 2. 3. –1 4. หาค่าไม่ได ้


61

24. ถา้ 41 x1 f(x) และ 4x 1 g(x) ค่าของ g(x)] [f(x)4xlim


1. – 161 2. 0 3. 161 4. หาค่าไม่ได ้

25. ก าหนดให ้ A = x x 2x0xlim

และ B = x x2bx 3ax0xlim

แลว้ค่าของ AB คือค่าในขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 0 2. –1 3. 1 4. 3

26. ค่าของ 1x23x

1xlim


1. –2 2. 41 3. 0 4. ไม่มีลิมิตท่ี 1

27. ค่าของ x 3x 1 2

3xlim


1. 0 2. 41 3. 23 4. ไม่มีลิมิตท่ี 1

28. ค่าของ x4 2x 1 3

4xlim


1. 41 2. 31 3. 21 4. หาค่าลิมิตไม่ได ้

29. ค่าของ 3 52x

2x 2xlim


1. 0 2. 41 3. 23 4. ไม่มีลิมิตท่ี 1

30. ค่าของ 5x 3

x4 2xlim

2


1. 0 2. 1 3. 6 4. ไม่มีลิมิต

31. ค่าของ 1x lim

3 2x2x

1x


1. –1 2. 32 3. 1 4. ไม่มีลิมิต

32. ค่าของ 7x23 1x

7xlim


1. –2 2. –1 3. 121 4. ไม่มีลิมิต


62

33. ก าหนดให ้

2x เม่ือ4 2x เม่ือ 1 (x) f

แลว้ f(x)

2xlim

+ f(x)

2xlim

มีค่าเท่ากบัขอ้ใด

1. 0 2. 3 3. 5 4. 6


0x เม่ือ 1x0x เม่ือ2x (x) f

ค่าของ f(x)

0xlim

+ f(x)

0xlim

เท่ากบัขอ้ใด

1. 0 2. 1 3. 3 4. 3


2x เม่ือ 23x2x เม่ือ 22x f(x)

ค่าของ f(x) 2xlim เท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี

1. 0 2. 4 3. 5 4. ไม่มีลิมิต


0x เม่ือ 1x0x เม่ือx f(x)

ค่าของ f(x) 0xlim เท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี

1. 0 2. 4 3. 5 4. ไม่มีลิมิต


x1 เม่ือ 2x 1x0 เม่ือ 2

0x เม่ือ 1.998f(x) พิจารณาขอ้ความต่อไปน้ี

ก. 2f(x)0xlim

ข. f(x)1xlim หาค่าไม่ได ้

ขอ้ใดต่อไปน้ีถูก 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผดิ 3. ก. ผดิ และ ข. ถูก 4. ก. ผดิ และ ข. ผดิ


3 x ,2x 3 x , 2x f(x) ขอ้ใดต่อไปน้ีถูก

1. f(x)3x

lim f(x)3x

lim

2. f(x)3x

lim f(x)3x

lim

3. f(x)3x

lim f(x)3x

lim

4. 75 f(x)3xlim


63


.....(4)..........4 x , 32x

....(3)..........4 x 2 , 2x ..(2).......... . 2x2 , x2

...(1).......... 2x , 10

f(x) ค่าของ f(x)2x lim

เท่ากบัขอ้ใด

1. 0 2. 4 3. 15 4. ไม่มีลิมิต

40. จากขอ้ท่ีผา่นมา ค่าของ f(x)2xlim เท่ากบัขอ้ใด

1. 0 2. 4 3. 15 4. ไม่มีลิมิต


1. 0 2. 4 3. 15 4. ไม่มีลิมิต


1. 1 2. 5 3. 9 4. ไม่มีลิมิต

43. ก าหนดให้

12x เม่ือ x11

1 2x เม่ือ 2x1 (x) f

ค่าของ f(x)

1xlim

และ f(x)

1xlim

คือค่าในขอ้ใดต่อไปน้ี (ตอบตามล าดบั) 1. 0 , 0 2. –2 , 2 3. 0 , 1 4. 0 , ไม่มีลิมิต


1 2x เม่ือ 5x 23x 1 2x เม่ือ 2x1f(x)

ขอ้ใดต่อไปน้ีผดิ

1. 0 f(x)1x

lim

2. 4

f(x)1x

lim

3. 0 f(x)1x lim

4. 0 f(x)1xlim

45. ก าหนดให ้ x 5 x 7x x 3 f(x)

ค่าของ f(x)0x

lim

มีค่าเท่ากบัค่าในขอ้ใด

1. 61 2. 1 3. 2 4. 0


64

46. ก าหนดให ้ f(x) = x2x ถา้ a = f(x)

0xlim

และ b = f(x)

0xlim

แลว้ค่าของ

a + b ตรงกบัค่าในขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 0 2. –2 3. 2 4. 4

47. จงพิจารณา 1x|x1|

1xlim

มีค่าเท่าใด

1. –1 2. 1 3. 1 4. หาค่าลิมิตไม่ได ้

48. ก าหนดให ้ f(x) = 1x 12x

จงพิจารณาขอ้ความต่อไปน้ี

ก. f(x)1x

lim

= –2 ข. f(x)1x

lim

= 2

ขอ้สรุปใดถูก 1. ถูกทั้ง 2 ขอ้ 2. ขอ้ ก ถูก ขอ้ ข ผดิ 3. ขอ้ ก ผดิ ขอ้ ข ถูก 4. ผดิทั้งสองขอ้

49. ค่าของ 2x 22)(x

2xlim


1. –1 2. 0 3. 1 4. หาค่าไม่ได ้

50. ค่าของ 16 2x24)(x

4xlim


1. 0 2. 81 3. 4 4. ไม่มีลิมิต

51. ค่าของ 2x 6| 9 2x |

3xlim


1. 0 2. 32 3. 3 4. ไม่มีลิมิต

52. ค่าของ | 2 x 2x |22x

1xlim


1. 0 2. 32 3. 3 4. ไม่มีลิมิต

53. ก าหนดให ้ x 2424x f(x)

แลว้ค่าของ f(x) 2xlim มีค่าตรงกบัค่าในขอ้ใดต่อไปน้ี

1. –4 2. –2 3. 2 4. ไม่มีลิมิต


65

54. ก าหนดให ้ xxx f(x) แลว้ขอ้ใดต่อไปน้ีถูกตอ้ง

1. f(x)2x

lim

= –1 2. f(x)2x

lim

= 1

3. f(x)0x

lim

= 1 4. f(x)0x

lim

= 1

17.2 ความต่อเน่ืองของฟังก์ชัน


3x เม่ือ 5 3x เม่ือ 2x (x) f

ฟังกช์ัน่น้ีต่อเน่ืองท่ี x = 3 หรือไม่




2x เม่ือ 8

2x เม่ือ 2x42x

(x) f

ฟังกช์ัน่น้ีต่อเน่ืองท่ี x = 2 หรือไม่




4 x เม่ือ 52x8x

4 x เม่ือ 4x32x25

(x) f ฟังกช์ัน่น้ีต่อเน่ืองท่ี x = 4 หรือไม่

1. f ต่อเน่ือง 2. f ไม่ต่อเน่ือง เพราะ f(x) 4xlim

หาค่าไม่ได ้

3. f ไม่ต่อเน่ือง เพราะ f (4) หาค่าไม่ได ้ 4. f ไม่ต่อเน่ือง เพราะ f(x) 4xlim

≠ f (4)


66




22x f(x) ขอ้ใดต่อไปน้ีสรุปไดถู้กตอ้ง

1. f ต่อเน่ืองท่ี x = 2 2. f ไม่ต่อเน่ืองท่ี x = 2 เพราะ f(x) 2xlim หาค่าไม่ได ้

3. f ไม่ต่อเน่ืองท่ี x = 2 เพราะ f (2) หาค่าไม่ได ้ 4. f ไม่ต่อเน่ืองท่ี x = 2 เพราะ f(x) 2xlim ≠ f (2)


2x เม่ือ 3x2x เม่ือ 52x เม่ือ4 2x

f(x) ขอ้ใดต่อไปน้ีผดิ

1. 8 f(x)2x

lim

2. 8 f(x)2x

lim

3. f (2) หาค่าไม่ได ้ 4. f ต่อเน่ืองท่ี x = 2


0x , 10x ,x f(x) และ

0x ,x 0x ,x g(x) พจิารณาขอ้ความต่อไปน้ี

ก. f (x) ไม่ต่อเน่ืองท่ี x = 0 ข. g (x) ไม่ต่อเน่ืองท่ี x = 0 ขอ้ใดต่อไปน้ีถูก 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผดิ 3. ก. ผดิ และ ข. ถูก 4. ก. ผดิ และ ข. ผดิ


1x เม่ือ 31x

1x เม่ือ 2x 2

(x) f พิจารณาขอ้ความต่อไปน้ี

ก. f เป็นฟังกช์นัต่อเน่ืองท่ีจุดซ่ึง x = –1 ข. f เป็นฟังกช์นัต่อเน่ืองท่ีจุดซ่ึง x = 2 ขอ้ใดต่อไปน้ีถูก

1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผดิ 3. ก. ผดิ และ ข. ถูก 4. ก. ผดิ และ ข. ผดิ


67


2x เม่ือ 23x3x1 เม่ือ 52x

1x เม่ือ 23x (x) f

ขอ้ใดต่อไปน้ีถูก

1. f ต่อเน่ืองท่ี x = –1 แต่ไม่ต่อเน่ืองท่ี x = 3 2. f ต่อเน่ืองท่ี x = –1 และ x = 3 3. f ไม่ต่อเน่ืองท่ี x = –1 แต่ต่อเน่ืองท่ี x = 3 4. f ไม่ต่อเน่ืองท่ี x = –1 และ x = 3

63. ก าหนดให ้ 67x 2x1x (x) f

ขอ้ใดต่อไปน้ีสรุปไดถู้กตอ้ง

1. f ต่อเน่ืองท่ี x = –1 แต่ไม่ต่อเน่ืองท่ี x = –6 2. f ต่อเน่ืองท่ี x = –6 แต่ไม่ต่อเน่ืองท่ี x = –1 3. f ต่อเน่ืองท่ี x = –1 , –6 4. f ไม่ต่อเน่ืองท่ี x = –1 , –6


4x เม่ือ 32x2x

4x เม่ือ a2x (x) f

ถา้ฟังกช์นั f ต่อเน่ืองท่ี x = 4 แลว้ค่าของ a เท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 2 2. 3 3. 4 4. 5


3x เม่ือ 22x3xa

3x เม่ือ 4x (x) f

2 x

แลว้ค่าของ a ท่ีท าให ้ f ต่อเน่ืองท่ี x = 3 มีค่าเท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 6 2. 5 3. 4 4. 3


1x , bx1x ,4

1x ,ax (x) f เม่ือ a , b เป็นจ านวนจริง

ถา้ f เป็นฟังกช์นัต่อเน่ืองท่ีจุด x = 1 แลว้ (a + b) มีค่าเท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. –1 2. 1 3. 7 4. 9


68


2x ;k 3x2x ; h

2x ; 42x22)(x

(x) f

ถา้ฟังกช์นั f มีความต่อเน่ืองท่ี x = 2

แลว้ h + k มีค่าเท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. –4 2. –2 3. 0 4. 2


2x เม่ือ 1 kx

2x เม่ือ 2x6x2x

(x) f

ถา้ f ต่อเน่ืองท่ี x = 2 แลว้ค่า k มีค่าเท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 0 2. 1 3. 2 4. 3


2x เม่ือ 2x 42x

ริงเป็นจ านวนจ a โดยท่ี 2x เม่ือ a3xf(x)

ค่าของ a ท่ีท าใหฟั้งกช์นั f ต่อเน่ืองท่ี x = 2 คือขอ้ใดต่อไปน้ี 1. –2 2. 0 3. 1 4. 2


2 x เม่ือ

2x44x2x

2 x เม่ือ a f(x)

ถา้ f ต่อเน่ืองท่ี x = 2 แลว้ ค่าของ a มีค่าเท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. –1 2. 0 3. 1 4. 2


2 x 0 เม่ือ 2

2x หรือ 0 x เม่ือ 2 x 2x 2x f(x)

f เป็นฟังกช์นัไม่ต่อเน่ืองท่ี x เม่ือ x สอดคลอ้งกบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. x < 0 2. x = 0 3. 0 < x < 2 4. x = 2


69

72. ก าหนดให ้ 2x 42x f(x)

ถา้ตอ้งการให้ f เป็นฟังกช์นัต่อเน่ืองบนเซตของจ านวนจริงแลว้ จะตอ้งนิยามเพิ่มตามขอ้ใดต่อไปน้ี 1. f (x) = 4 เม่ือ x = 2 2. f (x) = 6 เม่ือ x = 2 3. f (x) = –4 เม่ือ x = –2 4. f (x) = –6 เม่ือ x = –2

73. ก าหนดให้ 4 2x

23x 2x f(x)

เม่ือ x ≠ 2 , x ≠ –2 จะตอ้งนิยามเพิ่มเติมตามขอ้ใด

จึงจะท าให ้ f (x) ต่อเน่ืองท่ี x = 2 1. f (2) = 2 2. f (2) = 4 3. f (2) = 41 4. f (2) = 21

17.3 อตัราการเปลีย่นแปลง

74. ก าหนดให้ y = x3 + 1 แล้วอตัราการเปล่ียนแปลงเฉล่ียของ y เทียบกบั x ในช่วงท่ี x เปล่ียนจาก 2 ไปเป็น 4 มีค่าเท่ากบัค่าในขอ้ใดต่อไปน้ี

1. 9 2. 25 3. 28 4. 65 2.

75. ก าหนดฟังก์ชันเป็น y = x3 – 2x2 – x + 1 อตัราการเปล่ียนแปลงเฉล่ียของ y เทียบกบั x เม่ือ x เปล่ียนจาก 1 ไปเป็น –3 มีค่าตรงกบัขอ้ใดต่อไปน้ี

1. –10 2. –4 3. 4 4. 10 2.

76. ก าหนดฟังก์ชนั y = 1 – x2 อตัราการเปล่ียนแปลงเฉล่ียของ y เทียบกบั x เม่ือเปล่ียน จาก 2 ไปเป็น 5 มีค่าเท่ากบัเท่าใดต่อไปน้ี

1. 7 2. –7 3. 8 4. –8 2.

77. ก าหนดให้ y = 2x2 – 3x + 2 และอตัราการเปล่ียนแปลงเฉล่ียของ y เทียบกบั x ในช่วง x = a ถึง x = 3 มีค่าเท่ากบั 5 แลว้ แลว้ค่าของ a เท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี

1. 0 2. 1 3. 2 4. 2.2

78. ก าหนดฟังก์ชนั y = f (x) และ f (1) = 0 , f (3) = 8 ถา้อตัราการเปล่ียนแปลงเฉล่ีย ของ y เทียบกบั x ในช่วง x = 3 ถึง x = 5 มีค่าเป็น 8 แลว้อตัราการเปล่ียนแปลงเฉล่ีย ของ y เทียบกบั x ในช่วง x = 1 ถึง x = 5 จะมีค่าเท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 4 2. 6 3. 8 4. 24


70

79. ก าหนดให้ y = 4x2 + 3 แลว้อตัราการเปล่ียนแปลงของ y เทียบกบั x ขณะ x = 3 มีค่า เท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 4 2. 6 3. 8 4. 24

80. ก าหนดให้ f (x) = x แลว้อตัราการเปล่ียนแปลงของ y เทียบกบั x ขณะท่ี x = 4 มีค่า เท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 4

1 2. 21 3. 2 4. 4

81. อตัราการเปล่ียนแปลงของพื้นท่ีรูปส่ีเหล่ียมจตุัรัสเทียบกบัความยาวของดา้น ขณะท่ีความยาว ของดา้นเท่ากบั 5 น้ิว มีค่าตรงกบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 10 2. 11 3. 13 4. 15

82. จากขอ้ท่ีผา่นมา อตัราการเปล่ียนแปลงเฉล่ียของพื้นท่ีรูปส่ีเหล่ียมจตุัรัสเทียบกบัความยาวดา้น ช่วงท่ีความยาวด้านเปล่ียนจาก 5 ไปเป็น 6 เซนติเมตร มีค่าเท่ากับก่ีตารางเซนติเมตรต่อ- เซนติเมตร 1. 10 2. 11 3. 13 4. 15

83. อตัราการเปล่ียนแปลงของพื้นท่ีคร่ึงวงกลมเทียบกบัรัศมี ขณะรัศมีของคร่ึงวงกลมมีค่าเท่ากบั 6 ฟุต มีค่าเท่ากบัก่ีตารางฟุตต่อฟุต 1. 6 2. 8 3. 10 4. 11

84. จากขอ้ท่ีผ่านมา อตัราการเปล่ียนแปลงเฉล่ียของพื้นท่ีคร่ึงวงกลมเทียบกบัรัศมี ในช่วงรัศมี ของคร่ึงวงกลมเปล่ียนจาก 6 ไปเป็น 10 ฟุต มีค่าเท่ากบัก่ีตารางฟุตต่อฟุต 1. 6 2. 8 3. 10 4. 11

85. อตัราการเปล่ียนแปลงของปริมาตรทรงกลมเทียบกบัความยาวรัศมี ขณะรัศมียาว 10 เซนติเมตร มีค่าเท่ากบัก่ีลูกบาศกเ์ซนติเมตร/เซนติเมตร 1. 380 2. 400 3. 420 4. 450


71

17.4 อนุพนัธ์ของฟังก์ชัน

17.5 การหาอนุพนัธ์ของฟังก์ชันพชีคณติโดยใช้สูตร

86. ก าหนดให ้ f (x) = x3 + x2 แลว้ f(x) เท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 3x2 + 2x 2. x2 + x 3. 3x2 – 2x 4. x2 – x

87. ก าหนดให ้ y = x5 – 5 แลว้ dxdy เท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี

1. x4 – 1 2. 5x4 – 1 3. 5x4 4. x4

88. ก าหนดให ้ y = 3x4 + 5x2 แลว้ dxdy เท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี

1. 12x3 – 10x 2. 12x3 + 10x 3. 3x3 + 5x 4. 3x3 – 5x

89. ก าหนดให ้ f (x) = 10x24x3x324x4

35x52 แลว้ f(x) เท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี

1. 2x4 – 3x2 + 2x2 – 8x 2. 5x4 – 4x2 + 3x2 – 4x 3. 2x4 – 3x2 + 2x2 – 8x – 1 4. 5x4 – 4x2 + 3x2 – 4x – 1

90. ก าหนดให ้ f (x) = x522x3

33x2 แลว้ f(1) เท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี

1. –8 2. –6 3. –4 4. –2

91. ก าหนดให ้ f (x) = 22x15x 23x34x แลว้ f(1) เท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี

1. –2 2. – 23 3. –1 4. – 2

1

92. ก าหนดให ้ y = x3 + x2 + 21x – 5 แลว้ dxdy เท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี

1. 3x2 + 2x + x 2 2. x2 + x + x 2 3. 3x2 + 2x +

x 21 4. x2 + x +

x 21

93. ก าหนดใหฟั้งกช์นั 2x3424x3512x373x (x) f ค่าของ h

f(x) h) f(x 0hlim

เม่ือ x = 8

เท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 0 2. 1 3. 2 4. 3


72


0x เม่ือ2x 2x0x เม่ือ2x 2xf(x) แลว้ f (– 21 ) มีค่าเท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี

1. –3 2. 0 3. 1 4. 2

95. ก าหนดให ้ k (x) = 3x2 – 1 + f (x) ถา้ f (2) = –1 แลว้ k(2) มีค่าเท่ากบัขอ้ใด 1. 10 2. 11 3. 12 4. 13

96. ก าหนดให ้ f (x) = 21)x(2 แลว้ f (4) มีค่าเท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 5 2. 7 3. 8 4. 10

97. ก าหนดให ้ f (x) = (x3 – 2)10 แลว้ f (x) เท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 10 x30 2. 10 (x3 –2)9 3. 10 x2 (x3 – 2)9 4. 30 x2 (x3 – 2)9

98. ก าหนดให ้ f (x) = 3 2x แลว้ f (x) เท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 2x 2. 2x

1 3. 32x

1

4. 32x

x

99. ก าหนดให ้ 42xf(x) แลว้ค่าของ f(0) คือขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 41 2. 21 3. 1 4. 2

100. ก าหนดให ้ f (x) = 3 21)(x แลว้ f (x) มีค่าเท่ากบัค่าในขอ้ใด

1. 3 1x 2. 31x 3

x 2

3. 31x 3

2

4. 31x 3

x 2

101. ก าหนด 3 13x1 (x) f

แลว้ค่าของ f (3) คือขอ้ใดต่อไปน้ี

1. 83 2. 81 3. 41 4. 161

102. ก าหนดให ้ 163z32zy แลว้ dzdy มีค่าเท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี

1. 21)2(2z 3 2. 2

1)2(2z

3. 16 3z 32z2

1)2(2z 3

4.

16 3z 32z21)2(2z


73

103. ก าหนดให ้ 210) 3t 2(2t 25s

อตัราการเปล่ียนแปลงของ s เทียบกบั t ณ จุด t ใดๆ

เท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. – (4t – 3) 2. –5 (4t – 3) 3. 310) 3t 2(2t

3) (4t

4. 310) 3t 2(2t3) (4t 5

104. ก าหนดให้ g (x) = [ f (x) ]4 ถา้ f (1) = 2 และ f (2) = x5 แลว้ ค่าของ g(1) เท่ากบั ขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 100 2. 120 3. 140 4. 160

105. ก าหนดให ้ f (x) = (x2 + 1) (x3 + x – 4) แลว้ f (x) เท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 5x4 + 6x2 – 8x + 1 2. 5x4 – 6x2 + 8x – 1

3. x4 + x2 – x + 1 4. x4 – x2 + x – 1

106. ก าหนดให ้ y = (5x3 + 1 )(2x2 – x – 3) แลว้ f (x) เท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 50x4 – 20x3 – 45x2 + 4x – 1 2. 10x4 – 5x3 – 9x2 + x – 1 3. 50x4 – 20x3 – 45x2 + 4x 4. 10x4 – 5x3 – 9x2 + x

107. ก าหนดให ้ y = (3x2 – 1)3 (2x + 5)4 แลว้ f (x) เท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 2(3x2 –1)2(2x + 5)3(30x2 + 45x – 4) 2. 2(3x2 –1)2(2x + 5)3 3. (3x2 –1)2(2x + 5)3(30x2 + 45x – 4) 4. (3x2 –1)2(2x + 5)3

108. ก าหนดให้ f (x) = (x – 1) (x + 2) (x – 3) ต่อไปน้ีขอ้ใดถูกตอ้ง 1. f (x) = x3 – 2x2 – 5x + 6 2. f (x) = 3x2 – 4x – 5 3. f (x) = x2 + 2x – 5 4. f (x) = 3x2 – 8x + 7

109. ก าหนดให ้ y = (2x – 1) (3x2 + 2x – 1)(1 – 2x2) แลว้ f (1) เท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. –64 2. – 32 3. 32 4. 64

110. ก าหนดให ้ f (x) = x . h (x) และ h (0) = 2 , h(0) = 1 แลว้ f (0) เท่ากบัขอ้ใด 1. 0 2. 2 3. 3 4. หาอนุพนัธ์ไม่ได ้


74

111. ก าหนดให ้ f เป็นฟังกช์นัท่ีสามารถหาอนุพนัธ์ไดโ้ดยท่ี f (1) = 5 และมีค่าของ f (1) = –10 ถา้ y = (x3 – 2x2) f (x) แลว้ค่าของ dx

dy ท่ีจุด x = 1 เท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 5 2. 10 3. 15 4. 20

112. ก าหนดให ้ f เป็นฟังกช์นัท่ีหาอนุพนัธ์ได ้ โดยท่ี f (–1) = 2 และ f (–1) = –5 ถา้ y = (x3 – 2x2) f (x) แลว้ ค่าของ dx

dy ท่ีจุด x = –1 เท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 18 2. 25 3. 27 4. 29

113. ก าหนดให ้ 2x 12x(x) f

แลว้ f (x) เท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี

1. 22)(x 1 4x 2x

2. 22)(x

1 4x 2x

3. 22)(x x 2

4. 22)(x 1 2x

114. ก าหนดให ้ 24) (3t33) 2(2t v

แลว้อนุพนัธ์ของ v ท่ี t มีค่าเท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี

1. (2t2 –3)2 (2t2 + 2t + 1) 2. 18(2t2 –3)2 (2t2 + 2t + 1)

3. 34) (3t1) 2t2(2t23) 2(2t

4. 34) (3t

1) 2t2(2t23) 2(2t 18

115. ให ้ g เป็นฟังกช์นัท่ีสามารถหาอนุพนัธ์ได ้ ถา้ g (3) = 2 , g(3) = 3 และ g(x)23x 3xy

แลว้ dxdy ท่ี x = 3 เท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี

1. 4 2. 4.5 3. 5 4. 5.5

116. ก าหนดให ้ f (x) = (x – 3) x – 3 แลว้ f (1) เท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 4 2. –4 3. 0 4. 8

117. ก าหนดให ้ f (x) = x x ค่าของ f (–2) + f (3) เท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 10 2. –2 3. 2 4. 6

118. ก าหนดให ้ f (x – 1) = x2 + 3x +2 แลว้ค่าของ f (–2) มีค่าตรงกบัค่าในขอ้ใด 1. 0 2. 1 3. 2 4. 3

119. ถา้ f (2x +10) = 4x2 จงหาค่าของ f(20) 1. 160 2. 80 3. 40 4. 20


75

120. ก าหนดให ้ f (x) = 3x2 – 2x –1 และ a แทนอตัราการเปล่ียนแปลงเฉล่ียของ f เทียบกบั x เม่ือ x เปล่ียนจาก 1 ไปเป็น 2 b แทนอตัราการเปล่ียนแปลงของ f เทียบกบั x ขณะท่ี x = 2 ขอ้ใดต่อไปน้ีถูก 1. a = 7 , b = 10 2. a = 7 , b = 7 3. a = 2

7 , b = 10 4. a = 27 , b = 7

17.6 อนุพนัธ์ของฟังก์ชันประกอบ 121. ถา้ y = u2 + 2 และ u = 3

1 (x – 4) แลว้ค่า dxdy เท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี

1. 2 (x – 4) 2. 32 (x – 4) 3. 9

2 (x – 4) 4. หาค่าไม่ได ้

122. ถา้ u23uy และ u = x – 2x2 แลว้ ค่า dxdy เม่ือ x = 1 เท่ากบัขอ้ใด

1. 47 2. 4

15 3. 247 4. 24

15

123. ก าหนดให ้ u = 3v2 – v + 5 , v = 2s2 – 7 และ s = 2t3 – 5t – 1 แลว้ ค่า dtdu เม่ือ

t = –1 เท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 24 2. 36 3. 40 4. 44

124. ก าหนดให ้ (gof) (x) = x2 + 5x – 3 และ f (x) = 2x – 1 แลว้ g(3) เท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 4 2. 4.5 3. 5 4. 5.5

125. ให ้ (gof) (x) = 4x3 + 2x – 7 และ f (x) = x3 – 3x2 + x – 1 แลว้ g(5) เท่ากบัขอ้ใด 1. 8 2. 9 3. 10 4. 11

17.7 อนุพนัธ์อนัดับสูง

126. ถา้ y = x4 + 4x3 +6x2 + 4x + 1 แลว้ ค่า 4dxy4d ท่ี x = 2 เท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี

1. 18 2. 20 3. 22 4. 24


76

127. ก าหนดให ้ f (x) = x4 – 2x3 + x2 – 5x + 4 แลว้ f (x) เท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 4x3 – 6x2 + 2x – 5 2. 12x2 – 12x + 2 3. 24x – 12 4. 24

128. ก าหนดให ้ 10x25x32x44x

205x (x) f แลว้ f (1) เท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี

1. –6 2. –3 3. 0 4. 2

129. ก าหนดให ้ f (x) = (1 – 3x)5 แลว้ f (1) เท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. –256 2. –368 3. –1280 4. –1440

130. ถา้ f (x) = (3x – 2)4 แลว้ อตัราการเปล่ียนแปลงของ f(x) ท่ี x = 1 เท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 324 2. 420 3. 648 4. 840

131. ก าหนดให ้ f (x) = (x + 1)3 (x – 2) ถา้ g (x) เป็นอนุพนัธ์ของ f (x) และ h (x) เป็น อนุพนัธ์ของ g (x) แลว้อนุพนัธ์ของ h (x) เท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 12x2 + 6x 2. 24x2 + 6x 3. 12x + 6 4. 24x + 6

132. ก าหนดสมการเคล่ือนท่ีของวตัถุช้ินหน่ึงเป็น s = t3 + 2t – 1 เม่ือ s แทนระยะทางเป็นเมตร และ t แทนเวลาเป็นวนิาที แลว้ความเร็วของวตัถุในวนิาทีท่ี 3 มีขนาดเท่ากบัก่ีเมตร/วนิาที 1. 28 2. 29 3. 30 4. 32

133. จากขอ้ท่ีผา่นมา ความเร่งของวตัถุในวนิาทีท่ี 5 มีขนาดเท่ากบัก่ีเมตร/วนิาที2 1. 28 2. 29 3. 30 4. 32

134. จากขอ้ท่ีผา่นมา ความเร็วเฉล่ียในช่วงวินาทีท่ี 2 ถึงวนิาทีท่ี 4 มีขนาดเท่ากบัก่ีเมตร/วนิาที 1. 28 2. 29 3. 30 4. 32

135. ถา้อนุภาคเคล่ือนท่ีไปไดร้ะยะทาง s เมตร ในเวลา t วนิาที ซ่ึง s = t3 – 3 t อนุภาคนั้น จะมีความเร็วขณะท่ี t = 2 วนิาที เท่ากบัก่ีเมตร/วนิาที 1. 1 2. 2 3. 9 4. 12

136. จากขอ้ท่ีผา่นมา อนุภาคนั้นจะมีความเร่งขณะท่ี t = 2 วนิาที เท่ากบัก่ีเมตร/วินาที2 1. 1 2. 2 3. 9 4. 12


77

137. เม่ือเวลาผ่านไป t วินาที อนุภาคเคล่ือนท่ีห่างจากจุดตั้งตน้ไดร้ะยะทาง t3 – 3t2 + t เมตร ดงันั้นความเร็วของอนุภาคน้ี เม่ืออยูห่่างจากจุดตั้งตน้ 55 เมตร มีค่าเท่ากบัก่ีเมตร/วนิาที 1. 40 2. 46 3. –30 4. –45

138. ลูกบอลลูกหน่ึงถูกโยนข้ึนจากขอบหลงัคาบา้นซ่ึงอยูสู่งจากพื้นถนน 112 ฟุต ในแนวด่ิง ถา้ ลูกบอลเคล่ือนท่ีไดร้ะยะทาง s ฟุต จากขอบหลงัคาบา้นขณะเวลา t วินาที ตามสมการการ เคล่ือนท่ี s = 96t – 16t2 อตัราเร็วของลูกบอลขณะตกกระทบพื้นมีค่าก่ีเมตรต่อวนิาที 1. 0 2. 96 3. 128 4. ไม่มีขอ้ใดถูก

139. วตัถุช้ินหน่ึงเคล่ือนท่ีในแนวเส้นตรงโดยมีความเร็ว ( v ) ท่ีมีความสัมพนัธ์กบัเวลา ( t ) โดย v = 3 – t + 2t2 โดย v มีหน่วยเป็นเมตร/วินาที และ t มีหน่วยเป็นวนิาที ความเร่งของวตัถุขณะเวลาเท่ากบั 2 วนิาที มีค่าเท่ากบัก่ีเมตร/วนิาที2

1. 7 2. 8 3. 9 4. 10

140. จากขอ้ท่ีผา่นมา ความเร่งเฉล่ียของวตัถุจากเวลา 2 ถึง 3 วนิาที มีค่าเท่ากบัก่ีเมตรต่อวินาที2 1. 7 2. 8 3. 9 4. 10

17.8 การประยุกต์ของอนุพนัธ์

17.8.1 การหาลมิิตของฟังก์ชันโดยใช้อนุพนัธ์

141. )65x2x

273x( 3xLim


1. 0 2. 9 3. 27 4. ไม่มีลิมิต

142. 0 xLim x1 1 x เท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี

1. 0 2. 31 3. 2


17.8.2 การหาความชันเส้นโค้ง

143. ก าหนดเส้นโคง้หน่ึงมีสมการเป็น y = x2 + 2x + 3 ค่าความชนัของเส้นโคง้ท่ีจุด (1 , 6) มีค่า เท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. –4 2. 0 3. 4 4. 6


78

144. ก าหนดเส้นโคง้มีสมการเป็น y = 2x2 – 3x + 5 แลว้ ความชนัของเส้นสัมผสัเส้นโคง้ท่ีจุด (1 , 4) มีค่าเท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 1 2. 2 3. 4 4. 8

145. จากขอ้ท่ีผา่นมา จุดสัมผสัเม่ือเส้นสัมผสัดงักล่าวมีความชนัเท่ากบั 5 คือขอ้ใดต่อไปน้ี 1. (–2 , –3) 2. (2 , 3) 3. (2 , 7) 4. ขอ้ 1 และ 2. ถูก

146. จุดบนเส้นโคง้ y = x2 – 3x – 4 ท่ีมีความชนัของเส้นสัมผสัเท่ากบั 1 คือขอ้ใดต่อไปน้ี 1. ( 2

3 , 0) 2. (2 , 0) 3. ( 23 , – 4

25 ) 4. (2 , –6)

147. ค่า x ท่ีท าใหค้วามชนัของเส้นสัมผสัเส้นโคง้ x 1 22xy มีค่าเท่ากบั 4 คือขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 2 2. 2

1 3. 2 4. 21

148. เส้นโคง้หน่ึงมีสมการเป็น x 22xy เส้นสัมผสัท่ีมีสมการเป็น x – 2y + 4 = 0 จะสัมผสั กบัเส้นโคง้ดงักล่าวท่ีจุดใดต่อไปน้ี 1. (2 , 3) 2. (–2 , –3) 3. (1 , 3) 4. ขอ้ 1 และ 2. ถูก

149. จุดบนเส้นโคง้ y = 2x3 – 3x2 –12x + 20 ซ่ึงเส้นสัมผสั ณ จุดนั้นขนานกบัแกน X คือขอ้ใด 1. (2 , 0) 2. (–1 , 27) 3. (0 , 20) 4. ขอ้ 1 และ 2. ถูก

150. ถา้ (m , n) เป็นจุดสัมผสักบัเส้นโคง้ y = 3x2 – 24x + 36 ท่ีมีเส้นสัมผสัเส้นโคง้ขนานกบั แกน X แลว้ค่าของ m – n คือขอ้ใดต่อไปน้ี 1. –8 2. 4 3. 16 4. 12

151. ก าหนดเส้นโคง้พาราโบลามีสมการเป็น y = x2 – 2x + 1 จุดยอดของพาราโบลาคือขอ้ใด 1. (1 , 0) 2. (2 , 1) 3. (3 , 4) 4. (4 , 9)

152. ก าหนดให ้ 2x97x 22x35x(x) f เป็นสมการของเส้นโคง้รูปหน่ึง สมการของเส้น

ตรงท่ีสัมผสักบัเส้นโคง้ท่ีจุด (1 , 9) คือขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 6x – y + 15 = 0 2. x + 6y – 55 = 0 3. x – 6y + 53 = 0 4. 6x + y – 15 = 0


79

153. สมการของเส้นตรงสัมผสัเส้นโคง้ x2 x y ท่ีจุด (1 , 3) คือขอ้ใดต่อไปน้ี 1. y = –x + 4 2. y = x + 2 3. y = 2x + 1 4. y = 5 – 2x

154. เส้นตรงท่ีสัมผสัเส้นโคง้ 33x1x3y ท่ี x = 1 มีสมการตรงกบัขอ้ใดต่อไปน้ี

1. y – 38 = 2(x – 1) 2. y – 3

10 = 2(x – 1) 3. y – 3

8 = –2(x – 1) 4. y – 310 = –2(x – 1)

155. ก าหนดเส้นโคง้หน่ึงมีสมการเป็น x y = 2 แลว้สมการของเส้นตรงซ่ึงสัมผสัเส้นโคง้น้ีท่ี จุด (–1 , –2) คือขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 2x – y = 0 2. x – 2y – 3 = 0 3. x + 2y + 5 = 0 4. 2x + y + 4 = 0

156. ถา้เส้นตรงผา่นจุดก าเนิด และสัมผสัเส้นโคง้ y = x2 + 2 ในควอดแรนตท่ี์หน่ึง แลว้สมการ ของเส้นตรงน้ีคือสมการในขอ้ใดต่อไปน้ี 1. y = 3x 2. y = 4x 3. x22y 4. x23y

157. ก าหนดให้ 3x32x f(x) สมการเส้นตรงท่ีผา่นจุด (1 , 2) และมีความชนัเท่ากบัความชนั ของเส้นสัมผสัเส้นโคง้ y = f (x) ท่ีจุด x = –1 เท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 7x + 3y – 13 = 0 2. 11x + 3y – 17 = 0 3. –7x + 3y +1 = 0 4. –11x + 3y + 5 = 0

158. สมการเส้นสัมผสัเส้นโคง้ xy โดยท่ีเส้นสัมผสัดงักล่าวขนานกบัเส้นตรง x – 2y + 7 = 0 คือขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 2x – y = 0 2. x – 2y + 1 = 0 3. x + 2y + 1 = 0 4. 2x + y + 1 = 0

159. ค่าความชนัเส้นตรงท่ีตั้งฉากกบัเส้นสัมผสัเส้นโคง้ y = x3 – 2x2 + 4 ท่ีจุด ( 2 , 4 ) คือขอ้ใด 1. –4 2. – 4

1 3. 41 4. 4

160. สมการเส้นตรงท่ีตั้งฉากกบัเส้นสัมผสัเส้นโคง้ y = –12 + 7x – x2 ท่ีจุด (3 , 0) คือขอ้ใด 1. x + 2y + 3 = 0 2. x + y – 3 = 0 3. 4x – 3y – 5 = 0 4. 3x + 4y –3 = 0


80

161. เส้นตรงท่ีผา่นจุด (–3 , –3) ซ่ึงเป็นจุดบนเส้นโคง้ y = x3 – 8x และเส้นตรงน้ีตั้งฉากกบัเส้น สัมผสั ณ จุดสัมผสันั้นดว้ย สมการเส้นตรงดงักล่าวคือขอ้ใดต่อไปน้ี 1. x + 19y + 60 = 0 2. 19x + y + 60 = 0 3. x – 19y – 54 = 0 4. 19x – y + 54 = 0

162. ก าหนดให้ 2x123x32x232x (x) f สมการของเส้นตรงท่ีตั้งฉากกบัเส้นสัมผสัเส้น

โคง้น้ีท่ีจุด (1 , 2) คือขอ้ใดต่อไปน้ี 1. y = –x + 3 2. y = –x – 1 3. 59 x 51 y 4. y = x + 1

163. ถา้จุดบนเส้นโคง้ y = 2x3 – x2 ท าใหเ้ส้นสัมผสัเส้นโคง้ท่ีจุดนั้นตั้งฉากกบัเส้นตรง x + 4y = 10 แลว้จุดนั้นมีค่า x เท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี

1. 1 , – 32 2. 1 , 32 3. –1 , – 32 4. –1 , 32

164. ก าหนดใหเ้ส้นโคง้ 46x2x233xy แลว้ เส้นสัมผสัเส้นโคง้ท่ีจุด x = 32 จะขนาน

กบัเส้นตรงในขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 6x + 3y – 7 = 0 2. 8x + 3y + 5 = 0 3. 8x – 3y – 4 = 0 4. 4x + 3y – 11 = 0

165. ก าหนดให ้ m1 และ m2 เป็นความชนัของเส้นสัมผสัของกราฟ y = 2x2 – 8x + 5 ท่ีจุดท่ี กราฟน้ีตดักบัเส้นตรง y + 9x = 6 แลว้ค่าของ m1 + m2 เท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. –18 2. –14 3. –17 4. –15

166. จ านวนจริง k ท่ีท าให้เส้นตรงซ่ึงผ่านจุด (–1 , 12) สัมผสักราฟของ f (x) = k (x – 2)2 ท่ี จุด (1 , k) มีค่าเท่ากบัเท่าใด

17.8.3 การตรวจสอบความเป็นฟังก์ชันเพิม่และฟังก์ชันลด

167. ก าหนดฟังกช์นั f (x) = 216x34x4x41 ท่ีจุด x = 3 ฟังกช์นัน้ีจะเป็นฟังกช์นัเพิ่มหรือลด 1. เพิม่ 2. ลด 3. ไม่เพิ่มและไม่ลด 4. ขอ้มูลไม่เพียงพอท่ีจะหาค าตอบ


81

168. ก าหนดฟังกช์นั f (x) = x3 + 2x2 – 4x + 7 ฟังกช์นัน้ีจะเป็นฟังกช์นัเพิ่ม เม่ือ x อยูใ่นช่วงใด 1. (– , 0) (1 , + ) 2. (0 , 1) 3. (– , –2) ( 32 , + ) 4. (–2 , 32 )

169. จากขอ้ท่ีผา่นมา ฟังกช์นัท่ีก าหนดจะเป็นฟังกช์นัลด เม่ือ x อยูใ่นช่วงใด 1. (– , 0) (1 , + ) 2. (0 , 1) 3. (– , –2) ( 32 , + ) 4. (–2 , 32 )

170. ก าหนดให ้ f (x) = x4 – 2x2 แลว้ f (x) มีค่าลดลงในช่วงใดต่อไปน้ี 1. (–1 , 0) 2. (0 , 1) 3. (1 , 2) 4. (2 , )

171. ก าหนดฟังกช์นั f (x) = 216x34x4x41 ฟังกช์นัน้ีจะเป็นฟังกช์นัเพิ่ม เม่ือ x อยูใ่นช่วงใด

1. (0 , 4) (8 , +) 2. (– , 0) (4 , 8) 3. (0 , 2) (3 , +) 4. (– , –2) (0 , )

172. จากขอ้ท่ีผา่นมา ฟังกช์นัท่ีก าหนดจะเป็นฟังกช์นัลด เม่ือ x อยูใ่นช่วงใด 1. (0 , 4) (8 , +) 2. (– , 0) (4 , 8) 3. (0 , 2) (3 , +) 4. (– , –2) (0 , )

173. ก าหนดให ้ f (x) = 2x3 – 3x2 – 12x + 1 ถา้ f (x) มีค่าลดลงบนช่วง (a , b) แลว้ค่าของ a + b คือค่าในขอ้ใดต่อไปน้ี 1. –1 2. 0 3. 1 4. 2

17.8.4 การหาค่าต ่าสุดและค่าสูงสุด

174. ฟังกช์ัน่ y = x2 + 2x + 12 มีค่าต ่าสุดสัมพทัธ์หรือสูงสุดสัมพทัธ์เท่ากบัเท่าใด 1. มีค่าต ่าสุดสัมพทัธ์ เท่ากบั –1 2. มีค่าต ่าสุดสัมพทัธ์ เท่ากบั 11 3. มีค่าสูงสุดสัมพทัธ์ เท่ากบั –1 4. มีค่าสูงสุดสัมพทัธ์ เท่ากบั 11

175. ก าหนดให ้ 21x2x3xy ขอ้ใดต่อไปน้ีถูก

1. f มีค่าสูงสุดสัมพทัธ์ท่ี x = –1 2. f มีค่าสูงสุดสัมพทัธ์ท่ี x = 2 3. f มีค่าสูงสุดสัมพทัธ์ท่ี x = 1 4. f มีค่าสูงสุดสัมพทัธ์ท่ี x = – 21


82

176. ก าหนดฟังกช์นัเป็น f (x) = 15 + 9x – 3x2 – x3 ผลบวกของค่าสูงสุดสัมพทัธ์และค่าต ่าสุด สัมพทัธ์ มีค่าตรงกบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 8 2. 12 3. 20 4. 32

177. ถา้ a และ b เป็นค่าสูงสุดสัมพทัธ์และค่าต ่าสุดสัมพทัธ์ของฟังกช์นั f (x) = x4 – 8x3 + 22x2 – 24x + 12 แลว้ค่าของ a b คือขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 9 2. 12 3. 36 4. 72

178. ก าหนดให ้ f (x) = x3 + 2x2 – 4x + 1 ขอ้ใดต่อไปน้ีสรุปไดถู้กตอ้ง 1. ฟังกช์นั f มีค่าสูงสุดสัมพทัธ์ท่ี x = 32 2. ฟังกช์นั f มีค่าต ่าสุดสัมพทัธ์ท่ี x = –2 3. ค่าสูงสุดสัมพทัธ์เท่ากบั 9 4. ค่าสูงสุดสัมพทัธ์เท่ากบั 27

13

179. ก าหนดให ้ f (x) = 313x346x ขอ้ใดต่อไปน้ีเป็นจริง 1. f มีค่าต ่าสุดสัมพทัธ์เท่ากบั 0 เม่ือ x = 0 2. f มีค่าต ่าสุดสัมพทัธ์เท่ากบั 0 เม่ือ x = 0 3. f มีค่าต ่าสุดสัมพทัธ์เท่ากบั – 8

9 เม่ือ x = – 81 4. f มีค่าสูงสุดสัมพทัธ์เท่ากบั – 8

9 เม่ือ x = – 81

180. ก าหนดให ้ y = 10 + 12x – 3x2 – 2x3 ขอ้ท่ีถูกตอ้งคือขอ้ใดต่อไปน้ี 1. จุด (1 , 17) ใหค้่าสูงสุดสัมพทัธ์ 2. จุด (–2 , –10) ใหค้่าสูงสุดสัมพทัธ์ 3. จุด (1 , 17) ใหค้่าต ่าสุดสัมพทัธ์ 4. จุด (–1 , –17) ให้ค่าต ่าสุดสัมพทัธ์

181. ก าหนดฟังกช์นั f (x) = x1x ขอ้ความใดต่อไปน้ีเป็นจริง

1. f (x) มีค่าสูงสุดสัมพทัธ์ 2. f (x) มีค่าต ่าสุดสัมพทัธ์ 3. f (x) มีทั้งค่าสูงสุด และค่าต ่าสุดสัมพทัธ์ 4. f (x) ไม่มีค่าสูงสุด และไม่มีค่าต ่าสุดสัมพทัธ์


83

182. ก าหนดให ้ f (x) = x5 ขอ้ความใดถูกตอ้ง 1. f มีทั้งค่าสูงสุดสัมพทัธ์ และค่าต ่าสุดสัมพทัธ์ 2. f มีค่าสูงสุดสัมพทัธ์ แต่ไม่มีค่าต ่าสุดสัมพทัธ์ 3. f มีค่าต ่าสุดสัมพทัธ์ แต่ไม่มีค่าสูงสุดสัมพทัธ์ 4. f ไม่มีทั้งค่าสูงสุดสัมพทัธ์ และค่าต ่าสุดสัมพทัธ์

183. ถา้ f (x) = (2 – x)2 + (3 –x)2 + (k – x)2 ฟังกช์นั f (x) มีค่าต ่าสุดสัมพทัธ์ท่ี x = 2 แลว้ ค่าของ k มีค่าเท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 4 2. 3 3. 2 4. 1

184. ถ้าเส้นโค้งมีสมการเป็น y = –x3 – 3x2 + 9x + k มีค่าสูงสุดสัมพทัธ์เท่ากับ 20 แล้วค่า ต ่าสุดสัมพทัธ์ของเส้นโคง้น้ี มีค่าเท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี

1. –20 2. –12 3. 0 4. 10

185. ถา้ f (x) = ax2 + bx + c มีค่าสูงสุดสัมพทัธ์เท่ากบั 7 ณ จุดท่ี x = 1 และถา้กราฟของ ฟังกช์นัน้ีผา่นจุด (2 , –2) แลว้ค่าของ a + b + c มีค่าตรงกบัค่าในขอ้ใด 1. –12 2. –7 3. 4 4. 7

186. เส้นโคง้มีสมการเป็น f (x) = 5 + 2x – x2 ค่าสูงสุดสัมบูรณ์รวมกบัค่าต ่าสุดสัมบูรณ์ ในช่วง x [0 , 5] ตรงกบัขอ้ใด 1. –4 2. 0 3. 1 4. 4

187. ค่าต ่าสุดสัมบูรณ์ของฟังกช์นั 2 y = 6x2 – 3x เม่ือ x อยูใ่นช่วง [–1 , 1] คือขอ้ใด 1. 16

15 2. – 169 3. 16

9 4. – 163

188. ก าหนด f (x) = x2 – 6x + 5 มีโดเมนเท่ากบั [2 , 6] แลว้ ค่าต ่าสุดสัมพทัธ์รวมกบัค่าสูงสุด สัมบูรณ์ จะมีค่าตรงกบัค่าในขอ้ใดต่อไปน้ี 1. –10 2. –1 3. 1 4. 6

189. ก าหนดให ้ f (x) = x3 + x2 – x + 1 จ านวนจริง k ท่ีนอ้ยท่ีสุดท่ีท าให้ f (x) k เม่ือ x [–2 , 0] มีค่าเท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. –1 2. 0 3. 1 4. 2


84

190. ตน้ทุน ( C ) ในการผลิตสินคา้ชนิดหน่ึงจ านวน x หน่วย คือ C = x2x 0.01 0.2x 1600

จ านวนสินคา้ท่ีท าใหต้น้ทุนมีค่านอ้ยท่ีสุดมีค่าเท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 100 2. 200 3. 300 4. 400

191. มีเชือกยาว 100 เมตร ตอ้งการลอ้มร้ัวใหเ้ป็นรูปส่ีเหล่ียมมุมฉากท่ีมีพื้นท่ีมากท่ีสุดแลว้ จะตอ้ง ลอ้มใหด้า้นกวา้ง กวา้งดา้นละเท่าใด

1. 20 2. 25 3. 30 4. 40

192. มีไมท้ าร้ัวยาว 1600 เมตร ตอ้งการกั้นร้ัวรอบคอกมา้เป็นรูปส่ีเหล่ียมมุมฉากใหมี้พื้นท่ีมากท่ีสุด จะไดพ้ื้นท่ีเท่ากบัค่าในขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 80000 ตารางเมตร 2. 160000 ตารางเมตร 3. 3600000 ตารางเมตร 4. 480000 ตารางเมตร

193. จ านวนจริงบวกสองจ านวนซ่ึงผลคูณของสองจ านวนเป็น 64 และผลบวกของสองจ านวนน้ีมี ค่ามากท่ีสุด แลว้ผลต่างของจ านวนจริงทั้งสองมีค่าเท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 0 2. 1 3. 2 4. 3

194. ผลบวกของเลข 2 จ านวนรวมกนัไดเ้ท่ากบั 12 ถา้ผลคูณของเลข 2 จ านวนนั้นมีค่ามากท่ีสุด แลว้เลข 2 จ านวนนั้นจะมีค่าต่างกนัเท่ากบัขอ้ใด 1. 0 2. 1 3. 2 4. 3

195. จ านวนจริงสองจ านวนท่ีมีค่าต่างกนั 30 และผลคูณของจ านวนทั้งสองมีค่าน้อยท่ีสุด แล้ว ผลบวกของทั้งสองจ านวนดงักล่าว มีค่าเท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 0 2. 1 3. 2 4. 3

196. ผลิตผลดา้นการเกษตรชนิดหน่ึง เสียค่าใชจ้่ายเป็นเงินไร่ละ x30040.2x บาท ถา้ขายผล ผลิตคิดเป็นเงินไร่ละ 600 – 2x และเสียค่าขนส่งอีกคิดเป็นเงินไร่ละ 24 บาท โดย x เป็น จ านวนไร่ท่ีผลิตต่อเดือน ถา้ตอ้งการให้ไดก้ าไรต่อเดือนมากท่ีสุดจะตอ้งใช้เน้ือท่ีท าการผลิต จ านวนก่ีไร่ 1. 85 ไร่ 2. 130 ไร่ 3. 185 ไร่ 4. 572 ไร่


85

197. โรงงานผลิตเคร่ืองรับโทรทศัน์ผลิตไดว้นัละ x เคร่ือง ขายไปไดก้ าไร y บาท โดยท่ี y = 90x – x2 ถา้โรงงานตอ้งการก าไรมากท่ีสุด จ านวนเคร่ืองรับโทรทศัน์ท่ีตอ้งผลิตต่อวนั คือขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 25 2. 35 3. 40 4. 45

198. ชาวสวนผูห้น่ึงสังเกตวา่ถา้เขาปลูกมะม่วง 80 ตน้ในพื้นท่ีหน่ึง จะไดผ้ลเฉล่ีย 150 ผลต่อตน้ แต่ถา้เขาปลูกใหน้อ้ยลงจะไดผ้ลเฉล่ียเพิ่มข้ึนตน้ละ 5 ผลต่อจ านวนมะม่วงท่ีลดลง 1 ตน้ ถา้ N เป็นจ านวนตน้มะม่วงท่ีปลูกในพื้นท่ีท่ีน้ี เพื่อใหไ้ดผ้ลผลิตมากท่ีสุด แลว้ N เป็นจริงตามขอ้ใด 1. 25 N 40 2. 40 N 55 3. 55 N 70 4. 70 N 80

199. พอ่คา้ผลิตสินคา้ชนิดหน่ึง x กิโลกรัม ตอ้งลงทุนทั้งหมด 2x2 + 6x + 300 บาท และขายไป กิโลกรัมละ 310 – 2x บาท ถา้พ่อคา้ตอ้งการขายให้ไดก้ าไรมากท่ีสุด แลว้เขาตอ้งผลิตสินคา้ ชนิดน้ีก่ีกิโลกรัม

17.9 ปฏยิานุพนัธ์

17.10 ปริพนัธ์ไม่จ ากดัเขต

200. dx 5x) 23x4(x เท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. x5 + 3x3 + 5x2 + c 2. x5 – 3x3 – 5x2 – c

3. 55x + x3 + 2

25x + c 4. 55x – x3 – 2

25x + c

201. dx )22x6x 23x3(2x เท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. x4 – 3x3 + 6x – 2x–1 + c 2. x4 – 3x3 + 6x – 2x–3 + c

3. 24x – x3 + 6x + 2x–1 + c 4. 2

4x – x3 + 6x + 2x–3 + c

202. dx )3x1 10(x เท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี

1. x11 + x–2 + c 2. 111x

1 + 22x + c

3. x11 + x–4 + c 4. 111x

1 + 24x + c


86

203. )dx4x2 2x

1( เท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี

1. 3x 31 + 4x4

2 + c 2. x1 + 3x 32 + c

3. – 3x 31 – 4x4

2 + c 4. – x1 – 3x 32 + c

204. dx x เท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี

1. 3

3x 2 + c 2. 2

3x 3 + c

3. 3x 3

2 + c 4. 3x 2

3 + c

205. )dx32

x23

(x เท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี

1. 25x52 – 35x5

3 + c 2. 25x23 – 35x3

2 + c

3. 25x25 – 35x3

5 + c 4. 25x32 – 35x2

3 + c

206. dx )x2

1 2x1( เท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี

1. – 3x 31 + x + c 2. – x1 + x + c

3. – 3x 31 +

x1 + c 4. – x1 +

x1 + c

207. dx 3)(x2x เท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 4

1 x4 – x3 + c 2. – 41 x4 + x3 + c

3. x4 – x3 + c 4. – x4 + x3 + c

208. dx x x)(1 เท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี

1. c25

x252

3x32 2. c34x4

321x21

3. c27

x7235

x53 4. c23

x3243

x34


87

209. (2 t – 1)2 dt เท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 3

4 t3 – 2 t2 + t + c 2. 21 (2t – 1) + c

3. t3 + t2 – t + c 4. 21 t + c

210. dx 2x4 25x 3x เท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี

1. cx45x2x21 2. cx45x2x21 3. cx45x2x21 4. cx810x3x21

211. ก าหนดให ้ x21f(x) แลว้ f(x) dx เท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี

1. cx 2. cx 3. cx1 4. cx

1

212. ก าหนดให ้ f `(x) = x2 – 2x แลว้ f (x) เท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 3

4 x3 – x2 + c 2. 34 x3 – x2 – x + c

3. x3 – x2 + c 4. x3 – x2 – x + c

213. ก าหนดให ้ F(x) = (1 – x)2 แลว้ F(x) คือขอ้ใดต่อไปน้ี

1. 33x – x2 + x + c 2. –2(1 – x) + c 3. 2x2 – 2x + c 4. c3

x) (1

214. ขอ้ใดต่อไปน้ีเป็นปฏิยานุพนัธ์ของ 2x2 (2x – 3) 1. (x3 – 2)x 2. (2 – x3)x 3. (2 – x)x3 4. (x – 2)x3

215. ก าหนดให ้ dxdy = 3x2 – 4x + 1 แลว้ค่าของ y เท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี

1. x3 – 2x2 + x + c 2. 3 x3 – 4x2 + x + c 3. x3 – 2x2 – x – c 4. 3 x3 – 4x2 – x – c

216. สมการของเส้นโคง้ท่ีมีความชนัท่ีจุด (x , y) ใดๆ เป็น 4x3 + 2x และเส้นโคง้ผา่นจุด (0 , 1) คือสมการในขอ้ใดต่อไปน้ี

1. y = 3x4 + 2x2 + 1 2. y = 4x4 + 2x2 + 1 3. y = x4 + x3 + 1 4. y = x4 + x2 + 1


88

217. สมการของเส้นโคง้ท่ีผา่นจุด (1 , 1) และมีความชนัของเส้นโคง้ท่ีจุด (x , y) ใดๆ เป็น 6x (x2 + 1)2 คือสมการในขอ้ใดต่อไปน้ี 1. y = (x2 + 1)3 – 6 2. y = (x2 + 1)2 + 6 3. y = x6 + 3x4 + 3x2 + 6 4. y = x6 + 3x4 + 3x2 – 6

218. สมการเส้นโคง้ท่ีผา่นจุด (–1 , 3) โดยความชนัของเส้นสัมผสัเส้นโคง้ ณ จุดใดๆ มีค่าเท่ากบั 3x2 – 5x – 4 คือสมการในขอ้ใดต่อไปน้ี

1. f (x) = x3 – 5x2 – 4x + 5 2. f (x) = 254x2x2

53x 3. f (x) = x3 – x2 – 4x + 1 4. f (x) = x3 – 5x2 + 9

219. ถา้ความชนัของเส้นโคง้ ณ x ใดๆ มีค่าเท่ากบั 121x232

3x2

5 แลว้สมการเส้นโคง้น้ีตรง กบัขอ้ใด

1. 2x23

x25

xy 2. 2x23

x232

5x2

5y

3. 223

x232

5x2

5y 4. 223

x25

xy

220. ถ้าเส้นโคง้เส้นหน่ึงมีความชนั ณ จุดใดๆ บนเส้นโคง้เท่ากบั 2x123x เม่ือ x ≠ 0 และ

เส้นโคง้ตดัแกน X ท่ีจุด (2 , 0) แลว้เส้นโคง้ตดักบัเส้นตรง x + 2 = 0 ท่ีจุดในขอ้ใด 1. (–2 , –17) 2. (–2 , –1) 3. (–2 , 0) 4. (–2 , 17)

221. ถา้ f (x) = 6 x2 และ f (1) = 2 แลว้ f (x) เท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 2 x3 2. 2 x3 + 2 3. 2 x3 + 5 4. 2 x3 – 2

222. ถา้ f (x) = 4x3 และ f (1) = 3 แลว้ f (x) เท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี

1. – 3x1 + 4 2. 3x

1 + 4 3. – 3x1 4. 3x

1

223. ถา้ f (x) = 3x2 – 2x4 – 2 และ f (2) = 8 แลว้ f (x) เท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี

1. x3 + 3x4 – 2x 2. x3 + 3x

4 – 2x + 2

3. x3 + x4 – 2x 4. x3 + x4 – 2x + 2


89

224. ถา้ 2x123x32x (x)f และ f (2) = 2

3 แลว้ f (–1) มีค่าเท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี

1. 4 2. 6 3. 9 4. 11

225. ถา้ฟังกช์นั y = f (x) มีอนุพนัธ์ท่ีจุด x ใดๆ เป็น dxdy = 2x + 1 และ f (1) = 3 แลว้

ค่าของ f (2) เท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 4 2. 5 3. 6 4. 7

226. ก าหนดให ้ f (x) = 3x2 – 3 และ F เป็นปฏิยานุพนัธ์ของฟังกช์นั f ถา้ F (0) = 4 แลว้ F (1) มีค่าเท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 0 2. 1 3. 2 4. 3

227. ถา้ F (x) เป็นปฏิยานุพนัธ์ของ 22x3

3xf(x) แลว้ F(2) – F(–1) มีค่าเท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 0 2. 0.25 3. –0.25 4. 0.50

228. ถา้ f (x) = 3x2 – 2x + 1 กราฟของฟังกช์นั f น้ีผา่นจุด (1 , 3) แลว้ f (x) เท่ากบัขอ้ใด 1. x3 – x2 + x 2. x3 – x2 + x + 2 3. x3 – x2 + x + 5 4. x3 – x2 + x – 7

229. ก าหนดให ้ f (x) = x2 – x ส าหรับจ านวนจริง x ทุกตวั และ f (0) = 1 แลว้ค่าของ f (2) เท่ากบั ค่าในขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 32 2. 34 3. 3

5 4. 37

230. ถา้ f (x) = 3x , f (2) = 2 และ f (1) = 3 แลว้ค่าของ f (0) มีค่าเท่ากบัขอ้ใด 1. –4 2. 0 3. 2

13 4. 13

231. ถา้อตัราการเปล่ียนแปลงของความชนัของเส้นโคง้ y = f (x) ณ จุดใดๆ มีค่าเป็น 3x1 และ

ถา้เส้นโคง้น้ีมีความชนัเท่ากบั 1 ท่ีจุด (–1 , 0) สมการเส้นโคง้น้ีคือขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 22

3x2x1y 2. 12x2x1y

3. 223x

2x1y 4. 12x2x1y


90

232. ถา้อตัราการเปล่ียนแปลงของความชนัของเส้นโคง้ y = f (x) ณ จุดใดๆ มีค่าเท่ากบั 6x – 6 และเส้นโคง้น้ีมีความชนัเท่ากบั 2 ณ จุด (1 , 3) แลว้ สมการของเส้นโคง้จะตรงกบัขอ้ใด 1. y = x3 – 3x2 – 5x 2. y = x3 – 3x2 + 5x 3. y = x3 + 3x2 + 5x 4. y = x3 + 3x2 – 5x

233. ถา้อตัราการเปล่ียนแปลงของความชนัของเส้นโคง้ ณ จุด (x , y) ใดๆ เป็น 3x2 เส้นโคง้น้ี ผา่นจุด (0 , 3) และจุด (–2 , –3) แลว้สมการเส้นโคง้น้ีคือขอ้ใด

1. 5x44xy 2. 35x4

4xy

3. 75x44xy 4. 115x4

4xy

234. ถา้ f : RR เป็นฟังกช์นัซ่ึง f (x) = 3 + 2x ส าหรับทุกจ านวนจริง x และมีค่าสูงสุด ของ f เท่ากบั 3 ท่ีจุด x = –1 แลว้ f (1) คือขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 3

23 2. 623 3. 0 4. –3

235. ถา้โยนวตัถุช้ินหน่ึงข้ึนไปในอากาศตามแนวด่ิงจากยอดตึกซ่ึงสูง 34.3 เมตร ดว้ยความเร็วตน้ 29.4 เมตร/วนิาที และมีความเร่ง –9.8 เมตร/วนิาที2 วตัถุช้ินน้ีอยูสู่งจากพื้นมากท่ีสุดก่ีเมตร 1. 88.2 2. 78.4 3. 44.1 4. 22.05

236. อนุภาคหน่ึงเคล่ือนท่ีจากจุดหน่ึงเม่ือเวลาผา่นไป t วินาที อนุภาคมีความเร็ว v = 4t3 + 2t – 1 เมตรต่อวินาที ขณะท่ีเร่ิมจบัเวลาอนุภาคเคล่ือนท่ีไดร้ะยะทาง 4 เมตร แลว้ระยะทางเม่ืออนุภาค เคล่ือนท่ีในวนิาทีท่ี 3 มีค่าเท่ากบัก่ีเมตร 1. 83 2. 87 3. 91 4. 97

17.11 ปริพนัธ์จ ากดัเขต

237. ค่าของ 11 dx )3x2(2x เท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี

1. – 340 2. – 3

4 3. 34 4. 3

40

238. ค่าของ 30 dx )2xx(3 2 เท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี

1. –9 2. – 49 3. 4

9 4. 9


91

239. ค่าของ 20 dx )3(x2x 1 เท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี

1. – 340 2. – 3

4 3. 34 4. 3

40

240. ค่าของ 21 dt t)3t(1 เท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี

1. –9 2. – 49 3. 4

9 4. 9

17.12 พืน้ทีท่ีปิ่ดล้อมด้วยเส้นโค้ง

241. พื้นท่ีท่ีปิดลอ้มดว้ยเส้นโคง้ในรูปภาพ ท่ีก าหนด มีค่าเท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 3

34 2. 3

8 3. 3 4. 8 242. พื้นท่ีท่ีปิดลอ้มดว้ยเส้นโคง้ในรูปภาพ ท่ีก าหนด มีค่าเท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 3

34 2. 3

8 3. 3 4. 8 243. พื้นท่ีท่ีปิดลอ้มดว้ยเส้นโคง้ในรูปภาพ มีค่าเท่ากบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 27 2. 36 3. 48 4. 54 244. พื้นท่ีท่ีปิดลอ้มดว้ยเส้นโคง้ y = x2 จาก x = 0 ถึง x = 2 มีค่าเท่ากบัก่ีตารางหน่วย 1. 3

4 2. 38 3. 3

16 4. 324

Y

X

y = x2+1

x = –1 x =1

Y

X

y = 6 + x – x2

x = –1 x = 1

Y

X

y = 9 – x2

x = –3 x = 3


92

245. พื้นท่ีท่ีลอ้มรอบดว้ยเส้นโคง้ y = f (x) = 2x2 แกน X , เส้นตรง x = 1 และ x = 2 มีค่าเท่ากบัก่ีตารางหน่วย 1. 3

26 2. 314 3. 313 4. 3

10

246. พื้นท่ีท่ีปิดลอ้มดว้ยเส้นโคง้ f (x) = x2 – x – 12 จาก x = 0 ถึง x = 3 มีค่าก่ีตารางหน่วย 1. 6

189 2. 6200 3. 6

204 4. 6220

247. พื้นท่ีท่ีปิดล้อมด้วยเส้นโคง้ y = f (x) = 4 – x2 แกน X , เส้นตรง x = 1 และ x = 4 มีค่าเท่ากบัก่ีตารางหน่วย 1. 3

37 2. 332 3. 3

27 4. 322

248. พื้นท่ีท่ีปิดลอ้มดว้ยเส้นโคง้ y = x2 – 3x แกน X , เส้นตรง x = –2 และเส้นตรง x = 4 มีค่าเท่ากบัก่ีตารางหน่วย 1. 6

52 2. 664 3. 6

73 4. 690

249. พื้นท่ีท่ีอยูร่ะหวา่งแกน X กบัเส้นโคง้ f (x) = x3 – x2 – 2x มีค่าเท่ากบัก่ีตารางหน่วย 1. 12

27 2. 1229 3. 12

34 4. 1237

250. พื้นท่ีของบริเวณซ่ึงลอ้มรอบดว้ยเส้นโคง้ y = (x – 2)3 กบัแกน X จาก x = 0 ถึง x = 5 มีค่าเท่ากบัก่ีตารางหน่วย 1. 41 20 2. 41 16 3. 4124 4. 28

251. พื้นท่ีท่ีปิดลอ้มดว้ยกราฟ f (x) = 2 – x2 กบักราฟ g (x) = –x มีพื้นท่ีเท่ากบัค่าในขอ้ใด (หน่วย : ตารางหน่วย) 1. 2

13 2. 211 3. 2

9 4. 27

252. พื้นท่ีท่ีถูกปิดลอ้มดว้ยกราฟ y = x2 กบั y = 3x – 2 มีค่าเท่ากบัก่ีตารางหน่วย 1. 21 2. 31 3. 61 4. 54

253. พื้นท่ีปิดลอ้มดว้ยเส้นโคง้ f (x) = x2 และเส้นตรง g(x) = x + 2 จาก x = 1 ถึง x = 2 มีค่าเท่ากบัก่ีตารางหน่วย 1. 6

8 2. 67 3. 6

5 4. 64


93

254. พื้นท่ีท่ีลอ้มรอบดว้ยเส้นโคง้ y = x2 – 4 และ y = 8 – 2x2 มีค่าเท่ากบัก่ีตารางหน่วย 1. 28 2. 30 3. 32 4. 34

255. พื้นท่ีท่ีปิดลอ้มดว้ยเส้นโคง้พาราโบลา y = 6 + 4x – x2 กบัเส้นตรงท่ีเช่ือมจุด (–2 , –6) และ (4 , 6) มีค่าเท่ากบัก่ีตารางหน่วย 1. 28 2. 32 3. 34 4. 36


94

เฉลยตะลุยโจทย์ท ั่วไป บทที ่ 17 แคลคลูสัเบื้องตน้

1. ตอบข้อ 2. 2. ตอบข้อ 3. 3. ตอบข้อ 4. 4. ตอบข้อ 2. 5. ตอบข้อ 1. 6. ตอบข้อ 4. 7. ตอบข้อ 4. 8. ตอบข้อ 4. 9. ตอบข้อ 1. 10. ตอบข้อ 4. 11. ตอบข้อ 4. 12. ตอบข้อ 1. 13. ตอบข้อ 4. 14. ตอบข้อ 3. 15. ตอบข้อ 1. 16. ตอบข้อ 2. 17. ตอบข้อ 3 18. ตอบข้อ 4. 19. ตอบข้อ 3. 20. ตอบข้อ 1. 21. ตอบข้อ 3. 22. ตอบข้อ 2. 23. ตอบข้อ 3. 24. ตอบข้อ 1 25. ตอบข้อ 3. 26. ตอบข้อ 3. 27. ตอบข้อ 2. 28. ตอบข้อ 2. 29. ตอบข้อ 3. 30. ตอบข้อ 3. 31. ตอบข้อ 2. 32. ตอบข้อ 3. 33. ตอบข้อ 3. 34. ตอบข้อ 2. 35. ตอบข้อ 4. 36. ตอบข้อ 4. 37. ตอบข้อ 4. 38. ตอบข้อ 2. 39. ตอบข้อ 4. 40. ตอบข้อ 2. 41. ตอบข้อ 3. 42. ตอบข้อ 3. 43. ตอบข้อ 4. 44. ตอบข้อ 4. 45. ตอบข้อ 3. 46. ตอบข้อ 1. 47. ตอบข้อ 1. 48. ตอบข้อ 1. 49. ตอบข้อ 1. 50. ตอบข้อ 2. 51. ตอบข้อ 3. 52. ตอบข้อ 2. 53. ตอบข้อ 2. 54. ตอบข้อ 4. 55. ตอบข้อ 1. 56. ตอบข้อ 4. 57. ตอบข้อ 1. 58. ตอบข้อ 1. 59. ตอบข้อ 4. 60. ตอบข้อ 2. 61. ตอบข้อ 1. 62. ตอบข้อ 1. 63. ตอบข้อ 4. 64. ตอบข้อ 4. 65. ตอบข้อ 1. 66. ตอบข้อ 3. 67. ตอบข้อ 1. 68. ตอบข้อ 3. 69. ตอบข้อ 1. 70. ตอบข้อ 2. 71. ตอบข้อ 2. 72. ตอบข้อ 1. 73. ตอบข้อ 3. 74. ตอบข้อ 3. 75. ตอบข้อ 4. 76. ตอบข้อ 1. 77. ตอบข้อ 2. 78. ตอบข้อ 2. 79. ตอบข้อ 4. 80. ตอบข้อ 1. 81. ตอบข้อ 1. 82. ตอบข้อ 2. 83. ตอบข้อ 1. 84. ตอบข้อ 2. 85. ตอบข้อ 2. 86. ตอบข้อ 1. 87. ตอบข้อ 3. 88. ตอบข้อ 2. 89. ตอบข้อ 3. 90. ตอบข้อ 3. 91. ตอบข้อ 2. 92. ตอบข้อ 3. 93. ตอบข้อ 2. 94. ตอบข้อ 3. 95. ตอบข้อ 2. 96. ตอบข้อ 1. 97. ตอบข้อ 4. 98. ตอบข้อ 4. 99. ตอบข้อ 2. 100. ตอบข้อ 3. 101. ตอบข้อ 4. 102. ตอบข้อ 3. 103. ตอบข้อ 4. 104. ตอบข้อ 4.


95

\105. ตอบข้อ 1. 106. ตอบข้อ 1. 107. ตอบข้อ 1. 108. ตอบข้อ 2. 109. ตอบข้อ 2. 110. ตอบข้อ 2. 111. ตอบข้อ 1. 112. ตอบข้อ 4. 113. ตอบข้อ 1. 114. ตอบข้อ 4. 115. ตอบข้อ 2. 116. ตอบข้อ 1. 117. ตอบข้อ 1. 118. ตอบข้อ 2. 119. ตอบข้อ 4. 120. ตอบข้อ 1. 121. ตอบข้อ 3. 122. ตอบข้อ 4. 123. ตอบข้อ 3. 124. ตอบข้อ 2. 125. ตอบข้อ 3. 126. ตอบข้อ 4. 127. ตอบข้อ 3. 128. ตอบข้อ 2. 129. ตอบข้อ 4. 130. ตอบข้อ 3. 131. ตอบข้อ 4. 132. ตอบข้อ 2. 133. ตอบข้อ 3. 134. ตอบข้อ 3. 135. ตอบข้อ 3. 136. ตอบข้อ 4. 137. ตอบข้อ 2. 138. ตอบข้อ 3. 139. ตอบข้อ 4. 140. ตอบข้อ 3. 141. ตอบข้อ 3. 142. ตอบข้อ 3. 143. ตอบข้อ 3. 144. ตอบข้อ 1. 145. ตอบข้อ 3. 146. ตอบข้อ 4. 147. ตอบข้อ 2. 148. ตอบข้อ 1. 149. ตอบข้อ 4. 150. ตอบข้อ 3. 151. ตอบข้อ 1. 152. ตอบข้อ 4. 153. ตอบข้อ 1. 154. ตอบข้อ 3. 155. ตอบข้อ 4. 156. ตอบข้อ 3. 157. ตอบข้อ 2. 158. ตอบข้อ 2. 159. ตอบข้อ 2. 160. ตอบข้อ 2. 161. ตอบข้อ 1. 162. ตอบข้อ 4. 163. ตอบข้อ 1. 164. ตอบข้อ 2. 165. ตอบข้อ 1. 166. ตอบ 2.4 167. ตอบข้อ 1. 168. ตอบข้อ 3. 169. ตอบข้อ 4. 170. ตอบข้อ 2. 171. ตอบข้อ 1. 172. ตอบข้อ 2. 173. ตอบข้อ 3. 174. ตอบข้อ 2. 175. ตอบข้อ 1. 176. ตอบข้อ 1. 177. ตอบข้อ 2. 178. ตอบข้อ 3. 179. ตอบข้อ 3. 180. ตอบข้อ 1. 181. ตอบข้อ 4. 182. ตอบข้อ 4. 183. ตอบข้อ 4. 184. ตอบข้อ 2. 185. ตอบข้อ 4. 186. ตอบข้อ 1. 187. ตอบข้อ 4. 188. ตอบข้อ 3. 189. ตอบข้อ 4. 190. ตอบข้อ 4. 191. ตอบข้อ 2. 192. ตอบข้อ 2. 193. ตอบข้อ 1. 194. ตอบข้อ 1. 195. ตอบข้อ 1. 196. ตอบข้อ 2. 197. ตอบข้อ 4. 198. ตอบข้อ 3. 199. ตอบ 38 200. ตอบข้อ 3. 201. ตอบข้อ 3. 202. ตอบข้อ 2. 203. ตอบข้อ 4. 204. ตอบข้อ 1. 205. ตอบข้อ 1. 206. ตอบข้อ 2. 207. ตอบข้อ 1. 208. ตอบข้อ 1. 209. ตอบข้อ 1. 210. ตอบข้อ 2. 211. ตอบข้อ 1. 212. ตอบข้อ 1. 213. ตอบข้อ 1. 214. ตอบข้อ 4. 215. ตอบข้อ 1. 216. ตอบข้อ 4.


96

217. ตอบข้อ 4. 218. ตอบข้อ 2. 219. ตอบข้อ 1. 220. ตอบข้อ 4. 221. ตอบข้อ 1. 222. ตอบข้อ 1. 223. ตอบข้อ 4. 224. ตอบข้อ 3. 225. ตอบข้อ 4. 226. ตอบข้อ 3. 227. ตอบข้อ 3. 228. ตอบข้อ 2. 229. ตอบข้อ 3. 230. ตอบข้อ 3. 231. ตอบข้อ 1. 232. ตอบข้อ 2. 233. ตอบข้อ 2. 234. ตอบข้อ 1. 235. ตอบข้อ 2. 236. ตอบข้อ 3. 237. ตอบข้อ 3. 238. ตอบข้อ 4. 239. ตอบข้อ 4. 240. ตอบข้อ 2. 241. ตอบข้อ 2. 242. ตอบข้อ 2. 243. ตอบข้อ 2. 244. ตอบข้อ 2. 245. ตอบข้อ 2. 246. ตอบข้อ 1. 247. ตอบข้อ 1. 248. ตอบข้อ 4. 249. ตอบข้อ 4. 250. ตอบข้อ 3. 251. ตอบข้อ 3. 252. ตอบข้อ 3. 253. ตอบข้อ 2. 254. ตอบข้อ 3. 255. ตอบข้อ 4.

ติวสบายคณิต เล่ม 6 บทท ี่ 16 ล าดับและ...

Documents