1

การเคลือ่นทีแ่บบหมนุRotation of a rigid object about a fixed axis

2

หวัขอ้

• ในบทนี้จะศกึษาเกีย่วกบัการหมนุของวตัถุแขง็เกรง็รอบแกนหมนุที่

กาํหนด เชน่ การหมนุของวตัถุรอบแกน เชน่ การหมนุของลอ้รถ การ

กลิง้ของกระป๋อง เป็นตน้

• การหมนุ ความเรว็เชงิมมุและความเรง่เชงิมมุ

• ทอรก์กบัการเคลือ่นทีแ่บบหมนุ

• โมเมนตค์วามเฉื่อย (moment of inertia)

• พลงังานจลน์ของการหมนุ

• โมเมนตมัเชงิมมุ

• การทาํงานในการหมนุ

• การแกวง่ของวตัถุ

3

การหมนุ ความเรว็เชงิมมุและความเรง่เชงิมมุ• วตัถุแขง็เกรง็หมนุรอบแกน Z ซึง่

ผา่นจดุ 0 และตัง้ฉากกบัระนาบการ

หมนุ (แกน z พุง่ออกมาจาก

กระดาษ)

• จดุ P ในวตัถุนี้จะเคลือ่นทีเ่ป็น

วงกลมรศัม ีr

• P เคลือ่นทีเ่ป็นระยะทาง s ทาํมมุ

กบัแกน x จะไดค้วามสมัพนัธข์อง

ตาํแหน่งเชงิมมุดงันี้

θ

มมุ หน่วยเป็นเรดยีนθ

4

• การขจดัเชงิมมุ (angular displacement)

• ความเรว็เชงิมมุเฉลีย่ หน่วยเป็น rad/s

• ความเรว็เชงิมมุขณะใดขณะหนึ่ง

• ความเรง่เชงิมมุเฉลีย่

• ความเรง่เชงิมมุขณะใดขณะหนึ่งtΔในเวลา จุด P เคลือ่นทีไ่ปจุด Q

5

• เมือ่วตัถุแขง็เกรง็หมนุรอบแกนแกน

หนึ่ง ทกุๆจดุในวตัถุแขง็เกรง็ทีอ่ยู่

ในมมุเดยีวกนั ความเรว็เชงิมมุและ

ความเรง่เชงิมมุจะเทา่กนั โดยไม่

ขึน้กบัรศัมขีองจดุจดุนัน้

• การขจดัเชงิมมุ ความเรว็เชงิมมุและ

ความเรง่เชงิมมุเป็นปรมิาณ

เวกเตอร ์ทศิทางกาํหนดไดจ้ากกฎ

มอืขวา

6

สมการสาํหรบัการเคลื่อนทีแ่บบหมนุทีม่แีกนหมนุคงทีจ่ะคลา้ย

กบัสมการการเคลื่อนทีใ่นหนึ่งมติิ

0

0

2 20

2 2 2 20

( )( )2 2

1 12 22 2

v u at tu vs t t

s ut at t t

v u as

ω ω αω ωθ

θ ω α

ω ω αθ

= + = +

++= =

= + = +

= + = +

7

ปรมิาณเชงิมมุกบัเชงิเสน้

• ความเรว็และความเรง่เชงิมมุกบัความเรว็

และความเรง่เชงิเสน้มคีวามสมัพนัธก์นั

วตัถุแขง็เกร็งหมุนรอบแกน z ที่จุด 0 ความเร็วเชิงเสน้ของจุด P จะมีทิศทางสมัผสักบัส่วนโคง้ของการเคลื่อนที่ ซึ่ง

จะตั้งฉากกบั r

8

ปรมิาณเชงิมมุกบัเชงิเสน้

• เมือ่คดิถงึความเรง่สูศ่นูยก์ลางดว้ย

จะไดว้า่

9

ทอรก์กบัการเครือ่งทีแ่บบหมนุ• พจิารณามวล อยูท่ีร่ะยะ ri

จากแกนหมนุ มแีรงยอ่ย Fi กระทาํตอ่มวลนัน้ มคีวามเรง่ในแนวตัง้ฉาก

กบัรศัมคีอื ai

imΔ

ri imass mΔ

Fi

2

2

2

( )

( )

( )

( )

( )( )

i i i i i i

i i i

i i i i

i i

i i i i i

i i i

F m a m r a r

r Fr Fr m r

m r

m r

m r I Moment of inertiaI vector I

α α

ττ

α

α

τ τ α

τ α τ α

=Δ =Δ =

= ×=

= Δ

= Δ

= = Δ

Δ = =

= =

∑ ∑∑

vv v

vv

imΔ

หาทอร์กรอบแกน z

10

โมเมนตค์วามเฉื่อย (Moment of Inertia)

• โมเมนตค์วามเฉื่อยรอบแกนสมมาตร ผา่นจดุศนูยก์ลางมวลของ

รปูทรงต่างๆ ดใูนหน้าถดัไป

• ในการหา I ถา้เลือ่นแกนหมนุไปเป็นระยะทาง D ใหข้นานกบัแกน

สมมาตรเดมิ คา่ I จะเพิม่ขึน้อกี จากคา่ในตาราง2mD

11

12

Moment of Inertia

• ถา้ใหแ้กนหมนุอยูท่ีป่ลายดา้นใน

ดา้นหนึ่งจงหา โมเมนตค์วามเฉือย

13

ตวัอย่าง 7.1 ระบบลอ้กบัเพลาประกอบดว้ยลอ้มวล M1 รศัม ีR ยดึตดิกบัเพลามวล

M2 รศัม ีr ถา้ถ่วงนํ้าหนกัดว้ยมวล m ทีเ่ชอืกพนัรอบเพลา

ความเรง่เชงิมมุของลอ้และเพลาจะเป็นเทา่ไร

• โมเมนตค์วามเฉื่อยของลอ้และเพลา

รอบแกนหมนุคอื

• ให ้T เป็นความตงึของเสน้เชอืก

2 21 2

1 12 2

I M R M r= +

T

mg2

2

( )( )

mg T maTr I

mg ma r Img m r r I

mgr I mrmgr

I mr

τ αα

α α

α α

α

− == =

− =− =

= +

=+

14

ตวัอย่าง 7.2 ทรงกระบอกกลวงบาง มวล m รศัม ีR กลิง้ลงตามพืน้เอยีงทาํมมุ

กบัระนาบระดบัโดยไมม่กีารไถล จดุศนูยก์ลางมวลของทรงกระบอกจะมี

ความเรง่เทา่ไร

θ

N

f

mgθ

I = mR2

2

sin

sin

sin

sin

sin 2sin2

mg f mafR I

IfR

a RImg maRmRmg ma

RRg a

g aga

θτ α

α

ααθ

αθ

αθ

θθ

− == =

=

=

− =

− =

− =

=

=

การเคลื่อนที่เชิงเสน้ของ c.m.การหมุนรอบแกนที่ผา่น c.m.

เนื่องจากเป็นการกลิ้งโดยไม่ไถล

แทนค่า f

ความเร่งของจุด c.m. ลงตามพื้นเอียง

15

พลงังานจลน์ของการหมนุ

• ในการหมนุรอบแกนหนึ่งๆของวตัถุแขง็เกรง็ ทุกสว่นของวตัถุยอ่ม

เคลือ่นทีเ่ป็นวงกลมรอบแกนหมนุดว้ยความเรว็เชงิมมุคา่เดยีวกนั

• จากเรือ่งพลงังานจลน์ วตัถุมวล m เคลือ่นทีด่ว้ยความเรว็ v จะมี

พลงังานจลน์

• สาํหรบัวตัถุทีม่กีารหมนุ ถา้พจิารณามวลยอ่ยทีป่ระกอบขึน้เป็นวตัถุ แต่

ละมวลยอ่ยมกีารเคลือ่นทีด่ว้ยความเรว็ต่างกนัขึน้อยูก่บัระยะทางทีม่วล

ยอ่ยอยูห่า่งจากแกนหมนุ นัน่คอืแต่ละมวลยอ่ยมพีลงังานจลน์ต่างกนั

• พลงังานจลน์รวมของทุกๆมวลยอ่ย จะเป็นพลงังานจลน์ของวตัถุ

เนื่องจากการหมนุ

212kE mv=

21

12

nk i ii

E m v=

= ∑

16

พลงังานจลน์ของการหมนุ

21

21

2 21

2

12

1 ( )21 ( )212

nk i ii

i i

nk i ii

ni ii

k

E m v

v r

E m r

m r

E I

ω

ω

ω

ω

=

=

=

=

=

=

=

=

∑

∑

∑

หน่วยเป็นจูล

17

สรปุ

• วตัถุทีม่กีารเคลือ่นทีโ่ดยการเลือ่นตาํแหน่งดว้ยและหมนุไปดว้ย

พลงังานจลน์รวมจะเทา่กบัพลงังานจลน์จากการเลือ่นตาํแหน่งบวกกบั

พลงังานจลน์จากการหมนุ

2 21 12 2kE mv Iω= +

18

ตวัอย่าง 7.3 มา้หมนุชุดหนึ่งมโีมเมนตค์วามเฉื่อยรอบแกนหมนุในแนวดิง่ 900

กโิลกรมั.เมตร2 ถา้ผลกัใหห้มนุในอตัรานาทลีะ 12 รอบ จงหาพลงังานจลน์ของมา้

หมนุ

1

2

2

2

1260

122 2 /60

900121 12(900 ) (2 / )2 60710.6

k

f s

f rad s

I kg m

E I

kg m rad s

joule

ω π π

ω

π

−=

= = ×

=

=

= × × ×

=

19

ตวัอย่าง 7.4 ทรงกระบอกกลวงบาง กลิง้ลงพืน้ทีเ่อยีงโดยไมไ่ถลจากตาํแหน่งสงู h

เมือ่สดุพืน้ทีเ่อยีง จดุศนูยก์ลางทรงกระบอกมอีตัราเรว็เทา่ไร

จากหลกัการอนุรักษพ์ลงังาน

2 2

2

22 2

2

2

1 12 2

1 12 2

mv I mgh

I mRvR

vmv mR mghR

mv mgh

v gh

ω

ω

+ =

=

=

+ =

=

=

20

โมเมนตมัเชงิมมุ (Angular Momentum)

• โมเมนตมัเชงิมมุ (Angular Momentum) L มคีา่เทา่กบัโมเมนต์

ความเฉื่อยคณูดว้ยความเรว็เชงิมมุ

• โมเมนตมัเชงิมมุเกีย่วขอ้งกบัทอรก์ ดงันี้

L Iω=v v

( )d d I dLI Id t d t d tω ωτ α= = = =

vv vvv

dLd t

τ =v

v

เมือ่โมเมนตมัเชงิมมุมกีารเปลีย่นแปลงไปกบัเวลา

จะตอ้งมทีอรก์เกดิขึน้ และถา้ไมม่ทีอรก์จากภายนอก

มากระทาํกบัระบบ โมเมนตมัเชงิมมุของระบบจะไมม่ี

การเปลีย่นแปลง

21

จะเกดิอะไรขึน้ถา้พลกิวงลอ้ใหด้า้นลา่งมาอยูด่า้นบน

dLd t

τ =v

vอธิบายดว้ย

เมือ่โมเมนตมัเชงิมมุมกีารเปลีย่นแปลงไปกบัเวลา

จะตอ้งมทีอรก์เกดิขึน้ และถา้ไมม่ทีอรก์จากภายนอก

มากระทาํกบัระบบ โมเมนตมัเชงิมุมของระบบจะไมม่ี

การเปลีย่นแปลง

22

การทาํงานในการหมนุ

• ในการหมนุทีไ่มเ่ปลีย่นทศิของแกนหมนุ งานทีก่ระทาํเทา่กบั

• การทาํงานในการหมนุเทา่กบัพลงังานจลน์ของการหมนุทีเ่ปลีย่นไป

.

W

dwPdt

τθ

τ ω

=

= = vvกาํลงั (power) ในการหมุนคือ

2 20

1 1=2 2

I Iτθ ω ω−

23

ตวัอย่าง 7.5 แทง่ไมส้มํ่าเสมอยาว L มมีวล m ปลายดา้นหนึ่งตดิบานพบัไวก้บัพืน้ เมือ่ทาํใหเ้ริม่

เคลือ่นทีจ่ากมมุ 60 องศา ปลายไมจ้ะถงึพืน้ดว้ยอตัราเรว็เทา่ไร และมคีวาเรง่เชงิเสน้เทา่ไร

• งานทีเ่กดิจากทอรก์ของนํ้าหนกัทาํใหเ้กดิพลงังานจลน์

ขึน้ เราใชห้ลกัการอนุรกัษ์พลงังานในการคาํนวน

• ตอนเริม่ตน้มเีฉพาะพลงังานศกัย์ = mgh

• ตอนทีไ่มจ้ะถงึพืน้มเีฉพาะพลงังานจลน์ของการหมนุ

mg

L

60

h

3 3sin 602 2 2 4L Lmgh mg mg mgL= = =o

212

I ω

2 2 2 2 21 1 1 1( )2 2 3 6

I mL mLω ω ω= =พลงังานจลน ์=

24

• จากกฎการอนุรกัษ์พลงังานจะไดว้า่

2 23 14 6

3 32

mgL mL

vL

v gL

ω

ω

=

=

=

แทนค่า จะได ้v เท่ากบั

v คืออตัราเร็วที่ปลายไมจ้ะถึงพื้น

25

ต่อไปจะหาความเรง่เชงิมมุ เพือ่หาความเรง่เชงิเสน้ต่อไป

ขณะทีไ่มจ้ะกระทบพืน้ ทอรค์ทีก่ระทาํมคีา่เทา่กบั

2

2

s i n 02 2

13

13 232

L Lm g m g

I m L

Lm L m g

gL

τ

τ α α

α

α

= =

= =

∴ =

=

o

เราทราบวา่

จาก3 32 2

ga L gL

= =

ความเร่งสูงกวา่ค่า g หมายความวา่อยา่งไร ?

26

การแกวง่ของวตัถุ

• แกวง่แทง่วตัถุขนาดสมํ่าเสมอยาว L

รอบจดุหมนุทีป่ลายดา้นหนึ่ง

(Physical Pendulum)

• เมือ่แทง่วตัถุเอยีงไปเลก็น้อยจาก

ตาํแหน่งสมดลุ จะมทีอรก์อนั

เนื่องมาจากนํ้าหนกักระทาํในทสิต

รงขา้มกบัการหมนุเพือ่ใหแ้ทง่วตัถุ

กลบัมาทีจ่ดุสมดลุ

θ

mg

sin2Lmgτ θ= −

27

2

2

13

sin (sin )2 2

13 2

32

I mL

L Lmg mg

LmL mg

gL

τ α α

τ θ θ θ θ

α θ

α θ

= =

= − = − ≈

= −

= −

สาํหรับมุม เลก็θ

จะเห็นวา่ ความเร่งเชิงมุมแปรผนัตรงกบัการกระจดัเชิงมุม และมีทิศตรงกนัขา้ม การแกวง่ของแท่ง

วตัถุจึงเป็นการเคลื่อนที่แบบ SHM เราจึงนาํคุณสมบตัิของSHM มาใชไ้ดก้ล่าวคือ

28

2

2 3232

2 223

gLgL

LTg

α ω θ

ω

ω

π πω

= −

=

=

= =

เปรียบเทียบกบัการแกวง่ของลูกตุม้อยา่งง่ายในบทที่ 4 ดูจะเห็นวา่แตกต่างกนั