1 otational otion การเคลื่อนที่แบบหม ุน · 2012-03-01 ·...

PHYSICS 1 : TITISAK ROTATIONAL MOTION

1

การเคลือ่นที่แบบหมุน ROTATIONAL MOTION

ขอแนะนําเบื้องตน ในการศึกษาเรื่องการเคลื่อนที่แบบหมุนนี้จะมีปริมาณตาง ๆ คลายคลึงกับการเคลื่อนที่ในแนวเสนตรงที่ผานมา และตองอาศัยความรูในเรื่องดิฟเฟอเรนเชียลและอินทิเกรตเปนอยางมาก ดังนั้นจึงควรทําการศึกษาทบทวนในเรื่องที่ผานมาใหดี

การเคลื่อนท่ีแบบหมุน ในธรรมชาติเกิดขึ้นไดกับอนุภาคหรือวัตถุที่มีขนาดเล็กไปจนถึงวัตถุที่มีขนาดใหญมาก ต้ังแตการหมุนในระดับอะตอมไปจนถึงการหมุนของกาแลกซีในเอกภพ ในกรณีการหมุนของวัตถุที่มีขนาดใหญ เชน การหมุนของลอรถ การหมุนของดาวเคราะห เราไมสามารถที่จะมองการหมุนแบบนั้นเหมือนการหมุนของอนุภาคเดี่ยว ๆ ได เพราะอนุภาคเหลานั้นอยูคนละตําแหนง มีระยะหางจากแกนหมุนไมเทากัน จึงมีความเร็วเชิงเสนและความเรงเชิงเสนที่ไมเทากันดวย ดังนั้น ในการศึกษาการหมุนของวัตถุที่ประกอบไปดวยอนุภาคที่เรียงตัวกันอยางตอเนื่องจะสมมติเปนวัตถุแข็งเกร็ง (Rigid Body) คือ วัตถุในอุดมคติที่ประกอบไปดวยอนุภาคมากมายเรียงรายตอเนื่องกันและมีระยะระหวางอนุภาคคงที่เสมอ ดังนั้น วัตถุแข็งเกร็งจึงไมมีการเปล่ียนรูปรางในขณะเคล่ือนที่ ไมวาจะมีแรงภายนอกมากระทํามายมายเพียงใดก็ตาม (ในอุดมคติ)

ดังน้ัน การเคลื่อนที่แบบหมุนจะเปนการเคลื่อนที่โดยการหมุนรอบตัวเอง รอบจุดใดจุดหนึ่ง หรือ แกนใดแกนหนึ่งในตัวมัน เชน ลูกฟุตบอล ลูกขาง พัดลม ลอรถ เปนตน

จลนศาสตรของการหมุนจะเหมือนกับจลนศาสตรการเคลื่อนที่เปนวงกลม การหมุนของวัตถุแข็งเกร็งรอบแกนตรึงแกนหนึ่ง แตละอนุภาคที่ประกอบกันเปนวัตถุแข็งเกร็งจะมีความเร็วเชิงมุมและความเรงเชิงมุมเทากันเสมอ

วัตถุจะเกิดการหมุนเมื่อมีโมเมนต (Moment) หรือ ทอรก (Torque) มากระทํา 1) ถาวัตถุสามารถเคลื่อนที่ไดอยางอิสระ จะเกิดการหมุนเมื่อแนวแรงไมผานจุดศูนยกลางมวลและวัตถุนั้นจะมีการหมุนรอบ

จุดศูนยกลางมวล 2) ถาวัตถุนั้นถูกยึดดวยแกนหมุน เชน พัดลม ดุมลอจักรยาน จะเกิดการหมุนเมื่อแนวแรงไมผานแกนหมุนและวัตถุนั้นจะ

หมุนรอบแกนหมุนนั้น (ไมจําเปนตองหมุนรอบจดุศูนยกลางมวล เหมือนกรณีที่หนึ่ง)

เงื่อนไขท่ีจําเปนสําหรับการเคลื่อนท่ีแบบหมุนมี 2 ประการ คือ 1) ทุก ๆ อณูของวัตถุตองเคล่ือนที่ในแนววงกลม 2) ศูนยกลางของทุก ๆ วงกลม ตองอยูบนเสนตรงเดียวกัน เสนตรงนี้เรียกวา แกนของการหมุน

การกระจัดเชิงมุม (Angular displacement) ( )θΔ r

คือ มุมที่กวาดไปในระนาบของการเคลื่อนที่ เปนปริมาณเวกเตอร มีทิศทางตามกฎมือขวา

2 1θ θ θΔ = −r

เมื่อ sr

θ = หนวย ( )radian rad

ความเร็วเชิงมุม (Angular speed) ( )ωr คือ การกระจัดเชิงมุมที่เปล่ียนไปในหนึ่งหนวยเวลา มีทิศเดียวกับการกระจัดเชิงมุม

ความเร็วเชิงมุมเฉลี่ย 2 1

2 1t t tθ θ θω Δ −

= =Δ −

r r rr

หนวย rad s

ความเร็วเชิงมุมขณะหน่ึง 0

limt

dt dtθ θω

Δ →

Δ= =

Δ

rr

หนวย rad s

หมายเหตุ ทุกจุดของวัตถุแข็งเกร็งจะหมุนดวยความเร็งเชิงมุมที่เทากัน


2

ความเรงเชิงมุม ( )αr (Angular acceleration) คือ ความเร็วเชิงมุมที่เปล่ียนไปในหนึ่งหนวยเวลา มีทิศเดียวกับความเร็วเชิงมุม

ความเรงเชิงมุมเฉลี่ย 2 1

2 1t t tω ω ωα Δ −

= =Δ −

r r rr

หนวย 2rad s

ความเรงเชิงมุมขณะหน่ึง 0

limt

dt dtω ωα

Δ →

Δ= =

Δ

r rr

หนวย 2rad s

ความสัมพันธระหวางปริมาณเชิงเสนและเชิงมุม

ตําแหนง s rθ=

ความเร็วเชิงเสน v rω= มาจาก ds dv rdt dt

θ= = (ดูรูปที่ 1 ดานลางประกอบ)

จากสมการ v rω= จะเห็นวากรณีวัตถุแข็งเกร็งหมุนรอบแกนหมุน อนุภาคทุกอนุภาคในวัตถุจะมีความเร็วเชิงมุมเทากัน แตมีความเร็วเชิงเสนไมเทากันโดยขึ้นอยูกับระยะหางจากแกนหมุน ย่ิงหางมากก็ย่ิงเร็วมาก

ความเรงในแนวสัมผัส (Tangential) ta rα= มาจาก tdv da r rdt dt

ω α= = = (ดูรูปที่ 2-3 ดานลาง)

ความเรงในแนวสัมผัสของจุดใด ๆ ภายในวัตถุแข็งเกร็งที่กําลังหมุนรอบแกนตรึงหนึ่งจะมีคาเทากับผลคูณของระยะหางจากแกนหมุนกับขนาดของความเรงเชิงมุม

ความเรงในแนวรัศมี (Radial) (ความเรงสูศูนยกลาง) 2

2r

va rr

ω= = (ดูรูปที่ 2-3 ดานลาง)

ดังน้ัน ความเรงลัพธ t ra a a= +r r r

2 2t ra a a= +

r

รูปท่ี 1 รูปท่ี 2 รูปท่ี 3


3

h PIC MI

เปรียบเทียบกับสมการการเคลื่อนที่แนวเสนตรงกบัแบบหมนุ

กรณีหมุนดวยความเรงเชิงมุม ( )α คงท่ี (Uniformly accelerated rotational motion)

เสนตรง แบบหมุน

0

0

20

2 20

212

2

v v atv vx t

x v t at

v v a x

= +

+⎛ ⎞Δ = ⎜ ⎟⎝ ⎠

Δ = +

= + Δ

1 0

1 0

20

2 21 0

212

2

t

t

t t

ω ω αω ωθ

θ ω α

ω ω α θ

= +

+⎛ ⎞Δ = ⎜ ⎟⎝ ⎠

Δ = +

= + Δ

การคํานวณโมเมนตความเฉื่อย (Moment of inertia) หรือ ความเฉื่อยเชิงหมุน (Rotational inertia) โมเมนตความเฉื่อยของวัตถุ เปนสมบัติของวัตถุแข็งเกร็งในการตอตานการเปลี่ยนแปลงความเร็วเชิงมุมของการหมุนของวัตถุรอบแกนหมุน เปนปริมาณสเกลาร หนวย 2kg m⋅

ถาวัตถุมีคาโมเมนตความเฉื่อยมาก จะหมุนดวยความเร็วเชิงมุมนอย ถาวัตถุมีคาโมเมนตความเฉื่อยนอย จะหมุนดวยความเร็วเชิงมุมมาก

1. กรณีอนุภาคเปนมวลยอย ๆ

2 2 2 2 2

1 1 2 2 3 31

....n

i i n ni

I m r m r m r m r m r=

= = + + + +∑

2. กรณีอนุภาคประกอบกันเปนวัตถุแข็งเกร็ง

2 2

0lim

ii im

I r m r dmΔ →

= Δ =∑ ∫ จาก mV

ρ = หรือ dm dVρ= จะไดวา

2I r dVρ= ∫ เมื่อ ρ คือ ความหนาแนนของวัตถุ หรือ คามวลตอหนึ่งหนวยปริมาตร กรณีวัตถุเปนทรง 3 มิติ

สําหรับ กรณีวัตถุทรง 1 มิติ ( , )xλ และ 2 มิติ ( , )Aσ ก็ใชหลักการเดียวกัน แตใชสัญลักษณแตกตางกันเทานั้น

กรณี 1 มิติ 2I x dxλ= ∫ กรณี 2 มิติ 2I r dAσ= ∫ กรณี 3 มิติ 2I r dVρ= ∫

การหาโมเมนตความเฉื่อยโดยใชทฤษฎีบทแกนขนาน (Parallel–Axis Theorem) ในกรณีที่วัตถุหมุนรอบแกนที่ไมใชแกนสมมาตร เราจะสามารถหาโมเมนตความเฉื่อยของวัตถุรอบแกนไมสมมาตร โดยใชทฤษฎีบทแกนขนาน เปนทฤษฎีที่แสดงถึงความสัมพันธระหวางโมเมนตความเฉื่อย PI ของวัตถุรอบแกนที่ผานจุด P กับโมเมนต ความเฉื่อย CMI ของวัตถุรอบแกนที่ผานจุดศูนยกลางมวลและขนานกับแกนที่ผานจุด P ของวัตถุนั้น

2

p CMI I Mh= +

เมื่อ h คือ ระยะหางระหวางจุดหมุนใหมกับจุดศูนยกลางมวลของวัตถุในแนวแกนหมุนนั้น

งาย ๆ คือ คาโมเมนตความเฉื่อยของวัตถุที่มีจุดหมุนอยูหางจากจุดศูนยกลางมวลเปนระยะ h จะมีคาเทากับ = ผลบวกของโมเมนตความเฉื่อยของวัตถุที่หมุนผานจุดศูนยกลางมวล CMI บวก + กับ 2Mh

ดังนั้น การเลือกใชทฤษฎีบทแกนขนานจะตองทราบคา CMI ของวัตถุในแนวแกนหมุนที่พิจารณาดวย ถาไมทราบใชไมได


4

พิสูจน จากรูป วัตถุวางอยูในระนาบ xy โดยเลือกใหจุดกําเนิด (Origin) อยูที่จุดศูนยกลางมวล CM ของวัตถุ และ CMI คือ โมเมนตความเฉื่อยของวัตถุรอบแกน z ถาให PI เปนโมเมนตความเฉื่อยของวัตถุรอบแกนที่ขนานกับแกน z อยูที่จุด A เมื่อ A มีพิกัด ,A Ax y ให , i ix y และ im แทนพิกัดและมวลของอนุภาคหนึ่งในวัตถุ ระยะทางหางระหวางมวล im

กับจุด A เทากับ ( ) ( )2 2i A i Ax x y y⎡ ⎤− + −⎣ ⎦ ดังนั้นโมเมนตความเฉื่อย PI รอบจุด A

จึงเทากับ

( ) ( )2 2P i i A i AI m x x y y⎡ ⎤= − + −⎣ ⎦∑

( )( ) ( )( )2 2 2 22 2i i i A i i A i i i A Am x y x m x y m y m x y= + − − + +∑ ∑ ∑ ∑

พิจารณา พจนที่ 1 เทากับ ( )( )2 2CM i i iI m x y= +∑ ถาให ,i ix y เปนจุด CM และอยูที่จุดกําเนิด นั่นคือ i, yi CM CMx x y= =

พจนที่ 2 และพจนที่ 3 มีคาเทากับศูนย จากนิยามของ CM 0i i i im x m y= =∑ ∑ เพราะ 0CM CMx y= =

พจนที่ 4 ( )2 2 2A Ax y h+ = เมื่อ h คือ ระยะทางจากจุด CM ถึงจุด A

ดังนั้น เราจะไดวา 2

p CMI I Mh= +

ทฤษฎีบทแกนขนานสามารถใชไดกับวัตถุทั่วไป แตตองทราบคา CMI ของวัตถุในแนวแกนหมุนที่พิจารณาดวย ถาไมทราบใชไมได

การหาโมเมนตความเฉื่อยโดยใชทฤษฎีบทแกนตั้งฉาก (Perpendicular – axis Theorems) ทฤษฎีบทแกนตั้งฉากสามารถใชไดเฉพาะวัตถุที่มีลักษณะรูปทรง 2 มิติ หรือรูปบนระนาบ (plane figures) เทานั้น หรือเปนวัตถุที่ความหนาคงตัวและมีความหนานอยมากจนสามารถตัดทิ้งไมนํามาพิจารณาได ทฤษฎีนี้จะเปนการรวมโมเมนตความเฉื่อยของวัตถุรูประนาบของแกน 2 แกนใด ๆ ที่ต้ังฉากกันในระนาบของวัตถุ ซึ่งจะมีคาเทากับโมเมนตความเฉื่อยที่ต้ังฉากที่อยูบนจุดตัดของแกนทั้ง 2 ที่ต้ังฉากกันบนระนาบของวัตถุ จากรูปดานลาง วัตถุวางตัวอยูในระนาบ xy และหมุนรอบแกน z ดังนั้น จากทฤษฎีจะไดวา

z x yI I I= +

เมื่อ , x yI I และ zI เปนโมเมนตความเฉื่อยรอบแกน , x y และ z ตามลําดับ

จากรูปเราทราบ 212ZI MR= ฉะนั้นจากสมการขางตนจะได 21 1

2 4x y ZI I I MR= = =

ทอรก (Torque) และความสัมพันธระหวางทอรกกับความเรงเชิงมุม

ทอรก ( )τr หรือ โมเมนตของแรง (Moment of a force) คือ ความพยายามของแรงที่จะหมุนวัตถุรอบแกนหรือจุดหมุน

หรือก็คือ โมเมนตของวัตถุที่เคล่ือนที่แบบหมุน มีหนวย N m⋅ เกิดจากผลคูณเชิงเวกเตอรของเวกเตอรตําแหนง rr กับแรง Fr

r Fτ = ×rr r

มีขนาดเทากับ ( )( )sinr F Fdτ τ θ ⊥= = =r

ขนาดของทอรก = แรง X ระยะทางตั้งฉากจากจุดหมุนถึงแนวแรง (แขนโมเมนต หรือ Moment arm)


5


จากรูปที่ 1 ทอรกลัพธที่กระทํากับวัตถุมีคาเทากับ ( ) ˆFd kτ =r

จากรูปที่ 2 ทอรกลัพธที่กระทํากับวัตถุมีคาเทากับ ( ) ( )1 2ˆ ˆ, Fd k Fd kτ τ= = −

r r จะไดวา ( )1 2 1 1 2 2

ˆF d F d kτ τ τ= + = −r r r

จากรูปที่ 3 จาก F ma= ดังนั้น ถามีแรงขนาด tdF กระทําตอวัตถุมวล dm จะไดวา t tdF a dm= ทําใหเกิดทอรกขนาด

td rdFτ = รอบจุดหมุน และจาก ta rα= ดังนั้น ( ) 2td ra dm r r dm r dmτ α α= = = จะไดทอรกรวมที่กระทํากับวัตถุทั้งกอน

2 2r dm r dmτ α α= =∫ ∫ เมื่อ 2I r dm= ∫

จะได Iτ α= นั่นคือ ทอรก กับ ความเรงเชิงมุม จะมีทิศทางเดียวกัน

ดังน้ัน ขนาดของทอรก เทากับ Fd Iτ α⊥= =

ถาเปรียบเทียบ Iτ α= ของการหมุน ก็คือ แรง F ma= ในการเคลื่อนที่แบบเสนตรงนั่นเอง

งาน กําลัง และพลังงานในการเคลื่อนที่แบบหมุน (Work, Power, and Kinetic Energy in Rotational Motion)

ถาวัตถุแข็งเกร็งหมุนรอบแกนตรึง วัตถุนั้นยอมมีพลังงานจลนของการหมุนเกิดขึ้น จากสมการพลังงานจลนจะไดวา พลังงานจลนรวมของอนุภาคแตละตัวในวัตถุแข็งเกร็งจะมีคาเทากับ

( ) ( )22 2 21 1 12 2 2i i i i i i iK K m v m r m rω ω= = = =∑ ∑ ∑ ∑

(ทุกอนุภาคมีความเร็วเชิงมุมหรือความถี่เชิงมุม ω เทากัน)

จาก 2

i iI m r= ∑ คือ โมเมนตความเฉื่อย หรือ ความเฉื่อยเน่ืองจากการหมุน

ดังนั้น 21

2K Iω= คือ พลังงานจลนของการหมุนของวัตถุ (เมื่อแกนหมุนที่คงที่ (rotation fixed axis))


6

Work done, rotation about fixes axis; W F dl F Rd dθ τ θ⊥= ⋅ = =∫ ∫ ∫rr

2

1

W dθ

θτ θ= ∫

Work, constant torque; ( )2 1W τ θ θ= −

Power, rotation about fixed axis; dW dPdt dt

θτ τω= = =

Work – Kinetic energy theorem; From d d d dI I I Idt d dt dω ω θ ωτ α ω

θ θ= = = =

2 2

1 1

2 22 1

1 1 2 2

K W d I d I Iθ ω

θ ωτ θ ω ω ω ωΔ = = = = −∑ ∫ ∫

การเคลื่อนทีแ่บบการกลิง้ (Rolling Motion, without slipping) หรือ การหมุนรอบแกนที่เคลื่อนที ่

การเคลื่อนที่แบบกล้ิง คือ การเคลื่อนที่โดยวัตถุจะมีการหมุน (Rotation) และมีการเลื่อนที่ (translation) ไปพรอม ๆ กัน แตไมใชการไถล ตัวอยางเชน ลอรถจักรยาน ลอรถยนต เปนตน ซึ่งมีทั้งการเล่ือนที่และหมุนไปพรอมกัน

พิจารณา

รูปที่ 1 วงลอกําลังหมุนไปพรอมกับการเคลื่อนที่ไปขางหนา ดวยความเร็วเชิงเสน ณ จุดหมุน (จุด C.M.) ดวยความเร็วคงที่ comv s Rθ= comv Rω= เมื่อ R คือ รัศมีของวงลอ

รูปที่ 2 แสดงใหเห็นถึงลักษณะของการเคลื่อนที่แบบกลิ้งของวงลอ โดยแยกเปนสวน a) การหมุนอยางเดียว b) การเลื่อนที่ c) รวมกัน รูป 2 (a) ทุกจุดบนวงลอจะหมุนดวยความเร็วเชิงมุม ω คงที่ สวนจุดที่อยูขอบลอดานนอกทั้งหมด หรือที่จุดสัมผัสตรงขอบลอ จะเคล่ือนที่ดวยความเร็วเชิงเสน comv v= ที่เทากัน มีทิศทางตั้งฉากกับรัศมีตามแนวการหมุนของวงลอ รูป 2 (b) มองเฉพาะการเลื่อนที่ ทุกจุดบนวงลอจะเคล่ือนที่ไปทางขวามือดวยความเร็วเชิงเสนคงที่ comv รูป 2 (c) รวมการเคลื่อนที่แบบหมุนและเล่ือนที่ เปนการเคลื่อนที่แบบกล้ิง

รูปท่ี 1

รูปท่ี 2


7

รูปท่ี 3 (a) รูปท่ี 3 (b)

พลังงานจลนของการเคลื่อนที่แบบกลิ้ง การเคลื่อนที่แบบกล้ิง หรือ การเคลื่อนที่ที่ประกอบไปดวยการเคลื่อนที่แบบเล่ือนที่ (หรือเสนตรง) และการเคลื่อนที่แบบหมุนไปพรอมกัน เชน ลูกบอล ลูกกอลฟ ลูกปน เปนตน ดังนั้นพลังงานจลนของระบบการเคลื่อนที่แบบกล้ิงจึงเปน

“พลังงานจลนท้ังหมดของการกลิ้งของวัตถุ มีคาเทากับ ผลรวมของพลังงานจลนของการหมุนรอบจุด C.M. และพลังงานจลนของการเลื่อนท่ีรอบจุด C.M.”

2 21 1

2 2rolling CM CMK I mvω= + พลังงานจลนของการกลิ้ง

จาก v Rω= จะไดวา

221 1

2 2CM

rolling CM CMvK I mvR

⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

ดังนั้น เขียนใหม 2

2

12

CMrolling CM

IK M vR

⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

พลังงานจลนของการกลิ้ง

โมเมนตัมเชิงมุม (Angular Momentum) ( )L

ความสัมพันธระหวางโมเมนตัมเชิงมุมกับโมเมนตัมเชิงเสน

L r p= ×r r r

นิยาม โมเมนตัมเชิงมุมขณะหน่ึง (Instantaneous angular momentum) คือ ผลคูณเชิงเวกเตอรของเวกเตอรตําแหนงกับโมเมนตัมเชิงเสน

และ 2ˆ ˆ sin 90 L r p r mv rmv k rmv k mr ω= × = × = = =r rr r r r

จะไดวา 2L mr Iω ω= =r r r

นิยาม โมเมนตัมเชิงมุม คือ ผลคูณระหวางโมนเมนตความเฉื่อยกับความเร็วเชิงมุม

L Iω=r r

โดยขนาดของโมเมนตัมเชิงมุม ( )2sin sin sin sinL I mR m R R mvRω θ ω θ ω θ θ= = = =

จะไดขนาดของโมเมนตัมเชิงมุม sinL I mvRω θ= =


8

ความสัมพนัธระหวางทอรกและโมเมนตัมเชงิมุม

จากทอรก r Fτ = ×rr r

หรือ ผลรวมทอรก dpr F rdt

τ = × = ×∑ ∑rrr r r

พิจารณาอัตราการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมเชิงเสน จะไดวา

( )dL d dp dr dpr p r p r v pdt dt dt dt dt

= × = × + × = × + ×r r r r

r r r r r r r มาจาก

( )d uv dv duu vdt dt dt

= +

และเนื่องจาก vr กับ pr มีทิศทางเดียวกันหรือขนานกันนั่นเอง ทําใหคาของ sin 0 0v p vp× = =r r

จะได dL dprdt dt

= ×r r

r พิจารณา

dpr F rdt

τ = × = ×∑ ∑rrr r r

ดังนั้น dLdt

τ =∑r

r และจาก L Iω=

r r จะไดวา

dL dI Idt dt

ω α= =r r

r

น่ันคือ dL Idt

τ α= =∑r

r

นิยาม ทอรกที่กระทําบนอนุภาคจะมีคาเทกับอัตราการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมเชิงมุมของอนุภาคนั้น ทอรก เทากับ ผลคูณระหวางโมเมนตความเฉื่อยกับความเรงเชิงมุม

หรือ I LI I

t t tω ωτ α Δ Δ Δ⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟Δ Δ Δ⎝ ⎠

ทอรกจึงเทากับอัตราการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมเชิงมุม 2 1

2 1

L L Lt t t

τ Δ −= =Δ −

กฎการอนุรักษโมเมนตัมเชิงมุม (Conservation of Angular Momentum)

กลาววา “ถาทอรกลัพธจากภายนอกมากระทําตอวัตถุหรือระบบมีคาเปนศูนย ผลรวมโมเมนตัมเชิงมุมของวัตถุหรือระบบจะมีคาคงตัว ทั้งขนาดและทิศทางเสมอ”

0totaltotal

dLdt

τ = =∑ ดังนั้น constanttotalL =

หรือ 1 2 constantL L= =∑ ∑ or 1 1 2 2 constantI Iω ω= =


9

สรุป ปริมาณและสมการตาง ๆ ของการเคลื่อนที่เชิงเสนกับการเคลื่อนที่แบบหมุน

ปริมาณการเคลื่อนที่แบบหมุน ปริมาณการเคลื่อนที่เชงิเสน

ตําแหนงเชิงมุม sr

θ = ตําแหนง ˆˆ ˆr xi yj zk= + +r x

การกระจัดเชิงมุม 2 1θ θ θΔ = − การกระจัดเชิงเสน 2 1r r rΔ = −r r r

ความเร็วเชิงมุม ddtθω = ความเร็วเชิงเสน

drvdt

=r

r, v rω=

ความเรงเชิงมุม ddtωα = ความเรงเชิงเสน

dvadt

=r

, 2a r rα ω= =

1 0

1 0

20

2 21 0

212

2

t

t

t t

ω ω αω ωθ

θ ω α

ω ω α θ

= +

+⎛ ⎞Δ = ⎜ ⎟⎝ ⎠

Δ = +

= + Δ

0

0

20

2 20

212

2

v v atv vx t

x v t at

v v a x

= +

+⎛ ⎞Δ = ⎜ ⎟⎝ ⎠

Δ = +

= + Δ

ความเฉื่อยการหมุน หรือ โมเมนตความเฉื่อย ปริมาณที่บอกถึงความเฉื่อย

2i iI m r= ∑ หรือ 2I r dm= ∫ m mass=

แรงที่ทําใหวัตถุเคล่ือนที่แบบหมุน หรือ ทอรก แรงที่ทําใหวัตถุเคล่ือนที่ในแนวเสนตรง

r F Iτ α= × =r rr r

F ma=r r

Work – Kinetic energy theorem Work – Kinetic energy theorem

2 22 1

1 12 2

K W I Iω ωΔ = = −∑ 2 22 1

1 12 2

K W mv mvΔ = = −∑

งานของการหมุน W τ θ= ⋅Δrr

งานเชิงเสน W F r= ⋅Δr r

กําลังของการหมุน dW dPdt dt

τ θ τ ω⋅= = = ⋅

rrrr

กําลังเชิงเสน dW F drP F vdt dt

⋅= = = ⋅

r r r r

พลังงานจลนของการหมุน 2 21 12 2rolling CM CMK I mvω= + พลังงานจลน 21

2K mv=

โมเมนตัมเชิงมุม L Iω=r r

โมเมนตัมเชิงเสน p mv=r r

กฎการอนุรักษโมเมนตัม 1 2L L=∑ ∑ หรือ 1 1 2 2I Iω ω= 1 2p p=∑ ∑ หรือ 1 1 2 2 1 1 2 2m u m u m v m v+ = +


10

โมเมนตความเฉ่ือยของวัตถุรูปทรงตางๆ


11

โจทยการเคล่ือนที่แบบหมุน 1. ถาพัดลมเครื่องหนึ่งลดอัตราเร็วของการหมุนจาก 33 rpm จนกระทั่งหยุดนิ่งในเวลา 20 s จงหา (ก) ขนาดความเรงเชิงมุมเมื่อคา

ความเร็วลดลงอยางสม่ําเสมอ (ข) ใหหาจํานวนรอบที่พัดหมุนไปไดนับตั้งแตเริ่มลดความเร็วจนกระทั่งหยุด และ (ค) ถารัศมีของใบพัดลมเทากับ 25 cm จงหาขนาดความเรงในแนวสัมผัสและในแนวรัศมีของจุดที่อยูตรงขอบนอกสุดของใบพัดที่เวลา t = 0

2. ทรงกลมเล็ก 4 ลูก แตละลูกมีมวล 0.20 kg ถูกจัดใหอยูที่มุมของส่ีเหล่ียมจัตุรัสซึ่งมีความยาวดานละ 0.40 m แลวเชื่อมโยงมวลทั้ง 4 ใหเปนระบบเดียวกันดวยกานวัสดุเบา ดังรูปที่ 1 จงหาโมเมนตความเฉื่อย (ก) รอบแกนที่ผานจุดศูนยกลาง (O) และต้ังฉากกับ

ระนาบของมวลทั้งส่ี และ (ข) รอบแกน AB ซึ่งผานจุดกึ่งกลางของดานตรงขามทั้งสอง ( )2 20.064 ,0.032 kg m kg m⋅ ⋅

3. มวล 0.20 kg ทั้ง 4 ลูก ถูกนําไปวางไวที่จุดตาง ๆ ในระบบพิกัดฉาก xyz ดังรูปที่ 2 ถามวลทั้ง 4 เชื่อมโยงกันดวยกานวัสดุเบา จงหาโมเมนตความเฉื่อยรอบแกน , x y และ z ตามลําดับ

4. ถาอนุภาคทั้ง 8 ตางมีมวล m เทากัน และอยูในตําแหนงที่เปนมุมของรูปทรงสี่เหล่ียมหนาขนานที่เชื่อมโยงเปนโครงดวยกานวัสดุ

เบาดังรูปที่ 3 (ก) จงหาโมเมนตความเฉื่อยรอบแกน z ( )24zI ma= และ (ข) จงหาโมเมนตความเฉื่อยรอบแกนที่ขนานกับแกน

z และผานอนุภาค 3 กับ 7 ( )23,7 8I ma=

5. อนุภาค 3 อนุภาค ถูกจัดใหอยูที่ตําแหนงตาง ๆ บนกานวัสดุเบาอันเดียวกัน ดังรูปที่ 4 ถาใหระบบหมุนรอบแกน y ดวยอัตราเร็ว

เชิงมุม 2 rad/s จงหา (ก) พลังงานจลนรวมโดยใชสมการ 212

K Iω= และ (ข) พลังงานจลนรวมโดยใช 212 i iK m v=∑

รูปท่ี 1 รูปท่ี 2 รูปท่ี 3 รูปท่ี 4

6. มวล 3 กอน ดังรูปที่ 5 ถูกยึดไวบนแทงวัสดุที่มีมวลนอยมากวางอยูในแนวแกน y ถาระบบหมุนรอบแกน x ดวยอัตราเร็วเชิงมุม

2.00 rad/s จงหา (ก) โมเมนตความเฉื่อยรอบแกน x และพลังงานจลนรวมในการหมุนจาก 212

K Iω= และ (ข) ความเร็วในแนว

สัมผัส (tangential speed) ของแตละอนุภาคและพลังงานจลนรวมจาก 212 i iK m v= ∑

7. อนุภาค 4 อนุภาค ดังรูปที่ 6 ถูกยึดไวดวยแทงวัสดุที่มีมวลนอยมาก วางตัวเปนรูปส่ีเหล่ียมและมีจุดศูนยกลางอยูตรงกลางของจุดกําเนิดบนระนาบ xy ถาระบบหมุนในระนาบ xy รอบแกน z ดวยอัตราเร็ว 6.0 rad/s จงหา (ก) โมเมนตความเฉื่อยของระบบท่ี

หมุนรอบแกน z และ (ข) พลังงานจลนในการหมุนของระบบ ( )2143 , 2.57kg m kJ⋅

8. ลูกบอล 2 ลูก มวล M และ m ยึดติดกับแทงวัสดุเบายาว L ดังรูปที่ 7 จงพิสูจนวาถาระบบหมุนรอบแกนที่ต้ังฉากกับแทงวัสดุดังรูป โมเมนตความเฉื่อยมีคาเทากับ ( )2 , I L where mM m Mμ μ= = +



12

9. ถาลอยางมีโมเมนตความเฉื่อย 280 kg m⋅ กําลังหมุนรอบแกนกลาง ซึ่งตรึงอยูกับที่ดวยอัตราเร็ว 600 รอบตอนาที จงคํานวณหาพลังงานจลนของการหมุนของวงลอนี้

10. แทงวัตถุมวล M ยาว l ดังรูปที่ 8 มีความหนาแนนสม่ําเสมอ จงหาโมเมนตความเฉื่อยของวัตถุรอบแกน y ที่อยูตรงกลางวัตถุ

และ 'y ที่อยูปลายดานซายของวัตถุ 2 2'

1 1, 12 3y yI M I M⎛ ⎞= =⎜ ⎟

⎝ ⎠l l

11. วัตถุทรงกระบอกตันมวล M ยาว l รัศมี R และมีความหนาแนนสม่ําเสมอ ดังรูปที่ 9 จงหาโมเมนตความเฉื่อยรอบแกน z ของวัตถุ

นี้ 212zI MR⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠

12. จงแสดงใหเห็นวาโมเมนตความเฉื่อยของแทงทรงกระบอกกลวงสม่ําเสมอ เมื่อหมุนรอบแกนท่ีพุงผานตามแกนสมมาตรของ

ทรงกระบอกที่มีรัศมีภายนอกเทากับ 2R , รัศมีภายใน 1R และมีมวล M ดังรูปที่ 10 เทากับ ( )2 21 2

12

I R R⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠


13. วัตถุมวล 1m และ 2m ผูกโยงติดกันดวยเชือกเบา แลวนําไปคลองผานรอกที่มีมวล M รัศมี R ซึ่งหมุนรอบแกนที่มีความเสียดทานนอยมากดังรูปที่ 11 เมื่อเริ่มปลอยใหมวลเริ่มเคล่ือนที่จากสภาพนิ่ง จงหาขนาดของความเร็วของมวล 1m และ 2m และขนาด

ความเร็วเชิงมุมของลอในขณะที่มวลทั้งสองเคลื่อนที่ไดระยะ h ถาให 1 2m m> ( )1 2

1 2

2, 1

2

m m gh vvRm m M

ω

⎛ ⎞⎜ ⎟−

= =⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

14. แทงวัตถุมวล M สม่ําเสมอ ยาว l ดังรูปที่ 12 ถูกยึดดวยขอตอที่หมุนได (มีความเสียดทานนอยมาก) ถาปลอยใหแทงวัตถุนี้ตกลงมาอยางอิสระจากสภาพหยุดนิ่งและวางตัวดังรูป จงคํานวณหาขนาดของความเร็วเชิงมุม ความเร็วเชิงเสน ความเรงเชิงมุม และ

ความเรงเชิงเสนของแทงวัตถุนี้ ( )3 , 3 , 3 2 , 3 4g l v gl g l a gω α= = = =

15. รอกตันมวล 1.0 kg รัศมี 10 cm ติดตั้งอยูบนแกนหมุนที่ไมมีจากแรงเสียดทาน โดยแกนวางตามแนวระดับ และมีเชือกพันรอบรอก

ปลายเชือกผูกติดมวลขนาด 0.5 kg ดังรูปที่ 13 เมื่อปลอยใหระบบเคล่ือนที่ จงคํานวณหาขนาดความเรงของรอก ( )249 rad s



13


16. จากรูปที่ 14 ถาใชแรง 15 N ดึงเชือกที่พันรอบรอกมวล M = 4.00 kg และมีรัศมี 33.0 cm พบวารอกมีความเรงคงที่จากหยุดนิ่งจนมีคาเพ่ิมขึ้นเปน 30.0 rad/s ใน 3.00 s ถามีทอรกเนื่องจากแรงเสียดทานที่แกนหมุนของรอก 1.10 fr m Nτ = ⋅ จงหาโมเมนต

ความเฉื่อยของรอก สมมติวารอกหมุนรอบจุดศูนยกลางมวล 17. พิจารณารอกดังรูปที่ 15 โดยมีเชือกคลองผานรอกซึ่งแขวนถังน้ําซึ่งหนัก 15.0 N ไว ถาเริ่มตนออกแรงกระทํา 15.0TF N= กับ

เชือกดังรูป จงหา (ก) ความเรงเชิงมุมของรอกและความเรงเชิงเสนของถังน้ํา และ (ข) ความเร็วเชิงมุมของรอกและความเร็วเชิงเสนของถังน้ําที่เวลา t = 3.00 s ถาเริ่มตน t = 0 รอกหยุดนิ่ง

18. จากรูปที่ 16 วัตถุทรงกลมตันมวล M รัศมี 0R เริ่มกล้ิงตกลงมาโดยไมมีการไถลตามแนวพื้นเอียงที่สูง H และ เอียงทํามุม θ กับ

แนวราบ จงหาความเร็วของวัตถุที่ปลายลางของพื้นเอียง ถาพ้ืนเอียงมีความเสียดทานนอยมาก 107

v gH⎛ ⎞

=⎜ ⎟⎝ ⎠

19. จากรูปที่ 17 จงหาวาจากวัตถุทั้งหมดที่อยูบนพ้ืนเอียง ถาเริ่มปลอยใหเคล่ือนที่ลงมาตามพื้นเอียงตามธรรมชาติ วัตถุรูปทรงไหนจะตกถึงพ้ืนเร็วที่สุด


20. จากรูปที่ 18 จงหาความเร็วเชิงเสนของทรงกลมตันที่ปลายพ้ืนเอียงและขนาดของแรงเสียดทาน frF ดวยการแกปญหาโดยใชกฎ

ของนิวตัน เมื่อ frF เปนแรงเสียดทานสถิต แตไมสามารถสมมติวา fr NF Fμ= เฉพาะเมื่อ fr s NF Fμ≤

10 2, sin7 7frv gH F Mg θ

⎛ ⎞= =⎜ ⎟

⎝ ⎠

21. พิจารณาการเบรกของรถจากรูปที่ 19 เมื่อเราเบรกรถ แรงที่กระทําบนลอยางดานหนารถจะมีคามากกวาลอยางดานหลังรถ เพราะอะไร และจงคํานวณขนาดของแรงเสียดทาน 1F และ 2F ที่กระทําบนลอหนาและลอหลังของรถ เมื่อรถเบรกดวยอัตราเรง

0.5a g= และรถมีมวล 1200 M kg= โดยที่ระยะระหวางแกนของลอหนาและลอหลังทีคาเทากับ 3.0 m และจุดศูนยกลางมวล CM ของรถอยูที่จุดกึ่งกลางของแกนลอที่ความสูงจากพื้น 75 cm

22. พิจารณารูปแบบการตกของ Yo-Yo จากรูปที่ 20 ถามีเชือกพันรอบทรงกระบอกตันสม่ําเสมอมวล M รัศมี R และเริ่มตกจากจุดหยุดนิ่ง จงหา (ก) ความเรงของทรงกระบอกตัน และ (ข) ความตึงในเสนเชือก

23. จะเกิดอะไรขึ้นถาลูกกลิ้งไถลไปบนพ้ืน จากรูปที่ 21 ลูกโบวลิงมวล M และมีรัศมี R ถูกโยนไปตามพื้นราบ ถาเริ่มตน 0t = ลูกโบวลิงเล่ือนไปดวยความเร็ว 0v แตไมมีการหมนุ และเพราะมันไถล มันจึงเริ่มหมุน และในที่สุดจะหมุนแตไมไถล นานแคไหนที่ลูกโบวลิงจะเริ่มหมุนโดยไมมีการเลื่อน


14


24. จากรุปที่ 22 Atwood Machine ประกอบดวยมวล 1m และ 2m ซึ่งผูกติดกันดวยเสนเชือกเบาไมยืดหยุนและคลองผานดานบนของรอก ถารอกมีรัศมี 0R และโมเมนตความเฉื่อยรอบแกนหมุน I จงหาความเรงของมวล 1m และ 2m และเปรียบเทียบกับกรณีเมื่อไมคิดโมเมนตความเฉื่อยของรอก

25. Torque on imbalanced system, จงหาขนาดของทอรกลัพธ netτ จากระบบการหมุนที่ไมสมดุล ดังรูปที่ 23 26. จากรูปที่ 24 ลูกปนมวล m เคล่ือนที่ดวยความเร็ว v พงชนและฝงเขาไปในของของวัตถุทรงกระบอกตันมวล M รัศมี 0R เริ่มตน

ทรงกระบอกอยูนิ่งและเริ่มหมุนรอบแกนสมมาตรของมันซึ่งตรึงอยูในตําแหนงเดิม สมมติวาไมคิดทอรกเนื่องจากแรงเสียดทาน จงหาวาความเร็วเชิงมุมของทรงกระบอกหลังจากการชนเปนเทาใด และระบบน้ีอนุรักษพลังงานหรือไม

โจทยการเคล่ือนที่แบบหมุนเบื้องตน 1. (มช 42) สําหรับการเคลื่อนที่แบบหมุน ขอใดถูก 1. เมื่อมีแรงกระทําตอวัตถุโดยไมผานศูนยกลางมวล จะทําใหวัตถุเคล่ือนที่แบบหมุนเพียงอยางเดียว โดยไมมีการเลื่อน 2. เมื่อมีแรงกระทําตอวัตถุโดยผานศูนยกลางมวล จะทําใหวัตถุเคล่ือนที่แบบเล่ือนเพียงอยางเดียว โดยไมมีการหมุน 3. การกระจัดเชิงมุมเปนปริมาณสเกลาร 4. ความเรงเชิงมุมของวัตถุหมุนจะมีคามากหรือนอยขึ้นอยูกบัโมเมนตของแรง (ทอรก) เพียงอยางเดียว (2) 2. อนุภาคหนึ่งกําลังหมุนรอบแกนที่อยูกับที่ โดยมีความเร็วเชิงมุมเปล่ียนจาก 80 rad/s เปน 120 rad/s ในเวลา 4 วินาที จงหา ก) มุมที่หมุนไปไดในเวลา 4 วินาที (400 rad) ข) ขนาดความเรงเชิงมุม (10 rad/s2) 3. ลออันหนึ่ง มีรัศมี 2 เมตร หมุนจากหยุดนิ่งจนมีความเร็วเชิงมุมคงตัว 100 เรเดียน/วินาที ในเวลา 20 วินาที ณ จุดวินาทีที่ 20 จงหา ก. ความเรงเชิงมุม ข. ความเร็วการเคลื่อนที่ของผิวลอ ค. ความเรงที่ของผิวลอ ง. มุมที่หมุนไปไดทั้งหมดตั้งแตตน (5, 200, 10, 1000) 4. ลออันหนึ่งมีเสนผานศูนยกลาง 60 cm เริ่มตนจากหยุดนิ่งแลวหมนุไป 70 รอบ ในเวลา 10 วินาที จงหา ก) การกระจัดเชิงมุม ข) ความเร็วเชิงมุม ค) ความเรงเชิงมุม (440 rad, 44 rad/s, 4.4 rad/s2) 5. ลอจักรยานอันหนึ่งรัศมี 30 cm หมุนรอบแกนดวยความเรงเชิงมุมคงที่ 2 เรเดียนตอวินาที2 ถาที่เวลาหนึ่งลอหมุนดวยอัตราเร็ว เชิงมุม 4 เรเดียนตอวินาที หลังจากนั้นอีก 5 วินาที จงหาวา ก) ลอจะกวาดมุมเพ่ิมอีกเทาใด ข) ความเร็วเชิงมุมเปนเทาใด ค) ความเรงเชิงเสนเปนเทาใด (45 rad, 14 rad/s, 4.2 m/s) 6. ในการหมุนลอซุงมีโมเมนตความเฉื่อย 12 kg.m2 ดวยอัตราเร็ว 30 รอบตอวินาที ปรากฏวาวงลอหยุดหมุนในเวลา 6 วินาที ทอรกของแรงตานการหมุนเปนเทาใด (60 N.m) 7. โครงเหล็กเบารูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ที่จุด A, B, C มีมวลเล็กๆ ขนาด 20 g, 30 g, และ 40 g ติดอยูตามลําดับ จงหา โมเมนตความเฉื่อยของระบบนี้ เมื่อ ก) หมุนรอบแกน A ซึ่งตั้งฉากกับ ABC ข) หมุนรอบแกน BC ( )4 2 5 21.48 10 kg m , 3.2 10 kg m − −× ⋅ × ⋅


15

8. วงลออันหนึ่งมีรัศมี 50 cm มีมวล 8 kg กล้ิงไปบนพ้ืนราบโดยไมมีการไถล ถาวงลอนี้มีโมเมนตัมเชิงมุม 3 kg.m2/s และกล้ิงไป ดวยอัตราเร็ว 5 m/s จงหาโมเมนตความเฉื่อยของวงลอนี้และพลังงานจลนทั้งหมด (0.3 kg.m2, 115 J) 9. ชายคนหนึ่งยืนอยูกลางแปนหมุนมือสองขางถือกอนน้ําหนักขางละ 2 kg และเหยียดแขนตรงใหกอนน้ําหนักหางจากแกน หมุน 1 m แลวหมุนแปนในอัตรา 6 รอบตอนาที ตอมาหดแขนใหกอนน้ําหนักอยูหางจากแกนหมุน 10 cm ถาชายคนนี้มี โมเมนตความเฉื่อย 20 kg.m2 จงหาวา ก) โมเมนตความเฉื่อยเปล่ียนไปเทาใด และ ข) แปนจะหมุนกี่รอบตอนาที (3.96, 7.2 รอบตอนาที)

รูปท่ี 1 รูปท่ี 2 รูปท่ี 3 10. จากรูปที่ 1 วัตถุทรงกลมตันมวล 2 kg เสนผานศูนยกลาง 10 cm กล้ิงลงมาตามพื้นเอียงที่ทํามุม 30 องศากับแนวระดับ จากหยุดนิ่ง

จงหาวาวัตถุจะกล้ิงลงมาไดระยะทางเทาใด จึงจะมีความเร็วเปน 5 m/s ถาโมเมนตความเฉื่อยของทรงกลมเทากับ 22 mr5

(3.5 m)

11. (En 41) ทรงกระบอกเสนผาศูนยกลาง 0.12 เมตร เมื่อดึงเชือกที่พันรอบทรงกระบอกดวยแรง 9.0 นิวตัน พบวาเชือกมีความเรง 0.36 เมตรตอวินาที จงหาโมเมนตัมความเฉื่อยของทรงกระบอก (2) 1. 0.05 kg.m2 2. 0.09 kg.m2 3. 0.12 kg.m2 4. 1.20 kg.m2 12. (En 44/2) ตามรูปเปนวงลอรัศมี 40 เซนติเมตร มีแกนหมุนล่ืนและมีโมเมนตความเฉื่อยรอบแกนหมุนเทากับ 0.2 kg.m/s2

วงลอถูกพันไวดวยเสนเชือกขนาดเล็ก และเบาจํานวนหลายรอบ ถาออกแรง F ขนาดคงที่เทากับ 23 นิวตัน ดึงปลายเชือก จงหาความยาวของเชือกที่ถูกดึงออกมาไดในเวลา 2 วินาที ทั้งนี้กําหนดวงลอเริ่มหมุนจากหยุดนิ่ง (ใหตอบในหนวยเมตร) (3.2 m) 13. (มช 41) แผนกลมรัศมี 0.2 เมตร ยึดติดกับแกนหมุนที่จุดศูนยกลางของแผนกลม และมีแทงวัตถุมวล 0.5 กิโลกรัม ผูกติดกับ เสนเชือกเบาคลองผานแผนกลมทําใหแผนกลมหมุนดวยอัตราเรงคงที่โมเมนตความเฉื่อยของแผนกลม 0.05 กิโลกรัมเมตร2 จงหาอัตราเรงเชิงมุมของแผนกลมนี้ (ไมคิดแรงเสียดทาน) (14.28 rad/s2) 14. (En 40) วัตถุมวล 50 กรัม ผูกติดกับปลายเชือกซึ่งลอดผานรูหลอดเล็ก ๆ ปลายเชือกขางหนึ่งดึงยืดไวดวยแรงคาหนึ่งแลว เหว่ียงใหเปนวงกลมรัศมี 1 เมตร ถาดึงเชือกใหรัศมีวงกลมเปน 50 เซนติเมตรทันที วัตถุจะเคล่ือนที่ดวยอัตราเร็วเชิงมุม เทาไร ในหนวยเรเดียน/วินาที ถาเดิมมีอัตราเร็วเชิงมุม 3 เรเดียนตอวินาที (12 rad/s) 15. มาหมุนชุดหนึ่งมีโมเมนตความเฉื่อยรอบแกนหมุนในแนวดิ่ง 900 กิโลกรัม.เมตร ถาผลักใหหมุนรอบแกนหมุนนี้ ในอัตรา 2 รอบตอนาที จงหาพลังงานจลนของมาหมุนนี้ (19.7 J) 16. (En 40) วัตถุมวล 0.1 กิโลกรัม และ 0.3 กิโลกรัม ติดอยูกับปลายทั้งสองของแทงโลหะเบายาว 1.00 เมตร ดังรูป จงหาพลังงานจลนของการหมุน ถาแทงโลหะหมุนรอบแกน AB 10 เรเดียน/วินาที (8.75 J)

17. (มช 37) แผนไมกลมแบบรัศมี 8.0 เซนติเมตร มวล 280 กรัม กําลังกล้ิงไปตามพื้นราบอยางสม่ําเสมอโดยไมมีการไถล ศูนยกลางมวลของแผนไมมีความเร็ว 0.16 เมตร/วินาที พลังงานจลนของแผนไมในการกลิ้งครั้งนี้ รวมท้ังส้ินมีคาเทาใด กําหนดโมเมนตความเฉื่อยของแผนไมเทากับ 9.0 x 10–4 kg.m2 ( )35.38 10 J−×

18. (En 41) วงแหวน 4 กิโลกรัม เสนผาศูนยกลาง 1 เมตร กล้ิงขึ้นพ้ืนเอียงโดยไมไกลศูนยกลางมวลมีความเร็วตน 10 m/s จะขึ้นไปไดสูงสุดในแนวดิ่งเปนระยะทางกี่เมตร (10 m)

1 otational otion การเคลื่อนที่แบบหม ุน · 2012-03-01 ·...

Documents