สมบัติของจํานวนนับ · (2)...

คณตศาสตรชวงช �นท� 2 ……………………………...... ...…………………………………………………

………………………..…………………………………………………………………… อ. รงสรรค (อ.ปง)

1

สมบตของจานวนนบ

จานวนนบและการหารลง จานวนนบ คอ จานวนเตมท�มากกวาศนยไดแก 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, …

การหารลงตว คอ การหารท�มเศษเหลอเปนศนยหรอเรยกวาไมมเศษ เชน

24 8 = 3 ไมมเศษ กลาวไดวา 8 หาร 24 ลงตวเขยนแทนดวยสญลกษณ 824

30 4 = 7 เศษ 2 กลาวไดวา 4 หาร 35 ไมลงตวเขยนแทนดวยสญลกษณ 4 | 30

ตวอยาง 1 จงตอบคาถามตอไปน �

1) จงหาจานวนนบเรยงตอกนท�หารดวย 3 ลงตวมา 5 จานวน

………………………………………………………………………………….


………………………………………………………………………………….


………………………………………………………………………………….

4) จงหาจานวนนบเรยงตอกนท�หารดวย 2 และ 3 ลงตวมา 5 จานวน

………………………………………………………………………………….

5) จงหาจานวนนบเรยงตอกนท�หารดวย 2 และ 3 ลงตวแตหารดวย 4 ไมลงตวมา 5จานวน

………………………………………………………………………………….

สมบตการหารลงตว ให a, b และ c เปนจานวนนบใดๆ

1. ถา a หาร b ลงตว และ b หาร c ลงตว แลว a หาร c ลงตว

2. ถา a หาร b ลงตว และ a หาร c ลงตว แลว a หาร b c ลงตว

3. ถา a หาร b ลงตว และ a หาร c ลงตว แลว a หาร b c ลงตว

4. 2 จะหารจานวนใดลงตว กตอเม�อ 2 หารเลขหลกหนวยลงตว (หลกหนวยเปนเลขค)

5. 4 จะหารจานวนใดลงตว กตอเม�อ 4 หารจานวน 2 หลกสดทายหนวยลงตว

6. 8 จะหารจานวนใดลงตว กตอเม�อ 8 หารจานวน 3 หลกสดทายหนวยลงตว

7. 3 จะหารจานวนใดลงตว กตอเม�อ 3 หารผลบวกของตวเลขในแตละหลกลงตว

8. 9 จะหารจานวนใดลงตว กตอเม�อ 9 หารผลบวกของตวเลขในแตละหลกลงตว

9. 11 จะหารจานวนใดลงตว กตอเม�อ 11 หารผลตางของตวเลขในตาแหนงคและค�ลงตว

10. 5 จะหารจานวนใดลงตว กตอเม�อ หลกหนวยเปน 0 หรอ 5

คณตศาสตรชวงช �นท� 2 ……………………………...... ...…………………………………………………

………………………..…………………………………………………………………… อ. รงสรรค (อ.ปง)

2

ตวอยาง 2 จงพจารณาวาขอใดตอไปน � ถก() หรอผด ()

…………. (1) 2 หาร a ลงตว และ a หาร b ลงตว จะไดวา 2 หาร b ลงตวดวย

………….. (2) 5 หาร a ลงตว และ 5 หาร b ลงตว จะไดวา 5 หาร a + b ลงตว

………….. (3) a หาร b ลงตว จะไดวา b กหาร a ลงตวดวย

………….. (4) 7 หาร a ลงตว จะไดวา 7 หาร a a ลงตว

………….. (5) 2 หารจานวนท�ลงทายดวย 0, 2, 4, 6, 8 เสมอ

………….. (6) 4 หารจานวน 8,999,123,014,507,012 ลงตว

………….. (7) 8 หารจานวน 1,888,111,888,111,188 ลงตว

………….. (8) 3 หารจานวน 1,271,901,875

………….. (9) 9 หารจานวน 1,271,901,875

………….. (10) 11 หารจานวน 4,184,312

………….. (11) 2 และ 3 หารจานวน 12,450,678,008

………….. (12) a หาร b ลงตว และ b หาร 35 แลว a หาร 35 ลงตวดวย

ตวประกอบของจานวนนบ ตวประกอบ คอ จานวนนบท�สามารถหารจานวนน �นไดลงตว เราเรยกวาเปนตวประกอบของ

จานวนน �น เชน 2 เปนตวประกอบของ 4 และจานวนคทกจานวนม 2 เปนตวประกอบ , 5 เปนตว

ประกอบของ 65 เปนตน

ตวอยาง 3 จงหาตวประกอบท �งหมดของจานวนนบตอไปน �

(1) ตวประกอบของ 10 ไดแก ………………………………………………..

(2) ตวประกอบของ 24 ไดแก ……………..…………………………………

(3) ตวประกอบของ 21 ไดแก …………….…………….……………………

(4) ตวประกอบของ 13 ไดแก …………….…………….……………………

(5) ตวประกอบของ 36 ไดแก ………………….………..……………………

(6) ตวประกอบของ 48 ไดแก ………………….……………………………..

(7) ตวประกอบของ 64 ไดแก ………………………..…….…………………

(8) ตวประกอบของ 81 ไดแก …………………..……….…...………………

(9) ตวประกอบของ 97 ไดแก ………………….……..………………………

(10) ตวประกอบของ 100 ไดแก …….……………………..……………………

คณตศาสตรชวงช �นท� 2 ……………………………...... ...…………………………………………………

………………………..…………………………………………………………………… อ. รงสรรค (อ.ปง)

3

ตวอยาง 4 จงหาจานวนนบจากเง�อนไขตอไปน �

(1) จานวนนบท�นอยท�สด ซ�งม 1, 2, 4 เปนตวประกอบ คอ……………………………


(3) จานวนนบท�นอยท�สด ซ�งม 1, 3, 4 เปนตวประกอบ คอ………..………………….


(5) จานวนนบท�นอยท�สด ซ�งม 1, 3, 4, 6, 8 เปนตวประกอบ คอ ….………………….

(6) จานวนนบท�นอยท�สด ซ�งมเปนตวประกอบตางกน 2 ตว คอ…...…………………….

(7) จานวนนบท�นอยท�สด ซ�งมเปนตวประกอบตางกน 3 ตว คอ…...……….……………

(8) จานวนนบท�นอยท�สด ซ�งมเปนตวประกอบตางกน 4 ตว คอ…...……………………

(9) จานวนนบท�นอยท�สด ซ�งมเปนตวประกอบตางกน 5 ตว คอ…...……………………

(10) จานวนนบท�นอยท�สด ซ�งมเปนตวประกอบตางกน 6 ตว คอ…..………..………….

จานวนเฉพาะและจานวนประกอบ จานวนประกอบ คอ จานวนท�มตวประกอบมากกวา 2 ตว

เชน 25 เปนจานวนประกอบเพราะวา 25 มตวประกอบมากกวา 2 ตวไดแก 1, 5, 25

8 เปนจานวนประกอบเพราะวา 8 มตวประกอบมากกวา 2 ตวไดแก 1, 2, 4, 8

จานวนเฉพาะ คอ จานวนท�มตวประกอบเพยงสองตวคอ1 และตวมนเอง

เชน 2 เปนจานวนเฉพาะ เพราะวา 2 มตวประกอบ 2 ตวไดแก 1 และ 2

11 เปนจานวนเฉพาะ เพราะวา 11 มตวประกอบ 2 ตวไดแก 1 และ 11

ตวอยาง 5 จงพจารณาวาจานวนตอไปน �เปนจานวนเฉพาะหรอไม

(1) 2 มตวประกอบไดแก …………………………… ดงน �น ………………..




ขอสงเกต (1) 1 ไมเปนจานวนเฉพาะ

(2) ตวประกอบของจานวนนบใดๆม 2 ชนด คอ

(2.1) ตวประกอบเฉพาะ คอ ตวประกอบท�เปนจานวนเฉพาะ

(2.2) ตวประกอบท�ไมเปนจานวนเฉพาะ

เชน 26 มตวประกอบไดแก 1, 2, 13, 26 ตวประกอบเฉพาะไดแก 2 และ 13

คณตศาสตรชวงช �นท� 2 ……………………………...... ...…………………………………………………

………………………..…………………………………………………………………… อ. รงสรรค (อ.ปง)

4

การหาจานวนเฉพาะและตวประกอบเฉพาะ การหาจานวนเฉพาะ น �น วธหน�งเราสามารถใชวธของ เอราโตสเตเนส (Eratoshenes) ซ�ง

วธดงกลาวเรยกวา ตระแกรงเอราโตสเตเนส (The Sieve of Eratosthenes) ดงน �

ตวอยาง 6 จงหาจานวนเฉพาะทกจานวนระหวาง 1 ถง 100

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

จากวธการหาจานวนเฉพาะในตวอยาง 5 จงหาตอบคาถามตอไปน �

(1) ดงน �นจานวนเฉพาะระหวาง 1 ถง 100 ไดแก ……………………………………

………………………………………………………………………………….

(2) จานวนเฉพาะต �งแต 1 ถง 100 มท �งหมด ………………………….……….. จานวน

(3) จานวนเฉพาะท�นอยท�สดคอ ……………………………...………….……………

(4) จานวนเฉพาะต �งแต 1 ถง 100 ท�มคามากท�สดคอ …………………………………..

(5) จานวนเฉาะท�เปนเลขคคอ ………………………………………………….……..

(6) จานวนเฉพาะต �งแต 1 ถง 100 ท�ลงทายดวย 1 ไดแก ……………………………….

(7) จานวนเฉพาะสองหลกท�นอยท�สดคอ ………………………………………………

(8) จานวนเฉพาะท�ลงทายดวย 5 ม ……….. จานวน ไดแก …………………………..

(9) อาจจะมจานวนคท�มากกวา 100 ซ�งเปนจานวนเฉพาะไดหรอไม ……………………..

(10) จงหาจานวนเฉพาะสามหลกท�มคานอยท�สด ……………………………………….

(11) จานวนเฉพาะสองจานวนท�มผลบวกเปนจานวนเฉพาะ เชน ………………………….

(12) จานวนเฉพาะสองจานวนท�มผลตางเปนจานวนเฉพาะ เชน ………………………….

(13) จานวนเฉพาะสองจานวนท�มผลคณเปนจานวนเฉพาะ เชน …………….…………….

(14) จานวนเฉพาะท�มคามากท�สดและท�มคานอยท�สดตางกนเทากบ ……………………...

(15) ผลบวกของจานวนเฉพาะต �งแต 1 ถง 50 เทากบ ……………………………………

คณตศาสตรชวงช �นท� 2 ……………………………...... ...…………………………………………………

………………………..…………………………………………………………………… อ. รงสรรค (อ.ปง)

5

วธตรวจสอบการเปนจานวนเฉพาะของจานวนนบ

วธการตรวจสอบใชหลกการดงน �

ถาเราตองการตรวจสอบวา จานวนนบ n เปนจานวนเฉพาะหรอไม เรามวธการดงน �

1) รวบรวมจานวนเฉพาะ p ซ�ง p p < n

2) นาจานวนเฉพาะท�รวบรวมไดไปหาร n

ถาไมมจานวนเฉพาะตวใดหาร n ลงตว แลว n จะเปนจานวนเฉพาะ

ถามจานวนเฉพาะตวใดตวหน�งหาร n ลงตว แลว n จะเปนจานวนไมใชเฉพาะ

ตวอยาง 7 จงตรวจสอบจานวนนบตอไปน �เปนจานวนเฉพาะหรอไมเปนจานวนเฉพาะ

(1) จานวนเฉพาะท�ยกกาลงสองแลวนอยกวา 131 ไดแก ……………………………

จากการตรวจสอบจะพบจานวนนบท�หาร 131 ลงตวไดแก ………………….……

ดงน �น 131 …………………………………………………………………


จากการตรวจสอบจะพบจานวนนบท�หาร 167 ลงตวไดแก ……………………….

ดงน �น 167 …………………………………………………………………


จากการตรวจสอบจะพบจานวนนบท�หาร 213 ลงตวไดแก ……………………….

ดงน �น 213 …………………………………………………………………

ตวอยาง 8 จงพจารณาวาขอใดตอไปน �เปนจรง

………. (1) จานวนเฉพาะทกจานวนเปนจานวนค�

………. (2) จานวนเฉพาะทกจานวนท�มากกวา 2 เปนจานวนค�ท �งหมด

………. (3) จานวนค�ทกจานวนเปนจานวนเฉพาะ

………. (4) ผลบวกของจานวนเฉพาะสองจานวนเปนจานวนประกอบเสมอ

………. (5) ผลคณของจานวนเฉพาะสองจานวนเปนจานวนประกอบเสมอ

………. (6) มจานวนเฉพาะสองจานวนท�ใหผลตางเปนจานวนเฉพาะ

………. (7) มจานวนเฉพาะสองจานวนท�ใหผลตางเปนจานวนประกอบ

………. (8) ผลบวกของจานวนเฉพาะท�อยระหวาง 1 และ 30 มคาเทากบ 127

………. (9) จานวนนบท�ไมเทากบ 3 แตหารดวย 3 ลงตว เปนจานวนประกอบ

………. (10) มจานวนนบบางจานวนท�สามารถเปนท �งจานวนเฉพาะและจานวนประกอบ

คณตศาสตรชวงช �นท� 2 ……………………………...... ...…………………………………………………

………………………..…………………………………………………………………… อ. รงสรรค (อ.ปง)

6

การแยกตวประกอบของจานวนนบ

การแยกตวประกอบ หมายถง การเขยนจานวนน �นอยในรปผลคณของตวประกอบเฉพาะ

ตวอยาง 9 จงแยกตวประกอบของจานวนนบตอไปน �

12 = …………………………………………………………………..………..…

18 = ……………………………………….………………………………………

24 = ……………………………………….………………………………………

39 = …………………………………………..…………………………………..

30 = ………………………………………..……………………………………..

120 = ……………………………………..………………………………………..

108 = ……………………………….……..……………………………………….

1,000 = …………..………………………...…..…………………………………….

1,800 = ……….……….………………...…………………………………………..

ตวหารรวมมาก (ห.ร.ม.)

ตวหารรวม ของจานวนนบต �งแตสองจานวนข �นไป หมายถง จานวนท�เปนตวประกอบของทก

จานวนท�กาหนดให เชน ตวหารรวมของ 8 และ 16 ไดแก 2, 4, 8 เปนตน

ตวหารรวมมาก ของจานวนนบต �งแตสองจานวนข �นไป หมายถง ตวหารรวมท�คามากท�สดของ

จานวนนบเหลาน �น เชน ตวอยางขางตนจะม 8 เปนตวหารรวมมากของ8 และ16

ตวอยาง 10 จงหาตวหารรวมมากของจานวนตอไปน �

(1) จงหาตวหารรวมมากของ 36 และ 48

ตวหารหรอตวประกอบของ 36 ไดแก ……………………………….……………..

ตวหารหรอตวประกอบของ 48 ไดแก ……………………………….……………..

ตวหารรวมของ 36 และ 48 ไดแก ………………………………………………..

ตวหารรวมมากของ 45 และ 40 ไดแก …………………………..………………..

(2) จงหาตวหารรวมมากของ 20 และ 21

ตวหารหรอตวประกอบของ 20 ไดแก ……………………………………………..

ตวหารหรอตวประกอบของ 21 ไดแก ……………………………………………..

ตวหารรวมของ 20 และ 21 ไดแก ………………………………………………..

ตวหารรวมมากของ 20 และ 21 ไดแก ……………………………………………

คณตศาสตรชวงช �นท� 2 ……………………………...... ...…………………………………………………

………………………..…………………………………………………………………… อ. รงสรรค (อ.ปง)

7

วธการหาตวหารรวมมาก (ห.ร.ม.)

(1) การหา ห.ร.ม. โดยวธการแยกตวประกอบ

ตวอยาง 11 จงหา ห.ร.ม. ของจานวนนบตอไปน �

(1) 36 และ 48 (2) 84 และ 105

36 = ………………………….… 84 = ………..…………….………

48 =………………………….….. 105= ……………….…….…….…

ห.ร.ม. = ………….….………….. ห.ร.ม. = …………….……………..

(3) 7 และ 14 (4) 15 และ 77

7 = ……………………………… 15 = ………………………………

14 = ……………………………… 77 = ……………………………….

ห.ร.ม. = ………….….……..…….. ห.ร.ม. = …………….……………..

(5) 18 , 32 และ 64 (6) 100 , 78 และ 16

18 = ………………………………. 100 = ………………….…………

32 = ………………………………. 78 = ………………………………

64 = ………………………………. 16 = ………………………………

ห.ร.ม. = ………….….…………….. ห.ร.ม. = …………….……………..

(7) 24 , 36 และ 60 (8) 70, 105 และ 140

24 = ………………………………. 70 = ….………….………….……

36 = ………………………………. 105 = ..…………………….………

60 = ………………………………. 140 = ……………………..……….

ห.ร.ม. = ………….….…………….. ห.ร.ม. = …………….…….………..

(9) 40, 64, 84 และ 96 (10) 18, 49, 55 และ 121

40 = ………………………………. 18 = ………………………………

64 = ………………………………. 49 = ………………………………

84 = ………………………………. 55 = ………………………………

96 = ………………………………. 121 = ……………………………...

ห.ร.ม. = ………….……..………….. ห.ร.ม. = …………….……….…….

คณตศาสตรชวงช �นท� 2 ……………………………...... ...…………………………………………………

………………………..…………………………………………………………………… อ. รงสรรค (อ.ปง)

8

(2) การหา ห.ร.ม.โดยวธการต �งหารส �น

ตวอยาง 12 จงหา ห.ร.ม.ของจานวนนบตอไปน �โดยวธการต �งหารส �น

(1) 45 และ 85 (2) 18 และ 78

ห.ร.ม. = ………….….………….. ห.ร.ม. = …………….……………..

(3) 210 , 1,155 และ 1,365 (4) 21 , 91 และ 55

ห.ร.ม. = ………….….………….. ห.ร.ม. = …………….……………..

(5) 48, 56 , 72 และ 32 (6) 36 , 45 , 78และ 72

ห.ร.ม. = ………….….………….. ห.ร.ม. = …………….……………..

(3) การหา ห.ร.ม ดวยวธข �นตอนวธการหารของยคลด ( คอนโด )

นยมใชกบจานวนท�มคามาก(หลายหลก)

ตวอยาง 13 จงหา ห.ร.ม.ของจานวนนบตอไปน �ดวยวธยคลด

(1) 170 และ 385 (2) 156 และ 288

ดงน �น ห.ร.ม.ของ 170 และ 385 คอ …...… ดงน �น ห.ร.ม. 156 และ 288 คอ ….…

คณตศาสตรชวงช �นท� 2 ……………………………...... ...…………………………………………………

………………………..…………………………………………………………………… อ. รงสรรค (อ.ปง)

9

ตวคณรวมนอย (ค.ร.น.)

ตวคณรวม คอ จานวนท�หารดวยจานวนอ�นๆลง เชน 14 เปนตวคณรวมของ 2 และ 7 หรอ

หรอ ของ 7 และ 14 อกตวอยางเชน 8, 16, 32 เปนตวคณรวมของ 4, 8 และ 16

ตวคณรวมนอย คอ จานวนท�นอยท�สดของตวคณรวมของจานวนแตละชด

ตวอยาง 14 จงหาตวคณรวมนอยของจานวนตอไปน �

(1) จงหาตวคณรวมนอยของ 6 และ 8

ตวคณของ 6 ไดแก …………………………….………………….……………..

ตวคณของ 8 ไดแก …………………………………………….….……………..

ตวคณรวมของ 6 และ 8 ไดแก …………………………………….……………..

ตวคณรวมนอยของ 6 และ 8 ไดแก …………………………..……….…………..

(2) จงหาตวคณรวมนอยของ 12 และ 16

ตวคณของ 12 ไดแก …………………………….…..…………….……………..

ตวคณของ 16 ไดแก ………………………………..………….….……………..

ตวคณรวมของ 12 และ 16 ไดแก …………………………………….…………..

ตวคณรวมนอยของ 12 และ 16 ไดแก …………………………..…….…………..

วธการหาตวคณรวมนอย

(1) ดวยวธการแยกตวประกอบ

ตวอยาง 15 จงหา ค.ร.น.ของจานวนตอไปน �

(1) 6 และ 8 (2) 18 และ 20

6 = …………………………………. 18 = ………………………...…….

8 = …………………………………. 20 = ………………………...…….

ค.ร.น. = ……………………………. ค.ร.น. = ……………………………

(3) 15, 20 และ 35 (4) 33, 69 และ 72

15 = ……………………………… 33 = ……………………………….

20 = ……………………………… 69 = ……………………………….

35 = ……………………………… 72 = ……………………………….

ค.ร.น. = ……………………………. ค.ร.น. = ……………………………

คณตศาสตรชวงช �นท� 2 ……………………………...... ...…………………………………………………

………………………..…………………………………………………………………… อ. รงสรรค (อ.ปง)

10

(5) 18 , 32 และ 64 (6) 100 , 78 และ 16

18 = ………………………………. 100 = ………………….…………

32 = ………………………………. 78 = ………………………………

64 = ………………………………. 16 = ………………………………

ค.ร.น. = ………….….…………….. ค.ร.น. = …………….……………..

(7) 40, 64, 84 และ 96 (8) 18, 49, 55 และ 121

40 = ………………………………. 18 = ………………………………

64 = ………………………………. 49 = ………………………………

84 = ………………………………. 55 = ………………………………

96 = ………………………………. 121 = ……………………………...

ค.ร.น. = ………….……..………….. ค.ร.น. = …………….……….…….

(2) การหา ค.ร.น. ดวยวธการต �งหารส �น

ตวอยาง 16 จงหา ค.ร.น.ของจานวนนบแตละขอตอไปน �

(1) 45 และ 85 (2) 18 และ 78

ค.ร.น. = ………….….………….. ค.ร.น. = …………….……………..

(3) 32 , 20 และ 62 (4) 15 , 52 และ 50

ค.ร.น. = ……………………………. ค.ร.น. = ……………………………

(5) 15 , 21, 42 และ 75 (6) 9, 34, 51 และ 69

ค.ร.น. = ……………………………. ค.ร.น. = ……………………………

คณตศาสตรชวงช �นท� 2 ……………………………...... ...…………………………………………………

………………………..…………………………………………………………………… อ. รงสรรค (อ.ปง)

11

โจทยปญหาเก�ยวกบการแยกตวประกอบ ห.ร.ม. และ ค.ร.น.

1. โจทยปญหาเก�ยวกบตวหารรวมมาก (ห.ร.ม.) จะมลกษณะการถามดงน �

การถกแบงออกเทาๆ กนไมเหลอเศษและมากท�สด ใหญสด ยาวสด เปนตน

ใหหาจานวนกอง จานวนแถว จานวนกลมท�แบงได

การถามหาขนาดและจานวนของรปส�เหล�ยมจตรส เม�อใหแบงพ �นท�หน�งๆ

ออกเปนรปส�เหล�ยมจตรสท�ใหญท�สด

การถามหาจานวนตน(ของเสาหรอของตนไม)ท�ปกรอบพ �นท� โดยใหแตละตนอย

หางเทากนและหางกนมากท�สด หรอใหประหยดท�สด

ใหหาจานวนท�มคามากท�สด

ซ�งในการหาจานวนท�มคามากท�สดท�ไปหารแลวเหลอเศษ มวธดงน �

1. เอาเศษท�เกดจากการหารของแตละจานวนไปลบจานวนน �นๆกอน

2. นาผลท�ไดมาหา ห.ร.ม.

3. ห.ร.ม. ท�ไดน �นคอจานวนมากท�สดท�ตองการ

2. โจทยปญหาเก�ยวกบตวคณรวมนอย (ค.ร.น.) จะมลกษณะการถามดงน �

การไปแบงออกเทาๆ กนไมเหลอเศษจากจานวนท�นอยสด เลกสด ส �นสด

โจทยท�ถามเก�ยวกบชวงเวลาท�จะมาพบกนอกคร �ง เชน การว�งรอบสนาม

นาฬกาปลก ระฆงท�ต เปนตน

ใหหาจานวนท�มคานอยท�สด

ซ�งในการหาจานวนท�มคานอยท�สดท�ไปหารแลวเหลอเศษ มวธดงน �

1. หา ค.ร.น. ของจานวนท�กาหนดมากอน

2. นา ค.ร.น. ท�ไดมาบวกเศษท�โจทยใหมา

3. ผลบวกท�ไดคอจานวนนอยท�สดท�ตองการ

3. โจทยปญหาเก�ยวกบความสมพนธระหวาง ห.ร.ม.และ ค.ร.น.ของจานวนนบสองจานวน

มความสมพนธดงน �

“ผลคณของเลขสองจานวน = ผลคณระหวาง ห.ร.ม.กบ ค.ร.น. ของสองจานวนน�น”

4. โจทยในลกษณะอ�นๆจะตองอาศยความเขาในความหมายของ ห.ร.ม. และ ค.ร.น.

อยางด ซ�งอาจจะตองอาศยการแยกตวประกอบมาชวย

คณตศาสตรชวงช �นท� 2 ……………………………...... ...…………………………………………………

………………………..…………………………………………………………………… อ. รงสรรค (อ.ปง)

12

ตวอยาง 17 จงหาคาตอบแตละขอตอไปน �

(1) มเหลกอยสามทอน ทอนแรกยาว 49 เมตร ทอนท�สองยาว 35 เมตร และทอนท�สาม

ยาว 42 เมตร นามาตดเปนทอนส �นๆ เทากนใหยาวท�สด จะไดยาวทอนละก�เมตร

และไดท �งหมดก�ทอน

ตอบ …………………………………………………………………………….

(2) นกเรยน ป.6/1 , ป. 6/2 และ ป.6/3 ม 35 คน 49 คน และ 42 คน ตามลาดบ ถา

ตองการแบงเปนนกเรยนเปนกลมๆใหแตละกลมเทาๆกนและอยในหองเดยวกน จะแบง

ไดมากท�สดกลมละก�คน และไดก�กลม

ตอบ …………………………………………………………………………….

(3) มดนสอ 56 แทง ยางลบ 28 กอน และปากกา 84 แทง แบงใสถงๆละเทาๆกนไมให

เหลอและไมปนกนเลย จะแบงไดมากท�สดถงละเทาไรและไดอยางละก�ถง

ตอบ …………………………………………………………………………….

(4) กระดาษขนาด 30 36 ตารางเซนตเมตร ตดเปนรปส�เหล�ยมจตรสเลกๆใหไดขนาด

ใหญท�สดและไมเหลอกระดาษท �งเลย จะไดก�กระดาษรปส�เหล�ยมจตรสเลกๆก�รปและ

มพ �นท�เทาไร

ตอบ …………………………………………………………………………….

(5) ตองการลอมร �วบรเวณบานเปนรปส�เหล�ยมผนผาขนาดกวาง 90 เมตร และยาว 98 เมตร

ตองปกเสาใหหางกนตนละเทาไรจงจะประหยด และใชเสาท �งหมดก�ตน

ตอบ …………………………………………………………………………….

(6) ถาตองการแบงแทงไมทรงส�เหล�ยมมมฉากขนาด 24 12 30 ลกบาศกเซนตเมตร

ใหเปนแทงไมทรงลกบาศกใหไดขนาดใหญท�สดโดยไมมเศษไมเหลออยเลย

จะแบงไดก�ลก และมขนาดก�ลกบาศกเซนตเมตร

ตอบ …………………………………………………………………………….

(7) จงหาจานวนท�มากท�สดท�หาร 44, 50 และ 62 แลวเหลอเศษ 2 เทากน

ตอบ …………………………………………………………………………….

คณตศาสตรชวงช �นท� 2 ……………………………...... ...…………………………………………………

………………………..…………………………………………………………………… อ. รงสรรค (อ.ปง)

13

(8) จงหาจานวนท�มากท�สดท�หาร 330 จะเหลอเศษ 6 และเม�อนาไปหาร 442 แลวจะ

เหลอเศษ 1

ตอบ …………………………………………………………………………….

(9)* จงหาจานวนท�มากท�สดท�หาร 74, 98 และ 114 แลวจะเหลอเศษเทากนและจงหา

เศษท�เหลอเทากนน �น

ตอบ …………………………………………………………………………….

(10) ชายคนหน�งเล �ยงไก 38 ตว เล �ยงเปด 86 ตว และเล �ยงหาน 122 ตว เขาตองการแบง

ไก เปด และหาน เปนกลมเลกๆ แตละกลมมจานวนตวเทาๆกน และมจานวนตวมาก

ท�สดเทาท�จะทาได โดยท�เม�อแบงแลวใหมสตวสารองชนดละ 2 ตว เขาจะแบงสตวได

ท �งหมดก�กลม กลมละก�ตว

ตอบ …………………………………………………………………………….

(11)* ถา 35 เปน ห.ร.ม. ของ 175 และ 385 แลว จงหาตวประกอบรวมท �งหมดของ 175

และ 385 [หลกการ : ตวประกอบรวมของจานวนนบ คอ ตวประกอบของ ห.ร.ม. ของ

จานวนนบเหลาน �น]

ตอบ …………………………………………………………………………….

(12)* ถา 24 เปน ห.ร.ม. ของ A , B และ C แลว จงหาผลบวกของตวประกอบรวมท �งหมด

ของ A, B และ C

ตอบ …………………………………………………………………………….

(13)* ถา A = 2 2 3 a

B = b 3 3 5

C = 2 c 5 7

และ ห.ร.ม. ของ A, B และ C เทากบ 30 จงหาจานวน A, B และ C

ตอบ …………………………………………………………………………….

คณตศาสตรชวงช �นท� 2 ……………………………...... ...…………………………………………………

………………………..…………………………………………………………………… อ. รงสรรค (อ.ปง)

14

(14)* ถา ห.ร.ม. ของ A และ B เทากบ 72 และ ห.ร.ม. ของ B และ C เทากบ 60 จงหา ห.ร.

ม. ของ A, B และ C [หลกการ : ห.ร.ม. A, B, C = ห.ร.ม. ของ ห.ร.ม. A, B และ

ห.ร.ม. B, C ]

ตอบ …………………………………………………………………………….

(15) จงหา ห.ร.ม. ของแตละขอตอไปน �

(15.1) ห.ร.ม. ของ 1 ถง 100 = ……………………………………………….

(15.2) ห.ร.ม. ของจานวน 2, 4, 6, 8, … , 2548 = …………………………...

(15.3) ห.ร.ม. ของจานวน 3, 5, 7, 9, . . . , 2005 = …………………………

(16) นกกฬาป�นจกรยาน 3 คน ป�นรอบสนามวงรในแตละรอบใชเวลาดงน � คนท� 1 ใชเวลา

5 นาท คนท� 2 ใชเวลา 4 นาท คนท� 3 ใชเวลา 6 นาท ดงน �นท �ง 3 คน จะป�นมา

พบกนท�จดเร�มตนคร�งแรกเม�อเวลาผานไปก�นาทหลงจากออกตว

ตอบ …………………………………………………………………………….

(17) ฉนต �งนาฬกาปลก 4 เรอน เรอนท�หน�งปลกทกๆ 3 นาท เรอนท�สองปลกทกๆ 4 นาท

เรอนท�สามปลกทกๆ 5 นาท และ เรอนท�ส�ปลกทกๆ 6 นาท ถาใหนาฬกาทกเรอนปลก

คร �งแรกพรอมกน เม�อเวลา 12.25 น. จงหาวานาฬกาท �งส�เรอนจะปลกพรอมกนเปน

คร�งท�สามเม�อเวลาใด

ตอบ …………………………………………………………………………….

(18) จากการทดสอบความส �นเปลองน �ามนของรถยนตสามคน พบวา คนท�หน�งน �ามน 1 ลตร

ว�งไดระยะทาง 6 กโลเมตร คนท�สองน �ามน 1 ลตร ว�งไดระยะทาง 8 กโลเมตร คนท�

สามน �ามน 1 ลตร ว�งไดระยะทาง 9 กโลเมตร จงหาระยะทางท�นอยท�สดซ�งรถยนตทก

คน ตองใชน �ามนเช �อเพลงเปนจานวนเตมลตรพอดและรถยนต แตละคนใชน �ามนก�ลตร

ตอบ …………………………………………………………………………….

(19) แจกดนสอ ยางลบ และไมบรรทดใหเพ�อนๆ ในหอง ไดคนละ 5 แทง 12 กอน และ 10

อน ตามลาดบโดยไมมของเหลอเลย นกเรยนในหองจะมอยางนอยก�คน

ตอบ …………………………………………………………………………….

คณตศาสตรชวงช �นท� 2 ……………………………...... ...…………………………………………………

………………………..…………………………………………………………………… อ. รงสรรค (อ.ปง)

15

(20) จงหาจานวนท�นอยท�สดท� 6, 8 และ 15 หารจานวนน �นแลวเหลอเศษ 4 เทากน

ตอบ …………………………………………………………………………….

(21)* จงหาจานวนท�นอยท�สดท� 6, 8 และ 15 หารจานวนน �นแลวเหลอเศษ 4, 6 และ 13

ตามลาดบ [ หลกการ : หา ค.ร.น. ของ 6, 8, 15 แลวลบกบจานวนท�ตองเพ�มใหเศษ

4, 6, 13 เทากบ 6, 8, 15 ตามลาดบ]

ตอบ …………………………………………………………………………….

(22) ถาเร�มตระฆง 3 ใบพรอมกน โดยท�ใบท�หน�ง ใบท�สอง และใบท�สาม ตทกๆ 10 นาท 8

นาท และ 16 นาท ตามลาดบ จงหาวาเม�อท �ง 3 ใบตพรอมกนเปนคร�งแรกแลวใบท�

หน�ง ใบท�สอง และใบท�สามตไปใบละก�คร �งแลว

ตอบ …………………………………………………………………………….

(23) ถาจานวนสองจานวนม ห.ร.ม. เปน 15 ม ค.ร.น.เปน 105 ถาจานวนหน�งเปน 15

อกจานวนหน�งเปนเทาใด

ตอบ …………………………………………………………………………….

(24) ถาจานวนสองจานวนมผลคณเปน 2,112 และม ค.ร.น. เปน 264 จงหา ห.ร.ม.

ตอบ …………………………………………………………………………….

(25)* ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของจานวนสองจานวนเปน 14 และ 490 จงหาจานวนท �งสอง

ตอบ …………………………………………………………………………….

เน�อหาจบแลวท�เหลอทาแบบฝกหดทบทวนนะครบเดกๆ ขยนๆนะเดกๆ ครเอาใจชวย

คณตศาสตรชวงช �นท� 2 ……………………………...... ...…………………………………………………

………………………..…………………………………………………………………… อ. รงสรรค (อ.ปง)

16

แบบทดสอบ

สมบตของจานวนนบ

คาช �แจง : จงทาเคร�องหมาย ทบตวอกษรหนาคาตอบท�ถกตอง

1. ขอใดตอไปน �เปนจรง

ก. 15 เปนตวประกอบของ 3 ข. 15 เปนตวประกอบของ 5

ค. 3 เปนตวประกอบของ 15 ง. 3 และ 15 เปนตวประกอบซ�งกนและกน

2. จานวนในขอใดท�ม 5 เปนตวประกอบ

ก. 284 ข. 365 ค. 419 ง. 531

3. ขอใดท�ม 7 เปนตวประกอบทกจานวน

ก. 15, 17, 27 ข. 14, 35, 49 ค. 21, 28, 37 ง. 27, 35, 49

4. ขอใดท�ม 3 เปนตวหารทกจานวน

ก. 3, 17, 42 ข. 15, 21, 90 ค. 22, 36, 54 ง. 36, 45, 61

5. ขอใดตอไปน �ถกตอง

ก. 3 เปนตวประกอบของ 1,243,578,133

ข. 4 เปนตวประกอบของ 1,243,579,494

ค. 9 ไมเปนตวประกอบของ 4,124,654,784

ง. 11 ไมเปนตวประกอบของ 1,001,001,001,001

6. ขอใดตอไปน �ไมถกตอง

ก. 0 มตวประกอบมากมายนบไมถวน

ข. 1 เปนตวประกอบจานวนนบทกจานวน

ค. 2 เปนตวประกอบของจานวนคเทาน �น

ง. 3 เปนตวประกอบของจานวนค�เทาน �น

7. จานวนใดขอใดท�จานวนของตวประกอบมากท�สด

ก. 24 ข. 27 ค. 49 ง. 55

8. จานวนในขอใดเปนจานวนเฉพาะ

ก. 15 ข. 17 ค. 57 ง. 77

9. ขอใดเปนจานวนเฉพาะทกจานวน

ก. 5, 7, 9 ข. 17, 19, 27 ค. 23, 29, 39 ง. 31, 37, 43

10. จานวนเฉพาะท�อยระหวาง 1 – 100 มท �งหมดก�จานวน

ก. 24 ข. 25 ค. 26 ง. 28

คณตศาสตรชวงช �นท� 2 ……………………………...... ...…………………………………………………

………………………..…………………………………………………………………… อ. รงสรรค (อ.ปง)

17

11. ขอความตอไปน � ขอใดเปนจรง

ก. จานวนค�ทกจานวนเปนจานวนเฉพาะ ข. จานวนเฉพาะทกจานวนเปนจานวนค�

ค. 2 เทาน �นท�เปนตวประกอบของจานวนค ง. 1 เปนตวประกอบของจานวนทกจานวน

12. จากขอความตอไปน �

(1) 1 เปนจานวนเฉพาะท�มคานอยสด

(2) ม 2 เพยงจานวนเดยวท�เปนจานวนเฉพาะซ�งเปนจานวนค

ขอใดเปนถกตอง

ก. ถกท �งขอ (1) และ (2) ข. ขอ (1) ถก แต ขอ(2) ผด

ค. ขอ (1) ผด แต ขอ(2) ถก ง. ผดท �งขอ (1) และ (2)

13. ตวประกอบเฉพาะของ 48 คอขอใด

ก. 2, 4 ข. 4, 12 ค. 6, 48 ง. 2, 3

14. ตวประกอบเฉพาะของ 42 คอขอใด

ก. 3, 7 ข. 1, 3, 7 ค. 2, 3, 7 ง. 2, 3, 7, 21

15. ขอใดเปนการแยกตวประกอบ

ก. 36 = 2 2 9 ข. 72 = 2 2 3 3 3

ค. 105 = 3 5 7 ง. 200 = 2 10 10

16. ตวประกอบรวมท �งหมดของ 18 และ 30 คอขอใด

ก. 1, 2, 3, 9 ข. 1, 2, 3, 5 ค. 1, 2, 3, 6 ง. 1, 2, 3, 6, 9

17. 22 33 44 มคาเทากบขอใด

ก. 2 2 3 3 3 4 4 4 4 ข. 2 2 3 3 4 4 4 4

ค. 2 2 3 3 3 4 4 4 ง. 2 2 3 3 4 4

18. 6 เปน ห.ร.ม. ของ 12 และ 18 หมายความวาอยางไร

ก. 6 เปนตวหารรวมของ 12 และ 18

ข. 6 เปนตวประกอบรวมท�มคามากท�สดของ 12 และ 18

ค. 6 เปนจานวนท�มากท�สดท�หารดวย 12 และ 18 แลวลงตว

ง. 6 เปนจานวนท�มากท�สดท�ม 12 และ 18 เปนตวประกอบ

19. ห.ร.ม. ของ 27 33 และ 45 คอจานวนใด

ก. 3 ข. 9 ค. 18 ง. 27

20. ห.ร.ม. ของ 23 32 5 และ 22 33 72 คอจานวนใด

ก. 23 32 ข. 22 32 ค. 22 32 5 7 ง. 23 33 5 7

คณตศาสตรชวงช �นท� 2 ……………………………...... ...…………………………………………………

………………………..…………………………………………………………………… อ. รงสรรค (อ.ปง)

18

21. ห.ร.ม. ของ 20, 80, 125 เปนก�เทาของ ห.ร.ม. ของ 27, 64, 121

ก. 5 เทา ข. 10 เทา ค. 12 เทา ง. 15 เทา

22. 12 เปน ค.ร.น. ของ 4 กบ 6 หมายความวาอยางไร

ก. 12 เปนจานวนท�มากท�สดท� 4 และ 6 หารลงตว

ข. 12 เปนจานวนท�นอยท�สดท� 4 และ 6 หารลงตว

ค. 12 เปนจานวนท� 4 และ 6 หารลงตว

ง. 12 เปนผลคณของ 4 และ 6

23. ค.ร.น. ของ 14, 20, 25 คอจานวนใด

ก. 100 ข. 125 ค. 280 ง. 700

24. ค.ร.น. ของ 23 32 5 และ 22 33 72 คอจานวนใด

ก. 23 32 ข. 22 32 ค. 22 32 5 7 ง. 23 33 5 7

25. จานวน 48 และ 60 ม ค.ร.น. เปนก�เทาของ ห.ร.ม.

ก. 4 เทา ข. 5 เทา ค. 18 เทา ง. 20 เทา

26. ผลบวกของ ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของ 15, 25, 40 คอขอใด

ก. 45 ข. 605 ค. 90 ง. 615

27. ผลตางของ ค.ร.น. กบ ห.ร.ม. ของ 36, 81 และ 99 คอขอใด

ก. 3,555 ข. 3,556 ค. 3,564 ง. ไมมคาตอบท�ถกตอง

28. จงหา ห.ร.ม. ของ 4,515 และ 2,838 คอจานวนใด

ก. 1 ข. 4 ค. 129 ง. 516

จงใชวธต �งหารตอไปน �ตอบคาถามขอ 29 และ 30

2 12, 18, 24

3 6, 9, 12

2 2, 3, 4

1, 3, 2

29. ห.ร.ม.ของ 12, 18, 24 คอขอใด

ก. 6 ข. 12

ค. 4 ง. 9

30. ค.ร.น.ของ 12, 18, 24 คอขอใด

ก. 12 ข. 36

ค. 72 ง. 24

31. ขอใดถกตอง

ก. ห.ร.ม. เทากบ a b c

ข. ค.ร.น. เทากบ a b c

ค. ห.ร.ม. เทากบ a b

ง. ค.ร.น. เทากบ a b c X Y

a M, N, O

b P, Q, R

c S, T, U

X, T, Y

คณตศาสตรชวงช �นท� 2 ……………………………...... ...…………………………………………………

………………………..…………………………………………………………………… อ. รงสรรค (อ.ปง)

19

32. จานวนท�มากท�สดท�หาร 94 จะเหลอเศษ 4 แตถาหาร 605 จะเหลอเศษ 5

เลขจานวนน �นคอจานวนใด

ก. 15 ข. 20 ค. 23 ง. 30

33. จงหาจานวนท�มากท�สดซ�งเม�อหาร 534 และ 1,154 แลวเหลอเศษ 7 เทากน

ก. 31 ข. 19 ค. 43 ง. 47

34. จานวนนอยทสดท� 12, 16, 32 หารลงตว คอจานวนใด

ก. 32 ข. 48 ค. 64 ง. 96

35. จานวนนอยท�สดท�หารดวย 15, 28 และ 36 แลวเหลอเศษ 3 เทากน คอจานวนใด

ก. 1,260 ข. 1,257 ค. 1,263 ง. 423

36. ค.ร.น. และ ห.ร.ม. ของสองจานวนเปน 18 และ 108 ตามลบ ถาจานวนหน�งคอ 36 อก

จานวนหน�งเปนเทาใด

ก. 46 ข. 54 ค. 72 ง. 90

37. 15 เปน ห.ร.ม. ของสองจานวน ถานา ห.ร.ม. ไปหารจานวนแรกไดผลลพธ 3 และหาร

จานวนท�สองไดผลลพธ 5 สองจานวนน �นมคาเทาใด

ก. 3, 5 ข. 6, 10 ค. 15, 45 ง. 45, 75

38. กระดาษแผนหน�งกวาง 1 เมตร ยาว 165 เซนตเมตร ถาตองการนามาตดเปนรปส�เหล�ยม

จตรสรปเลกๆ ท�มขนาดเทาๆกนและมพ �นท�มากท�สด จะไดท �งหมดก�รป

ก. 660 รป ข. 5 รป ค. 20 รป ง. 33 รป

39. ระฆง 3 ใบ ใบท�หน�ง ตทกๆ 45 นาท ใบท�สอง ตทกๆ 24 นาท ใบท�สาม ตทกๆ 36 นาท

ถาเร�มตพรอมกนคร �งแรกเวลา 7.00 น. จงหาวาจะตพรอมกนอกคร �งในเวลาใด

ก. 12.00 น ข. 12.30 น. ค. 13.00 น. ง. 13.30 น.

40. รถแขง 3 คน ว�งรอบสนามในเวลา 12, 15 และ 18 นาท ตามลาดบ

จงหาวารถท �งสามคนน �จะถงจดเร�มตนพรอมกนอกคร �งเม�อคนท� 2 ว�งรอบสนามไดก�รอบ

เม�อปลอยคร �งแรกพรอมกน

ก. 12 รอบ ข. 15 รอบ ค. 18 รอบ ง. 16 รอบ

41. จานวนท�มากท�สดท�นาไปหาร 131, 101 และ 161 แลวเหลอเศษเทากน แลวเศษน �น

จะตองเปนเทาใด

ก. 7 ข. 9 ค. 11 ง. 13

42. ท�สวนกวาง 108 เมตร ยาว 200 เมตร ตองการลอมทร �วโดยปกเสาร �วใหหางเทากนทกๆดาน

เสาหางกนก�เมตร จงจะประหยดมากเสาท�สด

ก. 3 เมตร ข. 4 เมตร ค. 5 เมตร ง. 6 เมตร

คณตศาสตรชวงช �นท� 2 ……………………………...... ...…………………………………………………

………………………..…………………………………………………………………… อ. รงสรรค (อ.ปง)

20

43. มสมดวาดเขยน 231 เลม สมดปกแขง 308 เลม และสมดปกออน 396 เลม จดเปนกอง

กองละเทาๆกน โดยไมใหปนกน จะไดก�กอง กองละก�เลม

ก. 85 กอง กองละ 11 เลม ข. 85 กอง กองละ 13 เลม

ค. 86 กอง กองละ 11 เลม ง. 86 กอง กองละ 13 เลม

44. มเหรยญ 10 บาท 25 เหรยญ เหรยญ 5 บาท 10 เหรยญ เหรยญ 1 บาท 20 เหรยญ

ตองการหยอดกระปกออมสนอยางละเทาๆกนและไมปนกน ในกระปกออมสนชนดเหรยญ

5 บาท จะคดเปนเงนก�บาท

ก. 10 บาท ข. 15 บาท ค. 20 บาท ง. 25 บาท

45. กอยมเงน 28 บาท สมศรมเงน 35 บาท และอานาจมเงน 105 บาท ท �ง 3 คนตองการใช

เงนวนละเทากน ขอใดตอไปน �ถกตอง

ก. ท �งสามคนใชเงนหมดพรอมกนพอด

ข. วนท�ท �งสามคนใชเงนรวมกนมากท�สดใชวนละ 24 บาท

ค. ท �งสามคนใชเงนวนละ 4 บาท 5 บาท และ 15 บาท ตามลาดบ

ง. จานวนวนท�ใชเงนจนหมดของแตละคนรวมกนเปน 24 วน

46. A เปนจานวนมากท�สดท�หาร 49, 73 และ 85 แลวเหลอเศษ 1 ทกจานวน แลวขอใด

ตอไปน �ถกตอง

ก. A + 5 = 17 ข. A A = 36 ค. A + A = 12 ง. A 5 = 35

47. จานวนนบท�นอยสดท�หารดวย 12, 18 และ 48 แลวเหลอเศษ 11 เทากน จานวนน �นคอขอใด

ก. 144 ข. 155 ค. 166 ง. 177

48. กาวน �าขวดละ 30 บาท เทปกาวมวนละ 45 บาท ตองซ �ออยางนอยอยางละก�ช �นจงจะ

จายเงนซ �ออยางละเทาๆกน

ก. กาวน �า 2 ขวด เทปกาว 2 มวน ข. กาวน �า 2 ขวด เทปกาว 3 มวน

ค. กาวน �า 3 ขวด เทปกาว 2 มวน ง. กาวน �า 3 ขวด เทปกาว 3 มวน

49. วนหน�งชาวสวนผลไมเกบเงาะไดจานวนหน�ง เม�อจดใสเขงๆละ 144 กโลกรม ไดหมดพอด

และถาจดใสเขงๆละ 252 กโลกรมไดหมดพอดเชนเดยวกน จงหาวาชาวสวนเกบเงาะในวนน �น

ไดอยางนอยก�กโลกรม

ก. 1,000 ข. 1,008 ค. 1,116 ง. 1,258

50. นกกฬา 3 คน ออกตวเร�มว�งรอบสนามแหงหน�งพรอมกน แตละคนว�งรอบสนามใชเวลา 16

นาท 24 นาท และ 40 นาท ตามลาดบ นกกฬา 3 คน จะว�งมาทนกนเปนคร �งแรกท�จดออก

ตวอกคร �ง ตองใชเวลาเทาใด

ก. 3 ช�วโมง ข. 4 ช�วโมง ค. 6 ช�วโมง ง. 8 ช�วโมง

สมบัติของจํานวนนับ · (2)...

Documents