สมรรถนะของแผนภูมิควบคุม tukey...

สมรรถนะของแผนภูมิควบคุม Tukey ภายใต้การแจกแจงไวบูลล์ PERFORMANCE OF TUKEY’S CONTROL CHART

UNDER WEIBULL DISTRIBUTION

รินรดา สังข์ศร

ปัญหาพิเศษนี้เป็นส่วนหนึ่งของการศึกษาตามหลักสูตรวิทยาศาสตรบัณฑิต

สาขาวิชาสถิติ ปีการศึกษา 2555 ภาควิชาคณิตศาสตร์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยบูรพา

ชื่อเรื่อง สมรรถนะของแผนภูมิควบคุม Tukey ภายใต้การแจกแจงไวบูลล์ PERFORMANCE OF TUKEY’S CONTROL CHART UNDER WEIBULL DISTRIBUTION ชื่อนิสิต รินรดา สังข์ศร รหัสประจ าตัวนิสิต 51035445 อาจารย์ที่ปรึกษาหลัก ผู้ช่วยศาสตราจารย์กิดาการ สายธนู

ปัญหาพิเศษนี้เป็นส่วนหนึ่งของการศึกษาตามหลักสูตรวิทยาศาสตรบัณฑิต สาขาวิชาสถิติ

ปีการศึกษา 2555 คณะกรรมการควบคุมปัญหาพิเศษ ..……………………………………………… (ผู้ช่วยศาสตราจารย์กิดาการ สายธนู) คณะกรรมการสอบปัญหาพิเศษ ...……………………………………………. ะธ น ม (ผู้ช่วยศาสตราจารย์จตุภัทร เมฆพายัพ) ..……………………………………………. ม (ผู้ช่วยศาสตราจารย์กิดาการ สายธนู) ..……………………………………………. ม (ผู้ช่วยศาสตราจารย์ปรียารัตน์ นาคสุวรรณ์) คณะ ม น ม น น น น ม ณ ม ...………………………………………….ประธานหลักสูตรวิทยาศาสตรบัณฑิต (ผู้ช่วยศาสตราจารย์ปรียารัตน์ นาคสุวรรณ์) วันที่……….. น…….……. . ……….

...…………………………………………หัวหน้าภาควิชาคณิตศาสตร์

(ผู้ช่วยศาสตราจารย์วรรณ์ทนา พรมสวย)

วันที่……….. น…….……. . ………

ประกาศคุณูปการ

ปัญหาพิเศษฉบับนี้ประสบความส าเร็จเนื่องด้วยความกรุณาและช่วยเหลือจากผู้ช่วยศาสตราจารย์ กิดาการ สายธนู อาจารย์ที่ปรึกษาปัญหาพิเศษ ที่กรุณาให้ค าปรึกษา แนะน าและตรวจสอบแก้ไขข้อบกพร่อง ในทุกขั้นตอน จนกระท่ังปัญหาพิเศษฉบับนี้ส าเร็จสมบูรณ์ ผู้วิจัยจึงขอกราบขอบพระคุณเป็นอย่างสูงไว้

นอกจากนี้ผู้วิจัยขอกราบขอบพระคุณคณะกรรมการสอบปัญหาพิเศษ ผู้ช่วยศาสตราจารย ์จตุภัทร เมฆพายัพ และผู้ช่วยศาสตราจารย์ปรียารัตน์ นาคสุวรรณ์ ที่ได้กรุณาให้ค าแนะน าเพ่ิมเติมในการแก้ไข และ ปรับปรุงปัญหาพิเศษฉบับนี้ให้ถูกต้องและเสร็จสมบูรณ์

รินรดา สังข์ศร

ค 51035445: สาขาวิชา: สถิติ; วท.บ. (สถิติ) ค าส าคัญ: แผนภูมิควบคุม Tukey /การแจกแจงไวบูลล์

รินรดา สังข์ศร: สมรรถนะของแผนภูมิควบคุม Tukey ภายใต้การแจกแจงไวบูลล์ คณะกรรมการควบคุมปัญหาพิเศษ: ผู้ช่วยศาสตราจารย์กิดาการ สายธนู, Ph.D 34 หน้า. ปี พ.ศ. 2555

บทคัดยอ่

การศึกษาครั้งนี้เป็นการวัดสมรรถนะการตรวจสอบการเปลี่ยนแปลงค่าเฉลี่ยของกระบวนการ ของแผนภูมิควบคุม Tukey ที่มีขีดจ ากัดควบคุมไม่สมมาตรภายใต้การแจกแจงไวบูลล์แบบสมมาตร แบบเบ้ซ้าย และแบบเบ้ขวา ด้วยจ านวนตัวอย่างเฉลี่ยที่สุ่มได้ก่อนที่กระบวนการจะออกนอกการควบคุม เมื่อก าหนดว่ากระบวนการออกนอกการควบคุม เมื่อค่าเฉลี่ยของกระบวนการมีการเปลี่ยนแปลงด้วยขนาดเล็ก ขนาด ปานกลาง และขนาดใหญ่ ผลการศึกษาแสดงให้เห้นว่าแผนภูมิควบคุม Tukey ภายใต้การแจกแจง ไวบูลล์ ทั้ง 3 แบบมีสมรรถนะดีท่ีสุด เมื่อใช้ในการตรวจสอบค่าเฉลี่ยของกระบวนการที่ค่าเฉลี่ยของกระบวนการมีการเปลี่ยนแปลงด้วยขนาดใหญ่แต่จะมีสมรรถนะต่ าท่ีสุด เมื่อใช้ในการตรวจสอบค่าเฉลี่ยของกระบวนการที่ค่าเฉลี่ยของกระบวนการมีการเปลี่ยนแปลงด้วยขนาดเล็ก

ง

51035384: MAJOR: STATISTICS; B.Sc. (STATISTICS) KEYWORDS: TUKEY’S CONTROL CHART/ UNDER WEIBULL DISTRIBUTION

RINRADA SANGSORN: PERFORMANCE TUKEY’S CONTROL CHART UNDER WEIBULL DISTRIBUTION ADVISOR: ASSISTANT PROFESSOR KIDAKAN SAITHANU, Ph. D 34 P. ACADEMIC YEAR 2012.

ABSTRACT

This study is a performance measurement for monitoring process mean shift of Tukey's control chart with asymmetrical control limits, under Weibull distribution. The out-of- control average run length was measured when the process mean changed to small, medium and large shift. The results of this study displayed Tukey’s control chart under all three types of WeiBull distribution were the best performance when it was used to monitor the large process mean shift. However, Tukey's control chart showed the worst performance while it was used to detect the small process mean shift.

สารบัญ

หน้า บทคัดย่อภาษาไทย.............................................................................................................................................ค บทคัดย่อภาษาอังกฤษ........................................................................................................................................ง สารบัญ...............................................................................................................................................................จ สารบัญตาราง..................................................................................................................................................ฉ สารบัญภาพ.....................................................................................................................................................ช บทที่ 1 บทน า..................................................................................................................................................1

1.1 ความเป็นมาและความส าคัญของปัญหา........................................................................................1 1.2 วัตถุประสงค์ของการศึกษา............................................................................................................2 1.3 ประโยชน์ที่คาดว่าจะได้รับจากการศึกษา......................................................................................2 1.4 ขอบเขตของการศึกษา...................................................................................................................2 1.5 นิยามศัพท์เฉพาะ...........................................................................................................................3

บทที่ 2 การแจกแจงและแผนภูมิควบคุมท่ีเกี่ยวข้อง.........................................................................................4 2.1 การแจกแจงไวบูลล์........................................................................................................................4 2.2 แผนภูมิควบคุม Tukey..................................................................................................................6

บทที่ 3 วิธีการด าเนินการศึกษา........................................................................................................................8 3.1 ข้อมูลคุณลักษณะเชิงคุณภาพภายใต้การแจกแจงไวบูลล์แบบสมมาตร.........................................8 3.2 ข้อมูลคุณลักษณะเชิงคุณภาพภายใต้การแจกแจงไวบูลล์แบบเบ้ซ้าย............................................9 3.3 ข้อมูลคุณลักษณะเชิงคุณภาพภายใต้การแจกแจงไวบูลล์แบบเบ้ขวา............................................9 3.4 การเปรียบเทียบสมรรถนะของแผนภูมิควบคุม Tukey ภายใต้การแจกแจงไวบูลล์....................10

บทที่ 4 ผลการศึกษา.....................................................................................................................................11 4.1 ผลการจ าลองข้อมูลคุณลักษณะเชิงคุณภาพภายใต้การแจกแจงไวบูลล์แบบสมมาตร.................11 4.2 ผลการจ าลองข้อมูลคุณลักษณะเชิงคุณภาพภายใต้การแจกแจงไวบูลล์แบบเบ้ซ้าย....................18 4.3 ผลการจ าลองข้อมูลคุณลักษณะเชิงคุณภาพภายใต้การแจกแจงไวบูลล์แบบเบ้ขวา....................24 4.4 ผลการเปรียบเทียบสมรรถนะของแผนภูมิควบคุม Tukey ภายใต้การแจกแจงไวบูลล์................31

บทที่ 5 สรุปและอภิปรายผลการศึกษา..........................................................................................................33 5.1 สรุปและอภิปรายผลการศึกษา....................................................................................................33 5.2 ข้อเสนอแนะ ....................................................................... ........................................................33

บรรณานุกรม.................................................................................................................................................34

สารบัญตาราง

ตารางที่ หน้า

1. ข้อมูลจ าลองคุณลักษณะเชิงคุณภาพภายใต้การแจกแจงไวบูลล์แบบสมมาตร ส าหรับขั้นตอนท่ี 1.......................................................................................................................11

2. ข้อมูลจ าลองคุณลักษณะเชิงคุณภาพภายใต้การแจกแจงไวบูลล์แบบสมมาตร ส าหรับขั้นตอนท่ี 2........................................................................................................................12 3. 1ARL ภายใต้การแจกแจงไวบูลล์แบบสมมาตร เมื่อ 1 .........................................................14 4. 1ARL ภายใต้การแจกแจงไวบูลล์แบบสมมาตร เมื่อ 2 .........................................................15 5. 1ARL ภายใต้การแจกแจงไวบูลล์แบบสมมาตร เมื่อ 3……………………………..…………..….…..16 6. ข้อมูลจ าลองคุณลักษณะเชิงคุณภาพภายใต้การแจกแจงไวบูลล์แบบเบ้ซ้าย ส าหรับขั้นตอนท่ี 1........................................................................................................................18 7. ข้อมูลจ าลองคุณลักษณะเชิงคุณภาพภายใต้การแจกแจงไวบูลล์แบบเบ้ซ้าย ส าหรับขั้นตอนท่ี 2........................................................................................................................19 8. 1ARL ภายใต้การแจกแจงไวบูลล์แบบเบ้ซ้าย เมื่อ 1………………………….……………………...…20 9. 1ARL ภายใต้การแจกแจงไวบูลล์แบบเบ้ซ้าย เมื่อ 2……………………………….…….………….….22 10. 1ARL ภายใต้การแจกแจงไวบูลล์แบบเบ้ซ้าย เมื่อ 3…………………………………….…………….23 11. ข้อมูลจ าลองคุณลักษณะเชิงคุณภาพภายใต้การแจกแจงไวบูลล์แบบเบ้ขวา ส าหรับขั้นตอนที่ 1.......................................................................................................................24 12. ข้อมูลจ าลองคุณลักษณะเชิงคุณภาพภายใต้การแจกแจงไวบูลล์แบบเบ้ขวา ส าหรับขั้นตอนที่ 2.......................................................................................................................26 13. 1ARL ภายใต้การแจกแจงไวบูลล์แบบเบ้ขวาเมื่อ 1……………………………………………….……27 14. 1ARL ภายใต้การแจกแจงไวบูลล์แบบเบ้ขวาเมื่อ 2………….……………….………………..….….29 15. 1ARL ภายใต้การแจกแจงไวบูลล์แบบเบ้ขวาเมื่อ 3……….………………….…………………….…30 16. สมรรถนะของแผนภูมิควบคุม Tukey ภายใต้การแจกแจงไวบูลล์………………..……………………...31

สารบัญภาพ

ภาพที่ หน้า 1. การแจกแจงไวบูลล์แบบสมมาตร ………………………………………….….….5 2. การแจกแจงไวบูลล์แบบเบ้ซ้าย ……………………………………………………....5 3. การแจกแจงไวบูลล์แบบเบ้ขวา …………………………………..…………….….…6

4. แผนภูมิควบคุม Tukey ภายใต้การแจกแจงไวบูลล์แบบสมมาตร………………….……………13 5. แผนภูมิควบคุม Tukey ภายใต้การแจกแจงไวบูลล์แบบเบ้ซ้าย………………………………….20 6. แผนภูมิควบคุม Tukey ภายใต้การแจกแจงไวบูลล์แบบเบ้ขวา……………………………….…27

บทที่ 1 บทนํา

1.1 ความเปนมาและความสําคัญของปญหา ในการควบคุมการผลิตผลิตภัณฑจําเปนตองมีกระบวนการการควบคุมคุณภาพเพื่อตรวจสอบขอ ผิดพลาด แกไข และรักษามาตรฐานของผลิตภัณฑ ซึ่งวิธีที่นิยมใชวิธีหนึ่งสําหรับการควบคุมคุณภาพใน การผลิตคือการควบคุมกระบวนการเชิงสถิติ (Statistical Process Control: SPC) โดยใชแผนภูมิควบคุม (Control chart) เปนเครื่องมือในการตรวจสอบความผันแปร (Variation) ที่เกิดขึ้นของกระบวนการเพื่อให ทราบวาความผันแปรที่เกิดขึ้นนั้นเกิดจากสาเหตุที่ระบุได (Assignable cause) หรือความผันแปรที่เกิดขึ้น โดยทั่วไป (Common cause) แผนภูมิควบคุมแบงไดเปน 2 ประเภท ดังนี้ 1. แผนภูมิควบคุมเชิงผันแปร (Variable control chart) เปนแผนภูมิควบคุมที่ขอมูลคุณลักษณะ เชิงคุณภาพ (Quality characteristic) ของผลิตภัณฑมีคาที่วัดไดเปนตัวแปรตอเนื่อง (Continuous variable) เชน น้ําหนัก ความสูง อุณหภูมิ ความหนา ขนาด เปนตน ซึ่งแผนภูมิควบคุมเชิงผันแปรเปนแผนภูมิควบคุมที่ใช ตรวจสอบการเปลี่ยนแปลงคาเฉลี่ยของกระบวนการ ไดแก แผนภูมิควบคุมตัวอยางเดียว ( X control chart) แผนภูมิควบคุมชิวฮารท X (Shewhart X control chart) แผนภูมิควบคุมผลรวมสะสม (CUSUM control chart) แผนภูมิควบคุม Tukey (Tukey’s control chart) เปนตนและแผนภูมิควบคุมเชิงผันแปรที่ใช ตรวจสอบการเปลี่ยนแปลงการกระจายของกระบวนการ ไดแก แผนภูมิควบคุมพิสัย ( R control chart ) แผนภูมิควบคุมคาเบี่ยงเบนมาตรฐาน ( S control chart ) เปนตน 2. แผนภูมิควบคุมเชิงคุณลักษณะ (Attribute control chart) เปนแผนภูมิควบคุมที่ขอมูล คุณลักษณะเชิงคุณภาพของผลิตภัณฑเปนคาที่ไมสามารถวัดเปนตัวเลขไดจึงเปนตัวแปรไมตอเนื่องหรือตัวแปรวิยุต (Discretevariable) ซึ่งมักจะแสดงจํานวนผลิตภัณฑบกพรองจํานวนของเสียจํานวนขอบกพรองหรือ จํานวนรอยตําหนิ โดยการพิจารณาวาผลิตภัณฑนั้นผานหรือไมผานการควบคุมคุณภาพ เชน จํานวนจุดดาง ของสีรถ จํานวนชิ้นสวนที่ประกอบไมสําเร็จ เปนตน ตัวอยางของแผนภูมิควบคุมเชิงคุณลักษณะ ไดแก แผนภูมิ ควบคุมจํานวนผลิตภัณฑที่บกพรอง ( np chart) แผนภูมิควบคุมสัดสวนของผลิตภัณฑที่บกพรอง ( p chart) แผนภูมิควบคุมจํานวนเหตุการณหรือขอบกพรอง ( c chart) แผนภูมิควบคุมสัดสวนของขอบกพรองตอหนวย โอกาสในการเกิด (u chart) เปนตน ในการตรวจสอบคาเฉลี่ยของกระบวนการที่มีคาสังเกตเพียงคาเดียว (Individual observation) หรือขนาดของกลุมตัวอยางยอย (Subgroup size) เปนหนึ่งจะใชแผนภูมิควบคุมตัวอยางเดียวซึ่งมีขอสมมุติวา คุณลักษณะเชิงคุณภาพของผลิตภัณฑจะอยูภายใตการแจกแจงปรกติ (Normal distribution) แตถาขอมูล คุณลักษณะเชิงคุณภาพของผลิตภัณฑไมไดมีการแจกแจงปรกติแลวจะทําใหขีดจํากัดควบคุม (Control limit) ของแผนภูมิควบคุมที่ใชบิดเบือนไป จึงไดมีการนําแผนภูมิควบคุม Tukey มาใชในการแกปญหานี้ ซึ่งแผนภูมิ ควบคุม Tukey เปนแผนภูมิควบคุมสําหรับคาสังเกตเพียงคาเดียวเชนกัน จึงเปนแผนภูมิที่เหมาะสมสําหรับ การตรวจสอบขอมูลคุณลักษณะเชิงคุณภาพของผลิตภัณฑที่ตองมีการทําลายหนวยตัวอยาง สวนประสิทธิภาพ ของแผนภูมิควบคุม Tukey นั้นจะใชไดดีทั้งที่คุณลักษณะเชิงคุณภาพของผลิตภัณฑมีการแจกแจงปรกติและ คุณลักษณะเชิงคุณภาพของผลิตภัณฑไมไดมีการแจกแจงปรกติ (Non-normal distribution)

สําหรับการศึกษาในครั้งนี้นั้นทําการตรวจสอบคาเฉลี่ยของกระบวนการที่มีคาสังเกตเพียงคาเดียว โดยมีคุณลักษณะเชิงคุณภาพของกระบวนการที่ไมไดมีการแจกแจงปรกติ ผูวิจัยไดพิจารณาสมรรถนะของ แผนภูมิควบคุม Tukey ภายใตการแจกแจงไวบูลล (Weibull Distribution) เนื่องจากเปนการแจกแจงที่

2

มีลักษณะทั้งสมมาตร (Symmetry) เบซาย (Skewed to the left) และเบขวา (Skewed to the right) นอกจากนั้นการแจกแจงไวบูลลยังใชสําหรับขอมูลที่มีการทําลายหนวยตัวอยางอีกดวย สวนสมรรถนะ ของกระบวนการสําหรับแผนภูมิควบคุม Tukey ที่มีขีดจํากัดควบคุมไมสมมาตร (Asymmetrical Control Limit: ACL ) นั้น ผูวิจัยจะวัดดวยคาจํานวนตัวอยางโดยเฉลี่ยที่สุมไดกอนที่กระบวนการจะออกนอก การควบคุม เมื่อกําหนดวากระบวนการออกนอกการควบคุม ( )1ARL ของแผนภูมิควบคุม Tukey ที่มี

ขีดจํากัดควบคุมไมสมมาตร

1 .2 วัตถุประสงคของการศึกษา 1.2.1 เพื่อจําลองขอมูลคุณลักษณะเชิงคุณภาพของกระบวนการภายใตการแจกแจงไวบูลลดวย โปรแกรมสําเร็จรูป Minitab ได

1.2.2 เพื่อสรางแผนภูมิควบคุม Tukey ที่มีขีดจํากัดควบคุมไมสมมาตรภายใตการแจกแจงไวบูลลได 1.2.3 เพื่อคํานวณหาคา 1ARL ในการวัดสมรรถนะของแผนภูมิควบคุม Tukey ที่มีขีดจํากัดควบคุม

ไมสมมาตรได

1 .3 ประโยชนที่คาดวาจะไดรับจากการศึกษา

1.4.1 สามารถจําลองขอมูลคุณลักษณะเชิงคุณภาพของกระบวนการภายใตการแจกแจงไวบูลลดวย โปรแกรมสําเร็จรูป Minitab ได

1.4.2 สามารถสรางแผนภูมิควบคุม Tukey ที่มีขีดจํากัดควบคุมไมสมมาตรภายใตการแจกแจงไวบูลล ได 1.4.3 สามารถหาคา ARL1 เพื่อวัดสมรรถนะของแผนภูมิควบคุม Tukey ที่มีขีดจํากัดควบคุมไม

สมมาตรได 1.4.4 เปนแนวทางในการศึกษาเรื่องแผนภูมิควบคุม Tukey ตอไปในอนาคตได

1 .4 ขอบเขตของการศึกษา จําลองขอมูลคุณลักษณะเชิงคุณภาพของกระบวนการโดยใหมีขนาดตัวอยาง (Sample size) เปน 20 ใหอยูภายใตการแจกแจงไวบลูลคือ ~ ( , )iX W β η ; , ,...,=1 2 20i ซึ่งกําหนดให η มีคาคงทีเ่ปน 1 โดยจะเปน

1. การแจกแจงสมมาตร เมื่อกําหนดให .β = 3 5 2. การแจกแจงเบซาย เมื่อกําหนดให β = 5 3. การแจกแจงเบขวา เมื่อกําหนดให β = 2

สําหรับการเปลี่ยนแปลงคาเฉลี่ย (Mean shift) ของกระบวนการนั้น จะพิจารณาเมื่อกระบวนการมี การเปลี่ยนแปลงดวย

1. ขนาดเล็ก (Small shift) คือ δ =1 2. ขนาดปานกลาง (Medium shift) คือ δ = 2 3. ขนาดใหญ (Large shift) คือ δ = 3

3

สวนพารามิเตอรของแผนภูมิควบคุม Tukey ที่มีขีดจํากัดควบคุมไมสมมาตรภายใตการแจกแจงไวบูลล คือเปนการแจกแจง

1. สมมาตร เมื่อกําหนดให kU = 1.468 และ kL = 1.462 2. เบซาย เมื่อกําหนดให kU = 1.353 และ kL = 1.787

3. เบขวา เมื่อกําหนดให kU = 2.121และ kL = 0.785

1 .5 นิยามศัพทเฉพาะ

แผนภูมิควบคุมตัวอยางเดียว เปนแผนภูมิสําหรับตรวจสอบคาเฉลี่ยของกระบวนการที่มีคาสังเกตเพียง

คาเดียว โดยที่ขอมูลคุณลักษณะเชิงคุณภาพของผลิตภัณฑมีคาที่วัดไดเปนตัวแปรตอเนื่อง และอยูภายใต

ขอสมมุติวาคุณลักษณะเชิงคุณภาพของผลิตภัณฑมีการแจกแจงปรกติ

แผนภูมิควบคุม Tukey เปนแผนภูมิสําหรับตรวจสอบการเปลี่ยนแปลงคาเฉลี่ยของกระบวนการที่มี

คาสังเกตเพียงคาเดียวซึ่งสามารถใชไดทั้งที่ขอมูลคุณลักษณะเชิงคุณภาพของผลิตภัณฑอยูภายใตการแจกแจง

ปรกติและคณุลักษณะเชิงคุณภาพของผลิตภัณฑไมไดอยูภายใตการแจกแจงปรกติ

การแจกแจงไวบูลล เปนการแจกแจงที่มีทั้งลักษณะสมมาตร เบซาย และเบขวา มักใชในการจําลอง เพื่อหาอายุการใชงานของระบบตางๆ จนกระทั่งระบบใชงานไมได จึงเหมาะสมสําหรับขอมูลที่ตองมีการทําลาย หนวยตัวอยาง

บทที่ 2 การแจกแจงและแผนภูมิควบคุมที่เกี่ยวของ

2 .1 การแจกแจงไวบูลล (We ibu l l d i s t r ibu t ion )

การแจกแจงไวบูลลมักใชในการจําลอง เพื่อหาอายุการใชงานของระบบตางๆ จนกระทั่งระบบใชงาน ไมได (Wagner, Morais, & Cordiro, 2007) จึงเหมาะสําหรับขอมูลที่ตองมีการทําลายหนวยตัวอยาง และ ลักษณะการแจกแจงไวบูลลนั้นมีทั้งสมมาตร เบซาย และเบขวา

สําหรับฟงกชันการแจกแจงความนาจะเปน (Probability distribution function: pdf. ) ของการแจกแจงไวบูลลเปนดังนี้

( ) exp ; , ,

− ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥= − ≤ ≤ ∞ > >⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

1

0 0 0x xf xxβ β

ββ η

η η η (2.1)

ซึ่งสามารถเขียนแทนดวยสัญลักษณ X W η,β( )

สวนคาคาดหมาย (Expected value) ของการแจกแจงไวบูลล คือ

( ) ( )= Γ +11E X ηβ

(2.2)

และความแปรปรวน (Variance) ของการแจกแจงไวบูลล คือ

( ) ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= Γ + −Γ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

22 2 11 1V X η

β β (2.3)

โดยที่ η เปนพารามิเตอรบอกอัตราสวน (Scale parameter)

β เปนพารามิเตอรบอกรูปราง (Shape parameter)

เมื่อ β≤ ≤3 4 การแจกแจงไวบูลลเปนแบบสมมาตร แสดงดังภาพที่ 1

β > 4 การแจกแจงไวบูลลเปนแบบเบซาย แสดงดังภาพที่ 2

β< <0 3 การแจกแจงไวบูลลเปนแบบเบขวา แสดงดังภาพที่ 3

5

x

f(x)

2.01.51.00.50.0

1.4

1.2

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

W(3.5,1)

ภาพที่ 1 การแจกแจงไวบูลลแบบสมมาตร

X W 3.5,1( )( )

x

f(x)

1.61.41.21.00.80.60.40.20.0

2.0

1.5

1.0

0.5

0.0

W(5,1)

ภาพที่ 2 การแจกแจงไวบูลลแบบเบซาย

X W 5,1( )( )

6

x

f(x)

3.53.02.52.01.51.00.50.0

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

W(2,1)

ภาพที่ 3 การแจกแจงไวบูลลแบบเบขวา

X W 2,1( )( )

2 .2 แผนภูมิควบคุม Tukey (Tukey’ s cont ro l cha r t ) แผนภูมิควบคุม Tukey เปนแผนภูมิควบคุมที่ใชในการตรวจสอบคาเฉลี่ยของกระบวนการที่มีคา สังเกตเพียงคาเดียวหรือขนาดของกลุมตัวอยางยอยเปนหนึ่งนอกจากนี้ยังใชในการตรวจสอบขอมูลคุณลักษณะ เชิงคุณภาพของผลิตภัณฑที่ตองมีการทําลายหนวยตัวอยางสวนประสิทธิภาพของแผนภูมิควบคุม Tukey นั้น จะใชไดดีทั้งที่เมื่อคุณลักษณะเชิงคุณภาพของผลิตภัณฑมีการแจกแจงปรกติโดยมีขีด จํากัดควบคุมสมมาตร (Symmetrical Control Limits: SCL ) และคุณลักษณะเชิงคุณภาพของผลิตภัณฑทีไ่มไดมีการแจกแจงปรกติ โดยมีขีดจํากัดควบคุมไมสมมาตร (Torng, Liao, Lee, & Wu, 2009)

สําหรับคาสถิติที่นํามาพลอตลงในแผนภูมิควบคุม Tukey คือคาคุณลักษณะเชิงคุณภาพของ ผลิตภัณฑ ( )X โดยมีขีดจํากัดควบคุมเปนดังนี้

ขีดจํากัดควบคุมสมมาตรของแผนภูมิควบคุม Tukey คือ

ขีดจํากัดควบคุมสมมาตรบน (Upper Symmetrical Control Limit:USCL ):

USCL = F−1 0.75( ) + k × IQR (2.4)

ขีดจํากัดควบคุมสมมาตรลาง (Lower Symmetrical Control Limit: LSCL )

( ).−= − ×1 0 25LSCL F k IQR (2.5)

7

ขีดจํากัดควบคุมไมสมมาตรของแผนภูมิควบคุม Tukey คือ ขีดจํากัดควบคุมไมสมมาตรบน (Upper Asymmetrical Control Limit:UACL ):

( ). UUACL F k IQR−= + ×1 0 75 (2.6)

ขีดจํากัดควบคุมไมสมมาตรลาง (Lower Asymmetrical Control Limit: LACL ):

( ). LLACL F k IQR−= − ×1 0 25 (2.7)

โดยที่ F−1(i) เปนฟงกชันการแจกแจงความนาจะเปนสะสม (Cumulative Distribution

Function: cdf )

IQR เปนพิสัยควอไทล (Inter Quartile Range) ซึ่งหาไดจากผลตางระหวาง ( ) ( ).−1 0 75F และ

( ) ( ).−1 0 25F

k เปนคาสัมประสิทธิ์ของขีดจํากัดควบคุมสมมาตร (Coefficient of symmetrical control limit)

Uk เปนคาสัมประสิทธิ์ของขีดจํากัดควบคุมไมสมมาตรบน (Coefficient of upper

asymmetrical control limit)

Lk เปนคาสัมประสิทธิ์ของขีดจํากัดควบคุมไมสมมาตรลาง (Coefficient of lower

asymmetrical control limit)

บทที่ 3 วิธีการดําเนินการศึกษา

การศึกษาครั้งนี้เปนการวัดสมรรถนะในการตรวจสอบการเปลี่ยนแปลงคาเฉลี่ยของกระบวนการของ

แผนภูมิควบคุม Tukey ที่มีขีดจํากัดควบคุมไมสมมาตรภายใตการแจกแจงไวบูลลแบบสมมาตร แบบเบซาย และแบบเบขวา โดยวัดสมรรถนะดวยคา 1ARL เมื่อคาเฉลี่ยของกระบวนการมีการเปลี่ยนแปลงดวยขนาดเล็ก

ขนาดปานกลาง และขนาดใหญ ซึ่งมีขั้นตอนวิธีการดําเนินการศึกษาดังนี้

3 .1 ขอมูลคุณลักษณะเชิงคุณภาพภายใตการแจกแจงไวบูลลแบบสมมาตร 3.1.1 จําลองขอมูลคุณลักษณะเชิงคุณภาพของกระบวนการภายใตการแจกแจงไวบูลลแบบสมมาตร

คือ

X W 3.5,1( )( ) โดยใชขนาดตัวอยางเปน 20 และสรางแผนภูมิควบคุม Tukey ซึ่งประกอบดวย 2

ขั้นตอน คือ ขั้นตอนที่ 1 (Phase I) เปนการหาขีดจํากัดควบคุมจาก Preliminary sample โดยนําขอมูลที่ไดจาก

การจําลองมาคํานวณหา IQR ของคุณลักษณะเชิงคุณภาพ เพื่อนําไปพลอตลงในแผนภูมิควบคุม Tukey โดย สามารถหาขีดจํากัดควบคุมไมสมมาตรภายใต kU =1.468 และ kL =1.462 ไดจากการแทนคาสมการที่

(2.6) และสมการที่ (2.7) ดังนี้

ขีดจํากัดควบคุมไมสมมาตรบน

UACL = F−1 0.75( ) +1.468× IQR (3.1) ขีดจํากัดควบคุมไมสมมาตรลาง

( ). .−= − ×1 0 25 1 462LACL F IQR (3.2)

ขั้นตอนที่ 2 (Phase II) เปนขั้นตอนที่ใชตรวจสอบวาขีดจํากัดควบคุมที่ไดจากขั้นตอนที่ 1 ทําใหได กระบวนการอยูในการควบคุมหรือไม โดยใชขอมูลที่ไดจากการจําลองของ Succeeding sample ไปพลอต ลงในแผนภูมิควบคุม Tukey

3.1.2 จําลองขอมูลคุณลักษณะเชิงคุณภาพของกระบวนการภายใตการแจกแจงไวบูลลเมื่อคาเฉลี่ย ของกระบวนการมีการเปลี่ยนแปลงดวยขนาดเล็ก ( )δ =1

โดยที่ µ1 = µ0 +σ คือ X W 0.4304,1( ) จํานวน 30 ครั้ง แลวหาคา 1ARL

3.1.3 จําลองขอมูลคุณลักษณะเชิงคุณภาพของกระบวนการภายใตการแจกแจงไวบูลลเมื่อคาเฉลี่ย ของกระบวนการมีการเปลี่ยนแปลงดวยขนาดปานกลาง ( )δ = 2

โดยที่ µ1 = µ0 + 2σ คือ

X W 0.3594,1( ) จํานวน 30 ครั้ง แลวหาคา 1ARL

3.1.4 จําลองขอมูลคุณลักษณะเชิงคุณภาพของกระบวนการภายใตการแจกแจงไวบูลลเมื่อคาเฉลี่ย ของกระบวนการมีการเปลี่ยนแปลงดวยขนาดใหญ ( )δ = 3

โดยที่ µ1 = µ0 + 3σ คือ X W 0.3271,1( ) จํานวน 30 ครั้ง แลวหาคา 1ARL

9

3 .2 ขอมูลคุณลักษณะเชิงคุณภาพภายใตการแจกแจงไวบูลลแบบเบซาย 3.2.1 จําลองขอมูลคุณลักษณะเชิงคุณภาพของกระบวนการภายใตการแจกแจงไวบูลลแบบเบซายคือ

X W 5,1( ) โดยใชขนาดตัวอยางเปน 20 และสรางแผนภูมิควบคุม Tukey ซึ่งประกอบดวย 2 ขั้นตอน คือ

ขั้นตอนที่ 1 (Phase I) เปนการหาขีดจํากัดควบคุมจาก Preliminary sample โดยนําขอมูลที่ไดจาก การจําลองมาคํานวณหา IQR ของคุณลักษณะเชิงคุณภาพ เพื่อนําไปพลอตลงในแผนภูมิควบคุม Tukey โดยที่ ขีดจํากัดควบคุมไมสมมาตรโดยสามารถหาขีดจํากัดควบคุมไมสมมาตรภายใต kU =1.353 และ

kL =1.787 ไดจากการแทนคาสมการที่ (2.6) และสมการที่ (2.7) ดังนี้


( ). .−= + ×1 0 75 1 353UACL F IQR (3.3)

ขีดจํากัดควบคุมไมสมมาตรลาง

( ). .−= − ×1 0 25 1 787LACL F IQR (3.4)

ขั้นตอนที่ 2 (Phase II) เปนขั้นตอนที่ใชตรวจสอบวาขีดจํากัดควบคุมที่ไดจากขั้นตอนที่ 1 ทําใหได กระบวนการอยูในการควบคุมหรือไม โดยใชขอมูลที่ไดจากการจําลองของ Succeeding sample ไปพลอตลง ในแผนภูมิควบคุม Tukey 3.2.2 จําลองขอมูลคุณลักษณะเชิงคุณภาพของกระบวนการภายใตการแจกแจงไวบูลลเมื่อคาเฉลี่ย ของกระบวนการมีการเปลี่ยนแปลงดวยขนาดเล็ก ( )δ =1



โดยที่ µ1 = µ0 + 2σ คือ

X W 0.3583,1( ) จํานวน 30 ครั้ง แลวหาคา ARL1



3 .3 ขอมูลคุณลักษณะเชิงคุณภาพภายใตการแจกแจงไวบูลลแบบเบขวา

3.3.1 จําลองขอมูลคุณลักษณะเชิงคุณภาพของกระบวนการภายใตการแจกแจงไวบูลลแบบเบขวาคือ

X W 2,1( ) โดยใชขนาดตัวอยางเปน 20 และสรางแผนภูมิควบคุม Tukey ซึ่งประกอบดวย 2 ขั้นตอน คือ

ขั้นตอนที่ 1 (Phase I) เปนการหาขีดจํากัดควบคุมจาก Preliminary sample โดยนําขอมูลที่ไดจาก การจําลองมาคํานวณหา IQR ของคุณลักษณะเชิงคุณภาพ เพื่อนําไปพลอตลงในแผนภูมิควบคุม Tukey โดย ที่สามารถหาขีดจํากัดควบคุมไมสมมาตรภายใต kU = 2.121 และ kL = 0.785 ไดจากการแทนคาในสมการที่ (2.6) และสมการที่ (2.7) ดังนี้

10


( ). .−= + ×1 0 75 2 121UACL F IQR (3.5)


( ). .−= − ×1 0 25 0 785LACL F IQR (3.6)

ขั้นตอนที่ 2 (Phase II) เปนขั้นตอนที่ใชตรวจสอบวาขีดจํากัดควบคุมที่ไดจากขั้นตอนที่ 1 ทําใหไดกระบวนการอยูในการควบคุมหรือไม โดยใชขอมูลที่ไดจากการจําลองของ Succeeding sample ไปพลอตลงในแผนภูมิควบคุม Tukey 3.3.2 จําลองขอมูลคุณลักษณะเชิงคุณภาพของกระบวนการภายใตการแจกแจงไวบูลลเมื่อคาเฉลี่ย ของกระบวนการมีการเปลี่ยนแปลงดวยขนาดเล็ก ( )δ =1



โดยที่ µ1 = µ0 + 2σ คอื

X W 0.3628,1( ) จํานวน 30 ครั้ง แลวหาคา 1ARL



3 .4 การเปรียบเทียบสมรรถนะของแผนภูมิควบคุม Tukey ภายใตการแจกแจงไวบูลล ใชคา 1ARL ในการวัดสมรรถนะของแผนภูมิควบคุม Tukey ภายใตการแจกแจงไวบูลลแบบสมมาตร

แบบเบซาย และแบบเบขวา เมื่อคาเฉลี่ยของกระบวนการมีการเปลี่ยนแปลงดวยขนาดเล็ก ขนาดปานกลาง ขนาดใหญ

บทที่ 4 ผลการศึกษา

ในการวัดสมรรถนะการตรวจสอบการเปลี่ยนแปลงคาเฉลี่ยของกระบวนการของแผนภูมิควบคุม Tukey ที่มีขีดจํากัดควบคุมไมสมมาตรภายใตการแจกแจงไวบูลลดวยคา 1ARL

เมื่อคาเฉลี่ยของกระบวนการ

มีการเปลี่ยนแปลงดวยขนาดเล็ก ขนาดปานกลาง และขนาดใหญ ไดผลการศึกษาดังนี้

4 .1 ผลการจําลองขอมูลคุณลักษณะเชิงคุณภาพภายใตการแจกแจงไวบูลลแบบสมมาตร 4.1.1 จากการจําลองขอมูลคุณลักษณะเชิงคุณภาพของกระบวนการภายใตการแจกแจงไวบูลลแบบ

สมมาตรคือ

X W 3.5,1( )( ) โดยใชขนาดตัวอยางเปน 20 และสรางแผนภูมิควบคุม Tukey ภายใตขั้นตอน

ที่ 1 ไดผลดังตารางที่ 1

ตารางที่ 1 ขอมูลจําลองคุณลักษณะเชิงคุณภาพภายใตการแจกแจงไวบูลลแบบสมมาตร สําหรับขั้นตอนที่ 1

Iteration i( ) iX

1 1.2116

2 0.7022 3 0.7216 4 1.2976 5 0.9460 6 0.5198 7 0.7826 8 0.8235 9 1.2360 10 0.6029 11 1.0427 12 0.6686 13 1.1384 14 1.0547 15 0.8097 16 1.0886 17 0.8944 18 0.6839 19 0.6328 20 0.7563

12

ซึ่งหาคา ( . )−1 0 75F , ( . )−1 0 25F และ IQR ไดดังนี้

. .( . ) .− += ≈1 1 0544 1 8862

0 75 1 07152

F

. .( . ) .− +

= ≈1 0 6839 0 70230 25 0 6931

2F

IQR = 1.0715− 0.6931= 0.3784

สําหรับขีดจํากัดควบคุมไมสมมาตรไดจากการแทนคาสมการที่ (3.1) และสมการที่ (3.2) ดังนี้


. . . .= + × ≈1 0715 1 468 0 3784 1 6270UACL


. . . .= ×− ≈0 6931 1 462 0 3784 0 1399LACL

เมื่อทําการตรวจสอบวาขีดจํากัดควบคุมที่ไดจากขั้นตอนที่ 1 นี้ทําใหไดกระบวนการอยูในการควบคุม หรือไมโดยการจําลองขอมูลของ Succeeding sample ซึ่งแสดงดังตารางที่ 2 ไปพลอตลงในแผนภูมิควบคุม Tukey ตารางที่ 2 ขอมูลจําลองคุณลักษณะเชิงคุณภาพภายใตการแจกแจงไวบูลลแบบสมมาตร สําหรับขั้นตอนที่ 2

Iteration i( ) iX

1 1.2061 2 1.1486 3 1.0077 4 0.67545 5 0.8601 6 1.0486 7 0.7808 8 0.9795 9 0.6103 10 0.7202 11 0.8737 12 1.1299 13 0.9791 14 1.4277

13

จากนั้นนําขอมูลที่ไดการจําลองขอมูลคุณลักษณะเชิงคุณภาพของกระบวนการภายใตการแจกแจง

ไวบูลลแบบสมมาตรทั้งขั้นตอนที่ 1 และขั้นตอนที่ 2 มาพลอตลงในแผนภูมิ ดังแสดงในภาพที่ 4

403020100

1.8

1.6

1.4

1.2

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

Sample size

Qua

lity

char

acte

rist

ic

UACL=1.6270

LACL=0.1399

20

Phase I Phase II

ภาพที่ 4 แผนภูมิควบคุม Tukeyภายใตการแจกแจงไวบูลลแบบสมมาตร

จากภาพที่ 4 แสดงใหเห็นวาสามารถนําขีดจํากัดควบคุมที่ไดจากขั้นตอนที่ 1 ไปใชในการตรวจสอบ กระบวนการได เนื่องจากแผนภูมิควบคุม Tukey ของขั้นตอนที่ 2 ยังคงอยูในการควบคุม

4.1.2 จากการจําลองขอมูลคุณลักษณะเชิงคุณภาพของกระบวนการภายใตการแจกแจงไวบูลล เมื่อ

คาเฉลี่ยของกระบวนการมีการเปลี่ยนแปลงดวยขนาดเล็ก ( )δ =1 โดยที่ µ1 = 0.8997+1.7303 = 2.6300

คือ

X W 0.4304,1( )( ) จํานวน 30 ครั้ง แลวหาคา 1ARL ซึ่งแสดงไดดังตารางที่ 3

Iteration i( ) iX

15 0.4363 16 1.1226 17 0.9840 18 0.9880 19 0.8796 20 0.6020

14

ตารางที่ 3 1ARL

ภายใตการแจกแจงไวบูลลแบบสมมาตร เมื่อ δ =1

Iteration i( ) _1ARL i 1 0.9000 2 0.4285 3 1.1111 4 0.5833 5 0.4286 6 0.5387 7 0.3333 8 0.8182 9 0.3333 10 0.8000 11 0.3333 12 0.4286 13 0.5385 14 0.6667 15 0.4286 16 0.7000 17 0.6667 18 0.5385 19 0.2667 20 0.1875 21 0.5385 22 1.2857 23 0.4286 24 0.4615 25 0.1765 26 0.1765 27 0.2857 28 0.3571 29 0.4286 30 0.5385

15

จากตารางที่ 3 จะเห็นไดวาสามารถหาคา 1ARL เมื่อคาเฉลี่ยของกระบวนการเปลี่ยนแปลงดวย

ขนาดเล็ก โดยการหาคาเฉลี่ยของ 1ARL จากการทําซ้ําจํานวน 30 ครั้ง เปนดังนี้

= 0.5236

4.1.3 จําลองขอมูลคุณลักษณะเชิงคุณภาพของกระบวนการภายใตการแจกแจงไวบูลล เมื่อ คาเฉลี่ยของกระบวนการมีการเปลี่ยนแปลงดวยขนาดปานกลาง ( )δ = 2 โดยที่

µ1 = 0.8998+ 2(1.7303) = 4.3603 คือ

X W 0.3594,1( )( ) จํานวน 30 ครั้ง แลวหาคา 1ARL

ซึ่งแสดงดังตารางที่ 4 ตารางที่ 4 1ARL

ภายใตการแจกแจงไวบูลลแบบสมมาตร เมื่อ δ = 2

Iteration i( ) _1ARL i 1 0.4286 2 0.7273 3 0.2667 4 0.8000 5 0.4286 6 0.5385 7 0.5385 8 0.2500 9 0.4615 10 0.3333 11 0.1765 12 0.5385 13 0.3542 14 0.2500 15 02500 16 0.6667 17 0.4118 18 0.5000 19 0.4545 20 0.5385

_.... .= + +

= =

∑30

11 0 9000 0 5385

1 30 30

iiARL

ARL

16

Iteration i( ) _1ARL i

21 0.4615 22 0.3333 23 0.4286 24 1.2222 25 0.5385 26 0.1111 27 0.2500 28 0.2857 29 0.2667 30 0.3333

จากตารางที่ 4 จะเห็นไดวาสามารถหาคา 1ARL

เมื่อคาเฉลี่ยของกระบวนการเปลี่ยนแปลง

ดวยขนาดปานกลาง โดยการหาคาเฉลี่ยของ 1ARL จากการทําซ้ําจํานวน 30 ครั้ง เปนดังนี้

ARL1 =

ARL1_ ii=1

30∑

30 = 0.4286+ ...+ 0.333330

= 0.4382

4.1.4 จําลองขอมูลคุณลักษณะเชิงคุณภาพของกระบวนการภายใตการแจกแจงไวบูลล เมื่อคาเฉลี่ย ของกระบวนการมีการเปลี่ยนแปลงดวยขนาดใหญ

δ = 3( ) โดยที่ µ1 = 0.8998+ 3(1.7303) = 6.0906 คือ

X W 0.3271,1( )( ) จํานวน 30 ครั้ง แลวหาคา ARL1 ซึ่งแสดงไดดังตารางที่ 5

ตารางที่ 5 1ARL ภายใตการแจกแจงไวบูลลแบบสมมาตร เมื่อ δ = 3


1 0.4000 2 0.1765 3 0.1111 4 0.1111 5 0.4286 6 0.3333 7 0.2500 8 0.0000 9 0.5833

17


10 0.5385 11 0.1111 12 0.6364 13 0.4167 14 0.4286 15 0.1111 16 0.6667 17 0.1765 18 0.4286 19 0.3333 20 0.4000 21 0.3846 22 0.5385 23 0.4286 24 0.5385 25 0.5385 26 0.6667 27 0.3333 28 0.5385 29 0.3333 30 0.3333


เมื่อคาเฉลี่ยของกระบวนการเปลี่ยนแปลงดวย

ขนาดใหญ โดยการหาคาเฉลี่ยของ 1ARL จากการทําซ้ําจํานวน 30 ครั้ง เปนดังนี้

_.... .= + +

= =

∑30

11

10 4000 0 333

30 30

iiARL

ARL

.= 0 3758

18

4 .2 ผลการจําลองขอมูลคุณลักษณะเชิงคุณภาพภายใตการแจกแจงไวบูลลแบบเบซาย

4.2.1 จําลองขอมูลคุณลักษณะเชิงคุณภาพของกระบวนการภายใตการแจกแจงไวบูลลแบบเบซายคือ

X W 5,1( )( ) โดยใชขนาดตัวอยางเปน 20 และสรางแผนภูมิควบคุม Tukey ภายใตขั้นตอนที่ 1

ไดผลดังตารางที่ 6

ตารางที่ 6 ขอมูลจําลองคุณลักษณะเชิงคุณภาพภายใตการแจกแจงไวบูลลแบบเบซาย สําหรับขั้นตอนที่ 1

Iteration i( ) iX

1 0.6326

2 1.1220 3 0.6349 4 0.9112 5 0.8705 6 0.8662 7 0.8256 8 1.1146 9 0.9642 10 0.8809 11 1.2115 12 1.1572 13 1.3176 14 1.2050 15 0.6869 16 0.9574 17 1.0204 18 0.9755 19 0.5280 20 1.1415


. .( . ) .− += ≈1 1 1220 1 1415

0 75 1 13182

F

. .( . ) .− += ≈1 0 8256 0 8662

0 25 0 84592

F

IQR = 1.1318− 0.8459 = 0.2858

19

สําหรับขีดจํากัดควบคุมไมสมมาตรไดจากการแทนคาสมการที่ (3.3) และสมการที่ (3.4) ดังนี้


. . . .= + × ≈1 1318 1 353 0 2858 1 1585UACL


. . . .= ×− ≈0 8459 1 787 0 2858 0 3352LACL เมื่อทําการตรวจสอบวาขีดจํากัดควบคุมที่ไดจากขั้นตอนที่ 1 นี้ ทําใหไดกระบวนการอยูในการควบคุม

หรือไม โดยการจําลองขอมูลของ Succeeding sample ซึ่งแสดงดังตารางที่ 7 ไปพลอตลงในแผนภูมิควบคุม Tukey ตารางที่ 7 ขอมูลจําลองคุณลักษณะเชิงคุณภาพภายใตการแจกแจงไวบูลลแบบเบซาย สําหรับขั้นตอนที่ 2

Iteration i( ) iX

1 0.8937 2 0.6268 3 1.0299 4 0.9284 5 0.7636 6 0.6395 7 1.0052 8 0.6058 9 0.6765 10 0.9099 11 0.9557 12 0.6254 13 0.7676 14 0.7822 15 0.7848 16 1.0883 17 0.6547 18 1.2967 19 0.9923 20 1.0232

20

จากนั้นนําขอมูลที่ไดการจําลองขอมูลคุณลักษณะเชิงคุณภาพของกระบวนการภายใตการแจกแจง ไวบูลลแบบเบซายทั้งขั้นตอนที่ 1 และขั้นตอนที่ 2 มาพลอตลงในแผนภูมิ ดังแสดงในภาพที่ 5

403020100

1.50

1.25

1.00

0.75

0.50

Simple size

Qua

tity

cha

ract

eris

tic

UACL=1.5185

LACL=0.3352

20

Phase I Phase II

ภาพที่ 5 แผนภูมิควบคุม Tukey ภายใตการแจกแจงไวบูลลแบบเบซาย

4.2.2 จําลองขอมูลคุณลักษณะเชิงคุณภาพของกระบวนการภายใตการแจกแจงไวบูลล เมื่อคาเฉลี่ย ของกระบวนการมีการเปลี่ยนแปลงดวยขนาดเล็ก ( )=1δ โดยที่ µ1 = 0.9182+1.7002 = 2.6183 คือ


ซึ่งแสดงไดดังตารางที่ 8

ตารางที่ 8 1ARL ภายใตการแจกแจงไวบูลลแบบเบซาย เมื่อ δ =1


1 0.1765 2 0.2667 3 0.1765 4 0.4615 5 0.4286 6 0.3333 7 0.1111 8 0.2500 9 0.0526 10 0.1747 11 0.4286

21


12 0.1111 13 0.3333 14 0.2500 15 0.2500 16 0.4286 17 0.1765 18 0.1765 19 0.1765 20 0.1765 21 0.1765 22 0.1765 23 0.1111 24 0.0000 25 0.4285 26 0.3333 27 0.2500 28 0.1765 29 0.2500 30 0.0563




_.... .= + +

= =

∑30

11

10 1765 0 0563

30 30

iiARL

ARL

.= 0 2483

4.2.3 จําลองขอมูลคุณลักษณะเชิงคุณภาพของกระบวนการภายใตการแจกแจงไวบูลล เมื่อคาเฉลี่ย ของกระบวนการมีการเปลี่ยนแปลงดวยขนาดปานกลาง ( )= 2δ โดยที่

µ1 = 0.9181+ 2(1.7002) = 4.3185 คือ X W 0.3583,1( )( ) จํานวน 30 ครั้ง แลวหาคา 1ARL ซึ่งแสดงไดดังตารางที่ 9

22

ตารางที่ 9 1ARL ภายใตการแจกแจงไวบูลลแบบเบซาย เมื่อ δ = 2

Iteration i( ) _1ARL i 1 0.1111 2 0.3333 3 0.1176 4 0.3333 5 0.3333 6 0.1764 7 0.2500 8 0.1875 9 0.1765 10 0.1111 11 0.5385 12 0.3333 13 0.1765 14 0.1429 15 0.3571 16 0.0526 17 0.5385 18 0.5385 19 0.1765 20 0.1765 21 0.1765 22 0.1111 23 0.2667 24 0.3333 25 0.1111 26 0.2500 27 0.3333 28 0.1111 29 0.2500 30 0.1765

23

จากตารางที่ 9 จะเห็นไดวาสามารถหาคา 1ARL เมื่อคาเฉลี่ยของกระบวนการเปลี่ยนแปลงดวยขนาด

ปานกลาง โดยการหาคาเฉลี่ยของ 1ARL จากการทําซ้ําจํานวน 30 ครั้ง เปนดังนี้

ARL1 =

ARL1_ ii=1

30∑

30 = 0.1111+ ...+ 0.176530

= 0.2449 4.2.4 จําลองขอมูลคุณลักษณะเชิงคุณภาพของกระบวนการภายใตการแจกแจงไวบูลล เมื่อคาเฉลี่ย

ของกระบวนการมีการเปลี่ยนแปลงดวยขนาดใหญ ( )δ = 3 โดยที่ µ1 = 0.9181+ 3(1.7001) = 6.0187 คือ




ภายใตการแจกแจงไวบูลลแบบเบซาย เมื่อ δ = 3

Iteration i( ) _1ARL i 1 0.3333 2 0.1111 3 0.2500 4 0.2500 5 0.3333 6 0.2500 7 0.1111 8 0.8175 9 0.2500 10 0.1765 11 0.4286 12 0.1111 13 0.1111 14 0.5385 15 0.4286 16 0.5385 17 0.2500 18 0.1111 19 0.1111 20 0.3333 21 0.1111

24


22 0.1111 23 0.1765 24 0.2500 25 0.4615 26 0.1111 27 0.2500 28 0.2500 29 0.1765 30 0.1765




_ .... .= + += =

∑30

11

10 3333 0 1765

30 30

iiARL

ARL

.= 0 2430

4 .3 ผลการจําลองขอมูลคุณลักษณะเชิงคุณภาพภายใตการแจกแจงไวบูลลแบบเบขวา 4.3.1จําลองขอมูลคุณลักษณะเชิงคุณภาพของกระบวนการภายใตการแจกแจงไวบูลลแบบเบขวาคือ

X W 2,1( )( ) โดยใชขนาดตัวอยางเปน 20 และสรางแผนภูมิควบคุม Tukey ภายใตขั้นตอนที่ 1 ไดผลดัง

ตารางที่ 11

ตารางที่ 11 ขอมูลจําลองคุณลักษณะเชิงคุณภาพภายใตการแจกแจงไวบูลลแบบเบขวา สําหรับขั้นตอนที่ 1

Iteration i( ) iX

1 1.2912

2 0.9955 3 1.0958 4 1.0033 5 1.8071 6 1.4520 7 0.4953 8 0.9700 9 0.4630

25

Iteration i( ) iX

10 0.7732 11 0.3947 12 1.3205 13 0.6253 14 0.8112 15 0.5032 16 1.0603 17 0.5357 18 0.5767 19 1.2647 20 1.0851


. .( . ) .− += ≈1 1 9058 1 2647

0 75 1 18032

F

. .( . ) .− += ≈1 0 5357 0 5767

0 25 0 55622

F

IQR = 1.1803− 0.5562 = 0.6241

สําหรับขีดจํากัดควบคุมไมสมมาตรไดจากการแทนคาในสมการที่ (3.5) และสมการที่ (3.6) ดังนี้


. . . .= + × ≈1 1803 2 121 0 6241 2 5039UACL ขีดจํากัดควบคุมไมสมมาตรลาง

. . . .= × ≈−0 5562 0 785 0 6241 0 0663LACL เมื่อทําการตรวจสอบวาขีดจํากัดควบคุมที่ไดจากขั้นตอนที่ 1 นี้ ทําใหไดกระบวนการอยูในการควบคุม

หรือไม โดยการจําลองขอมูลของ Succeeding sample ซึ่งแสดงดังตารางที่ 12 ไปพลอตลงในแผนภูมิควบคุม Tukey

26

ตารางที่ 12 ขอมูลจําลองคุณลักษณะเชิงคุณภาพภายใตการแจกแจงไวบูลลแบบเบขวา สําหรับขั้นตอนที่ 2

Iteration i( ) iX

1 1.0418 2 1.5278 3 1.0760 4 1.0283 5 1.3135 6 1.3083 7 0.6617 8 0.9823 9 1.2986 10 0.2604 11 0.6418 12 0.3167 13 1.2461 14 0.3033 15 1.5295 16 1.5233 17 1.5394 18 1.0328 19 0.5481 20 0.9635

จากนั้นนําขอมูลที่ไดการจําลองขอมูลคุณลักษณะเชิงคุณภาพของกระบวนการภายใตการแจกแจง

ไวบูลลแบบเบขวาทั้งขั้นตอนที่ 1 และขั้นตอนที่ 2 มาพลอตลงในแผนภูมิ ซึ่งแสดงในภาพที่ 6

27

403020100

2.5

2.0

1.5

1.0

0.5

0.0

Simple size

Qua

lity

char

acte

rist

icUACL=2.5039

LACL=0.0663

20

Phase I Phase II

ภาพที่ 6 แผนภูมิควบคุม Tukey ภายใตการแจกแจงไวบูลลแบบเบขวา

4.3.2 จําลองขอมูลคุณลักษณะเชิงคุณภาพของกระบวนการภายใตการแจกแจงไวบูลล เมื่อคาเฉลี่ย ของกระบวนการมีการเปลี่ยนแปลงดวยขนาดเล็ก ( )δ =1 โดยที่ µ1 = 0.8863+1.7854 = 2.6710 คือ




ภายใตการแจกแจงไวบูลลแบบเบขวา เมื่อ δ =1

Iteration i( ) _1ARL i 1 0.8182 2 1.1250 3 0.3571 4 0.7000 5 0.8000 6 0.8000 7 0.8000 8 0.5455 9 1.3750 10 0.6364 11 0.6364 12 0.4615 13 0.5000 14 0.4615

28


15 0.5385 16 0.5455 17 1.7143 18 1.7143 19 1.0000 20 1.5000 21 0.8182 22 0.9000 23 1.0000 24 0.7273 25 0.5385 26 1.0000 27 0.7273 28 0.5385 29 0.8000 30 1.5000



_ .... .= + += =

∑30

11

10 8182 1 5000

30 30

iiARL

ARL

.=1 2453

4.3.3 จําลองขอมูลคุณลักษณะเชิงคุณภาพของกระบวนการภายใตการแจกแจงไวบูลล เมื่อคาเฉลี่ย

ของกระบวนการมีการเปลี่ยนแปลงดวยขนาดปานกลาง ( )δ = 2 โดยที่

µ1 = 0.8862+ 2 1.7854( ) = 4.4570 คือ X W 0.3628,1( )( ) จํานวน 30 ครั้ง แลวหาคา 1ARL ซึ่งแสดงไดดังตารางที่ 14

29

ตารางที่ 14 1ARL ภายใตการแจกแจงไวบูลลแบบเบขวา เมื่อ δ = 2


1 0.7000

2 0.4286

3 0.9000

4 0.6667

5 0.3846

6 1.0000

7 0.8182

8 0.8182

9 1.0000

10 0.7273

11 0.1765

12 0.5385 13 1.1111

14 0.9000

15 0.4615

16 0.7273

17 1.3750

18 0.8182

19 1.2222

20 0.4615

21 0.6364

22 0.7273

23 0.8182

24 0.4286 25 0.4286

26 0.7273

27 0.9000

28 0.7273

29 0.3846

30 0.8182

30


ขนาดปานกลาง โดยการหาคาเฉลี่ยของ 1ARL จากการทําซ้ําจํานวน 30 ครั้ง เปนดังนี้

_ .... .= + += =

∑30

11

10 7000 0 8182

30 30

iiARL

ARL

.= 0 7277

4.3.4 จําลองขอมูลคุณลักษณะเชิงคุณภาพของกระบวนการภายใตการแจกแจงไวบูลล เมื่อคาเฉลี่ย ของกระบวนการมีการเปลี่ยนแปลงดวยขนาดใหญ ( )δ = 3 โดยที่

µ1 = 0.8862+ 3 1.7854( ) = 6.2424 คือ

X W 0.3298,1( )( ) จํานวน 30 ครั้ง แลวหาคา 1ARL ซึ่งแสดงไดดังตารางที่ 15

ตารางที่ 15 1ARL ภายใตการแจกแจงไวบูลลแบบเบขวา เมื่อ δ = 3


1 0.3571

2 0.4286

3 0.4615

4 0.6667

5 0.3846

6 0.6667

7 0.7000 8 1.0000

9 0.2500

10 0.6667

11 0.5385

12 2.0000

13 0.5385

14 0.6667

15 0.3077

16 1.2222

17 1.2857

18 0.2500

19 0.2667 20 0.6667

21 0.6667

31


22 1.0000

23 0.6667

24 0.2308 25 0.4615

26 0.1111

27 0.5385

28 0.5833

29 0.2500

30 0.7273



ARL1 =

ARL1_ ii=1

30∑

30 =0.3571+...+0.7273

30

= 0.6187 4 .4 . ผลการเปรียบเทียบสมรรนะของแผนภูมิควบคุม Tukey ภายใตการแจกแจงไวบูลล

ทําไดโดยนําคาเฉลี่ยของ 1ARL ซึ่งไดจากขั้นตอนที่ 4.1-4.3 มาเปรียบเทียบกัน ดังแสดงในตาราง

ที่ 16

ตารางที่ 16 สมรรถนะของแผนภูมิควบคุม Tukey ภายใตการแจกแจงไวบูลล

การแจกแจงไวบูลล 1ARL

δ =1 δ = 2 δ = 3 แบบสมมาตร

( ). ,W 3 5 1

0.5236

0.4382

0.3758

แบบเบซาย

( ),W 5 1

0.2483

0.2449

0.2430

แบบเบขวา ( ),W 2 1

1.2453

0.7277

0.6187

32

จากตารางที่ 16 จะเห็นไดวาแผนภูมิควบคุม Tukey ภายใตการแจกแจงไวบูลลทั้ง 3 แบบสามารถ

ตรวจสอบคาเฉลี่ยของกระบวนการไดดีที่สุด เมื่อคาเฉลี่ยของกระบวนการมีการเปลี่ยนแปลงดวยขนาดใหญ

รองลงมาเปนขนาดปานกลาง และขนาดเล็ก ตามลําดับ

บทที่ 5 สรุปและอภิปรายผลการศึกษา

5 .1 สรุปและอภิปรายผลการศึกษา

ในการศึกษาครั้งนี้สามารถสรุปผลการศึกษาโดยเปรียบเทียบกับงานวิจัยของ Lee, P.H. (2011) ไดคือ

1. สมรรถนะของแผนภูมิควบคุม Tukey ภายใตการแจกแจงไวบูลลสําหรับขีดจํากัดควบคุมไม

สมมาตร เมื่อคาเฉลี่ยของกระบวนการมีการเปลี่ยนแปลงดวยขนาดใหญ δ = 3( ) สามารถตรวจสอบการ

เปลี่ยนแปลงคาเฉลี่ยไดไวกวาขนาดปานกลาง ( )δ = 2 และขนาดเล็ก ( )δ =1

2. สมรรถนะของแผนภูมิควบคุม Tukey ภายใตการแจกแจงไวบูลล สําหรับขีดจํากัดควบคุมไม

สมมาตร กรณกีารแจกแจงที่มีความเบจะเห็นไดวาการแจกแจงไวบูลลแบบเบซายสามารถตรวจสอบการ

เปลี่ยนแปลงคาเฉลี่ยไดไวกวาการแจกแจงไวบูลลแบบเบขวา

5 .2 ขอเสนอแนะ

การศึกษาในครั้งตอไปอาจศึกษาสมรรถนะของแผนภูมิควบคุม Tukey โดยพิจารณาใชคา

พารามิเตอรตางๆที่สอดคลองกับงานวิจัยของ Lee, P.H. (2011) ดังนี้

1. ใชขนาดการเปลี่ยนแปลงคาเฉลี่ยทั้งที่เปนบวก (Positive) และเปนลบ (Negative)

2. ใชขนาดตัวอยางที่มีคาเล็กกวา 20 เชน m=10 หรือใหญกวา 20 เชน m= 30

3. ใชขีดจํากัดควบคุมสมมาตรภายใตการแจกแจงไวบูลลแบบสมมาตร เบซาย และเบขวา

4. ใชการจําลองขอมูลโดยเขียนโปรแกรมแทนการใชโปรแกรมสําเร็จรูป

บรรณานุกรม

กิติศักด์ พลอยพานิชเจริญ . (2550). หลักการควบคุมคุณภาพ. กรุงเทพ: ส านักพิมพ์สมาคมส่งเสริมเทคโนโลยี ปรียารัตน์ นาคสุวรรณ์. (2553). การควบคุมคุณภาพ.เอกสารประกอบการสอน ภาควิชาคณิตศาสตร์

คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยบูรพา ประสพชัย พสุนนท์.(2553). สถิติธุรกิจ. กรุงเทพ:ท้อป ศุภชัย นาทะพันธ์. (2551). การควบคุมคุณภาพ.กรุงเทพ: ซีเอ็ดยูเคชั่น Lee, P.H. (2011). The effects of Tukey’s control chart with asymmetrcontrol limits on

monitoring of production process. African Journal of Business Management. 5(11), 4044-4050.

Torng, C.C., Liao, H., Lee, P.H., & Wu, J.C. (2009). Performance Evaluation of a Tukey’s Control Chart in Monitoring Gamma Distribution and Short Run Processes. Retrieved July 18, 2012, from http://www.iaeng.org/publication/IMECS2009

Wagner, B.S., Morais, A. L., & Cordeiro, G.M. (2007). The Weibull-Geometric Distribution. Retrieved July 18, 2012, from http://arxiv.org/pdf/0809.2703.pdf

สมรรถนะของแผนภูมิควบคุม tukey...

Documents