ABACOM Boletín Matemático

SEPTIEMBRE 2013

AÑO 12 N°47

Editorial

NÚMEROS INTERESANTES En esta edición

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pág Reflexiones

Estimaciones de Medida. ............. .2

FISICOM

Richard Feynman y sus Diagra-

mas .............................................. .3

Aritmética Modular ......................... .4

Tips Matemáticos ............................ .5

Anécdotas de la Ciencia .................. .5

Karl Weierstrass

El Padre del Análisis Moderno... .6

Aportes de Weierstrass. .............. .6

Sonya, la Discípula y Amiga. ..... .7

Weierstrass y la Poesía. .............. .7

Comunicando Matemáticas

El Mundo de Beakman y Mad

Science. ....................................... .7

Concurso

Desafío a tu Ingenio…….......…....8

Kenken………………….....…......8

ABAQUIM

¿Por qué Nuestro Cuerpo Debe

Regular el pH? ............................ .9

Ciencia Entrete

La Ley de Benford. ……….…....10

La Sandía al Sol…...….….…......10

Humor… ….…………..…....…10

¿Qué cae más de prisa, una hoja de

papel o una moneda? ….….…....11

Números Negativos……….…....11

Sonriendo Con-Ciencia….……..11

Noticias

Sin concurso de talentos nace una estre-

lla…....……....…………..…………12

¿271 años aproblemado? Harald

Helfgott tiene la solución...…......12

Bosque y agua enamorados de por vi-

da…...……………………...….....…12

Al enseñar Mate-

máticas a los

estudiantes, tanto

de Enseñanza

Básica como de

Enseñanza Me-

dia, se debe in-

tentar interesar-

los en las materias. Los objetos más

usados en la Matemática son, natural-

mente, los números y entre ellos, los

más conocidos son los Números Natu-

rales; pero … ¿cómo hacer que estos

sean interesantes para los jóvenes? He

aquí una estrategia.

Les demostraremos que todos los Nú-

meros Naturales son interesantes.

El número uno es interesante pues es

el primer número natural, es el más

pequeño de todos ellos, eso lo hace

destacarse.

El número dos es interesante por dos

razones: es el primer número par y el

primer número primo.

El número tres también es interesante

por ser el primer número primo que es

impar.

El cuatro es interesante porque es una

potencia de dos.

Así, podríamos seguir buscando para

cada número natural algún argumento

para declararlo interesante, pero …

¿podríamos hacer esto con todos los

números naturales? Imposible si lo

hacemos uno a uno, pues la cantidad

de números naturales es infinita. Sin

embargo en Matemáticas tenemos una

forma de argumentar esto.

Supongamos que esto no es verdadero,

es decir, que existen números natura-

les que no son interesantes. A estos

números los pondremos en una bolsa

(que no estará

vacía, por la

suposición que

existen números

que no son in-

teresantes). Co-

mo todos los

números que

están es esta bolsa son números natu-

rales, existe entre ellos uno que es el

menor de todos ellos. Entonces este

número es el menor número natural

que no es interesante. Precisamente

este hecho lo transforma en un número

interesante, ¿no les parece? O sea que

este número es al mismo tiempo in-

teresante y no interesante. Esto es una

contradicción o absurdo1.

La contradicción surgió de la suposi-

ción inicial que afirmaba que existen

números naturales que no son intere-

santes, por lo tanto, en esa bolsa no

puede haber número alguno y así he-

mos demostrado2 el Teorema siguien-

te:

Todos los Números Naturales son In-

teresantes.

Estrategias como la descrita pueden

usarse en la enseñanza de la Matemá-

tica, lo que hará que los jóvenes se

interesen en las materias, por ejemplo

los Números Naturales y de paso se

pueden estudiar o repasar otros temas,

en este caso: números pares, números

primos, potencias, relación menor y

mayor, conjuntos, conjunto vacío, en-

tre otros.

1 Contradicción o Absurdo, en Lógica es una

proposición en que se afirma y se niega

simultáneamente una aseveración. 2 Este tipo de demostración se denomina De-

mostración por Contradicción o Reducción

al Absurdo.

S E P T I E M B R E 2 0 1 3

2

Noemí Pizarro Contreras (*)

REFLEXIONES

¿Recuerdas cómo te enseñaron el área en

la enseñanza básica? Posiblemente te dije-

ron: “base por altura” y te pusiste a hacer

multiplicaciones… así siguió tu vida pa-

sando por el área de un círculo y las sumas

de Riemann. ¿Eres consciente de cuántos

Newton de fuerza necesitas ejercer para

mover un objeto? ¿Podrías estimar cuántos

litros de agua utilizas al bañarte?

Si buscas información en la literatura de

Educación Matemática observarás que el

concepto de estimación es confuso, que

hay definiciones y clasificaciones poco

refinadas.

Estimación de Medida se refiere a asig-

nar un valor o intervalo de valores posi-

bles a una o más medidas discretas o con-

tinuas, por medio de la relación de la per-

cepción con los conocimientos previos. Es

una habilidad más compleja y abstracta

que la medida, poco tratada en la enseñan-

za formal, pero culturalmente necesaria.

Sus características son:

Proceso que excluye todo tipo de medi-

ción.

Puede incluir cálculos en el proceso.

Utiliza estrategias personales y autóno-

mas.

Admite múltiples respuestas.

Valorización apta para tomar decisiones.

Permite predecir o evaluar si una res-

puesta es razonable.

Si es estimación de medida discreta, la

colección de objetos a contar no debe

ser totalmente accesible para el conteo y

debe estar apropiado el ámbito numérico

de la estimación.

¿Pensaste alguna vez si era geométrica-

mente razonable el resultado que obtenías

al calcular una integral bajo la curva?

¿Tienes conciencia de lo que es un metro

cuadrado? ¿si te preguntan cuánto mide el

recinto dónde estás: cuentas unidades bidi-

mensionales o multiplicas unidades unidi-

mensionales que estimaste?

Didácticamente hablando, estimación es

un concepto interesante: Todos estimamos

de acuerdo a nuestro entorno que crea

nuestros referentes, por ello un profesor no

puede explicarte como estimar, sino que

debe guiarte para que encuentres tus estra-

tegias personales y autónomas. Difícil

tarea si aún muchos piensan que

“transmitir ideas” es la mejor forma de

enseñanza. La estrategia es el eje de la

estimación de medida, lo que la convierte

en invaluable en pruebas del tipo

SIMCE… las políticas educacionales en

nuestro país, en la practica, apuntan que el

SIMCE es un referente de buena educa-

ción. Bueno … el SIMCE no puede medir

la estimación, ni el uso de regla y compás,

entre otros conocimientos indispensables.

Entrevistamos a 150 profesores del Gran

Santiago, quienes declararon no tener co-

nocimiento académico de la estimación de

medida y definieron estimación en cuatro

categorías (ver tabla).

El código 4 sólo se le asignó a tres profe-

sores de los 150. Sin embargo, cuando

ejemplificaron el concepto, sólo dos de

ellos consideraron que el referente era

necesario para estimar, para los otros, era

casi una adivinanza. Lo que concuerda con

muchos estudios al respecto: Si se trata

estimación de medida en la escuela, se

trata vagamente, como una adivinanza. En

la escuela manda la regla, la cinta métri-

ca… tus percepciones no tienen un rol

principal. Esperemos que con las nuevas

corrientes didácticas cambie la forma de

abordar la estimación en la escuela, para

que seamos más conscientes del mundo en

que vivimos.

REFERENCIAS

Bright, G.W. (1976) Estimation as Part of

Learning to Measure. National Council of

Teachers of Mathematics Yearbook. Vol.

38 , 87-104, 76.

Chamorro, María del Carmen (2003).

Didáctica de las Matemáticas. Capítulos 8

y 9. Madrid. Pearson.

Cockcroft, WH (1982). Mathematics

counts. Recuperado de: http://

www.educationengland.org.uk/documents/

cockcroft/cockcroft00.html

Segovia, I., Castro, E., Castro, E., Rico,

L. (1989). Estimación en Cálculo y Medi-

da. Síntesis. Madrid.

(*) Magister en Enseñanza de la Ciencia.

Mención Didáctica de la Matemática.

Estimaciones de Medida

CÓDIGO CATEGORÍA EJEMPLO DE RESPUESTA

1 Estimación como medi-

ción “Medir una superficie, objeto, etc. Utilizando

elementos no convencionales”

2 Estimación como aproxi-

mación “Es aproximar una medida”

3 Otras respuestas “Es la introducción a la unidad de medida”

4 Estimación como juicio

de valor sin instrumentos

de medida

“Es la búsqueda o aproximación de una me-

dida a partir del sentido común y de las habi-

lidades mentales de cada persona”

UNA … ¿ESTIMACIÓN? ...

El cabo mirando por el catalejo:

– ¡General, general, vienen los indios!

– ¿Se ven grandes o chicos?

– ¡Se ven chiquitos!

– Avíseme más tarde.

– ¡General, general, se acercan los in-

dios!

– ¿Se ven grandes o chicos?

– Todavía se ven chiquitos.

– Avíseme, más tarde.

– ¡General, general, llegaron los indios!

– ¡Dispare soldado!

– No, … ¿cómo les voy a disparar si los

conozco desde chiquitos?

3

ABACOM Boletín Matemático

FF II SS II CC OO MM

Richard Feynman fue una de las mentes

brillantes del pasado siglo XX. No solamen-

te es recordado por sus aportes a la física

teórica sino que también por su personali-

dad multifacética, su sencillez como perso-

na, su sentido del humor y finalmente su

incondicional amor a la ciencia, rasgo que

se mostró en su “contagiosa” curiosidad por

el mundo.

Nació en el año 1918 en la ciudad de Nueva

York. En su niñez fue fuertemente influen-

ciado por su padre quien le enseñó a fijarse

en detalles y a distinguir claramente entre

el dar nombre a un fenómeno y la compren-

sión de un fenómeno.

Se graduó en Física en el MIT

(Massachusetts Institute of Technology) y

posteriormente participó en la construcción

de la bomba atómica durante la segunda

guerra mundial. Justificó su participación

con el argumento que los NAZIS podrían

haberla desarrollada antes.

En 1986 participó en la comisión investiga-

dora del accidente del transbordador espa-

cial Challenger. Tras apenas un minuto del

despegue, la nave se había desviado de su

curso y se desintegró. A causa del frío extre-

mo en la noche anterior al lanzamiento, se

produjo una fuga de gas.

Feynman tras una meticulosa indagación

llegó a la conclusión que el desastre hubiera

sido evitable si se hubiesen considerado las

recomendaciones de los técnicos. Sin em-

bargo, la presión mediática de sacar adelan-

te el proyecto en los plazos establecidos

conllevó que se hiciera caso omiso a las

advertencias de los técnicos, lo que eviden-

ció graves errores en la organización de la

NASA. Pese a los esfuerzos de obstruir el

trabajo de Feynman sus resultados salieron

a luz.

En 1965 recibe el Premio Nobel de Física

por sus contribuciones a la Electrodinámica

Cuántica. Una de sus innovaciones fue la

sistemática utilización de diagramas en

cálculos relacionados con interacciones

entre partículas sub-atómicas (por ejemplo:

protones, electrones, positrones, etc.).

Estos denominados “Diagramas de Feyn-

man” representan complejos términos ma-

temáticos, ayudando a visualizar las expre-

siones abstractas y a ordenar los cálculos,

razón por la cual hoy en día son utilizados

frecuentemente por los físicos teóricos.

(*) Profesor de Física del Centro de Docencia

de la Facultad de Ciencias de la Ingeniería

UACh.

Richard Feynman y sus Diagramas Sebastián Urrutia Hohmann (*)

Diagrama que representa una interacción

entre dos electrones mediante un fotón.

Diagrama que representa una interac-

ción, más compleja, entre dos electrones.

ABACOM Boletín Matemático

Publicación destinada a Estudiantes y Profesores de Enseñanza Media. Proyecto auspiciado por la Facultad de Ciencias de la Ingeniería de la Universidad Austral de Chile.

Director: Juan Leiva V. / Director Alterno: Andrea Cárcamo B. /

Redacción Periodística: Julio Morales M. / Web Master: Edinson Contreras R. / Colaboradores: Sebastián Acevedo A.,

Luz Alegría A., Claudio Fuentealba A., Patricio Ruiz Tagle C., Sebastián Urrutia H.

Centro de Docencia de CCBB / Facultad de Ciencias de la Ingeniería UACh. / Casilla 567 Valdivia.

email: abacom@uach.cl / Fono (63)2221828 / Fax (63)2293730 www.uach.cl/abacom

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S E P T I E M B R E 2 0 1 3

4

Claudio Fuentealba Aguilera

ELEMENTOS INVERTIBLES

Se dice que es un elemento invertible (o unidad)

si existe tal que , es decir .

Se dice que es el inverso de .

Por ejemplo: consi-

deremos la multipli-

cación en . Se

puede observar que

el elemento inverso

de es el mismo

ya que , lo

mismo ocurre con

a estos elementos se

les denomina autoin-

versos. Por otro

lado, el elemento

inverso de es

y el inverso de es , ya que y

La pregunta natural que surge entonces es: ¿cuándo un

elemento de posee inverso? La respuesta es que da-

do un elemento con , éste es invertible si y

sólo si a y n son primos entre sí, es decir

(mcd: máximo común divisor). Por ejemplo en los ele-

mento invertibles corresponden a y

ya que:

; ; y

Es claro que si n es primo, cualquier elemento no nulo de

es primo con n y posee inverso, es por ello que en

como ya vimos, y poseen inverso.

POTENCIAS EN

Para determinar el comportamiento de las potencias en

un conjunto , consideramos las potencias de 2 en

y (Ver Tabla abajo).

Como se observa en el reloj de siete horas ( ) y el de

nueve horas ( ) la aguja del reloj no se detiene en

todas las horas en el cálculo de las potencias de 2, pero

lo hace siguiendo un modelo iterativo, esto ocurre tan-

to para las potencias de 2, como para cualquier otro nú-

mero.

Esta observación fue hecha por Carl Gauss (1777 -

1855) y le permitió trabajar con números muy grandes,

pero incluso antes que él, otro matemático francés,

Pierre de Fermat (1601 - 1665) había hecho un

gran descubrimiento, el denominado “Pequeño Teore-

ma de Fermat” trabajando con relojes que tuvieran

un número primo de horas logró establecer que si n es

primo y a es un número natural primo con n, enton-

ces , de donde se deduce también que si

n es primo, entonces para cualquier número natural a

se verifica que .

Por ejemplo en se tiene que, ya

que 19 es primo y 2 es primo con 19, luego es posible

aplicar el teorema, obteniéndose:

Pero como entonces

de donde se concluye

que

Actualmente esta

aritmética es nece-

saria para garantizar

la seguridad en In-

ternet donde se

usan números primos

muy grandes y poten-

cias muy altas.

na nb a b = 1 a b-1 =

5

1 1

1 1 = 1

4 ;

X

2 3

23 2 3 = 1 .3 2 = 1

n

na a 0

a nmcd , =1

91, 2, 4 , 5, 7 8

1 1 = 1 2 5 = 1 4 7 = 1 .8 8 = 1

n

5,1 , 2 , 3 4

n

n

7

9

7

9

n-1 1 moda n

02

12

22

32

42

52

62

72

82

92

102

112

1

2

4

7

5

9

1

1 1

11

2

2

2

22 4

4 4

4 4

8 8 7 5

7

3

3

0 2 4

0 0 0 0 0 0

1 0

3 2 1

1

3 4

3

2

4

42 0 2

4

0 3

40

1

1

21

Tabla de Multiplicación en 5

Tabla de Potencias de 2 en y 7 9

a

n moda a n

19 542 1(mod19)

182 1 mod19

354 182 = 2 54 32 1 mod19

542 1(mod19).

b

5

ABACOM Boletín Matemático

ANÉCDOTAS DE LA CIENCIA ESA MALDITA CORRIENTE

Isaac Newton (1643 -

1727), famoso físico

inventor del Cálculo

Diferencial, integró el

Parlamento británico

desde 1687 a 1690 en

representación de la

Universidad de Cam-

bridge. Durante el tiem-

po que ostentó el cargo

sólo pidió la palabra en

una ocasión y dijo lo

siguiente: “Propongo

cerrar esa ventana, por-

que aquí hace un frío considerable”. Como se ve, … ¡lo

suyo no era la política!

¡DISUÉLVETE, POR FAVOR!

Justus von Liebig (1803-

1873) químico alemán, crea-

dor de la cadena carbonatada,

fue abordado por uno de sus

ayudantes que, excitado, le

informaba de que había des-

cubierto un solvente univer-

sal. El químico le preguntó:

- ¿Y qué es un solvente uni-

versal?

- Uno que disuelve todas las

sustancias, profesor.

- Entonces, ¿dónde lo vas a

guardar ?

¡NO OS CONOZCO!

“Por amor de Dios, no di-

gan que estudiaron conmi-

go”.

Esta es la frase que expresó

Hermann Walter Nernst

(1864-1941) a los estudian-

tes que lo desilusionaron.

Nernst fue un físico y quí-

mico polaco, ganador del

Premio Nobel de Química

en 1920, por sus trabajos

en Termodinámica .

MEDIDAS ANGULARESMEDIDAS ANGULARES

Gra do s (Se xa g es i ma le s ) :

Un g ra do ( sexage s i ma l ) e s l a med id a d e un án -

gulo q ue ub icad o co n su vé r t i ce e n e l cen t ro d e

una c i r c un fe r e nc ia , d e t e r mina e n é s t a un a r co

q ue e s l a 3 6 0 -ava p a r t e d e l a c i r cunfe r e nc ia

co mp le ta . U n grad o se ano ta 1 º .

Un grad o se d iv id e en 6 0 p a r t e s igua le s l l a ma -

d as minuto s y cad a mi nuto , se d i v id e en 6 0 p a r -

t e s ig ua le s d e no mi nad a s seg undo s . Un mi nuto

se ano ta 1 ’ , u n se g und o 1 ’ ’ .

P ara t r ans fo r mar e s t a s un id ad es t e ne mo s q ue :

Eje mplo :

Si u n án g ulo mid e 1 2 4 ,7 2º , exp resa r lo en gr a -

d o s , mi n uto s y seg u nd o s .

T enemo s q ue l a med id a d e l ángu lo e s :

1 2 4º + 0 ,72º .

Se p ued en exp resa r lo s 0 ,7 2º en mi nuto s mul -

t ip l i cand o p o r 60 (p ues 1 º = 60 ’ ) , a s í

1 2 4 ,72º = 1 2 4º + 4 3 ,2, =1 2 4º + 4 3

, + 0 ,2, .

Aho ra lo s 0 ,2,

se t r ans fo rma n en seg u nd o s ,

t a mb ién mu l t ip l i ca nd o p o r 60 , r e su l t and o :

1 2 4 ,72º =12 4º + 4 3,+ 0 ,2

,=1 2 4º + 4 3

,+ 1 2

, , .

Esto se ano ta : 1 2 4 ,7 2º = 1 2 4º 4 3, 1 2

, , .

Ra dia nes :

Otra fo r ma d e med i r án gulo s e s en r ad iane s . U n

ra diá n e s l a med id a d e un á ng ulo q ue ub icad o

co mo á ng ulo d e l cen t ro d e una c i r cu nfe r e nc ia

d e te rmina un a r co q ue t i ene ig ua l med id a q ue e l

r ad io d e l a c i r cun fe r en c ia . La can t id ad d e r a -

d ianes q ue mid e u n án g ulo se o b t i ene d iv id ie n -

d o l a lo ng i tud d e l a r co q ue d e te r mina e n l a c i r -

cun fe r enc ia en q ue e s t á insc r i to p o r e l r ad io de

é s t a .

Eje mplo :

¿Cuá nto s r ad iane s mid e un á ng ulo ex te nd id o ( e s

d ec i r q ue mid e 1 8 0º )?

La lo n gi t ud d e l a r co d e c i r cun fe r enc ia e s

( r = r ad io d e l a c i r cun fe r enc ia ) , a s í l a

med id a en r ad ianes e s

Es d ec i r : .

P o r p rop o rc io nes t ene mo s :

Así p o r e j emp lo :

9 0 º = π /2 r ad ianes ; 13 5º =3 π /4 r ad ianes ;

2 1 0º = 7 π /6 r ad ianes ; 3 6 0º = 2 π r ad ianes .

Tips

MATEMÁTICOS

Juan Leiva Vivar

, , ,, ,,1º 60 ; 1 60 ; 1º 3.600

rr

r

180º radianes

Grados Radianes

180

Juan Leiva Vivar

6

S E P T I E M B R E 2 0 1 3

A pesar de haber sido un joven rebelde y vicioso, llegó a ele-varse como uno de los matemáticos destacados del siglo XIX. A él se deben las definiciones de límite, continuidad y deriva-da de una función, las que siguen vigentes hasta hoy. Tuvo muchos discípulos, siendo la más destacada la matemá-tica rusa Sonya Kovalevsky.

Nació en Ostenfels, ciudad alemana, el 31

de Octubre de 1815. Era hijo de un funcio-

nario público que enviudó cuando el joven

Karl tenía sólo 11 años. Su padre contrajo

segundas nupcias y él nunca se llevó bien

con su madrastra, tornándose un muchacho

conflictivo, comenzando a fumar y beber.

Al cumplir 14 años, su padre lo envió a

estudiar a la ciudad de Münster, al Colegio

de Pederborn, donde continuó con sus vi-

cios. En el colegio se organizaban concur-

sos de resolución de problemas matemáti-

cos, que tenían suculentos premios. Weiers-

trass se dedicó a estudiar matemáticas para

participar, resultando el ganador de todos

los premios. Claro que desperdició rápida-

mente todo lo ganado.

En 1834 es enviado a Bonn a estudiar Dere-

cho, donde continúa con su vida disipada.

Vuelve a Münster en 1839, donde conoce al

profesor Christoph Gudermann, quien lo

guía en el estudio de las matemáticas y

también lo hace salir de la vida que había

llevado.

Durante años se desempeñó como profesor

de matemáticas de escuelas secundarias

hasta que escribió un artículo que le trajo

reputación y fue invitado a trabajar a la

Universidad de Berlín. Ahí inició su prolífi-

ca carrera como investigador publicando en

12 años más de 300 trabajos originales,

siendo considerado el más destacado en

Análisis Matemático del mundo.

Nunca se casó, al igual que sus hermanas,

debido al trauma que produjo el segundo

casamiento de su padre.

En 1870, con 55 años, conoce a Sonya

Kovalevsky, joven rusa de 20 años, quien

fue su discípula y amiga hasta su muerte.

Weierstrass intentó que Sonya fuese acepta-

da para trabajar en alguna universidad, lo

que no consiguió. Finalmente en 1883, des-

pués de haber expuesto sus descubrimientos

en un Congreso de Matemáticas, fue reco-

nocido su talento y obtuvo una cátedra en la

Universidad de Estocolmo, cargo que con-

servó hasta su muerte en 1891.

Weierstrass sintió la partida de Sonya a

quien estimaba mucho y declaró que “el

mayor presente que recibí de Dios ha sido

haber conocido a Sonya”.

A los 81 años y después de haber recibido

homenajes de todo el mundo científico,

Weierstrass fallece a causa de una neumo-

nía el 19 de Febrero de 1897, en Berlín.

Sus aportes a la Matemática fueron en

Análisis Matemático, rama de las Ma-temáticas que estudia los Números tan-

to Reales como Complejos y construc-

ciones a partir de ellos.

Su preocupación fue dar una mayor

formalidad a los conceptos que se usa-

ban ya en esa época, pero que las defi-

niciones y notaciones eran poco claras.

Así fue como dio definiciones precisas

de límite, continuidad y derivada de una

función, lo que le permitió dar la demos-

tración de varios teoremas, que debido

a la falta de rigor no había sido posible

hacerlo hasta esa fecha.

En particular algunas de sus creaciones

fueron:

La Función de Weierstrass Es una función real que es continua en

todos los puntos de su dominio, pero no

tiene derivada en ninguno de ellos, es

decir el gráfico de esta función es una

curva continua (o sea, sin cortes ni inte-

rrupciones, pero en ninguno de sus pun-

tos tiene recta tangente).

La fórmula de esta función es:

A mediados del siglo XX Benoit Mandel-

brot (ver ABACOM Nº 5) modificó esta

curva para obtener un fractal.

El Teorema de Weierstrass Es teorema de Análisis Real y establece

que:

Toda función continua definida en un

intervalo cerrado y acotado alcanza

valor mínimo y máximo en puntos de

ese intervalo.

El Teorema de Aproximación de

Weierstrass También es teorema de Análisis Real,

pero que tiene aplicación en Cálculo

Numérico. Su enunciado es el siguiente:

Toda función continua definida en un

intervalo cerrado y acotado puede ser

aproximada, tanto como se quiera, por

un polinomio.

También hizo aportes fundamentales en

Cálculo de Variaciones, que con la rigurosidad de conceptos que él introdu-

jo, pudo ser reformulado totalmente y

así, preparó el camino para el estudio

moderno de esta rama de las Matemáti-

cas, que tuvo su origen en el Problema

de la Curva Braquistócrona, planteado

inicialmente, en 1696, por Johann

Bernoulli (ver ABACOM Nº 32).

APORTES DE WEIERSTRASSAPORTES DE WEIERSTRASS

El Padre del Análisis Moderno

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ABACOM Boletín Matemático

El lenguaje de las comunicaciones puede ser variado, sin embargo, cada uno responde a formatos. Por ejemplo, para comunicar las cosas por radio utili-zamos imágenes sonoras, es decir, en vez de expresar “la señora María fue a comprar frutas”, es mejor referir “la señora María fue a comprar manzanas, peras y plátanos”. Como vemos la manzana genera una imagen sonora, en cambio frutas es más amplio. Por otro lado, encontramos un segundo ejemplo en el lenguaje escrito, éste debe tener una gramática y ortografía determinada, para así ser claro en lo que se emite. Finalmente, el lenguaje audiovisual requiere de gran produc-ción porque ya no basta imaginar, ahora se debe ver. Esto es complejo para muchos audiovisualitas porque considera inversión. Ahora bien, nos quedaremos en este último lenguaje para mostrarles dos mundos que tienen un objetivo en común: comunicar ciencia entretenida. Entonces, redoble de tambores: En esta esquina, El Mundo de Beakman y en esta otra, Mad Science. El Mundo de Beakman es un programa de televisión educa-tivo en su trasfondo y dinámico en estructura. Su primera apa-rición fue en 1992 en un canal de EEUU llegando a 90 países alrededor del mundo, incluyen-do a Chile. El programa consis-te en que un científico alocado, junto a sus amigos, responde preguntas a los seguidores del programa por medio de cartas. En total se logró transmitir 4 temporadas las cuales se pueden encontrar en http://www.youtube.com/watch?v=TgpDli4CaYk Aparentemente Mad Science no fue transmitido en nuestro país, sin embar-go, por más de 10 años lo han conocido niños y jóvenes del Perú. Este apa-sionante mundo trata sobre ciencia súper divertida en palabra de sus crea-dores. De hecho se crean experiencias originales, únicas y personalizadas que educan lúdicamente por medio de fiestas infantiles, ferias de ciencias, videos, talleres, campamentos científicos y otros. Para ver una muestra de lo que presentan en video, se puede visitar http://www.youtube.com/watch?v=SMgsZBC2UWo o buscar en Facebook Mad Science Perú. Dos iniciativas con un solo fin: comunicar ciencia. Entre sus contenidos tácitamente encontraremos matemáticas, ya que son parte de la base en todo universo lingüís-tico. En otras palabras, gran parte del acontecer cotidiano puede ser explicado por fenómenos cuantitativos, incluso la sociedad. Esperamos que disfruten una vez más de estas experiencias; la morale-ja es que la ciencia se debe comunicar. Hasta nuestro próximo número.

SONYA, LA DISCÍPULA

Y AMIGA

Sonya Kovalevsky (1850—1891) fue una notable matemática ru-sa. Para poder estudiar matemáticas contrajo un matrimonio por conve-niencia, lo que le permi-tió viajar a estudiar Ma-temáticas a Alemania, donde realizó la maestría en Heildelberg y el doc-torado en Göttingen.

Antes de dedicarse sólo a la Matemática, Sonya tam-bién siguió cursos de Física, con Kirchhoff y Helmholtz, además de Química con Bunsen. Este último, famoso químico, al verla en sus clases dijo “ninguna mujer con tal belleza profanará mi labora-torio”. Esta afirmación de Bunsen puede darnos una idea de la belleza de Sonya. Después cuando el quí-mico supo que Sonya iría a estudiar con Weierstrass le previno: “Ten cuidado, es una mujer muy peligro-sa que me ha hecho renegar de mis propias pala-bras”. Desde que conoció a Weierstrass fue su discípula y amiga. Sonya se preocupaba mucho de su maestro. Una muestra de esto es que observando que él era descuidado y perdía constantemente sus anotacio-nes, le regaló una caja de madera donde debería guardarlos para no extraviarlos. El problema se re-solvió sólo temporalmente pues Weierstrass al poco tiempo perdió la caja. También admiraba sus excen-tricidades y reía al oírle decir que él jamás escribió una sola letra en la pizarra, cuando impartía clases, pues el acto de escribir no sólo le irritaba sino que también le dificultaba concentrarse.

WEIERSTRASS Y LA POESÍA

En 1891, cuando Sonya se hace cargo de una cátedra en la Universidad de Estocolmo, Weierstrass le escri-be en una carta lo siguiente: “Jacobi1 tiene un defecto que se encuentra en mu-chos hombres inteligentes. No tiene imaginación suficiente y un matemático que no es un poco poeta, jamás será un verdadero científico. La visión que abarca todo, dirigido hacia las cumbres, hacia el ideal, designa a Abel2 como superior a Jacobi … de una manera definitiva”. Weierstrass afirmaba que “el verdadero matemático es poeta”. Esta afirmación puede parecer extraña, pero expresa que el matemático, como el poeta, necesita tener imaginación e intuición.

1 Carl Gustav Jacobi (1804—1851), matemático ale-mán.

2 Niels Henrik Abel (1802—1829), matemático no-ruego.

Julio Morales Muñoz

El Mundo de Beakman y Mad Science:

Dos Mundos, un Objetivo

COMUNICANDOCOMUNICANDO

MATEMÁTICASMATEMÁTICAS

S E P T I E M B R E 2 0 1 3

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RESOLUCIÓN PROBLEMAS EDICIÓN Nº 46

rsoConcursoConcursoConcursoConcursoConcursoConcursoConcursoConcursoConcursoConcurs

PROBLEMAS EDICIÓN Nº 47

Problema 1: Potencias de i Las primeras potencias de i son:

y éstas se repiten de 4 en 4, por tanto la suma hasta

resulta 0 (cero) , así:

Por tanto:

Problema 2: Los Integrantes del Club Sea x el número de varones en el club, así la cantidad

de damas es 500 — x .

De acuerdo a los datos tenemos:

Al resolver la ecuación, resulta: .

Por tanto: en el club hay 150 damas y 350 varones.

Problema 1: La Suma Incógnita

¿Cuánto suman los primeros 100 dígitos que aparecen

después de la coma decimal al desarrollar ?

Problema 2: Los Saludos

Las personas que asistieron a una reunión se estrechan

las manos para saludarse al llegar. Uno de ellos advir-

tió que los apretones de manos fueron 66.

¿Cuántos personas concurrieron a la reunión?

Se deben ubicar los números del 1 al 7, de modo que no se repita

un número en la misma fila ni en la misma columna, y además,

debe cumplirse que en cada agrupación de casillas marcadas,

efectuando la operación propuesta, resulte el número indicado.

SOLUCIÓN EDICIÓN Nº 46

Envía tus soluciones (indicando Nombre, Colegio y Curso) a

A B A C O M

Boletín Matemático Casilla: 567 Valdivia Fax: (63) 2293730

email: abacom@uach.cl

Recepción de soluciones hasta: 5 de Noviembre

EDICIÓN Nº 47 KENKEN 1 KENKEN 2

27 30 20500 = + (500 )

100 100 100x x

= 350x

0 1 2 3=1, , 1,i i i i i i

2011i

0 1 2 2013 2012 2013... 0+ 0+1+i i i i i +i i

0 1 2 2013... = 1+i i i i i

1

13

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ABACOM Boletín Matemático

El pH de nuestro medio interno influye profundamente en

todos los procesos fisiológicos, incluyendo la contractibili-

dad muscular, la conformación de las proteínas y el fun-

cionamiento del sistema nervioso central, entre otros. Por

ello nuestro organismo posee reguladores de las variacio-

nes ácido-base. El mantener el pH dentro de límites estre-

chos es de vital importancia debido a que el disolvente

principal de nuestro organismo es el agua, existiendo rela-

ciones entre las concentraciones de iones hidronio [H3O+]

y oxhidrilos (hidroxilo) [OH-]. Sin embargo, se debe tener

en cuenta que nuestro plasma sanguíneo es una disolu-

ción que presenta algunas características que lo diferen-

cian del agua, su valor de neutralidad o el pH será neu-

tro cuando éste se encuentre entre 7,38 y 7,42, siendo

básico, cualquier valor que supere este rango (llevando a

un estado llamado alcalosis), mientras que es ácido cual-

quier valor que esté por debajo de 7,38 (implicando una

acidosis).

La mayor amenaza a la estabilidad del pH en nuestro or-

ganismo, está representada por los ácidos que se produ-

cen durante procesos metabólicos como lo son: Ácidos

Volátiles (por ejemplo el CO2), Ácidos Fijos (por ejem-

plo ácido fosfórico) y Ácidos Orgánicos (por ejemplo áci-

do láctico).

Existen tres sistemas de regulación de pH o del Equilibrio

Ácido-Base: a) Sistemas Buffer de los Líquidos Corpora-

les, de respuesta inmediata. b) Riñón, excretando exce-

dentes por orina. c) El sistema respiratorio, eliminando o

reteniendo CO2.

Sistemas Buffer de los Líquidos Corporales: Los deno-

minados sistemas tampón o buffer representan la primera

línea de defensa interna, que posee nuestro organismo

ante los cambios desfavorables en el pH. Esto se debe a

su capacidad de aceptar o ceder protones de manera tal

de compensar los desequilibrios de nuestro medio interno,

manteniendo los valores de pH dentro de un rango estric-

to; las características que hacen que un buffer sea útil

son: a) aquellos sistemas cuyo pKa esté próximo a pH de

7,40 y b) la concentración de las disoluciones buffer debe

ser elevada, de lo contrario su capacidad sería agotada

muy rápidamente.

Los diferentes sistemas buffer que encontramos en

nuestro organismo son: Proteínas (ej: Hemoglobina a

nivel sanguíneo), Fosfato (nivel intracelular) y Bicarbo-

nato (sistema ácido carbonico-bicarbonato a nivel intrace-

lular y extracelular).

El ejercicio al máximo

y de corta duración

produce grandes des-

balances de pH por la

gran producción de

ácido láctico. Este

proceso provoca valo-

res de pH = 7 en san-

gre y pH = 6,4 en

músculo. La primera

línea de defensa ante los cambios del pH está en la misma

célula. Los sistemas buffer intracelulares más comunes

son las proteínas (60%) y los grupos fosfato (10-20%).

Las concentraciones de bicarbonato intracelular también

son importantes (20-30%). La piel tiene un pH ácido que

contribuye a la función óptima de barrera. El promedio del

pH superficial del hombre sano está entre 5,4 y 5,9, esto

permite: acción antimicrobial, que disminuya la coloniza-

ción de la piel por bacterias patógenas y favorece la adhe-

sión de bacterias no patogénicas al estrato córneo.

La acción de los detergentes es la emulsificación de los

lípidos superficiales de la piel. La descamación y adelgaza-

miento del estrato córneo asociado con cambios en el pH

de la piel

probable-

mente ex-

plica los

efectos ne-

gativos de

muchos

detergentes

sobre la

función de

la barrera

epidérmica.

A B A Q U I M

¿Por qué Nuestro Cuerpo Debe

Regular el pH o Grado de Acidez? Dra. Luz Alegría Aguirre

La imagen

muestra

la regula-

ción que

ocurre

del CO2

por la

Hemoblo-

gina.

http://elcuadernodecalpurniatate.blogspot.com/2012/03/

el-ph-de-la-sangre-un-ejemplo-de.html

S E P T I E M B R E 2 0 1 3

10

Si tenemos una

sandía que pesa

10 kilos y está

formada en un

95% por agua,

la partimos y la

dejamos al sol;

después de unas

horas habrá per-

dido sólo agua, quedando, supongamos en un 90% de su

masa total.

¿Cuánto crees que pesará ahora? Como sólo perdió agua,

ésta era un 95% y ahora es un 90%, podría pensarse que

perdió muy poco peso, ¿alrededor de medio kilo? Aun-

que parezca increíble perdió la mitad del peso, quedando

sólo en 5 kilos. Parece sorprendente. Veamos la explica-

ción:

Como inicialmente el 95% es agua, entonces la parte sóli-

da es un 5% de 10 kilos (peso inicial), o sea medio kilo

(0,5 kilos). Sea x el peso en kilos de la sandía después de

haber sido expuesta al sol. Como sólo perdió agua, la par-

te sólida sigue siendo 0,5 kilos y ahora representa el 10%

del total.

Así tenemos:

y al resolver resulta:

Por tanto el peso de la sandía ha quedado en sólo … ¡5 kilos!

LA SANDÍA AL SOL

100,5

100x

0,5 1005.

10x

H U M O RH U M O RH U M O R

Romeo y Julieta se conocieron por Facebook, pero la relación tuvo un final trágico cuando a Julieta se le cayó la red ...

LA LEY DE BENFORD

Las Matemáticas tienen una curiosa aplicación a la investigación y prevención de delitos, en particu-lar a fraudes fiscales, y ésta es la denominada Ley de Benford.

Si consideramos números al azar tomados de me-diciones u observaciones de diferentes situaciones (entre ellas datos financieros), lo lógico sería que la probabilidad de que empiecen por 1, 4 ó 9 de-bería ser la misma, sin embargo esto no es cierto.

En 1881 el matemático y astrónomo norteameri-cano Simon Newcomb (1835 - 1909) observó que las primeras páginas de los libros con tablas de logaritmos, que en esa época se usaban para ha-cer cálculos, estaban mucho más gastadas que las posteriores, con lo que dedujo que los dígitos ini-ciales de los números que allí se consultaban no eran equiprobables, sino que el 1 aparecía con mayor frecuencia (30,1%), seguido del 2, y así su-cesivamente hasta el 9, el de menos frecuencia (4,6%).

Frank Benford (1883 - 1948) un físico norteameri-cano, observó el mismo fenómeno y realizó una comprobación empírica con 20.220 números pro-venientes de diversas situaciones como: áreas flu-viales, constantes físicas y químicas, funciones matemáticas, direcciones de personas, entre otras. Con estos datos formuló la Ley de Números Anómalos, llamada actualmente la Ley de Benford que afirma lo siguiente: La probabilidad que un número comience con el dígito n, , es

La misma fórmula es válida para calcular la proba-bilidad que las 2 ó 3 primeras cifras de un número sean dadas. Por ejemplo la probabilidad que un número de una cierta lista comience con 274 es Basados en esta ley, la policía tiene una nueva he-rramienta para detectar fraudes fiscales, lo que les ha permitido evitar numerosos delitos económi-cos. Claro que esto será válido mientras los de-fraudadores no conozcan la Ley de Benford, así que … ¡guardemos el secreto!

P n n=log( +1) log( ).n 0

=log(275)-log(274)= 0,00158.P

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ABACOM Boletín Matemático

Sonriendo

Con - Ciencia

NÚMEROS NEGATIVOS

Los números negativos actualmente se estu-

dian ya en la Enseñanza Básica, pero hubo un

tiempo en que se desconocían o no eran acep-

tados.

Sólo a fines del siglo XVIII los números nega-

tivos fueron reconocidos universalmente.

Los matemáticos de la India, en el siglo VII,

usaban los números negativos para indicar

deudas.

Girolamo Cardano, en el siglo XVI, llamaba a los números negativos

“falsos”, pero en su Ars Magna (1545) los estudió exhaustivamente.

John Wallis, en su Arithmetica Infinitorum (1655), “demuestra” la imposi-

bilidad de su existencia, diciendo que “esos entes tendrían que ser a la vez

mayores que el infinito y menores que cero”.

Leonard Euler, es el primero en darles estatuto legal en su obra Anleitung

Zur Algebra, en 1770.

¿Qué cae más deprisa, una hoja de papel o

una moneda?

Si se deja caer una hoja de papel y una moneda, la moneda llega mucho antes al suelo. Sin embargo, si se arruga la hoja y se hace una pequeña pelotita con ella, al repetir el experimento se observará que prácticamente llegan al suelo en forma simultánea. Si no hubiese aire en la Tierra todos los objetos, independientemente de su forma y peso, caerían a la misma velo-cidad. La presencia del aire influye en la velocidad de la caída frenando unos objetos más que a otros según su for-ma. Al hacer una bola con la hoja de papel conseguimos minimizar la in-fluencia del aire. Galileo descubrió este hecho y cuenta la leyenda que para demostrarlo dejó caer desde lo alto de la torre de Pisa dos bolas. Las dos bolas eran de peso muy diferente y sin embargo, llegaron simultáneamente al suelo. Las ideas aristotélicas vigentes en la época de Galileo exigían que los objetos pesados de-bían caer más deprisa que los ligeros. Dave Scott, uno de los astronautas del Apollo 15, realizo en la Luna un experimen-to consistente en dejar caer desde la misma altura un martillo y una pluma. Como era de esperar (en la Luna no hay atmósfera) ambos llegaron simultáneamente al suelo.

En el más allá se reunieron los físicos

más famosos de todos los tiempos. Allí

se encontraban Newton, Pascal, Eins-

tein y Heisenberg, entre otros. Después

de mucho conversar e intercambiar

ideas decidieron tomarse un descanso y

jugar a las escondidas. Sortearon y a

Einstein le correspondió contar:

–Diez, veinte, treinta, … – comenzó a

contar Einstein, mientras todos co-

rrían a esconderse, menos Newton que

se quedó a un par de metros y con una

tiza dibujó en el suelo un cuadrado de

exactamente un metro de lado y se

ubicó en el centro.

–… ochenta, noventa y cien – termina

de contar Einstein, se da vuelta y ve a

Newton parado allí.

–Newton, ¿y tú por qué no te escondis-

te? – le pregunta Einstein.

–Yo no soy Newton – responde.

–¿Cómo que no eres Newton?

–No, yo soy Pascal, que no ves – e in-

dica hacia el cuadrado en el piso – un

Newton por metro cuadrado…

(Nota: Pascal es una unidad de presión y se

define como la presión que ejerce una fuerza

de 1 Newton sobre una superficie de un me-

tro cuadrado, normal a la misma. Es decir

1 Pascal = 1 Newton por metro cuadrado).

¿Cuántos Físicos Relativistas se necesi-

tan para cambiar una ampolleta?

Dos: uno afirma la ampolleta y el otro

gira el universo.

¿Cuántos Físicos Cuánticos se necesi-

tan para cambiar una ampolleta?

Si Ud. sabe el número, no puede saber

dónde está la ampolleta.

¿Cuántos Físicos Teóricos se necesitan

para cambiar una ampolleta?

No importa cuántos, ellos van a tratar

de probar matemáticamente que su mé-

todo para cambiar la ampolleta es me-jor que otro, y mientras tanto, un Físico

Experimental cambia la ampolleta y

ellos no lo perciben.

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S E P T I E M B R E 2 0 1 3

iciasNoticiasNoticiasNoticiasNoticiasNoticiasNoticiasNoticiasNoticiasNoticiasNo

Sin concurso de talentos nace una estrella

No es otro concurso de talentos, es ALMA quien cap-tó el dramático nacimiento de una estrella. En otras palabras, astrónomos han logrado obtener registro de emanaciones de material provenientes de una es-trella recién formada.

Cinco horas bastaron para que el Atacama Large Millimeter/submillimeter Array (ALMA) lograra captu-rar brillo producido por moléculas de mo-nóxido de carbono presentes en la estre-lla Herbig-Haro 46/47, por otro lado, las imá-genes muestran un chorro previamente desconocido, con una dirección totalmente distinta a la del resto. Para el líder del equipo, Héctor Arce de la Universidad de Yale, EEUU, “la gran sensibilidad de ALMA permite destacar caracterís-ticas nunca antes vistas como esta rápida emanación”. Queda demostrado que ALMA tiene buen ojo porque vio nacer una estrella y aún estaba en construcción. Se especula que el talento puede venir desde más allá de las estrellas.

¿271 años aproblemado? Harald Andrés Helfgott tiene la solución

Creemos que los problemas de nuestras vidas no tie-nen solución, no obstante, la perseverancia y en este caso el conocimiento adecuado, demuestran que no hay problema que valga. Efectivamente el matemáti-co Harald Andrés Helfgott, logró demostrar la Conje-tura débil de Goldbach.

Para muchos la Conjetura débil de Goldbach puede ser el más desconocido y difícil problema de Teoría de Números al que se enfrentaba el hombre, de hecho se mantenía sin resolver desde hace 271 años. No obstante, la perseverancia y por supuesto, muchas aspirinas, lograron que un científico latinoamericano diera en el clavo. Para comprender esto citemos a Christian Goldbach (1690-1764, matemático prusiano), quien en 1742 conjeturó que “todo núme-ro impar mayor que 5 puede expresarse como suma de tres nú-meros primos”. Afirmación que dio dolor de cabeza a muchos de los últimos siglos. Helfgott, nacido en Lima, Perú en 1977 y actualmente investiga-dor del Centro Nacional para la Investigación Científica, publicó dos trabajos, en 2012 y 2013, que dan una demostración comple-ta de la conjetura. Claro que se basó en algunos avances realiza-dos tanto por Hardy como por Littlewood, en 1923, y por Vino-gradov, en 1973.

Bosque y agua enamorados de por vida

En la Región de Los Ríos llueve más de 3 mil mm de agua al año, éste es un índice hídrico que hace pensar que no tenemos problemas de agua. Ante dicha pre-misa y para demostrar lo contrario, el próximo 27, 28 y 29 de Noviembre, se realiza el Congreso Internacio-nal del Bosque y el Agua en la ciudad de Valdivia.

La iniciativa va dirigida a: los tomadores de decisión, pro-fesionales de servicios públi-cos, sector privado, consulto-res, dirigentes del Comité de Agua Potable Rural, propieta-rios de cuenca, organizacio-nes comunitarias, estudian-tes, otros actores involucra-dos y público en general na-cional e internacional. Para los realizadores de la iniciativa el objetivo es “intercambiar y divulgar co-nocimientos y experiencias de investigación, acciones ciudadanas y de transferen-cia tecnológica e innovación que tengan por objetivo mejorar la gestión de los recursos hídricos a través de la conservación y ma-nejo de bosques, cuencas y otros recursos naturales” comenta-ron en http://www.innovacuencasapr.cl Como vemos, bosque y agua, son un par de enamorados que se entrelazan constantemente para darnos un perfecto entorno natural, patrimonio que requiere de iniciativas como la del con-greso para prevenir problemas de agua.

Julio Morales Muñoz, Periodista y Comunicador Social