EINSTEIN

GAUSS

GALILEO

ABACOM Boletín Matemático

JULIO 2012

AÑO 11 N°42

Editorial

HEREJES DE LA CIENCIA En esta edición

Visítanos en: www.uach.cl/abacom Contáctanos en: abacom@uach.cl

pág

Reflexiones

Evaluación: Teoría v/s Práctica. .2

ABAQUIM .................................... .3

Luz, Cámara,…¡Matemáticas! ....... .3

Tópicos de Álgebra ........................ .4

Poesía Matemática ......................... .5

Anécdotas de la Ciencia.. ............... .5

Lady Ada Lovelace

La Encantadora de los Núme-

ros. ............................................ .6

ADA: Un Lenguaje Computacio-

nal. ............................................ .6

Ada y la Máquina Analítica. ..... .7

Lord Byron y Charles Babbage. .7

Tips Matemáticos .......................... .8

El Teorema de Napoleón ............... .8

Concurso

Desafío a tu Ingenio…….....…....9

Sopa Matemática…..……...….....9

Ciencia Entrete

El Tapón Rebelde.....….………10

Einstein: Una Cuestión de Relati-

vidad……………………...........10

Paradoja del Gato y la Tosta-

da………………………..…......11

¿Por qué Internet nunca podrá

remplazar al Diario de Papel…...11

Son-Risas en la Sala de Cla-

ses………………….…...……..11

Noticias

¡De Cabeza a las Matemáticas!…......12

24 Olimpiada Nacional de Mate-

máticas……….…..……...….....12

Tertulias en la Carpa de la Cien-

cia…………………….......…....12

¿Existe el Hombre Invisible?...…......12

Hereje, según la Real Academia de la

Lengua, en su segunda acepción, es

una persona que disiente o se aparta

de la línea oficial de opinión seguida

por una institución, una organización,

una academia, etc.

Desde Galileo, juzgado por la Inquisi-

ción y obligado a retractarse de sus

ideas acerca del movimiento de la Tie-

rra, ha habido muchos científicos cu-

yos descubrimientos no han sido acep-

tados en su época, aunque con poste-

rioridad se les ha dado el reconoci-

miento que merecían. A ellos se les

podría denominar “herejes de la cien-

cia”.

En 1836, el químico francés, Auguste

Laurent propuso una nueva teoría res-

pecto a la estructura molecular que iba

en contra de las ideas de Jöns Jacob

Berzelius, el semidiós de la química,

ya entrado en años. El anciano censuró

con tanta fuerza el planteamiento de

Laurent que arruinó la carrera de éste.

Laurent murió antes de cumplir los

cincuenta años, por lo que no vivió lo

suficiente para ver la aceptación de sus

ideas.

El geólogo alemán, Alfred Wegener,

sugirió en 1912, que los continentes se

desplazaban lentamente y que todos

ellos habían formado un sólo cuerpo

de tierra hace algunos cientos de millo-

nes de años. Se rieron de él sin ningu-

na consideración. Como murió joven,

no alcanzó a ver que su teoría del des-

plazamiento continental, aunque con

ciertas modificaciones, por fin ganó

aceptación.

También sufrieron críticas: la Teoría

de la Combustión de Lavoisier, la Teo-

ría Atómica de Dalton, las nociones

sobre Conservación de la Energía de

Joule y la Teoría de la Relatividad de

Einstein. Todos ellos “herejes” que se

atrevieron a desafiar lo establecido y

se aventuraron en ideas innovadoras.

En Matemáticas también ha habido

quienes se han atrevido a ir en contra

de las ideas establecidas. Como ejem-

plo de esto tenemos a Lobachevsky y

Gauss que se atrevieron a desafiar a

Euclides creando las Geometrías no

Euclidianas, lo que posteriormente

permitió a Einstein formular su famosa

teoría. Otro caso, lo constituye Gödel,

quién con su Teorema de Incompleti-

tud echó por tierra el Formalismo de

Hilbert.

Como vemos, en diferentes épocas y

ciencias, ha habido “herejes”, gracias a

los cuáles, éstas han progresado y en

algunos casos han dado saltos especta-

culares.

J U L I O 2 0 1 2

2

Tatiana Riquelme Quezada (*)

ABACOM Boletín Matemático

Publicación destinada a Estudiantes y Profesores de Enseñanza Media. Proyecto auspicia-do por la Facultad de Ciencias de la Ingeniería de la Universidad Austral de Chile.

Director: Juan Leiva V. / Director Alterno: Andrea Cárcamo B. / Redacción Periodística: Julio Morales M. /

Colaboradora: Viola García P. / Web Master: Edinson Contreras R.

Centro de Docencia de CCBB / Facultad de Ciencias de la Ingeniería UACh. / Casilla 567 Valdivia.

E.mail: abacom@uach.cl / Fono (63)221828 / Fax (63)293730 www.uach.cl/abacom

REFLEXIONES

La evaluación es el proceso que corona el proceso de enseñanza aprendizaje, el cual permite discriminar qué estudiante pasa al siguiente nivel y quién no, midiendo una serie de aprendizajes esperados en torno a la asignatura. No obstante, las prácticas evaluativas no siempre miden todos los aprendizajes esperados declarados en el programa de asignatura, ya que están car-gados de sesgos que tienen que ver con el docente responsable y la tradición evaluativa de la institución correspon-diente. Santos Guerra, invita de una manera con-trovertida a la reflexión en torno a la pro-blemática que existe, entre la teoría y la práctica de la evaluación, en el sistema de educación superior. Algunos hechos para-dójicos mencionados por el autor son los siguientes:

Aunque la finalidad de la enseñanza es que los alumnos aprendan, la dinámica de las instituciones universitarias hace que la evaluación se convierta en una estrategia para que los alumnos aprue-ben.

Aunque la teoría del aprendizaje centra su importancia en los procesos, la prácti-ca de la evaluación focaliza su interés en los resultados.

La evaluación condiciona todo el proceso de enseñanza y aprendizaje. Resulta pa-radójico que la evaluación potencie las funciones intelectuales menos ricas, tales como la memorización y aprendizaje de algoritmos.

Aunque se teoriza sobre la importancia de la evaluación para la mejora del pro-ceso de enseñanza, lo cierto es que se repiten de forma casi mecánica las prácti-cas sobre la evaluación.

A pesar de que uno de los objetivos de la enseñanza universitaria es despertar y desarrollar el espíritu crítico, muchas evaluaciones consisten en la repetición

de las ideas aprendidas del profesor o de autores recomendados.

Aunque muchos aprendizajes significati-vos tienen lugar en periodos de tiempo prolongados, la evaluación se realiza en un tiempo corto e igual para todos.

Aunque la finalidad de la enseñanza es conseguir personas que mejoren la socie-dad, la cultura de la evaluación genera competitividad entre los alumnos.

Aunque se insiste en la importancia del trabajo en grupo y del aprendizaje coope-rativo, los procesos de evaluación son rabiosamente individuales.

Existe una tensión constante en el alum-nado por aprobar más que por aprender. Normalmente el estudiante acomoda su forma de estudiar y, por consiguiente, su forma de aprender en torno a cómo será evaluado: es común recibir a los estu-diantes en los días previos a las evaluacio-nes solicitando pruebas de semestres an-teriores con el fin de entrenarse para re-solverlas, cuestión que no necesariamente potencia el aprendizaje sino más bien los procedimientos que este debe manejar para rendir bien. Esto puede explicarse, ya que las evaluaciones se repiten con variaciones muy pequeñas, focalizándose sólo en resultados y procedimientos en desmedro del desarrollo de las habilidades intelectuales más ricas. Los instrumentos de evaluación normal-mente corresponden a pruebas individua-les estandarizadas, generando competitivi-dad en los estudiantes y no fomenta el trabajo en equipo ni respeta la individua-lidad de los procesos de aprendizaje de los estudiantes, cuestiones que en el mo-delo de formación por competencias, son primordiales. ¿Qué hacer frente a esta problemática? El docente, en su rol de mediador, debe velar por el aprendizaje significativo de sus estudiantes; esto es, hacer hincapié en la

importancia de los aprendizajes por sobre las calificaciones, puesto que éstas deben ser un resultado del aprendizaje. Para esto debe ser consecuente en el desarrollo de sus actividades, diseñarlas de acuerdo al contexto de los estudiantes y a la eva-luación que posteriormente ha de realizar. No basta con enfatizar el hecho verbal-mente durante la cátedra. Por otra parte, las instituciones deben respaldar la labor docente creando las instancias para que este pueda llevar a cabo el proceso eva-luativo, lo que nos lleva también a refle-xionar desde la perspectiva de las institu-ciones.

R e f e r e n c i a s M.A. Santos Guerra, 20 paradojas de la evaluación del alumnado en la Universidad española. Revista Electrónica Interuniversi-taria de Formación del Profesorado, 2(1), 1999. P. Ahumada. La evaluación en una concep-ción de aprendizaje significativo. Valparaí-so: Ediciones Universitarias de Valparaíso, 2002 J. Muñiz , E. Fonseca-Pedrero, Construcción de Instrumentos de Medida para la Evalua-ción Universitaria. Revista de Investigación en Educación, nº 5, 2008, pp. 13-25.

(*) Profesora de Matemáticas del Cen-tro de Docencia de la Facultad de Ciencias de la Ingeniería UACh.

Evaluación: Teoría v/s Práctica

3

ABACOM Boletín Matemático

Una pila es un dispositivo donde ocurre un flujo de electrones entre

sustancias que están separadas en compartimentos, este flujo se utili-

za como fuente de energía permitiendo la fabricación de pilas elec-

troquímicas.

El Litio es un metal que, cuando forma parte de una pila electroquí-

mica, tiene una de las mayores tendencias a ceder electrones en

comparación con todos los demás átomos (poder reductor), esto

debido a la manera en que interactúan los componentes de su núcleo

y sus electrones (carga nuclear efectiva y configuración electrónica).

Esta característica le confiere al Litio una gran importancia porque

es una de las mejores sustancias conocidas para la fabricación de

pilas.

En la actualidad, la totalidad de los teléfonos móviles que se fabri-

can y el 90% de todos los computadores portátiles contienen baterías

de litio. Las baterías de litio-ión se utilizan cada vez más en los

equipos electrónicos móviles, como los reproductores multimedia,

las cámaras fotográficas o los navegadores. Desde el comienzo de la

década de 1990, la industria de las baterías ha pasado a representar

el 25% del consumo mundial del Litio.

Se estima que el uso del Litio crecerá con mucha fuerza en las próxi-

mas décadas, sobre todo como consecuencia de la fabricación a gran

escala de baterías recargables de litio-ión, su uso en la industria au-

tomotriz está en etapa de desarrollo, pudiendo ser muy importante

en la fabricación de autos eléctricos, lo que también contribuiría a

dejar de depender de combustibles fósiles y al cuidado del medio

ambiente.

El Litio, además, tiene una gran capacidad calorífica (capacidad de

almacenar calor), ésta y otras características han permitido utilizarlo

desde hace muchos años en distintos rubros, entre los principales se

encuentran: cojinetes de loco-

motoras a vapor, fabricación de

lubricantes y grasas industriales,

industria del vidrio y de la cerá-

mica (compuestos con gran re-

sistencia a elevadas temperatu-

ras), producción de Aluminio y

caucho sintético, aparatología

médica y la farmacéutica

(producción de antidepresivos),

producción de aire acondicio-

nado.

Referencias: Usos Futuros e Incipientes de Gran

Desarrollo Proyectado:

mazinger.sisib.uchile.cl/

repositorio/lb/ciencias_quimicas.../04i.html

Aplicaciones - Baterías de Litio

www.bateriasdelitio.es/aplicaciones.html

LITIO: el elemento del futuroLITIO: el elemento del futuroLITIO: el elemento del futuro Patricio Ruiz-Tagle Correa

LUZ, CÁMARA, … ¡MATEMÁTICAS!

La fama y la fortuna son expectativas de muchos en el mundo actual. No obstante, en ocasiones cumplen ejes elementales en películas. Hoy en esta sección vamos a co-nocer cómo se calcula esto metafóricamen-te al presentarles dos film que mezclan las matemáticas y el cine. En primer lugar tenemos el Film, del Direc-tor Ron Howard, A Beatiful Mind, realizada el año 2001 en Estados Unidos. Ésta trata de Nash, quien hizo un descubrimiento asombroso al comienzo de su carrera y se hizo famoso en todo el mundo. Sin embar-go, su mente brillante se ve afectada por la esquizofrenia llevándolo a distintos proble-mas que logra superar. En la película, vemos al protagonista traba-jar distintos conceptos matemáticos que dan cabida a esta genial obra. Russell

Crowe, interpreta a Nash, personaje creado por Sylvia Nasar, en la novela que inspira a los realizadores audiovisuales a adaptarla a la pantalla grande y así, ganar el Oscar co-mo mejor película en el 2001. Por otro lado, con una duración de 123 mi-nutos, tenemos la obra de Robert Luketic, 21 Blackjack. Creación que en el año 2008 cautiva al público con la idea de poseer la habilidad del protagonista. El film, cuenta la historia de cinco estudian-tes de matemáticas, en que uno de ellos, Ben, necesita dinero para pagar su univer-sidad. Entonces, Mickey Rosa, profesor de Ben, tiene la solución con un sistema que permite vencer a los casinos y asaltar las mesas de Blackjack en Las Vegas. Dos películas, dos sueños de muchos, ganar buena fortuna y poseer fama. Comprenda-

mos que son películas de ciencia ficción que dejan entrever, que las matemáticas están en todas partes y son herramientas útiles para la sociedad. Por ahora, la invitación es ver estas películas para que todos digamos ¡Luz, Cámara… Matemáticas!

La Fama y la Fortuna pueden ser CalculablesLa Fama y la Fortuna pueden ser Calculables

Julio Morales Muñoz

ABACOM

Escena 42

Toma 1

A B A Q U I M

J U L I O 2 0 1 2

4

Claudio Fuentealba Aguilera

COMPOSICIÓN DE FUNCIONES Definición:

Sean A, B, C y D conjuntos de números reales y sean

y dos funciones tales que

. Entonces es posible definir una

nueva función comúnmente llamada función compuesta

de g con f, denotada por y definida por:

;

donde

Gráficamente la composición de funciones queda deter-

minada como se observa en la figura:

En este sentido, para determinar por completo una com-

posición de funciones, es necesario determinar: su exis-

tencia, su dominio y regla de correspondencia. La exis-

tencia de la función compuesta está garantizada si y sólo

sí El dominio de la función

compuesta está dado por el conjunto:

y la regla de correspondencia se obtiene aplicando la

función g sobre la regla de correspondencia de la función

f, es decir,

Observaciones:

a) Si entonces

b) Si también es posible determi-

nar la función compuesta , cuyo dominio es:

y cuya regla de correspondencia es .

Propiedades:

Si se dan las condiciones de existencia de la compuesta,

se verifican las siguientes propiedades:

a) Asociatividad:

b) No Conmutatividad:

c) Existencia de Elemento Neutro:

( es la función identidad en ).

Ejemplo de Aplicación:

Se conoce que la población de ranas R, calculada en mi-

les, en la ciudad de Valdivia depende de la población de

insectos x calculada en millones. La población de insectos

I , a su vez, varía con la cantidad de lluvia y dada en milí-

metros. Si la población de ranas estimada por los biólo-

gos está modelada por la función:

y la población de insectos por la función

Expresar la población de ranas como una función de la

lluvia y estimar la población de ranas cuando la lluvia es

de 1,5 milímetros.

Solución:

La población de ranas como función de la cantidad de

lluvia caída corresponde a la función compuesta

Antes de proceder a cualquier cálculo, es necesario veri-

ficar la existencia de la función compuesta.

Tenemos que:

; ;

(ya que luego ) .

Además, como

entonces

Es decir, existe la función compuesta y conocemos su do-

minio, luego procedemos a calcularla:

Por último para estimar la población de ranas cuando la

lluvia es de 1,5 milímetros basta con calcular

luego la cantidad de ranas, cuando han precipitados 1,5

milímetros de lluvia, corresponde a 68 mil.

f:A B g : C D

Rec(f) Dom(g)

gof

1gof:A A D

1A =Dom(gof)

(gof)(x) =g(f(x))

.Rec(f) Dom(g)

.(gof)(x) =g(f(x))

Rec(f) Dom(g) Dom(gof) =Dom(f)

Rec(g) Dom(f)fog

(fog)(x) =f(g(x))

((hog)of)(x) =(ho(gof))(x)

(gof)(x) (fog)(x)

(foI )(x) = (I of)(x) = f(x)

R(x) =65+ x/8

I(y) =43y+7,5

(RoI)(y).

y 0 I(y) 7,5

Dom(R) =[0,+ )

Rec(I) Dom(R)

Dom(RoI) =Dom I =[0, )

43y+7,5(RoI)(y) =R I y =R 43y+7,5 =65+

8

43×1,5+7,5(RoI)(1,5) =65+ =68

8

: , I I (x) =x

A B C D

A1

x f(x) g(f(x))

f g

g o f

Dom(gof) = {x Dom(f)/f(x) Dom(g)}

Dom(fog) ={x Dom(g)/g(x) Dom(f)}

Dom(I) =[0,+ ) Rec(I) =[7,5;+ )

5

ABACOM Boletín Matemático

Poesía MatemáticaPoes ía Matemática

ANÉCDOTAS DE LA CIENCIA

Mientras más viejo se muere menos: Matemática pura.

Dios es un matemático prolijo, previsible y la naturaleza, el libro que se le quedó abierto,

olvidado, con pájaros inocentes escapando del destello

engañados como las flores de un espejismo; como los peces efímeros vagando en una tierra

infecunda, como los días que se mueren

a la hora señalada todos los días, cuando el sol es un reloj agonizante allá en la vida,

que apunta prosternado hacia el ocaso.

Matemática pura, hábito de cándidos silencios apocalípticos.

Memoria que fuiste, memoria que eres, doliente, mucho antes de haber sido y de ahora que menos

se muere.

Matemática pura, sentencia sin secretos virginales, diseño de mundos irrecusables

construido. Mientras más viejo menos se muere: Dios es un matemático.

DIOS ES UN MATEMÁTICO

RECONOCIMIENTO TARDÍO

Dmitri Mendeleiev (1834 – 1907),

químico ruso, fue el creador de la Ta-

bla Periódica de los Elementos, en

1869, con la cual culminó una clasifi-

cación definitiva de los elementos quí-

micos, abriendo así paso a los grandes

avances experimentados por la Quími-

ca en el siglo XX.

En 1906, unos meses antes de su

muerte, Mendeleiev estuvo cerca de

recibir el premio Nobel de Química.

En su lugar se escogió al francés

Henry Moissan, por su trabajo de ais-

lar el elemento flúor. Sólo un voto

impidió a Mendeleiev obtener el ga-

lardón.

En 1955, a un elemento recientemente

descubierto (número 101), se le dio el

nombre de mendelevio (Md), en reco-

nocimiento tardío a Mendeleiev, por

la importancia de su estudio de la or-

denación de los elementos químicos.

Niels Bohr (1885 – 1962) fue un físico

danés que realizó fundamentales contri-

buciones para la comprensión de la es-

tructura del átomo y la mecánica cuán-

tica. Durante la segunda guerra mun-

dial, en 1943 tuvo que huir a Suecia.

Antes de salir de Dinamarca, con los

nazis persiguiéndole, disolvió en ácido

las medallas de oro de los premios de

Max von Laue (premio Nobel de Física

1914) y de James Franck (premio No-

bel de Física 1925), para así evitar que

los nazis las robaran, colocando esta

solución en una estantería de su labora-

torio. Tras la guerra volvió al laborato-

rio y precipitó el oro para sacarlo de la

mezcla. El oro fue retornado a la Real

Academia de las Ciencias de Suecia,

dando la Fundación Nobel nuevas me-

dallas a von Laue y a Franck.

BOHR Y LAS MEDALLAS

Antonio Álvarez Bürger

Juan Leiva Vivar

6

J U L I O 2 0 1 2

La Encantadora de los Números

Lady Ada Lovelace fue una destacada matemática que ideó el

primer lenguaje de computación para una máquina inventada

por Charles Babbage, quien, reconociendo su talento le llamó

“La Encantadora de los Números”.

Aunque en esa época no tuvo mucho éxito, sus aportes fueron

reconocidos, además de utilizados casi un siglo después por ge-

nios de la computación como John von Newmann y Alan Turing.

Ada Byron nació en Inglaterra el 18

de Diciembre de 1815. Su madre, Ana

Isabel Milbanke, era una mujer con

notable formación en matemáticas y

astronomía. Su padre fue el famoso

poeta romántico Lord Byron, quien casi

no tuvo relación con su hija puesto que

se separó de su madre cuando la niña

tenía dos meses de edad.

Desde su infancia manifestó una salud

precaria. Sus piernas se quedaron para-

lizadas durante varios años, pero con su

fuerza consiguió vencer la enfermedad,

hasta el punto de convertirse en una

espléndida amazona.

Su madre incentivó a Ada para que se

dedicase al estudio de las ciencias, en

lugar de la literatura, como una forma

de mantenerla alejada de su padre. Fue

así como estudió matemáticas y cien-

cias, en forma particular, siendo uno de

sus tutores, Augustus De Morgan, des-

tacado matemático de la época, profe-

sor de matemáticas de la Universidad

de Londres.

Cuando tenía 17 años conoció a Char-

les Babbage, un matemático y científi-

co inglés, que estaba diseñando una

máquina analítica, que funcionaba se-

gún los mismos principios lógicos que

los computadores actuales. Charles Ba-

bbage encontró el apoyo matemático

perfecto en Ada, aceptando que fuese

su discípula y, más tarde, su colabora-

dora. Ella se dio cuenta que para que la

máquina de Babbage funcionase era

necesario un “plan” que le indicara las

instrucciones a seguir, es lo que actual-

mente llamamos, un programa compu-

tacional.

Ada vivió en la época victoriana, donde

era muy poco habitual -e incluso hasta

mal visto- que una mujer se ocupase de

estos temas, por eso es que sus artículos

tuvo que publicarlos con seudónimos,

uno de estos trabajos, “Notas”, fue usa-

do por John von Newmann y Alan Tu-

ring muchos años más tarde.

En 1835 se casó con William King,

octavo barón de King, que fue nombra-

do Conde de Lovelace. Su nombre de

casada pasó a ser desde entonces Lady

Ada Byron King, Condesa de Lovelace,

nombre del cual nace su denominación

moderna de Lady Ada Lovelace. El

sucesivo nacimiento de sus tres hijos

impidió a Ada seguir con sus estudios.

Después de tener su tercer hijo quiso

restablecer contacto con Babbage, pero

enfermó gravemente lo que le impidió

continuar. Se le detectó un cáncer en

estado avanzado, el que la llevó a una

prematura muerte, el 27 de Noviembre

de 1852 a la edad de 36 años.

Babbage, continuó intentado la cons-

trucción de su máquina analítica, pero

desistió del proyecto tras numerosos

fallos. Ambos fueron olvidados casi

completamente hasta que los compu-

tadores fueron reinventados durante la

segunda guerra mundial.

En 1979, el Departamento de Defensa de los Estados Unidos nombró ADA a un nuevo lenguaje de computación estandarizado en honor de Ada Lovelace. Fue el primer reco-nocimiento a su labor, tras su muerte. Se trata de un avanzado lenguaje de progra-mación, similar al Pascal, creado por Jean Ichbiah. Aunque su uso en sectores comer-ciales es limitado, se utiliza principalmente en actividades militares y áreas de seguridad críticas, como sistemas de control de vuelos,

plantas de energía nuclear y algunos equi-pos médicos.

Desde 1988, se ha tratado de introducir este lenguaje en otras áreas, así es como nace ADA-EUROPE, una organización internacio-nal, que promueve el uso del lenguaje computacional ADA en establecimientos académicos y de investigación. Anualmente se realiza una Conferencia Internacional, que este año se realizó en Estocolmo, Sue-cia, entre el 11 y 15 de Junio.

ADA: UN LENGUAJE COMPUTACIONAL

7

ABACOM Boletín Matemático

LORD BYRON Y CHARLES

BABBAGE

Dos hombres están presentes en la vi-da de Lady Ada Lovelace, ellos son su padre el famosísimo poeta Lord Byron y el brillante matemático Charles Bab-bage

George Gordon Byron (Lord Byron) (1788 - 1824)

fue un poeta inglés

considerado uno de

los escritores más

versátiles e impor-

tantes del romanti-

cismo.

Casi no conoció a su

hija Ada, pues se

separó de su madre

cuando la niña tenía

apenas dos meses de

vida. A pesar de esto

siempre la tuvo en

su pensamiento, le

escribía cartas cons-

tantemente y le dedicó algunos poemas. Por su parte,

Ada, también sentía aprecio por su padre, tanto así que

pidió al morir, fuese enterrada a su lado en la Iglesia de

Santa María Magdalena, en Nottingham, Inglaterra.

Charles Babbage (1791 – 1871) fue un matemático bri-

tánico y científico de

la computación.

Aprendió matemáti-

cas de forma autodi-

dacta, pero después

se graduó en la Uni-

versidad de Cambrid-

ge, en 1814. Babbage

se dio cuenta que las

tablas astronómicas,

usadas por aquella

época, tenían muchos

errores y también

comprobó que el go-

bierno británico ha-

bía perdido algunos millones de libras esterlinas por

errores en el cálculo de impuestos. Esto lo llevó a idear

una máquina que hiciese cálculos. Así fue como dedicó

el resto de su vida en la construcción de la Máquina Di-

ferencial y la Máquina Analítica, aunque ninguna de

ellas logró terminarlas exitosamente. En 1991 el Museo

de Ciencias de Londres, basándose en los planos de Bab-

bage hizo una reconstrucción de la Máquina Analítica y

después de corregir unos pequeños detalles la máquina

funcionó perfectamente.

ADA Y LA MÁQUINA ANALÍTICA Desde pequeña Lady Ada Lovelace se interesó por la matemá-tica y los juguetes mecánicos, tanto así que a los 13 años diseñó una máquina voladora. Todo esto lo tomaba como un pasatiem-po, pero su vida cambió radicalmente cuando a los 17 años, en una fiesta conoció a Charles Babbage, quien la invitó a una de-mostración de su Máquina Diferencial. Ada fue uno de los pocos observadores que entendieron cómo funcionaba, lo que ésta podía hacer y la belleza de la invención. Así se inició una gran amistad entre el viudo de 43 años y la joven de 17, quienes durante largo tiempo intercambiaron cien-tos de cartas sobre Matemáticas, Lógica, Ciencias y todo tipo de temas. Además de discutir ampliamente sobre la Máquina Diferencial, Ada también estudió con interés las ideas de Babbage sobre un nuevo proyecto: la Máquina Analítica. El ingeniero y doctor en matemáticas, Federico Luigi Menabrea, publicó un artículo en francés, describiendo esta última invención de Babbage. Ada tradujo este artículo al inglés, para una revista científica británica, agregándole un análisis del funcionamiento de la misma, que resultó ser tres veces más extenso que el ar-tículo original. Allí explicaba que era necesario elaborar un plan para que la máquina ideada por Babbage pudiese realizar los diferentes cálculos. Hoy día ese “plan” es considerado el primer programa computacional - escrito unos 100 años antes de que se fabricase el primer computador-, por lo que Ada Lovelace es considerada como la primera persona en describir un lenguaje de programación de carácter general. Poco tiempo después aportó a la informática conceptos como “bucle” (un grupo de instrucciones que se ejecutan varias veces) o “subrutina” (un trozo de programa que puede ser invocado cuando se lo necesi-ta). Ada también incluyó sus predicciones acerca de que una máqui-na así tenía la capacidad para ir más allá de los simples cálculos de números. Dijo que podría ser utilizada para componer música compleja y producir gráficas; tendría tanto usos prácticos como científicos. Estaba en lo correcto, ya que es lo que hacen los computadores modernos. Ella se llamó a sí misma una analista, concepto realmente mo-derno para la época. Por los aportes hechos al funcionamiento de la Máquina Analíti-ca, Ada recibió respeto y admiración; Babbage, agradecido, la llamó "la encantadora de los números".

La Máquina Analítica de Babbage, que se ex-hibe en el Museo de la Ciencia de Londres

J U L I O 2 0 1 2

8

Mínimo Común Múltiplo (M.C.M.) y

Máximo Común Divisor (M.C.D.)

El Mínimo Común Múltiplo (M.C.M.), entre varios núme-

ros, es otro número que corresponde al menor múltiplo de

todos ellos. Para hallarlo existe un método, que se enseña a

los niños desde la enseñanza básica y que consiste en confec-

cionar una tabla donde se van tachando números, hasta obte-

ner un producto que es el M.C.M.

Por su parte el Máximo Común Divisor (M.C.D.) entre va-

rios números es también, otro número, que es el mayor divi-

sor entre ellos. Para hallarlo, generalmente sólo se aprende un

método para el caso de 2 números.

Daremos un método, muy simple, que sirve para hallar am-

bos, el M.C.M. y M.C.D., de una vez.

Se expresan los números como producto de potencias de

números primos, pero todos con los mismos primos (si

para alguno, uno de los primos no aparece en su descom-

posición, igual se coloca con exponente cero).

El M.C.M se obtiene como el producto de los números

primos, cada uno con el exponente mayor con que apare-

ce en las diferentes descomposiciones y el M.C.D. es el

producto de los números primos, cada uno con el expo-

nente menor.

Ejemplo:

Para los números 63, 336 y 441. Primero expresamos estos

números como potencias de primos:

Así:

Este método también sirve para hallar M.C.M. y M.C.D. en-

tre expresiones algebraicas (en lugar de números).

Ejemplo:

Para las expresiones algebraicas

Se tiene:

Entonces:

Tips

MATEMÁTICOS

4 2 2M.C.M.(63,336,441) = 2 ×3 ×7 = 7.056

4 1 1336 = 2 ×3 ×7 ;0 2 2441 = 2 ×3 ×7

0 2 163 = 2 ×3 ×7 ;

0 1 1M.C.D.(63,336,441) = 2 ×3 ×7 = 21

2 1 5 2 4 0= 2 5Y a b c d

4 2 5 2 4 2 410 , 20 , 50X a c d Y a b c Z a b d

1 2 2 4 0 1= 2 5Z a b c d

2 2 5 4 4 1 5 4 4M.C.M.( , , ) = 2 5 100X Y Z a b c d a b c d

1 1 2 0 0 0 2M.C.D.( , , ) = 2 5 10X Y Z a b c d a

EL TEOREMA DE NAPOLEÓNEL TEOREMA DE NAPOLEÓNEL TEOREMA DE NAPOLEÓN

Daniel Sánchez Ibáñez

Napoleón Bonaparte, emperador francés, gran estratega y céle-bre conquistador, es considerado como uno de los mayores genios militares de la Historia, habiendo comandado campa-ñas bélicas muy exito-sas, aunque con cier-tas derrotas igual-mente estrepitosas. Entre otras cosas, se le juzga como el per-sonaje clave que mar-có el inicio del siglo XIX y la posterior evo-lución de la Europa contemporánea. Sin embargo, Napoleón, acostumbraba a decir que era “un geómetra amador”, existiendo la leyenda de que él habría descubierto un pequeño teorema sobre triángulos. Tal “Teorema de Napoleón” afirma que:

Cabe recordar, que el circuncentro es el centro de una circunferencia circunscrita, la cual pasa por los tres vértices de un triángulo. Además, este punto se encuentra en la intersección de las mediatrices de los lados. La figura, muestra un triángulo cualquiera (∆ABC), sus tres triángu-los equiláteros construi-dos desde sus lados y el triángulo equilátero for-mado (∆HGI), cuyos vérti-ces son los puntos circun-centros. Los invito a que realicen esta figura en un progra-ma geométrico dinámico, como GeoGebra, y así, poder mover los puntos originales (en este caso A, B o C), visualizando que el triángulo formado (∆HGI), mantiene sus lados con igual medida.

“Si se construyen tres triángulos equiláteros a partir de los lados de

un triángulo cualquiera, todos al interior o todos al exterior, enton-

ces los circuncentros de los triángulos equiláteros forman también

un triángulo equilátero”.

Juan Leiva Vivar

1 1 4 0 2 1= 2 5X a b c d

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ABACOM Boletín Matemático

Viola García Paredes

EDICIÓN Nº 42EDICIÓN Nº 42EDICIÓN Nº 42

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7 de Septiembre de 2012

PROBLEMAS EDICIÓN Nº 42

rsoConcursoConcursoConcursoConcursoConcursoConcursoConcursoConcursoConcursoConcurso

Te proponemos que descubras diez (10) pala-bras relaciona-das con Lógica y Teoría de Conjuntos. Pueden encon-trarse en forma vertical, horizon-tal o en diago-nal, de arriba hacia abajo (o viceversa), de izquierda a de-recha (o vice-versa).

D A L V A C I O V C

R I O S F A S C E O

E G S O I L N O R N

I O R Y A C E N D J

N L E F U E G E A U

L O V I S N A C D N

E T I C A U C T E C

K U N N Y S I I R I

I A U M U H O V O O

S T E I N U N O W N

Problema 1:

Las Raíces del Polinomio

Se sabe que el polinomio

tiene tres raíces que son números enteros.

Determínese todos los posibles valores de k .

Problema 2:

El Baile

A una fiesta asistieron 20 personas:

María bailó con 7 muchachos, Olga bailó con 8

muchachos, Vera bailó con 9 muchachos y así has-

ta llegar a Nina, que bailó con todos ellos.

¿Cuántos muchachos había en la fiesta?

RESOLUCIÓN PROBLEMAS EDICIÓN Nº 41

Problema 1:

El Número 10

Algunas formas de expresar el número 10, empleando cinco números

9, son:

Problema 2:

Los Cuatro Hermanos

Sean x, y, z, t el dinero que tiene cada uno de los hermanos, respecti-

vamente. Entonces:

x + y + z + t = 450.000 (*).

x + 20.000 = y – 20.000 = 2z = t/2.

Despejando y, z, t en términos de x se obtiene:

Reemplazando estos valores en (*) resulta:

Al resolver esta ecuación de primer grado: x = 80.000,

de donde obtenemos: y = 120.000, z = 50.000, t = 200.000.

Así el dinero que tenía cada hermano es: $ 80.000, $ 120.000,

$ 50.000 y $ 200.000.

20.00040.000, , 2 40.000

2

xy x z t x

20.000( 40.000) (2 40.000) 450.000

2

xx x x

99 910;

9 9

9

999 10;

9

999 10

999 99 (99) 10;

F S U M O H M G I G

N A L I E A N R R B

B O R R D I C E J A

M E T A K O B L I U

O Z A W D N E P A N

L I A T E A S O R I

U H M S O N Y T E V

O X I G E Q U I O L

C E N I E T S N I E

H U S O R E L P E K

SOLUCIÓN EDICIÓN Nº 41SOLUCIÓN EDICIÓN Nº 41SOLUCIÓN EDICIÓN Nº 41

Los apellidos de físicos famosos eran:

Coulomb Einstein Faraday Hawking Heisenberg Hertz Kelvin Kepler Newton Ohm

3p x x x k

J U L I O 2 0 1 2

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EL TAPÓN REBELDE

Un simple experimento permite demostrar que el aire comprimido tiene fuerza y que ésta es considerable.

Para esta prueba necesitamos una botella y un tapón que sea algo más pequeño que el orificio de la botella, quedando así, un espacio entre el tapón y el gollete de ésta. Se ubica la botella en forma horizontal, se coloca el tapón en el go-llete y se intenta meter el tapón en la botella, soplándole. Esto parece algo muy fácil de reali-zar. Pero … prueba, sopla al tapón con fuerza, y quedarás sorprendido del resultado. El tapón no sólo no entra en la botella, sino que... sale despedido hacia tu cara.

Cuanto más fuerte soples, más rápidamente saldrá despedido el tapón en sentido contrario.

Para lograr que el tapón penetre en la botella debes hacer lo contrario, es decir, no soplar al tapón, sino aspirar el aire a través del espacio que hay entre él y el gollete.

Estos extraños fenómenos se explican así: cuando se le sopla al gollete de la botella, se insufla aire en ella a través del espacio que hay entre el tapón y la pared del gollete; con esto aumenta la presión del aire dentro de la botella y aquél lanza con fuerza el tapón hacia afuera. En cambio, cuando se aspira el aire, éste se enrarece dentro de la botella y el tapón es em-pujado hacia dentro por la presión del aire ex-terior. (Para que este experimento resulte, el gollete de la botella debe estar completamente seco, porque si el tapón se humedece, roza con la pared y se atasca).

EINSTEIN: Una Cuestión de Relatividad

Paseaba Einstein con su esposa, cuando ésta lo mi-ra fijamente y le pregunta: - ¿Albert, crees que soy una mujer hermosa? El genio responde: - ¿Comparada con quién?

∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞

En otra oportunidad al-guien le comenta a un ami-go haber escuchado que la esposa de Einstein es la mujer más hermosa que hay en Europa, a lo que el interlocutor responde: - Pero si yo la conozco, es bonita, … pero de ahí a que sea la más hermosa … Y el otro responde: - Y como se dice que ella tiene el mejor físico de Europa …

∞∞∞∞∞∞

En una reunión social Einstein coincidió con el actor Charles Chaplin. En el transcurso de la conversación, Einstein le dijo a Chaplin: - Lo que he admirado siempre de usted es que su arte es uni-versal; todo el mundo le comprende y le admira. A lo que Chaplin respondió: - Lo suyo es mucho más digno de respeto: todo el mundo lo admira y prácticamente nadie lo comprende.

∞∞∞∞∞∞ Lo dijo Einstein:

“Dos cosas son infinitas: el universo y la estupidez humana, aunque sobre el universo no estoy seguro …” “Si mi Teoría de la Relatividad es exacta, los alemanes dirán que soy alemán y los franceses que soy ciudadano del mun-do. Pero si no, los franceses dirán que soy alemán y los ale-manes que soy judío”.

TEOREMA DE EINSTEIN - PITÁGORAS

( )2 2 2

e = m c = m a + b

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ABACOM Boletín Matemático

Son-Risas en la

Sala de Clases

La profesora, en clase de matemá-

tica, explicaba a los alumnos el

concepto de sucesor de un número.

Después de hacerles varios ejem-

plos numéricos, quiso averiguar si

podrían generalizar. Entonces pre-

gunta:

- ¿Cuál es el sucesor de n?

Una niñita levanta la mano y res-

ponde:

- ñ, señorita.

En clase de química, el profesor

enseñaba a los alumnos el número

de Avogadro y dio de tarea averi-

guar quien fue Avogadro.

A la clase siguiente, pregunta al

alumno más desordenado del cur-

so.

- Dime Jorge, ¿averiguaste quién

fue Avogadro?

Jorge, que no había hecho la tarea,

respondió:

- Era el abogado de los químicos…

El profesor de física explicaba a

los alumnos que la luz del sol, que

nos llega, viaja a 300.000 km/seg.

- ¿No les parece esto extraordina-

rio? - les decía a los alumnos.

- No tiene gracia - respondió uno -

si todo el trayecto lo hace de baja-

da ...

- Señor, ¿sabía Ud. que el “roce” y

la “resistencia del aire” tuvieron

que ir al psiquiatra? - pregunta

Pedrito al profesor de física.

- No, … ¿por qué? - responde el

profesor.

- Porque se sienten despreciados

por todos ...

PARADOJA DEL GATO Y LA TOSTADA

Existen dos leyes muy conocidas por todo el mundo.

Ley 1: Ley del Gato Cayendo:

“Todo gato que cae, lo hace sobre sus cuatro patas”.

Ley 2: Ley de la Tostada con Mantequilla:

“Toda tostada, untada con mante-

quilla, que se cae, llegará al suelo

con el lado untado hacia abajo”.

Estas dos leyes dan origen a la si-

guiente paradoja:

Se toma un gato y se le ata un pan

tostado con mantequilla en la espal-

da, de tal forma que el lado untado

de mantequilla quede hacia arriba. Si

se hace caer al gato, ¿qué ocurrirá?

¿cuál de las dos leyes se cumplirá?

POR QUÉ INTERNET NUNCA PODRÁ

REEMPLAZAR AL DIARIO DE PAPEL

No importa que Internet sea más rápido e inmediato, ni que se pueda acceder al diario virtual que se desee, tanto de Chile como de cualquier parte del mundo,… el diario de papel jamás podrá ser desplazado. He aquí los usos que tiene el diario de papel, que internet jamás podrá igualar:

USOS DOMÉSTICOS: Madurar paltas, recoger la basura, limpiar los vidrios de las ventanas, envolver el pesebre después de navidad, cubrir muebles y el piso antes de pintar, matar moscas u otros insectos rastreros.

USOS EDUCATIVOS: Castigar al perro en el hocico cuando se orina en la casa, recor-tar letras y fotos para las tareas de los niños, hacer barcos de papel.

USOS COMERCIALES: Envolver la carne y el pescado, empaquetar clavos en la ferre-tería, hacer un sombrero de pintor, envolver flores, cortar los patrones de modistas y sastres.

USOS FESTIVOS: Prender la parrilla al hacer un asado, rellenar los regalos sorpresa, fabricar antorchas para encender en el Festival de Viña.

USOS VARIOS: Usar letras para las cartas de los delincuentes (asaltantes, secuestradores, etc.), preparar un co-jín para sentarse en el parque, hacer bolitas y pegarles a los compañeros en clase, adaptarlo como paraguas para que la lluvia no dañe el peinado. ¡Ah! … y por último, un uso un poco menos importante … ¡para enterarse de las noticias!

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J U L I O 2 0 1 2

iciasNoticiasNoticiasNoticiasNoticiasNoticiasNoticiasNoticiasNoticiasNoticiasNo

Liceo Isidora Zegers de Huneeus, Puerto Montt

¡De Cabeza a las Matemáticas! Con ábaco en mano se encuentran los estudiantes de 5to básico a 4to medio de la Provincia de Llanquihue, debido a las VII Olimpiadas Provinciales de Matemática 2012. Éstas dieron el vamos desde el 16 de Junio y finalizan en No-viembre del presente año.

Las Olimpiadas Provinciales de Mate-máticas son un certamen interescolar donde el resolver ejercicios y proble-mas presenta un verdadero reto para los alumnos que manejan el lenguaje matemático. Según las bases, cada es-tablecimiento educacional que tenga básica y media, presenta dos equipos por serie y cada uno está constituido por 3 estudiantes. Por otro lado, los establecimientos que tienen sólo básica o media, presentan hasta 3 equipos

compuestos de 3 estudiantes cada uno. Cabe señalar que las series son 4: 1º serie: 5to y 6to básico. 2º serie: 7mo y 8vo básico. 3º serie: 1ro y 2do medio. 4º serie: 3ro y 4to medio. Los organizadores comentaron a los medios que “la idea es in-centivar la investigación en matemáticas, que el alumno y alumna se motive por aprender más, desarrollando y profundizando con-tenidos por iniciativa propia en pos de un despliegue pleno de sus potencialidades”. Esta VII versión del certamen es organizada por el Departamento de Matemáticas del Liceo Isidora Zegers de Huneeus y patrocina-da por la Dirección de Educación Municipal, la Coordinación de Educación Extraescolar y la Universidad Austral de Chile. De esta manera, hasta Noviembre de este año la provincia de Llanquihue estará ... ¡de cabeza a las matemáticas!

La Final es el 26 y 27 de Octubre

Todo listo para la 24 Olimpiada Nacional de Matemática Ya se encuentran abiertas las inscripciones para la 24 Olim-piada Nacional de Matemática. Pueden participar todos los establecimientos de enseñanza media del país, rindiendo la Prueba Nacional el día 25 de Agosto en las sedes regionales. Los mejores puntajes de dicha prueba, llegarán a la Final Nacional que se realizará los días 26 y 27 de Octubre en Santiago de Chile. La participación es en dos niveles: Nivel Mayor, estudiantes naci-dos el año 1996 o inferior y Nivel Menor, estudiantes nacidos el año 1997 o superior. Según los organizadores “esta olimpiada tiene como objetivo descubrir jóvenes talentosos que cursan estudios de enseñanza

media y básica, para ofrecerles la oportunidad de ampliar sus horizontes científicos y culturales”. Los colegios interesados deben inscribirse en: www.olimpiadadematematica.cl llenando los formularios de ins-cripción de colegio e inscripción de alumno. De igual forma, pue-de contactarse con los encargados regionales, que en el caso de la Región de Los Ríos son: Pedro Reumay (preumay@uach.cl) y Constande Nicolás (cnicolas@uach.cl), ambos del Instituto de Ciencias Físicas y Matemáticas, Facultad de Ciencias de la Univer-sidad Austral de Chile.

Centro de Estudios Científicos (CECs)

Caminando entre el Ciclo de Charlas “Tertulias en la Carpa de la Ciencia” El Centro de Estudios Científicos (CECs) invita a todos los alumnos de 7mo básico a 4to medio a participar del ciclo de charlas “Tertulias en la Carpa de la Ciencia” que se es-tán realizando en la Carpa de la Ciencia, ubicada en Paseo Libertad s/n esquina Yungay. La primera de estas charlas se tituló “De limones y vinagre… al equilibrio ácido-base” dictada por el investigador Gaspar Peña y se realizó el jueves 28 de Junio a las 11:00 hrs. Los organizadores comentan que la idea es convocar a estudiantes de enseñanza media para que participen de una jornada en la que jóvenes in-vestigadores del CECs los instruirán en profundidad en tres áreas: Física, Biología y Glaciología. La forma de inscripción es completando el formulario disponible en www.cecs.cl, además de agregar una nómina de los alumnos que participarían en el ciclo de tertulias. La invitación está abierta y los cupos son de 219 alumnos. Esta es la oportunidad de ir ca-minando entre el ciclo de charlas “Tertulias en la Carpa de la Ciencia”.

Estados Unidos

¿Existe el Hombre Invisible? La invisibilidad es algo que viene siendo un tema de cien-cia ficción desde siempre, no obstante, ahora se ha con-vertido en realidad. Aunque parezca increíble, matemáticos y científicos de distintas especialidades han trabajado en dispositivos que funcionan a modo de capas de invisibilidad, volviendo invisible lo que cubren. Los prototipos de tales capas son aún incapaces de ocultar a una persona, pero sí pueden hacer que objetos pequeños sean invisi-bles en algunas bandas del espectro electromagnético, como por ejemplo, la de las microondas. De igual forma, se trabaja exitosa-mente en un efecto parecido para las ondas de sonido. El equipo internacional del matemático Gunther Uhlmann de la Universidad de Washington en Esta-dos Unidos, desarrolló un amplifica-dor que puede ampliar ondas de luz, sonido o de otros tipos y a la vez ocultarlas dentro de un conte-nedor invisible, mostrándolas luego del modo deseado. Esto permite aislar y ampliar lo que se quiera mostrar, haciendo el resto invisible. Esperemos que para los que alguna vez soñaron con ser invisibles, con el tiempo se logre hacer el procedi-miento para humanos y así entrete-nerse con que nadie los vea.

Julio Morales Muñoz, Egresado de Periodismo UACh.

LICEO ISIDORA ZEGERS DE HUNEEUS

PUERTO MONTT