accounting for biases in black-scholes

42
Masthead Logo Fordham University DigitalResearch@Fordham CRIF Working Paper series Frank J. Petrilli Center for Research in International Finance 11-25-1997 Accounting for Biases in Black-Scholes David Backus New York University Silverio Foresi Solomon Brothers Inc. Kai Li New York University Liuren Wu New York University Follow this and additional works at: hps://fordham.bepress.com/crif_working_papers Part of the Finance and Financial Management Commons is Article is brought to you for free and open access by the Frank J. Petrilli Center for Research in International Finance at DigitalResearch@Fordham. It has been accepted for inclusion in CRIF Working Paper series by an authorized administrator of DigitalResearch@Fordham. For more information, please contact [email protected]. Recommended Citation Backus, David; Foresi, Silverio; Li, Kai; and Wu, Liuren, "Accounting for Biases in Black-Scholes" (1997). CRIF Working Paper series. 30. hps://fordham.bepress.com/crif_working_papers/30

Upload: others

Post on 30-Nov-2021

2 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: Accounting for Biases in Black-Scholes

Masthead LogoFordham University

DigitalResearch@Fordham

CRIF Working Paper series Frank J. Petrilli Center for Research in InternationalFinance

11-25-1997

Accounting for Biases in Black-ScholesDavid BackusNew York University

Silverio ForesiSolomon Brothers Inc.

Kai LiNew York University

Liuren WuNew York University

Follow this and additional works at: https://fordham.bepress.com/crif_working_papers

Part of the Finance and Financial Management Commons

This Article is brought to you for free and open access by the Frank J. Petrilli Center for Research in International Finance atDigitalResearch@Fordham. It has been accepted for inclusion in CRIF Working Paper series by an authorized administrator ofDigitalResearch@Fordham. For more information, please contact [email protected].

Recommended CitationBackus, David; Foresi, Silverio; Li, Kai; and Wu, Liuren, "Accounting for Biases in Black-Scholes" (1997). CRIF Working Paper series.30.https://fordham.bepress.com/crif_working_papers/30

Page 2: Accounting for Biases in Black-Scholes

����������� ������������������������������ ����"!�#%$&�('��� ���� )

*�+�,.-0/�1(+3254.687:9<;"=�-?>?,�@�AB-?C�DEC3AB@�7F-G9<H IJ+�-�KL-G9<M +�N8/&KL-?6EAB@�N�O68P

D%-?A57FQ�/.A5+SRTQ�U V�6EW3687FQ�X.9ZY�[3[�\]"^E-07",�@�A57F-?C3NZU _�C�,�@�`�a8@�A b3c.9%Y�[3[�\

d�e%f:g�h�iEj3gkZlnmpoBq:rLsStuoBv�lFlFq5w.oBx�s�y�znm{s�w.rLoBs�|J|Js�w~}{x���m<��q5l�t�lFs�|�zF��q���}p��oF�3�G�3oF��sS}{q:r�t�s�lF|�v~}p� ��}{s�w��"zG��s��m{|Jq5w.r�m{s�w.r5��m{|Jy~}<m{q:����sS}p��znm<}<m{znm{q:r ����lFx��3x�rGzFlnm{��q(y�lnmpoBqJ����sS}p��znm<}<m{zGx�rG|�m<}{q:rB����w.��|���zFv�lnm{zGx�Tm{|Jy~}<m{q:����sS}p��znm<}<m{zGx&sSt���zF�0zF��q5�0|Js�w�q5x�s�y�znm{s�w.r�m{w.oBlFq:��rGq:r5�%s�w��:��q5lB����q��L��m{zF�&|���zFv�lnm{zGx.�B���q���o5oBs�v�w3z�t�s�lL�.s�zF��v.r�m{w����"lB��|J�G %�.��ln}<m{q5lLq¢¡~y.��w.r�m{s�w.rLzFs"��y�y�lFs�¡3m{|���zFqZzF��q�oBs�w.��m{znm{s�w.��}��mprGzFlnm{��v�znm{s�w�sSt£zF��q�}{s��3��lnm{zF��|¤sSt�zF��q"y�lnmpoBq�sSt£zF��q"v�w.�3q5ln}{x�m{w���rGq:oBv�lnm{zGx��Z¥�w�zF�~mpr rGq5zFznm{w��.���sS}p��znm<}<m{zGx¦mprL��y�y�lFs�¡3m{|���zFq¢}{x�� §�v.���3lB��znmpo�t�v�w.oBznm{s�w�sSt~|Js�w�q5x3w�q:rFr5��� lFq:rGv~}{zZ��qZv.rGq�zFs�m{w~t�q5lrG��q5� w�q:rFr"��w.���3v�lFzFs3r�mpr¨t�lFs�|©��sS}p��znm<}<m{zGx�rG|�m<}{q:r5��ªZ��mp�3q5w.oBq�rGv�����q:rGzBr zF�.��z �.s�zF���3v�lFzFs3r�mprm{w�oBv�lFlFq5w.oBx�y�lnmpoBq:r"��w.���~mp��rGq:r�m{w���}p��oF�3�G�3oF��sS}{q:r"s�y�znm{s�w�y�lnmpoBq:r(�3q:o«}<m{w�q���m{zF��|���zFv�lnm{zGx��

¬8­"®°¯�±³².´:´:µ{¶�·�²�¸:µ³¹8º»¯�¹8¼8½�´�¾¿��À:Á��.��À:Â���ÃZÂ�À��� "À5Ä.�Å�½3Æ8Ç�¹EÈ�¼L´�¾�oBv�lFlFq5w.oBx�s�y�znm{s�w.r5É8rG��q5� w�q:rFr"��w.���3v�lFzFs3r�mpr5É8�"lB��|J�G %�.��ln}<m{q5l"q¢¡~y.��w.r�m{s�w.r5É

m{|Jy~}<m{q:����sS}p��znm<}<m{zGx��

Ê�Ë�Ì(ÍEÌ�Î ÏGÐBÑ�Ì�ÏGÐBÑ�Ñ�ÌGÒ5Ó0ÔGÕ�Ö Ò:Ï�Î ×:ØÙÖ Ò�Ú�Û0Ì�Ü{ÌGÛ0ÌGÒ:ÏGÌGÔ Ó0Ð�Û0Ì�Î ÝFÓ0ÌGØ�Þ�ÝFÞ�ÌGÛ0Ô"ÍEÌ¨Ö Ò�ÝFØ:ßBÌGÛ0Ó0ÌGÒ5Ó�Î à�ÐFßBÌGÛ�Î Ð5ÐBáBÌGØ�âË�Ì%Ó0ã�ÝFÒ:á�äFÐBÔ0Ì�å8ÝFÑ�Þ�Ý5Õ�æ5Ó0ÌGßBÌ�ç�Ö Ú«Î ÌGÍ8Ô0á¢Ö{Õ.èLÌGÒ(éZÝFÛ0ê�ÝFØ:ÌBÕ�åëÎ Ö ìîí8×:Û0ᛙ Ï�ã�Õ�äFÐBÔ0ã�ïEÐBÔ0ÌGÒ5ê�ÌGÛ0Ú:Õ�ÝFÒ:Ø�ï8ÝFÚBã5×æ5×:Ò:Ø�ÝFÛ�ÝFÑðÜ{ÐBÛEã:Ì�Î ÞÙÜ{×ÙÎ�ÏGÐBÑ�Ñ�ÌGÒ5Ó0Ô8ÝFÒ:Ø"Ô0×:ÚBÚBÌGÔ0Ó�Ö ÐBÒ:ÔGâEñ8ã:ÌLÑ�ÐBÔ0Ó.Û0ÌGÏGÌGÒ5ÓEßBÌGÛ0Ô�Ö ÐBÒ"ЫÜ~Ó0ãÙÖ ÔEÞ�ÝFÞ�ÌGÛ�Ö Ô8ÝGßBÝnÖ Î ÝFêÙÎ ÌÝFÓ8ã5Ó0Ó0Þ�ò óBóFÍ8Í8ÍZâ Ô0Ó0ÌGÛ0Ò�â Ò5à5×�â ÌGØ:×�ó5ôGØ:ê�ÝFÏ�á5×:ÔGâõ æ5Ó0ÌGÛ0Ò�æ5Ï�ã:Ð5ЫÎ~ЫÜëö.×:Ô�Ö Ò:ÌGÔ0ÔGÕ3÷8ÌGÍ�ø.ÐBÛ0á"ù8ÒÙÖ ßBÌGÛ0Ô�Ö Ó?à�ÝFÒ:Ø(÷LöEú.ïLû�Ø:ê�ÝFÏ�á5×:Ô�üLÔ0Ó0ÌGÛ0Ò�â Ò5à5×�â ÌGØ:×�âý æ:ÝnÎ ÐBÑ�ÐBÒ�ö.Û0ÐBÓ0ã:ÌGÛ0ÔLþ?Ò:ÏBû:Ô�Ü{ÐBÛ0ÌGÔ�Ö üLÔ0êÙÖ{â ÏGÐBÑ"âÿ æ5Ó0ÌGÛ0Ò�æ5Ï�ã:Ð5ЫÎ~ЫÜëö.×:Ô�Ö Ò:ÌGÔ0ÔGÕ3÷8ÌGÍ�ø.ÐBÛ0á"ù8ÒÙÖ ßBÌGÛ0Ô�Ö Ó?à�û�á¢Î Ö��FüLÔ0Ó0ÌGÛ0Ò�â Ò5à5×�â ÌGØ:×�â� æ5Ó0ÌGÛ0Ò�æ5Ï�ã:Ð5ЫÎ~ЫÜëö.×:Ô�Ö Ò:ÌGÔ0ÔGÕ3÷8ÌGÍ�ø.ÐBÛ0á"ù8ÒÙÖ ßBÌGÛ0Ô�Ö Ó?à�ûSÎ Í8×��FüLÔ0Ó0ÌGÛ0Ò�â Ò5à5×�â ÌGØ:×�â

Page 3: Accounting for Biases in Black-Scholes

� ������������ ��������

�Sm{w.oBq���}p��oF����w.���3oF��sS}{q:r(�BÀ�����Â3�LlFq5��sS}{v�znm{s�w~m��5q:��zF��q(zF��q5s�lFxJsSt£s�y�znm{s�w�y�lnmpo«m{w��.�um{w.oBlFq:��rG�m{w��S}{x�lFq��uw�q:����y�y~}<m{q:����s�lF�J�.��r��3s�oBv�|Jq5w3zFq:����w3v�|��.q5l sSt���w�s�|���}<m{q:r�s�l��~mp��rGq:r5�Zq¢¡u��|J�y~}{q:r�m{w�� �~mpoF��s��.rGq5lF��q:��y�lnmpoBq:r�sSt�s�y�znm{s�w.r%��m<��q5l rGx�rGzFq5|���znmpo5��}<}{x�t�lFs�| zF��q"��}p��oF�3�G�3oF��sS}{q:rt�s�lF|�v~}p��������q:rGq"s��.rGq5lF����znm{s�w.rZ�.�:��q"|Js�znm{����zFq:�E�Sm{w�zFv�lFw8���3q5��q¢}{s�y�|Jq5w3z�sSt�|Js�lFq"oBs�|Jy~}{q¢¡|Js��3q¢}pr�m{w�� �~mpoF���G��|Js�w���s�zF��q5l(zF�~m{w��3rB����v�|Jy.r(��w.��rGzFs�oF�.��rGznmpo���sS}p��znm<}<m{zGx m{w�zF��q�y�lnmpoBqsSt�zF��q(v�w.�3q5ln}{x�m{w�����q5w�q5lB��zFq(zF��q5s�lFq5znmpo5��}£s�y�znm{s�w�y�lnmpoBq:r(��m<��q5lFq5w3z�t�lFs�|©��}p��oF�3�G�3oF��sS}{q:r5�

Ã�s�l"oBv�lFlFq5w.oBx�s�y�znm{s�w.r5�.�~mp��rGq:r(��lFq���y�y.��lFq5w3z(��oBlFs3rFr"��m<��q5lFq5w3z(rGzFlnm{��q�y�lnmpoBq:r(��w.��|����zFv�lnm{znm{q:r5�°��zFlnm{��q�y�lnmpoBq�s�l �B|Js�w�q5x3w�q:rFr"!��~mp��rGq:r�m{w.o«}{v.�3q tT��|�m<}<mp��l�rG|�m<}{q:r5�(rG|�m{lF��r5� ��w.�rG��q5�"r m{w�� �~mpoF� m{|Jy~}<m{q:����sS}p��znm<}<m{zGx�����lnm{q:r"��oBlFs3rFr rGzFlnm{��q�y�lnmpoBq:r sSt�s�zF��q5lF��mprGq�r�m{|�m<}p��l(s�y��znm{s�w.r5�JÃ�s�l"s�y�znm{s�w.r(s�w��3sS}<}p��l�y�lnmpoBq:r�sSt |��#��s�l"oBv�lFlFq5w.o«m{q:r5�LzF��qJ|Js3rGz(oBs�|J|Js�w�y.��zFzFq5lFwmpr(��rG|�m<}{q��E��m{zF� m{|Jy~}<m{q:����sS}p��znm<}<m{zGx }{s���q5l(��z zF��q�|Js�w�q5x�zF�.��w m{w�s�l"s�v�z"sSt�zF��q�|Js�w�q5x��ª%§�v.��}<}{x m{w3zFq5lFq:rGznm{w��.�£m{w&s�v�l���m{q5���Z��lFqJ�~mp��rGq:r���oBlFs3rFr"|���zFv�lnm{znm{q:r5��$¨}{zF��s�v����&zF��q:rGq���lFqs��.rFoBv�lFq:���3x�����lnmp��znm{s�w�s���q5l�znm{|Jq�m{w�zF��q"zFq5lF|©rGzFlFv.oBzFv�lFq(sSt£��sS}p��znm<}<m{zGx��.��q(�3s�oBv�|Jq5w3z"��w�:��q5lB����q"y.��zFzFq5lFw�sStZ}{s���q5l"��zF�0zF��q5�0|Js�w�q5x���sS}p��znm<}<m{zGx t�s�l"rG��s�lFzFq5l s�y�znm{s�w.r5�%���~mpr"|���zFv�lnm{zGx�~mp��r�rGv�����q:rGzBr%�(znm{|Jq q¢}{q5|Jq5w3z�zFs��3q5y.��lFzFv�lFq:r�t�lFs�|¤��}p��oF�3�G�3oF��sS}{q:r�zF�.��z%�.��r�}p��lF��q¢}{xJ�.q5q5ws���q5ln}{s3s���q:�E�

��q�rG��s�� zF�.��z��.s�zF���~mp��rGq:r���lFq�w.��zFv�lB��}�oBs�w.rGq:§�v�q5w.oBq:r�sSt�rGzB��znm{s�w.��lFx|Js��3q¢}pr m{w� �~mpoF� oF�.��w���q:r¦m{wzF��q }{s��3��lnm{zF��| sSt¨zF��q�y�lnmpoBq�sSt¨zF��q�v�w.�3q5ln}{x�m{w��rGq:oBv�lnm{zGx'& ��q5lFq��oBv�lFlFq5w.oBx(& �.�:��q���lFq:��zFq5lJ�3v�lFzFs3r�mprJzF�.��ww�s�lF|���}¨lB��w.�3s�|�����lnmp���~}{q:r5�»¥�w�oBs�w3znm{w3v�s�v.rznm{|Jq����3q5y.��lFzFv�lFq:r¦t�lFs�|¿w�s�lF|���}<m{zGx���lFq�zGx3y~mpo5��}<}{x�|Js��3q¢}{q:����m{zF�)��v�|Jy�����m<��v.r�m{s�w.r5����qoF��s3s3rGqîm{w.rGzFq:���&��mprFoBlFq5zFq5�0znm{|Jq��"lB��|J�G %�.��ln}<m{q5l�q¢¡~y.��w.r�m{s�w.r5�%��w���y�y�lFs3��oF��y~m{s�w�q5q5lFq:� m{w�uw.��w.oBq��3x+*���lFlFs��¤��w.�-,�v.����BÀ��/.�Á3�B��� �.��zFq5��q5l¦m{zBrJrGs�v�lBoBq��Zq¢¡uoBq:rFr��3v�lFzFs3r�mpr¦mpr���q¢}<}v�w.�3q5lBrGzFs3s���zFs�y�lFs��3v.oBq���sS}p��znm<}<m{zGxrG|�m<}{q:r5� ��q��3q5lnm{��q���y.��lFznmpoBv~}p��ln}{x r�m{|Jy~}{q���q5lBr�m{s�wsSt¨zF�~mpr�lFq:rGv~}{z�m{w�� �~mpoF�ðm{|Jy~}<m{q:����sS}p��znm<}<m{zGx mprJ��y�y�lFs�¡3m{|���zFq¢}{x&��§�v.���3lB��znmpoît�v�w.oBznm{s�w&sSt|Js�w�q5x3w�q:rFr5����m{zF��oBs3q�0 o«m{q5w3zBr lFq¢}p��zFq:��zFs�zF��q�rG��q5� w�q:rFr ��w.���3v�lFzFs3r�mpr�sSt£zF��q�y�lnmpoBq��%1Eq:rFr��q¢}<} v�w.�3q5lBrGzFs3s��E�Z��qJzF�~m{w��E�£mpr���s�� zF��qJq¢��q:oBz�sSt��3v�lFzFs3r�mpr(����lnm{q:r���m{zF�&|���zFv�lnm{zGx�����qrG��s����£m{w&zG��s�lFq¢}p��zFq:��zF��q5s�lFq5znmpo5��} q5w3��m{lFs�w�|Jq5w3zBr5�LzF�.��z��3v�lFzFs3r�mpr��~mp��rGq:r��3s�� w3� ��lB��zF��qm{|Jy~}<m{q:����sS}p��znm<}<m{zGxsSt���zF�0zF��q5�0|Js�w�q5x�s�y�znm{s�w.r5� ��v�z�zF��q��~mp��r�q5��q5w3zFv.��}<}{x �3q:o«}<m{w�q:r���m{zF�|���zFv�lnm{zGx���Ã�s�l�}{s�w���s�y�znm{s�w.r5�8zF��qJ��}p��oF�3�G�3oF��sS}{q:r¦t�s�lF|�v~}p�împr�����s3s�����y�y�lFs�¡3m{|���znm{s�w m{wzF��q:rGq(|Js��3q¢}pr5�

��q ��lF��v�q�zF�.��zZoBv�lFlFq5w.oBxJ��w.��s�y�znm{s�wJy�lnmpoBq:r%oBs�w~t�s�lF|»��lFs3����}{x���m{zF��zF�~mprZzF��q5s�lFx�������qq¢¡uoBq:rFr"�3v�lFzFs3r�mpr sStZ}{s�����oF�.��w���q:r¨m{w&�3sS}<}p��l(y�lnmpoBq:r"sStZt�s�lFq¢m{��w�oBv�lFlFq5w.o«m{q:r��3q:o«}<m{w�q:r�lB��y~mp��}{x��r%zF��q(znm{|Jq¨m{w3zFq5lF����}8mpr�q¢¡~zFq5w.�3q:�E�%Ã�v�lFzF��q5l:�.��w�q¢¡u��|Jy~}{q(sSt£��sS}p��znm<}<m{zGx�rG|�m<}{q:r�t�s�l rGq5��q5lB��}|���zFv�lnm{znm{q:r ��z�zF��q�rF��|Jq(����zFq�rG��s��"r�o«}{q:��ln}{x�zF�.��z�zF��q5x���q5z }{q:rFr y�lFs�w�s�v�w.oBq:����r%zF��q(|����zFv�lnm{zGx�m{w.oBlFq:��rGq:r5������q"lB��zFq�sSt�oBs�w3��q5lF��q5w.oBq�m{w�zF�~mpr%o5��rGq�mpr%r�}{s���q5l%zF�.��w���q ��s�v~}p��q¢¡~y.q:oBz

Page 4: Accounting for Biases in Black-Scholes

t�lFs�|°|Js��3q¢}pr%��m{zF�îm<mp��m{w.oBlFq5|Jq5w3zBr5�3��v�z�mpr%y.s�zFq5w3znmp��}<}{x�oBs�w.r�mprGzFq5w3z%��m{zF�JzF��q"rGq:oBs�w.�3�0s�lB�3q5lznm{|Jq5���3q5y.q5w.�3q5w.oBq�sSt rGzFs�oF�.��rGznmpoB�0��sS}p��znm<}<m{zGx�|Js��3q¢}pr ��m{zF� tT��zF�0zB��m<}{q:� m{w�w�s�����znm{s�w.r5�"¥�w�zF�~mprlFq:rGy.q:oBz:��zF��q��.q5�.�:��m{s�l�sSt¦oBv�lFlFq5w.oBx�s�y�znm{s�w.r���o5oBs�lB��r���m{zF�lFq¢}p��zFq:����s�lF��s�woBv�lFlFq5w.oBxy�lnmpoBq:r��G����m<}<}<m{q���w.��%sS}<}{q5lBr�}{q5�°À��/./����w.���"lFs3rGz:����m ��|���w8� ��w.����q5lF��q5l�À��/��������|Js�w��s�zF��q5lBrB�B�

� � ��� �� � ������ ������ ��������

��q��.q5�Sm{w���m{zF���(rGq¢}{q:oBznm{��q¨}<mprGz%sSt�rGx�rGzFq5|���znmpo���m<��q5lFq5w.oBq:r�m{w�s��.rGq5lF��q:��y�lnmpoBq:rZsSt�oBv�lFlFq5w.oBxs�y�znm{s�w.r�t�lFs�|©zF��q���}p��oF�3�G�3oF��sS}{q:r�t�s�lF|�v~}p������v.oF��sSt�zF�~mpr(����zFq:r��.��oF��zFs��%s��3v�lFzF�.����w.� %s�v�lFzB���3s�w�� r��BÀ��/.��3�8y�y�Â�Â������3�(oBs�|Jy�lFq5��q5w.r�m{��q���rFrGq:rFrG|Jq5w3z�sSt�oBv�lFlFq5w.oBx�s�y�znm{s�w.r5�%��w.�q5��q5w��.q¢t�s�lFq��

1ëmprGzBr%sSt���}p��oF�3�G�3oF��sS}{q:r �~mp��rGq:r m{w3����lnmp���~}{x��.q5�Sm{w���m{zF����m<��q5lFq5w.oBq:r m{w m{|Jy~}<m{q:����sS}p��znm<}{�m{znm{q:r ��oBlFs3rFr�rGzFlnm{��q"y�lnmpoBq:r�s�l�|Js�w�q5x3w�q:rFr5��$¨}{zF��s�v�����zF��q5lFq"�.�:��q"�.q5q5w�rGzFlnm{��m{w��Jq¢¡u��|Jy~}{q:rsStu��sS}p��znm<}<m{zGxJrG��q5�"r�m{wJoBv�lFlFq5w.oBx�s�y�znm{s�w.r5����m{zF����sS}p��znm<}<m{zGx�m{w.oBlFq:��r�m{w���s�lZ�3q:oBlFq:��r�m{w��(|Js�w�s��zFs�w~mpo5��}<}{x���m{zF��|Js�w�q5x3w�q:rFr5��s�y�znm{s�w.r�s�w��3sS}<}p��l q¢¡uoF�.��w���q(lB��zFq:r%|Js�lFq(oBs�|J|Js�w~}{x�q¢¡~�~m{�~m{zrG|�m<}{q:r5�L��m{zF�&|�m{w~m{|�v�|¿��sS}p��znm<}<m{zGx�lFs�v����~}{x&��z(zF��qJ|Js�w�q5x�����q5q���t�s�l�q¢¡u��|Jy~}{q��% ���|Jy.��� %�.��w��.�8��w.� ,�q¢mp�3q5l��BÀ��/�����B������}����BÀ��/���3�B�E��w.� ,�s3rGq5w3�.q5lF���BÀ��/���3�B�"ãm{��v�lFq�À�y�lFs���mp�3q:r��w�q¢¡u��|Jy~}{q¦t�lFs�|¤zF��q(s���q5lF�0zF��q5��oBs�v�w3zFq5l |���lF��q5z:�8s�w�q5�0|Js�w3zF���3q5v�zBrFoF��q5|���lF��s�y�znm{s�w.r"��z�u��q�rGzFlnm{��qJy�lnmpoBq:r�s�w $"y�lnm<}�Â��%À��/����� ���~mpr�s��.rGq5lF����znm{s�w�� ��r(rGv�y�y~}<m{q:���3x *�s3rGq� ���|Jy.���w.��oBs�|Jq:r�t�lFs�| ����zB���3q:rFoBlnm{�.q:� m{w ���|Jy.���Z %�.��w��.�L��w.� ,�q¢mp�3q5l��BÀ��/�����B� ����q �u��v�lFqoBs�w3zB��m{w.r �Jo«}p��rFr�mpo�q¢¡u��|Jy~}{q�sSt�����sS}p��znm<}<m{zGx�rG|�m<}{q��

��|�m<}{q:r���w.��s�zF��q5l�y.��zFzFq5lFw.r¨m{w m{|Jy~}<m{q:�&��sS}p��znm<}<m{znm{q:r���lFqJsSt�zFq5w���zFzFlnm{��v�zFq:��zFs��3q5y.��lF�zFv�lFq:r�t�lFs�| w�s�lF|���}<m{zGx m{w&zF��qî}{s��3��lnm{zF��| sSt�zF��qJy�lnmpoBq�sSt�zF��qJv�w.�3q5ln}{x�m{w��.��¥�w+�L���~}{q�À����q(lFq5y.s�lFz rF��|Jy~}{q�|Js�|Jq5w3zBr�t�s�l zF��lFq5q�oBv�lFlFq5w.o«m{q:r sSt�����m<}{x }{s�����oF�.��w���q:r�s�l �3q5y�lFq:o«mp��znm{s�wlB��zFq:r%sSt�zF��q�rGy.s�z q¢¡uoF�.��w���q(lB��zFq��

"!$# %'& }{s���( !$# %�) }{s��'( !+* �BÀ��� ��q5lFq,( ! mpr�zF��q��3sS}<}p��lJy�lnmpoBq�sSt¨s�w�q�v�w~m{zJsSt t�s�lFq¢m{��w�oBv�lFlFq5w.oBx���z�����zFq.-���w.��znm{|Jqîmpr|Jq:��rGv�lFq:� m{w���v.r�m{w�q:rFr����:x�r5� ����q�|Jq:��w���w.� rGzB��w.����lB��3q5��mp��znm{s�w»��lFq�q¢¡~y�lFq:rFrGq:� m{w��w�w3v.��}¨v�w~m{zBr5��� m{zF�Á������ ����v.r�m{w�q:rFr����:x�r�y.q5l�x�q:��lîm{ws�v�l�rF��|Jy~}{q���s�w �:��q5lB����q��Z��q|�v~}{znm{y~}<m{q:��zF��q(q:rGznm{|���zFq:��|Jq:��w��3x�Á������ ����w.��zF��q�rGzB��w.����lB���3q5��mp��znm{s�w��3x�Á����"/ � %1012 �

3 t¨y.��lFznmpoBv~}p��l�m{w3zFq5lFq:rGz�zFs�v.r���lFqîm{w.��mpo5��zFs�lBr�sSt�rG��q5� w�q:rFr���w.���3v�lFzFs3r�mpr5�L� �~mpoF����q�3q��uw�q�m{w�zFq5lF|�r sSt zF��qJoBv�|�v~}p��w3zBr�465¦sSt ��lB��w.�3s�| ����lnmp���~}{q �����q �ulBrGz(oBv�|�v~}p��w3z�mprzF��q |Jq:��w8�"4 %�&87 � �B������q"rGq:oBs�w.��mpr%zF��q ����lnmp��w.oBq��"4 2'&87 � ') 4 % � 2 ������q zF�~m{lB��mpr%zF��q

Á

Page 5: Accounting for Biases in Black-Scholes

zF�~m{lB��oBq5w3zFlB��}�|Js�|Jq5w3z:�'4�� & 7 � .) 4 % � � �����q�t�s�v�lFzF� mpr 4�� & 7 � ) 4 % � � ) Â3�+4 2 � 2 �����q�rGzB��w.����lB� m{w.��mpo5��zFs�lBr�sSt�rG��q5� w�q:rFr���w.���3v�lFzFs3r�mpr���lFq�rFo5��}{q:�&��q5lBr�m{s�w.r�sSt�zF��q�zF�~m{lB���w.�ît�s�v�lFzF��oBv�|�v~}p��w3zBr5�

�"% &4��

�+4 2 � � 012�GrG��q5� w�q:rFrB� �GÁ3�

�"2 &4���+4 2 � 2

���3v�lFzFs3r�mprB�1/ �GÂ3�

�%s�zF����lFq�m{w3����lnmp��w3z"zFsJoF�.��w���q:r m{w�zF��q�rFo5��}{q�sSt ��w.��q:§�v.��} �5q5lFs�m<t mpr�w�s�lF|���}T�

����q(q:rGznm{|���zFq:r�m{w �L���~}{q�À(lFq5y~}p��oBq�q¢¡~y.q:oBzB��znm{s�w.r"��m{zF��rF��|Jy~}{q�|Js�|Jq5w3zBr5����zB��w.����lB��3q5��mp��znm{s�w.r���lFq ��v.rGz����.s���q(À ���°��w�w3v.��}<}{x�t�s�lZzF��q |���lF����w.��zF��q x�q5w8�S}{q:rFr%zF�.��w��.��}<t£zF�.��zt�s�l(zF��q� ���w.����mp��w&�3sS}<}p��l:������q5� w�q:rFr �"% mpr�rG|���}<}T�8��v�z�q:rGznm{|���zFq:������}{v�q:r�sSt �"2 rGv�����q:rGzzF�.��z�}{s�����oF�.��w���q:r�m{w�oBv�lFlFq5w.oBxJy�lnmpoBq:r ��lFq w�s�z%w�s�lF|���}T�Z��}<}�zF��lFq5q(oBv�lFlFq5w.oBxJy�lnmpoBq:r%q¢¡~�~m{�~m{z��lFq:��zFq5lJ�3v�lFzFs3r�mpr�zF�.��ww�s�lF|���}¨lB��w.�3s�|�����lnmp���~}{q:r5� ��s�lFq t�s�lF|���}�rGzB��zFq5|Jq5w3zBr�zFs&zF�~mprq¢��q:oBz"��lFq(|����3q��3x�$"�3�Sm{lB�:x���w.���%s3s�zF���BÀ��/./.3�B�3����m<}<}<m{q���w.���%sS}<}{q5lBr�}{q5���BÀ��/./�3�B�"�"lFs3rGz:���m ��|���w8�.��w.����q5lF��q5l"�BÀ��/���3�B���"r�m{q5�&�BÀ��/./�3�B�3��w.� *�s�lnm{s�w��BÀ��/./.3�B�

1Eq:rFr oBs�|J|Js�w~}{x�w�s�zFq:����lFq���m<��q5lFq5w.oBq:r�m{w�s�y�znm{s�w�y�lnmpoBq:r"��oBlFs3rFr%|���zFv�lnm{znm{q:r5�%�L���~}{q�ÁrGv�|J|���lnm��5q:rLzG��s"x�q:��lBr8sSt�����m<}{x���sS}p��znm<}<m{zGxJ§�v�s�zFq:r�t�s�l%��zF�0zF��q5�0|Js�w�q5x�s�y�znm{s�w.rLsS��q5lFq:�(�3x��}p��lF��q�m{w3zFq5lFw.��znm{s�w.��}u�.��w������.�3v�À��/�����B������q"§�v�s�zFq:r%oBs�|Jq t�lFs�| ��zF�0zF��q5�0|Js�w�q5xJrGzFlB������}{q:r5��"oBs�|��~m{w.��znm{s�w�sStë��y�v�z%��w.���"o5��}<}~��m{zF��zF��q�rF��|Jq�rGzFlnm{��q%y�lnmpoBq�É�rGq5q���t�s�l8q¢¡u��|Jy~}{q��� ���|Jy.���w.�� %�.��w����BÀ��/�����8y ��Â��3�B� ��s3rGz�m{w3zFq5lFq:rGznm{w���zFs�v.r�mpr�zF��qJzFq5lF| rGzFlFv.oBzFv�lFqJsSt¨��zF�0zF��q5�|Js�w�q5x m{|Jy~}<m{q:����sS}p��znm<}<m{zGx�� $¨}{zF��s�v����&zF��qJzFq5lF|¿rGzFlFv.oBzFv�lFq���z���m<��q5lFq5w3z�y.sSm{w3zBr�m{w�znm{|Jq�.��r �.q5q5w m{w.oBlFq:��r�m{w��.�8�3q:oBlFq:��r�m{w��.�8s�l q5��q5wë��z:�.|Jq:��w���w.��|Jq:��mp��w���sS}p��znm<}<m{zGx�q¢¡~�~m{�~m{z��rGzFq:���3xJlnmprGq"��m{zF��|���zFv�lnm{zGx�������q¨}p��zFzFq5l�mpr�y~mpoBzFv�lFq:�îm{w�ãm{��v�lFq(Á��3� ��q5lFq"��q(rGq5q(��r�m{|�m<}p��ly.��zFzFq5lFw�m{w���}<}ëzF��lFq5q(oBv�lFlFq5w.o«m{q:r5� $"��q5lB����q"��m<��q5lFq5w.oBq:r�m{w���zF�0zF��q5�0|Js�w�q5x���sS}p��znm<}<m{zGx���oBlFs3rFr|���zFv�lnm{znm{q:r(��lFqJrG|���}<}�lFq¢}p��znm{��qJzFs�zF��qJznm{|JqJrGq5lnm{q:r(����lnmp��znm{s�w m{w���sS}p��znm<}<m{zGx��8��v�z(zF��q5x���lFqw�q5��q5lFzF��q¢}{q:rFr���lFq:oBv�lFlnm{w�� t�q:��zFv�lFq�sSt¨s�y�znm{s�w����zB����m{w.o«}{v.��m{w��ð}{s�w���q5lJznm{|Jq�rGq5lnm{q:r�t�lFs�|oBv�lFlFq5w.oBx�s�y�znm{s�w.r zFlB���3q:��s�w�zF��qJkZ�~m<}p���3q¢}{y��~mp��ª�¡uoF�.��w���q���w.���Jw�s�w�s���q5ln}p��y�y~m{w���s���q5lF�zF��q5��oBs�v�w3zFq5l�����zB��rGq5z�rGv�|J|���lnm��5q:�J�3x� ���|Jy.�(��w.�� %�.��w��J�BÀ��/�����/�L���~}{q:r%¥Z��w.�J¥G¥F�B�����~mprt�q:��zFv�lFq�sSt¨zF��q�����zB���.��r�w�s�z��.q5q5w�q5|Jy��.��r�m��5q:�ðm{wq:��ln}<m{q5lJ��s�lF�E�L��v�zJ� ��r�m{|Jy~}<mpo«m{z m{wlFq5|���lF��rJ|����3q��3x ��}p��oF���BÀ���� ����y ��Ä���� � 3 y�znm{s�w.r���m{zF� }{q:rFr�zF�.��wzF��lFq5q�|Js�w3zF�.r�zFs|���zFv�lnm{zGx�zFq5w.��zFs��.qJs���q5lFy�lnmpoBq:� !��3x�zF��qJ��}p��oF�3�G�3oF��sS}{q:r¦t�s�lF|�v~}p�3� ��w.���%s��3v�lFzF�.����w.� %s�v�lFzB���3s�w��BÀ��/.��3��yJÄ��3�%� �5��zF�0zF��q5�0|Js�w�q5x�� oBv�lFlFq5w.oBx� .s�y�znm{s�w.rZ��m{zF�î}{q:rFr%zF�.��w �������:x�rZzFs|���zFv�lnm{zGx���lFq"s���q5lFy�lnmpoBq:� !J�3x�zF��q¢m{l"|Js��3q¢}prB�B�

Â

Page 6: Accounting for Biases in Black-Scholes

� � � � ����� � ������'�������� � �����1ëm{��q�|���w3xJsSt£s�v�l y�lFq:�3q:oBq:rFrGs�lBr5�3��q�rGzFv.�3x�s�y�znm{s�w�y�lnmpoBq:r�m{w���lnmprG�3�0w�q5v�zFlB��}£��s�ln}p�E�����~mpr��rFrGv�|Jy�znm{s�w mpr(w�s�z¨m{w�w�s�oBv�s�v.r5�L��v�z�m{z���}<}{s��"r"v.r"zFs t�s�oBv.r"s�v�l(��zFzFq5w3znm{s�w�s�w�zF��qJ��mprGzFlnm{���v�znm{s�w�sSt�zF��q(v�w.�3q5ln}{x�m{w���rGy.s�z y�lnmpoBq��

����q �ulBrGz�q¢}{q5|Jq5w3z sSt£s�v�l t�lB��|Jq5��s�lF��mpr�zF��q(oBs�w.��m{znm{s�w.��}���mprGzFlnm{��v�znm{s�w�sSt8t�v�zFv�lFq(rGy.s�zq¢¡uoF�.��w���q�lB��zFq:r5������q�oBs�w.��m{znm{s�w.��}¨��mprGzFlnm{��v�znm{s�w�sSt zF��q�s�w�q5�0y.q5lnm{s���oF�.��w���q�m{w&zF��qî}{s����y�lnmpoBq�sSt�zF��q�rGy.s�z"lB��zFq�mpr(�3q5zFq5lF|�m{w�q:���3x�zF��q�y�lFs�y.q5lFznm{q:r"sSt m{w�q:§�v.��znm{s�w��BÀ��B� 3 ��q5l��y.q5lnm{s���r5�.zF��q�oF�.��w���q¦mpr

}{s���( !$#� & }{s���( !�� �5�� % "!$# 5& }{s���( !�� !$# % * ����

��m{zF��zF��q�s��3��m{s�v.r(�3q��uw~m{znm{s�w�sSt !$# % ������q5w ( !$#� & ( ! q¢¡~y8� !$# % � ��w.��zF��q�oBs�w.��m{znm{s�w.��}��mprGzFlnm{��v�znm{s�w�sSt ( !$#� �3q5y.q5w.��r"s�w�zF�.��z sSt !$# % �����q�rGq:oBs�w.�&q¢}{q5|Jq5w3z�mpr�zF��q�����}{v.��znm{s�w&sSt¨s�y�znm{s�w.r5� ����q�y�lnmpoBq�sSt���ªZv�lFs�y.q:��w�o5��}<}

s�y�znm{s�w�s�w���oBv�lFlFq5w.oBx���m{zF��rGzFlnm{��q(y�lnmpoBq�� mpr� !�&87�!���� !�� !$#� �1( !$#� ) ��� #�� * �+�3�

� ��q5lFq � !�� !$#� mpr ��|�v~}{znm{�0y.q5lnm{s���rGzFs�oF�.��rGznmpo"��mprFoBs�v�w3z�tT��oBzFs�l���w.� # � |���¡u�+� * �B�LkZv�zF�o5��}<}£y.��lnm{zGx�� ! !�& � !�� �#"%$�&('*) ) ( ! "%$�& Ê'*) * �+�3��Sm{��q:r�v.r zF��q(y�lnmpoBq

! ! sSt���y�v�z"��m{zF��zF��q�rF��|Jq"|���zFv�lnm{zGx+����w.��rGzFlnm{��q(y�lnmpoBq��&�����q�y�lnmpo«m{w��lFq¢}p��znm{s�w°�+�3�¦mpr�§�v~m{zFq���q5w�q5lB��}T� ��v�z }{q:�:��q:rJv.r���m{zF� zF��q���m 0 oBv~}{zGxsSt

��mprGq5w3zB��w��S}<m{w���zF��q"q¢��q:oBzBrZsSt � ��w.� (��L��q¨t�sS}<}{s�� zFlB����m{znm{s�w���w.��r�mp�3q:rGzFq5y�zF�~mpr�mprFrGv�q(�3x��rFrGv�|�m{w���zF�.��z�zF��q"zG��s���lFq¨m{w.�3q5y.q5w.�3q5w3z:�%� m{zF��zF�~mpr��BlnmprG�3�0w�q5v�zFlB��} !JrGzFlFv.oBzFv�lFq��3zF��q(o5��}<}y�lnmpoBq��3q5y.q5w.��r¨m{w��Jo«}{q:��l"� �:xJs�w�zF��q�oBs�w.��m{znm{s�w.��}���mprGzFlnm{��v�znm{s�w�sSt !$# % �� ! & "%$�&('*) 7�! �+( !$#� ) ��� #

& " $�&('*) -,#./ 02143�5 026 )87 �1( ! "49 ) ���;:8� �(< �* �"���

� ��q5lFq�: mpr zF��q�oBs�w.��m{znm{s�w.��} �3q5w.r�m{zGx�sSt !$# % ��w.��= ! mpr"zF��q�oBs�w3znm{w3v�s�v.r�}{x3��oBs�|Jy.s�v�w.�3q:��.�0y.q5lnm{s���x�m{q¢}p�E�.|Jq:��rGv�lFq:� m{w�zF��q�rF��|Jq(v�w~m{zBr"��r>�L�¥Tt�zF��q��.�0y.q5lnm{s����3q5y�lFq:o«mp��znm{s�w�lB��zFq !$# % mpr(oBs�w.��m{znm{s�w.��}<}{x�w�s�lF|���}T�.��m{zF�&�GrF�:x.�%|Jq:��w?� ��w.��rGzB��w.����lB���3q5��mp��znm{s�wA@ �:zF��q5w.( !$#� mprZoBs�w.��m{znm{s�w.��}<}{x�}{s����0w�s�lF|���}u��w.�(zF��q�rGsS}{v�znm{s�w

Ä

Page 7: Accounting for Biases in Black-Scholes

zFs��"����mpr"zF��q¦tT��|�m<}<mp��l(��}p��oF�3�G�3oF��sS}{q:r��BÀ�����Â3��t�s�lF|�v~}p���.��r"������y�zFq:��zFs�oBv�lFlFq5w.oBx�s�y�znm{s�w.r�3x��(��lF|���w���w.���"s��~}{�.����q5w��BÀ��/.�Â3�B�

� !�& ( ! " $�& Ê'*) �� �(<�� ) �#" $�&('*) �� �(< ) @ � * � .3�

� ��q5lFq < & }{s����1( !�� ��� ) �(=�� ! ) = ! �(� � @ 2 � Á@ * � �3�� mpr�zF��qJrGzB��w.����lB��w�s�lF|���} oBv�|�v~}p��znm{��q���mprGzFlnm{��v�znm{s�w t�v�w.oBznm{s�w8�Z��w.�#= � ! mpr(zF��q�t�s�lFq¢m{��w��oBv�lFlFq5w.oBx�x�m{q¢}p�E�%���~mpr�t�sS}<}{s��"r t�lFs�|©zF��q���lF�~m{zFlB����q�oBs�w.��m{znm{s�w��Tm{w3zFq5lFq:rGz y.��lnm{zGx.�B�

}{s�� 7�! ( !$#� ) }{s���( !�& �(= ! ) = � ! �(� * �BÀ �3�

m{|Jy~}{x�m{w�� ?� .& �(= ! ) = � ! �(� ) @ 2 � Á * �BÀ�À����w.�Jq5����}{v.��znm{s�w�sSt�zF��q�m{w3zFq5��lB��}��3q��uw�q:���3x��"���B���"q5zB��m<}pr���lFq y�lFs���mp�3q:��m{w�$"y�y.q5w.��m<¡ $��³À��

18��lF��q¢}{x t�s�l�|���zF��q5|���znmpo5��}�oBs�w3��q5w~m{q5w.oBq�����q�v.rGq�zF��q�����lnmp���~}{q#<&��rJ��|Jq:��rGv�lFq�sSt|Js�w�q5x3w�q:rFr�m{w }p��zFq5l"rGq:oBznm{s�w.r5�3��m{zF��< & �¦m{w.��mpo5��znm{w�����o5��}<}£s�y�znm{s�w���z�zF��q"|Js�w�q5x���<��m{w�zF��q%|Js�w�q5x�����w.� <�����s�v�zLsSt~zF��q%|Js�w�q5x������~mprLoF��sSmpoBq ��m<��q5lBr�t�lFs�|»rGzB��w.����lB�(y�lB��oBznmpoBq����v�z�zF��q���m<��q5lFq5w.oBq:r���lFq�rG|���}<}T� ����q���zF�0zF��q5�0|Js�w�q5x�rGzFlB������}{q:rJv.rGq:��zFs&oBs�w.rGzFlFv.oBzJzF��qm{|Jy~}<m{q:����sS}p��znm<}<m{znm{q:r�v.rGq:��m{w �L���~}{q"Á��St�s�lZq¢¡u��|Jy~}{q����3q��uw�q(��zF�0zF��q5�0|Js�w�q5x��3x�zF��q�t�s�lF� ��lB�lB��zFq�� � & ( ! " 3 &('*)�$�& Ê'*) 7 *m{|Jy~}{x�m{w���< & @ �� Á��%Ã�s�l"��w���w�w3v.��}£s�y�znm{s�w�s�w�zF��q��3q5v�zBrFoF��q5|���lF�E��<�mpr"��y�y�lFs�¡3m{|���zFq¢}{x��� �����5� �~mpoF��mprLznm{w3x(lFq¢}p��znm{��q�zFs zF��q%lB��w���q%sSt <"y~mpoBzFv�lFq:�¦m{wJãm{��v�lFq"À��LÃ�s�lZrG��s�lFzFq5l8s�y�znm{s�w.r5�zF��q�oF��sSmpoBq�sSt���zF�0zF��q5�0|Js�w�q5x+<�mpr q5��q5w�rG|���}<}{q5l:� � ��� ����� ����������� ��� ��� � �� � ���

��q�zFv�lFw�zFs"y�lnmpoBq:rZsStus�y�znm{s�w.rLsSt ��¡~q:��|���zFv�lnm{zGx(� ��q5w�}{s�����oF�.��w���q:r£m{wJzF��q rGy.s�zZq¢¡uoF�.��w���qlB��zFqJ��lFqJw�s�z(w�s�lF|���}T��¥�w&oBs�w3znm{w3v�s�v.r(znm{|Jq��Lw�s�w��0w�s�lF|���}<m{zGx mpr�|Js��3q¢}{q:����m{zF� � ��v�|Jy.r"!s�l �By.sSm{w3z�y�lFs�oBq:rFrGq:r5� ! ¥�w���mprFoBlFq5zFq�znm{|Jq��LzF��q�oBs�w.��m{znm{s�w.��}¨��mprGzFlnm{��v�znm{s�w�sSt�}{s�����oF�.��w���q:ro5��w��.q�rGy.q:o«m �uq:�&��m{lFq:oBzn}{x��Z��w.����q��.�:��q�rGs�|Jq uq¢¡3m{�~m<}<m{zGx�s���q5l�m{zBr¨t�s�lF|���$¤oBs�w3��q5w~m{q5w3zoF��sSmpoBq t�s�l�s�v�l�y�v�lFy.s3rGq:r¦mprJ���"lB��|J�G %�.��ln}<m{q5l�q¢¡~y.��w.r�m{s�w8��m{w�� �~mpoF���w�s�lF|���}��3q5w.r�m{zGxmpr"��v���|Jq5w3zFq:����m{zF��������m{znm{s�w.��}�zFq5lF|�r"o5��y�zFv�lnm{w���zF��q�q¢��q:oBzBr sSt�rG��q5� w�q:rFr"��w.���3v�lFzFs3r�mpr5�*�s���w.rGs�w8���"s�z"������w.������}p���3lnmprG��w.��w��BÀ��/��Ä.�5y�y�Á�����Â��3�E��w.���"sS}p��rFrF���BÀ��/��Ä.��oF�JÂ3�8�3q:rFoBlnm{�.qzF��q%v�w.�3q5ln}{x�m{w���rGzB��znmprGznmpo5��}~zF��q5s�lFx������~mprZ��y�y�lFs3��oF��� ��rëm{w3zFlFs��3v.oBq:��zFs �uw.��w.oBq��3x*���lFlFs��

Page 8: Accounting for Biases in Black-Scholes

��w.� ,�v.���&�BÀ��/.�Á3� ��w.���.��r(r�m{w.oBq��.q5q5w���y�y~}<m{q:���3x $"����q5w8����������w8�8��w.� , ��|���|�v�lFznm{q�BÀ��/���3�B���%lFq5w�w�q5l���w.� ªZs�| �BÀ��/�����B� �"w~m{���3z���w.���3��zBoF��q¢}<}��BÀ��/�����B� 1Es�w��3rGzB��� �BÀ��/���3�B���w.�8��������w ��w.�8� m<}{w�q��BÀ��/��Ä��B� 3 v�l���y�y~}<mpo5��znm{s�w»��m<��q5lBrît�lFs�| *���lFlFs�� ��w.� ,�v.��� � rm{w���y�y�lFs�¡3m{|���znm{w���zF��q�oBs�w.��m{znm{s�w.��}¨��mprGzFlnm{��v�znm{s�w�sSt�zF��q�}{s��3��lnm{zF��| sSt�zF��qJy�lnmpoBq�lB��zF��q5lzF�.��w�zF��q(y�lnmpoBq�m{zBrGq¢}<tn� ���~mpr lFq¢}p��znm{��q¢}{x�rGv���zn}{qJ��m<��q5lFq5w.oBq�}{q:����r zFs��Jy.��lFznmpoBv~}p��ln}{x�r�m{|Jy~}{qq¢¡~y�lFq:rFr�m{s�w t�s�l���sS}p��znm<}<m{zGx&rG|�m<}{q:r�m{w&zFq5lF|�r(sSt��~m{����q5l�|Js�|Jq5w3zBr(sSt�zF��q�}{s����0y�lnmpoBq�sSt�zF��qv�w.�3q5ln}{x�m{w��.�

$¿�"lB��|J�G %�.��ln}<m{q5l�q¢¡~y.��w.r�m{s�w���q5w�q5lB��zFq:r���w ��y�y�lFs�¡3m{|���zFq��3q5w.r�m{zGx t�v�w.oBznm{s�w t�s�l��rGzB��w.����lB��m��5q:��lB��w.�3s�| ����lnmp���~}{qJzF�.��z(��m<��q5lBr¨t�lFs�| zF��qJrGzB��w.����lB��w�s�lF|���}Lm{w��.�:��m{w���y.s��zFq5w3znmp��}<}{x�w�s�w �5q5lFs�rG��q5� w�q:rFr ��w.��q¢¡uoBq:rFr �3v�lFzFs3r�mpr5�Z¥�w�s�v�l"��y�y~}<mpo5��znm{s�w8�u}{q5z"zF��q �.�0y.q5lnm{s��}{s�����oF�.��w���q¦m{w�zF��q�rGy.s�z"lB��zFq !$# % � q:§�v.��znm{s�w���Ä�� E�.�:��q�oBs�w.��m{znm{s�w.��}�|Jq:��w ?� ��w.��rGzB��w������lB���3q5��mp��znm{s�w#@ �.��w.���3q��uw�q�zF��q�rGzB��w.����lB��m��5q:������lnmp���~}{q

� & !$# % )#?� @ / �BÀ:Á3�

$ �"lB��|J�G %�.��ln}<m{q5l q¢¡~y.��w.r�m{s�w��3q��uw�q:r"��w���y�y�lFs�¡3m{|���zFq��3q5w.r�m{zGx t�s�l � �3x

:8� � � &�� � � � ) �"%( ÀÂ���� � � � � � � �"2( ÀÄ���� � � � � � * �BÀ:Â3�

� ��q5lFq � � � � & �GÁL� $ %1012 q¢¡~yE� )�� 2 � Á3��mpr�zF��q(rGzB��w.����lB��w�s�lF|���}��3q5w.r�m{zGx���w.� � 5 �3q5w�s�zFq:rzF��q ��zF���3q5lnm{����znm{��q�sSt�� �.��z�t�sS}<}{s��"r5� ª%§�v.��znm{s�w��BÀ:Â3��mpr"zGx3y~mpo5��}<}{x���m{q5��q:����r"��w���y�y�lFs�¡~�m{|���znm{s�wzFs���w ��lF�~m{zFlB��lFx&�3q5w.r�m{zGx���m{zF�w�s�w �5q5lFs��~m{����q5l�|Js�|Jq5w3zBr5�Z��v�zît�s�l�|Js��3q5lB��zFq����}{v�q:r�sSt �"%( ��w.� �"2( m{z�mprJ� }{q5�Sm{znm{|���zFq��3q5w.r�m{zGx m{wðm{zBr�s�� w&lnm{���3z:��¥�wrGv.oF�o5��rGq:r¦m{zy�lFs���mp�3q:rJ��|Js�lFq�y.��lBr�m{|Js�w~m{s�v.r�lFq5y�lFq:rGq5w3zB��znm{s�w&sSt�����mprGzFlnm{��v�znm{s�w��m{zF�rG��q5� w�q:rFr���w.��3v�lFzFs3r�mpr"zF�.��w�zF��q�w�s�lF|���}£|�m<¡~zFv�lFq:r�m{|Jy~}<m{q:���3x ��v�|Jy�����m<��v.r�m{s�w.r5� ��s3rGz¨m{|Jy.s�lFzB��w3z(zFsv.r¨mpr"zF�.��z(�3q5y.��lFzFv�lFq:r�t�lFs�| w�s�lF|���}<m{zGx���lFqJo«}{s3rGq¢}{x�lFq¢}p��zFq:��zFs�|Jq:��rGv�lFq:r"sSt��~m{����q5l(|Js��|Jq5w3zBr5�

��s�|Jq(sSt�zF��q(y�lFs�y.q5lFznm{q:r sSt�zF��qJ�"lB��|J�G %�.��ln}<m{q5l q¢¡~y.��w.r�m{s�w :���lFq���y�y.��lFq5w3z�t�lFs�| m{zBroBv�|�v~}p��w3z ��q5w�q5lB��znm{w��ît�v�w.oBznm{s�w���zF��q�}{s��JsStLm{zBr�|Js�|Jq5w3z ��q5w�q5lB��znm{w���t�v�w.oBznm{s�wE�B�

� ����É � � & }{s�� 7 �("����Z�& � 2 � Á�� � �"%( � � � Â�� � �"2( � � � Ä�� / �BÀ5Ä��

¥�w � mpr8w�s�lF|���}T��zF�~mpr8y.s���q5lZrGq5lnm{q:r£mpr��5q5lFs���t�zFq5l8zF��q�§�v.���3lB��znmpoZzFq5lF|�������q �"lB��|J�G %�.��ln}<m{q5lq¢¡~y.��w.r�m{s�w�q¢¡~zFq5w.��r�zF��q�rGq5lnm{q:r�t�s�l�zG��s�������m{znm{s�w.��}�zFq5lF|�r5���Sm{w.oBq�zF��q��3q5lnm{����znm{��q:r�sSt ��3q��uw�q�zF��q�oBv�|�v~}p��w3zBr5��zF��q�oBs3q�0 o«m{q5w3zBr"��lFq

� 5 � ����É � �� � 5

����� � ��� & 465 /�

Page 9: Accounting for Biases in Black-Scholes

Ã�s�lJ��rGzB��w.����lB��m��5q:��lB��w.�3s�|¿����lnmp���~}{q�zF��q�rGzB��w.����lB���3q5��mp��znm{s�w mpr�s�w�q���rGs 4�� & �"%( ��w.� 4�� & �"2( ��zF��q�rGzB��w.����lB�îm{w.��mpo5��zFs�lBr sSt�rG��q5� w�q:rFr ��w.���3v�lFzFs3r�mpr5��$"w.��r�m{w.oBq mpr �}<m{w�q:��l�zFlB��w.r�}p��znm{s�w�sSt � �EzF��q:rGq�m{w.��mpo5��zFs�lBr(��y�y~}{x�zFs m{z:�EzFs3s.�(��q�}{q:�:��q�zF��q�|���zFv�lnm{zGx#�q¢¡~y~}<mpo«m{z�t�s�l�}p��zFq5l v.rGq��

��q�v.rGq�zF��q�lFq¢}p��znm{s�w&�.q5zG��q5q5w�zF��q��3q5w.r�m{zGx���w.� m{zBr(�~m{����q5l�|Js�|Jq5w3zBr"zFs��3q5lnm{��q�q¢¡~�y�lFq:rFr�m{s�w.r(lFq¢}p��znm{w�����o5��}<} s�y�znm{s�w�� r"y�lnmpoBq��£m{|Jy~}<m{q:�&��sS}p��znm<}<m{zGx��Z��w.� �5�3q¢}{zB�/!�zFs�zF��qJrF��|Jq|Js�|Jq5w3zBr5�% ���}<}£y�lnmpoBq:r"��lFq(�Sm{��q5w��3x

��È:¹��L¹E´:µ³¸:µ³¹8º��������� ������������������������ �! ����" �$#%���&� �����'(����)��*�#��#���!���� ,+����.-�����*���� ,��/�0�������!��#12� �� ��� ��34����15#�! ��76�8:9<;�=) ���*>��*��?��&��15���! ��@�BAC��*��$�:�D��E��#�!�%3�&���������4-����F���#�! ����46�G<9<;%6�HJI�9<;�#��4��*��4KL��#'"0��)*�#��15 ����%��MN�D#��� ��76�HJO�9QPR��#1�12� �� ������$ �@��*� ,������!�! ��3E#���E#��� ���JMJ �'(#�!��15�� !TS& ( ! "%$�& Ê'*) � �(<�� ) �#"%$�&('*) � �(< ) @ �

� ( ! "%$�& Ê'*) � �(<���@ VU �"%( Â�� �GÁ @ ) <�� ) �"2( Ä�� �BÀ ) < 2 �  <;@ )  @ 2 �XW * �BÀ �3�=Y*�������<% ,�"��XZ[�����-��%6�\N9QP

$ y�lFs3sSt�mpr��Sm{��q5w m{w $"y�y.q5w.��m<¡ $�� Á�� $(r���m{zF� s�v�l���y�y�lFs3��oF� zFs&zF��q���}p��oF�3�G�3oF��sS}{q:rt�s�lF|�v~}p���£m{zJlFq¢}<m{q:r�s�w��oBs�|��~m{w.��znm{s�w&sSt���w���lF�~m{zFlB����q�oBs�w.��m{znm{s�w ��w.��zF��q�y.��znm{q5w.oBq�zFsq5����}{v.��zFq(zF��q¨m{w3zFq5��lB��}£�3q��uw�q:���3x��"���B������q(��y�y�lFs�¡3m{|���znm{s�w�lFq¢t�q5lBr%zFs�s�v�l�q¢}<m{|�m{w.��znm{s�w�sStzFq5lF|�r m{w3��sS}{��m{w���y.s���q5lBr�zF��lFq5q���w.���~m{����q5l"sSt @ �3� �~mpoF����lFq(w�q5�S}<m{�Sm{�~}{q�m{w�y�lB��oBznmpoBq��

ª%§�v.��znm{s�w��BÀ �3�Lq¢¡~y�lFq:rFrGq:r zF��q�o5��}<}£y�lnmpoBq���r ��}p��oF�3�G�3oF��sS}{q:r y~}{v.r zFq5lF|�r m{w3��sS}{��m{w���zF��qrG��q5� w�q:rFr"� �"%( ����w.���3v�lFzFs3r�mpr"� �"2( �%sSt£zF��q�}{s��3��lnm{zF��|©sSt�zF��q(v�w.�3q5ln}{x�m{w���rGy.s�z q¢¡uoF�.��w���qlB��zFq�� �"v�lFzFs3r�mprî}{s���q5lBrJy�lnmpoBq:r�sSt���zF�0zF��q5�0|Js�w�q5x�s�y�znm{s�w.r��(< & �3��lFq¢}p��znm{��q�zFs���}p��oF�3��3oF��sS}{q:r5�%��v�zJlB��mprGq:r�y�lnmpoBq:rJsSt tT��l¦m{w�����w.�&s�v�zF�0sSt��0zF��q5�0|Js�w�q5x�s�y�znm{s�w.rJ��] <�]� À��B� ����qoBs�|��~m{w.��znm{s�w�rGzFq5|�r t�lFs�|¤zF��q(q¢��q:oBz sSt��3v�lFzFs3r�mpr�s�w�zF��q��3q5w.r�m{zGxE��m{z¨m{w.oBlFq:��rGq:r zF��q(y�lFs�������~m<}<m{znm{q:r(sSt��.s�zF��rG|���}<}���w.�î}p��lF��q�lFq:��}<m��:��znm{s�w.r5� Ã�s�l ��zF�0zF��q5�0|Js�w�q5x�s�y�znm{s�w.r5��zF��q¦t�s�lF|Jq5l�3s�|�m{w.��zFq:r5��}{q:����m{w��&zFs }{s���q5l�y�lnmpoBq:rJzF�.��w��}p��oF�3�G�3oF��sS}{q:r5�Ã�s�l�s�v�zF�0sSt��0zF��q5�0|Js�w�q5x&s�y��znm{s�w.r5�.zF��q�}p��zFzFq5l(�3s�|�m{w.��zFq:r(��w.��zF��q�y�lnmpoBq�q¢¡uoBq5q:��r¨m{zBr(��}p��oF�3�G�3oF��sS}{q:r(����}{v�q���ãm{��v�lFq�Âm<}<}{v.rGzFlB��zFq:r%zF��q ��m<��q5lFq5w.oBq:r%�.q5zG��q5q5w���}p��oF�3�G�3oF��sS}{q:r�o5��}<}uy�lnmpoBq:r ��zF��q rGsS}<mp��}<m{w�q��%��w.��zF��s3rGqsSt�kZlFs�y.s3r�m{znm{s�w�À(��m{zF��y.s3r�m{znm{��q�rG��q5� w�q:rFr"�G����rG��q:� }<m{w�q�� ��w.���3v�lFzFs3r�mpr"�G����rG�����3s�z }<m{w�q��B�����q"y~mpoBzFv�lFq¦mpr�|Js�lFq¨tT��|�m<}<mp��l¨m<t���q"zFlB��w.r�}p��zFq"zF��q(�~mp��r m{w3zFsJ��sS}p��znm<}<m{zGx�v�w~m{zBr5���"q��uw�q

m{|Jy~}<m{q:����sS}p��znm<}<m{zGx$^ ��r zF��q�����}{v�qJsSt @ zF�.��z"q:§�v.��zFq:r"zF��q���}p��oF�3�G�3oF��sS}{q:r¦t�s�lF|�v~}p��� .3�zFs�zF��q(s��.rGq5lF��q:�Jy�lnmpoBq��Sm{��q5w�����}{v�q:r sSt£zF��q(s�zF��q5l�y.��lB��|Jq5zFq5lBr5�L��q(lFq¢t�q5l zFs�zF��q"lFq¢}p��znm{s�w�.q5zG��q5q5w m{|Jy~}<m{q:����sS}p��znm<}<m{zGx���w.��|Js�w�q5x3w�q:rFr ��r%zF��q¨m{|Jy~}<m{q:����sS}p��znm<}<m{zGx�rG|�m<}{q��Z¥Tt�zF��q�o5��}<}y�lnmpoBq¦mpr�m{w tT��oBz ��q5w�q5lB��zFq:���3x��BÀ �3�B�3zF��q5w�zF��q�m{|Jy~}<m{q:����sS}p��znm<}<m{zGx�rG|�m<}{q¦mpr �Sm{��q5w��3x

Page 10: Accounting for Biases in Black-Scholes

��È:¹��L¹E´:µ³¸:µ³¹8º���� ��� ��*�� � �� ������BA #$��#1�1)��� �! ��4- ����*��%KL��#'"0��)*�#��15 ���� A����'(��15# 6�H��N9QP� *���.��*��E �' � 15 �����&��15#�! �15 ��!�(��'( �15�" ,�

^ �(<�� S& @ VU À ) �"%( Â�� < ) �"2(

Ä�� �BÀ ) < 2 �XW * �BÀ �3�

=) ���* <%��XZ[�����-��.6�\N9QP$»y�lFs3sStLmpr �Sm{��q5w m{w $"y�y.q5w.��m<¡ $�� Á��

$¨}{zF��s�v�����zF��q¦t�s�lF| sSt��BÀ �3��mpr"w�q5���ëm{zBr(oBs�w3zFq5w3z¨mpr"lFq5|�m{w~mprFoBq5w3z(sSt ��q5lFzFs�w�� r(�BÀ���� �����q:oBznm{s�w�Ä��Z��mprFoBv.rFr�m{s�w�sSt�zF��q"§�v.��}<m{zB��znm{��q¨t�q:��zFv�lFq:rZsSt���sS}p��znm<}<m{zGx�rG|�m<}{q:r�m{w ��v�|Jy�����m<��v.r�m{s�w|Js��3q¢}pr5�-����q�|Js3rGzJ��zFzFlB��oBznm{��q�t�q:��zFv�lFq�sSt¨s�v�l���q5lBr�m{s�wðmpr�m{zBrJr�m{|Jy~}<mpo«m{zGxE� m{zJq¢¡~y�lFq:rFrGq:rs�y�znm{s�w�y�lnmpoBqJ�~mp��rGq:r�m{w�zFq5lF|�r sSt zF��q���mp�3q¢}{x3�0v.rGq:� m{|Jy~}<m{q:�&��sS}p��znm<}<m{zGx���w.��lFq¢}p��zFq:r"zF��q5|zFs(�~m{����q5l�|Js�|Jq5w3zBr£m{wJzF��q"��mprGzFlnm{��v�znm{s�w�sSt�zF��q�v�w.�3q5ln}{x�m{w��.�%����q q:§�v.��znm{s�w�mpr���wJ��y�y�lFs�¡~�m{|���znm{s�w�t�s�l%rGq5��q5lB��}~lFq:��rGs�w.r5�8zF��q(�"lB��|J�G %�.��ln}<m{q5l%q¢¡~y.��w.r�m{s�w8�3�¨}<m{w�q:��l ��y�y�lFs�¡3m{|���znm{s�w�sSto5��}<}uy�lnmpoBq:r�m{wJzFq5lF|�r8sStë��sS}p��znm<}<m{zGx��3��w.��zF��q�q¢}<m{|�m{w.��znm{s�w�sStëzFq5lF|�r�m{w3��sS}{��m{w���y.s���q5lBrLsStuzG��s��w.���~m{����q5l�m{w�@ � 3 t�zF��q:rGq��3s�w~}{x�zF��q �ulBrGz ��w.��}p��rGz"rGq5q5|¤zFs��.�:��q"|�v.oF��q¢��q:oBz:�%ãm{��v�lFqÄ�oBs�|Jy.��lFq:rZzF��q ��sS}p��znm<}<m{zGx�rG|�m<}{q:r�m{|Jy~}<m{q:���3x�q¢¡uoBq:rFr%�3v�lFzFs3r�mprZv�w.�3q5l�s�v�l���y�y�lFs�¡3m{|���znm{s�w�BÀ �3� �G����rG��q:� }<m{w�q��"��w.��v�w.�3q5l���w�q¢¡u��oBz¨m{w3��q5lBr�m{s�w�sSt�zF��qJo5��}<}�y�lnmpoBq�t�s�lF|�v~}p���BÀ �3�B� Ã�s�l] <�] � À�/ �JzF��qJ��m<��q5lFq5w.oBq:r���lFq�rG|���}<}T�8��v�z¦t�s�l¨}p��lF��q5l(����}{v�q:r(zF��qJzFlFv�q�m{|Jy~}<m{q:����sS}p��znm<}<m{zGxmpr�rG|���}<}{q5l�zF�.��w�zF�.��z�m{|Jy~}<m{q:���3x�kZlFs�y.s3r�m{znm{s�w�Á���ãm{��v�lFq.� m<}<}{v.rGzFlB��zFq:r�zF��q���m<��q5lFq5w.oBq:rm{|Jy~}<m{q:�&�3x�q:§�v.��znm{s�w�BÀ �3� �.q5zG��q5q5w�y.s3r�m{znm{��q��3v�lFzFs3r�mpr��GrGsS}<mp� }<m{w�q�����w.�&��oBs�|��~m{w.��znm{s�wsSt y.s3r�m{znm{��qJ�3v�lFzFs3r�mpr(��w.��w�q5�3��znm{��qJrG��q5� w�q:rFr��G����rG��q:� }<m{w�q��(zF�.��z"|�m{|�mpo5r(zF��q���sS}p��znm<}<m{zGxrG|�m{lF��r ��w.��rG��q5�"r��3s�oBv�|Jq5w3zFq:� m{w�s�zF��q5l�|���lF��q5zBr5�

$(rJ��w�q¢¡u��|Jy~}{q�sSt���s��©q:§�v.��znm{s�w �BÀ �3��|�m{���3zJ�.q�v.rGq:�ðm{wy�lB��oBznmpoBq�� oBs�w.r�mp�3q5l�zF��q��sS}p��znm<}<m{zGx�rG|�m<}{q�t�s�l(s�w�q5�0|Js�w3zF���3q5v�zBrFoF��q5|���lF��s�y�znm{s�w.r(y~mpoBzFv�lFq:� m{w&ãm{��v�lFq�À��$ }{q:��rGzrF§�v.��lFq:r �uz8sStu� §�v.���3lB��znmpo£t�v�w.oBznm{s�w�zFs�zF��q�rG|�m<}{q�m{|Jy~}<m{q:rL|Js�|Jq5w3zBrEsSt @ & �"/ �/./��Á � À:Á %1012 ��"%( .& ) �"/³À �/.��.��w.� �"2( .& À�/ �/��À��%¥�w�zF�~mpr � �:x��.zF��q���sS}p��znm<}<m{zGx�rG|�m<}{q��Sm{��q:r"v.r q:rGznm{|���zFq:rsSt zF��q�zFlFv�qJ��sS}p��znm<}<m{zGx���w.���~m{����q5l�|Js�|Jq5w3zBr sSt zF��q�rGy.s�z(q¢¡uoF�.��w���q�lB��zFq�y�lFs�oBq:rFr5� *�v.rGz��r%zF��q(��}p��oF�3�G�3oF��sS}{q:r�t�s�lF|�v~}p��|����3q(��sS}p��znm<}<m{zGx���mpr�m{�~}{q¦t�lFs�|¤s�y�znm{s�w�y�lnmpoBq:r5�.kZlFs�y.s3r�m{znm{s�wÁ�|�����q:r�rG��q5� w�q:rFr"��w.���3v�lFzFs3r�mpr���mpr�m{�~}{q�t�lFs�|¤zF��q�rG�.��y.q�sSt���sS}p��znm<}<m{zGx�rG|�m<}{q:r5�

�%q¢t�s�lFq�zFv�lFw~m{w��(zFs(|���zFv�lnm{zGx(�~mp��r5����q�zB����q��(rG��s�lFzZ��m{��lFq:rFr�m{s�w�zFs(oBs�w.r�mp�3q5l%zF��q�q¢��q:oBzBrsSt�rG��q5� w�q:rFr ��w.���3v�lFzFs3r�mpr�s�w�zF��q��3q¢}{zB��sSt���w�s�y�znm{s�w8�

¯�¹EÈ:¹E±?±³².È:Æ���� *��(���15�!#V�BA ��*��VKL��#'"0��)*�#��15 �������#1�1D� �� ����V6�H��N9 ,�"4& Ê'*) �� �(<�� � � � !

� �1( ! " $�& Ê'*) �.

Page 11: Accounting for Biases in Black-Scholes

& � �(<�� ) �"%( Â�� � �(<��F�BÀ ) < 2 �  @ ) Á @ 2 �� �"2(

Ä�� � �(<�� �  <��BÀ � Á @ 2 � � Ä;< 2 @ ) < � ) Ä;@ ��  @ � * �BÀ ���

=) ���* <%��XZ[�����-��.6�\N9QP����q(y�lFs3sSt�oBs�w.r�mprGzBr sSt���m<��q5lFq5w3znmp��znm{w����BÀ �3�B�

����q��3q¢}{zB����}<m{��q�zF��q�o5��}<} y�lnmpoBq���w.� m{|Jy~}<m{q:����sS}p��znm<}<m{zGx���mpr�zF��q�oBs�w3��q5w3znm{s�w.��}���}p��oF�3��3oF��sS}{q:r(lFq:rGv~}{z � ��q5lFqA" $�& Ê'*) � �(<�� Ly~}{v.r�������m{znm{s�w.��} zFq5lF|�r¨m{w3��sS}{��m{w���rG��q5� w�q:rFr(��w.���3v�lF�zFs3r�mpr5� ª�¡u��|Jy~}{q:r���lFq�y~mpoBzFv�lFq:� m{w»Ã£m{��v�lFq ��� Ã�s�l���zF�0zF��q5�0|Js�w�q5xs�y�znm{s�w.r5� zF��q&�3q¢}{zB�r�m{|Jy~}<m �uq:r oBs�w.r�mp�3q5lB���~}{x�� ��q5zFznm{w���< & ����w.��q¢}<m{|�m{w.��znm{w��JzFq5lF|�r£m{w3��sS}{��m{w��Jy.s���q5lBrLsStëzG��s��w.���~m{����q5l"sSt @ �

� �+�3� S& "%$�& Ê'*) U � �+�3� ) ÀÂ�� � �+�3�F� �"%( �� �"2( @ �XW /

�Sm{w.oBq @ mprJ��q5w�q5lB��}<}{x�rG|���}<}T� �3v�lFzFs3r�mprJ�.��rî}<m{zFzn}{q�q¢��q:oBz�s�w zF��q��3q¢}{zB����z�zF��q�|Js�w�q5x���3q:rGy~m{zFqJ�.�:��m{w�����rGv��.rGzB��w3znmp��}�q¢��q:oBz(s�w�zF��q�y�lnmpoBq��J����q5� w�q:rFr5�Es�w�zF��q�s�zF��q5l(�.��w.�E�E�.��r}<m{zFzn}{q�q¢��q:oBz s�w�zF��q���zF�0zF��q5�0|Js�w�q5x�y�lnmpoBq��.��v�z"o5��w��.�:��q(�Jr�m��:���~}{q�q¢��q:oBz s�w�zF��q��3q¢}{zB���

ª%§�v.��znm{s�w�BÀ ���¨mprJ��lFq5|�m{w.�3q5lJzF�.��z�zF��q �ulBrGzF�0s�lB�3q5l���y�y�lFs�¡3m{|���znm{s�w.r�sSt�zFq5w&v.rGq:� m{w��q:�3�Sm{w��&��w.�&lnmprG�&|���w.����q5|Jq5w3z�sSt¨s�y�znm{s�w.r�o5��w��m<��q5l�rGv��.rGzB��w3znmp��}<}{x t�lFs�|¿zF��q���}p��oF�3��3oF��sS}{q:r%�.q5w.oF��|���lF�J� ��q5w�zF��q¨}{s����0y�lnmpoBq(sSt�zF��q v�w.�3q5ln}{x�m{w���q¢¡~�~m{�~m{zBr rG��q5� w�q:rFrZs�l%�3v�lFzFs��r�mpr5�%��q(��m<}<}�rGq5q�rG��s�lFzn}{x�zF�.��z"rG��q5� w�q:rFr ��w.���3v�lFzFs3r�mpr ��lFq(|Js3rGz q5��mp�3q5w3z¨m{w�rG��s�lFzF������zFq:�s�y�znm{s�w.r5��� ��q5lFq(zF��q���m 0 oBv~}{znm{q:r"sSt���q:�3�Sm{w�����lFq(��mp�3q¢}{x�zF��s�v����3z�zFsJ�.q�|Js3rGz rGq5��q5lFq��

� ��� ��� � �'� �"��� � � ��� � ����� ����� �4� �%�������

kZlFs�y.s3r�m{znm{s�w.r À���w.�JÁ �.��rGq"��y�y�lFs�¡3m{|���znm{s�w.rLsStëo5��}<}uy�lnmpoBq:r���w.�¦m{|Jy~}<m{q:�J��sS}p��znm<}<m{zGxJrG|�m<}{q:r5�lFq:rGy.q:oBznm{��q¢}{x���s�w����"lB��|J�G %�.��ln}<m{q5l���y�y�lFs�¡3m{|���znm{s�w&zFs�zF��q�oBs�w.��m{znm{s�w.��}��3q5w.r�m{zGx&sSt¨zF��q}{s����0y�lnmpoBq�sSt�zF��q�v�w.�3q5ln}{x�m{w��.�"¥�w�zF�~mpr(rGq:oBznm{s�w8�.��q�q¢¡u��|�m{w�q�zF��q���o5oBv�lB��oBx�sSt�zF��qJ�"lB��|J� %�.��ln}<m{q5l���y�y�lFs�¡3m{|���znm{s�w�zFsJzF��q�rG|�m<}{q��Eq:§�v.��znm{s�w&�BÀ �3�%sSt�kZlFs�y.s3r�m{znm{s�w�Á���� ��q5w�zF��q���mprG�zFlnm{��v�znm{s�w mprJ��q5w�q5lB��zFq:�&�3x� ��v�|Jy�����m<��v.r�m{s�w»�+��q5lFzFs�w À���� �3�B� ���~mpr���mprGzFlnm{��v�znm{s�w �.��rrGs�|Jq�rGv�y�y.s�lFz�m{w�zF��q�q5|Jy~m{lnmpo5��} }<m{zFq5lB��zFv�lFq�� $"�3�Sm{lB�:x&��w.�&�%s3s�zF� À��/./.���t�s�l�q¢¡u��|Jy~}{q��B���w.� mpr�o5��y.���~}{q�sSt ��q5w�q5lB��znm{w�������mp�3q�lB��w���q�sSt�w�s�w��0w�s�lF|���}��.q5�.�:��m{s�l:�J��q�rG��s��°zF�.��z��m{zF��� �.��z���q"lFq5�3��lB�J��r%lFq:��rGs�w.���~}{q"y.��lB��|Jq5zFq5l%����}{v�q:r5�.�~m{����q5l�|Js�|Jq5w3zBr�m{w~t�q5lFlFq:�ît�lFs�|s�y�znm{s�w y�lnmpoBq:r�v.r�m{w����BÀ �3�J��lFq�r�m{|�m<}p��l�zFs�zF��q�zFlFv�q�|Js�|Jq5w3zBrJsSt¦zF��q�y�lFs�oBq:rFr t�s�l�zF��qv�w.�3q5ln}{x�m{w��.�����~mpr��3s3q:r"w�s�z�oBs�w.rGznm{zFv�zFq�����q5w�q5lB��}�q5w.�3s�lBrGq5|Jq5w3z(sSt zF��q��"lB��|J�G %�.��ln}<m{q5l

Page 12: Accounting for Biases in Black-Scholes

��y�y�lFs�¡3m{|���znm{s�w8����v�zL�Sm{��q:r8v.rLrGs�|Jq%lFq:��rGs�w�zFs �.q¢}<m{q5��q"zF�.��z8q:rGznm{|���zFq:r8sStu�~m{����q5lZ|Js�|Jq5w3zBrt�lFs�|¤s�y�znm{s�w�y�lnmpoBq:r"��lFq(v.rGq¢t�v~}8m{w.��mpo5��zFs�lBr sSt�zF��q�rF��|Jq(y�lFs�y.q5lFznm{q:r sSt�zF��q(v�w.�3q5ln}{x�m{w��.�

����q ��v�|Jy�����m<��v.r�m{s�w�y�lFs�oBq:rFr"�3q��uw�q:r"zF��q��3q5w.r�m{zGx�sSt�zF��q��.�0y.q5lnm{s�� }{s����0y�lnmpoBqJoF�.��w���q��r �JoBs�v�w3zB���~}{q(|�m<¡~zFv�lFq�sSt�w�s�lF|���}pr5�

:8� � & .�5������ 5 � � É���� � ��� % *�� 2� � � � 2% � * �BÀ�.3�

� ��q5lFq�5 & " $�� '�� 5 � � �«mprEzF��q ��y.sSmprFrGs�wE�.y�lFs��.���~m<}<m{zGx(sSt� ��v�|Jy.r5� � mpr8zF��q ��v�|Jy�m{w3zFq5w.r�m{zGx

��zF��q�q¢¡~y.q:oBzFq:��w3v�|��.q5l�sSt���v�|Jy.r�m{w �&y.q5lnm{s���rB�B�Z���� *�� 2� �"��lFqJzF��q�|Jq:��w&��w.��rGzB��w.����lB��3q5��mp��znm{s�w�sSt�zF��q"��m<��v.r�m{s�w8�.�� % *�� 2% �L��lFq zF��q |Jq:��w���w.�JrGzB��w.����lB�J�3q5��mp��znm{s�w�sStëzF��q���v�|Jy8���w.� � � É ?�* @ 2 � & �GÁ�@ 2 � $ %1012 q¢¡~y � ) � .) ? � 2 � Á @ 2 ������q ��v�|Jy�����m<��v.r�m{s�w��3q5w.r�m{zGx��BÀ�.3�q¢¡~�~m{�~m{zBr ��lFq:��zFq5l%�3v�lFzFs3r�mpr%zF�.��w�zF��q(w�s�lF|���}���w.�E��m<t� % mpr�w�s�w �5q5lFs.�3w�s�w �5q5lFsJrG��q5� w�q:rFr���r��q¢}<}T�%����q �ulBrGz�t�s�v�l"oBv�|�v~}p��w3zBr ��lFq

4 % & ��� � � � 4 2 & � 2� � � � � 2% � � 2% �4�� & � �� �% � �� %�� 2% �4�� & � �G � �% � ��� 2% � 2% � � �% �/

¥Tt � %'& ����rG��q5� w�q:rFr�mpr �5q5lFs���w.���3v�lFzFs3r�mpr �3q5y.q5w.��r"s�w�zF��q�m{w3zFq5w.r�m{zGx�� � ����w.������lnmp��w.oBq� � 2% �%sSt���v�|Jy.r5�Z� ��q5w�� %��& ���~m{zBr r�m{��w�o5��lFlnm{q:r�s���q5l zFs�zF��q�zF�~m{lB��oBv�|�v~}p��w3z:�

���~mpr��3q5y.��lFzFv�lFq�t�lFs�| w�s�lF|���}<m{zGx�lFq:rGv~}{zBr�m{w�s�y�znm{s�w�y�lnmpoBq:r�zF�.��z���m<��q5l�t�lFs�| ��}p��oF�3��3oF��sS}{q:r5�%����q(y�lnmpoBq�sSt��JªZv�lFs�y.q:��w�o5��}<}£��m{zF��rGzFlnm{��q(y�lnmpoBq�� mpr

� ! & " $�&() .�5������ 5�� 5 * �BÀ��3�

� ��q5lFq� 5 & ( ! " 3���� # 5 �� 7 # 3����� # 5 ���� 7 012 � �(< 5¢� ) � � �(< 5 ) � � 2� � � � 2% %1012 �< 5 &

}{s��.�1( ! � ��� � ���� � ��� % � � � � 2� � � � 2% �� � 2� � � � 2% � %1012 /

����q�lFq:rGv~}{z t�sS}<}{s��"rît�lFs�|�lFq5y.q:��zFq:����y�y~}<mpo5��znm{s�w»sSt¦q:§�v.��znm{s�w°�GÂ��3��m{w $"y�y.q5w.��m<¡ $��³À���Sm{|�m<}p��l�t�s�lF|�v~}p��rL��lFq�lFq5y.s�lFzFq:���3x�����zFq:r%�BÀ��/�����8�:q:§�v.��znm{s�w �3�B� *���lFlFs�����w.��,�v.�����BÀ��/.�Á��q:§�v.��znm{s�w&À ���B����w.� ��q5lFzFs�w��BÀ���� ���3q:§�v.��znm{s�w�À�.3�

�L���~}{q&Â�rGv�|J|���lnm��5q:r�zF��q&��o5oBv�lB��oBxsStî�"lB��|J�G %�.��ln}<m{q5lF�0�.��rGq:����y�y�lFs�¡3m{|���znm{s�w.r�zFsrG��q5� w�q:rFr(��w.���3v�lFzFs3r�mpr¨m{w�zF��q ��v�|Jy�����m<��v.r�m{s�w�|Js��3q¢}T��Ã�s�l(������lnm{q5zGx�sSt�oF��sSmpoBq:r"sSt y.���lB��|Jq5zFq5l%����}{v�q:r5�3��q"oBs�|Jy�v�zFq(o5��}<}ëy�lnmpoBq:r t�s�l%zF��q���v�|Jy�����m<��v.r�m{s�w�|Js��3q¢} � q:§�v.��znm{s�w��BÀ��3� ��

À �

Page 13: Accounting for Biases in Black-Scholes

m{|Jy~}<m{q:����sS}p��znm<}<m{znm{q:r � m{w3��q5lFznm{w���� .3� �����w.���"lB��|J�G %�.��ln}<m{q5l"q:rGznm{|���zFq:r�sSt��~m{����q5l(|Js�|Jq5w3zBr� � }{q:��rGz�rF§�v.��lFq:r �uzJsSt�q:§�v.��znm{s�w��BÀ �3� ��&¥�w q:��oF�o5��rGq���zF��q�|Js�w�q5x3w�q:rFrJ��q:oBzFs�l <&oBs�lF�lFq:rGy.s�w.��r�zFs � �(<�� & �"/³À * �"/ Á * / / / * �"/ ��� ����q ��v�|Jy���m{w3zFq5w.r�m{zGxy.��lB��|Jq5zFq5lîmpr�oF��s3rGq5w zFsoBs�lFlFq:rGy.s�w.�&zFs�q:rGznm{|���zFq:r¦m{w�zF��qî}<m{zFq5lB��zFv�lFq�� 3 zF��q5l�y.��lB��|Jq5zFq5lBr���lFq�oF��s3rGq5w�zFs�lFq5y�lFs���3v.oBq�y~}p��v.r�m{�~}{qJ����}{v�q:r sSt��3s�|Jq:rGznmpo���w.�ît�s�lFq¢m{��w m{w3zFq5lFq:rGz"lB��zFq:r5�3zF��q�rGzB��w.����lB���3q5��mp��znm{s�w�+4 2 � %1012 �8rG��q5� w�q:rFr �"% �8��w.���3v�lFzFs3r�mpr �"2 ���¨m{��q5w m{w3zFq5lFq:rGz(lB��zFq:r5�.zF��q�w�s�w�����v�|Jy�|Jq:��w ���mpr"��� ��v.rGzFq:��zFsJs��.q5x

�(= ! ) = �! �(� & ��� � � 2� � Á � � � " �� # � �� 012 ) À�� *��w���y�y~}<mpo5��znm{s�w�sSt£zF��q(��lF�~m{zFlB����q(oBs�w.��m{znm{s�w��BÀ �3�B� 3 v�l��.q5w.oF��|���lF������}{v�q:r"��lFq�= !�& = �! &���@ & �+4 2 � %1012 & �"/³À��G��w�w3v.��}<m��5q:�.�B� �"% & ���%��w.� �"2 & À���ª%rGznm{|���zFq:r�sSt¨zF��q ��v�|Jy��m{w3zFq5w.r�m{zGx y.��lB��|Jq5zFq5l���lFq�lFq5y.s�lFzFq:� �3x $"�3�Sm{lB�:x���w.���%s3s�zF�»�BÀ��/./.����L���~}{q�Á3�B�"����zFq:r�BÀ��/���������L���~}{q�Á3�B�L��w.� *�s�lnm{s�w��BÀ��/./.����L���~}{q�Â3�B��$"w�w3v.��}<m��5q:�&����}{v�q:r�lB��w���qJ�.q5zG��q5q5wÀ��w.� �����E��m{zF�&��|Jq:��mp��w�sSt����.s�v�zJÀ ��� ��v.rGz"v�w.�3q5l�s�w�q ��v�|Jy�y.q5l�|Js�w3zF�8�Es�w��:��q5lB����q��B�� �~mpoF����q(v.rGq���r%s�v�l"rGzB��lFznm{w��Jy.sSm{w3z:�

� m{zF�J�.q5w.oF��|���lF��y.��lB��|Jq5zFq5lZ����}{v�q:r �GkZ��w�q¢} $��B��zF��q(�"lB��|J�G %�.��ln}<m{q5l���y�y�lFs�¡3m{|���znm{s�wsSt�zF��q(��sS}p��znm<}<m{zGx�rG|�m<}{q¦m{|Jy~}<m{q:r�rG��q5� w�q:rFr ��w.���3v�lFzFs3r�mpr�q:rGznm{|���zFq:r%sSt ) �"/ ��������w.� �"/ ./�/.���%s�zF�(����}{v�q:rZ��lFq�o«}{s3rGq%zFs zF��qZ|Js�|Jq5w3zBrEsStuzF��q ��v�|Jy���mprGzFlnm{��v�znm{s�w��+� ��w.�JÀ��:lFq:rGy.q:oBznm{��q¢}{x.�B�¥�w�zF�.��z�rGq5w.rGq��"zF��q5x rGv�����q:rGz�zF�.��z�kZlFs�y.s3r�m{znm{s�w»Á mpr��&y.��rFrF���~}{q���y�y�lFs�¡3m{|���znm{s�w8�°¥�wtT��oBz:��rGs�|Jq"sSt£zF��q(q5lFlFs�l oBs�|Jq:r�w�s�z t�lFs�|¤zF��q��"lB��|J�G %�.��ln}<m{q5l"��y�y�lFs�¡3m{|���znm{s�w8�3��v�z�t�lFs�|zF��q�������m{znm{s�w.��}���y�y�lFs�¡3m{|���znm{s�w.r(|����3q�m{w&|Js���m{w�� t�lFs�| kZlFs�y.s3r�m{znm{s�w À�zFs�kZlFs�y.s3r�m{znm{s�wÁ��-$ }{q:��rGz�rF§�v.��lFq:r �uz�sSt¨zF��q�|Js�lFq���o5oBv�lB��zFq�q:§�v.��znm{s�w �BÀ �3�(��q5w�q5lB��zFq:r�q:rGznm{|���zFq:r�sSt� �"% *��"2 � & � ) �"/ ��À: * �"/ ��À����B�

¥�wJzF��q lFq5|���m{w~m{w��Jy.��w�q¢}pr%sSt �L���~}{q(Â�����q q¢¡u��|�m{w�q"zF��q"rGq5w.r�m{znm{��m{zGxJsSt�zF��q:rGq q:rGznm{|���zFq:rzFs�zF��q�oF��sSmpoBq�sSt�y.��lB��|Jq5zFq5lBr5��¥�w�kZ��w�q¢}��"�8��q�oBs�w.r�mp�3q5l���m<��q5lFq5w3z�����}{v�q:r�sSt���v�|Jy m{w��zFq5w.r�m{zGx���� m{zF� }p��lF��q5l�����}{v�q:r5�ZzF��q���y�y�lFs�¡3m{|���znm{s�w���q5zBr(�.q5zFzFq5l�����m{zF� � & À ��� �"2 lnmprGq:rzFs�À�� ��Ä �3�B�.��v�z���m{zF�&rG|���}<}{q5l�����}{v�q:r¦m{z���q5zBr"��s�lBrGq�� �"2 & �"/ �:Ä�.J� ��q5w � & �3�B���%��}{v�q:r���.s���q�À ����lFq¦m{w.oBs�|Jy.��znm{�~}{q���m{zF� �"2�& À����%��}{v�q:r(�.q¢}{s�� ��m{|Jy~}{x }p��lF��q5l:�ë}{q:rFr¨t�lFq:§�v�q5w3z��v�|Jy.r5�"��w.��zF��q&�"lB��|J�G %�.��ln}<m{q5l�q:rGznm{|���zFq:rJsSt¦�3v�lFzFs3r�mpr���lFq���q¢}<}��.q¢}{s�� zF��s3rGq�sSt¦zF��q��v�|Jy�����m<��v.r�m{s�w�|Js��3q¢}T�

¥�w�kZ��w�q¢}� "�%��q�q¢¡u��|�m{w�q���sS}p��znm<}<m{zGx�� � q¢m{zF��q5l�rG|���}<}{q5l�w�s�lî}p��lF��q5l�����}{v�q:r��.��r���w��y�y�lFq:o«mp���~}{q�q¢��q:oBzJs�wq:rGznm{|���zFq:r�sSt��~m{����q5l�|Js�|Jq5w3zBr5�&¥�w kZ��w�q¢} ���Z��q�q¢¡u��|�m{w�q�s�y��znm{s�w.r ��m{zF� }{s�w���q5l |���zFv�lnm{znm{q:r5� ����lFq5q5�0|Js�w3zF��s�y�znm{s�w.r"��}<}{s��»|Js�lFq(znm{|Jq�t�s�l���v�|Jy.r5�E��w.�zF��q5lFq¢t�s�lFq lFq:§�v~m{lFq(��lFq:��zFq5l ��v�|Jy�����lnmp��w.oBq � 2% zFs���q5w�q5lB��zFq zF��q(rF��|Jq"��|Js�v�w3z%sSt��3v�lFzFs3r�mpr5�����q�lFq:rGv~}{zîmpr��&r�}<m{���3z�s���q5lFq:rGznm{|���zFq�sSt��3v�lFzFs3r�mpr5� Ã�s�lJzF��q�r�m<¡~�0|Js�w3zF�s�y�znm{s�w��q�rGq5z�"2 & �"/ ����zF��q�|Js��3q¢}Zmpr�m{w.o5��y.���~}{q�sSt�lFq5y�lFs��3v.o«m{w�� �"2 & À���m{zF��zF��q��.q5w.oF��|���lF������}{v�q

À�À

Page 14: Accounting for Biases in Black-Scholes

sSt � �B�%����qJ�"lB��|J�G %�.��ln}<m{q5l"q:rGznm{|���zFq¦mpr���� ��Ä ���%¥�w���}<}�sSt�zF��q:rGq�q¢¡u��|Jy~}{q:r5�EzF��q�q5lFlFs�lBr m{w�"lB��|J�G %�.��ln}<m{q5l q:rGznm{|���zFq:r�sSt�rG��q5� w�q:rFr ��w.���3v�lFzFs3r�mpr ��lFq�rG|���}<}T�

kZ��w�q¢}¨ª rGv�����q:rGzBr�zF�.��z�zF��q���o5oBv�lB��oBx&sSt¨zF��q���y�y�lFs�¡3m{|���znm{s�woF�.��w���q:r�}<m{zFzn}{q�� ��q5w��q�����lFx�zF��qJ��|Js�v�w3z"sSt��3v�lFzFs3r�mpr5������q5� w�q:rFr5�E��s���q5��q5l:��y.s3rGq:r(rGs�|JqJ��m 0 oBv~}{znm{q:rJ�GkZ��w�q¢}Ã%�B������q��"lB��|J�G %�.��ln}<m{q5l���y�y�lFs�¡3m{|���znm{s�w�rGx�rGzFq5|�mpo5��}<}{x&v�w.�3q5lFq:rGznm{|���zFq:r�zF��q��G���.rGsS}{v�zFq����|Js�v�w3zJsSt¦rG��q5� w�q:rFr5����w.� t�s�l�}p��lF��q5lJ����}{v�q:r�v�w.�3q5lFq:rGznm{|���zFq:rJ�3v�lFzFs3r�mprJ��r���q¢}<}T� ���~mpr��m 0 oBv~}{zGx��~m{���~}<m{���3zBr�����m<��q5lFq5w.oBq��.q5zG��q5q5w�zF��q��"lB��|J�G %�.��ln}<m{q5l���w.� ��v�|Jy�|Js��3q¢}pr5��¥�wzF��q��"lB��|J�G %�.��ln}<m{q5l(��y�y�lFs�¡3m{|���znm{s�w8�ErG��q5� w�q:rFr"�.��r(�G��y�y�lFs�¡3m{|���zFq¢}{x.� ��}<m{w�q:��l�q¢��q:oBz"s�wm{|Jy~}<m{q:���sS}p��znm<}<m{zGx���¥�w�zF��q ��v�|Jy�����m<��v.r�m{s�w|Js��3q¢}T��rG��q5� w�q:rFr���}{s�w�q�y�lFs��3v.oBq:rJoBs�w.o5�:��q��sS}p��znm<}<m{zGx�rG|�m<}{q:r5� ����q"��y�y�lFs�¡3m{|���znm{s�wJzF��q5lFq¢t�s�lFq lFq:�3v.oBq:r�m{zBrZq:rGznm{|���zFq sSt �"2 zFs�oBs�|Jy.q5w��rF��zFq��

¥�w�rG��s�lFz:��zF��q(�"lB��|J�G %�.��ln}<m{q5l ��y�y�lFs�¡3m{|���znm{s�wJ��s�lF��rL��q¢}<}.m{w�rGs�|Jq"o5��rGq:r5�S}{q:rFr%��q¢}<}.m{ws�zF��q5lBr5� 3 zF��q5lBr%��q5lFq(lFq¢t�q5lBr%zFs�q¢¡u��|Jy~}{q:r���m{zF� }{s�� ��v�|Jyîm{w3zFq5w.r�m{zGx�s�l rGv��.rGzB��w3znmp��}�rG��q5� �w�q:rFr5�L¥�w�s�v�lLs�y~m{w~m{s�w8��zF��q���y�y�lFs�¡3m{|���znm{s�w¦mprLlFq:��rGs�w.���~}{x(��s3s���m{w�zF��q%lB��w���q%sStuy.��lB��|Jq5zFq5l����}{v�q:r�m{w.��mpo5��zFq:���3x�oBv�lFlFq5w.oBx�����zB���3��v�z¨}{s��Smpo�rGzFlFs�w��S}{x�rGv�����q:rGzBr�zF�.��z�zF��q5lFq�o5��w��.q�w�s��q5w�q5lB��}��3q¢t�q5w.rGq�sSt�zF��q���y�y�lFs�¡3m{|���znm{s�w8� ����q��"lB��|J�G %�.��ln}<m{q5l�q¢¡~y.��w.r�m{s�w ��lnmprGq:r�t�lFs�|� �L�:x�}{s�l�rGq5lnm{q:r���y�y�lFs�¡3m{|���znm{s�w�zFs�zF��q�oBv�|�v~}p��w3z���q5w�q5lB��znm{w�� t�v�w.oBznm{s�w8�Z��w.��q¢¡u��|Jy~}{q:r��lFq�oBs�|J|Js�w�y~}p��oBq�sStZt�v�w.oBznm{s�w.r¨t�s�l"� �~mpoF����rG��s�lFz��L�:x�}{s�l(rGq5lnm{q:r¨mpr(��w�q¢¡~zFlFq5|Jq¢}{x�y.s3s�l��y�y�lFs�¡3m{|���znm{s�w8��Ã�s�l�r�m{|�m<}p��l�lFq:��rGs�w.r5�8zF��q5lFqJ|�v.rGz�oBq5lFzB��m{w~}{x�q¢¡3mprGz�q¢¡u��|Jy~}{q:r¦m{w&� �~mpoF��"lB��|J�G %�.��ln}<m{q5l"��y�y�lFs�¡3m{|���znm{s�w.r%zFsJo5��}<}�y�lnmpoBq:r"��lFq"y.s3s�l:�Z� ��q5zF��q5l�zF��q:rGq(q¢¡u��|Jy~}{q:r ��lFqlFq:��}<mprGznmpo�mpr�m{|Jy.s3rFr�m{�~}{q�zFs�rF�:x���m{zF��s�v�z��3w�s���m{w���� �.��z(zF��q5x���lFq�����qJzB����qJrGs�|JqJoBs�|J�t�s�lFz:����s���q5��q5l:��m{w�zF��q����~m<}<m{zGx�sSt£zF��q"|Js��3q¢}£zFsJ��y�y�lFs�¡3m{|���zFq"q:rGznm{|���zFq:r%sSt£�3v�lFzFs3r�mpr t�lFs�|��v�|Jy�����m<��v.r�m{s�w.r"� ��q5w�y~}p��v.r�m{�~}{qJy.��lB��|Jq5zFq5l�����}{v�q:r(��lFq(v.rGq:�E�

� � ��� ����� ����������� �%�������"��� � ��� �

����q�rGq:oBs�w.���~mp��r oBs�w.oBq5lFw.r |���zFv�lnm{zGxE�%�:��q5lB����q(��zF�0zF��q5�0|Js�w�q5xîm{|Jy~}<m{q:����sS}p��znm<}<m{zGx mpr zGx3y��mpo5��}<}{x�rG|���}<}{q5l���z"rG��s�lFz"|���zFv�lnm{znm{q:r zF�.��w }{s�w���s�w�q:r(� �L���~}{q�Á���w.��ãm{��v�lFq�Á3�B� �8s�rGzFv.�3xzF�~mpr�mprFrGv�q��E��q(|�v.rGz"rGy.q:o«m<t�x��JrGzFs�oF�.��rGznmpo(y�lFs�oBq:rFr�t�s�l�}{s����0y�lnmpoBqJoF�.��w���q:r5���J�3q:rFoBlnm{y�znm{s�wsSt zF��qJoBs�w.��m{znm{s�w.��}���mprGzFlnm{��v�znm{s�w&sSt y�lnmpoBq�oF�.��w���q:r(s���q5l"y.q5lnm{s���r�sSt ��lF�~m{zFlB��lFx }{q5w���zF� �L���q"oBs�w.r�mp�3q5l%zG��s(rGv.oF�Jy�lFs�oBq:rFrGq:r5�Z¥�wJzF�~mpr%rGq:oBznm{s�w8����q�q¢¡u��|�m{w�q¨m<mp��m{w�w�s�����znm{s�w.r5� ����q m<mp�rGzFlFv.oBzFv�lFq�mpr"w�s�z lFq:��}<mprGznmpo��E��v�z(��}<}{s��"r"��w�q:rGy.q:o«mp��}<}{x&r�m{|Jy~}{qJoF�.��lB��oBzFq5lnm��:��znm{s�w�sSt�zF��q�q¢t��t�q:oBzBr%sSt�|���zFv�lnm{zGx��L¥�w�zF��q"w�q¢¡~z rGq:oBznm{s�w8����q q¢¡~y~}{s�lFq(zF��q"y.s3rFr�m{�~m<}<m{zGx�sSt�znm{|Jq5���3q5y.q5w.�3q5w.oBqm{w.�3v.oBq:���3x�rGzFs�oF�.��rGznmpoZ��sS}p��znm<}<m{zGx��L¥�w��.s�zF��o5��rGq:r5���3q5y.��lFzFv�lFq:r�t�lFs�|�w�s�lF|���}<m{zGx���w.����}p��oF�3��3oF��sS}{q:r"��s�zFs��5q5lFs���m{zF��|���zFv�lnm{zGx��(�Sm{w.oBqJ�3v�lFzFs3r�mpr�}{s���q5lBr"��zF�0zF��q5�0|Js�w�q5x���sS}p��znm<}<m{zGx��E��q�.�:��q���y.s�zFq5w3znmp��}£q¢¡~y~}p��w.��znm{s�w t�s�l�zF��q�|���zFv�lnm{zGxJ�~mp��r5�

À:Á

Page 15: Accounting for Biases in Black-Scholes

��v�y�y.s3rGq��.zF��q5w8�.zF�.��z��.�0y.q5lnm{s�� }{s�����oF�.��w���q:r�m{w�zF��q�q¢¡uoF�.��w���q�lB��zFq���lFq�oBs�|Jy.s3rGq:��sStm<mp��s�w�q5�0y.q5lnm{s���oBs�|Jy.s�w�q5w3zBr(��m{zF� �uw~m{zFq�|Js�|Jq5w3zBr"sSt���}<} s�lB�3q5l:����y.q:o«m �ëo5��}<}{x���}{q5zJ����m<}{x�3q5y�lFq:o«mp��znm{s�w�lB��zFq:r �.q

}{s��'( !$# %�) }{s���( ! & "!$# %& ? !$# %-� @�� !$# % *

� ��q5lFq���� !�� ��lFq�m<mp����m{zF��|Jq:��w��5q5lFsJ��w.������lnmp��w.oBq(s�w�q�� 3 ��q5l-��y.q5lnm{s���r5��zF��q¨}{s�����oF�.��w���qm{w�zF��q�rGy.s�z lB��zFq�mpr

}{s��'( !$#� ) }{s���( ! & !$# %& ?� � @ �5�� % � !$# 5 * �GÁ��3�

��m{zF��zF��q(s��3��m{s�v.r �3q��uw~m{znm{s�w.r"sSt ! ��w.� ?� �� s���oBs�w.r�mp�3q5l"zF��q"�.q5�.�:��m{s�l"sSt�oBv�|�v~}p��w3zBr ��w.��|Js�|Jq5w3zBr%s���q5l ��m<��q5lFq5w3z znm{|Jq¦m{w3zFq5lF�

����}pr��L��$"w���lF�~m{zFlB��lFx�����m{zF� �uw~m{zFq�oBv�|�v~}p��w3zBr'465¨�.��r oBv�|�v~}p��w3z"��q5w�q5lB��znm{w���t�v�w.oBznm{s�w� ����É���� & .�5�� %

465 � 5� � /

,�q:o5��}<}¨zF�.��z�zF��q�oBv�|�v~}p��w3zJ��q5w�q5lB��znm{w�� t�v�w.oBznm{s�w�sSt�zF��q�rGv�| sSt m{w.�3q5y.q5w.�3q5w3z�lB��w.�3s�|����lnmp���~}{q:r�mpr zF��q�rGv�|©sSt£zF��q(��q5w�q5lB��znm{w���t�v�w.oBznm{s�w.r sSt£zF��q�m{w.��m{��mp�3v.��}�lB��w.�3s�|©����lnmp���~}{q:r5�����q5w� !$# % �� 5�� % � !$# 5��.��r oBv�|�v~}p��w3z ��q5w�q5lB��znm{w��ît�v�w.oBznm{s�w

� ������ !$# % � & .�5�� %� 465 � 5� �

��w.����q5w.oBqJ�.��r"oBv�|�v~}p��w3zBr�� 465S� $(r"�JlFq:rGv~}{z:�.zF��qJrGzB��w.����lB���3q5��mp��znm{s�w m{w.oBlFq:��rGq:r¨m{w�zF��qtT��|�m<}<mp��lZ� �:x"��m{zF��zF��q�rF§�v.��lFqZlFs3s�z8sStu|���zFv�lnm{zGxE��@ & � %1012 @Z�8¥�wJ������m{znm{s�w8��zF��q�rG��q5� w�q:rFr��w.���3v�lFzFs3r�mpr m{w.��mpo5��zFs�lBr �"%( ��w.� �"2( �3q��uw�q:���3x��GÁ�� Â3�%�3q:o«}<m{w�q���m{zF�#�L�

�"%( &� 4��

�(� 4 2 � � 012 & �"%1%� %1012 �GÁ�À��

�"2( &� 4���(� 4 2 � 2 & �"21%� �GÁ�Á3�

�Sm{|�m<}p��l�q¢¡~y�lFq:rFr�m{s�w.r(��lFq�lFq5y.s�lFzFq:���3x,�(��r"��w.����v�w.����lB��|¿�BÀ��/���3��t�s�l ��v�|Jy�����m<��v.r�m{s�w.r5����3v.r �3q5y.��lFzFv�lFq:r�t�lFs�|¤w�s�lF|���}<m{zGx��.��r�m{w.��mpo5��zFq:���3xJ�~m{����q5l"|Js�|Jq5w3zBr5�3�3q:o«}<m{w�q���m{zF��|����zFv�lnm{zGx��

����q �"lB��|J�G %�.��ln}<m{q5lLq¢¡~y.��w.r�m{s�w�mprL�"rGy.q:o«mp��}�o5��rGq%sStuzF�~mprLrGq5zFv�y���m{zF�JoBv�|�v~}p��w3zBr8q:§�v.��}zFs �5q5lFs���t�zFq5l�zF��q�t�s�v�lFzF�8�Z¥�w�zF�~mpr rGq5zFznm{w��.�

À:Â

Page 16: Accounting for Biases in Black-Scholes

��È:¹��L¹E´:µ³¸:µ³¹8º������ ��D�J���+� 0 �D���� ����?15��3J0���*�#�3���� �4��*��%��MJ��*�#�3�.��#�!� 6 I���9C#���%���'"0�D�J����� �BA ���!#��#��� ,+���� � ��4����0 �D���� ���� ����&�#�! ���� � ! ;�=Y*��J���?������ ��!�? ,�V3 �&����-�� #KL��#'"0��)*�#��15 ����(��MN�D#��� ��>6�HJO�9 =) ���*$��*� ����.#�� A��������*$����'(��15#���� 4��.#��.4���P����E��*��'(#�!���� ��!� �?�BA #(��#1�1���� �! ��.#��� ����#��*����� � Z[� ��!��; ��/J��=)������L#��"/J�����!�J�� ,��#��� ����#��*E+������#�����#1�1D� �� ������"#��� ����#��*.��*���L15#��/�0����*��15��� A����'(��15#�P����q"y�lFs�y.s3r�m{znm{s�wît�sS}<}{s��"r�t�lFs�|°zF��q¨t�s�lF|�v~}p��r�t�s�l�rG��q5� w�q:rFr%��w.�J�3v�lFzFs3r�mpr5��q:§�v.��znm{s�w.r �GÁ�À����w.��GÁ�Á3�B�L��w.�&zF��q�lFq¢}p��znm{s�w.r��.q5zG��q5q5w&�~m{����q5l�|Js�|Jq5w3zBr���w.�&s�y�znm{s�w&y�lnmpoBq:r5�"�BÀ �3�(��w.��BÀ �3�B�

kZlFs�y.s3r�m{znm{s�wÂ�rGv�����q:rGzBr���w�q¢¡~y~}p��w.��znm{s�w�sSt¨zF��q�|���zFv�lnm{zGx��~mp��r5��zF��q�zFq5w.�3q5w.oBxðt�s�l�:��q5lB����q�s�l�|Jq:��mp��w»��zF�0zF��q5�0|Js�w�q5x��sS}p��znm<}<m{zGxzFs�lnmprGq���m{zF� |���zFv�lnm{zGx�� ����q�q¢��q:oBzBrJsSt�3v�lFzFs3r�mpr���zJ��m<��q5lFq5w3zJ|���zFv�lnm{znm{q:r���lFq�y~mpoBzFv�lFq:� m{wãm{��v�lFq �3��Ã�s�l�s�w�q5�0|Js�w3zF�&s�y�znm{s�w.r5��3v�lFzFs3r�mpr"��q5w�q5lB��zFq:r"zF��qJrG|�m<}{qJ��q�rF�:� m{w�ãm{��v�lFqJÄ.��Ã�s�l"zF��lFq5q5�0|Js�w3zF��s�y�znm{s�w.r(��w.��zF��qm<mp��rGzFlFv.oBzFv�lFq(sSt�zF�~mpr rGq:oBznm{s�w8�.�3v�lFzFs3r�mpr �3q:o«}<m{w�q:r"�3x���tT��oBzFs�l�sSt�Â�� ���~mpr�lFq:rGv~}{zBr�m{w��¦}{q:rFrrG�.��lFy~}{x�oBv�lF��q:��rG|�m<}{qJ��w.���J��q5w�q5lB��}�lFq:�3v.oBznm{s�w m{w���m<��q5lFq5w.oBq:r¨t�lFs�| zF��q���}p��oF�3�G�3oF��sS}{q:rt�s�lF|�v~}p���ZÃ�s�lZ��zF�0zF��q5�0|Js�w�q5x�s�y�znm{s�w.r5��m{|Jy~}<m{q:����sS}p��znm<}<m{zGx�mprZ�~m{����q5l�t�s�lZzF��q }{s�w���q5l%s�y�znm{s�w8���q"|�m{���3z�zF�3v.r�q¢¡~y.q:oBz zFs�rGq5q(zF�.��z���zF�0zF��q5�0|Js�w�q5xJ��sS}p��znm<}<m{zGx�lnmprGq:r���m{zF��|���zFv�lnm{zGx��3��r%��qrF�:�»��s�w��:��q5lB����q���m{w�zF��q�����zB���

kZlFs�y.s3r�m{znm{s�w�Â���w.�&zF��q�|Js�|Jq5w3z�y�lFs�y.q5lFznm{q:r��GÁ�À�� Á�Á3� ��s��.q5x�s�w.�&zF��q:rGq�§�v.��}<m{zB��znm{��qy�lFs�y.q5lFznm{q:r���w.��y�lFs���mp�3qJq¢¡~y~}<mpo«m{z�y�lFq:��mpoBznm{s�w.r(sSt ��s��»y�lnmpoBq:r(sSt�oBv�lFlFq5w.o«m{q:r���w.��s�y�znm{s�w.r�.q5�.�:��qJ��oBlFs3rFr"|���zFv�lnm{znm{q:r5��ª%��oF��sSt zF��q:rGq�y�lFs�y.q5lFznm{q:r�o5��w��.q�oBs�|Jy.��lFq:����m{zF��zF��q�q5��m{��3q5w.oBq��� %s�w.r�mp�3q5l�oBv�lFlFq5w.o«m{q:r5�J¥�w&q:§�v.��znm{s�w��GÁ�Á3�B�.�3v�lFzFs3r�mpr �"2( mpr(y�lFs�y.s�lFznm{s�w.��}�zFs�À � �L�ãm{��v�lFq.¦mpr ��w���zFzFq5|Jy�z%zFsJoBs�|Jy.��lFq"zF�~mpr�y�lFq:��mpoBznm{s�w���m{zF��zF��q(����zB���L��q�oBs�|Jy�v�zFq:� �"2( t�s�l"��m<��q5lFq5w3z ����}{v�q:r"sSt � t�s�l�zF��q�zFq5w�x�q:��lBr�sSt�����zB��v.rGq:� m{w �L���~}{q�À���� �8sJy�v�z"zF��q5|©s�wzF��qJrF��|Jq�rFo5��}{q��EzF��q�q:rGznm{|���zFq:r sSt �"2( t�s�l"q:��oF��oBv�lFlFq5w.oBx���lFq���m{��mp�3q:���3x �"21% �<����qJrGq5qm{w�zF��q �u��v�lFq(zF�.��z��3v�lFzFs3r�mpr �3q:o«}<m{w�q:r"lB��y~mp��}{x���m{zF�#�L����s�lFq5s���q5l:��zF��q(y.��zFzFq5lFw�sSt��3q:o«}<m{w�qmpr w�s�z |�v.oF����m<��q5lFq5w3z¨t�lFs�|©zF��q�rGsS}<mp� }<m{w�q�À � �L��� �~mpoF� mpr � �.��z zF��q¦m<mp��|Js��3q¢}£y�lFq:��mpoBzBr5�����qJx�q5w mpr(��q5lFx�o«}{s3rGqJzFs�zF�~mpr�}<m{w�q�������q� ���w.����mp��w&�3sS}<}p��l���w.��zF��q�|���lF����lFqJr�m{|�m<}p��l:���v�zJ�3q:o«}<m{w�q }{q:rFr�lB��y~mp��}{x t�s�lJrG|���}<} ��zF�.��w&zF��q��.q5w.oF��|���lF� }<m{w�q�� 3 w�zF��q�� ��sS}{q��%zF��q����zB�J��lFq"lFs�v����~}{x m{w }<m{w�q���m{zF��q:§�v.��znm{s�w��GÁ�Á3�B�3��v�z q¢¡~�~m{�~m{z�}{q:rFr lB��y~mp��oBs�w3��q5lF��q5w.oBq��

$ |Js�lFq }<m{|�m{zFq:� }{s3s�� ��z�s�y�znm{s�w�y�lnmpoBq:r�oBs�w3��q5x�r���r�m{|�m<}p��l�|Jq:rFrF����q��¤ª%§�v.��znm{s�w.r�BÀ �3�(��w.��GÁ�Á3�"zFq¢}<}�v.r�zF�.��zJkZlFs�y.s3r�m{znm{s�wÂ�rG��s�v~}p��rG��s��¤v�y��r���sS}p��znm<}<m{zGx�rG|�m<}{q:rJ��m{zF�y�lFs���lFq:rFr�m{��q¢}{xð}{q:rFr�r�}{s�y.q���w.�oBv�lF����zFv�lFq���r���q m{w.oBlFq:��rGq�|���zFv�lnm{zGx��ª�¡uoF�.��w���q5�0zFlB���3q:�s�y�znm{s�w.rZ��q5w�q5lB��}<}{xJ�3s�w�s�zZ�.�:��q�q5w�s�v������3q5y�zF����oBlFs3rFrLzF��q�|Js�w�q5x3w�q:rFr%rGy.q:oBzFlFv�| zFs���}<}{s��v.r zFs�q:rGznm{|���zFq�rG|�m<}{q:r"y�lFq:o«mprGq¢}{x��8|�v.oF� }{q:rFr"oBs�|Jy.��lFq�zF��q5| ��oBlFs3rFr�|���zFv�lnm{znm{q:r5�E��v�z"zF��q ���|Jy.���Z %�.��w��.�Z��w.� ,�q¢mp�3q5l��BÀ��/�����"����zB�îm{w.o«}{v.�3q:rJ|���zFv�lnm{znm{q:r��.q5zG��q5q5w�s�w�q����:x���w.�

À5Ä

Page 17: Accounting for Biases in Black-Scholes

q¢m{���3zFq5q5wJ|Js�w3zF�.r5�Z��zFlnm{��q�y�lnmpoBq:r�m{wJzF�~mprZ����zB�"rGq5z%��lFq oF��s3rGq5w�zFs(rGq5zZzF��q ��}p��oF�3�G�3oF��sS}{q:r � �" $�& Ê'*) � �(<��B��q:§�v.��}�zFs ���³À�� ��� Á���� ��� � ������w.�.��� ������m{zF����w�������m{znm{s�w.��}£��zF�0zF��q5�0|Js�w�q5x�rGzFlnm{��qoBs�lFlFq:rGy.s�w.��m{w���zFs+< & @ �� Á��GrGq5q�zF��qJ��mprFoBv.rFr�m{s�w���z"zF��q�q5w.��sSt���q:oBznm{s�w&Â3�B����|�m<}{q:r(s�w$"y�lnm<}ëÂ���À��/���"��s�v�lLs�w~}{x�s��.rGq5lF����znm{s�w8����w.��zF��q �ulBrGzLs�w�q m{w� ���|Jy.���� %�.��w��.����w.��,�q¢mp�3q5l � r����zB�3�%��lFq"��lB��y���q:�îm{w�ãm{��v�lFq�¦t�s�l�|���zFv�lnm{znm{q:r �.q5zG��q5q5w�s�w�q����:x���w.��s�w�q(x�q:��l:��$(r�zF��qzF��q5s�lFx�rGv�����q:rGzBr5�:zF��q�rG|�m<}{q:rL��q5z£m{w.oBlFq:��r�m{w��S}{x ë��zFzFq5lL��r8zF��q%|���zFv�lnm{zGx"lnmprGq:r5�L¥�z � r8q:rFrGq5w3znmp��}��q5lFq"zF�.��z%zF��q(rG|�m<}{q:r���lFq"q¢¡~y�lFq:rFrGq:��m{w�v�w~m{zBr�sSt�|Js�w�q5x3w�q:rFr%zF�.��z%��lFq(oBs�|Jy.��lB���~}{q(��oBlFs3rFr|���zFv�lnm{znm{q:r5����q�v.rGq�<.�Z��r�rGv�����q:rGzFq:���3x&kZlFs�y.s3r�m{znm{s�wÁ��L��v�zJzF��qîm{|Jy.s�lFzB��w3z�zF�~m{w�� mprzF�.��z�zF��q(w.��zFv�lB��}£rGy�lFq:���îm{w�zF��q���mprGzFlnm{��v�znm{s�w�s���q5l�znm{|JqJ��zF��q¨m{w.oBlFq:��rGq¦m{w�@ ��m{zF�#�8�Z�.qoBs�v�w3zFq5lB��oBzFq:�E� 3 w.oBq"zF�~mpr�mpr��3s�w�q���zF��q(rG|�m<}{q:r ë��zFzFq5w�s�v�z%��m{zF�J|���zFv�lnm{zGxJ��rZkZlFs�y.s3r�m{znm{s�wÂJrGv�����q:rGzBr5�

��s�lFq�oBs�w.oBlFq5zFq¢}{x��8zF��q�rG|�m<}{q:r¨m{w&ãm{��v�lFq���o5��w��.q�v.rGq:��zFs�m{w~t�q5l(|Js�|Jq5w3zBr sSt �E��r��q��3q:rFoBlnm{�.q:� m{w���q:oBznm{s�w�Ä.� ����q(lFq:rGv~}{zBr�sSt�zF�~mpr�q¢¡~q5lBo«mprGq���lFq(lFq5y.s�lFzFq:�îm{w �L���~}{q(Ä.� ����q�3lB��|���znmpo lnmprGq�m{w�zF��q¨}{q5��q¢}�sSt£zF��q(rG|�m<}{q:r"�G��w.�JzF��q(��m<��q5lFq5w.oBq��.q5zG��q5q5w�ãm{��v�lFq:r��(��w.� �3�mpr���zFzFlnm{��v�zFq:�JzFs���lnmpr�m{w��JzFq5lF|¤rGzFlFv.oBzFv�lFq"sSt���sS}p��znm<}<m{zGx�����s�lFq"lFq¢}{q5����w3z�zFs�kZlFs�y.s3r�m{znm{s�w�Â���.s�zF�&rG��q5� w�q:rFr���w.���3v�lFzFs3r�mpr��3q:o«}<m{w�q���m{zF��|���zFv�lnm{zGx�������qJy�lnm{|���lFx���mprFoBlFq5y.��w.oBx&��m{zF�zF��q�zF��q5s�lFx�sSt zF�~mpr(rGq:oBznm{s�w mpr(zF��q�lB��zFq�sSt oBs�w3��q5lF��q5w.oBq�� q:rGznm{|���zFq:r"sSt��3v�lFzFs3r�mpr¨m{w~t�q5lFlFq:�t�lFs�|©s�y�znm{s�w�y�lnmpoBq:r�� �L���~}{q�Ä�� �3q:o«}<m{w�q�rGv��.rGzB��w3znmp��}<}{x }{q:rFr(§�v~mpoF��}{x�zF�.��w�zF��q�À � ��lB��zFq(sStq:§�v.��znm{s�w��GÁ�Á3�B�

� � ��� ����� ����������� �%�������"��� � ��� �

�"q:rGy~m{zFq m{zBr¦}p��oF�&sSt¨lFq:��}<mprG|��%zF��qîm<mp��|Js��3q¢}�m{w�zF��q }p��rGzJrGq:oBznm{s�w�y�lFs���mp�3q:rJ��lFq¢}p��znm{��q¢}{x��s3s���§�v.��}<m{zB��znm{��q�q¢¡~y~}p��w.��znm{s�w t�s�l��.s�zF��|Js�w�q5x3w�q:rFr���w.� |���zFv�lnm{zGx�~mp��rGq:r m{w»��}p��oF�3��3oF��sS}{q:r5��� v.��w3znm{zB��znm{��q¢}{x���m{z�rGv�����q:rGzBr zF�.��z"�~m{����q5l�|Js�|Jq5w3zBr"�3q:o«}<m{w�q�lB��y~mp��}{x���m{zF��|����zFv�lnm{zGxEÉ3��sS}p��znm<}<m{zGx�rG|�m<}{q:r rGv�����q:rGz�zF�.��z�zF��q"lB��zFq"sSt��3q:o«}<m{w�q¦mpr }{q:rFr�lB��y~mp�E�Z¥�w�zF�~mpr rGq:oBznm{s�w8���q(oBs�w.r�mp�3q5l znm{|Jq5���3q5y.q5w.�3q5w.oBq�m{w�s�w�q5�0y.q5lnm{s����3q5y�lFq:o«mp��znm{s�w�lB��zFq:r ���Sm{w.oBq��3q5y�lFq:o«mp��znm{s�wlB��zFq:r(q¢¡~�~m{�~m{z�}<m{zFzn}{q�q5��mp�3q5w.oBq�sSt¨��v�zFs�oBs�lFlFq¢}p��znm{s�w8�L��q���lFq�}{q:�&zFs�oBs�w.r�mp�3q5lJ�3q5y.q5w.�3q5w.oBqzF��lFs�v����&rGq:oBs�w.��|Js�|Jq5w3zBr5�8s�l�rGzFs�oF�.��rGznmpoJ��sS}p��znm<}<m{zGx�����q�rG��s�� zF�.��z�rGv.oF�&|Js��3q¢}pr�o5��w��q5w�q5lB��zFq(r�}{s���q5l oBs�w3��q5lF��q5w.oBq(sSt£�~m{����q5l |Js�|Jq5w3zBrZzFs��5q5lFsJs���q5l%zF��q(lB��w���q"sSt£|���zFv�lnm{znm{q:rs��.rGq5lF��q:�îm{w�s�y�znm{s�w�|���lF��q5zBr5�

��zFs�oF�.��rGznmpo%��sS}p��znm<}<m{zGxJ|Js��3q¢}pr%��lFq�|Js�znm{����zFq:���3xJo«}{q:��l%q5��mp�3q5w.oBq"sStëy�lFq:��mpoBzB���~}{q"����lnmp���znm{s�wîm{w�oBs�w.��m{znm{s�w.��}£����lnmp��w.oBq�� ���~mpr�mpr���y�y.��lFq5w3z�m{w�zF��q(�3x3w.��|�mpo5r%sStEm{|Jy~}<m{q:����sS}p��znm<}<m{znm{q:r� �L���~}{q�Á��£t�s�l�q¢¡u��|Jy~}{q�����w.� m{w&q:rGznm{|���zFq:r(sSt¦��$�,   �¤��w.��lFq¢}p��zFq:��|Js��3q¢}pr5� � s�zB���~}{q��y�y~}<mpo5��znm{s�w.r%zFs�oBv�lFlFq5w.oBx�s�y�znm{s�w.r£m{w.o«}{v.�3q�����zFq:r%�BÀ��/�����3�B� ��q¢}<m{w�s���w.� �8v�lFw3��v~}<}£�BÀ��/���3�B���w.� �L�:x�}{s�l"��w.���"v��BÀ��/��Ä��B�

À �

Page 18: Accounting for Biases in Black-Scholes

����q"��q5w�q5lnmpo(rGzFs�oF�.��rGznmpo ��sS}p��znm<}<m{zGx�|Js��3q¢}£rGzB��lFzBrZ��m{zF� }{s����0y�lnmpoBq�oF�.��w���q:r�sSt�zF��q�t�s�lF|

"!$# %�& ? !$# %��� %1012! � !$# % * �GÁ�Â3�� ��q5lFq � !$# % mpr�oBs�w.��m{znm{s�w.��}<}{x m{w.�3q5y.q5w.�3q5w3z�sSt � ! ��w.� ��� !�� mpr���rGq:§�v�q5w.oBq�sSt m<mp��3lB�:�"r��m{zF���5q5lFs�|Jq:��w���w.�Jv�w~m{z�����lnmp��w.oBq��%����q"w�q5� q¢}{q5|Jq5w3z:� � ! ��mpr%zF��q(oBs�w.��m{znm{s�w.��}�����lnmp��w.oBq��kLs�y�v~}p��l y�lFs�oBq:rFrGq:r�t�s�l � m{w.o«}{v.�3q�zF��q�rF§�v.��lFq5�0lFs3s�z�|Js��3q¢}£v.rGq:���3x�����zFq:r"�BÀ��/�����3�B�

� !$# %�& �BÀ )�� ��� ����� !������ %1012! !$# % * �GÁ�Ä��zF��q�}{s��3��lnm{zF��|�mpo(|Js��3q¢}£sSt �¨m{| ��w.������q5y��.��lB���BÀ��/��Ä��B�

}{s�� � !$# %�& �BÀ )�� ��� ��� }{s�� � !���� !$# % * �GÁ��3���w.��zF��qJ��$�,   �(�BÀ��³À��L|Js��3q¢}£q:rGznm{|���zFq:���3x�����m<}<}<m{qJ��w.���%sS}<}{q5lBr�}{q5���BÀ��/./�3�B�

� !$# % & �BÀ )�� ��� � � �,)�� � � !������ ! � 2!$# %& �BÀ )�� ��� ����� !������ ! !$# % * �GÁ��3�

��m{zF� !,& � 2! ) À��°¥�w»��}<}¦sSt¦zF��q:rGq�|Js��3q¢}pr5� � ! � mprîm<mp����m{zF� �5q5lFs�|Jq:��w���w.�v�w~m{z����lnmp��w.oBq���$¨}{zF��s�v�����zF��q:rGq�|Js��3q¢}pr(��lFq�w�s�z"q:§�v~m{����}{q5w3z:�EzF��q¢m{l(y�lFs�y.q5lFznm{q:r(��lFq�r�m{|�m<}p��l�m{w|���w3x���y�y~}<mpo5��znm{s�w.r5�

� �.��zFq5��q5l(zF��q�y�lFs�oBq:rFr5�L����lnmp��znm{s�w m{w � ��q5w�q5lB��zFq:r(�3v�lFzFs3r�mpr¨m{w ��w.� ��� m{zF��w�sy.��lFznmpoBv~}p��l�rGzFlFv.oBzFv�lFq�s�w � ��v�z�q¢¡3mprGzFq5w.oBq�sSt¦v�w.oBs�w.��m{znm{s�w.��}¦|Jq:��w ��w.�����lnmp��w.oBq�� zF��qv�w.oBs�w.��m{znm{s�w.��}��3v�lFzFs3r�mpr m{w mpr

�"2 � � &  �:� � � � �"2 � ��� �³À � �:� � � * �GÁ����� ��q5lFq��:� � � &�� #��� � � � 7 � � � 2 mprEzF��q%rF§�v.��lFq:��oBs3q�0 o«m{q5w3zLsSt~����lnmp��znm{s�w(sSt � ��zF��qZlB��znm{s sSt~zF��qrGzB��w.����lB���3q5��mp��znm{s�w�zFsJzF��q�|Jq:��wE�B�"��q5q�$"y�y.q5w.��m<¡ $�� Â�� ª%§�v.��znm{s�w��GÁ�����§�v.��w3znm �uq:r zG��s� �:x�r sSt���q5w�q5lB��znm{w���q¢¡uoBq:rFr(�3v�lFzFs3r�mpr�m{w�zF��qJv�w.oBs�w.��m{znm{s�w.��}���mprGzFlnm{��v�znm{s�w&sSt �"�3v�lFzFs3r�mprm{w�zF��q¦m{w�w�s�����znm{s�w.r � � lFq5y�lFq:rGq5w3zFq:���3x �"2 � ��� L��w.��rGzFs�oF�.��rGznmpo(��sS}p��znm<}<m{zGx � lFq5y�lFq:rGq5w3zFq:���3x�:� � � �� � s�zFq��8zFs3s.�8zF�.��z(zF��qJzG��s�q¢��q:oBzBr�oBs�|Jy~}{q5|Jq5w3z�q:��oF�&s�zF��q5l:�(zF��qJzFs�zB��}Lmpr���lFq:��zFq5lzF�.��w�zF��q�rGv�| sSt£zF��q�y.��lFzBr5�

�Sm{|�m<}p��l%lFq¢}p��znm{s�w.rL��sS}p��oBs�w.��m{znm{s�w.��}<}{x���w.��s���q5lL|�v~}{znm{y~}{q y.q5lnm{s���r�m<t � ! � ��w.����� !�� ��lFqm{w.�3q5y.q5w.�3q5w3z:�����~mpr"��rFrGv�|Jy�znm{s�w mpr ��m{sS}p��zFq:� m{w�zF��q���$�,   �»|Js��3q¢}T�Er�m{w.oBq !�& � 2! ) À����v�zJ��q�zF�~m{w��&zF��q��3��m{wðm{wr�m{|Jy~}<mpo«m{zGx|�����q:r�zF��q�q¢¡~zFlB��rGzFlFv.oBzFv�lFq���s�lFzF�3� �~m<}{q��+����q5woBs�w.��m{znm{s�w.��}��3v�lFzFs3r�mpr mpr

�"2 � � &  � #� ! 5�� % � !$# 5 $ %� 7�! 5�� % � !$# 5 $ % � 2 � �"2 � ���7�! 5�� % � 2!$# 5 $ %� 7�! 5�� % � !$# 5 $ % � 2 * �GÁ/.3�

À �

Page 19: Accounting for Biases in Black-Scholes

� �~mpoF� mpr(�3q5lnm{��q:� m{w $"y�y.q5w.��m<¡'$�� Â���$(r ��m{zF��v�w.oBs�w.��m{znm{s�w.��} �3v�lFzFs3r�mpr5�EzF��q¦m{w3zFq5lB��oBznm{s�wsStEtT��zF�0zB��m<}{q:��m{w�w�s�����znm{s�w.r���w.��rGzFs�oF�.��rGznmpo���sS}p��znm<}<m{zGxJlFq:rGv~}{zBr�m{w���lFq:��zFq5lZ�3v�lFzFs3r�mpr%zF�.��wJzF��qrGv�|©sSt�zF��q(zG��s�m{w.��m{��mp�3v.��}<}px��

Ã�v�lFzF��q5l y�lFs���lFq:rFr�lFq:§�v~m{lFq:r v.r zFsJ�.q�|Js�lFq�rGy.q:o«m �ëoJ���.s�v�z zF��q�y�lFs�oBq:rFr�t�s�l � �%¥�w�zF��qm{w3zFq5lFq:rGz sSt�zFlB��w.rGy.��lFq5w.oBx�����q�rGzFv.�3x���}<m{w�q:��l"��sS}p��znm<}<m{zGx�|Js��3q¢}T�

� !$# %�& �BÀ )�� ��� ����� !���� !$# % * �GÁ/�3���m{zF� � ! � m{w.�3q5y.q5w.�3q5w3z�sSt ��� ! � ��� ��q5w � � � � À��LzF��q�oBs�|Jy.s�w�q5w3zBr�sSt¨oBs�w.��m{znm{s�w.��}�3v�lFzFs3r�mpr"�GÁ/.3�%��lFq

� !$#� & � ��� � � !�) ��� ��� �5�� % � $ 5 !$# 5 �5�� % � !$# 5 $ % & � � � �%À )�� À )���� � � ! ) ��� ��� $ %�5�� %�� À )�� $ 5À )���� !$# 5

7�! �5�� % � !$# 5 $ % & � � � � À )�� À )�� � � � ! ) ��� &� �(�8�

7�! �5�� % � 2!$# 5 $ % &

�5�� %� � ��� 5 $ % � � ! ) ��� � 2 ��� 2 �5�� % � À )�� 2 3 5 $ % 7À )�� 2 � &�� �(�8�

� #� ! �5�� % � !$# 5 $ % & � 2 �5�� % � À )�� 5À )���� 2 &�� �(�8�/

� ����q"w�s�zB��znm{s�w :8�(�8� &�� �(�����Z|Jq:��w.rZzF�.��z>:8�(�8� � ���"�.��r%� �uw~m{zFq(w�s�w �5q5lFs�}<m{|�m{z:�%��q(rF�:xzF�.��z>:8�(�8��mpr sSt�s�lB�3q5l������<��� ��q5w � & À���zF��q(q¢¡~y�lFq:rFr�m{s�w.r �.q:oBs�|Jq

7�! �5�� % � !$# 5 $ % & � � ! &�� �(�8�

7�! �5�� % � 2!$# 5 $ % & � � 2! ��� 2 �8�(� ) À�� � Á &�� �(� 2 �

� #� ! �5�� % � !$# 5 $ % & � 2 �8�GÁ � ) À��F�(� ) À�� � � &�� �(� � �/���~mpr }<m{|�m{znm{w���o5��rGq(y�lFs���mp�3q:r ��w�v�y�y.q5l �.s�v�w.��zFs�zF��q(q¢��q:oBzBr�sSt�rGzFs�oF�.��rGznmpo"��sS}p��znm<}<m{zGx�s�woBs�w.��m{znm{s�w.��}��3v�lFzFs3r�mpr5�

��q(o5��w�w�s�� ��rFrGq:rFrZzF��q(§�v.��}<m{zB��znm{��q�t�q:��zFv�lFq:rZsSt�oBs�w.��m{znm{s�w.��}��3v�lFzFs3r�mpr5�Z� ��q5w � & À��oBs�w.��m{znm{s�w.��}��3v�lFzFs3r�mpr mpr

�"2 � � &  � �(� � �� �(� 2 � � �"2 � ��� � �(� 2 �� �(� 2 � /À �

Page 20: Accounting for Biases in Black-Scholes

����q�rGq:oBs�w.��zFq5lF| �.��r�� �uw~m{zFqî}<m{|�m{z:�Z��v�z�zF��q �ulBrGz(��lFs��"r"��m{zF��s�v�z��.s�v�w.����m{zF� �L�J¥�wrG�.��lFy�oBs�w3zFlB��rGz zFsJzF��q�y�lFq5��m{s�v.r(rGq:oBznm{s�w8�.zF��q5lFq¦mpr w�s�zFq5w.�3q5w.oBx t�s�l"�~m{����q5l"|Js�|Jq5w3zBr zFs�3q:o«}<m{w�q���m{zF��|���zFv�lnm{zGx���� ��q5w � � � �©À��L��s���q5��q5l:�8zF��q�§�v.��}<m{zB��znm{��qît�q:��zFv�lFq:r(sSt�zF��q}p��rGz"rGq:oBznm{s�w�lFq5zFv�lFw8�� %s�w.��m{znm{s�w.��}£�3v�lFzFs3r�mpr mpr

�"2 � � &  � �(�8�� �(� 2 � � �"2 � ��� � �(�8�� �(� 2 � *rGsJ�.s�zF��zFq5lF|�r�q5��q5w3zFv.��}<}{x�oBs�w3��q5lF��q(zFs��5q5lFs.�

 %s�w.r�mp�3q5l:�Zw�s����LzF��q�lB��zFq���z�� �~mpoF���~m{����q5lJ|Js�|Jq5w3zBr�oBs�w3��q5lF��qîm{w�zF�~mpr�|Js��3q¢}T��¥�wzF��q�rGzB��znm{s�w.��lFx�o5��rGq���zF��q�|Js��3q¢}¦oBs�|��~m{w�q:r�zG��s�|Jq:oF�.��w~mprG|�r�rGzFv.��m{q:� q¢¡~zFq5w.r�m{��q¢}{x�3x�(��r%��w.����v�w.����lB��| �BÀ��/���3�B�8w�s�w��0w�s�lF|���}.m{w�w�s�����znm{s�w.r ��w.��rGzFs�oF�.��rGznmpo ��sS}p��znm<}<m{zGx��%� m{zF���s�v�z�rGzFs�oF�.��rGznmpo���sS}p��znm<}<m{zGx&��zF�.��z¨mpr5�8��m{zF� ��& ���E� �~mpoF����q�zF�~m{w���sSt���r(��w.��}{s���s�v.r"zFs��y�v�lFq ��v�|Jy�|Js��3q¢}��B�E�3v�lFzFs3r�mpr¨t�sS}<}{s��"r zF��q�y.��zFzFq5lFw���qJ�3s�oBv�|Jq5w3zFq:� m{w�zF��q¦}p��rGz�rGq:oBznm{s�w8��"2 � � & �"2 � ��� � �L� � m{zF��s�v�z(w�s�w��0w�s�lF|���}Lm{w�w�s�����znm{s�w.r���zF�.��z¨mpr5�E��m{zF� �"2 � ��� & �3�B�.�3v�lF�zFs3r�mpr�mpr �3v�|Jy���rG�.��y.q:�E�8��y�y�lFs3��oF�~m{w����5q5lFs���z ��q5lFx�rG��s�lFz"��w.����q5lFx }{s�w���|���zFv�lnm{znm{q:r5�%$(r$¨m{zF�G�3���.��}<mp����w.� 1Es��BÀ��/���3��y�Â3�Zw�s�zFq��3w�q¢m{zF��q5l(oBs�lFlFq:rGy.s�w.��r�zFs�s��.rGq5lF��q:��s�y�znm{s�w�y�lnmpoBq:r5�zF��q�t�s�lF|Jq5l"�3q:o«}<m{w�q:r"zFs3sJlB��y~mp��}{x�zFs �5q5lFs.�3zF��q¦}p��zFzFq5l�mpr�zFs3s�rG|���}<}���z rG��s�lFz |���zFv�lnm{znm{q:r5�

$ w3v�|Jq5lnmpo5��}�q¢¡u��|Jy~}{q�rGv�����q:rGzBr�zF�.��z��&oBs�|��~m{w.��znm{s�wsSt¦w�s�w��0w�s�lF|���} m{w�w�s�����znm{s�w.r��w.��rGzFs�oF�.��rGznmpo"��sS}p��znm<}<m{zGx��Sm{��q:r ��|�v.oF���.q5zFzFq5l"��o5oBs�v�w3z sSt�zF��q(�.q5�.�:��m{s�l"sSt�oBs�w.��m{znm{s�w.��}�3v�lFzFs3r�mpr%��oBlFs3rFrZ|���zFv�lnm{znm{q:rZzF�.��wJq¢m{zF��q5l�s�w�m{zBr%s�� w8�����~mpr�oBs�|Jy~}{q5|Jq5w3zBr%��s�lF���3xJ����m<}<}<m{q��w.���%sS}<}{q5lBr�}{q5���BÀ��/./�3�B���"lFs3rGz:� ��m ��|���w8�.��w.����q5lF��q5l(�BÀ��/���3�B� �"r�m{q5���BÀ��/./�3�B�3��w.� *�s�lnm{s�w�BÀ��/./.3�B��� ��s�y�lFs�y.s3rGq:��r�m{|�m<}p��l�|Js��3q¢}pr(��w.��rG��s���q:��zF�.��z"zF��q5x���o5oBs�v�w3zFq:� t�s�l |���w3x�sStzF��qJs��.rGq5lF��q:��y�lFs�y.q5lFznm{q:r�sSt�oBv�lFlFq5w.oBx�y�lnmpoBq:r5������qJy.��lB��|Jq5zFq5l"����}{v�q:r���lFq �8& �"/ �/.�Â�Ä.�� & �"/³À�À�À � 2 �G��w�w3v.��}<m��5q:�.�B� � & �"/ ���/��Ä&�G��w�w3v.��}<m��5q:�.�B� ��w.� �"2 � ��� & Á"/ ��À:Á��%��w.�&zF��qrGzB��zFq(����lnmp���~}{q�mpr"rGq5z"q:§�v.��}�zFsîm{zBr |Jq:��w�� � !�& ���B� ����q�lFq¢}p��znm{s�w��.q5zG��q5q5w��3v�lFzFs3r�mpr"��w.�|���zFv�lnm{zGx mprJy~mpoBzFv�lFq:�ðm{wãm{��v�lFq&À ���&Ã�s�l�|���zFv�lnm{znm{q:r��.q5zG��q5q5ws�w�q����:x&��w.�&q¢m{���3zFq5q5w|Js�w3zF�.r5���3v�lFzFs3r�mpr%�3q:o«}<m{w�q:r t�lFs�| Á�� �"zFs ��� ������r�m{wJzF��q s�y�znm{s�w�����zB�(rGv�|J|���lnm��5q:��m{w��L���~}{qÄ.��� s�zFq(zF�.��z zF��q��3v�lFzFs3r�mpr�m{w�zF�~mpr q¢¡u��|Jy~}{q�mpr"rGv��.rGzB��w3znmp��}<}{x���lFq:��zFq5l�zF�.��w���q(��q5z¨t�lFs�|� ��v�|Jy.r"!�� w�s�w �5q5lFs �"2 � ��� Es�l"rGzFs�oF�.��rGznmpo"��sS}p��znm<}<m{zGx���w�s�w �5q5lFs � ����}{s�w�q��

����q�zFq5w.�3q5w.oBx t�s�lJ�3v�lFzFs3r�mpr�zFs&�3q:o«}<m{w�q���m{zF�|���zFv�lnm{zGx m{w zF�~mprJ|Js��3q¢} mpr��&oBs�w.rGq5�§�v�q5w.oBq�sSt���rGzFlFs�w���q5l(lFq:rGv~}{z:�(zF��q�oBq5w3zFlB��}Z}<m{|�m{z�zF��q5s�lFq5|���$(r��¨m{q5�.sS}p���BÀ��/./.3� rG��s���q:�m{w�r�m{|�m<}p��l(q5w3��m{lFs�w�|Jq5w3zBr5�.�:��q5lB����q(oF�.��w���q:r m{w }{s����0y�lnmpoBq:r"��lFq(w�s�lF|���}�s���q5l�}{s�w���q5w�s�v����znm{|Jq¦m{w3zFq5lF����}pr5� $(r ��lFq:rGv~}{z:�.�3q5y.��lFzFv�lFq:r�t�lFs�|¤zF��q���}p��oF�3�G�3oF��sS}{q:r¨t�s�lF|�v~}p�J�3q:o«}<m{w�qJ��m{zF�zF��q"|���zFv�lnm{zGxJsSt£zF��q"s�y�znm{s�w8� ���~mpr rGzB��zFq5|Jq5w3z��3s3q:rGw�� z ��y�y~}{x�zFsJ��}<}�zF��q5s�lFq5znmpo5��}�q5w3��m{lFs�w��|Jq5w3zBr���zF��q�v�w~m{z�lFs3s�z"��sS}p��znm<}<m{zGx�|Js��3q¢}Zmpr���oBs�v�w3zFq5lFq¢¡u��|Jy~}{q��B�E��v�z�m{z���y�y.q:��lBr zFs��.qJ�lFq:��rGs�w.���~}{q���y�y�lFs�¡3m{|���znm{s�w t�s�l�y�lnmpoBq:r sSt�oBv�lFlFq5w.o«m{q:r(��w.��oBv�lFlFq5w.oBx�s�y�znm{s�w.r5�

À�.

Page 21: Accounting for Biases in Black-Scholes

� � � � �'� ��������������

��q(�.�:��q�oBs�w3znm{w3v�q:����}<m{w�q�sSt�lFq:rGq:��lBoF� m{w~m{znmp��zFq:���3x *���lFlFs��»��w.� ,�v.�����BÀ��/.�Á3�LsSt�v.r�m{w���"lB��|J�G %�.��ln}<m{q5l�q¢¡~y.��w.r�m{s�w.r(zFs�q¢¡~y~}{s�lFqJzF��q�m{|Jy.��oBz�sSt��3q5y.��lFzFv�lFq:r�t�lFs�| }{s����0w�s�lF|���}<m{zGxm{w�zF��q�v�w.�3q5ln}{x�m{w��&s�w&zF��q�y�lnmpoBq:r�sSt¨s�y�znm{s�w.r5����q�������zG��s�zF�~m{w��3r5���Tm�����w&q¢¡~zFlFq5|Jq¢}{xr�m{|Jy~}{q�lFq¢}p��znm{s�w��.q5zG��q5q5w�zF��q(rG�.��y.q(sSt8m{|Jy~}<m{q:����sS}p��znm<}<m{zGx�rG|�m<}{q:r ��w.��zF��q(rG��q5� w�q:rFr ��w.��3v�lFzFs3r�mpr"sSt�zF��q�v�w.�3q5ln}{x�m{w�� }{s����0y�lnmpoBqJy�lFs�oBq:rFr���w.�&�Tm<m��(��w�q¢¡u��|�m{w.��znm{s�w&sSt ��s�� rG|�m<}{q:r��w.���~m{����q5lJ|Js�|Jq5w3zBr(����lFx���m{zF�&|���zFv�lnm{zGx�� ����qî}p��zFzFq5l�m{w.o«}{v.�3q:rJzF��q�rGv�����q:rGznm{s�w&zF�.��z�~mp��rGq:r�m{w�zF��q y.s�y�v~}p��l ��}p��oF�3�G�3oF��sS}{q:r�t�s�lF|�v~}p�(rG��s�v~}p�J�.q"��lFq:��zFq:rGz£t�s�l�rG��s�lFzZs�y�znm{s�w.r%��w.���mprF��y�y.q:��l�q5w3znm{lFq¢}{x��z�}{s�w���q5w�s�v�����|���zFv�lnm{znm{q:r5�&��q���lF��v�q�zF�.��z���|Js��3q¢}¨��m{zF���.s�zF�tT��zF�0zB��m<}{q:� m{w�w�s�����znm{s�w.rJ��w.��rGzFs�oF�.��rGznmpoJ��sS}p��znm<}<m{zGx�o5��w���o5oBs�v�w3z�t�s�l�zF��q�lFq¢}p��znm{��q¢}{x�r�}{s���3q:o«}<m{w�q�m{w��3v�lFzFs3r�mpr���m{zF��|���zFv�lnm{zGx�zF�.��z���q�m{w~t�q5l¨t�lFs�|¤s�y�znm{s�w�y�lnmpoBq:r5�

����q:rGq�oBs�w.o«}{v.r�m{s�w.r�y.sSm{w3z�v.rîm{w»��w3v�|��.q5l�sSt���m{lFq:oBznm{s�w.r5� 3 w�q mpr�zFs&v.rGq�s�y�znm{s�wy�lnmpoBq:r�zFs�rGzFv.�3xJzF��q(�3x3w.��|�mpo5r�sSt�oBs�w.��m{znm{s�w.��}��~m{����q5l |Js�|Jq5w3zBr�m{w���rFrGq5z%y�lnmpoBq:r5� ��zFv.��m{q:r�.��rGq:�&s�w�zF��q�y�lnmpoBq���}{s�w�q��.�:��q��.q5q5w�~m{w.�3q5lFq:���3x&zF��q���m 0 oBv~}{zGx�sSt¨q:rGznm{|���znm{w���rGv.oF�|Js�|Jq5w3zBr�t�lFs�|©rG|���}<}�w3v�|��.q5lBr�sSt�lFq:��}<m��:��znm{s�w.r5��� �"��w.rGq5w�À��/��Ä�lFq5|���m{w.r�zF��q(s�w~}{x�rGzFv.�3x��q��3w�s�� zFs���zFzFq5|Jy�zJzF�~mpr5�<� 3 y�znm{s�w y�lnmpoBq:r��Sm{��q�v.r���w�s�zF��q5l�rGs�v�lBoBq�sSt(m{w~t�s�lF|���znm{s�w��w.��lB��mprGqJzF��qJ��s�y.qJzF�.��z(��qJ��m<}<} �.q����~}{qJzFs��3s�oBv�|Jq5w3z�zF��q�znm{|Jq�rGq5lnm{q:r(y�lFs�y.q5lFznm{q:r(sStrG��q5� w�q:rFr%��w.���3v�lFzFs3r�mpr5�3��rLq:��ln}<m{q5l���s�lF���.��r%�3s�w�q ��m{zF��oBs�w.��m{znm{s�w.��}�����lnmp��w.oBq:r5��$"w�s�zF��q5l��m{lFq:oBznm{s�w mprJzF��q��.q5�.�:��m{s�l�sSt�q¢¡~s�znmpo�s�y�znm{s�w.r5�-$"y�y.q5w.��m<¡ $�� Ä�q¢¡~zFq5w.��rJzF��q�zF��q5s�lFx&zFs��m{�Sm{zB��}�s�y�znm{s�w.r5� ��v�z�zF��q�|Js�lFq���m 0 oBv~}{z��.��lFlnm{q5l�s�y�znm{s�w.rJlFq5|���m{w8� $ zF�~m{lB� ��m{lFq:oBznm{s�woBs�w.oBq5lFw.r�zF��q(w.��zFv�lFq(sSt�s�y�znm{s�w�|���lF��q5zBr%��w.������zB���Z��q"�.�:��q(|Js��3q¢}{q:��s�y�znm{s�w�y�lnmpoBq:r�m{w��oBs�|Jy.q5znm{znm{��q���t�lnmpoBznm{s�w~}{q:rFr(��s�ln}p�E�E��v�z(y.q5lF�.��y.r"�~mp������rG��rGy�lFq:����r(��w.��w�s�w.oBs�|Jy.q5znm{znm{��qy�lnmpo«m{w�����o5oBs�v�w3z�t�s�l(rGs�|Jq�sSt�zF��q���m<��q5lFq5w.oBq:r(�.q5zG��q5q5w�s��.rGq5lF��q:��s�y�znm{s�w�y�lnmpoBq:r(��w.��zF��q��}p��oF�3�G�3oF��sS}{q:r¨t�s�lF|�v~}p���

À��

Page 22: Accounting for Biases in Black-Scholes

� � �%�������%������� ������� ���� �

d���� ��iEj �����Zj ������.f����8h �����i

��q�������y�z�,�v��~m{w.rGzFq¢m{w�� r��BÀ���� �3� ��y�y�lFs3��oF��zFs�zF��q���}p��oF�3�G�3oF��sS}{q:r�t�s�lF|�v~}p��� 1Eq5z�zF��q+�.�y.q5lnm{s���}{s����0y�lnmpoBq oF�.��w���q !$# % �.q�w�s�lF|���}���m{zF��|Jq:��w ?� ��w.������lnmp��w.oBq>@ 2 ��rGs"zF��q��3q5w.r�m{zGxt�v�w.oBznm{s�w mprA:8� � & �GÁ�@ � $ %1012 q¢¡~y � ) � ,) ?� � 2 � Á @ 2 ��-����q m{w3zFq5��lB��} m{w � .3�(�.��r�zG��szFq5lF|�r5������q �ulBrGz�mpr , ./ 021*3�5 026 )87 ( ! " 9 :8� �(< .& ( ! "�� ' #�� �' � �(<����m{zF� < & }{s��.�1( !�� ��� � ?� � @ 2 @ /

����q�rGq:oBs�w.� mpr ,�./ 021*3�5 026 )87 �#:8� �(< & � � �(< ) @ �/3 w�q���q5lBr�m{s�w�sSt�zF��q���}p��oF�3�G�3oF��sS}{q:r¨t�s�lF|�v~}p��mpr

� � & " $�&('*) ( ! " � ' #�� �' � �(<�� ) � � �(< ) @ � � * �GÂ��3�� �~mpoF����q�w�s�zFq�t�s�l�}p��zFq5l v.rGq�� ����q�oBs�w3��q5w3znm{s�w.��}���}p��oF�3�G�3oF��sS}{q:r¨t�s�lF|�v~}p����q:§�v.��znm{s�w�� .3�B�lFq:rGv~}{zBr�t�lFs�|¤v.r�m{w���zF��q���lF�~m{zFlB����q�oBs�w.��m{znm{s�w��BÀ�À��ZzFsJq¢}<m{|�m{w.��zFq ?� �d�� � !Jh ��"#�8f%$0g $���&%f'��i(&�)*�

��È:¹��L¹E´:µ³¸:µ³¹8º7��+ ����q�y�lFs3sSt �.��r"zF��qJrF��|JqJrGzFq5y.r(��r"zF��qJ�3q5lnm{����znm{s�w�sSt���}p��oF�3�G�3oF��sS}{q:r5���v�z lFq:§�v~m{lFq:r |Js�lFq(��s�lF��m{w�q5����}{v.��znm{w�� m{w3zFq5��lB��}pr5� ����q��"lB��|J�G %�.��ln}<m{q5l(�3q5w.r�m{zGx��BÀ:Â3��mpr

:8� � � & � À ) �"%( Â�� �

� � �"2( �� �

� � � � � � *� ��q5lFq �8& � )#?� � � @ ��w.� � � � � & �GÁL� $ %1012 q¢¡~yE� )�� 2 � Á3�B��$"y�y~}<mpo5��znm{s�w�sSt��"���ZzF�3v.rm{w3��sS}{��q:r zF��q�m{w3zFq5��lB��}

,#.� Ê

, ( ! "�� ' #�� '�� ) �.-�:8� � �(< � & ,#.� Ê

, ( ! "�� ' #�� '�� ) �.- � � � �(< �) �"%(

Â��,�.� Ê

, ( ! "�� ' #�� '�� ) � - ��/ / / � � �(< �� �"2(

Ä��,�.� Ê

, ( ! "�� ' #�� '�� ) � - ��/ / / � � �(< �&10 %�) �"%(

�� 0 2� �"2( �� 0 � *

Á��

Page 23: Accounting for Biases in Black-Scholes

��m{zF� � � & �T}{s��.�(� � ( ! � )�?� � � @ � ����q �ulBrGzZy~m{q:oBq"�.��rZzF��q"rF��|Jq t�s�lF| ��r%��}p��oF�3�G�3oF��sS}{q:r5�" $�&('*) 0 %'& � ��/

��q5q��G��3�B� ����q�rGq:oBs�w.��y~m{q:oBq���qJq5����}{v.��zFq��3x�lFq5y.q:��zFq:�&��y�y~}<mpo5��znm{s�w�sSt�m{w3zFq5��lB��znm{s�w��3xy.��lFzBr5�

0 2 & ) @ � � � � � �F� � � � @ � ) @ � "4&('*) � � ) @ � � � � )�� � �/���~mpr�v.rGq:r���y�lFs�y.q5lFzGx�sSt��3q5lnm{����znm{��q:r�sSt�zF��qJw�s�lF|���}��3q5w.r�m{zGxE�¦}<m{| 9�� . " 9 � 3 7 � � & �������q(zF�~m{lB��y~m{q:oBq�mpr

0 � & @ � � � � � � � � � � 2 ) À � � � � @ 2 � � � @ � " &('*) � � � @ � � � � )�� � �/����q�o5��}<}�y�lnmpoBq¦mpr zF��q5lFq¢t�s�lFq

� ! & "%$�&('*) � 0 %�) �"%( �� 0 2� �"2( �� 0 � �

& � � � À � �"%( Â�� � �"2(

Ä�� �� �"%( Â�� "%$�&('*) @ � � � � � �F� � � � @ � � "%$�&('*) @ � � � � )�� � � �� �"2( Ä�� "%$�&('*) @ � � � � � � �<� � � � 2 ) À � � � � @ 2 � "%$�&('*) @ � � � � )�� � � ��/

���~mprît�s�lF|�v~}p� mprJq¢¡u��oBz��Sm{��q5w zF��q��"lB��|J�G %�.��ln}<m{q5l�q¢¡~y.��w.r�m{s�w8�»ª%§�v.��znm{s�w��BÀ �3�(sSt¦zF��qy�lFs�y.s3r�m{znm{s�w lFq:rGv~}{zBrît�lFs�| �Tm���rGv��.rGznm{zFv�znm{s�w sSt � � & @ ,) <.�"�Tm<m�����y�y~}<mpo5��znm{s�w�sSt¦zF��q��lF�~m{zFlB����q�oBs�w.��m{znm{s�w8�

?� .& �(= ! ) = � ! �(� ) @ 2 � Á ) @ � �"%( �� Â�� ) @ � �"2( �� Ä�� * �GÂ�À���Tm<m<m�� rGv��.rGznm{zFv�znm{s�w�v.r�m{w���zF��q¦mp�3q5w3znm{zGx

( ! "%$�& Ê'*) � �(<�� & �#"%$�&(' � �(< ) @ � * �GÂ�Á3���w.���Tm{�.�"q¢}<m{|�m{w.��znm{s�wsSt�zFq5lF|�r�m{w3��sS}{��m{w�� @ � ��w.� @ � �L� �~mpoF���lFqJq¢¡~zFlFq5|Jq¢}{x&rG|���}<}�t�s�ls�y�znm{s�w.r�sSt�oBs�|J|Js�w�|���zFv�lnm{znm{q:r5�

��È:¹��L¹E´:µ³¸:µ³¹8º �(+� %s�w.r�mp�3q5l%zF��q ��}p��oF�3�G�3oF��sS}{q:r�t�s�lF|�v~}p�"��rZ��t�v�w.oBznm{s�wJsSt�m{|Jy~}<m{q:�J��sS}p��znm<}{�m{zGxV^ ��$ }<m{w�q:��l(��y�y�lFs�¡3m{|���znm{s�w���lFs�v�w.��zF��q�y.sSm{w3z ^ .& @ mpr� ! & ( ! "%$�& Ê'*) � � <���^�� ) �#"%$�&(' � � <���^�� ) ^

S& ( ! "%$�& Ê'*) � � <��(@ � ) �#"%$�&(' � � <��(@ � ) @ � ( ! "%$�& Ê'*) � �(<��F��^ ) @ �/��q q:§�v.��zFq zF�~mpr%zFs(zF��q(�"lB��|J�G %�.��ln}<m{q5l�y�lnmpoBq��3q:§�v.��znm{s�w��BÀ �3�B����y�y~}{x��GÂ�Á3�B����w.��q¢}<m{|�m{w.��zFqzFq5lF|�r�sSt£y.s���q5l zG��sJ��w.���~m{����q5l¨m{w#@ � ����q(lFq:rGv~}{z¨mpr�q:§�v.��znm{s�w��BÀ �3�B�

Á�À

Page 24: Accounting for Biases in Black-Scholes

d���� �Lg �Zj �%iEf:g $�j�� ���i.g $��$0g��

��q��3q5lnm{��q�|Js�|Jq5w3zBr(sSt �.�0y.q5lnm{s�� }{s�����oF�.��w���q:r�m{w&zF��q�q¢¡uoF�.��w���qJlB��zFq�t�s�l���w���lF�~m{zFlB��lFxrGzFs�oF�.��rGznmpo"��sS}p��znm<}<m{zGx�|Js��3q¢}T�E��r �3q:rFoBlnm{�.q:� m{w���q:oBznm{s�w �3�

Ã�s�l>� & À���v�w.oBs�w.��m{znm{s�w.��}£|Js�|Jq5w3zBr���w.��oBv�|�v~}p��w3zBr t�sS}<}{s�� t�lFs�|¤zF��q��3q5lnm{����znm{��q:r�sStzF��q(|Js�|Jq5w3z ��q5w�q5lB��znm{w���t�v�w.oBznm{s�w8�%�L����m{w��Jq¢¡~y.q:oBzB��znm{s�w.r ��m{zF��lFq:rGy.q:oBz zFs�� �ulBrGz:�

� ����É � & 7 q¢¡~y � � ? !$# %-� � � %1012! � !$# %

& 7�� q¢¡~y � � ? !$# %� � 2Á�� � !�� � �

�� �� 012! �"% � ��� � � �

�� �2! �"2 � ��� ��� *

� ��q5lFq 7�� �3q5w�s�zFq:r zF��q�q¢¡~y.q:oBzB��znm{s�w���m{zF��lFq:rGy.q:oBz"zFs � �%����q(|Js�|Jq5w3zBr�sSt oBs�|Jq¦t�lFs�|�3q5lnm{����znm{��q:r q5����}{v.��zFq:����z�� & ��� ����q5xîm{|Jy~}{x�oBv�|�v~}p��w3zBr"�GrGq5q���q:oBznm{s�w�Á3�

4 % � � & ? !$# %4 2 � � & 7 � � �4���� � & �"% � ��� 7 � � � 012 �4���� � &  � #��� � � � �"2 � ��� 7 � � 2 �/

����q�rGzB��w.����lB�îm{w.��mpo5��zFs�lBr sSt�rG��q5� w�q:rFr ��w.���3v�lFzFs3r�mpr"��lFq

�"% � � & �"% � ��� 7 � �� 012 �

7 � � � � 012

�"2 � � &  � #��� � �7 � � � 2 � �"2 � ��� 7 � �

2 �7 � � � 2 *

��r rGzB��zFq:��m{w�q:§�v.��znm{s�w��GÁ����B�

 %s�w.��m{znm{s�w.��}��~m{����q5l�|Js�|Jq5w3zBr�t�sS}<}{s�� t�lFs�| r�m{|�m<}p��l�|Jq5zF��s���r5�(¥Tt � � !�� ��w.� ��� !�� ��lFqm{w.�3q5y.q5w.�3q5w3z:�8��r���q���rFrGv�|Jq:�E��zF��q(|Js�|Jq5w3z ��q5w�q5lB��znm{w���t�v�w.oBznm{s�w mpr

� ����É � & 7 q¢¡~y � � �5�� % � ? !$# 5 ��� %1012!$# 5 $ % � !$# 5��

& 7�� q¢¡~y � �5�� % ��� ? !$# %�

� 2Á�� � !$# 5 $ %-� � �

�� �� 012!$# 5 $ % �"% � ��� � � �

�� �2!$# 5 $ % �"2 � ��� ��� � *

� ��q5lFq 7�� w�s��°�3q5w�s�zFq:r"zF��q�oBs�w.��m{znm{s�w.��} q¢¡~y.q:oBzB��znm{s�w���m{zF��lFq:rGy.q:oBz(zFs�zF��q � � r5�� %s�w.��m{�znm{s�w.��}�oBv�|�v~}p��w3zBr ��lFq

4 % � � & �5�� % ? !$# 5 & ?�

Á�Á

Page 25: Accounting for Biases in Black-Scholes

4 2 � � & 7�! �5�� % � !$# 5 $ %

4���� � & �"% � ��� 7�! �5�� % �

� 012!$# 5 $ %

4���� � &  � #� ! �5�� % � !$# 5 $ %-� �"2 � ��� 7�! �5�� % � 2!$# 5 $ % /

���~mpr�}{q:����r zFs�q:§�v.��znm{s�w��GÁ/.3�B�

d���� � $���$0g�i(��."Zg $���&%f

����q��"lB��|J�G %�.��ln}<m{q5l(q¢¡~y.��w.r�m{s�w }{q:����r(zFs�lFq¢}p��znm{��q¢}{x�r�m{|Jy~}{qJq¢¡~y�lFq:rFr�m{s�w.r�t�s�l���m{�Sm{zB��}�s�y��znm{s�w.r5�Z¥�w�zF��q(lnmprG�3�0w�q5v�zFlB��}8t�lB��|Jq5��s�lF�JsSt ��q:oBznm{s�w�Â��3zF��q�y�lnmpoBq¦mpr

� ! & "%$�&('*) -, ./ 021*3�5 026 )87 :8� �(< /¥Tt mpr w�s�lF|���}���zF��q���}p��oF�3�G�3oF��sS}{q:r(o5��rGq��B�3zF��q(y�lnmpoBq�mpr

� ! & "%$�&('*) � �(< ) @ �/ �GÂ�Â3�

Ã�s�l zF��q��"lB��|J�G %�.��ln}<m{q5l q¢¡~y.��w.r�m{s�w8�.zF��q(y�lnmpoBq¦mpr

� ! & "%$�&('*) � �(< ) @ �) " $�&('*) � �(< ) @ � U �"%( Â�� �³À ) �(< ) @ � 2 � �"2( Ä�� �<�(< ) @ � � ) Â3�(< ) @ � W /

¥Tt���q(v.rGqJ�GÂ�Â3�ZzFsJoBs�|Jy�v�zFq¦m{|Jy~}<m{q:����sS}p��znm<}<m{zGx��.zF��q���w.��}{s��JzFs�kZlFs�y.s3r�m{znm{s�w�Á¦mpr

^ �(<�� & @ )7U �"%( Â�� �³À ) �(< ) @ � 2 � �"2( Ä�� �<�(< ) @ � � ) Â3�(< ) @ � W /� s�zFq�zF�.��z"zF��qJrG��q5� w�q:rFr���w.���3v�lFzFs3r�mpr"zFq5lF|�r"��lFq5w�� z(|�v~}{znm{y~}<m{q:�&�3x#@ �8��r"zF��q5x���lFq�m{wq:§�v.��znm{s�w��BÀ �3�B�LÃ�s�l zF�.��z�lFq:��rGs�w8��zF��q5x�o5��w��.�:��q�}p��lF��q5l q¢��q:oBzBr5�

Á�Â

Page 26: Accounting for Biases in Black-Scholes

� � � �%��� �� ���

$"����q5w8��kLq5zFq5l:���¨m<}<m{y8��������w8����w.��3��m<}{q:rG� , ��|���|�v�lFznm{q�� À��/�������5ª%rGznm{|���znm{s�w�sSt¨lnmprG�3�w�q5v�zFlB��}���w.��rGzB��znmprGznmpo5��}��3q5w.r�m{znm{q:r �3xJ��q5lF|�m{zFq(y.sS}{x3w�s�|�mp��}£��y�y�lFs�¡3m{|���znm{s�w8�Z� m{zF���w���y�y~}<mpo5��znm{s�w zFs�q5v�lFs��3sS}<}p��l�t�v�zFv�lFq:r�s�y�znm{s�w.r5� !�|���w3v.rFoBlnm{y�z:��Ã�q:�3q5lB��} ,�q:rGq5lF��q����w���sSt $ zn}p��w3zB��� *�v�w�q��

$¨m{zF�G�3���.��}<mp�����%��o«m{w�q��(��w.� $"w.�3lFq5� 1Es.��À��/���3�� � s�w�y.��lB��|Jq5zFlnmpo�q:rGznm{|���znm{s�w sSt�rGzB��zFq5�y�lnmpoBq��3q5w.r�m{znm{q:r�m{|Jy~}<mpo«m{z m{w �uw.��w.o«mp��}���rFrGq5z�y�lnmpoBq:r5� !�|���w3v.rFoBlnm{y�z:��� w~m{��q5lBr�m{zGx&sSt %�~mpo5����s.� *�v�w�q��

$"�3�Sm{lB�:x�� �Zq:����z:����w.���"q5sS��lFq5xJ�%s3s�zF�8�.À��/./.�� � � m<¡~q:����m<��v.r�m{s�w�����v�|Jy�y�lFs�oBq:rFrZ|Js��3q¢}<m{w��sSt q¢¡uoF�.��w���qJlB��zFqJ|Js���q5|Jq5w3zBr5� !�� ��&� ���=@�BA�� �����'( ����E#�� ���!#�! ,���! ���� � ������Â�À5���Â��3�

����zFq:r5���(�:��mp�E��À��/�������� *�v�|Jy.r���w.�rGzFs�oF�.��rGznmpo���sS}p��znm<}<m{zGxE�&ª�¡uoF�.��w���q�lB��zFq�y�lFs�oBq:rFrGq:rm{|Jy~}<mpo«m{z¦m{w �"q5v�zBrFoF��q(|���lF�Js�y�znm{s�w.r5� !�� ��&� ���=4�BA� ��#��� �#1 ���!��� ����������/���FÀ ���3�

����zFq:r5���(�:��mp�E�%À��/�����8�%� �"sS}<}p��l ��v�|Jy t�q:��lBr5��À��/.�Ä��FÀ��/��Á����¨mprGzFlnm{��v�znm{s�w.��}¨����w�s�lF|���}<m{znm{q:rm{|Jy~}<mpo«m{z�m{w�oBv�lFlFq5w.oBx t�v�zFv�lFq:r�����zB��� !���������#1��BA�����!�����#�! ���#1� %�����V#���� ,0�#����JÀ ���"����� ��Â��

����m<}<}<m{q�� , mpoF�.��lB�E�Z��w.� � m{|¿�%sS}<}{q5lBr�}{q5�E� À��/./����� ����qJ|Jq:rFrF����q¦m{w�����m<}{x�q¢¡uoF�.��w���qJlB��zFq:r5�$»oBs�w.��m{znm{s�w.��}£����lnmp��w.oBq(zB��}{q�� !���������#1��BA �L��� ������� #���� �����'( �� ���!#�! ,���! �����3�Á/���:��Â������

��}p��oF�E� ãmprFoF��q5l:����w.����x3lFs�w�3oF��sS}{q:r5��À�����Â���� ����q�y�lnmpo«m{w���sSt�s�y�znm{s�w.rJ��w.�oBs�lFy.s�lB��zFq}<mp���~m<}<m{znm{q:r5� !���������#1 �BA� �15 ��! ���#1�� �����'(��.�À��"��Â��:������Ä.�

��}p��oF�E�LãmprFoF��q5l:�ZÀ���� �����5Ã.��oBz(��w.� tT��w3zB��rGx m{w�zF��q�v.rGq�sSt s�y�znm{s�w.r5� !�� ��#��� �#1 ���#15���������������#1ZÂ�À�� *�v~}{x3� $"v���v.rGz5�B�EÂ���� ��Á��

�%s��3v�lFzF�.����*���|Jq:r5�E��w.���"q5s�lF��q:r" %s�v�lFzB���3s�w8�8À��/.��3� � *���� �� ��� ��3��BA ����� 53?��������������� � �! ����3����s�w�s���lB��y�����q5lnm{q:r¨m{w�ãm{w.��w.oBqJ��w.��ª%oBs�w�s�|�mpo5r�À��/.��:�0Ä � ���"� q5���Zs�lF�E��3��}{s�|Js�w� %q5w3zFq5l:�

�%lFq5w�w�q5l:����q5w.��oF��q5|��.��w.���Zs�v�w���� � s�ªZs�|��EÀ��/���3��� � s�����lF�~m{zFlB����q"s�y�znm{s�w�y�lnmpo«m{w��.��� q5�q5��mp�3q5w.oBqJs�w�zF��q�����}<mp��m{zGx�sSt�zF��q�|���lFznm{w��3��}{q�y�lFs�y.q5lFzGx�� !J|���w3v.rFoBlnm{y�z:� � q5���Zs�lF�� w~m{��q5lBr�m{zGx���w.��Ã�q:�3q5lB��} ,�q:rGq5lF��q�����w���sSt � q5���Zs�lF�E�

 ���|Jy.��� *�s3rGq��.��w.� �"q5��m{w� %�.��w��.�8À��/������� �8q:rGznm{w��JzF��q(q¢¡~y.q:oBzB��znm{s�w.r �3x3y.s�zF��q:r�mpr s�w�zF��qzFq5lF| rGzFlFv.oBzFv�lFq"sSt���sS}p��znm<}<m{znm{q:r5� !���������#1 �BA�� ��#���� ��������Á/������Ä �3�

Á�Ä

Page 27: Accounting for Biases in Black-Scholes

 ���|Jy.��� *�s3rGq��8��w.���"q5��m{w& %�.��w��.�LÀ��/��������$"lF�~m{zFlB����q5�0�.��rGq:��zFq:rGzBr sSt�zB��lF��q5zF� �5s�w�q�oBlFq:��m{��~m<}<m{zGxE� ªZ��mp�3q5w.oBq�t�lFs�| ª ,�� oBlFs3rFrG�0lB��zFq"s�y�znm{s�w.r5� ! ��'(���� ���#�� �����'( �� � ��&� ���=.���� ��Á���� �:Ä ���

 ���|Jy.����*�s3rGq�� �"q5��m{w� %�.��w��.�E��w.� ,�s��.q5lFz�,�q¢mp�3q5l:�%À��/���3���B¥�|Jy~}<m{q:��q¢¡uoF�.��w���q�lB��zFq���mprG�zFlnm{��v�znm{s�w.r5�ZªZ��mp�3q5w.oBq¨t�lFs�| 3 �" �s�y�znm{s�w�|���lF��q5zBr5� ! |���w3v.rFoBlnm{y�z:� � q5� �Zs�lF��� w~m{���q5lBr�m{zGx�� $"v���v.rGz:�

�(��r5�"�3��w#��m{�E�"��w.� , ��w��3��lB�#�n��w ��v�w.����lB��|���À��/���3��� �L��|�m{w��&zF��q�rG��q5��� ��m{����q5lF�0s�lB�3q5l|Js�|Jq5w3zBr�m{wJ|Js��3q¢}<m{w�����rFrGq5zLy�lnmpoBq y�lFs�oBq:rFrGq:r£m{w �uw.��w.oBq�� ! �"��ª ,&��s�lF��m{w���kZ��y.q5l� s.���/��� ���

�¨m{q5�.sS}p�E��Ã�lB��w.o«mpr5�.À��/./.�� � ' � ��� ���#1 %�����15 ��3��BA ��MJ��*�#�3��� #�!�����J�#'( ����3��� q5� �Zs�lF�E���y�lnm{w���q5lF� �Zq5ln}p���.�

�"lFs3rGz:��Ã�q¢m{��q�� ����q5s ��m ��|���w8����w.�J����rZ��q5lF��q5l:�.À��/����� �5ª%rGznm{|���znm{s�w���w.��zFq:rGznm{w���m{w�|Js��3�q¢}pr oBs�w3zB��m{w~m{w��J�.s�zF� ��v�|Jy.r ��w.��rGzFs�oF�.��rGznmpo ��sS}p��znm<}<m{zGx�� !�t�s�lFzF�.oBs�|�m{w��.����������#1 �BA�L��� ��������#���� �����'( �����!#�! ,���! ����3�

�(��lF|���w8������lF�E� ��w.����zFq5��q5w �"s��~}{�.����q5w8��À��/.�Â���5Ã�s�lFq¢m{��w oBv�lFlFq5w.oBx s�y�znm{s�w����}{v�q:r5� !��������#1 �BA����!�����#�! ���#1� %�����(#���� ��#�����Á���Á�Â�À5��Á�Â��3�

�"��w.rGq5w8���%lFv.oBq��.À��/��Ä.� ��$"v�zFs�lFq5��lFq:rFr�m{��q�oBs�w.��m{znm{s�w.��}ë�3q5w.r�m{zGx�q:rGznm{|���znm{s�w8� ! ����!�����#�! ���#1� �����'( �� � ��&� ���= Â������ ����� ��Â����

�"r�m{q5�8���(�:��mp�E�LÀ��/./����� ��s��3q¢}<m{w�����q5zFq5lFs3rG��q:����rGznmpo«m{zGx m{w&����m<}{x t�s�lFq¢m{��w�q¢¡uoF�.��w���q�lB��zFq:r5� !��������#1 �BA �L��� ������� #���� �����'( �� ���!#�! ,���! ������3�.Â����:��Â�À �3�

*���lFlFs���� ,�s��.q5lFz:�E��w.� $"w.�3lFq5� ,�v.���E�ZÀ��/.�Á�����$"y�y�lFs�¡3m{|���zFq�s�y�znm{s�w�����}{v.��znm{s�w t�s�l"��lF�~m{�zFlB��lFx�rGzFs�oF�.��rGznmpo"y�lFs�oBq:rFrGq:r5� !���������#1 �BA� ��#��� �#1�� �����'( ����JÀ ����Â�Ä �:��Â��/���

*�s���w.rGs�w8� � s�lF|���w8�3�3��|�v�q¢} �"s�z"������w.� ��������}p���3lnmprG��w.��w8�EÀ��/��Ä.�������! ���������Y� �&�#�� �#�!��� ,���!�� !-����! �����; � �15��'(�EH�; ����������� � ��! ��L��� q5���Zs�lF�E�L� m<}{q5x��

*�s�lnm{s�w8�.kZ�~m<}<m{y�y.q��%À��/./.���� 3 w ��v�|Jy�y�lFs�oBq:rFrGq:r m{w�zF��q�t�s�lFq¢m{��w�q¢¡uoF�.��w���q���w.��rGzFs�oF�J|���lF���q5zBr5� !�� ��&� ���=4�BA�� ��#��� �#1 ���!��� �����À��3Ä3Á��:�0Ä�Ä ���

�¨m{|��.�3��w�� ��s3s�w8����w.�.� q¢m<}�����q5y��.��lB�E�EÀ��/��Ä.���:��zFs�oF�.��rGznmpo ��sS}p��znm<}<m{zGxE� 3 y�znm{|���}E}<m{��q¢}<m{��s3s��m{w~t�q5lFq5w.oBq(��w.�JoBs�|Jy.��lnmprGs�wJ��m{zF� $�,   �|Js��3q¢}pr5� !(|���w3v.rFoBlnm{y�z:� � v 0îq¢}p�� %sS}<}{q5��q��3 ¡3t�s�lB�E������lBoF�8�

�"w~m{���3z:� *�s���w8����w.����zFq5y���q5wJ�3��zBoF��q¢}<}T�.À��/���3�/�5kZlnmpo«m{w��(�3q5lnm{����znm{��q:rL� lnm{zFzFq5w(s�w���rFrGq5zBrE��m{zF���lF�~m{zFlB��lFx&rG��q5� w�q:rFrJ��w.�&�3v�lFzFs3r�mpr5� !�|���w3v.rFoBlnm{y�z:�%�8lnm{w~m{zGx  %sS}<}{q5��q��  ���|���lnmp�3��q��� s���q5|��.q5l:�

Á��

Page 28: Accounting for Biases in Black-Scholes

�"sS}p��rFrF��� *�s���w8�3À��/��Ä.� ������ ���� � �� ���JMJ �'(#�! ��� %����*����J�� ����!#�! ,���! ����3� � q5� �Zs�lF�E�L��y�lnm{w���q5lF��Zq5ln}p���.�

1Es�w��3rGzB������Ã�lB��w.o«mpr5�EÀ��/����� � 3 y�znm{s�w�y�lnmpo«m{w�����w.��zF��q"|���lFznm{w��3��}{q lFq:rGzFlnmpoBznm{s�w8� !�� ��&� ���=?�BA� ��#��� �#1 ���!��� ����.��8À �/��À5�FÀ�À:Á�Ä.�

��������w8���¨m<}<m{y8� ��w.�&Ã�lB��w�� � m<}{w�q��(À��/��Ä.� �: %s�w3znm{w���q5w3zJo«}p��m{|�r�����}{v�q:���w.�&��q:�3��q:�&�3xy�lnmpo«m{w�����w.� m{w3��q:rGznm{w��îm{w����.��r�mpr5� !� %#��*���'(#�! ���#1 � ��#����(Ä.�.Á�Á�Â���Á�Ä ���

����}�����$¨}<}p��w8�(À��/����� � 3 y�znm{s�w��0�.��rGq:��q:rGznm{|���zFq:r�sSt¨zF��q�y�lFs��.���~m<}<m{zGx���mprGzFlnm{��v�znm{s�w sSt¨q¢¡~�oF�.��w���q�lB��zFq:rL��w.��oBv�lFlFq5w.oBx�q¢¡uoBq:rFrLlFq5zFv�lFw.r5� !"|���w3v.rFoBlnm{y�z:�3Ã�q:�3q5lB��} ,�q:rGq5lF��q"����w��sSt � q5���Zs�lF�E�"����lBoF�8�

��q¢}<m{w�s.��$"w���q¢}{s.�E��w.����zFv.��lFz��8v�lFw3��v~}<}T�%À��/�������5kZlnmpo«m{w��ît�s�lFq¢m{��w�oBv�lFlFq5w.oBx�s�y�znm{s�w.r"��m{zF�rGzFs�oF�.��rGznmpo"��sS}p��znm<}<m{zGx�� !���������#1Y�BA�� �����'(���!�� ����(Ä ���.Á�Â/����Á������

��q5lFzFs�w8� ,�s��.q5lFz:�LÀ���� ����� 3 y�znm{s�w�y�lnmpo«m{w���� ��q5w�v�w.�3q5ln}{x�m{w���rGzFs�oF��y�lnmpoBq:r"��lFq���mprFoBs�w3znm{w��v�s�v.r5� !���������#1 �BA�� ��#��� �#1�� �����'( �����Â��8À:Á����FÀ5Ä�Ä.�

,�s3rGq5w3�.q5lF�.�%*�s3rG�3v.���"À��/���+�5kZlnmpo«m{w��&|�v~}{znm{����lnmp��zFq�oBs�w3znm{w���q5w3z�o«}p��m{|�r�v.r�m{w��&q:rGznm{|���zFq:�lnmprG�3�0w�q5v�zFlB��}¦�3q5w.r�m{zGxðt�v�w.oBznm{s�w.r5� !�|���w3v.rFoBlnm{y�z:��� q5� �Zs�lF� � w~m{��q5lBr�m{zGx���� s���q5|J��.q5l:�

,�v��~m{w.rGzFq¢m{w8�"����lF�E�3À���� ��� � ����q%����}{v.��znm{s�wJsStuv�w.oBq5lFzB��m{w�m{w.oBs�|Jq"rGzFlFq:��|�r8��w.��zF��q�y�lnmpo«m{w��sSt�s�y�znm{s�w.r5� ! �L��1�1 ��������#1 �BA� �����'( ������3�3Ä ���:�0Ä3Á����

�L�:x�}{s�l:�(��zFq5y���q5w8����w.� �¨m{w �5��s�w�� �"v8��À��/��Ä.��� ����q�|�����w~m{zFv.�3q�sSt�m{|Jy~}<m{q:�»��sS}p��znm<}<m{zGxrG|�m<}{q:r5������q5s�lFxJ��w.��q5|Jy~m{lnmpo5��}ëq5��mp�3q5w.oBq�t�s�lLq¢¡uoF�.��w���q lB��zFq:r5� ! � ��&� ���=?�BA ���!������� %#� /J�����JÀ:Â��.Â�������Â/.����

�.�3v8���¨m{w��/�¢mT��À��/���3� � *������ ������#���V � %#��*���'(#�! ���#1 � ��#����3���"s�oBzFs�lB��}¨��mprFrGq5lFzB��znm{s�wrGv���|�m{zFzFq:��zFs�zF��q �"q5y.��lFzF|Jq5w3z�sSt ����zF��q5|���znmpo5r5�"� q5���Zs�lF� � w~m{��q5lBr�m{zGx�� ���:x��

Á��

Page 29: Accounting for Biases in Black-Scholes

�"iEe�����!Jh ��"#�.h�g $��.f ��� ��i($� �����%j �%i(& ������i.g �� �%i(& ���.f

 ���w.����mp��w �"q5lF|���w *���y.��w�q:rGq��zB��znmprGznmpo �"sS}<}p��l ����lF� �Zq5w

��q:��w�� $"w�w3v.��}<m��5q:�.� ��� ����Á ��� ��Ä � ��� ����Á��zB� �"q5��mp��znm{s�w�� $"w�w3v.��}<m��5q:�.� ��� ��Ä � ���³À�À � ���³À�À �����q5� w�q:rFr 6���³À �3À 6��� �/��� ��� Â���À�"v�lFzFs3r�mpr Â�� ���/. Á�� Á���Ä ��� ��Â��

��zB��znmprGznmpo5r8y.q5lFzB��m{w�zFs"����m<}{x��3q5y�lFq:o«mp��znm{s�wJlB��zFq:r5� "!$# %'& }{s���( !$# %�) }{s��'( ! ��oBs�|Jy�v�zFq:�¦t�lFs�|�3sS}<}p��lZy�lnmpoBq:r�(�sStus�zF��q5lZoBv�lFlFq5w.o«m{q:r5� ����q�����zB�"��lFq�t�lFs�| �(��zB��rGzFlFq:��|���w.��oBs���q5lL��v.r�m{w�q:rFr���:x�r"�.q5zG��q5q5w+*���w3v.��lFx�Â��%À��/.�����w.� ���:x&À ���ZÀ��/�����GÁ�� ��Ä�s��.rGq5lF����znm{s�w.rB�B� ��q:��w.r���w.�rGzB��w.����lB��3q5��mp��znm{s�w.r��.�:��q��.q5q5w |�v~}{znm{y~}<m{q:���3xÁ������ ����w.� Á����"/ � %1012 ��lFq:rGy.q:oBznm{��q¢}{x��(zFsoBs�w3��q5lFz"zF��q5| zFs���w�w3v.��}�v�w~m{zBr5�8� ��q5lFqJÁ������ ��mpr(zF��qJ�:��q5lB����q(w3v�|��.q5l�sSt���v.r�m{w�q:rFr����:x�rm{w�zF��q(x�q:��lBr(À��/.���� �����

Á��

Page 30: Accounting for Biases in Black-Scholes

�"iEe��� �!Jh ��"#�.h�g $��.f ����d�g%�Bg ��� ��� ��&�� �� ���i.g $��$0g $��.f

 ���w.����mp��w �"q5lF|���w *���y.��w�q:rGq��zB��znmprGznmpo � ����zFv�lnm{zGx �"sS}<}p��l ����lF� �Zq5w

��q:��wÀ ���³À � À ��� ��Á À ��� .�ÂÁ ��� Á�Á À ��� ��Á À�À��³À�. ��� Á�� À ��� .� À�À�� Ä�Ä� ��� Ä.À À�À�� ��� À�À�� .�ÄÀ:Á ��� ��Á À�À��³À�À À:Á��³À �

��q:��mp��wÀ ��� ��� ��� ��� ��� �/.Á ��� Â�� À ��� Á�Ä À ��� .� ��� ��� À ��� ��� À�À�� Â��� ��� .�� À�À�� ��� À:Á�� ���À:Á ��� �/. À�À�� Â�� À:Á�� Ä �

��zB��w.����lB� �"q5��mp��znm{s�wÀ À�� ��Ä Á�� ��Ä Â�� Á�ÀÁ À�� ��� Á�� ��Á Á�� ./. À�� Ä � Á�� Â/� Á�� �/.� À��³À � Á�� ��� Á�� Â�ÀÀ:Á ��� �/� À�� .�À Á�� ���

$"v�zFs�oBs�lFlFq¢}p��znm{s�wÀ ��� ��Ä�. ��� �/.�Ä ��� ��� .Á ��� ��Ä�. ��� �/./. ��� �/.�� ��� ��Ä3 ��� �/��À ��� �/./.� ��� ��Á�Á ��� �/��Ä ��� �/��ÀÀ:Á ��� ./��Ä ��� �/��� ��� �/��Â

�ZsS}p��znm<}<m{znm{q:r���lFq�§�v�s�zFq:r�t�lFs�|�� }p��lF��q m{w3zFq5lFw.��znm{s�w.��}��.��w��E��q¢¡~y�lFq:rFrGq:� ��r���w�w3v.��}¨y.q5lF�oBq5w3zB����q:r5��*���w3v.��lFx&Á�� À��/�����8zFs *���w3v.��lFx ����À��/�����+��À ������m<}{x�s��.rGq5lF����znm{s�w.rB�B����q5q �.�3v�BÀ��/�����B�

Á/.

Page 31: Accounting for Biases in Black-Scholes

�"iEe��� ���h�i(� � �%iEh �$��.h�d'"�"%h � ��$���i.g $���&%fJg ������� "�� � $�� �%f%$���&%f

kZ��lB��|Jq5zFq5lBr ª%rGznm{|���zFq:r

ª�¡u��|Jy~}{q � � � % @ �"% �"2

$��.�%q5w.oF��|���lF� ��� ���/./. ��� ��Á�Â�� ���³À ����� 6��� ����� ��� ./�/.

�"� *�v�|Jy�¥�w3zFq5w.r�m{zGx1Es��°� � & �3� ��� ��� ��Á ��� ��Á��� ��� �/�/��� 6��� ����� ��� �:Ä�.��m{����� � & À �3� ��� ������� ��� ��À��� ���³À ����Á 6��� ����� À�� ��Ä �

 "� �ZsS}p��znm<}<m{zGx1Es��°�(@ & �"/ ���3� ��� ��Â�Ä�Ä ��� ��À ��� ��� ������� 6��� ���� ��� ./�/.��m{�����(@ & �"/ Á3� ���³À:Â�� � ��� ��Ä �/� ���³À��/�/� 6��� ��À:Á ��� ./�/.

��������zFv�lnm{zGx����lFq5q ��s�w3zF�.r ��� ��Á/��� ��� ��Â���Á ���³À ����Ä 6��� ��À:Á À��³À�À���Sm<¡ ��s�w3zF�.r � �"%�& �"/ �3� ��� ��Á/��� ��� ��Â���Á ���³À ����À 6��� ���/� ��� ��Ä �

ª ���"v�lFzFs3r�mpr1Es��°� �"2�& �"/ �3� ��� ��� ��Á ��� ��À��� ��� �/�/�/� 6��� ���� ��� Ä3Â/���m{����� �"2�& À�/ �3� ��� ���/��� ��� ��Á���Ä ���³À ����À 6��� ���/� À�� Ä ��À

Ã��E����q5� w�q:rFr1Es��°� �"%�&�) �"/³À�� ��� ���/./. ��� ��Á�Á/� ��� �/�/��� 6��� ����� ��� ./�����q:��m{v�|¿� �"%�&�) �"/ Á3� ��� ���/./. ��� ��Á�Á�� ��� �/�/./. 6��� ����� ��� ./�����m{����� �"%�&�) �"/ �3� ��� ���/.�Á ��� ��Á���� ��� �/./��� 6��� ����Ä ��� .���À

����q(zB���~}{q"lFq5y.s�lFzBr%y.��lB��|Jq5zFq5lBr%sSt ��v�|Jy�����m<��v.r�m{s�w�|Js��3q¢}pr"�G��w�w3v.��}<m��5q:��rGzB��w.����lB���3q5��mp���znm{s�w.r5� � �"��w.� � % �3sSt�w�s�w�����v�|Jy���w.� ��v�|Jy�oBs�|Jy.s�w�q5w3zBrB�%��w.��q:rGznm{|���zFq:r%sSt£rG��q5� w�q:rFr���w.��3v�lFzFs3r�mprJ� �"% ��w.� �"2 �¨m{|Jy~}<m{q:���3x��"lB��|J�G %�.��ln}<m{q5lJ��y�y�lFs�¡3m{|���znm{s�w.r�zFs�zF��q5|¿�.��rGq:��s�wq:§�v.��znm{s�w��BÀ �3�B�LªZlFlFs�lBr�m{w�zF��q���y�y�lFs�¡3m{|���znm{s�w���lFq¨m{w.��mpo5��zFq:���3x���m<��q5lFq5w.oBq:r��.q5zG��q5q5w�q:rG�znm{|���zFq:rZsSt£rG��q5� w�q:rFr���w.�J�3v�lFzFs3r�mpr%��w.�JzF��q¢m{l�����}{v�q:r m{w�zF��q(oBs�lFlFq:rGy.s�w.��m{w�� ��v�|JyJ|Js��3q¢}T�Ã�s�l"zF��q��.q5w.oF��|���lF��o5��rGq�� �"% & ��� �"2 & À��E��w�w3v.��}<m��5q:����sS}p��znm<}<m{zGx @ & �"/³À��E��w�w3v.��}<m��5q:���v�|Jyîm{w3zFq5w.r�m{zGx � & À ����m{w3zFq5lFq:rGz�lB��zFq:r%��lFq��5q5lFs.����w.�JzF��q"|���zFv�lnm{zGxJsSt£zF��q"s�y�znm{s�wîmpr�s�w�q|Js�w3zF�8�Zª�¡uoBq5y�znm{s�w.r"��lFq(w�s�zFq:�îm{w�zF��q �ulBrGz"oBsS}{v�|Jw8�

Á/�

Page 32: Accounting for Biases in Black-Scholes

�"iEe��� � ��&�)�$0g $���&%i( � ��� ��&8g�f��%� "��$���) e � � ���i.g $��$0g�� ��� $���.f

����zFv�lnm{zGx ��zB��w.����lB� �"q5��mp��znm{s�w ����q5� w�q:rFr �"v�lFzFs3r�mpr

3 ��q5lFw~m{���3z ��� �/.�Ä�� 6��� Á���Á Á�� ��À:ÁÀ ��s�w3zF� ��� �/./��Á 6���³À �/. À�� �/��ÀÁ ��s�w3zF�.r ��� �/���� 6��� �/./. À�� Á�À�. ��s�w3zF�.r ���³À ��À�. 6��� ����Ä À�� ��Â�Â� ��s�w3zF�.r ���³À �/.�� 6��� ��Â/. ��� � ��Á� ��s�w3zF�.r ���³À�À�À�À 6��� ��Á�Á ��� ��Á�ÀÀ:Á ��s�w3zF�.r ���³À�À�À � ��� ����Á ��� ��Ä �À�. ��s�w3zF�.r ���³À�À�À � 6��� ����� ��� Ä�Ä �

ªZw3zFlnm{q:r(��lFq�|Js�|Jq5w3zBr¨m{w~t�q5lFlFq:� t�lFs�| zF��qJ��sS}p��znm<}<m{zGx�rG|�m<}{q:r�m{w&ãm{��v�lFq ���L��r s�v�zn}<m{w�q:� m{w��q:oBznm{s�w�Ä.� ����q�rGzB��w.����lB���3q5��mp��znm{s�w @ mpr�lFq5y.s�lFzFq:� m{w���w�w3v.��} v�w~m{zBr5�&����q5� w�q:rFr���w.��3v�lFzFs3r�mpr ��lFq(zF��q�rGzB��w.����lB��|Jq:��rGv�lFq:r5� �"%( ��w.� �"2( �

��

Page 33: Accounting for Biases in Black-Scholes

� $����%h ���d'& ���%i(� "���'����i � ���i.g $��$0g�� ��� $���

−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.58.2

8.4

8.6

8.8

9

9.2

9.4

9.6

9.8

10

Moneyness d

Impl

ied

Vola

tility

(Per

cent

Per

Yea

r)

����q¦}<m{w�q�y~}{s�zBr�m{|Jy~}<m{q:����sS}p��znm<}<m{zGx����3��m{w.rGz |Js�w�q5x3w�q:rFr�t�s�l s�w�q5�0|Js�w3zF��s���q5lF�0zF��q5��oBs�v�w3zFq5l�"q5v�zBrFoF��q5|���lF��s�y�znm{s�w.r�s�w $"y�lnm<}�Â��EÀ��/��������s�w�q5x3w�q:rFr><�mpr"�3q��uw�q:���3x�q:§�v.��znm{s�w�� �3�B�

�
Page 34: Accounting for Biases in Black-Scholes

� $����%h � �� ��)�$�i(& �%� "��$���)� ���i.g $��$0g���e � �©i.g �%h $0g��

0 2 4 6 8 10 120.8

0.82

0.84

0.86

0.88

0.9

0.92

0.94

0.96

0.98

1

Maturity in Months

Med

ian

Impl

ied

Vol

atili

ty (1

2−M

onth

=1)

1ëm{w�q:r�lFq5y�lFq:rGq5w3z�|Jq:��mp��wðm{|Jy~}<m{q:���sS}p��znm<}<m{zGx&§�v�s�zFq:r¦t�s�lJ��zF�0zF��q5�0|Js�w�q5x�s�y�znm{s�w.r¦t�s�l�zF��q ���w.����mp��w��3sS}<}p��l �G�3s�zFzFq:�¦}<m{w�q��B�.�"q5lF|���w�|���lF�J�G����rG��q:��}<m{w�q��B����w.� *���y.��w�q:rGq x�q5w��G����rG����3s�zFzFq:� }<m{w�q��B�-����q }<m{w�q:r���lFq�rFo5��}{q:�&zFs���mp��oBs�|Jy.��lnmprGs�w8��Ã�s�l�q:��oF�oBv�lFlFq5w.oBx��%|Jq:��mp��w��sS}p��znm<}<m{zGx��.��r��.q5q5w���m{��mp�3q:���3xîm{zBr�����}{v�qJ��z(À:Á�|Js�w3zF�.r5�

Â�Á

Page 35: Accounting for Biases in Black-Scholes

� $����%h � ���iEj �����Zj ������.f�i(&�) ��h�i(� � �%iEh �$��.h �i(� !Jh $�j �.f

−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.50

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

Moneyness d

Rat

io o

f Cal

l Pric

e to

Und

erly

ing

(Per

cent

)

ª%��oF� }<m{w�q�lFq5y�lFq:rGq5w3zBr"zF��qJlFq¢}p��znm{s�w��.q5zG��q5q5w�zF��qJo5��}<} y�lnmpoBq���w.�-�B|Js�w�q5x3w�q:rFr"!�<ît�s�l���wv�w.�3q5ln}{x�m{w�����mprGzFlnm{��v�znm{s�wJsSt�}{s�����oF�.��w���q:r�m{w�zF��q rGy.s�zLq¢¡uoF�.��w���q%lB��zFq�������q rGsS}<mp�¦}<m{w�q�mprLzF��q��}p��oF�3�G�3oF��sS}{q:r t�s�lF|�v~}p����q:§�v.��znm{s�w�� .3�B������q(����rG��q:����w.�J����rG�����3s�zFzFq:��}<m{w�q:r m{w.oBs�lFy.s�lB��zFq��lFq:rGy.q:oBznm{��q¢}{x��8rG��q5� w�q:rFr"� �"%( & Á3����w.���3v�lFzFs3r�mpr"� �"2( & Á3��m{w3zFsJzF��q��"lB��|J�G %�.��ln}<m{q5l(o5��}<}y�lnmpoBq�t�s�lF|�v~}p���.q:§�v.��znm{s�w��BÀ �3�B�%¥�w�q:��oF��o5��rGq��.��q��.�:��q�rGq5z�� & Á����"/ � � À:Á���s�w�q�|Js�w3zF�E�B�@ & �"/³À � � �BÀ � À:Á3� %1012 �+���³À ����w�w3v.��}<}{x.�B�E��w.�+= !�& = � ! & ���

Â�Â

Page 36: Accounting for Biases in Black-Scholes

� $����%h � ����%iEj3g»i(&�)�d'"�"%h � ��$���i.g � � ���i.g $��$0g�� ��� $���.f����8h ��h�i(� � �%iEh �$��.h �i(�!Jh $�j �.f

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 20.09

0.095

0.1

0.105

0.11

0.115

0.12

Moneyness d

Impl

ied

Vol

atili

ty v

ª%��oF��}<m{w�q lFq5y�lFq:rGq5w3zBrLzF��q�lFq¢}p��znm{s�w��.q5zG��q5q5wJ��w�w3v.��}<m��5q:�J��sS}p��znm<}<m{zGx���w.� �B|Js�w�q5x3w�q:rFr"!�<"sSt��w�s�y�znm{s�w8� ����q�rGsS}<mp����s�lnm��5s�w3zB��}L}<m{w�q�lFq5y�lFq:rGq5w3zBr zF��q�rGzB��w.����lB���3q5��mp��znm{s�w @ �.� �~mpoF� mproBs�w.rGzB��w3z:������q(����rG��q:�Jy.��lB���.sS}p��lFq5y�lFq:rGq5w3zBr���y�y�lFs�¡3m{|���zFq�m{|Jy~}<m{q:����sS}p��znm<}<m{znm{q:r t�lFs�| zF��q�"lB��|J�G %�.��ln}<m{q5l�t�s�lF|�v~}p�¨m{wJq:§�v.��znm{s�w��BÀ �3�EsSt�kZlFs�y.s3r�m{znm{s�w�Á�������q rGsS}<mp��oBv�lF��q�lFq5y�lFq:rGq5w3zBrq¢¡u��oBz¦m{|Jy~}<m{q:�&��sS}p��znm<}<m{znm{q:r��.��rGq:��s�w�zF��q��"lB��|J�G %�.��ln}<m{q5l�o5��}<} y�lnmpoBqît�s�lF|�v~}p���Lq:§�v.��znm{s�w�BÀ �3�B� �%s�zF��v.rGq �"%( .& ��� �"2( .& Á���� & Á����"/ � � À:ÁJ��s�w�q�|Js�w3zF�E�B��@ & �"/³À � � �BÀ � À:Á3� %1012�+���³À ����w�w3v.��}<}{x.�B�.��w.��= !�& = � ! & ���

Â�Ä

Page 37: Accounting for Biases in Black-Scholes

� $����%h ���� � �.j3g�f���� �������.&��.f�f�i(&�)����%h�g �8f%$�f���& ��h�i(� � �%iEh �$��.h �i(� !Jh $�j �.f

−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.50.09

0.095

0.1

0.105

0.11

0.115

0.12

Moneyness d

Impl

ied

Vol

atili

ty v

����q¦}<m{w�q:r"��lB��y�����y�y�lFs�¡3m{|���zFq���w�w3v.��}<m��5q:� m{|Jy~}<m{q:����sS}p��znm<}<m{zGx����3��m{w.rGz |Js�w�q5x3w�q:rFr�<ît�s�l��m<��q5lFq5w3z�����}{v�q:rJsSt��~m{����q5l�|Js�|Jq5w3zBr�m{wzF��q���mprGzFlnm{��v�znm{s�w sSt"}{s�����oF�.��w���q:r�m{w zF��q�rGy.s�zq¢¡uoF�.��w���q�lB��zFq�������q���s�lnm��5s�w3zB��}urGsS}<mp��}<m{w�q"lFq5y�lFq:rGq5w3zBrZ��}p��oF�3�G�3oF��sS}{q:r5� ����q rG|�m<}{q(�GoBv�lF��q:�rGsS}<mp� }<m{w�q����.��rJy.s3r�m{znm{��q��3v�lFzFs3r�mprJ��v�z�w�srG��q5� w�q:rFr�� �"%( 8& � *��"2( �& Á3�B� ����q�rG��q5��G����rG��q:� }<m{w�q��(�.��r"w�q5�3��znm{��qJrG��q5� w�q:rFr(��w.��y.s3r�m{znm{��qJ�3v�lFzFs3r�mpr�� �"%( & ) �"/ Ä *��"2( .& �"/ �3�B��%s�zF����lFq��.��rGq:�Js�wJzF��q"��y�y�lFs�¡3m{|���znm{s�w��BÀ �3�B�8¥�w�q:��oF��o5��rGq��;� & Á����"/ � � À:Á"��s�w�q |Js�w3zF�E�B�@ & �"/³À � � �BÀ � À:Á3� %1012 �+���³À ����w�w3v.��}<}{x.�B�E��w.�+= !�& =�� ! & ���

��

Page 38: Accounting for Biases in Black-Scholes

� $����%h ���� ��0g�iEf ���8h'��iEj �����Zj ������.f�i(&�) ��h�i(� � �%iEh �$��.h �i(� !Jh $�j �.f

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Moneyness d

Del

ta

ª%��oF�¦}<m{w�q�lFq5y�lFq:rGq5w3zBr8zF��q%lFq¢}p��znm{s�w��.q5zG��q5q5w�zF��q � ��w.���B|Js�w�q5x3w�q:rFr"!�<�t�s�lL��w�v�w.�3q5ln}{x�m{w����mprGzFlnm{��v�znm{s�wJsSt�}{s�����oF�.��w���q:r£m{wJzF��q�rGy.s�zZq¢¡uoF�.��w���q�lB��zFq�������q rGsS}<mp�¦}<m{w�q¨mprZ��}p��oF�3�G�3oF��sS}{q:r5�� �(<�� & � �(<��B������q�����rG��q:����w.������rG�����3s�zFzFq:�î}<m{w�q:r�m{w.oBs�lFy.s�lB��zFq��3lFq:rGy.q:oBznm{��q¢}{x��ErG��q5� w�q:rFr� �"%( & Á3�"��w.���3v�lFzFs3r�mpr�� �"2( & Á3��m{w3zFs�zF��q��"lB��|J�G %�.��ln}<m{q5l � �Eq:§�v.��znm{s�w&�BÀ ���B� 3 zF��q5ly.��lB��|Jq5zFq5l�����}{v�q:r(��lFq(zF��q�rF��|Jq���r ãm{��v�lFq(Ä.�

��

Page 39: Accounting for Biases in Black-Scholes

� $����%h �����h�i(� � �%iEh �$��.h � ���i.g $��$0g�� ��� $���.f ���8h � � � �©i.g �%h $0g $��.f

−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.50.09

0.095

0.1

0.105

0.11

0.115

0.12

Moneyness d

Impl

ied

Vol

atili

ty v

����q }<m{w�q:r�lFq5y�lFq:rGq5w3z���sS}p��znm<}<m{zGxrG|�m<}{q:rît�s�lJzG��s&��m<��q5lFq5w3z�|���zFv�lnm{znm{q:r5� ����q���s�lnm��5s�w3zB��}rGsS}<mp� }<m{w�q�lFq5y�lFq:rGq5w3zBr(��}p��oF�3�G�3oF��sS}{q:r5������qJoBv�lF��q:� }<m{w�q:r(�.�:��q�y.s3r�m{znm{��qJ�3v�lFzFs3r�mpr�� �"2( &Á��&Á����"/ � � �BÀ:Á �8�F� t�s�lA� & Á����"/ � � À:Á���s�w�q�|Js�w3zF�8�ZrGsS}<mp� }<m{w�q��J��w.� � & Â��&Á����"/ � � À:Á��zF��lFq5q�|Js�w3zF�.r5������rG��q:�ð}<m{w�q��B���%s�zF���lFq��.��rGq:��s�w�zF��q���y�y�lFs�¡3m{|���znm{s�w �BÀ �3�B� 3 zF��q5ly.��lB��|Jq5zFq5lBr���lFq @ & �"/³À � � �BÀ � À:Á3� %1012 �+���³À ����w�w3v.��}<}{x.�B�E��w.�+= !�& =�� ! & ���

��

Page 40: Accounting for Biases in Black-Scholes

� $����%h ������%h�g �8f%$�f�$�& �%h�h ��&%j � !Jh $�j �.f �����.h � $�� �.h ��&8g � $�� �����8h $�� ��&%f

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Time Interval n in Days

Kurto

sis

Rel

ativ

e to

n=1

1ëm{w�q:r�lFq5y�lFq:rGq5w3z�q:rGznm{|���zFq:r(sSt��3v�lFzFs3r�mpr�� �"2( �¨t�s�l(znm{|Jqîm{w3zFq5lF����}pr�sSt ����:x�r(lFq¢}p��znm{��q�zFs� & À�������q�rGsS}<mp� }<m{w�q�mpr(À � ����w.��rGq5lF��q:r ��r���zF��q5s�lFq5znmpo5��}��.q5w.oF��|���lF�E�%����q(s�zF��q5l }<m{w�q:r��lFq�q:rGznm{|���zFq:r£t�s�lLzF��q" ���w.����mp��w��3sS}<}p��l �G�3s�zFzFq:��}<m{w�q��B�.�"q5lF|���w�|���lF�J�G����rG��q:�¦}<m{w�q��B����w.�*���y.��w�q:rGq�x�q5w��G����rG�����3s�zFzFq:�î}<m{w�q��B�E��}<}8t�s�l zF��q�rF��|Jq(znm{|Jq�y.q5lnm{s���oBs���q5lFq:���3x �L���~}{q�À��

Â/.

Page 41: Accounting for Biases in Black-Scholes

� $����%h ���� ���i.g $��$0g�� ��� $���.f ���8h � ���Zg�f�j ������iEh � �."Zg $���&%f.��&°d'"%h $� ��� ����� �

−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.57.5

8

8.5

9

9.5

10

10.5

11

11.5

Moneyness d

Impl

ied

Vol

atili

ty (P

erce

nt P

er Y

ear)

Overnight

1 Month

3 Months

6 Months

12 Months

1ëm{w�q:r"�3q:rFoBlnm{�.q���sS}p��znm<}<m{zGx�rG|�m<}{q:r�t�s�l�s���q5lF�0zF��q5��oBs�v�w3zFq5l��"q5v�zBrFoF��q5|���lF��s�y�znm{s�w.r�s�w $"y�lnm<}Â��8À��/����������q�|���zFv�lnm{znm{q:r�sSt�zF��q(s�y�znm{s�w.r"��lFq(w�s�zFq:�îm{w�zF��q �u��v�lFq��

Â/�

Page 42: Accounting for Biases in Black-Scholes

� $����%h ����� ��&�)�$0g $���&%i( ���%h�g �8f%$�f �.$0g �*�Lg �Zj �%iEf:g $�j�� ���i.g $��$0g��

0 2 4 6 8 10 12 14 16 180

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Maturity in Months

Con

ditio

nal K

urto

sis

����q �u��v�lFq"�3q:rFoBlnm{�.q:r�oBs�w.��m{znm{s�w.��}��3v�lFzFs3r�mprL�E�L|���zFv�lnm{zGx¦m{w�zF��q"����zB�(��w.��m{w�zF��q rGzFs�oF�.��rG�znmpo���sS}p��znm<}<m{zGx&|Js��3q¢}¨sSt¦��q:oBznm{s�w �3� $(rGzFq5lnmprG��r�lFq5y�lFq:rGq5w3zJzF��q�����zB���JzF��q�����}{v�q:r�sSt m{|J�y~}<m{q:���3v�lFzFs3r�mpr"lFq5y.s�lFzFq:� m{w+�L���~}{q�Ä.������qJrGsS}<mp� }<m{w�q�mpr"zF��q�rGzFs�oF�.��rGznmpo���sS}p��znm<}<m{zGx�|Js��3q¢}��m{zF��w�s�w��0w�s�lF|���}Lm{w�w�s�����znm{s�w.r5������qJ����rG��q:� }<m{w�qJlFq5y�lFq:rGq5w3zBr"zF��qJrF��|Jq�|Js��3q¢}���m{zF��s�v�zrGzFs�oF�.��rGznmpo���sS}p��znm<}<m{zGxE� � & ����q:rFrGq5w3znmp��}<}{x��Jy�v�lFq ��v�|Jy�|Js��3q¢}��B�����qJ����rG�����3s�zFzFq:� }<m{w�qlFq5y�lFq:rGq5w3zBrJzF��q�|Js��3q¢}���m{zF�w�s�lF|���} m{w�w�s�����znm{s�w.r5� �"2 � ��� & ���G���3��v.rFr�mp��w rGzFs�oF�.��rGznmpo��sS}p��znm<}<m{zGx�|Js��3q¢}��B�

Ä �