บทที่ 2การแยกตัวประกอบของพหุนาม (15 ชั่วโมง)

2.1 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองที่เปนผลตางของกําลังสอง (2 ช่ัวโมง)2.2 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองโดยวิธีทําเปนกําลังสองสมบูรณ (4 ช่ัวโมง)2.3 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสูงกวาสองที่มีสัมประสิทธิ์เปนจํานวนเต็ม (6 ช่ัวโมง)2.4 การแยกตัวประกอบของพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เปนจํานวนเต็มโดยใช

ทฤษฎีบทเศษเหลือ (3 ช่ัวโมง)

สาระของบทนี้เปนเรื่องตอเนื่องจากที่นักเรียนเคยเรียนมาแลวในหนังสือเรียนสาระการเรียนรูเพิ่มเติม คณิตศาสตร เลม 2 ช้ันมัธยมศึกษาปที่ 2 ที่ไดกลาวถึงการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองในรูป ax2 + bx + c เมื่อ a, b, c เปนจํานวนเต็ม a ≠ 0 และสัมประสิทธิ์ของแตละพจนของตัวประกอบเปนจํานวนเต็ม ในบทนี้จึงขยายความรูเพิ่มเติมเกี่ยวกับการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองที่เปนผลตางของกาํลังสองและของพหนุามทีท่าํเปนกาํลังสองสมบรูณและสมัประสทิธิข์องแตละพจนของตวัประกอบเปนจาํนวนจรงิ อีกทัง้ยงัมสีาระใหมทีก่ลาวถึงการแยกตวัประกอบของพหนุามดกีรีสูงกวาสองทีสั่มประสทิธิข์องแตละพจนเปนจํานวนเต็ม โดยใชสมบัติการเปลี่ยนหมู สมบัติการสลับที่ สมบัติการแจกแจง หรือใชทฤษฎีบทเศษเหลือ ในสาระใหมนี้จะเนนการแยกตวัประกอบของพหนุามดกีรีสูงกวาสองทีม่สัีมประสทิธิ์ของแตละพจนเปนจาํนวนเตม็และสมัประสทิธิข์องแตละพจนของตวัประกอบเปนจาํนวนเตม็เทานัน้ สําหรับหวัขอ 2.4 การแยกตวัประกอบของพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เปนจํานวนเต็มโดยใชทฤษฎีบทเศษเหลือนั้น จะมีการกลาวถึงอีกครั้งในชวงชั้นที่ 4 ในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอนของบทนี้ ครูควรใหนักเรียนไดฝกทักษะมาก ๆ จนสามารถจัดพหุนามใหอยูในรูปที่จะนําสูตรการแยกตัวประกอบตาง ๆ มาชวยแยกตัวประกอบไดอยางคลองแคลวโดยเฉพาะเรื่องการทําเปนกําลังสองสมบูรณ เพราะเรื่องนี้เปนพื้นฐานสําคัญของการเรียนพีชคณิตและการคํานวณอื่น ๆ ในชั้นที่สูงขึ้น ผลการเรียนรูท่ีคาดหวังรายป 1. แยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองโดยวิธีทําเปนกําลังสองสมบูรณได 2. แยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสูงกวาสองที่มีสัมประสิทธิ์ของแตละพจนเปนจํานวนเต็มและ ไดตัวประกอบที่มีสัมประสิทธิ์ของแตละพจนเปนจํานวนเต็ม โดยอาศัยวิธีทําเปนกําลังสอง สมบูรณหรือใชทฤษฎีเศษเหลือได

12

แนวทางในการจัดการเรียนรู

2.1 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองที่เปนผลตางของกําลังสอง (2 ชั่วโมง)จุดประสงค นักเรียนสามารถแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองที่เปนผลตางของกําลังสองได

เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม แบบฝกหัดเพิ่มเติม 2.1

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 1. ครูควรทบทวนความรูเกี่ยวกับการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองที่เคยเรียนมาแลว เชนการแยกตัวประกอบของพหุนามที่อยูในรูปผลตางของกําลังสองและในรูปที่สามารถทําเปนกําลังสองสมบูรณได ทั้งนี้อาจเสริมดวยแบบฝกหัดเพิ่มเติม 2.1 2. กอนใหความรูเร่ืองการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองที่เปนผลตางของกําลังสองและมีสัมประสิทธิ์ของแตละพจนของตัวประกอบเปนจํานวนจริง ครูควรทบทวนเกี่ยวกับสมบัติบางประการของจํานวนจริงคือ ( a )2 = a เมื่อ a > 0

ba = ab เมื่อ a > 0 และ b > 0

ba = b

a เมื่อ a > 0 และ b > 0

3. การแยกตัวประกอบของพหุนาม เชน 5 x41 2

− ในตัวอยางที่ 2 ครูอาจแนะนําวิธีทําอีกแบบหนึ่งดังนี้ 5 x4

1 2− = 4

1 (x2 – 20)

= 41 (x – 20 )(x + 20 )

= 41 (x – 52 )(x + 52 )

4. การแยกตัวประกอบของพหุนาม 8 – (x – 3)2 ในตัวอยางที่ 3 ซ่ึงมีการถอดวงเล็บ ครูควรย้ําและทบทวนถึงวิธีการเขาวงเล็บและถอดวงเล็บดวย เพราะถาทําไมถูกตอง การคํานวณจะผิดพลาดทําใหแยกตัวประกอบไมไดหรือแยกตัวประกอบไดไมถูกตอง

13

2.2 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองโดยวิธีทําเปนกําลังสองสมบูรณ (4 ชั่วโมง)จุดประสงค นักเรียนสามารถแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองโดยวิธีทําเปนกําลังสองสมบูรณได

เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม แบบฝกหัดเพิ่มเติม 2.2

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 1. ครูอาจทบทวนความรูเกี่ยวกับการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง และย้ําถึงรูปแบบของพหุนามที่อยูในรูปกําลังสองสมบูรณ อาจใชแบบฝกหัดเพิ่มเติม 2.2 ประกอบดวยก็ได 2. ในการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองโดยวิธีทําเปนกําลังสองสมบูรณ ในชวงตน ๆครูอาจใหนักเรียนฝกทําเฉพาะการแยกตัวประกอบที่ไดสัมประสิทธิ์ของแตละพจนของตัวประกอบเปนจํานวนเต็มกอน ทั้งนี้เพื่อใหนักเรียนคุนเคยและมีทักษะในการทําตามวิธีการที่ใชพจนบวกเขาและลบออก ถาครูเห็นวานักเรียนสามารถทําความเขาใจรูปแบบของการทําพหุนามดีกรีสองใหเปนกําลังสองสมบูรณไดดีแลว ก็อาจใหนักเรียนเห็นขั้นตอนการแยกตัวประกอบของ ax2 + bx + c เมื่อ a = 1เปนกรณีทั่วไปดังนี้ 1) จัดพหุนามที่กําหนดใหอยูในรูป x2 + 2px + c หรือ x2 – 2px + c เมื่อ p เปน จํานวนจริงบวก 2) ทํา x2 + 2px หรือ x2 – 2px ที่จัดไวในขอ 1) ใหมีบางสวนเปนกําลังสองสมบูรณ โดยนําพจน p2 บวกเขาและลบออกดังนี้ x2 + 2px + c = (x2 + 2px + p2) – p2 + c = (x + p) 2 – (p2 – c) หรือ x2 – 2px + c = (x2 – 2px + p2) – p2 + c = (x – p) 2 – (p2 – c) 3) จากขอ 2) ถาให p2 – c = d2 เมื่อ d แทนจํานวนจริงบวก จะได x2 + 2px + c = (x + p)2 – d2

หรือ x2 – 2px + c = (x – p)2 – d2

4) แยกตัวประกอบของ (x + p)2 – d2 หรือ (x – p)2 – d2 โดยใชสูตรการแยก ตัวประกอบของผลตางของกําลังสองคือ A2 – B2 = (A + B)(A – B) เมื่อ A และ B เปนพหุนาม ถาครูสอนการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองในกรณีทั่วไปตามขั้นตอนขางตน ก็ใหคํานึงวาสอนเพื่อใหนักเรียนเกิดความคิดรวบยอดในเชิงคณิตศาสตร ไมตองนําไปวัดผลหรือประเมินผล

14

3. การเขียนคําตอบของการแยกตัวประกอบในตัวอยางที่ 5 ไดนําตัวประกอบรวม 3 คูณเขาไปในวงเล็บเพื่อใหคําตอบอยูในรูปอยางงาย มีคาคงตัวเปนจํานวนเต็มและอยูในรูปการคูณของพหุนามดีกรีหนึ่งสองพหุนาม สําหรับตัวอยางที่ 6 ถึงตัวอยางที่ 8 ยังเขียนตัวประกอบรวมอยูนอกวงเล็บ เพราะแมจะนําตัวประกอบรวมคูณเขาไปในวงเล็บใดวงเล็บหนึ่ง ก็ไมทําใหไดคําตอบอยูในรูปอยางงาย อยางไรก็ตามการเขียนคําตอบดังตัวอยางที่ 5 ถึงตวัอยางที่ 8 จะเขียนตัวประกอบรวมอยูนอกวงเล็บหรือนํากลับเขาไปคูณในวงเล็บก็ได ครูไมควรนําประเด็นนี้มาเปนเกณฑตัดสินคะแนน สําหรับตวัอยางที ่8 ครูควรทาํความเขาใจกบันกัเรยีนเปนพเิศษเกีย่วกบัการเปลีย่นเครือ่งหมายในวงเล็บเมื่อเขียนผลบวกหรือผลลบในรูปของเศษสวน ครูควรย้ําและชี้ใหเห็นวาระหวางพหุนามแตละคูในแตละวงเล็บมีการเปลี่ยนแปลง ดังนี้

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+− 253 2

5 x = ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −− 2

53 25 x = ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

− 253 5 x

และ 253 2

5 x ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−− = ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +− 2

53 25 x = ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

− 253 5 x

4. สําหรับกิจกรรม “ทําไดเหมือนกัน” มีเจตนาเสริมความรูใหนักเรียนไดเห็นพหุนามดีกรีสองที่เปนกําลังสองสมบูรณและสัมประสิทธิ์ของบางพจนไมเปนจํานวนเต็ม ครูไมควรนําโจทยในลักษณะนี้ไปใชในการวัดผลและประเมินผล

2.3 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสูงกวาสองที่มีสัมประสิทธิ์เปนจํานวนเต็ม (6 ชั่วโมง)จุดประสงค นักเรียนสามารถแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสูงกวาสองที่มีสัมประสิทธิ์ของแตละ พจนเปนจํานวนเต็มได

เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม กิจกรรมเสนอแนะ 2.3 ก และ 2.3 ข

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 1. ในหัวขอนี้จะกลาวถึงเฉพาะการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสูงกวาสองที่มีสัมประสิทธิ์เปนจํานวนเต็ม และเมื่อแยกตัวประกอบแลวสัมประสิทธิ์ของแตละพจนของตัวประกอบเปนจํานวนเต็มดวย ดังนั้นคําตอบของแบบฝกหัดแตละขอจึงอาจมีตัวประกอบเปนพหุนามดีกรีสอง โดยเฉพาะคําตอบของพหุนามที่อยูในรูปผลบวกของกําลังสามและผลตางของกําลังสาม 2. ครูอาจใชกิจกรรมเสนอแนะ 2.3 ก และ 2.3 ข ประกอบการเรียนการสอนใหนักเรียนเห็นความสัมพันธระหวางการแยกตัวประกอบของพหุนามที่อยูในรูปผลบวกของกําลังสามและผลตางของกําลังสามกับปริมาตรของรูปเรขาคณิตสามมิติก็ได

15

3. เมื่อครูใหตัวอยางการแยกตัวประกอบของพหุนามในรูปผลบวกของกําลังสามและผลตางของกําลังสาม ครูควรย้ําใหนักเรียนระวังในการใชสูตร A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2) และA3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2) นักเรียนมักจะสับสนจําพหุนาม A2 – AB + B2 หรือ A2 + AB + B2 เปน A2 – 2AB + B2

หรือ A2 + 2AB + B2 ซ่ึงเปนพหุนามดีกรีสองที่เปนกําลังสองสมบูรณ ซ่ึงไมถูกตอง 4. การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสามและพหุนามดีกรีส่ีที่อาศัยสมบัติการเปลี่ยนหมูสมบัติการสลับที่และสมบัติการแจกแจง ดังตัวอยางที่ 13 และตัวอยางที่ 14 ซ่ึงใชวงเล็บเปนเครื่องมือในการใชสมบัติตาง ๆ ดังกลาว ครูไมจําเปนตองอธิบายใหนักเรียนเห็นวาใชสมบัติเหลานั้นอยางไร แตครูควรใหขอสังเกตวิธีพิจารณาการเขาวงเล็บวาทําไดอยางไร อาจใหขอสังเกตกับนักเรียนในการทําโจทยแบบฝกหัด 2.3 ค ดังนี้ กรณีที่เปนพหุนามดีกรีสามและมี 4 พจน นักเรียนควรจัดเปนสองวงเล็บใหมีวงเล็บหนึ่งอยูในรูปผลบวกของกําลังสามหรือผลตางของกําลังสาม พจนที่เหลือจัดเขาไวในอีกวงเล็บหนึ่งและใชสมบัติการแจกแจงในการแยกตัวประกอบ เชน จัด x3 – 5x2 – 15x + 27 เปน (x3 + 27) – (5x2 + 15x) จะเห็นวา x3 + 27 อยูในรูปผลบวกของกําลังสามและ 5x2 – 15x มี 5x เปนตัวประกอบรวม เมื่อใชสมบัติของการแจกแจงจะไดดังนี้ จาก x3 – 5x2 – 15x + 27 = (x3 + 27) – (5x2 + 15x) = (x3 + 33) – 5x(x + 3) = (x + 3)(x2 – 3x + 9) – 5x(x + 3)

= (x + 3)[(x2 – 3x + 9) – 5x]

= (x + 3)(x2 – 8x + 9) สําหรับกรณีที่เปนพหุนามดีกรีส่ีและมี 4 พจน จัดใหพหุนามในวงเล็บหนึ่งมี 3 พจนและจัดเปนกําลังสองสมบูรณได อีกพจนหนึ่งเขียนอยูในรูปกําลังสองไดและใชสูตรผลตางของกําลังสองในการแยกตัวประกอบ เชน จัด 9x4 – y2 – 6y – 9 เปน (9x4) – (y2 + 6y + 9)

จาก 9x4 – y2 – 6y – 9 = (9x4) – (y2 + 6y + 9) = (3x2)2 – (y + 3)2

= [3x2 + (y + 3)][3x2 – (y + 3)] = (3x2 + y + 3)(3x2 – y – 3)

ใชสมบัติการแจกแจง

ใชสมบัติการแจกแจง

จัดเปนกําลังสองสมบูรณได

เขียนเปนกําลังสองได

อยูในรูปผลตางของกําลังสอง

16

2.4 การแยกตัวประกอบของพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เปนจํานวนเต็มโดยใช ทฤษฎีบทเศษเหลือ (3 ชั่วโมง)จุดประสงค นักเรียนสามารถแยกตัวประกอบของพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์ของแตละพจนเปนจํานวนเต็ม โดยใชทฤษฎีบทเศษเหลือได

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 1. เนื่องจากในการแยกตัวประกอบของพหุนามโดยใชทฤษฎีบทเศษเหลือ บางครั้งอาจตองใชการหารพหุนามประกอบดวย ครูจึงควรทบทวนการหารพหุนามตัวแปรเดียวที่ตัวตั้งมีดีกรีสูงกวาสองและตัวหารเปนพหุนามดีกรีหนึ่งกอน โดยทบทวนถึงความรูที่เกี่ยวของกับความสัมพันธของตัวตั้ง ตัวหาร ผลหาร และเศษ ซ่ึงสัมพันธกันดังนี้ ตัวตั้ง = (ตัวหาร × ผลหาร) + เศษ เมื่อตัวหารเปนพหุนามดีกรีหนึ่งที่อยูในรูป x – a ที่ a เปนคาคงตัว จะไดเศษจากการหารเปนคาคงตัว ใหครูแนะนําคําวา เศษ ที่นักเรียนเคยรูจักนั้น ตอไปนี้จะเรียกวาเศษเหลือ กอนใหทฤษฎีบทเศษเหลือ ครูอาจหาโจทยการหารที่มีเศษเหลือใหนักเรียนทําเพิ่มเติมเพื่อเปรียบเทียบเศษเหลือที่ไดจากวิธีตั้งหารและวิธีแทนคา x ในพหุนาม P(x) ที่เปนตัวตั้งวาไดเศษเหลือเทากันหรือไม 2. ในตัวอยางที่ 6 การแยกตัวประกอบของ x3 – x2 – 8x + 12 ครูอาจใหขอสังเกตกับนักเรียนวา เนื่องจากจํานวนเต็มที่หาร 12 ไดลงตัวมีหลายจํานวนคือ 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 6, -6, 12 และ-12 การพิจารณาแทน x ใน P(x) ดวยจํานวนเต็มใดจึงจะทําใหไดเศษเหลือเทากับ 0 นั้น ครูควรแนะนําใหนักเรียนลองแทนคาโดยเริ่มจากจํานวนที่มีคาสัมบูรณนอย ๆ เชน ลองแทนดวย 1, -1, 2, -2, ... ไปตามลําดับ การหาพหุนามที่เปนตัวประกอบอาจใชวิธีหาเศษเหลือที่ไดเศษเหลือเปน 0 มากกวาหนึ่งครั้งและอาจคิดอยางเปนระบบดังนี้ตัวอยาง จงแยกตัวประกอบของ x3 – x2 – 8x + 12 ให P(x) = x3 – x2 – 8x + 12 ตัวประกอบของ 12 ไดแก 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 6, -6, 12 และ -12 P(1) = 13 – 12 – 8(1) + 12 = 1 – 1 – 8 + 12 ≠ 0

P(-1) = (-1)3 – (-1)2 – 8(-1) + 12 = (-1) – 1 + 8 + 12 ≠ 0 P(2) = 23 – 22 – 8(2) + 12 = 8 – 4 – 16 + 12 = 0 P(-2) = (-2)3 – (-2)2 – 8(-2) + 12 = (-8) – 4 + 16 + 12 ≠ 0 P(3) = 33 – 32 – 8(3) + 12 = 27 – 9 – 24 + 12 ≠ 0

17

P(-3) = (-3)3 – (-3)2 – 8(-3) + 12 = (-27) – 9 + 24 + 12 = 0 จะได x – 2 และ x + 3 เปนตัวประกอบของ x3 – x2 – 8x + 12 เนื่องจาก (x – 2)(x + 3) = x2 + x – 6 เมื่อหาร x3 – x2 – 8x + 12 ดวย x2 + x – 6 จะไดผลหารเปน x – 2 ดังนั้น x3 – x2 – 8x + 12 = (x – 2)(x + 3)(x – 2) = (x – 2)2(x + 3) ครูอาจชี้ใหนักเรียนสังเกตวาในกรณีที่แทน x ใน P(x) = x3 – x2 – 8x + 12 ดวยจํานวนเต็มบางจํานวนนั้น นักเรียนควรใชการพิจารณาผลลัพธวาเทากับศูนยหรือไม กรณีที่ไมเทากับศูนยก็ไมจําเปนตองระบุวามีผลลัพธเปนเทาไร 3. สําหรับการเขียนวิธีทําในแบบฝกหัด 2.4 ครูอาจใหนักเรียนแสดงวิธีแยกตัวประกอบโดยใชทฤษฎีบทเศษเหลือส้ัน ๆ เชน ตัวอยางที่ 9 อาจทําไดดังนี้ จงแยกตัวประกอบของ x4 + 3x3 – 27x – 81 ให P(x) = x4 + 3x3 – 27x – 81 แทน x ดวย 3 ใน P(x) จะได P(3) = 34 + 3(3)3 – 27(3) – 81 = 81 + 81 – 81 – 81 = 0 จะได x – 3 เปนตัวประกอบของ x4 + 3x3 – 27x – 81 ดังนั้น x4 + 3x3 – 27x – 81 = (x – 3)(x3 + 6x2 + 18x + 27) ให Q(x) = x3 + 6x2 + 18x + 27 แทน x ดวย -3 ใน Q(x) จะได Q(-3) = (-3)3 + 6(-3)2 + 18(-3) + 27 = -27 + 54 – 54 + 27 = 0 จะได x + 3 เปนตัวประกอบของ x3 + 6x2 + 18x + 27 ดังนั้น x3 + 6x2 + 18x + 27 = (x + 3)(x2 + 3x + 9) นั่นคือ x4 + 3x3 – 27x – 81 = (x – 3)(x + 3)(x2 + 3x + 9) 4. สําหรับกิจกรรม “คา k เปนเทาใด” มีเจตนาเสนอไวเพื่อใหนักเรียนใชความรูเกี่ยวกับการหารและการแยกตัวประกอบโดยใชทฤษฎีบทเศษเหลือมาประยุกตหาคําตอบ โจทยในลักษณะนี้ไมเหมาะสําหรับนําไปวัดผลและประเมินผล อาจนําไปใชเพื่อฝกการคิดวิเคราะหกับนักเรียนที่มีความสามารถคอนขางสูง

18

5. สําหรับกิจกรรม “ตัวปญหา” มีเจตนาสรางเจตคติที่ดีในการเรียนคณิตศาสตร ใหนักเรียนไดฝกทกัษะในการแยกตวัประกอบและไดตรวจสอบความถกูตองของคาํตอบดวยการเชือ่มโยงกบัสาํนวนไทย

คําตอบแบบฝกหัดและคําตอบกิจกรรมคําตอบแบบฝกหัด 2.1

1. (x + 3 )(x – 3 ) 2. (x + 7 )(x – 7 ) 3. ( 52 + x)( 52 – x) 4. ( 23 + x)( 23 – x)

5. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+ 23 x ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

− 23 x 6. ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+ 65 x ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

− 65 x

7. ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ + 15 x 3

1⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

− 15 x 31 8. ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ + 62 x 4

5⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

− 62 x 45

9. ( x 7 + 62 )( x 7 – 62 ) 10. (x – 1 + 6 )(x – 1 – 6 )11. (x + 3 + 10 )(x + 3 – 10 ) 12. (x – 2 + 33 )(x – 2 – 33 )13. ( 25 + x – 4)( 25 – x + 4) 14. ( 24 + x + 5)( 24 – x – 5)15. (2x + 3 + 62 )(2x + 3 – 62 ) 16. (3x – 2 + 132 )(3x – 2 – 132 )17. (5x – 1 + 34 )(5x – 1 – 34 ) 18. ( 26 + 4x + 3)( 26 – 4x – 3)

คําตอบแบบฝกหัด 2.2 ก

1. (x + 14)(x + 10) 2. (x + 33)(x – 17) 3. (x – 13)(x – 15) 4. (x + 5)(x – 31) 5. (x + 4 + 6 )(x + 4 – 6 ) 6. (x + 1 + 6 )(x + 1 – 6 ) 7. (x – 3 + 7 )(x – 3 – 7 ) 8. (x – 1 + 11 )(x – 1 – 11 )

9. (x + 5 + 62 )(x + 5 – 62 ) 10. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

− 25 7 x ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

− 25 7 x

11. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+ 25 9 x ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+ 25 9 x 12. ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+ 233 5 x ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+ 233 5 x

13. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+ 25 11 x ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+ 25 11 x 14. ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+ 213 7 x ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+ 233 7 x

15. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

− 233 9 x ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

− 233 9 x 16. ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

− 265 15 x ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

− 265 15 x

19

คําตอบแบบฝกหัด 2.2 ข

1. (x + 7)(3x – 2) 2. (11x + 1)(x – 13) 3. (x – 5)(15x – 2) 4. -2(x + 3 + 11 )(x + 3 – 11 )

5. -3(x – 4 + 21 )(x – 4 – 21 ) 6. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+ 637 5 x 3 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+ 637 5 x

7. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+ 393 9 x 6 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+ 393 9 x 8. ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+ 441 9 x 4 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+ 441 9 x

9. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

− 457 1 x 2- ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

− 457 1 x 10. ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

− 213 5 x - ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

− 213 5 x

11. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+ 20129 17 x 10 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+ 20129 17 x 12. ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+ 4173 13 x4 -

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+ 4173 13 x

คําตอบกิจกรรม “ทําไดเหมือนกัน”

1. (x – 5 )2 2. 2

21 x ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +

3. (x + 32 )2 4. 2

31 x ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

−

คําตอบแบบฝกหัด 2.3 ก

1. (x + 3)(x2 – 3x + 9) 2. (y + 4)(y2 – 4y + 16) 3. (2x + 1)(4x2 – 2x + 1) 4. (4z + 5)(16z2 – 20z + 25) 5. (3x + 8y)(9x2 – 24xy + 64y2) 6. (x + 7)(x2 – 13x + 103) 7. (4x – 5)(7x2 – x + 13) 8. (7x – 4)(19x2 – 77x + 151) 9. (x – 1)(x2 + x + 1) 10. (z – 6)(z2 + 6z + 36)11. (5y – 4)(25y2 + 20y + 16) 12. (10 – 6x)(100 + 60x + 36x2)13. (11y – 7z)(121y2 + 77yz + 49z2) 14. (4x – 2)(16x2 + 44x + 49)15. (x – 11)(127x2 + 131x + 67) 16. (5x – 8)(97x2 – 383x + 379)

20

คําตอบแบบฝกหัด 2.3 ข

1. (x2 + 25)(x + 5)(x – 5) 2. (9y2 + 25)(3y + 5)(3y – 5) 3. (9x2 + 16y2)(3x + 4y)(3x – 4y) 4. (x2 + x + 2)(x2 – x + 2) 5. (y2 + 2y + 5)(y2 – 2y + 5) 6. (x2 + 4x + 8)(x2 – 4x + 8) 7. (y2 + 6y + 18)(y2 – 6y + 18) 8. (y + 1)(y – 1)(y2 – y + 1)(y2 + y + 1) 9. (2x + 3)(2x – 3)(4x2 – 6x + 9)(4x2 + 6x + 9) 10. (x + y)(x – y)(x2 – xy + y2)(x2 + xy + y2)11. (x2 + 6)(x4 – 6x2 + 36) 12. (7x2 + 10z2)(49x4 – 70x2z2 + 100z4)13. (8 – y2)(64 + 8y2 + y4) 14. (6x2 – 3y2)(36x4 + 18x2y2 – 9y4)

คําตอบแบบฝกหัด 2.3 ค

1. (x + 1)(x – 1)2 2. (y + 2)(y – 1)(y2 + y +1) 3. (z – 4)(z2 + 5z + 16) 4. (y – 6)(y2 + 15y + 36) 5. (x + 3)(x2 – 8x + 9) 6. (x + 2y)(6x2 + 4y2) 7. x(x – 3)(x + 2)(x – 2) 8. (3x2 + y + 3)(3x2 – y – 3) 9. (2x2 – y + 11)(2x2 – y – 11) 10. (3x2 – y + 3)(3x2 – y – 3)11. (1 + x + y2)(1 – x – y2) 12. (x2 + 2y2 + 5)(x2 – 2y2 – 5)13. (x2 – a + z)(x2 – a – z) 14. (2x2 – a + y – b)(2x2 – a – y + b)

คําตอบแบบฝกหัด 2.4

1. 1) 40 2) 3

3) 1 4) 38 5) -60 6) 0

2. 1) 121 2) -60

3) 85 4) 0 5) 14 6) 0 3. ใชทฤษฎีบทเศษเหลือหาเศษเหลือที่ไดจากการหาร x3 – 2x2 – 2x + 121 ดวย x + 2 ถาไดเศษเหลือ เปน 0 แสดงวา x + 2 หาร x3 – 2x2 – 2x + 12 ไดลงตัว

21

วิธีทํา ให P(x) = x3 – 2x2 – 2x + 12 จากทฤษฎีบทเศษเหลือ P(-2) เปนเศษเหลือที่ไดจากการหาร P(x) ดวย x + 2 P(-2) = (-2)3 – 2(-2)2 – 2(-2) + 12 = -8 – 8 + 4 + 12 = -16 + 16 = 0 ดังนั้น เศษเหลือเทากับ 0

นั่นคือ x + 2 หาร x3 – 2x2 – 2x + 12 ไดลงตัว 4. ใชทฤษฎีบทเศษเหลือหาเศษเหลือที่ไดจากการหาร x4 – 23x2 + 18x + 40 ดวย x – 4 ถาไดเศษเหลือ เปน 0 แสดงวา x – 4 เปนตัวประกอบของ x4 – 23x2 + 18x + 40 วิธีทํา ให P(x) = x4 – 23x2 + 18x + 40 จากทฤษฎีบทเศษเหลือ P(4) เปนเศษเหลือที่ไดจากการหาร P(x) ดวย x – 4 P(4) = 44 – 23(4)2 + 18(4) + 40 = 256 – 368 + 72 + 40 = 368 – 368 = 0 ดังนั้น เศษเหลือเทากับ 0 นั่นคือ x – 4 เปนตัวประกอบของ x4 – 23x2 + 18x + 40 5. 1) (x – 1)(x – 3)(x – 4) 2) (x + 2)(x2 – 4x + 6)

3) (x – 5)(x + 2)(x + 3) 4) (x – 1)2(x + 6) 5) (x + 2)(x + 4)(x – 4) 6) (x – 4)(x2 + 3x + 1) 7) (x – 2)2(x + 3)2 8) (x – 4)(x + 5)(x – 3)2

9) (x – 5)(x + 5)(x + 3)(x – 3) 10) (x + 2)(x + 1)(x – 3)(x + 4)(x – 4)

คําตอบกิจกรรม “คา k เปนเทาใด”

1. -6 2. 59 3. -27 4. -6

22

คําตอบกิจกรรม “ตัวปญหา”

1. x2 + 2x – 3 = (x – 1)(x + 3)2. x2 + 4x + 1 = (x + 2 – 3 )(x + 2 + 3 )3. 81x2 – 169 = (9x + 13)(9x – 13)4. 27x3 – 1 = (3x – 1)(9x2 + 3x + 1)5. x4 + 64 = (x2 + 4x + 8)(x2 – 4x + 8)6. x2 – 28x + 196 = (x – 14)2

7. x3 + x2 – x – 1 = (x + 1)2(x – 1)สํานวนนั้นคือ อยาเอาพิมเสนไปแลกกับเกลือ

23

กิจกรรมเสนอแนะ แบบฝกหัดเพิ่มเติมและคําตอบ

24

แบบฝกหัดเพิ่มเติม 2.1

จงแยกตัวประกอบของพหุนามตอไปนี้ 1. 3x2 + x [ x(3x + 1) ] 2. x – 2x2 [ x(1 – 2x) ] 3. 2x(x – 3) + 3(x – 3) [ (x – 3)(2x + 3) ] 4. 3(2x – 1)2 + 4(2x – 1) [ (2x – 1)(6x + 1) ] 5. x2 + 4x – 5 [ (x + 5)(x – 1) ] 6. 2x2 – 5x + 3 [ (2x – 3)(x – 1) ] 7. a2 – a – 2 [ (a – 2)(a + 1) ] 8. a2 + 6a + 9 [ (a + 3)2 ] 9. 4x2 – 4x + 1 [ (2x – 1)2 ]10. 4y2 – 20y + 25 [ (2y – 5)2 ]11. 14y2 + y – 3 [ (7y – 3)(2y + 1) ]12. p2 – 1 [ (p – 1)(p + 1) ]13. 4x2 – 32 [ (2x + 3)(2x – 3) ]14. 12a2 – 27 [ 3(2a – 3)(2a + 3) ]15. 81 – 49x2 [ (9 – 7x)(9 + 7x) ]16. 9x2 – 121 [ (3x – 11)(3x + 11) ]17. (2x – 1)2 – 4 [ (2x – 3)(2x + 1) ]18. (x – 3)2 – y2 [ (x – y – 3)(x + y – 3) ]

25

แบบฝกหัดเพิ่มเติม 2.2

1. จงเขียนพหุนามตอไปนี้ใหอยูในรูปกําลังสองสมบูรณ ตัวอยาง x2 – 8x – 16 = x2 – 2(x)(4) + 42

16x2 + 24x + 9 = (4x)2 + 2(4x)(3) + 32

a2 + 3a + 49 = a2 + 2(a)

32

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

+ 23

2⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

4a2 – a34 + 9

1 = (2a)2 – 2(2a)13

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

+ 21

3⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

1) a2 + 6a + 9 = …………………….. [ a2 + 2(a)(3) + 32 ] 2) y2 – 10y + 25 = …………………….. [ y2 – 2(y)(5) + 52 ] 3) x2 – 18x + 81 = …………………….. [ x2 – 2(x)(9) + 92 ] 4) 4x2 + 8x + 4 = …………………….. [ (2x)2 + 2(2x)(2) + 22 ] 5) 4x2 – 20x + 25 = …………………….. [ (2x)2 – 2(2x)(5) + 52 ] 6) 100x2 – 20x + 1 = …………………….. [ (10x)2 – 2(10x) + 12 ]

7) y2 + 5y + 425 = …………………….. [ y2 + 2(y)

52

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

+ 25

2⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

]

8) a2 – 7a + 449 = …………………….. [ a2 – 2(a)

72

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

+ 27

2⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

]

9) 41 a2 – 3a + 9 = …………………….. [

21a2

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

– 21

a2⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

(3) + 32]

10) 2516 y2 + 8y + 25 = …………………….. [

24y5

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

+ 24

y5⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

(5) + 52 ]

26

2. จงเติมพจนในชองวางเพื่อทําใหพหุนามตอไปนี้เปนพหุนามดีกรีสองที่เปนกําลังสองสมบูรณ แลวแยกตัวประกอบ ตัวอยาง x2 + 6x + 9 = (x + 3)2

x2 – 14x + 49 = (x – 7)2

a2 + 5a + 425 =

25a 2+⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

1) x2 + ……….. + 25 = …………………… [ 10x, (x + 5)2 ] 2) 4x2 – ……….. + 1 = …………………… [ 4x, (2x – 1)2 ] 3) 9x2 – 24x + ……….. = …………………… [ 16, (3x – 4)2 ] 4) 9x2 + ……….. + 25 = …………………… [ 30x, (3x + 5)2 ] 5) ……….. + 6a + 1 = …………………… [ 9a2, (3a + 1)2 ] 6) 64y2 – 80y + ……….. = …………………… [ 25, (8y – 5)2 ]

7) x2 + ……….. + 41 = …………………… [ x,

21x 2+⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

]

8) y2 – 3x + ……….. = …………………… [ 94 ,

23y 2−

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

]

9) 64y2 ……….. + 161 = …………………… [ 4y,

218y 4+⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

]

10) 25x2 + 15x + ……….. = …………………… [ 32 ,

235x 2+⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

]

27

กิจกรรมเสนอแนะ 2.3 ก

กิจกรรมนี้ตองการใหนักเรียนเห็นวา a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b3) โดยใชปริมาตร

ใหนักเรียนทํากิจกรรมและตอบคําถามตอไปนี้ 1. สรางกลองกระดาษทรงสี่เหล่ียมมุมฉาก 5 กลอง ขนาดตาง ๆ กันดังนี้ กลองที่ 1 ขนาดกวาง ยาวและสูง ดานละ a หนวย กลองที่ 2 ขนาดกวาง ยาวและสูง ดานละ b หนวย (ให b ∠ a) กลองที่ 3 ขนาดกวาง b หนวย ยาว b หนวย และ สูง a หนวย กลองที่ 4 ขนาดกวาง b หนวย ยาว a – b หนวย และ สูง a หนวย

กลองที่ 5 ขนาดกวาง a – b หนวย ยาว a หนวย และ สูง a หนวย

ตัวอยาง

1a

aa

b

bb

2b b

a3

a – b b

4 a

a – b

a5

a

28

2. ใหนักเรียนหาปริมาตรของกลองแตละใบแลวเขียนคําตอบเติมในชองวางตอไปนี้ ปริมาตรของกลองที่ 1 เทากับ .................................... [ a3 ]

ปริมาตรของกลองที่ 2 เทากับ .................................... [ b3 ]ปริมาตรของกลองที่ 3 เทากับ .................................... [ ab2 ]ปริมาตรของกลองที่ 4 เทากับ .................................... [ ab(a – b) ]ปริมาตรของกลองที่ 5 เทากับ .................................... [ a2(a – b) ]

3. นํากลองที่ 3 กลองที่ 4 และกลองที่ 5 มาประกอบเปนทรงสี่เหล่ียมมุมฉากที่มีความสูง a หนวย ดังรูป ก แลวใหนักเรียนสังเกตวา ทรงสี่เหล่ียมมุมฉากรูป ก นี้มีปริมาตรเทากับปริมาตรของ กลองที่ 1 หรือไม [เทากัน]

4. ผลบวกของปริมาตรของกลองที่ 1 และกลองที่ 2 เทากับเทาใด [ a3 + b3 ] 5. นํากลองที่ 2 วางซอนบนกลองทรงสี่เหล่ียมมุมฉากรูป ก ในขอ 3 จะไดรูปเรขาคณิตสามมิติ ดังรูป ข

a

5

b

a 3

a – b

4 a 1a

aa

รูป ก

ba – b

รูป ขa

5

b

a 3

b

a – b

4

2

ba – b

29

6. จากรูปเรขาคณิตสามมิติรูป ข ใหนักเรียนดึงกลองที่ 4 ออก แลวนําไปวางซอนดานบนของ กลองที่ 5 ใหไดดังรูป ค

7. ปริซึมรูป ค มีปริมาตรเทาใด [a3 + b3]

a – b b

4 aa

5

a 3

b

b a – bb

a – b

a

b

4

a5

a 3

b

b

a – b

2

รูป ค

a – b

รูป ค

a

b

4

a5

a 3

b

b

a – b

2

a – b

30

8. จากกิจกรรมในขอ 4 ขอ 6 และขอ 7 นักเรียนสามารถหาความสัมพันธของปริมาตรของรูปเรขาคณิต สามมิติในขอ 4 และขอ 7 เปน a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) ไดหรือไม ถาได จงแสดงวิธีทํา

ได ดังแนวคิดตอไปนี้

ผลบวกของปริมาตรของกลองที่ 2 และปริมาตรของกลองที่ 3 = b2(a + b) ลูกบาศกหนวย ผลบวกของปริมาตรของกลองที่ 4 และปริมาตรของกลองที่ 5 = a(a – b)(a + b) ลูกบาศกหนวย เนื่องจาก ในขอ 3 ผลบวกของปริมาตรของกลองที่ 3 กลองที่ 4 และกลองที่ 5 เทากับปริมาตร ของกลองที่ 1 จะได ผลบวกของปริมาตรของกลองที่ 2 กลองที่ 3 กลองที่ 4 และกลองที่ 5 เทากับ ผลบวกปริมาตรของกลองที่ 2 และปริมาตรของกลองที่ 1 ดังนั้น b2(a + b) + a(a – b)(a + b) = b3 + a3

นั่นคือ a3 + b3 = (a + b)[b2 + a(a – b)] = (a + b)(a2 – ab + b2)

a

=1

a

aa

b

bb

2

b

4

a5

a 3

b

b

a – b

2b

a – b

31

กิจกรรมเสนอแนะ 2.3 ข

กิจกรรมนี้ตองการใหนักเรียนเห็นวา a3 – b3 = (a – b)(a2+ ab + b2) โดยใชปริมาตร

ใหนักเรียนทํากิจกรรมและตอบคําถามตอไปนี้ 1. สรางกลองกระดาษทรงสี่เหล่ียมมุมฉาก 5 กลอง ขนาดตาง ๆ กันดังนี้ กลองที่ 1 ขนาดกวาง ยาวและสูง ดานละ a หนวย กลองที่ 2 ขนาดกวาง ยาวและสูง ดานละ b หนวย ให b < a กลองที่ 3 ฐานยาวดานละ a หนวย สูง a – b หนวย กลองที่ 4 ฐานกวาง a – b หนวย ยาว a หนวย สูง b หนวย

กลองที่ 5 ฐานกวาง b หนวย ยาว a – b หนวย สูง b หนวย

2. ใหนักเรียนหาปริมาตรของกลองแตละใบแลวเขียนคําตอบเติมในชองวางตอไปนี้ ปริมาตรของกลองที่ 1 เทากับ .................................... [ a3 ]

ปริมาตรของกลองที่ 2 เทากับ .................................... [ b3 ]ปริมาตรของกลองที่ 3 เทากับ .................................... [ a2(a – b) ]ปริมาตรของกลองที่ 4 เทากับ .................................... [ ab(a – b) ]ปริมาตรของกลองที่ 5 เทากับ .................................... [ b2(a – b) ]

a

a

a1

b bb

2

a – b

a

b

4b

a – b

b

5

aa3

a – b

32

3. นํากลองที่ 2 กลองที่ 3 กลองที่ 4 และกลองที่ 5 มาประกอบกันเปนกลองทรงสี่เหล่ียมมุมฉาก ดังรูป ก นักเรียนคิดวา ทรงสี่เหล่ียมมุมฉากรูป ก มีปริมาตรเทากับปริมาตรของกลองที่ 1 หรือไม

[เทากัน]

4. จากทรงสี่เหล่ียมมุมฉากรูป ก ใหนักเรียนยกกลองที่ 2 ออกดังรูป จะไดรูปเรขาคณิตสามมิติ ที่มีปริมาตรเทากับ a3 – b3 ใชหรือไม [ใช]

5. ใหนักเรียนหาผลบวกของปริมาตรของกลองที่ 3 กลองที่ 4 และกลองที่ 5 [ a2(a – b) + ab(a – b) + b2(a – b) ] 6. ผลบวกของปริมาตรที่ไดในขอ 5 นักเรียนสามารถเขียนใหอยูในรูปการคูณของพหุนามสองพหุนาม ไดหรือไม ถาได เขียนไดเปนอยางไร [ได และเขียนไดเปน (a – b)(a2 + ab + b2) ] 7. จากผลที่ไดในขอ 4 และขอ 6 มีความสัมพันธกันอยางไร [ a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) ]

a – b a3

4 5b

a

b

a – b

b bb

2

a – b a3

4 5

a

2รูป ก

b