aes - mohe.gov.symohe.gov.sy/masters/message/ph/محمد ابراهيم المحمد... · 4...

195
AES !!"# $%$ EC &’ ( !

Upload: hoangthuy

Post on 15-Sep-2018

265 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

������������������������������������� �� �� �� �

���� ���������� ���������� ���������� ������� �� �� �� �

��� �� ��� ����� �� ��� ����� �� ��� ����� �� ��� ������������������������������������������������ �

����

����

��

����

������������ �����������AES��� ��������������������

� � !�!"#��� ��$%$��EC�&��'�( ������

������������������������������������� ������������� ������������� ������������� ������������������������������������������������������������ ����������� ����������� ����������� ������������������ �������� �������� �������� �!!!!� �� �� �� �����

������������������

������������������������������������������������� �� �� �� �����

��

����������

���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ��������� �

���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ������������� �

��

��

���������� �

���� ������� �

��� �� ��� ��������������� �

����

����

��

���� �������������������AES������������������ �����

� � !�!"#��� ��$%$��EC�&��'�(��

Investigating an improvement on AES through using EC

mathematics in its transformations ����

���� �� ��� �������� ����!�"�# ��$ %&'�� (����� �� ��� �������� ����!�"�# ��$ %&'�� (����� �� ��� �������� ����!�"�# ��$ %&'�� (����� �� ��� �������� ����!�"�# ��$ %&'�� (��������������������������������������������

����

������������������������������������������������������������������������

������������������������������������������������� �� �� �� ���

���������������������������������������������������������������������������������������� � � � ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ���������� ���������� ���������� ���������������

��

��

�)�(*����� �� �

�����+,# ��- .��

������ %����)�(*����� ��� �

�+�/���!'� .'��

��

����

���� �������������������AES������������������ �����

� � !�!"#��� ��$%$��EC�&��'�(��

Investigating an improvement on AES through using EC

mathematics in its transformations ��

���� �� ��� �������� ����!�"�# ��$ %&'�� (����� �� ��� �������� ����!�"�# ��$ %&'�� (����� �� ��� �������� ����!�"�# ��$ %&'�� (����� �� ��� �������� ����!�"�# ��$ %&'�� (��������������������������������������������

��

������������������������������������������������������������������������

������������������������������������������������� �� �� �� ���

������������������������������������������������������������������������������������������������ � � � �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ���������� ���������� ���������� ���������������

����

���������� �

���� ������� �

��� �� ��� ��������������� �

����

���� �����+,# ��- .� ����� �� ��� ���� ��)�('� �

���� ������0����������

���� ���+�/���!'� .'� �� (1����2!� '�3�� %4��� %���)�('

����5 �� ���( #6� � �

������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

�� �����

��

� �)��*�� �+,-� �.*���

�����/ !0� ���1����

��

��

��

��

��

������������ ������ ����������������� ������������� ����� �!"�#$���%��&����' �(��

�)��'��������*�+��, �-��'�������

����

���������������������������������������������������������������������������./0� ����������������������������������������������������������������������������������� #1��2���34� #5 �

������������������������������������������������������

����6�����3�'�������7#8����������, �-��'�����

��

��

��

��

��

23�+44445��

��93�)���:;#�<�=> ?��@������������������A �B� ���#'���CDE3� 7F���, ��G�.0� �

�26����H���I����@J���K L ����� ���A ��04��M�: #1��2���34� #5����'���� ���� ��, �-��'������)��'��������*��� ��������N��

O J�����PCQ���R��� �������ST�=> ?�U4�R����VWKN����

������.0� ��� #1��2���34� #5

�� ������������A �F ����H���I��� ����������������������������������������@J���K L ���

��������������������������������������������

����6�����3�'�������7#8��������, �-��'�����������

��.��XXXY&��

��Z�BW> [������CDE3�\�]����4��������� �����������AES����������4�����4���4�

� � !�!"#��� ��$%$���� �����EC�&��'�(��]���X�W�^�<�_�Y[��������DW�P�6��`a�SW�b��70�^�<�_�Y[���!����-�) c����"K�:b��70N��

������

���������������������������������������������������������������������./0� ������������������������������������������������������������������������� #1��2���34� #5 �

��������������������

�������������� ���������

����������������������������

�� �

����

�������������������������������������������� ����������������������������������� !���������������� ����������������������������������� !���������������� ����������������������������������� !���������������� ����������������������������������� !""""""""""""� �� �� �� �

�#�$%���&'���(�) � !�#�$%���&'���(�) � !�#�$%���&'���(�) � !�#�$%���&'���(�) � !�"""�"""�"""�"""� �� �� �� �

� ��#*+,��-�.�/�#0�'/�1 �2 ���3 �4��� !#*+,��-�.�/�#0�'/�1 �2 ���3 �4��� !#*+,��-�.�/�#0�'/�1 �2 ���3 �4��� !#*+,��-�.�/�#0�'/�1 �2 ���3 �4��� !""""""""� �� �� �� �

�.�5������6�.�5������6�.�5������6�.�5������67�89���7�%�:��1 �����;<�= '/�>7�89���7�%�:��1 �����;<�= '/�>7�89���7�%�:��1 �����;<�= '/�>7�89���7�%�:��1 �����;<�= '/�>� �� �� �� �

�1 ��'������*?�3 �� !�1 ��'������*?�3 �� !�1 ��'������*?�3 �� !�1 ��'������*?�3 �� !�"""�"""�"""�"""1 ��@�> ��(�A���#�B�B�C +(1 ��@�> ��(�A���#�B�B�C +(1 ��@�> ��(�A���#�B�B�C +(1 ��@�> ��(�A���#�B�B�C +(� �� �� �� �

��'����D�E ���������3 �� !��'����D�E ���������3 �� !��'����D�E ���������3 �� !��'����D�E ���������3 �� !""""""""""""F������'(��������F������'(��������F������'(��������F������'(��������""""""""""""�G���H�I%���J�:�,���G���H�I%���J�:�,���G���H�I%���J�:�,���G���H�I%���J�:�,��� �� �� �� �

K����:�1 �����3 ��.�� !K����:�1 �����3 ��.�� !K����:�1 �����3 ��.�� !K����:�1 �����3 ��.�� !LLLL� �� �� �� �

�MN O<�.PPPPPPPPPQ�%B�R��������������������7�8�+%��S�:�3 ���T��'/�U) ��MN O<�.PPPPPPPPPQ�%B�R��������������������7�8�+%��S�:�3 ���T��'/�U) ��MN O<�.PPPPPPPPPQ�%B�R��������������������7�8�+%��S�:�3 ���T��'/�U) ��MN O<�.PPPPPPPPPQ�%B�R��������������������7�8�+%��S�:�3 ���T��'/�U) �.VPPP%��:�WVPPPP%��.VPPP%��:�WVPPPP%��.VPPP%��:�WVPPPP%��.VPPP%��:�WVPPPP%��� �� �� �� �

.�%���3 ��C '(-�X�/�����M3 ;��������������������������Y��9���.��> �XZ ��.[��U���.�%���3 ��C '(-�X�/�����M3 ;��������������������������Y��9���.��> �XZ ��.[��U���.�%���3 ��C '(-�X�/�����M3 ;��������������������������Y��9���.��> �XZ ��.[��U���.�%���3 ��C '(-�X�/�����M3 ;��������������������������Y��9���.��> �XZ ��.[��U�������

��

�;d�� BWK�;�W ����������

������������������������� ��6��������� %7�*���

� �

���8��44��9: �,!�*�� !�;���NNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNN 1

1+��� cNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNN 1

2e����� ���A NNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNN 1

�<=��8�7*�: �+�$�����>��?1<�3��@=�� �A�����

1+-1�� c�NNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNN� �4

1�- 2� ���f�K�g����NNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNN 4

1�3�����7�J ��_�ch�NNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNN 12

���1 �3�1��ch�;���I�NNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNN� �15��

1 �3�1V�� ��i���ch���NNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNN� �17

1 �4�������� ����c�NNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNN��21

���������1�5������������ �����������������NNNNNNNNN�NNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNN��23

�B�44C*��8�7*�: �,��*��D!@�� ���E��� ��

2�1���� c�NNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNN� �29

2�2����j���k��)�7l�NNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNN 29 ��

2�3���#'����2�<%V�6���mlF���NNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNN( 31

2�4���#'�����#<�W ��NNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNN 36

2�5���#'����R���WNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNN� �37

2 �-5� 1�������V ��c���NNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNN� �37

2 �5�2���)�'���\��l ����#'&NNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNN� �52

�8�7*��F *�C*�:�������G7;�*�����������

3� -1 �� c�NNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNN� �62

3�-2� ) c� ��mlF�������'� �NNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNN� �62

H)��*��8�7*��: � !�!"#��� ��$%$��� �,��� ���

4�1��� c�NNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNN� �76

4�2�;@���i��n[J ��o ��'&�NNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNN� �76

4�3�;@���i��n[J#����YlJ ��p��q�������E6�NNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNN� �96

4�4�;@���i��n[J �����j���SNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNN� �97

�I ��J��8�7*�:K������L.%�*�����

�-5 � -1�� c�NNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNN� �101

-5 �2+���-����#'��NNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNN� �101

-5 �3+�\��c ��r6[���NNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNN� �107��

-5 �4+�sd��J������MNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNN� �115

-5 �4+1�;@���i��n[J �����j���SNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNN� �116

-5 �4+2��-��c �����j���k�NNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNN� �117

-5 �5�+��Btk�NNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNN� �125

-5 – 6 �� �-��c �K�� ��B����NNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNN��127

����#�'���� ���Y�S"�� ���

���#�'���� �[��Y �� ���

�P[� �e�I�+� ���

�P[� �e�II�+� ���

�P[� �e�III�+� ���

�u���XX �� ���

�v���3�O w� ����3�'��� ���

��x��$�i���v���3�O w� �� ���

������

���������

�������� ������

�������������� ������

1�������� Introduction���

���������������� �� ���� ���� ��� � �� ������ ��� ��� ��� ���� ������ ������ �������� ��� ��

!�"��#�$��! ��%��&�'�(�)��*��(�+�*����,�*���*�����������"������( ���)%���-.���������

*�����������!�(� �������������*���/ "���� ����0� ����1 ���'"�����2*�� ������*�$%������������

����(��� �����!��'� ������3�����23/ �������4���"56��������������" ������ ���+)����%�������7��

�� ����8�+��*��(��9 �(� �+�������������������!��(�9��3/ ���*����$. ��'�:��� ���*��*����

8�7��2!!)�� �(�+�*���������������;��!)����<7��=���:�����' �� � �+����'�:���5���������" ���

��9>���<7!���)%����9���8 �7��2�!)�������%�����&�'�����?���6� �2��'����@����������;�8 �7�A(�

���B �%����������?!���% � ������� ��� ����"� ��2�*���'��� ���&�� ��(�() ���;�@�������������7��A(��

���C��=��%��� ������+� +����(����#� %D�����/ ����� ������� ���6� ���������E���-��

2�������������� A purpose of the Study��

����������������*���F�� ��("���� ����� ���� ����=��%������(�(�� ���+�����:����C���

�����:����(���� �(" ���(( �����G���(� ���(?����'�����"����+� +���5����������� �(� ���

��� ������" �������,��<7�� ����1 �:��*����-������ ��D����) ������� �D���� �� �����H �����;

��� (� �� �������' ���!��B �%����?����@�?�� ������� �����������������*��������������

��� ������9��������+��=����%����+� ��*����)����� ������5�-��

�������� ��� ��� ���9����� E�/ ��� �� �IJ ����� ��6� ��� K���� ������ @�/ ������ �$��� *�� ����' �

��� ������ ����:�� ���������%����� �)%���� 2�������� =����%���� �+� +�� ��� @������� ������� ��'

����������%���5������������*�:�-��)�����7��������$��B %��������(?�I��� ����"%�K����' �

����9�����J ���6� ���� ���*�����(�" ����� ���2@��������' ����7��@��=�� ����9������� ���

��! �?�1 �"-��

������������ ���9����� �� �����I�������� �� ����� ���� �� K�A�?��� �!��� *�

���%���� ����)��������9�������2�!���% �=)��L���(" �����9�������(� ���*������������(��

���6�����=���:��(%���>��*�������� ��(�M �� ���� �(�)���(" ��� ���(�M ��+"����*��(�(��� �

#��,���2�(��:��=�/ ����N9�����6� ������+�����9������������'������C���������(" ������-��

�� ("�� ��?���6� ��������'������%�9D�����"'������������� ���9�������<7���6� ����� ���������(

7�� #�(�� *��% � �����;� �� " � *���%�� 2!��� � � ��� O��� �>�� *�� ���9������� <������� ��8 �7�

��)����D�����%������� ��A������/ ��������� �(� ��� ���I�������� �� ��K���������>��% ���

! ��"��� P5 ���� ��" �� #�(:�� ����(�� -�L�� �" � J 7��� !���� ������� ��(��� (%�� ���� �6��� +� B �%

�9�������<7���$��������/ ����!�$�������9�������8 � �L���������J 7���1 �:������B �%����-

��� ������%��(/ ����9�������<7!��*�:��A� ����! �?��(�9�����9�������#�(��*��% ��8 �7��-��

7�����@�Q ����=���:��R*;�����(���<��� ���'"Q����*R�/ �S�

�������)�����"%����(�(�:�����������������������! ����-�

����!���������� ���T (��� �:��)����#��);-�

� ��������������(����S ��9������L ���L-�

�!���� !6��� � �����;�� !"��' � *���� � ��� �������� ��)����D�� ���%����� ������ U �� ��

���������>��% ���-�

"����" ��!���% ��!������� %�� ���P5 ��������(�%� "������� >���� $�*���!�-��

��:�� �� 6��� ��� ��� �)���� �������C� ��"%� �� ��� ��! ����� ��"%��� ��)�� (�(�:�� ������ ��

�$�(%������9����������!"��' ���6�������"���=�%����-��

���� ���� 6���7��������9��������!����L�������L5(������� ��� ��������������$���)�����-��

�� ��� ��� 6���� ������ ���9����� ����(� B �$��������%�9D��� ��"'����� �������� �� 6�� ����

����9��������>��% ��!���5�$�����$� ����(�(%�������$��@���� �����6�����7�6� ���6���-��

��� ��@�������� 6������)����D����%�������/ �����/ �� �������������!���� ��!���� �����6��

��! �������"%��������� ��-��

���/ ������������V��� ��>��*��<9)�W����?�J 7���������� 6��X���*�/ ���1 ������� 6�����

��������>��% ����8 �7����! �������"%�������)����D����%�������-��

�*�/ �� ���� �����M��� �� ���P�������X���� ("������%�������9���������%����L�P5 �����>��% �

�%� "������6� ��� ������ (�(%�����$��� �6� ������6� ���)��*�� ���9�������#�(�� ��" ��>��*�2�

�������9�������7�6� �*�9�*��) +�-��

���

!

���������������

�������������������������������

Number Theory and Finite Fields Algebra��

��

1��1�������Introduction ��

�������2����������������;���/ D� ���(� ���(�������������+� +�� �����6O� ��������� ��� ���

�(�(�:������������ ������#���� ����� ����O�9��������������$ �������O���)���������

��"�%���%�&����"%���'������(�)-��

�(?��2��� ��� ����� ����+)������������(��9 ����������7���! �������"%����(�(�:���������%�� �

��#6�����(� ���(?����! �������"%���� ������������������(� ���6� ������9�����*��((��8 ��!�

��O)����D����%�������� �!�������9�������<7���������I����K���6O� ����O���� (O" �����I���K�

U � �����U ���(�(�:���������������:��������������O��"���=�%�����B �(%�����)���U O��

���"%���� �����! ����'����'����������C���"%��/ ������ �� ��$������'������-��PO�(� ���(���

������ ���P�9�����7������&�'���(�(%������"%�����)�@��(�(�:�������������)���(�(�:���&�� ����

#���� ����� ��(�*�)-���*O������� ("���2��������U ������7 � �(" �� �"�������O��:���O"%��

J (�( �+���"%���-��

1��2���� ������ �����Principles and Theories ��

���������� ����%�%� ���(�(�:��� ��������)��@������:��! 5������(�(�:����������� ����(�(O�:�

����*���O�������O�;��O'��0�������� ���<7���� ��(����2����'���(�(�:��V� �� ������)������%�%� ��

�����������(������("��Y ?��Y���O/ ����� ��������(?��28 �7���C�1 ����=)�����F�%� ���((�����

"

�������L��"��(���*�9�7�������������������'���(�(�:��*������YS� $�*���2����'���(�(�:��Z ��()��

*��D������*�������?����(�(�:��-Y������290�:����������������������(" �������(�(�:���(���(?�

�6��6��� ���L��������J 7���1 �:��-����H �(O���=O�)���O����9����������4����%����E(���������

*�)7����1 ���������$M��-��

���� ���2(�(O�:���O�����������%����(�"������ �B �%�(�(�:������������:�� �!6��������:��(�(�:

�=)�����F�%� ���((���*�����+�������?������7;������L����1±�2p±�-���F�%O� �((O��J ���� +��

��L������#�()�������(%����"��'��= ���*��*����J����Siipppa ααα ...... 2

21

1=���������J ���

∏=p

ppa αB �%0≥pα��

*��B �%��������S��+����+, �+���������������(�(�����0>i�

�������������������>$��-�./0� ��������������������������������2��1��./0���0� ��

:��������F�/ � �����)���(�(�(�)��*��U � 6���*� ���0≠n���*���"���(����2�%�%� ���(�(������LO��

�������& ����O����1 �?�23�����4��������= � �S��.���������

��'����8 �7��I��7;�'"����7;�K�� ���'�����&"% ��*�S��5���.����

�F�%� �((��J ���)��*��8 �7���-*��J ��S2���5���4���������"�����" ��������= � ��2�?��*�(S��

2��5���46��

��I���(� O�������9O�����=O ����U O���O���.� ���������9���O�ba n≡K�����O$�������O���O����

�/�.�������"�*��8 �7S2��/�5���4�.� �0�"-��

���"�' ����5�$�S)7(mod3≡x��2)13(mod7≡x�����(�%���%�8 ���)91(mod59≡x��

��

��

7

���� S� *�� �7;21 , nn�J �� �!���� ���� ������ *����1),gcd( 21 =nn���"�' ��� �5�$� [75(��

)(mod 1nax ≡�2)(mod 2nax ≡��(�%���%�8 ���)(mod 21nnax ≡��

������7;��.����������(���(���2�S����?����2%������4��1 �?�-�*���6�M��������)������( �

���%�%� ���((�8 �� *� �� *�, � *� � 9��1 �?��?�����������������)����2���F�%O� �((������*���7;���2

8 ����()����(%������?�'"��O� ����B �%������)������&"% S��.� ��������

�)��*����$��������������1 �?��%�%� ���(�(�:������)����� �2S�8�1�*��*��*�, �*�:��9�����)�

�1 �?��?������*�������-�1 �?��%�%� ���(�(�:����� ����O"�%�X�'����@�)����=�/ ���������@�

��OO���(� ���������� �&���(OO� ���*����OO?�*���OO����7OO���2������������@OO��) ���

�������������@�9� ���;��� ����������6��������-��

���

���

•∗•=∗•�

••=••�

•=•�

) c a ( ) b a ( ) c b ( a ivity Distiributc)b(a cb)a ( ity Associativ

a b ba ity Commutativ��

�1 �?����% ����� �� 9���������������<����� ����������O"�%��O�;��%�%� ���(�(�:���"�%�*�

�1 �?��%�%� ���(�(�:����� ��������������F/ ��������S���

�����������!Theorem�����*��U � 6���*� ���((����*��%�%�6����*�*��U � ������(%����$��

��������*���� �� ��\*�]�*^��*�����(����������1 �?����(�(O�:���O"�%�*�� 9������������

�1 �?��%�%� ���(�(�:���"�%���;��%�%� ���I������������:���K*��J ��2S��

��

��

��

��

/

2���������4������.�(�2���������4����2��������4�)������

��

��

��

��

��

��

��

�"���!��

��

#����!���1 :����;�@�����������*:������=�����������O�(����*W������ ��=�/ ���������

�/ ����%�%� ��� ���� ���S��

( ) nnanat

i

t modmodmod1

��

���

�= ∏=

��

�1 �?���������2�%�%� ���(�(�:���"�%����*����%��� ����2(�1�*�:��)����<7O���O� ���U ���()��

����/ ��������"�%��3������������>�� ���2(�* )���F�%O� �((���)��*��L��������7������@O?��

��*���� *�2��������4����������

����������� ����������4������.��

(�2���������4����2��������4�)������

��� ���

���������� �

��������:��� 9��������!����(���F�/ � ��

������� ������������������ �������������������

?

��)����*�/(�1�*�:��)��(�%��F�%� �((��()�;�*������*�=���O)����*�/ �@?��(�1�*�:�)���B O�%�

������&"% �S������������������������������������2��0�=4������.����

�*;��$������������ *�/���/ �1 �����!������1 �?���_����1*��8 �7�2S��

0/������1�.���

���/ �1 ����!��*����!���1 ����2�"�%����� ���U ��*W���"������������-����O?�*����;��������

����� %��I%����:����� :�������K����(O)�;����O� ��O���(� �J ��2�"�"%���<7������(�

������% ����� �������"�%���������/ ���1 ���������:��L �������;�((�-�����O�;�&�O' ��*���O�?�

�*������*���!6��@)� ���*������()��2���/ �1 ����!��*����� ����"�%����� ���((% �� ����������

� ��:��8� ����� �"�������(�(�:�����������$ �����������;����� �2$�;4���V�O/ ����

��0� :��8� ����@���� ������3������� 2@�34��*�%�%� �*�((�(�* *!)-�� �+���%������

�*�%�%� ���*�((��� ��:��8� ����� �"���*W��*����O��L��9����J 7���&��2�*��4��� O�"��((���������

�*���>��*���-�O�� ��:��8� ����� �"���*W���$������������ 1��������S��

&���2 1*���4�.�7��

((���0� :��8� �����V�/ �������*�%�%� �*��*����O��L��9����J 7�������2�*��4��F�%� �((���!�

�=)����*��� ���*�'�����&"%�S��

�]����*������������"�����"��*��-��

�]��*���7;���*������������"�����"��*����*����*��=)��cm ≤�-��

����������$�����O���0� :��8� �����V�/ ����*; 1*� ������S71�����V�O/ ����*���O�%>��@O�

��� ���� � ��8� ����S��

babalcm *),( ≤��

�����0� :��8� �����V�/ ���� ��:��8� ����� �"���'�� ��?>��8 ����*����S��

( ) ( ) babalcmba *,*,gcd =��

-

#�����!�����O��9�������(O �*�%�%O� �*�((�� ��:��8� ����� �"���()�D���$�����9�����8 ���

��?;1 (-�*�%�%� �*�((��*���"��*���������*�������!�� ���������� ������� ������ ���� � ��7;S��

1),gcd( =ba��

�"�������(����=�%��L���J �S��

( ) babalcm *, =��

����*�((����� ���$���������1*� �������*�����-��

��8� ����� �"������!6��E)� ���(�����O�?�����;��(�����������0� :��8� �����V�/ ����� ��:

�()�;$��% ���& � ������"�%������(�(�:��U ��-��

��)��*��[ ]1,0 −∈ na��O��*������1 �?�(�%��1 �����*�����(���*������(O���J ��2���O���*�����

*���S&���2��*��4�.��������

���� ������?���������9�V� %������� ��� ��� %���������1 �?�����9�*����59)����9�!�.�

���������?�����8� 1*� �*� , � *� � 5� �� 9��� ���*���*���� �������@���������������� ���-�*���7W��

�1 �?���� ������?���������9� )%�*�����(�����������((���J ���25�4��6�M���*�S��

�8�1*��*�, �*��5���92�����9�J ���6� ���#�$ �����������?�����-�(�*"*7)-��

��1 �?���� ������?���������9�*�� ��$�������������1�����S8�*� *�/*�-�9�-��

���@� �V�� �������'����� � ����� '������I������@� ��/ ��������J 7���]φ�K(/)�2�L�.�

� �� ��� ((�� I� )%� K� �?������ ���9� 1 �?� ��� ����� -� *�� J �24φ���%�%� ��� (�(�:�� ((�� ��

�*���" �� �����)������@��������������*�� �� ���-����

������@� ����]φ����/ �1 ����!��()���� ����"%����� ���((��*�-�������((���)��*�����*���

2�4� .� �� :� �φ�-�@� �=�%��)��*��φ��((��J ����=�/ ��� %��*���� ����C�*������*�((��

A�������� �����������=�%����>�!� � (� ��("*7)S��

�1

�������������!������!����)��*�� .� A� 0� ����U �6��*�A��� ��((����*������*����C

��� �������@� �*����*]φ�������S��

φ 24�.�φ 2�4�0φ 2A4�.�2��5��4�0�2A�5��4�

��"��!��*�����. ���A�.�"*�����(��S��

2�"4�.�2 �5��402"�5��4�.��0�!�.�?φ��

��%�%� �(�(�������$�8 ����*��J ��@��������������"��1 �?�"����S��

8��*��*�!*�/*�?*���*�� *��!�9��

�O������ ������?��)��*��� ��������*�� �224φ�'���� ����?>����S��

*��B �%��������������������������S

( ) ( )

t

i

et

ee

t

ii

ei

pppn

ppn

...

1

2121

1

1

=

−= ∏=

−φ

��

�����F�%O� ���((O����O��:���O��% �������I�*��J �����O�������*���9O�� ���O����((O�������((O���O���

����� ���-K��

��"�!���)��*�.�"�*���S���"�. ��0�"��*���I�"KφS��

( ) ( ) ( ) 8155*13315 00 =−−=φ �

��)��*��.��!�*�� �S�!�.�� �0� ��7��8 ����*��2�!4φS��

( ) ( ) ( ) 8133*12224 02 =−−=φ��

� �?����������)��U � ����$�����7!����(��.�����1 �?���� ��!��S8��*"�*/�*���*� *��/*��-*�� 9��

(�(�:��������������(:�� ���*��*� �� ���*� ��������� �&�������;���/ D��-�("*7*/)��

��

������������ ���(��� � ��� ������!��*��U � 6�������)��*��� �(���2��������((�����

�9����@ � S&��2�*��4�.������� �����(����J �� �2S��

��:�������.���

������*���7;)1(mod −≡ psr����[75(��)(mod paa sr ≡���%�%� ���(�(�:�������)��*�a��2�J �

������((�����?������(�����1 �"���A�"���U �6� �*����2�:�4�-������)(mod paa p ≡�����)��*�

��%�%� ���(�(�:����a��

����������� ���(���������'�)��������������� ���������� !���

������*������)��*��*����9����* � ��*�7���&��2�*�4�.����22≥n�������&"% ��F�%� �((�S��

� *���7;�*nZa ∈��[75(��)(mod1)( na n ≡φ

��� �*���7;n��*���*������*�((��#�()�P ����))((mod nsr φ≡�[75(����

�������������� )(modnaa sr ≡ ���%�%� ���(�(�:�������)��*�a��

�1 �"��������(���J �n�1 �"���!/ �6� �*����A�"���)(nφ�-��

��"���!��)��*���.�"������.� ���" ������������*W�S��

"������ �.���

��)��*���.�-*���.�!����� ��&"% &��2�*�4�.���*W���� ���S��

!φ 2-4

����-�.�!7�����-�

�����������������������.�!1-7�����-�

������.���

��*��(�+������"%�����)������:��T (�����U �� ����! �����������������&�� ��-��

��

��

��

������������������ Finite Fields!��

�������OO�! �������OO"%����%�OO� �(/*?)��(OO��9 ���OO�������7���OO�� ��� OO����OO���OO� ���2

����6O� ����O��9�����*O��((��8 ��!���������2�O�! �������O"%���� ��O���O����O������O���(O� ��

����OO�%������OO�� ��OO��9������OO$���OO��9�������<7OO���OO���OO�����#OO6�����(� OO���(OO?�

(" ������6� ���������)����D�������

�����T (OO�����'�OO����OO)����*OO��(OO�+�� ��OO����*OO��(OO�+����OO"%�����OO"�%�����OO�9��

�OO$��1 OO�"���=OO�%����OO���OO������OO�6�����OO/ �����=OO�%�����OO�! �������OO"%���H ?OO���

(�(%�������$��-��

�����OO���V�OO����OO/ �����*OO��E�OO6����OO��:���OO� �����OO����OO"%�����OO"�%�������9�

(�)������)������B �(%�����)����(�* *?)��

�*��+��Group�S����)��*��V�. ��J ��)� �������I���K$����5�$�������@��^���������$�

"% ����!���&����S��

� ������"�0�closure)�S�K

� ����) ����� ���IS�������������SK�

� �J (�%��I�����SK��

�������I1 �����SK

��������������������������*���7;���

����9�������$�����(� ����9�[75(���I�������$ ���K���

, ������ S����/ ��� ���9���(-)-���O�*nZ����S}1),gcd(|{* =∈= naZaZ nn��*�� �7;� ������n�

�[75(��������((�}11|{* −≤≤∈= naZaZ nn��

���� �� � ��� � � �� � ��

���� �� � � ��� � �� �� � �� � �� ��

�� � � � ��� � � � � � � � ���

��� � � � ��� � �� � � � � ��

���� � � ����� � � ���

*��+�������*nZS��9�����!��9�������� ���((���� || *

nZ�������@� �*����)(|| * nZ n φ=����7;�

�*�** ; nn ZbZa ∈∈�[75(��*. nZba ∈��[75(���*�� �*nZ�=�/ ����������% ��"�0�-��

, ����!��*� �*nZa ∈���� ������ ��[75(��a��9�����L��9����J 7���)(aord ���F�%� �((���0� ����

��$��=)���&"%����S)(mod1 na t ≡���

����!�������7;*nZa ∈��L � ����*��)(mod1 na s ≡��[75(���� �"����*����������)(\ nt φ��

��"���S���*� �.����[75(��}20,19,17,16,13,11,10,8,5,4,2,1{*21 =Z���

�������B �%||12)3()7()21( *21Z=== φφφ������� �������S��

�1��-��/��7�� �����1�?�"�!�����*21Za ∈�

��7�7� ���7�7���7� �7���)(aord�

��

, ����� �S�*� OO�*nZa ∈����OO����7;�[7OO5(��)()( naord φ=����(OO�)(a����(OO�̀����OO� ��

��������O�9����O���O��������� �����������O/*nZ�����������(O��[7O5(���(O����8O�� ���O�9����O����7;�

���5�(����9I������K-���

������Field!������)��*��V�. ��J ��)� ������'��*� �5�$�*� �����@��\�2���0���������'��&"% �

��� �����!�(���S��

� F����������������@������(� ����9\

� F\{0}�����(� ����9���������@�I*�K

� ����9� ����� �����

��

��

� �� � � �� �� � �� ��

�� � �� �� � � �� ����

�!

��"%���������$�:��*��S��

]���������(�(�:��rational numbers�������������������������B��

� ���"�"%���(�(�:�real numbers R

� ��������(�(�:�I��("��K� complex numbers C��

� �����������:����"%���������������������Prime fields

� �������������������5�$�����"%����������Binary fields

�������$������-�������.GF(Q�S�����@O�)���O!��� O��*��*����� ����� ����*���(�(%������)����

����"����=�/ ����X�'����I�VR�����C��!���6� ����� ��" ����(���K(/*?*-)�-��O �+��=)��U

�������O���(� ���*����O"���@O����O�"����X�O'����=�/ ����@�)���������������������O���) ���

���������������9� ���;�� �������-��� �����)��*���L���J �( )QGF , , ∈γβα*W�S��

α + β = β + α� � � � α ∗ β = β ∗ α�

α + ( β + γ ) = ( α + β ) + γ � � α ∗ ( β ∗ γ ) = ( α ∗ β ) ∗ γ �α ∗ ( β + γ ) = ( α ∗ β ) + ( α ∗ γ ) ��

�� ����*W��8 �7�*���$���0, 1, −α, α−1 �����)��*�)(QGF∈α�*��B �%��()�� �*��=)�S��

0 + α = α

− (α) + α = 0

α ∗ 0 = 0

1 ∗ α = α�

( )0 11 ≠=∗− ααα for �

��9����$'2B4��*��V�M���"%�B�+�9�������� �����C�����6�;�����6��� ���� ���� ��� $������

����C��"%���(��$�����������-��

��)��*��(�(%���"%�(�)��&"% �B�((��J ������������((�����������������������"��#��B �%1≥NI#�

F�%� �((�-K��V� ��"%����7������� ����((������! ������"%����� �-��

�"

������C���"%�*��*����8 ��S����a��O���O�!���a�O���&�' ��V����2J (�( �+���"%�������:���"%��

9)��-��

1]3�]1�$/�/����������Ground field GF(p)S��

�������:���"%������������:���"%����Prime field���� ����*���$���1 ���I�%�%� ���(�(�:��K81*�

�*��*�, �*���5���9����;���/ D���� ��@��:����/ ��������������7O6������=O�%�=O�%������O��"��

3����� ��*����*���'����2�"�����%���� ������������((�-��

�*���p���������((��2�1 �?��%�%� ���(�(�:������)��[75(��p ���%�%� ���(�(�:��*��V�. �� ��

{0,1,2,…,p-1}��1 �"���9)���=�/ ����@�)���� �����@�p��2��� ����! ����"%���p��2�9����B �%

�9������"%����7!� FP�������p���"%���1 �?FP��-�F�%� �((��J ���)��*�a��[75(��a mod p��V��

�(����F�%� ��?��*���I(�%��9����Kr��*����0� � � � � ������?�*��P ���J 7��a ����p�2����

�1 �?�U �6� ����������<7�p-��

��$��S((���*���p=29���� ���[75(�I����:���"%��F29�K���{0,1,2,….,28}�����%���������� �

������S��

� �@�)��S17+20 =37 =8*:37 mod 29=8��

� �X�'��S17-20=-3=26�������*:-3 mod 29=26 ��

� �=�/ �����S17 . 20=340=21���*:340 mod 29 =21 1 �����S17-1=12 ����������

�������*:17.12 mod 29=1

��J �6� �+��� ���*���"�)( pGF∈α�����/ ��)�(��7�L�.�3������������C �� ��J �� ���7;�2

�*���F�%� �((���0� �I�6� ����(�K���� ����?>���&"%�S��

1=S�

�7

����/ ���L )�(�*�� �J 7����� ������(�����O�������2���5��� 4������������ ��� �������������

���6� >����"%����� ������<��?�(�� �J 7����� ����������:���� ����*�������7��-�(�*�*/)��

�J ��������:�����:���"%����� ���((�2���5��4φ�*��B �%2• 4�φ�������@� ���]φ��

�((����$������������� ����������� ��������"%�$'2/4��*��8 �7 7� .� ���������:���� ����((���2

$'2/4����;�J ���φ(6) = 2�O���������$�������� ���(�)�������7��"�-��

�O���A�?�3����6� >����"%����� ���@��)�(�� �S��

(30 = 1, 31 = 3, 32 = 2, 33 = 6, 34 = 4, 35 = 5 )-��

�O�����;�������������C��� ��������$��!�*���%>��B �%S��

( 40 = 1, 41 = 4, 42 = 2, 43 = 1 ...)�

�J �� �����/ ���L )�(�*��A���L��� �'"�-��

�������$���"%�������� ����� �S���

��$�7��S�����:���"%�������� ������ �'"�S�

(%����� ���8 �����>$������ ��*�I���K��� ����*���� �������� ����*��*��� ���!��

���� ��������*���� ������������������ ��

��

�$�/S����������������������������������������������"%�������� ����� � !� " � �#$��

���� ��

��%� �����&� ������&� '��

��

( ���������������������������

( � )� �*������������������ ���

( � +� �� ,� �!������������������� !�"���

( � � !� #� -� .� ��� �+� �#��������������������"#��"���

�/

1]3�]2�0 �����1�������SExtension Field GF(Q)��-Q��"���E����������((�N.K��

�������J (�( �+���"%��������/ �����*;�����5�$����"%������%������?������� %����7��2��(�" ��$��B�

.�2��#�4��� �*O�����O"%����7������������*��8 �7��(�(%������"%���V��� �*�� ��V�� �������7O�6�

��5�$����?������(� �(� ������!��(7*/*?)-��

��"%�������������76� $'2� �#� 4�������(�(%���$��1 �?� ������� ����������2=4����O)�(��7#�

��"%����� ���*���7��.��<(�(%��>���*�� �B �%$'2���4�-�*���O����7��2=4�.�1���O�$'2�#4�2

L���*����J 7���&'�����1 6����.�1�������"%�$'2���4-��

��� ����*����! �������"%�������5�$���"%���( �2�*�9�������! �����"%���'���2��"%����� ���*��J �

'������5�$�(�(%�����$����I�"%�������>����'���J ���81*�9�K��)�(���*��:��������*��J ��S��

'�����������

�������

�������D

������� ���������������

������% �����?���C��5�$�(�(%���$����2D4���)�(���*���I+����5�$�(�(%�����$���#�()��L���% �*���

�*���?���)�(�*��!������K�(?*�1)-��

����:��(�(%�����$��*;�2=4���)�(����7#���"%�����$'2� �� 4����������;�L���% �*����+�(�(%���$����

��"%�����$'2���4�� �"��J 7���2�=�E��4�*��B �%�S��.�2�#�5��4�8 �7�*���?��1 ����-����(O ���1 ��

�=�����(�(%�����$��2=4�-��"%����� ������*;$'2� �� 4���)�(���*��(�(%�����$������������

2�#�5���4�������$���7���?����I�(�(%��>���K��"%���*�$'2���4�-����(�(O%��O�$���O��(�(%���$� �

��"%������L ���$��'����$'2���4��O�������������� %��#:�����(�(%�������$��(/*?*��)-���

�I��$�22=��E��4�.��1��-��� ���*��A��������$'2��#�4������O�$� ��O���=�O/ �����()��(�6��*��

�������� ���A�?����������� ���α�-���:���� ��������:���"%����������6�� ����O� ������

��� �J 7��I(�� K���� ���@��)�<��?���6� >����"%��-��

�?

��"%������L�W��8 �7������$��$'2�� � 4����(�)010( ≡= xα��3#O��� 5�(������������� ���������O��

�(�(%�����$��2=4���)�(����7 �-��)�(�J ���)��*��F�%� ��"�"%�������7��#-��

��"��!��

���"%�����$'2�� �4����(��2=4�.�2�= �E�=�E���4�����(�(%���$����������$'2���4�-��*��FO/ �����*�

��"%������X�'����@�)��$'2��#�4��*��=����8 �7��*5�� ��β�.�1��*��J �β = − β�*��B �%β��J ���

*���� ���J ���"%����� ��$'2��#�4-��

��"%����������:���� ����((�$'2��#�4���� ����?>����'�S2��#�5���4φ��*��B O�%( )•φ���@�O ��O�

�����]φ-��=�%���9)�;�@����(���(�(%�������$��@�)�����"%����� ���@�)(�1*��)����>�O���

1 �"��-��

��!����*��#��);�*��� ���@�)β2, β1 ��*���7;β2, β1 ����������*>$��#:����������O���O�����

(�(%���$��-�*���7;�L�W���$��001 ,111 01

52 ==== αβαβ�*W��75(��S��

421 110111001 αββ ==+=+��

�*���7;��$������!���<9)�;�*�����=�/ ������������ �����?����������>$���-��7;�8 �7������$���

�*�31

52 , αβαβ ==�*W�S( )010 1753

21 ≡=⋅=⋅= αααααββ��

�U �6� �(�(%���$��1 �"��9)����"%����� ���=�/��2D4J ��S��

�*��(�(%���$��J ���)��2D4��*W�������2D4��2D4�9�������?��?��(�(%���$��������V��I(�%���K

2D4��*���?���)�(�*��������O������'������"����>��*��L������ %��2D4������2D4��2�<7����(

�(�(%�����$��1 �?�U �6� ����������2D4��(��*��)-��

��"���S�����"%���!b����*���7;/��� �! � � � ���1 �?����"����?��(�(%�����$��*W�

012�/������������ �� � � �$���()���������@�)���!������ %�S��

��

�-

� � ����������������3���

� � ��������������������

����� � ����������������

��������� � ������������

������������� � ����� � ����

��

��()���������=�/ ���!������ %��S��

� � ���������������4���

��������������������

� � ��������������������

����� � ����������������

��������� � ��������� � ����

��

����� ���1 ����()�D��$�31 αβ =���� ����"��'�����;�(��S��

( ) 11047331311 ==⋅=== −−−− αααααβ��

��"���S�������5�$����"%�����������"%����7���� ���7�(�(%���$���� ����)�(��������5�$ ����S��

���

�����

��1�

���

���

����

����

���

���

����

�����

���

����

������

������

��

����U � �����"%����������%����������U ���S��

8 �7���U �6� �(�(%���$�� �(� ��������������������������%����������9)��� �S��

��

��

�1

2��������S�������F�

�����

����

��������

����

���� ����F 3�4������� �

����

�����

�������

�����������������

2�������F���G�������� �������������J �������������������S���������������� ����

�3�����������F5�% �������

����

������

��������

���

*:S�����������

������

��������

�����

*��B �%�S������������������

��������

���

�>�� ����F& � ������'�������

����

�������

�����

������

�������

���������F�*:�

��()���F/ ���I�:��K��"%����� ��$'2�� �4��6� ������.�S����:��(�(%�����$���)��*��8 �7���

�2=4�.�= �E�=�E�-����B �%�*������%>�S���������� 1712 ==− ααN

-��

�������� ���A�"�α� �O�#:����� (�(%���$���

0 000 0

1 001 1

α 010 α

α2 100 α2

α3 011 α + 1

α4 110 α2 + α

α5 111 α2 + α + 1

α6 101 α2 + 1

���()���:�����"%����� ��$'2�� �4��)��*��2=4�.�= �E�=�E���

��

�F/ � (�(%���$����������!��$� �@��������� ���A�"���"%����� �����$� ���� ����?>��S��

( )( )( )( ) 111

1

1

01;1

1

2223256

222245

234

33

22

1

0

+=+++=++=++⋅=⋅=++=+=+⋅=⋅=

+=+⋅=⋅==+++=

===

ααααααααααααααααααααααα

ααααααααααα

αααα

α

��

�@��c*��U �� ��013 =++ αα�*:α��"%������������� ���$'2�� �4�(�(%�����$���)��*���

��2=4�.�= �E�=�E���*�������7��= �E�=�E�.1����c*����(����<7��&"% -��

��"%����������:���� ����((��$'2�� �4��S��φ( 7 ) = 6��

�������������6� ��!��

���O�$������:��((���*������"��8 �7���J (�( �+���"%�������:���"%���*������"��J �)��*��(�6����*�

���:��(�(%��-��

�������������7�������0 �����1���$/�/������!����������8% ������$/�/���������7�������

0 �����1��������!��

���������� �����$/�/������������ ����0 �����1����������� ���

()�� ���'������bB�����((���B�.��#��*��B �%#��F�%� �((��J ��B������((���

1 �"�����1 �?�������(�(%���$��1 �?���$'2B4��)�(��7��J �� #�

�"%��� )%������#��

����:���� ����((���2���:��4φ��2��#�:��4φ��

���()�����:��J (�( �+���"%�������:���"%���*������"���

��

��������$�������������" ��$�����������7�������!��

���������()���F/ ��I� : K��*������"����:��(�(%�����$������:��((����

�� �����$���������������������9���������" ���������$(�������

���:���6� �������"��+�J 7���((�����

���% ����

� �"��J 7�������% �����"��+�J 7���(�(%�����$����

11 −−pX�8 �7�*���?��1 �����

���$����6� �����?�(%��������((��()���L �

���

�()��( )N

p N 1−φ���)�(����7������(�(%���$�#����

��"%��$'2�4��

��()��I�2 :���*������"����:��(�(%�����$������:��((����

�����"%����������:��(�(%�������$��((��$'2���4��)�(�����7#��?>����'�S����

( )N

N 12 −φ��

��)��*���L���J �#.� 7����"%����������:��(�(%�������$��((��*��$'2� �� 4��I��� � �! >���((��J �

��"%�����;$'2��#�4��K�����S������������

( )6

636

6126

==−φ��

����(OO)���FOO/ �I�!:���K�����OO?������)�(OO�����7��OO���:��(�(OO%������OO�$��((OO��<OO�(���

�*�� ���?-��

N (�(%�������$��((�

� ��

!� ��

"� 7�

7� 7�

/� �?�

?� �7�

��()��I!:��K��)��*������:��(�(%�������$��((�#��*����?���� ���?��

��]����������������$(�$% �����5 �/���S��

����� 6����7��*���"� �����H ?�����������6� �������$� �������I����K1 ���������/ �����=�%���

������! �������"%��-��

�����:�����"����� �'� ���-Byte!.��*��V�. ���������*�� ��?��� �I��K�2���������H ?��

�! ����"%�*���� �����$� ��������(�S��

• �5�$�����$� ��Binary��S�������1 �+�b=2�����'"��*��?��*��*�� ����$� ���*��J �0,1����>$��

�= ��������������S1)���������������K(10100011)b

• �������$� ���JDecimal�S����1 �:�d=10�� ?�:��*��*�� ����$� ���*��J �I0,1,2,…..,9K�2

�((����"���������"���������=�/ ��8 �7��J �������$� ���&�����((���= ���2 ��J ��S��

2�1�111��4�.�

.1 · 27+ 0 · 26 + 1 · 25+ 0 · 24+ 0 · 23+ 0 · 22+ 1 · 21+ 1 · 20

= 27 + 25 + 21+ 20

= 128 + 32 + 2 + 1=(163)d (2)

• ��������(������$� ��HexaDecimalS�L����J 7�����$� ������h=16 �*��V�. ����*��� ?�:�

�9�����I0,1,…,9,A,B,C,D,E,F�K���()��������I1�K�� ��S��

�������-1.��

��$��%&��&h �'�$�d �%(��#b

0��0 0000��

1 1 0001

2 2 0010��

3 3 0011

4 4 0100��

5 5 0101

6��6��0110

�!

7 7 0111

8��8��1000

9 9 1001

A 10 1010

B 11 1011

C��12 1100

D 13 1101

E��14 1110

F 15 1111

��

��5�$���*�����% ��� �������� ����������������(���S��

�������I8����K� �"������*���?I*��9)�K���L�?����$���#9)�����������&��������������(�S��

(10100011)b= 1010 0011 = (A 3) h���J �������;��������(����*�����% ��� ���B �%������ ���L5�����=�/ ���������(�� ?���� ���S

�������O��=�/ ��������*�� ?���I24=16�K�O��=�/ ��*������*�� ?��������1 ��P ����@�)�� $S��

A3)h= A · 24+ 3 · 20= 10 · 16 + 3 · 1 = 160 + 3 = (163)dK��

• (�(%�����$����$� �S��������$� ����7��[7,11]������J �������;��5�$���*�����% �����()�L���

I2�K������(� ���8 �7�2��((�����(������x ���������� �� �(� ���(�(%�����$��V���

���0 ����A�"���5������5�$��x�� ����=: ��

(10100011)b =

=1 · x7+ 0 · x6+ 1 · x5+ 0 · x4+ 0 · x3 + 0 · x2+ 1 · x1+ 1 · x0

= x7 + x5+ x + 1���(�(%�����$���>���*���%>�����I�� �����������$� �� ����*��GF (28)K��

�'"��*�� �*��*���0,1��� ������-��

��

�"

�����:��������������$(�������� ��" �;��� ��������!��

(1��(�(%�������$���@�)�S�A�"���$�:��@�)��(�(%�J ��$��@�)� �X��� ����$����=�%S��

��

+�(?�(�(%�����$���>���*����%>��P ����*���*�� �0 , 1����$�2 , 2x�+�J (��" ���@�)����7���

������$��I�! ����"%������ ���1 ��K(/*?*��)�2��P ����(�(%�����$��F�� ��������>���8 � �

������� (� ���'"����5�$xor�����������%/ �������5�$��S��

x xor y y x

0�0�0��

1 1 0

1 0��1

0��1 1

��

��"�11��S�*���� ��������G������$���P ����*��()����5�$�*�"�����(�(%���J ��$��@�)�P ��()�D

�"%���1 6���$���������S��

��

(244)db(F4)h =(11110100)b =x7 + x6+ x5+x4 + x2�

�7

(2�(�(%�������$���=�/�S�*��(%�������+��(�(%�����$��*��(%����=�/ ��(�(%�J ��$��=�/ � �

��������������) ����A�"����>�����@�)� $���$���(�(%�����$�S��

��

��$���>���8 ����*���%>�2 , 3 ��"%����� � �+�2�?����V7%�� �"���"%���*��!�)��8 �� ��

�F�� ��� %�J (����������� "�;����)�9��>��1 ��P ����F�� ��S��

��

x13+ x8+ x7+x4 + x3+1��

�5�$�����$� ��� �(� ���=�/ �����I�����A� ������=�/ ���SK���$����������%�9��P ���������� %�

����������J ��*���7;����:��������*���������)��*��8 �7��������(%�������6� ���d�������

���������>��*��������� ��J �6� ��������� (� ��xor���$���������!��

��

�/

�*��������)�(�*��(�(%���$�����P ����*���%>�7��*���� ������(%�������*������+��!��8 �7�

��"%��GF(28)�I��������� (� ������"%��(AES��2"��� (� ����������)����;�L���% ������

1 �"��modulo�-���������-��

3��K(�(%�������$�����?��S� ��"����*����?������ �"�I'�����K�=�/ �� $�L���� ��"����*����?����.�

���%�(�*��P �������� %��� %��������������7���� ��"����*��P ����X�'���L���� ��"����P ���

�������&�'�� $�L���� ��"�����)�(�*���?�xor�P ���������� %��S��

��

��������� ���%�9;��>��*�� �������A� ���������������xor���2�� %�������X�9��L���� ��"���

�������@��X�'���������7��� $�� ��"��������������$�:�������@��L����������$�+�������&�' �xor�� $

������������I�@���%�9;xor��K�������� %��� %����'"��(%�������@��&�' ��J 7���=��'�����?��

���S��

��

�?

��

(207)d=(CF)h=(11001111)b= x7+x6+x3+x2+x+1��������

��"�12�S(�(%�����$��1 �?�*��� ���(�(%���J ��$��=�/I x8 + x4 + x3 + x + 1�SK��

57" • "83" = "c1" Y��

(x6 + x4 + x2 + x + 1) ( x7 + x + 1) =

= x13 + x11 + x9 + x8 + x7 +x7 + x5 + x3 + x2 + x +x6 + x4 + x2 + x + 1

= x13 + x11 + x9 + x8 + x6 + x5 + x4 + x3 + 1

L���S �

x13 + x11 + x9 + x8 + x6 + x5 + x4 + x3 + 1 modulo x8 + x4 + x3 + x + 1

= x7 + x6 + 1

��

����C���"%��(�(�:����������"� ���� ��6��������:��U ���� 6����7������)���("�I����:���"%��

J (�( �+���"%���K����2�&�' ��� ����� 6�����L ��9��������� ��� ��-��

���

�-

������"��������$����������)��� ��+������

Cryptography Algorithms��

��

���5������Introduction��

����*��� ���������%�����������1 ����2����:����C����E�/ �����������*���E�/ ���*;��@�

'���*W���7!���2 !����� !5�(������� !%�� ������1 �����2����� ��D��'5������������' ����B %���

�� *�� ���$�� &�6�� (?�� 2(��9 �� ����� ����� �������� *��� �)��'�����+)���� ��� ���' ���� B %���

�+� +��������������" ��"%����A��:��-��*��@?� ������E�/ ������7��F�� ���>" ����E����*�

U ���%�8 �7����L�%�2�����D����������E������ �������7�. � $�2�?�6 ���������(� �� ��� ����

�" ��� ���*��-��$�+� ���8���8 �7�����R������������� ��� ��������������*�.����� ��7���(���2

�7����(�6 �����' ����%����&�'���*������)�������E�6��� ������/ ��������1 ���*����+� +�

�����F�� �����5?�L �7��-L���������� ��� ��� �!6������9�������V�� ��� 6����7�������� ��V��-��

���5��)����������+���Algorithm�

����L��* ���=��%�����!��@���2'"��L ���;�����(� �+���5������%���/ �������*��D��*�

���C��*�9� ����?'���?(�����������L �9����������-�*������)��@� �=��%����'�����5������%��

!�������'���S��

� (����(�(% � $�2!�!��J ��2��.�����V�� !6� ����)��������>�-��

� ��.������%���;�J (M �� ����������(�(% �J ��2��.��������% -��

� =��%�������)�������0��A(%W����.������%�P������� ��J ��2��.������)���-��

1

� �)� ����()�;����.������)����=��%�����;���(����P�������7�6� ��

� �� ����� ������2��.�����&�$� �������!��;�E�)����8 �7��2���" �����"��������'����*��������

�!������.������!�6����.������%���)%���(��-�

�*��D��L/ ��J 7����%���7�6� ������� "���/ %����?��������5������%����=��%�����(���9����

����'��������%��#���������=��%�����!��7����21 �:���"���J 7���+;�2*��e ����( �*�(��"����

�)�����7������������ (" ���8 �7�9�%�� ��L��-��

������9������� �!6��c*;�@$C%>�<3� �(?(� )������%�(!�����*��������@/ ��("��2I�����%����?11�

&- �K�+(����E�����U ���%�(���"��V�� � �����-�������"%���8 � �������9������� �!6���� ?��

���5������%�� 2����%��"��'� !� -������5����%�����9�������*����$���� �("���*��D��V���(?�

*�%�%� �*�((�� ��:��8� ����� �"���()�D�1 (��?;����9������$��2(�(�:�-��

�*�� �/ ��� ��� ���� 2��9������� ����� *�� (�%�� ��>�D�� ���� ��� *�� ���9����� ����� �#)

���*�"���*������)���������/ �������� (� ����*�9���@�����9������� �!6����' ��2J (>�����@�

�������.����%����/ ��������'���-���� ����2��! ������9�������*�� ��(�(%���%������'�������7W�

��! �����C����9��������(�(%����C��%������'�������7;�*���2��.������%�()��-��

��(�+�����S����)�����*����?(��V� �� ����2((%��=� � �=�%��7�6� � ��� �����"'��������'���

�������.����%�������"��'�X�/ ��-��

!������9�����������:��� 5� ����*���/ ��((%��*��*�������9������� �!6��������(� ���S��

��]���! ������ ������9����������'��*�� �*��=)�-��

���]�����������'���������*����*��=)��J ��2�'�����+�������9����������'��76� �*��=)�

!�� �"���76���J :�*�����'���-��

�]��/ �C�*�� �+�*�����(�)���������9�������*�� �*��=)�-��

!�]�*����+��!���� ��&�'��!�%�*�����5�����*����$���2�����%����"��'�*�� �*��=)�

����9������� �+�&�'���<7���$��2A�����5����%�(���!����(6 �+-�

"�]��*�� �+�*��=)��J ��2���'����B �%�*���("����C����R�����9�������*�� �*��=)�

=��%�������5��������7���������0������%�������)�����*�9�B �%�*�������! 6�� -��

��<����*��=)��2A����[��%��*��V� ��!����&�'��(��!6� ��������9�������*����� ����*����L�

��''����� �(� ��� ������ !6� �� *���� ��� 2�0���� *�� ������� ��)�� J �� ��� �� ���9������

��"�( ��I��)!��KFlow chart�-��

�����������)���Cryptography)��

�����V�OO�� OO����OO�� ��I��6� ��J �OO����K7OO���OO"�� ((�!*�")2���*OO��D�� (� OO���(OO"�

��6OO� ���B OO�%�2���OO����L�5OO����OO��%��(> �OO�����OO�?� OO���OO6����OO%��7OO��� (� OO����OO��

�)�������%����J ��O�����2������O��LO ��7� �(� O�+���7O��fO������=��O%������O ��2���*O���O���

�(OO���J (OO����OO���OO��%����5OO�����E�OO?��-(OO"���OO�7�*������*OO�� OO?���6OO� ����OO�����

�OO��� ���*�OO��'?�OO��H �OO)��� OO���OO����6���-OO���*��=�OO��� OO!���+�OO%���OO��(?��OO��

�)�� ���������(O���(O"������7O�����������&�O'�VO� ���*O���������O��(O"��2=�O���*�O��L�"O��� O�

!���(OO ��OO! � ����OO�� ����OO��% �-���OO/ �����*OO��g�OO������h��OO���OO�� ����OO�����#OO)

�6�OO���OO�����OO���OO!����OO��� > ����OO0����-���OO����+'OO� �� �OO���LOO/ ����OO������OO��

�OO%� 6�2�B OO�%�� OO�� �(� OO���<7OO�����OO�����OO"���OO���OO��������OO���� ��;�*�OO��3#��OO��

� �OO�:��*��(OO������*�OO���OO��������OO� ����2�OO���������OO����OO��� ��OO��(���2�OO ��

�OO)%����OO%��� �(� OO�+��7OO�� OO���� H�OO�� ��H� (�7)�-��*OO��(OO"�+�(OO��*OO��&�OO'��OO6% �

OO������OO����������OO��������OO"���5OO������OO� �����@��OO���� (OO" ���@OO��I�+OO� +��K

��OO! )����OO!��9� ��5OO���I=�OO���%��K���*OO����OO����OO6%����OO�;��OO)%����(�(9��2

! ��OO����OO�������-��OO�� ��� OO����OO��*OO���%�&�OO'� OO���OO��������OO�(�/)�-�

�� ���#OO6��OO��$���OO��� OO���OO��������OO����7;��������OO���OO� �����OO���OO����"�

�O!���� �� � ��� �!��� �����+2��(O?�����7O���(�O!)������O�������*O���@O��)��#O%���� �O����(O)�D�

&�OO'����OO�$�����OO ���*OO����OO!�>��*OO���(OO� ��OO������@OO�� (OO���OO����;�VOO���<7OO��

�������-���9O�����O�����B O%�������O����O)��� O��� ���� �O������� O����8O�7���=�O������O' ���

��@��OO���=�OO���%���OO�������OO�������OO� �������OO�������OO�����OO�� �D���OO������-B OO�%�

��<7O���O����� �D����̀� �������O��������O"��� �O/ :��i'O����� O�:��2�����(O)�;�*O��(O�+�8 �7O�

��OO��9�����OO�� ��@��OO������OO��������OO' �����OO������*OO�� OO�����7OO��@OO��=OO��� ��OO��?

���+O� +�� O���������J 7O���1 O�:�����������O����7O�����6O� ����O��9�����@O��)�LO�����O���

������O����O��5����O���(O� ���/ ��������(�(O�:���O������!O� ������O���)��2���B O�%���O�

����OO����OO�%����(OO�"�����OO� �B OO�%�(�(OO�:���OO�������OO��:�� �OO!6�����OO���:��(�(OO�:�

(�(�:�������-��

��� ��� ��� �"��(�?*�-*�1)�*���?���;S��

• ���� ��-�

• ������� ��-�

��� (OO����OO��"������OO����������OO��*�OO/ ��OO���OO��:��LOO�(��*�OO����OO�� ���@OO/ ����!/ � ���( �*(��)-��

������������O�������A�O %���O������O�� ����O����O����O�� �(O/ ��LO�(��*WO����� �����%����

�%�%� �����������!�������!���?���;�J (M�������!6��% �������"����-�

��� ?��(?�������������O�������*O����O����O6%����O����O/ ����*��O"����O���O�� ��� O��� �(� ��

�����'�OO���*OO�:���OO��%����OO�����(����>OO������������OO���-����OO"��' �&OO'��*OO��

�OO�� ��(�-*�1)���+OO� +����OO' �(OO��B �(OO%����OO� ����OO�����OO�$��@OO�� (��)��B �(OO%�

�������O��%���O�?�$��*O��LO��' �O����+O� +�����$���O/ ������1 O�) ���@O����&��O �+�� (O��*

����� ��D����) �������*��. ������� ��D����� �"���-��

OO����OO�� ����OO���OO�������*OO���&OO�"% ����OO/ ��������OO��0�����OO��" ��� OO!�����OO"%���2

�OO� +���OO������OO���OO� ��2OO!���% ���OO��%��OO�'����6OO� �*OO��B OO%��� OO����OO!��-

���� O���� �(O?�*O��L�����"���*�����(O�()�2���������(O?�L�(� O���(O?��O� �?�1 �O�����*:�*O6��2��O��

���OO��!OO/ ���OO!���OO ���A�OO�:�� �OO����U �OO��'�OO ���LOO�4�� OO��� �-/1��(OO��OO��

��)������B �(%��(�(�:�������2���(�" �����������������������(�1*��)�-��

����!�(OO��*�7OO���� �OO�:��@�' OO���B OO�%���OO��������OO��D��OO"��'���j6OO�k ��

��8OO����+��OO�G�� �OO��J ��@�' OO���+�OO�����OO!�!���OO!����E>OO'+��'OO"���OO�� ���XOO 6�

�*�OO� �(OO?��2���OO�����OO� ���� OO�������OO�� ��� OO���OO��%��LOO����&OO�'���2OO! ����XOO 6���

����OO����OO"� ��OO��������3��OO� �����OO�6 ���OO$(%������OO�� ����5OO����OO�������<7OO��

�OO$�(%����+OO� +���5OO��(��)� ���=�OO���%����'OO����P�OO ���OO6%�-+���OO"��*OO��(OO�

��OO��%����OO������I�OO$���OO�������OO�l�%���K���OO����OO6%���l(OO��m��*;���k6OO����0�OO� �

B ���*��!���. ��! �>��� �� �����*���������*��6' ���-��

�������������#��O"��FO/ ���� O���O��% �O!����O����O�� ���VO�� �@�' O���O��W��8O�7��O�����#���

��C�� ����;�������������O!��������O���O�C�*�O� �(O?��O �����O�� ���&�O'�A(O%;� �(� O��� �O!6�

�����������FO/ ������ �O����O�;��O������ �O���(O���*��*O��LO�� ���*O��*O�����������% 6�� (� �

I��OO� :��� �OO��K-��OO�� �����OO������OO�������OO!���OO�� ����OO���OO���2��OO�����OO��%��J �

�� %��� $�*���������� ����*��J �����X 6���F/ ������ ���������-��

!

�F�'OO� �����OO/ %����OO����(OO?� (� OO����OO�� �����>OO���������OO�������#OO6�D��OO��("��

�OO���������OO��(�����OO�����6�����OO/ %����OO$��OO����L��LOO (+���*�(OO�� ��OO��1 OO�M�� OO��

*���OO0�����*��OO/ �����#OO�����L .OO�������OO��������OO/ %������7OO����OO� ���*OO�;�=�OO��

�� ��!���*����J (O������J (O����6��2��VO���(O?���������*O���O�(" ����O/ ��� ��O6��#O�����#+MO�

��OO�(� ����&OO���� ���OO!����-�VOO��� �8 �7OO������#OO� %D�� ��OO6��LOO� �*OO���J (OO����

����6OO�����OO����OO���+OO� %+���2��OO� ����<7OO���"�OO��(OO?���OO��������OO����OO� �

*��OO?��OO���$�����OO%�� III� �(� OO���OO������OO��EOO��(OO?��'OO� ��F�Y��6OO� ���Y��OO����(OO��

�OO�������#OO6�;�-��OO����*OO���Y��6OO� ���Y�OO0����*OO���(OO�����OO����:�� 2����� 4��<7OO��

�����O�������O0����*O��>O� ���#)����(����O���7�O��������O������O�G��O����*O���� H��6O� ���-Y

����������<��(� O�������O�����O�������6O� ��� �O!6����O�� �(O?�=�O���*�� �O����O���������O�

=OO�%���2OO����'OO�����*��OO"����OO��LOO������*�OO����:��*OO��� OO��OO����2� �OO!6��*OO��

�6OO� ���<��OO�.�� OO�+��1 6�OO��<�7OO��� OO!����OO)�(��OO���C���(OO�()� H����� H��� �OO!6��*:�

�6OO� �������OO����*��(� OO������OO� �(OO"��U �OO�0����(OO�" ����OO! ����OO��*OO��(OO�()���

H����� H���O�����+(��������%O/ ������O�C���O�!�����#�O�:������*O�������O���� �(� O�����O' �O��

H����� H�@OO��)��OO����OO��?���OO�������#OO6�;��OO� ��OO���" ��OO����:���OO0���n��*OO%�

=�OO��]�*��OO?�� OO��(OO����OO����OO� %���VOO� ����OO����*OO�������OO� :��� �OO/ ���(OO�W�

�����������0������������CY����� ���Y���H��6� ���J ����-�Y��

��

��

��

��

��

"

��� ������9������>��*����R���� ����;���� :��� ������� � �S��

��

��

�� ��������!�D�������S��

��

��

���� ����� �������� 5?���� ��� �F���

����]���" ���:������]��F/ ������ ���]��������� ���]���� ���X 6�����

�/ ���V�� � ("��*,����� ��� ���(�-*�1)-��

, ����!������*����� ��� ���*�� �����2�*�*J*�*;4�B �%S��

���F/ ������ ������� �9������*����! �������)����

���������� ������� �9���������! ���L���)����

�J�F� 6���#/ �������F� 6����*����! �������)���

������)��*�∈ Κ��L�� ����% �()�����ke E∈������������������

��������������������������L�� ��������% �L��"�������kd D∈��������������������������������������������������

*����B �%�S������������������������������������������������������������:ke p c→��

:kd c p→��

( ( ) )k kd e x x=�����

; x p∀ ∈��

��

%*����+ �����������=�

������������ ��

�,"-"���+ �����

����� �=�

�%*����+ ����������=�

���������������

,"-"���+ ���������� �=�

7

��:���'����������������

������������O����O��;��(����7;���O��I���Q6O��K����������O� :��� �O����O��% �� �O"��O��� �O��

��� �O�����;���OR�����L�O�����-�������� �O����O��% �� �O"��L�� O���J 7O���� �O������O�������J 7O��

�OO� :��� �OO����OO�;�L�OO� ���OO������#��OO?�@�' OO����OO�����-�J ��*�� OO��+��=OO)���OO�'

�� �OO��� OO!��*OO��� �OO��OOR�������6OO� ���*OO���(OO5��>OO��+;�-���6OO� ��� �(� OO���*OO���

����J ��*�� OO��*��*�(��OO�G�*�9OO� �� �OO?�J �����=�OO� ���� �OO"����OO����OO6�����*�9OO� �

��*O��� ���O! #��?�2��8O�7� O�����������O��9�������(O ��O�����O��9������>O��*O�� ����O��

���XO 6���� �(� O����O� �� ���-��O��9���������O�� ����O��������O�"'������O������*O���O���)�

A�OO����OO�������OO%�9D������OO'�����2�*�OO/ ��OO��(���OO/ ��� (� OO� ��OO���OO�����

�OO!�D����OO�� ��2��OO� ��OO���(OO% +����OO�6 �����@OO��XOO 6��������OO�����OO������6OO� ��

� �OO� �����#��OO"���2�1 OO6���� �OO������#��OO"��6OO���� �OO� ���OO�;���6OO����OO6� ���@OO��

F� 6����O6� �������O��*O�:�����O���������6O������(O� ����O����*��O����*�O�!�����O?���O��9�����

���� ��������X 6������������I�:���K��������F/ ���!�D������ ���S��

������I�:���SK�!�D������ ����������

��

��

��

/

��:��<���'���������

� &�'��� ���� ����2�� (� ���� �6��� � �� ��;� J (��� � ���� ���% �� ��/ ��� ������ (� ��� ("�

�*:������ %����C��"��'���<7��*������ :��� ������;��6������ �������% ����/ ������������<7��1 ��

����9������� ������ ���/ ���'�����@/ � �*��=)��-����' �� ���������6� ���#���� �"��8 �7�

9�������' �� ��6� � ���� -�����(�� �)%��� *�(� !��(� ��� *�� *��(��� *��(� ����� *�� �� ���

����9������� ���'"���������6� ������9������� �����6� ���X 6���� ���I������� �������(���% �

����9�������� ����� ��������L�(� ���!�D������ ��K2��()���*�������%�*������� (�1*��)�����F���

��:�����������������:(Conventional Cryptography���

�����/ ���� ��� ���$� ���������� ��� � ���& ������� � � (� ��X 6��(%�����������!�D������ ���������-(� ����7��E�����*������ �����������X 6���� (� ������B �%�*���� ����

J 7���8 ����X 6�����L���W���!�;�#��?��A� %���5���������6�����-E������7���������������0$�������*���� ���*���*�(�J �����X 6�����o(� ����*�� �����I��5�(����G���?���� � (�K2��F/ ��������I�:��SK

(%�����X 6���� �(� ����!�D������ ��������-��

������������I�:��SK(%�����X 6���� �(� ����!�D������ ����������

��

��

?

������� (� � �!��)�

������� F� 6���� ���

!�:� 8 �7��

��� ��������

�������(�'����(�(9+���)� ���L���+;�2��$� ������C���� ���@�����"�����������$� ������� ���9 �

����%���9 ����� ������������<7�

�=)��(��. ����X 6������" �������������8� �����%���<7������=�%���������������������������

�������G��"���� ��?�*�� �*��=)�����������<7������2

������� (� � �!��)�

� �������� F� 6���� ���

����� ���!�:� 8 �7�

�!�D��X 6������� ����:���

�������(�'����(�(9+���)� ���L���+;�2��$� ������C���� ���@�����"�����������$� ������� ���9 �

����%���9 ����� ������������<7�

�=)��(��. ����X 6������" �������������8� �����%���<7������=�%���������������������������

�������G��"���� ��?�*�� �*��=)�����������<7������2

����� � ����� �������� (� � �!��)�

� ���9������ ���9������� <7�� ��( ��� ���� �

��� ��������� ��(��" ��� ��� ��� ��������$� ������� ��

�!�D��X 6����

��$� ������� �����������

�������(�'����(�(9+���)� ���L���+;�2��$� ������C���� ���@�����"�����������$� ������� ���9 �

����%���9 ����� ������������<7�

�=)��(��. ����X 6������" �������������8� �����%���<7������=�%���������������������������

�������G��"���� ��?�*�� �*��=)�����������<7������2

���(�!"�"% �*����+�(?����' �-��

(��*� *�!)S��

����� � ����� � *;��*� ;��*�

� ���9������ ���9������� <7�� ��(

��� ��������� ��(��" ��� ��� ��� ������

�� ������!�D��X 6����

8�7�F/ ��-��

��$� ������� ���������

�������(�'����(�(9+���)� ���L���+;�2��$� ������C���� ���@�����"�����������$� ������� ���9 �

���(�������! ������9�����<7��("6 �=����%����)���-F� ��������%���9 ����� ������������<7�

�=)��(��. ����X 6������" �������������8� �����%���<7������=�%���������������������������

�������G��"���� ��?�*�� �*��=)�����������<7������2

���(�!"�"% �*����+�(?����' �

��� ���*��E������7�(��*� *�!)

;��*� ;��*� >;��*� ��K L��*� %�!*�

� ���9������ ���9������� <7�� ��(

�!�D������ ��-��

��� ��������� ��(��" ��� ��� ��� ������

��� ���X 6��*����B �%���(%����% 6�� (� � �� ����:���

������I :��K8 �7�F/ ��

I :��K��$� ������� ���������

�������(�'����(�(9+���)� ���L���+;�2��$� ������C���� ���@�����"�����������$� ������� ���9 �

���(�������! ������9�����<7��("6 �=����%����)��

�=)��(��. ����X 6������" �������������8� �����%���<7������=�%���������������������������

U ���� �!/ ��*��*�������G��"���� ��?�*�� �*��=)�����������<7������2

���(�!"�"% �*����+�(?����' �

���� ���*��E������7�

;��*� ��K L��*� %�!*�

� -� ���9������ ���9������� <7�� ��(

�� �����(%���!�D������ ��

��� ��������� ��(��" ��� ��� ��� ������

��� ���X 6��*����B �%���(%����% 6�� (� �

���!�����,��*����(%��N �������

������I

�������(�'����(�(9+���)� ���L���+;�2��$� ������C���� ���@�����"�����������$� ������� ���9 �

���(�������! ������9�����<7��("6 �=����%����)��

�=)��(��. ����X 6������" �������������8� �����%���<7������=�%���������������������������

U ���� �!/ ��*��*

�����2�� �������F� 6����El9� �*��=)����(�!"�"% �*����+�(?����' �

���9������!���*��

;��*� ��K L��*� %�!*� �

��6� ��� ��� �����:�I���>>K� -

��� ��� �����(%��

� ���7� �����( ���� ��������� ��(��" ��� ��� ��� ������

��� ���X 6��*����B �%���(%����% 6�� (� �

���!�����,��*����(%��N

�������(�'����(�(9+���)� ���L���+;�2��$� ������C���� ���@�����"�����������$� ������� ���9 �

���(�������! ������9�����<7��("6 �=����%����)��

�=)��(��. ����X 6������" �������������8� �����%���<7������=�%���������������������������

"$���*��'���*����*��U ���� �!/ ��*��*

�����2�� �������F� 6����El9� �*��=)�

���9������!���*�

� %�M����

��6� ��� ��� �����:�

�X 6�� (� �����

� ���7� ���

��� ���X 6��*����B �%���(%����% 6�� (� �

� ���*������!�����,��*����(%��N

�������(�'����(�(9+���)� ���L���+;�2��$� ������C���� ���@�����"�����������$� ������� ���9 �

���(�������! ������9�����<7��("6 �=����%����)��

�=)��(��. ����X 6������" �������������8� �����%���<7������=�%���������������������������

"$���*��'���*����*�

�����2�� �������F� 6����El9� �*��=)�

��6� ��� ��� �����:�

�X 6�� (� ��

��� ���X 6��*����B �%���(%����% 6�� (� �

� ���*���

�������(�'����(�(9+���)� ���L���+;�2��$� ������C���� ���@�����"�����������$� ������� ���9 �

���(�������! ������9�����<7��("6 �=����%����)��

�=)��(��. ����X 6������" �������������8� �����%���<7������=�%���������������������������

"$���*��'���*����*�

�����2�� �������F� 6����El9� �*��=)�

��

��

-

��n�"]�]�������>������$� ������� ���������S��

�������<7�� �" [21]���;S��

�:�� �����% ��=���������������� �S��E��OOO����OOO����OOO!��(OOO)��S���'�OOO������OOO/ �D�������2��OOO/ �D��

�OOO�������!��<���������2�����(OOO)�:����OOO�$���OOO/ �D�����������������/ �D�������0�����������& ��-���

• ]��'�������/ �D�!��*�������9����F��� ���� ����9����*��9��������(� ���L��� ��

������� ����9���2�!������������� ��(%�����;�(%���&��' � �(� ��� ��L��������7���-��

��"��S��

�F���;�'$<>NJ@3#C�B%��OPQRST� �

�F<�%��>�C;��'$NJ@3#B�OPQRST�

�F��� ���� ���������(���3.%�#�>���#��F�� ��S��

� �2�4.#�N<;BB<N%���

��$���� �7�� ��� ���� ��% 6���� ������� �� ��� ������ �"�� *�� �+��� =)�� L��� �%>�� ���

<�%��>�<C%;���F�� ����������V��%���#0�;� $�*��<�%��>�C;��V��%�����"����/ ;� $

���!� � ��� ����� �������% 6��������������2���()�.��������� ������()���*��E������7����(�

���% 6������������'� ������������ ���J��K � ����=����������-�

� �%�9���� ��()�:�� ���� (� � � ��� �'������ ������� *�� A���� E����� �/ ��� 8 ��������

��������2��("���V��%����%�9;� ��B �%���1 �?�@?��� ����()�:������)�� )%�����������

��*W�S�2�4.2�E�4���������������������������������������������

B �%������)�������L?����V�%���*������9�� �-��� �?���6�����!���*����� ��S��

��

!1

�� >�*���S����� ������ ��

������*���� ��"��'���<7�����6� ���&�'�'����*���6� ���&�'� (?�2����"��'���<7��������

V�%������(� ��>$�����G�V�%���<(��V�%�B �$�J ��2�.;4��7����2/ �����()����7��F�@��)�

V��%��F��

���?>���L�������J 7����S��.��2 *��4�.�2��E� 4������7��B �%��J ()���V�%�����

��%�9;�J ���)��*��= ���*��*���� �������S��.��2�*��4�.�2��E��4������7�����"����( �B �%J�

�*�� �"���A(%;�������� %�"�����9�����*�� ��� ����!�D��������*�S��

��.�;2�*��4�.�2���4������7�

������"���S���������F/ ������ ����*���SMeet me after the party

�*������ ��������������� ���=�F���S�

�<<Q��<�;>Q<O�QJ<��;OQ���� ���!��������������=�)�*���"��'���<7����;��������������!�����������0����*:���(�26 �

����� %�I��9��)�+��V��%���((��K�F� :����25�*:����� %��L�6��J ����+�V�%��-

V�%����$�������������7�.������V��%������=�)��<������L������"��'�<7���L�6��V�%����(��

��������B %������� ����6� ������� ����� ������ �����

]�X 6��()���+�J���*��J ��X 6�����(5��A��:��&�'������A���V�����"��'���<7��� �$2�I� �"�

'"���6������ �������W��2-��

• ]��/ �D����������!��S��*��9������*�������7�������)����;�(%������ (� �����&��' ���*;

9������ ����9����*�� �((%�� ����)���� ���*��9�� ���� ��� L �� � ��F��� ���� ���

�������!�������)����( ������-��

!�

��"��S�*���X��� ��%�%� �(�(�����������! �� � ��%�%� ���(�(�:��*��U �6�Y1�Y�Y--Y2�B �%

V�%������� ��(��@��=�� ��V�%����� �� � ����� �%�%� ��� (�(�:�� ((��*�2��*��*����+�

��(%����������������)��*���$���()�� �Y(%���V�%���� �2��(������F��� ���� ����*���7W�

� ��� L �� S����� ����2��F��� ��� � ���� ��()��� V�%� *��� �?>��� *�� � *�� *������ *�� �(��

����������������������!�������)��S��

�������!�������)��V�%���

��? ��7/��71��"7��!��� !���-���/�����

����-1��??��7"��" ������1?��>��������������/7��!!��1 �����

��"-��!1�� ����/���"��1-��1�����?1��/1��"!��!����?��� ������1������

������������-��� �����--�/?��7!��"?��!"���-���1���1��1"����

��

�Y�� �+����0���������!�������)����"��= � � �-Y�

�������������������*�� �*��*������*���(���� �������S��

�����������������������������3.��

/?���?��/7��1?�� ��"-��7"��"7��!!��-����.��

• ]��/ �D����()�:�����$�S��������������� ����� ���*��(%������% �*���$��� �(� ��� �

������� ������;�F��� ���� ���2����)��������� ��P�&�� �� ����� ���5����E���:��(%�

�U �� ��������*���()�:�� ���$�2������*�� ������ ����()����� �������(� �����

���� :����()�:��*����"�%��%�9;�*�2�������7��*�����������% ���@� ��S�

��2�4.2�E��4�������

B �%S�

!�

���S��()�:�����V�%���@?������S��%�9D���������S����()�:�� )%��

��"��S��3.�%�#��>����#���

J.��#;���#;���#��

���234.���;�N�';�C�%�

X 6��@/ ��� �"���"��'���<7�����J����*������� ����F�

U�X 6���������*��J���� ������'�=�%������

U�X 6����@�)��J���� ����@������ :��I���((���L ��?�J ����V�%�����)��K>$���.1�������.���

�7�����

��"����SX 6���� �(� ���2���������4F�J����

�������������=���2K ��� ��������� ����������� ����4����F��

�"��� ,��F�

���F��������������������������

�����=F�K �� �������� ��������� ������

��

����7���$���F�

:���������� ����?O�J������ :��� ������'�������

:�����V�%���@����� :��� ����*��V�%����@�)�X 6����V��%�*��L�9����J 7�J����

������$���F��EKJ �� ����� E��.�"�����V�%����O��T���7��EK .T����

���E���������������J �� �!E!.?����V�%����O�>�� ����F�� �����6� �(���F��

T>�P�QB#$%T$P�Q�PT<�BS$@3$N��

!

���������!�;�������F����� :��� ����b��6������ ���n�V�%���9�����X 6����*��L��J�J��-��

�$��T:���J ��": .�������O����V�%�J �� �K ���7���������

���.�/���0��123��(�1*��)�%*4��"5�%6���278�����"-����%��*"�����9:5)��

��

J�S�

� �@�>#���R��

� �� �� �� ;� �� '� $� <� >� N� J� @� 3�#� C� �� B� %� �� �� O� P� Q�R� S� T�

�� �� �� �� ;� �� '� $� <� >� N� J� @� 3�#� C� �� B� %� �� �� O� P� Q�R� S� T�

�� �� �� ;� �� '� $� <� >� N� J� @� 3�#� C� �� B� %� �� �� O� P� Q�R� S� T� ��

�� �� ;� �� '� $� <� >� N� J� @� 3�#� C� �� B� %� �� �� O� P� Q�R� S� T� �� ��

;� ;� �� '� $� <� >� N� J� @� 3�#� C� �� B� %� �� �� O� P� Q�R� S� T� �� �� ��

�� �� '� $� <� >� N� J� @� 3�#� C� �� B� %� �� �� O� P� Q�R� S� T� �� �� �� ;�

'� '� $� <� >� N� J� @� 3�#� C� �� B� %� �� �� O� P� Q�R� S� T� �� �� �� ;� ��

$� $� <� >� N� J� @� 3�#� C� �� B� %� �� �� O� P� Q�R� S� T� �� �� �� ;� �� '�

<� <� >� N� J� @� 3�#� C� �� B� %� �� �� O� P� Q�R� S� T� �� �� �� ;� �� '� $�

>� >� N� J� @� 3�#� C� �� B� %� �� �� O� P� Q�R� S� T� �� �� �� ;� �� '� $� <�

N� N� J� @� 3�#� C� �� B� %� �� �� O� P� Q�R� S� T� �� �� �� ;� �� '� $� <� >�

J� J� @� 3�#� C� �� B� %� �� �� O� P� Q�R� S� T� �� �� �� ;� �� '� $� <� >� N�

@� @� 3�#� C� �� B� %� �� �� O� P� Q�R� S� T� �� �� �� ;� �� '� $� <� >� N� J�

3�3�#� C� �� B� %� �� �� O� P� Q�R� S� T� �� �� �� ;� �� '� $� <� >� N� J� @�

#� #� C� �� B� %� �� �� O� P� Q�R� S� T� �� �� �� ;� �� '� $� <� >� N� J� @� 3�

C� C� �� B� %� �� �� O� P� Q�R� S� T� �� �� �� ;� �� '� $� <� >� N� J� @� 3�#�

�� �� B� %� �� �� O� P� Q�R� S� T� �� �� �� ;� �� '� $� <� >� N� J� @� 3�#� C�

B� B� %� �� �� O� P� Q�R� S� T� �� �� �� ;� �� '� $� <� >� N� J� @� 3�#� C� ��

%� %� �� �� O� P� Q�R� S� T� �� �� �� ;� �� '� $� <� >� N� J� @� 3�#� C� �� B�

�� �� �� O� P� Q�R� S� T� �� �� �� ;� �� '� $� <� >� N� J� @� 3�#� C� �� B� %�

�� �� O� P� Q�R� S� T� �� �� �� ;� �� '� $� <� >� N� J� @� 3�#� C� �� B� %� ��

O� O� P� Q�R� S� T� �� �� �� ;� �� '� $� <� >� N� J� @� 3�#� C� �� B� %� �� ��

P� P� Q�R� S� T� �� �� �� ;� �� '� $� <� >� N� J� @� 3�#� C� �� B� %� �� �� O�

Q�Q�R� S� T� �� �� �� ;� �� '� $� <� >� N� J� @� 3�#� C� �� B� %� �� �� O� P�

R� R� S� T� �� �� �� ;� �� '� $� <� >� N� J� @� 3�#� C� �� B� %� �� �� O� P� Q�

S� S� T� �� �� �� ;� �� '� $� <� >� N� J� @� 3�#� C� �� B� %� �� �� O� P� Q�R�

T� T� �� �� �� ;� �� '� $� <� >� N� J� @� 3�#� C� �� B� %� �� �� O� P� Q�R� S�

!!

• ]��/ �D�������0���������3����������������� �S��

���������������(%�����(�9������*������)��U �� � �����������$�:����%����$� -�����"��'���<7������S����X 6����(��*����*��J���� ������(� �� �"���X 6������� :��J�����/ ������

�"��'�*������ ����0 ��X 6����*:�2*��V�%:����(��:DF��

��

��5�����X 6����� ������1 ���8 ����(�� �������V��%���E9���*����%����(�?�-���*��(���*,��

�X 6�����/I�2J����(������� �X 6����8 �7��� �����������*��U �6���������=������(��� ��S��

H���� �� ��H����

! �� ���SV�%���(�����;�����V��%��������������*��B %���O����L��"���7��A�����I���()�����

&����K�2��"��L����V�%O�P��2��������� ���V�%���� .�� $O����V�%�������()���������"��������

��O�>���7����---������ %��*����;��� ����R��������� ��=�����S�������������������������������

HP�><S�;S;JH�

��"����F�*������ :��� ���F�

�����=�F��K �K ���� ��������� ��

&�������()���������X 6�����*����2�P ���� �������� ��F�

����� �=�F�Q>%'%Q�NO<S'��;P'�'OO'S��

!"

�����*����/ �D��������0������ [21]��6������6���������� � ����� �������6��<���� ����� 2���(

���6����6����� V��%��� ��5�$� U �� ��� ����� E����� (%����& ��2���>�� *�� X 6���� V��� L���

����6� �"4p2"��J �% �"����%2� �����"��'���<7��E� ��� ��� ���� Q����������� �� �?"!�

�8 �7�(�������!���� ���"�(��LI�� �� ������� �K�"��'���<7���������*�����(�� (� � *�2O��

V � � ����4�����:���������=�%������2QQ�4��E���*�����6� ����(��*����*���"��'���<7��������I�

"�p� "�K���6� ����*�� �J ���*��������"��� ���2�J �� ���9��)�+��V��%���*���� �7� I�=������7!��

�)���� ����O������%�>���N�J ��2*��� �2>*N.+>4��

3� C� #� �� %�

�� <� S� �� ;�

�� '� $� >6N� J�

@� �� B� �� ��

O� P� Q� R� T�

���'���S�

:���X 6��� ���J���U � 6����H�C3�O��%H��

�:��X 6����(�������6� �����5� �� �"��J����+�����

��]�X 6����(��V��%���= ���8 �7�(��J����

�:!�V�%���(�����O���X 6������ ��(��J������<(��������V�%� $������V�%�*������������(�)��O�

��������= ���+�8 �7����������;��� ��*����;��7����<(��J 7���V�%�����;�=�7�����T���

���6� ����F�� ��3� �=��������F���

��

��

��

!7

���"����FX 6����J������H3C#�%�<SH��

������6� �������;�(����F�� F�

���L�� ��7;������������*���%�7�.��@/ ��*���%��WRW�*>$��H������H��� ���F�� �H����=�����H��

�����*���%�#)��7;�> $��V� ���1 6������I�H�%H�&�������()������K��;�L���*��:��@��L�(��H%3H�����

�?���7�����()���V�'����H%H����7�.���V� ������(����;�@)���O�H3H��>$��'��������#)�����F�

HC#H�F�� �H#�H���

� ��1 6�����*���%�#)��7;�(�����2L����6�:��@��L�(���*��$��H3OH���;��6���H�3H���

��!�����8 �7��(�I&�����*�������C�V��%����?���7;�J �4��1 6�����@?�����V�%���@���(���V�%���

��:��V�%���V� ������(����2��$��H<�H���;��6���H��H��H��H���;��6���H>3H��H3TH���;�H%OH�

�7���, ����2�6� ���86��1 ��� �"�����"��������'������

�$�S��F��� ���� ������� �%�#�>���#�����������L� �����S3.�%��#��>�����#���R��

���F�� ��������� ����*��()�����S�������������������������.�<$�Q���<�<%�Q'�$P�

�6�*�����S�*�����A(%;�*������' � �� ����V��%����(( ��� ��������6��������?� ���

��/ ����<������ ��-�-�[21]�27�. ����6�����<7��-����%���� ���((��1 6���!�(����F��� ���� ����*�

�6������ ����*��V��%���-��'�������(� ��������� �� �B �%���'����(��/ �+���V�%����*�

�*���7W�����?�����"�. ����� �����V� ��*�������S��

��

!/

1 11 1 12 2 13 3(mod 26)c k p k p k p= + +�

2 21 1 22 2 23 3(mod 26)c k p k p k p= + +�

3 31 1 32 2 33 3(mod 26)c k p k p k p= + +�

����6� �����'��������6� ����<7��*����� ���*�����:������������(����S��

11 12 131 1

2 21 22 23 2

3 331 32 33

k k kc p

c k k k p

c pk k k

� �� � � �� �� � � �= � �� � � �� �� � � �� � � �� ���

�����.�����2�����74�

�*��>��*��B �%��������'��*�(����*�� ���� ����*>$���*�7���������F��� ���� ������6���&��� ��2������������6� ���� p ���� ���X 6���$� �� ����-�1 �"���������� ��7���� ��*����0���

��9��)�+�������(� ����&%��������2�I>>�K�%�/ � ��$�-��

��:�2>���������?� ������ �������������� �S��

�%� ����;� �� @?������ ��(�;� ����� F��� ��� � ���� 9���� =� � � �(�Y������� Y��"��'�� �"�'

������� ����������� %����)��*������2������<7��=� � ����(�;�������7�6� �������>�����"��'���

*�����(��������(����� 2����(�!������������F��� ���� ������ �����:����%�������� �B �%

*��� �� �� ����� �"�'2������� �#��?� ����� �"�'� ��(�!��� ������ *�� �#��"��� � ���$��� ��%����� ���

�� ������#��"���J ����*�������;���/ D����(�!������������X 6����*�����7����V� ��2��*����7��

@?�������(�;�����S��

]�0 �������2>���������?�$���S������ � ������������ ����= ���J 7�����'��������F��� �

���6� ������"�:�2�*������� �&����(��:���#��?��>��*��������� ���������� %�� $�*��-��

��

!?

��"��S�� ��� F��� ��� � ���� *�� U � 6��%�#�>���#���� ���6� �� ��� L � �� �� � (?�I!p � K����

��������'�:�S��

�����������<7����'�*���%>�������(��()��������������?���q�6���@?�����9�) � ���8 �7��

� �� ��� ���� ��� &��� �(��:�� *�� � ���� �7�� �#��?� ���� $!�� $��� $ �������� � ���� F�� ��

�����%>##��-��

!�� �������������#�����%�����

���������>�����

��������#�� ��

��

��n�"]�����$�(%�����$� ������� ���������Modern Symmetric Cryptosystems��

�������<7��(�(��� (� � ������ !�������������=����%���@��������' ���=��� ���()����

����'���0�� ��*���� ���C����(�D����/ �D���$����(��" �����$� ������� ���������:��*���7�����

��!��S��

��������������� �4�����;����� ��������� ��2;��4S��

�����*;�O���;������ ������ �[23,24]� 2J ��� � ��� ��'���� ���7!��� 2�� �� ��(��� *���

��� ���F���7!������� �������� ��N�����7!����-�!�D������ ���! �7����9������� (� � ��2

� X 6���� ��'� *����"7����I� O��� (� � ?� ������)��(9+�� �� �+� ��"� ���-K���<7�� �(��� (� �

��);��������9�������#�7��F��� ���� ������ ��'���!�>��*�� �����(�7����-��

!-

� �����-//������������"���= �����*���#������ �� ���� ��� ���� ��� 2#��4�-�����*�

��6�����'���;��������������C�������:������%����"��' ����L��(� ���X� "��J 7��I���� (� ���

�/ ������������"��' ��-K���������?�*����� ������9��������' � >�3�-��

�������� ���I�]!�K�''����� ����)��*�� (� � �� ������9������-����(������� ��B �%�����(�

�8������@?������'����77!�(� ��"�'�������������>����� �� ������ >����' ��C.>�2�4�-�*��(��

O��!�/ �;� �7��/ �� ����*��@��� ��2�"�'���� %����@?������(� � ��(� ���1 ������J ������:����>��

�5!����������� ����������� %���8 �7�-��

��������I�]!�K����9����;����

��

��

��

"1

��������������+���������� �4����!2>;���4>� ������;����� �������&� ���S��

�����/ ����� �� d �[25]� �� P� �� F��� � � �� �7!� ��������� � �� � �� ��;� L��% �

7!����2����X 6������'�������2�!�D������ ���! �7����9������� (� � �-��

�(� >;������"'���������B >$����S�

RC%F��R�@O�>P��C%���������������������������F�������

����X����������Y�7����������������Y�7� ��1 �?�@�)�� �

3��X�����X����������Y�7E��

�1 �?�=�/ ���Y�7E��I�J ���������((�����7"" /K��

�*��V�M�����L �� �(������� ���� ��" ��������9������� (� 7!� �������;!��!������� �

*��V�. ��=�*=�*= *� =!������'�7� ������&" ���8 �7��"������:����� ���X 6��*���������% 6�

�M����*��V�����������(��� ��������� � !��� ��I����(����$� K�� ��*�� ���(������(�V�. �

�*��V�M�7!����� �?���������;� �"��I�!������7����K�V�. ���/ ���������F� 6�� (� � �8 �7��

�*��X 6����T�*T�*T *T!*T"�*�T7�����'��7���--��

�*�����9�������V�. ?��������������(�N����� ���N��������� ����(���� ���5!���(%�

��������2���$������(�����(����(���I�]"�K���9�������<7��� ����-��

��

"�

��������I�]"�K����9����>;����

�: ���������� �4������$"#"��;���]�� ����S��

����O������9���������' �;������'��� ��P� �(�")7!����2����� (� � �;����B >$

�����2��'���� ���� ����:;������'��!������F� 6���$> $� (� � "7��>�-��

�8 � � � ����:;������'���% 6��7?�����A�?�����%� (" ��!���7��-��

�� �O���� ����:;������ ���B >$������'����&��S��

• -3������ ���) ���X 6����@����'����������� ������9�����&�' -���

• ���G�X 6��@����'���������!�D�����9�����&�' � -���:��*��V� ���X 6��()���L�:

���� ������ (� ����I���:����'����K��� ��$����� ��P ����7��-�

• �B �$���X 6���� �(� ������$���'������� ������9�����&�' -�

������O�� �) ����� ������ ��'���� ������ ����:;���� ��5����� �$��� ( I����� �$��� J �� K� � L�:X 6�������0 ���������*����%��������-��

"�

!�]��)������� ������� ����� �+��������I%�M����K�� �$%��E�/ ���������� 6��� !��(�6��� ��

B �$��-��

2���5� 2����3�������)����-$������.��Public Key Cryptography��

����� ���V� ��$� �> ��������� ��� � ���& ����S��X 6��!���V� ���� ������ ����*�

�X 6���!�D�*�% 6��8 ����*��J ��S� ��X 6�I� ����� ����K ��X 6��I������� ����-K��XO 6���

��(�"*�7*�/)��� ����!��� ����X 6�������1 ����@��)�����E9����6 %��L�%� �L��+��L�����

%:(2� ����' ��7�� ������������� ������*��� ��'����L��(� �������%�������'?�������*O��

����%���2B �%�*��X 6���� ��������� ���5�����X 6������ �������!�D�5���2��J �����O������

� ��V��L �� ��*����+� ���X 6���<�!�;�F�%� �1 ������ ����X 6����+;-� ������> ����$� ���

#)��,����C�@�9� �����������>%����F� 6����*���� ����$� ����-�����O����I�]7K������FO/ �����O�

�!�D������ ��� �(� ���X 6���� ���X 6������ ���S��

��

������I�7:��SK� ����� ���X 6���� �(� ����!�D������ ����������

��

"

���� ��� ���r�� �����(�%������"�"%������$���*�������� ��:��������

����9�����*���!����2*������8 �7�

�*�% 6�� (� � � �!�� ��$� �� ��C� ��� ������� X 6���� ��� � *�� ��� ������ �

�������������L��*�% 6�� �(� ��

�'"��(%���<) �����% ��'�����

�*���� �� ����X 6����(�(% �*�������� ���*��*����*��=)�

��

�<7!����!�e��V� ���X 6������ ���X 6�������������X 6�����

��������'�����!�D��X 6��(�(% �� �"���=� ���*�������%

��

���� ��� ���r�� �����(�%������"�"%������$���*�������� ��:��������

����9�����*���!����2*������8 �7�

�*�% 6�� (� � � �!�� ��$� �� ��C� ��� ������� X 6���� ��� � *�� ��� ������ �

�������������L��*�% 6�� �(� ��

�'"��(%���<) �����% ��'����

�*���� �� ����X 6����(�(% �*�������� ���*��*����*��=)�

� ����� ���X 6���� �(� ����!�D������ ����������

�<7!����!�e��V� ���X 6������ ���X 6�������������X 6�����

��������'�����!�D��X 6��(�(% �� �"���=� ���*�������%

�!�e����,������ ��� (� ���*�% 6����(%��*����;���/ ;-��

���� ��� ���r�� �����(�%������"�"%������$���*�������� ��:��������

����9�����*���!����2*������8 �7�

��(�D����/ �D����;���/ ;���/ ���@��� ������������������X 6������� �-��

�*�% 6�� (� � � �!�� ��$� �� ��C� ��� ������� X 6���� ��� � *�� ��� ������ �

��(%����% 6�� (� � �� �����$� ������(��" ������ ���@�����"��2�������������L��*�% 6�� �(� ��

��'"��(%���<) �����% ��'����

�*���� �� ����X 6����(�(% �*�������� ���*��*����*��=)�

� ����� ���X 6���� �(� ����!�D������ ��������

�<7!����!�e��V� ���X 6������ ���X 6�������������X 6�����

��������'�����!�D��X 6��(�(% �� �"���=� ���*�������%

�!�e����,������ ��� (� ���*�% 6����(%��*����;���/ ;

���� ��� ���r�� �����(�%������"�"%������$���*�������� ��:��������

!"��������*������$��+�% ��������X 6������� � (" ��L���.��-����9�����*���!����2*������8 �7�

��(�D����/ �D����;���/ ;���/ ���@��� ������������������X 6�������

�*�% 6�� (� � � �!�� ��$� �� ��C� ��� ������� X 6���� ��� � *�� ��� ������ �

��(%����% 6�� (� � �� �����$� ������(��" ������ ���@�����"�

��� ���� ��

�*���� �� ����X 6����(�(% �*�������� ���*��*����*��=)�

� ����� ���X 6���� �(� ����!�D������ ��������

�<7!����!�e��V� ���X 6������ ���X 6�������������X 6�����

��������'�����!�D��X 6��(�(% �� �"���=� ���*�������%

�!�e����,������ ��� (� ���*�% 6����(%��*����;���/ ;

���� ��� ���r�� �����(�%������"�"%������$���*�������� ��:��������

!"��������*������$��+�% ��������X 6������� � (" ��L���.�

��(�D����/ �D����;���/ ;���/ ���@��� ������������������X 6�������

�*�% 6�� (� � � �!�� ��$� �� ��C� ��� ������� X 6���� ��� � *�� ��� ������ �

��(%����% 6�� (� � �� �����$� ������(��" ������ ���@�����"�

��

6����*���������X 6����������� %��� �X �

�*���� �� ����X 6����(�(% �*�������� ���*��*����*��=)�

-��

� ����� ���X 6���� �(� ����!�D������ ��������

�<7!����!�e��V� ���X 6������ ���X 6�������������X 6�����

��������'�����!�D��X 6��(�(% �� �"���=� ���*�������%

�!�e����,������ ��� (� ���*�% 6����(%��*����;���/ ;

���� ��� ���r�� �����(�%������"�"%������$���*�������� ��:��������

!"��������*������$��+�% ��������X 6������� � (" ��L���.�

��(�D����/ �D����;���/ ;���/ ���@��� ������������������X 6�������

�*�% 6�� (� � � �!�� ��$� �� ��C� ��� ������� X 6���� ��� � *�� ��� ������ �

��(%����% 6�� (� � �� �����$� ������(��" ������ ���@�����"�

��� . ����F� 6����E9� ��*� �����)����-��

6����*���������X 6����������� %��� �

C��������*���� �� ����X 6����(�(% �*�������� ���*��*����*��=)�

�K8 �7�F/ ��-

�/:�SK� ����� ���X 6���� �(� ����!�D������ ��������

��9�����(� �&������<7!����!�e��V� ���X 6������ ���X 6�������������X 6�����

��� ���S� ���������'�����!�D��X 6��(�(% �� �"���=� ���*�������%

��� ���X 6������ ������9����-��!�e����,������ ��� (� ���*�% 6����(%��*����;���/ ;

X 6������� ���' �(������ ��� ���r�� �����(�%������"�"%������$���*�������� ��:��������

!"��������*������$��+�% ��������X 6������� � (" ��L���.�

��(�D����/ �D����;���/ ;���/ ���@��� ������������������X 6�������

$�:�� #������*�% 6�� (� � � �!�� ��$� �� ��C� ��� ������� X 6���� ��� � *�� ��� ������ �

��(%����% 6�� (� � �� �����$� ������(��" ������ ���@�����"�

��� . ����F� 6����E9� ��*� �����)����

6����*���������X 6����������� %��� �

C�:� K ��� � ���� ����

�������I�]/�K

������I:�

��9�����(� �&�����

��!��� �9��������9���������� ��

��� ���X 6������ ������9����

X 6������� ���' �(�

!"��������*������$��+�% ��������X 6������� � (" ��L���.�

��(�D����/ �D����;���/ ;���/ ���@��� ������������������X 6�������

$�:�� #�����

*��� 6���2��(%����% 6�� (� � �� �����$� ������(��" ������ ���@�����"�

��� . ����F� 6����E9� ��*� �����)����

�6����*���������X 6����������� %��� �

K ��� � ���� ����

�������X 6�����������

��9�����(� �&�����

��!��� �9��������9������

��� ���X 6������ ������9����

X 6������� ���' �(�

!"��������*������$��+�% ��������X 6������� � (" ��L���.�

��(�D����/ �D����;���/ ;���/ ���@��� ������������������X 6�������

*��� 6��

��� . ����F� 6����E9� ��*� �����)����

K ��� � ���� �����

�������X 6���

��!��� �9��������9������

��� ���X 6������ ������9����

"!

()����<7��*�������#6����7�����G�( �� ����������X 6������� ��������*��N7����$>$� ����

����/ �������.��������� ��V���������*�:��&�"% ��(� ���������Z3���������� � �����[�

��;���/ �������.������� �V�� ����������<7���S��

]��%�%� ����������������>�&� ����� �D�����������I%���!���������!�:�[26]�K��

]@'" ���� ��C������������I�� 6����K;��� ���@�&� �����������I��!����@$�����[27]�K��

]�)����D����%�������� ����������������� ���� ����������;��*�;�����:<�����*�[27]��

!��)�(� ������(������ ���� ��C��� �$� ����� ��� �� �(� ���X 6���� ���X 6������ ���2�

9)�W��!����U � ����S��

:���%�%� ����������������S>�&� ����� �D����������S�

� ���������X 6������� ������*�������6�(�V� ���("��-/7����� ��������%� "�� ���!��������� ������ X 6�� 2������������� <7��� *���� (�� ���'� ������ ������ X 6�� ��� � ������� �

����(%�����;�����S��

%��%��������������� ����@���������(� ���7�������� �������������*�((��()�;����!����*��L����������������������*������

��)� ��()�;��*������!5�()�)�=� ���*��L���� ���(��������;��)� ����<7�����%-��

�>$��� ?���� ���% � ���%� ��"�?-!1""/�(�����(���((��� #�()� ()�;� ���%�*� I�"�1/�� K�O�

I ! "���K&�6����%>������9����*��((�������)�����2F/ �������*�((�����5����'������@�' ���

�*��#�9)���>��=�/ ���������7�6� �=�/ �����$����*����=�' �����������;����% ��������������

��/ ��� �(� ���8 �7����9��������*��#9)��������=�/ ����� %�*����*��*����8 �7����������

���� ���X 6�*�(�� ���X 6�������*�� �� ������ �������������!�;�����*�� �*��=)�����9�����

���X 6��N�9��� ������ ���8 ������ �������������������!�����X 6�����*�� ���� ����������

�L ��("��*��������U 0��N�9���(��� �*�� (� ���J ���/ ����-��

""

� � ��=� 22��A4� E�*�

� �(� ��������/ ���(� � ������7�

�=)���*�

� �� ��� ?���6���

�*����*���� %�

�� \� (�*��*���

����:��8� ����� �"��K�2��

��

��

��=� 22��A4� E�*�

� �(� ��������/ ���(� � ������7�

A0���K�*W�� A0�

��� �� ��� ?�

B �%���*����*���� %�

*�\� (�*�:�)�

����:��8� ����� �"��

&���2���*���4�.����

��\�(�*���-��

#" ���A���S��

O��� !"�!��

�#�()����)� ��*�� ���

�.���0�A��

]�2��4�.�2����

����)������=� 22��A4� E�*� :

� �(� ��������/ ���(� � ������7�

�#�()��� %A0�

((��� J 75��

�((��()�;���;��� � ���8 �7����5������"��'��(�(�:���� ���*��B �%�

��5�����((���5��� ��B �%��*�

��� ������I����:��8� ����� �"��

�s&���2���*���4�.��

�?�@��)��)��*���""%����%�%� �*�� �:�)

�������/ ;��'� %��7� �#" ��

���9���������O��

����9����%����

��5������#�()����)� ��*�� �

s s s s s-�.���0�A

]�2��4�.�2��:��4�2�A

��;��������������((��I�K]�

�2U �0����6���)�����7��*�/ ������((������� �(� ��������/ ���(� � ������7�

�B �%� �$� ��#�()��� %

()�D�� ����" � ?�� �5�� �!��� ����� *������ *������ *�((��((�

�((��()�;���;��� � ���8 �7����5������"��'��(�(�:���� ���*

��5�����((���5��� ��

?>���&"%��7;�8 �7�������((���*��*������" ������(�. ��� �� $��� ����

��������������������������������������I �K�s

�?�@��)��)��*���""%����%�%� �*��

�������/ ;��'� %��7� �

�(���F/ ������9��������

-����.�����9����

�*������*������A�*���5����

2�4s s s s s

�K�s s��4�2�A:�4

��;��������������((��

�2U �0����6���)�����7��*�/ ������((

�� ?��I�B �%

()�D�� ����" � ?�� �5�� �!��� ����� *������ *������ *�((�

�((��()�;���;��� � ���8 �7����5������"��'��(�(�:���� ���*

� ���������5�����((���5��� ��

?>���&"%��7;�8 �7�������((���*��*������" ������(�. ��� �� $

��������������������������������������

�?�@��)��)��*���""%����%�%� �*��

�0������������;��������/ ;��'� %��7� �

������I�]?�.�(���F/ ��

� � ��-

���'������� ��S�

��*������*�����

2�4

���������������I��K

�*#" �����;��������������((��

�2U �0����6���)�����7��*�/ ������((

����� 5���

()�D�� ����" � ?�� �5�� �!��� ����� *������ *������ *�((�

�((��()�;���;��� � ���8 �7����5������"��'��(�(�:���� ���*

�� �+��*���7;���

?>���&"%��7;�8 �7�������((���*��*������" ������(�. ��� �� $

��������������������������������������

���(����*W�������I �K �?�@��)��)��*���""%����%�%� �*��

���% ����0������������;

!#��$��������

���9���%�������'���

�(��� �� (� ����� *�((��

�7����*W�S���������������

��(�����������6���*

��J ��*��2U �0����6���)�����7��*�/ ������((

��7W��������" ���������(�(�����

()�D�� ����" � ?�� �5�� �!��� ����� *������ *������ *�((�

�((��()�;���;��� � ���8 �7����5������"��'��(�(�:���� ���*

�L���()���������((����7��� �+

?>���&"%��7;�8 �7�������((���*��*������" ������(�. ��� �� $

�����)��*� �?��S��������������������������������������

���(����*W�������

�(/ ��/ �����?���)����% ��

�+����� !"�!

*�/ ������9���

�"��(��� �� (� �����

�7���

F� ������(�����������6��

�������J ��*�

��7W��������" ���������(�(��

�()�D�� ����" � ?�� �5�� �!��� ����� *������ *������ *�((�

��(���������((��()�;���;��� � ���8 �7����5������"��'��(�(�:���� ���*

�L���()���������((����7�

?>���&"%��7;�8 �7�������((���*��*������" ������(�. ��� �� $

8 �7�������)��*�

�*�����((�����(����*W�������

��(/ ��/ �����?���)�

�+����

*�/ �

�K-�"�

F� ���

�4����

��7W��������" ���������(�(��

�����

��(��������

�L���()���������((����7�

?>���&"%��7;�8 �7�������((���*��*������" ������(�. ��� �� $

�8 �7�

�7W���*�

*���

"7

G�K�V� ���*���0����A*�*��� ?����/ �����'���B �%-��

=�K�����*�/ ��*��=)�IA:��4�*�2��:���K�����������������-��

N�K�*����*���0���&���2��:��*�A:�4�����0��-��

()�e��������((�� �B �%���*��:��L��((���+���� ���2��������������������������5����������� � $� �����

��B �%���*�S��

� � � � � ��.�2�>�0���4�E���*�'� �>.�*!*7������;����;��� � ��*�����((����$�����?�������� %��*��*����������#" ��� �B �%���*��� 5��L�����������

�����-��

���� (� �����(���>����������������%�%� ���((���5������B �%���*������������@��������]�2�4J ���*�S��&���2��*�]�2�4�4�.���

� (� ����� �"�� >����� �*������(���)��*�� �#� (� �����������X 6����<�� ��J 7�����X 6����

���� ��-�� (� ����������>�������3����� (� �������;�NB �%���*�t3tC�-��

8 �7����� ������������S�������b3�������

� (� ����� �"�N�(��� ��((��F�%���������B �%���*�������1 �����1 �?]24������S��

��.���2���*�]�244��� (� ����� �"��N86������ ���I��!�D��K��?>����'����S�������.����������

�$�?S��*��U � 6��A./*���."��*��B �%.�0A. "�*���S��

]24.2":�42/:�4.�!�

W���"�"%�������*�������)��*��*� ��� ���5�(�*��� ���."�A./��

�*��U � 6����.�*�����(���S��

�.�������.����� ".�1!?���� ".�?�

� �� �� ���8 �7���.��������.��?������� "�.���

��

"/

����"��S���*��U � 6���A.7�*���." �*�����(���S��

.�0A." 07�. � �

]24."�071. ��1�

�*��U � 6���./-��?������� %�� �(���O�� ������J �� /�������*�� (���� ���� U � 6����������3.%�#�>���#������;�������� �"���(��� ��I�����K�*��B �%� ?����������'��!�����S��

�.CC�

�.1��

�.1��������T.�"�

� �� �� �� �� �� �q��6�������.�7��������������I����:�����!�5�(���9��������$� �=)��L�W��@?�����������>>����'�����7?����-K�(�������� %��S��

3�.�%������#������>����������������#���������

����.��/1!��� 11���1?�?���?11���� 1�����1!�7��

���������:��8����������S��

���.�2�/1!4/������ � �.� �17�

��

��������� ��������������S��

�. �17���1�11���1- ����7-�����-?!����-�/�

�:�@'" ���� ��C�����������;��� ���@�&� ����������S��

@'" ���� ��C�������.���������A������/ �����.������(�/)����:��((���1 �?����

�2� ���� ��� @�&� ����� ������������ �� � ���� �4�-������((����(����F�%� �((��7�.��&��*��1�

��:�2�����1 ���)� ��*�� �&2��*������ ����?>�����(��*�� �&�����S��

��.�&=2�����4�

�����)��*�=��1 �?�@'" ���� ��C�������.�����F�%� ���((���(�(% ��*�� =��*�)�9��������&����-��

"?

���)�����'�*;���� � �@$�3�@�6����� ��������U � ���*���������<7������(� �������X

��.����� -*� 9�� �� *� ������ ��)��� U � ��� @?����� ��� S�(" �� ���:��@�?� ��� 9)�D� A��:��� ��� ���

��?���-��

�������:������%�����?����@�?� ������9��������(�2;��4;�&���� ��&�� �� ��&� ���������(�

��)��� ���(�7*�?)-�����:�� ((�����L��'�*����*��=)��@'" ���� ��C��������������� (� ����

�?:�� ���2/71� ���4�*�:�� ("��� -�� ��C����� ��.��� ���� ����� ����� (� �� ���9������� <7�� *��

�1 �?�@'" �����#�(:�����������! #6��(� ������2������ ��=����������������-��

��������+������@$��������&� ���S�

��)������9��������?����@�?� ���*;(�/)������9��������?����@�?� ���*������ ��$���O�%���

�����$�:�� !���� -�� �� �*��*���� �(��� (�%����;� !?���� ����������*�� (��� (�%��*��U � 6��

���������)������9�����S��

��2�����'���F� 6����*���)�9�(�%��@?�����8 � ���*��=)�� 2�����6���F� 6����*��V�M�������� �(%�

��$> $��I��$��K���� �� ���5�������,��I(���(��-K�X 6����=�%���������&��S��

�.� 2$Y�4� 3C;� ��2�B �%���*��V�M���5����������((�"��� �����$��*���?��F�%� �((���� 9 ��

� 2����� ����� ���9������� !6�� ��!�� ���%� ����� � ��� (��"��� U ��I�<7!�� �9������ F�>���� *��

6����*��N�9�(��� �(�%��@?�����*��=�'��L������9��������6� �������(�()������ �� �������������F�

!?���*����;�N % ���������-��

�2��������������5����������(�%��� ��3��X 6���I((���K�J �������I�F� 6����1 6��(� ��$*� ��

����'�F� 6���K���((��(�%��=�%��8 �7�(��IX 6����K���������S��

���.�2$Y��4��������

"-

��2 %�� =�%�� ������� �� ��� (�;��� ������� �� ��� @� � �(� ��3;"�V������ -23����&��

;�&��� '����4��*���6�M����((����!�������*����J 7�����?� ���-��&�����?����@�?� ���(�%��=�%�

��� ����?>��S��

R�.����E�2;�0�4������2�:�4�

��2!������(�%��������S�]���������� �3�-n�@�?� ������?���=-��

�X 6�������"� > ���(%��������;��������2��������4-��

�(�%�� �"�I���" ������!)���K�� ����%����������?����@�?� ���*��&"% ��S��

=�%������������ ��;������������ ���@� � �(� ��3;"����������((����!�������*����J 7���

�*���?�����-�*��(�%��&"% ����� ����?>����%�S��

$YR�.�2��0�Y;�4�������

��""%��@�?� ���*��������:���?>���&"% �(��I�%�%��K*:S��

$YR�.�$Y2��E;�0�4�.�2$Y��4�2$Y���0�4�.�2���Y;�4�3C;����

��"���S���)���@�?� ����S��

��������X 6����*��U �6��� .� ��*� $� .� ����� �� ����X 6������ . �6����*����L�W��X

��������.� 2$Y�4�3C;�.� 2�Y 4�3C;��.?�����!���;��!�?� �(�������������� ��*���7;�Y��>��

(" ������/ %���(����������� ���-Y�����������<7���� ���*��U �6��;��.�/-�

��������<7!��J �����X 6����*������.������!���������X 6����*������ ���S��

��.�2$Y��4������.�2�Y�4��������.!�

����������<7!����?����@�?� ���*�����(���S��

R�.����E�2;�0�4�����2�:�4�.��E�2/0 4�������1�. �

71

�@�?� ����7��*��&"% ���������*W���� ���I��" �+���!)�(���K��� ����?>���&��� ��S��

$YR�.�2��0�Y;�4��������

�Y �.�2!0?Y/4��������

�Y �.�2!0 7 /�"�4��������

?�.��!"!?71?��������

?�.�?����������

�&"%��@�?� ����7��*��J �I� ���-K����������������������������������������������������?�.�?���

��

$�>����2>����������;��2;�&������&�� ������ �4S���

:���(% ������+����������" ��������������"���9������X� ?��������#������ >����� ���

���� ��� ��� �������&�����?����@�?�� ������9����(�7*�?)���)������9���������(� �-�V�

���?����@�?� ������9���������9�������<7���&�� �� ;�&���� ��&� ���� 2;��4��<7��*�� �*��X� ?��

���������9������I����?�K�O�������8 �7�;�&������&�� ������ ��4�;��K�� ��--�-��

��O���*������5����V> �+��*;;������9��������'���������%����������9)�;���6�����������)����-

� ���%��� @��)� *W�� ��)��� ���9����� ���'�� U �� ��� �>�� *�� ��%+� ��I����%��� �������K

�1 �"���A�) 2���� � �4� ��I�B �%���((��*��*��������"��� ����-K�O����������;����U ��*W�

�1 �"���A�) ����%��2���� � B4� B�I�B �%B��*��*���������((��71� ������((��� ���?�*��:�K2��

� ��"�����;�@������������)�� �7��I1 :��K�71� ����� ��"�����;�@�����*���+(�"��� ������)��J 7���

>$�L���E����@�?� ���=�%�����B&%�����(�9����2I>>K-��

��

��

7�

�: $���6=��$������������������������������ ���� ��������S��

����)����D����%�������/ �����( ��� ����/ �������(� �������������� 6���!��(�6��V��@�����-��

��

������������9������� ����L���������� ��� ����� 6����7�������?��V����'����������)�����7����������B �$����� 6��������� �����L ��9������L ���-��

��

�����

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

7�

@ ��"����� ��������

)��������������������

Advanced Encryption Standard(AES)

��������� Introduction��

��������OO/ �������OO$���*OO��OO����' ���OO�� ����OO��9�����E�OO/ ����OO� ���OO���OO�����@�

�2���OO�����=�OO���%�����+OO� +���OO��@��OO������OO��������OO' ������OO�����OO��:������OO���

�OO�������OO��%���5OO�����OO�������*OO�:��OO%������OO)%����-���OO�$��B OO%����OO����(OO?�

����O)�����7O����I���O�� ����O"%�K����������O' ����7O��@O��=O�� ��O��9������O� �������O' �

��)��8OO����2@��OO������OO?�*OO���OO� ��OO!""% �=OO)���OO ���(OO���"�����6OO� ������*OO���OO�

����OO������OO��9������OO� ��2OO! �����OO! #6��A(OO����OO��9�������������!OO���*OO�

A�OO?����OO��%��OO�� ����OO)���OO���OO��9�������-��OO�����OO� 6����7OO���OO��H ?OO���V�OO�

��OO����������OO� �����OO�� � OO��VOO�����OO�"'������OO�������LOO ��9�������>OO��*OO���

��! �������"%������!������������(�(%�������$��@���� ��-���

�����)��������������������AES (Advanced Encryption Standard4��

������������(�������:�����"�����6� ������9�������6� � (� *�!)2;��4���(�����;�(�()�*�����(��

(� ���� *�� � �(�()� ���9������" ����� �6��� ��� ���?2� �� ����)����� ���� ������� ��'���� 9������

#>��I#������ >����� ��� ���� ��� ��� �������&�K�� �� ���--/�� �(" �� ���(

�(�()���� ������U �������� (�-* 1)�*���/ ������J �� �*�����?�8 � �� ;��������6���*��% ��

���������' ������/ ;�-��("��O���((%#>���O���*��������$� ����� �E���*��*����*��=)��I���6�

7

�$� ��� ��K�� ����'����?�����'.��F� 6�� �(�������?�n��-��]�"7����-�*������)����(?

����(������������%� "�����9������U ��������/ ��2�����1 ����� ��� ���!���� ��>���

)��� ��� 8 �7�� ���9����� �� ���:�� ����--?� �� ���$��� ���)��� �>��� �---F��� � � ��1 ��

���� ����� �� �� *�� ���9����� 21 ����� ���� ��� � ���� �+�� *�� (�(��� (�������9������

�����. ������ ���=� � F��

��-���9��������(�)���2%�M����4�F�!�����?7����)�;�1�������

��������������9�����2��%��#�4�F��!�����"-����)�;/��������

�� H ���� ����9�����2�QC'>�<4F������!� �����)�;����������

!��-��������9����7��2%�74�F��!������ ����)�;� /��������

"-1 ������9�����23�%�4�F��!������ ����)��? ��������

������9�������F��� � �("����%+( �* �)����������� �� 2%�M����4����(������6� �� ����!����

*��P�9��*����)�������6� ��������!��� ���#���S; �N��� � ;����:� ; �P���� � %�M���

�*��(�����+��������%���?�*����6� �������!6� ����(� ��� ���� ����!���% ��(% ����-�!�����

9��������� �������������'����)��� � 2#>��4���5!��������������I'>��� �O�� �-/�K����������

�11����9������ �����?���6� ������( 1)� 2���4�X 6�������9������$���*���(%���*,���(C�(?��2

����?�(%���������������������0 ������X 6������'�H ?���V����X 6������'�����(� ��?����

�L����J 7���7�6� ���B �%�*��A��:�����':�-��

��

��

��

7!

��+���� %&'(��)! ��

����9�����V�. %�M�����( �* )��6������ �����!�;���%����F/ ������ ������� ���%���*��

��6� �����%������� ��������-�J 9�� ���*>� �*� ��9�����*�������*�� ���6� �����%��I����9����

�6� ���X 6��@��� ����(������ ����X 6���� �(� �����(����� ������� �����9�������-K��

��

��

��

��

�� ����*��������% � ��B �%�2��� ���X 6���L �� �(������F/ ������ ����������9��������>�(�

���������6� ��*�/ ���(����� ����*9��� $��������(������$� �����;�X 6����!4p!��K�O��9R�� ���

�����������������6� ��*�/ �*9�����6� ���X 6��8 �7�����6� ����������%����=�%����0 �

!4p!�K�O��9R�� ����� �J���������������������I�: K���� ��S��

��

�����I�: K��

��� ���''�����&������9�������7�6� � ��S��

����;�0���"-����

��"-����<��=��

>?�0���+ ����

��"-����<��=��

,"-"���+ ����

7"

��

��

��

��.�3�������2/����+����*�+�,-��'�%�'��S��

������(����7�. �������6� �����6� ���X 6�( �* !* ")�������@�����������I�7�����K�P � ��*����'�����6� �!!������I���X 6��K�����X 6��2F� 6���������/ ;���5�( �+�����(���X 6��J �

���(�-��

@������X 6����()�D����9�������<7�����Q(�)���� ������'����&�����(�" ��$���@� � (� ��S��

�����n���%�9D�� I��K���������������������5�(����Q(�:�)�&�����X 6��������

����n���()���*��!��"������"������������*����������(� ����:��=-��

77

�� �]�����(�����$�@��P ����@�)�%��(M)�( 7)��������@�Q(�:!)����5�$����������&��R� ���7����*��V� �����$���((���A�?�������(� ���=�%������(�����)=.1�4�K����(������$� ���&��� �?����

��()������������S��

M� �� �� � !� "� 7� /� ?� -� �1�

%�(M)� 1�� 1�� 1!� 1?� �1� �1� !1� ?1� ��� 7�

������I �]���KX 6����@��� ��(���F/ ����� ��S��

��

������I �]��SK�X 6����@��� ��(����

�������F/ �����S��

��

��

7/

����+����������!�� �����*��V�. ���������*�����6� ����6� �8�I�!�;K�������S��

������������,'.�+� %�'!��

� ���������V�. ��6�������%�����$> $�I����(K�����S��

��n�A����1��*�����!����5�$���������� �(� �����(����� ������;���6� ���X 6����/ ;=� ��������� ��O���� ��6� ������O�������� �J��-��

��n� �����2/������>��% �@�������(����*�/ S��

: SubBytes .1����

��������]�� �����(� ��������������6� ��������*��8 �7���"�������5�( �+�����(���*���) ����9�)�����()���:��=-������&��I ] �K��

��

����� ] �������(� ��� �����������

��

7?

�����������/ ��� 4���(� � 2��'����������% �������;����?��6� ��� ��*;��O������( �* /)�V� �

��()���O����"7����?�*���)���������/ �+�������I ]!�K2�B �%� �� �(� ����� ������6� ����%���

���(���������������()��/ �+��4���'��"7��������K �"�����(� ������������"����� �� �����*��

��()��/ �+��2*;���� %����()��/ �+������� �?���5�������� ��!��%� �(� ����0�����/ ���

*���� ����"��' ��� (� � ���()��/ ���*9��-���

��������I ]!���SK���()��=�]����

: ShiftRows .2����

���'���%�9;����%�K ��'����� ������6� �������������� ��!�����) ���S�

<7��������� ���9)�����������'��*�����6� ����%���B �%� �������( ��'����;�((��*������((%��*��

� �����������F�

�'������:��F� ��<���( ���("����6������4+� ��<���( 2�

�'������$���F� ��<���( ���("�������(%���

�'����B �$���F� ��<���( ���("���*� ���

�'����@�����F� ��<���( ���("����$> $�����

7-

���

��

������I ]"��SK�D����'���%�9����%�K ����

.3���(��:��N9��3�=���������

����6� ����*��(�������=�/ �!��� �����������"�����((%����������6� ����) ���

��������I ]7��S�K��

��

���� �- ]7.!���(��:��N9����

�����������=� :����O�'���O�C�����2��B O�%�� O ���O)�����O���(�O����*O������6O� ����O�%���

�������O� 6������O� %�����O����(�O����(O�()��J 7O����� O���LO/ ���*O����(�O����� �(O"����B O�%�

/1

�*�O/ ���O�������#�(O)�����6O� �� ( 7* /)������O�����7O�. �3�=���������O���(�O����*O��

���6� ����O�%����*O���1:� ��L�(� O� ���(�O����(O�()�� O���L�O�%���O�������#�(O)�������6O� �������

�B O�%�*����O����������O�%������(� O������ (� O� ����O"%�����O�! �������O�������O���������O�%�

��(���<7O������O"%�����O�! �����( ?* -)��O!���(O���?���O� �����O���R�O��O���2��O�������#�(O)���

@�)���� ��!"�"% � �(� ���O����������RC%���

���RoundKey .4������

���(OO���XOO 6����OO/ ;�S���%���J�������6OO� ���������(OO���XOO 6����OO/ ;�OO!��� OO��

���������O������ �(� O����O) ���=� -��7O�. ��<7O����O����������6O� ����O�%�����(�O)������ �O" ��

���O����RC%��@O���XO 6����O�%������=O���������(� O��������6O� ����O�%���� �"�O����O) ����� O���

9)����<7O����O��������O�?�*����(O� ���O%������2��8 �7O���� O�����O��O�9)�����O����O�%���� �(� O���

X 6����%��������

���

�n���A������*��������I��OO�������(OO����S�K���(OO����"�OO�����>��OO% ���1 OO6��OO!���

�6������ ���������� %������(���<7�����76� �+��!���(��:��N9��������-��

��

��

/�

�����B(���������-����=�.�/�.�+� %�'!��

�����������������=���� OO � �(� OO���1 �OO���OO���������"�OO�����OO!��1 �OO��=OO� � ��

*�/ �������1 �����O����O��������O ���� O���!��(� O�����O�����6O� ���2�O����LO���� O��� �(� O���

1 6��F� 6���%������1 6����=� � �����8 �7� �(� ����>��% ������ ���F�

>�����������S�

>����^%�K �����

>�3�=�������� ��

*;���OO����2� RC%� %���� J��4��+�NOO % �@�OO ��1 OO���*:�#��OO);��OO����2� RC%� 4��

*� �����'�����"�������� :���

��O���*�� >��������� ���O� ��1 6�O����O"��'�� � ��������*O���� �(� O������(O)��VO� ���

(��� �"������� :�����()��� �(� ���J �>�� ����:��=��� ��S��

��

� � ��I ]/�S�K���()>�� ����:��=��

��������>�����%�K �*�/ ����������( ��%���������/ ���*��*������

/�

�������������>�3�=��������� (� � ����6� ��� �$��6� ���I=��"����K*���)��������=�/��(��:���9�������������(� ��������6� ����=��"���=�/ ��� ���������(������$� ��������(��:��N-��

��

�* ��6� ����#�()�*��B �%I!���������6� ����K��(%��������6� ����J ���S��

����

����

EDB

BED

DBE

DBE

00900000900000909000

����

����

=

����

����

1000010000100001

02010103030201010103020101010302

��

*;�=� � ��������!�D������������F�

������9)�����%����!�;�����:���• AddRoundKey �����9)���@� ��%�����!�;�=� � ����������������F�

• InvShiftRows • InvSubBytes ��• AddRoundKey ��• InvMixColumns

� ���5!������%����I���������(��S�K�9)�;�!��� ���������S�• InvShiftRows ��• InvSubBytes ��• AddRoundKey ���

���������� �(� ��� ������������*�������7�����()���=� ���1 �?���:��(�(%�����$�S��

X8+x4+x3+x+1=(100011011)��

��������I ]?K�������������(���F/ ������7�6� ���#�$���%������������������� �S��

/

� � ����I ]?SK�������������(�������

��*�����������I ]-���K���������������9��������O�������������'��� ����������������������������������������

/!

������

�����I ]-��K�F �!�D������ �� �� ���9���� O�� AES�����

��

��

��

/"

������������"���1 6����� � �+����9������������9���������' ��%����@��)�����������������7�

�=����%��� ��� @������ ��' ��� *�� ��� ��� ����� ��)!��� �>�� *�� ��� � *�� �W�� ������ �(�� (�

�����*��(%����5!��������������9�����@�'���������7������9������������$���!�����/ ��� ��

��������9����������%� 6�����9�������*�� ����A�����!)�*���2�!)�*�� �7�������� �����*�

� ��(� ���J 7��� (" ������6� ���11��O��������*�� �*����"������C�*���>�������9������%�'�(?

�=��8 �� �+���%� 6���6��������� ����(� ��*���!�����6������ �� ������� �8��*��!����

���� ���9������� <7�� �(� ��� ��(��� � %� ��� ���M���� ��� � ��4�� *������ *�� B �%� 2�#�� � �

�O���L��F�� �*����% �����*���7���J ������� %������(�����)����>��-��+"����*����$����8 ����

�(�)��(�M �� ����=����6����������� ����(����6���=�����8 ����*��(" ������(���28 �7��6� �A����

� ���6� ���� !��� ���9�������<7����3�=����������C� ����������� �� ������?�*���"���� �((%���

����?� ��C� (�(%� ��$�� �� �+� ��/ D�� ���9������� ��� =� :�� ��'�����% ��I(Irreducible�

������������� m(x)= x8+x4 +x3+x1+1 ��1 ������ *�� B %���� ������ �)�� ��"�� J 7���

������ (�(%���$���� ��� ���� �������/ ��� � ������� ���������� -����L��� ��V��� �� �7��

1 ������� 6��-��

���������������������

/7

2�������� ��������

���6=�� �������������

Elliptic curve cryptography��

��

4�1��������Introduction���

�!���6��!����/ �����*��� ��E�������(���*�9�7����)����D����%�������/ �������

V�������������0���"��'��@��:���������!���76� ���� ���g11,12,13h2����O�%�������� ��6� ��

�)����D�ECC���� 6�������� ����1986�����?�*�Victor Miller�I�����*�IBM�K� ��1987��*�

���?Neal Koblitz�I*'�������)�*��K��*�O%���8 �7�7����2���(���������/ ��� ��6��(�)������!���

8�!����A(���! �9���V� ������� ������� ����#%����������=��%���#�����*��/ ������*������

� ����"��' ����!��(� ��������;�����O����������O����XO 6������������$��� ������%/ ��� %���

�#6�[15,16,27]�-��

4�2�]$���6=��$�������, ���Elliptic curve !��

�)����D����%����S���%�������[40,41]���(�����'���E: y2 = f(x)���B O�%;�*f(x)����O�$�

����$����)�(���*��(�(%I�6�/ ����7)�8 ���+�K���)�(���*���$�$�������������-��

���"%���&����)����D����%���K ��'"��������)����(x,y)�B �%Kyx ∈,������'"����;���/ D�

���!�> ���������9����S��

1�K;��"%���9����*���7K>3 ��������*���)����D����%�������(��*�� S

��

baxxy ++= 32

��

//

�8 ����1 ��������6�/ ����7)�2��"%�������V��������%�����*��J �IFp�K��B �%p>3����p �

�����((���(�6�����7)�����%���<7�����IV�/ ����C�K���(������F(x,y)=0��� ����'"������

���0 ����������59)����?" �+��!���*�� x ����y ����(����C-���

���(�����6�S���������baxxy ++= 32

��

���*���7;�'"���6�/ ��'"��8 ��� �0���*��B �%��������S( )ba23 27416 +−=∆

��$���S��

132−= xy ,

33,4 3332+−=−= xx xyxy��

2K���"%���9����*���7;K=2 ��������*���)����D����%�������(��*�� S

�I1���K�����������baxxcyy ++=+ 32

��

�I2������K�����������baxxxyy ++=+ 232

��

+������6�/ ������7)��� !���

3�K�1 �� �������(�I ��������K�(�*?**!�)S

������*���% �����(����������������������������!�����%���()�;�*����J � ����������%������

��(�!���=�%���&�'� �(� ��2�%������������(����*�� ��)����D����S��

IIK��

��

��

�9�������S��

1]���"%���9����*���7;�2��S���(����F�� IISK

��

axaxaxyayxay 64

2

2

3

31

2+++=++�

B �%�Sx,y, ai�����(���(�(�:����"%����� � n����("��n����! �������"%��IC���"%���I�KFP�Kn�IGF(2n)K��

Cy bxaxx +++= 232�

0),( =YXF��

/?

2]���;��"%���9����*���7;2����t3�S

��

��

� ������S��

���"%���&����)����D����%�������(�K����S��

��

��

��!�> ����'"��B �%�9�����!��9����� ������I���O�K���������*�� �� ����'"��������6�����

�=� �� �����%�Y������?��*�����(���!������� �" ���'��J ���I�� ��6�����%��������(���K��

���"%������������"�"%���(�(�:���"%�������%�����V�� �*������! �����I���C���"%gK14,15,16�-h��

4]2] 1��"�"%���(�(�:�������)����D����%����S��

�����V���*��*�����%����)����D����� �����(����&"% �� ���'"��������)��L������S��

baxxy ++= 32

�*�����B �%x ,y ,a ,b���"�"%�(�(��-��

�O���� ������(���L����%>� a�b���%����'��V����)����;���6� ����A��:�����%�����*�2�

�$�������������S������7;a=-4�� b=0.67�V����7!����(����*������J 7����� �����������'�S����������������������

y2= x3-4x+0.67

��

3/1 axx +=��

bxaxy ++=1

3

1

2

1�

( ) }{ )({ }.......:, 32+=+×∈∪∞= xyKKyxKE�

/-

��

������I5]1�SK�)����D����%����

-1-1-2-4�)����D����%�������������%���������S��

�����������#��);�*������@�)��IX�'����K=�/ ���I�6�/ ��K�������*��V� �������������O�%��

�������[40,42]�2�����% ��"��'�������(����"��'��8 �7�F�/ � �*������

(1�2���������% ����/��������4���S��

���������)�������%����)����D�����!������:���6������*:��7�������) �����)�����@�)�����

���l�����*� '"��@�)�V�����%���)����D������(��������S��

��'"����=���*;p = (xp,yp)����%����&���!�������x���'"����J �-p �B �%-p = (xp,-yp)�

� �'"�� ��� �)�� *�� L��� �%>�p�� ���� @" ��� ��%���)����D��� �'"�� ()� -p�� ���� @" �����%��

�)����D���/ ��-��

• ��*� 9�� ��*� '"��@�)P , Q S��

�*��U �6�P , Q� '"���� 9�� ��**" �*����������%���)����D���*��P�J �� �+� –Q�

� *� '"���� @�)�� L�W�P�� �Q���" ��� ������@'"�� V��� �" ����� �7�� *� '"���� >�� *�� ���

?1

��� ��%���)����D��� ��( � A���� �'"��R]� 2� �'"���� 1 � –R�� ��%���� &�� x������ �� %�

��'"���R��*� '"����@�)�P ���$� �� ��P , Q ��

��"�1S��

��

������I5�]2�SK*� '"��@�) ��

��

• �*� '"����@�)P , -P�S��

�*� '"��������J 7��� �" ����P , -P��@��@'" ��+�J (���� �" ����������%���)����D���J .�

�����'"�A2���7�����*� '"����@�)�*����+�L���()P ,-P�&����������2������)�� / �=������7!��

�����%���)����D������!�> ����'"��-��V�� �����P + (-P) = �2�*W����(����<7!���)� ����

�P ��� P+ ������)���������%���)����D��-��

*����7�����()���*��� �@�)��� �(%����( IJ (�%��K�� ����)������%����)����D�2��@��)�*������

������%����)����D��@�)��(%��8 �� -��

��

?�

��"�2S��

��

������I5�]3�SK�*� '"����@�)P , -P

• ��'"�����6�/ �PS��

��/ D�� �'"���P���;�� 1 ��� ���� !�6��� ��%����)����D��� �'"���� (��P�� ���� �7W�yp��+

�@��1 �����@'" ����(����6� ���J �� �����%���)����D���A�����'"��–R���'"����1 � –R��&��

���%��� x��'"���������� %��R2��������<7����( ���'"�����6�/ ��P2���'"�����6�/ ��*��?�V���

�����)����������%���)����D��������S��

P + P = 2P = R

��

��"�3S�������(�����$�������%������y2 = x3 - 3x +5�������������! 6�/ ��(�������'"����7�.��S��

?�

��

������I5�]4�SK�'"���6�/ �

• "�����6�/ ���' P�*���7;yp=0�S��

��'"���������7; P ���%�����������(����$�(%;�8 �� y2�J ��yp = 0�� �" �����*�������7!��

�1 ��������%����)����D���(��P��@'"��*�����(����*���������%���)����D��A�����'"��J .��-��

*����"��V�� ���2P = 0��"������'"�����!�����'"�����-��

���7;�=�%��(�3P����"����%���<7����S3P= 2P + P = 0 + P = P

��$����'"��J :���������7���.���

(2��2��������% �������������4���-������.!��

� ���(�!��� �6�� � ��� *�� *�� C���� ����� ��%����)����D���F�/ � �� �9 ��� �"��'� *�M

<7�� *W�� ��%����� �7�� ���� ����%��� ����������/ ����� ���%��� #�(:� ������ ����� �"��'��

������#6������(�!�����/ �����=�% ���������)�f�� ������("���7���-��

��

��

��

?

• �*� 9�� ��*� '"��@�)P , Q�S��

������7;P = (xp ,yp)���Q = (xq , yq)��*���P��J ����+–Q�*W��SP + Q = R�B �% S��

� = (yp-yq)/(xp-xq)

Xr = � 2 – xp –xq�Yr = � (xp-xr) – yp�

��"�4S��*� '"����@�)��(����7;P = (0,-4) ���'"����@�Q = (1,0)���������%���)����D����'���

��?>��S���������������������������������y2 = x3 –17 x +16

� �� �*��()�������������S������������������(0 – 1 ) = 4��u� =(-4 - 0)��

xr =16 – 1 – 0 = 15

yr = 4 + 4×(0 – 15) = -56�����) �����'"����*�� ��7���SR = (15 , -56)-��

• ��'"�����6�/ �PS��

��������*���7;yp�*�����(����6� ���J ����+S��

2P = R

� = (3×(xp2)+a)/(2×yp) �B �%S �

Xr = �2 – (2×xp)

Yr = � (xp - xr) – yp�

��"�5S��=�%�2P������)���������%�����D��)���?>����'����S��

y2 = x3 –17x +16

P = (4 , 3.464) B �%�

�*��()�S����������������� � = ((3×16) – 17)/(2×3.464) = 4.474��

� �� �� �� �� �12�bxr = (4.4742)- (2×4)

yr = 4.474×(4-12)-3.464 = -39.26 ��*����L���2P = R��B �%R = (12 , -39.2)-��

?!

4]2�]2������%���)����D��"%��������������! �S��

�! ������"%��GF(Q)�����7�����! �������)����I�(�(%�K��!��� ��*��*����� ����� ����*�

����"����=�/ ����X�'����@�)��I��R�O���O�C��!���6� ����� ��" ����(���V-K� (?*!1*!�)���9O�����

GF(Q)��*��V�M���"%�Q����C�����6�;�����6��� ���� �+�9�������� ��Evarest Galois����(��

���C��"%Galois field��)��*��(�(%���"%�(�)��&"% ���2Q�����������������((�������������((��J ���

���"��m��B �%1m ≥�Im�F�%� �((��-K<�� ���((���"%����)�(�V� ��-����O"%�*��*����8 ���

���C�S����:���"%��F(p)�%���J (�( �+���"IF(2m�-��(�(O�:���"%����A�) �� �������%����������

���( ���#'���=�����"�?(���C���5�'��*�� ���"�"%���2���O?(�������O����=�' ���� ����"��' �*����2

��(�(%������"%��������)����D����%���������)��*W���7���F(p)��F(2m)����%������*>� �������

������(!�*! )-��

4�2�2� 1$/�/���������;���$���6=��$������SGround field GF(P)S��

������*���7;p���! ������"%���*����[75(��������((�Fp����GF(P)��(�(�:������)����

{1,2,3,……,p-1}�1 �?�����%�������@�p �I�@�)��n=�/ ��]�1 �����]K---��

��"%����7����F(P)��*��(�(�:���� � 0��� %�P-1���������"����?��7�.�����%����! � �P�2����

��"%����$��������F(23)�*��V�. ���%�%� ��(�(�:���"%0�� %�22 �2��"%����7��*�/ �@" �������J ��

�/ ����)�����7����;��� ����%�%� ��((��P � �V��2Y*���@"��J �0�� %�22-Y���O�%����������*��*���

��"%�������)����D�F(P)�����0 ������ ��a,b �2�'"����@��)��)����D����%�����*�/ ��(x,y)��� ��

��%�������(��&"% �@����������"����?�P��B �%x,y��*��*�((�F(p)�J �S��

y2 mod P=(x3+ax+b ) mod P

��

?"

*���7;�J ����������������(����<7��J � % � ���7;modpI(4a3+27b2����6O� ���J �O���+

*�����(�������)������ ���)����D����%������� ���*��2�*���)����D����%���������)��V�. �B �%

���O�!�> ����'"�����( ��� ���'"����;���/ ;��)����D����%����������?�����'"�����-����(O��8O���

��������"�"%���(�(�:�������)����D����%���������)��*�����> ��F(P)�2���)��8O�� �B �%���O�

���"%��������)����D����%�������! �����U ��C��������C����9����� �����7���'"����*����((%����((�

��� ��-��

�����)����� (� � �� �����(�!���*W���7����)����D����%������*����+���"�"%���(�(�:�����

��"%�������!"��' F(P)2���"%���������%���*����F(P)� �+���( ���#'���*�/2���9����/ ���<7��

��� ����������������'��������-��

��"�6�S������! ������"%��IF(23S��

���� ��F23������{1,2,3,……,22}���������"%����7������������ �S��

� �@�)��S���������������������������������������12+20=9 mod 23

� =�/ ����������������������������������������������8*9=3 mod 23��

]�1 �����������������������������������������������8-1 = 3 mod 23����

*�����GF(P)�����! ����"%P>3������������������������*������

��&"% �B �%�S��

��

��)����D����%�������(��*�� ��������������SE(Fp)=E(GF(p))���+�% ����������a,b��

'"����������%������E��)������

������*�����S��

��� �����'"������/ ;���

��� ���@�)���(���?�@�����9���� �'"����*������)����<7��S��

)(, PGFba ∈�

pba mod0274 23 ≠+�

( ) )()(, PGFPGFyx ×∈�

baxxy ++= 32�

?7

xxPGF21

),( ≠∈ �

�� � + � = �

�� P + � = � + P = P , P=(x,y) )(PGF∈

�� P + (-P) = � , P=(x,y) , -P=(x,-y)

������*��B �%(x,y)����-(x,y)��J �� �(x,-y)��

����@�)�������� GF(P)��

4) P , Q ; P(x1,y1) , Q(x2,y2)��P + Q= (x3 , y3) �[75(������S

��"�7�S��)����D����%���������"%��IF23�K�L �(��*� ��S��

�����������������������������������������������132++= xxy��

��B �%a=b=1������%�������)��*�� �I'"����K���27+�=28 ��'"���

�*��B �%S��

(3,10)+(9,7)=(17,20)

2(3,10)=(7,12)

��

�)����D����%�����H ?���V������ 6 ���U �����"%�������! �����F(P)2��L���� ������������� ��

�����((�����?�=�%�� pImodK� ������L �(���' �*��*���'����������S��

E: y2 = x3 + Ax + B��

'�����&"% �� ���S��>$���S��

�)����;�d*%�����(������ y2 = x3 �)����;�d*%�����(����� y2 = x3-1

���7;*���7;�(%���E���*���)����D����%�����*����*��*���S

��"�8S�����E : y2 = x3-5x+8 ��

0274 23 ≠+=∆ BA

0>∆

?/

��

������5�5�S����%��(%���E���*���)����;��

*����*��*������*���)����D����%����*�����*���7;�*��� 6��S0 t���

��"�9S���E : y2 = x3 – 9x��

��

������5�6�S�����*���)����;���%��*���

��

��"�10���S�)����;���%���'"�Example of elliptic curveS

��� ��� �"�����(��*� �p = 23, a = 1, b = 1���'�����&"%�S��

4a3 + 27b2 = 8 (mod 23) ≠ 0

E: y2 = x3 + x + 1 ��%�������(��*�� �S

�"%��������%�����'"��*�� �F(23)���27���!�> ���(����'"������/ ;��'"������S��

??

(0,1) (0,22) (1,7) (1,16) (3,10) (3,13) (4,0) (5,4) (5,19) (6,4) (6,19) (7,11)

(7,12) (9,7) (9,16) (11,3) (11,20) (12,4) (12,19) (13,7) (13,16) (17,3) (17,20)

(18,3) (18,20) (19,5) (19,18)�

� $���6=��$�������;��� ������!��

1���$�������;���4������2��ES�������(���@�)���������V� �I�����% -K��

�������(���S�9����'"���@�)���������$�P, Q�B �%�;�*Q �-P�J ��SP + Q = R�*���*� ���)

��B �%���*� '"���P � -PI�� ��6�����%�������?�����CK�O�������� �" �����'����[75(��P��Q��V��

�����$�$��'"�����'�/ �����%�����@'"�(-R)�'"��������� ��6�����%����������! ����R�@�)���P ��-

������������4�7���

��

�������I4]7�SK*� '"��@�)��

������% �S*� '"��@�)��*��(��������U �6����SP1 = (x1,y1), P2 = (x2,y2)��

�)����D����%���������S E : y2 = x3 + Ax + B.[75(��, P1 \ P2b� P3 ��

P3(x3,y3) �������B �%�*S� �

x3= �2 - x1- x2 , y3= � (x1-x3)-y1

?-

*��B �%������S�*���7;x1� x2 �������*W�S���� � = (y2-y1) / (x2-x1)��

������� ��X�'������������S��'"����=���*; P=(xp ,yp)��'"������–P=(xp ,-yp )mod P��

������7W�P,Q��*����*� 9�� ��*� '"�P�–Q��*W�P+Q=R��

�B �%S � =(yp–yq)/(xp-xq) mod P��

xr=( �2–xp–xq) mod P

yr=( � (xp-xr)-yp) mod P�

��"�11S��

��'"����=��P=(5,8)�&�� F(17)��'"������S��

–p = (5,-8 mod 17) = (5,9) ����'"����=��(3,0)��&��F(17)���'"������(3,0)-��

��'"����=��(0,6)��&��F(17)���'"������(0,11)-��

��"�12S�� *� '"���� @�)�P=(2,0),Q=(1,3)�� �"%��� ��� F(17)� ��%����� ����)�� ����)����D�

��������������S�����������y2 = x3 +x +7���

� =-3 mod 17=14

Xr=( (14)2–2–1) mod 17 =6�Yr=(14(2-6)-0) mod 17=12�P+Q=R=(6,12)�

��

2]�'"���6�/ ��S���/ ;�*����������@�)�����6�/ ���P�*� "��'��!�6��I�����% �����(��K��

���(���S������%�����1 ����� ���P�"���A�����'"�������%�����@'–R�����6�O/ ����P O�����������

l��%����������xx-��

�*���7;yP � 0���������[75(��P + P = 2P = R��

������7;���yP = 0��������[75(��P + P = 2P = ������F/ �������������I4�]8K��

-1

��

�����I4�]8KS�'"���6�/ ����

��

�OO����% �S���OO'"�����6�OO/ ��(OO����OO����U �OO6�P = (xP,yP)���OO)����D���OO�%������OO����

E: y2 = x3 + Ax + B[75(��P \ Pb2 P= R���B �% R(xR,yR)*�� �S��

xR = _2 - 2xP

yR = _ (xP - xR) -yP; _ = (3xP2 + a) / (2yP )��

�*���7;� yP =0 [75(�� P + P = 2P = � .��

��'"�����6�/ �PS��

�*���7;yp��*W���6� ���J ����+2P=R�%B �S��

� =(3xp2+a )/2yp ) mod P

xr=( �2-2xp ) mod P

yr=( � (xp-xr )-yp ) mod P

��

-�

( )2,,022 3 mb GFabbaxxxyy ∈≠= +++�

( ) )(),(),(,),(),()()3

,)2

)1

,,2

yxxyxpyxxyxpp

mppp yxpFEp

+=−=−∞=++=−+

��

��

∀=+∞=∞+

∞=∞+∞

=∈�

��"�13S���"%������F(17)���'"�����6�/ ��(��P=(1,3)����������)����D����%���������)����

������S��������������������������y2=x3+x+7���

� =((3+1)(6)-1) mod 17 = 4(3) mod 17=12�� xr=((12)2- 2(1)) mod 17= 6��

yr=(12(1-6)-3) mod 17=5

�����*��()��L���S2P=R=(6,5)��

4�2�2� 20 �����1��������$(�$���6=��$������SExtension Field GF(Q)F(2m)��

����7�������O"%���V��� �*�� ��V�� �����2��(�" ��$���J (�( �+���"%��������/ �����*;

��!��������*��8 �7��O�5�$����?������(� �(� ������!����7�6� �*�����"%����7����������-��*����7O��

�"%����� ��F(2m)����'����>����m bits�2�"%��������/ �����(���"���GF(2m)��V� �*��*���

*���$� ���*��J .�2�����B �%�����'���1 �:�������/ �:����$� ������(�(%�����$�F(2m)����>�����

�������*�2������#6����"%����7��������%���9)�;�=����%���*����-��

V�� 1S����)��*�m�1 ��'"��������)������

( ) ( ) ( )22 *, mm GFGFyx ∈

�!�> �������'"������;���/ ;��I�K���(����&"% �� ���S��

�'"��������)��E(F2m) ���� ���(���"���@�����9���� S��

��

��

��

��

��

-�

��"�14S��������"%���*��U �6F24��� ���(�(%�����$�� �(� ���V����S��

h(x )=x4+x+1

��� ����(���g=(0010)����� ���A�?���"%����7�g��� �������������*�� S��

g0=(0001 ),g1=(0010 ),g2=(0100),g3=(1000)

g4=(0011 ),g5=(0110 ),g6=(1100),g7=(1011) �g8=(0101 ),g9=(1010 ),g10=(0111),g11=(1110)�g12=(1111 ),g13=(1101 ) , g14=(1001 ),g15=(0001 )

��%�������(��*� ��S��

��

�����������%/ �����'"���������%�����'"��[75(��S��

���

@�A����%6�) �

(1, g13) (g3, g13) (g5, g11) (g6, g14) (g9, g13) (g10, g8) (g12, g12) (1, g6) (g3, g8) (g5, g3) (g6, g8)

(g9, g10) (g10, g) (g12, 0) (0, 1)

��

��

1 : 2432 ++=+ xgxxyyE

-

*� 6� ���*� '"���@�)����(�?P�QS��

�*� 9�� ��*� '"��@�)P,Q��

�'"����=���*;��IP=(xp , yp���'"���������I–P=(xp , xp+yp��

������7W�P,Q��B �%��*� 9�� ��*� '"�P�–Q�*�����(��S��

)( ( ) ( )( )yx

xxyxyxpQp

FEQ m

33

2122

,

;,,11 2,=+

≠∈=∀ =

( ) ��

���

++=+++=

++++=

12

1213133

212

3

,xxyy

yxxxy

axxx

λλ

λλ

��

��"�15S���������)����D����%���������)�������"%���&��F23��

�������*� '"����@�)P=(g2,g6) , Q=(g5,g5)��������S��

��� �� ��� y2=x3+(g2)(x2)+g6��

��

� =(g6-g5)/(g2+g5)=g/g3=g-2=g5

Xr=g3+g5+g2+g5+g2=g3�Yr=g5(g2+g3)+g5+g6=g5g5+g3+g6=

b���� g3+g3+g6=g6

� �� �� �� �� �*��()��L�����R=(g3,g6)��

�6�/ �����(�?S���'"�����6�/ �P�SP = (xP,yP)��

������7; xp=0�*���2p=0�2��*���7;���xp�*�����6� ���J ����+��

2P= P + P =R�B �% R(xR,yR)�*����S���

-!

( )p

ppRpR

R

x

yxxxy

ax

+=++=

++=

λλ

λλ

,12

2

��

���"�16S���'"�����6�/ ���P=(g3,g4)��*��()�S��

�=g3+(g4/g3)=g3+g=1

Xr=1+1+g2=g2�Yr=g3+0(g)2=g3�2P=R=(g2, g3)�

��"�17��S���"%���&������ �����(���F23��

y2 + xy = x3 + g5x2 + g6

���*:��)����;���%����$� ��$ b = 6 �(����C������

��'"����P(g3, g6)�L �(��&"% �!�:��"�������(�����'�����)����D����%���������@" ��'"����S��

(g6)2 + (g3)(g6) = (g3)3+ g2(g3)2 + g6 g5 + g2 = g2 + g + g6 (111) + (100) = (100) + (010) + (101) (011) = (011) g3 = g3

��

��'"������Q(g5,g2)��)����D����%���������@" �+��'"�����+�!�:���(����&"% S��

��

��

-"

(g2)2 + (g5)(g2) = (g5)3+ g2(g5)2 + g6

g4 + 1 = g + g5 + g6 (110) + (001) = (001) + (111) + (101) (111) =? (000) g5 =? 0.

• ��������(��I=���K�)����D����%������������ ���'"����S��"%���&��F23 ��O��V��(xP, xP + yP)��

P(g3,g6) Q(g,0) R(0,g3) -P = (g3, g3 + g6) = (g3, g4) -Q = (g, g + 0) = (g, g)

-R = (0, 0 + g3) = (0, g3)

• ������7; P = (g2,g6) , Q = (g5,g5)

�������=�%�S P + Q�[75�(���

P + Q = R � = (yP - yQ) / (xP + xQ) = (g6 + g5) / (g2 + g5) = g / g3 = g-2 = g5 xR = �2 + � + xP + xQ + a = g3 + g5 +g2 + g5 + g2 = g3 yR = s(xP + xR) + xR + yP = g5 * (g2 + g3) + g5 + g6 = g5 * g5 + g3 + g6

= g3 + g3 + g6 = g6 R =P + Q = (g3, g6)

• ��'"�����6�/ ���P = (g3, g4) �����S 2P = R�B �%S

��

-7

� = xP + yP / 2xP = g3 + g4 / g3 = g3 + g = 1

xR = �2 + � + a = 1 + 1 + g2 = g2

yR = xP + (� + 1) * xR = g3 + 0 * g2 = g3

2P = (g2, g3)

4� 3$���6=��$��������� ������)���C������D/�SECDLPSEC-Discrete Log Problem

�*� '"���)��*�P��Q����OC�������.O���*WO���)����D����%�����*�����O�%������O� 6����� ��

�)����D�(�/*!!)�2����?�()�����K��*����B �%�kP = Q��6�/ ����P � �L���J ��2�*���'"�����)�( ���

���O� %��� %��������<7���� � ���6�/ ����*���) �����'"����! �/ ;� $��'"����<7���6�/ ���>�

�������� %����>$���=��'����P �������3P��= ��3P=2P+P��=�%����7���KP��@�)�� �"��*������

K�*������P-�����:��((���*�����(���P�����[75(�����()���������?�=�%���()�=� ���*��*k���7��

��C�*��J �����%������&��' �����?��()�;�=� �� k�*� P��Q���)����D����%�����*�����?��� ���

��������������.�����<7������(� ����6� ��� ���I-4�9-K��

��

����������������������������������������I-4�9K��

����%���������)�������7W�������������*�� ��V�/ �������( ��� �(� ����6� ��(?��)����D

�'"������ ��p, Q��((���()�D�����)����<7��*�Q=K(p)����( k���� 6����� ��C����discrete

logarithm�O�Q��1 �4��������p-��

-/

��"�18S���� 6����� ��C�����()�;��(����7;k�O�Q=(4,5)���1 O�4��������p=(16,5)�����O��8O�7�

�������V������)����D����%����Sy2=x3+9x+17 ��

��"%��������� ������:���6�/ ����������� %�������F (23)S��

p=(16, 5),2p=(20,20),3p=(14,14),4p=(19,20),5p=(13,10),6p=(7,3),7p=(8,7)

,8p=(12,17) ,9p=(4,5)

�*W���7���9p=Q=(4,5)���� 6����� ��C����O�Q��1 �4��������p���k=9 ��

4�4 �$���6=��$�������)����/����������+����!��

������((��#" ��P������%�L ��?2180��)����D����%�����J � �����8 �7��a,b�2�V������7��

�)����D�� ��%����� '"�� ����)�Ep(a,b)� 2� �(���� �'"�� #" ��� �� 8 �7� (�generator point

G=(x1,y1)��*�/ �*�Ep(a,b)� 2��� �+�F�%� ���������G�O�� ���?��0� ��*�� �*�n��*��*���

� !�)�n*G=0� 2��()� ����� ����� ((�� ������ 2� *�� ����G2Ep(a,b)��� ������� J � ����� ������ �

*��� �����@��)���������(!"*"7)-�*� �� ���*� �'�����>��*����� ���������� �S��

(1������(� �F� 6�����(� ���������� ��G2Ep(a,b)

� (� ����� � ��A���� �� �� �% 6�nAI� ((��5����� K� ������� �% 6�� (����GpPA=nA2���� ��

(� ����B �� ��� �� �� �% 6�nBI((���5����� K� ������� �% 6�� (����Gp PB=nB�X 6���� =�%�

�J ����K���� ����� 6����� �C����� �(� ��� ��� ���$� �'"���� ��� (�� ��Q���(� � ������76� ��

J �����X 6����=�%��F� 6���K ������&��S��

�(���A�J �����X 6���� nA* PB�(������B�J �����X 6����nB*PA�-��

�)� ����1 6��* ������* ��(�� IJ �����X 6���K�KL�6��2*:�8 �7S��

nApPB =nAp(nBpG)=nBp (nApG)=nBpPA

-?

�*��J �J �����X 6���nAp nB� K=���=�%�*����[75(���*���'���*��V������C�������'"��������

Q��B �%�*���'���>����?�*�Q=K*G��=�%����� �*�����9�������<7��*�����?�� . ����*��K�

������G���Q-����������<7��������2�=�%��������(?�*����*����;� )!����N %�K�������G2�

KG2���� ���.���!���U � 6��� ������0��-���

��*��U � 6��P=2112���*��Ep(0,-4)��2��%�����v�� �� ���S��

y2=x3-4

��*��G=(2,2)��*���*������*��()� 241G=0 : ��

O���� �� ����X 6����*��A���� nA=1217��8 ��O���������X 6����*W�A���S��

PA=121(2,2)=(115,48)�� �� �� ���� X 6���� *��OB�� ��nB=2032��X 6���� *W�� �7���

O��������B����PB=203(115,48)=(11,169)��

(�(�:��*��N�9����J �����X 6����*���%>�-��

(2�������+�����9���S

�����*� �%�������7�6� ��� ��S���%����� ����%����!�;[46,47]����9�����&��� ��!����>��S

� �����������S��

��

��� �������������;�Pm����;B�2�� ��A����5�������)����%�%� ���((�r����� �O���(O����

������Cm�'"����N�9�*��V�M���������:��

C1 =r*G , C2=Pm+r*Q

J ���������������������SCm={C1,C2}={ r*G , Pm+ r*Q }��

--

���&����)����D����%�����*��'"����������%���������� ���������=�%�����"���=�%� �

�"����������� �����6�/ �����@�)��-��

� ���������=�!��

��

� ����7�.��F��� ���� �����!�;��)��*� Cm={C1,C2}��("����=�%��S��

K*C1 ]�C2�������� :��� ��������L����� %��J 7������S��

C2-K*C1=Pm+r*Q-K*(r*G)=Pm+r*Q-r*(K*G)

=Pm+r*Q-r*Q=Pm��

���"19�!�$�% ��!��

*�����)����D����%����E: y2 = x3 + ax + b��B �%a=4, b=-6 , p=71 ��

�* '"����*� �� Q(38,63) ,G(2,9)��2���%�����*�E �B �%Q=7*G ���*����K=7�� ����X 6���-��

^����������� S��� ��((���5�����F�%�r=2 ����%����� ���'"���G��'"����*��N�9�C1, C2�� O$�

��("����=�%�S���C1=r*G=2*(2,9)=(45,8 )��

��6�/ ��J �G����("����=�%�����6�/ ����*����?�=�%S��

C2=G + r*Q= (2,9) + 2*(38,63) = (62,9)

@�)�����6�/ ����8 �7���'"������6��(?�*����8 �7��G(2,9) �*� '"���S��

C2(62,9) �2 C1(45,8)��%�����'"��*�����-��

�^������D��!��S��'"����������� %��G��*� '"����*�C1,C2���("����=�%�S��

�����C2-K*C1=(62,9)-7*(45,8)=(2,9)=G�����O� ����*����"���=�%�@�)��� $��6�/ ����8 �7�

�)����D����%��������@�)�����6�/ ���-��

��

�11

��"�20S��7�.������ ������������P=751 , Ep(-1,188)���%�����v�� �� �����

y2=x3-x+188

� ��*��U � 6���G=(0,376)�-��

� *�� �7;A�� ��;� ����� ���W�� =C��B�� �'"��� �������)����D�� ��%����Pm(562,201)�

��" ���A���5������((��K=386��X 6��*��B��������PB=(201,5)���(��*����S��

386(0,376 )=(676,558 )

(562,201 )+386(201,5 )=(385,328 )��������7���A�� ������������� �{(676,558),(385,328)}����;B��

�J ���)����D����%�����������5�$��<(��� � ���������*��V�%�����*��*������� �����5�������� ��

� $��'"����� ��������8 �7����%�����*��'"����*��N�9���'"����<7�S��

��*�������� ?�����(�0��� %�9��*��V�%��a��� %�z. ��2�*�����?�����5������V�%:��7�10�

� %� 35I���:����6��� �(� �����K��

��>$���S*���7;P=751 2�Ep(-1,188)��=�%� �x��?>���*�S��x = m*k+j���

I�B �%k���X��� ��F�%� �((�*���2���502���j= 1,2,3....K7�.���2k=20��������(��� ��S��

ELLIPTICCURVE2010���7�. ���������<7��5�����S�14 21 21 18 25 29 18 12 12 30 27 31 14 2 0 1 0-��

�'"����()��S��

�I542283IK3622421IK3622421�IK82361IK1552501IK202581IK82361I�K2302241�K

-I2302241IK1642603IK612543IK1552621IK542283IK274241I�K37521IK133�221I�K37521�K��

! �� � ��� ����'"����%�����*�/�-��

�1�

������& ����������

3�������7/�����EA���������

IMPROVEMENT & RESULTS��

��

���������!��

����9�����9�� %�M������� �� ����6� �������������>��*��8 �7��*�:��*������A� ���

������(������� ��2��(��� ��J ������-� �(� O���B %�����7�������?���O�������O/ �������O� �

�%����)����D���������O��%���(�)������������V/ �A�����������6�/ �����@�)����$���*�O�% �

����9�����#�(�%�M�������������$��������*�:���(�9������������ ��(�9��!)�*����#�(:���(O�9

����6���-������(" ���� ������'������C����9��������>��% �A(%;��>��*��8 �7���=��O�:��(%��*

������@/ �����?�*������'����'����������3#������9����������� ����?�*���/ ���� ������6����-��

�����������������S��

���� ����%�����������9)�;�*�/ S��

�:�! "���*�����9����������' �'"������9��� ��� ����6� ������9�����*��(�(������������(-�

�]�(�9�����������������/ ���E�/ �����)����D����%��������9����! ��!�������������O� ��

���� ���P�������#��� �B �%����C���"%���S�

�����1�K]���� ������������%������7��'"��=�%����)����D����%���������0 ����(W�� �"��P����

P�������������6���F/ ��S��

��

�1�

��

�(2�]����P�����%����� '"�� *�� *� '"�� @�)� �(� ��� �)����D�� ��%����� *�� �'"�� �6�/ ��� �"�

��(����((���=�%�8�7����)����D�D��=�%�J �Q��*�G�����?�=�%D��?>���*�SQ=D*G ��������

P��������!)�������� ��S

��

�1

�����3K]�D����%���������� 6����� �C��������?�=�%�� �"��P�����P�������1 ������������)����

� �?� ����� ���*� '"�� �' � B �%� &����D��*�� P � � ���(%;� �) � � ��� �6�/ ���� ���?� ((% � � ��

P��������!)�������� ����������A��:�S

��

��4K]������O'"���LO ���0 ���>O��*����(�����)����D����%������������X 6����(��� �� �"��P����

�� ��������������*��(� �����*��a���� ����� ����X 6�����(��S��

��

�1!

���F� 6����=�%�'"������� ����F� 6����(��� �� �"��&�����P�������*�����$�������� ���P�������

�(�����-��

��

���

(5]��'���)����;���%���*��'"���L���% ����(��� ���#��"�� �"��P����S��

��

�1"

�6K]���P������� �� �"I��6� �K�� O���X 6�����>��*���)����D����%�����'"��*�/ ���(����� ���

��� ���86�� �"���� �����2L �7��)����D����%�����*��*� '"����'"������� �B �%-��

��"���S� ������� �Y�S=�%���)] �����������Y���+�% ��O����%����� �(� ���./"�*�.:�*�.�??*�

�X 6�����*��(� �����J �����.����*��."?�((����� (� ������5���������� . ?7���(�������'"����

���$21* /74�'"���� ����F�� �S��

27/7*�/�*""?*!-74:27/7* -�*""?*�?/4:27/7*"!"*""?* ?�4:27/7*" *""?*7//4:�

27/7*�?1*""?*"1!4:27/7*"-*""?*!�74:�27/7*�/�*""?*!-74:27/7*�?-*""?*� 4:�

27/7*/�1*""?*�14:27/7*�/!*""?*"��4:27/7*�11*""?*" �4:27/7*�?-*""?*� 4�5��

�27/7*/��*""?*�7!4:27/7*�?1*""?*"1!4:27/7*"-*""?*!�74:27/7* -�*""?*�?/4:�

27/7*�?-*""?*� 4:27/7*" *""?*7//4:27/7*�?-*""?*� 4:27/7* "-*""?*!""4:�

27/7*"!"*""?* ?�4�

�������!)���<7���"�������� ���7�6� �� �"��J 7���P�)�

�17

�]����9�������9��������������(������������#O��� �B �%����C���"%������ �����O��P��

�� �� ������?�*���((%�����6� ������=�%����6� �8���� �� ������6� �� �"�-��

��"���S� ������� �Y�S=�%���)] �����������Y�X 6���� �(� ��S���������� �����HY��

��6������ ���������� %�I�������(������$� ��SK��

H1076ED2840308F2C95AD702928F6370EC61B5DAC263837D9FA59256210B3

0CC5 H��

����9�������7�6� �F/ ����� ������������P��������!)���S��

�1/

3-53�������7/������+������!��

���/ ����6� �� �?����% �� �"�����(���(��:��=�3�=�����������6� ����� ����>��*��2! ���(�

��6�����=���:��(%�� !���(" ��� �������9������������'����C����������������� ����2���9������

�(�(%�����$���>�������5�(��%�9;��$� ����� :�����6� ���S��

�2=4.81 9= E81�9=

�E81�9=E81�9�

����5�(��%�9;�(��J ���>����������� %�S1��*1 *�1��*�1����%�9W������6� ����*����:���'�������

���5�(I���'��K���6� ���������� %���'�����S��

����

����

02010103030201010103020101010302

��

������(�(%���$�� �"���<7��*�����?�����$� �B �%S��

1�.111�.��

1�.11�1.=�

1 .11��.=E��

������7�6� �#�$�� �� ���=�/ ����������)�(���*���'����(�(%�����$���=�/ ����>��*�� ����9�

���O��=�/ ���J �����:���*�=�*�=E���<) +�����!��=�/ ��� ��� ���1 ���������6� ����������8 �7���2

���������������������S�2=4.�81�9= E81�9=

�E81-9=E81�9�

��>����������� %�����5�(��%�9;�(��S1��*1�*�1��*�1-���%�9W������6� ����*����:���'�������

���6� ���������� %���'���������5�(S��

����

����

edb

bed

dbe

dbe

00900000900000909000

��

�������(�(%���$�� �"���<7��*�����?�����$� �B �%S��

�1?

1-.�11�.= E��

1�.�1��.�= E=E���

1�.��1�.�= E=

�E���

1�.���1.�= E=

�E=�

+��������9�������7�6� �#�$�� �� ���=�/ ���������(�(%�����$���=�/ ����>��*�� �������<)

�=� ��1 �����<) +��J ����� ����������'���9���<7����$���(�" ��J ����$�$����)�(���*����(�" ��$��

�O��=�/ ���*��J �����������:��<) +��*���= E=

�E=*�=

E=

�E��*=

E=E��*�=

E���

���$������6� �� �?��� �������������7;� �?�*�����"�����*��*��D���(?�������)�(�*��(�(%��

����� %�������)�(�*��*�� �*��=)������������6� ���I��"%���*�/$'2�?4�K�*���?���)�(�*��J �

?�-��� ��� ��� ������6� ����V> ���(�(%�������$��V� � ����-��

�*��% ��� �("�����% ����7��*��*� �%����>��*�S��

��:�;�����������!��

] �*��(� �����>���� ��X 6��@��1 ����'"����)����;���%����� ��� ��� $���(O��� � O�

���X 6���-�

] ��� �����)����D����%�����'"��(��� � ��*�' "��!���������'"����*���� �?�@�������6� �

����6� ������� �"������'���%�9W���2���'�I!p!K��6� ����� �������=���������O���2

�� ������?�*���((%�������6� ����*���6� ��-�������*��(�(%���$�������8 �7�S�

��

��$� �B �%a0,a1,a2,a3����"����%�9W��� ������)����D����%�����'"��*��=� � ���*� '"����$�(%;

���6� ���������� %�S��

�1-

����

����

0321103221033210

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

��

�����S��

] �����6� ����<7���� ���������C�������O� �B �%����:��X 6������/ ;�X 6����$�����

������ ��X 6��-

] ���<7O��*���� ����J �����X 6����=�%��)����D����%�����'"����������6� ����<7�����

�8���>��*����� ��������(� �������"�"%������6� ����()�W����,��V�'��� �"���������'"���

��� ������O��������!��(� ��� ������6� ����<7��=��"��=�%�� �"���2� ����X 6����=�%

�!�D�-���

� ���� ����F��� ����X 6��@����� ���&�' �L���������O��9������O������7O����B >$O����%�����

Rijndael�����7O�.��B O�%��(O��:��N9�����������������( ����7��@�����(�����>��% �@�

����=�/ ������6� ���%���'"��*���(�������"��������6�-��

��:���"����������!��

����!���� ���$�����0 �@���"��������'�����������C�(�(%������"�����9���������� (� ��������% ��

����� :�I(IRREDUCIBLE POLYNOMIAL�����m(x)= x8+x4 +x3+x1+1�FG&%�����]>>>�]h����;

�����(�(%���$��PRMITIVE POLYNOMIAL�-��������:��(�(%�������$������)��*��<�� ��� �

�"%���GF(28)�����()��������I"]��K��� ��S��

��

��

��1

$�������������" � decimal Binary

X^8+X^4+X^3+X^2+1 285 100011101

X^8+X^5+X^3+X^1+1 299 100101011

X^8+X^5+X^3+X^2+1 301 100101101

X^8+X^6+X^3+X^2+1 333 101001101

X^8+X^6+X^4+X^3+X^2+X^1+1 351 101011111

X^8+X^6+X^5+X^1+1 355 101100011

X^8+X^6+X^5+X^2+1 357 101100101

X^8+X^6+X^5+X^3+1 361 101100101

X^8+X^6+X^5+X^4+1 369 101110001

X^8+X^7+X^2+X^1+1 391 110000111

X^8+X^7+X^3+X^2+1 397 110001101

X^8+X^7+X^5+X^3+1 425 110101001

X^8+X^7+X^6+X^1+1 451 111000011

X^8+X^7+X^6+X^3+X^2+X^1+1 463 111001111

X^8+X^7+X^6+X^5+X^2+X^1+1 487 111100111

X^8+X^7+X^6+X^5+X^4+X^2+1 501 111110101

���()��I"]��SK��"%����������:��(�(%�������$�GF(28)����

��������I"�]��K���)!�����''������>��*���%� "������� ������9�����7�6� ����'��F/ ��

�%� "�������9������S���

���

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

�������I"�]��K���%� "������� ������9�������)!�����''������

��

��������+����

�",!

�����

��

�,"-"���+ ���B�"-"���@�A������

C�&8��

�4���������"-����<��=������-���>���="���C�������������D5��%.*�*68��%���"���E���F����

��������%.*�*68��%���"���@�AG����0�����HAG�

�%(�0$����������� ��

���-����>���="���I3�����HA������"-��%(�0$-���

��J�K����/0=��1�L$�3�=��������

���������D5��J�K�����/0=��C���M�

N��&M����"���+ ����C���M�

���;�0O���E:40���P��H���

�C���M��"-����<��=��

��+ ���%*����

���

��������I"�]��K����� ���8 �����9������7�6� ����'��F/ ��I�!�D��K�''������>��*���%� "���

�%� "�������9��������)!����S���

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

�������I"�]��K���%� "�����!�D�����9�������)!�����''������

��

��������+����

�",!

����H�

�����4�����%���"���E���F�������-���>���="���C����

���������D5��%.*�*68��

��B�"-"���@�A�����������HA�����27M���>���="���I3��

���������D5��J0*A"������/0=��C���M�

�,Q"-"���+ ����C���M�

���;�0O���E:40���P��H���

�,"-"���+ ���B�Q"-"���@�A������

�4�2����

<��=��C���M����278��

��/0="���1�L$�3�=����������.4M�

���������D5�I3����2 0*A��

%*����+ �����

��

���"�-!�$��4�.��

�]�1 �:���'"���L ���0 ��@���)����+����%�������(��� ��I�(������K������*������F� 6����S�

)450,130(*7,)240,10(,114,15

: 232

xxGdQ

dxxGba

baxxxyyE

=====

++=+��

��]�7������&6 +��(����%�����'"��(��� �� �"��!�(� �������F� 6��� �"���<������/ ��@���'"�

��'"����������(���� �������$�������S�

��

]�* '"�����>$��*� ����"�������%�����'"��*��*� '"���� ���������� �"�S��

I2�*�"�2 * �4*-��

������'�����6� ��!����������������S [ ]CA 3032501=���

���������������������� ���!"#�$�%" &����[ ]60033701=A��

������(�(%���$�� �"���<7��*�����?�����$� �B �%S��

1�.111�.��

�".11�1�1�1�.�="E=

�E���

1 .1111�11��.�=E��� �.11�����11.�=

"E=

!E�=

E=

���

��!

����������6� �������5�(��%�9W��!�������S��

����

����

=

01600337370160030337016060033701

A��

���������?�*��+;���������C�����������(��:��=�/ ���������� (� � �� ������6� �������-��

������!��%� ��'"���!��=�/ ������6� ���$� � �"����� �� ��� �"�����S��

�:� !���� ��� �*� ����*� '"������� � �I2� �*� �"�2� *� �4*�-���)����D����%�����'"�����F� 6����=�%

(���� ������!����&6 ���(��J ����5���� .�-����������>$�S��

��. 0$.�-02��*�!4�

��.�E 0B�

��$� �B �%�������� %���! �� �(�������'"���S��

��'"���I2��*��"��*� '"������ I2���*����2�7 *�7�4*-��

��'"���I2� *� ���*� '"������ I2��-*���2�7 *�7�4*-��

�;� ���������������:��'"���$>$���S��

��.2�7 *�7�4�*���2���*���4�*�� .2��-*���4�"]�� �"���7�.����" ����� �"�8� ��*��9��28� ��*� 9�����!����&6 ���� �"���=�%��'"����<7����� �8��

����������������������������S��:�0��.�E 0B:�02 0$4.��E 02�0$4:�02 0$4.���

"����*��a������� :��'"���������� %���*� 'S�I2��*��"�2� *� �4*-��

������'�����6� ��!����������������S [ ]CA 3032501=���

���������������������� ���!"#�$�%" !����[ ]60033701=A��

����������6� �������5�(��%�9W��!�������S��

����

����

=

01600337370160030337016060033701

A��

��"

%�� �"�������� (� �����(�(%�����$��1 �?����6� ����<7��=��"��=��-����6� ����()����

����

����

=−

99109999100999191099

1

CBF

FCB

BFC

BFC

A��

�(�(%�����$��1 �?�8 �7�2831000110111)( 348 ==++++= xxxxxm��

�������(�(%���$�� �"���<7��*�����?�����$� �B �%S��

�-.��11�11�.��=/E�=

7E=

E��

-'.�11������.�=/E�=

!E=

E=

�E=E���

1�.1111��1��.�= E=E���

-�.11�����11�.�=/E�=

!E���

�(�(%�����$���=�/ ����>��*�� �������<) +��������9�������7�6� �#�$�� �� ���=�/ ��������

�=� ��1 �����<) +��J ����� ����������'���9���<7����$���(�" ��J ����������)�(���*����(�" ��$��

/ ���*��J �����������:��<) +��*�O��=���

����=/E�=

7E=

E������*���=

/E�=

!E=

E=

�E=E��=

E=E� ,������,����=

/E�=

!E���

� '�"()*� +� '������ ,-�(*� %�.�/-$� �0 �1��� 2�3�1!� 4�-��-$+�� ���� ���� ��� %��� @�' ��� <7�� =��"���

��� :�-��

4-5�������EA��������

����)������ ������� !���� ��� %� � ��� P5 ���� ���% �� �"�� V�����%����� ���9������ �� ���� ��

8 �9������)�6����0����M��� �� ����)����D��2�O���P����������)������9%�#��� $�*��3������� �"�

����������9�������%������I����9����%�M�����K���:��<) D��7�6� �*�9�=�%������ :�I������

��� ��K�2����$���<) D��7�6� �*�9��1 ���I�!�D�������K����9�������7�6� �*�9�@��P5 �������"���2

�����%� "���*��) +�-��

��7

4-5���$���6=��$��������+����!��

������� ���P5 ������;���� � ���� �+�������������5����� �?�7�.�S���

• ���?��+�������'�7���� ������)���C�����S��

������'� � ��()����B�O�$���?>����>��*�S��B.J$�O���)�( �� �?��)��*��P�������=�)J�

�*����#(���� %��:����()� �(�)�������������I�*�9������%��"� ������(�����5/ �(�(9��@�

�(�9��-K��

��=�%�� ��J�������$��B��(����� ������ ��������*�� �� 2������ �"���*�� �7�6� �*�9�

+�� ��� ���9������1 ����� <) +�� ��� ���9������� 7�6� � *�9� *�� ��$��� �?�� ��:�� <) � -� � ��7;

�������� %��J���� �����������?�$��(�M�����7���'"��(%���<) �-��

• ������ �+�������'�7�!���%�����*��'"����'����� ������� � �� ���7��������#'�;�

*�9�� �)� ����+���"���9�) 2 msec2��*�/ � ��� ����"��' ��V��*�9��� �7��*�� (" ��8 �7�

�'"���2����� ����� �)����@/ ������@��(�-���>��*��!������� %�� ���P5 ���2����"��������

�*.�ECC�����*��$���P������� 9> ���*�9���*���%>������������������������� �"���� �(��9 �

���)����D����%���������"%��� ?��*���'"����������%�� ��������'"����((��*������������

��� � ������ ������� !�� ������ ��-����6� ��� 8 �� ������ ��/ ;I�!�D�� K�� ��� ���9������� ��

�F�� �� J 7���� �� 6����� �C����� ()�;� ��.��� ���� (� �� J 7���� �)����D�� ��%����� ���� (�

%������$���=� ����� �����()������� �?�-

��

��

��

��

��/

4-5�������������+������!��

����� �(��:�� =�/ � ���6� �� � �� ��� �>�� *�3�=������� ��C� ����5���� ������� ��������'�

��6�����=���:��(%���(" ��� �������9��������>��% �*���=� :��������� ������()�����9�������

���S��

�%��&��' ����?����������� ���7��*��V�. ������9����D���������U ��*�/ ��J 7���������?����'��((����%6��? �������((������'�����1/1��V�%��((��������1�7 ���V�%

�((����������*�(����/ ����������@����������()S��

• �(�(%�����$���)��*�283�()�S

���6� �����A1��A2��A3��

=��"�����A1-1��A2

-1 A3-1

��*�9����

��� ���!�;����� ���!�;����� ���!�;��69.9875 73.985355��69.909478 76.331600 70.2453 76.7654

*��B �%S��

,

02010103030201010103020101010302

1

����

����

=A

,

00900000900000909000

11

����

����

=−

EDB

BED

DBE

DBE

A �

,

2645526445266452

2

����

����

=

DFBA

ADFB

BADF

FBAD

A

,

308081813080

081308080813

12

����

����

=−

BF

BF

FB

FB

A

,

0130325250130303250133032501

3

����

����

=

C

C

C

C

A

,

99109999100999191099

13

����

����

=−

CBF

FCB

BFC

BFC

A

��

��?

• �(�(%�����$���)��*�285�()�S ��

���6� �����A1��A2��A3��

=��"�����A1-1��A2

-1 A3-1

��*�9����

��� ���!�;����� ���!�;����� ���!�;��50.518536 51.56444��50.125357 55.34697 50.78654 52.4326

*��B �%S��

,

02010103030201010103020101010302

1

����

����

=A

,

00900000900000909000

11

����

����

=−

EDB

BED

DBE

DBE

A��

,

2645526445266452

2

����

����

=

DFBA

ADFB

BADF

FBAD

A

,

5178484517

7845117845

12

����

����

=−

BAA

BAA

ABA

AAB

A��

,

0130325250130303250133032501

3

����

����

=

C

C

C

C

A

,

503503

350035

13

����

����

=−

FCDAA

AAFCD

DAAFC

CDAAF

A��

��• �(�(%�����$���)��*�299�()�S

��

���6� �����A1��A2��A3��

=��"�����A1-1��A2

-1 A3-1

��*�9����

��� ���!�;����� ���!�;����� ���!�;��67.610621 69.526909��72.440030��77.970992 65.175723 67.850449

*��B �%S��

��-

,

02010103030201010103020101010302

1

����

����

=A

,

00900000900000909000

11

����

����

=−

EDB

BED

DBE

DBE

A��

,

2645526445266452

2

����

����

=

DFBA

ADFB

BADF

FBAD

A

,

764722764772764

47276

12

����

����

=−

BFA

ABF

FAB

BFA

A��

,

0130325250130303250133032501

3

����

����

=

C

C

C

C

A

,

315050031505

050315150503

13

����

����

=−

AB

BA

BA

BA

A

��

��

• �(�(%�����$���)��*�351�()��

���6� �����A1��A2��A3��

=��"�����A1-1��A2

-1 A3-1

��*�9����

��� ���!�;����� ���!�;����� ���!�;��73.3627 76.440088��64.680511 69.5983160 73.052794��77.971048

*��B �%S��

,

02010103030201010103020101010302

1

����

����

=A

,

00900000900000909000

11

����

����

=−

EDB

BED

DBE

DBE

A��

,

2645526445266452

2

����

����

=

DFBA

ADFB

BADF

FBAD

A

,

736423237364423736364237

12

����

����

=−

CC

CC

CC

CC

A��

��1

,

0130325250130303250133032501

3

����

����

=

C

C

C

C

A

,

220022

022220

13

����

����

=−

FDCBE

EFDCB

CBEFD

CBEFD

A��

��

• (�(%�����$���)��*��501�()��

���6� �����A1��A2��A3��

=��"�����A1-1��A2

-1 A3-1

��*�9����

��� ���!�;����� ���!�;����� ���!�;��74.356485 77.951456��66.020485 69.810257 69.175831 76.190862

*��B �%S��

,

02010103030201010103020101010302

1

����

����

=A

,

00900000900000909000

11

����

����

=−

EDB

BED

DBE

DBE

A��

,

2645526445266452

2

����

����

=

DFBA

ADFB

BADF

FBAD

A

,

5577665577

7655757765

12

����

����

=−

CDF

FCD

DFC

DFC

A��

,

0130325250130303250133032501

3

����

����

=

C

C

C

C

A

,

99109999100999191099

13

����

����

=−

CBF

FCB

BFC

BFC

A��

��()���6� ���=�/ ����6� ����6� ���(�(%�����$���� ����2�6� ��� )%��*��� �� ���(���� ���

��� ��� �"��S��

��

��

��

���

%&�&������������D5�283��

�/0="���[2 3 1 1]RA1

�S�=��%��T���� �278����;�� ��"-������; + �����

0.243894 0.584164 0.34027 t1

0.304453 0.757385 0.452932 t2

0.077716 1.465896 1.38818 t3

0.026715 9.654355 9.62764 t4

1.355028 36.35644 35.00141 t5

1.289516 66.77518 65.48566 t6

0.549554 %��T���S�=���C�-�

%&�&������������D5�283��

��/0="��[1 37 3 60]RA2��

%��T���S�=�� �278����; ��"-������; + ���

0.003386 0.657751 0.654365 t1

0.021769 0.787517 0.765748 t2

0.750707 1.848299 1.097592 t3

0.772076 11.83419 11.06211 t4

1.320473 39.07536 37.75489 t5

4.478083 72.97707 68.49899 t6

1.224416 ���� ������ ������

���

��������I"�]� K����� ���*�9�*���&�6���F/ ���� �� ���(���!�D��*�9�������9����������%� "�����

��

%&�&������������D5351��

��/0="��[45 90 75 111 ]RA2��

%��T���S�=�� �278����; ��"-������; + ���

0.015122 0.466684 0.451562 t1

0.051399 0.572745 0.521346 t2

0.232232 1.243599 1.011367 t3

0.496076 9.463521 8.967445 t4

0.08137 35.49748 35.41611 t5

3.097342 67.76413 64.66679 t6

0.662257 ���� ������ ������

����������D5501��

��/0="��[45 90 75 111 ]RA3��

%��T���S�=�� �278����; ��"-������; + ���

0.068493 0.884319 0.815826 t1

0.595752 1.64345 1.047698 t2

0.276919 2.011789 1.73487 t3

0.704152 10.4165 9.71235 t4

3.167121 38.91218 35.74506 t5

0.552379 70.3389 69.78652 t6

0.894136 ���� ������ ������

��

��&�&������;�0O��

����A"������;�0O��

��&�&������;�0O��

����A"������;�0O��

� �� ���(���!�D��*�9������ ���*�9�*���&�6����

*� ��9��������

�27M

��"-�

6

��&�&������;�0O��

����A"������;�0O��

� �� ���(���!�D��*�9������ ���*�9�*���&�6��

�*� ��9�������*��a������ �� ������� �*�9��

�*� ��9������

7

�� ��� ����������

5

� �� ���(���!�D��*�9������ ���*�9�*���&�6��

�*� ��9�������*��a������ �� ������� �*�9

� �� ���(����� ���*�9

"

�� ��� ����������

4

�� � �

� �� ���(���!�D��*�9������ ���*�9�*���&�6��

�*� ��9�������*��a������ �� ������� �*�9

�� �� ���(����� ���*�9

!

�� ��� ����������

3

�� � �

� K���� �� ���(���!�D��*�9������ ���*�9�*���&�6��

�*� ��9�������*��a������ �� ������� �*�9

�������I"�]�!K���� �� ���(����� ���*�9

12

�������I"�]

"�]�!K��*� ��9�������*��a������ �� ������� �*�9

������

051015202530354045505560657075

1

��� �

������

�������F/ �����I"

��

1

"

�1

�"

�1

�"

1

"

!1

��T��

��� �

� �

�������F/ ����

��

��!

� ��� �����������

0510152025303540455055606570758085

123456

� ��� �

��� ���*�������;�0O��

����A"������;�0O��

�������F/ �����I"�]�"K�*� ��9�������*��a������ �� �����!�;�*�9��

��

�������I"�]�"K����*�9�!�D��� �� ���(��*� ��9��������

��

��

��

��

��

��

��

��

��"

5-5�� #���!��

������� �()������$������6� �� �(� ����"��� ����7����� �� �����������9�������&��' ��>��*�

��6� ���(�(%S��

:��" ��<�!�;��� ������� �*��a���*�9�*�� "��' ����[V��*�9��������"�����. ��(����=��-�

-2����6� �����(��:��=�/ ��������������(� ������ �� ������?�*���((%�������6� ����*���()�

State����6����� =���:�� (%�� !��� (�M�� �� �(" ��� �7��� (�(%��� ��$�� ���C� �!����$� =��"�� !�

Backdoors��O��������CIA�2���0 ��=��"����*��A�������6� ���� ���� �(� ����()��B �%

���� ������ ���C��� �9���<7��� (�(%�����$����0 � ���I�1 6���� (�(%�����$��=�%���0 ��=��"���

���6� ����K����6� ������ ��������������>��*��*�:����%� "�������9���������?����(�9�����7��

X 6����� -�� c*�� ������ ����� (� �� �� ���� ��?�*�� �((%����*�� �6� ���=�/ ����6� ���� �

�(�" ���*�(�*��(� �����@��)���?�*���� ��������������������9��������'���)����D����%����

�"�����((%�����6� ��-��

�: �X� "������( ����>��*�� S���6� ����I��=������� K� �����*�� �*�I��� �9���<7������*

���7� K�)����;�d*%���'"��*��*� '"���>��*�� ����*�� �V��� ��;�� 2����6� ����<7�� ()�;�

��� ���86���?�����(!)���=�' �I�!�D��K�������� ����F� 6���� �(� ����������'"����2�8 �7�

� �>�� *�� *���� ��?� � �$�� � ��� �)����D�� ��%����� ��� � ���� ��(� ����� ���� �(� ���.��

��C���� ��� 6�����2����*������� ?�F� 6����'��9�� �� ���-�

!]�=��"���� ()�;� *�9�� ��/ ;� ���9� =�' �� F� 6���� ����� (�� ���6� ���� ()�;� ������ 2�*�7��

���9����������:���!�D��*�9��*�/ ��*��9���2�*������9������. ������������(�9��J (M����

��7

��)����;�d*%��� �(� ���(����� ������ �������*�9��(�9��d �����L��F�'�����7������ ���*�9

��������?�*�������J ����5�����((�� �(� ����'"����*�������((��*��V�. �-�

�:"� ����������%�����>��*�� �����7��������� ���7�6� ��>��*����������9����. �������� %

�D���!2������������� ����L�������J 7���� ���������!�D�������� �"��*��*���� ����7�

F� 6���-�����. �*�9����� ��� %����� %��/ �:����� �%� "���� ���9��������"� � ���$� �!)�*�

�()�;� *�9�� ��/ ;� ��(� ����� ���6� ���� ����� �>�� *�� 8 �7�� ���� :�� ���9������� 7�6� �� &�'�

���� (� �����(�(%�����$�������(��8 �7��!���"��()�;����"�"%������6�I�/ ���J ����-K��

:7��E�����*��*�'���*������)�����9���������%� "�������9�������*����"����������� �����$� ���

�$� ����0���I ��X 6�K���"�����((%����C�=�/ ����6� ��@�D����%�������� �����(� ��)����

� ���6� ���� <7��� 2���0� � F� 6�� )%.�� 9�� � J 7����������� *�� ��;� ��/ ;� �� �� �% 6�� ��

�����(�(%���$������?� �����%��IJ ��K��*��������=� �����/ ���1 ������=�%��)����

���% �����?���C�(�(%���$��B %�����)�� )%��>��*�-��

����� ���6� ��>��*�O��� �(� �����%����7�3������1 6����������#6��� ����"'���#�(:��*��()�

�#����������:�����9����������L���&���@������:�����9��������������� !��� ��� ��� ���!���

��"%����������%���������������0 ���(��:��N9�����6� ����������2�"����((%�$'2�?4� ����$��&��

�<���0 �*�����/ ���������V� ���(�(%-��

������ ��� ��� 8 �� ������ *�:�� A� ��� ��� �(�9� ��;� ��� � � �%� "���� ���9������� 7�6� � �>�� *���)����D����%������ ���� ��� ��>��*��8 �7������ :�� ���9�������@������"���%� "���� ���9������

���/ D������������-��

��

��

��/

��6-5�� ���������� �� ����!��

�:������)����$��A�����)�����0������9��������� ��`��

�:�O�����()�(��� �:�CR��A����&�'������6� ���(�(%�����$��&���L�������

�: ! )����X 6����@��� ����9���������(��

!]�����������9�������)7��������(�(�(�;������/ ��I�/ ���N7����@/ ��K��������B �%�*�

���9����������(� �� �����/ ������>��% �������"'�����-��

"]������5!�������� �+�����(�� ��� ���+����������(� �������6� ������9��������������V�$�

3�%��2%�7�2%�M�����2�� ���2�K �����������!��( ���! ���(����������� 5���=��-��

7]���6� �������0 ��@��A���� ��" �����"������� �(� �����$�������(�#��);�X� "�-��

/]�� � �����;� ��%� B %�� #��);� X� "�&��' �� ���9���������� ���(�� ��� ������ ���(� �+� �(��� ��

������-����

:?� ��������>���������������)�D��*���������% �����(�#��);���C���$� ���������� �(� �������$� �

���'����������*�:��B �%�*��8 �7��*�)��E��I���%����-K��

-]���)�� ��� �� ��� ����� ��� � �)�� *�� *��(�!����� *��/ ����� *�� ���� ����)�� ����

� �������9������U ��C:��@��)�� (� � ������ �����9�����#������� ��-��

�1]);�X� "��@���������#����5�!�����������������$��>�����(� �� >)��@��B %�:�!�� �����2�

*� ����� �������� ��)��� *��� ()��I�� ����� �����%��� K*���� !�������)���������� �5�!����

���������������-��

��?

����������"%��� �7������)�����������*��(" �Y��� ����"%�Y?���)���� ��6������' �� ����� ���*����(

���C�*������:����)������(��� ���*��#�0 �+�����6�������(� �+�������;��2�8 �7�L��/ ����������

���'��*��2�J 7����/ % ���� ����*����������"�������)����� �����!��� (��� �����7�����C��������%��

�' ���������v ���L ��" ����2�(���������"���@����)���������� ����)������� ����9���*%��

���� ���� ���' ���� E�(�D�� +� 8>! �+�� �)�� ��� ����� %�� *���� ��� �8 � ��� �(��� *�� ���� @�� 2

+�� �����5!��������������"��� � �+���@�)� ���A���N % -��*��(�+�8�7���/ ���(�!)����(����

���%����7���% ������ �����9���������'����)������������' ���)�����7�����������B %����@�)� �

�������� ��)������ *�� ��(��� � �� ����� ��6� ��� P������ ���9������ �� ����� ��)�����

����%���-��

��������������

���

��

i

����������� �������������� �������������� �������������� ���

������������������������������������������� ��������������

��

Triple Data Encryption Standard 3DES

Advanced Encryption Standard AES

Authentication Header AH

American National Standards Institute ANSI

Cipher Block Chaining CBC

Common Criteria CC

Communications-Electronics Security Group CESG

Cipher Feedback CFB

Cipher-Based Message Authentication Code CMAC

Chinese Remainder Theorem CRT

Distributed Denial of Service DDoS

Data Encryption Standard DES

Denial of Service DoS

Digital Signature Algorithm DSA

Digital Signature Standard DSS

Electronic Codebook ECB

Encapsulating Security Payload ESP

Federal Information Processing Standard FIPS

Internet Architecture Board IAB

Internet Engineering Task Force IETF

Internet Protocol IP

IP Security IPSec

International Organization for Standardization ISO

International Telecommunication Union ITU

ITU Telecommunication Standardization Sector ITU-T

Initialization Vector IV

Key Distribution Center KDC

ii

Local Area Network LAN

Message Authentication Code MAC

Message Integrity Code MIC

Multipurpose Internet Mail Extension MIME

Message Digest, Version 5 MD5

Maximum Transmission Unit MTU

National Institute of Standards and Technology NIST

National Security Agency NSA

Output Feedback OFB

Propagating Cipher Block Chaining PCBC

Pretty Good Privacy PGP

Public Key Infrastructure PKI

Pseudorandom Number Generator PRNG

Request for Comments RFC

Random Number Generator RNG

Rivest-Shamir-Adelman RSA

Secure Electronic Transaction SET

Secure Hash Algorithm SHA

Secure Hash Standard SHS

Secure MIME S/MIME

Simple Network Management Protocol SNMP

Simple Network Management Protocol Version 3 SNMPv3

Secure Sockets Layer SSL

Transmission Control Protocol TCP

Transport Layer Security TLS

User Datagram Protocol UDP

Wide Area Network WAN

���

��

i

�������������������������������� The Glossary

��

A

������������Access control

���� ����� ������� active attack

�������� algorithm

�������������������asymmetric cryptography

����� authentication

������availability

�� � attack

B

�� ���� �!���!��� bit

�"������#��$$%� ������&��'�� ������ block

C

���� cipher

(����) ! cipher text��

*$������+,�������$����columnar transposition

����� ���%�� � commutative group

- �.�����#�/��computer security

#��� confidentiality

���$��0����������������� conventional cryptography (symmetric)

1$�2 ��� �3�� � counter measures

(���������� cryptanalysis

��

ii

����� cryptography

����������% cryptology

���������4!� cryptosystem

D

���������56� ��&���� Data Encryption Standard(DES)

��748����56����"�� decryption

���$������$0��9 ����denial of service

�5�$�:���5����$��;�#����� Diffie-Hellman key exchange

��,��+�,���digital signature

�+&0���������������5!�� discrete logarithm

�+&0�������������������.����5!���� discrete logarithm problem

�����������,����+�,���� DSA - Digital Signature Algorithm

��,����+�,���������� DSS - Digital Signature Standard

E

� ����8���!!�������������4!� ECC - Elliptic Curve Cryptosystem��

� ����8���!!����+&0��������������� ECDL -Elliptic Curve Discrete Logarithm

��!������1�� � electronic commerce (e-commerce)

�� ����������� ELGamal algorithm��

� �������!!� elliptic curve��

��!!����+&0�������������������.�

� ����8� elliptic curve discrete logarithm (ECDL) problem

��<��5���56 encryption key

��

iii

��56� encryption

�./�+��� exponential function

*$�$�����0 extension field

F

=>�����fabrication

���% factor

�0 field

$�$���0 finite field

+��� function

G

������0� Galois field

1$�?����&0! generator point

�%�� � group

�.�./��0 ground field

H

=�?�� hacker

���������.� hard problem

+&0���+��� hash function��

I

� ���������#�/��information security

��>. integrity

+&,��interruption

��������������������4!� ISO - International Standards Organization

��

iv

K

<��5���key

:���5�����$��� key exchange

�$����:���5��� key generation

:���5����1��$� key management

��������&�������(������) !�����$ �/

����5���

keyword mixed alphabet

M

�!� masquerade

� ���@��mechanisms

���.��������� message digest��

��!��������.�����%�.�A ��0���MIPS - Millions of Instructions Per Second��

��$����modification

N

� ��6���#�/��network security

������ ���!���������������!&����$7����

1$������ ��B�����NIST - National Institute of Standards and Technology

��!�����$%��non-repudiation

1$������ ��B��������!&����#�C��������NSA - National Security Agency

$�$%C�����4!��number theory

O

$���D� ����'�+�����one-way function

��

v

P

����.��� ��������������passive attack

������������password��

��������<��5������������������PKCS - Public-Key Cryptography Standards

:����) !��plaintext

����$�$��polynomial

���/����%��prime factor

���/�$$%��prime number

������<��5���private key

���������protocol

����%�<��5���public key

���������<��5������������������������public-key cryptography (asymmetric)

R

#����$/�����6�� .5�������������RSA algorithm (Rivest, Shamir and Adleman)

� ��6%�$$%��random number

� �!�.���refinements

��7!��������#����/��relatively prime

�� ���$��� B� ���rounds

S

*�.�<��5���secret key

�!�@�1�!,��secure channel

#�C���� �7���security attack

��!�/���$���security service

��

vi

�$����server

�.� ���<��5���session key

�.�0�����<��5�����shared key

��'��,�&���smart card

�* �������.��,���standard

�2 �%���substitution

�2 �%��������substitution cipher

���������������symmetric cryptography

T

�$�C��D� �B���'�1$������+�����trapdoor one-way function

����������������traffic analysis

+,�������$����transposition

+,�������$��������transposition cipher

1$���&�#����Trojan horse

V

�5������violation

��2 ������1��$��virtual circuit

A ������virus

X

1�������.!��xerographic ��

���

���

�������I����

����� ����� ��

����������� ������� ����� ��������� ������ ����������������� ������ ���������������� ������������������

��

������������ ����

��� �� ������������������������

�����������������������

����������������������� ��!"��#����

��������������� !�$�����������

��������������������������% ����� ��&!� !�$��'�� �������� �

������(�����

������������ )��������� ��!����*�����

����������������+�!����*�����

������������������������������

������������������, ������!�$���- � !� )��������������

�������������������������������������

�������������������������./��, ������!�$���� !�$�����

�����������������������������������!�$�����

����������������������������0��������

������������������������0� �./�

���������������������(�����

��������������������������������% ����� ��&!�������!�$��'�� �������� �

������������(�����

0� ����

������������ �������������������������������������������������������������������������������������� �

1����������� ������� ������ ������! �������� �������������������

����������2������������

���� �� ������������������)��������������.�����

���� �� � ����3������

������

���

�4�����

�������

������������������������

�������������������

�������� ����!�������!�$$�- � ��

�������������������)���������1���

����������������������./�!!!)�5��$�- � �$���!!��5�"�#���6���#��$�- � �$$�����

�����������������������������������% ����� ��!���'�� ���������������� $�

������������������������������������% ����� ��!���'�� �������������� $�

���������������������������)����)��% ����� ��!)��'�� ���������������� �

�����������������������������!�$�����

�����������������������������!�$���)�

���������������������������22!�$�����

���������������������������������#���

��������7���7�% �'!'�% �'�'�% ����� ��!���'�'$�% �'���'�% ����� ��!)��'� ������������������ $�

��������������������������� ��������

���������������������������0��������

�����������������������0���

����������������������� �������

��������������������0� �./�

���������������������!�������!�$�6�4�#��$�- � ��

��������������(���)�

��������������./� �����������

���������������������#���

��������������� 8������

�������������0� �./�

�����(�����

�����������������������������������

��������������������������% ����� ��!��!��$��'� ���������� $�

���������������������������% ����� ��!��!��$��'� ���������� $�

���������������������������% ����� ��!22!��$��'� ���������� $�

����������������(������

����������������0� ����

� �����������������������������������������������������������������������������������

����

����

�1"� ������� �����! �������� �������������������

�������������������2�����

�������������������������

�������������������������!��$���!!��!��$�1�22!��$$�9�4$�- � ��

�����������������./���������!��$�:�������

�����������������������������!��$�����������!��$�#��

�����������������0� �./�

�����������������- �, ������!��$�����������!��$�

������������������ - �, ������!��$���� !��������!�����

��������(������

������������������������������

��������������������"����"�% ����� ��!- �, ������!��$��'� ����������� $�

��������������������;����;�% ����� ��!� !- �, ������!��$$��'� ������������ $�

����������(������

���0� ����

����������������������������������������

������������������������������������������������������������������������� 1;"#��$ ������� ����������������%��

���������� ���!���������2� ���)2� �������

�./������������

���������� � �����2� ��

���������) � ����)2� ��

���������8��������

����0���

��������������� ����!"�6�!�2� ��5��$$�#���

��������������� ������6�)2� ��

��������������� "�����

��������������2���� ��

���������������< ����2�:=���

���������������� "���� "�#���

����������������2���!� "�6�� �$�- � ��

������������+����

���������������� �����!� "�6�� �$�- � ��

���������������������!!��$�5���1�!��6��2� �$$�- � ��

���������������������!1)2� ��#����6�!�2� ��1���$$�- � ��

���

�������������./������������

�������������� � ����!���#�$�- � ��

�������������) � ����!���#�$�- � ��

�������������8��������

����������0���

�����������������./����:�������

�����������������������������#��

�����������������0� �./�

�����������������./����:�������

����������������������������#��

�����������������0� �./�

���������������77�����������1���

���������������������!)2� ��1�����

��������������./���:�������

������������������������#��

��������������0� �./�

���������������������!�2� ��1�����

������������������./����:�������

������������������������������#��

������������������0� �./�

����������������2������

����������������������

���������������������� ���< ����2�:=���

��������������������������������#���

���������������������������2���!��6���$�- � ��

����������������������+����

����������������������������!��6��$�- � ��

�����������������������������!!��5��$�1��2� ��1���$�- � ��

������������������������� �����!��6�!�2� ��1���$�1�)2� �$�- � ��

�����������(���77�

������������� � ����!���#�$�- � ��

������������) � ����!���#�$�- � ��

����

0� �./�

7����� � ��

7����) � ��- � ��

���

��0� �./�

0� ����

������������������������������������������������ ��������� � �146 � ������ #�6> 14!�68������

������������2��2�����!�� #�6��6��1�6��6��������

1?���� ������������������" ���� &��' �(��� � ���)�*%��������������������������������������������������

������������ �!� � ���) � ������2� ���)2� ���

���������2���� � ��

��������� ���1) � ��

��������� ����!)2� ��@� ��

��������������!�2� ��1�2�#���

����������������

���������������

�����������< ������:=���

�����������������#���

���������������!��6���$�- � ��

��������+����

��������������!��6��$�- � ��

�����������������!!��5��$�1��2� ��1�2�#�$�- � ��

���������������./����:�������

���������������������������#��

����������������0� �./�

����������������)����!��6�!�2� ��1���$�1�)2� �$�- � ��

�������������������./�)��:�������

���������������������)����)��#��

�������������������0� �./�

��������0� ����

�������������������������������������������������������������� 1A+ ��#���' �(������ ����������������%��

���������� ���!�����������)�����

./�!)�5��$�- � ����!!��5�"$�#�!��6��$�#��$�- � ������

��������������!!;�6�!��5�"$$�#��B�6�!��5��$$�- � ��

���

��������������./�����������

������������������- ��3���!' ������ ��

��������������0���

��������������������./�)���������

����������������������- ��3���!'�����'$�

���������������������0���

������������������������./�����������

���������������������������7������

���������������������������� 7����)�

����������������������������8��������

�������������������������0���

������������������������������ ����!"�6�!��5��$$�#���

������������������������������ ������6�)�

������������������������������� "�����

������������������������������� 2���� ��

����������������������������������< ����2�:=���

����������������������������������� "���� "�#���

�����������������������������������2���!� "�6�� �$�- � ��

�������������������������������+����

������������������������������������!� "�6�� �$�- � ��

������������������������������������!!��$�5���1�!��6��$$�- � ��

������������������������������������!1)�#����6�!��1���$$�- � ��

�����������������������������./�����������

��������������������������������7����!���#�$�- � ��

��������������������������������7����!���#�$�- � ��

�������������������������������� ���������������������������������8��������

�����������������������������0���

���������������������������������./����:�������

��������������������������������������������#��

����������������������������������0� �./�

����������������������������������./����:�������

�������������������������������������������#��

�����������������������������������0� �./�

���������������������������������������77����������1���

����������������������������������������!)�1�����

������������������������������������ ./���:�������

����

��������������������������������������������#��

������������������������������������0� �./�

�����������������������������������������!��1�����

������������������������������������������./����:�������

������������������������������������������� ��������#��

�������������������������������������������0� �./�

��������������������������������������������2������

��������������������������������������������������

�����������������������������������������������< ����2�:=���

����������������������������������������������������#���

����������������������������������������������2���!��6���$�- � ��

���������������������������������������������+����

������������������������������������������������������!��6��$�- � ��

�������������������������������������������������� �����!!��5��$�1���1���$�- � ��

�������������������������������������������������������!��6�!��1���$�1�)$�- � ��

����������������������������������(���77�

������������������������������������7����!���#�$�- � ��

�������������������������������������� 7����!���#�$�- � ��

�����������������������������0� �./�

������������������������0� �./�

�������������������0� �./�

��������������0� �./�

����

������0���

�����������- ��3���!'���'$�

0� �./�

0� ����

����������������������������������������������������������������������������

1B� � ���)�*����� ����������������%�� ����������� �!����)���������)���

./����:�������

��������#��

0� �./�

./�)��:�������

)����)��#��

�����

0� �./�

����!)��1�)���

./���:�������

������#��

0� �./�

�����!���1�����

./����:�������

��������#��

0� �./�

2������

������

���< ����2�:=���

������#���

2���!��6���$�- � ��

+����

����!��6��$�- � ��

�����!!��5��$�1����1���$�- � ��

�����!��6�!���1���$�1�)�$�- � ��

7����!���#�$�- � ��

7����!���#�$�- � ��

0� ����

�����������������������������������������������������������

������������������� ��������� ������ AES������� ����

-1� �" ��#�������������,�(��!-.����!.,���/ ���" �0������ ��������#�����������

function encryption disp('*****Welcome to the AES Encryption tool*****...'); filename_in=input('Please enter the directory of the plaintext: ','s'); keyfile=input('Please enter the directory of the key: ','s');

filename_out=input('Please enter the directory you want to create the cipher text in: ','s'); tic sbox=sbox_gen; key_dec=key_extract(keyfile); Ekey= KeyExpansion(key_dec,sbox); blocks=data_splitter(filename_in); disp_hex('Plain text in hexa: ',blocks); num_blks=length(blocks)/4;

���

for i=1:num_blks start=((i-1)*4)+1; End=4*i; block_out(start:End,:)=encrypter(blocks(start:End,:),Ekey,sbox); end; disp_hex('Cipher text in hexa: ',block_out); data_combiner(block_out,filename_out); toc **************************************************

-2� ���� ��������#����������1#�/ ���" �0���2�0��3���&4�������������,�(��!-.����!.,��

�" ��#���function decryption disp('Welcome to the AES Decryption tool test...'); filename_in=input('Please enter the directory of the cipher text: ','s'); keyfile=input('Please enter the directory of the key: ','s'); filename_out=input('Enter the directory you want to create the decrypted text in: ','s'); tic sbox=sbox_gen; Isbox=Isbox_gen(sbox); key_dec=key_extract(keyfile); Ekey= KeyExpansion(key_dec,sbox);

blocks=data_splitter(filename_in); disp_hex('Cipher text in hexa: ',blocks); num_blks=length(blocks)/4; for i=1:num_blks start=((i-1)*4)+1; End=4*i; block_out(start:End,:)=decrypter(blocks(start:End,:),Ekey,Isbox); end; disp_hex('Decrypted text in hexa: ',block_out); data_combiner(block_out,filename_out); toc *********************************************************

-3� ���� ��������#������������,��5��#��"��$ �6�*�7�%���function state=AddRoundKey(state_in,skey) state=bitxor(double(state_in),double(skey)); end *******************************************************

-4� �!�,*��, ������� ��������#����������S-BOX��function sbox=sbox_gen for i=1:256

���

a(i)=i-1; end a=reshape(a,16,16)'; box=gf(a,8,283); box(1,1)=1; box= 1./box; box(1,1)=0; % arithmatic is over the polynomial '10000001'=257. box=gf(box.x,8,257); % multiplication to the polynomial '00011111'=31. box=box.*31; bx=box.x; % XOR with the polynomial '01100011'=99. sbox=bitxor(bx,99); disp_hex(sprintf('S box: '),sbox); end *********************************************************

-5� �!�,*��, ������� ��������#����������Inv.S-BOX. ��function Isbox=Isbox_gen(sbox) for i=1:16 for j=1:16 ch=dec2hex(sbox(i,j),2); row=hex2dec(ch(1)); col=hex2dec(ch(2)); value_h=[dec2hex(i-1),dec2hex(j-1)]; Isbox(row+1,col+1)=hex2dec(value_h); end end disp_hex('Inverse Sub-BOX: ', Isbox); end **********************************************************

-6� 5��#���) (������� ��������#��������� ��function Ekey= KeyExpansion(key,sbox) Ekey(1:4,:)=reshape(key,4,4); rcon=RconGen; for i=5:44 temp=Ekey(i-1,:); if (mod((i-1),4)==0) temp=circshift(temp,[0 -1]); temp=SubByte(temp,sbox); temp=bitxor(double(temp),rcon((i-1)/4,:)); end

���

Ekey(i,:)=bitxor(Ekey(i-4,:),temp); end Ekey=reshape(Ekey,44,4); disp_hex('Expanded Key:',Ekey); ********************************************************

-7� ���,��8 ��9�' �(������ ��������#��������� RC(j)=2*RC(j-1) . function rcon=RconGen rcon_poly=gf(1:10,8,283); for i=2:10 rcon_poly(i)=2.* rcon_poly(i-1); end; rcon=rcon_poly.x; rcon=[rcon; zeros(3,10)]'; rcon=double(rcon); *******************************************************

-8� ���� ��������#���������" � (��"��6:��% function state=ShiftRows(state_in) state=zeros(4,4); for i=1:4 state(i,:)=circshift(state_in(i,:),[0 -(i-1)]); end end ***************************************************************

9��� (;�"(<�0���"��6:��" ��0����� ��������#����������%��function state=InvShiftRows(state_in) state=zeros(4,4); for i=1:4 state(i,:)=circshift(state_in(i,:),[0 i-1]); end end ������������������������������������������������������������

-10�"��#= ����' �$ ��" ��0����� �� ������#���������mix cloumns���function state_out=mixcol(state_in) state_gf=gf(state_in,8,351); mult_dec(1,:)=[1 37 3 60]; for i=1:3 mult_dec(i+1,:)=circshift(mult_dec(1,:), [0 i]); end mult_gf=gf(mult_dec,8,351); res=mult_gf*state_gf; state_out=res.x;

����

end *****************************************************************

-11�"(<�0���"��#= ����' �$ ��" ��0����� �� ������#���������Invers mix cloumns���function state_out=Imixcol(state_in) state_gf=gf(state_in,8,351); mult_hex={'fd' '0e' 'cb' '22'}; mult_dec(1,:)=hex2dec(mult_hex); for i=1:3 mult_dec(i+1,:)=circshift(mult_dec(1,:), [0 i]); end mult_gf=gf(mult_dec,8,351); res=mult_gf*state_gf; state_out=res.x; end *************************************************************

���

���������������

����������� ��������

������������������������� ������ �������

����������������������

���� ��������

�������������������� ���������������������� ������ ���!��" ���#����������� ����

���������� ��������$ �% ��� �����#���&������������� �������� �������'(��)��

������������������������������������� �*�#��" ��+��

����������������������

������

�������������

��������

,- ������������. ������#��&����/" ������������������ �*�#��" �������������

0- �������������12��������� �*����*��3������������������� �*�#��" ��+��

����������������� ���������� ���������

�����������������4 ��� �������� �����

�������������������

����� ����������

���������������������

������� �����������

������������ ������ ��������������������� ��#���5����������������. �����%6���������7��

�8�9������������7��������4 �����������������������������������������������������

����

��� �!�����������"�#���������������� ��#���5�������������������������������:���

�����" ���;�1������4 ��� ����������������������� ��%6�

������������������������������������������������������� ��������

�������!"#�"� �!�"���

�"�� �!��

�����������������:������ ��!���9(�����*1�����������!������ ����������� �"��

���$ �% ���������������������� ��#���5�$�������������"���������4��� � �< ��" ���:�6

����������������������������� ��%6���

�����������������������������������������&�����$�������

����������� ������������ � �< ��:��#��" ��������������������� ��������������������8�

��7�������������+��

����������� � �< ��" ����6������������!���#�������:������ �����������= /������������ ��&

����������� ������ �<�������������!�� � ���!���������

���������������4 ��� �������� ����

�����������������������������'���������

������

������������

� �< ��" �����879�>���87#�������?��������@@@ ����������!���������� ��!������

��!'�� �!�����������������������������������������������

�� ��������������

������

�"�#����������������������������������������������

�� ����������������

����%����&�

�����

�$ �% ����

�� $�������������������������������

�������

�����'�

�������������

�� (�����������������������������������

• ��������� �������$ �% ����� �!���(������) ��*��

,-�������+�����, �*�������������� �4 �����������������������A5�����

�������������������������������

����������������������������

0-�������!�����, �*����������. ���� �4 �����������������������������������A5�����

��������)�������������*���)�������������*�����!���

�������)�������������*���)�������������*����!���

-��� �!�������(��.���$ �% ����������. ���� �4 ���������������������������������A5������

)�������������*���!������������!���������������

�������)�������������*����������������������������

B-�������4��� �4 ������������������������������� �������������������C������A5����

���������������������

���������� ���������/��� ����������������������� ����������� ������������������� ���������

��������������� ������4 ��������� �������

����9��#�D����:�E>������*�#������������4��� +������,�����

�-��

�������������������,�����

� ��+�����,���������� �����������+����������� �������,��������������� ���������F" �����+����

����������� ������������������� ���8�5���������8�5������:��#�8�5������������������� ��+����

����������� ����5����" ���,������5����9�����+��

��������4 ��� ��� ��%E>����� ����������6�� ������� ������ �����

����� � ����� �������� � ������

����� ������� � ��4%�����5����9����������� ��&���

���� � ��������������

��� ��������@ ��8�9�������� ��%6�15>���%6�������������� � ����

�#������&��� ����5����9��������. ���� ��#���G�%6���

������ � ��� � ��� ��� ��������� �� � �� � ! " ! � # $%���

�� ��%6�:���4 �����

��

���� ��������� &���������4��� ��

�� �����

��

��

��

��

��

��

��

���� � ����������������

'��� � (��������������

���� � ���� # ����������

'��� � (��� # &���������

���� � (��� � ���� � '��� # ����� � &����������

����) (��� � ����) '��� # *����'��� � &���) ����+���� � ����&����,������

*���� � (���+�������� � *���� � '���+�����������

*����) (���+�������� � *����) '���+�����������

-��

�0�1, ��$ ��2�� ��

�'3�+�(1��������� ��A,B���H��������&( ����>�/" m×k�� ����A � B (mod n)��

�� ���C���H��������>�/" rIk��'��D��H��������>�/" mIr��&��#��

JDA � DB (mod n)����� �AC � BC (mod n��

4 ������$ ��2��5 ��������>�/" ��A����� �� C������������>�/" m�������5�C��= � �

�>�/" �� A �= ��9n�'�� ��A����������m��� ��%6��AC � CA � I (mod n��

��>�/" ���= � ���K���A�K����A-1�&��#���

A * 1A −� 1A − * A � I (mod n)�

��'3�+�2�������� �� ��A,B,C�����������>�/" m��$ �%���#���

���� ���>�/" ���. �� ��%6B �J��>�/" ����� �A��= ��9n���. �� �C � B (mod n)����E>C��< ��

�>�/" ����= � � A��= ��9n�+��

������ �. �� ��%6 B,C��>�/" ����� �A��= ��9n��

��E>����C � B (mod n��

(�L����= � ���7���>�/" �� �= ����������������+��

�20�������0�1, ��4 �������� ��A������������>�/" m�. �5>����>�/" ��K��A�K����adj A

:>�/" ����7���*�#�� �����

11 21 n1

12 22 2

1 2n

.....c

.....

. c .....

n

n nn

c c

c c c

c c

� �� �� �� �� �� �

Madj A=T

ijc� �� ���

cij = ������� detAij��� ��� ����

��>�/" ���Aij���>�/" ������7��#��" ���������>�/" ����&A��� " ���� %��i��������j+��

-���

���1�������� ��A =1 2 31 0 12 4 6

� �� �� �� �� �

��

adj A =T

ijc� �� � = 11 21 31

12 22 32

13 23 33

c c

c c

c c

c

c

c

� �� �� �� �� �

11c = ( )21− det A11 = det0 14 6� �� �� �

=- 4

21c = ( )31− det A21 = - det2 34 6� �� �� �

= 0

12c = ( )31− det A12 = - det1 12 6� �� �� �

= - 4

2 2c = ( )41− det A22 = det1 32 6� �� �� �

= 0

13c = ( )31− det A13 = det1 02 4� �� �� �

= 4

23c = ( )51− det A23 = - det1 22 4� �� �� �

= 0

31c = ( )41− det A31 = det2 30 1� �� �� �

= 2�

32c = ( )51− det A32 = - det1 31 3� �� �� �

= 2

33c = ( )61− det A33 =det1 21 0� �� �� �

= -2�

adj A = 11 12 13

21 22 23

31 32 33

c

c c

c c

c c

c

c

� �� �� �� �� �

= 4 0 2

-4 0 2-4 0 -2

−� �� �� �� �� �

� 22 0 222 0 24 0 24

� �� �� �� �� �

(mod 26)

-����

��'3�+�����3���. �� ��%6 A ����������:�����>�/" m ��E>���

A (adjA ) = (det A ) I = (adj A ) A��

��'3�����+�4����� ��A ����������:�����>�/" m %N��#'��� � A �= ��9�= ����:���9n ��%6

��� �15>��%6�gcd (det A ,n ) =1��

�E>�$�%�*�6��>�< 6��

1A−� ( ) 1det A

−adj A (mod n �� �

(�L������#��" �2�����������> m = 2

: �����E> A = b

c da� �� �� �

: ����4 � �

1A− = ( ) 1det A

− =

-b-c ad� �� �� �

det A = ad-cb � ������

���@@@@@@@@�2����&��>�/" ��A ���������O�= ����:���9��>�/" ��

n = 29, A = 2 173 14� �� �� �

� ���

P����� ��det A

6 (mod 29)�detA = (28 - 51) = -23

������������gcd (detA , n) = (6 , 29 ) = 1��

� A �= ����:���9+

1A−= ( ) 1det A

− 14 -17-3 2� �� �� �

M 16− (adj A)(mod 29�

�������mod 29��6)(5) = 1���E>��������5�M16−

��

-�����

1A− = 5

14 -17-3 2� �� �� �

= 514 1226 2� �� �� �

(mod 29)�

= 12 214 10� �� �� �

(mod 29)�

��@@@@@�3����= � �� �����

A=

1 0 0 00 3 0 00 0 1 00 0 0 1

� �� �� �� �� �� �

n = 5 �� ���

det A = 3 → gcd (det A , 5) = 1�

�= � ���7� A �>�/" ����G�%6�

1A − = ( ) 1det A

− (adj A)(mod 5)�

1A −= (3)-1 ( )adjA (mod 5)

= (2) (adj A) (mod 5)

� ���� adj A����D������

Adj A=

3 0 0 00 1 0 00 0 3 00 0 0 3

� �� �� �� �� �� �

A-1 = 2

3 0 0 00 1 0 00 0 3 00 0 0 3

� �� �� �� �� �� �

(mod 5) �

1 0 0 00 2 0 00 0 1 00 0 0 1

� �� �� �� �� �� �

(mod 5)

����

� ��3�6�1�7� ����

�����&�Q��6��< ��������9����&���1��8��������� ������C�����������. ��/����. �//���

�8�#�'�''��%2R���C�/�����S%&�'��T ������� ��������#�= /����7������!��" ���T ��������������>��

�/����+��1���������������#�8����8���� �����12�������< ���P����%E>���9����5��� ���� ��#

��� ����� �8�L����� " ��� �>������

1 11 1 12 2 13 3(mod 26)c k p k p k p= + +�

2 21 1 22 2 23 3(mod 26)c k p k p k p= + +�

3 31 1 32 2 33 3(mod 26)c k p k p k p= + +�

�. �>�/" ����1����. �>�/" ���S%&��#���������� ����3�������� �����������

11 12 131 1

2 21 22 23 2

3 331 32 33

k k kc p

c k k k p

c pk k k

� �� � � �� �� � � �= � �� � � �� �� � � �� � � �� ����!�"0���1���2��

���( ����� ���!�0����1�������#���#������*�#�!��" ���T ������/����T �����(�����%����

A>�����'������"���>�/" ��&�I���������;��/�����������+�= ��5����. �������8����2������#�������F���

��K����P���&���2�����

�����������!��" ���T �������������U �/��3#��1,4��14#�

��&�8�2�����������;��/�

17 21 217 18 25 21 19

K� �� �= � �� �� ���

��������������!����45�"���2���������*�#�������%&�"����5�;��/�'�*�6�� ������8�5����V��8�5�

����#3�������. ���(�����5����� ��������7���K����P���

H������������������������� ��3����(�����3��*�3#��� ���&��#�!��" ���T ��������

���

1 11 1 12 2 13 3 (mod 26)c k p k p k p= + +��

��%�3���%�����#����1���2������

��%������%�1����������1���2��

����������%���1��2������1���2����

2 21 1 22 2 23 3 (m od 26)c k p k p k p= + +�������������&�������������1���2���

���������&�'��1��2�������1���2��

3 3 1 1 3 2 2 3 3 3 (m o d 2 6 )c k p k p k p= + +��

���������������������'�������1��2����������������������������������������������������������������������������������������������������

���������������

��������������2��&2��1��2���&��1���2�

���< ���D���������� �� ������� ������:���5��������� �����

L

N

S

� �� �� �� �� ���

1 11 31 8

� �� �� �� �� �M

1

2

3

c

c

c

� �� �� �� �� ��

�H������%2R���V��������������%����(����� ��3������4%����������������@&��!��@" ���T ������1,����D����*�#3���:5��1���= /��A��1�����

1

2

3

c

c

c

� �� �� �� �� �

7311

H

D

L

� � � �� � � �= =� � � �� � � �� � � ��

H������%2R���V����������������������� ����������4%���4���1��= /��A��1����!��" ���T �����5�����. ��12�����D�������

4225

E

W

M

� � � �� � � �=� � � �� � � �� � � �M

1

2

3

c

c

c

� �� �� �� �� ���

�H������%2R�����2������������������� ����� (��������4%��C��23��4�#���A��1����!��" ���T ��������D����. ��12���= /���

����

1

2

3

191722

c T

c R

Wc

� � � � � �� � � � � �= =� � � � � �� � � � � �� � � �� ���

�&�*1����!��" ���T ����A>������� ����/����T �������D�������7������������$67.8$9: ;<=:�

��>�/" ��� ��5�8��2���:������$>����#� �1�������. ��12���= /��A��1��8�� �%��:���!< ������

:5������8��2����� ��1k −�!��" ���T ����������D���>��/����T ����*�#+��

���� ������� � ����� HK���T N�" 2��/2�� �7��� ����&�C�/���C�9������ '�8�2��� ���#��9������>�

�������HK���T N�" 2����� ��. ������/2���7�E>�8�����C��� �. �>�/" ���&�C�/���������C�/��

�T ����8��2����8��7���������>�� �����7��7���P6�15>�*����T ����8��2����8��7����< ����9���&

!��" ����

�����3��. �%���&�C�/������������U �/�>��������:���!��" ���T �����-��� ���1�*����T �����7��

�W��K3������� ����1 2( , ,.... )j j j njp p p p=��'1 2( , ,..... )j j j njc c c c=��� ����

?�����@Aj jc kp=

��

����� ��"�����>�/" �� �������E>�:>������X��

( )ijX p=�������'( )ijy c=��

�%6�:>�/" ����� ��B�G����5�'��>�/" ����#�C������2���� ��� ����&��#B���>�< E��$ �%�W��K���T ��!��"Y���>�/" �*�#��" ���*���C������/��T �B��� �5�������9+��

��

��

��

��

�����

��(�������"��1���������� ����'����

�����*#������X�. ��L�����������;��/��������. ��L����������C#��45,�!�� ����;��/��7�>

� ������4!,#05�1� "4#�� ;��/�� G����F��7L?��4!,#05�1� "4#���#� �(#?�� � �� ��������

�&�����������;��/��0D�/�!�"4#����2V��*�#�� �2���������" �" 2���;��/��0,�-54�"4#+���

�������;��/�������������N1�2�8�&�/�C�#�*�6�S����P�� �����

���3�������������*���������������������� ��������;��/������������&�������+���9������>

��������� �8K������������������*�#��;��/�����1�*�#������H���43��3������(�0�4,�+�P

���8&�� �&���������������;��/��� �������� �����5���� �������������� ������� ���������� ����

*�������������5��L������K����2V��+��

��������. ����8�#�� �&����5��������;��/��� ���������&��������Z1�2���8�7/������������7�+

�P�:�E>��&�����������;��/��������W%���*�#��������������������� ��>�G�5�9��= ���8( ����%&�

���������R��[����������9��������$ ��&�����������������9��7�G����'��;��/������������. ����������

�. �" ���9�. �� ������Y���5��-����9������9������. �5��1���!���/���C���E��������;��/�������+��

�����" � �� 3�� � ����� �� ������� *�#� �F���� ������ �� ������ ;��/��� ����� 8�7/� A�1�� �5�

�����5��������������5>������+��������A>��!���/���HK��� �1���� ���!���/���HK����&�*��3���� ���

��K ��8��2����������� �7����;��/���8�5����3������" ��� �����5������� ���!���/��>� '!���/���HK�

��\��5��C��9� �1������%&��C������N�������5 ��]�9��&�����������HK���+��� ��5�: ��5E�4/��

8 �EE�4��������;��/��� ��������/�� ��� ���� ����$ ����P��;,5��.4/���������>� �&( �

75E1,��� '� �&� ���������3�� �&����� �6�� �$�P�" �P� ������ ������*�#�L�/����*�#�C��5��

��7/" �8�EE�4�')�79���2��� ��P������. ��L�����1���$ �%�� �����:�#� ���4%��� �̂�����+)��

������

� �7��� >������ �������� �� ���8�EE�4��. �� ������ �����3�� ����C�N�#���X�. �� ������)���9�����

��9���� )8��2����� �%6��������G�< ���� ���_ ����� ������>�15>�= ����G�#������ ��!�" ��� ������

�" �2���� ��������� � ��&3�� '�$���� �N>� � ��9���� *�6� W����� AN������� ������ �?�� �N����� �&��#

��9�����AN�������>���2���)�*��+� ��13���������5���1������ ���/�� ����5��1���S%&�+��R�

�����" R�� �� G����� ���� �1� �%&� O���� T 2�� ��9� �� �7���6� 8�� ��9���� ���� '�:" N�" 2�

:�������+��

�8�#��>�G��L#�G�9���2�����&���/���A5���5��'%2������������ ���� ��� �. ����5��1�H�����

���������3����5�����(2���������5�����. ����5��������#��� �� ����/��2�. �� �5�

�������&�������5�����������������5�������;��/�����������#���

-��5���������N�������7L?����������8�2����!���/�W�K������� ������>����7����L��� +��

-� �����8�#�����>�:�< ����7�����;��/��������L��� �+������;��/����&��%&��'�����

�*5��G����A>�����;��/��+�

-� X���%6F�*�6���������E�G�'�;��/�G��2����������̀�a�G������+�

-���5�b�� ���#G�������� '� ;��/� G��2�� �&�7L�G��" �" 2��� '�:� �� �2\���5�� �����P�

��3����������7L6G��;��/�� ����15>G��" �" 2��+�

����5���S%&���'��� ��13������������!���/���*�6���" �����7� �'���" �" 2���!���/�������

C���*�#�� �1�� ���9���G�����. ��a�� '��K���*�6�W�����P�$ �%��� +���L���� ���*�6� �>�< 6

������ ����2������7��" ������" �" 2����7����/��8 ���+��

�/��� ������ . 9�� 4 �� �>� �" �" 2��� ;��/��� ��F�� ��� ��L���� � ��A>����� ������ ;�

�������7���/�������+�������5������������>�8�2����;��/���*�6�G��#����������P������K������

�4��;��/ 74!,45��4#�'���#�;��/ ��7��6������������;��/������������2���������/���

��-��

3D�/�!��4#���" �" 2�;��/�3,�-54��4#�'�� ����:��6������� ��G����*5����" �" 2���;��/���8N��

�����5�������������= ����P�� �����4��;��/�*�6��>�< 6��" �" 2�;��/ +��

�������, 8������� ����(0� ���(�/���� �/��������

���������5�������P�=7F��������" 3��A�5���!����P�[��� ���$ �%��15>�������(#6�

�����7�6��. ��������������1���T 2��4 ���E>�����������������;��/+��

� ������ ����S%&�*�#� �F���$ �%����8�5�����?�� �̂����������������7�����" �P���[����L�������

8�2����FGP����!��" ���T �����������9���;�:��������4����8F��;�8��%/���9G������������

���*����T ��9��F�" ���������(�9G��8F�;����

���5������8�2����8�5��G%�/�����4 ����:�����8G�GP����%�/����$ �%�������� �1������" ����� R���8�

������9F��������!��" ���T ������������������;�*�#�� ������

;���9F��8G��(�����9F��8G��9G��8F�;���

�3��� $>�� ������� ���#���������� ����� �12� �E>� G�������=7F�� ������������ ���� �� ����

�8�2��� �����" 3���F�" ��������*�#� F��������������� �������$>�� 4F�� �F*�#�� ������

�8�2���������F4F��F��Q�8�#�����+��

$ �%��������������#��8���������9F����#��8�2����L/����$ �%�F�@ ���8F*�#�����S����#�+��

��8�2����1���G�����������������;*�6�F��" ������������*�#�9F���������� ��C����������

� ����������������9F��;����;4F��1��4JF���;�

4%�����8�2�����7�����F��������4 ����:�����8F��

8F�9�;�����;4F�F��1��F���;�

9�����������1���F������9������������;����*�6�G���E����������� �����*������

8F�;����;�F��1��F�

�-��

��������7�9���GG��2���������F������9F���

9F�8F�;�����;�F4F��1��F���;�

:�3���A�1�������1�������P8F�Q��F(>�� �������H�K�� ����������>��'�������A��2������G�

��F��1��>��7�����< 5������ ����� �1+��

K������ ���#� ����" ��� U ��W������. (����� A��1�� 4���< ��� �� :�3� G��� ���" 3��� ������ *�6

�. (�����������/��2��GP���A���$ �%�*�#+��

� �>�����F�������*�6���9������G��E>�F� ���� ��������

�����8F�����(���9G��

�%E>���� Gc��F�E>��< ��������. �#������8F���9��������>��� ��P���G�����>�������G+��

�7��K�2������������E>�GP��� ��� ��%N��#�G(����!�" ���9�:�3��� �������������������" 3�����

��X��" �C��#6��&�������8F���+��

!< ���������������. /����:����� ����X��" ���C��#6� ������ ��������������9�8��2�������

��G(��������������� ����#�����. (��������������9F���8F��� ��d�d���� ���������

F�������*�6���9������G�E>�F� �����

(���9G���8F������

�������3��7����� �G�d�d�6 ��������GT �2���;T �/������9���F ������

9F����8G����(������9F����8G����9G����8F����;��������9F����8F����;����

��;� �

%6��������H�K���7LG���F�������9������" ��F ��>�U �9��� ������� ����� �1���*�#�����9

� ������� �R�� 8K���;C���"���#F��%6���� �Gd� � F�E>�G�A�1���*�#�T �2��� :������ (�8�5���

��< �5���B�8G�(��;'�� ����< �5���;�9F�B�+��

�-���

G��2���������F�������������A5�����;���;�%6����� Gc� �F:�E>��8�7/�*�6�W������

�4 ������3��2\�8G ��������A�1�����9F�9���P X��G��>��8��5��8G*�6���*�6���������������< �5��

G��&�5�������< �5���8;��'�(�� ����< �5�����

B���9G��;���B��9F�(���9F��8F���9F�������

8��2��������� ������G�'�F�A5����������B��B��

�>�� ��[���C�� %����������� �7��%� �&� ��9�� ������ �K(��� ��K2���� . ���1�� �� �� S(#�

���������9������X'����9������X���������7�>��K2�������. �5��1�����>�:�E>��% &�����"��T � ���

���5����K2����. ���1��H����� ����Q�2���5��1��*��*�6�����*��/�<�����������K2�

�1F< ��&�= ������KF����:/" ��4%������������&��/����9������X���������" �2�T 2��*�6���4C5�

�7��15���� ��9��� 8�� ��T 2����� ����� ���� �� ��K2���� . ���1�� �K�2�� �%&� �" �2���*�6� ��9�

��������#��8����+��

���

�������III���

��

�������� ���� ������ � ����������������������������GF(2) ��������������������

PETERSON'S TABLE OF IRREDUCIBLE POLYNOMIALS OVER GF(2)

DEGREE 2 1 7H DEGREE 3 1 13F DEGREE 4 1 23F 3 37D 5 07 DEGREE 5 1 45E 3 75G 5 67H DEGREE 6 1 103F 3 1278 5 147H 7 111A 9 015 11 155E 21 007 DEGREE 7 1 211E 3 217E 5 235E 7 367H 9 277E 11 325G 13 203F 19 313H 21 345G DEGREE 8 1 435E 3 567B 5 763D 7 551E 9 675C 11 747H 13 453F 15 727D 17 023 19 545E 21 613D 23 543F 25 433B 27 477B 37 537F 43 703H 45 471A 51 037 85 007 DEGREE 9 1 1021E 3 1131E 5 1461G 7 1231A 9 1423G 11 1055E 13 1167F 15 1541E 17 1333F 19 1605G 21 1027A 23 1751E 25 1743H 27 1617H 29 1553H 35 1401C 37 1157F 39 1715E 41 1563H 43 1713H 45 1175E 51 1725G 53 1225E 55 1275E 73 0013 75 1773G 77 1511C 83 1425G 85 1267E DEGREE 10 1 2011E 3 2017B 5 2415E 7 3771G 9 2257B 11 2065A 13 2157F 15 2653B 17 3515G 19 2773F 21 3753D 23 2033F 25 2443F 27 3573D 29 2461E 31 3043D 33 0075C 35 3023H 37 3543F 39 21078 41 2745E 43 2431E 45 3061C 47 3177H 49 3525G 51 2547B 53 2617F 55 3453D 57 3121C 59 3471G 69 2701A 71 3323H 73 3507H 75 2437B 77 2413B 83 3623H 85 2707E 87 2311A 89 2327F 91 3265G 93 3777D 99 0067 101 2055E 103 3575G 105 3607C 107 3171G 109 2047F 147 2355A 149 3025G 155 2251A 165 0051 171 3315C 173 3337H 179 3211G 341 0007 DEGREE 11 1 4005E 3 4445E 5 4215E 7 4055E 9 6015G 11 7413H 13 4143F 15 4563F 17 4053F 19 5023F 21 5623F 23 4757B 25 4577F 27 6233H 29 6673H 31 7237H 33 7335G 35 4505E 37 5337F 39 5263F 41 5361E 43 5171E 45 6637H 47 7173H 49 5711E 51 5221E 53 6307H 55 6211G 57 5747F 59 4533F 61 4341E 67 6711G 69 6777D 71 7715G 73 6343H 75 6227H 77 6263H 79 5235E 81 7431G 83 6455G 85 5247F 87 5265E 89 5343B 91 4767F 93 5607F 99 4603F 101 6561G 103 7107H 105 704IG 107 4251E 109 5675E 111 4173F 113 4707F 115 7311C 117 5463F 119 5755E 137 6675G 139 7655G 141 5531E

���

147 7243H 149 762IG 151 7161G 153 4731E 155 4451E 157 6557H 163 7745G 165 7317H 167 5205E 169 4565E 171 6765G 173 7535G 179 4653F 181 5411E 183 5545E 185 7565G 199 6543H 201 5613F 203 6013H 205 7647H 211 6507H 213 6037H 215 7363H 217 7201G 219 7273H 293 7723H 299 4303B 301 5007F 307 7555G 309 4261E 331 6447H 333 5141E 339 7461G 341 5253F DEGREE 12 1 10123F 3 12133B 5 10115A 7 121538 9 11765A 11 15647E 13 12513B 15 13077B 17 16533H 19 16047H 21 10065A 23 11015E 25 13377B 27 14405A 29 14127H 31 17673H 33 13311A 35 10377B 37 13565E 39 13321A 41 15341G 43 15053H 45 15173C 47 15621E 49 17703C 51 10355A 53 15321G 55 10201A 57 12331A 59 11417E 61 13505E 63 10761A 65 00141 67 13275E 69 16663C 71 11471E 73 16237E 75 16267D 77 15115C 79 12515E 81 17545C 83 12255E 85 11673B 87 17361A 89 11271E 91 10011A 93 14755C 95 17705A 97 1712IG 99 17323D 101 14227H 103 12117E 105 13617A 107 14135G 109 14711G Ill 15415C 113 13131E 115 13223A 117 16475C 119 14315C 121 16521E 123 13475A 133 114338 135 10571A 137 15437G 139 12067F 141 13571A 143 12111A 145 16535C 147 17657D 149 12147F 151 14717F 153 13517B 155 14241C 157 14675G 163 10663F 165 10621A 167 16115G 169 16547C 171 10213B 173 12247E 175 16757D 177 16017C 179 17675E 181 10151E 183 14111A 185 14037A 187 14613H 189 13535A 195 00165 197 11441E 199 10321E 201 14067D 203 13157B 205 14513D 207 10603A 209 11067F 211 14433F 213 16457D 215 10653B 217 13563B 219 116578 221 17513C 227 12753F 229 13431E 231 10167B 233 11313F 235 11411A 237 13737B 239 13425E 273 00023 275 14601C 277 16021G 279 16137D 281 17025G 283 15723F 285 17141A 291 15775A 293 11477F 295 11463B 297 17073C 299 16401C 301 12315A 307 14221E 309 11763B 311 12705E 313 14357F 315 17777D 325 00163 327 17233D 329 11637B 331 16407F 333 11703A 339 16003C 341 11561E 343 12673B 345 14537D 347 1771IG 349 13701E 355 10467B 357 15347C 359 11075E 361 16363F 363 11045A 365 11265A 371 14043D 397 12727F 403 14373D 405 13003B 407 17057G 409 10437F 411 10077B 421 14271G 423 14313D 425 14155C 427 10245A 429 11073B 435 10743B 437 12623F 439 12007F 441 15353D 455 00111 585 00013 587 14545G 589 1631IG 595 13413A 597 12265A 603 14411C 613 15413H 619 17147F 661 10605E 683 10737F 685 16355C 691 15701G 693 12345A 715 00133 717 16571C 819 00037 1365 00007 DEGREE 13 1 20033F 3 23261E 5 24623F 7 23517F 9 30741G 11 21643F 13 3017IG 15 21277F 17 27777F 19 35051G 21 34723H 23 34047H 25 32535G 27 31425G 29 37505G 31 36515G 33 26077F 35 35673H 37 20635E 39 33763H 41 25745E 43 36575G 45 26653F 47 21133F 49 22441E 51 30417H 53 32517H 55 37335G 57 25327F 59 23231E 61 25511E 63 26533F 65 33343H 67 33727H 69 27271E 71 25017F 73 26041E 75 21103F 77 27263F 79 24513F 81 32311G 83 31743H 85 24037F 87 30711G 89 32641G 91 24657F 93 32437H 95 20213F 97 25633F 99 31303H 101 22525E 103 34627H 105 25775E 107 21607F 109 25363F Ill 27217F 113 33741G 115 37611G 117 23077F 119 21263F 121 31011G 123 27051E 125 35477H 131 3415IG 133 27405E 135 34641G 137 32445G 139 36375G 141 22675E 143 36073H 145 35121G 147 3650IG 149 33057H 151 36403H 153 35567H 155 23167F 157 36217H 159 22233F 161 32333H 163 24703F 165 33163H 167 32757H 169 23761E 171 24031E 173 30025G 175 37145G 177 31327H 179 27221E 181 25577F 183 22203F 185 37437H 187 27537F 189 31035G 195 24763F 197 20245E 199 20503F 201 20761E 203 25555E 205 30357H 207 33037H 209 34401G 211 32715G 213 21447F 215 27421E 217 20363F 219 3350IG 221 20425E 223 32347H 225 20677F 227 22307F 229 33441G 231 33643H 233 24165E 235 27427F 237 24601E 239 36721G 241 34363H 243 21673F 245 32167H 247 21661E 265 33357H 267 26341E 269 31653H 271 37511G 273 23003F 275 22657F 277 25035E 279 23267F 281 34005G 283 34555G 285 24205E 291 26611E 293 3267IG 295 25245E 297 31407H 299 33471G 301 22613F

����

303 35645G 305 3237IG 307 34517H 309 26225E 311 35561G 313 25663F 315 24043F 317 30643H 323 20157F 325 37151G 327 24667F 329 33325G 331 32467H 333 30667H 335 22631E 337 26617F 339 20275E 341 36625G 343 20341E 345 37527H 347 31333H 349 31071G 355 23353F 357 26243F 359 21453F 361 36015G 363 36667H 365 34767H 367 34341G 369 34547H 371 35465G 373 24421E 375 23563F 377 36037H 391 31267H 393 27133F 395 30705G 397 30465G 399 35315G 401 3223IG 403 32207H 405 26101E 407 22567F 409 21755E 411 22455E 413 33705G 419 37621G 421 21405E 423 30117H 425 23021E 427 21525E 429 36465G 431 33013H 433 27531E 435 24675E 437 33133H 439 34261G 441 33405G 443 34655G 453 32173H 455 33455G 457 35165G 459 22705E 461 37123H 463 27111E 465 35455G 467 31457H 469 23055E 471 30777H 473 37653H 475 24325E 477 31251G 547 35163H 549 33433H 551 37243H 553 27515E 555 32137H 557 26743F 563 30277H 565 20627F 567 35057H 569 24315E 571 24727F 581 30331G 583 34273H 585 23207F 587 31113H 589 36023H 595 27373F 597 20737F 599 36235G 601 21575E 603 26215E 605 21211E 611 20311E 613 34003H 615 34027H 617 20065E 619 22051E 621 22127F 627 23621E 629 24465E 651 26457F 653 31201G 659 34035G 661 27227F 663 22561E 665 21615E 667 22013F 669 23365E 675 26213F 677 26775E 679 32635G 681 33631G 683 32743H 685 31767H 691 34413H 693 22037F 695 30651G 697 26565E 711 22141E 713 22471E 715 35271G 717 37445G 723 22717F 725 26505E 727 24411E 729 24575E 731 23707F 733 25173F 739 21367F 741 25161E 743 24147F 793 36307H 795 24417F 805 20237F 807 36771G 809 37327H 811 27735E 813 31223H 819 36373H 821 33121G 823 32751G 825 33523H ...............................

��

References

[1] KOBLITS. N, 1994- ”A Course in Number Theory and Cryptography”,

Springer- Varlag.

[2] Koch, Helmut, 1997, "Algebraic Number Theory, " Springer, Verlag,

Germany, 269p, 2nd Ed.

[3] D. Cox, J. Little, and D. O’Shea. Using Algebraic Geometry. Springer-

Verlag, NewYork, 1998.

[4] Berlkamp, Elwyn. R 1968, "Algebraic Coding Theory, " McGraw-Hill,

USA, 474p.

[5] Burton, David .M. 1999, "Elementary Number Theory, Second Ed"

UBS- India,458p.

[6] WASHINGTON .L.C, 2003-�Elliptic Curves: Number Theory and

Cryptography�. CRC Press.

[7] R. Lidl and H. Niederreiter. "Introduction to Finite Fields and their

Applications" . Cambridge University Press, Cambridge, London,

1994. Revised edition.

[8] Menezes. A, Blake. I, Gao. Sh, Mullin. R, Vanstone. S, Yaghoobian.

T, 1993-“applications of Finite Fields”, Kluwer Academic Publishers.

[9] Gaudry. P, Harley .R, 2000-” Counting points on hyperelliptic curves

over finite fields”, Algorithmic Number Theory ANTS –IV,LNCS

1838, 313-332.

[10] W. Wesley Peterson, E. J. Weldon, Jr,1972,"Error-Correcting

Codes",2d.

[11] Pfleeger .C , 1997- “Security In Computing”, Prentice-Hall.

[12] Joachim Rosenthal , "A Polynomial Description of the Rijndael

Advanced Encryption Standard", 2003

[13] Kreher, D; Stinson, D, 1998-“Combinatorial Algorithms: Generation,

Enumeration and Search”, CRC Press.

[14] Koblitz. N, 1998- “Algebraic Aspects of Cryptography”, Springer-

Varlag.

[15] H.Jeffrey,P. Jill ,H.S.Joseph ,2008,"An Introduction to Mathematical

Cryptography" Springer,USA,533p.

[16] Menezes. A; Oorschot.P; Vanstone. V, 1996- “Handbook of Applied

Cryptography”, CRC Press.

[17] Denning, Dorothy .E, 1982, "Cryptography and Data Security, "

Addison-Wesley, (USA-Canada),409p.

[18] W. Trappe and L. C. Washington. "Introduction to Cryptography with

Coding Theory".Prentice Hall, Upper Saddle River, New Jersey,

2002.12

[19] Stinson. D, 1994- “Cryptography: Theory and Practice”, CRC Press.

[20] Schneier. B, 1994-”Applied Cryptography”, John Wiley & Sons, Inc.

[21] Stallings .W, 2004-“Cryptography and Network Security”, Prentice-

Hall.

[22] HIOKI. Warren, ‘Telecommunications’, Prentice-Hall, 1998, 3 ed.

[23] E. Biham and A. Shamir, "Differential cryptanalysis of DES-like

cryptosystems," Journal of Cryptology, Vol. 4, No. 1, 1991, pp. 3-72

[24] E. Biham and A. Shamir. "Differential Cryptanalysis of the Data

Encryption Standard". Springer-Verlag, New York, 1993

[25] J. Kelsey, B. Schneier and D. Wagner, "Key-schedule cryptanalysis of IDEA, GDES, GOST, SAFER, and Triple-DES," Advances in Cryptology, Proceedings Crypto '96,LNCS 1109, N. Koblitz, Ed., Springer-Verlag, 1996, pp. 237-252.

[26] KOCHER P.C., 1996- “Timing attacks on implementations of Diffie–

Hellman, RSA, DSS, and� other systems”. Springer-Verlag, LNCS

1109, 104–113.

[27] ELGAMAL .T, 1985-”A public key cryptosystem and a signature

scheme based on� discrete logarithms” IEEE Transactions on

Information Theory, 31,469-472

[28] Piper, F; Blake, S; Mitchell, J, 1999-”Digital Signatures: Security and

Controls”, ISACF

[29] Stallings. W,"The Advanced Encryption Standard,Cryptologia", July

2002.

[30] National Institute of Standards and Technology(NIST). "Advanced

Encryption Standard". FIPS 197. 26 November 2001.

[31] Brian R. Gladman ," Implementation Experience with AES Candidate

Algorithms". Second AES Conference, Rome, Italy, March 22-23,

1999.

[32] Daemen, J., and Rijmen, V. "AES Proposal:Rijndael" , Version 2.

Submission to NIST, March 1999.

[33] J. Daemen and V. Rijmen. "The Design of Rijndael: AES – The

Advanced Encryption Standard". Springer-Verlag, Berlin Heidelberg,

2002.

[34] J. Daemen and V. Rijmen. "Answers to New Observations on

Rijndael". NIST, August 2000.

[35] N. Ferguson, J. Kelsey, B. Schneier, M. Stay, D.Wagner, and D.

Whiting. "Improved cryptanalysis of Rijndael". In B. Schneier, editor,

Proceedings of Fast Software Encryption 2000, LNCS , pages 213-230,

Springer-Verlag, 2000.

[36] N. Ferguson, R. Shroeppel, and D. Whiting. "A simple algebraic

representation of Rijndael". In S. Vaudenay and A. Youssef, editors,

Proceedings of Selected Areas in Cryptography, LNCS, pages 103-111,

Springer-Verlag, 2001.

[37] H. Gilbert and M. Minier. "A collision attack on seven rounds of

Rijndael". Third AES Conference, April 2000

[38] S. Lucks. "Attacking seven rounds of Rijndael under 192-bit and 256-

bit keys" .In Proceedings of Third AES Conference, April 2000.

[39] Sean Murphy and Matthew J.B. Robshaw, "Essential Algebraic

Structure Within the AES", University of London, 2005.

[40] SCHOOF R., 1995- ” Counting points on elliptic curves over finite

fields”. J. Th´eor. Nombres�Bordeaux, 7, 219–254.

[41] Koblitz, N , 1993 -”Introduction to Elliptic Curves and Modular

Forms”, Springer-Varlag.

[42] BLAKE I.F.; SEROUSSI G.; NJGEL SMART P., 1999-”Elliptic

Curves in cryptography”. Cambridge�University Press.

[43] BLAKE IAN F.; SEROUSSI G.; SMART NJGEL P., 2005-

“Advances in Elliptic Curve Cryptography”, Cambridge University

Press, Cambridge.

[44] GGAUDY. P, 2000- “An algorithm for solving the discrete log

problem on hyperelliptic curve”.Advances in Cryptology –

EUROCRYPT, LNCS 1807, 19-43.

[45] Blake, Ian F; Seroussi, G; Smart, Njgel P, 1999 - “Elliptic Curves in

Cryptography”, Cambridge University Press, Cambridge.

[46] KOBLITZ, N, 1987- “Elliptic curve cryptosystems”, Mathematics of

computation, 48, 203-209.

[47] Menezes, A, 1993- “Elliptic curve Public key Cryptosystems”, Kluwer

Academic Publishers.

[48] H. Al-Najjar, A. A. Shaar, M. EB. Al-Muhammad "Employment of

"CDMA" in development of Contention Resolution Algorithms in HFC

Networks ", R.J.of Aleppo Univ, Basis Sciencec,No. 37 ,2002.

[49] H. Al-Najjar, A. A. Shaar, M. EB. Al-Muhammad " Employment of

the Arithmetic over finite fields�(Galois field GF(P)) in improvement of

�ECC� Algorithm",R.J. of Aleppo Univ, Basis Sciencec, No. 75 ,2011.

[50] H. Al-Najjar, A. A. Shaar, M. EB. Al-Muhammad " Improvement on AES Algorithm (Rijndael) Through Using Matrix Inverse and EC Mathematics Over Finite Fields" , R.J. of Aleppo Univ, Basis Sciencec, No. 76 , 2011.

[51] ���������������� ��� �������

[52] ���������������������� ��������������� ��

[53] ������� �������� ������� �������������� ���� ��

[54] ��������������������� ��������������

[55] ������������������������������� ����������������������

[56] ����������������������������������� ���� ��

[57] ��������������������� ���������/���

[58] ����� ��������������� ��!�����"����#���#��$%&�#��'$%&������

���������������

������������ ������ �� ��� ����� �������� � ����� �� � ���� ������ �!��

"���#�� $ ������ %&' ��( �� ) � $ ������*����� � &� "��� + ��� "&�� "&,&,

�-� ��� "�,�,.� ��&���/�� /� �

2 � ���������� ������ �� �� � ����� �������� � �� �0 ����� � �,��� �!��

��&�&�1� ������ "��� "�����* 2�,��� ���� �,�,.� ����3 45�� � "&�

� &� "��� + ���� �-� ��� "�,�,.� ��&��� "&,&,/75 /� 2011�

-3 ��������� � ������ �� ��� ����� �������� ������� "�����* 2�,��

AES 4�5��� �� ��&�&�1� ������ $ ��0 ���� "��6( � �&5 ��#6 ��*�,��

7���� �� � &� "��� + ��� "&�� �-� ��� "�,�,.� ��&��� "&,&,/76 / �2011�

� �

�� �� �

� �

� �

� �

� �

� �

� �

��

� ������

�8�#8� �� $ ��8�9,�� 7��*.� $ ��6- "&:�� ����� ;2< <$ ��=�8�8��� �� 4� <$ >�� �87�? ����

@�( �( * �� 45� <"��5� $ �? �&��� $ >�? ( �>�� � A �B? � $ ��?( � $ �? �&��� "?�-���

$ >�( �>�� �#'����� 9� ( ' <7����� �<"����� �����' �,�,.� � B�� %�;�� C�&' � &3� � D��?&E�� �

$ �5���� 8$ ������ 8$ ����1�� $ ���� 4��� F��, �@�� �B� "������ "��<�� 4G HB� <$ �5������

$ ��( �7���� �E� �I&8� $ ������* "����� @��� @��,�:� �� "!�� 2� <$ ��&��� � "#� 2

DJ�*�� HB� <$ ������*�� EA&#�,8� "�� "=�� ��( ��*�,� 2 � �,����� 4G 2� 7��

"������ �<"������ ����7���B ��� "-��<"����� �$ ���� $ ����5�� <$ ������*� "?����� �? �

K�0 �� <"6&�* L4M�� "�����* 4G .����D� <"6&�*�� ;2< N4?8�M� �<$ �? ������ K��? �� �� <$ �? ����

���<"6&�* AO#�,� <"������� �D�:���#��� ��� &�* P���6&� @���*�� "'�, "����� ��#!1�� �

%����QN:��8� <7������ ) ;�9�� "����� L4M� "�����*�

=2� 2���( �*�� 92���,�:��� ���&2� 2����� D2��=�M�� 8"�����* "��� ;2' J�*� �� �#8��-

%&' 2�R� <$ ������� <"���� =0 <$ ��#�� �#<�'�,� �#<�S�6�� ���5��� A �B� �$ ������* <"�����

I$ ��8� ;2< �G�� 9F�0 ���� �"��� �#� I$ ��8� "�� @�� ��G�� 2? <S�? &��� �2�G��? ���� 2.

"����� <"�����*&�� "�R, "����0 <S�. � &3� �<$ ��&��� %�� <$ ��&��� <7��T?( �� @�?� �

"( �*� $ ������* "����� �A �B� 8$ ,=�M� ���� ;2< <+ ����� <$ �,��<��� *> K��?� ��? �����

$ ������* �7�� + ��� � ,��� <$ ��&�� �B� �D�( ��� "'�,��� �?��� �<$ �? ������ 2? ��

<$ ��&��� D������ �B� DK�0 ����

�&' "����� C8� U���� 4��� �<��9,� � "����� �� 4���� �B� �� 4' 2� ����? 8� A?:���

2�<������ �DV ����� ��"*�� "�,��&��� ���@��E' "���� ���&� "����� "��� 4��,� 7�R�

"��<�� D���,.� <$ ��������,1�� "������� �#�M",�� <$ ���5��� <"�0 ����� ���� W?X&�8�� <$ �?,�

D2� <$ ��&��� 4G �<"=��,�� "O, �<$ ������� WY5���� 2 �D2����� WY5����� 2 N4( � <$ ��������

K�0 � A �B� �� ���<$ ������* "����� ZCAs [E�9�8��� ;2< DF�0 ���� �G�.� @"��� ��

$ ��8�9,�� �7��*.� A �B� � �,� D������ D������ DF��,��� �� $ >�( �>� � �,������ �<$ �������

"������ D2. <$ ��&��� <W��� <"��� <$ ������� ZW�� "������[

"�0 ��� "�6&* ������ "���� ����� E) ��6� N\��5&� � 2�� �&9��#6�� 9�,�,.� �? ']�

<"���( �� Z^ ��- n ["( �*� 4�5���� ZGF(Q �#�&' $ ��&���� ���� $ ���G�� ��2 "&G�

N4�5��� �'.� 8"�X���� �'.�� 8"���( �� ^ ��- p) p ' ���� �[45���� �� "'�� 2?

�( ����� ���� E2<�;E� ;2_� ��� #�&'� 2���&' ZF� � �0 � [ ? ����� �?( ��' J �?*� �? �

<"'���� � ���� "��0 ��( �' � ��� "�,���� F�&� Z�� `�6( `[� ���� �( �' � �? ��

"�,���� � �0 &� Z`���` �[A ���� ��!��� Za -�� ���[� A ���� ^ ����� ���0 �� Zx-1 [L4M��

�'.� �'� ��� ��� "�,���� F�&� Z�'� `�6(`�[ $ �B "�?,�,.� $ ���!��� ) ��� "��0 �

�'.� "��!� �� "&( ���

+ ?�� �?*b �( ' 2 2��� F ���� 5� "����� �&�� "�,���� �� E��?�M� $ �? ����

"���,O��� %�� <$ ���5� "����� ���� I$ �9�;( _� 87��#� ���� �$ -��� ����� $ �� @��' 4�-

( ��� ���G�� 2 D2�5�� D2������ Z2��,�� $ �: 4�- �#0 ��� �[���� ;2< <$ ���5��� <"���,O���

�� �� "0 �'� "<��,� �� N4��� F0 ��� <��,��� � ��$ ��� 4���� �E2�E� ;2_� 92�M�8� �=� 2?

�� K����4G�� �_� 4G�� ��T��Zc��6 =��'[ � -�I$ ,=�M� ��G��� ;2< <+ ���.� �� �B?� N4?5���

����8�� ������� <$ ������* � ,��� �B� D������ DF��,�� ��5��� <"�����*�� E��8��E� ? �� �?��

<$ �6( ���� =�. "�����* E����� 7�- 7S�6�� �#��

E��8��� "�����* Rijndael J �� ��� <$ ������*�� �� N45� �&' "?������ � Rijndael

$ ���*� ����� D��6�� D�=5� ZAES [$ ��8�� �� 26 �����/2���� ���? XG�� 2001 � ? -�

������ �( "����� "5:�� "99��85E� <$ ��� $ ��� 4���� "������� �J ��� $ ����?( �� �? �

4�&�� "����� D����� D��6���� D�=5��� ZAES [�� ������� 2�� <$ ��&��� �� 2�?&5���,GF(28)

GF(2)�

4��� 2�( �� ����,� 8 ( � 9���� ` �� %'� `S-Box `� � �0 � <"��6?( ��

��� <S���� D�,�:��� ��3 ��D�X�* D��!�� Rijndael� d� 87'.� ? �� 4 4�?�� � �? '

A �B� BI*_R� ^ ���<$ �'���� "=��*�� ��ZGF(28) [D�( ���&� �� L4M� �'�

�� �B� �+ ���� �8�,�9 8$ �6( �� �"�����*�� $ ���*��� �"6<&8�I*E�� $ ��&���� ���� ���� �? �

�<"�����*�� $ ��&���� �� <$ ��0 ��� $ ������� �"��&�&�1� =�G ���( 5� @���,�� %&' AES 2

4O* ��*�,� <$ ��0 ��� $ ������� "��&�&�1� �� �C<�O���� 4���� a �* �? � ̂ �? ���� �

� �0 � <"��6( �� �� "��6( d� 7'.� Zmixcolmuns [�� ZGF(28� ��G�� �?�

����� ��� 9�D�� ��9�5�� �.�D2� "�����*�� ���

20 �� + ���� e

• "&���� "�&��� <+ ��&�

• 4( 6�� 4�.� e�B� N4( 6�� MV -��E�e

1 �"��!� <�'.�

2 ���� N4�5��� "�#����

• 4( 6�� ���G�� e�B� N4( 6�� MV -��E� e

$ ������* "�����e

1 �"����� 5���"��& Z$ ���5� "���,O��[

2 �"����� "��&5��� Z$ ���5� "G���[

3 �"��� c��6�� �����

• 4( 6�� + ��G�� e�B� N4( 6�� MV -��E�e

1 ����� D��6���� D�=5��� ZAES[

• 4( 6�� F����� e�B� N4( 6�� MV -��E�e

1 �"��!� %����� &�&�1�<"��

• 4( 6�� ^ �*�� e�B� N4( 6�� MV -��E�e

1 �2�,����

2 ��QN:��8��� �$ ��-���� $ �����->��

� �

� �

� �

��

Summary We testified in the last years immense jumps and many developments in all of the

life domains, specially in a field of the informatics and telecommunications. Therefor

the digital information and the telecommunications and its kinds, became the nerve of

daily life, and the basic support which are built on it most of the sciences. Internet and

networks applications are growing very fast, so the needs to protect such applications

are increased. Encryption algorithms play a main role in information security systems.

On the other side, those algorithms consume a significant amount of computing

resources such as CPU time, memory, and battery power. A comparison has been

conducted for those encryption algorithms at different settings for each algorithm such

as different sizes of data blocks, different data types, battery power consumption,

different key size and finally encryption/decryption speed. Simulation results are given

to demonstrate the effectiveness of each algorithm. .

The two main characteristics that identify and differentiate one encryption

algorithm from another are its ability to secure the protected data against attacks and its

speed and efficiency in doing so. Network algorithms were from most of the topics

importance, which it was very important most savants and the researchers, because a

need of algorithm, a necessary matter for performance most of the processes, until the

very small processes. specially Cryptography Algorithms. Therefor many of researches

and studies has been consecrated for invention a new algorithms, which are suited

with requirements of this age , as the speed and volume of data, and Information

security and development of this subject.

Cryptography has a long and fascinating history. The predominant practitioners of

the art were those associated with the military, the diplomatic service and government

in general. Cryptography was used as a tool to protect national secrets and strategies.

Cryptography is the study of mathematical techniques related to aspects of

information security such as confidentiality, data integrity, entity authentication, and

data origin authentication.

The development subject of Cryptography Algorithms (CAs) is considered of the

most important topics in the last years, because of the large and fast development in

the communications, computers and networks, and the need for information security

and data protection methods ( Cryptography methods).

Here we need some mathematical background, which assumes only that the

reader knows the basic concept of integers (mod n). The F in GF(2^8) stands for

Field. Examples of fields are complex numbers and integers mod p (p prime). A field

has a set of objects which can be combined by either of two operations (addition and

multiplication) to produce other objects in the set. There is an additive identity (when

added to a number changes nothing, i.e. ‘zero’), there is a multiplicative identity i.e.

‘one’. There is an additive inverse (minus the number), and there is a multiplicative

inverse (x^-1) for all numbers except the additive identity i.e. except for ‘zero’.

Classical ciphers refers to encryption techniques which have become well-known

over time, and generally created prior to the second half of the twentieth century (in

some cases, many hundreds of years earlier). Many classical techniques are variations

of simple substitution and simple transposition, Block ciphers can be either

symmetric-key or public-key, Some techniques that are not technically block ciphers

are also included here for convenience and context.

A lot of researches have been dedicated in this field for developing and innovating

algorithms suits this fast development. Algorithm Complexity is considered one of the

most important specifications for any algorithm and is efficiency and power standard.

Rijndael is considered one of the most important algorithms in Cryptography field.

Rijndael was chosen as the Advanced Encryption Standard (AES) and published as

FIPS 197 on 26 November 2001. The AES is carefully designed to resist standard

block cipher attacks. One diffculty in the cryptanalysis of the Advanced Encryption

Standard AES is the tension between operations in the two felds GF(28) and GF(2).

We are aware of some attempts where authors tried to explore an algebraic

description of the so called ‘S-Box’, and matrix multiplication the main non-linear

part of the Rijndael system, mixing the 4 columns vertically by taking invertible linear

combinations (in GF(2^8) of the elements in each column.

In this researche, We have studied the specifications, various steps , operations

which done in the algorithm, and operations in EC mathematics, then we Investigating

an improvement on AES through using EC mathematics in its transformations,

exclusively of inversion in GF(28), matrix multiplication in GF(28) (mixcolmuns),

and primitive polynomials, in order to increase the Complexity of algorithm and

more security.

The research consist of :

-The Scientific Problem for the research

-Chapter one: this chapter discusses:

1. Number Theory

2. Finite Fields Algebra

Chapter two: this chapter discusses: �����������������������

Cryptography Algorithms:

1. Conventional cryptography ( Classical techniques).

2. Conventional cryptography ( Modern techniques).

3. public-key cryptography

-Chapter three: this chapter discusses:

1. Advanced Encryption Standard(AES)

-Chapter four: this chapter discusses:

1. The Elliptic Curve theory

-Chapter five: this chapter discusses:

1. IMPROVEMENT

2. Results, Discussions, and Suggestions.

� �

��

��

��

��

Syrian Arab Republic ALEPPO UNIVERSITY

����������� �

��

��

��

��

DECLARATION It is hereby declared that this work ” Investigating an improvement on AES through using EC mathematics in its transformations” has not already been accepted for any degree, and It is not being submitted concurrently for any other degree.

Candidate �������������������������������������������������������������������� Mohammad AL- Mohammad�

� �

� �

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

Syrian Arab Republic ALEPPO UNIVERSITY

CERTIFICATE

It is hereby certified that the work described in this thesis is the result of the author’s own investigation under the Supervision of Dr. Hmdo Al-Najjar (Main Supervisor) Professor in the Department of Mathematics, Faculty of Sciences, University of Aleppo, And any reference to other researcher’s work has been duly acknowledged in the text of the treatise. ��

Candidate Mohammad AL-Mohammad

Main Supervisor Dr. Hamdo Al-Najjar

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

� �

Syrian Arab Republic

ALEPPO UNIVERSITY�������

This Thesis has been submitted In partial fulfillment of the requirement for Ph.D. degree in MATHEMATICS (Informatics) FACULITY OF SCIENCES, ALEPPO UNIVERCITY

��

��

Candidate ��AL- Mohammad�Mohammad��

� �

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

� �

� �

� �

� �

��

��

ALEPPO UNIVERSITY FACULITY OF SCIENCES DEPARTMENT OF MATHEMATICS (Informatics)����

��

��

��

��

��

Investigating an improvement on AES through using EC mathematics in its

transformations ��

��

Thesis submitted for Ph.D Degree in Mathematics (Informatics) ��

��

��

Prepared by Mohammad Al-Mohammad

Under supervision with Cooperation� �

Dr. Ahmad Adib Shaar�����

Retired assistant�Prof, �������������Asad� ������� ��������� ���

Dr. Hmdo Al-Najjar��

Prof, Department of Mathematics, Faculty of Sciences, Aleppo University� �

� �

� �

1432� �

2011��

��

��

� �

� �

� �

� �

��

��

��

ALEPPO UNIVERSITY FACULITY OF SCIENCES DEPARTMENT OF MATHEMATICS (Informatics)����

��

��

��

��

��

Investigating an improvement on AES through using EC mathematics in its

transformations ��

��

Thesis submitted for Ph.D Degree in Mathematics (Informatics) ��

��

Submitted by Mohammad Ibrahim Al-Mohammad

1432� �

2011��

� �