Ajustements 2 non-linéaires

Minimisation du 2

ijj

i

i j

i

i

ii

Ca

xf

a

xfyxf

)(

0)()(

2

On ne peut solutionner analytiquement

Algorithme

• Calcule localement le 2 et son gradient– On calcule numériquement les Cij

• Change les paramètres dans la direction inverse du gradient

• Recalcule et réitère jusqu’à ce que le 2 ne diminue presque plus

Près du minimum du 2

• Développement parabolique

ijji

ji

i jji

jiii

i

aa

aa

aaaa

aa

122

22

2222

02

2

1

2

1

2

1

est la matrice de courbure du 2

lsqcurvefit

• Moindres carrés non-linéaires

• Erreurs non considérées (i = 1)

• On cherche la solution itérativement

• Nécessite un point de départ (ai)

Moindres carrés pondérés

• On construit soi-même le 2

• On minimise 2 avec fminunc

• x = fminunc(chi2,x0)

i i

ii yxf2

2 )(

Distribution 2

• Soit f(x) la vraie fonction,

• Les mesures yi sont en moyenne à une distance i de la courbe

• En moyenne, 2 = n

• Si on refait souvent les mesures, on obtient une distribution du 2

Distribution 2

• Si on réajuste m paramètres de f(x) sur les données,

• Le 2 va diminuer

12

2

2

2

mn

n

2 normalisé

Distribution 2

• La distribution 2 est donnée par

2

2

222

2

2)2(21

22

);();(

)2(2);(

dpP

n

ep

x

Distribution 2 cumulative

Ajout d’un terme ?

• Le 2 s’améliore avec m

• Il faut voir si m + 1 améliore significativement l’ajustement

• On compare 2 pour m et m + 1

22

21

F

Test F

• En fait, on considère l’amélioration relative du 2

• F est petit si l’ajout d’un terme est inutile

2

2

2

22

)1/()(

)1()(

mnm

mmF