Universidade Estadual de CampinasInstituto de Matemtica, Estatstica e

Computao Cientfica

Departamento de Matemtica

Monografia sobre Anis Booleanos e oAnel das partes de um conjunto

ALEX SANDRO FARIA MANUEL

RA 078427

MM 445 - Anis e Corpos

Professor: Dr. Fernando Torres

Outubro de 2013

Campinas - SP

Sumrio

1 Anis Booleanos 2

1.1 Definies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Lemas e Teoremas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Anel Booleano x lgebra Booleana 6

2.1 lgebra Booleana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3 Conjunto das Partes de um conjunto 8

3.1 Existncia e Unicidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.2 Definio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.3 Lemas e Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Referncias Bibliogrficas 12

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Captulo 1

Anis Booleanos

1.1 Definies

Definio 1.1. Um anel R chamado de Anel Booleano se todos os seus elementos so

idempotentes, isto , x R, x2 = x.

Observao 1.1. Seja R um anel Booleano, ento car(R)=2.

Demonstrao. Seja x R. Ento x2 = x e (x+x)2 = x+x x2+x2+x2+x2 = x+x logo

x+ x+ x+ x = x+ x 2x = 0. Ento, car(R)=2. Segue ento que x = x, x R

Observao 1.2. Se um anel R Booleano, ento R comutativo.

Demonstrao. Sejam x, y R. Como R Booleano temos que x2 = x e y2 = y. Agora:

x+y = (x+y)2 = x2+xy+yx+y2 = x+xy+yx+y xy = yx. Usando o lema anterior

temos que x = x e portanto xy = yx.

Definio 1.2. Seja M um ideal de um anel R, com M 6= R. M chamado de Ideal

Maximal de R se sempre que U um ideal de R tal que M U R, ento ou U = R ou

U = M .

Definio 1.3. Seja P um ideal de um anel comutativo R. P chamado de Ideal Primo

de R se ab P a P ou b P , onde a, b R.

2

Definio 1.4. A interseo de todos os ideais maximais de um anel R chamado de

Radical de Jacobson, denotado por rad(R).

1.2 Lemas e Teoremas

Lema 1.1. rad(R) o conjunto de todos os r R tal que 1 rs invertvel direita para

todo s R, onde R um anel associativo com 1.

Demonstrao. r rad(R) se somente se, para todos os ideais maximais M , r M , isto

, 1 / M + rR. Ento r rad(R) se somente se, para todo s R, 1 rs no pertence a

nenhum ideal maximal, logo 1 rs invertvel direita.

Lema 1.2. rad(R) o maior ideal tal que, para todo r rad(R), 1r uma unidade, onde

R um anel associativo com 1.

Demonstrao. Pelo lema anterior, o radical contm todos os ideais que satisfazem a condio

dada. Como o radical um ideal, apenas resta mostrar que 1 r uma unidade para todo

r rad(R). J sabemos que (1 r)u = 1 para algum u R. Ento 1 u = ru rad(R),

portanto u tem uma inversa direita v, isto uv = 1. Logo, v = uv+vuv = uv+(1u)v =

uv ruv = (1 r)uv = (1 r)1 = (1 r) ento u(1 r) = 1.

Lema 1.3. Um subanel de um anel Booleano Booleano. Mais ainda, uma imagem homo-

mrfica de um anel Booleano tambm Booleano.

Demonstrao. Seja S um subanel do anel Booleano R. Ento x S x R x

idempotente S Booleano.

Seja T uma imagem homomrfica de R onde : R T um epimorfismo. Seja t T

ento t = (r), para algum r R. Portanto:

t2 = (r)(r) = (r2) = (r) = t.

Ento todo elemento de T idempotente. Logo, T Booleano.

Lema 1.4. Se um anel R Booleano, ento a nica unidade em R o elemento 1.

3

Demonstrao. Seja x R qualquer e suponha que ele seja uma unidade de R, ento existe

y R tal que x y = y x = 1 x (x y) = x 1 x2 y = x x y = x 1 = x.

Lema 1.5. O ideal prprio M de um anel comutativo R maximal se somente se

r /M x R : 1 rx M .

Demonstrao. Da condio acima temos que: 1 rx = m para algum m M

1 = m + rx 1 M + rR M + rR = R,r / M . Isto claramente equivalente

maximilidade de M .

Lema 1.6. M um ideal maximal de um anel comutativo R R/M um corpo.

Demonstrao. Seja : R R/M um epimorfismo cannico, ento R/M um corpo se

somente se todo (r), r /M uma unidade, isto , (r)(x) = 1 para algum x R, o que

implica que 1 rx M para algum x R, logo M maximal pelo lema anterior.

Proposio 1.1. Seja R um anel Booleano com 1. Ento todo ideal primo de R maximal

em R.

Demonstrao. Seja P um ideal primo de R. Para mostrar que P maximal, ns mostrare-

mos que R/P um corpo.

Seja x+ P R/P onde x+ P 6= P ; isto , x / P . Temos que:

(x + P )2 = x2 + P = x + P x2 x P x(x 1) P . Como x / P e P um ideal

primo, temos que x 1 P . Logo x + P = 1 + P . Portanto, R/P = {P, 1 + P} como

consequncia, R/P um corpo.

Proposio 1.2. O nico anel Booleano que um domnio de integridade o conjunto

Z2 = {0, 1}.

Demonstrao. Seja R um anel Booleano que tambm domnio de integridade. Como um

anel e domnio de integridade, R tem que conter 1 6= 0. Mostraremos agora que os nicos

dois elementos de R so 0 e 1. Suponha a R e a 6= 0. Como R Booleano, temos que

a2 = a, portanto 0 = a2 a = a(a 1). Mas a 6= 0 e R um domnio de integridade, logo

a 1 = 0 = a = 1. Ento R = {0, 1}. O grupo aditivo de R portanto o grupo Z2,

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e a multiplicao est completamente determinada pelas propriedades de 0 e 1: 0 0 = 0,

1 0 = 0, 0 1 = 0 e 1 1 = 1.

Teorema 1.1 (Cauchy). Se p um nmero primo e p | o(G), ento G tem um elemento de

ordem p. Onde o(G) a ordem de G.

Demonstrao. Ver [2] na Referncia Bibliogrfica, pgina 87.

Teorema 1.2. Se R um anel Booleano finito, ento R tem 2k elementos, para algum k

inteiro positivo.

Demonstrao. Suponha que #R = m, onde #R denota o nmero de elementos do conjunto

R. Mostraremos que m = 2k para algum k inteiro poisitivo. Por absurdo, suponha que

#R 6= m, ento m tem um fator primo p diferente de 2. Como R um grupo aditivo temos

pelo Teorema de Cauchy que R tem um elemento x de ordem p; isto px = 0. Como p

mpar, temos que p = 2n + 1. Ento (2n + 1)x = 0 2nx + x = 0, mas como car(R)=2

temos que 2(nx) = 0 e portanto x = 0, um absurdo.

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Captulo 2

Anel Booleano x lgebra Booleana

2.1 lgebra Booleana

A teoria da lgebra Booleana foi criada por Boole na dcada de 1840, e depois foi

refinada por De Morgan, Jevons, Schrder, Whitehead, e outros. O nome lgebra Booleana

foi sugerida por Sheffer em 1913. Foi Stone que descobriu, nos medos de 1930, que a lgebra

Booleana poderia ser tratada como um anel no qual a operao multiplicao idempotente.

Ele introduziu a noo de Anel Booleano e desenvolveu a teoria algbrica bsica de tais anis.

Em particular, ele provou que a classe de anis Booleanos equivalente em definio classe

da lgebras Booleanas.

Hoje, as lgebras Booleanas tm muitas aplicaes na eletrnica. Foram pela primeira

vez aplicadas nos interruptores por Claude Shannon, no sculo XX.

Definio 2.1. Uma lgebra Booleana um conjunto no-vazio A, junto com 2 ope-

raes binrias e em A, uma operao unria , chamadas de encontro, juno e

complemento , respectivamente, e dois elementos distintos 0 e 1, satisfazendo os seguintes

axiomas:

p 1 = p e p 1 = 1 (Leis de Identidade)

p p = 0 e p p = 1 (Leis de Complemento)

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p q = q p e p q = q p (Leis de Comutatividade)

p (q r) = (p q) (p r) e p (q r) = (p q) (p r) (Leis Distributivas).

A partir dos axiomas acima pode-se provar as seguintes leis:

(p q) = p q e (p q) = p q (Leis De Morgan)

p (q r) = (p q) r e p (q r) = (p q) r (Leis Associativas)

Exemplo 2.1. Devido s similaridades entre os axiomas acima e as leis da Teoria dos

Conjuntos, temos que o conjunto de todos os subconjuntos de um conjunto arbitrrio S

um exemplo de lgebra Booleana, onde as operaes unio, interseo e complementar so

semelhantes, respectivamente, juno, encontro e complemento. Temos tambm que o 1

o prprio conjunto S e o 0 o conjunto .

Teorema 2.1. Toda lgebra Booleana um anel Booleano e vice-versa.

Demonstrao. (=) Seja A uma lgebra Booleana. Defina as seguintes operaes para

todo x, y A : x + y = (x y) (y x) e x y = x y. Como a juno e o encontro

so comutativas, associativas e distributivas temos que x+ y e x y tambm so. O zero e o

elemento unidade do anel so os mesmos da lgebra.

(=) Todo anel Booleano com elemento unidade uma lgebra Booleana com as seguintes

operaes: x y = x+ y + xy, x y = x y e x = 1 + x

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Captulo 3

Conjunto das Partes de um conjunto

3.1 Existncia e Unicidade

Na axiomtica da Teoria dos Conjuntos o Axioma da Extensionalidade, ocasional-

mente conhecido como Axioma da Extenso, um dos Axiomas de Zermelo-Fraenkel.

Na linguagem formal dos Axiomas de Zermelo-Fraenkel, o Axioma da Extensionalidade

diz o seguinte:

A,B,A = B (C A C B)

Em outras palavras, dado qualquer conjunto A e qualquer conjunto B, A igual a B se

somente se, dado qualquer elemento C, C um membro de A se somente se C membro de

B.

Para entender este axioma, observe que o que est dentro do parentsis na afirmao

simblica acima simplesmente afirma que A e B tem precisamente os mesmos membros.

Ento, o que o axioma est realmente dizendo que dois conjuntos so iguais se somemte se

eles tem precisamente os mesmos membros. A essncia deste axioma : UM CONJUNTO

DETERMINADO UNICAMENTE PELOS SEUS MEMBROS.

Na matemtica, o Axioma do Conjunto das Partes um dos Axiomas de Zermelo-

Fraenkel da axiomtica da Teoria dos Conjuntos.

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Na linguagem formal dos Axiomas de Zermelo-Fraenkel, o Axioma do Conjunto das

Partes diz o seguinte:

A,B,C,C B (D C D A)

Em outras palavras, dado qualquer conjunto A, existe um conjunto B tal que, dado qualquer

conjunto C, C membro de B se somente se, dado qualquer conjunto D, se D um membro

de C ento D um membro A.

Para entender este axioma, observe que o que est dentro do parentsis na afirmao

simblica acima simplesmente afirma que C um SUBCONJUNTO de A. Ento, o que

o axioma est realmente dizendo que dado um conjunto A, podemos achar um conjunto

B cujos membros so precisamente os subconjuntos de A. Ns podemos usar o Axioma da

Extensionalidade acima para mostrar que este conjunto B nico. Chamaremos o conjunto

B de Conjunto das Partes de A, e o denotaremos por P(A). Ento a essncia do axioma

: TODO CONJUNTO TEM UM CONJUNTO POR PARTES.

3.2 Definio

Dado um conjunto S, o Conjunto das Partes de S, denotado por P(S), o conjunto

de todos os subconjuntos de S.

A existncia e a unicidade de P(S) j foram discutidas na seo anterior.

Exemplo 3.1. Considere o conjunto S = {A,B,C}. Logo teremos que:

P(S) = {, {A}, {B}, {C}, {A,B}, {A,C}, {B,C}, {A,B,C}}.

Se #S = n, ento utilizando a anlise combintria no difcil provar que #P(S) = 2n.

Podemos tambm considerar o conjunto das partes de conjuntos infinitos. O argumento

da Diagonal de Cantor mostra que o conjunto das partes de um conjunto infinito sempre

tem cardinalidade estritamente maior que o conjunto dado. Informalmente isto significa que

o conjunto das partes tem que ser "mais infinito"que o conjunto original.

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Exemplo 3.2. O conjunto das partes de N pode ser posto em uma correspondncia injetora

com o conjunto R, por identificar uma sequncia infinita de 0 e 1 com o conjunto dos ndices

dos elemento, pondo 0 se eles no ocorrem e 1 caso contrrio, ou seja, os subconjuntos podem

ser representados por sequncias de 0 e 1, onde a i-sima posio indica se o elemento si de

S pertence a este subconjunto em particular.

Levando em conta o que diz o exemplo acima e o conjunto S = {A,B,C} podemos fazer

as seguintes correspondncias:

= 000, {A} = 100, {B} = 010, {C} = 001, {A,B} = 110, {A,C} = 101, {B,C} = 011 e

{A,B,C} = 111.

3.3 Lemas e Teorema

Nos Lemas e Teorema abaixo, considere S um conjunto no-vazio e P(S) o conjunto das

partes de S. Defina adio e multiplicao em P(S), respectivamente, por:

A+B = (AB) (B A) e A B = AB, isto , a adio a Diferena Simtrica e a

multiplicao a interseo.

Lema 3.1. P(S) um anel com as operaes definidas acima. P(S) e seus subanis so

frequentemente chamados de Anel de Conjuntos.

Demonstrao. Para todo A S seja A = SA o complemento de A. Temos da teoria dos

conjuntos que:

A B = A B, A B = A B, A = A, A B = A B, A A = , A = A,

e so associativas e comutativas e A (B C) = (A B) (A C). Utilizando estas

propriedades, simples, porm longos, efetuar os clculos para se demonstrar que a soma e

a multiplicao definidas acima fazem de P(S) um anel.

Teorema 3.1. O anel P(S) comutativo.

Demonstrao. Com efeito, sabemos que a interseo comutativa logo: A B = A B =

B A = B A

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Teorema 3.2. O anel P(S) tem uma identidade.

Demonstrao. De fato, como A S = A S = A = S A = S A, A S, temos que S

a unidade de P(S).

Teorema 3.3. O anel P(S) um anel Booleano.

Demonstrao. Com efeito, A S temos que: A2 = A A = A A = A

Teorema 3.4. Seja R um anel Booleano. Ento existe um conjunto S e um subanel R onde

R P (S) tal que R ' R.

Demonstrao. Sabemos que R comutativo, tem caracterstica 2 e 1 o nico elemento

invertvel de R, veja o lema 1.4 na pgina 3. Seja M algum ideal maximal de R. Logo R/M

um corpo de caracterstica 2 que molda x, x2 = x, e o nico tal corpo F2 = {0, 1}. Seja

S o conjunto de todos os ideais maximais de R. Considere o homomorfismo cannico

de anis:

: R

MS

R/M '

#S

F2

O ncleo de o Radical de Jacobson rad(R) e consiste de todos a R tal que 1a uma

unidade, ver Lema 1.2 na pgina 3. Mas 1 a nica unidade ento a = 0. Logo uma

aplicao injetora e portanto um mergulho de R em P (S).

Observao 3.1. Se R um anel Booleano finito sabemos do teorema 1.2, pgina 5, que

#R = 2n, para algum n inteiro positivo. Utilizando o teorema acima chegamos concluso

que para todo anel booleano finito existe um conjunto S finito tal que R 'P(S), onde #S = n

o nmero de ideais maximais de R.

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Referncias Bibliogrficas

[1] El Turkey H.; Generalizations of Boolean Rings, Masters thesis, The American Univer-

sity of Beirut, Beirut, Lebanon, junho de 2008.

[2] Herstein, I. N.; Topics in Algebra, John Wiley and Sons, 2a. edio, (1975).

[3] Gonalves, A.; Introduo lgebra, IMPA, Projeto Euclides, 5a. edio, Rio de Janeiro

(2005).

[4] Lambek, J.; Lectures on Rings and Modules, AMS Chelsea Publishing, 1a. edio, (1966).

[5] Roman, S.; Lattices and ordered sets, Springer, (2008).

[6] Halmos, P. R. e Givant, S. R.; Introduction on Boolean algebras, Springer, (2009).

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Anis BooleanosDefiniesLemas e Teoremas

Anel Booleano x lgebra Booleanalgebra Booleana

Conjunto das Partes de um conjuntoExistncia e UnicidadeDefinioLemas e Teorema

Referncias Bibliogrficas