alg electrica feb10a
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7/21/2019 Alg Electrica Feb10A
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Algebra. (I. Electrica). Febrero 2010. Tipo A.
Ejercicios 1 a 6: Deben ser contestados en hoja de lectura optica. Cada respuesta correcta suma1pto, incorrecta resta 0.33ptos, las dobles marcas o en blanco ni suman ni restan.
Problema: Se corregira solo si la nota obtenida en los 6 ejercicios tipo test es superior a2, 3.
Ejercicio 1 SiAyB son matrices simetricas de ordenn, entonces: A) La matrizABes simetrica; B) Si AB =BAentonces AB es simetrica; C) Si AB es simetrica entoncesAB =BA; D) Ninguna de las anteriores.
Ejercicio 2 Los conjuntos U = {(x1, x2) R2 : x1+x2 = 1} y V = {(x1, x2) R
2 : x1 x2 = 0} verifican: A) Ambos son subespacios de R2; B) Solo Ues subespacio
de R2; C) SoloVes subespacio de R2; D) Ninguna de las anteriores.
Ejercicio 3 La aplicacion linealf: R3
R2
definida porf(x1, x2, x3) = (x1+ x2, 0)verifica: A) La dimension del nucleo defes 2; B) La dimension de la imagen de fes 2;C) Los subespacios imagen de f y nucleo de ftienen la misma dimension; D) Ningunade las anteriores.
Ejercicio 4 Es cierto: A) Si x es un vector propio asociado al valor propio 2 deuna matriz A regular, entonces x puede NO ser un vector propio de A1; B) La matriz
1 1
0 1 diagonaliza; C)
2 1
1 1 es una matriz de paso de
4 2
1 3; D) Ninguna de
las anteriores.
Ejercicio 5 SiA es una matriz cuadrada ortogonal, entonces: A) El sistema definidopor los vectores columna es ortogonal; B) Se cumple queAes singular; C)A2 es la matrizidentidad; D) Ninguna de las anteriores.
Ejercicio 6 La forma cuadratica f(x,y,z ) = x2 +y2 +z2 +xy + xz+yz es: A)
Definida positiva; B) Semidefinida positiva; C) Indefinida; D) Ninguna de las anteriores.
Problema
a)(2ptos.) Calcular la factorizacionLUde la matrizA=
2 2 41 3 1
3 7 5
y utilizar dicha
factorizacion para resolver el sistema AX=
05
7
.
b)(2ptos.) El subespacio V de R3 esta generado por {(1, 1, 2)} y el subespacio U de R3
esta definido por las ecuaciones 2x1+ x2+ x3= 0, x2+ x3= 0. Calcular la dimension deV + Uy justificar si U yV estan en suma directa.
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Soluciones: Algebra. (I. Electrica). Febrero 2010. Tipo A.Ejercicio 1 SiAyB son matrices simetricas de ordenn, entonces: A) La matrizAB
es simetrica; B) Si AB =BAentonces AB es simetrica; C) Si AB es simetrica entoncesAB =BA; D) Ninguna de las anteriores.
Solucion 1 Una matriz A es simetrica si aij = aji para cada i = j. O de formaequivalente,A es simetrica, si su matriz traspuesta AT coincide con ella misma, es decir,
AT =A.Mediante ejemplos sencillos. Es posible eliminar alguna de las opciones. Veamos: se puede
comprobar que A =
1 22 2
y B =
0 00 1
son simetricas pero AB =
0 20 2
no
es simetrica yBA=
0 02 2
. Luego A) y B) son falsas. Por otro lado, como (AB)T =
BTAT se tiene que siAB = (AB)T (es decir, siAB es simetrica) entonces AB =BTAT =AB. LuegoC) es cierta.
Ejercicio 2 Los conjuntos U = {(x1, x2) R2 : x1+x2 = 1} y V = {(x1, x2) R
2 : x1 x2 = 0} verifican: A) Ambos son subespacios de R2; B) Solo Ues subespacio
de R2; C) SoloVes subespacio de R2; D) Ninguna de las anteriores.Solucion 2 El conjunto Uno es subespacio porque no contiene al elemento neutro
de R2 ((0, 0)). El subconjuntoVes subespacio de R2 porque(x1, x2) + (x1, x
2) V si
(x1, x2),(x1, x
2) V y, R.
Es cierta C).
Ejercicio 3 La aplicacion linealf: R3 R2 definida porf(x1, x2, x3) = (x1+ x2, 0)verifica: A) La dimension del nucleo defes 2; B) La dimension de la imagen de fes 2;C) Los subespacios imagen de f y nucleo de ftienen la misma dimension; D) Ningunade las anteriores.
Solucion 3 Por teora se tiene que dimNuc(f) + dim Im(f) = dim(R3) = 3. Dedonde se deduce que C) tiene que ser falsa. Por otro lado, el nucleo defes un subespaciode R3 definido por la ecuacion cartesiana x1 +x2 = 0, o de forma equivalente, porlas ecuaciones parametricas: x1 = , x2 = , x3 = siendo , R. Entonces ladimension del nucleo es 2 y la dimension de la imagen es 1.
Es cierta A).
Ejercicio 4 Es cierto: A) Si x es un vector propio asociado al valor propio 2 deuna matriz A regular, entonces x puede NO ser un vector propio de A1; B) La matriz
1 10 1
diagonaliza; C)
2 11 1
es una matriz de paso de
4 21 3
; D) Ninguna de
las anteriores.Solucion 4Si Ax= 2x, entonces x= 2A1x, es decir,A1x= 1
2x. Luego A) es falsa.
La matriz 1 10 1
no diagonaliza porque posee un valor propio 1 de multiplicidadalgebraica 2 y multiplicidad geometrica 1. La ecuacion cartesiana del subespacio devectores propios asociados al valor propio 1 es y= 0.
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Por otro lado,
2 11 1
14 21 3
2 11 1
=
5 00 2
. Entonces, de acuerdo con
la pagina 122 del libro de teora,
2 11 1
es una matriz de paso de
4 21 3
.
Es cierta C).
Ejercicio 5 SiA es una matriz cuadrada ortogonal, entonces: A) El sistema definidopor los vectores columna es ortogonal; B) Se cumple queAes singular; C)A2 es la matrizidentidad; D) Ninguna de las anteriores.
Solucion 5 De acuerdo con la teora, ver documento matricesortogonales.pdf, A esortogonal si el sistema de vectores columna es ortonormal luego A) es cierto porque, sies ortonormal, en particular, es ortogonal. Ademas una matriz cuadrada es ortogonal siAt =A1 por lo tanto A es regular y B) y C) son falsas.
Es cierta A).El sistema de vectores columna es ortonormal, en particular, ortogonal.
Ejercicio 6 La forma cuadratica f(x,y,z ) = x2 +y2 +z2 +xy + xz+yz es: A)Definida positiva; B) Semidefinida positiva; C) Indefinida; D) Ninguna de las anteriores.
Solucion 6Se puede comprobar que el determinante de la matriz asociada 1 1/2 1/21/2 1 1/2
1/2 1/2 1
es3= 1/2> 0 y2= 3/4> 0 y2= 1> 0.
Es cierta A).
Problemaa)(2ptos.) Calcular la factorizacionLUde la matriz
A=
2 2 41 3 1
3 7 5
para resolver el sistemaAX= 057
.
Solucion a)Se trata de obtener Uuna matriz triangular superior mediante transformaciones ele-
mentales de reemplazo en la matriz A.Consideremos las siguientes transformaciones elementales de reemplazo:
2 2 41 3 1
3 7 5
F2F212F1
2 2 40 2 1
3 7 5
F3F332F1
2 2 40 2 1
0 10 1
F3F3+5F2
2 2 40 2 1
0 0 6
.
A cada una de las transformaciones elementales le corresponde una matriz elemental Ei
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de tal forma queL= (E3E2E1)1 =E1
1 E1
2 E1
3 por lo tanto
L=
1 0 01/2 1 0
0 0 1
1 0 00 1 0
3/2 0 1
1 0 00 1 0
0 5 1
=
1 0 01/2 1 0
3/2 5 1
Para resolver el sistema AX = B se resuelve primero LY = B y a continuacionU X=Y. La ecuacion
LY =B ;
1 0 01/2 1 0
3/2 5 1
xy
z
=
05
7
tiene como solucionY =
0518
. Entonces
UX=
0518
; 2 2 40 2 1
0 0 6
xy
z
=
0518
y se obtiene que la solucion es X=
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b)(2ptos.) El subespacio V de R3 esta generado por {(1, 1, 2)} y Uel subespacio de R3
esta definido por las ecuaciones 2x1+ x2+ x3= 0, x2+ x3= 0. Calcular la dimension deV + Uy justificar si U yV estan en suma directa.
Solucion b)Es facil comprobar que el subespacio V tiene dimension 1. Ademas, el subespacio
U tiene dimension 1. Veamos: a partir de las ecuaciones cartesianas de U se deduceque x3 = x2 y 2x1 = 0. Luego unas ecuaciones cartesianas equivalentes de U sonx1= 0, x3=x2 de donde se deduce que una base de U es{(0, 1,1)}.
Por otro lado, como (1, 1, 2) U(ya que no satisface las ecuaciones cartesianas que
definen U) se tiene queU V ={(0, 0, 0)}.
Del apartado anterior se tiene que U yV estan en suma directa. Es otras palabras, elsubespacioU+ Ves suma directa deUyV. Notese queU+ Ves un subespacio de R3 dedimension 2 ya quedimU+dimV =dim(U+V)+dim(UV),es decir, 2 =dim(U+V).