algcap2

Capitolul 2

SPATII LINIARE EUCLIDIENE

Definitia 2.1 Fie (X,+, ·,R) un spatiu liniar. O functie:h·, ·i : X× X→ R se numeste produs scalar real ın X daca satisface conditiile:SP1) ∀(u,v,w) ∈ X3 : hu+ v,wi = hu,wi+ hv,wi,SP2) ∀(α,u,v) ∈ R× X2 : hα · u,vi = αhu,vi,SP3) ∀u,v ∈ X : hu,vi = hv,ui ,SP4) ∀u ∈ X : hu,ui ≥ 0 si hu,ui = 0⇔ u = θX.

Definitia 2.2 Fie (X,+, ·,R) un spatiu liniar. Perechea ordonata (X, h·, ·i) se numestespatiu liniar cu produs scalar real sau spatiu liniar euclidian.

Teorema 2.1 (Consecinte ale definitiei spatiului liniar euclidian)Daca (X, h·, ·i) este un spatiu liniar euclidian atunci au loc relatiile:SP5) ∀(u,v,w) ∈ X3 : hu,v +wi = hu,vi+ hu,wi,SP6) ∀(α,u,v) ∈ R× X2 : hu, α · vi = αhu, vi,SP7) ∀u ∈ X : hu,θXi = hθX,ui = 0,

Demonstratie.

S6) ∀(u,v,w) ∈ X3 : hu,v +wi SP3= hv +w,ui SP1= hv,ui+ hw,ui SP3= hu,vi+ hu,wi,S7) ∀(α,u,v) ∈ R×X2 : hu, α · vi SP3= hα · v,ui SP2= αhv,ui,S8) ın relatia SP2 consideram α = 0 si obtinem: ∀(u,v) ∈ X2, h0 · v,ui = 0 · hv,ui = 0

dar h0 · v,ui = hθX,ui de unde rezulta h0 · v,ui = hθX,ui. Analog se obtine cealaltarelatie.¥

Exemplul 2.1 Fie (Rn,+, ·,R), n ≥ 1 spatiul liniar aritmetic n−dimensional si aplicatiah·, ·i : Rn ×Rn→ R definita prin

∀(x,y) ∈ Rn × Rn,x = (x1, . . . , xn) ,y = (y1, . . . , yn) : hx,yi =nXi=1

xiyi.(2.1)

Demonstram ca aplicatia astfel definita satisface axiomele produsului scalar real.

15

16 CAPITOLUL 2. SPATII LINIARE EUCLIDIENE

SP1) ∀(x,y, z) ∈ (Rn)3 , x = (x1, . . . , xn) ,y = (y1, . . . , yn), z = (z1, . . . , zn) : hx+ y, zi =nPi=1

(xi + yi)zi =nPi=1

xiyi +nPi=1

xizi = hx, zi+ hy, zi.

SP2)∀(α,x,y) ∈ R× (Rn)2, x = (x1, . . . , xn) , y = (y1, . . . , yn) : hα·x,yi =nPi=1

(αxi)yi =

αnPi=1

xiyi = αhx,yi.

SP3) ∀(x,y) ∈ (Rn)2, x = (x1, . . . , xn) , y = (y1, . . . , yn) : hx,yi =nPi=1

xiyi =nPi=1

yixi =

hy,xi.SP4) ∀x ∈ Rn, x = (x1, . . . , xn) , hx,xi =

nPi=1

x2i ≥ 0.

∀x ∈ Rn, x = (x1, . . . , xn) , hx,xi = 0⇒nPi=1

x2i = 0⇒ xi = 0, ∀i = 1, n⇒ x = θRn .

Produsul scalar definit prin (2.1) se numeste produs scalar standard (sau canonic)iar (Rn, h·, ·i) este numit spatiul euclidian aritmetic canonic n−dimensional. Analogse defineste produsul scalar standard ın (Rn,+, ·,R).

Exemplul 2.2 Fie (C ([a, b] ,R) ,+, ·,R) spatiul liniar al functiilor reale continue pe inter-valul ınchis [a, b] ⊂ R, unde a < b. Aplicatia h·, ·i : C ([a, b] ,R)×C ([a, b] ,R)→ R definitaprin

∀(f, g) ∈ (C ([a, b] ,R))2 : hf, gi =bZ

a

f(x)g(x)dx (2.2)

este un produs scalar real, numit produs scalar canonic (standard) definit pe C ([a, b] ,R) ,iar (C ([a, b] ,R) , h·, ·i) are structura de spatiu liniar euclidian.

Definitia 2.3 Fie (X, h·, ·i) un spatiu liniar euclidian. Pentru orice vector v ∈ X definimlungimea (norma euclidiana) vectorului v, numarul real nenegativ:

kvk =phv,vi. (2.3)

Vectorul v cu proprietatea ca kvk = 1 se numeste versor sau vector unitar.

Observatia 2.1 Daca v 6= θX atunci vectorul◦v =

1

kvkv este versor si se numeste versorul

vectorului nenul v. Remarcam ca pentru orice v ∈ X,v 6= θX are loc relatia v = kvk◦v.

Exemplul 2.3 (Particularizari ale lungimii (normei) unui vector)In cazul spatiului euclidian aritmetic canonic n−dimensional (Rn, h·, ·i), cu produsul

scalar definit prin relatia (2.1), lungimea unui vector x este:

kxk =

vuut nXi=1

x2i .

17

In cazul spatiului liniar euclidian (C ([a, b] ,R) , h·, ·i) cu produsul scalar definit prinrelatia (2.2), lungimea unui vector f este:

kfk =

vuuut bZa

f2(x)dx.

Teorema 2.2 (Proprietati ale lungimii (normei) unui vector)Daca (X, h·, ·i) un spatiu liniar euclidian, atunci au loc relatiile:i)

∀u ∈ X : kuk = 0⇔ u = θX,

ii)∀(α,u) ∈ R×X : kα · uk =| α | kuk ,

iii)

∀(u,v) ∈ X2 :| hu,vi |≤ kuk kvk , (2.4)

numita inegalitatea Cauchy-Schwarz-Buniakowski. Egalitatea are loc daca si numaidaca vectorii (u,v) ∈ X2 sunt liniar dependenti.

iv)

∀(u,v) ∈ X2 :k u+ v k≤k u k + k v k, (2.5)

numita inegalitatea triunghiulara sau inegalitatea lui Minkowski.

Demonstratie. i) ∀u ∈ X, k u k= 0⇔ hu,ui = 0 SP4⇔ u = θX.ii) ∀(α,u) ∈ K×X : k α · u k=

phα · u, α · ui =

pααhu,ui =

pα2hu,ui =

= | α |k u k .iii) Inegalitatea este evident adevarata pentru u = θX sau v = θX. Presupunem u 6= θX

si v 6= θX. Atunci k u+α ·v k2= hu+α ·v,u+α ·vi = hu,ui+αhu,vi+αhv,ui+α2hv,vi,utilizand definitia si proprietatile produsului scalar. Deoarece k u + α · v k2≥ 0, ∀α ∈ R,rezulta α2hv,vi+2αhu,vi+ hu,ui ≥ 0, ∀α ∈ R, care poate fi privita ca o ecuatie de graduldoi care pastreaza semn constant oricare ar fi α real. Deci∆ = 4 (hu,vi2 − hv,vihu,ui) ≤ 0si obtinem |hu,vi| ≤

phu,ui

phv,vi, adica inegalitatea Cauchy-Schwarz-Buniakowski.

Egaliatea are loc ın cazurile:a) cel putin unul din vectori este θX, deci sistemul de vectori (u,v) este liniar dependent,b) u + αv = θX, relatie care ınseamna dependenta liniara. Reciproc, daca sistemul de

vectori (u,v) este liniar dependent, atunci exista λ ∈ R : v = λ · u si obtinem | hu,vi |=|λ |k u k2=k u kk v k .

iv) ∀(u,v) ∈ X2 : k u+ v k2= hu+ v,u+ vi = hu,ui + hu,vi + hv,ui + hv,vi =k u k2 +2hu,vi+ k v k2≤ k u k2 +2 | hu,vi | + k v k2≤ k u k2 +2 k u kk v k ++ k v k2≤ (k u k + k v k)2 , adica inegalitatea triunghiulara. Am avut ın vedere inegalita-tea hu,vi ≤ | hu,vi |. ¥


Exemplul 2.4 Particularizari ale inegalitatii Cauchy-Schwarz-Buniakowski.In cazul spatiului euclidian aritmetic canonic n−dimensional (Rn, h·, ·i) cu produsul

scalar definit prin relatia (2.1), inegalitatea (2.4) este de forma:

|nXi=1

xiyi |≤

vuut nXi=1

x2i

vuut nXi=1

y2i .

In cazul spatiului liniar euclidian (C ([a, b] ,R) , h·, ·i) cu produsul scalar definit prinrelatia (2.2), inegalitatea (2.4) este de forma:

|bZ

a

f(x)g(x)dx |≤

vuuut bZa

f2(x)dx

vuuut bZa

g2(x)dx.

Observatia 2.2 Daca (X, h·, ·i) un spatiu liniar euclidian, atunci functia k · k: X → Rdefinta de ∀u ∈ X, k u k=

phu,ui, care reprezinta lungimea vectorului u, relatia (2.3),

este o norma pe X (satisface axiomele normei ( i, ii, iv ). Aceasta norma se numeste normaindusa ın X de produsul scalar definit ın spatiul liniar X.

Definitia 2.4 Fie (X,+, ·,R) un spatiu liniar ın care este definita o norma. Perecheaordonata (X, k · k) se numeste spatiu liniar normat.

Definitia 2.5 Fie (X,+, ·,R) un spatiu liniar euclidian. Daca (X, k · k) este un spatiuliniar normat cu norma k · k indusa de produsul scalar h·, ·i, atunci perechea ordonata(X, k · k) se numeste spatiu prehilbertian.

Definitia 2.6 Daca (X, k · k) este un spatiu prehilbertian complet (ın sensul ca orice sirCauchy de elemente din X este un sir convergent) atunci (X, k · k) se numeste spatiuHilbert.

Exemplul 2.5 Spatiul (Rn,+, ·,R), n ≥ 1 este evident un spatiu Hilbert relativ la produsulscalar canonic definit ın Exemplul 2.1.

Observatia 2.3 Fie (X, h·, ·i) un spatiu liniar euclidian. Pentru orice pereche ordonata devectori (u,v) ∈ (X \ {θX})2 inegalitatea Cauchy - Schwarz - Buniakowski poate fi scrisa deforma:

| hu,vi |k u kk v k ≤ 1⇔ −1 ≤

hu,vik u kk v k ≤ 1.

Definitia 2.7 Fie (X, h·, ·i) un spatiu liniar euclidian. Solutia unica ın intervalul [0, π],notata \(u,v), a ecuatiei

cos\(u,v) =hu,vi

k u kk v kse numeste unghiul neorientat al perechii ordonate (u,v) ∈ (X \ {θX})2.

2.1. BAZE ORTONORMATE 19

Definitia 2.8 Fie (X, h·, ·i) un spatiu liniar euclidian. Daca (u,v) ∈ X2 si hu,vi = 0atunci u se numeste vector ortogonal cu vectorul v. Folosim notatia u ⊥ v.

In plan sau ın spatiu aceasta notiune coincide cu cea de perpendicularitate.

Definitia 2.9 Fie (X, h·, ·i) un spatiu liniar euclidian. Aplicatia

d : X×X→ R

definita prin∀u,v ∈ X : d(u,v) = ku− vk

se numestemetrica sau distanta pe X. Numarul real d(u,v) se numeste distanta dintrevectorii u si v, iar perechea ordonata (X, d) se numeste spatiu metric.

Exemplul 2.6 In cazul spatiului euclidian aritmetic canonic n−dimensional (Rn, h·, ·i)cu produsul scalar definit prin relatia (2.1), distanta dintre vectorii x,y ∈ Rn, x =(x1, . . . , xn) , y = (y1, . . . , yn) este data de

d(x,y) =

vuut nXi=1

(xi − yi)2.

2.1 Baze ortonormate

Definitia 2.10 Fie (X, h·, ·i) un spatiu liniar euclidian. Un sistem de vectori S = (vi)i=1,mse numeste ortogonal daca vectorii sai sunt ortogonali doi cate doi, adica

∀i, j = 1,m, i 6= j : vi ⊥ vj.

Definitia 2.11 Fie (X, h·, ·i) un spatiu liniar euclidian. Un sistem de vectori S = (vi)i=1,mse numeste ortonormat daca este ortogonal si format numai din vectori unitari (versori).

Observatia 2.4 Din orice sistem de vectori ortogonal, format din vectori nenuli, se poateobtine un sistem ortonormat ınmultind fiecare vector vi,vi 6= θX, i = 1,m, al sistemului cuk vi k−1, obtinandu-se astfel vectori unitari.

Exemplul 2.7 Sistemul de functii S = (f0(x) = 1, f1(x) = x, f2(x) =12(3x2 − 1)) este

un sistem ortogonal ın (C ([−1, 1] ,R) , h·, ·i) cu produsul scalar definit ın Exemplul 2.2.Intr-adevar,

hf0, f1i =1R−1

xdx = 0, hf1, f2i =1R−1

x12(3x2 − 1)dx = 0, hf0, f2i =

1R−1

12(3x2 − 1)dx = 0.

Teorema 2.3 Orice sistem de vectori ortogonal, format din vectori nenuli, este liniar in-dependent.


Demonstratie. Fie un sistem de vectori S = (vi)i=1,m ortogonal, format din vectorinenuli. Sa presupunem ca avem: α1v1 + . . .+ αnvn = θX. Obtinem:∀ k = 1, n : hα1v1 + . . .+ αnvn,vki = αik k vik k2= 0, k vik k6= 0⇒ αik = 0, k = 1, p,

deci sistemul S este liniar independent.¨

Consecinta 2.1 Daca dimK X =n, utilizand Teorema 2.3 rezulta ca orice sistem de n vec-tori ortogonal (sau ortonormat), format din vectori nenuli, formeaza o baza ın X.

Definitia 2.12 Fie (X, h·, ·i) un spatiu liniar euclidian, dimK X =n. O baza S = (ei)i=1,nse numeste baza ortonormata daca S = (ei)i=1,n este un sistem ortonormat de vectori.

Observatia 2.5 Un sistem de vectori S = (ei)i=1,n este o baza ortonormata daca

∀i, j = 1, n : hei, eji = δij, unde δij =

½1, daca i = j0, daca i 6= j

este simbolul lui Kronecker.

Exemplul 2.8 Sistemul de functii S = (f0(x) = 1, f1(x) = sinx, f2(x) = cosx, . . . ,f2n−1(x) = sinnx, f2n(x) = cosnx) este un sistem ortogonal ın (C ([−π, π] ,R) , h·, ·i) cu pro-

dusul scalar definit ın Exemplul 2.2 deoarece

πZ−π

f2i−1(x) f2j−1(x)dx =

πZ−π

sin(ix) sin(jx)dx =

0,

πZ−π

f2i(x)f2j(x)dx =

πZ−π

cos(ix) cos(jx)dx = 0 pentru i 6= j.

Ortonormam sistemul. Pentru aceasta calculam norma fiecarui vector din sistem.

k f0 k2=πR−π

dx = 2π,

k f2k−1 k2=πR−πsin2 kxdx = π,

k f2k k2=πR−πcos2 kxdx = π.

Sistemul S0 = (g0(x) =1√2π

, g1(x) =1√πsinx, f2(x) =

1√πcosx, . . . , f2n−1(x) =

1√πsinnx, f2n(x) =

1√πcosnx) este un sistem ortonormat. Acest sistem va fi utilizat la

construirea seriei Fourier atasata unei functii periodice.

2.2 Procedeul de ortogonalizare Gram-Schmidt

Fie (X, h·, ·i) un spatiu liniar euclidian, dimK X =n. Evident ca acest spatiu trebuie sacontina o baza. Nu este evident ca acest spatiu contine o baza ortonormata. Urmatoareateorema asigura existenta unei asemenea baze si totodata ne da un procedeu de constructiea acesteia, pornind de la o baza oarecare.

2.2. PROCEDEUL DE ORTOGONALIZARE GRAM-SCHMIDT 21

Teorema 2.4 (Procedeul de ortonormare Gram-Schmidt) In orice spatiu liniareuclidian (X, h·, ·i) exista cel putin o baza ortonormata.

Demonstratie. Fie (X, h·, ·i) un spatiu liniar euclidian, dimK X =n. Pornind de la obaza arbitrara S = (v1,v2, . . . ,vn) Construim o baza ortonormata S0 folosind procedeulGram-Schmidt. Consideram vectorii:⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

u1 = v1u2 = v2 + α21u1u3 = v3 + α31u1 + α32u2· · ·un = vn + αn1u1 + · · ·+ αn,n−1un−1

(2.6)

si vom determina scalarii αij care apar ın (2.6) impunand conditia ca fiecare vector ui sa fieortogonal pe vectorii (u1,u2, . . . ,ui−1). u1 ⊥ u2 ⇒ hu2,u1i = 0 si folosind a doua relatiedin (2.6) obtinem: α21 = −

hv2,u1ik u1 k2

.

In general hui,uki = 0 pentru k < i,⇒ hvi + αi1u1 + · · ·+ αi,i−1ui−1,uki = 0⇒ αik =

−hvi,ukik uk k2, pentru i = 2, n si k < i.

Ramane de demonstrat ca vectorii din sistemului (u1,u2, . . . ,un) construiti conformprocedeului descris sunt diferiti de zero, ın caz contrar ımpartirea cu k uk k2 nu ar aveasens. Observam ca uj este o combinatie liniara formata din v1,v2, . . . ,vj−1, deci ınlocuindpe u1,u2, . . . ,uk−1 prin aceste combinatii liniare ın uk = vk + αk1u1 + · · · + αk,k−1uk−1obtinem uk = vk + γ1v1+ · · ·+ γk−1vk−1. Dar uk = 0⇒ (v1,v2, . . . ,vk) liniar dependenti,ceea ce este fals deoarece ei formeaza un subsistem al unui sistem liniar independent.Astfel am construit sistemul ortogonal S = (ui)i=1,n care nu contine vectorul nul. Con-

form Teoremei 2.3 sistemul S = (ui)i=1,n este liniar independent, rezulta ca formeaza o baza.

Sistemul S0 = (e1, . . . , en), e1 =1

k u1 ku1, . . . , en =

1

k un kun, este baza ortonormata .¥

Exercitiul 2.1 Fie spatiul liniar (R3,+, ·,R) pe care este definit produsul scalar standard(vezi Exemplul 2.1). Sa se afle o baza ortonormata ın R3, plecand de la baza

v1 =

⎛⎝ 122

⎞⎠ ,v2 =

⎛⎝ −135

⎞⎠ ,v3 =

⎛⎝ 40−2

⎞⎠ . (2.7)

Rezolvare. Fie u1 = v1 si u2 = v2 + α21v1, hu2,u1i = 0⇒ α21 = − hv2,u1i / hu1,u1i =

−5/3. Va rezulta ca u2 este dat prin u2 =

⎛⎝ −8/3−1/35/3

⎞⎠. Cautam pe u3 de forma u3 =

v3+α31u1+α32u2 si gasim α31 = 0, α32 = 7/5. Va rezulta ca u3 =

⎛⎝ 4/15−7/155/15

⎞⎠. Calculamlungimile vectorilor u1, u2 si u3.


ku1k =√12 + 22 + 22 = 3,

ku2k =q(−8/3)2 + (−1/3)2 + (5/3)2 =

√10,

ku3k =q(4/15)2 + (−7/15)2 + (5/15)2 = 1

5

√10

Impartind u1, u2 si u3 cu lungimea lor, am gasit trei vectori ortonormati si anume⎛⎝ 132323

⎞⎠ ,

⎛⎜⎝ −8

3√10

− 13√10

53√10

⎞⎟⎠ ,

⎛⎜⎝4

3√10

− 73√10

53√10

⎞⎟⎠ (2.8)

formand o baza ortonormata.¨

Exercitiul 2.2 Se considera spatiul liniar (R2 [x] ,+, ·,R) al polinoamelor de grad cel mult

doi pe care se defineste produsul scalar: ∀(p,q) ∈ (R2 [x])2 : hp,qi =1Z

−1

p(x)q(x)dx.

Consideram baza B = (1, x, x2) . Aplicand procedeul Gram-Schmidt sa se obtina din bazadata o baza ortonormata.

Rezolvare. Fie r1(x) = 1,

r2(x) = x−

1Z−1

x·1dx

1Z−1

1·1dx

· 1 = x− 02· 1 = x,

r3(x) = x2 −

1Z−1

x2·1dx

1Z−1

1·1dx

· 1−

1Z−1

x2·xdx

1Z−1

x·xdx

· x = x2 − 2/32· 1− 0

2/3· x = x2 − 1

3.

Sistemul de vectori¡1, x, x2 − 1

3

¢este ortogonal. Il ortonormam, ımpartind vectorii la

lungimea lor.s1(x) =

1

1Z−1

1·1dx

· 1 = 1√2,

s2(x) =1

1Z−1

x·xdx

· x =q

32· x,

2.2. PROCEDEUL DE ORTOGONALIZARE GRAM-SCHMIDT 23

s3(x) =1

1Z−1

(x2− 13)·(x2−

13)dx

·¡x2 − 1

3

¢= 1

2

q52(3x2 − 1) .

Sistemul de vectori³1√2, xq

32, 12

q52(3x2 − 1)

´este ortonormat.¨

2.2.1 Expresia produsului scalar ıntr-o baza ortonormata

Fie (X, h·, ·i) un spatiu liniar euclidian, dimR X =n si S = (ei)i=1,n o baza ortonormata

ın X. Fie (u,v) ∈ X2, ∃∗(α1, . . . , αn) ∈ Rn, ∃∗(β1, . . . , βn) ∈ Rn : u =nXi=1

αiei,v =

nXj=1

βjej. si S = (ei)i=1,n o baza ortonormata ın X. Atunci expresia produsului scalar ın

baza ortonormata data va fi:

hu,vi = (α1 . . . αn)

⎛⎜⎝ β1...βn

⎞⎟⎠ =nXi=1

αiβi. (2.9)

Observam ca daca (X, h·, ·i) este un spatiu liniar euclidian, expresia produsului scalarıntr-o baza ortonormata se reduce la produsul scalar standard din Rn. In acest caz expresialungimii unui vector ıntr-o baza ortonormata este:

∀u ∈ X,u =nXi=1

αiei :k u k= (α1 . . . αn)

⎛⎜⎝ α1...αn

⎞⎟⎠ =

vuut nXi=1

α2i .

Definitia 2.13 Matricea A ∈Mn(R) se numeste ortogonala daca ATA = AAT= In.

Observatia 2.6 Din definitie rezulta ca dacaA ∈Mn(R) este o matrice ortogonala, atunciavem det(A) = ±1, A este inversabila si inversa sa este A−1 = AT .

Teorema 2.5 Fie (X, h·, ·i) un spatiu liniar euclidian si dimR X =n si S = (ei)i=1,n, S1 =(e0i)i=1,n doua baze ortonormate ın X. Daca S

A→ S1, unde A = (aij)i,j=1,n, atunci matriceaA este ortogonala. Reciproc, daca baza S este ortonormata, iar matricea A este ortogonala,atunci baza S1 este ortonormata.

Demonstratie. Neesitatea. Vectorii (e0i)i=1,n se pot descompune ın raport cu vectoriibazei S dupa relatiile:

e0j = (a1j, a2j, . . . , anj)

⎛⎜⎜⎜⎝e1e2...en

⎞⎟⎟⎟⎠ =nXi=1

aijei, j = 1, n.


Atunci he0i, e0ji = hnX

k=1

akiek,nX

h=1

ahjehi =nX

k=1

nXh=1

akiahjhek, ehi =nX

k=1

nXh=1

akiahjδkh =

nXk=1

akiakj ⇒ δij =nX

k=1

akiakj ⇔ In = AtA, adica A este o matrice ortogonala.

Suficienta. Daca A este o matrice ortogonala, atunci din he0i, e0ji =nX

k=1

nXh=1

akiahjδkh =

nXk=1

akiakj = δij rezulta ca S1 este o baza ortonormata.¥

algcap2

Documents